درس کنترل ديجيتال

1391مهر

بسم ا... الرحمن الرحيم

دکتر حسين بلندي/دکتر سید مجید اسماعیل زاده/ دکتر بهمن قربانی واقعی

در كن�ترل ديجيت�ال سيس�تم ه�اي پيوس�ته- زم�ان نيازمن�د تغي�ير سيس�تم ه�اي پيوس�ته- زم�ان ب�ه گسس�ته- زم�ان

. اينگون��ه تغي��ير توس��ط نمون��ه گ��يري ه��اي هس��تیممص�نوعي انج�ام مي پ�ذيرد. خط�اي بوج�ود آم�ده را مي

پريود كوچك از بين برد.Samplingتوان با انتخاب

tu

مي كند. در نظر داشته باشيد كه عمل نمونه گيري پيدا بطور مصنوعي انجام

Discretization of Continuous-Time State Space

فرض مي كنيم كه

گسسته- زمان نمودن سيستم هاي پيوسته- زمان

فقط در لحظات مشخص شده و بطور مساوي تغيير

مي پذيرد.

DuCxy

BuAxxGiven

:

سيستم گسسته زمان معادل برابر خواهد بود با:

kTuTHkTxTGTkx 1

ماتريس هاي TH و TG بستگي به مقدار زماني نمونه گيري يعني T

Tوقتي كه ،fixed.باشد، آنگاه اين دو ماتريس ثابت خواهند بود

t AAtAt dBueexetx

00:

دارند.

فرض مي كنيم كه tu نمونه گيري شده باشد و به يك ،Zero-Order-Hold

tu دو لحظه نمونه Interval در بين

وارد شده است. بنابراين اجزاءگيري ثابت

:خواهند بود TkTtkTkTutu

kT AAkTAkT

Tk ATkATkA

dBueexekTx

dBueexeTkx

0

1

0

11

0

01

اگر معادله را درATe ضرب نموده و از معادله :كم كنيم داريم

Tk

kT

ATkAAT dBueekTxeTkx111

از آنجاكه kTutu برايTkTtkT لذا مي توانيم در معادله

،

uرا با .ConstkTu .عوض كنيم

T AAT

T AtATAT

dkTBuekTxe

dtkTBueekTxeTkx

0

01

tTكه در آن .

BdteeBdeTH

eTGT AtATT A

AT

00

kTDukTCxkTy

kTuTHkTxTGTkTx

BAIeBIeABdeTHeTG ATATT AAT 11

0,

بايد توجه داشت اگر 1,0 TIGTGيعني اگرT

در نظر گرفته شده باشد، TG به سمت ماتريس Identity.سوق خواهد داشت

خيلي كوچك

مثال: su

sy

sssGGiven

2

1:

؟ است بدست آوريدT=1سيستم معادل گسسته زمان را در حاليكه

uyy 2

1

22

21

2xy

uxxxx

xy

uxx

01

1

0

20

10

kTuTHkTxTGTkTx

T

TAT

e

eeTG

2

2

0

12

11

:حل

If 1T

kxky

kukxkx

01

43.0

28.0

13.00

43.011

DHGzICzF 1

13.01

14.028.0

zz

zzF

T

T

T

t

tT AtAT

e

eT

dte

eBdteeTH

2

2

0 2

2

0

12

12

1

2

1

1

0

0

12

11

« تحليل پايداري »

پاي2222داري همانن2222د موض2222وعات كنترل پ2222ذيري و •مش222اهده پذيري ي222ك خاص222يت كيفي از سيس222تم

ب2دون ش2ك مهم2ترين مشخص2ه ي2ك مهندس2ي اس2ت. نكته اي سيس2تم كن2ترل مي توان2د پاي2داري آن باش2د.

ك2ه ح2ائز اهميت اس2ت آن اس2ت ك2ه در سيس2تم هاي عملي موض222وع ط22راحي ج222دا از درنظ222ر گ22رفتن

موضوع پايداري نيست.درج222ة پيچي222دگي تحلي222ل پاي222داري سيس222تم هاي •

ب22ه LTIدين22اميكي ب22ا تغي22ير م22دلهاي سيس22تم از بس2رعت تغي2ير مي كن2د TVسيس2تم هاي غ2يرخطي ي2ا

و ل22ذا بدس22ت آوردن روش22هايي ك22ه بتوان22د ب22ه اين سيس222تم ها پاس222خگو باش222ند از اهميت وي222ژه اي

برخوردار است.

