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Index

Abel means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Abel summability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33, 34Abel–Plana formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Abelian functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545absolute error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73acceleration of convergence

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93for sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93–94for series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93–94limit-preserving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

accumulation point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15acoustics

canonical integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792additive number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644–647

Dedekind modular function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Dedekind sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646discriminant function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Euler’s pentagonal number theorem . . . . . . . . . . . . . 646Goldbach conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644Jacobi’s identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638partition function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644

unrestricted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645Ramanujan’s identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Ramanujan’s tau function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646representation by squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645Waring’s problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645

aerodynamicsStruve functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

affine Weyl groupsPainleve equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732

Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194applications

mathematical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209ship waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790

approximationsexpansions in Chebyshev series . . . . . . . . . . . . . . . 211in terms of elementary functions . . . . . . . . . . . . . . 211in the complex plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198–199error bounds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

computation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209–210connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

for products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203initial values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194numerically satisfactory solutions . . . . . . . . . . . . . 194Riccati form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Dirac delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38envelope functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59generalized. . . . . . . . . . .see generalized Airy functions.graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195incomplete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208integral identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787integral representations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196, 203integrals

approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211, 212asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202of products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204repeated . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Laplace transforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203Maclaurin series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Mellin transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203modulus and phase

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200monotonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200relation to Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199relation to zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194products

differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

relation to umbilics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777relations to other functions

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196–197confluent hypergeometric functions . . 197, 328, 338Hankel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196–197modified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . .196–197

Stieltjes transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203tables

complex variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211real variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–202, 211

887

www.cambridge.org© in this web service Cambridge University Press

Cambridge University Press978-0-521-19225-5 - NIST Handbook of Mathematical FunctionsEdited by Frank W. J. Olver, Daniel W. Lozier, Ronald F. Boisvert and Charles W. ClarkIndexMore information

http://www.cambridge.org/9780521192255

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888 Index

Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194zeros

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76, 210differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200relation to modulus and phase . . . . . . . . . . . . . . . . 200tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–202, 211

Airy transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Airy’s equation

. . . . . . . . . . see Airy functions, differential equation.Aitken’s ∆2-process

for sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93iterated . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Al-Salam–Chihara polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473algebraic curves

Riemann surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543, 544, 546algebraic equations

parametrization via Jacobian elliptic functions . . 563spherical trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564uniformization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

algebraic Lame functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693alternant

determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3amplitude (am) function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .561

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564approximations

small k, k′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562small x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561quasi-periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561relation to elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .562relation to Gudermannian function . . . . . . . . . . . . . . 562special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

analytic continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19by reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

analytic function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16at infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17in a domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Anger function. . . . . . . . . . . .see Anger–Weber functions.Anger–Weber functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295asymptotic expansions

large argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297large order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .298

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87, 299definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296incomplete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297interrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296Maclaurin series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297relations to other functions

Fresnel integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297Lommel functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296Struve functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

series expansionspower series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296products of Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

angle between arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17angular momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758angular momentum

generalized hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . 418angular momentum coupling coefficients

. . . . . see 3j symbols, 6j symbols, and 9j symbols.angular momentum operator

spherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379annulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19antenna research

Lame functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694Appell functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414applications

physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412–413integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

inverse Laplace transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412partial differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413relation to Legendre’s elliptic integrals . . . . . . . . . . 490relation to symmetric elliptic integrals. . . . . . . . . . .509relations to hypergeometric functions. . . . . . . . . . . .414transformations of variables . . . . . . . . . . . . . . . . 414–415

quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415reduction formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

approximation techniquesChebyshev-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97least squares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99–100minimax polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96minimax rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Pade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98–99splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100






Index 889

arc lengthJacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .563

arc(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16angle between . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

area of triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246argument principle . . . . . . . . . . . . . . . . see phase principle.arithmetic Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647arithmetic mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 13arithmetic progression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2arithmetic-geometric mean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492

hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .566Legendre’s elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 492–493symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .505

arithmeticscomplex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73exact rational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72floating-point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72level-index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Askey polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475Askey scheme for orthogonal polynomials . . . . . . . . . .464Askey–Gasper inequality

Jacobi polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .478Askey–Wilson class orthogonal polynomials . . . 472–474

as eigenfunctions of a q-difference operator . . . . . . 472asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474interrelations with other orthogonal polynomials

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464orthogonality properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .472representation as q-hypergeometric functions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472–474Askey–Wilson polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474relation to q-hypergeometric functions . . . . . . 472–474

associated Anger–Weber function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see Anger–Weber functions.

associated Laguerre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754associated Legendre equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 352, 375

exponent pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352numerically satisfactory solutions . . . . . . . . . . .352, 375singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352standard solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352, 354, 375

associated Legendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also Ferrers functions.addition theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370, 377analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .376analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378–379asymptotic approximations

. . . . . . . . . . see uniform asymptotic approximations.behavior at singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361, 375computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362, 375continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364cross-products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353–354, 375degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

with respect to degree or order. . . . . . . . . . . . . . . .363differential equation

. . . . . . . . . . . . . . . . see associated Legendre equation.expansions in series of. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .370generalized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .378generating functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .361, 375graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357–359, 375–376Heine’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377hypergeometric representations . . . . . . . . 353–354, 375integer degree and order . . . . . . . . . . . . . . . 360–361, 375integer order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360, 375integral representations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .363, 377integrals

definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370Mellin transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .369

notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352of the first kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353of the second kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354Olver’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354, 375order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369principal values (or branches) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362, 375relations to other functions

elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360Gegenbauer function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355hypergeometric function. . . . . . . . . . . . .353, 354, 394Jacobi function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355Legendre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Rodrigues-type formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359, 360sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370–371, 377tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380uniform asymptotic approximations

large degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366–368, 377large order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365–366, 377

values on the cut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .376Whipple’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352–353, 375zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368, 377

associated orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . 474corecursive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474

astrophysicserror functions and Voigt functions . . . . . . . . . . . . . . 169






890 Index

Heun functions and Heun’s equation . . . . . . . . . . . . 720asymptotic and order symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

asymptotic approximations and expansions . . . . see alsoasymptotic approximations of integrals, asymptoticapproximations of sums and sequences, asymptoticsolutions of difference equations, asymptotic solu-tions of differential equations, and asymptotic so-lutions of transcendental equations.

algebraic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42cases of failure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52, 66differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42double asymptotic properties

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Hankel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258Kelvin functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273modified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

exponentially-improved expansions . . . . . . . . . . . . 67–69generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43hyperasymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68improved accuracy via numerical transformations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42logarithms of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42null . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42numerical use of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 69Poincare type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42powers of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42re-expansion of remainder terms . . . . . . . . . . . . . . 67–69reversion of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Stokes phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67substitution of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42uniform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42via connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

asymptotic approximations of integrals . . . . . . . . . . 43–55Bleistein’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Chester–Friedman–Ursell method . . . . . . . . . . . . . . . . 48coalescing critical points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48coalescing peak and endpoint. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45coalescing saddle points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48distributional methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51–55Fourier integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Haar’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46integration by parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43inverse Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46–47Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Laplace’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44–45, 47Mellin transform methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49–51method of stationary phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45method of steepest descents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47multidimensional integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51Stieltjes transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52–53

generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Watson’s lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44, 46

generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44asymptotic approximations of sums and sequences

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63–66Abel–Plana formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Darboux’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–66entire functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Euler–Maclaurin formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63summation by parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

asymptotic scale or sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43asymptotic solutions of difference equations . . . . . 61–63

characteristic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62coincident characteristic values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Liouville–Green (or WKBJ) type approximations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62transition points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63turning points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63with a parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62–63

asymptotic solutions of differential equations . . . . 55–61characteristic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56coincident characteristic values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57error-control function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Fabry’s transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57irregular singularities of rank 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Liouville–Green approximation theorem . . . . . . . . . . 57Liouville–Green (or WKBJ) approximations . . . . . . 57numerically satisfactory solutions. . . . . . . . . . . . . . . . .58resurgence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 68with a parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58–61

classification of cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58coalescing transition points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61connection formulas across transition points . . . . 61in terms of Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59in terms of Bessel functions of fixed order. . .60–61in terms of Bessel functions of variable order . . . 61in terms of elementary functions . . . . . . . . . . . . . . . 59Liouville transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58transition points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58turning points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

asymptotic solutions of transcendental equations. . . .43Lagrange’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

atomic photo-ionizationCoulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

atomic physicsCoulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754error functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

atomic spectraCoulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

atomic spectroscopy






Index 891

3j, 6j, 9j symbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .765attractive potentials

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753, 754auxiliary functions for Fresnel integrals

approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Mellin–Barnes integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

auxiliary functions for sine and cosine integralsanalytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Chebyshev-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152principal values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151relation to confluent hypergeometric functions . . .153tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

axially symmetric potential theory . . . . . . . . . . . . . . . . 501

Backlund transformationsclassical orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . .478Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730–732

backward recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Bailey’s 2F1(−1) sum

q-analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426Bailey’s 4F3(1) sum

q-analogs (first and second) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Bailey’s 2ψ2 transformations

bilateral q-hypergeometric function. . . . . . . . . . . . . .429Bailey’s bilateral summations

bilateral q-hypergeometric function. . . . . . . . . . . . . .427bandlimited functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706Barnes’ beta integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Barnes’ G-function

asymptotic expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144infinite product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144recurrence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Barnes’ integralFerrers functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

Bartky’s transformationBulirsch’s elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .504

basic elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512basic hypergeometric functions. . .see bilateral q-hyper-

geometric function and q-hypergeometric function.Basset’s integral

modified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253Bell numbers

asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .623definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623recurrence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .623

Bernoulli monosplines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597Bernoulli numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

arithmetic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .593asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .593computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588degenerate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596explicit formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593finite expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596, 597generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .591inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592inversion formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .591irregular pairs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .598Kummer congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588of the second kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596recurrence relations

linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591quadratic and higher order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595

relations toEulerian numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591Genocchi numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595Stirling numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596tangent numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .596

sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589, 598

Bernoulli polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .588applications

mathematical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597–598physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .593computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590difference equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589explicit formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591finite expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596, 597generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593infinite series expansions

Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592






892 Index

other . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595Laplace transforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595multiplication formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .590notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588recurrence relations

linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

relation to Eulerian numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591relation to Riemann zeta function . . . . . . . . . . . . . . . 591representation as sums of powers . . . . . . . . . . . . . . . . 589special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595symbolic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589zeros

complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .594

Bernoulli’s lemniscate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515Bernstein–Szego polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also cylinder func-tions, Hankel functions, Kelvin functions, modifiedBessel functions, and spherical Bessel functions.

addition theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226applications

asymptotic solutions of differential equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274–275electromagnetic scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Helmholtz equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Laplace’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275oscillation of chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275oscillation of plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281asymptotic expansions for large argument . . 228–230

error bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229–230exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

asymptotic expansions for large order . . . . . . .231–235asymptotic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Debye’s expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231–232double asymptotic properties. . . . . . . . . . . . .235, 258resurgence properties of coefficients . . . . . . . . . . . 233transition region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232uniform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232–235

branch conventions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218computation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276–277computation by quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83computation by recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222contiguous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226cross-products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222, 223

zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238definite integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217–218derivatives

asymptotic expansions for large argument . . . . . 229asymptotic expansions for large order . . . . 231–232explicit forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222uniform asymptotic expansions for large order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232with respect to order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227–228zeros . . . . . . . . . . . . . . . . see zeros of Bessel functions.

differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217, 226. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also Bessel’s equation.

Dirac delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38envelope functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61expansions in partial fractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . .247expansions in series of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247–248Fourier–Bessel expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248generalized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218–222incomplete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227infinite integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448infinite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235integral representations

along the real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223–224compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226contour integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224–225Mellin–Barnes type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225

integrals . . . . . see also integrals of Bessel and Hankelfunctions and Hankel transforms.approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279, 280

limiting forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223minimax rational approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 98modulus and phase functions

asymptotic expansions for large argument . . . . . 231basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218relation to zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

monotonicity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227multiplication theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217of imaginary argument

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see modified Bessel functions.of imaginary order






Index 893

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221–222limiting forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248numerically satisfactory pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . 248uniform asymptotic expansions for large order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

of matrix argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .769applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768of the first and second kinds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769relations to confluent hypergeometric functions ofmatrix argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770

of the first, second, and third kinds . . . . . . . . . 217–218orthogonality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243, 244power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223principal branches (or values). . . . . . . . . . . . . . .217–218recurrence relations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222–223relations to other functions

Airy functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196–197confluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . 228elementary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228generalized Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206generalized hypergeometric functions. . . . . . . . . .228parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . 228, 315

sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246–248addition theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246–247compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248expansions in series of Bessel functions . . . 247–248multiplication theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278–279Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . see zeros of Bessel functions.

Bessel polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264, 476asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476generalized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .476orthogonality properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .476recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476relations to other functions

complex orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 83confluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . 476generalized hypergeometric functions. . . . . . . . . .476Jacobi polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

Bessel transform . . . . . . . . . . . . . . . . see Hankel transform.Bessel’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

inhomogeneous forms . . . . . . . . . . . . . . . . . .288, 294, 295numerically satisfactory solutions . . . . . . . . . . . . . . . 218singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

standard solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217–218Bessel’s inequality

Fourier series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13Bessel’s integral

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223best uniform polynomial approximation . . . . . . . . . . . . 96best uniform rational approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 97beta distribution

incomplete beta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189beta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

. . . . . . . . . . . . . . . . . see also incomplete beta functions.applications

physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145–146definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143multivariate. . . . . . . . . .see multivariate beta function.

beta integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142–143Bickley function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

biconfluent Heun equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .718application to Rossby waves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .720

Bieberbach conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417, 479Jacobi polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .479

bifurcation sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .781visualizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

big q-Jacobi polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471bilateral basic hypergeometric function

. . . . . . . . . . see bilateral q-hypergeometric function.bilateral hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408bilateral q-hypergeometric function

Bailey’s 2ψ2 transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429Bailey’s bilateral summations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420Ramanujan’s 1ψ1 summation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .427special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .427–428transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

bilateral series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .408bilinear transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

cross ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17SL(2, Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

binary number system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72binary quadratic sieve

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648Binet’s formula

gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140binomial coefficients

definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .619






894 Index

limiting form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .619recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619relation to lattice paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619, 635

binomial expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108binomial theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2binomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2black holes

Heun functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .720Bohr radius

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754Bohr-Mollerup theorem

gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138q-gamma function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

Boole summation formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597Borel summability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Borel transform theory

applications to asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . 68Bose–Einstein condensates

Lame functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694Bose–Einstein integrals

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611relation to polylogarithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

Bose–Einstein phase transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614bound-state problems

hydrogenic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754Whittaker functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .754

boundary points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 15boundary-value methods or problems

difference equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86, 87ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

bounded variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Boussinesq equation

Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739box

plane partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629branch

of multivalued function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 104construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

branch cut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104branch point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

movable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724Bromwich integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Bulirsch’s elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518first, second, and third kinds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486relation to symmetric elliptic integrals. . . . . . . . . . .508

calculuscomplex variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14–18one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4–7

two or more variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–9calculus of finite differences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .597canonical integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776

applicationsacoustics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792caustics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .791integrals with coalescing critical points . . . 789–790optics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .791

asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . 789–790computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792convergent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788integral identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787–788notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776relations to other functions

Airy function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777Pearcey integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777

special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777visualizations of modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778–779visualizations of phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780–781zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785–787

cardinal function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77cardinal monosplines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .597–598cardinal spline functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .597Carmichael numbers

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644Casimir forces

Bernoulli polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598Casimir–Polder effect

Riemann zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614Catalan numbers

definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .623limiting forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .621recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621relation to lattice paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .621

Catalan’s constantRiemann zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

Cauchy determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Cauchy principal values

integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Cauchy’s integral formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

for derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Cauchy’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Cauchy–Riemann equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Cauchy–Schwarz inequalities for sums and integrals

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 13caustics

Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209






Index 895

canonical integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791Cayley’s identity for Schwarzian derivatives . . . . . . . . . 27central differences in imaginary direction . . . . . . . . . . 436Cesaro means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Cesaro summability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33, 34chain rule

for derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 7characteristic equation

difference equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

characteristicsRiemann theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

charactersnumber theory

Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642induced modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642orthogonality relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .642quadratic Jacobi symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642quadratic Legendre symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .642

Charlier polynomials. . . . . . . . . . . . . see Hahn class orthogonal polynomials.

