тема «Работа в электронных таблицах» · 2017-12-11 · 3 №...

1

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №16

тема «Работа в электронных таблицах»

Задание №1. Расчеты в Excel ................................................................................................... 2 Задание 2. Решение задач линейной алгебры в Microsoft Excel ............................................ 5 Задание 3 Построение графиков функций .............................................................................. 9 Задание 4 Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений в MsExcel 10 Методические рекомендации к выполнению задания 1 ...................................................... 11 Методические рекомендации к выполнению задания 2 ...................................................... 19 Методические рекомендации к выполнению задания 3 ...................................................... 27 Методические рекомендации к выполнению задания 4 ...................................................... 32

2

Задание №1. Расчеты в Excel

Цель работы: выполнить расчет на листе Excel согласно своему варианту.

Диапазон изменения переменной x взять на свое усмотрение.

№ Математическая модель Исходные данные и результаты

1. 1

.

xe

axb

xеслиx

xb

xеслиbxax

у

2

2

)sin(

0,1

)sin(

0,

Дано: a; xn x xk; x Результаты: x, у, b, k1 – количество у 0; k2 – количество у, превышающих среднее значение среди всех у; P= (уb); S1=у; S2=у, если у 0; Sy – среднее арифметическое среди всех у; Syp – среднее арифметическое среди всех у 0

2. 2

.

2)1ln(

8,2,cos5,3

1

8,2,ln 3/

baaxz

zеслиx

zеслиez

у

x

Дано: a; xn x xk; x Результаты: x, у, z k1 - количество у<10; k2 – количество у, значение которых меньше среднего значения среди всех у; P= (уz); S1=у; S2=у, если у 20; Sy – среднее арифметическое среди всех у; Syx – среднее арифметическое среди тех значений у, для которых x<0

3.

3

)()(

0,)sin(9,2

0,4

23

3

3

xaxab

xеслиxa

x

xеслиxa

t

Дано: a; xn x xk; x Результаты: x, b, t; k1 – количество t<0; k2 – количество t, значение которых меньше среднего значения среди всех t; P= (tb); S1= t; S2= t, если t 0; St – среднее арифметическое среди всех t; Stp – среднее арифметическое среди всех t 0

4.

2

3

24

cos2sin

1,42

1,

xa

xxy

xеслиxa

xy

xеслиee

z

yy

Дано: a; xn x xk; x Результаты: x, z, y; k1 - количество y>20; k2 – количество z, значение которых меньше среднего значения среди всех z; P= (yz); S1= z; S2= z, если z<0; Sz – среднее арифметическое среди всех z; Szx – среднее арифметическое среди тех значений z, для которых x>0

3


5.

xa

xexb

xеслиx

b

xеслиbx

у

x

2

20,

05,1

sin

0,5,2

Дано: a; xn x xk; x

Результаты: x, у, b; k1 – количество y>2;

k2 – количество у, значение которых больше

среднего значения среди всех у;

F= (yb);

S1=y;

S1=y, если y>5;

Sy – среднее арифметическое среди всех у;

Syx – среднее арифметическое среди тех

значений у, для которых x>0

6.

2

sin5,6ln

0,

0,2

)(

xay

yеслиxy

yеслиay

t

Дано:

a; xn x xk; x

Результаты: x, y, t,

n1 – количество t>0;

k2 – количество t, значение которых меньше

среднего значения среди всех t;

S1= t;

S= t, если t 10;

P= (xt);

St – среднее арифметическое среди всех t;

Stp – среднее арифметическое среди всех t>10

7.

x

t

e

xt

yеслиt

ty

yеслиe

a

b

2

45,3

2,7

2,

4

2

2

4


Результаты: x, b, t,

k1 – количество b>100;

k2 – количество b, значение которых больше

среднего значения среди всех b;

S1= b;

S2= b, если b 100;

P= (bt);

Sb – среднее арифметическое среди всех b;

Sbb – среднее арифметическое среди всех

b>100

8.

0,

)(1

6

0,10

4

2

2

xеслиxb

x

xеслиb

z

xae

xсоsxb

1

sin


Результаты: x, z; b

k1 – количество z<10;

k2 – количество z, значение которых больше

среднего значения среди всех z;

P= (zb);

S1=z;

S2=z, если z<10;

Sz – среднее арифметическое среди всех z;

Szx – среднее арифметическое среди тех

значений z, для которых x<0

4


9. 1

1

5

)(sin

0,)cos(2,2

0,

4

2

35/

xaxab

xеслиxb

x

xеслиxe

t

b


Результаты: x, b, t;

k1 – количество t>0;

k2 – количество t, значение которых больше

среднего значения среди всех t;

P= (tb);

S1= t;

S2= t, если t 0;

St – среднее арифметическое среди всех t;

Stp – среднее арифметическое среди всех t 0

10. 1

2

xa

yy

e

xx

y

xеслиxaxy

xеслиee

z

25

24

sin502

cos2

1,42

1,5


Результаты: x, z, y;

k1 - количество z>0;

k2 – количество z, значение которых меньше

среднего значения среди всех z;

P= (yz);

S1= y; S2= y, если y<0;

Sz – среднее арифметическое среди всех z;

Szx – среднее арифметическое среди тех

значений z, для которых x<0

11. 1

.

xe

axb

xеслиx

xb

xеслиbxa

у

2

2

4

5)sin(

0,4

)sin(

0,


Результаты: x, у, b,

k1 – количество у< 0;

k2 – количество у, превышающих среднее

значение среди всех у;

P= (xу);

S1=b;

S2=у, если у 0;


Syp – среднее арифметическое среди всех у> 0

12. 2

.

