« credibility theory is one of the cornerstones of

Les tarifs des réassureurs sont-ils crédibles?

« Credibility Theory is one of the cornerstones of actuarial science as applied to casualtyand property insurance »

Longley-Cook

Christine Finas | Mémoire | 2015


RésuméLe coeur de ce mémoire est l’étude de la théorie de la crédibilité et son application àla tarification des traités en excédent de sinistre en réassurance non-vie. L’objectif étantd’augmenter la fiabilité des taux de primes avancés par les actuaires tarificateurs.

L’actuaire qui souhaite tarifer un traité en excédent de sinistre a, en général, à sa dispo-sition, l’historique de sinistralité de la cédante, historique qui peut être plus ou moinslong selon l’ancienneté de la cédante sur le marché. Si la tranche qu’il cherche à coterest travaillante, il peut calculer un taux de prime uniquement à partir de ces données desinistres. Par contre, pour les tranches non travaillantes, les données se font plus rares cequi rend un taux uniquement basé sur l’expérience de sinistralité peu fiable. Les actuairesont alors recours à une tarification marché.

Ce mémoire s’intéresse aux situations intermédiaires pour lesquelles une méthode detarification basée sur l’expérience peut être envisagée mais n’est pas suffisante pour garan-tir la fiabilité du prix renvoyé. Il examine, pour ces situations particulières, le facteur decrédibilité à appliquer aux deux méthodes de tarification évoquées pour aboutir à un tauxde prime plus fiable.

Dans ce mémoire, nous travaillons avec les primes pures de réassurance (estimationsdes pertes attendues) et non avec les primes réellement souscrites. Nous tenons égalementà préciser que le terme crédibilité ne renvoie pas à un questionnement sur l’exactitude etla précision des données fournies par la cédante mais plutôt à un questionnement sur lepoids statistique à attribuer à ces données comme projection des pertes futures.

MOTS-CLÉS : Réassurance, tarification sur base expérience, tarification marché, cré-dibilité, approche bayésienne, incertitude des paramètres.



AbstractThis dissertation deals with the credibility theory and its application to the pricing ofexcess-ofloss treaties in non-life reinsurance. The objective is to increase the reliability ofpremium rates proposed by the actuaries and the underwriters.

The actuary who wants to price layers of an excess-of-loss reinsurance treaty generally hasat its disposal the claims of the cedent gathered from previous years of experience. Thishistorical database of losses may be long or short, depending on the age of the cedent onthe market. If the layer he wants to price is a working layer, he can determine a premiumrate from the cedent’s historical claims experience only. However, for non-working layers,because of the scant supply of data that is typical of reinsurance, the rate derived by anexperience-rating method is unreliable. Then actuaries may use information from themarket and resort to a market rating method.

This report focuses on intermediate situations for which an experience-rating methodmay be considered but is not enough to guarantee reliability of the calculated rate. Itexamines, for these particular situations, the credibility factor to be applied to the twoaforementioned pricing methods in order to produce a more reliable premium rate.

In this report, we work with reinsurance pure premiums (estimates of the expectedlosses) and not with premiums actually subscribed. We should also point out that whenwe use the term credibility, we are not questioning the accuracy of the data provided bythe cedant, but noting its partial statistical weight as a projection of future expectations.

KEYWORDS : Reinsurance, experience rating, market rating, credibility, bayesian ap-proach, uncertainties of parameters.



RemerciementsJ’adresse un grand merci à Cécile Vuong et Alpha Bah, qui ont été successivement mestuteurs au cours de cette alternance. Je tiens à les remercier pour les précieux conseilsqu’ils m’ont prodigués.

J’adresse également mes remerciements à Stéphane Bonche, Mark Cockroft et PietroParodi qui ont eu la gentillesse de répondre à mes questions concernant leurs articlesmalgré leur emploi du temps chargé.

Je saisis l’occasion de remercier Sophia Mealy, mon ancienne tutrice, pour m’avoir donnéla chance de découvrir le monde de la réassurance lors d’un stage à Novae Re à Zürich etpour m’avoir proposé son aide lors de l’élaboration de ce mémoire.

Je n’oublie pas non plus tous ceux qui m’ont apporté leur aide par leurs relectures atten-tives, leurs corrections et suggestions. En particulier, mes parents, ma tante ainsi que mestuteurs, Nabil et Alpha. Je leur en suis très reconnaissante.

Enfin, je tiens à remercier du fond du coeur mes parents pour leur soutien sans faille toutau long de mes années d’études.



Sommaire

I Contexte : La réassurance vue par un actuaire tarificateur 2

1 Introduction Générale 31.1 Les fondamentaux de la réassurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Organisation de l’activité de réassurance . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 L’histoire de la réassurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Les différents traités de réassurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Réassurance proportionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Réassurance non proportionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 La Caisse Centrale de Réassurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Tarification 112.1 Contexte d’une cotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Appréciation de la fiabilité des données . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Branches courtes, branches longues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3 Tranches travaillantes, tranches non travaillantes . . . . . . . . . . 122.1.4 Les clauses particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.5 Prime pure, prime technique et prime commerciale . . . . . . . . . 132.1.6 Les différents modes de versement de la prime . . . . . . . . . . . 14

2.2 Tarification sur expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Préparation des données : obtention d’une statistique “as if” . . . . 152.2.2 Méthode non paramétrique : le Burning Cost . . . . . . . . . . . . 162.2.3 Méthode paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.4 Un exemple de cotation en branche longue . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Tarification marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.2 Construction d’une courbe marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.3 Les outils benchmark : d’autres approches marché . . . . . . . . . . 31

II Les modèles de crédibilité en réassurance 35

3 La théorie de la Crédibilité 383.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 La théorie de la fluctuation limitée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1 Crédibilité totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.2 Crédibilité partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3 Limites de la crédibilité américaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Crédibilité bayésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.1 Langage bayésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.2 Le modèle de Bühlmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.3 Le modèle de Bühlmann-Straub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.4 Le cas particulier du modèle Poisson/Gamma . . . . . . . . . . . . 49



4 La crédibilité bayésienne appliquée à la réassurance 524.1 L’approche purement fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.1 Transposition des modèles de Bühlmann et Bühlmann-Straub . . . 524.1.2 Interprétation du facteur de crédibilité . . . . . . . . . . . . . . . . 544.1.3 Mise en oeuvre du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Approche combinant fréquence et sévérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2.1 Modélisation de l’intensité des sinistres . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2.2 Expression analytique exacte du facteur de crédibilité . . . . . . . . 584.2.3 Implémentation informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.4 Mise en oeuvre du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3 Calibration des modèles précédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.1 Calibration empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.2 Calibration par simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3.3 Mise en oeuvre sur un exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4 Limites des modèles bayésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.4.1 Une mise en oeuvre critiquable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.4.2 Des modèles reposant sur une hypothèse contraignante . . . . . . . 734.4.3 Des modèles incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 Crédibilité des Incertitudes 745.1 Le modèle de Bonche et Parodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1.1 Contexte général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.1.2 Application à la réassurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2 Modélisation de la corrélation et des incertitudes . . . . . . . . . . . . . . 775.2.1 Incertitudes relatives au taux de prime du client et au taux marché 775.2.2 Incertitude liée à l’hétérogénéité du portefeuille . . . . . . . . . . . 785.2.3 Modélisation de la corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3 Mise en oeuvre du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

III Cas pratique

Application au marché britannique de l’automobile 81

6 Présentation de l’étude et préparation des données 836.1 Présentation du marché de la réassurance automobile britannique . . . . . 83

6.1.1 Spécificités du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.1.2 Choix du portefeuille marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.2 Préparation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2.1 Formatage et uniformisation des triangles de sinistralité . . . . . . 866.2.2 Agrégation des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7 Mise en oeuvre des modèles de crédibilité 897.1 Validation de l’hypothèse des modèles fréquentiels . . . . . . . . . . . . . 89

7.1.1 Le test de Kolmogorov-Smirnov pour deux échantillons . . . . . . . 897.1.2 Résultats obtenus sur nos données . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.2 Calculs des primes individuelles et des primes marché . . . . . . . . . . . 907.3 Calculs des facteurs de crédibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.3.1 Aperçu modèle par modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.3.2 Récapitulatif des procédures à utiliser pour chaque modèle . . . . . 93

8 Résultats et conclusions 958.1 Illustrations de quelques résultats théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.1.1 Modèles bayésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.1.2 Modèle non bayésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.2 Choix du portefeuille marché : lacune théorique des modèles de crédibilité 988.2.1 Une question préoccupante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98



8.2.2 Sans réponses théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9 Bilan et Perspectives 1019.1 Bilan comparatif des différents modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.2 Limites de l’étude et recherches ultérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.2.1 Généralisation à un marché quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 1039.2.2 Prise en compte de la qualité des données . . . . . . . . . . . . . . 1039.2.3 Processus de tarification du taux marché . . . . . . . . . . . . . . . 103

A Lois de distribution de fréquence et d’intensité 111A.1 La loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111A.2 La loi Binomiale Négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112A.3 La loi de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112A.4 La loi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

B Frise chronologique de la crédibilité appliquée à la réassurance 116

C Modèle de Cockroft 117

D Code WinBUGS pour le modèle Poisson-Pareto 118

E Résultats des tests de Kolmogorov-Smirnov 119

F Résultats obtenus pour les modèles bayésiens 120

G Résultats obtenus pour le modèle non bayésien 122

H Compléments - Modèles bayésiens 126

I Compléments - Modèle non bayésien 128



Préambule

Comme dans toute entreprise, fixer un prix de vente est une tâche très importante. Enréassurance, la fixation du prix de vente, appelée la cotation, est encore plus délicatedans la mesure où le “prix de revient” ne peut pas être connu avec certitude. Il ne peutêtre qu’estimé. Il est donc impératif pour les réassureurs de mettre en place des modèlespermettant d’estimer ce prix au plus juste en fonction des données disponibles afin de fairepreuve de crédibilité vis-à-vis de leurs clients.

Placée sous la responsabilité d’Hervé Nessi, directeur du Département Etudes TechniquesRéassurance de Marché, j’ai participé, pendant cette année d’alternance, à la tarificationdes traités de réassurance non-vie, notamment lors des périodes de renouvellement. Il étaitalors naturel que mon sujet de mémoire s’articule autour de la tarification. Rattachée àl’équipe d’actuaires du pôle tarification du Département Etudes Techniques Réassurance deMarché, j’ai travaillé en collaboration avec plusieurs équipes au sein du groupe, notammentle pôle Modélisation/Optimisation, le pôle Sinistres/Commutations ainsi que les équipesde souscriptions de la direction Traités Non Vie. J’ai également pu échanger sur les aspectsscientifiques avec Stéphane Bonche 1, Mark Cockroft 2 et Pietro Parodi 3 qui ont tous lestrois publié des articles sur l’application de la théorie de la crédibilité à la réassurance.

Ce mémoire est divisé en trois grandes parties. La première partie permet de bien com-prendre les rouages du monde de la réassurance. Elle décrit également les grandes étapesdu processus d’une cotation en réassurance. La deuxième partie de ce rapport présente lesmodèles de crédibilité et s’intéresse à ceux qui peuvent être appliqués à la réassurance.Nous décrivons tout d’abord la crédibilité bayésienne qui permet de définir un cadrecommun pour les modèles suivants : Bühlmann et Bühlmann-Straub. Nous présentonsensuite une deuxième approche plus intuitive fondée sur les incertitudes relatives auxerreurs commises lors du processus de cotation. Enfin, la dernière partie présente lesrésultats obtenus pour le marché de la réassurance automobile britannique et permetd’analyser la cohérence des différents modèles de crédibilité étudiés.

Un néophyte ne pourra pas faire l’impasse de la première partie s’il veut comprendreles modèles présentés aux chapitres 4 et 5 mais les lecteurs familiers avec la réassuranceet la tarification sont encouragés à commencer leur lecture directement au chapitre 3qui ouvre la deuxième partie. La troisième et dernière partie, quant à elle, est totalementdépendante de la deuxième. Par ailleurs, nous tenons à préciser que la structure de cemémoire est plus complexe qu’une simple opposition théorie/application. En effet, denombreuses illustrations et plusieurs applications viennent étayer les propos des deuxpremières parties.

1. Stéphane Bonche est diplômé de l’Institut des Actuaires Français, a rédigé son mémoire sur la crédibilitéappliqué à la réassurance et a travaillé pendant plusieurs années à New Re.

2. Mark Cockroft est un actuaire qualifié membre de l’institut des actuaires britanniques, the Institute andFaculty of Actuaries. Il occupe le poste de directeur de l’actuariat à Qatar Re.

3. Pietro Parodi est également un actuaire qualifié britannique. Il est actuellement directeur à Swiss Re.

Christine Finas | Mémoire | 2015 1


Partie I

Contexte : La réassurance vuepar un actuaire tarificateur



Chapitre 1

Introduction Générale

1.1 Les fondamentaux de la réassurance

1.1.1 Généralités

1.1.1.1 Définition

La réassurance est l’assurance des sociétés d’assurance. Dans une opération de réassurance,une société d’assurance, la cédante, s’assure elle-même auprès d’une société dite deréassurance, le cessionnaire.

1.1.1.2 Principe

La réassurance permet aux compagnies d’assurance de transférer une partie de leur risqueet de se prémunir notamment contre la survenance d’événements extrêmes qui pourraientmettre en péril leur solvabilité. La réassurance concerne principalement les grands risquesindépendants (avion, navire, usine, etc.), les risques émergents (pollution, atome, res-ponsabilité civile professionnelle,etc.) et les risques extrêmes (catastrophe naturelle, crisepolitique, défaillance technologique).

Il existe deux formes principales de contrat de réassurance, le traité et la facultative.Dans le cas d’un traité, la cédante cède une partie de son portefeuille qui peut contenirjusqu’à plusieurs millions de polices. Le réassureur s’appuie alors sur sa connaissance de lacédante et de ses pratiques de souscription pour évaluer le risque et tarifer le contrat. Dansle cas d’une facultative, la cédante cède au réassureur tout ou partie d’un risque couvertpar une police d’assurance unique et c’est donc principalement la connaissance du risqueparticulier associé à la police qui déterminera le coût de la couverture. Il est souvent faitappel à des ingénieurs ou à des experts plutôt qu’à des actuaires pour la tarification descontrats de réassurance facultative.

A cette première distinction entre traités et facultatives, s’ajoute une différenciation selonle mode de souscription qui peut être proportionnel ou non-proportionnel. Dans le premiercas, il s’agit essentiellement de la réassurance Quote-Part ou QP (Quota Share) pourlaquelle tous les élements du risque (capital, primes et sinistres) sont partagés proportion-nellement entre l’assureur et le réassureur. Dans le second cas, le réassureur n’interviendraque sur une tranche, c’est-à-dire qu’à partir d’un seuil, la priorité, et dans la limite d’uncertain plafond, la portée. Il s’agit le plus souvent de réassurance en excédent de sinistre(XS, Excess of Loss, XL) ou en excédent de perte annuelle (Stop Loss). Les spécificités dechacun de ces traités seront expliquées plus en détails dans la partie 1.2.

En outre, on distingue plusieurs branches et sous-branches en réassurance. Il existeune première distinction entre la réassurance vie et la réassurance non vie. Ensuite, laréassurance non vie qui, malgré la récente progression du marché de la réassurance vie,



reste le marché majoritaire, se divise entre la réassurance de personnes, la réassurance deresponsabilité civile et la réassurance de biens.

Facultatives Proportionnelles

48%

Traités Proportionnels

47%

Traités Non Proportionnels

48%

Facultatives Non Proportionnelles

2%

Non Vie64%

Vie36%

FIGURE 1.1 – Répartition des primes brutes cédéesSource : FFSA 2013

Le diagramme circulaire à droite sur la figure 1.1 montre que les contrats de réassurancefacultative restent marginaux. Dans la suite du mémoire, on ne s’intéressera qu’aux traitésde réassurance.

1.1.1.3 Un marché cyclique

On observe sur le marché de la réassurance des cycles plus marqués que pour la plupart desautres secteurs. Le mécanisme est simple : lorsque les taux de prime sont élevés, l’offre deréassurance va croissante sur le marché car de plus en plus d’acteurs financiers sont attiréspar les rendements élevés du secteur. Ce faisant, la concurrence s’exacerbe et les taux deprimes décroissent jusqu’à ce que le secteur ne soit plus rentable. Plusieurs réassureurssont alors contraints de se retirer ou font faillite, l’offre de réassurance se contracte etles taux de primes remontent. Lorsque les prix sont élevés, on dit que l’on est en “Hardmarket”. Au contraire, lorsque les prix sont bas, on dit que l’on est en “Soft market”.

Ce sont fréquemment des catastrophes naturelles qui marquent la fin d’un cycle et ledébut d’un autre. Car qui dit catastrophe naturelle dit, bien souvent, sinistres graves syno-nymes de pertes importantes. Et qui dit pertes importantes dit majoration draconiennedes primes de réassurance. La figure 1.2 illustre les principaux cycles sur le marché de laréassurance depuis le début des années 1990.

20

40

60

80

100

120

140in Mio USD

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

Andrew

Kobe

FloydBartMartin

LotharAnatol Jeanne

IvanSongdaFrancesCharley

KatrinaRitaWilma

Kyrill

TdT Japon

Inondations THA

TdT NZLTornades US

Irene

FIGURE 1.2 – Montants agrégés des sinistres évènements naturels majeurs de 1991 à 2011



1.1.1.4 La gestion des risques au coeur de la réassurance

Une grande partie de la valeur économique d’un réassureur réside non seulement dans saconnaissance des risques traditionnels et dans la qualité de ses relations avec ses cédantes,mais aussi dans sa capacité à identifier des risques émergents et à proposer des solutionsadaptées pour les couvrir. Pour gérer les risques traditionnels qu’il souscrit chaque année,un réassureur s’appuie sur une équipe commerciale de souscripteurs, internationale etpolyvalente, qui lui permet d’obtenir, à l’aide des courtiers, un portefeuille de risquediversifié offrant un bon rapport rendement/risque. Le réassureur peut en outre céder luiaussi une partie de son risque en se tournant vers un rétrocessionnaire. Diversification etrétrocession sont les deux outils principaux dont dispose le réassureur pour gérer le risque.

1.1.1.5 Les indicateurs de performance

Le principal indicateur de performance d’un réassureur est le ratio combiné (CombinedRatio), rapport des sinistres payés ou à payer ajoutés aux coûts administratifs sur lesprimes acquises. Exprimé en pourcentage, il indique, lorsqu’il est supérieur à 100%, quele réassureur est techniquement en perte. Notons toutefois que le réassureur réalise desprofits financiers par le placement des primes acquises et peut donc réaliser des profitsmême avec un ratio combiné supérieur à 100%. La notation financière est également unélément très important pour un réassureur dans la mesure où elle lui permettra ou pas deséduire à la fois ses clients et ses investisseurs, tous très à l’écoute de l’avis des agences denotation sur la solvabilité du réassureur.

1.1.1.6 Quelques chiffres

Au niveau mondial, le marché de la réassurance a généré, en 2014, un chiffre d’affaires brutd’environ 245 milliards de dollars, en progression de 2% par rapport à l’année précédente.Le ratio combiné de l’ensemble du secteur était de 96% en 2014. 1

1.1.2 Organisation de l’activité de réassurance

1.1.2.1 Les renouvellements en réassurance

La plupart des contrats ont une durée d’un an avec pour date d’effet schématiquementle 1er janvier sur le marché européen, 1er avril sur le marché asiatique et 1er juilletpour le marché américain. Chaque année les contrats de réassurance sont renouvelésdurant la période de renouvellement. Les renouvellements de fin d’année couvrant lapériode s’étalant de fin septembre à début janvier sont les plus importants et marquenttraditionnellement le pic d’activité chez les réassureurs, les courtiers de réassurance et ledépartement cession des cédantes.

1.1.2.2 Le processus de cotation d’un contrat de réassurance

La compagnie d’assurance qui a besoin de se réassurer pour certains risques va approcherun courtier pour établir un programme de réassurance. Une fois ce programme de réas-surance établi, le courtier va contacter plusieurs compagnies de réassurance auxquellesil va demander de coter l’affaire et d’indiquer la part maximum qu’elles seraient prêtesà souscrire. Notons que l’assureur est libre de placer tous ses contrats chez le mêmeréassureur. Toutefois, en général pour limiter son risque de crédit, l’assureur cède soncontrat non pas à un seul réassureur mais à un pool de réassureurs. Sans compter que, surun contrat donné, les souscripteurs ne sont pas autorisés à s’engager au delà d’une certainelimite, la capacité de souscription (fixée préalablement par la compagnie de réassurance),il est donc rare qu’ils prennent le risque à 100%.

Une fois les cotations et parts récupérées, la compagnie d’assurance conjointement avecle courtier va choisir un taux qu’elle va essayer de placer sur le marché pour approcher

1. Source : Fédération Française des Sociétés d’Assurances



d’autres réassureurs à qui elle n’avait pas demandé de coter. La compagnie d’assurancechoisit également un apériteur, généralement il s’agit du réassureur dont le taux a été re-tenu (réassureur leader). Ce réassureur est désigné pour représenter le pool de réassureurset est responsable de la partie contractuelle c’est-à-dire de l’élaboration du contrat ainsique des négociations éventuelles. Si la somme des parts acceptées par les réassureurs estsupérieure à 100%, on dit que le contrat est surplacé et tous les réassureurs n’obtiendrontpas la totalité de ce qu’ils avaient demandé. Si, au contraire, la somme des parts acceptéesest inférieure à 100%, on dit que le programme est sous-placé. C’est là que la partienégociation commence. Par exemple, on peut essayer de négocier avec certains réassu-reurs pour qu’ils prennent plus que ce qu’ils avaient accepté intialement moyennant uneaugmentation de part sur d’autres traités du même client que ces réassureurs voudraientobtenir.