مقدم22ه :

تعاريف بط�ور كلي اگ�ر سيس�تمي ب�دون اعم�ال ورودي و هرگون�ه اغتشاش�ي پايداري :

داراي خ�روجي باش�د ك�ه در ي�ك ح�الت ب�اقي مان�ده اس�ت سيس�تم را مي گوئيم. حالت تعادلدر

حال اگ�ر ي�ك سيس�تم كن�ترل خطي مس�تقل از زم�ان تحت ت�أثير ي�ك اغتش�اش ق�رار گ�يرد و خ�روجي آن ب�االخره ب�ه ح�الت تع�ادل ب�ازگردد

مي خوانيم. پايدارسيستم را تحت ت��أثير اغتش��اش ق��رار گرفت��ه و LTIدر مقاب��ل اگ��ر سيس��تم

ناپاي��دارخ��روجي ب��راي هميش��ه نوس��ان كن��د آنگ��اه سيس��تم را مث22المي خوانيم.

:G,F,E,A و فيمابين D,B.را نقاط تعادل گويند

نقاط ناپايدار هستند.F,Aنقاطي مانند

نقاط پايدار هستند.E,Gنقاطي مانند

نق�اط پاي�دار ط�بيعي مي گ�وييم. )ب�ه نقط�ه تع�ادل ب�از D,Bفيم�ابين نمي گردد اما كمي جلو رفته دوباره مي ايستد(

را لي22222اپونف دو دي22222دگاه :مطرح مي كند

روش222هايي هس222تند ك222ه ب222ه ح222ل :روش دوممع22ادالت سيس22تم بس22تگي نداش22ته و ب22دين علت است كه از روشهاي كاربردي محسوب مي شوند.

روشهاي موجود به پاسخ سيستم :روش اول.بستگي دارند

:تعاريف

: حالت تعادل

)2()(tAxx L T Iسيستم اگرباشد : A باش�د تنه�ا ي�ك ح�الت تع�ادل و اگ�ر A nonsingularآنگ�اه اگ�ر

singular ب�راي تع�داد بيش�ماري ح�الت تع�ادل خ�واهيم داش�ت.باش�د( را ح�ل 1تع�يين حالته�اي تع�ادل الزم نيس�ت ك�ه معادل�ه ديفرانس�يل )

( كافي خواهد بود.2كنيم بلكه حل )

:پايداري از ديد لياپونفز ح�ول ح�الت تع�ادل بص�ورتkدر اينج�ا ي�ك ناحي�ه ك�روي ب�ا ش�عاع ي�ر

مشخص می کنيم :

kxx e

2

12

222

11 ...)()( eee xxxxxx

: پايداري مجانبي از ديد لياپونف

در عم22ل پاي22داري مج22انبي مهم22تر از پاي22داري مطل22ق اس22ت. همچ2نين از آنج2ا ك2ه پاي2داري مج2انبي ي2ك مفه2وم موض2عي اس2ت ص2رف برق2رار ك2ردن پاي2داري مج2انبي ب2ه معن2اي درس2ت ك2ار

كردن سيستم نمي باشد.

تذکر :

اگ2ر ك2ه انحراف2ات اولي2ه ح2الت سيس2تم از ح2الت تع2ادل زي2اد باش2د آنگ22اه پاي22داري مج22انبي اطالع22ات زي22ادي را از رفت22ار سيس22تم نخواه2د داد و در واق2ع ب2ا انح2راف زي2اد ممكن اس2ت سيس2تم ح2تي

بزرگ2ترين ناپاي2دار ش2ود. بن2ابراين در عم2ل عموم2اe داش2تن ان2دازة الزم اس2ت ك2ه ب2ه اين بزرگ2ترين مح2دودة مح2دودة پاي2داري مج2انبي

مي گوييم. حوزه جذبپايداري،

2 پاي22داري مج22انبي ب22زرگ مقي22اس (Enlarge ( :

اگ2ر پاي2داري مج2انبي ب2ه ازاي هم2ة حالته2اي ش2روع مس2يرهاي برق22رار باش22د آنگ22اه ح22الت تع22ادل را پاي22دار مج22انبي ب22زرگ

مقياس مي گوييم.