2)1ln(

5,cos5,3

5,lg 3

baaxz

zеслиxz

zеслиezу

x


Результаты: x, у, z

k1 - количество у<10;

k2 – количество у, значение которых меньше

среднего значения среди всех у;

P= (xz);

S1=z;

S2=у, если у 100;


Syx – среднее арифметическое среди тех

значений у, для которых x>0

5

Задание 2. Решение задач линейной алгебры в Microsoft Excel

1. Решить систему уравнений методом Крамера.

2. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

3. Выполнить математические действия над матрицами. Транспонировать

результирующую матрицу двумя способами: а) с помощью функции ТРАНСП;

б) используя специальную вставку.

При решении систем уравнений ( п.1 и п. 2) обязательно выполнить проверку!

Варианты к заданию 2

Вариант №1 1)

4 x 3x 2x x

6 x x 3x 2x

4 2x x x 3x

1 3x 2x x x

4321

4321

4321

4321

2)

9 2 3 2

1 3 2

7 8 5

zyx

zyx

zyx

3) 2 (A + B) (2B – A),

42-2

310

501-

В,

701-

2 54

1-32

A где


8 x 2x 3x 2x

4 2x x 2x 3x

8 3x 2x x x

6 2x 3x 2x x

4321

4321

4321

4321

2)

8 7 2

1 3 5 3

4 2

zyx

zyx

zyx

3) 3 A - (A + 2B) B,

375

310

1-12

В,

724

0 1-3

2-54

A где

Вариант № 3 1)

5 - x 2x 3x 4x

1 2x x 2x 3x

1 3x 2x x 2x

5 4x 3x 2x x

4321

4321

4321

4321

2)

11 3 2

1 3 2

5 2 3

zyx

zyx

zyx

3) 2(A–B)(A2 + B),

127

013

142

В,

2 1 0

1 210

7 1 5

A где

6


5 x5 x3 x4

12 x5 - x2 x3

4- x3 x2 - x

5- x4 x3 - x

321

421

431

432

2)

10 x x - x3

29 x2 x x5

31 x4 x2 x

321

321

321

3) (A2 – B2)(A + B),

1 13

2-01

3 20

В ,

1 1 1

1 27

0 2 7

A где


16 5 3 7

4 3 7 5

0 7 5 3

12 7 5 3

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

2)

18 2 - 6 5

4 3 - 5 2

9 2 3 - 4

zyx

zyx

zyx

3) (A–B2)(2A+B),

312

02-1-

1-63

В ,

2 3 7

1 4 10

0 2 5

A где


1 x5 x3

9- x10 x7 - x5

9 x2 - x x3

20 x4 - x3 x5 x

32

421

321

4321

2)

11 x4 x2 - x3

11 x2 - x4 x3

4 x - x - x2

321

321

321

3) (A – B) A + 2B,

3 10

2-11

2- 73

В ,

0 1- 2-

1- 2 0

3 1- 5

A где


0 x6 x7 - x4 x

5- x2 x - x2

9 x6 - x3 - x

8 x x5 - x x2

4321

432

421

4321

2)

2- x4 x x4

4- x2 x - x2

1- x2 x x

321

321

321

3) 2(A–0,5B)+AB,

2 7 5

0 2-3-

16 4 1

В ,

1- 5 3

4 0 2

1- 3 5

A где

7


6 x - x3 x - x3

6 x2 x - x x3

6 x2 x3 x3 x3

4 x2 x3 x - x2

4321

4321

4321

4321

2)

15 x4 x x2

0 x x x2-

5 x - x3

321

321

21

3) (A – B)A + 3B,

43-1-

230

421-

В ,

2 1 1

0 2 4

5-2 3

A где


10 x3 x - x x

1- x x2 x x

5 x x x x2

8 x x x2 x

4321

4321

4321

4321

2)

0 -

17- 3 - 5 - 2

4 - 3

321

321

321

xxx

xxx

xxx

3) 2A – (A2 + B) B,

5-42

1 104

2-64

В ,

1- 1 0

2- 1 2

2 4 1

A где


0 x3 - x - x2 x

12 x4 x2 - x3

7- x4 x3 - x

9- x - x x4

4321

432

321

421

2)

8 x2 x3

1- x6 - x - x2

2 x x x

21

321

321

3) 3 (A2 – B2) –2АB,

1-0 1

2-7-5

2 0 2

В ,

21-0

02-3

124

A где


6- x5 x2 - x2 x2

3- x x x3

2 x3 - x x2

1 x - x x - x2

4321

431

421

4321

2)