1.1.3 L’histoire de la réassurance

C’est le développement du commerce maritime, depuis l’antiquité jusqu’à la renaissance,qui, progressivement, poussa à l’élaboration des mécanismes de transfert de risque et demutualisation. Le code d’Hammourabi, adopté par les babyloniens au XVIII ème siècleavant notre ère, confère à l’assurance les prémices d’un cadre juridique. Au VI ème siècleaprès J.C, l’empereur Justinien codifie le “prêt à la grosse aventure” ou nauticum foenus.Ainsi, selon le Corpus juris civilis, lorsqu’un marchand effectue un prêt pour acheter unvaisseau, il a la possibilité de payer une prime additionnelle lui garantissant l’annulationdu prêt en cas de vol ou de perte du bâtiment en mer.

Le premier contrat de réassurance est signé en 1370, à un moment où le commercemaritime est en plein essor, favorisé notamment par la décision prise par le comte deFlandre en 1310 de créer une chambre de l’assurance à Bruges. Deux assureurs vénitiensqui couvraient alors la marchandise d’un bateau effectuant la liaison entre le port de Gêneset la ville de L’Ecluse aux Pays-Bas, décidèrent de céder le risque à un troisième assureursur la partie la plus risquée du voyage, à partir du détroit de Gibraltar lors de l’escale àCadix en Espagne, et ce jusqu’au passage du golfe de Gascogne.

C’est à Londres, au Royaume-Uni, que la première organisation moderne d’assurancevit le jour sous la forme du Hand-in-Hand Fire Office, créé en 1696 en réponse au grand in-cendie de Londres de 1666. La première société d’assurance fût créée en 1710 sous le nomde Sun Fire et très rapidement, des sociétés d’assurance virent le jour et se développèrentdans tous les pays occidentaux, notamment au Royaume-Uni, en Allemagne et en France.

La réassurance moderne est apparue en Allemagne au moment de la révolution industrielle.Le Grand Incendie d’Hambourg en 1842 incita les usines et autres complexes industrielsà souscrire des polices d’assurance. Les sociétés d’assurance allemandes eurent alors deplus en plus de mal à satisfaire cette demande croissante et décidèrent de recourir àdes techniques de réassurance. C’est dans ce contexte que fût fondé, en 1846, CologneRe (Kölnische Rück). Dès lors, de nombreuses sociétés spécialisées uniquement dans laréassurance émergèrent et la réassurance se mit à couvrir à peu près toutes les branches surtous les marchés d’assurance mondiaux. Cependant l’offre et la demande de réassurancerestent beaucoup plus fortement implantée dans les pays développés, l’offre de réassu-rance provenant essentiellement de quelques pays occidentaux (Allemagne historiquement,Suisse, Royaume-Uni, États-Unis, France).

1.2 Les différents traités de réassurance

1.2.1 Réassurance proportionnelle

Quel que soit le type de traité, le réassureur reçoit une prime de réassurance qui correspondà un certain pourcentage de l’estimation de la prime versée par l’ensemble des assurés à la



cédante pour la période de couverture (communément désignée par l’abréviation anglaiseEPI pour “Estimated Premium Income”). Dans le cas d’un traité proportionnel, le mêmepourcentage est utilisé pour déterminer ce que le réassureur doit verser à la cédante en casde sinistre. Ainsi, pour un traité proportionnel, ce que le réassureur paye est directementlié à ce qu’il reçoit.

1.2.1.1 Traité Quote-Part

Il s’agit de la forme la plus simple de réassurance. Pour ce type de traité, un taux decession x% est défini. Le réassureur s’engage alors à prendre en charge x% de tous lesrisques du portefeuille considéré moyennant le pourcentage x% de la prime perçue pource portefeuille.

0

4M

3M

2M

1M

Taux de cession= 30%

Conservation de l’assureur

Part du réassureur

FIGURE 1.3 – Traité Quote-Part avec un plein de conservation de 70%

Ce type de couverture est intéressant pour les cédantes disposant d’un capital insuffisantet désirant se développer. En effet, la cédante peut souscrire plus de primes pour le mêmeniveau de capital tout en maintenant sa marge de solvabilité. Par contre, ce type de traiténe permet pas d’obtenir un lissage des résultats dans le temps. En effet, le ratio S/Pdemeure le même avant et après application du Quote-Part. De plus, ce type de traité nepermet pas de se protéger contre la survenance de sinistres extrêmes.

1.2.1.2 Traité Excédent de Plein

Dans le cas d’un Quote-Part, comme le montre la figure 1.3, le réassureur est impliquédans tous les sinistres même les plus petits. Cela n’est pas nécessairement la meilleurestratégie pour la cédante. En effet, les petits risques sont plus fréquents et donc mieuxmaitrisés que les grands risques. De plus, ces risques représentent en général le plus grandnombre de polices du portefeuille de la cédante. C’est pourquoi, certaines préférerontconserver une plus grande partie de la prime (et donc les petits sinistres) et bénéficierd’une protection proportionnelle uniquement pour les risques les plus importants. Cescédantes souscriront alors un traité en Excédent de Plein.

Pour un Excédent de Plein, à la différence du Quote-Part, le taux de cession est défini pourchaque police selon la formule suivante :

xi = min

max

Si −RSi

, 0

,C

Si

Si est la somme assurée totale pour la police noi. R désigne le “plein de rétention”, souventappelé simplement “plein” et correspondant au montant maximal que la cédante souhaite



payer par sinistre. C, enfin, est la capacité de l’Excédent de Plein qui est communémentdéfini en nombre de pleins. R et C sont définis contractuellement.

Ainsi

− Si Si ≤ R, la cédante conserve entièrement le risque de la police noi.

− Si R < Si ≤ C, la cédante cède Si−RSi

% au réassureur

− Si Si > C, la cédante cède CSi

% au réassureur.

0

4M

3M

2M

1M

R = 1 Plein = 0.5M

C = 3 Pleins = 1.5MConservation de l’assureur

Part du réassureur

FIGURE 1.4 – Traité en Excédent de Plein avec un plein de conservation de 0.5M et une capacité de3 pleins

1.2.2 Réassurance non proportionnelle

1.2.2.1 Traité Excédent de Sinistre

En général, un traité en Excédent de Sinistre (abrégé par “traité XS”) est découpé enplusieurs tranches. Toutefois, il se peut que le traité ne comporte qu’une seule tranche. Lalimite basse et la capacité d’une tranche sont appelées respectivement priorité (“deducti-ble” en anglais) et portée (“limit” en anglais). Les priorités et portées des différentestranches sont définies contractuellement. En pratique, on écrit les tranches de réassurancede la façon suivante : portée xs priorité.

Si on appelle X le montant d’un sinistre couvert par un traité XS à une tranche et Sle sinistre à charge du réassureur, on a :

S = min max X − priorité, 0 , portée

Il se peut qu’un événement touche un nombre important de polices dans le portefeuilled’une cédante mais sans qu’un seul des sinistres occasionnés ne dépasse la priorité définiecontractuellement (du type du sinistre no1 de la figure 1.5). Les tempêtes françaises de1999 en sont un exemple. Afin de ne pas laisser la cédante à découvert dans ce genrede situation, plusieurs modes de fonctionnement ont été définis pour un XS. Il peutfonctionner par risque (“risk attaching basis” en anglais), par événement (“losses occurringbasis” en anglais) ou encore “par risque et par événement”.



0

2M

3M

6M

T 1

T 2

1 2 3 4


Charge de T 1

Charge de T 2

portée 1

portée 2

priorité 1

priorité 2

FIGURE 1.5 – Représentation graphique d’un traité XS en deux tranches

− Lorsque le traité XS que l’on doit coter est défini par risque, le traité s’applique àchaque sinistre survenant durant la période de couverture.

− Lorsque le traité est défini par événement, le traité s’applique au montant cumuléde tous les sinistres causés par un même événement. Il peut s’agir d’une catas-trophe naturelle (tremblement de terre, tempête,...) ou humaine (attentat terroriste,émeute,...). Il faut signaler que la définition de l’événement doit être stipulée aupréalable dans le contrat afin d’éviter tout litige.

− Lorsque la couverture est définie par risque et par événement, la cédante est couvertepour tout type de sinistre, événementiel ou individuel.

0

4M

3M

2M

1M

catastrophe

priorité

FIGURE 1.6 – Fonctionnement d’un traité XS par événement

1.2.2.2 Traité Stop-Loss

Pour des risques à caractère cyclique et très localisés géographiquement, comme la grêleou les orages, ce n’est pas tant la sévérité des sinistres mais plutôt leur fréquence quipourrait compromettre le résultat d’une année. Pour ce type de sinistres, l’XS par risqueest sans grand intérêt. L’XS par événement n’est pas d’un grand secours non plus car ce



dernier sert à se protéger contre la survenance d’un événement exceptionnel, une catas-trophe, qui occasionnerait de multiples sinistres individuels. Or, un orage exceptionnel,par exemple, n’aura pas nécessairement un gros impact sur le résultat d’une année tandisqu’un nombre important d’orages pourra mettra en péril ce résultat. D’où la nécessité dutraité en excédent de perte annuelle plus communément appelé Stop-Loss.

Le fonctionnement d’un Stop-Loss est identique à celui d’un Excédent de Sinistre à ladifférence que les limites du traité ne sont pas exprimées sous la forme de montants maisde rapports sinistres sur primes. Si l’on note Xii=1...n les sinistres de la cédante durantla période de couverture, P la somme des primes acquises par la cédante et S le sinistre àcharge du réassureur, on a :

S = min

max

∑Xi

P− priorité, 0

, portée

× P

1.3 La Caisse Centrale de Réassurance

La Caisse Centrale de Réassurance (CCR) a été créée en 1946 par les pouvoirs publicsfrançais en tant qu’Etablissement Public à Caractère Industriel et Commercial (EPIC). A sacréation, elle avait pour vocation de favoriser le contrôle de l’industrie des assurances.

La CCR se range aujourd’hui parmi les vingt-cinq premiers réassureurs mondiaux, lesquatre premières places étant occupées dans l’ordre par Munich Re, Swiss Re, HanoverRe et SCOR. L’entreprise intervient dans la plupart des branches et des marchés de laréassurance internationale (et compte plus de 3 500 clients répartis dans plus de 120 pays).Elle est organisée en trois pôles opérationnels : le siège social à Paris pour la région Europeet Asie et deux succursales, l’une à Toronto pour le Canada et la deuxième à Beyrouthau Liban pour l’ensemble des pays du Moyen-Orient, y compris Chypre et l’Afrique du Nord.

Avec plus de 270 collaborateurs dans le monde, la CCR a réalisé en 2014 un chiffred’affaires de 1.3 Milliards d’euros. L’activité Non-Vie, ventilée autour de deux segments,traité et business solutions & spécialités représente un peu moins de la moitié du porte-feuille du groupe (44%).

En outre, une convention passée avec les pouvoirs publics habilite la CCR à offrir des cou-vertures en réassurance avec une garantie de l’État pour certaines catégories particulièresd’assurance sur le territoire français, concernant notamment le domaine des catastrophesnaturelles. Cette garantie de l’État ne confère pas pour autant à la CCR le monopole de laréassurance des catastrophes naturelles. En effet, tout assureur reste libre de se garantirauprès du réassureur de son choix, voire de prendre le risque de ne pas se réassurer. Il n’enreste pas moins que la CCR apporte au régime d’indemnisation des catastrophes naturellesune garantie de solvabilité et de sécurité pour les assurés.



Chapitre 2

Tarification

L’objectif de ce mémoire n’est pas de fournir une description complète des méthodes detarification utilisées en réassurance non-vie, sujet trop vaste et trop ardu pour être traitéen intégralité dans cette partie. Néanmoins, nous présenterons les différentes étapes duprocessus de cotation, leurs intérêts et leurs fonctionnements, étapes qu’il faut connaîtrepour aborder sereinement la suite du mémoire. En outre, dans cette partie, nous nousintéresserons exclusivement aux traités en excédent de sinistre. De ce fait, nous n’aborde-rons pas la tarification des traités proportionnels qui est assez différente puisqu’elle ne setraduit pas par un calcul de prime mais par un calcul de rentabilité.

2.1 Contexte d’une cotation

2.1.1 Appréciation de la fiabilité des données

Effectuer une cotation ce n’est rien moins qu’attribuer un prix à un programme de réassu-rance. Le prix proposé doit garantir en espérance l’atteinte des objectifs de rentabilité. Pourmener à bien cette tâche, l’actuaire doit tirer parti au maximum de toute l’information quilui est transmise. Il n’est pas question pour lui de trier ou de sélectionner cette information.Car en réassurance, contrairement à l’assurance où l’actuaire dispose d’une profusiond’informations par client qu’il doit trier et sélectionner pour construire son tarif, la quantitéd’information disponible est restreinte ce qui laisse une grande place à l’incertitude.

Le courtier transmet successivement au réassureur :

− La note de couverture (Slip) détaillant le type de couverture, les conditions négociées.

− Le document contractuel (Wording) définissant plus en détail les règles et conditionsdu contrat de réassurance que chaque partie doit signer.

− Les statistiques de la cédante constituées de l’historique des primes globales perçuespar la cédante, de celui des sinistres FGU (From Ground Up en anglais qui signifie àpartir du premier euro) et assez souvent de l’évolution de la mesure d’exposition.

Il est important que l’actuaire lise attentivement ces documents afin de pouvoir appré-hender la nature du risque couvert. Il doit être particulièrement attentif à l’évolution desassiettes de primes et à l’évolution de l’exposition au risque. Malheureusement, d’unecotation à l’autre, l’information dont dispose l’actuaire tarificateur varie extrêmement, tantpar sa forme que par son contenu, selon les cédantes, les courtiers et les pays. Et il arrivebien souvent que les informations fournies soient insuffisantes ou pas assez détaillées, ils’ensuit alors de nombreux échanges entre le réassureur et le courtier afin de clarifier lespoints nécessaires. Ainsi, par exemple, le courtier ou la cédante peuvent avoir sélectionnéles exercices constituant la statistique de sorte à laisser tomber une année lourdementdéficitaire.



2.1.2 Branches courtes, branches longues

Il existe en réassurance deux types de branches. Les branches à développement court dites“short-tail” et les branches à développement long dites “long-tail” que l’on abrègera enbranches courtes et branches longues par la suite. Cette distinction fait référence au tempsnécessaire pour obtenir une évaluation correcte des montants de sinistres. Alors que cer-tains sinistres vont pouvoir être évalués et donc réglés très rapidement, d’autres se règlenten un temps très long. La branche incendie, par exemple, est une branche courte alors quela branche responsabilité civile automobile (RC auto) est une branche longue. Pour cettedernière branche, en fonction des marchés, on peut avoir un déroulement compris entre15 et 20 ans. Par exemple, on conçoit aisément que le “coût” d’une tétraplégie suite à unaccident de voiture sera plus difficile à apprécier que celui d’un incendie de maison. Eneffet, pour déterminer les conséquences des préjudices corporels sur la santé de la victime,il faut attendre que son état se stabilise pour connaître l’évaluation finale du coût total del’accident.

Lorsque l’on effectue une cotation, il est nécessaire de choisir un horizon de modéli-sation ou, autrement dit, une longueur d’historique. Historique à partir duquel nous allonsmodéliser la sinistralité future de la cédante. Bien entendu, l’horizon choisi ne sera pas lemême pour une branche longue et pour une branche courte. L’étude porte en général surdix années complètes en long et cinq années en court. Toutefois, l’horizon de modélisationpeut être adapté au cas par cas selon la nature de l’affaire étudiée. En effet, il se peut quecertaines cédantes, arrivées récemment sur le marché, ne disposent pas de cinq annéesd’historique. De plus, il existe de fortes différences selon les pays et selon les marchés. Parexemple pour la RC automobile, l’existence ou non de barème 1 conditionne très fortementles développements observés.

La partie 2.2.4 traite un exemple de cotation en branche longue. Les méthodes de déroule-ment des sinistres seront évoquées et utilisées mais ne seront pas extensivement détailléescar elles ne constituent pas l’élément essentiel de ce mémoire.

2.1.3 Tranches travaillantes, tranches non travaillantes

Après les branches, au tour des tranches de se voir distinguées. Les actuaires en réassurancedifférencient les tranches travaillantes des tranches non travaillantes. On considère qu’unetranche est travaillante si elle est fortement sinistrée. Ce qui est, somme toute, assez vague.En fait, le concept de travaillant et non travaillant varie d’un réassureur à un autre.

Dans la suite du mémoire, nous allons considérer la définition suivante. Une trancheest dite travaillante si le nombre moyen de sinistres touchant annuellement la tranche eststrictement supérieur à un et si le pourcentage de portée atteinte est strictement supérieurà 80%. Le pourcentage de portée atteinte désigne le ratio suivant :

ratiok =

max1≤i≤n

(Xki)

portée

où (Xki)i=1...n désigne les n montants de sinistres à charge de la kème tranche.

2.1.4 Les clauses particulières

Les conditions de couverture issues des négociations entre les souscripteurs et les courtierssont résumées dans les clauses de réassurance. Ces clauses font la spécificité et la difficultéde chaque cotation. Nous présentons brièvement les clauses de réassurance les plususuelles.

1. Dans certains pays, des barèmes sont mis en place pour simplifier les procédures entre compagniesd’assurances et donc pour faciliter la gestion des sinistres. En France, notamment, un barème de responsabilité aété mis en place en mai 1968 par la convention d’indemnisation directe des assurés (IDA).



La clause de plafond annuel

Cette clause a pour but de limiter annuellement les engagements du réassureur à unmontant appelé AAL pour “Annual Aggregate Limit” en anglais. Quel que soit le nombre desinistres rentrant annuellement dans l’XS, le réassureur ne paiera pas plus que l’AAL. Celaa pour conséquence de diminuer le coût de la réassurance. Le fonctionnement de cetteclause est expliqué page 18.

La clause de franchise annuelle

Cette franchise est appelée AAD pour “Annual Aggregate Deductible” en anglais et secomporte comme une franchise annuelle sur la somme agrégée des paiements dus parle réassureur à sa cédante. Lorsque cette clause est mise en place, les premiers sinistresrentrant dans l’XS demeurent donc, en partie ou en totalité, à la charge de la cédante. Lefonctionnement de cette clause est également décrit page 18.

La clause de reconstitution

Le réassureur, qui a conclu un traité XS, s’engage à couvrir au maximum un montant égalà la portée au dessus de la priorité. Ainsi la cédante est couverte contre la survenance dupremier (éventuel) sinistre dépassant la priorité. Qu’en est-il du deuxième ? Dans un XSsans reconstitutions, le réassureur s’engage à payer au maximum une fois la portée del’XS. Mais ce cas de figure est assez rare, le traité prévoit un général un certain nombre dereconstitutions. Si le traité prévoit n reconstitutions, le réassureur paiera au maximum(n+ 1) fois la portée. Il est même assez courant que le traité prévoie un nombre illimitéde reconstitutions. Ces reconstitutions peuvent être gratuites ou payantes auquel cas lacédante devra verser au réassureur une “prime de reconstitution”.

La clause de participation aux bénéfices

Cette clause oblige le réassureur à reverser dans des proportions définies contractuel-lement une partie de son bénéfice à la cédante si le solde de réassurance à la fin del’exercice est positif.

La clause d’indexation

Cette clause ne concerne que les traités pluriannuels pour lesquels, la véritable valeurdes bornes du traité est modifiée au fil du temps du fait de l’érosion monétaire. La claused’indexation permet de recalculer chaque année les bornes du traité sur la base d’un indiceéconomique reflétant l’évolution du coût des sinistres pour la branche couverte.

La clause de stabililité

La clause de stabilité est une clause que l’on trouve fréquemment dans les traités XSlongs et, comme nous l’avons expliqué précédemment, pour ces types de couvertures, desannées peuvent s’écouler entre la survenance du sinistre et son règlement. Or, du faitde l’inflation, la rétention d’un traité XS peut baisser en valeur relative au détriment duréassureur qui va devoir supporter l’essentiel du surcoût lié aux inflations. C’est donc pourprotéger le réassureur contre ces évolutions défavorables des bornes du traité que la clausede stabilité est souvent intégrée.

2.1.5 Prime pure, prime technique et prime commerciale

Dans la suite de ce chapitre, nous ne nous intéresserons qu’à la détermination de la primepure. Cette dernière constitue le coeur du processus de cotation puisqu’elle correspondà l’espérance de sinistralité attendue par le réassureur. Toutefois, la prime effectivementversée par la cédante au réassureur est la prime commerciale ou prime de réassurance.



La prime commerciale est évaluée à partir de la prime technique et la prime techniques’obtient à partir de la prime pure en ajoutant des chargements liés aux incertitudesprésentes dans le processus de cotation et des frais servant à rémunérer les employés de lacompagnie de réassurance, le courtier et l’actionnaire. Ces chargements et frais sont :

− Le chargement de sécurité : il permet au réassureur de se protéger contre la volatilitéde la sinistralité. Il est fonction de la variance de la charge de la tranche considérée.Ajouté à la prime pure, il donne la prime sécurisée.