:ناپايداري

اگ��ر ان��رژي ک��ل ي��ک سيس��تم مک��انيکي)الک�تريکي( باي�د س�رانجام در ي�ک نقط�ه تع�ادل ،غيرپيوس�ته زاي�ل ش�ود

ل�ذا ميت�وانيم در خص�وص پاي�داري ي�ک اس�تقرار پي�دا کن�د.سيستم با بررسي تغييرات توابع اسکالر اقدام کنيم.

0310 xkxkxxbxM

DampingNonlinearxxb

SpringNonlinearxkxk 310

روش مستقيم لياپانوف

مثال:

فرض ميک�نيم ک�ه ج�رم را توس�ط ي�ک فاص�له زي�ادتر از ح�د ط�ول معم�ول ف�نر بکش�يم و بع�د ره�ا ک�نيم، س�ئوال اينس�ت ک�ه پاس�خ نه�ايي)ح�رکت نه�ايي(پاي�دار اس�ت ي�ا

خير؟

بدس��ت آوردن اين س��ئوال در م��ورد پاي��داري بس��يار اين معادل�ه موج�ود generalچ�را ک�ه حل مش�کل اس�ت،

چ�را ک�ه روش خطي س�ازي ن�يز کام�ل نيس�ت، نيس�ت، اين ح�رکت خ�ارج از مح�دوده خطي اتف�اق افت�اده اس�ت.ام�ا آزم�ايش ان�رژي سيس�تم ميتوان�د پاس�خگوي س�ئوال

ما باشد.

41

20

21

0

310

2

4

1

2

1

2

1

2

1xkxkxMdtxkxkxMxv

نقط2ه تع2ادل= ان2رژي -1، x(0) صفر

0x نم22ودن ان22رژي converge« ═پاي22داري مج22انبي -2

مکانيکي به صفر

رشد انرژي مکانيکي «═ناپايداري -3

ارتباط بين اين دو کليت را مشخص ميکند. مقايسه تعاريف پايداري و انرژي مکانيکي،

رواب�ط ف�وق نش�ان ميدهن�د ک�ه ان�رژي مک�انيکي بط�ور غ�ير ميکند.Reflectمستقيم قدر مطلق بردار حالت را

يع��ني پاي��داري سيس��تم را ميت��وان ب��ا مش��خص ک��ردن ضرايب انرژي مکانيکي سيستم بررسي نمود.

xxbxxbxxxkxkxxMxV 2310

اين ب��دين معناس��ت ک��ه ان��رژي سيس��تم از ي��ک نقط��ه ش�روع ش�ده اس�ت و بط�ور پيوس�ته در ح�ال ت�نزل ک�ردن

: يعني،مستقر شود ميباشد تاجائيکه جرم

0x

LTIپايداري سيستم هاي

:آنگاه پاسخ سيستم به هر حالت اوليه را مي توان بصورت زير نشان داد

n

ii

ti Veutx i

1

)(

اين عب�ارت ش�امل قس�متهاي اض�افي قط�ري ناپ�ذيربراي سيس�تم هاي زير می باشد :بصورت

)(exp tt ik

1قضيه زير را درنظر بگيريد.LTIسيستم خطي :

)()( tAxtx

اين سيستم پايدار به مفهوم لياپونف است اگر و فقط اگر :

داشته باشند.غيرمثبت قسمتهاي حقيقي Aكلية مقادير ويژه الف :

ك22ه قس22متهاي Aآن دس22ته از مق22ادير وي22ژه ب : ص222فرهاي س222اده چن222د ،حقيقي آن ص222فر هس222تند باش2ند. بعب2ارت ديگ2ر در Aجمله اي معادل2ه مشخص2ه

ب2ه بل2وك ج2ردن، درج2ة بل2وك Aص2ورت تب2ديل ش2دن ج22ردن متن22اظر ب22ا مق22دار وي22ژه اي ك22ه قس22متهاي

. باشديكحقيقي آن صفر است،

: (CT CHEN)اثبات

:2قضيه پاي2دار مج2انبي اس2ت اگ2ر و فق2ط اگ2ر كلي2ه سيس2تم خطی زي2ر

داراي قسمتهاي حقيقي منفي باشند.Aمقادير ويژه )(tAxx

)(tAxx

:3قضيه پايدار مجانبي است نهايي است اگر و فقط اگر پايدار مجانبي باشد.سيستم خطی زير

