ИЗВЕСТИЯ - ayu.edu.kz

ISSN 2524-0080

Ғылыми журнал

Қ. А. Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университетінің

ХАБАРЛАРЫ МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА,

ИНФОРМАТИКА СЕРИЯСЫ

Hoca Аhmet Yesevi Uluslararası Türk-Kazak Üniversitesinin

HABERLERİ MATEMETİK, FİZİK, BİLİŞİM SERİSİ

ИЗВЕСТИЯ Международного казахско-турецкого университета имени Х.А.Ясави

СЕРИЯ МАТЕМАТИКА,

ФИЗИКА, ИНФОРМАТИКА

NEWS Of the Khoja Akhmet Yassawi kazakh-turkish international university

MATHEMATICS, PHYSICS,

COMPUTER SCIENCE SERIES

www.ayu.edu №3(6), 2018

ISSN 2524-0080

Ғылыми журнал

Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университетінің

ХАБАРЛАРЫ

Математика, физика, информатика сериясы

HABERLERİ

Matemetik, fızık, bılışım seris

ИЗВЕСТИЯ Серия математика, физика, информатика

NEWS

Mathematics, physics, computer science series

Қазақстан Республикасы Инвестициялар және даму министрлігінің Байланыс,

ақпараттандыру және ақпарат комитетінде 04.12.2015 ж. тіркелді, куәлік №15721-Ж.

Қазақстан Республикасы Ақпарат және коммуникациялар министрлігінің Байланыс,

ақпараттандыру және бұқаралық ақпарат құралдары саласындағы мемлекеттік бақылау

комитетінде 10.03.2017 ж. қайта тіркелген, куәлік №16387-Ж.

Жылына 4 рет шығарылады.

Ғылыми басылым

Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университетінің хабарлары

(математика, физика, информатика сериясы) № 3(6) 2018 ж.

Журнал 2016 жылдың мамыр айының 30 жұлдызынан бастап

Париж қаласындағы ISSN орталығында тіркелген.

Редакцияның мекен-жайы:

Редакцияның мекен-жайы: 161200, Қазақстан Республикасы, Түркістан қаласы,

Б. Саттарханов даңғылы, 29, ректорат, 404 бӛлме.

Байланыс тетіктері: 8(725-33)6-36-36(19-60)

e-mail:[email protected], khabarshi.iktu@ ayu.edu

Журнал Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университетінің

«Тұран» баспаханасында кӛбейтіледі.

Қағаздың пішімі: 70х100. Қағазы офсеттік. А4 Офсеттік басылым.

Шартты баспа табағы 6,5. Таралымы 200 дана. Тапсырыс 123

mailto:[email protected],%20khabarshi.iktu@

РЕДАКЦИЯЛЫҚ АЛҚА:

Бас редактор:

Абдрасилов Б.С. – биология ғылымдарының докторы, профессор,

физика-математика ғылымдарының кандидаты, академик, Қ.А.Ясауи

атындағы Халықаралық қазақ-түрік универитетінің (ХҚТУ)

президенті.

Бас редактор

орынбасарлары:

Мырзакулов Р.М. – ҚР ҰҒА корреспондент-мүшесі, ҚР Мемлекеттік

сыйлығының лауреаты, Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ.

Баканов Г.Б. – физика-математика ғылымдарының докторы,

профессор, Қ.А.Ясауи атындағы ХҚТУ.

Жауапты хатшы: Калимбетов Б.Т. – физика-математика ғылымдарының докторы,

профессор, Қ.А.Ясауи атындағы ХҚТУ.

YAYIN KURULU:

Yayın Yönetmeni:

Abdrasilov B.C. - Hoca Ahmet Yesevi Uluslararası Türk-Kazak

Üniversitesi Rektörü, Prof. Dr.

Yayın Yönetmen

Yardımcısı:

Mırzakulov R.M. - Prof. Dr., Kazakıstan Cumhurieti Devlet ödülü sahibi,

L.N.Gumilev Avrasya Ulusal Üniversitesi.

Bakanov G.B. - Prof. Dr., Hoca Ahmet Yesevi Uluslararasi Türk-Kazak

Üniversitesi.

Yayın Kurulu Sorumlu

Sekreteri:

Kalimbetov B.T. - Prof. Dr., Hoca Ahmet Yesevi Uluslararasi Türk-Kazak

Üniversitesi.

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:

Главный редактор:

Абдрасилов Б.С. – доктор биологических наук, профессор, кандидат

физико-математических наук, академик, президент Международного

казахско-турецкого университета (МКТУ) имени Х.А.Ясави.

Заместители главного

редактора:

Мырзакулов Р.М. – член-корреспондент НАН РК, лауреат

Государственной премии РК, ЕНУ им. Л.Н.Гумилева.

Баканов Г.Б.– доктор физико-математических наук, профессор, МКТУ

имени Х.А.Ясави.

Ответственный

секретарь:

Калимбетов Б.Т. – доктор физико-математических наук, профессор,

МКТУ имени Х.А.Ясави.

EDITORIAL COLLEGE:

Editor–in–chief: Abdrasilov B.S. – doctor of biological sciences, professor, candidate of

physical-mathematical sciences, rector of the K.A.Yassawi International

Кazakh-Тurkish University (IKTU).

Managing editor: Myrzakulov R.M. – doctor of the physical-mathematical sciences,

professor, Laureate of the State prize RK, L.N.Gumilev Eurasian National

University.

Bakanov G.B. – doctor of physical-mathematical sciences, professor,

K.A.Yassawi International Kazakh-Turkish University.

Managing: Kalimbetov B.T. – doctor of physical-mathematical sciences, professor,

K.A.Yassawi International Kazakh-Turkish University.

РЕДКОЛЛЕГИЯ МҮШЕЛЕРІ:

Бектемесов М.А. -ф.-м.ғ.д., проф., Абай атындағы ҚазҰПУ.

Жұмаділдаев А.С. - ҚР ҰҒА академигі, ҚР Мемлекеттік сыйлығының лауреаты,

Математика және математикалық модельдеу институты.

Искаков Қ.Т. - ф.-м.ғ.д., проф., Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ.

Мухамбетжанов С.Т. - ф.-м.ғ.д., проф., Математика және қолданбалы технологиялар

ғылыми-зерттеу институты.

Ӛтелбаев М.Ӛ. - ҚР ҰҒА академигі, ҚР Мемлекеттік сыйлығының лауреаты,

Математика және математикалық модельдеу институты.

Сафаров И.И. - ф.-м.ғ.д., проф., Бұхара инженерлік-технологиялық институты

(Ӛзбекстан).

Темірбеков Н.М. - ҚР ҰҒА корреспондент-мүшесі, Қазақстан инженерлік-

технологиялық университеті.

Тұрметов Б.Х. - ф.-м.ғ.д., проф., Қ.А.Ясауи атындағы ХҚТУ.

Фарук Учар - профессор, доктор, Мармара университеті (Түркия).

Булент Йылмаз - профессор, доктор, Абдуллах Гүл университеті (Түркия).

Мелехат Білге Деміркӛз - профессор, доктор, Таяу Шығыс техникалық университеті

(Түркия).

Абишев М.Е. - ҚР ҰҒА корреспондент-мүшесі, Әл-Фараби атындағы ҚазҰУ.

Винтайкин Б.Е. - ф.-м.ғ.д., проф., Н.Э.Бауман атындағы ММТУ (Ресей) .

Кутербеков Қ.А. - ф.-м.ғ.д., проф., Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ.

Қаптағай Г.Ә. - PhD, Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университеті.

Тұрмамбеков Т.А. - ф.-м.ғ.д., проф., Қ.А.Ясауи атындағы ХҚТУ.

Кадир Есмер - профессор, доктор, Мармара университеті (Түркия).

Мурат Ердем - профессор, доктор, Докуз Ейлул Университеті (Түркия).

Байсеркеев А.Е. - п.ғ.д., проф., Махмуд Қашқари-Барсқани атындағы Шығыс

Университеті (Қырғызстан).

Абдиев К.С. - п.ғ.д., проф., «Тұран» университеті.

Беркимбаев К.М. - п.ғ.д., проф., Қ.А.Ясауи атындағы ХҚТУ.

Бидайбеков Е.Ы. - п.ғ.д., проф., Абай атындағы ҚазҰПУ.

Гриншкун В.В. - п.ғ.д., проф., Мәскеу қалалық педагогикалық университеті

(Ресей).

Жангисина Г.Д. - п.ғ.д., проф., Қ.И.Сәтбаев атындағы ҚазҰТУ.

Умбетов Ӛ. -тех.ғ.д., проф., Қ.А.Ясауи атындағы ХҚТУ.

Қалимолдаев М.Н. - ҚР ҰҒА академигі, Ақпараттар және есептеу технологиялары

институты.

Сагироулы Шереф - профессор, доктор, Гази Университеті (Түркия).

Сапархожаев Н.П. PhD, Қ.А.Ясауи атындағы ХҚТУ.

YAYIN KURULU ÜYELERİ:

Bektemesov M.A. - Prof. Dr., Abay Kazak Ulusal Pedagoji Üniversitesi.

Jumadıldayev A.S. - Prof. Dr., Kazakistan Cumhurieti Devlet ödülü sahibi, Matematik ve

Matematiksel Modelleme Enstitüsü.

İskakov K.T. - Prof. Dr., Gumilev Avrasya Ulusal Üniversitesi.

Muhambetjanov S.T. - Prof. Dr., Matematik ve Uygulamalı Teknolojiler Araştırma Enstitüsü.

Ötelbayev M.Ö. - Prof. Dr., Kazakistan Cumhurieti Devlet ödülü sahibi, Matematik ve

Matematiksel Modelleme Enstitüsü.

Safarov İ.İ. - Prof. Dr., Buhara Mühendislik Teknoloji Enstitüsü (Özbekistan).

Temırbekov N.M. - Prof. Dr., Kazakistan Mühendislik - Teknoloji Üniversitesi.

Turmetov B.H. - Prof. Dr., Ahmet Yesevi Üniversitesi.

Faruk Uçar - Prof. Dr., Marmara University (Turkiye).

Bulent Yılmaz - Prof. Dr., Abdullah Gül University (Turkiye).

Melehat Bilge Demirköz - Prof. Dr., Orta Doğu Teknik Üniversitesi (Turkiye).

Abişev M.E. - Prof. Dr., Al-Fârâbî Kazak Ulusal Üniversitesi.

Vintaykin B.E. - Prof. Dr., Bauman Moskova Devlet Teknık Üniversitesi (Rusya).

Kuterbekov K.A. - Prof. Dr., L.N.Gumilev Avrasya Ulusal Üniversitesi.

Katpağay G.A. - PhD, Kazak Devlet Kadın Pedogoji Üniversitesi.

Turmambekov T.A. - Prof. Dr., Ahmet Yesevi Üniversitesi.

Kadir Esmer - Prof. Dr., Marmara Üniversitesi (Türkiye).

Murat Erdem - Prof. Dr., Dokuz Eylül Üniversitesi (Türkiye).

Bayserkeev A.E. - Prof. Dr., Mahmud Kashkari-Barskani Doğu Üniversitesi

(Kirgizistan).

Abdiyev K.S. - Prof. Dr., «Turan» Üniversitesi.

Berkimbayev K.M. - Prof. Dr., Ahmet Yesevi Üniversitesi.

Bidaybekov E. I. - Prof. Dr., Abay Kazak Ulusal Pedagojik Üniversitesi.

Grinşkun B.B. - Prof. Dr., Moskova Şehir Pedagoji Üniversitesi (Rusya).

Jangisina G.D. - Prof. Dr., K.İ.Satbayev Kazak Ulusal Teknik Üniversitesi.

Umbetov Ö. - Prof. Dr., Ahmet Yesevi Üniversitesi.

Kalimoldayev M.N. - Prof. Dr., Bilgi ve Bilgi İşlem Teknolojilri Enstitüsü.

Sağıroğlu Şeref - Prof. Dr., Gazi Üniversitesi (Türkiye).

Saparhozhaev N.P. - PhD, Ahmet Yesevi Üniversitesi.

ЧЛЕНЫ РЕДКОЛЛЕГИИ:

Бектемесов М.А. - д.ф.-м.н., проф., Каз.НПУ им. Абая.

Жумадильдаев А.С. - академик НАН РК, лауреат Государственной премии РК,

Институт математики и математического моделирования.

Искаков К.Т. - д.ф.-м.н., проф., ЕНУ им. Л.Н.Гумилева.

Калимбетов Б.Т. - д.ф.-м.н., проф., МКТУ им.Х.А.Ясави.

Мухамбетжанов С.Т. - д.ф.-м.н., проф., Научно-исследовательский институт

математики и прикладных технологий.

Отельбаев М.О. - академик НАН РК, лауреат Государственной премии РК,

Институт математики и математического моделирования.

Сафаров И.И. - д.ф.-м.н., проф., Бухарский инженерно-технологический

институт (Узбекистан).

Темирбеков Н.М. - член-корр. НАН РК, Казахстанский инженерно-технологический

университет.

Турметов Б.Х. - д.ф.-м.н., проф., МКТУ им. Х.А.Ясави.

Фарук Учар - профессор, доктор, Университет Мармара (Турция).

Булент Йылмаз - профессор, доктор, Университет Абдуллах Гул (Турция).

Мелехат Билге

Демиркоз

- профессор, доктор, Ближневосточный технический университет

(Турция).

Абишев М.Е. - член-корр. НАН РК, КазНУ им. Аль-Фараби.

Винтайкин Б.Е. - д.ф.-м.н., проф., МГТУ им. Н.Э.Баумана (Россия).

Кутербеков К.А. - д.ф.-м.н., проф., ЕНУ им. Л.М.Гумилева.

Каптагай Г.А. - PhD, Казахский государственный женский педагогический

институт.

Турмамбеков Т.А. - д.ф.-м.н., проф., МКТУ им. Х.А.Ясави.

Кадир Есмер - профессор, доктор, Университет Мармарa (Турция).

Мурат Ердем - профессор, доктор, Университет Докуз Ейлул (Турция).

Байсеркеев А.Е. -д.п.н., проф., Восточный университет имени Махмуда Кашгари-

Барскани (Кыргызстан).

Абдиев К.С. -д.п.н., проф., Университет «Туран».

Беркимбаев К.М. - д.п.н., проф., МКТУ им. Х.А.Ясави.

Бидайбеков Е.Ы. - д.п.н., проф., Каз.НПУ им. Абая.

Гриншкун В.В. - д.п.н., проф., Московский городской педагогический

университет (Россия).

Жангисина Г.Д. - д.п.н., проф., Каз.НУ им. К.И.Сатпаева.

Умбетов У. -д.т.н., проф., МКТУ им. Х.А.Ясави.

Калимолдаев М.Н. - академик НАН РК, Институт информационных и

вычислительных технологий.

Сагироулы Шереф - профессор, доктор, Университет Гази (Турция).

Сапархожаев Н.П. - PhD, МКТУ им. Х.А.Ясави.

EDITORIAL BOARD:

Bektemesov M.A. - doctor of the physical-mathematical science, professor, Abay National

Kazakh Pedagogical University.

Zhumadildaev A.S. - academician NAS RK, laureate of the State prize RK, Institute of

Mathematics and Mathematical Modelling.

Iskakov K.T. - doctor of the physical-mathematical science, professor, L.N.Gumilev

Eurasian National University. Muhambetzhanov S.T. - doctor of the physical-mathematical science, professor, Research

Institute of Mathematics and Applied Technologies.

Otelbaev M.O. - academician NAS RK, laureate of the State prize RK, Institute of

Mathematics and Mathematical Modelling.

Safarov I.I. - doctor of the physical-mathematical science, professor, Bukhara

Engineering and Technological Institute (Uzbekistan).

Temirbekov N.M. - сorresponding member NAS RK, Kazakhstan Engineering

Technological University.

Turmetov B.H. - doctor of the physical-mathematical science, professor, A.Yassawi

International Kazakh-Turkish University.

Faruk Uçar - professor, Marmara University (Turkey).

Bulent Yılmaz - professor, Abdullah Gul University (Turkey).

Melehat Bilge Demirköz - professor, Middle East Technical University (Turkey).

Abishev M.E. - сorresponding member NAS RK, Al-Farabi Kazakh National

University.

Vintaykin B.E. - doctor of the physical-mathematical science, professor, Bauman

Moscow State Technical University (Russia).

Kuterbekov K.A. - doctor of the physical-mathematical science, professor, L.N.Gumilev

Eurasian National University.

Kaptagai G.A. - PhD, Kazakh State Women’s Teacher Trainig University.

Turmambekov Т.А. - doctor of the physical-mathematical science, professor, A.Yassawi

International Kazakh-Turkish University.

Kadir Esmer - professor, Marmara University (Turkey).

Murat Erdem - professor, Dokuz Eylul University (Turkey).

Bayserkeev A.A. - doctor of education science, professor, Eastern University named after

Mahmud Kashgari-Barskani (Kyrgyzstan).

Abdiev K.S. - doctor of education science, professor, University «Turan».

Berkimbaev К.М. - doctor of education science, professor, A.Yassawi International

Kazakh-Turkish University.

Bidaibekov Е.Y. - doctor of education science, professor, Abay National Kazakh

Pedagogical University.

Grinshkun V.V. - doctor of education science, professor, Moscow City University

(Russia).

Zhangisina G.D. - doctor of education science, professor, Kazakh National University

after K.I.Satpayev.

Umbetov O. - doktor of technical sciences, professor A.Yassawi International

Kazakh-Turkish University.

Kalimoldaev M.N. - academician NAS RK, Institute of Information and Computational

Technologies.

Sagiroglu Seref - professor, Gazi University, Ankara, Turkеу.

Saparhozhaev N.P. - PhD, A.Yassawi International Kazakh-Turkish University.

Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университетінің хабарлары

(математика, физика, информатика сериясы), №3(6), 2018

7

УДК 517.956

ГРНТИ 27.31.15

А.А.АБДУВАИТОВ1, Б.Х.ТУРМЕТОВ

2

1магистрант Международного казахско-турецкого университета имени Ходжа Ахмета Ясави,

E-mail: [email protected] 2доктор физико-математических наук, профессор,

Международный казахско-турецкий университет имени Ходжа Ахмеда Ясави

E-mail: [email protected]

О ДРОБНОМ АНАЛОГЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

В настоящей работе исследуются вопросы разрешимости дробного аналога краевой

задачи Дирихле для уравнения Лапласа. В качестве граничного оператора рассматривается

оператор дробного дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля. Рассматриваемая задача

решается сведением к интегральному уравнению Фредгольма. Доказаны теоремы о

существовании и единственности решения исследуемой задачи.

Ключевые слова: уравнение Лапласа, задача Дирихле, дробная производная, оператор

Римана-Лиувилля, единственность, существование.

А.А.Абдуваитов1, Б.Х.Турметов

2

1Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті магистранты.

E-mail: [email protected] 2физика-математика ғылымдарының докторы, профессор,

Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті,


Лаплас теңдеуі ҥшін Дирихле есебінің бӛлшек ретті аналогы туралы

Бұл мақалада Лаплас теңдеуі үшін Дирихле шеттік есебінің бӛлшек ретті аналогының

шешілімділігі мәселесі қарастырылады. Есепте шекаралық оператор ретінде Риман-Лиувилл

мағынасындағы бӛлшек ретті дифференциалдау операторы қарастырылады. Қаралып

отырған мәселе Фредгольм интегралдық теңдеуіне келтіру арқылы шешіледі. Зерттелетін

мәселе шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теоремалар дәлелденді.

Кілт сөздер: Лаплас теңдеуі, Дирихле есебі, бӛлшек туынды, Риман-Лиувилл

операторы, бірлік, ӛмір сүру.

A.A.Abduvaitov1, B.Kh.Turmetov

2

1master student of the Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish University,

E-mail: [email protected] 2doctor of physical and mathematical sciences, professor,

Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish University,


About the fractional analogue of the Dirichlet problem for the Laplace equation

In this paper, we study the solvability of a fractional analogue of the Dirichlet boundary value

problem for the Laplace equation. As the boundary operator, we consider the fractional

differentiation operator in the sense of Riemann-Liouville. The considered problem is solved by

reducing to the Fredholm integral equation. The theorems on the existence and uniqueness of the

solution of the problem under study are proved.

mailto:[email protected]






8

Keywords: Laplace equation, Dirichlet problem, fractional derivative, Riemann-Liouville

operator, uniqueness, existence.

Введение

Пусть Q - ограниченная область из nR с гладкой границей S . Известно, что

классическими задачами для уравнения Лапласа

( ) 0,u x x Q ,

являются задачи Дирихле и Неймана. Пусть - вектор нормали к S и D

- оператор

дифференцирования по нормали, 0D I - единичный оператор. Тогда граничные условия

Дирихле и Неймана можно задавать в виде

( ) ( ),D u x f x x S

,

где 0 или 1 .

Известно, что задача Дирихле, безусловно разрешима, а для разрешимости задачи

Неймана необходимо выполнение условия

1( ) 0S

f x dx .

Введение понятия производных дробного порядка ,0 1D позволяет рассмотреть

новые классы краевых задач, которые являются промежуточными между задачами Дирихле (

0 ) и Неймана ( 1 ).

Исследования таких задач для эллиптических уравнений проводились в работах [1-5].

Отметим также, что применения краевых задач для эллиптических уравнений с граничными

операторами дробного порядка исследовались в работах [6-8].

В настоящей работе мы рассмотрим новые классы корректных краевых для уравнения

Лапласа, которые обобщают задачу Дирихле.

Пусть : 1nx R x - единичный шар, 2n , -единичная сфера, ,r x x r ,

1

nj

j j

xd

dr r x

.

Пусть ( )u x гладкая функция в области . Для любого 0 следующее выражение

1

0

1, ,

( )

r

J u x r s u s ds x

называется оператором интегрирования порядка в смысле Римана-Лиувилля [9]. В

дальнейшем будем считать, что 0 ,J u x u x x .

Далее, для любого 0 1 следующее выражение



9

1

0

1r

d dD u x J u x r s u s ds

dr m dr

,

называется производными порядка в смысле Римана-Лиувилля [9].

Пусть 0 1 . Введем обозначения

1

1

0

11 ,B u x s s u sx ds

[ ]( ) [ ]( )B u x r D u x .

Отметим, что свойства и применение операторов B

и B исследованы в работах [1,2].

В настоящей работе мы исследуем некоторое обобщение классической задачи Дирихле

для дробных порядков граничных операторов.

Пусть 10 ... 1,m 0, 1,2,..., , 1,2,...,j ma j m

1

j

m

m j

j

P D D a D

.

Рассмотрим в области следующие задачи:

Задача D. Пусть 10 ... 1m . Найти гармоническую в области функцию

2( ) ( ) ( )u x C C , для которой B u x C и удовлетворяющую граничному

условию

1

f( ) ( ) .

p

p

t

p p

t

f u d

(1)

(h) ( ) ( , ).Q F h G u h (2)

Решением задачи (1), (2) назовем функцию 2( ) ( ) ( )u x C C , для которой

B u x C и удовлетворяющую условиям (1),(2) в классическом смысле.

1. Свойства операторов B

и B

*B

В этом пункте приведем некоторые свойства операторов B

и B . В дальнейшем

всюду через C будем обозначать произвольную постоянную значение которой нас не

интересует.

Лемма 1. Пусть 0 1 , функция u x является гармонической в области и

u x C . Тогда для любого 0 1 функция B u x C

.

Доказательство. Пусть 0 1 и 0x - произвольная точка области . Так как

u x C , то для любого 0 существует положительное число 0 такое, что для

всех 0x x выполняется неравенство 0u sx u sx . Тогда

1

1

0 0

0

11B u x B u x s s u sx u sx ds



10

11

0

11

1s s ds C

.

Итак, 0, такое, что при 0x x выполняется неравенство

0B u x B u x C

т.е. функция B u x

непрерывна в точке

0x . Лемма доказана.

Приведем некоторые утверждения, доказанные в работе [1].

Лемма 2. Пусть 0 1 . Если функция ( )u x – гармоническая в шаре , тогда

функции [ ]( )B u x

, [ ]( )B u x также являются гармоническими в шаре .

Лемма 3. Пусть 0 1 , u x - гармоническая функция в области . Тогда для

любого x справедливы равенства

[ ] ( ) ( ), [ ] ( ) ( ) B B u x u x B B u x u x

. (3)

Следующее утверждение устанавливает связь между операторами D и D при .

Лемма 4. Пусть 0 1 и u x - гармоническая функция в области . Тогда для

любого x справедливо равенство

( )B u x B B u x

. (4)

Доказательство. Известно (см. например [2]), что любая гармоническая в области

функция u x представляется в виде

( ) ( )

0 1

,kh

l l

k k

k l

u x u H x x

(5)

где , 1,2,...,l

k kH x l h - полная система однородных гармонических полиномов степени

k , а ( )l

ku -коэффициенты разложения (5). При этом ряд (5) сходится абсолютно и

равномерно по x при 1x .

Если ( )kH x – однородный гармонический полином степени k , 0,1,k , то

выполняются следующие равенства (см. например [1])

( 1)[ ]( ) ( ),

( 1 )k k

kB H x H x

k

(6)

( 1)

( 1 )k k

kB H x H x

k

. (7)



11

Применяя формально оператор B к ряду (5) и учитывая равенство (6), получаем

( ) ( )

0 1

( 1)

( 1 )

khl l

k k

k l

kB u x u H x

k

. (8)

Радиус сходимости ряда (8) совпадает с радиусом сходимости ряда (5) и поэтому

сходится абсолютно и равномерно по x при 1x . Преобразуем ряд (8) следующим

образом

( ) ( ) ( ) ( )

0 1 0 1

( 1) ( 1 ) ( )

( 1 ) ( 1 ) ( )

k kh hl l l l

k k k k

k l k l

k ku H x B u H x

k k

( ) ( )

0 1

1( 1 , )

( )

khl l

k k

k l

B k B u H x

1 1

1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )

0 1 0 10 0

1 1(1 ) (1 )

( ) ( )

k kh hk l l l l

k k k k

k l k l

s s B u H sx ds s s B u H sx ds

1

1 ( )

0

1(1 ) [ ]( ) [ ] ( )

( )s s B u sx ds B B u x

.

Лемма доказана.

Пусть 0 1 . Рассмотрим функцию

1 2

1

,

0

1( , ) 1 ,0 1

n

sP x y s s ds

sx y

. (9)

Лемма 5. Пусть 0 1 . Тогда функция , ( , )P x y

обладает свойством полярного

ядра, т.е. является непрерывным по ,x y при x y и для любых ,x y справедливо

неравенство

, ( , ) , 1P x y C x y n

. (10)

Доказательство. Отметим, что функция n

x y

является непрерывным по ,x y

при x y . Отсюда следует непрерывность функции 21

,0 1n

ss

sx y

по ,x y при

.x y Пусть фиксированное число из отрезка 0,1 . Разобьем интеграл в правой части

равенства (9) на две части

1 1

1 2

0 0

I I

.



12

Оценим интеграл 1I . Если 0 s , то 1 1sx y y sx y s x s . Тогда функция

nsx y

ограничена. Поэтому

1

1 1 1

1

0 0 0

1 1 1n

I s s sx y ds C s s ds C s s ds C

.

Таким образом, интеграл 1I является ограниченным. Далее, оценим 2I . Сперва

заметим, что для всех , ,x y x y имеет место неравенство

1 2

( 1)(1 ) (1 ) (| | | |) (1 ) 2 | | n

n n n

s s y s x s sx yC sx y

sx y sx y sx y

.

Тогда

1

( )

2

nI C sx y ds

.

Для оценки последнего интеграла воспользуемся следующим равенством

2

2 22 2

2 2

11 2 1 1

1 1

s qsx y sq s s q q

q q

,

где 1 1, ... n nq x y x y x y . Тогда после замены переменных 21s q t q получаем

11 /2

2

/22

11

bnn

n

a

dtsx y ds q

t

,

где 2 2

1,

1 1

q qa b

q q

.

Далее, так как

/2 /2

2 21 1

bn n

a

t dt t dt

,

то

11 /2

21nn

sx y ds C q

.

Так как



13

2 11 1 1 2 2 2 1q q q q q

2 2 2 21 1 12 1 2 , 2 1 2q x y x y q x y x y ,

то для интеграла 2I окончательно получаем оценку 1

2

nI C x y

. Следовательно, для

функции , ( , )P x y

справедливо неравенство (10). Лемма доказана.

2. Вспомогательные задачи

Для исследования разрешимости задачи (1),(2) сначала изучим следующую

вспомогательную задачу.

Задача А. Пусть 10 ... 1, 0, 1,2,...,m ja j m . Найти функцию v x

гармоническую в шаре , непрерывную в и удовлетворяющую условию

( )

1

,j

m

j

j

v x a B v x f x x

. (11)

Теорема 1. Пусть 10 ... 1, 0, 1,2,...,m ja j m . Тогда для любого

f x C решение задачи A существует и единственно.

Доказательство. Пусть v x является решением задачи A. Применим к функции v x

операторы ( ), 1,2,...,jB j m

и обозначим

( )

1

j

m

j

j

w x v x a B v x

. (12)

По предположению v x C . Тогда функция ( )jB v x

гармоническая в и

по утверждению леммы 1 ( )jB v x C

. Следовательно, функция w x принадлежит

классу C и является решением следующей задачи Дирихле:

0, ;w x x w x f x

. (13)

Докажем единственность решения задачи A. Если v x -решение однородной задачи

A, то 0f x и в силу единственности решения задачи Дирихле 0,w x x . Далее,

представим функцию v x в виде ряда (5), т.е.