− Les frais de gestion : ils servent à rémunérer les employés de la compagnie de réas-surance. Ils sont composés d’une partie fixe et d’une partie variable proportionnelleà la prime commerciale.

− Les frais de courtage : ils servent à rémunérer le courtier de réassurance. Ils sontgénéralement exprimés en pourcentage de la prime commerciale.

− Le coût du capital : il permet de rémunérer l’actionnaire.

Il se peut qu’il n’y ait pas de différences entre la prime commerciale et la prime technique.Dans ce cas, le souscripteur accepte ou refuse l’affaire au prix technique calculé par l’ac-tuaire. Toutefois, en général, ces deux notions sont bien distinctes.

Prime pure Prime technique Prime commerciale

Chargement de sécuritéFrais de gestionFrais de courtageRetours sur investissement

Modifiée en fonction dela politique commercialedu réassureur

FIGURE 2.1 – Les différentes étapes permettant d’aboutir à la prime de réassurance

Il est important de signaler qu’en réassurance, on parle davantage en termes de taux deprimes qu’en termes de primes. La prime pure, la prime technique et la prime commercialepeuvent être exprimées en pourcentage de différentes quantités. Il existe un terme spéci-fique, dans le cas où la prime est exprimée en fonction de la portée de la tranche cotée,le Rate on Line (RoL). Le RoL représente le coût de 1 e de couverture pour la tranche.Cette notion est surtout utilisée pour les branches courtes. Il est également commun decalculer le taux en divisant la prime par l’ assiette de prime (EPI). Par défaut, dans la suitedu mémoire si rien n’est précisé, les termes taux pur et taux commercial feront référence àcette dernière définition.

2.1.6 Les différents modes de versement de la prime

Le mode de versement de la prime peut différer d’un contrat de réassurance à un autre. Ilfaut distinguer la prime forfaitaire ( “flat premium” en anglais) de la prime ajustable(“adjustable premium” en anglais).

Lorsque la prime est forfaitaire, le taux de prime est fixe et n’est soumis à aucun ajuste-ment ultérieur. Le paiement de cette prime peut s’effectuer en un ou plusieurs versements.Lorsque la prime est ajustable, le réassureur exige une prime provisoire appelée primede dépôt, à l’ouverture du contrat, qui est de l’ordre de 80%, 90% de la prime technique.Cette prime est ensuite réajustée, à la fermeture du contrat, lorsque les frais réels à chargedu contrat ont été déterminés.



En général, c’est la cédante qui impose le mode de versement de la prime. Cependant,quelquefois, elle ne le spécifie pas. Dans ce cas, le choix est laissé au réassureur. Ce dernierchoisira une prime flat pour les cédantes matures, pour lesquelles on n’anticipe pas dechangements importants du portefeuille au cours de l’année. A contrario, il choisira uneprime ajustable, pour les affaires nouvelles et les cédantes en pleine expansion.

2.2 Tarification sur expérience

2.2.1 Préparation des données : obtention d’une statistique “as if”

Lorsque l’on tarifie un traité de réassurance, il est naturel de se servir des années antérieurescomme autant de réalisations possibles de scénarios de sinistres de l’année à souscrire.Ainsi, une fois que l’actuaire a pris connaissance des documents contractuels relatifs àl’affaire qu’il veut coter et qu’il a compris de quoi il retourne, il doit modifier les donnéesfournies par le courtier et la cédante pour constituer une statistique “as if” comparable àl’année de cotation. Il faut pour cela indexer les sinistres et les primes. Ce travail préalableest plus laborieux pour les branches longues que pour les branches courtes car en longl’information fournie ne se borne pas à une liste de sinistres mais à un déroulé de sinistresen forme de triangle. Cette étape de préparation des données sera détaillée dans l’exemplede la section 2.2.4. Il est important de signaler que les données que la cédante transmetà son réassureur sont en général des données tronquées à gauche, c’est-à-dire qu’elle necommunique pas l’intégralité de ses sinistres au premier euro mais plutôt la liste de tousles sinistres supérieurs à un certain seuil, le seuil de communication. Bien entendu, ceseuil doit être inférieur à la priorité du traité pour qu’il soit possible de coter l’affaire.

2.2.1.1 Indexation des sinistres

L’évolution économique et l’inflation ont un impact sur le coût des sinistres. Un sinistre de500 000 e en 2 000 n’est pas comparable à un sinistre de 500 000 e en 2 015. La revalorisa-tion des sinistres peut s’effectuer à partir d’un taux de revalorisation annuel constant oubien à partir d’un indice adapté à la branche tarifée, par exemple l’indice du coût de laconstruction pour des sinistres incendies en assurances de particuliers.

Soit

n l’année de cotation

Ik l’indice de l’année k

Sk la valeur d’un sinistre de l’année k

Skn la valeur “as if” d’un sinistre de l’année k vue l’année n

Alors on a :Sk

n = Sk ×InIk

Le choix des indices est particulièrement délicat à cause du nombre important de facteursà prendre en compte et leurs influences importantes sur les résultats de la cotation. Enoutre, il faut être attentif à l’évolution de la politique de souscription de la cédante et auphénomène de “super inflation” en responsabilité civile. On désigne par ce terme le faitque le montant des indemnisations versées aux victimes d’accident progresse plus vite quel’activité économique. Autrement dit l’augmentation du coût des sinistres corporels à longterme dépasse la croissance du PIB.



2.2.1.2 Indexation des primes

Les primes de la cédante peuvent être indexées de la même manière que les sinistres :

Pkn = Pk ×

InIk

Mais il également possible de les revaloriser en utilisant une mesure d’expostion lorsquecelle-ci est donnée. La mesure d’exposition correspond généralement au nombre de policesen vigueur chaque année. Un exemple de revalorisation par la mesure d’exposition seradonnée dans la partie 2.2.4.

2.2.2 Méthode non paramétrique : le Burning Cost

Le Burning Cost est le ratio entre le montant de pertes à charge de la tranche et les primesperçues par l’assureur.

Notons Xin, Cin et Pin les valeurs “as if” de l’année i vu l’année n respectivement

de la perte agrégée, de la charge agrégée de la tranche de l’XS considérée et de la primedirecte.

Cin = minmaxXi

n − priorité, portée

Notons BC l’estimateur du taux de prime de réassurance :

BC =

∑n−1i=0 Ci

n∑n−1i=0 Pi

n

Il s’agit de la méthode de tarification la plus simple et la plus intuitive. Néanmoins, cetteméthode ne peut s’appliquer qu’aux tranches travaillantes. En effet, le prix d’une tranchequi n’a jamais été touchée n’est pas nul.

2.2.3 Méthode paramétrique

2.2.3.1 Méthode générale

Modélisation du montant agrégé

La méthode paramétrique repose sur le modèle collectif qui permet une étude séparée dela fréquence et de la sévérité des sinistres. Ce qui offre de réels avantages, notammentune meilleure analyse du programme. Par exemple, seule la fréquence sera impactée parune modification du nombre de polices couvertes. Nous signalons qu’un abus de langagecommunément employé en réassurance consiste à assimiler la fréquence au nombre desinistres observés sur une période. C’est pourquoi, dans la suite du mémoire, le termefréquence pourra qualifier des quantités supérieures à 1.

Notons N la variable aléatoire décrivant le nombre de sinistre durant une année donnée,(Xi)i=1,..,N les coûts des sinistres survenus durant cette même année et S le coût total deces sinistres :

S =

N∑i=1

Xi

Nous supposons que les variables aléatoires N,X1, X2, ...XN sont mutuellement indé-pendantes et que les coûts individuels des sinistres X1, X2, ..., XN sont identiquementdistribués. Il est alors possible d’extraire la loi et les deux premiers moments de la chargebrute des sinistres :

FS(x) = P (S ≤ x) =

∞∑n=1

P (N = n)F ∗nX (x)



où F ∗nX est la “nième” convolution de la fonction de réparttion de X.

E(S) =

∞∑i=1

E(S|N = i)P (N = i) =

∞∑i=1

iE(X)P (N = i) = E(X)E(N)

V (S) = E[V (S|N)] + V [E(S|N)] = E(N)V (X) + E(X)2V (N)

Ces formules peuvent facilement être adaptées aux différentes tranches de réassurance.On pourrait alors se contenter d’un calcul empirique des espérances et variances pourdonner un prix aux tranches que l’on veut coter. Cependant, cela conduirait à offrir descouvertures trop chères pour les tranches non travaillantes très peu sinistrées. De plus,cela ne permettrait pas de prendre en compte les queues de distribution qui ne sont pasforcément réalisées dans la statistique de la cédante. Il est donc plus judicieux de chercherla distribution complète de S. Pour ce faire, nous utilisons la méthode de simulations deMonte Carlo. L’idée étant de modéliser la sinistralité de la cédante en utilisant des loisparamétriques connues et maitrisées les mieux adaptées possibles et ensuite de générerun certain nombre de portefeuilles sinistres possédant les caractéristiques du portefeuilleinitial de la cédante.

Modélisation de la sinistralité

L’étape préalable consistant à modéliser la sinistralité de la cédante ne nous intéresse pasoutre mesure dans le cadre de ce mémoire mais nous allons, tout de même, l’expliquerbrièvement.

Dans un premier temps, il faut choisir un seuil de modélisation compris entre le seuilcommuniqué par le courtier revalorisé et la priorité de la tranche que l’on cherche à coter.Le choix du seuil de modélisation est important. Si on le choisit trop près de la priorité,on risque de ne pas “récupérer assez de sinistres” et si on le choisit trop éloigné de lapriorité (typiquement en dessous de 50% de la priorité), la loi de modélisation ne sera pasforcément adaptée pour décrire ce qui se passe au delà de la priorité. Ainsi, dans l’exempleci-dessous, le seuil le plus adapté est le seuil no2.

0

priorité

seuil 3

seuil 2

seuil 1

FIGURE 2.2 – Choix du seuil de modélisation

Dans un deuxième temps, il faut tester plusieurs lois pour la fréquence (Poisson ouBinomiale Négative) et pour la sévérité (Pareto, Log-normale, Pareto généralisée). Pources différentes paires de lois, on estime les paramètres associés par la méthode du maxi-mum de vraisemblance ou la méthode écart-quantile et ensuite on effectue des tests de



compatibilité (Kolmogorov-Smirnov) et des tests de comparaison des modèles (AkaikeInformation Criterion et Bayesian Information Criterion). Nous supposons, ici, que nousavons sélectionné les lois Poisson et Pareto. En effet, il s’agit des lois les plus fréquemmentchoisies et ce sont celles avec lesquelles nous allons travailler dans la suite du mémoire.

Il est important de signaler que lorsque l’on cherche à coter plusieurs tranches nontravaillantes successives d’un traité, on effectue, en général, une seule modélisation pourl’ensemble de ces tranches. En particulier, on utilisera les mêmes paramètres de la loi dePareto pour toutes les tranches non travaillantes du traité.

Simulations stochastiques

En général, cette approche est utilisée pour les tranches non travaillantes et également,pour les tranches affichant des particularités non “linéaires” du type AAL, AAD ou primesde reconstitutions, que la tranche soit travaillante ou non. L’algorithme ci-dessous décritla façon selon laquelle nous simulons la fréquence (modélisée par une loi de Poisson deparamètre θ), la sévérité (modélisée par une loi de Pareto de paramètre α au seuil λ) pourobtenir le taux pur pour une tranche de réassurance l xs d.

Algorithme-Détermination du taux pur par simulation.

Entrée : l xs d, EPI, Poisson(θ), Pareto(α, a).Sortie : le taux pur de la tranche cotee.

for i←− 1, .., n. N = rpoiss(1, θ). if N = 0 then. Si = 0. else. v = rpareto(N,α, a). for j ←− 1, ..., N. wj = min(max(0, vj + a− d), l). end for. Si = sum(wj). end ifend for

mean(Si)EPI

Cet algorithme peut facilement être implémenté sur n’importe quel logiciel de programma-tion. Il faut, quand même, préciser que l’algorithme tel qu’il est présenté ci-dessus ne tientpas compte des conditions non linéaires du type AAL ou AAD. Dans le cas où la cédanteexige ou le réassureur conseille la mise en place de ces particularités contractuelles, ilfaudra modifier l’algorithme en conséquence :

− Si la tranche à tarifer présente une AAL, Si = min(AAL, sum(wj)).

− Si la tranche à tarifer présente une AAD, Si = max(0, sum(wj)−AAD).



2.2.3.2 Spécificités des branches longues

Survenance DéclarationPaiements

Clôture

Durée de vie du sinistre

Période decouverture

FIGURE 2.3 – Les différentes étapes de la vie d’un sinistre en branche longue

Dans le cas de la tarification des branches longues, il faut tenir compte du fait que la valeurdes sinistres déclarés va encore évoluer (dérive des sinistres). L’information transmiseau réassureur concernant la sinistralité de la cédante prend alors la forme d’un triangledans lequel est repertorié les différents sinistres avec leur année de survenance et leurdéveloppement. Suivant l’orientation du triangle, le développement s’effectue “parannée” ou “par cadence”. Si l’angle droit du triangle se situe à gauche, on a un développe-ment par cadence, sinon il s’agit d’un développement par année.

Lorsqu’un sinistre est déclaré, la compagnie d’assurance constitue un dossier sinistredans lequel elle consigne tous les éléments utiles pour décrire le sinistre. Pour faciliterl’analyse de ces dossiers, l’assureur sépare la partie payée (“Paid” en anglais) et doncconnue de la partie restant à payer, constituée en provision, et donc, par définition, incer-taine : la provision pour sinistres à payer ou PSAP ou encore suspens (“Outstanding” enanglais). Avec le temps, l’évaluation s’affinera, la partie de montant payé augmentant et lapart de montant restant à payer diminuant.

L’évalution finale des sinistres, à la clôture d’un exercice, est appelée ultime (“ultimate”en anglais). La somme de tous les sinistres payés et des suspens constitue une estimationde l’ultime. Toutefois, cette estimation est imparfaite car il faut tenir compte de la dérivedes sinistres connus et du fait qu’il est probable que des sinistres soient encore déclaréspour les années de souscription antérieures. Ce sont des sinistres tardifs. Ces derniers sedécomposent en deux types : les IBNER (Incurred But Not Enough Reserved) et les IBNYR(Incurred But Not Yet Reported).

IBNR

IBNER IBNYR

Sinistres tardifs Sinistres cachés

FIGURE 2.4 – Les différentes familles de sinistres tardifs

Les IBNER permettent de valoriser la dérive des sinistres connus. Il sont définis comme ladifférence entre le montant ultime des sinistres connus observés et rattachés à la périodeétudiée et le montant courant de leur évaluation. Il faut noter que les IBNER peuvent êtrenégatifs ou nuls contrairement à ce que sous-entend l’appelation “Not Enough”.



La provision pour IBNYR permet, quant à elle, d’anticiper l’apparition de sinistres nonencore déclarés. Nous pouvons distinguer deux types d’IBNYR :

− Les sinistres tardifs : ces sinistres correspondent à ceux que l’assuré ne déclare àl’assureur que plusieurs années après leur survenance.

− Les sinistres cachés : ces sinistres sont bien déclarés par l’assuré à l’assureur durantl’année de survenance. Cependant, lors de la première évaluation du sinistre l’assu-reur estime que le coût total du sinistre est inférieur au seuil de communication etde ce fait ne le déclare pas. Malheureusement, une ou plusieurs années plus-tard,lors d’une réévalution du sinistre, l’estimation du coût total du sinistre dépasse leseuil de communication.

En pratique les IBNYR sont souvent appelés IBNR (Incurred But Not Reported) même sien théorie ce dernier terme désigne l’ensemble des IBNER et des IBNYR.

En outre, pour les branches longues, la méthode de détermination du taux pur parsimulation doit être légèrement modifiée. En effet, les montants des sinistres à indemniserestimés à l’ultime vont être versés régulièrement jusqu’à la date de consolidation, dateà laquelle on estime que l’état de santé de la victime ne devrait plus évoluer, c’est “lacadence des règlements”. En général, une date de consolidation et un cadencement sontdéfinis pour chaque pays et pour chaque branche. Au cours du service de la rente, jusqu’àla date de consolidation, les investissements du réassureur vont lui rapporter des produitsfinanciers. Il faut donc actualiser l’échéancier de flux dû au cadencement des règlementsen fonction des rendements espérés des placements du réassureur. En particulier, commel’actualisation des flux représente l’escompte de produits financiers futurs, plus la cadencedes règlements est lente, plus le réassureur profite des produits financiers.

Voyons ce que cela signifie sur l’exemple suivant. Notons S la valeur estimée d’un si-nistre à l’ultime et S la valeur actualisée de ce même sinistre après prise en comptedes produits financiers futurs. Supposons que la consolidation intervienne au bout de latroisième année et que les règlements aient lieu selon le cadencement suivant :

2015

S

α%S

2016 2017

β%S

2018

γ%S

FIGURE 2.5 – Un exemple de cadencement de règlement

avec α+ β + γ = 100 et S =α%S

1 + i+

β%S

(1 + i)2+

γ%S

(1 + i)3

Où i est le taux d’actualisation censé refléter les produits financiers à venir.

On n’utilisera S plutôt que S pour le calcul du taux pur afin de prendre en compteles produits financiers réalisés sur les trois années.



2.2.4 Un exemple de cotation en branche longue

2.2.4.1 Présentation des données

Nous avons choisi de traiter un exemple de tarification en branche longue plutôt qu’enbranche courte car cela nous sera utile pour le cas pratique traité dans la troisième partie.En outre, un actuaire qui sait coter en long sait coter en court alors que l’inverse n’est pasvrai.

Les données utilisées sont issues des statistiques réelles d’une cédante britannique dumarché RC automobile mais par souci de confidentialité et de simplification de l’exemple,elles ont été largement modifiées et élaguées. Nous supposons, en outre, que les tranchesque l’on cherche à coter ne présentent pas de conditions “non linéaires” de type AAD ouAAL et que les reconstitutions sont gratuites et illimitées.

Le courtier transmet au réassureur un historique de primes et de sinistres individuelsdémarrant en 2009. Ces données sont exprimées dans la monnaie de la cédante, en LivreSterling (GBP). Il nous fournit également le nombre de polices dans le portefeuille de lacédante chaque année.

Nous allons coter les tranches 3 000 000 xs 2 000 000 et 5 000 000 xs 5 000 000. Il s’agitde tranches classiques sur le marché RC automobile au Royaume-Uni.

On constate une baisse de l’assiette de prime depuis 2013 accompagnée d’une baissedu nombre de polices en portefeuille.

Année Primes Nombre de polices

2009 252 251 240 1 192 944

2010 270 123 868 1 217 049

2011 269 130 324 1 101 053

2012 286 890 000 1 101 053

2013 271 780 542 1 098 800

2014 200 555 338 1 050 900

2015 190 161 925 997 600

TABLE 2.1 – Données d’exposition du traité à tarifer

Dans le triangle fourni ci-après, l’évolution des sinistres est donnée en nombre d’années dedéveloppement, le développement s’effectue donc “par cadence”. Ainsi, par exemple, lepremier sinistre du triangle vaut 899 049 £, 4 ans après sa date de survenance.

Par ailleurs, le courtier indique un seuil de communication de 500 000£. Et effective-ment, on constate (lignes “Incurred”) que chaque sinistre dépasse au moins une fois ceseuil au cours de son développement, à l’exception du premier sinistre survenu en 2010. Ilest fort probable que le coût de ce sinistre ait dépassé au cours d’une des années de sondéveloppement le seuil de communication mais qu’il ait ensuite été revu à la baisse à ladate d’inventaire, au 31 décembre de cette même année et qu’il ait finalement été conservédans la statistique.



Triangle de sinistralité avec un seuil de communication égale à 500′000

2009

2009

2010

2010

2010

2011

2011

2011

2011

2011

2012

2012

2012

2013

2013

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

7 514

1

114 353

121 867

19 309

1 452 810

1 472 119

14 629

481 410

496 039

11 012

1 729 964

1 740 976

0

0

0

1 001

169 262

170 263

723

22 241

22 964

2 153

878 899

881 052

88

100 009

100 097

31

100 009

100 040

18 810

581 944

600 754

1 070

100 009

101 079

16 026

5 306 687

5 322 713

15 160

100 009

115 169

0

269 481

269 481

23 920

2

759 632

783 632

110 152

2 105 028

2 215 180

23 481

451 506

474 987

64 061

1 713 415

1 777 476

0

5 490

5 490

7 005

163 258

170 263

1 323

31 668

32 991

5 312

876 190

881 502

22 564

1 204 964

1 227 528

980

30 000

30 980

26 690

569 064

595 754

3 558

100 009

103 567

300 421

5 502 497

5 802 918

176 009

5 621 305

5 797 314

12 124

731 781

743 905

171 470

3

616 466

787 936

187 363

2 030 529

2 217 892

220 289

70 000

290 289

181 183

1 736 211

1 917 394

0

90 000

90 000

20 412

610 603

631 015

66 110

276 181

342 291

89 725

591 455

681 180

24 501

1 177 576

1 202 077

5 134

896 883

902 017

37 475

558 279

595 754

5 093

1 840 473

1 845 566

514 636

5 920 323

6 464 959

227 006

4

672 043

899 049

295 079

2 014 408

2 309 487

259 943

10 000

269 943

578 306

2 387 858

2 966 164

0

113 860

113 860

31 697

599 358

631 055

108 153

1 261 439

1 369 592

331 449

31 955

363 404

35 173

1 166 905

1 202 078

13 800

888 673

902 473

205 539

5

715 677

921 216

3 373 744

420 597

3 794 341

259 943

10 000

269 943

650 387

2 785 692

3 436 079

11 802

492 477

504 279

220 185

6

829 030

1 049 215

3 377 959

416 381

3 794 340



2.2.4.2 Obtention d’une statistique “As if”

Dans un premier temps, on revalorise les primes par la mesure d’exposition, ce qui donne :

Année Primes Nombre de polices Primes revalorisées

2009 252 251 240 1 192 944 227 398 283

2010 270 123 868 1 217 049 231 993 164

2011 269 130 324 1 101 053 232 114 589

2012 286 890 000 1 101 053 209 882 075

2013 271 780 542 1 098 800 209 452 609

2014 200 555 338 1 050 900 200 321 940

2015 190 161 925 997 600 190 161 925

TABLE 2.2 – Assiettes de primes revalorisées par la mesure d’exposition

Ainsi si l’on note PR pour prime revalorisée et E pour mesure d’exposition, on a parexemple :

PR2014 = PR2015 ×E2014

E2015

Le travail à effectuer sur le triangle de sinistralité est plus long. Il peut être découpéen trois étapes.

