Εμβιομηχανική (bioengineering) Θεμελιώδεις αρχές

A01_SATE7433_02_SE_FM GR HEO.indd 1 13/10/2020 11:28

7

Περιεχόμενα

Πρόλογος 13

Πρόλογος ελληνικής έκδοσης 15

1 Εισαγωγή στους υπολογισμούς της μηχανικής 171.1 Μαθησιακοί στόχοι 171.2 Φυσικές μεταβλητές, μονάδες μέτρησης και διαστάσεις 181.3 Μετατροπή μονάδων μέτρησης 191.4 Διαστατική ανάλυση 211.5 Συνήθεις φυσικές μεταβλητές 25

1.5.1 Εκτατικές και εντατικές ιδιότητες 251.5.2 Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη 27

1.6 Μελέτες περιπτώσεων για μηχανικούς 281.6.1 Νόσος του Πάρκινσον 291.6.2 Συνθήκες στην επιφάνεια του πλανήτη Άρη 391.6.3 Το ταξίδι στον Άρη 461.6.4 Θεραπεία με πλασμαφαίρεση 511.6.5 Ασφάλεια της ηλεκτρολογικής εγκατάστασης ενός νοσοκομείου 59

1.7 Ποσοτικοποίηση και παρουσίαση δεδομένων 631.8 Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων στο MATLAB 691.9 Μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων μηχανικής 74 Σύνοψη 77 Βιβλιογραφικές αναφορές 77 Προβλήματα 78

2 Θεμελιώδεις έννοιες των αρχών διατήρησης 872.1 Μαθησιακοί στόχοι 872.2 Εισαγωγή στις αρχές διατήρησης 872.3 Υπολογισμός εκτατικών ιδιοτήτων σε ένα σύστημα 89

2.3.1 Καθορισμός της ιδιότητας 902.3.2 Καθορισμός του συστήματος 912.3.3 Καθορισμός της χρονικής περιόδου 94

2.4 Εννοιολογικό πλαίσιο εργασίας για εξισώσεις ισοζυγίων και εξισώσεις ισοζυγίων διατήρησης 982.4.1 Οι όροι Εισροής και Εκροής περιγράφουν την ανταλλαγή της

εκτατικής ιδιότητας 1012.4.2 Οι όροι Παραγωγής και Κατανάλωσης περιγράφουν μεταβολές στο

σύμπαν 1032.4.3 Ο όρος Συσσώρευσης περιγράφει μεταβολές του συστήματος 107


8 Περιεχόμενα

2.5 Μαθηματικό πλαίσιο εξισώσεων ισοζυγίων 1092.5.1 Εξισώσεις αλγεβρικών ισοζυγίων 1092.5.2 Εξισώσεις διαφορικών ισοζυγίων 1122.5.3 Εξισώσεις ολοκληρωτικών ισοζυγίων 115

2.6 Μαθηματικό πλαίσιο εξισώσεων ισοζυγίων διατήρησης 1212.6.1 Εξίσωση αλγεβρικού ισοζυγίου διατήρησης 1212.6.2 Εξίσωση διαφορικού ισοζυγίου διατήρησης 1242.6.3 Εξίσωση ολοκληρωτικού ισοζυγίου διατήρησης 127

2.7 Περιγραφές συστήματος 1312.7.1 Περιγραφή των όρων Εισροής και Εκροής 1312.7.2 Περιγραφή των όρων Παραγωγής και Κατανάλωσης 1362.7.3 Περιγραφή του όρου Συσσώρευσης 1392.7.4 Η αλλαγή των παραδοχών που έχετε κάνει αλλάζει και τον τρόπο

περιγραφής ενός συστήματος 1432.8 Σύνοψη της χρήσης εξισώσεων ισοζυγίων και εξισώσεων ισοζυγίων

διατήρησης 150 Σύνοψη 151 Βιβλιογραφικές αναφορές 152 Προβλήματα 152

3 Διατήρηση της μάζας 1633.1 Μαθησιακοί στόχοι και κίνητρα 163

3.1.1 Ιστομηχανική 1643.2 Βασικές έννοιες μάζας 1673.3 Ανασκόπηση εξισώσεων ισοζυγίων και εξισώσεων ισοζυγίων διατήρησης της

μάζας 1713.4 Ανοικτά, μη αντιδρώντα συστήματα σε μόνιμη κατάσταση 1763.5 Ανοικτά, μη αντιδρώντα συστήματα σε μόνιμη κατάσταση με περισσότερες

από μία εισροές και εκροές 1803.6 Συστήματα μειγμάτων πολλών συστατικών 1853.7 Συστήματα αποτελούμενα από πολλές μονάδες 1993.8 Συστήματα που περιλαμβάνουν χημικές αντιδράσεις 214

3.8.1 Στοιχειομετρική εξισορρόπηση χημικών αντιδράσεων 2143.8.2 Χρήση των ταχυτήτων αντίδρασης στην εξίσωση ισοζυγίου 219

3.9 Δυναμικά συστήματα 232 Σύνοψη 245 Βιβλιογραφικές αναφορές 246 Προβλήματα 246

4 Διατήρηση της ενέργειας 2874.1 Μαθησιακοί στόχοι και κίνητρα 287

4.1.1 Βιοενέργεια 2874.2 Βασικές έννοιες ενέργειας 291

4.2.1 Ενέργεια που περιέχεται στη μάζα 2924.2.2 Ενέργεια υπό διαμετακόμιση 2964.2.3 Ενθαλπία 301

4.3 Ανασκόπηση των αρχών διατήρησης της ενέργειας 3024.4 Κλειστά και απομονωμένα συστήματα 306


Περιεχόμενα 9

4.5 Υπολογισμός ενθαλπίας σε διεργασίες στις οποίες δεν λαμβάνουν χώρα χημικές αντιδράσεις 3094.5.1 Η ενθαλπία ως καταστατική συνάρτηση 3104.5.2 Μεταβολή της θερμοκρασίας 3154.5.3 Μεταβολή της πίεσης 3194.5.4 Αλλαγές φάσης 3194.5.5 Φαινόμενα ανάμειξης 322

4.6 Ανοικτά συστήματα σε μόνιμη κατάσταση χωρίς μεταβολές της δυναμικής ή της κινητικής ενέργειας 323

4.7 Ανοικτά συστήματα σε μόνιμη κατάσταση με μεταβολές της δυναμικής ή της κινητικής ενέργειας 331

4.8 Υπολογισμός της ενθαλπίας σε διεργασίες που περιλαμβάνουν χημικές αντιδράσεις 3364.8.1 Θερμότητα αντίδρασης 3364.8.2 Θερμότητες σχηματισμού και καύσης 3384.8.3 Υπολογισμοί της θερμότητας αντίδρασης σε μη κανονικές

συνθήκες 3424.9 Ανοικτά συστήματα με αντιδράσεις 3494.10 Δυναμικά συστήματα 357 Σύνοψη 366 Βιβλιογραφικές αναφορές 366 Προβλήματα 367

5 Διατήρηση του ηλεκτρικού φορτίου 3975.1 Μαθησιακοί στόχοι και κίνητρα 397

5.1.1 Νευροπροσθετική 3985.1.2 Βιοϊατρικός εξοπλισμός 402

5.2 Βασικές έννοιες ηλεκτρικού φορτίου 4045.2.1 Ηλεκτρικό φορτίο 4045.2.2 Ηλεκτρικό ρεύμα 4055.2.3 Ο νόμος του Coulomb και τα ηλεκτρικά πεδία 4065.2.4 Ηλεκτρική ενέργεια 406

5.3 Ανασκόπηση εξισώσεων ισοζυγίων και εξισώσεων ισοζυγίων διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου 4095.3.1 Εξισώσεις ισοζυγίων για το θετικό και το αρνητικό ηλεκτρικό

φορτίο 4105.3.2 Εξίσωση ισοζυγίου διατήρησης για το συνολικό ηλεκτρικό

φορτίο 4125.4 Ο νόμος ρευμάτων του Kirchhoff (KCL) 4135.5 Ανασκόπηση της εξίσωσης ισοζυγίου της ηλεκτρικής ενέργειας 420

5.5.1 Εύρεση της εξίσωσης ισοζυγίου 4205.5.2 Στοιχεία που παράγουν ηλεκτρική ενέργεια 4225.5.3 Αντιστάσεις: στοιχεία που καταναλώνουν ηλεκτρική ενέργεια 423

5.6 Ο νόμος τάσεων του Kirchhoff (KVL) 4285.6.1 Εφαρμογές του νόμου τάσεων του Kirchhoff σε συστήματα με έναν

βρόχο 4295.6.2 Εφαρμογές του νόμου τάσεων του Kirchhoff σε συστήματα με δύο ή

περισσότερους βρόχους 4315.6.3 Εφαρμογές του νόμου ρευμάτων (KCL) και του νόμου τάσεων (KVL)

του Kirchhoff 437


10 Περιεχόμενα

5.7 Εφαρμογές του νόμου τάσεων του Kirchhoff (KVL) σε βιοσυστήματα 4435.7.1 Ο νόμος του Einthoven 4455.7.2 Το μοντέλο των Hodgkin-Huxley 449

5.8 Δυναμικά συστήματα – Θεώρηση από τη σκοπιά του ηλεκτρικού φορτίου 453

5.9 Δυναμικά συστήματα – Θεώρηση από τη σκοπιά της ηλεκτρικής ενέργειας 461

5.10 Συστήματα που περιλαμβάνουν όρους Παραγωγής ή Κατανάλωσης– Θεώρηση από τη σκοπιά του ηλεκτρικού φορτίου 4705.10.1 Ραδιενεργός διάσπαση 4715.10.2 Οξέα και βάσεις 4735.10.3 Ηλεκτροχημικές αντιδράσεις 480

5.11 Συστήματα που περιλαμβάνουν όρους Παραγωγής ή Κατανάλωσης– Θεώρηση από τη σκοπιά της ηλεκτρικής ενέργειας 482

Σύνοψη 486 Βιβλιογραφικές αναφορές 487 Προβλήματα 487

6 Διατήρηση της ορμής 5076.1 Μαθησιακοί στόχοι και κίνητρα 507

6.1.1 Κινηματική ποδηλάτου 5086.2 Βασικές έννοιες ορμής 511

6.2.1 Ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα 5126.2.2 Μεταφορά ορμής λόγω μεταφοράς μάζας 5136.2.3 Μεταφορά ορμής που προκαλείται από δυνάμεις 5146.2.4 Μεταφορά στροφορμής λόγω μεταφοράς μάζας 5196.2.5 Μεταφορά στροφορμής που προκαλείται από δυνάμεις 5216.2.6 Ορισμός σωματιδίου, άκαμπτου (στερεού) σώματος, και

ρευστού 5226.3 Ανασκόπηση των αρχών διατήρησης της ορμής 5246.4 Ανασκόπηση των αρχών διατήρησης της στροφορμής 5286.5 Στατική άκαμπτων σωμάτων 5306.6 Στατική ρευστών 5386.7 Απομονωμένα συστήματα σε μόνιμη κατάσταση 5436.8 Συστήματα σε μόνιμη κατάσταση με μετακίνηση μάζας διαμέσου των ορίων

του συστήματος 5516.9 Συστήματα σε μη μόνιμη κατάσταση 5596.10 Ο αριθμός Reynolds 5676.11 Εξισώσεις ισοζυγίου μηχανικής ενέργειας και γενικευμένες εξισώσεις του

Bernoulli 5696.12 Απώλειες λόγω τριβών 5806.13 Η εξίσωση του Bernoulli 588 Σύνοψη 595 Βιβλιογραφικές αναφορές 596 Προβλήματα 596


Περιεχόμενα 11

7 Μελέτες περιπτώσεων 635Μελέτη περίπτωσης Α 635

Πώς να αναπνέετε εύκολα: οι ανθρώπινοι πνεύμονες 635Βιβλιογραφικές αναφορές 646Προβλήματα 646

Μελέτη περίπτωσης Β 654Σταθεροί σφυγμοί: η ανθρώπινη καρδιά 654Βιβλιογραφικές αναφορές 670Προβλήματα 670

Μελέτη περίπτωσης Γ 683Καλύτερη απόδοση και από την Brita®: οι ανθρώπινοι νεφροί 683Βιβλιογραφικές αναφορές 698Προβλήματα 698

Παράρτημα A: Κατάλογος συμβόλων 707Παράρτημα Β: Συντελεστές μετατροπής μονάδων μέτρησης 709Παράρτημα Γ: Περιοδικός πίνακας των χημικών στοιχείων 711Παράρτημα Δ: Πίνακες τιμών βιολογικών δεδομένων 713Παράρτημα Ε: Θερμοδυναμικά δεδομένα 721Ευρετήριο 741


13

Πρόλογος

Επειδή οι αρχές διατήρησης δεν έχουν αλλάξει από τότε που κυκλοφόρησε η πρώτη έκδοση του βιβλίου Εμβιομηχανική: Θεμελιώδεις αρχές το 2007, η βασική δομή και το περιεχόμενο του βιβλίου έχουν παραμείνει τα ίδια. Ωστόσο έχουμε προχωρήσει σε σημαντικές αλλαγές για να βελτιώσουμε αρκετές πτυχές του βιβλίου, οι οποίες διευκολύνουν και κάνουν πιο αποτελεσματική τόσο την εκμάθηση όσο και τη διδα-σκαλία των εννοιών, των ιδεών και των μεθόδων που παρουσιάζονται.