Chebyshev ψ-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613Chebyshev polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

. . see also Chebyshev-series expansions and classicalorthogonal polynomials.

applicationsapproximation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478solutions of differential equations . . . . . . . . . . . . . 478

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445dilated . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437expansions in series of . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96, 459, 461explicit representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442–443generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458interrelations with other classical orthogonal polyno-

mials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444–445leading coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439linearization formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460local maxima and minima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436of the first, second, third, and fourth kinds . . . . . . 439orthogonality properties

with respect to integration . . . . . . . . . . . . . . . . 96, 439

with respect to summation . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 440recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96, 446relations to other functions

hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394Jacobi polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

Rodrigues formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442scaled. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .478shifted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437, 439special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

of coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440upper bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451weight functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438, 440

Chebyshev-series expansionscomplex variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97computation of coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97relation to minimax polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . 97summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

chemical reactions3j, 6j, 9j symbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .765

chi-square distribution functionincomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Chinese remainder theoremnumber theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

Christoffel coefficients (or numbers) . . . . . . . . . see Gaussquadrature, Christoffel coefficients (or numbers)

Christoffel-Darboux formulaclassical orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . .438confluent form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

Chu–Vandermonde identityhypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

circular trigonometric functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see trigonometric functions.

classical dynamicsJacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .566Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

classical orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438addition theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .459applications

approximation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478Bieberbach conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479integrable systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478numerical solution of differential equations . . . . 478physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .479Radon transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479random matrix theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479Riemann–Hilbert problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . 451–454computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479






896 Index

connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460contiguous relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438–439derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446–447differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445expansions in series of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459–461explicit representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442–443Fourier transforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .456–457generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449in two or more variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477inequalities

local maxima and minima . . . . . . . . . . . . . . . . 450–451Turan-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450upper bounds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .450

integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447–448for products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455–459compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .459

interrelationslimiting forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445with other orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . 464

Laplace transforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .457leading coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439limiting forms

Mehler–Heine type formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449linearization formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460local maxima and minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450–451Mellin transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457multiplication theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436orthogonality properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439, 443parameter constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439, 443Poisson kernels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .461recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446relations to other functions

confluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . 442generalized hypergeometric functions. . . . . . . . . .442hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . 393–394, 442

sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459–461Bateman-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .461

tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480of coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

upper bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450weight functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439zeros

asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . 454–455distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

classical theta functions . . . . . . . . . . . see theta functions.

Clausen’s integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

Clebsch–Gordan coefficients . . . . . . . . . . . see 3j symbols.relation to generalized hypergeometric functions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418Clenshaw’s algorithm

Chebyshev series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97classical orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . .480

Clenshaw–Curtis quadrature formula. . . . . . . . . . . .79, 82comparison with Gauss quadrature . . . . . . . . . . . . . . . 80

closed point set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 15closure

of interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6of point sets in complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

coalescing saddle points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .789–790coaxial circles

symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .516coding theory

combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635Krawtchouk and q-Racah polynomials . . . . . . . . . . .479

cofactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see determinants.coherent states

generalizedconfluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . 346

cols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see saddle points.combinatorial design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .618

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635mathematical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

generalized hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . 417hypergeometric identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .400Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

compact set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18complementary error function. . . . . .see error functions.complementary exponential integral

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .see exponential integrals.completely multiplicative functions . . . . . . . . . . . . . . . . 640complex numbers

arithmetic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15complex conjugates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15DeMoivre’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15imaginary part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15polar representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15real part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14triangle inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

complex physical systemsincomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

complex toritheta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .533

computer arithmetic






Index 897

generalized exponentials and logarithms . . . . . . . . . 131computer-aided design

Cornu’s spiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169conductor

generalized Bernoulli polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 597confluent Heun equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .717

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720properties of solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .718special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

confluent hypergeometric functions . . see also Kummerfunctions and Whittaker functions.

of matrix argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .770asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770first kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768Laguerre form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770relations to Bessel functions of matrix argument. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770second kind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .768

relations to other functionsAiry functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Bessel and Hankel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228classical orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . 442Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742, 748error functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164exponential integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153generalized Bessel polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 476generalized exponential integral . . . . . . . . . . . . . . . 186Hahn class orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . .466modified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . 308, 315repeated integrals of error functions . . . . . . . . . . .167sine and cosine integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

conformal mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16–17generalized hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . 417hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .564modular functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .581symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .515Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

congruence of rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .593conical functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379asymptotic approximations

large degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374large order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .374

behavior at singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

generalized Mehler–Fock transformation . . . . . . . . . 373graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373integrals with respect to degree . . . . . . . . . . . . . . . . . 375notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352, 372order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380trigonometric expansion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .375

connected point set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15constants

roots of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24–25

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25approximants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24canonical denominator (or numerator) . . . . . . . . . . . .24contraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25convergents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

existence of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25determinant formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24even part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25fractional transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25J-fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Jacobi fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

associated . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24numerical evaluation

backward recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95forward recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95forward series recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

odd part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Pringsheim’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25quotient-difference algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24relation to power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94, 95S-fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Stieltjes fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Van Vleck’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

continuous dual Hahn polynomials. . . . . . . . . . . see Wilson class orthogonal polynomials.

continuous dynamical systems and mappingsPainleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

continuous functionat a point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 7, 15notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4of two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7, 15on a point set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7on a region. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15on an interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4






898 Index

on the left (or right). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4piecewise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 7removable discontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4sectionally . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4simple discontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

continuous Hahn polynomials. . . . . . . . . . . . . see Hahn class orthogonal polynomials.

continuous q-Hermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . 473continuous q−1-Hermite polynomials. . . . . . . . . . . . . . .473

asymptotic approximations to zeros . . . . . . . . . . . . . 474continuous q-ultraspherical polynomials . . . . . . . . . . . 473contour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16simple closed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

convergenceacceleration . . . . . . . . . see acceleration of convergence.cubic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90geometric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90of the pth order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

convex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7coordinate systems

cylindrical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7ellipsoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582, 693elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720elliptical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .677–678oblate spheroidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .705parabolic cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317paraboloid of revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317paraboloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346, 678polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581prolate spheroidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704spherical (or spherical polar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8sphero-conal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693toroidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371, 379

Cornu’s spiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169connection with Fresnel integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 168

cosecant function . . . . . . . . . see trigonometric functions.cosine function . . . . . . . . . . . . see trigonometric functions.cosine integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154auxiliary functions . . . see auxiliary functions for sine

and cosine integrals.Chebyshev-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . 156–157computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

expansion in spherical Bessel functions . . . . . . . . . . 153generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188–189graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151hyperbolic analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

analytic continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Laplace transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151principal value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150relations to exponential integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 151sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156value at infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154

asymptotic expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

cosmologyconfluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . . . 346incomplete beta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

cotangent function . . . . . . . . see trigonometric functions.Coulomb excitation of nuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753Coulomb field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754Coulomb functions

Dirac delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38Coulomb functions: variables ρ, η . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753–755asymptotic expansions

large η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .747large ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .747uniform expansions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .747–748

case η = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744complex variable and parameters . . . . . . . . . . . 748, 754computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745conversions between variables and parameters . . . 754cross-product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744expansions in Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747expansions in Bessel functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . .746expansions in modified Bessel functions . . . . . . . . . 746expansions in spherical Bessel functions . . . . . . . . . 745functions F�(η, ρ), G�(η, ρ), H±

� (η, ρ) . . . . . . . . . . . . . 742graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743–744integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745limiting forms

large � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744large |η| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746large ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746, 747small |η| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744small ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744






Index 899

normalizing constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742phase shift (or phase) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742, 756power-series expansions in ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .745recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744relations to other functions

confluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . 742Coulomb functions with variables r, ε . . . . . . . . . 751Whittaker functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

scaling of variables and parameters . . . . . . . . . 753, 754tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755transition region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747WKBJ approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .755Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

Coulomb functions: variables r, ε . . . . . . . . . . . . . . . . . .748analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753–755asymptotic approximations and expansions for large|r| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

asymptotic expansions as ε → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 753uniform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .753

case ε = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752complex variables and parameters . . . . . . . . . . . . . . . 754computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755conversions between variables and parameters . . . 754definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752expansions in Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753expansions in Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . 752, 753expansions in modified Bessel functions. . . . .752, 753functions f(ε, �; r), h(ε, �; r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .748functions s(ε, �; r), c(ε, �; r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749–750integral representations for Dirac delta . . . . . . . . . . 749limiting forms for large � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752power-series expansions in ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752power-series expansions in r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .752recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752relations to other functions

confluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . 748Coulomb functions with variables ρ, η . . . . . . . . . 751Whittaker functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .748, 751

scaling of variables and parameters . . . . . . . . . 753, 754tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749

Coulomb phase shift . . . . . . . . . . . . . . . . 145, 742, 755, 756Coulomb potential barriers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754Coulomb potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753–754

q-hypergeometric function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432Coulomb radial functions

. . . . . . . . . . . . see Coulomb functions: variables ρ, η.Coulomb spheroidal functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704

as confluent Heun functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717Coulomb wave equation

irregular solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742, 748

regular solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742, 748singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742, 748turning points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742, 748, 754

Coulomb wave functions . . see Coulomb functions: vari-ables ρ, η and Coulomb functions: variables r, ε.

counting techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634critical phenomena

elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

critical points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .781coalescing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789–790

cross ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17cryptography. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .647

Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582cubature

for disks and squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84–85cubic equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

resolvent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23cubic equations

solutions as trigonometric and hyperbolic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

curvepiecewise differentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11simple closed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

cusp bifurcation setformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .782

cusp canonical integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .776, 785zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .785

table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786cusp catastophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .776, 784cuspoids

normal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776cut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20neighborhood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618Riemann surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

cyclic identitiesJacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .558

cyclotomic fieldsBernoulli and Euler polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 598

cylinder functionsaddition theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217, 226integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240–241multiplication theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222zeros. . . . . . . . . . . . . . . . .see zeros of cylinder functions.

cylindrical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7cylindrical polar coordinates

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see cylindrical coordinates.






900 Index

Darboux’s methodasymptotic approximations of sums and sequences

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–66Dawson’s integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160generalized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160relation to error functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162relation to parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . 308tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

de Branges–Wilson beta integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143De Moivre’s theorem

trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Dedekind modular function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .646

functional equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Dedekind sums

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Dedekind’s eta function . . . . . . . . see modular functions.Dedekind’s modular function . . . see modular functions.del operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Dellanoy numbers

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623recurrence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623relation to lattice paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .621

delta sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37delta wing equation

Lame polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694derivatives

chain rule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5, 7definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 7distributional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Faa di Bruno’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9L’Hopital’s rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5left-hand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Leibniz’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5mean value theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 7of distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35partial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7right-hand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Descartes’ rule of signs (for polynomials) . . . . . . . . . . . 22determinants

alternants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4circulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4cofactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Hadamard’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93, 595inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3infinite

convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Hill’s type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Krattenthaler’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4minor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3persymmetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

diatomic moleculeshypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

difference equationsasymptotic solutions

. . see asymptotic solutions of difference equations.distinguished solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85minimal solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85numerical solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85–88

backward recursion method . . . . . . . . . . . . . . . . 85, 86boundary-value methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86, 87homogeneous equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85–86inhomogeneous equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86normalizing factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

recessive solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85difference operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

backward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436central in imaginary direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

differentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 15differential equations

asymptotic solutions . . . . . see asymptotic solutions ofdifferential equations.

change of variableselimination of first derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26Liouville transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26point at infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

classification of singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 409closed-form solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27dominant solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Fuchs–Frobenius theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55homogeneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 88indices differing by an integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56indicial equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56inhomogeneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 88

solution by variation of parameters. . . . . . . . . . . . .26irregular singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56nonhomogeneous . . . . . . . . . . . . . . . .see inhomogeneous.numerical solution

boundary-value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89






Index 901

eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89initial-value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Runge–Kutta method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89–90stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Sturm–Liouville eigenvalue problems . . . . . . . . . . . 89Taylor-series methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88–89

numerically satisfactory solutions. . . . . . . . . . . . . . . . .58of arbitrary order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409ordinary point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55, 409rank of singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56recessive solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57regular singularity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56Schwarzian derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27solutions

existence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25fundamental pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26in series of Chebyshev polynomials . . . . . . . 478, 480in series of classical orthogonal polynomials . . . 479linearly independent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

subdominant solutions . . . . . . . see recessive solutions.with a parameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

differentiationCauchy–Riemann equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16numerical

analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Lagrange’s formula for equally-spaced nodes . . . 77partial derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

of integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 21partial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

diffraction catastrophes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777, 789notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776scaling laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785

diffraction of lightFresnel integrals and Cornu’s spiral . . . . . . . . .161, 169

diffraction problemsMathieu functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .678

diffusion equationstheta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .533

diffusion problemsMathieu functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .678

digamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see psi function.dilogarithms

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611principal branch (or value) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

Dirac delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37–38delta sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37–38integral representations

Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Bessel functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37–38spherical Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

mathematical definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38series representations

Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Hermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Laguerre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Legendre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Dirac delta distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53Dirac delta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see Dirac delta.Dirac equation

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754Dirichlet L-functions

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612functional equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612infinite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .613

Dirichlet characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642Gauss sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643

Dirichlet problemwith toroidal symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

Dirichlet product (or convolution) . . . . . . . . . . . . . . . . . 641Dirichlet series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602, 640

generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640Dirichlet’s divisor problem

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643Dirichlet’s theorem

prime numbers in arithmetic progression . . . . . . . . 643discontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4discrete Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99discrete q-Hermite I and II polynomials. . . . . . . . . . . .471discriminant

of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22discriminant function

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646functional equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

diskaround infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16open . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

disk polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477dislocation theory

Heun functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .720distribution function

Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739distribution functions

connection withincomplete beta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189incomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189






902 Index

distributional derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35–37

convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 36convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Dirac delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36distributional derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Heaviside function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36linear functionals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35of derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36–37singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35tempered . . . . . . . . . . . . see tempered distributions., 52test function space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35test functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35divergence theorem

. . see Gauss’s theorem for vector-valued functions.divergent integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55divided differences

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

divisor functionnumber theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

Dixon’s 3F2(1) sumq-analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

Dixon’s sumF. H. Jackson’s q-analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15closed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15cut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20simply-connected. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

dominated convergence theoreminfinite series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

double gamma function . . . . . . . see Barnes’ G-function.double integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8–9

change of order of integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9change of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

double sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

double series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

doubly-confluent Heun equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717Dougall’s 7F6(1) sum

F. H. Jackson’s q-analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Dougall’s bilateral sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387Dougall’s expansion

associated Legendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

dual Hahn polynomials. . . . . . . . . . . see Wilson class orthogonal polynomials.