La première étape consiste à “décumuler” les payés ce qui permet d’avoir une idée de cequi est effectivement réglé chaque année. Ainsi, par exemple, pour le premier sinistre de2009, le réassureur a payé 55 536 lors de la quatrième année de son développement. Lerésultat de cette étape sur le triangle initial figure à la page suivante.

La deuxième étape consiste à indexer lespayés et les suspens en appliquant la for-mule donnée en 2.2.1. On suppose, pournotre exemple, que l’on a une inflationconstante de 11% par an.

Enfin, dans une dernière et troisième étape,on cumule les payés et on additionne lespayés et les suspens.

Les triangles correspondant à ces deuxétapes se trouvent page 25.

Indice d’inflation

2009 100

2010 111

2011 123.21

2012 136.76

2013 151.81

2014 168.51

2015 187.04

2016 207.62

2017 230.45

2018 255.80

2019 283.94

2020 315.18


Lestarifs

desréassureurs

sont-ilscrédibles?

Etape 1 : “Décumulation” des payés à partir du triangle intial (triangle de gauche)

2009

2009

2010

2010

2010

2011

2011

2011

2011

2011

2012

2012

2012

2013

2013

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

7 514

1

114 353

121 867

19 309

1 452 810

1 472 119

14 629

481 410

496 039

11 012

1 729 964

1 740 976

0

0

0

1 001

169 262

170 263

723

22 241

22 964

2 153

878 899

881 052

88

100 009

100 097

31

100 009

100 040

18 810

581 944

600 754

1 070

100 009

101 079

16 026

5 306 687

5 322 713

15 160

100 009

115 169

0

269 481

269 481

23 920

2

759 632

783 632

110 152

2 105 028

2 215 180

23 481

451 506

474 987

64 061

1 713 415

1 777 476

0

5 490

5 490

7 005

163 258

170 263

1 323

31 668

32 991

5 312

876 190

881 502

22 564

1 204 964

1 227 528

980

30 000

30 980

26 690

569 064

595 754

3 558

100 009

103 567

300 421

5 502 497

5 802 918

176 009

5 621 305

5 797 314

12 124

731 781

743 905

171 470

3

616 466

787 936

187 363

2 030 529

2 217 892

220 289

70 000

290 289

181 183

1 736 211

1 917 394

0

90 000

90 000

20 412

610 603

631 015

66 110

276 181

342 291

89 725

591 455

681 180

24 501

1 177 576

1 202 077

5 134

896 883

902 017

37 475

558 279

595 754

5 093

1 840 473

1 845 566

514 636

5 920 323

6 464 959

227 006

4

672 043

899 049

295 079

2 014 408

2 309 487

259 943

10 000

269 943

578 306

2 387 858

2 966 164

0

113 860

113 860

31 697

599 358

631 055

108 153

1 261 439

1 369 592

331 449

31 955

363 404

35 173

1 166 905

1 202 078

13 800

888 673

902 473

205 539

5

715 677

921 216

3 373 744

420 597

3 794 341

259 943

10 000

269 943

650 387

2 785 692

3 436 079

11 802

492 477

504 279

220 185

6

829 030

1 049 215

3 377 959

416 381

3 794 340

2009

2009

2010

2010

2010

2011

2011

2011

2011

2011

2012

2012

2012

2013

2013

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

7 514

1

114 353

19 309

1 452 810

14 629

481 410

11 012

1 729 964

0

0

1 001

169 262

723

22 241

2 153

878 899

88

100 009

31

100 009

18 810

581 944

1 070

100 009

16 026

5 306 687

15 160

100 009

0

269 481

16 406

2

759 632

90 843

2 105 028

8 852

451 506

53 049

1 713 415

0

5 490

6 004

163 258

600

31 668

3 159

876 190

22 476

1 204 964

949

30 000

7 880

569 064

2 488

100 009

284 395

5 502 497

160 849

5 621 305

12 124

731 781

147 550

3

616 466

77 211

2 030 529

196 808

70 000

117 122

1 736 211

0

90 000

13 407

610 603

64 787

276 181

84 413

591 455

1 937

1 177 576

4 154

896 883

10 785

558 279

1 535

1 840 473

214 215

5 920 323

55 536

4

672 043

107 716

2 014 408

39 654

10 000

397 123

2 387 858

0

113 860

11 285

599 358

42 043

1 261 439

241 724

31 955

10 672

1 166 905

8 666

888 673

-21 467

5

715 677

3 078 665

420 597

0

10 000

72 081

2 785 692

11 802

492 477

14 646

6

829 030

4 215

416 381

Christine

Finas|

Mém

oire|

201524

Lestarifs

desréassureurs

sont-ilscrédibles?

Etape 2 : Indexation des payés et des suspens Etape 3 : Cumul des payés

2009

2009

2010

2010

2010

2011

2011

2011

2011

2011

2012

2012

2012

2013

2013

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

14 054

1

213 888

36 116

2 717 357

24 651

811 204

18 556

2 915 090

0

0

1 520

256 952

1 098

33 763

3 268

1 334 231

134

151 821

47

151 821

25 725

795 885

1 463

136 775

21 918

7 257 590

18 679

123 221

0

332 028

30 686

2

1 420 827

169 914

3 937 275

14 916

760 814

89 391

2 887 204

0

9 251

9 114

247 837

911

48 074

4 796

1 330 118

34 120

1 829 220

1 441

45 542

10 777

778 270

3 403

136 775

388 947

7 525 385

198 182

6 926 010

14 938

901 627

275 980

3

1 153 047

144 417

3 797 931

331 633

117 954

197 357

2 925 617

0

151 655

20 353

926 938

98 351

419 262

128 145

897 870

2 941

1 787 643

6 306

1 361 532

14 750

763 520

2 099

2 517 088

292 967

8 137 846

103 875

4

1 256 999

201 474

3 767 778

66 819

16 851

669 175

4 023 680

0

191 861

17 131

909 868

63 824

1 914 953

366 954

48 510

16 201

1 771 444

13 156

1 349 068

-40 152

5

1 338 613

5 758 380

786 691

0

16 851

121 461

4 694 053

19 887

829 852

27 394

6

1 550 630

7 884

778 805

2009

2009

2010

2010

2010

2011

2011

2011

2011

2011

2012

2012

2012

2013

2013

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

Paid

Outstanding

Incurred

14 054

1

213 888

227 942

36 116

2 717 357

2 753 473

24 651

811 204

835 855

18 556

2 915 090

2 933 646

0

0

0

1 520

256 952

258 471

1 098

33 763

34 861

3 268

1 334 231

1 337 499

134

151 821

151 954

47

151 821

151 954

25 725

795 885

821 610

1 463

136 775

138 239

21 918

7 257 590

7 279 507

18 679

123 221

141 900

0

332 028

332 028

44 740

2

1 420 827

1 465 567

206 030

3 937 275

4 143 305

39 567

760 814

800 381

107 947

2 887 204

2 995 150

0

9 251

9 251

10 634

247 837

258 471

2 008

48 074

50 083

8 064

1 330 118

1 338 182

34 254

1 829 220

1 863 474

1 488

45 542

47 030

36 502

778 270

814 772

4 866

136 775

141 641

410 865

7 525 385

7 936 251

216 861

6 926 010

7 142 871

14 938

901 627

916 565

320 720

3

1 153 047

1 473 767

350 446

3 797 931

4 148 377

371 200

117 954

489 154

305 304

2 925 617

3 230 920

0

151 655

151 655

30 987

926 938

957 925

100 360

419 262

519 622

136 209

897 870

1 034 079

37 194

1 787 643

1 824 838

7 794

1 361 532

1 369 325

51 252

763 520

814 772

6 965

2 517 088

2 524 053

703 832

8 137 846

8 841 678

424 595

4

1 256 999

1 681 594

551 920

3 767 778

4 319 698

438 019

16 851

454 870

974 479

4 023 680

4 998 159

0

191 861

191 861

48 118

908 868

957 986

164 184

1 914 953

2 079 137

503 163

48 510

551 673

53 395

1 771 444

1 824 839

20 949

1 349 068

1 370 018

384 443

5

1 338 613

1 723 056

6 310 300

786 691

7 096 991

438 019

16 851

454 870

1 095 940

4 694 053

5 789 993

19 886

829 852

849 739

441 837

6

1 550 630

1 962 467

6 318 184

778 805

7 096 989

Christine

Finas|

Mém

oire|

201525


2.2.4.3 Calcul des IBNER et des IBNYR

Nous devons distinguer trois seuils différents :

− le seuil communiqué SC par le courtier égale à 500 000£.

− le seuil revalorisé SR égale à 842 529£ (500 000× 1.685).

− le seuil de modélisation SM compris entre le seuil revalorisé et la priorité du traité(2 000 000 dans notre exemple). Nous choisissons un seuil égal à 75% de la prioritésoit un seuil de 1 500 000£.

Calcul des IBNER

Nous ne nous intéressons plus maintenant qu’aux montants encourus du dernier tri-angle (triangle de l’étape 3), que nous reportons dans le triangle ci-dessous. Ensuite, afind’extrapoler les sinistres jusqu’à l’ultime, nous calculons les coefficients de liquidation.Pour cela nous utilisons la méthode classique en actuariat,“Chain Ladder”. Toutefois, nousne tenons compte que des montants du triangle ci-dessous qui sont supérieurs au seuilrevalorisé.

Notons Ci,j le montant cumulé des encourus pour les sinistres survenus en i après jannées de développement et fj le facteur de développement de l’année de survenance j àl’année de survenance j + 1, également nommé coefficient de liquidation de l’année j. Ona :

fj =

∑mk=1 Ck,j+1∑mk=1 Ck,j

Où m = #I 2 avec I = (Cl,j , Cl,j+1) | Cl,j ≥ SR et Cl,j+1 ≥ SR

Voici ce que nous obtenons. Les sinistres extrapolés apparaissent en rouge.

2009

2009

2010

2010

2010

2011

2011

2011

2011

2011

2012

2012

2012

2013

2013

Coecient Liquidation

227 942

1

2 753 473

835 855

2 933 646

0

258 471

34 861

1 337 499

151 954

151 868

821 610

138 239

7 279 507

141 900

332 028

1 465 567

2

4 143 305

800 381

2 995 150

9 251

258 471

50 083

1 338 182

1 863 474

47 030

814 772

141 641

7 936 251

7 142 871

916 565

1.147

1 473 767

3

4 148 377

489 154

3 230 920

151 655

957 925

519 622

1 034 079

1 824 838

1 369 325

814 772

2 524 053

8 841 678

7 436 565

954 255

1.041

1 681 594

4

4 319 698

454 870

4 998 159

191 861

957 986

2 079 137

551 673

1 824 839

1 370 018

949 290

2 940 773

10 301 433

8 664 336

1 111 798

1.165

1 723 056

5

7 096 991

454 870

5 789 993

849 739

1 272 446

2 761 617

732 760

2 423 845

1 819 728

1 260 896

3 906 086

13 682 895

11 508 419

1 476 748

1.328

1 962 467

6

7 096 989

467 217

5 947 155

872 804

1 306 985

2 836 578

752 650

2 489 638

1 869 122

1 295 121

4 012 112

14 054 301

11 820 800

1 516 832

1.027

TABLE 2.3 – Triangle des sinistres extrapolés

L’ultime, la valeur des sinistres au bout de six années de développement, correspondà la dernière colonne du triangle extrapolé.

2. Où # désigne le cardinal d’un ensemble.



0

14M

12M

10M

8M

6M

4M

2M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Sans IBNER

Avec IBNER

FIGURE 2.6 – Effet des IBNER sur les montants des sinistres

Calcul des IBNYR

Pour chaque année de survenance et chaque année de développement, on compte lenombre de sinistres supérieurs au seuil de modélisation choisi de 1 500 000 £ et on utilisela méthode de Chain Ladder classique pour compléter le triangle.

2009

2010

2011

2012

2013

Coecient Liquidation

1

1

1

0

1

0

1

2

1

1

1

1

1.67

1

3

1

1

2

1.25

1.25

2

4

1

2

3.33

2.08

1.67

2

5

1

2

3.33

2.08

1

2

6

1

2

3.33

2.08

1

TABLE 2.4 – Triangle des nombres de sinistres extrapolés

0

1

2

3

2009 2010 2011 2012 2013 2014

Sans IBNYR

Avec IBNYR

FIGURE 2.7 – Effet des IBNYR sur la fréquence des sinistres

Nous constatons que les IBNYR ont un effet important sur la fréquence des deux dernièresannées. Pour 2014, le nombre de sinistres à l’ultime fait plus que doubler après prise encompte des IBNYR.

La méthode de “Chain Ladder” est simple à mettre en oeuvre et c’est pourquoi nousl’avons utilisée dans cet exemple mais en pratique, cette méthode ne doit pas être ap-pliquée car elle consiste à traiter la sinistralité annuelle dans sa globalité alors qu’en



réassurance on travaille avec des sinistres individuels. On peut montrer que cette méthodeconduit, notamment, à surestimer la fréquence des sinistres. Afin de conserver l’approchesinistre par sinistre, il est possible de recourir à la méthode de Schnieper présentée au21ème colloque ASTIN à New York au début des années 1980.

2.2.4.4 Modélisation de la fréquence et de la sévérité

A ce stade, en général, on teste plusieurs lois pour la fréquence et pour la sévérité. Noussupposons, ici, que nous avons sélectionné les lois Poisson et Pareto.

Nous utilisons les montants et les nombres de sinistres ultimes pour estimer les para-mètres des lois Poisson et Pareto, θ et α respectivement, par la méthode du maximum devraisemblance :

θ =1

k

k∑i=1

ni ≈ 2.083

Où∑ki=1 ni est le nombre de sinistres dépassant le seuil de modélisation SM sur l’en-

semble de la période 2009− 2014 et où k désigne la longueur de l’historique (ici k = 5 caraucun sinistre n’a été reporté en 2014).

α =n∑n

i=1 ln(xiSM

) ≈ 1.253

Où n désigne le nombre de sinistres reportés au cours de la période 2009− 2014.

Il est également possible de prendre en compte les mesures d’exposition (assiettes deprimes ou nombre de véhicules assurés par le traité à la fin de l’exercice) dans le calcul duparamètre de fréquence, θ :

θ =

∑ki=1 ωiniωi•

avec ωi• =

k∑i=1

ωi

Enfin, nous appliquons le programme de simulations présenté en 2.2.3 en tenant comptede la cadence des règlements. A titre indicatif et bien que cela n’ait que peu d’importanceici, nous précisons les taux purs obtenus :

Tranche 3 xs 2 : 1.44%

Tranche 5 xs 5 : 0.91%

Cet exemple donne une idée du travail effectué par un actuaire tarificateur. Toutefois, noussommes loin d’avoir balayé toutes les subtilités d’un traité RC automobile. Nous invitonsceux qui s’y intéresseraient à consulter le mémoire d’Hervé Nessi [25].

2.3 Tarification marché

2.3.1 Introduction

On a recours à une tarification marché lorsque l’on ne peut pas utiliser les données dela cédante ou lorsque ces données sont insuffisantes ou de trop mauvaise qualité pourconduire à une prime d’expérience fiable.

Un prix marché est un prix représentatif du marché considéré. En réassurance, un marchéest généralement défini par un pays et par une branche. On parle par exemple du marchéfrançais de la réassurance automobile. On peut également travailler à un niveau plus fin etdéfinir le marché par une classe de cédantes plus réduite et plus homogène, par exempleen excluant les cédantes atypiques.



Cela dit, cette définition reste assez vague. Il nous faut encore définir ce que sous-tendl’expression “prix représentatif”, c’est-à-dire qu’il nous faut expliquer comment on obtientun prix marché et une courbe des taux marché. C’est ce que nous allons faire dans unpremier temps. Dans un deuxième temps, nous présenterons d’autres approches marchéassez différentes. Il s’agit d’approches “benchmark ”. Le principe étant d’obtenir un tauxmarché par comparaison du traité que l’on veut tarifer avec d’autres traités en portefeuillede composition similaire.

2.3.2 Construction d’une courbe marché

2.3.2.1 Modèle Poisson-Pareto

Il s’agit ni plus ni moins que d’une application du modèle collectif dans laquelle la fré-quence suit une loi de Poisson et la sévérité une loi de Pareto.

Soit une tranche de réassurance l xs d et λ le seuil choisi pour la modélisation, X lavariable représentant le coût d’un sinistre et Xl,d la variable désignant le coût du sinistre àcharge de la tranche l xs d. On rappelle que λ est inférieur à la priorité et supérieur auseuil de déclaration des sinistres revalorisés.

X est supposé de loi de Pareto de paramètres α au seuil λ.

E[Xl,d] = E[minmax0, X − d, l|X > λ]

=

∫ l+d

d

(x− d)f(x)dx+

∫ ∞l+d

lf(x)dx

=

∫ l+d

d

(x− d)αλα

xα+1dx+

∫ ∞l+d

lαλα

xα+1dx

= αλα∫ l+d

d

x−αdx︸︷︷︸I1

−dαλα∫ l+d

d

x−(α+1)dx︸︷︷︸I2

+lαλα∫ ∞l+d

x−(α+1)dx︸︷︷︸I3

I1 =

1

1−α

[(l + d)

1−α − d1−α]

si α 6= 1

ln(d+ld ) si α = 1

I2 =1

α

(d−α − (l + d)

−α)

I3 =(l + d)

−α

α

En remplaçant I1, I2 et I3 dans l’expression de E[Xl,d], on obtient :

E[Xl,d] =

λα

1−α

[(l + d)

1−α − d1−α]

si α 6= 1

λ ln( l+dd ) si α = 1

On a démontré en 3.2.3.1 que :

E[S] = E[N ]× E[X]

Par conséquent, dans le cadre du modèle collectif, la prime pure pour la tranche l xs dpeut être calculée de la façon suivante :

E[Sl,d] = E[Nλ]× E[Xl,d]



Où Nλ désigne le nombre de sinistres reportés annuellement dépassant le seuil de modéli-sation λ.

En remplaçant E[Xl,d] par son expression et en supposant que Nλ suit une loi de Poissonde paramètre θ, on obtient :

E[Sl,d] =

θ × λα

1−α

[(l + d)

1−α − d1−α]

si α 6= 1

θ × λ ln( l+dd ) si α = 1

Dans le cas où la portée est illimitée et α > 1, cette formule se simplifie en :

E[S∞,p] = θλα

α− 1p1−α

En particulier, dans le cadre de ce modèle, on remarque que le taux d’une tranche illimitéede priorité p, que l’on note ∞ xs p, est la somme des taux des tranches l xs p et ∞ xsl + p. Bien entendu, cela est vrai uniquement si l’on a utilisé la même loi de Pareto pourmodéliser les tranches supérieures à p (ce qui est le cas en général puisque, la plupart dutemps, on utilise une seule modélisation pour coter les tranches non travaillantes d’untraité) et si le paramètre de forme associé est strictement supérieur à 1.

2.3.2.2 Agrégation des données des cédantes du marché

Le taux de prime marché correspond, en fait, au taux basé sur l’expérience de sinistralité etde primes de l’ensemble des cédantes constituant le marché. Pour pouvoir calculer un tauxmarché et construire une courbe marché, nous avons donc besoin d’agréger les primes etles sinistres de toutes les cédantes du marché.

A priori, cela peut paraître simple : une addition des primes et un rassemblement dessinistres des cédantes. A posteriori, cela l’est beaucoup moins. Ce n’est pas tant le fait quel’on travaille avec un nombre relativement important de cédantes mais plutôt les disparitéscontractuelles entre les traités qui rendent l’agrégation complexe :

− Tout d’abord, il faut choisir une longueur d’historique appropriée. En effet, les statis-tiques des cédantes du marché ne démarrent pas toutes la même année. On peutconserver la longueur d’historique maximale pour notre groupe de cédantes engardant à l’esprit qu’il n’est pas approprié de considérer un historique supérieur àcinq années en court et supérieur à dix années en long.