Νέα χαρακτηριστικά σε αυτή την έκδοση

• Η δομή των Κεφαλαίων 1, 2, 5 και 6 τροποποιήθηκε και το μέγεθός τους αυξή-θηκε ώστε να γίνει πιο κατανοητό το νέο ή το υπάρχον περιεχόμενο. Το Κεφάλαιο 1 περιέχει αρκετές νέες ή ενημερωμένες μελέτες περιπτώσεων για μηχανικούς. Στις Ενότητες 2.4-2.6 αναλύεται με πιο σαφή τρόπο το θεωρητικό πλαίσιο για τις εξισώσεις ισοζυγίων και τις εξισώσεις ισοζυγίων διατήρησης, καθώς οι όροι Εισροής, Εκροής, Παραγωγής, Κατανάλωσης και Συσσώρευσης ορίζονται και περιγράφονται με συστηματικό τρόπο. Η δομή των Ενοτήτων 5.5-5.6 έχει τρο-ποποιηθεί ώστε να γίνουν πιο κατανοητές. Η Ενότητα 5.7 περιέχει νέα ύλη για τη μέτρηση βιοσημάτων καθώς και αρκετές βιοϊατρικές εφαρμογές του νόμου τάσεων του Kirchhoff (KVL), οι οποίες παρουσιάζονται με οργανωμένο τρόπο. Τέλος, οι τελευταίες ενότητες του Κεφαλαίου 6 περιλαμβάνουν νέες έννοιες και ιδέες όπως ο υπολογισμός συντελεστών τριβής και η αλληλεπίδραση μεταξύ των διάφορων όρων που υπάρχουν στην εξίσωση ισοζυγίου της μηχανικής ενέργειας.

• Σε δύο κεφάλαια αυξήθηκε σημαντικά ο αριθμός των προβλημάτων που υπάρ-χουν στο τέλος κάθε κεφαλαίου. Η συγκεκριμένη βελτίωση παρέχει στους μεν διδάσκοντες την ευελιξία να επιλέγουν προβλήματα και στους δε φοιτητές επι-πλέον ευκαιρίες να εφαρμόσουν τις γνώσεις τους στην πράξη.

o Στο Κεφάλαιο 2 ο αριθμός των προβλημάτων αυξήθηκε από 24 σε 41. Τα περισσότερα από αυτά τα επιπλέον προβλήματα εστιάζονται στις βασικές πτυχές του συγκεκριμένου κεφαλαίου: στον καθορισμό του συστήματος και της ιδιότητας που πρέπει να υπολογιστεί, στον καθορισμό της χρονικής περι-όδου, στον χαρακτηρισμό του συστήματος (π.χ. δυναμικό ή σε μόνιμη κατά-σταση), και στην εύρεση της καλύτερης μορφής της εξίσωσης που περιγράφει το σύστημα.

o Στο Κεφάλαιο 6 ο αριθμός των προβλημάτων αυξήθηκε από 50 σε 94. Στο συ-γκεκριμένο κεφάλαιο υπάρχουν πολλά νέα προβλήματα στα οποία απαιτεί-ται η εφαρμογή της εξίσωσης ισοζυγίου της μηχανικής ενέργειας (συμπερι-λαμβανομένων των απωλειών λόγω τριβών) και της εξίσωσης του Bernoulli. Επιπλέον, προστέθηκαν και μερικά νέα προβλήματα για τις περισσότερες από τις υπόλοιπες ενότητες του κεφαλαίου.

o Νέα προβλήματα έχουν επίσης προστεθεί σε όλα τα κεφάλαια, συμπεριλαμ-βανομένων και προβλημάτων που απαιτούν υπολογιστικές λύσεις. Τα θέματα αυτών των νέων προβλημάτων σχετίζονται με τους επίκαιρους τομείς του σχεδιασμού και των εφαρμογών της βιοϊατρικής μηχανικής.


14 Πρόλογος

• Με βάση τα σχόλια των φοιτητών και τις προτάσεις των συναδέλφων που κλή-θηκαν να αξιολογήσουν το βιβλίο, προστέθηκαν παραδείγματα προβλημάτων στα Κεφάλαια 1-6. Αυτό είναι πιο εμφανές στο Κεφάλαιο 2, όπου ο αριθμός των σχετικών παραδειγμάτων αυξήθηκε από 16 σε 37. Για να φτάσει κανείς στο σημείο να κατανοεί πλήρως και να επιλύει προβλήματα σχετικά με τις τέσσερις διατηρούμενες ιδιότητες της μάζας, της ενέργειας, του ηλεκτρικού φορτίου και της ορμής, πρέπει να εμπεδώσει στο έπακρο τις θεμελιώδεις έννοιες και ιδέες που παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 2. Νέα προβλήματα προστέθηκαν στα άλλα κεφάλαια για να διευκολύνουν την κατανόηση εννοιών και ιδεών που δεν είχαν παρουσιαστεί αναλυτικά στην πρώτη έκδοση.

• Έχει γίνει νέα επιμέλεια του βιβλίου ώστε να είναι πιο κατανοητό και εύληπτο. Πιο συγκεκριμένα, οι ενότητες του βιβλίου που είχαν χαρακτηριστεί «πυκνο-γραμμένες» και δυσνόητες ξαναγράφηκαν αναλυτικά, ώστε οι σχετικές έννοιες να εξηγούνται πληρέστερα. Αυτή η βελτίωση αφορά τα Κεφάλαια 3-5.

Θέλουμε να εκφράσουμε την ευγνωμοσύνη μας στους πολλούς φοιτητές που έχουν συνεισφέρει σε αυτή τη δεύτερη έκδοση. Ιδιαίτερες ευχαριστίες οφείλουμε να απευθύνουμε στους Andrew Badachhape, Samir Saidi, Katherine Wallace, Tahir Malik, Elizabeth Godfrey, Christine Diaz, Sam Devereux και Kelsey Nanneman. Δεν πρέπει να ξεχνάμε επίσης και τους φοιτητές που (πολύ ευγενικά) επισήμαναν τα λάθη, εννοιολογικά και τυπογραφικά, αυτού του βιβλίου. Θέλουμε επίσης να ευχα-ριστήσουμε για τα σχόλια και τις προτάσεις που μας παρείχαν τους διδάσκοντες από άλλα πανεπιστήμια οι οποίοι χρησιμοποιούν το βιβλίο στα μαθήματά τους. Τέλος, οι επιμελητές του εκδοτικού οίκου Pearson έχουν κερδίσει τη βαθιά εκτίμησή μας για την υπομονή που έδειξαν. Αυτή η δεύτερη έκδοση είναι πιο πλούσια εξαιτίας της εποικοδομητικής κριτικής και της σκληρής δουλειάς από όλους τους ανθρώπους που συμμετείχαν σε αυτό το ομαδικό εγχείρημα.


15

Πρόλογος ελληνικής έκδοσης

Πριν από μερικά χρόνια αρχίσαμε να διδάσκουμε στο τμήμα Χημικών Μηχανικών του ΑΠΘ ένα πρωτοποριακό μάθημα για τα δεδομένα της τότε ελληνικής πραγμα-τικότητας, στο επιστημονικό πεδίο της Εμβιομηχανικής (Bioengineering) με έμφαση στη Βιοϊατρική Μηχανική (Biomedical Engineering). Το ενδιαφέρον των φοιτητών ήταν από την αρχή μεγάλο. Οι πρακτικές δυσκολίες διδασκαλίας ενός τέτοιου μα-θήματος ήταν επίσης μεγάλες, κυρίως γιατί διαπιστώσαμε πολύ γρήγορα ότι δεν υπήρχε κατάλληλο βιβλίο στην ελληνική αγορά. Σε μια προσπάθεια να καλύψουμε αυτή την ανάγκη, ξεκινήσαμε μια επιτυχημένη συνεργασία με την ικανή ομάδα των Εκδόσεων Κλειδάριθμος, τον καρπό της οποίας κρατάτε στα χέρια σας.

Από την πρώτη φορά που εισαγάγαμε το μάθημα αυτό στο Προπτυχιακό Πρό-γραμμα Σπουδών (ΠΠΣ) του τμήματος Χημικών Μηχανικών μέχρι σήμερα, πολλά έχουν αλλάξει στον χώρο αυτόν στην Ελλάδα: Ο διαρκώς αυξανόμενος αριθμός των τμημάτων ΑΕΙ που εισάγουν στο ΠΠΣ μαθήματα σχετικά με την Εμβιομηχανική, καθώς και η ίδρυση αντίστοιχων Μεταπτυχιακών Προγραμμάτων –ή ακόμα και τμη-μάτων ΑΕΙ– καθιστούν πλέον το βιβλίο αυτό χρήσιμο βοήθημα αποτελεσματικής και ποιοτικής εκπαίδευσης για ένα ευρύτερο κοινό.

Η Εμβιομηχανική (Bioengineering) είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των επιστη-μών της Μηχανικής (Engineering), που πραγματεύεται την εφαρμογή των αρχών, εννοιών και μεθόδων της Μηχανικής και της Βιολογίας στην επίλυση παγκόσμιων προκλήσεων, μέσω της ανάλυσης, σύνθεσης, μοντελοποίησης και σχεδιασμού αντί-στοιχων συστημάτων. Με αυτή την έννοια η Εμβιομηχανική συμπεριλαμβάνει κλά-δους όπως οι εξής: Biomedical Engineering, Bioelectric Engineering, Biomechanics, Bioprocess Engineering, Biotechnology, Biomolecular-Cellular-Tissue Engineering, Biochemical and Bioenvironmental Engineering κ.ά.

Στο βιβλίο αυτό αναπτύσσονται οι θεμελιώδεις αρχές της Εμβιομηχανικής με έμφαση στη Βιοϊατρική Μηχανική, σε βαθμό που σε ορισμένες περιπτώσεις οι δύο όροι να χρησιμοποιούνται ως ταυτόσημοι.

Οι επιστήμες της Μηχανικής τυποποιήθηκαν για πρώτη φορά το 1955 στην έκ-θεση Grinter1, 2, πάνω στην οποία θεμελιώθηκε η εκπαίδευση στη Μηχανική μέχρι και σήμερα. Παραδοσιακά οι επιστήμες της Μηχανικής διδάσκονταν σε ανεξάρτη-τους και ξεχωριστούς κύκλους μαθημάτων, καθένα από τα οποία εστίαζε σε έναν κλάδο της Μηχανικής: Στατική, Δυναμική, Ηλεκτρικά κυκλώματα, Θερμοδυναμική, Μεταφορά θερμότητας, Μηχανική ρευστών κ.ά.