Duffing’s equationJacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .565

dynamical systemsMathieu functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .679Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

Dyson’s integralgamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

ecological systemsincomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Einstein summation convention for vectors. . . . . . . . . .10Eisenstein convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577Eisenstein series

Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .559electric particle field

Stieltjes electrostatic interpretation . . . . . . . . . . . . . 719electromagnetic scattering

Bessel functions and spherical Bessel functions . . 275electromagnetic theory

sine and cosine integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155electromagnetic waves

Mathieu functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .678electron-ion collisions

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753electronic structure of heavy elements

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754electrostatics

Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .566zeros of classical orthogonal polynomials . . . . . . . . 479

elementary functions. . . . . . . . . . . . .see exponential func-tion, hyperbolic functions, inverse hyperbolic func-tions, inverse trigonometric functions, Lambert W -function, logarithm function, power function, andtrigonometric functions.

relation to RC-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495elementary particle physics

conical functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379ellipse

elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514ellipse arc length

Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .563ellipsoid

capacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516depolarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497, 516potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516self-energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516surface area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515triaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

ellipsoidal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

ellipsoidal harmonicsLame polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694

ellipsoidal wave equation . . . . . see Lame wave equation.






Index 903

elliptic coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720elliptic crack and punch problems

Lame polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

addition law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581Jacobi–Abel addition theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . .564Jacobian normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564Mordell’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .582tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

elliptic functions . . . see also Jacobian elliptic functionsand Weierstrass elliptic functions.

general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .571representation as Weierstrass elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

Weierstrass . . . . . . . . see Weierstrass elliptic functions.elliptic integrals . . see basic elliptic integrals, Bulirsch’s

elliptic integrals, general elliptic integrals, general-izations of elliptic integrals, Legendre’s elliptic in-tegrals, and symmetric elliptic integrals.

completequasiconformal mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

relations to other functionsassociated Legendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 360Ferrers functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .360Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

elliptic modular function . . . . . . . see modular functions.elliptic umbilic bifurcation set

formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .782

elliptic umbilic canonical integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 776asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . 789–790convergent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788formulas for Stokes set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783integral identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788pictures of modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779pictures of phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780scaling laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .786

elliptic umbilic catastrophe. . . . . . . . . . . . . . . . . . .776, 785elliptical coordinates

Mathieu functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677–678entire functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Liouville’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

enumerative topologyPainleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

epsilon function . . . . . . . . . . see Jacobi’s epsilon function.equation of Ince . . see Hill’s equation, equation of Ince.equiconvergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699Erlang loss function

incomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

error-control functiondifferential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

error functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160applications

asymptotic approximation of integrals . . . . . . . . 168physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169statistics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169Stokes phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83–84, 169continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163expansions in spherical Bessel functions . . . . . . . . . 162generalized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166graphics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160, 161inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162–163integrals

Fourier transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

interrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162inverse functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169power-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160power-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162relations to other functions

confluent hypergeometric functions . . 164, 328, 338Dawson’s integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Fresnel integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162generalized exponential integrals . . . . . . . . . . . . . . 164incomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308probability functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160Voigt functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

repeated integrals of . . . .see repeated integrals of thecomplementary error function.

sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169, 170values at infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165, 170

error measuresabsolute error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73complex arithmetic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73mollified error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73relative error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73relative precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

error term. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43






904 Index

essential singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. . . . . . . . . . . . . . . see also isolated essential singularity.

eta function . . . . . . . . . . . . . . see Dedekind’s eta function.Euler–Maclaurin formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

Euler numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .588arithmetic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .593asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .593computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588explicit formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593finite expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596, 597generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .591inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592inversion formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .591Kummer congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588recurrence relations

linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591quadratic and higher order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595

sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589, 598

Euler polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588applications


asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .593computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590difference equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589explicit formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591finite expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596, 597generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593infinite series expansions

Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592other . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595Laplace transforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595multiplication formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .590notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588recurrence relations

linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

representations as sums of powers . . . . . . . . . . . . . . . 589special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595symbolic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589zeros

complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .594

Euler productnumber theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

Euler splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597Euler sums

Riemann zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613reciprocity law. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .614

Euler’s beta integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142Euler’s constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Euler’s homogeneity relation

symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .501Euler’s integral

gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Euler’s pentagonal number theorem

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Euler’s sums

q-hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423, 424Euler’s totient

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638Euler’s transformation

applied to asymptotic expansions. . . . . . . . . . . . . . . . .69of series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Euler–Fermat theoremnumber theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638, 647

Euler–Poisson differential equations . . . . . . . . . . . . . . . 501Euler–Poisson–Darboux equation

symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .501Euler–Tricomi equation

Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Eulerian numbers

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .632notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632relation to Bernoulli numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591relation to permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .632

evolution equationsLame polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694

exact rational arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72exponential function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132






Index 905

Chebyshev-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131conformal maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109generalized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111graphics

complex argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107real argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

exponential growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28exponential integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150

analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153re-expansion of remainder term . . . . . . . . . . . . . . . 153

Chebyshev-series expansions. . . . . . . . . . . . . . . .156, 157computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155continued fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150expansion in inverse factorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153expansions in modified spherical Bessel functions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153generalized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154interrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150, 151Laplace transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151principal value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150relations to other functions

confluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . 153incomplete gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153logarithmic integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150sine and cosine integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

small argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154extended complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Faa di Bruno’s formulafor derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Fabry’s transformationdifferential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

factorials (rising or falling) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618factorization

of integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648via Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . 582

Faddeeva function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169fast Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Fay’s trisecant identity

Riemann theta functions with characteristics . . . . 544generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .544

Fejer kernelFourier integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Fourier series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

Fermat numbersnumber theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

Fermat’s last theoremBernoulli and Euler numbers and polynomials . . . 598

Fermi–Dirac integralsapproximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611relation to polylogarithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614uniform asymptotic approximation . . . . . . . . . . . . . . 612

Ferrers board . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633Ferrers function

of the first kindintegral equation for Lame functions . . . . . . . . . . 689

Ferrers functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352addition theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .370analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .376applications

spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378–379spheroidal harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

asymptotic approximations. . . . . . . . . . see uniform asymptotic approximations.

behavior at singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361–362computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362cross-products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353–354degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

with respect to degree or order. . . . . . . . . . . . . . . .363differential equation

. . . . . . . . . . . . . . . . see associated Legendre equation.generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355–357integer degree and order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360–361






906 Index

integer order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363integrals

definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370Mellin transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370orthogonality properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352of the first kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353of the second kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362reflection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361relations to other functions

elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360hypergeometric function. . . . . . . . . . . . .353, 354, 394Legendre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360ultraspherical polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

Rodrigues-type formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .359–360sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370–371tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380trigonometric expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364uniform asymptotic approximations

large degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366–368large order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365–366

Wronskians. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352–353zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .368

Ferrers graph. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .626Feynman diagrams

Appell functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417Feynman path integrals

theta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .534Fibonacci numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596, 629fine structure constant

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753finite Fourier series

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643fixed point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90floating-point arithmetic

bits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72format width . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72significant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

double precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72fractional part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72IEEE standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72machine epsilon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72machine number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72machine precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72overflow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72rounding

by chopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72symmetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72to nearest machine number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

significand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72single precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72underflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Floquet solutionsHill’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675Mathieu’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

Floquet’s theoremHill’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674Mathieu’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

fluid dynamicselliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517Legendre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479Riemann theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545Struve functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

fold canonical integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .776, 785bifurcation set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788integral identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787relation to Airy function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .785

fold catastrophe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .776, 785Fourier cosine and sine transforms

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27generalized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .400inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Parseval’s formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 32

Fourier integralasymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44, 45Dirac delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38Fejer kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Poisson kernel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34summability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13–14Bessel’s inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Dirac delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38Fejer kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33finite

number theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .643integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Parseval’s formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14Poisson kernel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34Poisson’s summation formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13summability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33–34






Index 907

uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27–28

convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37fast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100group

hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Parseval’s formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, 32tempered distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Fourier–Bessel expansionBessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Fourier-series expansions

nonuniformity of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155piecewise continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92fractional derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35fractional integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53–55definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

fractional linear transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see bilinear transformation.

Fresnel integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160applications

Cornu’s spiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168interference patterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161physics and astronomy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169probability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169statistics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169


exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164auxiliary functions

. . . . . . see auxiliary functions for Fresnel integrals.computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160expansions in spherical Bessel functions . . . . . . . . . 162graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161integrals

Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166interrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160power-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162relations to other functions

Anger–Weber functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297auxiliary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160, 162confluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . 164error functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

generalized hypergeometric functions. . . . . . . . . .164symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169values at infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Freud weight function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475Frobenius’ identity

Riemann theta functions with characteristics . . . . 544Fuchsian equation

classification of parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718polynomial solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718relation to Heun’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718

functionsanalytic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see analytic function.analytically continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . see continuous function.continuously differentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 7convex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7decreasing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4defined by contour integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21differentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see entire functions.harmonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16holomorphic . . . . . . . . . . . . . . . . . . see analytic function.increasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see limits of functions.many-valued . . . . . . . . . . . . . . see multivalued function.meromorphic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19monotonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4multivalued . . . . . . . . . . . . . . . see multivalued function.nondecreasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4nonincreasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4of a complex variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18–22of bounded variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6of compact support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35of matrix argument

. . . . . . . . . . . . . . . . see functions of matrix argument.strictly decreasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4strictly increasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4strictly monotonic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4support of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35vector-valued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10–11

functions of matrix argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768Laplace transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .768orthogonal invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771

fundamental theorem of arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . 638fundamental theorem of calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

gamma distributionincomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189






908 Index

gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136. . . . . . . . . . . . . . see also incomplete gamma functions.analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136applications

mathematical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145–146

approximationsChebyshev series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147complex variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147rational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146, 147

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140–142error bounds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141for ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Bohr-Mollerup theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146continued fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136duplication formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Euler’s integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136extrema

asymptotic approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138table of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Gauss’s multiplication formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136–137inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138infinite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139integral representations. . . . . . .139–140, 143–144, 188

for derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143–144

logarithmcontinued fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136, 138graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Taylor series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

maxima and minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138multiplication formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138multivariate . . . . . . .see multivariate gamma function.notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136reciprocal

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136, 137Maclaurin series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

recurrence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138reflection formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138relations to hypergeometric function . . . . . . . . . . . . 387scaled. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Gaunt coefficient3j symbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .761

Gaunt’s integral

3j symbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .761Gauss quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80–83

Christoffel coefficients (or numbers) . . . . . . . . . . . . . . 80comparison with Clenshaw–Curtis formula . . . . . . . 80eigenvalue/eigenvector characterization . . . . . . . . . . . 82for contour integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83Gauss–Chebyshev formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80Gauss–Hermite formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Gauss–Jacobi formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Gauss–Laguerre formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80–81

generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Gauss–Legendre formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80logarithmic weight function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81–82nodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80–83remainder terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80weight functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80–83Gauss series

hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

Gauss sumsnumber theory

Dirichlet character . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643separable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643

theta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .532Gauss’s 2F1(−1) sum

q-analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426Gauss’s theorem for vector-valued functions . . . . . . . . 12Gauss–Christoffel quadrature . . . see Gauss quadrature.Gaussian

nonperiodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533Gaussian elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73–74

back substitution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73forward elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73iterative refinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73partial pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73pivot (or pivot element) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73residual vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74triangular decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73tridiagonal systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

Gaussian hypergeometric function. . . . . . . . . . . . . . . . .see also hypergeometric function.

of matrix argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .771applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771case m = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773confluent form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771Gauss formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771






Index 909

Jacobi form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .771notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768partial differential equations . . . . . . . . . . . . . .771–772reflection formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771transformations of parameters . . . . . . . . . . . . . . . . 771

Gaussian noiseLambert W -function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Gaussian polynomialsdefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

Gaussian probability functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Gaussian unitary ensemble

Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739Gegenbauer function

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394relation to associated Legendre functions . . . . . . . . 355relation to hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . 394

Gegenbauer polynomials. . . . see ultraspherical polynomials and also classical

orthogonal polynomials.Gegenbauer’s addition theorem

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247modified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

general elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .486reduction to basic elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . 512reduction to Legendre’s elliptic integrals . . . . 496–497reduction to symmetric elliptic integrals . . . . 512–514

general orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479difference operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437monic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .438on finite point sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437on intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437orthonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438sums of products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .438weight functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437x-difference operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .438

generalizations of elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 516generalized Airy functions

from differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206–207asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206, 207relation to Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206relation to modified Bessel functions . . . . . . . . . . 206tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

from integral representations . . . . . . . . . . . . . . . 207–208connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207difference equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

generalized exponential integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187

applicationsmathematical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191asymptotic expansions

exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187large parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187large variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Chebyshev-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190continued fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186further generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185–186inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Mellin–Barnes type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174of large argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66principal values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185recurrence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186relations to other functions

confluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . 186error functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164incomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

generalized exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111generalized functions

distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55generalized hypergeometric differential equation . . . 409

confluence of singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410connection formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .410fundamental solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

generalized hypergeometric function 0F2

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404, 408of large argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

generalized hypergeometric functions. . . . . . . . . . . . . .404analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .408analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404, 405, 408applications

mathematical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418argument unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405as functions of parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405asymptotic expansions

formal series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411large parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412large variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411






910 Index

small variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .408balanced . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405bilateral series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

Dougall’s bilateral sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418contiguous balanced series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407contiguous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405contiguous relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .404, 408derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . see generalized

hypergeometric differential equation.Dixon’s well-poised sum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .406Dougall’s bilateral sum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .408Dougall’s very well-poised sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406Dzrbasjan’s sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406expansions in series of. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .410extensions of Kummer’s relations. . . . . . . . . . . . . . . .407identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .407integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

inverse Laplace transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

k-balanced . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405Kummer-type transformations. . . . . . . . . . . . . .407, 409monodromy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404of matrix argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .772

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773confluence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772convergence properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772Euler integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773expansion in zonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 772general properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .772invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773Kummer transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773Mellin–Barnes integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768Pfaff–Saalschutz formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772relations to other functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772Thomae transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7723F2 case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772value at T = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .772

Pfaff–Saalschutz balanced sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406polynomial cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404principal branch (value) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407relations to other functions

associated Jacobi polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . .474

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228classical orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . 442Fresnel integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164generalized Bessel polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 476Hahn class orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . .463Kummer functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328Meijer G-function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .416modified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255orthogonal polynomials and other functions . . . 4093j, 6j, 9j symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407, 418Wilson class orthogonal polynomials . . . . . . . . . . 468

Rogers–Dougall very well-poised sum. . . . . . . . . . . .406Saalschutzian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405terminating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404transformation of variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

cubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

very well-poised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405Watson’s sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406well-poised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405Whipple’s sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406Whipple’s transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407with two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412–415zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .410

generalized hypergeometric series . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404generalized integrals

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52generalized logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73, 111

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131generalized precision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73generalized sine and cosine integrals . . . . . . . . . . . . . . 188

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188asymptotic expansions for large variable . . . . . . . . .189auxiliary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

asymptotic expansions for large variable . . . . . . 189integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190definitions

general values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188principal values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

expansions in series of spherical Bessel functions . . 188integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188interrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174power-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188relation to sine and cosine integrals . . . . . . . . . . . . . 188special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Genocchi numbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .596

genusRiemann surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

geometric mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 13geometric progression (or series) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2geophysics






Index 911

spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Gibbs phenomenon

sine integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154Glaisher’s constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63, 144Glaisher’s notation

Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .550Goldbach conjecture

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644Goodwin–Staton integral

asymptotic expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160relations to Dawson’s integral and exponential inte-

gral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162Graf’s addition theorem

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247modified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Gram–Schmidt procedurefor least squares approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

graph theorycombinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

gravitational radiationCoulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755

Green’s theorem for vector-valued functionsthree dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12two dimensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

group representationsorthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

group theoryhypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

Gudermannian function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121relation to RC-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495relation to amplitude (am) function . . . . . . . . . . . . . 561tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Haar measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769Hadamard’s inequality for determinants . . . . . . . . . . . . . 3Hahn class orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . .462–467

asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . 466–467computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462difference equations on variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 465differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465dualities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466interrelations with other orthogonal polynomials

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463, 464leading coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462limit relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463normalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436orthogonality properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .462recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

relations to confluent hypergeometric functions andgeneralized hypergeometric functions . . . . . 328, 463

relations to hypergeometric function. . . . . . . .394, 463Rodrigues formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463weight functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

Hahn polynomials. . . . . . . . . . .see Hahn class orthogonal polynomials.