1 1

khl l

k k

k l

v x v H x

.

Тогда



14

( )

1 1 1 1

( 1)1 0, 1

( 1 )

k

j

hm ml l

j j k k

j k l j j

kv x a B v x a v H x x

k

.

Так как 1

( 1)1 0

( 1 )

m

j

j j

ka

k

, то

0

l

kv для всех 1,2,..., 1,..., kk l h . Следовательно,

0v x , 1x и по непрерывности 0,v x x . Единственность решение задачи A

доказана.

Теперь перейдем к обоснованию существования решения задачи A. Пусть

x v x

след неизвестной гармонической функции v x на . Поскольку ищется

гармоническая функция v x C , то решение задачи A будем искать в виде интеграла

Пуассона:

21 1 | |

yn

n

xv x y ds

x y

. (14)

Подставляя функцию (14) в граничное условие (11) относительно неизвестной функции

x получаем следующее интегральное уравнение

1 2

1

1 0

1 | |1 ,j

mj

ynj n j

a sxx s s y dS ds f x x

sx y

Меняя местами, порядок интегрирования в левой части последнего равенства,

заключаем, что

,

1

, ,j

m

j y

j

x a P x y y dS f x x

,

где

1 21

,

0

1 11 j

j n

n j

sP s s ds

sx y

.

Обозначим

,

1

, ,j

m

j

j

K x y a P x y

.

Тогда интегральное уравнение относительно x можно переписать в виде

, ,yx K x y y ds f x x

(15)



15

Из утверждения леммы 8 следует, что ,K x y - ядро интегрального уравнения (15)

является полярным. Кроме того, для ,x y имеем

2 2 2 2 2 22 2 22 , 2 , 1 2 ,sx y s x s x y y s s x y s y s y x x sy x ,

и значит , ,, ,j j

P x y P y x . Тогда ядро интегрального уравнения (15) является

симметричным, т.е. , ,K x y K y x . Следовательно, к интегральному уравнению (15)

применима альтернатива Фредгольма. Из них вытекает утверждения теоремы.

Действительно, по доказанному выше однородная задача А имеет единственное

решение, следовательно, и соответствующее этой задаче однородное интегральное

уравнение (15) также имеет единственное решение. Тогда по теореме Фредгольма

интегральное уравнение (15) разрешимо при любом f x C . Если по функции x

построим функцию v x в виде интеграла Пуассона, то данная функция удовлетворяет всем

условиям задачи A. Теорема доказана.

3. Исследование основной задачи

В этом пункте мы сформулируем и докажем основное утверждение этой работы.

Теорема 2. Пусть 10 ... 1, 0, 1,2,...,m ja j m . Тогда для любого

f x C решение задачи (1),(1.2) существует, единственно и представляется в виде

( )u x B v x

, (16)

где v x - решение задачи А.

Доказательство. Пусть решение задачи (1),(2) существует и обозначается через ( )u x .

Применим к функции ( )u x оператор B и положим v x B u x .

Поскольку ( )u x - гармоническая функция в , то по утверждению леммы 3 функция

v x также является гармонической в . По определению для решения задачи (1),(2) имеет

место включение B u x C . Тогда по утверждению леммы 1 функции

( )

, 1,2,..,jB B u x j m

, также являются непрерывными в области . С другой

стороны из леммы 6 следует ( )

, 1,2,..,j jB u x B B u x j m

. Значит,

jB u x C

. Далее, используя граничные условия (1) получаем

( )

1

( ) j

m

j

f x P D u x B u x B B u x

( )

1

j

m

j

v x B v x



16

Таким образом, если u x - решение задачи (1),(2), то функция v x B u x

является решением вспомогательной задачи А.

По теореме 1 для любого ( ) ( )f x C решения задачи А существует и единственно.

Применяя оператор B

к равенству v x B u x в силу равенства (3) получаем (16).

Значит, решение задачи (1),(2) представляется в виде (16). Необходимость доказана.

Пусть наоборот, функция ( )v x является решением задачи А при ( )f x C . Ясно

что ( )v x C . Рассмотрим функцию ( ) [ ]( )u x B v x

. Покажем, что данная функция

удовлетворяет всем условиям задачи (1),(2). Действительно, если v x C , то функция

B v x

является гармонической и B v x C

. Тогда

,B u x B B v x v x B u x C

( ) ( )j j j j j jB u x B B v x B B B v x B v x

Отсюда следует

( )

1

j

m

m j

j

P D u x v x a B v x f x

,

т.е. граничное условие также выполняется. Теорема доказана.

Замечание 2. Из утверждения теоремы 2 следует, что решение задачи (1),(2)

существует для произвольной непрерывной функции ( )f x . Следовательно, данная задача

обобщает известную задачу Дирихле для уравнения Лапласа на граничные операторы

дробного порядка.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта МОН РК (грант № АР05131268).

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУР

1. Karachik V.V., Turmetov B.Kh., Torebek B. T. On some integro-differential operators in

the class of harmonic functions and their applications // Siberian Advances in Mathematics. – 2012.

–V.22, №. 2. – P. 115-134

2. Турметов Б. Х., Торебек Б.Т. Модифицированные операторы Баврина и их

применения //Дифференциальные уравнения. – 2015. – Т.51, № 2. – С. 240 – 250.

3. Kadirkulov, B. J., Kirane M. On solvability of a boundary value problem for the Poisson

equation with a nonlocal boundary operator // Acta mathematica scientia. – 2015. – V.35, No 5. – P.

970 – 980.

4. Krasnoschok M., Vasylyeva N. On a nonclassical fractional boundary-value problem for

the Laplace operator // Journal Differential Equations. – 2014. – V. 257. – P.1814 – 1839.

5. Turmetov B. Kh. A boundary value problem for the harmonic equation// Differential

equations. – 1996. – V.32, No 8. – P.1093 – 1096.

6. Ahmedov T.M., Veliev E., Ivakhnychenko M. Fractional operators approach in

electromagnetic wave reflection problems //Journal of Electromagnetic Waves and Applications. –

2007. – V. 21, No. 13. – P.1787 – 1802.



17

7. Veliev E.I., Ahmedov T.M., Ivakhnychenko M. V. Fractional Green’s function and

fractional boundary conditions in diffraction of electromagnetic waves on plane screens

//Azerbaijan Journal of Mathematics.- 2010. – V.1, No. 1. – P.85 – 98.

8. Veliev E. I., Ivakhnychenko M. V. Fractional boundary conditions in plane wave

diffraction on a strip // Progress in electromagnetics research. – 2008. – V.79. – P.443 – 462.

9. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional

Differential Equations. – Elsevier, Amsterdam, 2006.

УДК539.14

МҒТАР29.15.15

С.М.БЕКБАЕВ1, Д.Я.ҚУРБАН

2

1физика-математика ғылымдарының кандидаты, аға оқытушы,

1Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті,

E-mail: [email protected] 2Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті магистранты,

E-mail:[email protected]

6LI ЖӘНЕ

12C ЯДРОЛАРЫНДА ЭЛЕКТРОНДАР ШАШЫРАУ ФОРМ-

ФАКТОРЛАРЫН ТАЛДАУ

Жұмыста 6Li және

12C ядроларында электрондардың серпімсіз шашырау форм-

факторлары қарастырылған. Байланыстағы күйлердің толқындық функциялары Вудс-Саксон

потенциалында есептелінді. Алынған мәліметтер басқа жұмыстардың нәтижелерімен

салыстырылған.

Кілт сөздер: форм-фактор, электрондар, толқындық функция, Вудс-Саксон

потенциалы.

С.М.Бекбаев1, Д.Я.Қурбан

2

1кандидат физико-математических наук, старший преподаватель,


E-mail: [email protected] 2магистрант Международного казахско-турецкого университета имени Ходжа Ахмеда Ясави,


Анализ форм-фактора рассеяния электронов в ядрах 6Li и

12C

В работе осуществлен анализ форм-факторов неупругого рассеяния электронов на

ядрах 6Li и

12C. Волновые функции связанных состояний расчитывались в потенциала Вудс-

Саксона. Результаты анализа сравниваются с данными других работ.

Ключевые слова: форм-факторы, электроны, волновая функция, потенциал Вудс-

Саксона.

S.M.Bekbayev1, D.Ya.Kurban

2

1candidate of physical and mathematical sciences, senior lecturer,


E-mail: [email protected] 2master student of the Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish University,


Analysis of the electron scattering form factor in 6Li and

12C nuclei






18

The paper analyzes the form factors of inelastic electron scattering on 6Li and 12C nuclei.The

wave functions of the bound states were calculated in the Woods-Saxon potential.The results of the

analysis are compared with data from other works.

Keywords: form factors, electrons, wave function, Woods-Saxon potential.

Соңғы уақытта үдеткіштер технологиясының қарқынды дамуы және эксперимент

техникасының жетілуіне байланысты нуклондар, жеңіл иондар және электрондар

қатысуымен ӛтетін ядролық реакцияларды зерттеу мүмкіндіктері бірнеше есе артты. Осы

себепті бұл процестерді бірыңғай теориялық әдіспен қарастыру кӛкейкесті мәселеге айналды

[1].

Электрондардың ядролармен әсерлесуін зерттеуде электрон күшті әсерлесуге тікелей

қатыспайтын болғандықтан, Паули принципін есепке алудың қажеті болмайды. Сонымен

бірге, электронның ядромен әсерлесу сипаты жақсы белгілі - ол электронның ядро заряды

мен ондағы токтармен электромагниттік әрекеттесуі. Бұл әсерлесу салыстырмалы түрде әлсіз

е2 ≪ 1 , сондықтан электрондардың ядроларда шашырауы ядроның күйін айтарлықтай

бүліндіре қоймайды. Осы себепті, электрондардың ядролармен әсерлесуіндегі әртүрлі

процестерді зерттеу ядроның қасиеттері және құрылымы туралы маңызды ақпаратты күшті

әрекеттесуші бӛлшектер реакциясында қолдану мүмкін [2]. Ал электрондардың ядроларда

шашыратылу процестерін сипаттауда ӛз қиындықтары бар. Ядрода нейтрон-протондық

жұптарда мезондық токтар туындайды және ол токтарды дұрыс есепке алу қажет.

Ұсынып отырған мақалада электрондардың жеңіл ядроларда серпімді және серпімсіз

шашырау форм-факторларын талдау нәтижелерін беріп отырмыз. Ал кейінгі жұмыстарда,

сол ядроларда электрондар шашыратылу нәтижелерін пайдаланып нуклондардың серпімсіз

шашырауындағы тіке ядролық реакцияларды зерттеуге арналады. Бұл жұмыста мысал

ретінде тек 6Li және

12C ядролары қарастырылған және [3] жұмыста алынған нәтижелерді

сыни кӛзқараспен қайта есептеулер жүргізілді.

Электрондардың ядроларда серпімсіз шашырауы

Электрондардың ядроларда серпімсіз шашырауының бойлық форм-факторлары FL(q)

және кӛлденең форм-факторлары FТ(q) үшін негізгі ӛрнектерін береміз:

2

2 2 2

20

( ) ( ) ( )4( ) ,

2 1

f i

coul

J J J

L p C M

j i

Ô M q ÔF q f f

z J

(1)

22

20

22 2

4 1 ?( ) ( ) ( ) ( )(2 1)

?( ) ( ) ( ) ,

f i

f i

el

N J J J

Ji

mag

J j J p C M

F q Ô T q ÔZ J

Ô T q Ô f f

(2)

𝑀𝐽𝑀𝑐𝑜𝑢𝑙 𝑞 = 𝑑𝑟 𝑗𝐽 𝑞𝑟 𝑌𝐽𝑀 Ω𝑟 𝜌 𝑁 𝑟 , (3)

𝑇 𝐽𝑀𝑒𝑙 𝑞 =

1

𝑞 𝑑𝑟 { ∇ · 𝑗𝐽 𝑞𝑟 𝑌 𝐽𝐽 1

𝑀 (Ω𝑟 ) ∙ 𝐽 𝑁 𝑟 + 𝑞2 ∙ 𝐽𝐽 𝑞𝑟 𝑌 𝐽𝐽 1𝑀 (Ω𝑟 )𝜇 𝑁 𝑟 }, (4)

𝑇 𝐽𝑀𝑚𝑎𝑔 𝑞 = 𝑑𝑟 𝑗𝐽 𝑞𝑟 𝑌 𝐽𝐽 1

𝑀 Ω𝑟 𝐽 𝑁 𝑟 + ∇ · 𝑗𝐽 𝑞𝑟 𝑌 𝐽𝐽 1𝑀 (Ω𝑟 ))𝜇 𝑁 𝑟 , (5)



19

мұнда 𝑀𝐽𝑀𝑐𝑜𝑢𝑙 , 𝑇 𝐽𝑀

𝑒𝑙 және 𝑇 𝐽𝑀𝑚𝑎𝑔

- сәйкесінше кулондық және магниттік ӛту операторлары, 𝑓𝑝 -

протондық форм-факторы, біздің есептеулерде ол бірге тең деп алынған. 𝑓𝑐𝑀 = 𝑒𝑥𝑝 𝑞2/4𝐴𝛿2-массалар центрінің қозғалысын ескеретін кӛбейтінді;𝒷=1𝛿2-гармоникалық

осциллятор параметрі; 𝑗𝐽 𝑞𝑟 -Бессель функциясы; 𝑌𝐽М Ω𝑟 - сфералық функция; 𝑌 𝐽𝐽 1𝑀 (Ω𝑟 ) -

векторлық сфералық функция, 𝜌 𝑁 𝑟 , 𝐽 𝑁 𝑟 , 𝜇 𝑁 𝑟 -сәйкесінше: нуклонның заряд

тығыздығының, тогының және магнит моментінің операторлары; 𝑞 және 𝐽 - сәйкесінше,

берілетін импульс және толық бұрыштық моменті.

Кӛлденең электрлік форм-факторды сенімді есептеу үшін үздіксіздік теңдеуі

қолданылады

∇ ∙ 𝐽 𝑁 𝑟 = −𝑑𝜌 𝑁 𝑟

𝑑𝑡= −𝑖 𝐻, 𝜌𝑁 𝑟 . 6

Бұл теңдеуді қолдану физикалық тұрғыдан алмасушы мезондық токтарды есепке алуды

білдіреді [4].

(1) және (2) ӛрнектер біз қарастырып отырған электрондық және нуклондық

процестерде байланыстағы күйлердің толқындық функцияларын Ф𝐽 𝑖𝑀𝑖 𝜁 және Ф𝐽𝑓𝑀𝑓

𝜁

білу қажет. Бұл толқындық функциялар 1р-қабықшадағы ядролар үшін [5] және [6]

жұмыстардағы сияқты аралық байланыс арқылы кӛпбӛлшектік қабықшалы модельде

есептелінеді.

Ал толқындық функцияның бірбӛлшектік күйлерінің радиалдық бӛлігін гармоникалық

шұңқырда есептеу ыңғайлы. Бірақ, осциллятор потенциалында есептелген бірбӛлшектік

деңгейлер схемасында дұрыс емес нәтижеге алып келеді. Бұдан алынған толқындық

функциялар бүлінген асимтотикаға ие болады және ядролық зат тығыздығының күрт

құлдырау аймағын дұрыс сипаттамайды. Сонымен бірге ядролық реакциялар ядроның

перифериясында немесе шекаралық аумақта әсерлесетіні белгілі, яғни осцилляторлық

толқындық функция жақсы сипатқа ие болмаған аумақта болады. Бірбӛлшектік күйлердің

толқындық функцияларын дұрыс сипаттау үшін шеттері тегіс келген потенциал алу керек.

Бұл жұмыста бірбӛлшектік күйлердің толқындық функцияларының радиалдық бӛлігі

спин-орбиталдық әсерлеу мен нуклондық эффектіні ескеретін Вудс-Саксон потенциалында

есептелінеді.

Серпімсіз электрондық шашырау форм-факторларын талдау кезінде бірбӛлшектік

күйлердің толқындық функциялары Вудс-Саксон потенциалында есептелінді және ол

потенциал параметрлерінің 𝑉0, 𝑟0, 𝑎 экспериментті жақсы сипаттаушы мәндері мен ядроның

соңғы протонының байланыс энергиясын дұрыс мәнін беретіндей етіп талдап алынады.

Алынған нәтижелерді талдау

1) Бұл жұмыста әдебиетте жарияланған эксперимент нәтижелерін [7,8] 6Li ядросының

Е∗ = 2,18 МэВ (бойлық форм-факторы) және Е∗ = 3,56 МэВ (кӛлденең форм-фактор) қозған

күйлеріндегі форм-факторларды теориялық талдау жүргізілген. Екі қозған күй үшін де

эксперименттік мәліметтер жеткілікті дәрежеде теориямен жақсы сипатталған (1-сурет,

үздіксіз сызық).



20

1-сурет. 6Li ядросында серпімсіз электрондар шашырауының бойлық және кӛлденең форм-

факторлары. Ҥздіксіз қисық сызық біздің есептеулер. Пунктир қисық сызық 𝓫 = 𝟏, 𝟖𝟏 фм болған

осцилляторлық толқындық функцияларда есептелген нәтижелер. Эксперименттік мәліметтер

(нҥктелер) [7, 8] жҧмыстардан алынған.

Бұл қисық сызықтар келесі толқындық функцияның Вудс-Саксон потенциалы

параметрлері мәндерінде есептелінген: 𝑉0 = 46.3МэВ , 𝑟0 = 1,31 фм және 𝑎 = 1,08фм. Осы

суретте салыстыру үшін пунктир қисық сызық арқылы толқындық функция 𝒷 = 1,81 фм

осцилляторлық потенциал параметрі арқылы есептеу нәтижесі берілген.

Біз қарастырып отырған ядродағы қозған күйлерге ӛту форм-факторлары [8] және [9]

жұмыста қарастырылған. Мысалы [8] жұмыста осы ядроның электрондар шашырауындағы

Е∗ = 3,56 МэВ қозған күйге ӛту серпімсіз форм-факторы талданған. Бұл жұмыста

конфигурациялар коэффициенттерінің әртүрлі мәндері болған толқындық функциялар

қолданылған. Ал бірбӛлшектік толқындық функцияның күйлерінің радиалдық бӛлігі

феномологиялық қабықшалар моделі бойынша гармоникалық осциллятор шұңқырында

есептелген. Ондағы параметрлер конфигурациялар коэффициенттерінің мәндеріне қарай

𝒷 = 1,798 фм және 𝒷 = 1,895 фм деп алынған. Толқындық функцияларды есептегенде

спин-орбиталдық және кулондық әсерлесулерді ескермеген Вудс-Саксон потенциалын

пайдаланған ондағы диффузиялық параметр мәні а = 0,5 фм деп алынған, ал потенциалдық

шұңқыр параметрі 𝑉0 және радиус параметрі 𝑟0 –ге әртүрлі мәндер беріп ӛзгерткен.

Конфигурациядағы коэффициенттер және потенциал параметрлері мәндеріне байланысты

протонның байланыс энергиясының шамасы Есв 1,5 МэВ-тен 4,5-МэВ-қа дейін ӛзгерген

(эксперименттік мән Есв= 4,653 МэВ). Мысалы 𝑉0 = 32,5МэВ және 𝑟0 = 1,51 фм болғанда

Есв= 2,5 МэВ болған. Толқындық функцияларды гармоникалық осциллятор шұңқырында

немесе Вудс-Саксон потенциалында есептегенде де 𝑞 > 2,5 фм−1

мәніндегі эксперименттік

мәліметтерді сипаттау мүмкін болмады.



21

[9] жұмыста литий ядросының Е∗ = 2,18 МэВ қозған күйге ӛту бойлық форм-факторы

мезондық токтарды ескеріп және осциллятор параметрінің мәні 𝒷 = 1,7 фм деп алынған.

Коэн-Курат толқындық функциясын пайдалана отырып талдаған. Авторлар мұның

нәтижесінде бойлық форм-факторды жақсы сипаттай алғанымен Е∗ = 3,56 МэВ қозған күйге

ӛту кӛлденең форм-факторын сипаттай алмады.

2) Бұл жұмыста 12

С ядросының Е∗ = 4,44 МэВ қозған күйге ӛту бойлық және кӛлденең

форм-факторлары [10] талданған. Есептеулерде электромагниттік ядроның ток үшін

үздіксіздік теңдеуі (6) ескерілген ӛту операторы пайдаланылады. Вудс-Саксон потенциалы

параметрлерінің келесі мәндерінде 𝑉0 = 45,4МэВ , 𝑟0 = 1,58 фм,

𝑎 = 0,64 фм бойлық және кӛлденең екі форм-факторды бірдей жақсы сипаттауға қол

жеткізілді. (2-суретте, үздіксіз қисық сызық).

2-сурет.

12C ядросында серпімсіз шашырауының бойлық және кӛлденең форм-факторлары.

Ҥздіксіз қисық сызықтар біздің есептеулер. Эксперименттік мәліметтер (нҥктелер) [10] жҧмыстан

алынды. Пунктир қисық сызық ҥздіксіздік теңдеуі ескерілмеген есептеулер.

Осцилляторлық толқындық функцияны 𝒷 = 1,73 фм пайдаланып есептелген форм-

факторлар дәл осы үздіксіз қисық сызыққа сәйкес келеді. Кӛлденең форм-фактордағы

пунктир сызықпен белгіленген қисық сызық - бұл үздіксіздік теңдеуін ескермеген

жағдайдағы есептеулер.

[10] жұмыста осы форм-факторлар осцилляторлық параметр мәні 𝒷 = 1,76 фм болған

Коэн-Курат толқындық функцияларын пайдаланып талданған. Ядролық ток үшін үздіксіздік

теңдеуі есепке алынбаған. Осы себептен болу керек, эксперименттік бойлық форм-факторды

жақсы сипаттағанмен, кӛлденең форм-фактор есептеулермен жақсы үйлеспейді. Бұл

жұмыста авторлар кӛлденең форм-фактор үшін Вудс-Саксон толқындық функцияларын

пайдаланып кӛргенде де, электромагниттік В(Е2) ӛту ықтималдығы мәліметтері негізінде

конвекциялық токтың электрлік ӛту операторын қайта нормалағанда да, есептеудің

экспериментпен үйлесуі елеусіз дәрежеде ӛзгеріп, эксперимент дұрыс сипатталмады.

Сонымен, электрондардың шашырау форм-факторларын талдау арқылы протондық

бірбӛлшектік толқындық функциялар анықтауға мүмкіндік береді. Нейтрондық толқындық

функцияларды есептеу үшін, электрондық шашырау талдауларынан анықталатын 𝑟0 және а



22

параметрлерін ӛзгертпестен, потенциалдық шұңқыр тереңдігін ӛзгерту арқылы ядродағы

соңғы нейтронының дұрыс байланыс энергиясы болып табылады.

Біздің жұмысымыздың жалғасында нейтрондардың серпімсіз шашырау мәліметтерін

талдау үшін, бірбӛлшектік күйлердегі нейтрондық толқындық функцияларды есептеуде

пайдаланылған Вудс-Саксон потенциалының параметрлері 1-кестеде берілген.

Кесте -1. Вудс-Саксон потенциалының параметрлері.

Ядро V0, МэВ r0, фм a, фм V0∗) r0

∗) a∗) 6Li 54,02 1,21 0,65 47,6 1,29 0,93

12C 53,84 1,31 0,64 46,90 1,62 0,68

Ескерту:

*)- электрондық шашырау мәліметтерін пайдаланбай жасалған есептеулер

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Petrovich F. The (p,n) reaction and the nucleon-nucleon force // New York: Plenum

PUBLISHING Comporation, 1980.- Р. 115-147.

2. Petrovich F., Love W.G. The scattering of elementary probes from nuclei at medium

energy: a new look at the nucleus // Nucl. Phys.- 1981. Vol. A354.- P. 499-534.

3. Satchler G.R. Direct Nuclear Reactions.- Oxford: Clarendon Press, 1983.

4. Бекбаев С.М., Ким Г., Эрамжян Р.А. Анализ переходов на самые нижние уровни 6Li и

12C на основе данных по неупругому рассеянию электронов и нуклонов // Изв. АН СССР,

сер.физ.- 1990.- T. 54.- C. 1014-1021.

5. Эрамжян Р.А., Гмитро M., Kаипов T.Д. и др. Сообщение ОИЯИ, E4-83-543, 1983.

6. Бояркина А.Н. Структура ядер 1р-оболочки.- М: Издательство МГУ, 1973.- 63 с.

7. Неудачин В.Г., Смирнов Ю.Ф. Нуклонные ассоциация в легких ядрах.– М.: Наука,

1969.- 414 с.

8. Bergstorm J.G., Deutschmann V., Neuhausen R. Electron scattering from the 3.56 MeV

(0+, T=1) state in

6Li at high momentum transfer // Nucl. Phys.- 1979.- Vol. 327.- № 2.- Р. 439-457.

9. Bergstorm J.G., Deutschmann V., Neuhausen R. 6Li electromagnetic form factors and

phenomenological cluster models // Nuc1.Phys.- 1979.- Vol. 327.- № 2.- P. 458-476.

10. Cheon I.T., Choi S.J., Jeong M.T. 6Li electromagnetic form factors. Phys. Lett., Vol.

b144.- №5,6.- 1984.- P. 312-318.

11. Convection Currents and Spin Magnetisation in E2 Transitions of 12

C. // Flanz J.B., Hicks

R.S., Lindgren R.A. // Phys. Rev. Lett.- 1978.- Vol. 41.- № 24.- P. 1642-1645.



23

UDK 517.962

IRRSTE 27.31.15

M.B.BORIKHANOV PhD-doctoral student of the Al-Farabi Kazakh National University,

Institute of Mathematics and Mathematical Modeling,


CRITICAL EXPONENTS OF FUJITA TYPE FOR SYSTEM OF TIME-FRACTIONAL

DIFFUSION EQUATIONS

The present paper is devoted to research critical exponents of Fujita type for system of non-

linear time-fractional diffusion equations with the nonnegative initial conditions. To prove the blow

up, we use the known test function method developed in papers by Mitideri and Pohozhaev [15].

Keywords: blow-up, global weak solution, critical exponents of Fujita type, system of time-

fractional diffusion equations.

М.Б.Бӛріханов Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университетінің PhD докторанты,

ҚР ҰҒА Математика және математикалық модельдеу институты,


Уақыт бойынша бӛлшек диффузия теңдеулері жҥйесіне арналған Фуджит типті сыни

кӛрсеткіштер

Бұл мақала теріс емес бастапқы шарттармен берілген, уақытқа тәуелді сызықты емес

бӛлшек ретті диффузияның теңдеулер жүйесі үшін Фуджита түріндегі критикалық

кӛрсеткіштерді зерттеуге арналған. Шешімнің күйреуін дәлелдеу үшін біз Митидери және

Похожаев жұмыстарындағы сынақ функциясы әдісін қолданамыз.

Кілт сөздер: күйреу, әлсіз глобалды шешім, Фуджит түріндегі критикалық

кӛрсеткіштер, уақыт бойынша бӛлшектік ретті диффузиялық теңдеулер жүйесі.

M.Б.Бориханов PhD докторант Казахского национального университета им. Аль-Фараби,

Институт математики и математического моделирования,


Критические показатели типа Фуджита для систем уравнений дробной диффузии

во времени

Настоящая работа посвящена исследованию критических показателей типа Фуджиты

для системы нелинейных уравнений дробной по времени диффузии с неотрицательными

начальными условиями. Для доказательства разрушения решении мы используем известный

метод тест-функции, разработанный в работах Митидери и Похожаева.

Ключевые слова: разрушение, слабое глобальное решение, критические показатели

типа Фуджита, система уравнений времени и дробной диффузии.

Introduction

Solutions of initial value problems for non-linear parabolic partial differential equations may

not exist for all time. In other words, these solutions may blow up in some sense or other. Recently

in connection with problems for some class of non-linear parabolic equations, Kaplan [1], I to [2]



24

and Friedman [3] gave certain sufficient conditions under which the solutions blow up in a finite

time. Although their results are not identical, we can say according to them that the solutions are apt

to blow up when the initial values are sufficiently large. The data at which solutions can blow up is

called critical exponents of Fujita.

In the paper [4], Fujita considered the initial value problem:

, for , 0, ,

,0 0, for ,

p N

t

N

u u u x t R

u x a x x R

(1)

where p is positive number, 1 Na x L R is nonnegative and positive on some subset of NR of

positive measure and denotes the Laplacian in N variables.

More precisely, he considered this problem on 0,NR T for some T . A (classical or

weak solution) of equation on 0,NR T for some T is called a local (in time) solution. The

supremum of all such T’s for which a solution exists is called the maximal time of existence, maxT .

When maxT we say the solution is global. When maxT , we say the solution of equation is

not global (or the solution ―blows up in finite time‖.

Let 2 / .cp N Fujita proved the following assertions:

(i) if 0 cp p and 0a x for some 0x , then the solution of problem (1) grows infinitely

at some finite instant of time;

(ii) if cp p , then problem has a positive solution for every 0t .

More exactly, for each 0k , there exists a 0 such that problem (1) has a global solution

whenever 2

0k x

a x e

. The number cp is referred to as the critical exponent. In the critical

case, this problem was solved in [5] for 1,2N and in [6] for arbitrary N . It was shown that if

cp p and then there is no nonnegative global solution for any nontrivial initial data. The proof

was simplified by Weissler [7].