4 x x x3

6 x x x

1 x - x x2

321

321

321

3) (2A–B)(3А+B)–2АВ,

1-1-3-

2 1 0

2 5 7

В ,

1 3 1-

1 0 2-

3 0 1

A где

8


0 2 - 3 -

1 - - -

2 - 2

0 - -

321

421

432

4321

xxx

xxx

xxx

xxxx

2)

17 7 2

8 5 4 3

3 3 - - 2

32

321

321

xx

xxx

xxx

3) А(A2–B)-2(B+А)В,

21135

5 0 1-

13 7 2

В ,

0 3 5

4 2 1-

1 3 2

A где


0 x x4 x

16 x x2 x3

7 x4 x x3 x3

9 x x x5

421

431

4321

421

2)

2 x - x2 x

0 x x - x2

7- x x5 x

321

321

321

3) (A+B)A–B(2А+3В),

1622

161

3114

В ,

1- 4 1

5 3 2

3 2- 1

A где


1- x x2 x x

5 x x x x2

8 x x - x2 x

9 x4 x x2

4321

4321

4321

431

2)

12 5 2 - 3

16 4 3 2

6 3 2 -

zyx

zyx

zyx

3) A(2A+B)–B(А–В),

534

3 72

78 9

В ,

21 0

01- 4

13 2

A где

9

Задание 3 Построение графиков функций

Построить графики функций, варианты к заданию:

№ f1(x) f2(x) f3(x)

1. 3 22 )34( xx

84

54 2

x

x

y2 - 2x2 - 4

2. 3 22 )2( xx

43

42

3

x

xx 1

416

22

yx

3. 3 2)6( xx 2

23

32

2834

x

xxx

1

416

22

xy

4. 3 2 )6( xx

x

xx

21

132 2

1

1625

22

yx

5. 3 2)3( xx 2

23

32

223

x

xxx

y2 +4x2 - 4

6. 3 42 )64( xx

916

12

2

x

x 1

3664

22

yx

7. 3 2)3( xx 34

112

x

x 1

416

22

xy

8. 3 222 )2( xx

1

22342

23

x

xxx 1

925

22

yx

9. 3 22 )4( xx

12

73 2

x

x

2y2 - 9x2 –18

10. 3 23 2 )3()2( xx

12

1222

23

x

xxx 1

1636

22

yx

11. 3 23 2)1( xx

14

342

3

x

xx 1

94

22

xy

12. 3 22 )3( xx

97

21 2

x

x 1

64100

22

xy

13. 3 2 )14)(2( xxx

13

352

2

x

x

9y2 + 4x2 – 16

14. 3 22 )32( xx

1

132

23

x

xxx 1

436

22

xy

10

Задание 4 Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений в MsExcel

Варианты к заданию

1. Найти корни полинома

№ уравнение № уравнение

1

8 0462 23 xxx

2 091525 234 xxxx 9 ;0102 24 xx

3 012 23 xxx 10 01283 23 xxx

4 0283 234 xxx 11 0515125,0 34 xxx

5 06,03,01,0 23 xxx 12 08,05,02,0 23 xxx

6 01093 23 xxx 13 051243 234 xxx

7 01784 234 xxx 14 016092 24 xxx

2. Найти решение нелинейного уравнения

№ уравнение № уравнение № уравнение

1 00,52sin =+xx 6 6)2ln(2 =xx 11 0sin202 xx

2 022 =+xlgx 7 8

4 2 xx

12 xx 5,0)1sin(

3 010sin80 2 =xx, 8 3)cos(4)ln(3 xx 13 6

6

15,0 2

xx

4 5,0sinx23 =x 9 012,0ln2 xx 14 0sin42 xx

5 03 xex 10 xex 5,0)1( 2

3. Найти решение системы нелинейных уравнений (маленький БОНУС!).

№ Система уравнений № Система уравнений

1

.2cos2

;2,1)1sin(

yx

yx

8

.5,0)2cos(

;5,1)2sin(

yx

yx

2

.3cos

;5,0)1cos(

yx

yx

9

.12sin

;2)5,0cos(

xy

yx

3

;7,0)1cos(

;22sin

xy

yx

10

.6,12sin

;1)5,0cos(

xy

yx

4

.0)2cos(

;1)5,0sin(

xy

yx

11

.3cos

;5,0)1cos(

yx

yx

5

.6,12sin

;8,0)5,0cos(

yx

xy

12

.2cos2

;2,1)1sin(

xy

xy

6

.4,0sin

;0)1cos(2

yx

xy

13

.1)1cos(

;6,12sin

xy

yx

7

.1)5,0sin(2

;5,1cos

yx

yx

14

.0)1sin(

;3,1)1sin(

yx

yx

11

Методические рекомендации к выполнению задания 1


Вычислить

2,

22,

2,/

0,5

)sin(

0,2

1

10

2

2

xеслиyx

xеслиyx

xеслиxy

z

xеслиxb

xеслиbx

у

x

axb

Введем исходные данные на лист Excel, для заполнения диапазона переменной x

воспользуемся приемом автозаполнения – введем в ячейку А4 первое значение, в

ячейку А5 второе значение, выделим две ячейки и перетащим маркер автозаполнения

(квадрат в правом нижнем углу выделенного диапазона, указатель мыши примет вид

крестика) вниз.