:4قضيه

: اگر و فقط اگرپايدار است مفهوم لياپانوفسيستم خطی به

قس2متهاي حقيقي غ2ير مثبت داش2ته Aكلي2ه مق2ادير وي2ژه ال2ف 2 كه قسمتهاي حقيقي آنها Aآن دسته از مقادير ويژه ب 2 .باشند (قسمت حقيقي منفي يا صفر )

A (minimalصفر هستند، صفرهاي ساده چند جمله اي مشخصه Polynomial) . باشند

.

روش دوم لياپونف :

بدون اس22تفاده از ح22ل مع22ادالت و همچ22نين ب22دون بدس22ت آوردن است اما بالعكس آن صحيح نيست.A مقدار ويژه G(s)مي دانيم هر قطب معادله مشخصه در خصوص پايداري بحث كنيم.

:شرط پايداري اس2ت BIBO پاي2دار G(S)سيس2تم تعري2ف ش2ده ب2ا م2اتريس تب2ديل قس22متهاي حقيقي G(S)اگ22ر و فق22ط اگ22ر قطبه22اي ه22ر عنص22ر

منفي داشته باشد.

uxx :مثال

1

0

11

01

xy )11(

BIBOresponsestateZeroS

BASICSG

.)()(1

11

)1()1( SSASI not A.S.Y Stable

:6قضيه كنترل پ�ذير و مش�اهده پذير باش�ند آنگ�اه عب�ارات زي�ر سیس�تم خطی،اگ�ر

معادل هستند:

� پايدار است.( 1 سيستم كامًال

است.BIBOپاسخ حالت صفر ( 2

پاسخ حالت صفر پايدار مجانبي است.( 3

كليه قطبهاي ماتريس تبديل داراي قسمتهاي حقيقي منفي هستند.( 4

داراي قسمتهاي حقيقي منفي مي باشند.Aكليه مقادير ويژه (5

:روش دوم لياپونف

روش دوم ي2ا مس2تقيم لي2اپونف ب2دون بدس2ت آوردن پاي22داري سيس22تمهاي x(t) پاس22خ سيس22تم يع22ني

را تع2222يين مي كن2222د. اين روش خطي و غ2222يرخطيب2رعكس روش اول ك2ه تع2يين مق2دار وي2ژه مع2ادالت

ب22دون ح22ل مع22ادالتخطي ال22زامي اس22ت، ب22وده و مي توان22د ب22ه تع22يين پاي22داري ب22پردازد. اين سيس22تم

روش ب22ا ج22امعيتي ك22ه دارد ب22راي سيس22تمهاي ب22ا ، خطي / LT / LTIورودي (ب22222دون ورودي )

غ22يرخطي قاب22ل اعم22ال اس22ت. در اين روش ب22ا ب22ه تع22يين پاي22داري v(x(انتخ22اب ي22ك ت22ابع اس22كالر

ش2رايط لي2اپونف v(x(سيس2تم مي پ2ردازيم. وق2تي ك2ه را ب222رآورده كن222د آن را ت222ابع كاندي222داي لي222اپونف

مي ناميم.

موج2ود در اين روش آن اس2ت ك2ه مش2كل اساس2ي ب2ه راح2تي مس2ير تع2يين ي2ك ت2ابع لي2اپونف مناس2ب

نمي باش2د. و ع2دم ب2رآورده ش2دن ش2رايط پاي2داري ب2هپاي2داري ي2ا ع2دم وج2ود ي2ك ت2ابع كاندي2داي معن2اي ع2دم

لياپونف نيست.

تعاريف

:معين مثبت بودن توابع اسكالر

P.D، كه در برگيرن2ده مب2دأ فض2اي ح2الت اس2ت را در ناحيه v(x)تابع اسكالر مي گوييم كه هرگاه به

ازاي تم22ام حالته22اي غيرص22فر داشته باشيم :

0)(

)0(

xV

V

بودن توابع اسكالر:منفیمعين - ، v(x)می گوييم، هرگاه معين منفی را v(x)تابع اسكالر

معين مثبت باشد .