Later, Fujita [8] extended his own results to the more general case in which f u (the term

describing the reaction) is convex and satisfies appropriate conditions (the main of which is the

Osgood condition). The results obtained for problem (1) were generalized in [9] to the case of an

initial-boundary value problem in a cone with the term 1px u instead of

1pu ; it was proved that,

in this case, the critical exponent is equal to 2 / N .

It was shown in [10] that the critical exponent for the porous medium equation is equal to

1 2 /m N , where 2 /m N N

.

The equation

1 ,m p

t

su uxu t 0, ,Nt x R

with nonnegative initial data was considered in [11]. It was shown that the critical exponent for this

problem is equal to 1 1 2 2 / 0m s s N .



25

The following parabolic equation with the fractional power /2

,0 2,

of the Laplace

operator was studied in [12]:

/2 1 ,p

tu u u , .Nt x R R

Using Fujita’s method [4], the authors [13] discussed nonnegative solutions of the equation

/2 1 ,p

tu u h t u , ,Nt x R R (2)

where h t behaves as ,t 1, 0 1 .pN The proof given in [13] is based on the

reduction of Eq. (2) to an ordinary differential equation for the mean value of u with the use of the

fundamental solution [say, , P x t ] of /2

: /L t

.

Apparently, the approach of [13] cannot be used for systems of two differential equations with

distinct diffusion terms unless, for example, , P x t can be compared with , P x t for .

The following spatio-temporal fractional equation

/2 1

0

0

D , , for , ,

,0 0, for ,

p N

N

u u h x t u x t R R

u x u x x R

where 0D

, 0,1 is the fractional derivative in the sense of Caputo, 1,2 with nonnegative

initial data was considered in [14]. The critical exponent for this problem is equal to

1 1

1cp p

N

.

Similarly, M.Escobedo and M. A. Herrero considered blow up for a semilinear reaction-

diffusion system in [16]

, , 0,

, , 0,

p N

t

q N

t

u u v x R t

v v u x R t

where 1, 0, 0N p q and with subject to the initial conditions

0 0,0 0, ,0 0, for .Nu x u x v x v x x R

They proved the critical exponent for the case 1pq of this problem is equal to

1,

1 2

N

pq

where max{ , }.p q

In addition to this, in [14] considered system of spatio-temporal fractional equations



26

/2

0| 0

/2

0| 0

D , for , ,

D , for , ,

p N

t

q N

t

u u u v x t R R

v v v u x t R R

and with the nonnegative initial conditions

0

0

,0 0, for ,

,0 0, for ,

N

N

u x u x x R

v x v x x R

where 0 , 1 , 2.

The critical exponent for this problem were shown in the following form

1 11 1

max ,

' ' ' '

a

q pq p pqN

qp q qp q

.

The main goal of the present research is to obtain results on critical exponents for system of

time -fractional diffusion equations of the form

21

0 , ,2

21

0 ,2

, , , , , 0,

, , , , , 0, ,

p

t t T

q

t t T

u x t D u x t v x t x t R Tx

v x t D v x t u x t x t R Tx

(3)

with the initial conditions

0 0,0 0, ,0 0, for ,u x u x v x v x x R (4)

where 1

0 ,tD

denotes the time-derivative of arbitrary order 0,1 in the sense of Riemann-Liouville.

In the case, 1 the system of time-fractional diffusion equation (3) reduces to the a

semilinear reaction-diffusion system, which is well documented in [16].

Some definitions and properties of fractional operators

Definition 1 [17]. The left and right Riemann-Liouville fractional integrals aI and

bI

of

order ( 0),R are given by

11

, ,

t

a

a

I f t t s f s ds t a b



27

and

11

, , ,

b

b

t

I f t s t f s ds t a b

respectively. Here ( ) denotes the Euler gamma function.

Definition 2 [17]. The left Riemann-Liouville fractional derivative aD

of order ,R

0 1 is defined by

1

,

1, , .

1

t

a t a

a

dD f t I f t t s f s ds t a b

dt

Similarly, the right Riemann-Liouville fractional derivative bD

of order , 0 1R is

defined by

1

,

1, , .

1

b

b t b

t

dD f t I f t s t f s ds t a b

dt

Definition 3 [17]. The left and the right Caputo fractional derivatives of order ,R

0 1 is defined, respectively, by

1

,

1D , ,

1

t

a t a

a

df t I f t t s f s ds t a b

dt

and

1

,

1D , , .

1

b

b t b

t

df t I f t s t f s ds t a b

dt

requires 1 0, .f s L T

Definition 4. A function 1, , : , 0,loc T Tu v L x t R T is a local weak solution to the

systems of time-fractional diffusion equations on T , such that

1

0 ,,0 , D , , , , ,

T T T

p

T t xx t

R

u x x dx u x t x t dxdt u x t x t dxdt v x t x t dxdt

and

1

0 ,,0 , D , , , , , ,

T T T

q

T t xx t

R

v x x dx v x t x t dxdt v x t x t dxdt u x t x t dxdt

for any test functions 2,1 2,1

, ,, , ,x t T x t Tx t C x t C are compact functions defined on the

domain T with , , 0.x T x T



28

Property. Integrating fractional integral by parts

1, , , , .

T T

t TI u x t f x t dxdt u x t I f x t dxdt

Main results

Multiply the first part of systems of time-fractional diffusion equation (3) by a test function

,x t , we have

2

1

0 ,2

0 0 0

, , , , , , .

T T T

p

t t

R R R

u x t x t dxdt D u x t x t dxdt v x t x t dxdtx

Integrating by parts the equation (3) and note that , 0x T we get

0

0 0

, , ,0 , ,

T T

t t

R R R

u x t x t dxdt u x x dx u x t x t dxdt (5)

and

2

1

0 ,2

0

, ,

T

t

R

D u x t x t dxdtx

1 1 1

0 , 0 , 0 ,

0 0 0

, , , , , , .

T T T

t t x t xxRR R

D u x t x t dt D u x t x t dt D u x t x t dxdtx

(6)

By Property the last part of the (6), can be written as

1 1

0 , ,

0 0

, , , D , .

T T

t xx T t xx

R R

D u x t x t dxdt u x t x t dxdt

Obviously, we can write the equation (3)-(4) in the following form

1

0 ,,0 , D , , , , ,

T T T

p

T t xx t

R

u x x dx u x t x t dxdt u x t x t dxdt v x t x t dxdt

and

1

0 ,,0 , D , , , , , .

T T T

q

T t xx t

R

v x x dx v x t x t dxdt v x t x t dxdt u x t x t dxdt

Theorem 1. Let 1, 1.p q Assume that



29

; .

2 1 1

N p p

pq pq

Then, the system (with initial data) does not admit nontrivial global weak nonnegative solutions.

Proof. The proof proceeds by contradiction. Suppose that u and v are a nontrivial

nonnegative solutions which exist globally in time. That is u and v exist in *0,T for any arbitrary

* 0.T Let , T R and be positive real numbers such that 2/ *0 .TR T

Let z be a smooth nonincreasing function such that

1 if z 1,

,

0 if z 2

z

and 0 1.z

The test functions ,x t and ,x t are chosen so that

' '1 '/ '/

,D , , , , , ,

T T

q qq q q q

T t xx tx t x t dxdt x t x t dxdt

(8)

' '1 '/ '/

,D , , , , , .

T T

p pp p p p

T t xx tx t x t dxdt x t x t dxdt

(9)

To estimate the right-hand side of the Definition 4 on 2/ 1TR , we write

2/ 2/1 1

2/ 2/1 1

1 1/ 1 1/

, ,, D , , , D , , ,

TR TR

q q

xx xxTR t TR yu x t x t dxdt u x t x t x t x t dxdt

2/ 2/1 1

1/ 1/, , , , , , .

TR TR

q q

t tu x t x t dxdt u x t x t x t x t dxdt

According to the Young equality

' ,q qXY X C Y ' ',q q qq , 0,X Y

we have the estimates

2/ 1

2/ 1

1

,, D ,

TR

xxTR tu x t x t dxdt

2/ 1

2/ 2/1 1

'1 '/

,, , D , ,

TR TR

qq q q

xxTR tu x t x t dxdt C x t x t dxdt



30

and

2/ 2/ 2/1 1 1

' '/, , , , , ,

TR TR TR

q q q q

t tu x t x t dxdt u x t x t dxdt C x t x t dxdt

respectively.

Similarly,

2/ 2

2/ 2

1

,, D ,

TR

xxTR tv x t x t dxdt

2/ 1

2/ 2/2 2

'1 '/

,, , D , ,

TR TR

pp p p

xxTR tv x t x t dxdt C x t x t dxdt

and

2/ 2/ 2/2 2 2

' '/, , , , , , .

TR TR TR

p p p p

t tv x t x t dxdt v x t x t dxdt C x t x t dxdt

Now, taking small enough, we obtain the estimates

2/ 1

2/ 2/1 1

' '1 '/

,, , D , , , ,

TR TR

qq q q q

xx tTR tu x t x t dxdt C x t x t x t dxdt

(10)

2/ 2

2/ 2/2 2

' '1 '/

,, , D , , , .

TR TR

pp p p p

xx tTR tu x t x t dxdt C x t x t x t dxdt

According to the Hölder inequality

2/ 1

2/ 1

1

,, D ,

TR

xxTR tu x t x t dxdt

2/ 1

2/ 2/1 1

1/ 1/ '

'1 '/

,, , D , ,

TR TR

q q

qq q q

xxTR tu x t x t dxdt x t x t dxdt

and

2/ 2/ 2/1 1 1

1/ 1/ '

' '/, , , , , , .

TR TR TR

q q

qq q q

t tu x t x t dxdt u x t x t dxdt x t x t dxdt



31

Consequently

2/ 2/1 1

1/

, , , , ,

TR TR

q

p q

v x t x t dxdt u x t x t dxdt A

(11)

with

2/ 1

2/ 2/1 1

1/ ' 1/ '

' '1 '/ '/

,D , , , , .

TR TR

q q

q qq q q q

xx tTR tA x t x t dxdt x t x t dxdt

Similarly, we obtain the estimate

2/ 2/2 2

1/

, , , , ,

TR TR

p

q p

u x t x t dxdt v x t x t dxdt B

(12)

with

2/ 2

2/ 2/2 2

1/ ' 1/ '

' '1 '/ '/

,D , , , , .

TR TR

p p

p pp p p p

xx tTR tB x t x t dxdt x t x t dxdt

Noticing the inequalities (11) and (12)

2/ 1

11

1/, ,

TR

pqp qv x t x t dxdt B A

(13)

and

2/ 2

11

1/, , .

TR

pqq pu x t x t dxdt B A

(14)

Now, in A , we use the variables , y defined by 12/t R

and x yR .

While, in B , we use the variables , y defined by 22/t R

and x yR .

And set

2/ 2 2: , 0, / , 2 , , 1,2.i i iy R T R y y i



32

Now, we choose 1 such that the right-hand side of A we get

2/ 1

2/ 1

1/ '

'1 '/

,D , ,

TR

q

qq q

xxTR tx t x t dxdt

2/ 1

2/ 12/ 1

1/ ''

1 '/1, ,

TR

qq

TR

q q

sxx

R

s t x s ds x t dxdt

1 1 1 1

1

2/ 1

'

1 '/2/ 2/ 2/ 2/

2/2

1 1

TR

qT

q q

yyR R R d RdyR dR R

1 1

2/ 1

2/ 1

1/ '2 1 2

1 2 1 ' '/' 1

,

TR

q

q q qq

yyTR tR D dyd

and

1 1

2/ 2/1

1/ ' 1/ '2 1 2

1' ' '/''/, ,

TRTR

q q

q q q qqq qx t x t dxdt R dyd

are of the same order in R.

In doing so we find 1 . Similarly, 2 .

Then from (13)-(14) we have the estimates

1 2

2/

11

1/

1, ,

TR

pqqp l lv x t x t dxdt C R R

and

1 2

2/ 2

11

1/

2, , ,

TR

pqpq l l

u x t x t dxdt C R R

where 1

2 1 21

'l

p

, 1

2 1 21 .

'l

q

Accordingly



33

1 2

2/

11

/

1, , ,

TR

pqp l q l

v x t x t dxdt C R

(15)

1 2

2/ 2

11

/

2, , ,

TR

pqq l l p

u x t x t dxdt C R

(16)

where

2/

1/' ' '/1

1 ,D

qp p p p

yyTR tC C dyd

2/

' ' '/1

,D ,

q q q q

yyTR tdyd

2/

' ' '/1

2 ,D

p p p p

yyTR tC C dyd

2/

1/' ' '/1

,D .

pq q q q

yyTR tdyd

If we choose 1 2/ 0l q l in (15) and let R , we obtain

2/

11

, , 0.

TR

pqp

v x t x t dxdt

(17)

This implies that 0v a.e., which is a contradiction.

In case 1 2 0/l q l , (i.e. is cp p ) observe that the convergence of the integral in (15) if

2 2 2, 0, : + 2 ,R x t R T R x t R

then

, , 0.

R

p

Rlim v x t x t dxdt

(18)

If instead of using the young equality, we rather use the Hölder inequality, then in place

of estimate (10), we get



34

2/

1/

, , , , ,

RTR

p

p p

v x t x t dxdt L v x t x t dxdt

(19)

where

1 1

' 1/ '

' ''/ '/1:

p p

p pp p p p

T yyD dyd dyL d

and

2/ 2

1 , 0, / :1 + 2 .y R T R y

According to (19), we obtain via (18), after passing to the limit as R ,

, 0.p

u x t dxdt

This leads to 0u .

In the case 1 2 0/l q l , note that the requirement 1 2/l q l is equivalent to

.

2 1

N q

pq

(20)

Using (14), we obtain, in a similar manner, the estimate

.

2 1

N q

pq

(21)

Observe that either (20) or (21) is needed to obtain a contradiction, so it suffices to assume

max , .

2 1 1

N q q

pq pq

Acknowledgments.This research is financially supported by a grant No. AP05131756 from the

Ministry of Science and Education of the Republic of Kazakhstan.

REFERENCES

1. Kaplan S. On the growth of solutions quasi-linear parabolic equations. Comm. Pure Appl.

Math.- 1963. № 16. - P. 305-330.

2. Ito S. On the blowing up of solutions quasi-linear parabolic equations. Bulletin of the

Mathematical Society of Japan.- 1966. № 1(18).- P. 44-47.

3. Friedman A. Remarks on non-linear parabolic equations. Proc. of Symposia in Appl. Math.-

1965. №17.- P. 3-23.



35

4. Fujita H. On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for 1

u u ut

. J. Fac.

Sci. Univ. Tokyo Sect.- 1966. № 13.- P. 109–124.

5. Hayakawa. On Nonexistence of Global Solutions of Some Semilinear Parabolic Differential

Equations. Proc. Japan Acad.- 1973. № 49.

6. Kobayashi K., Sirao T. and Tanaka H. On the growing up problem for semilinear heat

equations. J. Math. Soc. Japan.- 1977, № 3 (29).

7. Weissler F.B. Existence and non-existence of global solutions for a semilinear heat equation.

Israel J. Math.- 1981. № 1-2 (38).

8. Fujita H. On some nonexistence an nonuniqueness theorems for nonlinear a parabolic

equations. Proc. Symp. Pure Math.- 1968. № 18, part I.- P. 138-161.

9. Bandle C. and Levine. On the existence and nonexistence of global solutions of reaction-

diffusion equations in sectorial domains. Trans. Amer. Math. Soc.- 1989. № 2 (316).- P. 595-622.

10. Samarskii A., Galaktionov V., Kurdyumov, S., and Mikhailov A. Blow-up in quasilinear

parabolic equations. Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society.- 1996. № 4 (33).

11. Qi Y.W. The critical exponents of parabolic equations and blow-up in NR . Proc. Roy.

Soc. Edinburgh Sect. A.- 1998. № 1(128).- P. 123-136.

12. Sugitani S. On nonexistence of global solutions for some nonlinear integral equations.

Osaka J. Math.- 1975. № 12.- P. 29-40. 13. Guedda M. and Kirane, M. A note on nonexistence of global solutions to a nonlinear

integral equation. Bull. of the Belgian Math. Soc.- 1999. № 6.- P. 491-497.

14. Kirane M., Laskri Y., Tatar N. Critical exponents of Fujita type for certain evolution

equations and systems with spatio-temporal fractional derivatives. J. Math. Anal. Appl.-2005. №

312.- P. 488–501.

15. Pohozaev S.I. and Mitidieri E.L. A priori estimates and blow-up of solutions to nonlinear

partial differential equations and inequalities. Tr. Mat. Inst. Steklova.- 2010. № 269.- P. 110–119.

16. M.Escobedo and M. A. Herrero. Boundedness and blow up for a semilinear reaction-

diffusion system. Journal Differential Equations.- 1991. № 89.- P. 176-202.

17. Kilbas A. A., Srivastava H. M. and Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional

Differential Equations. North-Holland Mathematics Studies. - 2006.- P. 69-90.

УДК 378+517.9

МРНТИ 14.07.09

Р.ИБРАГИМОВ педагогика ғылымдарының докторы, профессор,

Онтүстік Қазақстан мемлекеттік педагогикалық университеті,


ҤШ АЙНЫМАЛЫСЫ БАР СИММЕТРИЯЛЫҚ КӚПМҤШЕЛІКТЕРДІҢ

ҚОЛДАНЫЛУЫ

Жұмыста сызықты алгебралық теңдеулер жүйелерін, иррационалдық теңдеулерді,

теңсіздік жүйелерін және т.б. шешудегі симметриялық кӛпмүшеліктерден пайдаланудың

қолданбалы аспектілері қарастырылған. Жоғарыда аталған мәселелерді зерттеудің

симметриялық кӛпмүшеліктер теориясына негізделген бірыңғай алгоритмі келтірілген.

Кілт сөздер: симметриялық кӛпмүшелік, сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі,

теңсіздік, кӛпмүшелікті жіктеу.




36

Р.Ибрагимов доктор педагогических наук, профессор,

Южно-Казахстанский Государственный педагогический университет,


Применение симметричного многочлена с тремя переменнымы

В работе рассматривается прикладные аспекты применения симметричных

многочленов при решении систем линейных алгебраических уравнений, иррациональных

уравнений, систем неравенств и т.д. Приведен единый алгоритм исследования

вышеперечисленных задач, основу которого составляет теория симметрических

многочленов.

Ключевые слова: симметричный многочлен, система линейных алгебраических

уравнений, неравенства, разложение многочлена.

R.Ibragimov doctor of pedagogical sciences, professor,

South Kazakhstan State pedagogical university,


The use of a symmetric polynomial with three variables

The paper deals with the applied aspects of applying symmetric polynomials when solving

systems of linear algebraic equations, irrational equations, inequality systems, etc. A unified

algorithm for studying the above problems is given, which is based on the theory of symmetric

polynomials.

Key words: symmetric polynomial, system of linear algebraic equations, inequality,

decomposition of a polynomial.

Мынадай ),,(),,(),,(),,( yzxfxyzfzxyfzyxf симметриялық кӛпмүшелікке

назар аударайық [1,2].

Анықтама: , ,х у z айнамалыларды бір-бірімен әрқандай алмастырғанда да

ӛзгермейтін ),,( zухf кӛпмүшелікті осы айнымалылардың симметриялық кӛпмүшелігі

немесе симметриялық функциясы деп атайды.

Мысалы: 2 2 2( , , ) .f х у z x yz xy z xyz

Қарапайым үш айнымалысы бар симметриялық кӛпмүшеліктерге келесі кӛпмүшелер

1

2

3

( , , ) ,

( , , ) ,

( , , ) ,

f х у z x y z

f x y z xy yz xz

f x y z xyz

мысал бола алады.

Дәрежелік қосындылардан тұратын мына кӛпмүшеліктерге симметриялық кӛпмүшелік

болады:

,k k k

kS x y z





37

( , , ) ,f x y z xy yz xz

3 3 3( , , ) 3 ,f х у z x y z xyz

( , , ) ( )( )( ),f x y z x y y z x z

4 4 4 4 4 4( , , ) .f x y z x y z y x z z x y

Үш айнымалысы бар симметриялық кӛпмүшелікті қарапайым симметриялық

кӛпмүшеліктерге және керісінше алмастыруға болады.

Мысалы: xyzzyxzухf 4),,( 333 кӛпмүшелікті түрлендіру арқылы 3

1 2 3 1 1 2 3( , , ) ( , , ) 3f х у z f түрінде жазуға болады.

Теорема: Кез-келген x,y,z айнымалыларға сәйкес симметриялық кӛпмүшеліктерді

1 2 3, ,x y z xy yz xz xyz қарапайым кӛпмүшеліктер арқылы жіктеуге

(ӛрнектеуге) болады.

Бұл теорема жәрдемінде мынадай теңдіктерді (формулаларды) жазуға болады:

1

2 2 2 2

1 2

3 3 3 3

1 1 2 3

4 4 4 4 2 2

1 1 2 2 1 3

,

2 ,

3 3 ,

4 2 4 ,

x y z

x y z

x y z

x y z

(1)

Мұнан басқа да мынадай теңдіктерді алуға болады: 2 2 2 2 2 2

1 2 3

2 2 2 2 2 2 2

2 1 3

3 3 3 3 3 3 2 2

1 2 2 1 3

3 ,

2 ,

2 .

x y xy x z xz y z yz

x y x z y z

x y xy x z xz y z zy

(2)

kkk

k zyxS дәрежелік қосындыны 321 ,, кӛпмҥшеліктер арқылы ӛрнектеу:

0

1 1

2

2 2 1 2

4 2 2

3 1 1 2 2 1 3

1 1 2 2 3 3

3,

,

2 ,

4 2 4 ,

.k k k k

S

S x y z

S xy yz xz

S

S S S S



38

Теңдеулер жҥйесін шешуде ҥш айнымалысы бар симметриялық кӛпмҥшеліктерді

пайдалану

Үш айнымалысы бар симметриялық кӛпмүшеліктерден де кӛптеген есептерді

шығаруда пайдалану мүмкін екен. Біз бұл мақалада теңдеулер жүйесін шешуде, тепе-

теңдіктерді дәлелдеуде, бӛлшектің бӛлімін иррационалдықтан құтқаруда, жоғары дәрежелі

қайтымды теңдеулерді шешуде, симметриялық кӛпмүшеліктерді кӛбейткіштерге жіктеудегі

үш айнымалысы бар симметриялық кӛпмүшеліктерден пайдалану ерекшеліктерін

баяндаймыз.

Теорема. 321 ,, -үш кез-келген сан болсын. Онда

032

2

1

3 uuu

куб теңдеумен

1

2

3

,

,

,

x y z

xy yz xz

xyz

теңдеулер жүйесі бір- бірімен эквивалент.

Егер 321 ,, uuu куб теңдеудің шешімдері болса, олар теңдеулер жүйесінің , ,х у z

шешімдерімен тӛмендегідей теңдіктерді қанағатттандырады.

1 1

1 2

1 3

,

,

.

x u

y u

z u

2 1

2 3

2 2

,

,

.

x u

y u

z u

4 2

4 3

4 1

,

,

.

x u

y u

z u

5 3

5 1

5 2

,

,

.

x u

y u

z u

6 3

6 2

6 1

,

,

.

x u

y u

z u

Бұл теңдеулер жүйелері бір-біріне орнына қою болғандықтан егер , ,x a y b z c

болса, , ,a b c лар куб теңдеудің шешімдері болады.

Мысалы: Теңдеулер жүйесін шешіңдер.

2 2 2

3 3 3

3,

3,

3.

x y z

x y z

x y z

Шешу: Жаңа айнымалы 321 ,, -терді енгіземіз:

1

2

3

,

,

,

x y z

xy yz xz

xyz



39

Бұл теңдеулер жүйесі мына түрде түрленеді:

1

2

1 2

3

1 1 2 3

3,

2 3,

3 3 3.

1 3, 2 3, 3 1.

Олай болса, айнымалылар орнына мәнін қойсақ

3,

3,

1.

x y z

xy yz xz

xyz

Теорема шартына сәйкес

3 23 3 1 0,u u u

3 2

1

2

2,3

1 3 1 0, 1 1 3 0,

1) 1 0 1,

1 1 4 1 32) 1 0 .

2 2

u u u u u u u

u u

iu u u

Демек,

,1x2

31 iy

,

1 3.

2

iz

Кӛпмҥшеліктерді кӛбейткіштерге жіктеу

Мысал: xyzzyx 3333 кӛпмүшелікті кӛбейткіштерге жіктеңдер.

Шешу:

3 3 3 3 3

3 3 1 1 2 3 3 1 1 2

2 2 2 2

1 1 1

3 3 3 3 3 3

3 ,

x y z xyz S

x y z x y z xy yz xz

Мысал: 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )( )( )a b c a b c a b c a b c b c a c a b a b c

кӛпмүшелікті кӛбейткіштерге жіктеңдер.

Шешу:



40

2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 3 3 3 3 2

1 1 1 1

3 2 3 3

1 1 1 1 2 1 1 2 3 1

3

1 1 2 3 3

2 2 2 2 2 2

4 4 2

4 8 4 2 4 3 3

2 4 8 4 4 .

a a b b c c a b c

a b c a b c a b c a b c

ab ac bc abc

abc

Тепе-теңдіктерді дәлелдеу Мысал. Мына тепе-теңдікті дәлелдеңдер.

( )( ) ( )( )( ).x y z xy yz xz xyz x y x z y z

Дәлелдеу: Тепе-теңдіктің сол жағы 321 ,, -ке тең. Тепе-теңдіктің оң жағынан

тӛмендегіні келтіріп шығарайық:

2 2 2 2 2 2

1 2 2 3 1 2 3( )( )( ) 2 ( 3 ) 2 .x y x z y z x y x z y x xz y z yz xyz

Тепе-теңдік дәлелденді.

Мысал. Егер 0x y z болса, 4 4 4 22( )x y z xy xz yz екендігін дәлелдеңдер.

Дәлелдеу:

4 4 4 4 2 2

4 1 1 2 2 1 34 2 4 ,x y z S

есеп шарты бойынша 1 0, сондықтан 4 4 4 22( ) .x y z xy xz yz Тепе-теңдік дәлелденді.

Мысал: 2хzух 2у + 2z =3x + 33 zy =1 болса, онда 0хуz болатындығын

дәлелдеңдер.

Дәлелдеу:

Есептің шартын былай жазуға болады:

1

2

1 2

3

1 1 2 3

1,

2 1,

3 3 1.

Бұл системаны шешіп 1 1, 02 , 03 екендігін табамыз. Олай болса 03 ден

0хуz екендігі келіп шығады.

Мысал:

Егер х , ,,,, vuzy сандар



41

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

,

,

,

х у z u v

x y z u v

x y z u v

теңдіктерды қанағаттандыратын болса, онда кез-келген натурал n саны үшін nnnnnn vuzyx теідік орынды болатындығын дәлелдеңдер.

Дәлелдеу: х , zy, айнымалыларға сәйкес симметриялық кӛпмүшеліктерді 321 ,,

деп, ал ,,vu ларға сәйкес симметриялық кӛпмүшеліктерді 321 ,, деп белгілеп алайық.

Онда берілген қатыстарды былай жазуға болады:

1 1

2 2

1 2 1 2

3 3

1 1 2 3 1 1 2 3

,

2 2 ,

3 3 3 3 .

Мұнан 332211 ,, келіп шығады. ( , , ) ( , , )f x y z f u v болғандықтан, кез-келген

Nn үшін nnnnnn vuzyx теңдік орынды болады.

01 болғанда kkk

k zyxS дәрежелік қосындыны 2 және 3 арқылы

ӛрнектеу

1

2 2

3 3

2

4 2

5 2 3

0,

2 ,

3 ,

2 ,

5 .

S

S

S

S

S

2 3

6 3 2

2

7 2 3

4 2

8 2 2 3

3 3

9 3 2 3

5 2 2

10 2 2 3

3 2 ,

7 ,

2 8 ,

3 9 ,

2 15 .

S

S

S

S

S

Мысал: 7 7 7

4 4 4

3 3 3

( ) 7( )

( )

a b a ba b a b

a b a b b

екендігін дәлелдеңдер.

Дәлелдеу: c a b деген ауыстыру орнатамыз, сонда 0 cba теңдік орынды

болады. Берілген тепе-теңдікті c айнымалыны қосып былай жазуға болады

7 77 7 7 7 7 7 7

3 3 3 3 33 3 3 3.

a b a b c a b c a b

c a ba b a b c a b

Жоғарыдағы алгоритмден пайдалансақ:



42

227 2 32

3 3

7 7.

3 3

S

S

Ал енді теңдіктің оң жағындағы ӛрнекті былай түрлендірейік:

4 44 4 4 4 4 4 4 2 2

4 2 2

7 7 7 7 7 72 .

6 6 6 6 6 3a b a b c a b a b c S

Олай болса, тепе- теңдік дәлелденді.

Бӛлшектің бӛлімін иррационалдықтан қҧтқаруда симметриялық

кӛпмҥшеліктерді қолдану

Мысалы: Бӛлшектің бӛлімін иррационалдықтан құтқарыңдар.

1.

a b c

Шешу: Мынадай алмастыру жасайық: , , .a x b y c z Онда бӛлшектің

бӛлімі 1 zyx симметриялық кӛпмүшелікке айналады.

