معادالت ومتباينات القيمة المطلقة

Equations and inequalities

absolute value

Absolute Valueالقيمة المطلقة

ويرمة لاةا بةالرم xتسمى القيمةة المطلقةة لة 0ونقطة األصل x المسافة على خط األعداد بين العدد

x.

𝑥)سالبعدد غير xفإذا كان ≥ xفإن (0 x أما إذا كان ،x سالبا(𝑥 < xفإن (0 x .

حساب القيمة المطلقة 1 مثـال

7و |0|و | |جد قيمة كال من114و 3و 3

2 2

.

.الحل

| |

|0| 0

7 711 11 7ألن

110 فإن

4 ( 4) 4 4ألن 0 فإن

3 3 3 3

2 2 2 2

ألن البسط والمقام سالبين فالكسر موجب

2 مثـال

. |( ) |و| | بسط كالً من

الحل .

| | ( )

| ( )| | | | 0| 0

Absolute Value EquationsSolvingالقيمة المطلقة حل معادالت تتضمن

خواص القيمة المطلقة

a a )العدد وسالبه لاما نفس القيمة المطلقة(

ab a b )القيمة المطلقة تتوزع على الضرب(

aab b 0، حيثb لقة تتوزع على القسمة()القيمة المط

x a إذا وفقط إذاx a حيث ، ≥ 0

|𝑥 | 𝑥 ≤ 𝑥حيث ،|𝑥 | (𝑥 > 𝑥حيث (

3 مثـال

|𝑥| أوجد حل المعادلة .

الحل .

|𝑥|عندما يكون لذلك فإن مجموعة الحل هي 𝑥فإن

x = { -5 , 5 }

4 مثـال

𝑥|أوجد حل المعادلة | .

: الحل

x-3 = -6 أوx-3 = 6

x = 6 + 3x = -6+3

x = 9x = -3

x = { -3 , 9 }لذلك فإن مجموعة الحل هي

5 مثـال

| 𝑥|أوجد حل المعادلة .

الحل .

|𝑥 |

ال يوجد لها حل وتكون مجموعة الحل هي

المطلقة هي مسافة والمسافة ليست سالبة .ألن القيمة

6 مثـال

| 𝑥 |أوجد حل المعادلة .

الحل .

| 𝑥 |

| 𝑥 |

| 𝑥 |

2x +6 = -16 2أوx+6 =16

2x = 102x = -22

x = 5x = -11

x = { -11 , 5 }لذلك فإن مجموعة الحل هي

7 مثـال

𝑥 |المعادلة أوجد حل | 𝑥 .

𝑥: شرط الحل : الحل ≥ 𝑥 ≥ 0

𝑥 ( 𝑥 𝑥 أو ( 𝑥

2x -x = 5 + 3 2x+x = -5+3

3x = -2 x = 8 [ )

𝑥

[ )

} = xلذلك فإن مجموعة الحل هي

, 8}

Absolute Value InequalitiesSolvingالقيمة المطلقة حل متباينات تتضمن

الخواص التالية مفيدة لحل المتباينات المحتوية على قيمة مطلقة.

خواص القيمة المطلقة

فإن : 0 إذا كانت 1. x a إذا وفقط إذاa x a .

2. x a إذا وفقط إذاx a أوx a .

متباينات القيمة المطلقة

8 مثـال

𝑥|تباينةأوجد حل الم | < .

الحل .

𝑥|عندما يكون | <

> فإن 𝑥 <

< 𝑥 < للطرفين 4بإضافة

< 𝑥 <

( 11 , 3-)مجموعة الحل هي

|𝑥| |𝑥| <

𝑥 𝑥 أو

<

< 𝑥 <

9 مثـال

𝑥 |تباينةالمأوجد حل | 0 < .

الحل .

𝑥 |عندما يكون | 0 < )نا نعبر عنها بأداة الربط وفإن (

| 𝑥 | < فإن 0

| 𝑥 | <

< 𝑥 <

< 𝑥 < للطرفين 3بإضافة

< 𝑥 <

< 𝑥 < ) عدد موجب ال يغير اتجاه المتباينة( 2بالقسمة على

(4 , 1-)مجموعة الحل هي

11 مثـال

| تباينأوجد حل الم

|

.

الحل .

أو

<

<

<

<

, -)مجموعة الحل هي

) ( 1 , ) أو [

]

11 مثـال

𝑥 |تباينةأوجد حل الم | ≥ .

الحل .

𝑥 ≥ 𝑥 أو

𝑥 ≥ 𝑥

𝑥 ≥ 𝑥

𝑥 ≥

𝑥

𝑥 ≥

, -)مجموعة الحل هي

] [ 3 , ) أو [

]

تذكر أن :

مجموعة الحل المتباينة

|𝑥| 0 0 |𝑥| < 0

|𝑥| ≥ 0

|𝑥| 0 0

|𝑥|

|𝑥| <

|𝑥| ≥

|𝑥|

اختار اإلجابة الصحيحة :

| 37 - |أوجد قيمة .1

a. 1

b. 37

c. - 3 7

d. 1

| 5.1 |أوجد قيمة .2

a. 5.1

b. - 5.1

c. 5

d. 1

هو : x | = 5 |حل المعادلة .3

a. 5, - 5

b. 5

c. 5, 0

d. - 5

هو x | = - 2 |حل المعادلة .4

a. - 2

b. 2

c. ليس لها حل( )

d. - 2 , 2

هو x | = - 611 |حل المعادلة .5

a. 611, - 611

b. ليس لها حل( )

c. 611

d. 11

x - 3 | > 4 |مجموعة حل المتباينة .6

a. (- , 1( )7 , )

b. (- , -7 ()1 , )

c. (- , - 1( )7 , )

d. ليس أياً مما سبق

2x | < 16 |مجموعة حل المتباينة .7

a. [ -8 , 8 ]

b. (-8 , 8 )

c. ( 0 , 8 )

d ( -8 , 0 )

x | + 3 < 10 |مجموعة حل المتباينة .8

a. ( 7 , 13 )

b. ( -13 , 13 )

c. ( -7 , 7 )

d. ليس أياً مما سبق

x| - 1 = 32|كم حالً للمعادلة .9

a. 2

b. 3

c. 1

d. 1

x - 4| = 12|إذا كان xأوجد قيمة .11

a. 16, - 16

b. -8, 12

c. -8, -5

d. 16, -8

حل كالً مما يلي :

1. 3 18x

3. 5 8t

5. 2 1 5x

7. 5 3 7x x 8. 2 3 3 2t t

9. 4 3 2 5w 10. 2 1 3 2z z

2. 5 35y

4. 3 7 12z

6. 4 2 5 9y

8. 2 3 3 2t t

10. 2 1 3 2z z

11. 5 3 15y

13. 4 3 9b

15. 2 4 1 5 1x

12. 2 3 5t

14. 1

2 1 3 12

w

16. 3 2 5 9z