نيمه معين مثبتPSD

گوييم هرگاه جزء در مبدأ و در برخي حالتهاي ديگر ناحيه PSD را v(x)تابع اسكالر

مثبت باشد.كه تابع صفر است در بقيه حالتهاي ناحيه

منفینيمه معين N.S.D

باشد.PSD , -v(x( گوييم اگر كه N.S.D را x)v(تابع اسكالر

نامعين بودن اسكالر

.هم مقادير مثبت و هم مقادير منفي را دارا باشد آنرا نامعين مي گوييم در ناحيه v(x(اگر تابع اسكالر

2 :مثال2

21)( xxxv DPxv

xv

v .)(

0)(

0)0(

:مثال

22

21 2)( xxxv DPxv

xv

v.)(

0)(

0)0(

:مثال2

21 )()( xxxv DSPxxexceptxv

v..

0)(

0)0(

21

:مثال

221 )()( xxxv DSPxv

xxexceptxv

v..)(

0)(

0)0(

21

يك چند جمله اي همگون و حقيقي 2صورت درجه متغيرهاي حقيقي از

12 ,,..., xxxn

مي باشد.بصورت زير

2صورتهاي درجه :

دس2ته مهمي از تواب2ع اس2كالر ك2ه داراي نقش در تع2يين پاي2داري مي باشند. 2هستند (لياپونف روش دوم ) صورتهاي درجه

n

Tn

T

x

x

Pxx

PXXtV

1

1 ,

)(

)(

...

),...,(1

1

11211

1

nnnn

n

n

x

x

pp

ppp

xx

زمستان 1382

مي گوين2د مثبت معين ي2ا مثبت نيم2ه معين را م2اتريس pماتريس :اگر هر كدام از شرايط زير برآورده شود

. مثبت باشندpتمام مقادير ويژ ه )1

تمام كهادهاي اصلي مقدم مثبت باشند. (كليه كهادي اصلي ) غيرمنفي باشند. )2

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Aaa

aa

aa

aa

aa

aaaaa ,,,,,,

3332

2322

3331

1311

2221

1211332211

كهادهاي اصلي

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

مقدم كهادهاي اصلي

Aaa

aaa ,,

2221

121111

ppp

ppP n ...;

2221

12112111

:آنگاه

, 2P .S. Dب2راي آنك2ه ص2ورتهاي درج2ه الزم و ك2افيش2رط )3 غ2ير منفي و كلي2ه كهاده2اي اص2لي ب2وده وي2ژه Pباش2د آن اس2ت ك2ه

باشند.

باش2د N.S.D 2ب2راي آنك2ه ص2ورتهاي درج2ه الزم و ك2افيش2رط )4مرتب22ه زوج و كلي22ه كهاده22اي اص22لي وي22ژه ب22وده Pآن اس22ت ك22ه

باش22ند. در حالته22اي ديگ22ر غ22يرمنفي و مرتب22ة ف22رد غ22يرمثبت نامعين است.2صورتهاي درجه

1(

2(

مثا313221ل :

23

22

21321 4221410),,( xxxxxxxxxxxxQ

3

2

1

321321

112

141

2110

x

x

x

xxxxpxxxxQ T ),,(),,(

0,041

110,010 p

DPxxxQDPP .),,(. 321

مثا313221ل :

23

22

21 242113)( xxxxxxxxxxv

3

2

1

321

1121

231

111

)()(

x

x

x

xxxxv

0031

1101

P

DNXV .)(

به لياپونف :برگشت دوم روش

از تئ22وري كالس22يك مكاني22ك مي دانيم ك22ه سيس22تم اس2ت ك2ه ك2ل ان2رژي آن پاي2دارارتعاش2ي در ص2ورتي

باش2د ت2ا رس2يدن ب2ه ح2الت تع2ادل ب2ه P.Dت2ابع ك2ه ي2ك مش2تق ط2ور پيوس2ته ك2اهش پي2دا كن2د يع2ني آنك2ه

باش22د، ت22ا اينك22ه N.D مجم22وع ان22رژي باي22د زم22انيسيستم به حالت تعادل برسد.

هر ت2ابع اس2كالري ك2ه قض2اياي لي2اپونف را ب2رآورده كن2د ي2ك ت2ابع كاندي2داي لي2اپونف اس2ت ك2ه رفت2ار اين

I.S.L ت22ابع و مش22تق آن تع22يين كنن22ده پاي22داري ازاست.