Бӛлшектің бӛлімін 2S немесе 4S дәрежелік қосындылар түрінде ӛрнектеуге болатын

кӛбейткішті іздейік. Бізге белгілі:

2 2 2

2 ,S x y z a b c

4 4 4 2 2 2

4 .S x y z a b c

Ізделінді кӛбейткішті мына ӛрнектерден келтіріп шығаруға болады.

2

2

12 2 S , 4 2 2

4 1 1 2 1 3 24 4 2 .S

Мұнан: 2 4 2 2

2 1 1 2 24 4 .S

Осы 2S ден 2 4S -ті азайтамыз:

2 3

2 4 1 1 2 1 32 4 8 ,S S

олай болса,

3

1 2 1 3

2

1 2 4

4 81.

2S S

(3)

(3) формулаға ax , by , cz терді орнына қойып және



43

2 2 2

2

4 4 4 2 2 2

4

,

,

S x y z a b c

S x y z a b c

екендіктерін ескерсек

3

2 2 2 2

4 81.

2

a b c ab ac bc a b c abc

a b c a b c a b c

Бӛлшектің бӛліміндегі иррационалдықтан арылдық .

Үш айнымалысы бар симметриялық кӛпмүшеліктегі қарапайым симметриялық

кӛпмүшеліктерге жіктеуді қайта қарастырайық.

Бізге белгілі

1 1 2 3

2 1 2 2 3 1 3

3 1 2 3

,

,

,

x x x

x x x x x x

x x x

болған 321 ,, -терді орбита ұғымы жәрдемінде былай жазамыз.

1 1

2 1 2

3 1 2 3

1 2

1, 2

,

,

,

,

, .

k k

n n

x

x x

x x x

x x x

x x x

Бұл теңдіктен қарапайым симметриялық кӛпмүшеліктердің саны айнымалылар санына

тең болатынынан айқындалады. (1) формуладан n=4 болғанда мыналарды алуға болады.

1 1 2 3 4

2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

3 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4

4 1 2 3 4

,

,

,

.

x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x



44

Теорема: ),,,( 21 nxxxf симметриялық кӛпмүшелік болсын. Мынадай шартты

қанағаттандыратын 1 2( , , , )n кӛпмүшелік бар болып, ол біреу ғана болады.

1 2( , , , )n кӛпмүшеліктегі n ,, 21 орнына

1 1 2

3 1 2

,

,

n

n

x x x

x x x

мәндерін қойсақ, ),,,( 21 nxxxf кӛпмүшелік келіп шығады.

Дәрежелік қосындыларды қарапайым симметриялық кӛпмүшеліктер арқылы ӛрнектеу

мәселесін қарастырайық. Кӛп айнымалысы бар симметриялық кӛпмүшеліктерді пайдалану

үшін мына теңдіктерді дәлелсіз алайық (орта мектепте дәлелін түсіндіру оқушыларға қиын

болатындықтан).

Тӛрт айнымалысы бар симметриялық кӛпмҥшелік ҥшін мынадай болады:

1 1

2

2 1 2

3

3 1 1 2 3

4 2 2

4 1 1 2 2 1 3 4

5 3 2 2

5 1 1 2 1 2 1 3 2 3 1 4

,

2 ,

3 3 ,

4 2 4 4 ,

5 5 5 5 5 ,

S

S

S

S

S

I. Тепе-теңдіктерді дәлелдеу. Мысалы, мынадай тепе-теңдіктерді дәлелдеуді орта

мектеп оқушылары орындай алмайды.

а) 0a b c d болғанда

3 3 3 3 2 2( ) 9( )a b c d bcd acd abd abc

екендігін дәлелдеңдер.

в) 0a b c d болғанда

4 4 4 4 2 2 22( ) 2( ) 2( ) 4 .a b c d ab cd ac bd ad bc abcd

Бұл тепе-теңдіктерді симметриялық кӛпмүшеліктер жәрдемінде ӛте оңай дәлелдеуге болады.

ІІ. Теңсіздіктерді дәлелдеу: Мысалы, мынадай теңсіздіктерді дәлелдеуді орта мектеп

оқушылары орындай алмайды.

2 2 2 2

1 2 1 2

1( )n nx x x x x x

n



45

екенін дәлелдеңдер. Бұл теңсіздікті симметриялық кӛпмүшеліктер жәрдемінде ӛте оңай

дәлелдеуге болады.

ІІІ. Кӛбейткіштерге жіктеңдер. yzdxztxytxyztzyx 33333333

кӛбейткіштерге жіктеңдер.

Жоғары дәрежелі теңдеулер жүйелерін шешудің жалпы әдісін табу ӛте күрделі болса

да, кӛптеген мұндай теңдеулер жүйесін шешуде симметриялық кӛпмүшеліктерден пайдалану

жалпылық әдіске айналуы мүмкін екен.


1. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре.- Москва: Наука, 1967.- 420 с.

2. Ибрагимов Р. Элементар математика.- Шымкент: Әлем, 2010.- 218 б.

УДК 517.95

ГРНТИ 27.29.23

Б.Т.КАЛИМБЕТОВ1, Х.Ф.ЕТМИШЕВ

2, З.М.МИРАТOЕВ

3

1доктор физико-математических наук, профессор,

Международный казахско-турецкий университет имени Ходжа Ахмеда Ясави,

E-mail: [email protected] 2старший преподаватель, Джизакский политехнический институт (Джизак, Узбекистан),

E-mail: [email protected] 3преподаватель, Алмалыкский филиал Ташкентского Государственного технического

университета им. Ислама Каримова (Алмалык, Узбекистан), E-mail: [email protected]

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

В работе рассматривается начальная задача для систем дифференциальных уравнений

дробного порядка с малым параметром при производной. Произведена регуляризация задачи

и приведен алгоритм нормальной и однозначной разрешимости общеитерационных систем

дифференциальных уравнений с частными производными. В среде компьютерной

математической системы Maple вычислены приближенные решения и построены

соответствующие графики решений для различных значений малого параметра.

Ключевые слова: матрица-функция, вектор-функция, дифференциальное уравнение

дробного порядка, регуляризация, асимптотика, итерационная задач, нормальная и

однозначная разрешимость.

Б.Т.Калимбетов1, Х.Ф.Етмишев

2, З.М.Миратoев

3

1физика-математика ғылымдарының докторы, профессор,


E-mail: [email protected] 2аға оқытушы, Жиззах политехника институты (Жизах, Ӛзбекстан), E-mail: [email protected]

3оқытушы, Ислам Каримов атындағы Ташкент Мемлекеттік техника университетінің

Алмалық филиалы (Алмалық, Ӛзбекстан), E-mail: [email protected]

Бӛлшек ретті сингуляр ауытқыған қарапайым дифференциалдық теңдеулер

Жұмыста туындының алдында кіші параметрі бар бӛлшек ретті дифференциалдық

теңдеулер жүйесі үшін бастапқы есеп қарастырылған. Есептің регуляризациясы жасалған

және дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердең түратын жалпы итерациялық









46

жүйелердің шешімділігі және бір мәнді шешімділігінің алгоритмы келтірілген. Maple

компьютерлік математикалық жүйеде жуық шешімдер есептелген және кіші параметрдің

әртүрлі мәндеріне сәйкес шешімдердің графиктері қүрылған.

Кілт сөздер: матрица-функция, вектор-функция, бӛлшек ретті дифференциалдық

теңдеу, регуляризация, асимптотика, жалпы итерациялық есеп, нормаль және бір мәнді

шешімділік.

B.T.Kalimbetov1, Kh.F.Etmishev

2, Zh.M.Miratoev

3

1 doctor of physical and mathematical sciences, professor, Khoja Akhmet Yassawi International

Kazakh-Turkish University, E-mail: [email protected] 2senior lecturer, Zhizakh Polytechnic Institute (Zhizakh, Uzbekistan), E-mail: [email protected]

3teacher, Almalyk branch of the Islam Karimov Tashkent State Technical University (Almalyk, Uzbekistan),


Singularly perturbed ordinary differential equations of fractional order

In this paper we consider the initial problem for systems of differential equations of fractional

order with a small parameter for the derivative. Produced regularization problem and is given

algorithm for normal and unique solubility general iterative systems of differential equations with

partial derivatives. In the environment of the computer mathematical system Maple, approximate

solutions are calculated and corresponding solution schedules for various values of the small

parameter are constructed.

Keywords: matrix-function, vector-function, differential equation of fractional order,

regularization, asymptotics, iterative problems, normal and unique solvability.

Рассматривается сингулярно возмущенная задача

(1/ 2) 0( , ) ( ) ( ), (0, ) , [0, ],L y t y a t y h t y y t T (1)

где ( , )y t неизвестная функция, ( ), ( )a t h t известные функции, 0y известное постоянное

число, 0 малый параметр. Требуется построить регуляризованное асимптотическое

решение задачи (1) при 0.

Задача (1) эквивалентна следующей задаче:

0( , ) ( ) ( ), (0, ) , [0, ],dy

L y t t a t y h t y y t Tdt

(2)

Задачу (2) будем рассматривать при следующих предположениях:

1) функции ( ), ( )a t h t принадлежат пространству [0, ],C T то есть элементы функций

( ), ( )a t h t имеют на отрезке [0, ]T производные любого порядка;

2) ( ) 0, [0, ].a t t T

Введем регуляризирующие переменные [2]:

0

1 ( )( , ),

ta s

ds ts

и вместо исходной задачи (2), будем рассматривать «расширенную» задачу






47

0( , , ) ( ) (0,0, ) .( ) ( ) , y y

t t h tt

L y a t a t y y y

(3)

Связь задачи (3) с задачей (2) состоит в том, что если ( , , )y t решение задачи (3), то

сужение этого решения ( , ( , ), ) ( , )y t t y t при ( , )t будет являться точным

решением задачи (2)

Определяя решение системы (3) в виде ряда

0

( , , ) ( , ),k

k

k

y t y t

( , ) ([0, ], )n

ky t C T C , (4)

получим следующие итерационные задачи:

000 0 0( , ) ( ) ( ) 0,0 ;( ) , ( )

yLy t y h t y yt a t a

0( )

01 1( , ) 0,0 0; , ( )

yLy t yt

t

1( )

. . .

1( , ) , (0,0) 0, 1.kk k

yLy t t y k

t

( )k

Решение каждой из итерационных задач ( )k будем определять в пространстве U

функций вида:

0 1( , ) : ( ) ( ) , ( ) ([0, ], ) , 0,1.n

jU y t u y y t y t e y t C T C j (5)

Каждая из итерационных задач ( )k имеет следующий вид

( , ) ( ) ( , ) ( ) , y

Ly t y h tt a t a

(6)

где ( , )h t U соответствующая правая часть.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть ( , )h t U и выполнены условия 1) - 2). Тогда для разрешимости

уравнения (6) в пространстве U необходимо и достаточно, чтобы имели место условия

( , ), ( ) 0, 1, , [0, ],jh t d t j n t T (7)

где ( )j td собственные функции матрицы функции ( ),tA соответствующие собственным

значениям ( ), 1, .j t j n

Доказательство. Определяя решение ( , )y t системы (6) в виде элемента (5)

пространства ,U получим следующие системы для коэффициентов ( ),jy t 0, ,j n суммы

(5):



48

( ) ( ) ( ) ( ), 1, ,k k kyt I A t t h t k n (8)

0 0 .( ) ( ) ( ), (1,1)yA t t h t I diag (9)

Система (9) в силу того ( ) 0,detA t имеет единственное решение 1

0 0( ) ( ) ( ).y t A t h t

Система (81) разрешима в [0, ]C T тогда и только тогда, когда выполнены условия

( ), ( ) 0, 1, , [0, ],k kh t d t k n t T что совпадает с условием (7). Теорема доказана.

Замечание. При выполнение условий (7) система (6) имеет решение, представимое в

виде

1

0

11

( ( ), ( ))( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ),k

n nk s

k k s

k s k k ss

h t d ty t t c t c t e A t h t

t t

(10)

где [0, ], 1,( )k C T k nt произвольные скалярные функции.

Следующая теорема устанавливает условию, при которых решение (10) системы (6)

определяется в классе U однозначно.

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1), 2а) и ( , )h t U системы (6) удовлетворяет

условиям (7). Тогда система (6) при дополнительных условиях:

0(0,0) ,y y (11)

23 ( , )( ) 0, 1, , [0, ],, j

y tt t j n t T

td

(12)

где 0 ny C известная постоянная, однозначно разрешима в пространстве .U

Доказательство. Поскольку выполнены условия теоремы 1, то система (6) имеет

решение в пространстве U в виде (10), где пока не найдены функции , 1, .( )k k nt Для их

вычисления будем использовать дополнительные условия (11),(12).

Подчиним (10) начальному условию (11), получим систему:

1 0

0

1 , 1

( (0), (0))(0) (0) (0) (0) (0) .

(0) (0)

n nk s

k k s

k s k s k s

h dc c A h y

Умножая скалярно обе части этого равенства на (0)kd и учитывая биортогональность

систем { ( )}kc t и { ( )},kd t найдем однозначно начальные значения 0(0)k k для функций

, 1,2.( )k kt

Подчиним теперь функцию (10) условию (12). Сначала вычислим ( , )

:y t

t



49

1

0

1 , 1

( , ) ( ) ( , )( ) ( , )( ) ) .(k

n nk s k s k s k s k s

k k k k s s

k s k s k s k s

h d h d h dc c c c e A h

Условия (12) приводят к уравнениям:

2 13

0

,1

( , )( , ) ( , ) ) , 0, 1, .(

nk s

k k k k k k k

s k k ss

h dt c d c d A h d k n

которые вместе с начальными условиями 0 ,(0)k k найденными ранее, позволяют

однозначно найти функции , 1, .( )k k nt Теорема доказана.

Пример 1. Построить с помощью развитого выше алгоритма главный член

асимптотики решение задачи Коши

(1/ 3)

(1/3

1

2

( )0 1

( )1 0

y h ty

h tzz

, 0

0

(0, ) ,

(0, ) ,

y y

z z

(13)

где [0, ]t T , 1T , 0 малый параметр. Собственные значения матрицы ( )A t этой

системы суть числа 1( )t i , 2 ( )t i . Соответствующие им собственные векторы ( )jc t и

собственные векторы ( )jd t сопряженного оператора ( )A t имеют вид

11

ic

, 2

1

ic

, 1

1

id

, 21

id

.

Введем регуляризирующие переменные:

3 32 2

1 1 2 2

3 3( , ), ( , ).

2 2

i it t t t

Для расширенной функции { ( , , ), ( , , )}w y t z t получаем следующую задачу:

2

3 2 0

1

( ), (0,0, ) ,j

j j

w wt Aw h t w w

t

где обозначены0 0 0

1 2{ , }, ( ) { ( ), ( )}, { , }.w y z h t h t h t w y z

Определяя решение этой задачи в виде ряда

0

( , , ) ( , )k

k

k

w t u w t u

,

получим следующие итерационные системы:



50

200

0 0 0 0

1

( , ) ( ), (0,0) ;j

j j

wL w t Aw h t w w

(14)

3 2 00 1 1( , ) , (0,0) 0;

wL w t t w

t

(15)

3 2 10 ( , ) , (0,0) 0, 1.k

k k

wL w t t w k

t

(16)

. . .

Решение уравнение (14) ищем в виде функции: 1 2(0) (0) (0)

0 1 2 0( , ) ( ) ( ) ( ).w t w t e w t e w t (17)

Подставляя (17) в уравнение (14) и приравнивая коэффициенты при одинаковых экспонентах

и свободные члены, получим:

(0)

1 1[ ] ( ) 0,I A w t (18)

(0)

2 2[ ] ( ) 0,I A w t (19)

(0)

0 ( ) ( ).Aw t h t (20)

Из системы (20) найдем, (0) 1

0 ( ) ( ).w t A h t В уравнениях (18) и (19) (0) (0)

1 2( ), ( )w t w t

произвольные функции.

Таким образом, мы определили решение (17) системы (14) следующим образом:

1 2(0) (0) 1

0 1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( ),w t t c e t c e A h t (21)

где (0) , 1,2( )k kt произвольные функции.

Подчиним (21) начальному условию 0

0(0,0) .w w

0

1(0) (0)

1 202

(0)0 1(0) (0) ,

(0)1 1 1 0

hi iy

hz

или же

(0) (0) 0

1 2 2

(0) (0) 0

1 2 1

(0) (0) (0) ,

(0) (0) (0) ,

i i h y

h z

откуда получаем:



51

0 0 0 0(0) (0)1 2 1 21 2

(0) [ (0) ] (0) [ (0) ](0) , (0) .

2 2

z h i h y z h i h y

(22)

Для однозначного определения произвольных функций (0) , 1,2,( )k kt которые

присутствуют в решении (21) задачи (14), переходим к следующей итерационной задаче (15).

Сначала вычислим:

1 2(0) (0) 101 1 2 2

( , )( ) ( ) ( ).

w tt c e t c e A h t

t

(23)

Решение уравнение (14) ищем в виде функции:

1 2(1) (1) (1)

1 1 2 0( , ) ( ) ( ) ( ).w t w t e w t e w t (24)

Подставляя (24) в уравнение (15) (с учетом (23)) и приравнивая коэффициенты при

одинаковых экспонентах и свободные члены, получим:

(1) (0)3

1 1 1[ ] ( ) ( ),I A w t t t

(1) (0)3

2 2 2[ ] ( ) ( ),I A w t t t

(1) 13

0 ( ) ( ).Aw t t A h t

Для разрешимости первых двух систем, необходимо и достаточно, чтобы (0) ( ) 0, 1,2.k t k С учетом начальных условий (22) найдем функции

0 0

(0) (0) 1 21 1

(0) [ (0) ]( ) (0) ,

2

z h i h yt

0 0(0) (0) 1 22 2

(0) [ (0) ]( ) (0) ,

2

z h i h yt

однозначным образом.

Таким образом, мы определили произвольные функции (0) ( ) 0, 1,2,k t k в решении

(21) и тем самым однозначно определили функцию (17) итерационной задачи (14), т.е.

построили главный член асимптотики решении задачи(13): 3 230 0

0 1 2 2

0

( ) (0) ( (0) )

( ) 12

ity t iz h i h y

ez t

3 230 0

11 2 2

2

( )0 1(0) ( (0) ).

( )1 1 02

it h tiz h i h y

eh t

Пример 2. Найти приближенные решения и построить графики решений задачи Коши

для сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений:



52

(1/ 3)

(1/3) ( , ) 0 1 ( , ),

1 0 ( , )( , )

t

t

y t y t e

z t ez t

(0,1) 1,

(0,1) 1,

y

z

для различных значений в среде компьютерной математической системы Maple [7-8].

> restart; cond:=y(0.1)=1,z(0.1)=1;

> sys1:=diff(0.1*y(t),t)=(z(t)+exp(t))/(t^(1/3)),(diff(0.1*z(t),t)= (-y(t)-exp(t))/(t^(1/3)));

> dsolve({sys1},{y(t),z(t)});

> F:=dsolve({sys1,cond},[y(t),z(t)],numeric):

> with(plots):

> p1:=odeplot(F,[t,y(t)],0..0.5, color=black,thickness=2,linestyle=3):

> p2:=odeplot(F,[t,z(t)],0..0.5,color=green,thickness=2):

> p3:=textplot([0.45,1.4,"y(t)"],font=[TIMES,ITALIC,12]):

> p4:=textplot([0.19,-3.9,"z(t)"],font=[TIMES,ITALIC,12]):

> display(p1,p2,p3,p4);

:= cond ,( )y 0.1 1 ( )z 0.1 1

:= sys1 ,0.1

d

d

t( )y t

( )z t et

t( )/1 3

0.1

d

d

t( )z t

( )y t et

t( )/1 3

( )y t ( )sin 15 t( )/2 3

_C2 ( )cos 15 t( )/2 3

_C1

d

( )cos 15 t( )/2 3

e t ( )t( )/1 3

10

t( )/1 3

t ( )sin 15 t( )/2 3

d

( )sin 15 t( )/2 3

e t ( )t( )/1 3

10

t( )/1 3

t ( )cos 15 t( )/2 3

( )z t , ( )cos 15 t( )/2 3

d

( )cos 15 t( )/2 3

e t ( )t( )/1 3

10

t( )/1 3

t

( )sin 15 t( )/2 3

d

( )sin 15 t( )/2 3

e t ( )t( )/1 3

10

t( )/1 3

t ( )cos 15 t( )/2 3

_C2 ( )sin 15 t( )/2 3

_C1 e t

:= sys2 ,0.4

d

d

t( )y t

( )z t et

t( )/1 3

0.4

d

d

t( )z t

( )y t et

t( )/1 3

( )y t

sin

15 t( )/2 3

10

4_C2

cos

15 t( )/2 3

10

4_C1

1

1010 d

cos

15 t( )/2 3

10

4e t ( )t

( )/1 325

t( )/1 3

t

sin

15 t( )/2 3

10

4

1

1010 d

sin

15 t( )/2 3

10

4e t ( )t

( )/1 325

t( )/1 3

t

cos

15 t( )/2 3

10

4 ( )z t ,

cos

15 t( )/2 3

10

4d

cos

15 t( )/2 3

10

4e t ( )t

( )/1 325

t( )/1 3

t

sin

15 t( )/2 3

10

4d

sin

15 t( )/2 3

10

4e t ( )t

( )/1 325

t( )/1 3

t

cos

15 t( )/2 3

10

410 _C2

sin

15 t( )/2 3

10

410 _C1 et



53

:= sys3 ,0.5

d

d

t( )y t

( )z t et

t( )/1 3

0.5

d

d

t( )z t

( )y t et

t( )/1 3

:= sys4 ,d

d

t( )y t

( )z t et

t( )/1 3

d

d

t( )z t

( )y t et

t( )/1 3

( )y t ( )sin 3 t( )/2 3

_C2 ( )cos 3 t( )/2 3

_C1 d

( )cos 3 t( )/2 3

e t ( )t( )/1 3

2

t( )/1 3

t ( )sin 3 t( )/2 3

d

( )sin 3 t( )/2 3

e t ( )t( )/1 3

2

t( )/1 3

t ( )cos 3 t( )/2 3

( )z t , ( )cos 3 t( )/2 3

d

( )cos 3 t( )/2 3

e t ( )t( )/1 3

2

t( )/1 3

t

( )sin 3 t( )/2 3

d

( )sin 3 t( )/2 3

e t ( )t( )/1 3

2

t( )/1 3

t ( )cos 3 t( )/2 3

_C2 ( )sin 3 t( )/2 3

_C1

e t

:= sys5 ,0.08

d

d

t( )y t

( )z t et

t( )/1 3

0.08

d

d

t( )z t

( )y t et

t( )/1 3

:= sys6 ,0.05

d

d

t( )y t

( )z t et

t( )/1 3

0.05

d

d

t( )z t

( )y t et

t( )/1 3



54

( )y t

sin

75 t( )/2 3

4_C2

cos

75 t( )/2 3

4_C1

1

2d

cos

75 t( )/2 3

4e t ( )2 t

( )/1 325

t( )/1 3

t

sin

75 t( )/2 3

4

1

2d

sin

75 t( )/2 3

4e t ( )2 t

( )/1 325

t( )/1 3

t

cos

75 t( )/2 3

4 ( )z t ,

1

2

cos

75 t( )/2 3

4d

cos

75 t( )/2 3

4e t ( )2 t

( )/1 325

t( )/1 3

t

1

2

sin

75 t( )/2 3

4d

sin

75 t( )/2 3

4e t ( )2 t

( )/1 325

t( )/1 3

t

cos

75 t( )/2 3

4_C2

sin

75 t( )/2 3

4_C1 et

:= sys7 ,0.01

d

d

t( )y t

( )z t et

t( )/1 3

0.01

d

d

t( )z t

( )y t et

t( )/1 3

:= sys8 ,0.005

d

d

t( )y t

( )z t et

t( )/1 3

0.005

d

d

t( )z t

( )y t et

t( )/1 3

( )y t ( )sin 150 t( )/2 3

_C2 ( )cos 150 t( )/2 3

_C1

d

( )cos 150 t( )/2 3

e t ( )t( )/1 3

100

t( )/1 3

t ( )sin 150 t( )/2 3

d

( )sin 150 t( )/2 3

e t ( )t( )/1 3

100

t( )/1 3

t ( )cos 150 t( )/2 3

( )z t ,

( )cos 150 t( )/2 3

d

( )cos 150 t( )/2 3

e t ( )t( )/1 3

100

t( )/1 3

t

( )sin 150 t( )/2 3

d

( )sin 150 t( )/2 3

e t ( )t( )/1 3

100

t( )/1 3

t ( )cos 150 t( )/2 3

_C2

( )sin 150 t( )/2 3

_C1 e t



55


1. Lomov S.A., Introduction to General Theory of Singular Perturbations vol. 112 of

Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, Providence, USA,

1992.

2. Kalimbetov B.T., Safonov V.F. A regularization method for systems with unstable spectral

value of the kernel of the integral operator // J. Differential equations, Vol. 31, pp. 647-656. 1995.

3. Kalimbetov B.T., Temirbekov M.A., Khabibullayev Zh.O. Asymptotic solutions of

singular perturbed problems with an instable spectrum of the limiting operator // J. Abstract and

applied analysis, Article number 120192, 16 p. 2012.

4. KhalilR., Al HoraniM., Yousef, A., Sababheh, M., A new definition of fractional derivative

// Journal Comput. Appl. Math. – 2014, 264.-65–70 pp.

5. Khalil R., Anderson D., Al Horani M. Undetermined coefficients for local fractional

differential equations [Электронныйресурс].- 2014.-URL:

https://www.researchgate.net/publication/303903312.

6. Katugampola U. Correction to ―What is a fractional derivative?‖ by Ortigueira

andMachado // Journal of Computational Physics. – 2015, V. 293. - 4–13 pp.

7. Дьяконов В.П. Maple 7. Учебный курс. – Санкт-Петербург: «Питер», 2003. – 672 с.

8. Кирсанов М.Н. Графы в Maple. – M.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.- 168 с.

УДК 378+517.9

МРНТИ 14.07.09

В.С.КОРНИЛОВ доктор педагогических наук, профессор,

Московский городской педагогический университет (Москва, Россия),

Е-mail: [email protected]

РАЗВИТИЕ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА ОБУЧЕНИЯ

ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

В статье обращается внимание на то, что, осваивая в процессе обучения теорию и

методологию исследования обратных задач математической физики, студенты развивают

творческие математические способности. Отмечается, что студенты, в результате обучения,

пополняют свои фундаментальные знания по функциональному анализу, дифференциальным

и интегральным уравнениям, математической физике, вычислительной математике.

Подчеркивается выявление научных понятий информатики.

Ключевые слова: обучение обратным задачам математической физики, прикладная

математика, вычислительная математика, математическая модель, междисциплинарные

связи, творческие математические способности студентов.

http://apps.webofknowledge.com/full_record.do?product=WOS&search_mode=CitationReport&qid=11&SID=Z1FUt4DzDNLMj6QFUnV&page=1&doc=1&cacheurlFromRightClick=no



http://apps.webofknowledge.com/full_record.do?product=WOS&search_mode=GeneralSearch&qid=14&SID=Z1FUt4DzDNLMj6QFUnV&page=1&doc=3&cacheurlFromRightClick=no



https://www.researchgate.net/publication/303903312



56

В.С.Корнилов педагогика ғылымдарының докторы, профессор,

Мәскеу қалалық педагогикалық университеті (Мәскеу, Ресей).


Математикалық физиканың кері міндеттеріне оқытудың

ғылыми-білім беру әлеуетін дамыту

Мақалада математикалық физиканың кері есептерін зерттеудің теориясы мен

әдіснамасын оқыту барысында студенттер шығармашылық математикалық қабілеттерін

дамытатынына назар аударылады. Оқу нәтижесінде студенттер функционалдық талдау,

дифференциалдық және интегралдық теңдеулер, математикалық физика, есептеу

математикасы бойынша ӛздерінің іргелі білімдерін толықтырады. Информатиканың ғылыми

ұғымдарын анықтау ерекше атап ӛтіледі.

Кілт сөздер: математикалық физиканың кері міндеттеріне оқыту, қолданбалы

математика, есептеу математика, математикалық модель, пәнаралық байланыстар,

студенттердің шығармашылық математикалық қабілеттері.

V.S.Kornilov doctor of pedagogical sciences, professor,

Moscow City Pedagogical University (Moscow, Russia),


Development of scientific and educational potential of the teaching inverse problems of

mathematical physics

The article draws attention to the fact that, mastering the theory and methodology of the study

of inverse problems of mathematical physics, students develop creative mathematical abilities. It is

noted that students, as a result of training, replenish their fundamental knowledge of functional

analysis, differential and integral equations, mathematical physics, computational mathematics. The

identification of scientific concepts of Informatics is emphasized.

Keywords: teaching inverse problems of mathematical physics, applied mathematics,

computational mathematics, mathematical model, interdisciplinary connections, creative

mathematical abilities of students.

В процессе обучения на физико-математических направлениях подготовки высших

учебных заведений у студентов формируются не только фундаментальные знания в области

математики, физики, естествознания, но и развиваются творческие математические

способности, позволяющие студентам после окончания обучения, работая в научно-

исследовательских учреждениях, успешно решать разнообразные сложные математические

задачи при реализации на практике прикладных исследований. Одной из компонент

творческих математических способностей студентов является научно-познавательный

потенциал, позволяющий в процессе решения различных прикладных задач самостоятельно

осваивать новые предметные и научные знания, глубже осознавать основные законы

природы, развивать научное мировоззрение. Это во многом имеет отношение к

преподаванию обратных задач математической физики как одного из направлений

современной прикладной математики (см., например, [1–22]).

