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1/30Prof. MSc. David Roza José[email protected]


Autovalores e Autovetores

Objetivos:

– Compreender a definição matemática de autovalores e autovetores;

– Compreender a interpretação física de autovalores e autovetores entro do

contexto de sistemas de engenharia que vibram ou oscilam;

– Saber implementar o método polinomial;

– Saber implementar o método da potência para avaliar o maior e menor

autovalor e seu respectivo autovetor;

– Saber utilizar a função eig do MATLAB.


Contexto

Na aula 09 – Sistemas Lineares, utilizamos um balanço de forças para prever a posição

de equilíbrio dos três saltadores. Tomou-se como hipótese que as cordas se

comportavam como molas ideais, e a solução do estado permanente reduziu-se a um

sistema linear de equações algébricas.

Ao observar o problema do ponto de vista da dinâmica, deve-se analisar a posição de

cada saltador como uma função do tempo. Para isso as condições iniciais (posição e

velocidade) devem ser prescritas.

Caso se resolvesse o sistema de equações diferenciais ordinárias para determinar a

resposta no domínio do tempo da posição dos saltadores poderíamos obter uma

resposta do tipo:


Contexto


Contexto

A resposta oscila bastante. Talvez as respostas no domínio do tempo tenham algum

padrão, mas é de difícil visualização.

Nesta aula veremos maneiras de extrair algo fundamental de um comportamento

aparentemente caótico; autovalores.

Os autovalores, ou valores caraterísticos do sistema, envolvem formular e resolver

sistemas de equações algébricas de uma maneira distinta das efetuadas até agora.

Para tal, veremos a interpretação matemática de autovalores.


Embasamento Matemágico

Vimos, até o momento, métodos que lidavam com conjuntos de equações algébricas da

forma:

Estes sistemas são chamados de não-homogêneos devido à presença do vetor {b} do

lado direito da igualdade. Se as equações que compõem tal sistema são linearmente

independentes (possuem determinante diferente de zero), o sistema possuirá uma

solução única.

De maneira contrária, um sistema homogêneo possui o lado direito da igualdade como

sendo zero:

Num primeiro momento o ímpeto é de afirmar que a única solução possível é a trivial,

na qual todos os elementos x valem zero.



Apesar de tal impressão ser verdadeira, problemas de autovalores possuem,

tipicamente, a forma geral:

tal que o parâmetro lambda é o autovalor. Assim, ao invés de definir o vetor {x} como

sendo zero, podemos determinar o valor de lambda que torna o lado esquerdo da

igualdade zero.

Uma das maneiras de se obter este resultado é tornando o determinante do sistema

como sendo zero.

Supondo que possuímos o caso de duas equações e duas incógnitas, obteremos o

seguinte sistema:



Ao se expandir a matriz de coeficientes obtemos:

Que é o quê se convenciona chamar de polinômio característico. Pode-se então

resolver para os dois autovalores:

Este método é chamado de método polinomial.


Exemplo: Método Polinomial

Utilizar o método polinomial para determinar os autovalores do seguinte sistema

homogêneo:

Antes de resolver o sistema, veremos o quê aconteceria caso possuíssemos um

autovalor incorreto. Suponhamos que lambda tenha o valor de 3.

Ao se plotar o sistema, obtém-se duas linhas retas que se cortam na origem. Assim, a

única solução é o caso trivial onde x1=x2=0.



Para determinar os autovalores corretos, expande-se o determinante para se obter o

polinômio característico.

Que pode então ser resolvido:

Para lambda=15, o sistema obtido e o gráfico são:



Para lambda=5 obtém-se:

Cujo gráfico é mostrado a seguir.


Função do MATLAB

O MATLAB possui uma função intrínseca para facilitar o método polinomial. A função

poly pode ser utilizada para gerar o polinômio característico através de:

A = [10 -5; -5 10]

p = poly(A)

p = 1 -20 75

Então a função roots pode ser utilizada para se calcular os autovalores:

d = roots(p)

d = 15

5



A solução de um sistema de n equações homogêneas resulta num conjunto de n

autovalores e seus autovetores associados.

Não só isso, mas os autovetores fornecem a razão das variáveis representando as

soluções.