− Dans un deuxième temps, il faut tenir compte du fait que le seuil de communicationd’une cédante n’est pas nécessairement le même que celui d’une autre cédante. Ilfaut alors considérer le seuil de communication maximal et supprimer les sinistresqui ne dépassent jamais ce seuil au cours de leur développement.

− Enfin, il faut tenir compte de la gestion comptable et des dates de prise d’effet desdifférents traités de notre portefeuille marché et uniformiser nos données de sinistres(un triangle en long, une liste de sinistres en court) en conséquence. Ce dernier pointest de loin le plus complexe et nous invitons le lecteur à se reporter au chapitre 6pour se faire une idée des étapes à suivre.

Une fois notre agrégation terminée, nous pouvons appliquer les méthodes de la partie 2.2pour obtenir le taux marché de la tranche que l’on souhaite coter. Il existe des marchésmatures pour lesquels les tranches de réassurance sont standardisées. C’est le cas dumarché britannique de l’automobile sur lequel porte l’application de la troisième partie.



Pour ces marchés, il suffit de calculer le taux marché pour chacune des tranches standards.Néanmoins, en réassurance, la plupart des marchés ne sont pas standardisés, il peut alorsêtre intéressant de construire une courbe marché afin de ne pas avoir à réappliquer lesméthodes de tarification sur expérience à chaque nouvelle tranche.

Il est possible de construire de telles courbes pour le modèle Poisson-Pareto en exploitantla remarque énoncée à la fin de la dernière sous-partie. En effet, pour ce modèle on peutobtenir le taux de prime d’une tranche 5 xs 5 par exemple, en soustrayant le taux de primede la tranche∞ xs 10 au taux de prime de la tranche∞ xs 5. Il suffit donc de calculer letaux marché pour toutes les tranches illimitées pour avoir le taux marché pour n’importequelle tranche de portée finie.

•

•

•• • • • • •

•

•• • • • •

0

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 priorité en M

taux souscrit

Courbe marché

pour un seuil à 2M

Courbe marché

pour un seuil à 4M

FIGURE 2.8 – Exemple de courbes marchés

La détermination d’un prix marché par agrégation des données des cédantes est uneapproche laborieuse et contraignante (en particulier le fait qu’il faille choisir le seuil decommunication maximal). C’est pourquoi, les actuaires préfèrent recourir à des méthodes“benchmark”. Pour ces approches benchmark, on ne s’intéresse pas aux primes pures maisaux primes réellement souscrites.

2.3.3 Les outils benchmark : d’autres approches marché

2.3.3.1 Outil benchmark adapté aux branches longues

Cet outil est fondé sur le modèle Poisson-Pareto et s’inspire des travaux de Robert Verlaaket de Werner Hürlimann [35]. Il n’est pas adapté au branches courtes. En effet, il reposesur l’hypothèse selon laquelle, l’intensité des sinistres demeure constante d’une année surl’autre.

Soit la tranche l xs d. Nous avons vu en 2.3.2 que :

E[Sl,d] = E[Nλ]× E[Xl,d]

avec

E[Xl,d] =λ

α− 1

[(λ

d

)α−1

−(

λ

l + d

)α−1]

si α > 1

Si la compagnie de réassurance ajoute un chargement c proportionnel à la charge de sinis-tralité attendue et applique une remise à un taux ν pour tenir compte des investissements



futurs, la prime marché pour la tranche l xs d est égale à :

P (d, l) = ν (1 + c)E[Nλ]E[Xl,d]

S’il semble naturel de supposer que l’intensité des sinistres demeure constante d’annéeen année, le taux de remise ν, le taux de chargement c et le nombre attendu de sinistresE[Nλ] peuvent, quant à eux, varier d’une année à l’autre. En divisant la prime P (d, l) parl’EPI, on obtient le taux benchmark :

π(d, l, γ, λ, α) =P (d, l)

EPI=ν(1 + l)E[Nλ]

EPI︸︷︷︸γ

λ

α− 1

[(λ

d

)α−1

−(

λ

l + d

)α−1]

Ainsi, le taux benchmark associé à la tranche l xs d dépend de trois paramètres inconnus,γ, λ > 0 et α > 1. Parmi ces trois paramètres, seul le premier γ, dépend de l’année decotation.

π(d, l, γ, λ, α) = γλ

α− 1

[(λ

d

)α−1

−(

λ

l + d

)α−1]

Soit un marché donné de la réassurance. Soit (di, li)i=1,...,n l’ensemble des tranches destraités en excédent de sinistre de ce marché pour lesquelles les taux leaders 3 ri = r(di, li)sont disponibles. Ces taux correspondent à des proportions des assiettes de primes notéesPi. La détermination des paramètres inconnus, γ, λ et α, des taux benchmark πi =πi(di, li, γ, λ, α) correspondant, se ramène au problème d’optimisation suivant :

f(γ1, γ2, . . . , γk, λ, α) = min

k∑t=1

N(t)∑i=1

(r(t)i − π

(t)i )

2

π(t)i

k ≤ 5

Nous posons k ≤ 5 car nous estimons qu’au delà de 5 années les taux ne sont plus compa-rables.

Le solveur de VBA permet de trouver en un temps relativement court, les paramètresγ1, γ2, . . . , γk, λ et α.

Il est également possible d’utiliser les taux commerciaux souscrits par la compagniede réassurance ou les taux techniques obtenus par les actuaires plutôt que les taux leaders.Tout dépend de ce que l’on veut : un taux cohérent avec les taux du marché global ou untaux cohérent avec nos habitudes de souscription et avec notre portefeuille marché.

2.3.3.2 Outil benchmark adapté aux branches courtes

L’outil décrit dans la suite de cette section permet de comparer le RoL de différents traités.Il est utilisé pour les branches courtes et plus particulièrement pour les traités de réas-surance catastrophe. En effet, la notion de RoL est moins pertinente en branche longuepuisque pour ces branches le règlement des sinistres est plus long qu’en branche courte etque, d’une année à l’autre, les bornes du traité évoluent en valeurs relatives (il faut tenircompte de paramètres économiques comme l’inflation) même si elles restent inchangéesen valeur absolue.

Pour pouvoir comparer facilement les prix de différentes tranches de réassurance, nousréduisons une tranche de réassurance l xs d au milieu de cette tranche d+ l

2 . De plus, afinde manipuler des grandeurs sans unités, nous divisons la valeur centrale des tranches parla somme assurée totale.

3. Le taux leader correspond au taux retenu conjointement par la cédante et le courtier au terme des cotationset placé sur le marché.



Valeur centrale de la tranche sur la valeur assurée totale

0.01% 0.1% 1% 10% 100%0.1%

1%

10%

100%

RoL

cédante 1

cédante 2

cédante 3

cédante 4

cédante 5

cédante 6

FIGURE 2.9 – Comparaison du RoL de différents traités en fonction de la valeur centrale de la tranchecotée en échelle log-log

La méthode est simple. On représente sur un graphique en échelle log-log, les données del’ensemble des cédantes du marché puis on ajuste une droite de régression au nuage depoints. Cette droite de régression est la “droite marché”. Calculer la pente et l’ordonnée àl’origine de cette droite revient en fait à calculer les paramètres α et λ de la loi de Paretoajustée à l’ensemble des données marché (cf annexe A.3).

Ainsi, si l’on veut obtenir un taux marché pour une tranche d’un traité XS pour lequel ondispose de peu de données, il faut, dans un premier temps, définir un marché contenantdes traités similaires à celui que l’on doit tarifer et construire pour le marché ainsi définiun graphique semblable à celui représenté ci-dessus. Puis dans un second temps, il suffitde calculer la valeur centrale de la tranche, de la diviser par la valeur assurée totale et delire, sur le graphique construit, la valeur du RoL correspondante.



Conclusion de la première partie

Contrairement à ce que peut laisser penser la définition simpliste “assurance des assureurs”,les produits de réassurance sont divers, souvent complexes et leur tarification peut s’avérerardue. Dans le premier chapitre, nous avons listé et expliqué brièvement les principauxproduits de réassurance traditionnelle. Néanmoins, cette liste est loin d’être exhaustive etfigée, tout est possible et envisageable. La cédante qui le désire peut se “créer” un produitde réassurance totalement sur mesure. Dans le deuxième chapitre, nous avons décrit lesméthodes de tarification des traités en excédent de sinistre. Nous avons insisté sur les méthodesprobabilistes, basées sur la modélisation de la fréquence annuelle des sinistres, et de leursévérité individuelle ultime. Cela a été l’occasion de souligner certaines subtilités des traités enexcédent de sinistre comme, par exemple, la nécessité de prendre en compte les IBNR dans ladétermination des ultimes dans le cas des branches longues. Dans ce deuxième chapitre, nousavons également décrit les différentes méthodes et outils utilisés en réassurance pour calculerun taux marché.



Partie II

Les modèles de crédibilité enréassurance



A présent que nous avons planté le décor, à savoir la tarification des traités en excédent desinistre, nous allons pouvoir expliquer plus avant les objectifs des prochains chapitres et lafinalité de ce mémoire.

Objectif :

Il arrive que la tranche du traité XS que l’on cherche à tarifer ne soit pas suffi-samment sinistrée pour que la prime de réassurance obtenue par les méthodes detarification décrites au chapitre 2 soit suffisamment précise et fiable. Cela est fré-quent pour les tranches hautes mais cela arrive également pour les tranches basses lorsqu’ils’agit d’affaires nouvelles. L’idée qui est au centre de ce mémoire est d’augmenter lafiabilité de la prime cotée en pondérant la prime individuelle et la prime marché.

Prime de crédibilité = z × Prime de réassurance + (1− z)× Prime marché

Historique de sinistralitéde la cédante que l’on

souhaite coter

données agrégées

de l’ensemble descédantes du marché

Approche Stochastique(Poisson/Pareto)

πc πm

πc : estimation de la prime du client

πm : estimation de la prime marché

π = z × πc + (1− z)× πm

FIGURE 2.10 – Calcul de la prime de crédibilité en réassurance

Cadre :

En général, les tranches d’un traité XS peuvent être divisées schématiquement en troiszones :

− Les tranches basses. Il s’agit des tranches travaillantes. Ces tranches sont suffisam-ment sinistrées pour qu’une cotation par la méthode du Burning Cost soit fiable. Sinous appliquons les modèles qui sont développés dans la suite du mémoire à cestranches, nous obtenons un facteur de crédibilité z égal à 1.

− Les tranches médianes. Ce sont des tranches non travaillantes mais présentant unesinistralité non nulle. Pour ces tranches, il peut être très intéressant de pondérer letaux obtenu par l’approche stochastique et un taux marché.

− Les tranches hautes. Pour les tranches les plus hautes des programmes de réassurance,notamment les tranches illimitées, la crédibilité n’est pas d’un grand secours puisqueà la fois la prime individuelle et la prime marché sont beaucoup trop imprécises pourgagner en précision par leur combinaison.

Il est à noter que l’on n’observe pas systématiquement ce découpage pour chaque traité.Ainsi, par exemple, toutes les tranches d’un traité XS peuvent être travaillantes ou inverse-ment non travaillantes.



Cadre du mémoire

Tranches travaillantes

z ≈ 1

0 < z < 1

z ≈ 0

Tranches non travaillantes


Zone 1 : tranches basses

Zone 2 : tranches médianes

Zone 3 : tranches hautes

FIGURE 2.11 – Schématisation de la problématique du mémoire

Par conséquent, si les modèles qui seront développés par la suite peuvent s’appliquerà n’importe quelle tranche d’un traité en excédent de sinistre, ils n’ont véritablementd’intérêt que pour les tranches médianes de ces traités.



Chapitre 3

La théorie de la Crédibilité

3.1 Introduction

Même si la théorie de la crédibilité s’étend naturellement à la réassurance, ce n’est pas ausein de cette activité qu’elle est née et s’est développée. C’est en assurance directe et plusparticulièrement en assurance responsabilité civile que cette théorie a trouvé le meilleurterrain de développement.

La tarification en assurance, ainsi qu’en réassurance d’ailleurs, doit permettre d’assu-rer la stabilité financière de la compagnie, à savoir refléter les coûts potentiels que celle-cidevra assumer pour les sinistres de son portefeuille. Elle doit également permettre unemutualisation du risque, c’est-à-dire un partage du risque entre les différents assurés. Unassureur qui voudrait effectuer une répartition égale du risque de son portefeuille détermi-nerait une prime identique pour tous ses assurés. De cette façon, chacun paierait une primequi est fonction de l’expérience de l’ensemble du groupe. Cependant, une telle tarificationne prendrait pas en considération des caractéristiques qui sont propres à chaque assuré.Par exemple, en assurance automobile, de telles caractéristiques comprennent entre autresl’âge, le sexe, l’expérience de conduite, le modèle de véhicule conduit par l’assuré ainsique son lieu de résidence. A l’inverse, si l’assureur connaissait toutes les caractéristiquesdu risque que représente un assuré, il pourrait déterminer une prime reflétant exactementson risque, ce qui reviendrait à faire assumer à l’assuré son propre risque et ce qui rendraitl’activité d’assurance inutile. De plus, certaines caractéristiques du risque ne peuvent pasêtre observées, comme par exemple les habitudes de conduite, d’où l’impossibilité dedéterminer une prime reflétant exactement le potentiel de pertes d’un assuré. L’assureurpropose donc de trouver un compromis entre ces deux extrêmes, soit une prime qui estfonction des caractéristiques individuelles de l’assuré et également de celles de l’ensembledu groupe. C’est cette idée qui est à la base de la théorie de la crédibilité. Ainsi, dans uncontexte de tarification, la théorie de la crédibilité permet de déterminer une prime quiest fonction de l’expérience du portefeuille et également de l’expérience individuelle del’assuré.

Prime de crédibilité = z × Prime individuelle + (1− z)× Prime collective

Le facteur z est appelé facteur de crédibilité.

Il existe trois branches principales de la théorie de la crédibilité, la théorie de la fluc-tuation limitée, la crédibilité bayésienne et la crédibilité des “incertitudes”. En 1914,Arthur H. Mowbray fonde la théorie de la fluctuation limitée aussi appelée crédibilité“américaine”. Selon cette théorie, le facteur de crédibilité est perçu comme le niveau deconfiance que l’on doit accorder à l’expérience moyenne d’un assuré. Généralement, plusle nombre d’observations détenu sur cette expérience est grand, plus on la considère



crédible. Un peu plus tard, en 1945, Arthur L. Bailey pose les bases d’une nouvelle théorie,la crédibilité des moindres carrés également nommée crédibilité “européenne”. Cetteapproche vise à trouver une estimation de la vraie valeur de la prime en minimisantl’erreur entre l’estimation et la vraie valeur. Les travaux de Bühlmann et Bühlmann-Straubentrepris à la fin des années 1960 et développés dans le cadre de la statistique bayé-sienne prennent racine dans ceux d’Arthur L. Bailey. Enfin, en 1992, Joseph A. Boordéveloppe la crédibilité des “incertitudes”. Cette dernière approche propose une nouvelleméthode pour le calcul du facteur de crédibilité fondée sur les incertitudes relatives auxerreurs commises lors de la détermination de la prime individuelle et de la prime collec-tive. Cette dernière approche, bien qu’apparue tardivement, est sans doute la plus intuitive.

Dans la suite de ce chapitre, nous présenterons succintement la théorie de la fluctua-tion limitée avant de nous concentrer sur la crédibilité bayésienne. La crédibilité des“incertitudes” et son application à la réassurance feront l’objet du chapitre 5.

3.2 La théorie de la fluctuation limitée

La théorie de la crédibilité à variation limitée est née en 1910 lorsque le constructeurautomobile General Motors qui était alors assuré chez AllState pour les accidents de travailremarqua que sa prime d’expérience était sensiblement inférieure à la prime réclaméeà l’ensemble des entreprises assurées. General Motors reclama alors un tarif basé sur sapropre sinistralité et non celle de l’ensemble des sociétés assurées. Pour répondre à cettequestion, A.H. Mowbray proposa alors un critère fondé sur la taille du portefeuille et créala théorie de la fluctuation limitée.

A l’origine les travaux de Mowbray, publiés en 1914, ne s’intéressaient qu’aux condi-tions nécessaires pour accorder une pleine crédibilité à l’expérience d’un assuré (cas oùz = 1). En particulier, il établit une formule donnant le nombre de périodes d’observationnécessaires pour que z, le facteur de crédibilité, soit égal à 1. Par la suite, en 1918, AlbertW. Whitney étendit les travaux de Mowbray à la crédibilité partielle (cas où z ∈]0; 1[).

3.2.1 Crédibilité totale

Reprenons les notations du modèle collectif introduites en partie 2.2.3.

S =

N∑i=1

Xi

avec N (le nombre de sinistres engendrés par un assuré durant une année) supposé deloi de poisson de paramètre λ et (Xi)i=1,..,n (les coûts des sinistres engendrés par cemême assuré durant l’année considérée) supposées i.i.d de moyenne µ, de variance σ2 etindépendantes de N .

En reprenant les résultats démontrés en 2.2.3 sur l’espérance et la variance de la sommeagrégée des sinistres, on a :

E[S] = λµ

V ar[S] = λ(σ2 + µ2)

La théorie de la fluctuation limitée consiste à fixer a priori deux constantes c et ε tellesque l’on accorde à l’assuré une crédibilité totale si :

P

[|S − E[S]|E[S]

≥ c]≤ ε

Autrement dit, on accorde à l’assuré une crédibilité totale si la probabilité que la charge de



sinistre s’éloigne de la moyenne est suffisamment faible.

P

[|S − E[S]|E[S]

≥ c]≤ ε⇔ P

[|S − E[S]|√V ar[S]

≥ cE[S]√V ar[S]

]≤ ε

D’après le théorème central-limite, pour un nombre important d’observations, nous pou-vons faire l’approximation suivante :

S − E[S]√V ar[S]

∼ N (0, 1)

Par conséquent :

P

[S − E[S]√V ar[S]

≤ − cE[S]√V ar[S]

]≤ ε

2

Ainsi, si on note zε/2 = F−1( ε2 ) le quantile à ε2% de la loi normale centrée réduite, on a :

− cE[S]√V ar[S]

≤ zε/2

Donc− cλµ√

λ(σ2 + µ2)≤ zε/2

D’où l’on en déduit que :

λ ≥ λmin

λmin =zε/2

2

c2

(1 +

(σ

µ

)2)

Où λmin désigne le nombre minimum de sinistres espérés durant la prochaine périodepour que l’on puisse appliquer la crédibilité totale.

Il est également possible de déterminer, en utilisant la théorie de la fluctuation limitée, lenombre minimum d’années nécessaires pour pouvoir tarifer un assuré exclusivement surla base de sa propre sinistralité.

3.2.2 Crédibilité partielle

Par souci d’équité, lorsqu’un contrat se trouve sous le seuil de crédibilité totale, il faut,tout de même, tenir compte de l’expérience individuelle de l’assuré et pondérer la primed’expérience et la prime collective. Plusieurs formules différentes ont été proposées pourle facteur z.

Si on adopte le même raisonnement que pour la crédibilité totale, on est amené à détermi-ner le facteur de crédibilité tel que :

P

[|S − E[S]|E[S]

z ≥ c]≤ ε

En procédant de la même manière que précédemment, on obtient la relation :

z ≈√

λ

λmin

Whitney a , quant à lui, établi une formule portant sur le nombre d’années d’observation.Le facteur de crédibilité de Whitney est déterminé par la racine carré du ratio du nombre



de périodes d’observations n et du nombre de périodes nécessaires pour accorder unecrédibilité complète n0, soit :

z =

√nn0

si n ≤ n0

z = 1 sinon

3.2.3 Limites de la crédibilité américaine

La théorie de la fluctuation limitée est très simple à mettre en oeuvre mais elle présentede nombreux inconvénients. Son défaut majeur est qu’elle repose sur l’approximationcentral-limite. Or cette approximation ne peut être utilisée que si le nombre de sinistresest important et en réassurance plus particulièrement, on dispose en général d’un nombrelimité de données. Stéphane Bonche [1] a appliqué cette théorie à la réassurance. Il anotamment utilisé la crédibilité à variation limitée pour obtenir un critère permettant dechoisir entre une cotation Burning Cost et une cotation paramétrique. Néanmoins, lesrésultats obtenus restent bien souvent très éloignés de la réalité. Pour notre part, nous nechercherons pas à appliquer cette théorie dans ce mémoire.

3.3 Crédibilité bayésienne

3.3.1 Langage bayésien

3.3.1.1 Information a priori et profil de risque

Une cotation en assurance ou en réassurance est avant tout un problème mathématiquemais elle ne peut en aucun cas se réduire à cela. Les mathématiques seules ne permettentpas d’aboutir à un tarif fiable. Et cela parce que les informations dont l’on dispose sur lesassurés sont limitées et celles qui ont pu être récupérées doivent être considérées avecprudence. L’actuaire tarificateur doit donc formuler des hypothèses, émettre des juge-ments, faire des suppositions a priori. D’où l’intérêt que peut représenter une utilisationdes statistiques bayésiennes en tarification. Finalement les seules données absolumentfiables dont l’on dispose sont les statistiques de sinistralité, encore que pour les brancheslongues, l’actuaire ne dispose en général que des estimations des montants finaux quedevra payer la compagnie. Les choses se compliquent davantage encore en réassurance oùles actuaires sont confrontés au problème de la rareté des données.