Рисунок 1

Рисунок 2

12

Для расчета переменной b в ячейку В4 введем формулу

=КОРЕНЬ(ABS($B$1*A4-10))/(1+A4^2)

Формулу можно писать вручную, можно пользоваться мастером функций

В формуле адрес ячейки $B$1 написан с двумя знаками $, такой адрес (ссылка)

называется абсолютным, при дублировании формулы он меняться не будет. Адрес

ячейки A4 называется относительным, при дублировании формулы он будет

изменяться – на А5, А6 и т.д.

Дублирование формулы в ячейки А5:А24 осуществляется приемом

автозаполнения – выделить ячейку А4 и за квадрат в правом нижнем углу скопировать

формулу в диапазон ниже.

Функция ЕСЛИ относится к категории Логические и имеет синтаксис:

ЕСЛИ (логическое_выражение; значение_если_истина; значение_если_ложь)

Логическое_выражение – это условие, благодаря которому формула может

принимать решения. Условие проверяется в самую первую очередь и способно вернуть

всего два значения – ИСТИНА или ЛОЖЬ. Если условие истинно, то формула вернет

второй аргумент Значение_если_истина, в противном случае третий аргумент

Значение_если_ложь

13

Раcчет значения переменной y: =ЕСЛИ(A4>0;2*A4+B4*B4;SIN(B4+A4)/5)

Раcчет значения переменной z:

=ЕСЛИ(A4>2;C4/A4;ЕСЛИ(A4>-2;A4-C4;A4+C4))

14

ФУНКЦИЯ СЧЕТ

Функция подсчитывает количество числовых значений в списке аргументов.

Синтаксис функции

СЧЕТ(значение1;[значение2];…)

В качестве аргументов функции СЧЕТ могут выступать любые значения, ссылки

на ячейки и диапазоны, массивы данных, а также формулы и функции.

Значение1 – обязательный аргумент функции СЧЕТ, все остальные аргументы

являются необязательными и могут быть опущены.

ФУНКЦИЯ СЧЕТЕСЛИ

Функция СЧЕТЕСЛИ входит в группу статистических функций. Позволяет

найти число ячеек по определенному критерию. Работает с числовыми и текстовыми

значениями, датами.

Синтаксис функции

СЧЁТЕСЛИ(диапазон; критерий)

Диапазон – группа значений для анализа и подсчета (обязательный).

Критерий – условие, по которому нужно подсчитать ячейки (обязательный).

В диапазоне ячеек могут находиться текстовые, числовые значения, даты,

массивы, ссылки на числа. Пустые ячейки функция игнорирует.

В качестве критерия может быть ссылка, число, текстовая строка, выражение.

Функция СЧЕТЕСЛИ работает только с одним условием (по умолчанию). Но можно ее

«заставить» проанализировать 2 критерия одновременно.

Рекомендации для правильной работы функции: аргумент «Критерий» нужно

заключать в кавычки (кроме ссылок); функция не учитывает регистр текстовых

значений.

При формулировании условия подсчета можно использовать подстановочные

знаки. «?» - любой символ. «*» - любая последовательность символов. Чтобы формула

искала непосредственно эти знаки, ставим перед ними знак тильды (~).

Для нормального функционирования формулы в ячейках с текстовыми

значениями не должно пробелов или непечатаемых знаков.

15

Примеры:

найти k – количество у 0

найти m – количество у, значение которых превышает среднее арифметическое

всех значений y

Начиная с версии Excel 2007 в категории Статистические появилась

функция СЧЕТЕСЛИМН. Данная функция позволяет подсчитывать ячейки в Excel,

которые удовлетворяют сразу двум и более условиям.

16

Функция СУММПРОИЗВ

Перемножает соответствующие элементы заданных массивов и возвращает сумму

произведений. Функцию можно найти в категории Математические. Синтаксис

функции

СУММПРОИЗВ(массив1;[массив2];[массив3];…)

Массив1 Обязательный аргумент – первый массив, компоненты которого нужно

перемножить, а затем сложить результаты.

Массив2, массив3... Необязательный аргумент – от 2 до 255 массивов,

компоненты которых нужно перемножить, а затем сложить результаты.

Примечание – аргументы, которые являются массивами, должны иметь

одинаковые размерности. В противном случае функция СУММПРОИЗВ возвращает

значение ошибки #ЗНАЧ!.

Примеры

– найти P=П(уb)

– найти P=П(уbz)

17

Функция СУММЕСЛИ

Функция используется, если необходимо просуммировать значения диапазона,

соответствующие указанному условию. Функцию можно найти в категории

Математические. Синтаксис

СУММЕСЛИ(диапазон; условие; [диапазон_суммирования])

Диапазон . Обязательный аргумент – диапазон ячеек, оцениваемых на

соответствие условиям..