Hamiltonian systemschaotic

Lame functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694handle

Riemann surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543Hankel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217

addition theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246–247analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281asymptotic expansions for large argument . . 229–230

error bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229–230exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

asymptotic expansions for large order . . . . . . .231–235asymptotic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231double asymptotic properties. . . . . . . . . . . . .235, 258transition region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232uniform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232–235

branch conventions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218computation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276–277connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222cross-product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

asymptotic expansions for large argument . . . . . 229asymptotic expansions for large order . . . . 231–232uniform asymptotic expansions for large order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also Bessel’s equation.

graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220–221incomplete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262integral representations

along real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226contour integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224

integrals. . . . . .see integrals of Bessel and Hankel functions.

limiting forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217, 223multiplication theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223principal branches (or values) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222relations to other functions

Airy functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196–197






912 Index

confluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . 228elementary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228

Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279with respect to order (ν-zeros) . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Hankel transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Hankel’s expansionsfor Bessel and Hankel functions . . . . . . . . . . . . .228–229for modified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Hankel’s integralsBessel functions and Hankel functions . . . . . . . . . . . 226

Hankel’s inversion theoremBessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Hankel’s loop integralgamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

harmonic analysishypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

harmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16maximum modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20mean value property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Poisson integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

harmonic mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 13harmonic oscillators

Hermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479q-hypergeometric function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432

harmonic trapping potentialsparabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

heat conduction in liquidsRayleigh function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

heat theoryconical functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

Heaviside function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 54derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Heine’s formulaassociated Legendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

Heine’s integralLegendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

Helmholtz equation3j, 6j, 9j symbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .765associated Legendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Bessel functions and modified Bessel functions . . 275parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317paraboloidal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

Hermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .438. . . . . . . . . . . see also classical orthogonal polynomials.addition theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .460applications

integrable systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478random matrix theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479Schrodinger equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .453

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445Dirac delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38expansions in series of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459–461explicit representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442–443Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .450, 451

Turan-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450integral representations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .447, 448integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455, 457–459

indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455Nicholson-type. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455

interrelations with other orthogonal polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444–445, 463, 464

Laplace transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .457leading coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439limiting forms as trigonometric functions . . . . . . . . 449linearization formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461local maxima and minima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451Mellin transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458monic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81, 441multiplication theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460normalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436orthogonality properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .439Poisson kernels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .461recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446relations to other functions

confluent hypergeometric functions . . 328, 338, 449derivatives of the error function . . . . . . . . . . . . . . . 163generalized hypergeometric functions. . . . . . . . . .443parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308repeated integrals of the complementary error func-tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Rodrigues formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

of coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440of zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

upper bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438, 455

asymptotic behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

Hermite–Darboux methodHeun functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .713

Hermitian matricesGaussian unitary ensemble

limiting distribution of eigenvalues . . . . . . . . . . . . 739






Index 913

Heun equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see Heun’s equation.Heun functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710

applicationsmathematical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719–720physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720

asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .718computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712differential equation. . . . . . . . . . . .see Heun’s equation.expansions in series of

hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 716–717orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

integral equations and representations . . . . . . 714–716notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710orthogonality

double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714single . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

relations to hypergeometric function . . . . . . . . . . . . 713relations to Lame functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713

Heun polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712integral equations and representations . . . . . . . . . . . 715notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

Heun’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710accessory parameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .710

asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718


asymptotic approximationseigenvalues of accessory parameters . . . . . . . . . . . 718solutions near irregular singularities . . . . . . . . . . .718solutions of confluent forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718solutions with coalescing singularities . . . . . . . . . 718

automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711–713composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711F -homotopic transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 711homographic transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 711

basic solutionsequivalent expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712Fuchs–Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711

biconfluent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .718classification of parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710computation of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720confluent forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717–718

asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718integral equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .716special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

doubly-confluent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717doubly-periodic forms

Jacobi’s elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710

Weierstrass’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710eigenvalues of accessory parameter . . . . . . . . . . . . . . 712expansions of solutions in series of

hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 716–717orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

exponent parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710integral equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714–716integral representation of solutions. . . . . . . . . .714–716

kernel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714, 716separation constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

inversion problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719Jacobi’s elliptic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710Liouvillean solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713monodromy group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710parameters

classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710path-multiplicative solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712

biorthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714expansions in series of hypergeometric functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

relation to Fuchsian equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718relation to Lame’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685separation of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710singularity parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710solutions analytic at three singularities

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see Heun polynomials.solutions analytic at two singularities

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see Heun functions.solutions via quadratures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .713triconfluent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718trigonometric form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710uniformization problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719Weierstrass’s form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710

Heun’s operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714hexadecimal number system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72high-frequency scattering

parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317higher-order 3nj symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765highway design

Cornu’s spiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Hilbert space

interrelation between basesHeun polynomial products . . . . . . . . . . . . . . . 719–720

L2ρ(Q) orthonormal basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

Hilbert transformcomputation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Fourier transform of. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29inequalities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Hill’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .674. . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also Whittaker–Hill equation.






914 Index

antiperiodic solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675basic solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674characteristic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675characteristic exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676eigenvalues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .675equation of Ince. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .676

Fourier-series solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .676polynomial solutions . . . . . . . . see Ince polynomials.

expansions in series of eigenfunctions . . . . . . . . . . . . 676Floquet solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675Floquet’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .674periodic solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675pseudoperiodic solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674real case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675separation constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677, 678symmetric case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675

Holder’s inequalities for sums and integrals . . . . . 12, 13holomorphic function . . . . . . . . . . . . see analytic function.homogeneous harmonic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 379homographic transformation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see bilinear transformation.Horner’s scheme for polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

extended . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Hurwitz criterion for stable polynomials . . . . . . . . . . . . 23Hurwitz system

Riemann surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546Hurwitz zeta function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .607

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607asymptotic expansions for large parameter . . . . . . 610computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

asymptotic expansions for large parameter . . . . 610graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607–608integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610relations to other functions

Lerch’s transcendent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612periodic zeta function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .612polylogarithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .611Riemann zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607

representations by Euler–Maclaurin formula . . . . . 608series representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608, 610special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .610tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

hydrodynamicsJacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .566

hyperasymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68hyperbola

elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

hyperbolic cosecant function . . see hyperbolic functions.hyperbolic cosine function . . . .see hyperbolic functions.hyperbolic cotangent function

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see hyperbolic functions.hyperbolic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

addition formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132conformal maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124graphics

complex argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124real argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123–124

identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125infinite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126integrals

definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

inverse . . . . . . . . . . . . . see inverse hyperbolic functions.Laurent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Maclaurin series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126multiples of argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104partial fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123poles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123real and imaginary parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126relations to trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . 123special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125squares and products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

hyperbolic secant function . . . see hyperbolic functions.hyperbolic sine function . . . . . . see hyperbolic functions.hyperbolic tangent function . . see hyperbolic functions.hyperbolic trigonometric functions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see hyperbolic functions.hyperbolic umbilic bifurcation set

formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .782

hyperbolic umbilic canonical integral . . . . . . . . . . . . . .776asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . 789–790convergent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788formulas for Stokes set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783






Index 915

integral identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787pictures of modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779pictures of phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781scaling laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .787

hyperbolic umbilic catastrophe . . . . . . . . . . . . . . .776, 785hyperelliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566hyperelliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498hypergeometric differential equation . . . . . . . . . . . . . . 394

equivalent equation for contiguous functions . . . . . 388fundamental solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394–395Kummer’s solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

hypergeometric equation. . . . . . . . . see hypergeometric differential equation.

hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384. . . . . . . . . see also Gaussian hypergeometric function.analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384applications


asymptotic approximationslarge a (or b) and c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397, 398large a and b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .397, 398large a or b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398large a, b, and c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398large c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396–398large variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

branch points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400contiguous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387–388Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385–386Hankel transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388–389

Mellin–Barnes type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388–389integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326, 327, 337, 398–399

compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398–399Laplace transforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .398Maclaurin series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Mellin transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398multivariate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .498notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Olver’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384polynomial cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385principal value (or branch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384products

series expansions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388relations to other functions

associated Legendre functions . . . . . . . 353, 354, 394

classical orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . 442elementary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .386Ferrers functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353, 354, 394gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387Gegenbauer function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394Hahn class orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . .463Heun functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713incomplete beta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Jacobi function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394orthogonal polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . .393–394Painleve transcendents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399Pollaczek polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476psi function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .387symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509Szego–Askey polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475Wilson class orthogonal polynomials . . . . . . . . . . 469

singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384special cases

argument ±1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387argument a fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .387arguments e±iπ/3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387, 400elementary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386–387

sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399

transformation of variablecubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390–391, 400quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391–393

with two variables . . . . . . . . . . . . . see Appell functions.Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .398

hypergeometric functions of matrix argument. . . . see confluent hypergeometric functions of ma-trix argument, Gaussian hypergeometric functionsof matrix argument, and generalized hypergeomet-ric functions of matrix argument.

hypergeometric R-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .498derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501elliptic cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

implicit function theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Ince polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .676

Ince’s equation . . . see Hill’s equation, equation of Ince.Ince’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see Theorem of Ince.incomplete Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208incomplete beta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183

applicationsphysical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189statistical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

asymptotic expansions for large parametersgeneral case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185






916 Index

inverse function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185symmetric case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183continued fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184historical profile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183inverse function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183relation to hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . 183sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

incomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174applications

mathematical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189statistical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191asymptotic approximations and expansions

exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179, 181for inverse function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182large variable and/or large parameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179–180, 182uniform for large parameter . . . . . . . . . . . . . . 181, 182

basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Chebyshev-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190continued fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179definitions

general values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174principal values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174expansions in series of

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Laguerre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178modified spherical Bessel functions . . . . . . . . . . . . 178

generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183graphics

complex argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176real variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175–176

inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179integral representations

along real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178contour integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177Mellin–Barnes type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182monotonicity properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176normalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174of imaginary argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Pade approximant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

power-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178principal values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178relations to other functions

confluent hypergeometric functions . . 177, 328, 338error functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164exponential integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153generalized exponential integral . . . . . . . . . . . . . . . 185incomplete Riemann zeta function . . . . . . . . . . . . 189

special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182

incomplete Riemann zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . 189asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189expansions in series of incomplete gamma functions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

inductancesymmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .516

inequalitiesmeans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13sums and integrals

Cauchy–Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 13Holder’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12, 13Jensen’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Minkowski’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 13

infinite partial fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Mittag-Leffler’s expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

infinite productsconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

absolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21uniform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

M -test for uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21relation to infinite partial fractions . . . . . . . . . . . . . . . 22Weierstrass product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

infinite sequencesconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

absolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17pointwise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17uniform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18relation to infinite double series . . . . . . . . . . . . . . . . 18

infinite series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also power series.convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

absolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17pointwise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17uniform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Weierstrass M -test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

divergent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17dominated convergence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18






Index 917

doubly-infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17summability methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33–34term-by-term integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

inhomogeneous Airy functions . . . . see Scorer functions.initial-value problems

Mathieu functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .679integrable differential equations

Riemann theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545–546integrable equations

. . . . . . . . . . . . . . see integrable differential equations.integral equations

Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729integral transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also Fourier cosine and sinetransforms, Fourier transform, Jacobi transform,Hankel (or Bessel) transform, Hilbert transform,Kontorovich–Lebedev transform, Laplace trans-form, Mellin transform, spherical Bessel transform,and Stieltjes transform.

compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32in terms of parabolic cylinder functions . . . . . . . . . 317in terms of Whittaker functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

integralsasymptotic approximations

. . . . . . .see asymptotic approximations of integrals.Cauchy principal values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6change of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

absolute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6uniform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 21

convolution product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53definite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 8double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see double integrals.fundamental theorem of calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 9, 16Jensen’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11mean value theorems

first . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6second . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8over parametrized surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11repeated . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6square-integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6summability methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34–35tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5with coalescing saddle points . . . . . . . . . . . . . . . 789–790

integrals of Bessel and Hankel functionscompendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

fractional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Hankel (or Bessel) transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240–241orthogonal properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243, 244over finite intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241–243over infinite intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243–246, 326products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241–246

triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245trigonometric arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

integrals of modified Bessel functionscompendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277fractional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Kontorovich–Lebedev transform. . . . . . . . . . . . . . . . .260over finite intervals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258over infinite intervals . . . . . . . . . 205, 258–260, 326, 337products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 16by parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5numerical . . . . . . . . . . see cubature, Gauss quadrature,

Monte-Carlo methods, and quadrature.term by term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

interaction potentialshypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

interior Dirichlet problemfor oblate spheroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706for prolate spheroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

interior points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75–77, 91

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also Lagrange interpolation.based on Chebyshev points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77based on Sinc functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77bivariate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77convergence properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76inverse linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76rational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77trigonometric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

intervalclosure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

interval arithmetic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72inverse function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Lagrange inversion theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21extended. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

inverse Gudermannian function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121relation to Legendre’s elliptic integrals . . . . . . . . . . 491relation to RC-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

inverse hyperbolic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127addition formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129






918 Index

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132branch cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127branch points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Chebyshev-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132conformal maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129fundamental property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128general values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127graphics

complex argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124real argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123–124

integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129interrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128logarithmic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129principal values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127reflection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132values on the cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

inverse incomplete beta function. . . . . . . . . . . . . . . . . . .185inverse incomplete gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . 182inverse Jacobian elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . .561

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563as Legendre’s elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . .561as symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561equivalent forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561normal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561power-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561principal values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

inverse Laplace transformsasymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46–47

inverse trigonometric functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118addition formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132branch cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119branch points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Chebyshev-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132conformal maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121fundamental property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120general values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118graphics

complex argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113–115real argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122interrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120logarithmic forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119–120notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121principal values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119real and imaginary parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120reflection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132values on the cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119–120

Ising modelAppell functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635generalized hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . 417Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

isolated essential singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also essential singularity.movable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724

isolated singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19iterative methods

Bairstow’s method (for zeros of polynomials) . . . . . 91bisection method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91convergence

cubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90geometric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90logarithmic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94of the pth order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

eigenvalue methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91fixed-point methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Halley’s rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Newton’s rule (or method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91secant method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Steffensen’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Jacobi fraction (J-fraction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Jacobi function

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394relations to other functions

associated Legendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 355conical functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

Jacobi polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438. . . . . . . . . . . see also classical orthogonal polynomials.applications