Ainsi, bien que le risque puisse être en quelque sorte modélisé, l’assureur n’a bien souventqu’une vague idée du potentiel de pertes que représente un contrat et plus particulièrementun nouveau contrat. En fait, il n’a qu’une perception a priori, perception qu’il se fait àpartir des variables de tarification. Ces variables permettent de répartir les contrats duportefeuille d’une compagnie d’assurance ou de réassurance en classes, les contrats d’unemême classe ayant un niveau de risque relativement semblable. Ainsi, par exemple, lesdeux variables de tarification principales communément utilisées par les réassureurs, sontla branche et le type de traité. Toutefois, chaque contrat possède des caractéristiquespropres que l’on ne peut ni observer ni quantifier qui le distinguent des autres contratsd’une même classe. Afin de modéliser ces différences, on suppose que chaque contrat estcaractérisé par un paramètre (ou profil) de risque qui lui est propre.

3.3.1.2 Notations bayésiennes

Notons Nj le nombre de sinistres engendrés par un assuré particulier durant l’année j etXj la charge agrégée de sinistres correspondante. Cet assuré possède un profil de risque θqui prend ses valeurs dans Θ. Dans le cas d’un portefeuille réellement homogène Θ devraitêtre réduit à un singleton.

L’assureur ne connaît pas la valeur du paramètre de risque θ de l’assuré, en revanche il



dispose d’informations sur la classe auquelle appartient l’assuré. L’information disponibleainsi que l’incertitude portant sur θ peuvent être résumées par une loi de probabilité surΘ, dite loi a priori, de densité u(θ). Cela revient à supposer que Θ est distribuée selon u(θ)avant que X ne soit générée selon f(X|Θ = θ) où X = (X1, .., Xn)′ représente l’historiquede sinistralité disponible avec n le nombre d’années d’observation. La distribution U dedérivée u est appelée fonction de structure du portefeuille.

Soit x une réalisation de X, si l’on note L(x; θ) la densité conditionnelle de X sachantΘ = θ, la formule de Bayes permet de calculer u(θ|x), la densité de la loi dite a posteriori,représentant l’incertitude portant sur θ après avoir observé x.

u(θ|x) =u(θ)L(x; θ)

u(x)

∝ u(θ)L(x; θ)

L’approche bayésienne réalise, en quelque sorte, l’actualisation de l’information a prioripar l’observation x, au travers de u(θ|x). La situation peut être résumée par un modèleà deux urnes. La première urne représente le collectif de risques dont on sélectionneun élément θ qui conditionne le contenu de la deuxième urne dans laquelle on tire lesvariables X1, X2, ....

X1, X2, . . .

θ

Θ ∼ UΘ ∼ U X ∼ Fθ

FIGURE 3.1 – Le modèle à deux urnes

Nous supposons, en outre, que conditionnellement à Θ = θ, les variables aléatoiresX1, X2, ... sont i.i.d de fonction de répartition Fθ.

A présent, nous pouvons définir mathématiquement, les notions de prime individuelle etde prime collective :

− Nous appelons prime individuelle, la variable π(Θ) = E[Xn+1|Θ].

− Nous appelons prime collective, la quantité π0 = E[π(Θ)] =∫π(θ)dθ.

L’objectif de l’actuaire tarificateur est de trouver pour chaque contrat caractérisé par leparamètre de risque θ le meilleur estimateur π(θ) de la prime individuelle.



3.3.1.3 Prime de Bayes

La prime de Bayes est définie par l’espérance a posteriori de π(Θ) :

PBayes = π(Θ) = E[π(Θ)|X]

où X = (X1, ..., Xn)′ est toujours le vecteur aléatoire représentant l’historique de sinistra-lité de l’assuré considéré.

Théorème 1. Au regard du critère de l’erreur quadratique moyenne, π(Θ) est le meilleurestimateur de π(Θ).

Preuve.

Soit π(Θ) un estimateur de π(Θ) et π(Θ) = E[π(Θ)|X], la prime de Bayes. On a :

E

[(π(Θ)− π(Θ)

)2]

= E

[E

[(π(Θ)− π(Θ) + π(Θ)− π(Θ)

)2

|X]]

E[(π(Θ)− π(Θ))(π(Θ)− π(Θ))|X

]= π(Θ)E[π(Θ)|X]− E[π(Θ)π(Θ)|X]︸︷︷︸

=0

−π(Θ)2

+ π(Θ)2

D’où :

E

[(π(Θ)− π(Θ)

)2]

= E

[(π(Θ)− π(Θ)

)2]

+ E

[(π(Θ)− π(Θ)

)2]

Et donc finalement :

E

[(π(Θ)− π(Θ)

)2]≤ E

[(π(Θ)− π(Θ)

)2]

Ce qui permet de conclure.

Le schéma ci-dessous résume la démarche bayésienne :

Estimation de la

prime de Bayes π(Θ)

Loi a posteriori de

densité u(θ|x1, . . . , xn)

X1, . . . , Xi, . . . , Xn

Xi|θ ∼ FθLoi a priori de densité u(θ)

Les observations

x1, x2, . . . xnL’information a priori

FIGURE 3.2 – Démarche bayésienne pour l’estimation de la prime de Bayes



3.3.1.4 Modélisation de l’information a priori

Comme le montre le schéma précédent, pour déterminer la prime de Bayes, il est nécessairede spécifier la loi conditionnelle Fθ des charges agrégées de sinistres ainsi que la distribu-tion a priori U . Le choix de la loi a priori est souvent perçu comme une difficulté majeurede l’approche bayésienne en ce que l’interprétation de l’information a priori disponibleest rarement assez précise pour conduire à la détermination d’une seule et unique loi.Dans la pratique, le choix de la loi a priori comporte une certaine part d’arbitraire. Engénéral, on a recours à des lois usuelles (loi normale, loi gamma,. . .) et/ou à des loisdites conjuguées (voir définition ci-après). L’information a priori est alors utilisée pourdéterminer les paramètres de la loi a priori appelés hyperparamètres.

Notons F = Fθ | θ ∈ Θ la famille des distributions possibles et U = Uγ(θ) |γ ∈ Γ lafamille des fonctions de structure.

La famille U doit être assez grande pour contenir les distributions qui peuvent décrire lecollectif mais aussi petite qu’il est possible de représenter notre connaissance du collectif.Idéalement, les familles U et F devraient être choisies de manière à ce que la prime deBayes puisse s’exprimer analytiquement.

Définition 2 (Famille de distributions conjuguées). La famille U est conjuguée à la familleF si, pour tout γ ∈ Γ et pour toute réalisation x du vecteur des observations X, il existe γ

′ ∈ Γtel que :

Uγ(θ|X = x) = Uγ′ (θ) pour tout θ ∈ Θ

L’un des principaux intérêts d’utilisation des familles de distributions conjuguées est quela distribution a posteriori obtenue sur une période peut être utilisée comme a prioride la période suivante. Nous appelerons formules de mise à jour, les règles permettantde passer de la distribution a priori à la distribution a posteriori. On renvoie le lecteurau paragraphe 4.3 du chapitre 4 pour une explication plus détaillée des méthodes demodélisation de l’information a priori et notamment d’estimation des hyperparamètres.

3.3.2 Le modèle de Bühlmann

Il n’est pas dans notre objectif de calculer, à tout prix, la prime de Bayes. On souhaite,avant tout, calculer la prime de crédibilité, c’est-à-dire le meilleur estimateur de π(Θ)s’exprimant comme une combinaison convexe de la prime d’expérience et de la primemarché. Bien entendu, comme la prime de Bayes, π(Θ) est le meilleur estimateur de π(Θ)(lorsque la qualité des estimateurs est évaluée par l’erreur quadratique moyenne), il seraitintéressant que ces deux primes coïncident. Malheureusement, la prime de Bayes est uneprime de crédibilité dans certains cas seulement. L’idée d’Hans Bühlmann est de forcerla prime bayésienne à être linéaire et d’obtenir une expression simple pour le facteur decrédibilité.

3.3.2.1 Formule de Bühlmann

Considérons un portefeuille constitué de I risques similaires. Nous notons Xi = (Xi1, ..., Xin)′

le vecteur des observations associé au risque i et Θi son profil de risque. On a :



Variables non Observations

observables 1 . . . k . . . n

Θ1 X11 . . . X1k . . . X1n

......

...

Θi Xi1 . . . Xik . . . Xin...

......

ΘI XI1 . . . XIk . . . XIn

TABLE 3.1 – Notations du modèle de Bühlmann

Nous cherchons à trouver, pour chaque risque individuel i, un estimateur de la prime indi-viduelle π(Θi). Bühlmann a restreint son cadre de travaille à la classe des estimateurs quisont linéaires en les observations, (Xij)1≤i≤I,1≤j≤n. Nous allons montrer que le meilleurestimateur linéaire en les observations est une prime de crédibilité.

Dans le modèle de Bühlmann, on se place dans le cadre où les deux hypothèses sui-vantes sont vérifiées :

− (H1) Les variables Xij(j = 1, . . . , n) sont conditionnellements à Θi = θ, indépen-dantes et identiquement distribuées selon une loi Fθ avec les moments conditionnelssuivants :

π(Θi) = E[Xij |Θi]

σ2(Θi) = V ar[Xij |Θi]

− (H2) Les couples (Θ1,X1), . . . , (ΘI ,XI) sont indépendants et identiquement distri-bués.

Notonsπ(Θi) le meilleur estimateur linéaire en les observations de π(Θ).

Théorème 3 (Modèle de Bühlmann). Sous les hypothèses (H1) et (H2), l’estimateur decrédibilité est donné par :

π(Θi) = z × Xi + (1− z)× π0

avec π0 = E[π(Θi)] et z = nn+σ2/τ2 où τ2 = V ar[π(Θi)] et σ2 = E[σ2(Θi)]

Preuve.

L’estimateur de crédibilitéπ(Θi) est de la forme :

π(Θi) = a

(i)0 +

I∑k=1

n∑j=1

a(i)kjXkj

Comme la distribution de Xi est invariante par permutation des Xij(j = 1, . . . , n), on a :

π(Θi) = a

(i)0 +

I∑k=1

a(i)k Xk

où

Xk =1

n

n∑j=1

Xkj



et (a

(i)0 , a

(i)k

)= argmin E [(π(Θi)− a(i)

0 −I∑k=1

a(i)k Xk

)2]

Les équations aux dérivées partielles de ce problème sont : E[π(Θi)− a(i)

0 −∑Ik=1 a

(i)k Xk

]= 0

E[Xj(π(Θi)− a(i)

0 −∑Ik=1 a

(i)k Xk)

]= 0 ∀1 ≤ j ≤ I

Si l’on substitue la première équation aux dérivées partielles, dans les I suivantes, onobtient :

E[Xjπ(Θi)

]− E [π(Θi)]E[Xj ] =

I∑k=1

a(i)k

(E[XjXk]− E[Xj ]E[Xk]

)∀1 ≤ j ≤ I

Soit

Cov(Xj , π(Θi)

)=

I∑k=1

a(i)k Cov

(Xk, Xj ,

)∀1 ≤ j ≤ I

OrCov

(Xk, Xj ,

)= δjkV ar[Xj ]

DoncCov

(Xj , π(Θi)

)= a

(i)j V ar[Xj ] ∀1 ≤ j ≤ I

D’autre part, d’après l’hypothèse (H2) du modèle,

Cov(Xj , π(Θi)

)= 0 si i 6= j

Par conséquent : a

(i)j = 0 si i 6= j

a(i)i = Cov(Xi,π(Θi))

V ar[Xi]

a(i)0 = E[π(Θi)]− a(i)

i E[Xi]

Cov(Xi, π(Θi)) = E[Xiπ(Θi)]− E[Xi]E[π(Θi)]

Or E[π(Θi)] = E[E[Xi|Θi]] = E[Xi] = E[Xi]

E[Xiπ(Θi)] = E[E[Xiπ(Θi)|Θi]] = E[π(Θi)2]

D’oùCov(Xi, π(Θi)) = E[π(Θi)

2]− E[π(Θi)]

2= V ar[π(Θi)] = τ2

De plus, d’après la formule de décomposition de la variance,

V ar[Xi] =E[σ2(Θi)]

n+ V ar[π(Θi)] =

σ2

n+ τ2



En outre,E[π(Θi)] = E[Xi] = π0

On obtient donc :

a(i)i =

n

n+ σ2/τ2

a(i)0 =

(1− a(i)

i

)π0

Enfin, en notant z = a(i)i , on retrouve l’expression de la prime de Bühlmann énoncée dans

le théorème 3.

Nous remarquons que l’estimateur de crédibilité π(Θi), bien que basé sur l’ensembledes observations du portefeuille, ne dépend que des observations associées au risque i.

3.3.2.2 Interprétation du facteur de crédibilité de Bühlmann

Le rapport σ2/τ2 est appelé coefficient de crédibilité. Toute la difficulté du modèle deBühlmann réside dans l’estimation de ce coefficient.

R =σ2

τ2=

(σ/π0

τ/π0

)2

√R s’interprète comme le rapport entre la variabilité interne du risque et l’hétérogénéité

du portefeuille. En effet :σ

π0=

√E[V ar(Xj |Θi)]

E[Xj ]τ

π0= CoV [π(Θi)]

Le facteur de crédibilité α croît avec le nombre d’années d’observation n, avec l’hétérogé-néité du portefeuille τ

π0et décroît avec la variabilité interne au risque σ

π0.

Il est possible de réécrire la prime de crédibilité de la façon suivante :

π(Θi) =

σ2h

σ2h + σ2

Xi

Xi +σ2Xi

σ2h + σ2

Xi

π0

Où σ2Xi

= E[V ar(Xi|Θ)

]= σ2

n

σ2h = τ2 = V ar[π(Θ)]

En effet,

z =n

n+ σ2

τ2

=τ2

τ2 + σ2

n

=σ2h

σ2h + σ2

Xi

σh modélise l’hétérogénéité du portefeuille marché et σXi l’erreur commise lors de l’esti-mation de la prime pure (mesurée par l’écart-type de l’estimateur de cette prime).

Cette écriture est plus naturelle et intuitive que celle du théorème 3 dans la mesure



où elle “met en balance” l’hétérogénéité du marché et l’erreur liée à l’estimation de laprime pure. Ainsi, le modèle favorise la prime d’expérience sur la prime marché lorsquel’hétérogénéité du marché est très importante comparée à l’erreur liée au calcul de laprime pure et inversement.

3.3.2.3 Erreur quadratique moyenne de la prime Bühlmann

Théorème 4 (Erreur quadratique moyenne). L’erreur quadratique moyenne de l’estimateurπ(Θ) vaut :

E

[(π(Θi)− π(Θi)

)2]

= (1− z)τ2 = zσ2

n

Preuve.

E


)2]

= E[(zXi + (1− z)π0 − π(Θi)

)2]= z2E

[(Xi − π(Θi)

)2]︸︷︷︸=σ2

n

+(1− z)2E[(π0 − π(Θi))

2]

︸︷︷︸=τ2

+2z(1− z)E[(Xi − π(Θi))(π0 − π(Θi))

]︸︷︷︸=0

Donc

E


)2]

= z2σ2

n+ (1− z)2

τ2

Or

z =n

n+ σ2/τ2=

τ2

τ2 + σ2/n

Doncσ2

n=

1− zz

τ2

D’où

E


)2]

= (1− z)τ2 = zσ2

n

3.3.3 Le modèle de Bühlmann-Straub

Il semble raisonnable de penser que les pertes récentes sont plus représentatives des pertesà venir que les pertes passées notamment parce que l’exposition du contrat considéréchange (augmentation ou diminution du nombre de polices). Or le modèle de Bühlmannque l’on vient de décrire suppose que les charges annuelles de sinistres sont indépendanteset identiquement distribuées :


σ2(Θi) = V ar[Xij |Θi]

C’est une hypothèse forte qui ne se trouve jamais vérifiée en pratique (la taille d’uncontrat change toujours au fil du temps). Afin de tenir compte des variations de l’exposi-tion au risque, Bühlmann et Straub ont généralisé le modèle précédent en attribuant unpoids aux pertes annuelles. On a :



Variables non Observations Poids

observables 1 . . . k . . . n 1 . . . k . . . n

Θ1 X11 . . . X1k . . . X1n ω11 . . . ω1k . . . ω1n

......

......

...

Θi Xi1 . . . Xik . . . Xin ωi1 . . . ωik . . . ωin...

......

......

ΘI XI1 . . . XIk . . . XIn ωI1 . . . ωIk . . . ωIn

TABLE 3.2 – Notations du modèle de Bühlmann-Straub

De plus, intuitivement, on s’attend à ce que l’expérience d’un “gros” contrat soit plusstable dans le temps que celle d’un “petit” contrat. Autrement dit, la variance condition-nelle devrait être décroissante avec l’exposition au risque. Les hypothèses du modèle deBühlmann-Straub sont les suivantes :

− (H1) Les variables Xij(j = 1, . . . , n) sont, conditionnellements à Θi, indépendantesavec les moments conditionnels :


σ2(Θi) = ωijV ar[Xij |Θi]

− (H2) Les couples (Θ1,X1), . . . , (ΘI ,XI) sont indépendants et les Θ1, . . . ,ΘI identi-quement distribués.

Théorème 5 (Modèle de Bühlmann-Straub). Sous les hypothèses (H1) et (H2), l’estimateur(non-homogène) de crédibilité est donné par :

π(Θi) = zi × Xi + (1− zi)× π0

où

Xi =∑j

ωijωi•

Xij ,

ωi• =∑j

ωij ,

zi =ωi•

ωi• + σ2

τ2

,

Preuve.Nous ne démontrons pas ce théorème mais la démonstration figure dans le livre deBühlmann & Gisler [3] publié en 2005.

3.3.4 Le cas particulier du modèle Poisson/Gamma

Dans cette section, on suppose que les différences de profil de risque entre les assurésd’une classe de risque particulière sont mieux expliquées par les nombres de sinistresque par leur taille. Autrement dit, on suppose que la distribution relative à l’intensité dessinistres est la même pour tous les assurés de la classe. Par conséquent dans la suite decette section, on ne prêtera pas attention aux coûts annuels des sinistres mais uniquementaux nombres annuels de sinistres. En outre, nous choisissons une loi Gamma comme loia priori. Ce qui est un choix avisé car, nous allons le démontrer, la loi Gamma et la loiPoisson sont conjuguées.



3.3.4.1 Prime de crédibilité

Les hypothèses du modèle de Bühlmann deviennent :

− (H1) Les variables aléatoires (Nj)(j=1...n) sont, conditionnellement à Θ = θ, indé-pendantes et identiquement distribuées selon une loi de poisson de paramètre θ :

P (Nj = k|Θ = θ) = e−θθk

k!, pour k ∈ N

− (H2) Θ est distribuée selon une loi Gamma de paramètres a et b, Θ a donc pourdensité :

u(θ) =ba

Γ(a)θa−1e−bθ, pour θ ≥ 0

Nous pouvons donner une interprétation très simple des paramètres de structure.

E[Θ] =a

bet V ar[Θ] =

a

b2donc b =

E[Θ]

V ar[Θ]et a =

E[Θ]2

V ar[Θ]

Ainsi a et b peuvent être vus comme des mesures de l’homogénéité de la classe. Plus a etb sont petits plus la distribution de Θ est dispersée autour de la moyenne. b s’interprèteégalement comme la précision de l’a priori : plus b est grand, plus V ar[Θ] est petit et doncplus l’information a priori est précise.

L’expression de la prime de crédibilité de Bühlmann devient :

π(Θ) = z × N + (1− z)× π0

avec π(Θ) = E[N |Θ] = Θ et π0 = E[π(Θ)] = E[Θ] = ab .

z =n

n+ σ2/τ2

oùτ2 = V ar[π(Θ)] = V ar[Θ] =

a

b2

σ2 = E[σ2(Θ)] = E[V ar[N |Θ]] =a

b

Doncz =

n

n+ b

On constate que le facteur de crédibilité est croissant avec le nombre d’années d’observationet décroissant avec b. Ce qui n’est pas surprenant car plus on dispose d’informationsindividuelles, plus on accorde de crédit au passé sinistre de l’assuré et plus le collectif esthomogène, plus on accorde de crédit à la prime collective.

3.3.4.2 Prime de Bayes

Nous allons montrer que pour le modèle Poisson/Gamma la prime de Bayes est confondueavec la prime de crédibilité.

PBayes = E[π(Θ)|N] = E[Θ|N]



où N = (N1, ..., Nn)′ désigne l’historique de sinistralité de l’assuré.

E[Θ|N = n] =

∫θuθ|N(θ|n1, ..., nn)dθ

Il faut donc déterminer uθ|N, la densité a posteriori de Θ sachant N, pour obtenir la primede Bayes.

uθ|N(θ|n1, ..., nn) ∝ L(n1, ..., nn|θ)× uΘ(θ)

=

n∏j=1

θnje−θ

nj !· ba

Γ(a)θa−1e−bθ

=θ∑nj=1 nje−nθ∏nj=1 nj !

· ba

Γ(a)θa−1e−bθ

∝ θa+∑nj=1 nj−1e−(b+n)θ

La dernière ligne de calcul correspond au noyau de la densité d’une loi Gamma de pa-ramètres a

′= a +

∑nj=1 nj et b

′= b + n. Par conséquent les lois Gamma et Poisson

sont des lois conjuguées puisqu’elles vérifient la définition 2. On se rend bien compte surcet exemple de l’intérêt de l’utilisation de lois conjuguées. Il est, en effet, très facile dedéterminer les paramètres de la distribution a posteriori.