Широкий интерес к обратным задачам математической физики обусловлен их большой

прикладной важностью. Это научное направление прикладной математики развивается в



57

исследованиях А.К.Амирова, Ю.Е.Аниконова, А.В.Баева, Г.Б.Баканова, Ю.Я.Белова,

М.А.Бектемесова, М.И.Белишева, П.Н.Вабишевича, А.О.Ватульяна, В.В.Васина,

А.В.Гончарского, А.М.Денисова, К.Т.Искакова, С.И.Кабанихина, К.В.Коршуна,

А.И.Прилепко, В.Г.Романова, А.М.Федотова, В.А.Чеверды, В.Г.Чередниченко, В.А.Юрко,

M.Grasselli, A.Lorenzi, L.Yanping, M.Yamamoto и многих других ученых стран СНГ и

дальнего зарубежья.

Обратные задачи математической физики преподаются студентам старших курсов

физико-математических специальностей, когда уже предполагается наличие у них

фундаментальных знаний по многим дисциплинам прикладной и вычислительной

математики, так как математические модели обратных задач математической физики

являются нетипичными математическими задачами, являющимися, как правило,

некорректными задачами. Поиск не шаблонных решений обратных задач математической

физики предполагает глубокий анализ самого исследуемого физического процесса и его

причинно-следственных связей, требует рационального мышления и творческих подходов.

При исследовании математических моделей обратных задач математической физики в

зависимости от их типов, видов и постановок, студенты приобретают умения и навыки

формировать новые научные знания об окружающем мире, о происходящих в нем

физических процессах и явлениях и их причинно-следственных связах.

В процессе обучения обратным задачам математической физики студенты развивают

фундаментальные знания по многим математическим дисциплинам, которые им

преподавались ранее. Отметим некоторые из них.

Развитие фундаментальных знаний по функциональному анализу

В настоящее время во многих вузах стран СНГ имеются физико-математические и

естественнонаучные направления подготовки, на которых студентов обучают прикладной

математике. В процессе обучения прикладной математике студенты осваивают различные

математические дисциплины, такие, как математический анализ, функциональный анализ,

комплексный анализ, алгебру, численные методы, методы оптимизации, обыкновенные

дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, интегральные уравнения

и другие математические дисциплины. При этом функциональный анализ, как и многие

перечисленные дисциплины, играет большую роль в прикладной математике.

В процессе обучения обратным задачам математической физики студентами

исследуются обратные задачи определения коэффициентов или неоднородных частей

уравнения математической физики, определение граничных условий и другие обратные

задачи математической физики. Подобные обратные задачи могут рассматриваться для

различных уравнений математической физики, среди которых гиперболические,

параболические, эллиптические, квазилинейные, смешанные и другие уравнения

математической физики. Искомые функции могут зависеть как от одной, так и от многих

переменных и могут принадлежать различным функциональным пространствам. В

зависимости от рассматриваемых математических и геофизических моделей, подобные

обратные задачи могут быть одномерными или многомерными, все они обладают своими

математическими особенностями и являются, как правило, некорректными.

В процессе обучения обратным задачам математической физики студенты не только

осваивают математические методы и приобретают навыки их применения при исследовании

обратных задач для дифференциальных уравнений, но и формируют фундаментальные

знания по различным предметным областям, в том числе — по функциональному анализу. В

процессе исследования обратных задач математической физики студенты оперируют такими

базовыми понятиями функционального анализа, как аналитическая функция, обобщенная



58

функция, пространство функций, компактность, сходимость и другими понятиями

функционального анализа. Используют принцип сжимающих отображений, свойства норм в

пространствах функций, доказывают сходимость функциональных рядов, применяют другие

методы функционального анализа.

Развитие фундаментальных знаний по дифференциальным и интегральным

уравнениям

В процессе обучения обратным задачам математической физики студенты исследуют

различные постановки обратных задач, определяющие выбор подходов и методов их

решения. Ввиду нелинейности обратных задач для дифференциальных уравнений, в

процессе их исследования, как правило, строится система интегральных уравнений, которая

в дальнейшем исследуется. При исследовании обратных задач математической физики, студенты, например,

осваивают основную идею метода операторных уравнений Вольтерра, заключающуюся в

том, что для многих гиперболических уравнений известны представления решений в виде

интегральных уравнений Вольтерра. И поэтому, используя эти представления, а также

дополнительную информацию о решении прямой задачи, можно построить операторное

уравнение Вольтерра или систему уравнений относительно искомых коэффициентов

привлекая различные методы, среди которых формулы Даламбера, метод характеристик,

формулы Кирхгофа, метод С.Л. Соболева, метод шкал банаховых пространств

аналитических функций и другие методы. Учитывая большую роль интегральных уравнений

Вольтерра в обратных задачах для дифференциальных уравнений, в процессе обучения

обратным задачам обращается внимание на методы решения интегральных уравнений

Вольтерра, среди которых – принцип сжатых отображений. Очевидно, что освоив принцип

сжатых отображений, студенты способны успешно применять этот принцип при решении

обратных задач математической физики.

Развитие фундаментальных знаний в области методов математической физики

В процессе обучения прикладной математике студенты вузов физико-математических и

естественнонаучных направлений подготовки осваивают разнообразные методы

математической физики, с помощью которых могут быть исследованы как обыкновенные

дифференциальные уравнения, так и уравнения математической физики. Среди таких

методов математической физики — метод Дюамеля, метод Фурье, метод характеристик,

метод функции Грина, метод операторных уравнений Вольтерра, метод С.Л. Соболева, метод

шкал в банаховых пространствах аналитических функций, метод свертки, формула

Даламбера, формула Пуассона, формула Кирхгофа, принцип максимума, преобразование

Лапласа и другие методы математической физики. Вместе с тем, с помощью перечисленных

методов математической физики успешно исследуются и обратные задачи математической

физики. В процессе исследования обратных задач математической физики, студенты

приобретают умения и навыки применения разнообразных методов математической физики,

которые им преподавались на учебных курсах математического, функционального,

векторного анализа, аналитической геометрии, алгебры, интегральных уравнений и других

учебных курсах, осознают широту их использования в исследованиях прикладных

математических задач. Доказывая сложные теоремы существования, единственности и

условной устойчивости решения разнообразных обратных задач, они демонстрируют

фундаментальные знания как в области теории и методологии обратных задач, так и в

области методов математической физики.



59

Развитие фундаментальных знаний по вычислительной математике

Разработке вычислительных алгоритмов нахождения приближенных решений

обратных задач математической физики уделяется большое внимание. Это обстоятельство

объясняется нелинейностю математических моделей обратных задач, которая, как правило,

не позволяет получить точное решение обратной задачи в виде формулы. Методика

исследования обратных задач предполагает поэтапное исследование свойств решения

соответствующей прямой задачи, а затем обратной. Как правило, строится замкнутая система

уравнений обратной задачи в виде интегро-дифференциальных уравнений. Эта система

может быть решена при помощи итерационных процессов, включающих в себя

многократное решение соответствующих прямых задач. В связи с этим, методы

вычислительной математики являются эффективными методами исследования обратных

задач математической физики.

В процессе исследования обратных задач математической физики при помощи методов

вычислительной математики, студенты оперируют такими фундаментальными понятиями

вычислительной математики, как дискретизация непрерывной прикладной математической

задачи, интерполяция сеточных функций, сходимость и устойчивость разностной схемы,

погрешность аппроксимации, вычислительная погрешность, типы задач вычислительной

математики и другими понятиями вычислительной математики. Студенты приобретают

умения и навыки применения сведений из теории разностных схем, разнообразных методов

вычислительной математики, которые им преподавались ранее в различных физико-

математических дисциплинах, осознают широту их использования в исследованиях

прикладных математических задач.

Успешное конструирование вычислительных алгоритмов нахождения приближенных

решений разнообразных обратных задач математической физики, возможно, только если

студенты обладают фундаментальными знаниями как в области теории и методологии

обратных задач, так и в области методов вычислительной математики. Понимание

взаимосвязи в развитии современной вычислительной математики и развития человеческой

цивилизации позволяет студентам в процессе обучения обратным задачам математической

физики глубже осознать специфику и значение методов вычислительной математики в

исследованиях обратных и некорректных задач.

Выявление научных понятий информатики

Математическое моделирование как научный метод исследования окружающего мира в

современной мировой науке занимает одно из центральных мест. Это обстоятельство

объясняется тем, что математические модели обладают важными с научной точки зрения

свойствами, в том числе научно-познавательным потенциалом и универсальностью. А

наличие современных компьютерных технологий позволяет мобильно исследовать и

визуализировать решения самых разнообразных математических моделей. Неслучайно

математическое моделирование входит в содержание многих учебных дисциплин физико-

математического и естественно-научного направлений подготовки студентов вузов.

Математическое моделирование широко используется в теории обратных задач

математической физики. При нахождении решений математических моделей обратных задач

студенты также приобретают новые научные знания в предметных областях, которые не

входят в содержание традиционных математических дисциплин прикладной и

вычислительной математики, а могут быть приобретены только в процессе преподавания

специальных курсов. Например, при исследовании математических моделей обратных

спектральных задач студенты приобретают научные знания в области спектрального

анализа, заключающегося в определении операторов по некоторым их спектральным



60

характеристикам. Студенты осознают, что такие математические модели обратных задач

играют большую роль в приложениях физики, квантовой механики, геофизики,

метеорологии, радиоэлектроники, теории упругости и других приложениях. В процессе

решения таких обратных задач студенты осваивают метод спектральных отображений, метод

эталонных моделей, метод оператора преобразования и другие математические методы.

В процессе обучения обратным задачам математической физики студентам доводятся

сведения о том, что математические модели обратных задач являются универсальными и

способны описывать процессы различной природы. И этот универсализм повышает

познавательный потенциал таких математических моделей. Студентам объясняется, что

математические модели обратных задач являются универсальными, когда они носят

синтаксический характер, когда семантика, содержательные знания и смысл моделируемого

процесса остаются вне этой математической модели. В этом случае затруднительно сделать

вывод о том, какой конкретно процесс описывается этой моделью.

Студенты осознают, что методы исследования математических моделей обратных

задач, их познавательный потенциал могут быть использованы при исследовании

разнообразных по природе прикладных задач. В процессе такого обучения студенты

выявляют базовые понятия информатики как научной дисциплины, такие, как информация,

моделирование, формализация, алгоритмизация, вычислительный эксперимент, синтаксис,

семантика и другие базовые понятия информатики.

Последующий анализ прикладных и гуманитарных аспектов полученных результатов

обратной задачи позволяет студентам сделать соответствующие логические выводы об

изучаемом процессе и получить, в конечном счете, новую информацию, изучить ее свойства

и осмыслить ее гуманитарную ценность.


1. Аниконов Ю.Е., Пестов Л.Н. Формулы в линейных и нелинейных задачах

томографии: монография.– Новосибирск: НГУ, 1990.– 64 с.

2. Белов Ю.А., Любанова А.Ш., Полынцева С.В., Сорокин Р.В., Фроленков И.В.

Обратные задачи математической физики: учебное пособие.– Красноярск: СФУ, 2008.– 153

с.

3. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи: монография.– Новосибирск:

Наука, Сибирское отделение, 1983.- 207 с.

4. Ватульян А.О., Беляк О.А., Сухов Д.Ю., Явруян О.В. Обратные и некорректные

задачи: учебное пособие.– Ростов на Дону: Изд-во Южного федерального университета,

2011.– 232 с.

5. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач: учебное пособие.– М.: Изд-во

Московского университета, 1994.– 207 с.

6. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи: учебник для студентов вузов.–

Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009.– 458 c.

7. Корнилов В.С. Некоторые обратные задачи идентификации параметров

математических моделей: учебное пособие.– М.: МГПУ, 2005.– 359 с.

8. Корнилов В.С. Обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений как

фактор гуманитаризации математического образования: монография.– М.: МГПУ, 2006.– 320

с.

9. Корнилов В.С. Психологические аспекты обучения обратным задачам для

дифференциальных уравнений // Наука и школа.- 2008. – № 3.– С. 45–46.



61

10. Корнилов В.С. Базовые понятия информатики в содержании обучения обратным

задачам для дифференциальных уравнений // Вестник Российского университета дружбы

народов. Серия «Информатизация образования».– 2016. – № 1.– С. 70–84.

11. Корнилов В.С. Реализация научно-образовательного потенциала обучения

студентов вузов обратным задачам для дифференциальных уравнений // Казанский

педагогический журнал.– 2016. – № 6.– С. 55–59.

12. Корнилов В.С. Теория и методика обучения обратным задачам для

дифференциальных уравнений: монография.– М.: Изд-во «ОнтоПринт», 2017.– 500 с.

13. Корнилов В.С. Философская составляющая научно-образовательного потенциала

обучения обратным задачам математической физики // Вестник Московского городского

педагогического университета. Серия «Информатика и информатизация образования».–

2018. – № 1 (43).– С. 59–65.

14. Корнилов В.С. Формирование у студентов междисциплинарных научных знаний

при обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений // Вестник Казахского

национального педагогического университета имени Абая. Серия «Физико-математические

науки».– Алматы, 2018. – № 4 (64).– С. 46–50.

15. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений: спецкурс для

студентов НГУ.– Новосибирск: НГУ, 1973.– 252 с.

16. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики: монография.– М:. Наука,

1984.– 264 с.

17. Самарский А.А., Вабишевич П.Н. Численные методы решения обратных задач

математической физики: учебное пособие.– М.: УРСС, 2004.– 478 c.

18. Тимофеев Ю.М., Поляков А.В. Математические аспекты решения обратных задач

атмосферной оптики: учебное пособие.– СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета,

2001.– 188 с.

19. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач: учебное пособие.- М.:

Физматлит, 2007.- 384 c.

20. Bidaybekov E.I., Kornilov V.S., Kamalova G.B. Inverse Problems for differential

equations in education // Inverse Problems: Modeling and Simulation (IPMS-2014): Abstracts of

the 7th

International conference» (Fethiye, Turkey, May 26–31, 2014).– Fethiye, Turkey, 2014.– P.

69.

21. Bidaibekov Y.Y., Kornilov V.S., Kamalova G.B., Akimzhan N.Sh. Fundamentalization of

knowledge system on applied mathematics in teaching students of inverse problems for differential

equations // AIP Conference Proceedings 1676, 020044-1–020044-5 (Antalya, Turkey, November

5–7, 2015); doi: 10.1063/1.4930470. View online: http://dx.doi.org/10.1063/1.4930470.

22. Bidaibekov E.Y., Kornilov V.S., Saparbekova G.A. Implementation of Humanitarian

Components of Applied Mathematics Teaching for University Students with a Specialization in

Science // Indian Journal of Science and Technology. August 2016. Vol 9(29), DOI:

10.17485/ijst/2016/v9i29/88842. ISSN: 0974-6846. eISSN: 0974-5645



62

УДК 517.962

ГРНТИ 27.31.15

Ш.Б.КУЛАХМЕТОВА1, Б.Х.ТУРМЕТОВ

2





ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С

ГРАНИЧНЫМ ОПЕРАТОРОМ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

В данной работе исследуется вопросы разрешимости одной краевой задачи для

бигармонического уравнения. В качестве граничного оператора рассматривается оператор

дифференцирования дробного порядка. Рассматриваемая задача является обобщением

известной задачи Неймана.

Ключевые слова: бигармоническое уравнение, краевая задача, задача Дирихле,

функция Грина, дробная производная, оператор Римана-Лиувилля.

Ш.Б.Кулахметова1, Б.Х. Турметов

2





Бигармоникалық теңдеу ҥшін шекаралық шартында бӛлшек ретті туынды қатысқан

шеттік есеп

Мақалада бигармониялық теңдеу үшін кейбір шеттік есептердің шешілімділігі мәселесі

зерттелді. Шекаралық оператор есебінде бӛлшек ретті дифференциалдық оператор

қарастырылды. Қарастырылатын есеп белгілі Нейман есебінің жалпыламасы болып

табылады.

Кілт сөздер: бигармоникалық теңдеу, шеттік есеп, Дирихле есебі, Грин функциясы,

бӛлшек туынды, Риман-Лиувиллдің операторы.

Sh.B.Kulakhmetova1, B.Kh. Turmetov

2





On solvability of a boundary value problem for the biharmonic equation with a boundary

operator of a fractional order

In this paper we research the questions about solvability of some boundary value problems for

biharmobic equations. As a boundary operator there was considered the differentiation operator of

fractional order. The considered problem is a generalization of the well-known Neumann problem.

Keywords: biharmonic equation, boundary value problem, Dirichlet problem, Green's

function, fractional derivative, Riemann-Liouville operator.








63

Введение

Пусть : 1nx R x - единичный шар, 2n , : 1nx R x – единичная

сфера. Пусть далее, ( )u x гладкая функция в области , | |, /r x x r . Пусть 0 .

Следующие операторы

1

0

1[ ]( )

( )

r

I u x r u d

,

[ ]( ) , 1 , 1,2,...m

m

m

dD u x I u x m m m

dr

.

называется операторами интегрирования и дифференцирования порядка 0 в смысле

Римана–Лиувилля [1].

Так как [ ]( )I u x u x почти всюду при 0 , то можно положить 0[ ]( )I u x u x

Тогда [ ]( )m

m

m

d uD u x x

dr .

Пусть 0 1 , 0 . Введем обозначения

[ ]B u x r D r u x

,

1

1

0

11B u x t t u tx dt

.

Данные операторы являются дробными аналогами операторов

d

u x r u xdr

, 1

1 1

0

[ ]( )u x t u tx dt

.

Свойства этих операторов исследованы в работе [2].

Пусть 0 1, 0 .Рассмотрим в области следующую краеую задачу

2 ( ) , ,u x f x x

(1)

1 , ,B u x g x x

(2)

2 , .r B u x g x xr

(3)

Решением задачи (1) - (3) назовем функцию 4 ,u x C C для которой

,B u x C

r B u x Cr

и удовлетворяющую условиям (1) - (3) в

классическом смысле.

Причем граничные условия (2), (3) выполняются в смысле предела

0

1 0lim , ,x x

B u x g x x

0

2 0lim ,x x

r B u x g x xr

.



64

В случае 1, 0 имеем2

1 1 2

0 0 2,B r r B r r r r

r r r r r r

Следовательно, в этом случае при xполучаем ,rr

вектор внешней нормали к

сфере , т.е. рассматриваемая задача (1) - (3) является задачей типа Неймана.

Аналогичные задачи с граничными операторами дробного порядка с производными Римана-

Лиувилля и Капуто исследовались в работах [3,4].

1. Свойства операторов B

и B

В этом пункте приведем некоторые свойства операторов B

и B

доказанные в

работе [5].

Лемма 1. Если ( )u x достаточная гладкая функция в , то справедливы следующие

равенства

[ ] ( ) ( )B B u x u x

,

если 0 1 , 0 ,

[ ] ( ) ( )B B u x u x

,

если 0 1 , 0 ,

[ ] ( ) ( ) 0B B u x u x u

,

если 1 , 0 .

Лемма 2. Если ( )u x достаточная гладкая функция в , то справедливо следующее

равенство

2

4[ ]( ) [ ]( )B u x B u x

,

если 0 1 , 0 ,

2. Исследование разрешимости основной задачи

Для нахождения решения задачи рассмотрим функцию v x B u x

Если функция

u x является решением задачи (1) - (3), то по условию задачи v x B u x C

.

Если функция u x является достаточно гладкой в области , например из класса 4C ,

такую же гладкость имеет функция ( )v x B u x

. Тогда к этой функции можно применить

оператор 2 . Если выполним эту операцию, то в силу утверждения леммы 2 для любого

x имеет место равенство



65

2 2 2

4 4v x B u x B u x B f x

.

Дополнительно к этому условию также получаем,

1 ,v x B u x g x

2r v x r B u x g x

r r

.

Таким образом, если функция u x является решением задачи (1) - (3), то функция

v x B u x

удовлетворяет условиям задачи Дирихле следующего вида

2

4 , ,v x B f x x

(4)

1 2,v

v x g x x g x

. (5)

В этой задаче в случае 1, 0 необходимо выполнения дополнительного условия

0 0v . (6)

и функция 4B f x

имеет вид 4 4d

B f x r u xdr

.

Если функции 4F x B f x

, 1g x и 2g x достаточно гладкие, то решение

задачи (4),(5) существует и единственно (см.например [6]). Причем, решение этой задачи

представляется в виде

2

1 2, 1 | |Dv x G x y F y dy w x x w x

. (7)

Здесь ,DG x y функция Грина задачи (4), (5), а функции 1 2,w x w x решения

следующих задач:

1

1 1

0,

,

w x x

w x g x x

,

2

12 2

0,

1,

2

w x x

ww x g x x x

r

Решения этих задач определяются равенствами [5]:



66

2

1 1

11( ) yn

n

xw x g y ds

x y

, (8)

2

12 2

11

2yn

n

x ww x g y y ds

rx y

. (9)

Таким образом, если параметры и удовлетворяют условиям 0 1 , 0 или

0 1 , 0 , то решение задачи (4), (5) существует и единственно. Если 1, 0 , то в

этом случае необходимо выполнение условия (6). Этот случай исследован в работе [6], где

установлено, что для выполнения условия (6) необходимо и достаточно выполнения условия

2

2 1

11

2yy f y dy g y g y ds

. (10)

Теперь находим решение основной задачи (1)-(3). Применим к равенству

( ) [ ]( )v x B u x

оператор B

. Тогда ( ) [ ]( )u x B v x

в случаях 0 1 , 0 или 0 1 ,

0 и 1

0( ) (0) [ ]( )u x u B v x в случае 1, 0 . Если ( )v x решение задачи (4),(5), то

можно показать, что функция ( ) [ ]( )u x B v x

является решением задачи (1)-(3).

Действительно, пусть 0 1 , 0 или 0 1 , 0 . Если применим к равенству

( ) [ ]( )u x B v x

оператор 2 , то для всех x имеем

2 2 2

4 4 4( ) [ ]( ) [ ]( ) [ [ ]]( ) ( )u x B v x B v x B B f x f x

,

т.е. уравнение (1) удовлетворяется. Далее, проверим выполнение граничного условия (2)

1[ ]( ) [ [ ]]( ) ( ) ( )B u x B B v x v x g x

.

Аналогично,

2

( )[ ]( ) [ [ ]]( ) ( ) ( )

v xr B u x r B B v x r v x g x

r r r

,

т.е. граничное условие (3) также выполняется.

Случай когда 1, 0 выполнение условий задачи для функции

1

1 1

0

0

( ) [ ]( ) ( )u x C B v x t v tx dt C

проверяется аналогичным образом.

Таким образом, мы доказали следующее утверждение.



67

Теорема. Пусть 0 1 , 0 , 1 1

1 2( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ),f x C g x C g x C где

0 1 . Тогда

1) если параметры и удовлетворяют условиям 0 1 , 0 или 0 1 ,

0 , то решение задачи (1) - (3) существует и единственно.

2) если 1, 0 , то для разрешимости задачи (1) - (3) необходимо и достаточно

выполнение условия (10). При этом если решение задачи существует, то оно единственно с

точностью до постоянного слагаемого.

3) если решение задачи существует, то оно представимо в виде

( ) [ ]( )u x B v x

где функция ( )v x решение задачи Дирихле (5).


1. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential

equations. – Elsevier, Amsterdam. – 2006. – 541 p.

2. Bavrin I.I. Operators for harmonic functions and their applications//Differential Equations.

– 1985. – V. 21, No 1. – P. 9 – 15.

3. Turmetov B.Kh., Myrzahasova A.M. On solvability of fractional analogues of the

Neumann problem for biharmonic equation //Bulletin of the Karaganda university-mathematics. –

2015. – V.79, No 3. – P. 87 – 95.

4. Turmetov B.Kh. Solvability of fractional analogues of the Neumann problem for a

nonhomogeneous biharmonic equation //Electronic Journal of Differential Equations. – 2015. –

V.2015, No 82. – P. 1 – 21.

5. Turmetov B.Kh., Torebek B.T. Modified Bavrin operators and their applications //

Differential Equations. – 2015. – V. 51, No 2. – P. 243 – 254.

6. Karachik V.V., Turmetov B.Kh., Bekaeva A.E. Solvability conditions of the Neumann

boundary value problem for the biharmonic equation in the unit ball // International Journal of Pure

and Applied Mathematics. – 2012. – V. 81, No 3. – P. 487 –495.

УДК 517.956

ГРНТИ 27.31.15

Р.А.МАДИ1, Б.Х.ТУРМЕТОВ

2



Международный казахско-турецкий университет имени Ходжа Ахмеда Ясави,


О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

В настоящей работе исследуются вопросы разрешимости задачи Дирихле для нового

класса уравнений в частных производных. Рассматриваемое уравнение является

нелокальным обобщением классического уравнения Пуассона. Доказаны теоремы о

существовании и единственности решения рассматриваемой задачи. Построена функция

Грина и интегральное представление решения исследуемой задачи.





68

Ключевые слова: задача Дирихле, уравнение Пуассона, нелокальное уравнение,

функция Грина, интегральное представление.

Р.А.Мәді1, Б.Х.Турметов

2





Пуассонның сызықты емес теңдеуі ҥшін Дирихле есебі туралы

Бұл мақалада дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің жаңа класы үшін

Дирихле есебінің шешілімділігі мәселесі зерттелінеді. Қарастырылатын теңдеу классикалық

Пуассон теңдеуінде бейлокал жалпыламасы болып табылады. Зерттеліп отырған мәселенің

шешімінің бар және жалғыз болуы туралы теоремалар дәлелденген. Зерттелген мәселенің

Грин функциясы құрылып және шешімінің интегралдық кейіптемесі алынған.

Кілт сөздер: Дирихле есебі, Пуассон теңдеуі, сызықты емес теңдеу, Грин функциясы,

интегралды кӛрініс.

R.A.Madi1, B.Kh.Turmetov

2





About the Dirichlet problem for a Poilson non-local equation

In this paper, we study the solvability problems of the Dirichlet problem for a new class of

partial differential equations. The equation under consideration is a non-local generalization of the

classical Poisson equation. The theorems on the existence and uniqueness of the solution of the

problem under consideration are proved. The Green function and the integral representation of the

solution of the studied problem are constructed.

Keywords: Dirichlet problem, Poisson equation, nonlocal equation, Green function, integral

representation.

Введение

Понятие нелокального оператора и связанное с ним понятие нелокального

дифференциального уравнения появилось в математике сравнительно недавно. Например, в

[1] нагруженные уравнениях; уравнениях, содержащие дробные производные искомой

функции; уравнениях с отклоняющимися аргументами, иными словами, такие уравнения, в

которых неизвестная функция и ее производные входят, вообще говоря, при различных

значениях аргументов называют нелокальными дифференциальными уравнениями.

Среди нелокальных дифференциальных уравнений особое место занимают уравнения,

в которых отклонение аргументов имеет инволютивный характер. Отображение S принято

называть (инволюцией), если 2( ) ( ( ))S x S S x x . Хорошо известно, что дифференциальные

уравнения, содержащие инволютивное отклонение в искомой функции или ее производной,

являются некоторыми модельными уравнениями со знакопеременным отклонением






69

аргумента. В целом, такие уравнения можно отнести к классу функционально-

дифференциальных уравнений.

Вопросам теории разрешимости различных дифференциальных уравнений с

инволюцией посвящены монографии D. Przeworska-Rolewicz [2], J. Wiener [3]. Вопросам

теории разрешимости дифференциальных уравнений в частных производных с инволюцией

посвящены работы [4-7]. Кроме того, в работах [8-12] для эллиптических уравнений второго

и четвертого порядка исследованы краевые задачи с инволюцией в граничных условиях.

Настоящая работа посвящена изучению задачи Дирихле для нелокального уравнения

Пуассона. Переходим к постановке задачи рассматриваемой в настоящей работы.

Пусть 2 :| | 1x R x – единичный круг, – единичная окружность. В

пространстве 2R рассмотрим следующие отображения

*

1 1 2 1 2: ( , ) (1) ( , );S x x x x x x *

2 1 2 1 2: ( , ) (2) ( , );S x x x x x x

*

3 1 2 1 2: ( , ) (1,2) ( , )S x x x x x x .

Легко показать, что справедливы следующие равенства

1 2 2 1 3 1 3 3 1 2 2 3 3 2 1, ,S S S S S S S S S S S S S S S . (1)

Кроме того, имеют место включения

1) если x , то * * *(1), (2), (1,2)x x x ;

2) если x , то * * *(1), (2), (1,2)x x x .

Пусть ,a b - действительные числа, S один из отображении , 1,2,3jS j . Рассмотрим в

следующую задачу

Задача Дирихле. Найти функцию 2( ) ( ) ( )u x C C удовлетворяющую условиям

( ) ( ),a u x b u Sx f x x , (2)

( ) ( ),u x g x x . (3)

В случае 0, 0a b мы получаем задачу Дирихле для классического уравнения

Пуассона.

1. Единственность решения

В этом пункте мы исследуем единственность решения рассматриваемой задачи.

Сначала приведем некоторые вспомогательные утверждения. Справедливо следующее

утверждение.

Лемма 1. Если функция ( )u x - гармоническая в , то функция ( )u Sx тоже

гармоническая в .