روش دوم لي2اپونف ب2ر اين واقعيت بن2ا ش2ده ك2ه اگ2ر سيس22تم داراي ح22الت تع22ادل پاي22دار مج22انبي باش22د

ح2وزه آنگ2اه ان2رژي ذخ2يره ش2ده در سيس2تم ك2ه در جابه ج22ا ش22ده ب22ا گذش22ت زم22ان ك22اهش پي22دا ج22ذب

مي كن2د، ت2ا س2رانجام ب2ه ح2داقل مق2دار خ2ود در ح2الت تعادل برسد.

: يكنواخت مجانبي پايداري قضيه

اگر كه سيستم به شكل زير تعريف شده باشد كه :

eXttfwhere

txfx

),0(

),(

آنگاه اگر تابع اسكالر

),( txv :داراي مشتقات جزئي اول پيوسته باشد و شرايط زير را برآورده سازد

DPtxV .),()1

DNtxV .),()2

. استپايداري مجانبي يكنواختآنگاه حالت تعادل در مبدأ داراي

لياپونف : پايداري قضيه

اگر سيستم به شكل زير باشد كه :

),( txfx

exttf ;0),0(

آنگاه اگر تابع اسكالر

),( txv

:داراي مشتقات جزئي اول پيوسته باشد و شرايط زير را برآورده سازد

DSNtxV

DPtxV

..),()2

.),()1

است.پايداري يكنواختحالت تعادل داراي

Dr. H. Bolandi

ناپايداري قضيه

),( txfX

ttf 0),0(

اگر سيستم به شكل زير باشد كه :

آنگاه اگر تابع اسكالر

),( txv :داراي مشتقات جزئي اول پيوسته باشد و شرايط زير را برآورده سازد

DPtxw .),( DPtxw .),(

است.ناپايدارآنگاه سيستم

مثال :

. كنيد تحقيق سيستم پايداري خصوص در

)( 22

21121 xxxxx

)( 22

21212 xxxxx

DPxxxV .)( 22

21

حل :

2211 22)( xxxxxV

)((2))((2 22

21212

22

21121 xxxxxxxxxx

DNxx .)( 222

212

جمع بندي براي سيستم هاي غيرخطي :

در بك2ارگيري قض2يه هاي لي2اپونف ب2راي سيس2تمهاي غ2يرخطي )1باي2د توج2ه داش2ت ك2ه ش2رايط پاي2داري بدس2ت آم2ده از ي2ك ت2ابع خ2اص لي22اپونف فق22ط ش22رط ك22افي اس22ت و در برگيرن22ده ش22رط الزم

نمي باشد. واح2د uniqueبدس2ت آوردن ت2ابع لي2اپونف ب2راي اين سيس2تم )2

نيس22ت بن22ابراين اگ22ر نت22وان ت22ابع لي22اپونف خ22اص و ص22حيحي را تعريف كرد آنگاه نمي توان در خصوص پايداري بحث كرد.

براي حالت تعادل پايدار / پايدار مجانبي همواره يك )3تابع لياپونف وجود دارد.

با استفاده از روش لياپونف :L T Iتحليل پايداري سيستم هاي

سيستم زير را درنظر بگيريد: xAx

ن22اويژه اس22ت يع22ني در واق22ع تنه22ا ح22الت Aفرض مي ك22نيم ك22ه اس2ت ح2ال ب2ا توج2ه ب2ه مفروض2ات ف2وق ب2ه x=0تع2ادل، مب2دأ يع2ني

: تحليل پايداري از ديدگاه لياپونف مي پردازيم

: را درنظر مي گيريم بطوريكهvيك تابع احتمالي لياپونف برای سيستم فوق

xpxxv )(

pp DPp .

xpxxpxxv )(

x)PAPA(x

xAPxxPAx

xPAxpx)Ax(

انتخ2اب ك2رديم ل2ذا ب2راي پاي2داري مج2انبي الزم P.D را v(x)از آنج2ا ك2ه باشد. بنابراين : N.D مشتق تابع لياپانوف است كه

xQxxV )(

DPPAxAQ .)(

D.PQ کافيست :براي اثبات پايداري مجانبي سيستم

: سيلوستر قضيه

DPPشرط الزم و كافي براي آنكه ثابت كنيم كه nn . آنست كه دترمينان تمام كهادهاي

اصلي متوالي آن مثبت باشند.