Σχετικά πρόσφατα, στη δεκαετία του 1990, αναπτύχθηκε μια διαφορετική, ενι-αία προσέγγιση στη διδασκαλία των επιστημών της Μηχανικής. Αυτή η προσέγγιση αποτελεί ένα κοινό πλαίσιο για την κατανόηση των βασικών φυσικών νόμων –δια-τήρησης της μάζας, της ενέργειας, της ορμής και του ηλεκτρικού φορτίου, καθώς και του ισοζυγίου της εντροπίας (δεύτερος νόμος της Θερμοδυναμικής)– και την εφαρ-μογή τους στην ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων των συστημάτων της Μηχανικής. Αυτό το ενιαίο πλαίσιο δομείται πάνω στις εξής έννοιες:

1. Σύστημα, όρια συστήματος και περιβάλλον

2. Ιδιότητες συστήματος


16 Πρόλογος ελληνικής έκδοσης

3. Διατηρούμενες ιδιότητες

4. Εξισώσεις ισοζυγίων μεταφερομένων (διατηρούμενων ή μη) μεγεθών διαμέσου των ορίων του συστήματος

Το πλαίσιο αυτό έχει υιοθετηθεί από τους συγγραφείς του βιβλίου και χρησιμο-ποιείται εκτεταμένα στην ανάπτυξη της θεωρίας, στην επίλυση των προβλημάτων/παραδειγμάτων, και στην ανάλυση περιπτώσεων. Η μεθοδολογία αυτή διευκολύνει μεταξύ άλλων την αναγνώριση της διασύνδεσης των συστημάτων που συναποτε-λούν τον κόσμο και του πώς αυτά αλληλεπιδρούν, ενώ ταυτόχρονα επισημαίνει τις ομοιότητες μεταξύ των διάφορων φυσικών διεργασιών, καθώς και τη σημασία και επίδραση των παραδοχών στην ανάπτυξη μοντέλων. Ένα από τα πιο σημαντικά χα-ρακτηριστικά του βιβλίου είναι η πληθώρα των παραδειγμάτων και προβλημάτων (είναι σχεδόν διπλάσια στη δεύτερη έκδοση σε σχέση με την πρώτη).

Η έντονη διεπιστημονική φύση του αντικειμένου που πραγματεύεται το βιβλίο απαιτεί και επιβάλλει τη συνεργασία επιστημόνων διαφορετικού υποβάθρου στην επιστημονική επιμέλεια της μετάφρασής του. Ταυτόχρονα το βιβλίο προωθεί τη διε-πιστημονική προσέγγιση στη διερεύνηση και αντιμετώπιση των προβλημάτων, εξο-μαλύνοντας τα εμπόδια και διευκολύνοντας τη διακλαδική επικοινωνία.

Ασφαλώς το βιβλίο δεν φιλοδοξεί να υποκαταστήσει εξειδικευμένα βιβλία Μηχα-νικής, Ιατρικής, Βιολογίας και Ιατροβιολογικής Τεχνολογίας, τα οποία είναι σκόπιμο να συμβουλεύεστε παράλληλα για την πληρέστερη εμβάθυνση στο περιεχόμενό του.

Προτείνεται η χρήση του βιβλίου τόσο σε προπτυχιακό όσο και σε μεταπτυχιακό επίπεδο, ενώ το περιεχόμενο του Κεφαλαίου 7 ενδείκνυται ιδιαίτερα για μεταπτυχι-ακά μαθήματα.

Στο σημείο αυτό θα θέλαμε να εκφράσουμε τις θερμές ευχαριστίες μας στις Εκδό-σεις Κλειδάριθμος για την εμπιστοσύνη με την οποία μας περιέβαλλαν, αναθέτοντάς μας την επιστημονική επιμέλεια του βιβλίου. Ιδιαίτερες ευχαριστίες θα θέλαμε να απευ-θύνουμε στον κ. Γιώργο Στάμου για τη μετάφραση του κειμένου, και στον κ. Ελευθέ-ριο Ρίζο, υποψήφιο διδάκτορα του Τμήματος Χημικών Μηχανικών του ΑΠΘ, για τη συμβολή του στο εγχείρημα αυτό. Θα θέλαμε επίσης να ευχαριστήσουμε όλους τους συναδέλφους που βοήθησαν στη σωστή απόδοση δύσκολων και αμφισβητούμενων επι-στημονικών όρων. Οι επίπονες, επάλληλες και χρονοβόρες προσπάθειες διορθώσεων και βελτιώσεων του κειμένου απαίτησαν τη διάθεση πολύτιμου προσωπικού χρόνου. Ευχαριστούμε θερμά τις οικογένειές μας για την υποστήριξη και την υπομονή τους.

Ελπίζουμε ότι οι αναγνώστες θα βρουν το βιβλίο αυτό χρήσιμο και θα κρίνουν με επιείκεια τυχόν παραλείψεις, αβλεψίες ή λάθη. Επιπλέον, επιζητούμε την εποικο-δομητική κριτική των αναγνωστών που θα συμβάλλει στην περαιτέρω μελλοντική βελτίωση του συγγράμματος.

Αμαλία Αγγελή Κωνσταντίνος Λαβδάκης

1. Grinter LE (Chair). Report on Evaluation of Engineering Education. American Society for Engineering Educa-tion. Washington, DC, 1955.

2. Harris JG, DeLoatch ΕM, Grogan WR, Peden ΙC, & Whinnery JR. “Journal of Engineering Education

Round Table: Reflections on the Grinter Report”. Jour-nal of Engineering Education, τόμος 83, τεύχος 1, σελ. 69-94, 1994 (περιλαμβάνει ως Παράρτημα την έκθεση Grinter [1], που δημοσιεύθηκε τον Σεπτέμβριο του 1955).

Βιβλιογραφικές αναφορές


17

1ΚΕΦΆΛΆΙΟ

1

17

1.1 Μαθησιακοί στόχοι

Μετά την ολοκλήρωση αυτού του κεφαλαίου θα είστε σε θέση:

• Να πραγματοποιείτε μετατροπές μονάδων μέτρησης για να δίνετε απαντήσεις στις ζητούμενες μονάδες.

• Να διακρίνετε μεταξύ εντατικών και εκτατικών ιδιοτήτων και να δίνετε παρα-δείγματα από κάθε τύπο ιδιοτήτων.

• Να ορίζετε τις φυσικές μεταβλητές (ή φυσικά μεγέθη) που χρησιμοποιούνται συνήθως σε εξισώσεις ισοζυγίων και εξισώσεις ισοζυγίων διατήρησης. Ειδικό-τερα, θα πρέπει να είστε εξοικειωμένοι με τις παρακάτω έννοιες: μάζα, γραμ-μομόρια (mol) και μοριακό βάρος. κλάσμα μάζας και γραμμομοριακό κλάσμα. συγκέντρωση και γραμμομοριακότητα κατ’ όγκο (molarity). θερμοκρασία. πίεση. πυκνότητα. δύναμη και βάρος. δυναμική, κινητική και εσωτερική ενέρ-γεια. θερμότητα και έργο. ορμή. ηλεκτρικό φορτίο και ένταση ηλεκτρικού ρεύ-ματος. και ρυθμοί ροής.

• Να δίνετε απαντήσεις με το κατάλληλο πλήθος σημαντικών ψηφίων.• Να υιοθετείτε μια μεθοδολογία για την επίλυση προβλημάτων μηχανικής. η

μεθοδολογία που περιγράφεται εδώ χρησιμοποιείται για την επίλυση πολλών προβλημάτων που παρουσιάζονται στα παραδείγματα αυτού του βιβλίου.

• Να αρχίσετε να αντιλαμβάνεστε το είδος των προβλημάτων της εμβιομηχανικής τα οποία καλούνται να επιλύσουν οι μηχανικοί.

Στις 11 Δεκεμβρίου 1998 η Εθνική Υπηρεσία Αεροναυπηγικής και Διαστήματος (National Aeronautics and Space Administration, NASA) εκτόξευσε το Mars Climate Orbiter, ένα διαστημικό σκάφος που είχε σχεδιαστεί να λειτουργεί ως διαπλανητικός μετεωρολογικός δορυφόρος και τηλεπικοινωνιακός αναμεταδότης. Το συγκεκριμένο σκάφος δεν κατάφερε ποτέ να φτάσει στον προορισμό του. Η απώλεια του σκάφους, αξίας 193 εκατομμυρίων δολαρίων, ήταν αποτέλεσμα μιας ασυγχώρητης παράλειψης που έλαβε χώρα κατά τη διάρκεια της ανταλλαγής πληροφοριών μεταξύ της ομά-δας του διαστημικού σκάφους Mars Climate Orbiter στο Κολοράντο και της ομάδας πλοήγησης της αποστολής στην Καλιφόρνια. Κατά τον υπολογισμό μιας λειτουργίας κρίσιμης για τους κατάλληλους ελιγμούς που θα επέτρεπαν στο διαστημικό σκάφος

Εισαγωγή στους υπολογισμούς της μηχανικής

M01_SATE7433_02_SE_C01 GR HEO.indd 17 12/10/2020 14:03

18 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή στους υπολογισμούς της μηχανικής

να εισέλθει σε τροχιά γύρω από τον πλανήτη Άρη, η μία ομάδα χρησιμοποίησε το αγγλοσαξονικό σύστημα μονάδων μέτρησης, ενώ η άλλη χρησιμοποίησε το μετρικό σύστημα.1 Αυτό είχε ως αποτέλεσμα το Mars Climate Orbiter να προσεγγίσει τον πλανήτη σε ύψος περίπου 57 χιλιομέτρων (35 μίλια) αντί για το αναμενόμενο ύψος των 140 χιλιομέτρων (90 μίλια),2 προκαλώντας είτε τη συντριβή του σκάφους στην ατμόσφαιρα του Άρη είτε την εκτίναξή του στο διάστημα.

Παρότι μαζί με την αποτυχία της συγκεκριμένης διαστημικής αποστολής χάθηκαν εκατομμύρια δολάρια, αλλά και οι μεγάλες προσδοκίες που είχαν καλλιεργηθεί για την ανθρώπινη επιστημονική πρόοδο και εξέλιξη, οι απώλειες που σχετίζονται με λάθη τέτοιας φύσης στη βιοϊατρική μηχανική θα μπορούσαν να είναι ακόμα μεγαλύ-τερες επειδή εμπλέκονται ανθρώπινες ζωές. Αν ένας επιστήμονας της εμβιομηχανι-κής υπέπιπτε σε σφάλμα κατά τον υπολογισμό του αποδεκτού ορίου τοξικής ανοχής ενός φαρμάκου λόγω λανθασμένης μετατροπής μονάδων μέτρησης, αυτό θα είχε ως αποτέλεσμα οι γιατροί να συνταγογραφούν το φάρμακο με λανθασμένη δοσολογία, το οποίο θα μπορούσε με τη σειρά του να οδηγήσει στο θάνατο κάποιου ασθενή. Το διακύβευμα είναι τόσο μεγάλο, ώστε οφείλουμε πραγματικά να τονίσουμε στον υπερθετικό βαθμό τη σπουδαιότητα που έχει η κατανόηση των βασικών εννοιών και η σχολαστική προσοχή κατά την εφαρμογή τους.

Για να είστε σε θέση να ακολουθήσετε μια επιτυχημένη σταδιοδρομία στον κλάδο της εμβιομηχανικής, έχει κρίσιμη σημασία να κατανοήσετε την ύλη που παρουσιάζεται σε αυτό το κεφάλαιο. Το συγκεκριμένο κεφάλαιο αποτελεί μια επισκόπηση των αρχών και των ορισμών που θέτουν τα θεμέλια για την επίλυση προβλημάτων στην εμβιομη-χανική. Στην Ενότητα 1.6 θα καταδείξουμε τη συνάφεια αυτής της εισαγωγικής ύλης με πρακτικές εφαρμογές.

1.2 Φυσικές μεταβλητές, μονάδες μέτρησης και διαστάσεις

Κρίσιμη σημασία για την εύρεση λύσεων σε προβλήματα που αφορούν βιολογικά και ιατρικά συστήματα έχει η δυνατότητα μέτρησης και ποσοτικοποίησης φυσικών μετα-βλητών. Τα περισσότερα νούμερα που εμφανίζονται στους υπολογισμούς της μηχανι-κής αποτελούν αριθμητικές τιμές μετρήσιμων φυσικών μεταβλητών, οι οποίες είναι ποσότητες, ιδιότητες ή μεταβλητές που μπορούν να μετρηθούν ή να υπολογιστούν με τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση άλλων μεταβλητών. Παραδείγματα φυσικών μεταβλητών (ή φυσικών μεγεθών) αποτελούν η μάζα, το μήκος, η θερμοκρασία και η ταχύτητα. Για τις φυσικές μεταβλητές που μετράμε δίνεται συνήθως κάποια αριθμη-τική ή βαθμωτή τιμή, π.χ. το 6, και μια μονάδα μέτρησης, π.χ. mL/min.