Доказательство. Если ,i js элементы матрицы отображения S , то очевидно, что

, 0,i js i j . Введем оператор ( ) ( )SI u x u Sx . Поскольку



70

21 2

1

( ) ( ) (( , ), , ( , )) ( ) ( , ( ))j

i

S row row ji S x col S

ji i i

I u x u Sx u S x S x s I u x S I u xx x x

( , ) ( )i

S colI S u x ,

то

2

2

2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )i i

S S col S col

i i

I u x I S u x I S u xx x

.

Тогда

2 2 2

2 1

1

( ) ( , ) ( ) ( , ), , ( , ) ( ) ( )i n T

S S col S col col S

i

I u x I S u x I S S u x I S u x

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )T T T

C S SI S S u x I SS u x I u x .

Следовательно, если ( ) 0u x , то ( ) ( ) 0S SI u x I u x .


Следствие 1. Если функция ( )u x - гармоническая в , то она удовлетворяет

однородному уравнению (2) в .

Верно и обратное утверждение.

Лемма 2. Пусть функция 2( ) ( )u x C и удовлетворяет однородному уравнению (2).

Тогда при выполнении условии a b функция ( )u x является гармонической в области .

Доказательство. Пусть 2( ) ( )u x C и удовлетворяет уравнению (2). Обозначим

( ) ( ) ( )v x au x bu Sx . (4)

Очевидно, что 2( ) ( )v x C и ( ) 0,v x x , т.е. ( )v x является гармонической в

области . С другой стороны из равенства (4) получим

( ) ( ) ( )v Sx au Sx bu x . (5)

Таким образом, относительно функций ( ), ( )u x u Sx мы получаем систему алгебрических

уравнений (4),(5). По условии леммы выполняются неравенства a b Тогда функция ( )u x

однозначно определяется через функции ( ), ( )v x v Sx по формуле

2 2 2 2( ) ( ) ( )

a bu x v x v Sx

a b a b

, (6)

Так как функции ( )v x и ( )v Sx гармонические в , то функция ( )u x из (6) также

является гармонической в области . Лемма доказана.

Из этой леммы вытекает следующее утверждение.



71

Теорема 1. Если a b и решение задачи (2),(3) существует, то оно единственно.

Доказательство. Пусть ( )u x - решение однородной задачи (2), (3). Если a b , то по

утверждению леммы 2 функция ( )u x является гармонической в области . Тогда для

функции ( )u x получаем следующую задачу Дирихле

( ) 0, ; ( ) 0u x x u x

.

В силу единственности решения задачи Дирихле из равенства (6) следует ( ) 0u x .

Теорема доказана.

2. Существование решения

В этом пункте исследуем существование решения задачи Дирихле (2), (3). Справедливо

следующее утверждение.

Лемма 3. Пусть функция ( )g x напрерывна на . Тогда справедливо равенство

( ) ( )x xg Sx dS g x dS

.

Доказательство. Пусть функция ( )w x является решением задачи Дирихле для

уравнения Лапласа в с условием ( ) ( )w x g x на . Тогда функция ( )w Sx будет

решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в с условием ( ) ( )w Sx g Sx на .

Решения этих задач представляются в виде интеграла Пуассона

( ) ( , ) ( ) , ( ) ( , ) ( )x xw Sx P x y g Sx dS w x P x y g x dS

,

где

2

2

2

1 1 | |( , )

| |

xP x y

x y

- ядро Пуассона, 2 2 . Тогда

2( ) (0) ( )x xg Sx dS w g x dS

.


Лемма 4. Пусть функция ( )g x напрерывна на . Тогда справедливо равенство

( , ) ( ) ( , ) ( )y yP x y g Sy dS P x Sy g y dS

.

Доказательство. Рассмотрим случай когда 1S S . Пусть

1 1: 0 , : 0x x x x

Тогда



72

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )y y yP x y g Sy dS P x y g Sy dS P x y g Sy dS

.

Исследуем второй интеграл. Введем полярную систему координат 1 2cos , sin ,x r x r

1 2cos , sin .y y Из элементарных соотношений cos cos( ) cos ,

sin sin( ) sin следует

2 2

2

1( , ) ( ) ( cos ,sin )

1 2 cos( )y

rP x y g Sy dS g d

r r

2 2

2

1cos( ),sin

1 2 cos( )

rg d

r r

2

2

0

1cos ,sin ( , ) ( )

1 2 cos( )y

rg d P x Sy g y dS

r r

.

Аналогично, для первого интеграла имеем

2

2

0

1( , ) ( ) ( cos ,sin )

1 2 cos( )y

rP x y g Sy dS g d

r r

2

2

0

1cos( ),sin

1 2 cos( )

rg d

r r

2 2

2

1cos ,sin( )

1 2 cos( )

rg d

r r

2 2

2

1cos ,sin ( , ) ( )

1 2 cos( )y

rg d P x Sy g y dS

r r

.

Таким образом, утверждение леммы для случая 1S S доказано. Остальные случаи

доказываются аналогичным образом. Лемма доказана.

Пусть ( , )G x y - функция Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Известно, что

( , )G x y представляется в виде (см.например [13])

1( , ) ( , ) | |, , ( , ) ln | |

| |n

yG x y E x y E x y E x y x y

y

.

Теорема 2. Пусть a b , ( ) ( ), ( )f x C g C . Тогда решение задачи (2), (3)

существует, единственно и представляется в виде



73

( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )S yu x G x y f y dy P x y g y dS

(7)

где

2 2( , ) ( , ) ( , )S

aG x y aG x y bG Sx y

a b

. (8)

Доказательство. Пусть ( )u x решение задачи (2), (3). Обозначим ( ) ( ) ( )v x au x bu Sx .

Тогда из условий задачи (2), (3) для функции ( )v x получаем следующую классическую

задачу Дирихле

( ) ( ), ; ( ) ( ) ( ) ( )v x f x x v x ag x bg Sx h x

. (9)

Для заданных функций ( )f x и ( )g x решение этой задачи существует, единственно и


( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) yv x G x y f y dy P x y h y dS

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )y yG x y f y dy a P x y g y dS b P x y g Sy dS

, (10)

Как и в случае теоремы 1 между функциями ( )v x и ( )u x получаем алгебрические

соотношения

( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )v x au x bu Sx v Sx au Sx bu x . (11)

Если a b , то неизвестная функция ( )u x из системы (11) однозначно определяется

через функцию (10) по формуле (6), т.е.

2 2 2 2( ) ( ) ( ).

a bu x v x v Sx

a b a b

(12)

Покажем, что если функция ( )v x является решением задачи (9), то функция ( )u x из

равенства (12) удовлетворяет всем условиям задачи Дирихле (2), (3). Действительно,

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) (S ) ( )

a b a ba u x b u Sx a v x v Sx b v x v x

a b a b a b a b

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a ab ab bf x f Sx f Sx f x f x

a b a b a b a b

,

т.е. функция ( )u x удовлетворяет уравнению (2). Далее,



74

2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a b au x v x v Sx ag x bg Sx

a b a b a b

2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b a bag Sx bg x ag x bg Sx ag Sx bg x g x

a b a b a b

.

Следовательно, граничное условие (3) также выполняется. Теперь докажем равенство

(7). Подставляя представление функции ( )v x из (10) в правую часть равенства (12) получаем

2 2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )y y

au x G x y f y dy a P x y g y dS b P x y g Sy dS

a b

2 2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )y y

bG Sx y f y dy a P Sx y g y dS b P Sx y g Sy dS

a b

.

Далее, так как | | | |,| | | |Sx y x Sy Sx Sy x y и с учетом утверждения леммы 4 имеем

2 2

2 2 2 2( , ) ( ) ( , ) ( )y y

a bP x y g y dS P Sx y g Sy dS

a b a b

2 2

2 2 2 2( , ) ( ) ( , ) ( )y y

a bP x y g y dS P x y g y dS

a b a b

2 2

2 2 2 2( , ) ( ) ( , ) ( )y y

a bP x y g y dS P x y g y dS

a b a b

.

Аналогично,

2 2 2 2( , ) ( ) ( , ) ( )y y

ab abP x y g Sy dS P Sx y g y dS

a b a b

2 2 2 2( , ) ( ) ( , ) ( ) 0y y

ab abP x Sy g y dS P x Sy g y dS

a b a b

.

Таким образом, для решение задачи (2),(3) получаем представление

2 2

( , ) ( , )( ) ( ) ( , ) ( ) y

aG x y bG Sx yu x f y dy P x y g y dS

a b

,

т.е. справедливо равенство (7).

Можно проверить, что эта функция удовлетворяет всем условиям задачи (2), (3).



75

Действительно,

2 2 2 2( ) ( , ) ( ) (S , ) ( )

a bu x G x y f y dy G x y f y dy

a b a b

2 2 2 2( , ) ( ) ( ) ( )y

a bP x y g y dS f x f Sx

a b a b

2 2 2 2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )

a bu Sx G Sx y f y dy G x y f y dy

a b a b

2 2 2 2( , ) ( ) (S ) ( )y

a bP Sx y g y dS f x f x

a b a b

Отсюда

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2( ) (S ) ( ) ( ) (S ) ( ) ( )

a ab ab ba u x b u x f x f Sx f x f x f x

a b a b a b a b

.

Точно также проверяется выполнение граничного условия

2 2 2 2( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )

a bu x G x y f y dy G Sx y f y dy

a b a b

( , ) ( ) ( )yP x y g y dS g y

.

Теорема доказана.

Теперь, введем понятие функции Грина задачи (2), (3).

Определение. Функцией Грина задачи (2), (3) в области называется функция

,SG x y двух точек ,x y обладающая свойствами:

1) ,SG x y - гармоническая и по x и по y при , ( , )x y x y .

2) ( , ) 0SG x y , когда x или y .

Из утверждения теоремы 2 вытекает следующее

Следствие 2. Пусть a b , ( ) ( ), ( ) 0f x C g x . Тогда решение задачи (2), (3)


( ) ( , ) ( )Su x G x y f y dy

где функция ( , )SG x y определяется равенством (8).



76

Следствие 3. Пусть a b . Тогда функция Грина задачи (2),(3) существует и

представляется в виде (8).

Доказательство. Покажем, что функция ( , )SG x y удовлетворяет условиям 1) и 2) из

определения. Гармоничность функции ( , )SG x y по x и по y при , ( , )x y x y следует из

гармоничности функций ( , )G x y и ( , )G Sx y . Далее, так как при x следует Sx , то

из соотношений ( , ) 0, ( , ) 0G x y G Sx y , x или y получаем условие 2). Следствие

доказано.

Работа выполнена при поддержке грантового финансирования КН МОН РК, грант

№AP05131268.


1. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. - М.: Высшая школа, 1995.

301с.

2. Przeworska-Rolewicz D. Equations with Transformed Argument, An Algebraic Approach.

— Amsterdam, Warszawa, 1973. 354 p.

3. Wiener J. Generalized Solutions of Functional Differential Equations. — Singapore, New

Jersey, London, Hong Kong. World Sci.,1993. 410 pp.

4. Ashyralyev A., Sarsenbi A.M. Well-posedness of an elliptic equation with involution.

//Electronic Journal of Differential Equations. – 2015. - V.2015, No. 284. –P. 1–8.

5. Андреев А. А. Об аналогах классических краевых задач для одного

дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом //

Дифференциальные уравнения. – 2004. –Т. 40, № 8, - C 1126-1128.

6. Kirane M., Al-Salti N. Inverse problems for a nonlocal wave equation with an involution

perturbation // J. Nonlinear Sci. Appl. – 2016. – V.9. – P.1243 – 1251.

7. Линьков А.В. Обоснование метода Фурье для краевых задач с инволютивным

отклонением // Вестник Самарского государственного университета. – 1999.- № 2(12). – С. 60

– 66.

8. Przeworska-Rolewicz В. Some boundary value problems with transformed argument //

Commentat. Math. – 1974. – V.17. – P. 451-457.

9. Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh. On analogues of periodic boundary value problems for

the Laplace operator in ball // Eurasian Mathematical Journal. – 2012. – V.3, No 1. – P.143 – 146.

10. Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh. On an analog of periodic boundary value problems for

the Poisson equation in the disk // Differential equations. – 2014. – V.50, No 2. – P.268 -273.

11. Karachik V. V. , Turmetov B.Kh. On solvability of some Neumann-type boundary value

problems for biharmonic equation // Electronic Journal of Differential Equations, – 2017. – V.

2017, No 218. – Р. 1–17.

12. Turmetov B.Kh., Karachik V. V. On Solvability of Some Boundary Value Problems for a

Biharmonic Equation with Periodic Conditions // Filomat . – 2018. – V.32 , No 3 . – P.947–953.

13. Evans LC. Partial differential equations. Providence (RI): American Mathematical

Society; 1998. 668 p.



77

UDK 004.22

IRRSTE 20.53.17 L.M.MUSABEKOVA

1, A.S.OSPAN

2

1doctor of technical sciences, associate professor, Kazakhstan engineering and pedagogical university

of Friendship of Peoples, E-mail: [email protected] 2master student of the Kazakhstan engineering and pedagogical university of Friendship of Peoples,


THE PRINCIPLES OF CLOUD COMPUTING IN MOBILE APPLICATIONS

In this paper are showed using cloud services as the building blocks for enhancing the

functionality of our mobile applications, how to store application data in the cloud, using the

Amazon SimpleDB cloud database, how to write a REST web service and how to synchronize local

mobile application data with data in the cloud.

Keywords: сloud computing, mobile applications, cloud-based services, virtual servers.

Л.М.Мусабекова1, А.С.Оспан

2

1техника ғылымдарының докторы, доцент, Қазақстан инженерлік-педагогикалық Халықтар Достығы

университеті, E-mail: [email protected] 2 Қазақстан инженерлік-педагогикалық Халықтар Достығы университеті магистранты,


Мобилдік қолданбаларда бҧлтты есептеулердің принциптері

Бұл мақалада мобильді қосымшалардың бұлтқа арналған қызметтерінің

функционалдығын арттыру, Amazon Simple DB бұлтта дерекқорын қолдану, REST веб-

қызметтерін жазу және бұлт деректерді ұялы телефон қолданбасының деректеріне

синхрондау үшін бұлттық деректерді сақтауға арналған құрылыстық блоктар ретінде

кӛрсетілген.

Кілт сөздер: бұлтты есептеулер, мобильді қосымшалар, бұлтты сервистер, виртуалды

серверлер.

Л.М.Мусабекова1, А.С.Оспан

2

1доктор технических наук, доцент, Казахстанский инженерно-педагогический университет

Дружбы народов, E-mail: [email protected] 2master student of the Kazakhstan engineering and pedagogical university of Friendship of Peoples,


Принципы облачных вычислений в мобильных приложениях

В этой статье показаны облачные сервисы как строительные блоки для повышения

функциональности мобильных приложений, хранение данных приложений в облаке, с

использованием облачной базы данных Amazon SimpleDB, написание веб-служб REST и

синхронизация данных приложений мобильного телефона с данными в облаке.

Ключевые слова: облачные вычисления, мобильные приложения, облачные сервисы,

виртуальные серверы.

When you start to build and use cloud-based services, you need to understand how all the

pieces fit together. You need to understand these three participants: the clients, your service, and the

third-party cloud services you use. It helps to have a simple picture in your head that drives your

design decisions [1]. Figure 1 shows such a picture.





78

Figure 1

Your service itself may be based in the cloud. You might be running a set of virtual servers in

Amazon, or you might be running a virtual app on Google or Heroku. Whatever the case may be,

you need to consider how your cloud hosting will affect your use of other cloud services. For

example, hosting on Amazon is a good idea if you plan to use Amazon cloud services such as the

SimpleDB database, as data transfer internally within the Amazon cloud is free.

One very important consideration when designing your cloud service is the type of API it

offers. There are two major types of APIs[2]:

1. Simple Object Access Protocol (SOAP) – SOAP is an XML-based protocol that always

uses the HTTP POST verb and includes many complex enterprise features. SOAP is focused on

actions and virtual method calls on remote objects. It uses XML namespaces extensively. SOAP is

generally regarded as being overly complex.

2. Representation State Transfer (REST) - REST is an XML or JSON-based protocol that

gets as much as it can out of the HTTP standard. REST focuses on resources and limits the actions

on those resources. REST also uses the standard HTTP status codes and caching. It is much simpler

than SOAP.

One of the most useful cloud services is a cloud database. Cloud databases provide a place to

store your data remotely. These databases have the following attributes[3]:

1. Reliable — A cloud database is reliable because the cloud provider looks after backups.

2. Scalable — A cloud database can handle very large volumes of data without impacting

performance.

3. Low maintenance — A cloud database does not require you to perform database

administration.

4. Pay-as-you-go — Storing data in the cloud means that you do not need to pay for storage

in advance.

Cloud databases are highly scalable distributed systems. To achieve this scale, cloud

databases have to make certain trade-offs. In particular, the traditional database concept of a

transaction that guarantees data consistency is much harder to achieve in a highly distributed

database. This, and other trade-offs, are made explicit by what is known as the CAP theorem. Eric

Brewer, one of the co-founders of Inktomi, and a professor at UC Berkeley, developed the CAP

theorem, which states that a highly scalable distributed system can provide only two of these three

characteristics[4]:

1. Consistency — Consistency means that all clients see the same data.

2. Availability — Availability means that clients can always access the database.

3. Partition tolerance — Partition tolerance means that if any servers fail, the system keeps

working.

To build the cloud applications, we use server-side JavaScript. You can write JavaScript code

that runs on cloud servers, not on web browsers. This is a very powerful development strategy.

JavaScript is emerging as a credible language for server-side development. You may be forgiven for

thinking that JavaScript is a strange choice for server-side development.



79

Until recently, JavaScript wouldn’t have been a good choice for server-side development. But

in the past few years, production-quality toolkits and application platforms have become available

that make it possible. If your only experience with JavaScript has been to use it as a simple

language for HTML manipulation, it’s time to embrace the hidden power in a language that many

know but few know well. As a dynamic server-side language, JavaScript can compete admirably

with Ruby, Python, Perl, and PHP.

We will use the Node JavaScript application platform. The home page for Node is

http://nodejs.org. There are other JavaScript platforms, but Node is one of the best. It is built using

the Google V8 JavaScript engine, which the Google Chrome web browser uses. Google created the

V8 engine from scratch so that online Google applications such as Gmail and Google Docs would

be very fast when executed inside Google’s Chrome browser.

The V8 engine is very fast for three reasons[5]:

1. Google V8 dynamically compiles your most frequently executed blocks of JavaScript into

machine code instructions. This is the same way that Java’s just-in-time compiler works.

2. Google V8 JavaScript is not an ―interpreted‖ language at all. Google wrote a generational

garbage collector for V8. Garbage collection is a powerful programming language feature that

prevents you from having to worry about removing old objects from memory. The problem with

simple implementations of garbage collection is that they cause random delays in a program while

the garbage collector looks for old objects. Google solves this problem by sorting objects into

categories depending on how old the objects are. These categories are known as generations. As a

result, your codes runs smoothly and predictably.

3. V8 has hidden classes. This is a neat trick from the Google guys. JavaScript is

objectoriented, but it does not have classes; it has only objects. This is one of the things that sets it

apart from other languages. Classes are very helpful for optimizing code, so Google V8 creates

hidden classes, based on its analysis of your code. These hidden classes are used to avoid dynamic

property lookups, which are relatively slow.

But here’s the big reason for using Node: It does not use threads. It uses events. The Node

engine is a state machine that reacts to bytes coming in from the network. Every time a new chunk

of data arrives, Node fires an event. You work with Node by writing JavaScript functions that wait

for events. This is exactly the same way that you write code for web browsers, where you wait for

user events such as mouse clicks and finger gestures.

Traditional application servers create a new thread for each incoming client connection, or

they share a pool of threads. This limits their maximum level of performance. Memory is needed to

manage each thread, and processor time is needed to switch between threads. You also have

to worry about all the horrible bugs that threads cause: deadlocks, race conditions, side

effects, and inconsistent shared data. Node avoids all this. There is only one thread, and everything

happens consecutively. You always know that the code you are looking at is the only code

executing. This makes debugging and development much easier.

In order to build real applications, you need to store your data somewhere. Node has modules

for traditional databases such as MySQL, but in this work we will use MongoDB. MongoDB is a

new type of database that speaks JSON natively, which makes it a perfect fit for Node..

Now it’s time to add some functionality to the data collection script. You need to decide how

to actually store the count changes and the last-known to-do item counts for each app. Also, it

would be interesting to know how effective users are at completing their to-do lists. You should

therefore store the done and not-done counts as well. The objects in this collection have the

following properties[6]:

1. id — This is a unique identifi er for the app.

2. kind — This property can be set to total, done, or notdone.



80

3. sec — This is the date and time of the last count received.

4. val — This is the value of the last count received.

Now you can return to the ultimate goal of this paper: building a cloud-based analytics

solution for our mobile app. We have all the pieces you need. The To-Do List app on our mobile

device will send HTTP requests to your Amazon instance. The nginx web server will handle the

requests, serving static files and passing functional requests to Node for processing. Node will

connect to MongoDB to store and retrieve the analytics data. Finally, you’ll use an open source

charting library to display real-time analytics.

Before you start building a cloud-based Node application to handle app usage data, we need

to think about the design of your system. Collecting the usage data and charting that data are

separate things. They should go in separate Node processes. That way, we can scale your app by

running these processes on separate Amazon instances. For now, we can run them both on the same

server. We use the nginx web server to proxy HTTP requests to the two Node processes.

This example sets up the infrastructure for our cloud app. The steps take through each

configuration setting and show you how to confirm that everything is working. We use tracer

bullets to confirm everything end-to-end. The first thing you do is configure nginx so that it proxies

requests for certain URLs to Node. This gives a classic ―web server talks to app server‖

configuration. The nginx location directives tell nginx to send requests onward to Node processes

listening on ports 3000 and 3001. There is also a location directive to serve up some HTML from

the todostats/public folder. We use this to deliver a new version of the To-Do List app that reports

on usage statistics.

Mobile web apps built using HTML5 are usually productivity-style apps. If you go to the

iPhone App Store or the Android Marketplace and take a look at the apps in the productivity

category, you’ll notice that many of them have a tab bar at the bottom. This layout style presents a

row of tabs at the bottom of the screen. Tapping a tab opens a new page of the app. Each tab This

layout style is so common that the native code libraries provide preconfigured classes that make it

easy for developers to build tab bars. You can do this in HTML. But it’s not as simple as just

positioning a tab bar at the bottom of the screen. You also need to solve a tricky problem: scrolling

the content above the tab bar. The user needs to be able to scroll this content in the same way as in

any native app. With a one-finger touch, a user should be able to flick the content up and down at

high speed and see it ―rubber-band‖ at the start and end of the scroll.

Generally, in a mobile web app, scrolling applies to the whole app, not just content element.

But you don’t want a user to be able to scroll your entire interface, including the tab bar. We want

the tab bar to say in place and the rest of the app to scroll. The To Do List app in the previous

chapters side-stepped this problem by having no tab bar at the bottom. But this is not an option if

your client wants one.

There are two solutions. One is the jQuery Mobile solution, which involves making the tab

bar fade out while the user is scrolling and making it fade it back in when the scrolling is done. This

solution has the advantage of using the mobile browser’s built-in page scrolling, which is always

going to be fast. The disadvantage is that this is not the same as native scrolling behavior. It is an

acceptable solution for a mobile web app that will remain in a browser window. For full-screen

mobile web apps, however, you need another solution. This is where the iScroll library comes into

play. The iScroll library is a custom JavaScript library for mobile scrolling that intercepts touch

events over a given element and uses those events to control the scrolling of the element. The

scrolling effect is carefully tuned using hardware-accelerated CSS3 transitions to closely replicate

the feel of native scrolling. The iScroll library is not quite as fast as native scrolling, but it does

work very well for small- to medium-sized scrolling lists.



81

This paper covers all the pieces of a full-scale cloud-based application. We showed basics

principles how to use the web server, the app server, and the database, and how to run them all in

the cloud. We are now ready to build complete cloud-based apps, to store user’s data efficiently,

reliably, and cheaply in the cloud, as well as how to synchronize the cloud with our app.

REFERENCES

1. Richard Rodger. BEGINNING Mobile Application Development in the Cloud. John Wiley

& Sons, Inc. 2012. P.556

2. R.Buyya, C.S.Yeo, S.Venugopal, J.Broberg, and I.Brandic, Cloud computing and emerging

IT platforms: Vision, hype, and reality for delivering computing as the 5th

utility, Future Generation

Computer Systems, 25:599-616, 2009.

3. L.M.Vaquero, L.Rodero-Merino, J.Caceres, and M.Lindner, A break in the clouds:

Towards a cloud definition, SIGCOMM Computer Communications Review, 39:50-55, 2009.

4. McKinsey & Co., Clearing the Air on Cloud Computing, Technical Report, 2009.

5. M.Armbrust, A.Fox, R.Griffith, A.D.Joseph and R.Katz. Above the Clouds: A Berkeley

View of Cloud Computing, UC Berkeley Reliable Adaptive Distributed Systems Laboratory White

Paper, 2009.

6.B. Blau, D. Neumann, C. Weinhardt, and S. Lamparter, Planning and pricing of service

mashups, in Proceedings of the 2008 10th IEEE Conference on E-Commerce Technology and the

Fifth IEEE Conference on Enterprise Computing, E-Commerce and E-Services, Crystal City,

Washington, DC, 2008, pp.19-26.

ӘОЖ 519.624

МҒТАР 27.01.45

Қ.И.УСМАНОВ1, Б.О.БЕКТЕМІР

2

1физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент,


Е-mail: [email protected] 2 Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті магистранты,


ИМПУЛЬСТЫ ШЕТТІК ШАРТТЫ ИНТЕГРАЛДЫҚ–ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ

ТЕҢДЕУЛЕР ЖҤЙЕСІН ШЕШУДІҢ ПАРАМЕТРЛЕУ ӘДІСІ

Әртүрлі физикалық құбылыстарды зерттеу барысында интегралдық-дифференциалдық

теңдеулерді зерттеу қажеттілігі туындады. Себебі механикалық немесе физикалық есептерді

шығару барысында кӛптеген процестердегі құбылыстар интегралдық-дифференциалдық

теңдеулер түріне келтіріледі. Импульсті шеттік шартты интегралдық-дифференциалдық

теңдеулер жүйесі үшін параметрлеу әдісі қолданылған. Параметрлеу әдісінің негізінде

импульсті шеттік шартты интегралдық-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін шешімін

табудың алгоритмдері құрылған. Импульсті шеттік шартты интегралдық-дифференциалдық

теңдеулер жүйесінің шешімділігінің шарттары фундаменталды матрица негізінде алынды.

Кілт сөздер: Интегралдық-дифференциалдық теңдеулер жүйесі, параметрлеу әдісі,

импульсті шеттік шарт, резольвента.





82

К.И.Усманов1, Б.О.Бектемир

2

1кандидат физико-математическихнаук, доцент, Международный казахско-турецкий университет имени

Ходжа Ахмеда Ясави, Е-mail: [email protected] 2магистрант Международного казахско-турецкого университета имени Ходжа Ахмеда Ясави,


Метод параметризации решения системы интегрально-дифференциальных

уравнений с импульсным граничным условием

При изучении различных физических явлений возникла необходимость исследования

интегрально-дифференциальных уравнений. Так как при решении механических или

физических задач явления во многих процессах приводятся к типу интегрально-

дифференциальных уравнений. Для системы интегрально-дифференциальных уравнений с

импульсным краем применен метод параметрирования. На основе метода параметрирования

разработаны алгоритмы решения для систем интегрально-дифференциальных уравнений с

импульсным краем. Условия решимости системы интегрально-дифференциальных

уравнений с импульсным краем получены на основе фундаментальной матрицы.

Ключевые слова: Система интегрально-дифференциальных уравнений, метод

параметрирования, импульсное концевое условие, резольвента.

К.I.Usmanov1, B.O.Bektemi0r

2

1candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-

Turkish University, Е-mail: [email protected] 2master student of the Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish University,


Method of parameterization of the solution of a system of integral differential

equations with a momentum boundary condition

In the study of various physical phenomena there was a need to study the integral-differential

equations. Since in solving mechanical or physical problems phenomena in many processes are

reduced to the type of integral-differential equations. For the system of integral-differential

equations with a pulse edge the parameterization method is applied. On the basis of the

parametrization method, algorithms for solving systems of integral-differential equations with a

pulse edge are developed. The determination conditions of the system of integral-differential

equations with a pulse edge are obtained on the basis of the fundamental matrix.

Key words: The system of integral-differential equations, the method of parameterization, the

pulse end condition, resolvent.

T,0 кесіндісінде параметрлі интегралдық-дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін

параметрлі шеттік есеп қарастырылады [1-4]:

1 2

0 0

( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )

T Tdx

A t x K t s x s ds K t s x s ds f tdt

,

0, \t T , (0,T) nx R (1)

(0) (T)Bx Cx d , nd R (2)

( 0) ( 0)x x p , np R (3)







83

мұндағы ( )A t матрицасы және )(tf вектор-функциясы T,0 аралығында үзіліссіз,

),(1

stK , ),(2

stK матрицасы сәйкесінше TT ,0,0 аралығында үзіліссіз, i

nixx

,1max

.

nRTC ,,0 арқылы T,0 кесіндісінде үзіліссіз nRTx ,0: функциялар кеңістігін

белгілейміз және оның нормасын

)(max

,01txx

Tt

түрінде анықтаймыз.