Bieberbach conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479associated. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474






Index 919

asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . 451–452Bateman-type sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445expansions in series of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459–461Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .450, 451

Szego–Szasz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451Turan-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

integral representations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .447, 448integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455–457, 459

fractional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

interrelations with other orthogonal polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444–445, 463, 464

Laplace transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .457leading coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439limiting form

as Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449as Bessel polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

limits to monomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444local maxima and minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450–451Mellin transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457monic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436orthogonality properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .439parameter constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439, 443recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446relations to other functions

hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . 393, 442orthogonal polynomials on the triangle . . . . . . . .478

Rodrigues formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442shifted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444tables of coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440upper bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450weight function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438, 454

asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454Jacobi symbol

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642Jacobi transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379, 394

inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394Jacobi’s amplitude function

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see amplitude (am) function.Jacobi’s epsilon function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562quasi-addition formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562quasi-periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562relation to Legendre’s elliptic integrals . . . . . . . . . . 562relation to theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

Jacobi’s identitiesnumber theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645

Jacobi’s imaginary transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 556Jacobi’s inversion problem for elliptic functions . . . . 532Jacobi’s nome

power-series expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490Jacobi’s theta functions . . . . . . . . . . . see theta functions.Jacobi’s triple product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

q-version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Jacobi’s zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .562

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563quasi-addition formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567

Jacobi–Abel addition theoremJacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .564

Jacobi-type polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Jacobian elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

addition theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .557analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550, 563applications

mathematical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563–564physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564–566

change of modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563computation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .566–567congruent points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553coperiodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553copolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553cyclic identities

notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558simultaneously permuted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560differential equations

first-order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560second-order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

double argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556Eisenstein series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559elementary identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556equianharmonic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555expansions in doubly-infinite partial fractions . . . 559Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559






920 Index

for squares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .559fundamental unit cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554Glaisher’s notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550, 554graphical interpretation via Glaisher’s notation . . 554graphics

complex modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552–553complex variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .552real variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .550–552

half argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556hyperbolic series for squares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .559integrals

definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560of squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

interrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508inverse . . . . . . . see inverse Jacobian elliptic functions.Jacobi’s imaginary transformation. . . . . . . . . . . . . . .556Landen transformations

ascending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557, 563, 566descending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556, 563, 566generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

lemniscatic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555limiting forms as k → 0 or k → 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 555Maclaurin series

in k, k′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559in z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .550change of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563complex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .552, 553, 563limiting values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555outside the interval [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563purely imaginary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .563

nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550periods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550, 553–554poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553–554poristic polygon constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550relations to other functions

symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575

rotation of argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556special values of the variable . . . . . . . . . . . 554–555, 557subsidiary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .550sums of squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567translation of variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554trigonometric series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . .559zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .553

Jensen’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13Jonquiere’s function . . . . . . . . . . . . . . . see polylogarithms.Jordan curve theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Jordan’s function

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638Jordan’s inequality

sine function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Julia sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Kadomtsev–Petviashvili equationRiemann theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

Kapteyn’s inequalityBessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Kelvin functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281asymptotic expansions for large argument . . . . . . . 271

cross-products and sums of squares . . . . . . . . . . . 271exponentially-small contributions . . . . . . . . . . . . . 271

asymptotic expansions for large order . . . see uniformasymptotic expansions for large order.

computation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276–277cross-products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

with respect to order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268expansions in series of Bessel functions . . . . . . . . . . 270graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269integrals

compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

modulus and phase functionsasymptotic expansions for large argument . . . . . 272definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217orders ± 1

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269–270

compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270cross-products and sums of squares . . . . . . . . . . . 270

recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269reflection formulas for arguments and orders . . . . 268uniform asymptotic expansions for large order . . .273

double asymptotic property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273exponentially-small contributions . . . . . . . . . . . . . 273

zerosasymptotic approximations for large zeros. . . . .273computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Kelvin’s ship-wave pattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790–791kernel equations






Index 921

Heun’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715, 716kernel functions

Heun’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715, 716Klein’s complete invariant . . . . . . see modular functions.Klein–Gordon equation

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754Kontorovich–Lebedev transform

modified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Korteweg–de Vries equationAiry functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .565Lame polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738Riemann theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

Kovacic’s algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713, 718KP equation . . . . see Kadomtsev–Petviashvili equation.Krattenthaler’s formula for determinants . . . . . . . . . . . . 4Krawtchouk polynomials

. . . . . . . . see also Hahn class orthogonal polynomials.applications

coding theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .479relation to hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . 394

Kummer congruencesBernoulli and Euler numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

Kummer functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322. . . . . . . . see also confluent hypergeometric functions.addition theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323analytical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322applications

physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347asymptotic approximations for large parameters

large a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330–331large b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330uniform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330–331

asymptotic expansions for large argument . . 328–329error bounds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .329exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329hyperasymptotic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Chebyshev-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347computation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .346–347connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325–326differential equation . . . . . . . . . see Kummer’s equationinteger parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322–323integral representations

along the real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326contour integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326–327Mellin–Barnes type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

integralsalong the real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332Hankel transforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .332–333indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332Mellin transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

interrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322, 325Kummer’s transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325limiting forms

as z → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323as z → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323

Maclaurin series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322multiplication theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322polynomial cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322, 323principal branches (or values) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325relations to other functions

Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328elementary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .327error functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328generalized hypergeometric functions. . . . . . . . . .328incomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328modified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328Whittaker functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

series expansionsaddition theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333in modified Bessel functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . .333Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322multiplication theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324zeros

asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331number of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

Kummer’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322equivalent form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325fundamental solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323–324numerically satisfactory solutions . . . . . . . . . . . 323–324relation to hypergeometric differential equation . . 322relation to Whittaker’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . 334standard solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Kummer’s transformationsfor 3F2 hypergeometric functions of matrix argument

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772for confluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . 325

L’Hopital’s rule for derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5






922 Index

Lagrange interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75–76abscissas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75equally-spaced nodes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75–76error term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Newton’s interpolation formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76nodal polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75nodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75remainder terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75–76via divided differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Lagrange inversion theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21extended . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Lagrange’s formula for reversion of series . . . . . . . . . . . 43Laguerre functions

associated. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .754Laguerre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

. . . . . . . . . . . see also classical orthogonal polynomials.addition theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .460applications

Schrodinger equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . 452–453computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479continued fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .450derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445Dirac delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38expansions in series of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459, 460explicit representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442–443Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457generalized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .436generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .450, 451

Turan-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450integral representations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .447, 448integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455–457

fractional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

interrelations with other orthogonal polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445, 463, 464

Laplace transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .457leading coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439limiting form as a Bessel function . . . . . . . . . . . . . . . 449limits to monomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444local maxima and minima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451Mellin transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458monic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80multiplication theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436orthogonality properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .439parameter constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439, 443

Poisson kernels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .461recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446relation to confluent hypergeometric functions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328, 338, 443, 448Rodrigues formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480


tables of zeros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81upper bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450value at z = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443weight function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438, 454

asymptotic behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

Lame functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684algebraic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693applications

conformal mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694rotation group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694sphero-conal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685differential equation . . . . . . . . . . . see Lame’s equation.eigenvalues

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689coalescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694continued-fraction equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685graphics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .686–687interlacing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685limiting forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685periods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685power-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694

Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688–689graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687–688integral equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689limiting forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .688normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .686period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686relations to Heun functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .713relations to Lame polynomials . . . . . . . . . . . . . .689, 690






Index 923

special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688with imaginary periods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .690with real periods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .685

Lame polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690algebraic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691applications

ellipsoidal harmonics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .694physical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .691, 694spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693Chebyshev series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690eigenvalues

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691

elliptic-function form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .690explicit formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .684, 690, 691orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690relation to Lame functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 689, 690tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .690

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694electrostatic interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691

Lame wave equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .690Lame’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684

algebraic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686eigenvalues . . . . . . . . . see Lame functions, eigenvalues.Jacobian elliptic-function form . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684other forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .684–685relation to Heun’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685second solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690trigonometric form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684Weierstrass elliptic-function form. . . . . . . . . . . . . . . .685

Lame–Wangerin functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693Lambert W -function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111principal branch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

other branches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

Lambert seriesnumber theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

Lanczos tridiagonalization of a symmetric matrix . . . 75Lanczos vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Landen transformations

Jacobian elliptic functions . . . . . . . . 556, 557, 563, 566theta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .531

Laplace equation3j, 6j, 9j symbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .765

Laplace transformanalyticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28asymptotic expansions for large parameters

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 44, 46asymptotic expansions for small parameters . . . . . . 51convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28for functions of matrix argument . . . . . . . . . . . . . . . . 768

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768convolution theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768inversion formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768

integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28numerical inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83–84, 99of periodic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Laplace’s equationBessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275for elliptical cones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .694spherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .501toroidal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

Laplace’s method for asymptotic expansions of integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44, 47

Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7cylindrical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7ellipsoidal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .583numerical approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78oblate spheroidal coordinates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .706parabolic cylinder coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7prolate spheroidal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705spherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

latticefor elliptic functions

. . . . . . . . . see Weierstrass elliptic functions, lattice.






924 Index

lattice models of critical phenomenaelliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

lattice parametertheta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .524

lattice paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618–623definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618k-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

lattice walksAppell functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417generalized hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . 417

Laurent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19asymptotic approximations for coefficients . . . . . . . . 65

Lauricella’s functionrelation to symmetric elliptic integrals. . . . . . . . . . .509

Lax pairsclassical orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . .478Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

layered materialselliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

least squares approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99–100conditioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99normal equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99orthogonal functions with respect to weighted sum-

mation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Lebesgue constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 97

asymptotic behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Legendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

. . see also associated Legendre functions and Ferrersfunctions.

complex degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Legendre functions on the cut . . . see Ferrers functions.Legendre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .438

. . . . . . . . . . . see also classical orthogonal polynomials.addition theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .459applications

Schrodinger equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479associated. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479continued fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .450definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445Dirac delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38expansions in series of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459, 461explicit representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442–443Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

Turan-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450integral representations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .447, 448

for products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455, 458

Nicholson-type. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455

interrelations with other orthogonal polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

large degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65leading coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439Mellin transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458monic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436orthogonality properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .439recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446relations to other functions

associated Legendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 360Ferrers functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .360hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3943j symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760–761

Rodrigues formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442shifted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436, 439special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480


value at argument zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285weight function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438, 454

tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80Legendre symbol

prime numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642Legendre’s elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

addition theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .495applications


approximations (except asymptotic) . . . . . . . . . . . . . 519arithmetic-geometric mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .495change of amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492change of modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492change of parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492circular cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .487, 492complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487computation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .517–518connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490duplication formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495first, second, and third kinds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486Gauss transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488–489hyperbolic cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487, 492imaginary-argument transformations . . . . . . . . . . . . 492imaginary-modulus transformations . . . . . . . . . . . . . 492incomplete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486inequalities






Index 925

complete integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494incomplete integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

integrationwith respect to amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496with respect to modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

Landen transformationsascending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493descending. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .493

Laplace transforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496limiting values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486power-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490quadratic transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492reciprocal-modulus transformation . . . . . . . . . . . . . . 492reduction of general elliptic integrals . . . . . . . .496–497relations to other functions

am function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562Appell functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490inverse Gudermannian function . . . . . . . . . . . . . . . 491inverse Jacobian elliptic functions . . . . . . . . . . . . . 561Jacobi’s epsilon function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562Jacobi’s zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562Jacobian elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494symmetric elliptic integrals. . . . . . . . . . . . . . .507, 508theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518–519

Legendre’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352standard solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

Legendre’s relationLegendre’s elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

Legendre’s relation for the hypergeometric functiongeneralized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399

Leibniz’s formula for derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5lemniscate arc length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563lemniscate constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .502, 503lengths of plane curves

Bernoulli’s lemniscate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515ellipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .514hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

Lerch’s transcendentdefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .612relation to Hurwitz zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . 612relation to polylogarithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

level-index arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Levi-Civita symbol for vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Levin’s transformations

application to asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . 69for sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Lie algebrasq-series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

light absorption

Voigt functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169limit points (or limiting points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15limits of functions

of a complex variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15of one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4of two complex variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15of two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

line broadening function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73–75

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also Gaussian elimination.condition numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74, 75conditioning of linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74error bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74norms

Euclidean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74of arbitrary order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74of matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

linear functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35linear transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Liouville transformation for differential equations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 58Liouville’s function

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639Liouville’s theorem for entire functions . . . . . . . . . . . . . 16Liouville–Green (or WKBJ) approximation . . . . . . . . . 57

for difference equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62little q-Jacobi polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .471local maxima and minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450locally analytic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724locally integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48logarithm function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132branch cut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Briggs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Chebyshev-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132common . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131conformal maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109general base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105general value. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104generalized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111graphics

complex argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107real argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108






926 Index

integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Napierian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108principal value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104real and imaginary parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132values on the cut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

logarithmic integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150asymptotic expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150number-theoretic significance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155relation to exponential integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Lommel functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294asymptotic expansions for large argument . . . . . . . 295computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294–295differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294reflection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295relation to Anger–Weber functions . . . . . . . . . . . . . . 296series expansions

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Lucas numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

M -test for uniform convergenceinfinite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21infinite series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

magic squaresnumber theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

magnetic monopolesRiemann theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

Mangoldt’s functionnumber theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639

many-body systemsconfluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . . . 346

many-valued function . . . . . . . . see multivalued function.mathematical constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Mathieu functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652, 664

. . . . . .see also Mathieu’s equation, modified Mathieufunctions, and radial Mathieu functions.