Η εκάστοτε μονάδα μέτρησης είναι μια προκαθορισμένη ποσότητα μιας συγκε-κριμένης μεταβλητής η οποία ορίζεται με βάση κάποια συνήθεια, σύμβαση ή νόμο. Τα νούμερα που χρησιμοποιούνται στους υπολογισμούς της μηχανικής πρέπει να δίνο-νται με τις κατάλληλες μονάδες μέτρησης. Για παράδειγμα, η πρόταση «Η συνολική ροή στην κυκλοφορία του αίματος ενός ενήλικου ανθρώπου είναι ίση με 5» δεν έχει νόημα. αντιθέτως, η πρόταση «Η συνολική ροή στην κυκλοφορία του αίματος ενός ενήλικου ανθρώπου είναι ίση με 5 L/min» προσδιορίζει ποσοτικά το αίμα που ρέει διαμέσου του κυκλοφορικού συστήματος σε έναν ενήλικα.

Ένα λάθος το οποίο κάνουν συχνά οι αρχάριοι μηχανικοί είναι να γράφουν τις μεταβλητές χωρίς τις κατάλληλες συνοδευτικές μονάδες μέτρησης. Μερικές φορές οι φοιτητές ισχυρίζονται ότι μπορούν να έχουν τις μονάδες μέτρησης στο μυαλό τους και ότι δεν χρειάζεται να τις γράφουν συνεχώς στο χαρτί. Μια τέτοια νοοτροπία


1.3 Μετατροπή μονάδων μέτρησης 19

μπορεί να οδηγήσει σε πολλά λάθη κατά την εύρεση και τον υπολογισμό λύσεων, κάτι που με τη σειρά του μπορεί να έχει σημαντικές επιπτώσεις, όπως στην περίπτωση του ατυχούς περιστατικού με το διαστημικό σκάφος Mars Climate Orbiter. Οι έμπειροι μηχανικοί σπανίως παραλείπουν τις μονάδες μέτρησης.

Η βάση για τη μέτρηση επτά φυσικών μεγεθών, η οποία έχει καθιερωθεί διεθνώς, παρουσιάζεται στον Πίνακα 1.1. Σε αυτές τις μεταβλητές περιλαμβάνονται το μήκος, η μάζα, ο χρόνος, το ηλεκτρικό ρεύμα, η θερμοκρασία, η ποσότητα ύλης, και η ένταση μιας φωτεινής πηγής.

Στους υπολογισμούς που καλούνται να εκτελέσουν οι μηχανικοί χρησιμοποι-ούνται συνήθως πολλές άλλες φυσικές μεταβλητές όπως η δύναμη ή η ενέργεια. Οι μονάδες μέτρησης όλων των άλλων μεταβλητών μπορούν να αναχθούν σε συνδυ-ασμούς των μονάδων των επτά θεμελιωδών φυσικών μεγεθών. Στο βιβλίο αυτό ο όρος διαστάσεις μπορεί να θεωρηθεί ως μια χαρακτηριστική γενικευμένη ιδιότητα μιας φυσικής μεταβλητής, η οποία δεν χρησιμοποιείται για ποσοτικούς υπολογισμούς της μεταβλητής. Στο Παράρτημα Α μπορείτε να βρείτε τις διαστάσεις των φυσικών μεγεθών που θα συναντήσετε σε αυτό το βιβλίο. Τα σύμβολα των διαστάσεων παρου-σιάζονται στον Πίνακα 1.1.

1.3 Μετατροπή μονάδων μέτρησηςΌπως αναφέραμε ήδη στην Ενότητα 1.2, για τις φυσικές μεταβλητές που μετράμε δίνεται συνήθως μια αριθμητική τιμή και μια μονάδα μέτρησης. Τα δύο ευρύτερα χρη-σιμοποιούμενα συστήματα μέτρησης είναι το διεθνές σύστημα (Système International d’Unités, SI), ή μετρικό σύστημα, και το αγγλοσαξονικό σύστημα. Οι μηχανικοί πρέπει να είναι εξοικειωμένοι και με τα δύο συστήματα, επειδή οι διάφοροι οργανισμοί χρη-σιμοποιούν και δημοσιεύουν δεδομένα χρησιμοποιώντας και τα δύο συστήματα. Στην Ενότητα 1.5 θα αναφερθούμε λεπτομερώς σε πολλές από τις φυσικές μεταβλητές που απαντώνται συχνά στην εμβιομηχανική. Οι φυσικές μεταβλητές (ή φυσικά μεγέθη) και τα αντίστοιχα σύμβολα που χρησιμοποιούνται σε αυτό το βιβλίο παρατίθενται στο Παράρτημα Α.

Μετατροπή μονάδων μέτρησης είναι η διαδικασία με την οποία οι μονάδες που σχετίζονται με μια φυσική μεταβλητή μετατρέπονται σε άλλες μονάδες με τη χρήση συντελεστών μετατροπής. Οι συνήθεις μετατροπές μονάδων συνοψίζονται στο Παράρτημα Β. Μάλλον θα γνωρίζετε ήδη κάποιους συντελεστές μετατροπής, π.χ. 1 in (ίντσα) είναι ίση με 2.54 cm (εκατοστά) και 2.2 lbm (λίβρες) είναι ίσες με

ΠΙΝΑΚΑΣ 1.1

Θεμελιώδεις φυσικές μεταβλητές

Θεμελιώδες μέγεθος

Σύμβολο

Θεμελιώδης μονάδα στο διεθνές σύστημα (SI)

Παραδείγματα άλλων μονάδων

Μήκος L μέτρο (m) εκατοστό (cm), πόδι (ft), ίντσα (in) και γιάρδα (yd)

Μάζα M χιλιόγραμμο (kg) γραμμάριο (g), λίβρα (lbm) και τόνος (ton)Χρόνος t δευτερόλεπτο (s) λεπτό (min) και ώρα (hr)Ηλεκτρικό ρεύμα

(ένταση)I ampere (A) abampere (abA) και biot (Bi)

Θερμοκρασία T Kelvin (K) Βαθμοί Celsius (°C) και Fahrenheit (°F)Ποσότητα ύλης N γραμμομόριο

(mol ή g-mol)«λιβρομόριο» (pound-mole, lbm@mol)

Ένταση φωτεινής πηγής

J καντέλα (candela, cd)



1 kg (χιλιόγραμμο).* Για να μετατρέψετε μια ποσότητα που έχει οριστεί σε σχέση με μια μονάδα μέτρησης στην ισοδύναμη ποσότητά της σε σχέση με μια άλλη μονάδα μέτρησης, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τη δοθείσα ποσότητα με τον συντελεστή μετατροπής (που είναι το πηλίκο νέα μονάδα/παλαιά μονάδα). Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που θα προχωρούσατε στην απλοποίηση (των πολλαπλασίων ενός αριθμού) στα κλάσματα, μπορείτε να απλοποιείτε και τις μονάδες μέτρησης. Για παράδειγμα, μπορείτε να μετατρέψετε τη μάζα ενός τυπικού άνδρα στο αγγλοσαξονικό σύστημα (154 lbm) στην ισοδύναμη μάζα στο διεθνές σύστημα:

154 lbm¢ 1 kg2.2 lbm

≤ = 70 kg [1.3-1]

Επειδή η μονάδα μέτρησης lbm υπάρχει και στον αριθμητή και στον παρονομαστή, μπορεί να απαλειφθεί. Είναι πολύ σημαντικό να γράφετε αναλυτικά τις μονάδες του συντελεστή μετατροπής. αν δεν το κάνετε, ενδέχεται να αλλάξετε εσφαλμένα την κλίμακα μεγέθους της φυσικής μεταβλητής που σας ενδιαφέρει.

Για τη μετατροπή εντός του ίδιου συστήματος μονάδων απαιτούνται επίσης κατάλληλοι συντελεστές. Στο αγγλοσαξονικό σύστημα, για παράδειγμα, μπορούμε να μετατρέψουμε τη μάζα ενός αυτοκινήτου (π.χ. 2200 lbm) στην ισοδύναμη μάζα σε τόνους ως εξής:

2200 lbm¢ 1 ton2,000 lbm

≤ = 1.1 ton [1.3-2]

Στο διεθνές σύστημα (SI) μπορούμε να μετατρέψουμε το μήκος του μηριαίου οστού του μέσου ενήλικα, που είναι ίσο με 430 mm, στο ισοδύναμο μήκος σε m:

430 mma 1 m1,000 mm

b = 0.43 m [1.3-3]

Για τα πολλαπλάσια και τα υποπολλαπλάσια μονάδων μέτρησης στο διεθνές σύστημα (Πίνακας 1.2) χρησιμοποιούνται μια σειρά από προθέματα. Το αγγλικό γράμμα «m» που προηγείται του «m» των μέτρων υποδεικνύει το «χιλιοστό-» (milli-), ή 10-3, της μονάδας. Συχνά απαιτείται η χρήση δύο ή περισσότερων συντελεστών προκειμένου μια τιμή που έχει οριστεί σε ένα σύνολο μονάδων μέτρησης να μετα-τραπεί σε μια τιμή στο ζητούμενο σύνολο μονάδων. Σε περιπτώσεις που περιλαμβά-νουν πολλές μετατροπές έχει ακόμα μεγαλύτερη σημασία να γράφουμε τις μονάδες αναλυτικά.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.1 Μετατροπή μονάδων μέτρησης: Δύναμη

Πρόβλημα: Μετατρέψτε τη δύναμη 50 lbm # ft/min2 στην ισοδύναμή της σε mg # cm/s2.

Λύση: Από τον Πίνακα 1.2 βλέπουμε ότι το 1 g αποτελείται από 1,000 mg και το 1 m αποτε-λείται από 100 cm. Στο Παράρτημα Β μπορείτε να βρείτε και άλλους συντελεστές μετατροπής.

50 lbm # ftmin2 a

1 min60 s

b2¢ 453.6 g

1 lbm≤ a 1,000 mg

1 gb a 0.3048 m

1 ftb a 100 cm

1 mb = 1.92 * 105

mg # cms2

■

*Σ.τ.Μ.: Λόγω των πολλών πινάκων με δεδομένα και αποτελέσματα που υπάρχουν σε αυτό το βιβλίο, έχουμε επιλέξει να ακολουθήσουμε τη σύμβαση που υιοθετείται στην ξένη βιβλιογραφία, χρησιμοποιώ-ντας την τελεία για την υποδιαστολή και το κόμμα για τις χιλιάδες.

ΠΙΝΑΚΑΣ 1.2

Προθέματα για το διεθνές σύστημα (SI)

Παρά-γοντας

Πρόθεμα Σύμ-βολο

1012 tera T109 giga G106 mega M103 kilo k102 hecto h101 deka

(δεκα-)da

10-1 deci (δεκατο-)

d

10-2 centi (εκατο-)

c

10-3 milli (χιλιο-)

m

10-6 micro (μικρο-)

m

10-9 nano (νανο-)

n

10-12 pico (πικο-)

p

10-15 femto (φεμτο-)

f


1.4 Διαστατική ανάλυση 21

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.2 Μετατροπή μονάδων μέτρησης: Θερμοκρασία

Πρόβλημα: Μετατρέψτε τη θερμοκρασία του σώματος ενός υγιούς ατόμου, που είναι ίση με 98.6 βαθμούς Fahrenheit (F), σε βαθμούς Celsius (C).

Λύση: Η μετατροπή από την κλίμακα Fahrenheit (Φαρενάιτ) στην κλίμακα Celsius (Κελ-σίου) απαιτεί δύο βήματα. Πρώτον, η βασική τιμή των 32°F αφαιρείται από την τιμή της θερμοκρασίας σε βαθμούς Fahrenheit. Δεύτερον, το αποτέλεσμα πολλαπλασιάζεται με τον συντελεστή μετατροπής, που είναι ίσος με 5°C/9°F.

5°C9°F

(98.6°F - 32°F) = 37°C

■

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.3 Μετατροπή μονάδων μέτρησης: Πίεση

Πρόβλημα: Μετατρέψτε την πίεση 50.7 * 103 pascal (Pa) σε χιλιοστά στήλης υδραργύρου (millimeters of mercury, mmHg).