(1)-(3) есебінің шешімі деп T,0 аралығында t нүктесінен басқа нүктелерде

бӛлікті-үзіліссіз дифференциалданатын, (1) интегралдық-дифференциалдық теңдеулер

жүйесі мен (2), (3) шеттік шарттарды қанағаттандыратынын ( )x t айтамыз.

Шарт А.

T

tFdsszstKtz0

2)()(),()(

(4)

Фредгольм тектес интегралдық теңдеу кез келген nRTCtF ,,0)( функциясы

үшін бірмәнді шешімділік болсын.

Егер А шарты орындалса, онда (4) Фредгольм тектес теңдеудің ),(2

stK ӛзегі үшін

)1;,(2

st - резольвентасы табылып, (4) интегралдық теңдеудің шешімін

T

dssFsttFtz0

2)()1;,()()( ,

түрінде жазуға болады және ол үшін

,)(1)(11

tFTtz

мұндағы

.)1;,(max2

,0,0,st

TTst

А шартын пайдаланып, (1) - (3) шеттік есебін келесі түрде жаза аламыз

1 2 1

0 0 0

( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ;1) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

T T Tdx

A t x K t s x s ds f t t A x K s x s ds f ddt

,

0, \t T , (0,T) , nx R (5)

(0) (T)Bx Cx d , nd R (6)

( 0) ( 0)x x p , np R (7)

Келесі түрлендірулер жасайық



84

TT TT T

dssxstKddssxsKtddssxsKst0

12

0 0

12

0 0

12)(),()(),()1;,()(),()1;,(

мұндағы T

dsKtstK0

1212),()1;,(),(

және

,),(),()()1;,(),(~

112

0

21stKstKdAtstK

T

T

dfttftf0

2)()1;,()()(

~

белгілеулерін енгізсек, онда (5), (6). (7) шеттік есебін келесі түрде жазуға болады

1

0

( ) ( , ) ( ) ( )

Tdx

A t x K t s x s ds f tdt

, 0, \t T , (0,T) , nx R (8)

(0) (T)Bx Cx d , nd R (9)

( 0) ( 0)x x p , np R (10)

(8), (9), (10) шеттік есебіне параметрлеу әдісін қолданайық.

Кез келген Nl санын алып, T,0 кесіндісін 2( 1)

1

1

0, ,l

r r

r

T t t

аралықтарға

бӛлейік, мұнда 0 1 10, , 1, , ,r r r r

Tt t t r l t t

l l

1,2( 1).r l l

)(tx функциясының әрбір rr

tt ,1

, 1,2( 1)r l аралығына сығылуын )(txr

арқылы

белгілейік.

1

2( 1)

1

1

( ) ( , ) ( ) ( )

j

j

tl

rr j

j t

dxA t x K t s x s ds f t

dt

, rr

tt ,1

(11)

1 2(l 1)0

(0) lim ( )t T

Bx C x t d

nd R (12)

11 2 1

0lim ( ) ( )

ll l l

t tx t x t p

, np R (13)

10

lim ( ) (t )s

s s st t

x t x

1,2(l 1) \ 1s l

(14)



85

шеттік есепке кӛшеміз, мұнда (13) теңдік-бӛліктеудің ішкі нүктесіндегі үзіліссіздік шартын

қамтамасыз етеді.

r арқылы )(tx

r функциясының 1, 1,2( 1)rt t r l нүктесіндегі мәнін белгілеп

алайық.

Әрбір rr

tt ,1

аралығында rrr

txtu )()( , 1,2( 1)r l алмастыруын жасайық.

Онда, (11) - (14) есебі келесі шеттік есепке келтіріледі:

1

2( 1)

1

1

( ) ( , ) ( ) ( )

j

j

tl

rr r j j

j t

duA t u K t s u s ds f t

dt

, rr

tt ,1

(15)

0)(1

rrtu , 1,2( 1)r l (16)

1 2(l 1) 2(l 1)0

lim (t)t T

B C C u d

nd R

(17)

11 1 2

0lim ( )

ll l l

t tu t p

(18)

10

lim ( )s

S S St t

u t

, 1,2(l 1) \ 1s l

(19)

r параметрінің анықталған мәндерінде (15)-(19) есебі тӛмендегі интегралдық теңдеулер

жүйесіне пара-пар:

1

2(l 1)

1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( )

j

r r r j

tt t t

r r r r

jt t t t

u t A u d A d K s u s dsd

1

2(l 1)

1 1

1

( , ) ( ) , ,

j

r j r

tt t

j r r

jt t t

K s dsd f d t t t

(20)

(20)-ден )(lim0

tur

tt r , 1,2(l 1)r шекті анықтап, (17)-(19) шарттарына қойсақ, онда

r ,

1,2(l 1)r параметрлеріне қатысты сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз.

1 1 1

2( 1)

1 2(l 1) 2( 1) 1

1

( ) ( , ) ( )

j

l l j

tT T l

l j

jT t T t t

B C C A d C K s s dsd

1 1 1 1

2( 1)

2(l 1) 1 1

1

f( ) A( )u ( ) ( ,s)u ( )

j

l l l j

tT T T l

j

jT t T t T t t

d C d C d C K dsd

(21)



86

1 1 1

2( 1)

1 1 1 2

1

( ) ( , ) ( )

jl l

l l j

tt t l

l l j l

jt t t

A d K s s dsd

1 1 1 1

2( 1)

1 1

1

( )u ( , ) u ( ) f( )

j j j j

j j j j

t t t tl

l j

jt t t t

p A d K s s dsd d

, 1, l 1p

(22)

1 1 1

tt t 2( 1)

1 1

1t t t

( ) ( , ) ( )

js s

s s j

l

S s j s

j

A d K s s dsd

1 1 1 1

tt t t2( 1)

S 1

1t t t t

( ) u ( , ) u ( ) f( )

js s s

s s j s

l

j

j

A d K s s dsd d

1,2(l 1) \ 1s l

(23)

(21) - (23) теңдеулер жүйесінің r

қатысты сол жағындағы матрицаны (h)Q -деп

белгілейік, ал оң жағындағы )(tf сәйкес интегралдарды ( )F h , )(tu

r мүшелері бар

интегралдарды ),( huG -деп белгілейік, яғни

2( 1) 1 2 2( 1) 1( ) , , ,...,l lF h f f f f

2( 1) 1 2( 1) 1( , ) ( , ), ( , ),..., ( , )l lG u h G u h G u h G u h ,

мұндағы

1 1 1

2( 1)

1

1

( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )

p p j

p p j

t t tl

p p j

jt t t

G u h A u d K s u s dsd

1

f( ) ( )

p

p

t

p p

t

f u d

Сонда (21)-(23) сызықтық теңдеулер жүйесін келесі түрде жазуға болады:

(h) ( ) ( , )Q F h G u h (24)

Сонымен, tu, жұптарын табу үшін (20), (24) тұйық жүйе аламыз және оны келесі

алгоритм бойынша шешеміз.

0-қадам. а) (h)Q матрицасының кері матрицасы бар деп есептеп, (h) ( )Q F h

теңдеулер жүйесінен (0) (0) (0) (0) 2 ( 1)

1 2 2( 1), ,..., n l

l R

параметрлерінің алғашқы жуықтауын

анықтаймыз: 1

(h) ( )Q F h

.



87

б) табылған )0(

r , 1,2 ( 1)r n l мәндерін (15) интегралдық-дифференциалдық теңдеулер

жүйесінің оң жағына қойып, (16) шартпен арнайы Коши есебінің

(0) (0) (0) (0)

1 2 2( 1)[ ] ( ), ( ),..., ( )lu t u t u t u t

шешімін анықтаймыз.

1-қадам. а) табылған )0(

ru , 1,2 ( 1)r n l мәндерін (24) теңдеулер жүйесіне қойып және

(h)Q матрицасының кері матрицасы болатындығын ескеріп, (0)(h) ( ) ( , )Q F h G u h

теңдеулер жүйесінен '

(1) (1) (1) (1)

1 2 2( 1), ,..., l мәндерін анықтаймыз.

б) табылған )1(

r , 1,2 ( 1)r n l мәндерін (15) интегралдық-дифференциалдық теңдеулер

жүйесінің оң жағына қойып, (16) шартпен бірге арнайы Коши есебінің

'

(1) (1) (1) (1)

1 2 2( 1)[ ] ( ), ( ),..., ( )lu t u t u t u t шешімін анықтаймыз.

Процесті жалғастыра отырып, k-шы қадамда tu kk )()( , , ,...1,0k жұптарының

жүйесін анықтаймыз.


1. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных

уравнений. -М., 1982, -304 с.

2. Джумабаев Д.С. Об одном методе решения линейной краевой задачи для интегро-

дифференциального уравнения //Вычисл. матем. и матем. физ. -2010. - Т.50, №7. С.1209-

1221.

3. Тлеулесова А.Б. Об однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи с

импульсным воздействием // Матем. журнал. -Алматы, 2004. –Т-4., №4- С.93 – 102

4. Усманов К.И. «Об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-

дифференциального уравнения с нагружениями» // Тез. XIII Межд. научн. конф. им.

М.Кравчука Институт матем. НАН Украины. 13-15 мая. 2010. Киев, 2010. - С. 405



88

ӘОЖ: 378.1:004

МҒТАР:20.01.00

А.С.ҚАСЫМБЕКОВ1, И.К.АБДИЛЬДАЕВ

2

1техника ғылымдарының кандидаты, доцент, Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық

қазақ-түрік университеті, E-mail: [email protected] 2Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті магистранты,


УНИВЕРСИТЕТ БАСҚАРУДЫҢ ИНТЕГРАЛДАНҒАН АҚПАРАТТЫҚ

ЖҤЙЕСІН ҚҦРУ ҤДЕРІСІНІҢ ЗАМАНАУИ ТӘСІЛДЕРІ

Мақалада университет білім беру қызметін басқару (оқу үдерісін басқару) үдерісін

автоматтандыруда, заманауи ақпараттық технологияларды қолданып университет

басқарудың интегралданған ақпараттық жүйесін құру үдерісінің заманауи әдіс-тәсілдерін

зерттеу қарастырылған.

Кілт сөздер: университетті басқару, интегралданған ақпараттық жүйе, оқу үдерісі

және оны басқару, кешенді, жүйелік және үдерістік тәсілдер.

А.С.Касимбеков1, И.К.Абдильдаев

2

1кандидат технических наук, доцент, Международный казахско-турецкий университет имени

Ходжа Ахмеда Ясави, E-mail: [email protected] 2магистрант Международного казахско-турецкого университета имени

Ходжа Ахмеда Ясави, E-mail: [email protected]

Современные подходы построения интегрированной информационной системы

управления университетом

Статья посвящена изучению современных подходов к процессу создания

интегрированной системы управления университетом с использованием современных

информационных технологий при автоматизации управления учебным процессом в

университете (управление учебным процессом).

Ключевые слова: управление университетом: интегрированная информационная

система: учебный процесс и ее управление, комплексный, системный и процессный метод.

A.S.Kasymbekov1, I.K.Abdildaev

2

1candidate of technical sciences, associate professor, Khoja Akhmet Yassawi International

Kazakh-Turkish University, E-mail: [email protected] 2master student of the Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish University,


Modern approaches of the processes of construction of the integrated information

management system of the university

The article is devoted to the study of modern approaches to the process of creating an

integrated university management system with the use of modern information technologies in

automating the management of the educational process at the university (management of the

educational process).

Key words: university management: integrated information system: educational process and

its management, complex, system and process method.









89

Ақпараттар кӛлемінің «кӛшкін» іспеттес тез ӛсуінің нәтижесінде, ақпараттық сервис

қызметтерінің сан алуан түрлі салаларда белсенді пайдаланылуы және заманауи ақпараттық-

коммуникациялық инфрақұрылымдарды сипаттайтын ӛзара тығыз байланысқан үдерістердің

жетілдірілуі, ақпараттық қоғамның пайда болуының басты себептеріне айналды. Ақпараттық

қоғамның дамуын сипаттаушы үдерістер мемлекеттің, қоғамның, тұлғаның тіршілік етуінің

барлық аспектілеріне белсенді ықпалын тигізуде. Бұдан білім беру жүйесі де назардан тыс

қалмауды. Білім беруді ақпараттандыру бағыты, ақпараттық қоғамға деген ұлттық қозғалыс

бағдарламаларының барлығында дерлік кездеседі. Заманауи университет инфрақұрылымы

мен олардағы басқару үдерісін ақпараттандыру, ӛзара тығыз байланысқан екі негізгі бағыт

бойынша жүргізілуде [1]. Бірінші бағыт – педагогикалық үдерісті модернизациялау үшін білім беру үдерісін

компьютерлендіру, заманауи ақпараттық технологияларды пайдалану. Соңғы жылдары

біздер бірнеше білім беру парадигмаларының дамуының куәсіне айналдық, қашықтықтан

оқыту (distance learning), электронды оқыту (e-learning), мобильдік оқыту (m-learning),

жаппай оқыту (u-learning) және т.б. сол сияқты ақпараттық технологияларды кеңінен

қолдану сол аталмыш парадигмалардың негізін қамтиды. Ақпараттық технологиялар

негізінде білім беруді модернизациялау, заманауи білім беру жүйесіне ұсынылатын жаңа

талаптармен және сонымен қатар, компьютерлік техникалар жәрдемімен Ғаламторлық

ақпараттарды ӛңдеудің кеңінен таралған күнделікті құралдарына айналуымен

қамтамасыздандырылған. Аталмыш бағыт университеттің ақпараттық ортасына электронды

білім беру ресурстарымен, сонымен бірге оқыту мен электронды кітапханаларды басқару

жүйелерінің (LMS-Learning Management Systems) бағдарламалық тұғырнамасы және

электронды оқыту жүйесімен біріктіру арқылы жүзеге асады.

Екінші бағыт – заманауи университеттің бизнес-үдерістерін ақпараттандыру

арқылы университеттік басқару жүйесін компьютерлендіру. Бұл бағыт маңызды және аса

ӛзекті болып жаппай жоғары білім мен Болон үдерісіне ӛту жағдайларындағы білім беру

үдерісінің сапасын жақсартуға (тым болмағанда, сақтауға), сондай-ақ университеттің

жұмысын ұйымдастыруда материалдық шығындарды тӛмендетуге бағытталған. Бұл бағыт

университет менеджментін компьютерлендіру үдерісінің мамандандырылған бағдарлама

тұғырнамаларын дайындау және оларды ӛндіріске ендірумен байланысты. Заманауи

университет – бұл ашық түрдегі мобилді, инновациялы, кәсіпкерлік, дамушы, бәсекеге

қабілетті, әлеуметтік маңызды университет. Оның дамуы, ең алдымен, ЖОО менеджмент

жүйесінің ұсынатын қызметтері сапасының әрдайым жақсартуға бағытталған. Стратегиялық

басқару міндеттерін ағымдағы қызметпен біріктіруге, сондай-ақ студенттерді,

қызметкерлерді (және т.б. да қызығушылық білдірген тараптарды) университетті

модернизациялау үдерісіне жаппай тартуды қамтамасыз етуге мүмкіндік беретін тиімді

басқару жүйесіне ӛту, бүгінгі қалыптасқан жағдайда, ЖОО басқарудың жаңа парадигмасы

мен концепциясын қалыптастыруды талап етеді [2].

Университеттік басқарудың интегралданған ақпараттық жүйесін жобалау, басқарудың

негізгі функциялары болған (жоспарлау, ұйымдастыру, бақылау, үйлестіру), университет

қызметінің негізгі бағыттарын (білім беру, ғылыми-зерттеу, қаржы-экономикалық, кадр және

т.б.) және шешілетін мәселелерге қарай қалыптасатын ішкі құрылымының призмасы арқылы

жүзеге асырылуы тиіс. Барлық үдерістерді, барлық бӛлімшелерді қамтуға мүмкіндік беретін

және ақырғы нәтижеге (қызмет тұтынушылар талаптарын қанағаттандыру) бағытталатын

университетті басқарудың интегралды ақпараттық жүйесін (кӛптеген ӛзара байланысқан

үдеріс саналатын бірыңғай бизнес-жүйе ретінде қарастырылады) жобалауда процестік

тәсілді пайдалану, ақпараттық жүйе мен басқару тиімділігін тұтастай қамтамасыз етеді.



90

Тәжірибелер, оның ішінде зерттеу жұмыстарында зерделенген еуропалық тәжірибелер

кӛрсеткендей, кәсіпорын ресурстарын жоспарлаудың негізінде қаржылық және материалдық

ресурстарды, қызметкерлер мен студенттер контингенттерін және т.б. активтерді басқаруды

университет менеджментінің толық және біртұтас қамтылуының компьютерлендірілген

жүйесін құру – бағдарламалық жасақтамаларды және оларды бейімдеу мен ендірудің жоғары

болған ӛзіндік құнына келіп тіреледі.

Сондай-ақ, білім беру үдерісін басқаруды автоматтандыру үшін типтік жалпы ұлттық

және де ұлттық шешімдерден жоғары тұратын шешімдер мүлдем тапшы. Бұл, ең бастысы,

университеттердің ұлттық ерекшеліктерімен қатар олардың құрылымы, бизнес-үдерістерді

ұйымдастыру ӛзгешеліктерін, автоматтандыру мәселелерін түсінудегі айырмашылықтарына

да байланысты. Қол жетімді дереккӛздерде тиісті пәндік салалардың сипаттамасы мүлдем аз.

Нәтижесінде тіпті оқу үдерісін «тапсырыспен» басқару жүйесін дайындау үшін мәселенің

сауаттылықпен алға қойылмайтын жағдайлары қалыптасады, ал әлеуетті жүйе жасаушы

тиісті пәндік саланы кӛбіне баяу игереді.

Жоғарыда аталған тұжырымдарды назарға ала отырып, зерттеу жұмысында (мақала)

университет білім беру қызметін басқару (оқу үдерісін басқару) үдерісін автоматтандыруда,

заманауи ақпараттық технологияларды қолданып университет басқарудың интегралданған

ақпараттық жүйесін құру үдерісінің заманауи әдіс-тәсілдерін зерттеу қарастырылған.

Зepттeу мaқcaты: университет білім беру қызметтерін басқарудың (оқу процесін)

негізгі жүйелерін автоматтандыруды қамтамасыздандырушы жүйе ретінде заманауи басқару

технологияларын қолданып университет басқарудың интегралданған ақпараттық жүйесін

құру үдерісінің заманауи тәсілдерін зерттеу және әдістемелік негіздеу.

Қойылған мақсатқа жету үшін келесі мәселелерді: университетті басқарудың

автоматтандырылған ақпараттық жүйесінің негізгі басты қызметтерінің функционалдық

бағыттарын талдау және ақпараттық ағымдарды сипаттау мәселелерін шешу қажет.

Жаһандық инновациялық қоғамды қалыптастырудағы білімге негізделген ұлттық

экономиканы құруда – білім ең маңызды ресурстардың бірі болып саналады және жоғары

білімге деген заманауи талаптар мен университетті одан әрі дамыту жӛніндегі жаңа

міндеттерді алға қояды. Олардың кейбірі дәстүрлі ЖОО ұшырасатын, бұрын шешілмеген

мәселелердің салдары болса, ал кейбірі, соны мәселе мен сын-тегеуріндер болып, нарықтық

жағдайда ӛздерінің жұмыс істейтін қатаң бәсекелестік ортамен және әрдайым ӛзгеріп

отыратын әлеуметтік-экономикалық ортаға бейімделу қажеттілігімен қамтамасыз етілген.

Бұл мәселелердің сәтті шешілуі, университет қызметін модернизациялау, оның

динамикалық дамушы жүйеге айналуының бірінші кезекте, ЖОО басқару жүйесін

жетілдіруді, оның бәсекелестік артықшылықтарын қамтамасыз етуге қабілетті жаңа

инновациялық басқарушылық үлгілер негізіндегі ЖОО басқарудың жаңа парадигмасы

мен концепциясын қалыптастыруды талап етеді [1,2].

Университет – жоғары білікті мамандарды – интеллектуалды және инновациялық

мүмкіндік иелерін «ӛндіру» үдерісінде тұлғаның, қоғамның және мемлекеттің мәдени,

интеллектуалды, әлеуметтік сұраныстарын қанағаттандыру миссиясының айрықша

кӛпфункционалды, кӛпдеңгейлі күрделі жүйесі. Осыған сүйене отырып, ЖОО басқаруды

жетілдіруді шешу мәселесін келесі заманауи тәсілдерді: кешенді, жүйелі және үдерістік

тәсілдерді пайдалана отырып орындауды талап етеді [2].

Жоғары мектепті дамытудың халықаралық, әсіресе еуропалық тәжірибесіне, сонымен

бірге Қазақстандық ЖОО еуропалық ақпараттық кеңістікке қосылуының басым бағыттарын

негіздей келе, университетті басқаруды жетілдірудің жаңа тәсілдерін дайындауда және

жүзеге асыру барысында заманауи университет пен болашақ университеттің келесі бас

ерекшеліктерін атап ӛткеніміз жӛн [3]:



91

әрдайым білім алу университеті (кәсіби жетілдіру үздіксіз үдеріс болып табылады);

инновациялық университет (білім беру, зерттеу және инновациялардың бірігуіне

негізделген);

зерттеу университеті (ғылыми зерттеулер білім беру бағдарламаларын жетілдірудің

нақты негізіне айналады);

интеграциялық университет (нақты экономиканы, университетке дейінгі білімді

қосқанда универсиеттің ішінде және одан тыс серіктестіктің белсенді дамуын, оның сыртқы

ортамен байланысын кӛздейді);

ӛздігінен ұйымдастырылатын және басқарылатын университет (университеттік

автономия және ӛзін-ӛзі қаржыландыру қағидаларымен әрекет етеді);

демократия және партиципативтік (алқалы) басқарылатын университет

(қызметкерлер шешімдерді қабылдау үдерісіне белсенді араласады);

кәсіпкерлік университет (ЖОО арасында күшеймелі бәсекемен, оның қызметінің

сапасын қамтамасыз ету бойынша шығындардың арту жағдайында ЖОО-ның қаржылық

тұрақтылығын қамтамасыз ету қажеттілігімен қамсыздандырылған);

ұсынатын қызметтерінің сапасын кепілдендіретін университет (сапа саласында

ӛзіндік құрылымы мен саясатын дамытушы және университеттің ішкі философиясына,

ұйымдастырушылық мәдениетке, қызметкерлердің ынталануына бағдарланған);

ашық университет (ішкі және сыртқы орта факторлары мен даму перспективалары

бойынша бірлескен ықпалынан қарастырылатын) екенін ескеру қажет.

Осылайша, заманауи ЖОО күннен күнге күрделі ұйымдастырылған ӛздігінен

дамитын ашық жүйеге айналуда, жоғары белсенділік пен озық даму, сыртқы және ішкі

серіктестер мүдделерінің теңгерімділігін ескеру және қамтамасыз ету осы жүйеге тән.

Мұндай университетті басқару үлгісі стратегиялық басқаруға негізделуі және ЖОО

сапасын әрдайым жақсартуға және еңбек нарығының қақпаратық жүйесінеттіліктерін

қанағаттандыруға бағдарлануы тиіс.

Жоғары оқу орнын басқаруды жетілдіру келесідей негіз қалаушы үш факторға

бағытталуы тиіс: университеттік басқару функциялары; ЖОО-ның ӛзгерістері мен

функцияларына бағдарланған миссия және оның қызмет ететін әлеуметтік-экономикалық

ортаның ерекшеліктері.

ЖОО басқарудың тік сызықтық басқару үлгісіне негізделген дәстүрлі құрылымында

(ректорат - факультет - кафедра) нарықтық экономиканың субъектісі ретінде ЖОО қызмет

етуінің ӛзекті мәселелерін шешу аса қиынға соғуда, ӛйткені ол сыртқы ортаның жылдам

ӛзгеруші жағдайларынан туындайтын іс-әрекетттерге тез әсер етуге бейімделмеген.

ЖОО басқарудың дәстүрлі үлгілерінен заманауи үлгілеріне ӛту бірқатар дәстүрлі

функцияларды (білім беру, зерттеушілік, тәрбиелік, кәсіби, жинақталған ғылыми білімді

беру) сақтайды және университеттерді заманауи ЖОО-ның жоғарыда аталған ерекше

сипаттамаларынан туындайтын және де басқа, қарапайым емес функциялармен (ұсынатын

қызметтердің сапасын қамтамасыз ету, әріптестік қатынастарды дамыту, университеттің

ӛзін-ӛзі ұйымдастыруын және қызметтің тиімділігін қамтамасыз ету, сыртқы әріптестермен

мүдделер теңгерімділігін сақтау, интеграциялық үдерістерді дамыту және т.б. сол сияқты)

толықтырылады.

Университетті басқарудың инновациялық үлгісі (ЖОО-на деген аталған ерекшеліктер

мен ӛзекті талаптарға сүйене отырып) кӛлденең басқару құрылымын (мансапты жоспарлау

және түлектердің жұмысқа орналасуына кӛмек беру, жобалық-бағдарланған құрылымдармен

және т.б.) дамытуды кӛздейді.

Бұл жағдайдағы қалыптамалық құрылымда, оның адхократиялық үлгісі қолайлы.

Адхократиялық құрылым (латын тіліннен ad hoc - арнайы осы үшін) тез ӛзгеруге және ішкі



92

және сыртқы ортаның ӛзгеруші жағдайларына бейімделуге қабілетті. Басқарудың мұндай

құрылымы белсенді тәртіп пен басқаруды ынталандырады. Бұл ретте басқару шешімдерін

қабылдаудың негізі болып табылатын университетті басқарудың ақпаратық жүйесін құру,

ӛндіріске ендіру және тұрақты дамытудың маңызы зор. ЖОО бірыңғай ақпараттық ортасын

құру, ақпаратық жүйені жобалауға деген үдерістік тәсілді пайдалану (халықаралық стандарт

негізінде сапа менеджменті жүйесіне сәйкес) университеттің бәсекелестік ерекшеліктерін

күшейтуге және оның әлеуетін нығайтуға мүмкіндік береді.

Университетті басқару құрылымының жалпылама түрдегі кӛрінісі 1-суретте берілген.

ЖОО-ның бағыттылығына, оның қызметі мен даму ерекшеліктеріне, қызметтің ішкі

параметрлері мен басқа факторларына қарай бұл құрылым –ӛзгеруі және нақты жағдайларға

бейімделуі мүмкін. Осыған қарай ЖОО-ның функционалды бӛлімшелері мен олардың

қызметкерлері арасындағы функциялар, ӛкілеттіліктер мен жауапкершіліктер үлестіріледі.

Жоғарыда айтылғандай, университетті басқару жүйесін жобалауда кешенді, жүйелік

және үдерістік тәсілдерді пайдаланудың маңызы ӛте зор [4].

1-сурет. Университеттің жалпылама тҥрдегі басқарылу қҧрылымы

Мұнан әрі университетті басқару жүйесінің астарында оның қызметін басқарудың

үдерістері мен әдістерін және құрал-жабдықтарының жиынтығын түсінуге болады. Бұл

жағдайда, басқару объектілерін университет қызметтерінің негізгі түрлері атқарады.

Олардың ішіндегі екі негізгі болған – білім беру және зерттеу қызметті, сондай-ақ

университеттің ұсынатын білім беру және ӛзге де қызметтерінің жоғары деңгейін

қамтамасыз ететін қызметкерлерді басқару, қаржылық, маркетингтік және т.б. осы

сияқты бірнеше кӛмекші қызметтерді атауға болады. Ұйым бӛлімшелері және барлық

деңгейдегі менеджерлер басқару субъектілері болып табылады.

Университет қызметін басқару (кез келген шаруашылық етуші субъект ретінде)

университетті басқарудың барлық деңгейлерінде жүзеге асырылатын, бірақ, соған сай, түрлі

деңгейдегі күрделілікте классикалық басқару функцияларына – жоспарлауға,

ұйымдастыруға, үйлестіруге, ынталандыруға және бақылауға негізделуі тиіс (2-сурет).

Ректор

Ғылым бӛлімі

Проректорлар Әкімшілік

бӛлім

Қаржы

бӛлімі

Кәсіподақ

бӛлімі

Факультеттер

Бухгалтерия

Экономикалық

жосарлау



93

Мысалы, ректорат – стратегиялық басқаруды, ал деканаттар мен кафедралар

университет қызметінің негізгі түрлерін шұғыл басқаруды қамтамасыз етулері тиіс.

2-сурет. Университет қызметін басқарудың негізгі функциялары мен бағыттары

Университет қызметінің функционалды бағыттарының жүйесін түсіну бизнес-үдеріс

пен оларды құрылымдауды одан әрі нақтылауда және негізгі басымдылығын анықтауда,

яғни, университет басқарудағы ақпаратық жүйені жобалауда ӛте маңызды.

Коммуникациялау және шешімдерді қабылдау үдерістері бүкіл жүйені басқару немесе

үдерістерін байланыстыру құралы болып, басқарудың бүкіл жүйесінің функционалдылығы

олардың жеделділігі мен дәлелділігінің нәтижесіндегі сапасына да байланысты болады.

Ӛз кезегінде, басқарудың жүйелік тәсілі ұйымдастыруды 5 элементтен тұратын жүйе

ретінде қарастырылады (3-сурет):

Ақпараттық жүйеше – мәліметтердің, ақпараттардың, ақпараттық ағымдардың,

ұйымның мақсаттарын дайындау және қол жеткізу үшін ақпараттық қолдауды қамтамасыз

етуге арналған ақпаратты ӛңдеу құралдары мен үдерістерінің жиынтығы.