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653, 661, 665antiperiodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654applications


asymptotic expansions for large q. . see also uniform asymptotic approximations forlarge parameters.Goldstein’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662Sips’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .661

computation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .679–680connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652expansions in series of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664, 667Fourier coefficients

asymptotic forms for small q . . . . . . . . . . . . . 657, 666asymptotic forms of higher coefficients . . . . . . . . 657normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657, 666recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656, 666reflection properties in q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680values at q = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657

Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653, 656, 666graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655–656, 665integral equations

compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .663variable boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663with Bessel-function kernels. . . . . . . . . . . . . . . . . . .663with elementary kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663, 672

integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .674

integralscompendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .674of products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674of products with Bessel functions . . . . . . . . . 673–674

irreducibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661limiting forms as order tends to integers . . . . . . . . .665normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654, 664notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652of integer order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .654of noninteger order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664orthogonality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .654, 664parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .654periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654, 664power series in q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660, 666pseudoperiodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653, 664reflection properties in ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664reflection properties in q . . . . . . . . . . . . . . . 654, 664, 665reflection properties in z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664relations to other functions

basic solutions of Mathieu’s equation . . . . . . . . . 654confluent Heun functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717modified Mathieu functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667

tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680uniform asymptotic approximations for large param-

eters






Index 927

Barrett’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662Dunster’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662–663

values at q = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .663

tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680Mathieu’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

algebraic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652basic solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

relation to eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654characteristic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653characteristic exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . see Mathieu functions.eigenvalues (or characteristic values) . . . . . . . . . . . . 653

analytic continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661asymptotic expansions for large q . . . . . . . . 661, 666branch points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661characteristic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679continued-fraction equations . . . . . . . . . . . . . 659, 666distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654, 664exceptional values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654, 665normal values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661, 664notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652, 653, 664power-series expansions in q . . . . . . . . . 659–660, 666reflection properties in ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664reflection properties in q . . . . . . . . . . . . . . . . . 654, 664tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

Floquet solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679Fourier-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653

Floquet’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653parameters

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652stability chart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667stable pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667stable regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667unstable pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667

second solutionsantiperiodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657expansions in Mathieu functions . . . . . . . . . . . . . . 658Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657reflection properties in q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658values at q = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658

singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

standard form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652Theorem of Ince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653, 657transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also linear algebra.augmented . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73characteristic polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74condition number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74–75

characteristic polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75condition numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75conditioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75multiplicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

eigenvectorsleft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74normalized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74right . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

equivalent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .542factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82nondefective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74norms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538symmetric

tridiagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75symplectic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541triangular decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 8

maximum-modulus principleanalytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20harmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Schwarz’s lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

McKean and Moll’s theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . 524McMahon’s asymptotic expansions

zeros of Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236error bounds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236

mean value property for harmonic functions . . . . . . . . 16mean value theorems

differentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

means. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .see Abelmeans, arithmetic mean, Cesaro means, geometricmean, harmonic mean, and weighted means.

measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

Mehler functions . . . . . . . . . . . . . . . . see conical functions.Mehler–Dirichlet formula

Ferrers functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363Mehler–Fock transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373, 379

generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373, 379Mehler–Sonine integrals






928 Index

Bessel and Hankel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Meijer G-function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415

approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .416integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415relation to generalized hypergeometric function

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415–416special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .416

Meixner polynomials. . . . . . . . . . . . . see Hahn class orthogonal polynomials.relation to hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . 394

Meixner–Pollaczek polynomials. . . . . . . . . . . . . see Hahn class orthogonal polynomials.relation to hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . 394

Mellin transformanalytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48analyticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29convolution integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 48inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 48notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Parseval-type formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Mellin–Barnes integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145meromorphic function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Mersenne numbers

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648Mersenne prime

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644method of stationary phase

asymptotic approximations of integrals . . . . . . . . . . . 45metric coefficients

for oblate spheroidal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . 705for prolate spheroidal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . 704

Mill’s ratio for complementary error function . . . . . . 163inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Miller’s algorithmdifference equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85–87

minimax polynomial approximations. . . . . . . . . . . . . . . .96computation of coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

minimax rational approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97computation of coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97weight function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

minimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 8

Minkowski’s inequalities for sums and series . . . . .12, 13

minor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see determinants.Mittag-Leffler function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Mittag-Leffler’s expansion

infinite partial fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Mobius transformation . . . . see bilinear transformation.Mobius function

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639Mobius inversion formulas

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641modified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

addition theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253applications

asymptotic solutions of differential equations . . 274wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281asymptotic expansions for large argument . . 255–256

error bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255, 256exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256for derivatives with respect to order. . . . . . . . . . .255for products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

asymptotic expansions for large order . . . . . . .256–258asymptotic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256double asymptotic properties . . . . . . . . . . . . . 257–258in inverse factorial series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257uniform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256–257

branch conventions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249computation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276–277connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253cross-products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248derivatives

asymptotic expansions for large argument . . . . . 255explicit forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252uniform asymptotic expansions for large order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256–257

derivatives with respect to order . . . . . . . . . . . . . . . . 254asymptotic expansion for large argument. . . . . .255

differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248, 254. . . . . . . . . . . . . . .see also modified Bessel’s equation.

generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249hyperasymptotic expansions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276incomplete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254integral representations

along real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252–253compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253contour integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253Mellin–Barnes type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253

integrals . . see integrals of modified Bessel functions.limiting forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252






Index 929

monotonicity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254multiplication theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217of imaginary order

approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250, 251limiting forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261numerically satisfactory pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . 261tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280uniform asymptotic expansions for large order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252principal branches (or values) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251relations to other functions

Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197confluent hypergeometric functions . . 255, 328, 338elementary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254generalized Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206generalized hypergeometric functions. . . . . . . . . .255parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . 255, 308

sumsaddition theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261expansions in series of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261multiplication theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260

tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

modified Bessel’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248inhomogeneous forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288, 295numerically satisfactory solutions . . . . . . . . . . . . . . . 249singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248standard solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

modified Korteweg–de Vries equationPainleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738

modified Mathieu functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667. . . . . . . . . . . . . . . . . . see also radial Mathieu functions.addition theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .672analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .668applications


asymptotic approximations. . see also uniform asymptotic approximations forlarge parameters.for large �z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .667, 672for large q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667, 669definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667expansions in series of

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670cross-products of Bessel functions and modifiedBessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672–674

compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .674of cross-products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674

integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .674

joining factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .652, 669tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680

notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652relation to Mathieu functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667shift of variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680uniform asymptotic approximations for large param-

eters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662, 672Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668zeros

tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680modified Mathieu’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667

algebraic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667modified spherical Bessel functions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see spherical Bessel functions.modified Struve functions . . . . see Struve functions and

modified Struve functions.modified Struve’s equation . . . see Struve functions and

modified Struve functions, differential equations.modular equations

modular functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .582modular functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579applications


computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583cusp form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .579graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579infinite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580interrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581Laurent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579modular form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579modular transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570, 579power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .580relations to theta functions . . . . . . . . . . . . 525, 532, 579






930 Index

special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580modular theorems

generalized elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516molecular spectra

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753molecular spectroscopy

3j, 6j, 9j symbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .765mollified error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73moment functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476monic polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22, 80monodromy groups

Heun functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .719hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

monosplinesBernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .597cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .597

monotonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Monte Carlo sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Monte-Carlo methods

for multidimensional integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Mordell’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

elliptic curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581Motzkin numbers

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .623recurrence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623relation to lattice paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .622

multidimensional theta functions. . . . . . . see Riemann theta functions and Riemanntheta functions with characteristics.

multinomial coefficientsdefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620recurrence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620relation to lattice paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .620

multiple orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477multiplicative functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640multiplicative number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 638–644

completely multiplicative functions . . . . . . . . . . . . . . 640Dirichlet series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640Euler product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640fundamental theorem of arithmetic . . . . . . . . . . . . . . 638multiplicative functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638primitive roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

multivalued function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20branch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 104branch cut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104principal value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

closed definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104multivariate beta function

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .769

multivariate gamma functiondefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .769

multivariate hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . 498mutual inductance of coaxial circles

elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

n-dimensional spheregamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Norlund polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596nanotubes

Struve functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298Narayana numbers

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623relation to lattice paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .622

negative definiteTaylor series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

neighborhood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 15cut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20of infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16punctured. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Neumann’s addition theoremBessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246modified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Neumann’s expansionBessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Neumann’s integralBessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Legendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

Neumann’s polynomialBessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Neumann-type expansionsmodified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Neville’s theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524relations to Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . .550

Newton’s interpolation formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Newton’s rule (or method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Nicholson’s integral

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Nicholson-type integral

parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3139j symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763

addition theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .764applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765approximations for large parameters . . . . . . . . . . . . 764computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763






Index 931

generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764graphical method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764recursion relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764representation as

finite sum of 6j symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763finite sum of 3j symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763generalized hypergeometric functions. . . . . . . . . .764

special case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764sum rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764summation convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .764symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .765

nodal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75nodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79, 80nome

Jacobi’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .550theta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .524Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

nonlinear equationsfixed points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90numerical solutions

iterative methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90–92systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

nonlinear evolution equationsWeierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

nonlinear harmonic oscillatorPainleve equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725

nonlinear ordinary differential equationsJacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .565

nonlinear partial differential equationsJacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .565

normal probability functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Novikov’s conjecture

Riemann theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546nuclear physics

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754nuclear structure

3j, 6j, 9j symbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .765number theory . . . . . . . see also additive number theory,

multiplicative number theory, and prime numbers.Bernoulli and Euler numbers and polynomials . . . 598generalized hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . 417Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .564modular functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .582theta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .533Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

number-theoretic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .638–643completely multiplicative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .640computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

Dirichlet character . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642induced modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642Legendre symbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .642primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .642

Dirichlet divisor problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643divisor function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638divisor sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641inversion formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .641Lambert series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641Mobius inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641, 647

pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641multiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642periodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .642Ramanujan’s sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

numerical differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see differentiation, numerical.

oblate spheroidal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706metric coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

Olver’s algorithmdifference equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86–87

Olver’s associated Legendre function. . . . . . . . . .354, 375Olver’s confluent hypergeometric function . . . . . . . . . 322Olver’s hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . 353, 384OP’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .see orthogonal polynomials.open disks around infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16open point set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 15optical diffraction

Struve functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298optics

canonical integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791Orr–Sommerfeld equation

Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209orthogonal matrix polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477orthogonal polynomials

complex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739relations to confluent hypergeometric functions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .328, 338relations to hypergeometric function . . . . . . . . 393–394

orthogonal polynomials associated with root systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

orthogonal polynomials on the triangle . . . . . . . . . . . . 478orthogonal polynomials on the unit circle

. . . . . . see polynomials orthogonal on the unit circle.orthogonal polynomials with Freud weights . . . . . . . . 475oscillations of chains

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275oscillations of plates

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276℘-function . . . . . . . . . . . see Weierstrass elliptic functions.






932 Index

packing analysisincomplete beta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Pade approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98–99computation of coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Pade table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Painleve equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .724. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also Painleve transcendents.affine Weyl groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732alternative forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724Backlund transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730–732coalescence cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725compatibility conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728–729elementary solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .732–735elliptic form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .725graphs of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726–728Hamiltonian structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729–730interrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730–732isomonodromy problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

compatibility condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728Lax pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728rational solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732–734renormalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724special function solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735–736

Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735Hermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .735hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . 399, 736parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735Whittaker functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

symmetric forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725Painleve property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739Painleve transcendents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .724

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also Painleve equations.applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738

Boussinesq equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739combinatorics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .739enumerative topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739integrable continuous dynamical systems . . . . . . 739integral equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .729Ising model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739Korteweg–de Vries equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . .738modified Korteweg–de Vries equation . . . . . . . . . 738orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739partial differential equations . . . . . . . . . . . . . .738–739quantum gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739sine-Gordon equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739statistical physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739string theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . 736–738complex variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738real variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736–738

Backlund transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730–732

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740differential equations for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726–728Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729–730Lax pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724, 730–732

parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 304, 314addition theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313applications


approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318asymptotic expansions for large parameter . . see uni-

form asymptotic expansions for large parameter.asymptotic expansions for large variable . . . . 309, 315

exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309, 317computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304, 315continued fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304, 305, 314derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

numerically satisfactory solutions . . . . . . . . 304, 314standard solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

envelope functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367expansions in Chebyshev series . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318generalized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317graphics

complex variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306real variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305–306, 314

Hermite polynomial case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304, 308integral representations

along the real line. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .307, 315compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308contour integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .307Mellin–Barnes type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

integral transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

asymptotic methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313Nicholson-type. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313

modulus and phase functions . . . . . . . . . . . . . . . 305, 316notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317power-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307, 315recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309reflection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304relations to other functions

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228, 315confluent hypergeometric functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308, 315, 328, 338error and related functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Hermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308modified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . 255, 308






Index 933

probability functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308repeated integrals of the complementary error func-tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318uniform asymptotic expansions for large parameter

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309–312, 315–316double asymptotic property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311in terms of Airy functions . . . . . . . . . . . 311–312, 316in terms of elementary functions . . . . . 310–311, 316modified expansions in terms of Airy functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312modified expansions in terms of elementary func-tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

values at z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304, 314Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304, 314zeros

asymptotic expansions for large parameter . . . . 313asymptotic expansions for large variable . . 312, 317distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

paraboloidal coordinateswave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346Whittaker–Hill equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

paraboloidal wave functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677asymptotic behavior for large variable . . . . . . . . . . . 677orthogonality properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .677reflection properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

parallelepipedvolume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

parallelogramarea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

parametrization of algebraic equationsJacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .563

parametrized surfacesarea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11integral over . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12of revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12smooth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11tangent vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

paraxial wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788Parseval’s formula

Fourier cosine and sine transforms. . . . . . . . . . . . . . . .28Fourier series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Parseval-type formulasMellin transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 49

partial derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7partial differential equations

nonlinearWeierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738spectral methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .479

partial differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7partial fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also infinite partial fractions.particle scattering

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see partition function.partition function

asymptotic expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646hadronic matter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146parts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .645Ramanujan congruences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .646unrestricted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645

partitional shifted factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769partitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .618–620, 624–631, 769

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618–620, 624–626of integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618, 626–628parts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .618plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .see plane partitions.restricted . . . . . . . . . . . see restricted integer partitions.tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619, 629, 635weight of. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .769

pathintegrals of vector-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . 11

length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11PCFs. . . . . . . . . . . . . . . . .see parabolic cylinder functions.Pearcey integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777

asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . 789–790convergent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788formula for Stokes set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783integral identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787picture of Stokes set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784pictures of modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778pictures of phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780scaling laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .785

table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786pendulum

amplitude (am) function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .564Mathieu functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .679

pentagonal numbersnumber theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

periodic Bernoulli functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588periodic Euler functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588periodic zeta function






934 Index

relation to Hurwitz zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . 612relation to polylogarithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618, 631–634adjacent transposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .631cycle notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .631definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618derangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631derangement number. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .631descent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632even or odd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631excedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

weak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632fixed points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632greater index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .632inversion numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631–634major index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632, 634matrix notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633multiset. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .634order notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632restricted position. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .633sign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631, 633special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631twelvefold way . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

Pfaff–Saalschutz formula3F2 functions of matrix argument . . . . . . . . . . . . . . . 772

phase principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 92photon scattering

hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400pi

computation to high precision via elliptic integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

Picard’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Picard–Fuchs equations

generalized hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . 417piecewise continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4piecewise differentiable curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11pion-nucleon scattering

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754pionic atoms

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754plane algebraic curves . . . . . . . . . . . . see algebraic curves.plane curves

elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514–515Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .563

plane partitionsapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635complementary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629descending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630limiting form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .631

recurrence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631strict shifted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630symmetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .629

plane polar coordinates . . . . . . . . . see polar coordinates.plasma dispersion function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169plasma waves

error functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169plasmas

hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400Pochhammer double-loop contour . . . . . . . . 326, 389, 714Pochhammer’s integral

beta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Heun functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .714

Pochhammer’s symbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136point sets in complex plane

closed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18connected . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

open . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15region. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

points in complex planeaccumulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15at infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15limit (or limiting) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Poisson identitydiscrete analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

Gauss sum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .532Poisson integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16, 34

conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34harmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Poisson kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Fourier integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Fourier series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

Poisson’s equationin channel-like geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

Poisson’s integralBessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Poisson’s summation formulaFourier series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

polar coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7polar representation

complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

movable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724multiplicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Pollaczek polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476






Index 935

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476expansions in series of. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .477orthogonality properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .477relation to hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . 476relations to other orthogonal polynomials . . . . . . . 477

polygamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

polylogarithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .611analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611relations to other functions

Fermi–Dirac integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612Lerch’s transcendent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612periodic zeta function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .612Riemann zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

polynomialscharacteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74deflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22monic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 80nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see stable polynomials.Wilkinson’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see zeros of polynomials.zonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .see zonal polynomials.

polynomials orthogonal on the unit circle . . . . . 475–476biorthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476connection with orthogonal polynomials on the line

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

population biologyincomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

poristic polygon constructions of PonceletJacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .557

positive definiteTaylor series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

potential theoryconical functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 501, 516

power function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105branch cut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109general bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105general value. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105principal value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

power seriesaddition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

circle of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17radius of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17of logarithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18of powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18of reciprocals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

primality testingWeierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

prime number theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638, 643, 644equivalent statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

prime numbersapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647asymptotic formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644computation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .648–649counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613, 638

asymptotic estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638Euler–Fermat theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638in arithmetic progressions