Условие . Обязательный аргумент – условие в форме числа, выражения, ссылки

на ячейку, текста или функции, определяющее, какие ячейки необходимо суммировать.

Все текстовые условия и условия с логическими и математическими знаками необходимо

заключать в двойные кавычки ("). Если условием является число, использовать кавычки

не требуется.

Диапазон_суммирования . Необязательный аргумент – ячейки, значения из

которых суммируются, если они отличаются от ячеек, указанных в качестве диапазона.

Если аргумент диапазон_суммирования опущен, Excel суммирует ячейки, указанные в

аргументе диапазон (те же ячейки, к которым применяется условие).

В аргументе условие можно использовать подстановочные знаки:

вопросительный знак (?) и звездочку (*). Вопросительный знак соответствует одному

любому символу, а звездочка — любой последовательности символов. Если требуется

найти непосредственно вопросительный знак (или звездочку), необходимо поставить

перед ним знак "тильда" (~).

Примеры

Найти S=у, если у 0;

18

Найти S=у, если х 0;

19


Предварительно вспомним некоторые сведения из курса высшей математики,

необходимые для выполнения данной работы.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Пусть задана СЛАУ следующего вида:

.

,

,

2211

22222121

11212111

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

Эту систему можно представить в матричном виде: AX=b, где

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

A – матрица коэффициентов системы уравнений;

nx

x

x

2

1

X – вектор неизвестных,

nb

b

b

2

1

b – вектор правых частей.

При выполнении лабораторной работы систему линейных алгебраических

уравнений необходимо будет решать методом обратной матрицы и методом Крамера.

Вспомним основные формулы, используемые в этих методах.

Метод обратной матрицы.

Систему линейных алгебраических уравнений Ax=b умножим слева на матрицу,

обратную к А. Система уравнений примет вид:

A-1.A.x=A-1.b, E.x=A-1.b, (E – единичная матрица)

Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле x=A-1.b.

Метод Крамера.

В этом случае неизвестные x1,x2,…, xn вычисляются по формуле:

n,1,i ,

i

ix

где – определитель матрицы A, i – определитель матрицы, получаемой из

матрицы А путем замены i-го столбца вектором b.

Обратите внимание на особенность работы с матричными формулами: необходимо

предварительно выделять область, в которой будет храниться результат, а после

получения результата преобразовывать его к матричному виду, нажав клавиши F2 и

Ctrl+Shift+Enter.

20

Теперь рассмотрим решение системы линейных уравнений методом обратной

матрицы и методом Крамера на следующих примерах.

ПРИМЕР 3.1. Решить систему методом обратной матрицы:

5 5 3 4

2 5 - 21 3

4- 3 2 -

5- 4 13 -

321

421

431

432

xxx

xxx

xxx

xxx

.

В этом случае матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов b

имеют вид:

0534

50213

3201

41310

A ,

3

2

4

5

b ,

Введём матрицу A и вектор b в рабочий лист MS Excel (рис. 3.1).

Рис. 3.1

В нашем случае матрица А находится в ячейках B1:Е4, а вектор b в диапазоне

G1:G4. Для решения системы методом обратной матрицы необходимо вычислить

матрицу, обратную к A. Для этого выделим ячейки для хранения обратной матрицы (это

нужно сделать обязательно!!!); пусть в нашем случае это будут ячейки B6:E9. Теперь

обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию

МОБР, предназначенную для вычисления обратной матрицы (рис. 3.2), щелкнув по

кнопке OK, перейдём ко второму шагу мастера функций. В диалоговом окне,

появляющемся на втором шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода

Массив (рис. 3.3). Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится

исходная матрица - в нашем случае B1:E4. Данные в поле ввода Массив можно ввести,

используя клавиатуру или выделив их на рабочем листе, удерживая левую кнопку мыши.

Если поле Массив заполнено, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке,

выделенного под обратную матрицу диапазона, появится некое число. Для того чтобы

получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2 для перехода в

режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем

случае рабочая книга MS Excel примет вид изображенный на рис. 3.4.

21

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Рис. 3.4

Теперь необходимо умножить полученную обратную матрицу на вектор b.

Выделим ячейки для хранения результирующего вектора, например H6:H9. Обратимся к

мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МУМНОЖ,

которая предназначена для умножения матриц. Напомним, что умножение матриц

22

происходит по правилу строка на столбец и матрицу А можно умножить на матрицу В

только в том случае, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк

матрицы В. Кроме того, при умножении матриц важен порядок сомножителей, т.е.

АВ≠ВА

Перейдём ко второму шагу мастера функций. Появившееся диалоговое окно (рис.

3.5) содержит два поля ввода Массив1 и Массив2. В поле Массив1 необходимо ввести

диапазон ячеек, в котором содержится первая из перемножаемых матриц, в нашем случае

B6:E9 (обратная матрица), а в поле Массив2 ячейки, содержащие вторую матрицу, в

нашем случае G1:G4 (вектор b).