Λύση: Από το Παράρτημα B ξέρουμε ότι τα 101.325 kPa ισούνται με 760 mmHg.

50.7 * 103 Pa¢ 1 kPa103 Pa

≤ a 760 mmHg101.325 kPa

b = 380.3 mmHg

■

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.4 Μετατροπή μονάδων μέτρησης: Ενέργεια

Πρόβλημα: Μετατρέψτε τα 100 kg # m2/s2 ενέργειας σε kcal (kilocalories, χιλιοθερμίδες).

Λύση: Ένα joule (J) είναι ισοδύναμο σε μονάδες μέτρησης του διεθνούς συστήματος (SI) με ένα kg # m2/s2. Από το Παράρτημα Β ξέρουμε ότι το 1 joule είναι ισοδύναμο με 0.23901 cal (θερμίδες).

100 kg # m2

s2 § 1 J¢ kg # m2

s2 ≤ ¥ a 0.23901 cal1 J

b a 1 kcal1,000 cal

b = 0,0239 kcal

■

Ως μηχανικοί είναι εξαιρετικά σημαντικό να αντιλαμβάνεστε την κλίμακα μεγέ-θους, ώστε να είστε σε θέση να διακρίνετε αν η αριθμητική τιμή της απάντησής σας έχει νόημα (δείτε την Ενότητα 1.9). Πολύ σημαντικό είναι επίσης να αναπτύξετε και μια αίσθηση του μεγέθους των τιμών που παίρνουν οι διάφορες φυσικές μεταβλητές. Στους Πίνακες 1.3-1.5 δίνεται το εύρος τιμών της πίεσης, του μήκους και του ηλε-κτρικού ρεύματος για έως και 20 τάξεις μεγέθους. Σκεφθείτε για λίγο τα είδη των προβλημάτων της εμβιομηχανικής που σας ενδιαφέρουν και την κλίμακά τους.

1.4 Διαστατική ανάλυσηΣτην άλγεβρα που διδαχθήκατε στο γυμνάσιο μάθατε πώς να μετασχηματίζετε εξισώ-σεις για να τις λύνετε ως προς άγνωστες μεταβλητές. Οι μηχανικοί χρησιμοποιούν την ίδια θεμελιώδη αρχή για να κατανοήσουν και να αποσαφηνίσουν πολύπλοκα μοντέλα και εξισώσεις. Πρόκειται για ένα εργαλείο με το οποίο περίπλοκα προβλήματα της



ΠΙΝΑΚΑΣ 1.3

Τυπικές τιμές πίεσης*

Πίεση ΤιμέςΒέλτιστο εργαστηριακό κενό 1 pPaΠρόσθετη πίεση που ασκείται στο τύμπανο του αυτιού από τον

θόρυβο σε μια συναυλία ροκ μουσικής10 Pa†

Πίεση που ασκείται από ένα κέρμα του ενός σεντ το οποίο είναι τοποθετημένο οριζοντίως πάνω σε ένα τραπέζι

85 Pa†

Πίεση του αέρα στην επιφάνεια του Άρη 1 kPaΑτμοσφαιρική πίεση της Γης σε υψόμετρο 10 km (κατά προσέγ-

γιση το υψόμετρο πλεύσης των αεροπλάνων)26 kPa

Ατμοσφαιρική πίεση της Γης στο επίπεδο της θάλασσας 101.3 kPaΠίεση του αίματος 110 kPaΠίεση στο εσωτερικό των ελαστικών ενός αυτοκινήτου 320 kPaΠίεση οικιακής παροχής νερού 350 kPaΧορεύτρια (ή χορευτής) μπαλέτου που στέκεται στο ένα πόδι 2 MPaΩκεάνιες τάφροι στον Ειρηνικό ωκεανό 100 MPa*Δεδομένα από Vawter R, “Typical Values of Pressure”, www.ac.wwu.edu/~vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/UnitsandValues.html (προσπελάστηκε στις 24 Ιουνίου 2005).†Μετρήσεις σχετικής πίεσης (δείτε την Ενότητα 1.6.3).

ΠΙΝΑΚΑΣ 1.4

Τυπικές τιμές μήκους

Μήκος ΤιμέςΔιάμετρος νανοϊνών άνθρακα 100 nmΔιάμετρος ανθρώπινων ερυθρών αιμοσφαιρίων* 7.8 mmΜήκος λείων μυϊκών ινών στον γαστρεντερικό σωλήνα* 0.4 mmΔιάμετρος της ανθρώπινης αορτής* 1.8 cmΎψος μέσου άνδρα 1.7 mΜήκος «τεντωμένου» DNA από ένα ανθρώπινο κύτταρο† 1.8 mΒαθύτερο σημείο των ωκεανών (Τάφρος των Μαριανών στον

Ειρηνικό ωκεανό)11 km

Περίμετρος της Γης 40 MmΑπόσταση Γης-Ήλιου 150 Gm*Δεδομένα από Guyton AC και Hall JE, Textbook of Medical Physiology. Philadelphia: Saunders, 2000.†Δεδομένα από “Deoxyribonucleic Acid (DNA)”, Discovering Science. Gala Group.

ΠΙΝΑΚΑΣ 1.5

Τυπικές τιμές έντασης ηλεκτρικού ρεύματος*

Ρεύμα (ένταση) ΤιμέςΡεύμα μεταξύ νευρώνων στον εγκέφαλο 1 pAΡεύμα σε ένα κελί μνήμης ενός ολοκληρωμένου κυκλώματος

(integrated circuit)0.01 mA

Θανατηφόρο όριο ρεύματος για το μυοκάρδιο 10 mAΡεύμα στον ουδό (κατώφλι) ερεθίσματος 1 mAΘανατηφόρο όριο ρεύματος για τον θώρακα 0.1 AΡεύμα σε τυπικές οικιακές συσκευές 10 AΡεύμα από οικιακή επιτοίχια πρίζα 20 AΤυπική οικιακή παροχή 100 AΤυπικός κεραυνός 10 kA*Δεδομένα από Wood S, http://www.ee.scu.edu/classes/1999spring/elen010/LECTS/LECT2/2001lec2.pdf (προσπελάστηκε στις 7 Ιανουαρίου 2005).


https://www.ac.wwu.edu/~vawter/PhysicsNet/Topics/

http://www.ee.scu.edu/classes/1999spring/elen010/LECTS/LECT2/2001lec2.

1.4 Διαστατική ανάλυση 23

εμβιομηχανικής μπορούν να απλοποιηθούν σε μικρότερα, πιο κατανοητά βασικά βήματα προκειμένου να βρεθεί μια λύση.

Η διαστατική ανάλυση είναι ένα αλγεβρικό εργαλείο το οποίο οι μηχανικοί χρησιμοποιούν για να διαχειρίζονται τις μονάδες μέτρησης σε ένα πρόβλημα. Οι αριθμητικές τιμές και οι αντίστοιχες μονάδες τους μπορούν να προστίθενται ή να αφαιρούνται μόνο αν οι μονάδες είναι οι ίδιες.

5 m - 3 m = 2 m [1.4-1]

ενώ

5 m - 2 s = ;; [1.4-2]

Τα μέτρα και τα δευτερόλεπτα δεν είναι ίδιες μονάδες μέτρησης, άρα η Εξίσωση [1.4-2] είναι άνευ νοήματος. Στον πολλαπλασιασμό και στη διαίρεση, αντιθέτως, οι αριθμη-τικές τιμές συνδυάζονται πάντα με τις αντίστοιχες μονάδες μέτρησής τους.

(4 N)(5 m) = 20 N # m [1.4-3]

¢6

cms ≤

8 cm= 0.75

1s [1.4-4]

Σωστά δομημένες εξισώσεις οι οποίες παριστούν γενικές σχέσεις μεταξύ φυσικών μεταβλητών πρέπει να είναι διαστατικά ομογενείς. δηλαδή, οι διαστάσεις των όρων που προστίθενται ή αφαιρούνται πρέπει να είναι οι ίδιες, και οι διαστάσεις στο δεξιό μέλος της εξίσωσης πρέπει να είναι ίδιες με τις διαστάσεις στο αριστερό μέλος.

Για παράδειγμα, θεωρήστε την εξίσωση που ανέπτυξε ο Pennes για να συσχετίσει τον ρυθμό αιμάτωσης, (V

#/V[L-3Mt-1]), με τον ρυθμό ογκομετρικής μεταφοράς θερ-

μότητας στους ιστούς (J [L-1 Mt-3]) του ανθρώπινου πήχη:

J =V#

V Cp(Ta - Tv) [1.4-5]

όπου Cp[L2 t-2 T-1] είναι η θερμοχωρητικότητα, Ta [T] είναι η θερμοκρασία του αρτη-ριακού αίματος και Tv [T] είναι η θερμοκρασία του φλεβικού αίματος. Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι οι μονάδες μέτρησης σε κάθε μέλος της Εξίσωσης [1.4-5] απλο-ποιούνται σε [L-1 Mt-3] και, άρα, η εξίσωση είναι διαστατικά ομογενής:

J MLt3 R = J M

L3tR J L2

t2TR [T] [1.4-6]

Η διαστατική ανάλυση είναι μια πανίσχυρη μέθοδος με την οποία οι μηχανικοί μπορούν να υπολογίζουν διάφορες ποσότητες και μεγέθη. Η βασική προϋπόθεσή της είναι η απαλοιφή των μονάδων μέτρησης που εμφανίζονται τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή έτσι ώστε, στο τέλος, η μονάδα μέτρησης στο αριστερό μέλος της εξίσωσης να ταιριάζει με τη μονάδα στο δεξιό μέλος. Αν δίνεται μια εξίσωση που περιλαμβάνει ένα φυσικό μέγεθος, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη διαστατική ανάλυση για να προσδιορίσουμε τις διαστάσεις του μεγέθους αυτού. Αντιστρόφως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη διαστατική ανάλυση για να εξακριβώσουμε αν μια εξίσωση είναι διαστατικά σωστή. Επομένως, η διαστατική ανάλυση μπορεί να χρη-σιμεύσει ως ένα είδος ελέγχου κατά την επίλυση προβλημάτων της εμβιομηχανικής,



ώστε να διασφαλιστεί ότι η λύση λαμβάνει υπόψη όλες τις απαραίτητες μεταβλητές. Για παράδειγμα, θεωρήστε την αρχή διατήρησης της ενέργειας για ανοικτά συστήματα σε μόνιμη κατάσταση που υφίστανται μεταβολές της δυναμικής ή κινητικής ενέργειας, αλλά όχι και της εσωτερικής ενέργειας, όπως φαίνεται στην Εξίσωση [1.4-7]:

∆E#

P + ∆E#

K + a Q#

+ a W#= 0 [1.4-7]

Ο όρος που αντιστοιχεί στον ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας, ∆E#

P, ορί-ζεται ως εξής:

E#

P = m# gh [1.4-8]

όπου m# είναι ο ρυθμός μαζικής ροής [Mt-1], g[Lt-2] είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας και h [L] είναι το ύψος. Συνεπώς, οι διαστάσεις του ∆E

#P είναι [L2Mt-3].

Ο όρος που αντιστοιχεί στον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας, ∆E#

k, ορίζεται όπως φαίνεται παρακάτω:

E#

K =12

m# v2 [1.4-9]

όπου m# [Mt-1] είναι ο ρυθμός μαζικής ροής και v [Lt-1] είναι η ταχύτητα. Επομένως, οι διαστάσεις του ∆E

#P είναι [L2Mt-3].

Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας Q# μπορεί να γραφεί ως

Q#= hA(Tsurr - Tsys) [1.4-10]

όπου h [Mt-3 T-1] είναι ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας, A [L2] είναι το εμβα-δόν, Tsurr [T] είναι η θερμοκρασία του περιβάλλοντος, και Tsys [T] είναι η θερμοκρα-σία του συστήματος. Επομένως, οι διαστάσεις του Q

# είναι [L2Mt-3].

Για την ενέργεια την οποία προσλαμβάνει ένα σύστημα μέσω του έργου ροής, ο ρυθμός μεταφοράς έργου W

# μπορεί να γραφεί ως

W#= PAv [1.4-11]

όπου P [L-1Mt-2] είναι η πίεση, A [L2] είναι το εμβαδόν και v [Lt-1] είναι η ταχύτητα. Συνεπώς, οι διαστάσεις του W

# είναι [L2Mt-3]. Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι οι

μονάδες για κάθε όρο της Εξίσωσης [1.4-5] απλοποιούνται σε [L2Mt-3]. Άρα, η εξί-σωση ισοζυγίου διατήρησης της ενέργειας είναι διαστατικά ομογενής:

cMtd J L

t2 R [L] + cMtd c L

td c L

td + J M

Tt3 R [L2][T] + J MLt2 R [L2] c L

td = 0 [1.4-12]

Σε κάποιες περιπτώσεις, μια εξίσωση μπορεί να οριστεί με τέτοιον τρόπο ώστε να είναι αδιάστατη. Για τις εξισώσεις αυτές οι μονάδες μέτρησης κάθε όρου απλο-ποιούνται στη μονάδα (1). Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η εξίσωση της κυτταρικής ανάπτυξης:

ln ¢ CC0

≤ = mt [1.4-13]

όπου C [L-3M] είναι η κυτταρική συγκέντρωση στη χρονική στιγμή t [t], C0 [L-3M] είναι η αρχική κυτταρική συγκέντρωση και m [t-1] είναι ο ειδικός ρυθμός ανάπτυξης. Προσέξτε ότι οι μονάδες σε κάθε μέλος της εξίσωσης απαλείφονται, με αποτέλεσμα η εξίσωση να γίνει αδιάστατη, [-].


1.5 Συνήθεις φυσικές μεταβλητές 25

Ένα δεύτερο παράδειγμα τέτοιας εξίσωσης είναι το αναπνευστικό πηλίκο (respiratory quotient, RQ), το οποίο θα ορίσουμε στο Κεφάλαιο 3:

RQ =nco2

no2

[1.4-14]

όπου nco2 [N] είναι η γραμμομοριακή ποσότητα του διοξειδίου του άνθρακα και

no2 [N] είναι η γραμμομοριακή ποσότητα του οξυγόνου. Παρατηρήστε ότι οι μονά-

δες στο δεξιό μέλος της εξίσωσης απαλείφονται, με αποτέλεσμα η εξίσωση να γίνει αδιάστατη, RQ [-].

Μερικές φορές εμφανίζονται επανειλημμένα ομάδες μεταβλητών με διαστάσεις οι οποίες απλοποιούνται στη μονάδα (1). Οι ομάδες αυτές συνιστούν μια ορισμένη αδιάστατη μεταβλητή η οποία συμβολίζει μια συγκεκριμένη ιδιότητα ή αναπαριστά συνοπτικά ένα φυσικό φαινόμενο. Για παράδειγμα, μια ευρέως χρησιμοποιούμενη αδιάστατη μεταβλητή στη δυναμική των ρευστών είναι ο αριθμός Reynolds, Re. Για τη ροή σε έναν κυλινδρικό σωλήνα ή δοχείο ο αριθμός Reynolds δίνεται από την εξίσωση

Re =Dvrm

[1.4-15]

όπου D [L] είναι η διάμετρος του δοχείου, v [Lt-1] είναι η ταχύτητα του ρευστού, r [L-3M] είναι η πυκνότητα του ρευστού και m [L-1 Mt-1] είναι το ιξώδες του ρευ-στού. Ο αριθμός Reynolds είναι ο λόγος των δυνάμεων αδράνειας προς τις δυνάμεις ιξώδους και χαρακτηρίζει τη ροή του ρευστού μέσα σε έναν σωλήνα (δείτε το Κεφά-λαιο 6). Οι τιμές του αριθμού Reynolds στο εσωτερικό διαφορετικών ανθρώπινων αιμοφόρων αγγείων παρουσιάζονται στον Πίνακα 1.6.

1.5 Συνήθεις φυσικές μεταβλητέςΣε αυτή την ενότητα θα δώσουμε έμφαση σε φυσικές μεταβλητές οι οποίες χρη-σιμοποιούνται συχνά για την ανάπτυξη και επίλυση συστημάτων μέσω εξισώσεων ισοζυγίων και εξισώσεων ισοζυγίων διατήρησης –έννοιες τις οποίες θα αναπτύξουμε στη συνέχεια. Θα παρουσιάσουμε επίσης συνοπτικά διάφορες εκτατικές και εντατι-κές ιδιότητες, καθώς και βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη. Στην Ενότητα 1.6 θα ορίσουμε και θα περιγράψουμε τις φυσικές μεταβλητές στο πλαίσιο πέντε σύνθετων σεναρίων της μηχανικής.

1.5.1 Εκτατικές και εντατικές ιδιότητες

Οι φυσικές ιδιότητες μπορούν να ταξινομηθούν σε εκτατικές ή εντατικές. Μια εκτα-τική ιδιότητα ορίζεται ως ένα φυσικό μέγεθος το οποίο είναι το άθροισμα των ιδι-οτήτων ξεχωριστών υποσυστημάτων που δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και τα οποία απαρτίζουν ολόκληρο το σύστημα. Η αριθμητική τιμή μιας εκτατικής ιδιότητας εξαρτάται από το μέγεθος του συστήματος, την ποσότητα της ύλης στο σύστημα, ή το δείγμα που λαμβάνεται. Όταν πρέπει να σκεφθείτε αν μια φυσική ιδιότητα είναι εκτατική ή εντατική, προσπαθήστε να εξακριβώστε αν η φυσική ιδιότητα θα μετα-βαλλόταν στην περίπτωση που το σύστημα το οποίο μελετάτε διπλασιαζόταν ή υπο-διπλασιαζόταν σε μέγεθος. Αν η φυσική ιδιότητα μεταβάλλεται όταν το σύστημα διπλασιάζεται ή υποδιπλασιάζεται, τότε η ιδιότητα είναι εκτατική. Ένα άλλο χαρα-κτηριστικό μιας εκτατικής ιδιότητας είναι ότι μπορεί να υπολογιστεί. Αργότερα θα μάθετε ότι μόνο οι εκτατικές ιδιότητες μπορούν να συμπεριληφθούν στους υπολογι-σμούς σε εξισώσεις ισοζυγίων και εξισώσεις ισοζυγίων διατήρησης. Όσον αφορά αυτό

ΠΙΝΑΚΑΣ 1.6

Τυπικοί αριθμοί Reynolds στο ανθρώπινο κυκλοφορικό σύστημα*

Αιμοφόρο αγγείο

Αριθμός Reynolds

Ανιούσα αορτή 3,600-5,800

Κατιούσα αορτή 1,200-1,500

Μεγάλες αρτηρίες 110-850

Τριχοειδή αγγεία 0.0007-0.003

Μεγάλες φλέβες 210-570

Κοίλη φλέβα 630-900*Δεδομένα από Cooney DO, Biomedical Engineering Principles: An Introduction to Fluid, Heat, and Mass Transport Processes. New York: Marcel Dekker, 1976.



το βιβλίο, στις εκτατικές ιδιότητες που μπορούν να υπολογιστούν συμπεριλαμβάνο-νται η συνολική μάζα και τα γραμμομόρια. η μάζα και τα γραμμομόρια των επιμέρους χημικών συστατικών (ή χημικών ειδών). η μάζα στοιχείου (ή στοιχειακή μάζα) και τα γραμμομόρια στοιχείου (ή στοιχειακά γραμμομόρια). το θετικό, το αρνητικό και το συνολικό ηλεκτρικό φορτίο. η ορμή και η στροφορμή. και η ολική, η μηχανική και η ηλεκτρική ενέργεια.

Στον Πίνακα 1.7 παρουσιάζεται ένας ενδεικτικός κατάλογος εκτατικών ιδιοτήτων. Μερικά παραστατικά παραδείγματα εκτατικών ιδιοτήτων είναι η μάζα, η ολική ενέρ-γεια και ο όγκος. Για παράδειγμα, θεωρήστε ένα σύστημα το οποίο έχει μάζα ίση με 1 kg νερού. Αν διπλασιάσουμε τη μάζα του νερού –το οποίο συνεπάγεται ότι διπλασι-άζεται η ποσότητα του νερού στο σύστημα– τότε θα έχουμε μάζα ίση με 2 kg νερού. Εφόσον η μάζα –που αποτελεί την ιδιότητα του συστήματος την οποία θέλουμε να διερευνήσουμε– μεταβλήθηκε, αυτό σημαίνει ότι η φυσική ιδιότητα είναι εκτατική. Ως ένα δεύτερο παράδειγμα θεωρήστε την ποσότητα της ενέργειας που απαιτείται για να λιώσει ο πάγος. Απαιτούνται διαφορετικές ποσότητες ενέργειας για να λιώσει ένα μεμονωμένο παγάκι, μια συσκευασία από παγάκια που διατίθεται στα σουπερμάρκετ ή ένα παγόβουνο. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η ενέργεια είναι μια εκτατική ιδι-ότητα. Ο υπολογισμός της ενέργειας που απαιτείται για να μετασχηματιστεί ο πάγος σε νερό υγρής φάσης εξαρτάται από την ποσότητα της ύλης στο σύστημα –δηλαδή από την ποσότητα του πάγου σε αυτή την περίπτωση. Ένα τρίτο παράδειγμα είναι ο όγκος ενός ομοιογενούς τμήματος ενός κεραμικού εμφυτεύματος. Αν μειώσετε τον όγκο του εμφυτεύματος στο μισό, η φυσική ιδιότητα του όγκου μεταβάλλεται –άρα, η φυσική ιδιότητα του όγκου είναι εκτατική.

Ως εντατική ιδιότητα ορίζεται μια φυσική ιδιότητα η οποία δεν εξαρτάται από το μέγεθος του συστήματος ή το δείγμα που λαμβάνεται. Όταν πρέπει να σκεφθείτε αν μια φυσική ιδιότητα είναι εκτατική ή εντατική, προσπαθήστε να εξακριβώσετε αν η φυσική ιδιότητα θα μεταβαλλόταν στην περίπτωση που το σύστημα το οποίο μελετάτε διπλασιαζόταν ή υποδιπλασιαζόταν σε μέγεθος. Αν η φυσική ιδιότητα δεν μεταβάλλεται όταν το σύστημα διπλασιάζεται ή υποδιπλασιάζεται, τότε η ιδιότητα είναι εντατική. Σε αντίθεση με τις εκτατικές ιδιότητες, οι εντατικές ιδιότητες δεν μπορούν να συμπεριληφθούν στους υπολογισμούς. Αργότερα θα μάθετε ότι οι εντα-τικές ιδιότητες δεν είναι κατάλληλες για χρήση σε εξισώσεις ισοζυγίων και εξισώσεις ισοζυγίων διατήρησης.

ΠΙΝΑΚΑΣ 1.7

Εντατικές και εκτατικές ιδιότητες

Εντατικές ιδιότητες Εκτατικές ιδιότητεςΚλάσμα μάζας (x) Μάζα (m)Γραμμομοριακό κλάσμα (n) Γραμμομόρια (n)Μοριακό βάρος (M) Όγκος (V)Θερμοκρασία (T) Ηλεκτρικό φορτίο (q)Πίεση (P) Ορμή (p

>)

Ειδικός όγκος (Vn ) Στροφορμή (L>)

Πυκνότητα (r) Ενέργεια (ET)Ταχύτητα (v

>) Μηχανική ενέργεια

Ειδική ενέργεια (EnT) ΕντροπίαΚορεσμός (S)Υγρασία (H)Σημείο βρασμού (Tb)Σημείο τήξης (Tm)


1.5 Συνήθεις φυσικές μεταβλητές 27

Παραδείγματα εντατικών ιδιοτήτων είναι μεταξύ άλλων η θερμοκρασία, η πίεση, η πυκνότητα, τα κλάσματα μάζας και τα γραμμομοριακά κλάσματα των επιμέρους συστατικών ενός συστήματος σε κάθε φάση του, καθώς και άλλες ιδιότητες που παρατίθενται στον Πίνακα 1.7. Για να γίνει αυτό περισσότερο κατανοητό, θα επανέλ-θουμε στα τρία συστήματα του νερού, του πάγου και του κεραμικού εμφυτεύματος. Ας θεωρήσουμε 1 kg νερού το οποίο βρίσκεται σε θερμοκρασία 25°C. Αν διπλασιάσουμε το μέγεθος αυτού του συστήματος σε 2 kg νερού, η θερμοκρασία του νερού (25°C) θα παραμείνει αμετάβλητη. Εφόσον η φυσική ιδιότητα της θερμοκρασίας παραμένει αμετάβλητη, αυτό σημαίνει ότι η θερμοκρασία είναι μια εντατική ιδιότητα. Ας θεω-ρήσουμε τώρα τη θερμοκρασία τήξης του πάγου σε νερό υγρής φάσης, η οποία είναι ίση με 0°C, ανεξάρτητα από την ποσότητα του πάγου που εξετάζεται. Τέλος, εφόσον δίνεται ότι το κεραμικό εμφύτευμα είναι ομοιογενές, η πυκνότητα είναι σταθερή σε όλο το εμφύτευμα. Αν μειώσουμε τον όγκο του εμφυτεύματος στο μισό, η φυσική ιδιότητα της πυκνότητας δεν μεταβάλλεται –άρα, η φυσική ιδιότητα της πυκνότητας είναι εντατική.