Dirichlet’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .613, 643Jacobi symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642largest known . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644Legendre symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642Mersenne prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644, 648prime number theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 638, 643, 644quadratic reciprocity law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642relation to logarithmic integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639, 649

primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see prime numbers.primitive Dirichlet characters

relation to generalized Bernoulli polynomials . . . . 597principal branches . . . . . . . . . . . . . . . . see principal values.principal values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also Cauchy principal values.closed definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

principle of the argument. . . . . . . . . .see phase principle.Pringsheim’s theorem for continued fractions . . . . . . . 25






936 Index

probability distributionsymmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .515

probability functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160, 167, 308Gaussian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160relations to other functions

error functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308repeated integrals of the complementary error func-tion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167, 308

probleme des menages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633projective coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581projective quantum numbers

3j symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758prolate spheroidal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704

Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705metric coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704

Prym’s functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174pseudoperiodic solutions

of Hill’s equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .674of Mathieu’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653, 664

pseudoprime test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644pseudorandom numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648psi function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136applications

mathematical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145approximations

Chebyshev series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147complex variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147rational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146, 147

asymptotic expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136expansions in partial fractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . .139graphics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136, 137inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140multiplication formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136recurrence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138reflection formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138relation to hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . 387special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Taylor series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

asymptotic approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138table of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

public key codes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .647punctured neighborhood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

q-beta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145q-factorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

q-gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145q-Appell functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423

transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430q-Bernoulli polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422q-binomial coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421, 627q-binomial series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423q-binomial theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421, 424q-calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .420–422q-cosine function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422q-derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421q-differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425q-Dyson conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431q-elementary functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .422, 432q-Euler numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422q-exponential function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432q-hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

Andrews–Askey sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424, 426Andrews’ q-Dyson conjecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .431applications


Bailey chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430Bailey lemma

strong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430weak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

Bailey pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430Bailey transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430Bailey’s 2F1(−1) sum

q-analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426Bailey’s 4F3(1) sum

q-analogs (first and second) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Bailey’s transformation of very-well-poised 8φ7 . . 429Bailey–Daum q-Kummer sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424balanced series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423bibasic sums and series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .429bilateral . . . . see bilateral q-hypergeometric function.Cauchy’s sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424Chu–Vandermonde sums (first and second)

q-analogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432constant term identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431contiguous relations (Heine’s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425Dixon’s 3F2(1) sum

q-analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426Dixon’s sum

F. H. Jackson’s q-analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426Dougall’s 7F6(1) sum

F. H. Jackson’s q-analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Euler’s sums (first, second, third) . . . . . . . . . . 423, 424F. H. Jackson’s transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 428






Index 937

Fine’s transformations (first, second, third). . . . . .424Gauss’s 2F1(−1) sum

q-analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432Heine’s transformations (first, second, third) . . . . 424idem function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420, 429integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431k-balanced series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423mixed base Heine-type transformations . . . . . . . . . .429nearly-poised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420q-Pfaff–Saalschutz sum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .426q-Saalschutz sum

nonterminating form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426q-Sheppard identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428quintuple product identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Ramanujan’s integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431relations to other functions

Askey–Wilson class orthogonal polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472–474q-Hahn class orthogonal polynomials . . . . . 470–472

Rogers–Fine identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424Saalschutzian series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423Sears’ balanced 4φ3 transformation. . . . . . . . . . . . . .428special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426three-term 2φ1 transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428Vandermonde sum

nonterminating q-version. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .425very-well-poised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423well-poised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423Zeilberger–Bressoud theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

q-Hahn class orthogonal polynomials . . . . . . . . . . 470–472as eigenvalues of q-difference operator . . . . . . . . . . . 470asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474orthogonality properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .470relation to q-hypergeometric function . . . . . . . 470–472

q-Hahn polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470q-hypergeometric orthogonal polynomials . . . . . . . . . . 470q-integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .422q-Laguerre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .471

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432asymptotic approximations to zeros . . . . . . . . . . . . . 474

q-Leibniz rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421q-multinomial coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634q-Pochhammer symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436q-product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436q-Racah polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

applicationscoding theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .479

relation to q-hypergeometric function . . . . . . . . . . . 474q-series

classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

q-sine function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422q-Stirling numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422q−1-Al-Salam–Chihara polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 473quadratic characters

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642quadratic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23quadratic reciprocity law

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78–84

contour integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83–84interpolatory rules (or formulas)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also Gauss quadrature.Clenshaw–Curtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79closed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79error term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Fejer’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79midpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Newton–Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79nodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79open . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79weight function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

oscillatory integralsClenshaw–Curtis formula (extended) . . . . . . . . . . . 82Filon’s rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Longman’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Romberg integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Simpson’s rule

composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78, 79elementary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

steepest-descent paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83–84trapezoidal rule

composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78, 79, 84elementary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78, 79improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

via classical orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . 478quantum chemistry

generalized exponential integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 190incomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

quantum chromo-dynamicshypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

quantum field theorymodular functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .582Riemann zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

quantum gravityPainleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

quantum groupsq-series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

quantum mechanicsassociated Legendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379canonical integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791classical orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . .479Heun functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .720Mathieu functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .679






938 Index

nonrelativisticgamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317Struve functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298Whittaker functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .346

quantum probability distributionsEuler polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .598

quantum scatteringhypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

quantum spin modelsPainleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

quantum spinsHeun’s equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .720

quantum systemsHeun’s equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .720

quantum wave-packetstheta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .534

quark-gluon plasmaBernoulli polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

quartic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23quartic oscillator

Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .565quasiconformal mapping

complete elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

queueing theoryincomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

quintic equationsmodular functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .582

quotient-difference algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95rhombus rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95stability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

quotient-difference scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Raabe’s theoremBernoulli polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

Racah polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407. . . . . . . . . . . see Wilson class orthogonal polynomials.

radial Mathieu functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .668. . . . . . . . . . . . . . . .see also modified Mathieu functions.definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668expansions in series of Bessel functions . . . . . . . . . . 670expansions in series of cross-products of Bessel func-

tions and modified Bessel functions . . . . . . .671–672graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672–674

compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .674of cross-products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674

joining factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .652, 669notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652relation to modified Mathieu functions . . . . . . . . . . 668shift of variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

radial spheroidal wave functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706asymptotic behavior for large variable . . . . . . . . . . . 703

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703connection with spheroidal wave functions. . . . . . .704definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703

radiative equilibriumgeneralized exponential integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Radon transformclassical orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . .479

railroad track designCornu’s spiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

rainbowAiry functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Ramanujan’s 1ψ1 summationbilateral q-hypergeometric function. . . . . . . . . . . . . .427

Ramanujan’s beta integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143Ramanujan’s cubic transformation

hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393Ramanujan’s partition identity

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646Ramanujan’s sum

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643Ramanujan’s tau function

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646–647random graphs

generalized hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . 417random matrix theory

Hermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

random walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417rational arithmetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

exact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72rational functions

summation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145Rayleigh function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276RC-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496limiting values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491relation to elementary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 495relation to Gudermannian function . . . . . . . . . . . . . . 495relation to inverse Gudermannian function . . . . . . 491special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

reduced Planck’s constant . . . . . . . . . . . . . . . 379, 479, 753reduced residue system

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638reductions of partial differential equations

Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738Regge poles

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754Regge symmetries






Index 939

6j symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7623j symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759

region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15regularization

distributional methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55relative error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73relative precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73relativistic Coulomb equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .754relaxation times for proteins

incomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Remez’s second algorithm

minimax rational approximations. . . . . . . . . . . . . . . . .98removable singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19repeated integrals of the complementary error function

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167power-series expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167relations to other functions

confluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . 167Hermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . 167, 308probability functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167, 308

scaled. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

representation theorypartitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

repulsive potentialsCoulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753, 754

residue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

resistive MHD instability theoryStruve functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

resolvent cubic equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23resonances

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754restricted integer partitions

Bessel-function expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .628limiting form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627, 628notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626, 627recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627, 628relation to lattice paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626, 627

resurgence

asymptotic solutions of differential equations . . . . . 57reversion of series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Riccati–Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240Riemann hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

equivalent statements . . . . . . . . . . . . . . . . . 613, 614, 644Riemann identity

Riemann theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542Riemann theta functions with characteristics . . . . 542

Riemann matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .538computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

Riemann surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .543connection with Riemann theta functions . . .543, 546cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543genus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543handle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543holomorphic differentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543hyperelliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544intersection indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538, 543prime form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .544representation via Hurwitz system . . . . . . . . . . . . . . 546representation via plane algebraic curve . . . . . . . . . 546representation via Schottky group . . . . . . . . . . . . . . . 546

Riemann theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .538analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543–546components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .538genus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539–541modular group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542modular transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541–542notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538period lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542quasi-periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539relation to classical theta functions . . . . . . . . . . . . . . 539Riemann identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542scaled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538, 546symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

Riemann theta functions with characteristics . . . . . .539addition formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543applications

Abelian functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

half-period. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .539modular transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538quasi-periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539Riemann identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539






940 Index

Riemann zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .602analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602applications


approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615asymptotic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

Chebyshev series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614connection with incomplete gamma functions. . . .189critical line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606critical strip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

integer arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605series expansions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .602

Euler-product representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603incomplete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189infinite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602integer argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .605integral representations

along the real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604contour integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .605

integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602recursion formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605reflection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603relations to other functions

Bernoulli and Euler numbers and polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .598, 605Hurwitz zeta function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .607polylogarithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .611

representations by Euler–Maclaurin formula . . . . . 602series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .606tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614zeros

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607, 614distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606on critical line or strip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606, 614relation to quantum eigenvalues. . . . . . . . . . . . . . .614Riemann hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

Riemann’s ξ-function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

Riemann’s differential equationgeneral form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396reduction to hypergeometric differential equation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396solutions

P -symbol notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .396

transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396Riemann–Hilbert problems

classical orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . .479Riemann–Lebesgue lemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14Riemann–Siegel formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607

coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614Riemann’s P -symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396ring functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . .see toroidal functions.Ritt’s theorem

differentiation of asymptotic approximations . . . . . 42robot trajectory planning

Cornu’s spiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Rodrigues formulas

classical orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . .442Hahn class orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . 462

Rogers polynomials. . . . . . . . see continuous q-ultraspherical polynomials.

Rogers–Ramanujan identities . . . . . . . . . . . . . . . . . 422, 430constant term. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

Rogers–Szego polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475rolling of ships

Mathieu functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .679rook polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633roots

of equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Rossby waves

biconfluent Heun functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720rotation matrices

relation to 3j symbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .761Rouche’s theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 92round-robin tournaments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648Runge–Kutta methods

ordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . 89–90Rutherford scattering

Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Rydberg constantCoulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754

S-matrix scatteringCoulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754

saddle points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47coalescing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48, 789–790

sampling expansionsparabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

scaled gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185scaled Riemann theta functions

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

scaled spheroidal wave functions . . . . . . . . . . . . . . 706–707bandlimited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706extremal properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706integral equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706






Index 941

orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706scaling laws

for diffraction catastrophes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785scattering problems

associated Legendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753–755

scattering theoryMathieu functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .679

Schlafli’s integralsBessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224, 225

Schlafli–Sommerfeld integralsBessel and Hankel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Schlafli-type integralsKelvin functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Schottky groupRiemann surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

Schottky problemRiemann surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

Schroder numbersdefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623relation to lattice paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .622

Schrodinger equationAiry functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753–755nonlinear

Jacobian elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565Riemann theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

q-deformed quantum mechanical . . . . . . . . . . . . . . . . 432solutions in terms of classical orthogonal polynomials

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479theta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .534

Schwarz reflection principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Schwarz’s lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Schwarzian derivative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27Scorer functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209approximations

expansions in Chebyshev series . . . . . . . . . . . . . . . 212asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210computation by quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

initial values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204numerically satisfactory solutions . . . . . . . . . . . . . 204standard solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204–205integrals

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Maclaurin series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

secant function. . . . . . . . . . . .see trigonometric functions.sectorial harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378Selberg integrals

generalized elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516Selberg-type integrals

gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143separable Gauss sum

number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643Shanks’ transformation

for sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93ship wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790–791sieve of Eratosthenes

prime numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648sigma function . . . . . . .see Weierstrass elliptic functions.signal analysis

spheroidal wave functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . .706–707simple closed contour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16simple closed curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11simple discontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4simple zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19simply-connected domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Sinc function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77sine function . . . . . . . . . . . . . . see trigonometric functions.sine integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

applicationsGibbs phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155


exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154auxiliary functions . . . see auxiliary functions for sine

and cosine integrals.Chebyshev-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . 156–157computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150expansion in spherical Bessel functions . . . . . . . . . . 153generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188–189graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151hyperbolic analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Laplace transform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154maxima and minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151relations to exponential integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 151sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154






942 Index

tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156value at infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154

asymptotic expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

sine-Gordon equationJacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .565Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

singularitiesmovable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724

singularitybranch point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20essential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19isolated . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19isolated essential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19removable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 19

6j symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761addition theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .763applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765approximations for large parameters . . . . . . . . . . . . 764computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761

alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763graphical method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763recursion relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762Regge symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .762representation as

finite sum of algebraic quantities . . . . . . . . . . . . . . 762finite sum of 3j symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761generalized hypergeometric functions. . . . . . . . . .761

special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762sum rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763summation convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .763symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .765

SL(2, Z) bilinear transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579Sobolev polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .477soliton theory

classical orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . .478solitons

Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .565Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

spatio-temporal dynamicsHeun functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .718

spectral problemsHeun’s equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .720separation of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720

spherical Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

addition theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262applications

electromagnetic scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Helmholtz equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281asymptotic approximations for large order . . . . . . . see

uniform asymptotic expansions for large ordercomputation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276–277continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266cross-products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

zeros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266, 280differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

numerically satisfactory solutions . . . . . . . . . . . . . 262singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262standard solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Dirac delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38duplication formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267explicit formulas

modified functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264sums or differences of squares . . . . . . . . . . . . . . . . . 264unmodified functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278interrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262limiting forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265modified . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217of the first, second, and third kinds . . . . . . . . . . . . . 262power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265Rayleigh’s formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265reflection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267

addition theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267duplication formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280uniform asymptotic expansions for large order . . .266Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266

spherical Bessel transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

spherical coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .378

addition theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378–379






Index 943

definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378Dirac delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38distributional completeness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379Lame polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694relation to 3j symbols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .760sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379zonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

spherical polar coordinates . . see spherical coordinates.spherical triangles

solution of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131spherical trigonometry

Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .564sphero-conal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693spheroidal coordinates . . . . . . . . . . . see oblate spheroidal

coordinates and prolate spheroidal coordinates.spheroidal differential equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .698

eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698–699asymptotic behavior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .702–703computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707continued-fraction equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700power-series expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708

Liouville normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698with complex parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700

spheroidal harmonicsoblate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .378prolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .378

spheroidal wave functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .698addition theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .703applications

signal analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .706–707wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704–706

approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703as confluent Heun functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717asymptotic behavior

as x → ±1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703for large

∣∣γ2∣∣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702–703

computation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .707–708convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .699, 700differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698eigenvalues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .698elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699expansions in series of Ferrers functions . . . . . . . . . 702

asymptotic behavior of coefficients . . . . . . . . . . . . 702tables of coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708

expansions in series of spherical Bessel functions . . 703Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706generalized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .704graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700–701

integral equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703, 706integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698oblate angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699of complex argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700of the first kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699of the second kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699other notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698power-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703prolate angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703scaled. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .706tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708with complex parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .699

spline functionsBernoulli monosplines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597cardinal monosplines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597cardinal splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597Euler splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

splinesBezier curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

square-integrable function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6stability problems

Mathieu functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .679stable polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

Hurwitz criterion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23statistical analysis

multivariatefunctions of matrix argument . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

statistical applicationsfunctions of matrix argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

statistical mechanicsapplication to combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635Heun functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .720incomplete beta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .564modular functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .582q-hypergeometric function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432solvable models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146theta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .533

statistical physicsBernoulli and Euler polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 598Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

Steed’s algorithmfor continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

steepest-descent pathsnumerical integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83–84

Stickelberger codesBernoulli numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

Stieltjes fraction (S-fraction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95






944 Index

Stieltjes polynomialsdefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .718

electrostatic interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719Stieltjes transform

analyticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52–53convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 52derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30representation as double Laplace transform. . . . . . . 30

Stieltjes–Wigert polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474

Stirling cycle numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631Stirling numbers (first and second kinds)

asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .626definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624generalized. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .626generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .625notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625relations to Bernoulli numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624, 635

Stirling’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141Stirling’s series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Stokes line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Stokes multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Stokes phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

complementary error function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164incomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189smoothing of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Stokes sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .782–785cuspoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782umbilics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783visualizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .784–785

Stokes’ theorem for vector-valued functions . . . . . . . . . 12string theory

beta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517modular functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .582Painleve transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739Riemann theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545theta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .533

Struve functions . . . . see Struve functions and modifiedStruve functions.