را مش2خص ك2رده و Pحال ب2ه ج2اي آنك2ه ابت2دا م2اتريس مثبت معين راحت2تر اس2ت ك2ه ابت2دا ، هس2ت ي2ا خ2يرQ ، P.Dتع2يين ك2نيم ك2ه آي2ا

P ك22نيم و س22پس بررس22ي ك22نيم ك22ه آي22ا انتخ22اب P.D را Qم22اتريس زير مثبت معين است يا خير ؟از معادلةشده بدست آورده

QPAPA

:قضيه

Remarks

xx

11

10

xpxxv T)(

IQPAPAT

مثال :

10

01

11

10

11

10

2212

1211

2212

1211

pp

pp

pp

pp

DPPp .13.

3.3.1

است.مجانبيپايدار

XPXXV T)(

2

121 13.

3.3.1)(

X

XXX

)223(2

121

22

21 XXXX

2

121 10

01)()(

X

XXXXV

..)( 22

21 DNXX

بررس222222ی صحت :

2مث2ال (X

aAXX

11

0

ط��وري انتخ��اب کني��د ک��ه aمح��دوده مناس��ب ب��راي سيستم داراي پايداري مجانبي باشد.

ATP+PA=-I

5.01

5.01

5.0

)1(2

2

)1(2

2,

1

5.0,5.0

10

01

10

01

11

0

10

1

124

442

221

42

4221

43

21

43

21

a

aaa

a

P

aa

ap

app

ppap

ppap

pp

pappap

a

pp

pp

pp

ppa

02,1

0331)1(*)2(

)1(*)2(,02

21,01

0)1(

1(4/1

)1(2

)2(5.02

0)1(*)2(0)1(2

21

2

2

afrom

aaaa

aaaaa

aa

aaa

a

aaaaa

a

خواهد بود.پايداري مجانبي سيستم داراي a<0بنابراين بازاء

پاي����داري از دي����دگاه لياپ����انوف را جهت لي����لتح سيس�تمهاي مس�تقل از زم�ان بن�ا ب�ر مت�د دوم لياپ�انوف

ي باي�د توج�ه داش�ت ک�ه ح�ال بج�ا ک�نيم. مط�رح ميV(x)از ∆v(x(k))=V(x(k+1)T)-V(x(kT)) اس��تفاده خ��واهيم

نمود.

زمان نظر x(k+1)=Gx(k)سيستم گسسته در را مي ي�ک Q بع�دي ح�الت و n ي�ک ب�ردار xک�ه در آن گ�يريم

ح�الت x=0 اس�ت و مب�داءn*n ث�ابتnonsingularم�اتريس تعادل است.

ت�ابع V(x(k))=x*(k)Px(k)فرض مي ک�نيم ک�ه ت�ابع احتم�الي معين مثبت و ي�ک م�اتريس هروي�تز، P لياپ�انوف اس�ت.

متقارن حقيقي مي باشد.

تحليل پايداري سيستمهاي گسسته زمان

∆v(x(k))=V(x(k+1))-V(x(k)) =x*(k+1) P x(k+1)-x*(k) P x(k) =[Gx(k)]* P [Gx(k)]-x*(k) P x(k) =x*(k) G* P G x(k)-x*(k) P x(k) =x*(k)[G*PG-P]x(k)

ل�ذا ب�راي پاي�داري مج�انبي معين مثبت اس�ت،v(x(k))از آنج�ا ک�ه

باي�د يع�ني، معين منفي باش�د V(x(k))=-x*(k)Qx(k)∆ الزم اس�ت ک�ه

-Q=[G*PG-P] .ل�ذا فق�ط کافيس�ت ک�ه معين مثبت باش�دQ معين

مثبت باشد.