Рис. 3.5

Если поля ввода заполнены, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке

выделенного диапазона появится соответствующее число результирующего вектора. Для

того чтобы получить весь вектор, необходимо нажать клавишу F2, а затем

одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае результаты вычислений

(вектор х), находится в ячейках H6:H9.

Для того чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений, необходимо

умножить матрицу A на вектор x и получить в результате вектор b. Умножение матрицы

A на вектор x осуществляется при помощи функции МУМНОЖ(В1:Е4;Н6:Н9), так как

было описанной выше.

В результате проведенных вычислений рабочий лист примет вид изображенный на

рис. 3.6.

Рис. 3.6

ПРИМЕР 3.2. Решить систему из ПРИМЕРА 3.1 методом Крамера. Введём матрицу А и вектор b на рабочий лист. Кроме того, сформируем четыре

вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец

23

вектора b (рис. 3.7).

Для дальнейшего решения необходимо вычислить определитель матрицы A.

Установим курсор в ячейку I10 и обратимся к мастеру функций. В категории

Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления

определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций. Диалоговое окно,

появляющееся на втором шаге содержит поле ввода Массив. В этом поле указывают

диапазон матрицы, определитель которой вычисляют. В нашем случае это ячейки B1:E4.

Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы:

I11=МОПРЕД(B6:E9), I12=МОПРЕД(B11:E14),

I13=МОПРЕД(B16:E19), I14=МОПРЕД(B21:E24).

В результате в ячейке I10 хранится главный определитель, а в ячейках I11:I14 –

вспомогательные.

Воспользуемся формулами Крамера и разделим последовательно вспомогательные

определители на главный. В ячейку K11 введём формулу =I11/$I$10. Затем скопируем её

содержимое в ячейки K12, K13 и K14. Система решена.

Рис. 3.7

24

ПРИМЕР 3.3. Вычислить матрицу С по формуле: C=A2+2AB, где

7311

554

1141

;

4211

3132

293

BA

Введем исходные данные на рабочий лист (рис. 3.8).

Для умножения матрицы А на матрицу В, выделим диапазон B5:D7 и

воспользуемся функцией МУМНОЖ(B1:D3;G1:I3).

Результат вычисления A2=A*A поместим в ячейки G5:I7, воспользовавшись

формулой МУМНОЖ(B1:D3;B1:D3).

Умножение (деление) матрицы на число можно выполнить при помощи

элементарных операций. В нашем случае необходимо умножить матрицу из диапазона

B5:D7 на число 2. Выделим ячейки B9:D11 и введем формулу =2*B5:D7.

Сложение (вычитание) матриц выполняется аналогично. Например, выделим

диапазон G9:I11 и введем формул =B9:D11+ G5:I7.

Для получения результата в обоих случаях необходимо нажать комбинацию

клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Кроме того, в строке формул рабочего листа, изображенного на рис. 3.8, показано

как можно вычислить матрицу С одним выражением.

Рис. 3.8

25

Для транспонирования матрицы в Excel применяется функция ТРАНСП(массив).

Для транспонирования матрицы вначале выделяем диапазон ячеек под результирующую

матрицу, затем вызываем мастер функции, в категории Сссылки и массивы выбираем

функцию ТРАНСП и задаем в качестве аргумента-массив – диапазон ячеек с исходной

матрице. Пример работы с функцией показан ниже.

Для получения результата необходимо нажать комбинацию клавиш

Ctrl+Shift+Enter.

Также матрицу можно транспонировать с помощью инструмента Специальная

вставка. Для этого выделите вначале диапазон с исходной матрицей и скопируйте

информацию в буфер обмена (Правка – Копировать или Ctrl+C). Затем выделите ячейку

– начало диапазона транспонированной матрицы и выполните Правка – Специальная

вставка в Excel 2003 или раскройте группу Вставить в Excel 2007-2016 и выберите

команду Специальная вставка…

В открывшемся окне включите флажок в строке Транспонировать.

27


ПРИМЕР 1. Построить график функции 3 2 )3()( xxxf ( рис. 1).

1. Определим функцию f(x). Для этого в ячейки А1:А21 необходимо ввести значение

аргумента при помощи автозаполнения, в данном случае с шагом 0,5. В ячейку В1

вводится значение функции, вычисляемое по формуле =(A1^2*(A1+3))^(1/3). Ячейки

В2:В21 заполняются копированием формулы из ячейки В1.

2. Далее выделим диапазон А1:В21 и воспользуемся «Мастером диаграмм». Для

построения графика функции лучше выбрать точечную диаграмму, со значениями,

соединенными сглаживающими линиями без маркеров. Чтобы график получился

выразительным, можно определить промежуток изменения аргумента, увеличить

толщину линий, выделить оси координат, нанести на них соответствующие деления,

сделать подписи на осях и вывести заголовок.

Рисунок 1

ПРИМЕР 2. Построить график функции 84

54 2

x

x.

При построении этого графика следует обратить внимание на область определения

функции. В данном случае функция не существует при обращении знаменателя в ноль.