1.5.2 Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη

Οι φυσικές μεταβλητές είναι είτε βαθμωτά είτε διανυσματικά μεγέθη. Τα βαθμωτά μεγέθη ορίζονται από το μέτρο τους, δηλαδή μια αριθμητική τιμή και τη μονάδα μέτρησής της. Για να ορίσουμε ένα διανυσματικό μέγεθος, πρέπει να ορίσουμε και το μέτρο και την κατεύθυνση (εφαρμογής) του. Το διάνυσμα πρέπει να ορίζεται σε σχέση με ένα σημείο αναφοράς ως προς την αρχή του, κάτι που μπορούμε να κάνουμε καθο-ρίζοντας ένα αυθαίρετο σημείο ως την αρχή και χρησιμοποιώντας κάποιο σύστημα συντεταγμένων, όπως το καρτεσιανό (ορθογώνιο), το σφαιρικό ή το κυλινδρικό σύστημα, ώστε να δείξουμε ποια είναι η κατεύθυνση και το μέτρο του διανύσματος. Σε αυτό το βιβλίο θα συμβολίζουμε ένα διανυσματικό μέγεθος τοποθετώντας ένα βέλος πάνω από τη μεταβλητή ή το σύμβολο που χρησιμοποιείται για το φυσικό μέγεθος (π.χ. v

> για το διάνυσμα της ταχύτητας).

Δύο είδη διανυσμάτων είναι ιδιαίτερα σημαντικά: η θέση και η ταχύτητα. Τα διανύσματα θέσης περιγράφουν την απόσταση και την κατεύθυνση της θέσης ενός αντικειμένου σε σχέση με ένα σημείο αρχής. τα διανύσματα ταχύτητας περιγράφουν την κατεύθυνση σε σχέση με ένα σημείο αρχής και την απόσταση την οποία διανύει ένα αντικείμενο ανά μονάδα χρόνου. Για να βρούμε το μέτρο ενός διανύσματος χρη-σιμοποιώντας το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, βρίσκουμε την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων κάθε συνιστώσας του διανύσματος. Για παρά-δειγμα, το διάνυσμα (45 i

>+ 45 j

> )@km/hr σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων

θα μπορούσε να περιγράφει ένα αυτοκίνητο το οποίο κινείται ανατολικά με ταχύ-τητα 45 km/hr και βόρεια με ταχύτητα 45 km/hr. Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι το ίδιο αυτοκίνητο κινείται βορειοανατολικά με σταθερή ταχύτητα 63.6 km/hr. Μερικά παραδείγματα βαθμωτών και διανυσματικών μεγεθών παρατί-θενται στον Πίνακα 1.8.

Το γινόμενο δύο βαθμωτών μεγεθών εξακολουθεί να είναι βαθμωτό μέγεθος. Το γινόμενο ενός βαθμωτού μεγέθους και ενός διανυσματικού μεγέθους είναι ένα διάνυσμα. Το διάνυσμα αυτό έχει την ίδια κατεύθυνση με το αρχικό διάνυσμα αν η βαθμωτή ποσότητα είναι θετικός αριθμός, ή την αντίθετη κατεύθυνση αν η βαθμωτή ποσότητα είναι αρνητικός αριθμός. Ένα σχετικό παράδειγμα είναι ο πολλαπλασια-σμός της μάζας (βαθμωτό μέγεθος) με την επιτάχυνση (διανυσματικό μέγεθος), από τον οποίο προκύπτει η δύναμη (διανυσματικό μέγεθος).

Τα διανυσματικά μεγέθη μπορούν να πολλαπλασιαστούν με δύο διαφορετι-κούς τρόπους. Το βαθμωτό γινόμενο, ή εσωτερικό γινόμενο (dot product), δύο

ΠΙΝΑΚΑΣ 1.8

Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη

Βαθμωτά μεγέθη

Διανυσματικά μεγέθη

Μάζα (m) Δύναμη (F> )

Μήκος (L) Ταχύτητα (v> )

Χρόνος (t) Επιτάχυνση Θερμοκρασία (a

> )

(T) Ορμή (p> )

Πίεση (P)Πυκνότητα

(r)Ενέργεια (ET)Ισχύς (P)Ηλεκτρικό

φορτίο (q)



διανυσμάτων είναι ένα βαθμωτό μέγεθος, όπως υποδεικνύεται και από το όνομά του. Το βαθμωτό γινόμενο είναι ίσο με το γινόμενο των μέτρων των δύο διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

A># B>= �A

>}B>� cos u [1.5-1]

Σημειώστε ότι αν τα δύο διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους, το βαθμωτό γινό-μενό τους είναι ίσο με το μηδέν. Η αντιμεταθετική ιδιότητα ισχύει για το βαθμωτό γινόμενο, άρα A

># B>= B

># A>. Το διανυσματικό γινόμενο, ή εξωτερικό γινόμενο (cross

product), δύο διανυσμάτων είναι ένα διανυσματικό μέγεθος κάθετο προς το επίπεδο που ορίζεται από τα δύο αρχικά διανύσματα. Για να βρούμε την κατεύθυνση του δια-νυσματικού γινομένου χρησιμοποιούμε τον αποκαλούμενο κανόνα του δεξιού χεριού. Το μέτρο του διανυσματικού γινομένου είναι το γινόμενο των μέτρων των δύο δια-νυσμάτων και του ημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας:

�A>* B

>� = �A

>}B>� sin u [1.5-2]

Αυτή ήταν μια συνοπτική περιγραφή ορισμένων από τις ιδιότητες των διανυσμάτων. Αν χρειάζεστε περισσότερες πληροφορίες για τα διανύσματα, μπορείτε να ανατρέξετε σε οποιοδήποτε εισαγωγικό βιβλίο φυσικής ή διανυσματικού λογισμού.

1.6 Μελέτες περιπτώσεων για μηχανικούςΣε αυτή την ενότητα θα παρουσιάσουμε βασικές έννοιες για τις φυσικές μεταβλητές στο πλαίσιο προβλημάτων ανοικτού τύπου. Οι συγκεκριμένες περιπτώσεις θα σας βοηθήσουν να αφομοιώσετε σε βάθος την ύλη που παρουσιάζεται στο κεφάλαιο αυτό, καθώς και να αναδείξουν τις πραγματικές προκλήσεις που αντιμετωπίζουν οι μηχανι-κοί, από τις οποίες μπορείτε και εσείς με τη σειρά σας να αντλήσετε έμπνευση. Κάθε περίπτωση περιλαμβάνει δύσκολα προβλήματα από τον κλάδο της εμβιομηχανικής και από άλλους στενά σχετιζόμενους επιστημονικούς κλάδους.

Για ορισμένα από τα προβλήματα που παρουσιάζονται, πρώτα πρέπει να σχεδι-άσετε πώς θα προσεγγίσετε το πρόβλημα, ώστε να φτάσετε στη λύση. Κάθε άτομο ενδέχεται να επιλέξει διαφορετικό τρόπο για να φτάσει στη λύση ενός προβλήματος. εμείς θα σας παρουσιάσουμε έναν τέτοιον τρόπο επίλυσης, δείχνοντας ταυτόχρονα πώς μπορείτε να αντλήσετε σχετικές βασικές πληροφορίες (δεδομένα του προβλή-ματος) προτού μορφοποιήσετε μια λύση. Μέσα από κάποια από τα προβλήματα που παρουσιάζονται εδώ γίνεται κατανοητός ο τρόπος με τον οποίο οι ειδικοί της εμβι-ομηχανικής πρέπει να συλλέγουν πληροφορίες ώστε να είναι σε θέση να βρουν μια λύση. Σε καθένα από αυτά τα προβλήματα ανοικτού τύπου θα παρουσιάσουμε τις πληροφορίες που μας παρέχουν οι φυσικές μεταβλητές, στις οποίες θα στηριχθούμε για να περιγράψουμε κάποιες έννοιες και ιδέες που θα αναπτύξουμε περαιτέρω στο βιβλίο. Κάθε περίπτωση είναι πολύ πιο περίπλοκη από τα προβλήματα τα οποία θα κληθεί να επιλύσει ένας μηχανικός –και ειδικότερα κάποιος μηχανικός που έρχεται για πρώτη φορά σε επαφή με την εμβιομηχανική. Οι περισσότερες περιπτώσεις σχετίζο-νται με ανοικτά ερευνητικά προβλήματα για τα οποία δεν έχει βρεθεί ακόμα οριστική λύση. οι υπολογισμοί που παρουσιάζονται εδώ είναι απλοί υπολογισμοί τους οποί-ους ενδέχεται να εκτελέσει ένας αρχάριος μηχανικός για να μπορέσει να διατυπώσει σωστά το πρόβλημα.


1.6 Μελέτες περιπτώσεων για μηχανικούς 29

1.6.1 Νόσος του Πάρκινσον

Η νόσος του Πάρκινσον είναι μια πάθηση του κεντρικού νευρικού συστήματος η οποία επηρεάζει πάνω από 1 εκατομμύριο Αμερικανούς.3 Στα χαρακτηριστικά συμπτώματά της περιλαμβάνονται η ακαμψία των μυών, ο ακούσιος τρόμος (συνεχές ρίγος σπα-σμωδικής φύσης) και η δυσκολία στην κίνηση των άκρων του σώματος.4 Η ασθένεια προκαλείται από την καταστροφή των νευρώνων που εκκρίνουν την ντοπαμίνη, η οποία είναι ένας ανασταλτικός νευροδιαβιβαστής που συμβάλλει στη ρύθμιση των σημάτων διέγερσης για την κίνηση. Το μειωμένο επίπεδο της διαθέσιμης ντοπαμίνης στον εγκέφαλο οδηγεί στην ανώμαλη λειτουργία των κυκλωμάτων ανατροφοδότη-σης, με αποτέλεσμα να προκαλούνται η ακαμψία και οι τρόμοι που σχετίζονται με τη νόσο του Πάρκινσον.

Μια εταιρεία βιοτεχνολογίας έχει αναπτύξει ένα νέο φάρμακο το οποίο μπο-ρεί δυνητικά να αυξήσει τη διαθέσιμη ντοπαμίνη στον εγκέφαλο των ασθενών που πάσχουν από τη νόσο του Πάρκινσον. Έχει προσδιοριστεί μια πιθανή φαρμακευτική αγωγή η οποία όμως έχει δοκιμαστεί μόνο σε ζώα. το φάρμακο χορηγείται απευθείας με ένεση από μια οπή στο κρανίο που έχει ανοιχθεί με τρυπάνι. Αυτή η ενδοκρανιακή μέθοδος χορήγησης σπανίως συνιστά εφικτή επιλογή για κλινικές δοκιμές σε ανθρώ-πους, επειδή η νόσος του Πάρκινσον είναι μια χρόνια πάθηση και το φάρμακο πρέπει να χορηγείται διαρκώς.

Επειδή είστε οι ειδικοί της εμβιομηχανικής στη συγκεκριμένη εταιρεία, έχει ζητη-θεί από εσάς και την ομάδα σας να επινοήσετε έναν μηχανισμό χορήγησης καθώς και την κατάλληλη δοσολογία, έτσι ώστε να μπορέσουν να ξεκινήσουν οι κλινικές δοκιμές του φαρμάκου σε ανθρώπους. Πρέπει να προσδιορίσετε τη σωστή δόση και το μεσοδιάστημα μεταξύ των δόσεων (δηλαδή πόσο συχνά πρέπει να εφαρμόζεται η αγωγή), καθώς και τον πιο εύκολο, ασφαλή και αποτελεσματικό τρόπο χορήγησης του φαρμάκου.