در اين ح�الت مانن�د سيس�تمهاي پيوس�ته زم�ان خطي

هروي�تز ومعين Q به�تر اس�ت ک�ه در ابت�دا م�اتريس

زي��ر معين مثبت را از رابط��ه Pمثبت باش��د و س��پس

:بدست آوريم

G*PG-P=-Q

فقط شرط الزم است.Pمعين مثبت بودن

.گيريم مي را در نظر x(k+1)=Gx(k)سيستم گسسته زمان

X يک بردار حالتnبعدي Gماتريس nonsingular , n*n

=0شرط الزم و ک�افي ب�راي آنک�ه ح�الت تع�ادل x پاي�دار هروي�تز و Qمج�انبي باش�د،آنس�ت ک�ه ب�راي ه�ر م�اتريس

چن�ان )حقيقي و متق�ارن(Pحقيقي متق�ارن ي�ک م�اتريس وجود داشته باشد که:

G*PG-P=-Q

ي�ک ت�ابع لياپ�انوف ب�راي اين x*Pxدر حاليک�ه ت�ابع اس�کالر در ط�ول ه�ر رش�ته V(x(k))=-x*(k)Qx(k)∆اگ�ر ، سيس�تم اس�ت

را مي ت�وان نيم�ه معين Q ج�واب، متح�د ب�ا ص�فر نباش�د، مثبت انتخاب نمود.

قضيه

مثال:

)(

)(

7.00

07.0)1(

2

1

kX

kXkX

96.10

096.1

10

01

7.00

07.0

7.00

07.0

)(7.0)1(

)(7.0)1(

32

21

32

21

22

11

P

pp

pp

pp

pp

kXkX

kXkX

P ط��رفي معين مثبت اس��ت از و ∆v(x(k))=-xTQx معين پايدار مجانبي است. بنابراين سيستموبوده منفي

: خروجي فيدبك توسط پايدارسازي تحليل

دانیم ك22ه پايدارس22ازي سيس22تم ناپاي22دار توس22ط می ح22ذف قطب ناپاي22دار ب22ا ص22فر ناپاي22دار ج22بران كنن22ده امكان پ22ذير نب22وده و در واق22ع ح22ذف قطب 2 ص22فر در ت2ابع تب2ديل ب2ه ح2ذف فرك2انس ط2بيعي ناپاي2دار سيس2تم از تحق222ق كلي نمي انجام222د و في الواق222ع اين گون222ه

ب2راي آنك2ه بت2وانيم ط2راحي محك2وم ب2ه شكس2ت اس2ت.ي2ك سيس2تم ناپاي2دار را پاي2دار ك2نيم باي2د ن2وعي في2دبك

براي كنترل عملي سيستم ناپايدار به كار ببريم.

زير داريم :فرض كنيد يك سيستم نوع صفر ناپايدار با تابع تبديل

1

1)(

SSG

اگر از فيدبك خروجي براي پايدار سازي آن استفاده كنيم خواهيم داشت كه :

معادالت حالت سيستم فوق:

vtkxtxx )()(

1

1)(

KSSG

k >1 .سيستم پايدار است

حال اگر به جاي سيستم داده شده داشته باشيم:

)1(

1

SSG

اگر از فيدبك خروجي براي پايدار سازي آن استفاده كنيم خواهيم داشت كه :

vkxxx

معادالت حالت سيستم فوق:

kss

1

)1s(s

k1

)s

1s(

)s(G2

2

411 ks

. پايدار نخواهد بودk از هيچ مقدارياين سيستم با اين روش بازاي

براي مثال مسأله را اينگونه نگاه كنيم كه :

مي ت2وان سيس2تم k2 و k1حاال ب2ا تع2يين مق2ادير مناس2ب ب2راي درج22ه ب22ا توج22ه ب22ه م22راتب ف22وق اگ22ر را پاي22دار س22ازي نم22ود.

ب2رود آنگ2اه ب2راي تحق2ق پايدارس2ازي باي2د از ب2االتر2سيس2تم از eهس2تند.غ2ير واقعيفي2دبكهاي بيش2تر اس2تفاده نم2ود ك2ه عموم2ا

اين گون2ه مش2كالت مبن2اي ك2ار بوده ان2د ت2ا ب2ه رقم آنه2ا اق2دام عملي بشود.

ك2المن نش2ان داد ك2ه ب2ه ج2اي ،در اينج2ا ب2ر پاي2ة ك2ار انج2ام ش2ده عم2ل معق2ول تر آن اس2ت ك2ه ح2الت ، و مش2تقات آنy(t)في2دبك

x(t).از يك تحقق سيستم فيدبك بشود