Struve functions and modified Struve functions . . . 288analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291

applicationsphysical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300argument xe±3πi/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294asymptotic expansions

generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293large argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293large order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293remainder terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

with respect to order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

numerically satisfactory solutions . . . . . . . . . . . . . 288particular solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289–291half-integer orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291incomplete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291integral representations

along real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293contour integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292Mellin–Barnes type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

integralscompendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294indefinite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293–294Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299with respect to order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Kelvin-function analogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .288principal values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292relations to Anger–Weber functions . . . . . . . . . . . . . 297series expansions

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Chebyshev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .300power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292

Struve’s equation . . . see Struve functions and modifiedStruve functions, differential equations.

Sturm–Liouville eigenvalue problemsordinary differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

summability methods for integralsAbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34






Index 945

Fourier integralsconjugate Poisson integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Fejer kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Poisson integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Poisson kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

fractional derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35fractional integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

summability methods for seriesAbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Fourier series

Abel means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Cesaro means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Fejer kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Poisson kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Tauberian theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

summation by parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63summation formulas

Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597Euler–Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

sums of powersas Bernoulli or Euler polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 589tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

supersonic flowLame polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694

supportof a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see parametrized surfaces.surface harmonics of the first kind . . . . . . . . . . . . . . . . . 378surface-wave problems

Struve functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298swallowtail bifurcation set

formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .782

swallowtail canonical integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . 789–790convergent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788formulas for Stokes set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783integral identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787picture of Stokes set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784pictures of modulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778scaling laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .787

swallowtail catastrophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776, 784symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

addition theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509–510advantages of symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497applications

mathematical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514–516

physical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516–517statistical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

arithmetic-geometric mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505asymptotic approximations and expansions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 510–511Bartky’s transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .504change of parameter of RJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504circular cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502–504complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486computation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .517–519connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501duplication formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510elliptic cases of R−a(b; z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498first, second, and third kinds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486Gauss transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497, 505general lemniscatic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502, 503graphics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499–500hyperbolic cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502–504inequalities

complete integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506–507incomplete integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506integrals of. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .511Landen transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497, 505notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486permutation symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497, 498power-series expansions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .501–502reduction of general elliptic integrals . . . . . . . .512–514relations to other functions

Appell functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509Bulirsch’s elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509Jacobian elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508Lauricella’s function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509Legendre’s elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . 507, 508theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .502–503tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519transformations replaced by symmetry

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497, 505, 508symmetries

of canonical integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .777Szego–Askey polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .475Szego–Szasz inequality

Jacobi polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .451

tangent function . . . . . . . . . . see trigonometric functions.tangent numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596Taylor series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

asymptotic approximations for coefficients . . . . . . . . 65






946 Index

Taylor’s theoremone variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6, 18two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

tempered distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 52convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

term-by-term integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18terminant function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

incomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189tesseral harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .378test functions

distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Theorem of Ince

Mathieu’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653, 657theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

addition formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531applications


computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529–530

of ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531discrete analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532double products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .530duplication formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524fundamental parallelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532graphics

complex variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527–529real variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525–527

infinite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .529–530integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532Jacobi’s identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529Jacobi’s inversion formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532, 533Jacobi’s original notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524Jacobi’s triple product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529Landen transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531Laplace transform with respect to lattice parameter

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532lattice parameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .524

transformation of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531lattice points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .524limit forms as �τ → 0+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534McKean and Moll’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524Mellin transform with respect to lattice parameter

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532modular transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see Chapter 21.Neville’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524, 550nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

rectangular case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524transformation of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .530quasi-periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524Ramanujan’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .533Ramanujan’s change of base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533rectangular case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .524relations to other functions

Dedekind’s eta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532elliptic modular function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532Jacobi’s epsilon function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562Jacobian elliptic functions. . . . . . . . . . . . . . . .532, 550modular functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579Riemann zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . 532, 574

Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538Riemann with characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .539sums of squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534translation by half-periods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525values at z = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529Watson’s expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531Watson’s identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531with characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .525

Thomae transformation3F2 functions of matrix argument . . . . . . . . . . . . . . . 772

3j, 6j, 9j symbolsrelation to generalized hypergeometric functions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .407, 4183j symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758

angular momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765approximations for large parameters . . . . . . . . . . . . 764computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758Gaunt coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761Gaunt’s integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .761generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760graphical method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760projective quantum numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758recursion relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760Regge symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .759relations to other functions

Legendre functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .760rotation matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760

representation asfinite sum of algebraic quantities . . . . . . . . . . . . . . 758generalized hypergeometric functions. . . . . . . . . .758

special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759






Index 947

summation convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .760symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765triangle conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .765

Toda equationHermite polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

tomographyconfluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . . . 346

topsJacobian elliptic, or hyperelliptic, integrals . . . . . . 566

toroidal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371, 379toroidal functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .371

applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371hypergeometric representations. . . . . . . . . . . . . . . . . .371integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372Whipple’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

toruscomplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

transcendental equationsasymptotic solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

transcendental functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .724transition points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 63transport equilibrium

generalized exponential integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 190triangle conditions

3j symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758triangle inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15triangles

solution of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130triangular matrices

confluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . . . 345triconfluent Heun equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

addition formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112applications

cubic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131solution of triangles and spherical triangles . . . 130

approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Chebyshev-series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131conformal maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115–116graphics

complex argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113–115real argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

identities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116infinite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118integrals

definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122indefinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

inverse . . . . . . . . . . see inverse trigonometric functions.Laurent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Maclaurin series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118multiples of argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122partial fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112poles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123real and imaginary parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118relations to hyperbolic functions . . . . . . . . . . . . . . . . 123special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116squares and products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117sums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

triple integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9truncated exponential series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180turning points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 63

fractional or multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61two-body relativistic scattering

Lame polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694

ultraspherical polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438. . . . . . . . . . . see also classical orthogonal polynomials.addition theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .459applications

zonal spherical harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452case λ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445expansions in series of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460, 461Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450integral representations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .447, 448

for products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456interrelations with other orthogonal polynomials

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444–445, 448leading coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439limits to monomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444linearization formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460Mellin transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458






948 Index

normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436, 437orthogonality property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439parameter constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439, 443recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446relations to other functions

Ferrers functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .448hypergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . . . 393, 442

Rodrigues formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442special values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444tables of coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440upper bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450weight function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438, 454

umbilicsnormal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776

umbral calculusBernoulli and Euler polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 590

uniformizationalgebraic equations via Jacobian elliptic functions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564unity

roots of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

vacuum magnetic fieldstoroidal functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

validated computing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Van Vleck polynomials

definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .718

Van Vleck’s theorem for continued fractions . . . . . . . . 25Vandermondian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3variation of parameters

inhomogeneous differential equations . . . . . . . . . . . . . 26variation of real or complex functions . . . . . . . . . . . . . . . . 6

bounded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

variational operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44vector

equivalent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .542norms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

vector-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9–12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also parametrized surfaces.curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10del operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10divergence (or Gauss’s) theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10Green’s theorem

three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

line integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11path integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11reparametrization of integration paths

orientation-preserving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11orientation-reversing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Stokes’ theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also vector-valued functions.angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9cross product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

right-hand rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10dot product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Einstein summation convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Levi-Civita symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10magnitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 10right-hand rule for cross products . . . . . . . . . . . . . . . . 10scalar product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see dot product.unit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9vector product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .see cross product.

vibrational problemsMathieu functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .678

Voigt functionsapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168relation to line broadening function . . . . . . . . . . . . . 167tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

von Staudt–Clausen theoremBernoulli numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

Voronoi’s congruenceBernoulli numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

Waring’s problemnumber theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645

water wavesKelvin’s ship-wave pattern. . . . . . . . . . . . . . . . . .790–791Riemann theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545Struve functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Watson integralsAppell functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417generalized hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . 417

Watson’s 3F2 sumAndrews’ terminating q-analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Gasper–Rahman q-analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

Watson’s expansionstheta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .531

Watson’s identitiestheta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .531

Watson’s lemmaasymptotic expansions of integrals . . . . . . . . . . . . 44, 46

Watson’s sumgeneralized hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . 406

wave acousticsgeneralized exponential integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

wave equation






Index 949

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also water waves.Bessel functions and modified Bessel functions . . 276confluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . . . 346ellipsoidal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .693Mathieu functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .678oblate spheroidal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . 705–706paraboloidal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346prolate spheroidal coordinates . . . . . . . . . . . . . . 704–705separation constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693spherical Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276sphero-conal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .501

wave functionsparaboloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

waveguides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Weber function . . . . . . . . . . . see Anger–Weber functions.Weber parabolic cylinder functions

. . . . . . . . . . . . . . . . . .see parabolic cylinder functions.Weber’s function

. . . . . . . . . . see Bessel functions of the second kind.Weber–Schafheitlin discontinuous integrals

Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244Weierstrass M -test

. . . . . . . . . . . . . . see M -test for uniform convergence.Weierstrass elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .570

addition theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .577analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570applications


asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .578computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571duplication formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578equianharmonic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571–572, 574Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576graphics

complex variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573–574real variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571–572

homogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578infinite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577integral representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583equianharmonic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .574generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .571lemniscatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571–572, 574notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

pseudo-lemniscatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574rhombic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

Laurent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577lemniscatic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571–572, 574n-tuple formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571poles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .570power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .577principal value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577pseudo-lemniscatic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574quarter periods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576quasi-periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571relations to other functions

elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576general elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576Jacobian elliptic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575symmetric elliptic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509theta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

rhombic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574series of cosecants or cotangents . . . . . . . . . . . . . . . . .577tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570, 579

Weierstrass ℘-function. . . . . . . . . . . . . . . . . see Weierstrass elliptic functions.

Weierstrass product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Weierstrass sigma function

. . . . . . . . . . . . . . . . . see Weierstrass elliptic functions.Weierstrass zeta function

. . . . . . . . . . . . . . . . . see Weierstrass elliptic functions.weight functions

cubature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84–85definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79, 437Freud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475least squares approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99logarithmic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81–82minimax rational approximations. . . . . . . . . . . . . . . . .97quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79–80

weighted means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Weniger’s transformation

for sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Whipple’s 3F2 sum

Gasper–Rahman q-analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Whipple’s formula

associated Legendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362toroidal functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

Whipple’s sumgeneralized hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . 406

Whipple’s theoremWatson’s q-analog. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .429

Whipple’s transformationgeneralized hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . 407






950 Index

Whittaker functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334. . . . . . . . see also confluent hypergeometric functions.addition theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .345analytic continuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .334analytical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334applications

Coulomb functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .346groups of triangular matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 345physical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .346, 754uniform asymptotic solutions of differential equa-tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

asymptotic approximations for large parametersimaginary κ and/or µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340large κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341–342large µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339–341uniform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339–342

asymptotic expansions for large argument . . . . . . . 339error bounds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339exponentially-improved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335continued fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336differential equation. . . . . . .see Whittaker’s equation.expansions in series of. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .344integral representations

along the real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337contour integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .337Mellin–Barnes type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

integral transforms in terms of . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

compendia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .344Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Hankel transforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .343–344Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Mellin transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

interrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335large argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69limiting forms

as z → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335as z → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .335

multiplication theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .334principal branches (or values) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336relations to other functions

Airy functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338Coulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742, 748, 751elementary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .338error functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338incomplete gamma functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

Kummer functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334modified Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338orthogonal polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338parabolic cylinder functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

series expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344–345addition theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345in Bessel functions or modified Bessel functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344multiplication theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

Wronskians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335zeros

asymptotic approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343number of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Whittaker’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334fundamental solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335numerically satisfactory solutions . . . . . . . . . . . . . . . 335relation to Kummer’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334standard solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

Whittaker–Hill equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

separation constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678Wigner 3j, 6j, 9j symbols

. . . . . see 3j symbols, 6j symbols, and 9j symbols.Wilf–Zeilberger algorithm

applied to generalized hypergeometric functions . . 407Wilkinson’s polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Wilson class orthogonal polynomials . . . . . . . . . . 467–470

asymptotic approximations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .470definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469dualities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469interrelations with other orthogonal polynomials

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464, 468–469leading coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468normalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467–468notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436orthogonality properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .467relation to generalized hypergeometric functions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468–469transformations of variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467weight functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467–468

Wilson polynomials. . . . . . . . . . . see Wilson class orthogonal polynomials.

winding numberof closed contour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

WKB or WKBJ approximation. . see Liouville–Green (or WKBJ) approximation.

Wronskiandifferential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Wynn’s cross rule






Index 951

for Pade approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Wynn’s epsilon algorithm

for sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

zero potentialCoulomb functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753, 754

zeros of analytic functionscomputation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90–92conditioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92multiplicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19, 90simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

zeros of Bessel functions (including derivatives)analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281asymptotic expansions for large order

uniform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237asymptotic expansions for large zeros . . . . . . . . . . . 236

error bounds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236common . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235complex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235, 238computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277distribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235, 238–240double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235interlacing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235monotonicity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235of cross-products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

asymptotic expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238purely imaginary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235, 236relation to inverse phase functions. . . . . . . . . . . . . . .235tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132, 278with respect to order (ν-zeros) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

zeros of cylinder functions (including derivatives). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235–237

analytic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235asymptotic expansions for large order

uniform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236

asymptotic expansions for large zeros . . . . . . . . . . . 236forward differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235interlacing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235monotonicity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236relation to inverse phase functions. . . . . . . . . . . . . . .235

zeros of polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . see also stable polynomials.computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91–92conditioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92degrees two, three, four . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Descartes’ rule of signs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22division algorithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22elementary symmetric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22explicit formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Horner’s scheme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

extended. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22resolvent cubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23roots of constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23roots of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

zeta function . . . . . . . . . . . . . . . see Hurwitz zeta function,Jacobi’s zeta function, periodic zeta function, Rie-mann zeta function, and Weierstrass zeta function.

zonal polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .769applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773beta integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769Laplace integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769mean-value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769summation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .769tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

zonal spherical harmonicsultraspherical polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479






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