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα χρειάζεται να βρούμε ποιος από τους στόχους είναι εκείνος που πρέπει να επιτευχθεί πρώτα. Επειδή η μέθοδος χορήγησης του φαρμάκου θα επηρεάσει τον τρόπο με τον οποίο παρασκευάζεται, το πρώτο πράγμα για το οποίο πρέπει να αποφασίσουμε είναι η μέθοδος χορήγησης.

Σε αυτή την ενότητα θα περιγράψουμε κάποια εργαλεία για τον ορισμό του συγκεκριμένου προβλήματος, χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες έννοιες:

• Μάζα• Γραμμομόρια• Κλάσμα μάζας και γραμμομοριακό κλάσμα• Μοριακό βάρος και μέσο μοριακό βάρος• Συγκέντρωση και γραμμομοριακότητα κατ’ όγκο

Επειδή η χορήγηση του φαρμάκου με απευθείας ένεση στο κρανίο δεν αποτελεί ρεαλιστική επιλογή, πρέπει να εξεταστούν άλλες μέθοδοι (δείτε το ειδικό πλαίσιο που ακολουθεί). Από αυτές εφικτή είναι μόνο η χορήγηση διά της στοματικής οδού, η οποία συνιστά μακράν την πιο εύκολη και αποδεκτή μέθοδο. Οι άλλες επιλογές απαιτούν νοσοκομειακό περιβάλλον (ενδοφλέβια και ενδομυϊκή χορήγηση), προ-καλούν προβλήματα στο όργανο που αποτελεί τον στόχο της απορρόφησης (ορθική χορήγηση, χορήγηση διά της αναπνευστικής οδού, και τοπική χορήγηση), ή μπορεί να επηρεαστούν όσον αφορά την αποδοτικότητά τους από συμπτώματα της νόσου του Πάρκινσον όπως οι τρόμοι (παρειακή/υπογλώσσια και υποδόρια χορήγηση). Ένα φάρμακο το οποίο χορηγείται διά της στοματικής οδού μπορεί να απορροφηθεί στο



Τα φάρμακα μπορούν να χορηγούνται μέσω διάφορων οδών:

1. Ενδοφλέβια: χορηγείται απευθείας στο αίμα.2. Ενδομυϊκή ένεση: χορηγείται απευθείας στους μυς.3. Στοματική: χορηγείται διά της στοματικής οδού, όπως στην περίπτωση των

δισκίων.4. Παρειακή/υπογλώσσια: περιέχεται σε μικρά δισκία τα οποία ο ασθενής

συγκρατεί μέσα στο στόμα ή κάτω από τη γλώσσα μέχρι να διαλυθούν.5. Ορθική: χορηγείται με υπόθετο ή κλύσμα.6. Υποδόρια: χορηγείται με ένεση κάτω από το δέρμα, όπως στην περίπτωση της

ινσουλίνης.7. Εισπνοή: περιέχεται σε αερόλυμα το οποίο εισπνέει ο ασθενής.8. Τοπική: απορροφάται μέσω του δέρματος.

Για να φτάσει το φάρμακο στο όργανο-στόχο με αποτελεσματικό τρόπο, η χορή-γηση πρέπει να υπερβεί τους περιορισμούς που σχετίζονται με φάρμακα τα οποία χορηγούνται διά της στοματικής οδού, όπως μεταξύ άλλων το φαινόμενο απομά-κρυνσης (κάθαρσης) αρχικής διάβασης (φαινόμενο πρώτης διόδου, first-pass effect), την επίδραση της τροφής στο φάρμακο, και την τοξική δράση του φαρμάκου στο γαστρεντερικό σύστημα. Ωστόσο το κυριότερο εμπόδιο στην προσπάθεια ανάπτυξης ενός φαρμάκου για ασθενείς που πάσχουν από τη νόσο του Πάρκινσον είναι η δημι-ουργία ενός φαρμάκου που θα μπορεί να διαπεράσει τον αιματοεγκεφαλικό φραγμό και να εισχωρήσει στον εγκέφαλο.

Ο εγκέφαλος διαθέτει ένα εξειδικευμένο φραγμό που ονομάζεται αιματοεγκε-φαλικός φραγμός, ο οποίος αποτελείται από γειτονικά ενδοθηλιακά κύτταρα που έχουν συντηχθεί σφικτά το ένα με το άλλο έτσι ώστε η διαπερατότητα των φαρμάκων και άλλων μορίων να μειώνεται σημαντικά. Επειδή ο αιματοεγκεφα-λικός φραγμός είναι σχεδιασμένος να προστατεύει τον εγκέφαλο από βλαβερές ουσίες, περιορίζει σε πολύ μεγάλο βαθμό τη μεταφορά μορίων μεγάλου μοριακού βάρους και πολικών (αδιάλυτων σε λιπίδια) ενώσεων από το αίμα στον εγκεφα-λικό ιστό. Η μεταφορά μέσω λιπιδίων είναι γενικά ανάλογη της διαλυτότητας του μορίου στο λιπίδιο, αλλά περιορίζεται σε μόρια με μοριακό βάρος μικρότερο από τα 500 g/mol περίπου.5 Προς το παρόν το 100% των μεγαλομοριακών φαρμάκων και πάνω από το 98% των μικρομοριακών φαρμάκων δεν διαπερνούν τον αιματο-εγκεφαλικό φραγμό.6 Κατά τον σχεδιασμό φαρμάκων πρέπει να αναγνωρίζεται και να λαμβάνεται υπόψη ο συγκεκριμένος περιορισμός.

Για να καθορίσετε την κατάλληλη δόση του φαρμάκου πρέπει να είστε εξοικειω-μένοι με τη μετατροπή μονάδων και τις έννοιες της μάζας, των γραμμομορίων και του μοριακού βάρους. Το ατομικό βάρος και το μοριακό βάρος θα πρέπει να είναι όροι τους οποίους ήδη γνωρίζετε. Το ατομικό βάρος είναι η μάζα ενός ατόμου σε σχέση με τον άνθρακα-12 (ένα ισότοπο του άνθρακα με 6 πρωτόνια και 6 νετρόνια), ο οποίος έχει μάζα ακριβώς ίση με 12. Στον περιοδικό πίνακα μπορείτε να βρείτε τα ατομικά βάρη για όλα τα στοιχεία (δείτε το Παράρτημα Γ). Το μοριακό βάρος (M [MN-1])

αίμα του ασθενή μέσω των τοιχωμάτων του γαστρεντερικού σωλήνα και να καταλήξει τελικά στο όργανο-στόχο.


1.6 Μελέτες περιπτώσεων για μηχανικούς 31

μιας χημικής ένωσης είναι το άθροισμα των ατομικών βαρών των ατόμων που απαρτί-ζουν τα μόρια της ένωσης. Το μοριακό βάρος μιας ουσίας μπορεί να μετρηθεί με βάση διάφορες μονάδες, μεταξύ των οποίων και οι εξής: dalton (Da), g/mol, kg/kmol και lbm/lb@mol. Το dalton είναι μια μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται στη βιολογία και στην ιατρική, και είναι ισοδύναμο με το g/mol.

Ένα γραμμομόριο μιας χημικής ουσίας (ή χημικού είδους) στο διεθνές σύστημα, το οποίο συμβολίζεται με g-mol, ορίζεται να περιέχει το ίδιο πλήθος μορίων με το πλήθος των ατόμων που υπάρχουν σε 12 γραμμάρια του άνθρακα-12. Αυτό είναι ίσο με τον αριθμό Avogadro, ή 6.023 * 1023 μόρια. Το αγγλοσαξονικό σύστημα χρησι-μοποιεί μια παρόμοια έννοια, όμως η βασική μονάδα του είναι το lbm@mol, το οποίο ορίζεται με ανάλογο τρόπο: Ένα lbm@mol είναι ίσο με το πλήθος των ατόμων σε 12 lbm (λίβρες) του άνθρακα-12. Επειδή η μία λίβρα (lbm) είναι μεγαλύτερη από το ένα γραμ-μάριο, το lbm@mol είναι περίπου 450 φορές μεγαλύτερο από το g-mol. Κατά κανόνα θα χρησιμοποιείτε το g-mol αντί του lbm@mol. Μάλιστα, αν ως μονάδα μέτρησης ενός μεγέθους καθορίζεται το mol, πρέπει να θεωρείτε ότι αναφερόμαστε στο g-mol. Ένας τρόπος να κατανοήσετε το γραμμομόριο είναι να το θεωρήσετε ως την ποσότητα μιας χημικής ουσίας της οποίας η μάζα (σε γραμμάρια) είναι ίση με το μοριακό βάρος της. Για παράδειγμα, 1 g-mol του CO2 περιέχει 44 g υλικού, επειδή το μοριακό βάρος του CO2 είναι ίσο με 44 g/g-mol.

Η ποσότητα μιας ουσίας συνήθως εκφράζεται με τη βοήθεια δύο φυσικών μετα-βλητών, της μάζας ή των γραμμομορίων. Τόσο η μάζα (m [M]) όσο και τα γραμμο-μόρια (n [N]) είναι θεμελιώδη φυσικά μεγέθη (Πίνακας 1.1). Η μάζα είναι ένα μέτρο της ποσότητας ενός υλικού, ενώ το πλήθος των γραμμομορίων που υπάρχουν σε ένα δείγμα είναι κάτι που υπολογίζεται. Το μοριακό βάρος ενός συστατικού A (MA) συνδέεται με τη μάζα του συστατικού A (mA) και το πλήθος των γραμμομορίων του A (nA) μέσω της ακόλουθης σχέσης:

nA =mA

MA [1.6-1]

Το μοριακό βάρος των πλέον διαδεδομένων βιολογικών μορίων ποικίλλει ευρέως. Στο Παράρτημα Δ μπορείτε να βρείτε τις τιμές του μοριακού βάρους για διάφορα βιολογικά μόρια που απαντώνται συχνά (Πίνακας Δ.1).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.5 Μάζα, γραμμομόρια και μοριακό βάρος

Πρόβλημα: Το l-Deprenyl (σελεγιλίνη) εμποδίζει τον μεταβολισμό της ντοπαμίνης στον εγκέφαλο.7 Λόγω της αυξημένης διαθεσιμότητας της ντοπαμίνης στον εγκέφαλο, τα συμπτώ-ματα της νόσου του Πάρκινσον ενδέχεται να υποχωρήσουν. Ο χημικός τύπος της σελεγιλίνης είναι C13H17NHCl.

Υποθέστε ότι για τη θεραπεία ασθενών που πάσχουν από τη νόσο του Πάρκινσον η ημερήσια δοσολογία του Deprenyl είναι 140 mg/(kg # ημέρα). Αρχικά υπολογίστε το μοριακό βάρος του Deprenyl και συγκρίνετέ το με το όριο των 500 Da, το οποίο είναι το μέγιστο μέγεθος των μορίων που μπορούν να διαπεράσουν τον αιματοεγκεφαλικό φραγμό. Εκτιμήστε τη μάζα του σώματος του μέσου ανθρώπου και υπολογίστε πόσα από τα παρακάτω περιέχο-νται στην καθημερινή δόση: (α) mol του C13H17NHCl, (β) lbm@mol του C13H17NHCl, (γ) mol άνθρακα (C), (δ) γραμμάρια (g) άνθρακα (C), (ε) μόρια του C13H17NHCl.

Λύση: Το μοριακό βάρος του Deprenyl είναι ίσο με το άθροισμα των ατομικών βαρών των ατόμων που σχηματίζουν την ένωση. Ένα μόριο του Deprenyl περιέχει 13 άτομα άνθρακα (C), 18 άτομα υδρογόνου (H) και από 1 άτομο αζώτου (N) και χλωρίου (Cl). Μπορείτε να βρείτε τα ατομικά βάρη των ατόμων στον περιοδικό πίνακα (Παράρτημα Γ).

M = 13a 12.011 gmol C

b + 18a 1.008 gmol H

b + 1a 14.007 gmol N

b + 1a 35.453 gmol Cl

b


Εμβιομηχανική (bioengineering) Θεμελιώδεις αρχές

Documents