Решим уравнение: 2 84 084 xxx . Следовательно, при определении

значений аргумента следует помнить, что при 2x функция не определена. На рис. 2.

видно, что значение аргумента задано в два этапа, не включая (-2) с шагом 0,2.

28

Рисунок 2

ПРИМЕР 3. Построить график функции 1

37

2

2

x

x.

ОДЗ: ;11;1101 22 xxxx .

Определение значения аргумента следует провести в два этапа. Например, от -5 до -

1, а затем от 1 до 5,с шагом 0,1.

ПРИМЕР 4. Построить график функции

1,

1,0,

0,1

2 xx

xe

xxx

.

При построении этого графика следует использовать функцию ЕСЛИ. Например, в

ячейке А7 (рис. 3) находится начальное значение аргумента, тогда в ячейку В7

необходимо ввести формулу:

=ЕСЛИ(A7<0;1+A7;ЕСЛИ(A7>=1;A7^2;EXP(A7))).

Рисунок 3

ПРИМЕР 5. Изобразите линию заданную неявно уравнением:

29

4y2 +5x2 – 20=0.

Заметим, что заданная уравнением f(x,y)=0 функция описывает кривую линию под

названием эллипс. Это можно доказать, если произвести элементарные математические

операции:

145

020

20

20

5

20

4

020540),(

2222

22

xyxy

xyyxf

.

В связи с тем, что линия задана неявно, для ее построения необходимо разрешить

заданное уравнение относительно переменной y:

2

520

4

520

4

520

520402054

22

22

2222

xy

xy

xy

xyxy

После проведенных преобразований можно увидеть, что линию f(x,y) можно

изобразить, построив графики двух функций

2

520)(

2

1x

xf

и 2

520)(

2

2x

xf

в одной графической области.

Перед построением определим ОДЗ функций )(1 xf и )(2 xf .

Поскольку эти функции содержат в числителе выражение под знаком квадратного

корня, то обязательным условием их существования будет выполнение следующего

неравенства:

2,222242050520 222 xxxxxx

Теперь перейдем к построению графика.

Для этого в диапазон А3:А43 введем значения аргумента (от -2 до 2 с шагом 0,1).

В ячейку В3 введем формулу для вычисления значений функции )(1 xf :

=КОРЕНЬ(20-5*$A3^2)/2.

А в ячейку С3 для вычисления значений функции )(2 xf :

=-КОРЕНЬ(20-5*$A3^2)/2.

Далее скопируем эти формулы до В43 и С43 соответственно (рис. 4).

30

Рисунок 4

Затем выделим диапазон А3:С43 и воспользовавшись «Мастером диаграмм»,

построим графики функций )(1 xf и )(2 xf в одной графической области (рис. 5).

Рисунок 5

ПРИМЕР 6. Изобразите линию заданную неявно: 194

22

yx

.

Данное уравнение описывает линию под названием гипербола. Разрешим его

относительно переменной y:

42

3)(,4

2

3)(

42

34

4

91

49

22

21

22222

xxfxxf

xyxyxy

31

Найдем ОДЗ функций )(1 xf и )(2 xf : ,2 2,042 иxx .

Проведенные исследования показывают, что для построения графика необходимо

значения аргумента задавать в два этапа, т.к. в диапазоне от -2 до 2 функция не

определена (см. ПРИМЕР 2 и 3).

Задание значений функций )(1 xf , )(2 xf и построение графика выполняется также

как в ПРИМЕРЕ 5. Результаты представлены на рис. 6 и 7.

Рисунок 6

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-6 -4 -2 0 2 4 6

Рисунок 7

32


ПРИМЕР 1. Найти корни полинома 0492 23 xxx .

Для начала решим уравнение графически. Известно, что графическим решением

уравнения f(x)=0 является точка пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, т.е.

такое значение x, при котором функция обращается в ноль.

Проведем табулирование нашего полинома на интервале от -4 до 4 с шагом 0,5

(после построение графика может быть придется изменить начальное или конечное

значение диапазона, а также шаг).

Затем в ячейку В2 введем формулу для расчета значений полинома (рис. 1):

=A2^3+2*A2^2-9*A2-4.

На графике видно, что функция три раза пересекает ось Оx, а так как полином

третьей степени имеется не более трех действительных корней, то графическое решение

поставленной задачи найдено. Иначе говоря, была проведена локализация корней, один

корень x=-4 виден явно из таблицы, два других корня находятся на интервалах: [-0,5,0],

[2, 2,4].

Рисунок 1

Теперь можно найти корни полинома методом последовательных приближений с

помощью команды СервисПодбор параметра. Относительная погрешность

вычислений и предельное число итераций (например, 0,00001 и 1000) задаются на

вкладке СервисПараметры.

В качестве начальных значений приближений к корням можно взять любые точки из

отрезков локализации корней. Пусть это будут -0,3 и 2,2. Введем эти значения в ячейки

B25 и B26, затем в ячейку С25 (рис. 2) введем формулу: =B26^3+2*B26^2-9*B26-4,

которую скопируем в ячейки С26 при помощи маркера заполнения.