Ұйымдастыру жүйешесі – қызметкерлердің, бӛлімшелердің және басқару мен

орындау үдерістерін жүзеге асыруды қамтамасыз ететін ұйымдастырушылық ӛзара

қатынастардың жиынтығы.

Шешімдерді қабылдау жүйешесі – ӛкілеттіліктерді, жауапкершілікті, сонымен бірге

шешім қабылдау әдістерін анықтайтын ӛзара байланысқан элементтер жиынтығы.

Әдістемелік жүйеше - басқару функцияларын жүзеге асыруда қолданылатын

әдістер мен техникалардың жиынтығы.

Адами ресурстарды басқару жүйешесі – қызметкерлерді іріктеуге, қабылдауға,

дамытуға, ынталандыруға бағытталған әдістердің, тәсілдердің, құралдардың жиынтығы.

Университетті басқарудың ақпаратық жүйесін дайындау және ӛндіріске еніру мақсаты

университеттің білім беру және ғылыми-зерттеу қызметінің сапасын арттыру, сондай-ақ

оның ресурстарын тиімді пайдалану болғандықтан, университетті басқаруды жетілдіруде,

университет қызметінің негізгі функционал бағыттарын анықтауда ұйымның сапа бойынша

Басқарудың негізгі функциялары

Университет

ЖОО функциялары / қызметінің негізгі бағыттары

Білім беру

(негізгі)

Зерттеу және

дамыту

Адам

ресурстары Маркетинг

Қаржылы-

есептік

Жоспарлау Ҧйымдастыру Ҥйлестiру Себептеу

Бақылау



94

менеджменті жүйесіне (СМЖ) қойылатын талаптарды сипаттайтын ISO 9001:2008 сериясы

бойынша халықаралық стандарттарға [5] сүйенген жӛн-ақ. Бұл стандарттар университетті

басқаруға деген жалпы үдерістік тәсілді пайдалануға негізделген және оның қызметтерінің

сапасын әрдайым жақсартуға (ең алдымен, бизнес-үдерістерді оңтайландыру арқылы)

бағытталған.

3-сурет. ЖОО басқару жҥйесінің қҧрылымы

Үдерістік тәсіл [6] университет қызметтерінің барлық бӛлімшелерінің қосылған және

олардың стратегиялық мәселелерінің сәтті жүзеге асуына бағытталған ӛзара байланысқан

үдерістердің жүйелілігі ретінде қарастырылады. Бұл тәсіл бірыңғай ӛзара байланысқан

үдерістер жүйесі (бірыңғай бизнес-жүйе) ретінде ЖОО тиімді басқару үшін алдын ала

жағдай жасайды және стратегиялық басқару мәселелерін университет басшылығы мен

барлық бӛлімшелердің жоғары басшылыққа негізделген басқару шешімдерін қабылдау

құралын ұсынатын ағымдағы қызметімен біріктіруге мүмкіндік береді. Үдерістерді тиімді

басқару, ақырында университеттің барлық қолданыстағы ресурстарын тиімді пайдалануды

қамтамасыз етеді. Жоғарыда аталған тұжырымдарға сүйене отырып, университет басқаруда

ақпаратық жүйені дайындау мен жобалау үшін үдерістік тәсілді негізгі етіп ұсынуға болады.

ISO 9001:2008, ISO/IEC 12207:2008 [7, 8] халықаралық стандарттарының негізінде,

университет үдерістерін негізгі 3 топқа бӛлуге болады:

Тұтынушы үшін білім берудің негізгі ӛнімінің (қызметтер, жұмыстар) құнын

(қосымша құнды) қалыптастыратын негізгі бизнес үдерістер.

Адами ресурстарды басқару жүйешесі

Ақпараттық жүйеше

Ұйымдастыру

жүйешесі Шешімдерді қабылдау

жүйешесі

әдістемелік-басқару жүйешесі

Басқару жүйесінің басқа элементтері

ЖОО БАСҚАРУ ҚҰРЫЛЫМЫНЫҢ ЖҮЙЕШЕЛЕРІ



95

Менеджмент жүйесінің үдерістері (стратегиялық жоспарлау, басшылық тарапынан

СМЖ талдау, ішкі аудит, түзетуші және алдын алушы әрекеттер, құжаттарды бақылау т.б.).

Негізгі үдерістерді жүзеге асыруға, сонысымен ЖОО қызметінің негізгі ӛнім

құнының қалыптасуына мүмкіндік беретін қамтамасыз етуші (аталатын және кӛмекші,

қосымша) үдерістер.

Университеттің ішкі үдерістерінің жалпы құрылымы 4-суретте берілген.

Білім беру үдерісін университет бизнес-үдерістерінің негізгі бӛліктерінің бірі ретінде

зерттеу нысаны болғандықтан, оқу үдерісінің ішкі құрылымын және оларды басқарудың

келесі сипаттағы ерекшеліктерін атап ӛтейік.

4-сурет. Университеттің негізгі ҥдерістерінің қҧрылымы

Оқу үдерісін басқарудың бизнес-үдерісі келесі ішкі үдерістерді қамтиды: студенттер

контингентін басқару; оқу жоспарын (curriculum) және оқу үдерісі кестелерін қалыптастыру;

жұмыс оқу бағдарламаларын (syllabus) қалыптастыру; студенттердің дербес оқу жоспарын

қалыптастыру; оқу жүктемесін есептеу және үлестіру; оқу үдерісінің кестесін қалыптастыру;

электронды журнал енгізу; үлгерімділікті есепке алу (learning outcomes); студенттер

арасында электронды сауалнама жүргізу және еңбек нарығын маркетинг зерттеу; оқу

үдерісінің сапасын бақылау.

Студенттер контингентін басқару. Әр студентке электрондық түрдегі жеке және

оқу картотекалары арналады. Студенттер оқу топтарына бӛлінеді. Студенттер

контингентінің қозғалысына қарай келесідей негізгі операциялар орындалуы тиіс: есепке

алу, академиялық және қаржылық тіркеу, мобильділік, оқу тобынан басқа оқу тобына ӛту,

«студент» мәртебесін тоқтата тұру, академиялық демалыс ұсыну және ұзарту (денсаулық



96

жағайына т.б. қарай), қалпына келтіру, жеке реквизиттерді ауыстыру және шығару.

Оқу жоспарын (curriculum) және оқу үдерісінің кестелерін қалыптастыру.

Мамандықтың оқу жоспары білім беру негізінде дайындалады. Білім беру стандарты

[9] әдетте түлектерге талаптар қояды (European Qualification Framework негізінде National

Qualication Framework – Болон үдерісіне қосылған мемлекеттерде).

Қазақстанда салалық біліктілік шеңбері бар (Sectoral Qualification Framework).

Салалық біліктілік шеңбері аясында мамандық оқу жоспары – білім беру бағдарламасы

дайындалады. Бағдарламада білім беру мақсаттары (яғни, learning outcomes оқу біткен соң

студенттің алатын білімі мен бейімділіктерінің тізімі) оқу үдерісінің кестесі (оқу

жұмысының алуан түрлерін орындаудың ұзақтығы, міндетті оқытылатын пәндердің тізімі

мен кӛлемі (жеке жағдайларда - тізімі) оқу семестрін кӛрсету арқылы студенттердің таңдаған

пәндерінің тізімі) жазылған.

Білім беру бағдарламасы негізінде жыл сайын мамандықтың жұмыс оқу жоспары

дайындалады, ол әр семестрде оқытылатын пәндердің тізімін нақтылайды (студенттердің

таңдауы бойынша олардың оқуына ұсынылатын пәндер тізімін қосқанда). Жұмыс жоспары

білім беру бағдарламасы негізінде құрылады. Жұмыс оқу жоспарын білім беру бағдарламасы

бойынша меңгеруші дайындайды және деканатпен келісіледі.

Жұмыс оқу бағдарламаларын құру (syllabus). Оқу пәнінің жұмыс бағдарламасын

тиісті департамент оқытушысы құрастырады. Оқу бағдарламасын әзірлеу үдерісінің ӛзі

міндетті мақсаттарды сұрыптап іріктеу бӛлімінде автоматтандырылуы мүмкін. Сондай-ақ

жұмыс бағдарламасының жеке элементтері университет басқару ақпараттық жүйесіне

енгізілуі де мүмкін. Оларға регламент (студенттің оқу жұмысының жеке түрлері үшін

жинайтын кредиттер саны), ағымдық білім бақылауы және ағымдық аттестация формалары,

ұсынылатын әдебиеттер тізімі (қамтамасыз етілуді талдау үшін).

Студенттердің дербес оқу жоспарларын құру. Әр оқу семестрі басталар алдында әр

студент үшін студенттің таңдаған еркін таңдау пәндерін ескеру арқылы дайындықтың тиісті

бағытындағы жұмыс оқу жоспары негізінде дербес оқу жоспары құрылады. Дербес оқу

жоспарын құруда жеке пәндерді оқудың дербес мерзімін орнату мүмкіндігін қарастырған

жӛн. Құрылған дербес оқу жоспары оқу келісім-шарты түрінде құжатталып рәсімделеді.

Оқу жүктемесін есептеу және үлестіру. Жұмыс оқу жоспарларында пәндер

бекітілген департамент кӛрсетіледі. Жұмыс оқу жоспарларында аталмыш оқу жоспарының

(силлабус) білім беру мақсаттарына жету үшін берілетін сағат саны (аудиториялық, дербес)

жазылған. Жүктемені есептеу үшін силлабустан және осы пәнді тіркеген студенттер саны

бойынша ақпараттан пайдаланылады. Департамент оқытушыларға қарай ӛзінің оқу

жүктемесінің есебін жүргізеді және кесте мен штаттық жүктемені құру үшін ақпарат береді.

Оқу үдерісінің кестесін құру. Оқу үдерісінің кестесі оқытушы, оқу тобы,

аудиторияның шамасына қарай құрылады. Оқу үдерісінің кестесі оқу топтары (қосалқы

топтар) бойынша құрылады, осы ретте білім беру бағдарламасының вариативтік бӛлігінің

пәндері кестеге бір күнде енгізілуі мүмкін, бұл пәндерге оқу топтарын ескермей жеке кесте

құрылады.

Үлгерімділікті тіркеу (learningoutcomes). Оқу/мамандық бағытындағы оқу жоспарын

құрудың қорытындыларының бірі – оқу нәтижесінде қол жеткізілуі тиіс білім, бейімділік

және біліктілік (learningoutcomes) тізімін анықтау болып табылады.

Үлгерімділікті тіркеу толығымен оқытушының (силлабус авторының) немесе (және)

университеттің академиялық кеңесінің (осы тұрғыдан ұсыныстар дайындайтын) шешіміне

байланысты.

Қорытынды ұпай ұлттық бағаға және ECTS айналдырылады. ECTS бағасы

нормативтік құжаттармен анықталатын тиісті формула бойынша есептеледі. Диплом



97

қосымшасына ұлттық қорытынды баға қойылады, ECTS бағасы қатар кӛрсетіледі.

Қанағаттандырылмайтын бағаларды қайта тапсыру кесте бойынша (қайта

тапсырушылар тобының құрамында) немесе жеке ӛткізіледі. Әр жағдайда тиісті емтихан

тізімдемесі дайындалады.

Әр семестр біткен соң студенттің барлық пәндері бойынша орташа/рейтингтік

ұпайының мәні (қажет болса, түрлі алгоритмдер бойынша) есептеледі, сонымен қатар

пәндердің және оқу жүктемесінің ӛзге формаларының шамасына қарай статистика есебі

қамтамасыз етіледі.

Сессияны қанағаттанарлықсыз тапсыру нәтижелеріне қарай тиісті кредиттер

меңгерілмеген болып қала береді, студент не олардан жаңадан ӛтуге (егер бұл кредиттер

білім беру бағдарламасының міндетті бӛлігінен болса) немесе егер олар вариативті бӛлігіне

жатса басқасын таңдауға міндетті. Егер студент бір пәннің кредиттерін үш ретке дейін

меңгере алмаса, студентке мобильділікті пайдалануды және білім беру бағдарламасын

ауыстыруды міндеттейді.

Сессия қорытындысы бойынша стипендия тағайындалады (академиялық стипендияны

тағайындау ӛлшемдері университеттерде ерекшеленуі мүмкін).

Сонымен, қарастырылған білім беру үдерісі университет бизнес-үдерістерінің негізгі

құрамдас бӛлігі болып табылады.

Негізгі басқару үдерістеріне, сапа менеджменті жүйесінің үдерістерімен қатар

стратегиялық және оперативтік басқаруды, сапаны басқаруды, жауапкершілік пен

ӛкілеттіктерді шектеуді және т.б. сол сияқты үдерістерді жатқызуға болады.

Университеттерді басқаруды және стратегиялық жоспарлауды рәсімдеу және

автоматтандыру мәселелері қазіргі таңда жеткілікті дәрежеде дайындалмағанын және жеке

зерттеулердің объектісі болуы мүмкін екендігін ескерген абзал.

Қамтамасыз етуші үдерістер басты бизнес-үдерістердің орындалуын қолдауға және

университеттің тиімді қызмет етуін қамтамасыз етуге бағытталған. Оларға қызметкерлерді

басқару, қаржы-экономикалық қызметті басқару, материалдық-техникалық жасақтаманы

басқару, ақпараттандыруды басқару және т.б. сол сияқты кӛптеген үдерістер жатады.

Үдерістік тәсіл барлық университеттік үдерістерді біріктіруді, ал оны ақпараттық

жүйені дайындауда қолдану осы жүйенің ӛзінің біріктірілуін кӛздейді. Осы ретте, бизнес-

үдерістерді сипаттау, талдап тексеру және рәсімдеу аталмыш жүйелерді дайындауда ӛте

маңызды. Бизнес-үдерістерді дұрыс үлгілеу университет қызметінің реинжинирингі болған

басқару жүйесін оңтайландырудың алғы шарты болып табылады.

Жоғары оқу орнын басқару бойынша интегралды жүйесін жобалау кезінде басқару

шешімдерін қабылдау негізі болып табылатын университет басқарудың ақпараттық жүйесін

құру, ендіру және тұрақты дамытудың маңызы айрықша. ЖОО-ның бірыңғай ақпараттық

ортасын құру, ақпараттық жүйелерді жобалауға үдерістік тәсілді пайдалану университеттің

бәсекелестік артықшылықтарын күшейтіп, оның әлеуетін арттыруға мүмкіндік береді.


1. Тихомирова Н.В. Управление современным университетом, интегрированным в

информационное пространство: концепция, инструменты, методы. – Дисс. …д-ра экон. наук.

– М., 2009. С. 278.

2. Шатилова, О. О. Современные подходы к созданию интегрированной ИС

управления университетом / О. О. Шатилова, С. Н. Нестеренков, Т. А.Рак //Дистанционное

обучение – образовательная среда XXI века: материалы X междунар. научно-методической

конференции. – Минск: БГУИР, 2017. – C. 172.



98

3. Нестеренков, С. Н. Интегрированная информационная система как средство

автоматизации управления образовательным процессом в учреждениях высшего образования

/ С. Н. Нестеренков, Т. А. Рак, О. О. Шатилова // Информационные технологии и системы

2017 (ИТС 2017) // Information Technologies and Systems 2017 (ITS 2017): материалы

междунар. науч. конф. / редколлегия: Л. Ю. Шилин [и др.]. – Минск: БГУИР, 2017. – С. 212.

4. Шемаров, А. И. Использование инновационных подходов в образовательном

процессе на базе интеграции учреждений высш. образования / А. И. Шемаров, Е. Г. Гриневич

// Управление информ ресурсами: материалы XII Междунар. научно-практической конф.. –

Минск: АУ при Президенте Республики Беларусь, 2015. – С. 145-149.

5. ГОСТ ISO 9001–2011. Системы менеджмента качества. Требования.

<http://docs.cntd.ru/document/gost-iso-9001-2011> (accessed June 11, 2015).

6. Коречков Ю.В. Процессный подход к управлению организацией выс. образования

//Интернет-журн «Науковедение» Том 9, №3(2017) http://naukovedenie.ru/PDF/107EVN317.pdf

7. ISO 9001:2008/Cor.1:2009(E). Quality management systems. Requirements.

<http://www.iso.org/iso/home/store/cataloguetc/cataloguedetail.htm? csnumbe r=464 86> (accessed

June 11, 2015).

8. ISO/IEC12207:2008 Информационные технологии. Процессы жизн. цикла

программного обеспечения. <http://www.iso.org/iso/ru/ catalogue detail? csnumber=43447>

(accessed June 11, 2015).

9. The Standards and guidelines for quality assurance in the European Higher Education

Area (ESG). <http://www.enqa.eu/index.php/home/esg/> (accessed June 11, 2015).

http://naukovedenie.ru/PDF/107EVN317.pdf

http://www.iso.org/iso/home/store/cataloguetc/cataloguedetail.htm?%20%20csnumbe%20r=464%2086

http://www.iso.org/iso/ru/%20catalogue%20detail?%20csnumber=43447

http://www.enqa.eu/index.php/home/esg/



99

АВТОРЛАР ТУРАЛЫ МӘЛІМЕТТЕР

Абдуваитов А.А. магистрант, Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік

университеті

Абдильдаев И.К. магистрант, Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік


Бекбаев С.М. физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент, Қожа

Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті

Бектемір Б.О.

магистрант, Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік


Бӛріханов М.Б. Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университетінің PhD

докторанты, ҚР ҰҒА Математика және математикалық модельдеу

институты

Етмишев Х.Ф. аға оқытушы, Жиззах политехника институты (Жизах, Ӛзбекстан).

Ибрагимов Р. педагогика ғылымдарының докторы, профессор, Онтүстік

Қазақстан мемлекеттік педагогикалық университеті

Калимбетов Б.Т. физика-математика ғылымдарының докторы, профессор, Қожа

Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті.

Корнилов В.С. педагогика ғылымдарының докторы, профессор, Мәскеу

педагогикалық университеті (Мәскеу, Ресей).

Мәді Р.А. магистрант, Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік


Миратоев З.М. оқытушы, Ислам Каримов атындағы Ташкент Мемлекеттік техника

университетінің Алмалық филиалы (Алмалық, Ӛзбекстан).

Мұсабекова Л.М. техника ғылымдарының докторы, доцент, Қазақстан инженерлік-

педагогикалық Халықтар Достығы университеті

Оспан А.С. магистрант, Қазақстан инженерлік-педагогикалық Халықтар

Достығы университеті

Кулахметова Ш.Б. магистрант, Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік


Қасымбеков А.С. техника ғылымдарының кандидаты, доцент, Қожа Ахмет Ясауи

атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті

Құрбан Д.Я. магистрант, Қожа Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік


Тұрметов Б.Х. физика-математика ғылымдарының докторы, профессор, Қожа

Ахмет Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті

Усманов Қ.И. физика-математика ғылымдарының кандидаты, доцент Қожа Ахмет

Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті.



100

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Абдуваитов А.А. магистрант, Международный казахско-турецкий университет им.

Х.А.Ясави

Абдильдаев И.К.

магистрант, Международный казахско-турецкий университет им.

Х.А.Ясави

Бекбаев С.

кандидат физико-математических наук, доцент, Международный

казахско-турецкий университет им. Х.А.Ясави

Бектемир Б.О.

магистрант, Международный казахско-турецкий университет им.

Х.А.Ясави

Бориханов М.Б. PhD докторант, Казахский национальный университет им. Аль-

Фараби, Институт математики и математического моделирования

(г.Алматы, Казахстан)

Етмишев Х.Ф. старший преподаватель Джизакского политехнического института

(Джизак, Узбекистан)

Ибрагимов Р. доктор педагогических наук, профессор Южно-Казахстанского

Государственного педагогического университета (Шымкент,

Казахстан)

Калимбетов Б.Т доктор физико-математических наук, профессор, Международный


Корнилов В.С. доктор педагогических наук, профессор, Московский педагогический

университет (Москва, Россия)

Касимбеков А.С. кандидат технических наук, доцент, Международный казахско-

турецкий университет им. Х.А.Ясави

Кулахметова Ш.Б. магистрант, Международный казахско-турецкий университет им.

Х.А.Ясави

Курбан Д.Я. магистрант, Международный казахско-турецкий университет им.

Х.А.Ясави

Мади Р.А. магистрант, Международный казахско-турецкий университет им.

Х.А.Ясави

Миратоев З.М. преподаватель Алмалыкского филиала Ташкентского

Государственного технического университета им. Ислама Каримова

(Алмалык, Узбекистан)

Мусабекова Л.М. доктор технических наук, доцент, Казахстанский инженерно-

педагогический университет Дружбы народов (Шымкент, Казахстан)

Оспан А.С. магистрант, Казахстанский инженерно-педагогический университет

Дружбы народов (Шымкент, Казахстан)

Турметов Б.Х. доктор физико-математических наук, профессор, Международный


Усманов К.И. кандидат физико-математических наук, доцент, Международный




101

INFORMATION ABOUT AUTHORS

Abduvaitov A.A. master student, Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish

University

Abdildaev I.K. master student, Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish

University

Bekbayev S.M. candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor,

Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish University

Bektemir B.O. master student, Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish

University

Borikhanov M.B. Master student of the Institute of mathematics and mathematical modeling,

Al-Farabi Kazakh National university (Almaty, Kazakhstan)

Etmisev Kh.F. senior lecturer, Zhizakh Polytechnic Institute (Zhizakh, Uzbekistan)

Ibragimov R. doctor of pedagogical sciences, professor, South Kazakhstan State

pedagogical university (Shymkent, Kazakhstan)

Kalimbetov B.T doctor of physical and mathematical sciences, professor, Khoja Akhmet

Yassawi International Kazakh-Turkish University

Kornilov B.S. doctor of pedagogical sciences, professor, Moscow pedagogical university

(Moscow, Russia)

Kаsimbekov А.S. candidate of technical sciences, Khoja Akhmet Yassawi International

Kazakh-Turkish University

Kulakhmetova Sh.B. master student, Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish

University

Kurban D.Y. master student, Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish

University

Madi R.A. master student, Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish

University

Miratoev Zh.M. teacher, Almalyk branch of the Islam Karimov Tashkent State Technical

University (Almalyk, Uzbekistan)

Musabekova L.M. doctor of technical sciences, associate professor, Kazakhstan Peoples

Friendship engineering and pedagogical university (Shymkent,

Kazakhstan)

Ospan A.S. master student, Kazakhstan Peoples Friendship engineering and

pedagogical university (Shymkent, Kazakhstan)

Turmetov B.Kh. doctor of physical and mathematical sciences, professor, Khoja Akhmet

Yassawi International Kazakh-Turkish University

Usmanov К.I. candidate of physical and mathematical sciences, associate professor,

Khoja Akhmet Yassawi International Kazakh-Turkish University



102

МАЗМҦНЫ

АБДУВАИТОВ А.А.

ТУРМЕТОВ Б.Х.

Лаплас теңдеуі үшін Дирихле есебінің бӛлшек ретті аналогы туралы

7-17

БЕКБАЕВ С.М.

ҚУРБАН Д.Я. 6Li және

12С ядроларында электрондар шашырау форм-факторларын талдау

17-22

BОRIKANOV M.B.

Уақыт бойынша бӛлшек диффузия теңдеулері жүйесіне арналған Фуджит

типті сыни кӛрсеткіштер

23-35

ИБРАГИМОВ Р.

Үш айнымалысы бар симметриялық кӛпмүшеліктердің қолданылуы

35-45

КАЛИМБЕТОВ Б.Т.

ЕТМИШЕВ Х.Ф.

МИРАТОЕВ З.М.

Бӛлшек ретті сингуляр ауытқыған қарапайым дифференциалдық теңдеулер

45-55

КОРНИЛОВ В.С.

Математикалық физиканың кері міндеттеріне оқытудың ғылыми-білім беру

әлеуетін дамыту

55-61

КУЛАХМЕТОВА Ш.Б.


Бигармоникалық теңдеу үшін шекаралық шартында бӛлшек ретті туынды

қатысқан шеттік есеп

62-67

МАДИ Р.А.


Пуассонның сызықты емес теңдеуі үшін Дирихле есебі туралы

67-76

MUSABEKOVA L.M.

OSPAN A.S.

Мобилдік қолданбаларда бұлтты есептеулердің принциптері

77-81

УСМАНОВ Қ.И.

БЕКТЕМІР Б.О.

Импульсты шеттік шартты интегралдық–дифференциалдық теңдеулер

жүйесін шешудің параметрлеу әдісі

81-87

ҚАСЫМБЕКОВ А.С.

АБДИЛЬДАЕВ И.К.

Университет басқарудың интегралданған ақпараттық жүйесін құру

үдерісінің заманауи тәсілдері

88-98

АВТОРЛАР ТУРАЛЫ МӘЛІМЕТТЕР 99-101

МАЗМҦНЫ 102-104



103

СОДЕРЖАНИЕ

АБДУВАИТОВ А.А.


О дробном аналоге задачи Дирихле для уравнения Лапласа

7-17

БЕКБАЕВ С.М.

КУРБАН Д.Я.

Анализ форм-фактора рассеяния электронов в ядрах 6Li и

12C

17-22

BОRIKANOV M.B.

Критические показатели типа Фуджита для систем уравнений дробной

диффузии во времени

23-35

ИБРАГИМОВ Р.

Применение симметричного многочлена с тремя переменнымы

35-45

КАЛИМБЕТОВ Б.Т.

ЕТМИШЕВ Х.Ф.

МИРАТОЕВ З.М.

Сингулярно возмущенные обыкновенные дифференциальные уравнения

дробного порядка

45-55

КОРНИЛОВ В.С.

Развитие научно-образовательного потенциала обучения обратным

задачам математической физики

55-61

КУЛАХМЕТОВА Ш.Б.


Об одной краевой задаче для бигармонического уравнения с граничным

оператором дробного порядка

62-67

МАДИ Р.А.


О задаче Дирихле для нелокального уравнения Пуассона

67-76

MUSABEKOVA L.M.

OSPAN A.S.

Принципы облачных вычислений в мобильных приложениях

77-81

УСМАНОВ Қ.И.

БЕКТЕМІР Б.О.

Метод параметризации решения системы интегрально-дифференциальных

уравнений с импульсным граничным условием

81-87

ҚАСЫМБЕКОВ А.С.

АБДИЛЬДАЕВ И.К.

Современные подходы построения интегрированной информационной

системы управления университетом

88-98

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ 99-101

СОДЕРЖАНИЕ 102-104



104

CONTENT

ABDUVAITOV A.A.

TURMETOV B.KH

About the friendly analogue of the Dirichle task for the Laplace equation

7-17

BEKBAYEV S.M.

KURBAN D.Y.

Analysis of the electron scattering form factor in 6Li and

12C nuclei

17-22

BОRIKANOV M.B.

Critical exponents of fujita type for system of time-fractional diffusion equations

23-35

IBRAGIMOV R.

The use of a symmetric polynomial with three variables

35-45

КALIMBETOV B.T.

ETMISHEV KH.F.

MIRATOEV ZH.M.

Singularly perturbed ordinary differential equations of fractional order

45-55

KORNILOV V.S.

Development of scientific and educational potential of the teaching inverse

problems of mathematical physics

55-61

KULAKHMETOVA B.SH.

TURMETOV B.KH.

On solvability of a boundary value problem for the biharmonic equation with a

boundary operator of a fractional order

62-67

MADI R.A.

TURMETOV B.KH.

About the Dirichlet problem for a Poilson non-local equation

67-76

MUSABEKOVA L.M.

OSPAN A.S.

The principles of cloud computing in mobile applications

77-81

USMANOV К.I.

BEKTEMIR B.O.

Method of parameterization of the solution of a system of integral differential

equations with a momentum boundary condition

81-87

KASYMBEKOV A.S.

ABDILDAEV I.K.

Modern approaches of the processes of construction of the integrated information

management system of the university

88-98

INFORMATION ABOUT AUTHORS 99-101

CONTENT 102-104

Қ.А.ЯСАУИ АТЫНДАҒЫ ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ҚАЗАҚ-ТҮРІК

УНИВЕРСИТЕТІНІҢ ХАБАРЛАРЫ

(МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ИНФОРМАТИКА СЕРИЯСЫ)

Редакцияның мекен-жайы:

161200, Қазақстан Республикасы, Түркістан қаласы,

Б. Саттарханов даңғылы, 29, ректорат, 404 бөлме.

Байланыс тетіктері: 8(725-33)6-36-36(19,60)

e-mail: [email protected]

Ғылыми редактор: ф.-м.ғ.д., проф. Қалимбетов Б.Т.

Аға редактор: Әбілдаева Г.Е.

Редактор: Садықова А.Д.

Жарияланған мақала авторларының пікірі

редакция көзқарасын білдірмейді.

Мақала мазмұнына автор жауап береді.

Қолжазбалар өңделеді және авторларға қайтарылмайды.

Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік

университетінің хабарлары

(математика, физика, информатика сериясы) журналына

жарияланған материалдарды сілтемесіз көшіріп

басуға болмайды.

24.09.2018 баспаға жіберілді

Журнал Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университетінің

«Тұран» баспаханасында көбейтіледі.

Қағаздың пішімі: 70х100 Қағазы офсеттік А4. Офсеттік басылым.

Шартты баспа табағы 6,5. Таралымы 110 дана. Тапсырыс 123.


ИЗВЕСТИЯ - ayu.edu.kz

Documents