Em suma: o cálculo de autovalores e autovetores reflete informação do conteúdo da

matriz de coeficientes para um escalar. Isto pode não parecer significativo para um

sistema 2x2, mas é bastante importante ao se considerar que o tamanho de uma matriz

de coeficientes pode ser potencialmente muito maior.


Embasamento Físico

Vamos supor que o sistema da figura não possua nenhuma força dissipativa agindo

sobre ele, e que as molas possuam o mesmo tamanho não perturbado e a mesma

constante elástica k; além de considerar que o deslocamento de cada mola é mensurado

em relação ao seu próprio sistema de coordenadas local.


Embasamento Físico

Assim, as equações que regem o balanço de força de cada massa é dado por:

Da teoria de vibrações, as soluções podem tomar a seguinte forma:

tal que Xi é a amplitude da oscilação da massa i e omega é a frequência angular de

vibração, sendo dada pela fórmula onde Tp é o período.


Embasamento Físico

A solução da posição é derivada duas vezes e substituída nas equações do balanço de

força, resultando em:

Neste ponto, a solução foi reduzida a um problema de autovalor. Neste caso, o autovalor

é o quadrado da frequência. Para um sistema com dois graus de liberdade, existirão dois

valores associado a seus autovetores.


Exemplo – Embasamento Físico

Suponhamos que as massas sejam m1=m2=40kg e que k=200N/m. A equação torna-se

idêntica à do problema anterior:

Assim já sabemos, de antemão, que os dois autovalores são w2=15 e 5 s-2 ; sendo os

autovalores correspondentes a X1=X2 e X1=-X2.

Estes resultados nos dão duas informações importantes. A primeira delas é em relação

aos modos de vibração, com frequências angulares de w=3.873 e w=2.36 rad/s.

Não temos como saber as amplitudes de antemão (elas dependem do estado inicial do

sistema). Entretanto, suas razões estão relacionadas pelos autovetores.


Exemplo – Embasamento Físico


Método da Potência

O método da potência é um procedimento iterativo para determinar o maior autovalor,

também conhecido como dominante. Com uma pequena modificação, também pode

ser utilizado para determinar o menor autovalor. Como vantagem adicional, o autovetor

correspondente é encontrado como um subproduto do método. Seja o sistema

analisado expressado da seguinte forma:


Exemplo – Método da Potência

Da mesma maneira que obtemos as equações para um sistema de duas massas e três

molas, podemos obter as equações para um sistema de três massas e quatro molas

entre duas paredes fixas:

Sejam todas as massas iguais a m=1kg e todas as constantes de mola iguais a k=20N/m,

o sistema pode então ser expresso na forma matricial.



Onde o autovalor lambda é o quadrado da frequência angular. Reescreve-se o sistema

da seguinte forma:



Como primeiro passo estimamos um valor inicial para os X’s do lado esquerdo da

igualdade. Uma primeira estimativa comum é supor que eles sejam todos 1. Utilizamos

estes valores para calcular o resultado do lado direito da igualdade.

Devemos então normalizar o lado direito para tornar o maior elemento do vetor como

sendo igual a um:



Assim, o fator de normalização é nossa primeira estimativa para o autovalor e o

autovetor correspondente é {1 0 1}T. Essa iteração pode ser expressa de forma matricial

como:

A próxima iteração consiste em multiplicar a matriz pelo autovetor da última iteração,

ou seja, por {1 0 1}T



O processo então é repetido:

E podemos, então, perceber que o processo passa a convergir. O autovalor estabiliza em

68.28427 e o autovetor em {-0.707107 1 -0.707107}T.


Método da Potência

Em algumas situações, o Método da Potência irá convergir no segundo maior autovalor

ao invés do primeiro.

Além disso, ao se trabalhar com [A]-1 ao invés de [A], o método convergirá no menor

autovalor.


Função do MATLAB: eig

A função eig retorna um vetor de autovalores da matriz fornecida.

e = eig(A)

retornará um vetor e contendo os autovalores da matriz quadrada A. De maneira

alternativa, o comando pode ser invocado como

[V,D] = eig(A)

tal que D é uma matriz diagonal contendo os autovalores e V é uma matriz cheia cujas

colunas são os autovetores correspondentes.

ANALISAR A MATRIZ DO EXEMPLO ANTERIOR


Informações

Exercícios: 13.2 13.5 13.10 13.13

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