De plus

PBayes =a′

b′=a+

∑nj=1 nj

b+ n=

n

n+ b×∑nj=1 nj

n+

b

n+ b× a

b

Et donc

PBayes = z ×∑nj=1 nj

n+ (1− z)× a

b=

π(Θ)

Nous avons donc démontré que pour les lois conjuguées Gamma et Poisson, la prime deBayes et la prime de crédibilité de Bühlmann sont confondues.

Par conséquent :

E[Θ|N] =n

n+ bN +

b

n+ bE[Θ]

L’estimation bayésienne de Θ apparaît comme la moyenne pondérée de N (c’est-à-direde l’estimation de Θ par maximum de vraisemblance) et de la moyenne a priori E[Θ].Géométriquement, E[Θ|N] est le barycentre des points N et E[Θ] affectés respectivementdes poids n et b.



Chapitre 4

La crédibilité bayésienneappliquée à la réassurance

C’est Straub [32] qui le premier, en 1971, à chercher à appliquer les modèles de crédibilitédéveloppés par Bühlmann à la réassurance en excédent de sinistre. Patrik et Mashitz[28] ont ensuite repris son travail et l’ont développé dans leur article de 1990. Toutefois,ces trois auteurs bornent leur travaux à la crédibilité des nombres de sinistres et neconsidérent pas les pertes agrégées, qui sont pourtant le réel élément d’intérêt lors de latarification d’un excédent de sinistre. Un peu plus tard, Cockroft [7] a établit une formulede crédibilité pour les charges agrégées de sinistres en s’appuyant sur un article écrit parOle Hesslager [15]. Dans cette partie, nous décrivons, implémentons et comparons lesdifférentes approches de crédibilité bayésienne appliquées à la réassurance.

Considérons un traité en excédent de sinistre dont l’on cherche à coter l’une des tranchesl xs d. On note c le seuil de communication de la cédante. Cette dernière transmetdonc la liste des sinistres dont le montant dépasse le seuil c durant une période [0, T ].Dans ce chapitre, nous nous bornons aux modèles fréquence/sévérité classiques du typePoisson/Pareto.

4.1 L’approche purement fréquentielle

Le modèle présenté dans cette section fait complétement abstraction de l’intensité dessinistres et réduit la prime au seul paramètre de fréquence. Cependant, cela vaut la peinede s’y arrêter et de l’étudier et ce pour essentiellement deux raisons. D’une part, danscertains cas, le facteur de crédibilité déterminé par le biais de ce modèle peut directementêtre utilisé pour pondérer la prime individuelle et la prime marché. Notamment, lorsquele contrat que l’on cherche à tarifer appartient à une classe de risque pour laquelle ladistribution de sévérité est connue et identique pour toutes les cédantes constituant laclasse. D’autre part, il s’agit, ni plus ni moins, du modèle Poisson/Gamma vu en 3.3.4,transposé au cadre de la réassurance. Or, pour le modèle Poisson/Gamma, non seulementl’estimateur bayésien est linéaire en les observations mais en plus l’expression du facteurde crédibilité est particulièrement simple.

4.1.1 Transposition des modèles de Bühlmann et Bühlmann-Straub

Reprenons les notations du modèle Poisson/Gamma décrites dans la partie précédente àsavoir (N (j))j=1,..,n désigne les nombres de sinistres repertoriés durant les n années pourlesquelles des données sont disponibles. De plus, nous notons Nd(j) la variable aléatoirecaractérisant le nombre de sinistre dépassant la priorité d et qd = P [X > d] la probabilitéqu’un sinistre dépasse la priorité d. Dans la suite, afin de ne pas complexifier la théorie, onomet l’indice de période (j).



Lemme 1. Nd | Θ = θ est encore de loi de Poisson de paramètre qdθ

Preuve.

P (Nd = n|Θ = θ) =

∞∑k=0

P (N = k|Θ = θ)P (Nd = n|N = k)

=

∞∑k=0

θke−θ

k!

k!

(k − n)!n!(1− qd)k−nqdn

=qdne−θ

n!

∞∑k=0

θk

(k − n)!(1− qd)k−n

=qdne−θ

n!θn∞∑k=0

θk−n

(k − n)!(1− qd)k−n

=(qdθ)

ne−θ

n!eθ(1−qd)

=(qdθ)

n

n!e−θqd

D’où Nd|Θ ∼ P (qdΘ).

Notons Θd=qdΘ. On a :E[Nd |Θ] = Θd = qd · E[N |Θ]

En particulier, si X ∼ Pareto(λ, α) alors qd = P (X > d) =(λd

)αet

E[Nd |Θ] =

(λ

d

)α· E[N |Θ]

Autrement dit, une fois que le paramètre de forme α de la loi de Pareto est calibré au seuilde modélisation λ, on peut obtenir facilement la fréquence de sinistralité de tranches plusélevées.

Nous pouvons également montrer que :

Lemme 2. Θd est encore de loi de Gamma de paramètre (a, b/qd)

Preuve.

P (qdΘ ≤ x) = P (Θ ≤ x/qd)

=

∫ x/qd

0

baθa−1e−bθ

Γ(a)dθ

Soit

Θ′

= Θd = qdΘ alors Θ = Θ′

qdet dΘ = 1

qddΘ′.

Et la dernière intégrale devient :∫ x

0

(b

qd)a θ′a−1

Γ(a)e−bθ

′/qd dθ

′

D’où Θd ∼ Γ(a, bqd ).



Rappelons que, pour un risque i, le meilleur estimateur linéaire de la prime individuelleselon le critère d’erreur quadratique moyenne est :

π(Θi) = z × Xi + (1− z)× E[π(Θi)]

avec z =n

n+ bs’il s’agit du théorème de Bühlmann et z =

ωi•ωi• + b

s’il s’agit du théorème

de Bühlmann-Straub.

Si on applique maintenant ces formules au couple (Nd,Θd), la meilleure estimation

linéaire de E[Nd|Θ], notée θλd , est :

π(Θd) = θλd = zd × Nd + (1− zd)× a

bqd

Dans le cas du modèle de Bühlmann :

zd =n

n + b/qd

Et dans le cas du modèle de Bühlmann-Straub :

zd =ωi•

ωi• + b/qd.

Si X suit une loi de Pareto de paramètres (λ, α), le facteur de crédibilité peut se réécrire,par exemple, dans le cas du modèle de Bühlmann :

zd =n

n+ b/(λd )α

4.1.2 Interprétation du facteur de crédibilité

Priorité

2e+06

4e+06

6e+06

8e+06

1e+07Nombre d'années d'observa

tion

0

5

10

15

20

Facteur de crédibilité

0.0

0.2

0.4

0.6

FIGURE 4.1 – Evolution du facteur de crédibilité en fonction de la priorité et du nombre d’annéesd’observation

Comme pour le modèle Poisson/Gamma développé supra, nous constatons que le facteurde crédibilité augmente avec le nombre d’années d’observation n et décroît lorsque b



augmente. Ce qui n’est pas étonnant si l’on se souvient que b est une mesure de l’ho-mogénéité du collectif. En outre, nous remarquons que le facteur de crédibilité décroîtégalement lorsque la priorité augmente. Ce qui n’est pas surprenant non plus puisque plusla priorité augmente, plus le nombre de sinistres dépassant la priorité est faible et moinson accorde d’importance à la prime calculée sur base expérience. La figure 4.1 représentele graphique 3D obtenu lorsque l’on fait varier simultanément la priorité de 1 M à 10 M(peu importe l’unité monétaire), la longueur de l’historique de 0 à 20 années, pour un seuilde modélisation égal à 0.75 M et les paramètres suivants : b = 5 et α = 1.2.

4.1.3 Mise en oeuvre du modèle

4.1.3.1 Cadre général

Une première méthode consiste à appliquer le modèle Poisson/Gamma directement auxfréquences estimées par maximum de vraisemblance, θc et θm, avant même de faire jouerles bornes du traité et à utiliser cette fréquence crédibilisée pour obtenir, par simulationsstochastiques, une estimation de la prime pure. Dans ce cas là, nous n’avons pas besoindes résultats qui ont été présentés dans la section 4.1.1 et nous pouvons nous contenterde ce qui a été vu dans la section 3.3.4. Toutefois, cela ne remplit pas complètementnotre objectif puisque nous n’obtenons pas une prime de crédibilité qui s’écrit comme unecombinaison convexe de la prime pure individuelle et de la prime marché.

Il existe une deuxième méthode qui consiste à appliquer directement aux taux de primesle facteur de crédibilité, zd, calculé grâce aux résultats de la section 4.1.1 :

π = zd × πc + (1− zd)× πm

Bien entendu, cette méthode n’est mathématiquement pas fondée. Stéphane Bonche l’ap-plique sans vergogne dans son mémoire [1] arguant que c’est un gain considérable enterme de temps et de communication. De plus, selon lui, les résultats ne diffèrent pastrop de ceux que l’on obtiendrait avec un modèle adapté aux pertes agrégées de sinistres.Nous aurons l’occasion de discuter ce propos une fois que nous aurons présenté l’approchecombinant fréquence et sévérité. Nous y reviendrons, notamment, dans la troisième etdernière partie de ce mémoire dédiée à une application 1.

Ces deux mises en oeuvre possibles sont illustrées sur la figure 4.2. La première estindiquée en traits pointillés et rouges alors que la deuxième apparaît en traits pleins etnoirs.

4.1.3.2 Cadre simplifié

Supposons que l’intensité des sinistres est approximativement la même pour toutes lescédantes du portefeuille marché considéré, c’est-à-dire que seule la fréquence des sinistresvarie d’une cédante à l’autre. Alors, dans ce cas, le subterfuge de la deuxième méthodequi consiste à pondérer la prime individuelle et la prime marché par zd, le facteur decrédibilité du modèle purement fréquentiel, est justifié d’un point de vue mathématiquepuisque le modèle collectif (qui est à la base de tout modèle de tarification) permet uneanalyse séparée de la fréquence et de la sévérité.

1. Se reporter à la page 96 et au tableau 8.1



Cédante que l’onsouhaite tarifer

extrapolation

Marché

extrapolation

Agrégation des

“données cédantes”

Statistiques ultimes

Sinistres corrigés de l’inflation, des IBNR,. . .

profil de risqueΘ ∼ Gamma(a, b)

zc = ncnc+b

θλ = zc × θcλ

+ (1− zc)× ˆθmλ

zdc = ncnc+b/qd

Estimations par

MV

Estimations par

MV

θcλ, αc

λ

αcλ ,

θmλ, αm

λ

πcd,l πm

d,l

πd,l = zdc × πcd,l + (1− zdc )× πmd,l

Simulations

stochastiques

cf algorithme page 18

••••

••••

•

Simulations

stochastiques


••••

••••

•

FIGURE 4.2 – Schéma représentant le fonctionnement du modèle bayésien purement fréquentiel

4.2 Approche combinant fréquence et sévérité

Nous allons présenter un modèle plus élaboré permettant de prendre en considérationl’intensité des sinistres. Dans la section précédente, afin de traiter la crédibilité des nombresde sinistres, nous avons résumé le profil de risque de chaque contrat par un uniqueparamètre de risque θ ∈ Θ. A présent, afin de construire un modèle de crédibilité pourles pertes agrégées, nous allons avoir besoin d’introduire deux paramètres pour définir leprofil de risque d’un contrat, un paramètre de risque θ relatif à la fréquence des sinistreset un deuxième paramètre ψ relatif à l’intensité des sinistres.



4.2.1 Modélisation de l’intensité des sinistres

Il existe deux versions de la loi de Pareto selon que l’on s’intéresse aux variables tronquéesou non. Ces deux versions ont été détaillées dans l’annexe A. Ainsi en réassurance, si l’onconsidère les sinistres aux premiers euros dont les montants appartiennent à la tranchel xs d, on utilisera la définition européenne de la loi de Pareto alors que si l’on s’intéresse àla charge de sinistralité de cette tranche, on utilisera la définition américaine. Par défautet jusqu’à présent, nous avons utilisé la définition européenne. En effet, comme le courtiertransmet la liste des sinistres FGU supérieurs au seuil de communication, il est natureld’y avoir recours. Toutefois, dans cette partie, nous utiliserons également la définitionaméricaine.

Soit une variable aléatoire X de loi de Pareto de paramètres (λ,Ψ). Selon la définitionaméricaine, sa fonction de répartition s’écrit :

Fλ,Ψ(x) = 1−(

λ

λ+ x

)Ψ

Considérons les sinistres excédant la priorité d et définissons la variable aléatoire Xd

comme suit :

Xd =

X − d si X > d

0 si X ≤ d

4.2.1.1 Lois a priori et a posteriori

Comme dans l’approche fréquentielle, nous modélisons la loi a priori par une loi Gammade paramètres s et t et de densité v. Montrons que la loi Gamma et la loi de Pareto sontconjuguées, c’est-à-dire que la loi a posteriori est encore une loi Gamma.

Théorème 1.

Ψ|X ∼ Gamma(s+ n, t+

n∑i=1

ln

(λ+ xiλ

))

Preuve.

X|Ψ ∼ Pareto (Ψ, λ) donc : f(x) = ΨλΨ(λ+ x)−(Ψ+1)

= Ψλ ( λ

λ+x )Ψ+1

Ψ ∼ Gamma(s, t) donc : v(ψ) = tse−tψψs−1

Γ(s)

vΨ|x(ψ|x1, . . . , xn) ∝ L(x1, . . . xn|ψ)× vΨ(ψ)

=

n∏i=1

Ψ

λ(

λ

λ+ xi)Ψ+1

· tse−tψψs−1

Γ(s)

=Ψnλnψ∏n

i=1 (λ+ xi)ψ+1· tse−tψψs−1

Γ(s)

∝ ψs+n−1e−(t+

∑i ln(λ+xiλ

))ψ

La dernière ligne correspond au noyau de la densité d’une loi Gamma de paramètres s+ net t +

∑ni ln

(λ+xiλ

). Au passage, nous avons également établi les règles de mise à jour

des paramètres s et t permettant de passer de la distribution a priori à la distribution aposteriori.



4.2.1.2 Propriété de stabilité par seuillage

Nous allons montrer qu’une loi de Pareto tronquée à gauche demeure une loi de Pareto.

Théorème 2. Xd suit encore une loi de Pareto de paramètres (λ+ d,Ψ).

Preuve.

P (Xd ≤ x) = P (X ≤ x+ d|X > d)

=P (d < X ≤ x+ d)

P (X > d)

=

(λλ+d

)Ψ

−(

λλ+d+x

)Ψ

(λλ+d

)Ψ

= 1−(

λ+ d

λ+ d+ x

)Ψ

Nous allons redéfinir Xd de sorte à inclure la limite l.

Xd =

l si X > l + d

X − d si d < X ≤ l + d

0 si X ≤ d

Nous conservons cette définition dans la suite de cette section.

4.2.2 Expression analytique exacte du facteur de crédibilité

4.2.2.1 Notations

Venons-en à présent au modèle développé par Cockroft.

Comme précédemmment N (j) désigne le nombre de sinistres FGU reportés par les assurésà l’assureur pendant la période j et Y (j)

1 , Y(j)2 , ...., Y

(j)k les montants correspondants où k

est une réalisation de la variable N (j). Nous faisons les hypothèses suivantes :

(H1) ∀j Y(j)1 , Y

(j)2 , ...., Y

(j)k sont indépendants de Nj .

(H2) ∀j Y(j)1 , Y

(j)2 , ...., Y

(j)k sont i.i.d.

(H3) ∀j N (j)|Θj = θj ∼ Poisson(θj) avec Θj ∼ Gamma(a, b).

(H4) ∀j ∀i Y (j)i |Ψj = ψj ∼ Pareto(λj , ψj) avec Ψj ∼ Gamma(s, t).

Soit Nd(j) le nombre de sinistre dépassant la priorité pendant la période j.

N(j)d =

N(j)∑i=1

I(Y(j)i > d)

En outre, nous notons Y (j)d,i , i = 1, ...N

(j)d les coûts des sinistres FGU dépassant la priorité,

X(j)d,i , i = 1, ...N

(j)d les charges correspondantes pour la tranche l xs d et Z(j) la charge

agrégée de cette tranche.

X(j)d,i = min(Y

(j)d,i , l + d)− d

Z(j) =

N(j)d∑i=1

X(j)d,i



Comme dans la partie précédente, l’indice de période (j) est omis dans les prorpiétés etdémonstrations qui suivent.

Les propriétés démontrées précédemment sont, bien entendu, toujours valables :

∀i Xd,i ∼ Xd

Nd|Θ ∼ Poisson(Θd) où Θd = Θ

(λ

λ+ d

)Ψ

Θd ∼ Gamma(a, b/qd)

Nous notons Φ la paire de paramètres (Θd,Ψ) et nous désignons par er(Φ) le momentcentrale d’ordre r de la distribution de la charge agrégée Z conditionnellement à Φ.

4.2.2.2 Position du problème

Nous voulons déterminer la meilleure estimation linéaire de la prime individuelle de latranche l xs d, e1(Φ) = E[Z |Φ].

Pour cela, nous allons appliquer le théorème de Bühlmann. Nous en profitons pourrappeler l’expression de la prime de crédibilité.

π(Θ) = z × X + (1− z)× E[π(Θ)] où z =

n

n+ ρavec ρ =

σ2

τ2=

E[σ2(Θ)]

V ar[π(Θ)]

Les équivalences de notations entre les deux modèles sont les suivantes :

Θ ∼ Φ = (Θd,Ψ)

π(Θ) ∼ e1(Φ)

σ2(Φ) ∼ e2(Φ)

En adaptant les notations, la meilleure estimation de la prime individuelle, que l’on notee1(Φ), peut s’écrire :

e1(Φ) = z × Z + (1− z)× E[e1(Φ)]

avec

σ2 = E[e2(Φ)]

τ2 = V ar[e1(Φ)] = E[e1(Φ)2]− E[e1(Φ)]

2

La suite consiste en une succession de lemmes et théorèmes permettant d’aboutir àl’estimation voulue.

4.2.2.3 Expression des deux premiers moments

Lemme 3. er(Φ) = Θd

∑rj=1

(r−1j−1

)πj(Ψ)E[Zr−j |Φ] pour r = 1, 2, ... où πj(Ψ) = E[Xd

j |Ψ]

Preuve.Nous ne démontrons pas ce lemme mais la démonstration figure dans l’article de Goovaertsdatant de 1984 intitulé Insurance Premiums.



Lemme 4. e1(Φ) = Θdπ1(Ψ) et e2(Φ) = Θdπ2(Ψ).

Preuve.e1(Φ) = E[Z|Φ] = E[Nd|Θ,Ψ]× E[Xd|Ψ] = Θdπ1(Ψ)car Nd et Xd sont des variables indépendantes.

e2(Φ) = E[(Z − e1(Φ))2|Φ] = E[Z2|Φ]− e1(Φ)

2.

D’après le lemme 1 :

E[Z2|Φ] = Θd

2∑j=1

(1

j − 1

)πj(Ψ)E[Z2−j |Φ]

= Θdπ1(Ψ)E[Z|Φ] + Θdπ2(Ψ)

= [Θdπ1(Ψ)]2

+ Θdπ2(Ψ)

Par conséquent on a bien : e2(Φ) = Θdπ2(Ψ).

Lemme 5.

E[e1(Φ)] = (a/b)E[[λ/λ+ d]Ψπ1(Ψ)]

E[e2(Φ)] = (a/b)E[[λ/λ+ d]Ψπ2(Ψ)]

Preuve.Ce lemme découle directement du précédent.

Lemme 6.

πr(Ψ) = (λ+ d)rr∑j=0

(r

j

)(−1)

r−j j

Ψ− j

(1−

(λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ−j)

Preuve.

Nous renvoyons le lecteur à l’annexe C pour la démonstration de ce lemme.

Lemme 7.

πr(Ψ) = (λ+ d)r∞∑i=r

[ln

(λ+ l + d

λ+ d

)]i1

i!

i−r∑l=0

(i− 1

l

)(−1)

lΨlgr(i− l)

où

gr(m) =

r∑j=0

(−1)r−j

jm

Preuve.Nous pouvons réécrire

(λ+dλ+d+l

)Ψ−jde la façon suivante :(

λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ−j

= e(Ψ−j) ln( λ+dλ+d+l )

=

∞∑i=0

[ln

(λ+ l + d

λ+ d

)]i(Ψ− j)i

i!

= 1− (Ψ− j)∞∑i=1

[ln

(λ+ l + d

λ+ d

)]i(j −Ψ)i−1

i!



En substituant ce résultat dans l’expression de πr(Ψ) du lemme, on obtient :

πr(Ψ) = (λ+ d)rr∑j=0

(r

j

)(−1)r−jj

∞∑i=1

[ln

(λ+ l + d

λ+ d

)]i(j −Ψ)i−1

i!

= (λ+ d)rr∑j=0

(r

j

)(−1)r−jj

∞∑i=1

[ln

(λ+ l + d

λ+ d

)]i1

i!

i−1∑l=0

(i− 1

l

)jn−l−1(−1)lΨl

= (λ+ d)r∞∑i=1

[ln

(λ+ l + d

λ+ d

)]i1

i!

i−1∑l=0

(i− 1

l

)(−1)lΨl

r∑j=0

(r

j

)(−1)r−jji−l︸︷︷︸

=gr(i−l)

Or, si m < r, gr(m) = 0, on peut donc réécrire la somme infinie de sorte à retrouverl’expression du lemme.