33

Рисунок 2

После ввода начальных приближений и значений функции можно обратиться к

пункту меню Сервис – Подбор параметра в Excel 2003 или Данные – Анализ «что

если» – Подбор параметра в Excel2007-20016 (рис. 3) и заполнить диалоговое окно

следующим образом (рис. 4), т.е мы хотим найти значение аргумента, при котором

значение функции будет равно нулю.

В поле Установить в ячейке дается ссылка на ячейку в которую введена формула,

вычисляющая значение левой части уравнения (уравнение должно быть записано так,

чтобы его правая часть не содержала переменную). В поле Значение вводим правую

часть уравнения, а в поле Изменяя значения ячейки дается ссылка на ячейку,

отведенную под переменную. Заметим, что вводить ссылки на ячейки в поля диалогового

окна Подбор параметров удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей

ячейке.

Рисунок 3

Рисунок 4

34

После нажатия кнопки ОК появится диалоговое окно Результат подбора

параметра (рис. 5) с сообщением об успешном завершении поиска решения и

приближенное значение корня будет помещено в ячейку С25.

Рисунок 5

Второй корень находим аналогично.

Результаты вычислений будут помещены в ячейки С25 и С26 (рис. 6).

Рисунок 6

ПРИМЕР 2. Решить уравнение 0)12( 2 xex .

Проведем локализацию корней нелинейного уравнения.

Графическим решением уравнения 0)12( 2 xex . Для этого построим график

функции (рис. 7). Для этого в диапазон А2:А22 введем значения аргумента. В ячейку В2

введем формулу для вычисления значений функции:

=EXP(A2)-(2*A2-1)^2.

На графике видно, что график функции пересекает ось Оx три раза. Одно из

решений может быть вычислено точно: х=0.

Для второго корня можно определить интервал изоляции корня: 25,1 x .

35

Рисунок 7

Теперь можно найти корень уравнения на отрезке [1.5,2] методом последовательных

приближений.

Введём начальное приближение в ячейку В25=1,5, и само уравнение,

со ссылкой на начальное приближение, в ячейку С25

=EXP(B26)-(2*B26-1)^2 (рис. 8).

Рисунок 8

Далее воспользуемся инструментом Подбор параметра и заполним диалоговое

окно Подбор параметра (рис. 9).

36

Рисунок 9

Результат поиска решения будет выведен в ячейку С25 (рис. 10). Третий корень

находим аналогично

Рисунок 10

ПРИМЕР 3. Решить систему уравнений

.1

;2,02,1)2sin(22 yx

xyx.

Рассмотрим, как можно решить систему уравнений

0

02

01

Fn(x)=

…

,(x)=F

,(x)=F

с помощью решающего блока (пункт меню СервисПоиск Решения), который

позволяет решать не только оптимизационные задачи, но и обычные уравнения и

системы уравнений. Для решения этой задачи ее можно сформулировать одним из

способов:

Найти минимум функции

n

i

ni xFxFxFxFxФ1

22

2

2

1

2)()()()()( . В этом случае

задача решается без ограничений.

Но, прежде чем воспользоваться описанным выше методом решения систем

уравнений, найдем графическое решение этой системы. Отметим, что оба уравнения

системы заданы неявно и для построения графиков, функций соответствующих этим

уравнениям, необходимо разрешить заданные уравнения относительно переменной y.

Для первого уравнения системы имеем:

xxyxyxxyx 2)2,12,0arcsin(2,12,0)2sin(2,02,1)2sin( .

37

Определим ОДЗ полученной функции:

1;667,0

1

667,0

2,12,1

8,02,1

12,12,0

12,12,012,12,01 x

x

x

x

x

x

xx

Второе уравнение данной системы описывает окружность.

На рис. 11 приведен фрагмент рабочего листа MS Excel с формулами, которые

необходимо ввести в ячейки для построения линий, описанных уравнениями системы.

Точки пересечения линий изображенных на рис. 12 являются графическим решением

системы нелинейных уравнений.

Рисунок 11 Рисунок 12

Не трудно заметить, что заданная система имеет два решения. Поэтому процедуру

поиска решений системы необходимо выполнить дважды, предварительно определив

интервал изоляции корней по осям Оx и Oy .

В нашем случае первый корень лежит в интервалах (-0.5;0)x и (0.5;1)y, а второй -

(0;0.5)x и (-0.5;-1)y.

Далее поступим следующим образом. Введем начальные значения переменных x

и y, формулы отображающие уравнения системы и функцию цели, так как показано на

рис. 13.

Рисунок 13

38

Теперь дважды воспользуемся командой СервисПоиск Решения, заполняя

появляющиеся диалоговые окна, так как показано на рис. 14 и 15.

Рисунок 14

Рисунок 15

На рис. 16 приведены результаты вычислений. Сравнив полученное решение

системы с графическим, убеждаемся, что система решена верно.

Рисунок 16

тема «Работа в электронных таблицах» · 2017-12-11 · 3 №...

Documents