Théorème 8. E[er(Φ)] pour r = 1, 2 est donné par :

E[er(Φ)] =a

b(λ+ d)

r∞∑i=r

[ln

(λ+ l + d

λ+ d

)]i1

i!

i−r∑l=0

(i− 1

l

)(−1)

lgr(i− l)Γ(s+ l)ts

Γ(s)[t+ ln(λ+d

λ )]s+l

Preuve.D’après le lemme précédent :

πr(Ψ) = (λ+ d)r∞∑i=r

[ln

(λ+ l + d

λ+ d

)]i i−r∑l=0

(i− 1

l

)(−1)

lΨlgr(i− l)

En substituant ce résultat dans les expressions de E[e1(Φ)] et de E[e2(Φ)] du lemme , on apour r = 1, 2 :

E[er(Φ)] =a

bE

[(λ

λ+ d

)Ψ

(λ+ d)r∞∑i=r

[ln

(λ+ l + d

λ+ d

)]i1

i!

i−r∑l=0

(i− 1

l

)(−1)

lΨlgr(i− l)

]

=a

b(λ+ d)r

∞∑i=r

[ln

(λ+ l + d

λ+ d

)]i1

i!

i−r∑l=0

(i− 1

l

)(−1)

lgr(i− l)E

[(λ

λ+ d

)Ψ

Ψl

]

Comme Ψ est distribué selon une Gamma de paramètres (s, t), la propriété suivante estvérifiée :

E(Ψue−νΨ) =Γ(s+ u)ts

Γ(s)(t+ ν)s+u

Et par conséquent :

E[er(Φ)] =a

b(λ+ d)r

∞∑i=r

[ln

(λ+ l + d

λ+ d

)]i1

i!

i−r∑l=0

(i− 1

l

)(−1)

lgr(i− l)Γ(s+ l)ts

Γ(s)[t+ ln

(λ+dλ

)]s+l4.2.2.4 Calcul du facteur de crédibilité

Les théorèmes et lemmes précédents ont permis d’aboutir à une expression analytique desdeux premiers moments. Pour obtenir une expression analytique du facteur de crédibilité,il nous faut encore calculer E

[e1(Φ)

2].

Lemme 9. e1(Φ)2 peut s’écrire :

e1(Φ)2

=

(a(λ+ d)

b

)2(λ

λ+ d

)2Ψ1

(Ψ− 1)2

(1−

(λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ−1)2



Preuve.D’après le lemme 5,

e1(Φ) =a

b

(λ

λ+ d

)Ψ

π1(Ψ)

D’après le lemme 6,

e1(Φ) =a

b

(λ

λ+ d

)Ψ

(λ+ d)

1∑j=0

(1

j

)(−1)j

j

Ψ− j

(1−

(λ+ d

λ+ d+ l

)Ψj)

Donc

e1(Φ) =a

b

(λ

λ+ d

)Ψ

(λ+ d)1

Ψ− 1

(1−

(λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ1)

En élevant cette expression au carré, on retrouve l’expression du lemme.

Théorème 10. E[e1(Φ)2] peut s’écrire :

E[e1(Φ)2] =

(a(λ+ d)

b

)2ts

Γ(s)

∞∑i=1

[ln

(λ+ l + d

λ+ d

)]i1

i!

i−1∑l=0

(i− 1

l

)(−1)

l

× ∞∑j=0

Γ(1; s, t)Γ(s+ j + l)

(−Γ[1; s+ j + l, t+ 2 lnλd]

[t+ 2 lnλd]s+j+l

)

+

∞∑j=0

Γ(1; s, t)Γ(s+ j + l)

(λ+ l + d

λ+ d

)Γ[1; s+ j + l, t+ lnλd + lnλu]

[t+ lnλd + lnλu]s+j+l

+

∞∑j=1

[1− Γ(1; s, t)]Γ(s+ l)Ωj [1; s+ l, t+ 2 lnλd]

[t+ 2 lnλd]s+l

−∞∑j=1

[1− Γ(1; s, t)]Γ(s+ l)

(λ+ l + d

λ+ d

)Ωj [1; s+ l, t+ lnλd + lnλu]

[t+ lnλd + lnλu]s+l

où Ωj(x; s, t) = E[Ψ−j |Ψ > x; s, t

]et où Γ(x, s, t) désigne la fonction de répartition de la

loi Gamma.

Preuve.La démonstration de ce théorème étant asez longue et n’étant pas essentielle pour lacompréhension globale du mémoire, nous renvoyons le lecteur intéressé à l’article deCockroft, Clark et Peacok [7].

Ces derniers démontrent, notamment, que Ωj(x; s, t) satisfait la forumule de récurrencesuivante :

Ωj(x; s, t) =1

j − stse−txx−j+s

Γ(s)− t

j − sΩj−1(x; s, t)

avec j > 0 si s /∈ Net j > s si s ∈ NΩ0(x; s, t) = 1− Γ(x; s, t)

Ωs(x; s, t) =ts

Γ(s)

∫ ∞x

e−tΨ

ΨdΨ



Les lemmes et les théorèmes précédents ont donc permis d’obtenir une expression analy-tique du facteur de crédibilité :

z =n

n+ ρavec ρ =

E[e2(Φ)]

E[e1(Φ)2]− E[e1(Φ)]

2 .

Il faut préciser, néanmoins, que la prime de crédibilité calculé par le biais du modèlede Cockroft est le meilleur estimateur linéaire de la prime individuelle mais ce n’est pasnécessairement le meilleur estimateur de cette prime puisque le meilleur estimateur estl’estimateur bayésien et que rien ne nous prouve que ces deux estimateurs soient confon-dus.

4.2.3 Implémentation informatique

Certes, le modèle précédent fournit une formule analytique exacte pour le calcul du facteurde crédibilité. Cependant cette expression est loin d’être simple, le terme E[e1(Φ)2], à luiseul, fait intervenir cinq sommes infinies. Cette approche nécessite donc une program-mation importante et le facteur de crédibilité ne pourra jamais être calculé exactement.Nous l’avons tout de même programmée pour un nombre d’itérations fini. Par ailleurs,Ωs(x; s, t) n’étant pas facile à calculer, nous avons supposé que s n’est jamais un entiernaturel. Pour tester notre programme pour un certain s ∈ N, il suffira de le tester pour unréel suffisamment proche de s.

On se rend compte en faisant varier les paramètres du modèles a, b, s, t et le nombred’itérations que le programme converge relativement vite. Au bout d’une vingtaine ité-rations, tout au plus, la valeur du facteur de crédibilité se stabilise. Notons que rien negarantit la convergence. Cependant, le programme semble converger systématiquement.

Priorité

1e+06

2e+06

3e+06

4e+06

Nombr

e d'a

nnée

s

5

10

15

z

0.1

0.2

0.3

Priorité

1e+06

2e+06

3e+06

4e+06

Nombr

e d'a

nnée

s

5

10

15

z

0.1

0.2

0.3

FIGURE 4.3 – Facteur de crédibilité en fonction de la priorité et du nombre d’années pour un seuilégale à 0.5 M selon deux angles différents



Comme pour le modèle purement fréquentiel, vérifions que ce que renvoie notre pro-gramme est crédible. En particulier, vérifions que le facteur de crédibilité augmentelorsque la longueur de l’historique augmente et diminue lorsque la priorité augmente.

La figure 4.3 représente le graphique 3D que l’on obtient lorsque l’on fait varier simultané-ment la priorité de 0.7 M à 4 M, la longueur de l’historique de une à quinze années, pourun seuil de modélisation égal à 0.5 M et les paramètres de structure suivants : a = 1.86,b = 1.6, s = 9.1 et t = 2.7. Le facteur de crédibilité varie entre 0 et 0.4 et vérifie bienles deux propriétés évoquées précédemment. Si on considère maintenant un seuil plusélevé (toujours inférieur à la priorité), égale à 0.65 M, on obtient un graphique légèrementdifférent. En particulier, il n’est plus vrai que le facteur de crédibilité ne fait que diminueravec la priorité. En effet, il augmente d’abord légèrement jusque 1.5 M puis diminueensuite comme dans le graphique précédent. Ce phénomène est en fait justifié et n’est pastrès étonnant si on se rappelle ce qui a été expliqué dans la partie 2.2.3 concernant lechoix du seuil de modélisation. Il sera plus crédible d’utiliser un seuil égale à 0.65 M pourcoter un traité de priorité 1 M ou 1.5 M plutôt que pour coter un traité de priorité égale à0.7 M.

Priorité

1e+06

2e+06

3e+06

4e+06

Nombr

e d'a

nnée

s

5

10

15

0.1

0.2

0.3

0.4

Priorité

1e+06

2e+06

3e+06

4e+06Nom

bre

d'ann

ées

5

10

15

0.1

0.2

0.3

0.4

FIGURE 4.4 – Facteur de crédibilité en fonction de la priorité et du nombre d’années pour un seuilégale à 0.65 M selon deux angles différents

4.2.4 Mise en oeuvre du modèle

Autant l’implémentation informatique est complexe, autant le fonctionnement général dumodèle est simple. Car, contrairement au modèle purement fréquentiel, on peut, sans étatd’âme, appliquer le facteur de crédibilité aux taux purs.



Cédante que l’onsouhaite tarifer

extrapolation

Marché

extrapolation

Agrégation des

“données cédantes”

Statistiques ultimes

Sinistres corrigés de l’inflation, des IBNR,. . .

profil de risqueΘ ∼ Gamma(a, b)

Ψ ∼ Gamma(s, t)

zd,lc = ncnc+ρ

θcλ, αc

λ θmλ, αm

λ

πcd,l πm

d,l

πd,l = zd,lc × πcd,l + (1− zd,lc )× πmd,l

Simulations

stochastiques


••••

••••

•

Simulations

stochastiques


••••

••••

•

FIGURE 4.5 – Schéma représentant le fonctionnement du modèle bayésien fréquence/sévérité

4.3 Calibration des modèles précédents

La calibration des modèles de crédibilité bayésienne étudiés précédemment consiste en l’es-timation des hyperparamètres a, b, s et t. Il n’existe pas de paramétrisation théoriquementcorrecte des deux modèles précédents par contre il existe plusieurs méthodes conduisant àdes paramètres a priori plausibles. Nous allons présenter une approche “subjective” et uneapproche “objective”.

4.3.1 Calibration empirique

Cette méthode consiste à estimer les hyperparamètres empiriquement sur le collectif. L’idéeest de rassembler toutes les informations dont l’on dispose sur les cédantes constituant le



marché et de les modéliser par une distribution Gamma plausible. Il s’agit d’une approchesubjective.

Dans leur article, Gary Patrik et Isaac Mashitz [21] propose à l’adresse des actuaireset souscripteurs un questionnaire à points basé sur la qualité des données, l’évolutionde la composition du portefeuille cédante,. . . . Selon l’intervalle dans lequel se trouve letotal des points accumulés à l’issu du questionnaire, des paramètres a et b sont proposés.Néanmoins ce questionnaire et les études sous-jacentes datent de 1990, il n’est pas doncpas sûr qu’ils soient encore d’actualité aujourd’hui. En outre, nous cherchons une méthodeplus fine et plus fiable qu’une procédure qui conduirait à l’utilisation systématique decertains paramètres.

Une idée qui ne semble pas absurde est d’estimer les paramètres des lois Gamma parla méthode des moments en utilisant les estimations des paramètres de fréquence etd’intensité de chaque cédante. Soit un marché constitué de l cédantes.

Fréquence Sévérité

1 θ1 ψ1

......

...

l θl ψl

TABLE 4.1 – Paramètres des lois Poisson et Pareto pour les cédantes du marché

On obtient les hyperparamètres a, b, s et t en résolvant les deux systèmes d’équationssuivant :

E[Θ] =a

b=

1

l

l∑k=1

θk = θ

V ar[Θ] =a

b2=

1

l − 1

l∑k=1

(θk − θ)2

E[Ψ] =s

t=

1

l

l∑k=1

ψk = ψ

V ar[Ψ] =s

t2=

1

l − 1

l∑k=1

(ψk − ψ)2

Cependant, cette méthode suppose de travailler avec un marché pour lequel on dispose desuffisamment de cédantes. Par ailleurs, il pourrait être également intéressant de prendreen considération les données d’exposition (les assiettes de prime, les nombres de polices àla fin de chaque exercice,. . . ) dans le calcul des paramètres a priori.

Il également possible de se contenter d’une estimation des paramètres a et b et d’es-sayer, par tatônnement, différents jeux de paramètres (s, t), pour lesquels le programmede Cockroft converge, jusqu’à obtenir des résultats plausibles.

4.3.2 Calibration par simulations

Il s’agit de l’approche objective. Pour cette méthode, nous supposons que nous ne disposonspas d’informations a priori.



4.3.2.1 Règles de mise à jour des paramètres

En 3.3.4, nous avons établi des règles de mise à jour des hyperparamètres de la loi Gammamodélisant Θ et en 4.2.1 celles des hyperparamètres de la loi Gamma modélisant Ψ. Aprésent, nous allons déterminer les règles de mise à jour des paramètres de la distributionjointe a posteriori.

Dans les formules suivantes, les périodes correspondent aux indices supérieurs et lesnuméros des sinistres aux indices inférieurs. Supposons que l’on dispose de k annéesd’historique, les variables N et X étant supposées indépendantes, on a :

fΘ,Ψ|N,X(θ, ψ|nj ,x(j)1 , . . . , x(j)

n , j = 1...k) ∝k∏j=1

L(nj |θ)× L(x(j)1 , . . . , x(j)

n |ψ)× uΘ(θ)× vΨ(ψ)

=

k∏j=1

θnje−θ

nj !

nj∏i=1

ψ

λ

(λ

λ+ x(j)i

)ψ+1bae−bθθa−1

Γ(a)

tse−tψψs−1

Γ(s)

=θme−kθ∏

j nj !

∏j

ψnjλnjψ∏i (λ+ x

(j)i )

ψ+1

bae−bθθa−1

Γ(a)

tse−tψψs−1

Γ(s)

=θme−kθ∏

j nj !ψmemψ ln(λ)e−(ψ+1)

∑j

∑i ln(λ+x

(j)i ) b

ae−bθθa−1

Γ(a)

tse−tψψs−1

Γ(s)

∝ θa+m−1e−(b+k)θψs+m+1e

(t+∑j

∑i ln

(λ+x

(j)i

)

λ

))ψ

où m =∑kj=1 nj

Ce résultat n’est pas surprenant, la distribution jointe a posteriori est le produit de ladistribution a posteriori des nombres de sinistres et de la distribution a posteriori desmontants de sinistres.

Posons yij = ln

(λ+x

(j)i

λ

), nous venons d’établir les règles de mise à jour des hyper-

paramètres pour le modèle agrégé :

Priora

b

s

t

Posteriora + m

b + k

s + m

t+∑ij yij

Nous pouvons donc mettre à jour séparemment les hyperparamètres a et b de Θ et leshyperparamètres s et t de Ψ dans la mesure où :

Ψ|X,N,Θ ∼ Ψ|XΘ|X,N,Ψ ∼ Θ|N

4.3.2.2 Echantillonnage de Gibbs

L’algorithme de Gibbs Sampling permet de simuler un échantillon de réalisations d’unevariable aléatoire pour laquelle on ne dispose pas d’une expression analytique simple del’inverse de la fonction de répartition. En particulier, grâce à cet algorithme, il est possiblede simuler des échantillons de distributions dépendant de paramètres inconnus. Ce qui enfait un outil particulièrement adapté aux statistiques bayésiennes.



Nous allons utiliser cet algorithme pour simuler de nombreuses réalisations de Θ etde Ψ. Ce qui nous permettra d’obtenir une estimation fiable des paramètres des loisGamma choisies a priori pour la modélisation.

L’échantillonnage de Gibbs sampling repose sur le théorème de convergence des chaînes deMarkov. Mais nous n’entrerons pas ici dans les détails mathématiques, nous nous conten-terons de décrire les grandes étapes de l’algorithme dans le cas bidimensionnel puisquec’est ce cas qui nous intéresse. Soit donc deux variables X et Y dont on connait la loijointe f et les lois conditionnelles, fx|y et fy|x, l’échantillonneur de Gibbs se réduit en fait à :

Algorithme-Gibbs Sampling dans le cas bidimensionnel.

Entrée : x0, fx|y, fy|x.Sortie : (xt, yt)t un échantillon aléatoire de (X,Y ).

for t←− 1, . . . , N. yt ∼ fy|x(·|xt−1)

. xt ∼ fx|y(·|yt)end for

(xt)t, (yt)t et (xt, yt)t sont des chaînes de Markov. Nous ne définissons pas ce terme ma-thématiquement mais nous aurons l’occasion de l’employer par la suite. Bien entendu,l’algorithme ci-dessus sera plus facile à mettre en oeuvre dans le cas où les lois de X etde Y sont conjuguées. En effet, il suffira alors de mettre à jour les paramètres des loisconjuguées à chaque itération.

Adaptons cet algorithme aux cadres des modèles Poisson/Gamma et Poisson/Pareto/-Gamma étudiés dans les chapitres et parties précédents.

Dans le cadre du modèle Poisson-Gamma, nous disposons d’un historique de longueurk, n(0) = (n1, . . . , nk)′ qui est une réalisation du vecteur N = (N1, . . . , Nk)

′dont chaque

composante suit conditionnellement à Θ une loi de Poisson de paramètre Θ : ∀1 ≤ i ≤k, Ni|Θ ∼ Poisson(Θ). Par ailleurs, nous avons choisi une distribution Gamma comme loia priori dont nous cherchons justement à calibrer les paramètres. Pour modéliser le fait quenous ne disposons d’aucune information a priori, nous allons supposer, par exemple, queΘ ∼ Gamma(1, 0.0001). En effet, la variance de cette distribution est égale à 108. Cettedistribution a priori n’influencera donc que très peu la distribution a posteriori. La partieitérative de l’algorithme précédent devient :

for t←− 1, . . . , N

θ(t) ∼ uΘ|N(·|n(t−1))

n(t) ∼ Poisson(θ(t))end for

Le cas du modèle Poisson/Pareto/Gamma n’est pas plus compliqué. Dans le cadre dece modèle, nous disposons d’un vecteur d’observations x(0) = (x1, . . . , xn)′ qui est uneréalisation du vecteur X = (X1, . . . , Xn)′ dont chaque composante suit, conditionnelle-ment à Ψ, une loi de Pareto de paramètre Ψ : ∀1 ≤ i ≤ n,Xi|Ψ ∼ Pareto(Ψ, λ), λ étantle seuil de modélisation choisi au préalable. Du vecteur x(0), nous pouvons déduire unvecteur n(0) = (n1, . . . , nk)′ où k est la longueur de l’historique. Comme dans le modèlePoisson/Gamma, il s’agit d’une réalisation du vecteur N dont chaque composante suitconditionnellement à Θ une loi Gamma. Nous supposons que Θ et Ψ sont tous deuxdistribués selon une loi Gamma(1, 0.0001). L’algorithme de Gibbs Sampler devient :

for t←− 1, . . . , N



(θ(t), ψ(t)) ∼ fΘ,Ψ|N,X(.|x(t−1),n(t−1))

n(t) ∼ Poisson(θ(t))

x(t) ∼ Pareto(ψ(t))end for

En sortie de ces algorithmes et après plusieurs milliers d’itérations (nous discuteronspar la suite le nombre d’itérations permettant d’assurer la convergence de l’algorithme),nous disposons d’un échantillon (θ(t))t de Θ dans le cas du modèle Poisson/Gamma et d’unéchantillon (θ(t), ψ(t))t de (Θ,Ψ) dans le cas du modèle Poisson/Pareto/Gamma. Nouspouvons vérifier qu’il s’agit d’échantillons de loi Gamma dont nous pouvons estimer lesparamètres.

4.3.3 Mise en oeuvre sur un exemple simple

Dans cette section, nous allons travailler sur les données utilisées par Rytgaard [31] dansson article intitulé Estimation in The Pareto Distribution publié en 1990. Il s’agit de donnéestransmises à un réassureur et issues d’un portefeuille automobile. Seuls les sinistres dépas-sant 1.5 million ont été reportés et cela sur une période de 5 ans. Il s’agit des montants desinistres indexés.

1 2 3 4 5

2.495 1.985 3.215 _ 19.180

2.120 1.810 2.105 _ 1.915

2.095 1.625 1.765 1.790

1.700 _ 1.715 _ 1.755

1.650 _ _ _ _

TABLE 4.2 – Données issues d’un portefeuille automobile et extraites de l’article de Rytgaard [31]

Nous allons appliquer l’algorithme de Gibbs pour calibrer un modèle Poisson/Pareto/-Gamma sur ces données. Nous allons recourir au logiciel libre WinBUGS (BUGS pour“Bayesian Inference Using Gibbs Sampling”) qui a été conçu en 1989 par des biostatisticiensde Cambridge tout spécialement pour résoudre des problèmes de statistiques bayésiennescomplexes. En outre, il est possible d’exporter les résultats obtenus sur WinBUGS vers Rpar l’intermédiaire du package R2WinBUGS.

Nous devons indiquer à winBUGS, les vecteurs des observations x = (2.495, 2.120, 2.095,1.700, 1.650, 1.985, 1.810, 1.625, 3.215, 2.105, 1.765, 1.715, 19.180, 1.915, 1.790, 1.755)′ etn = (5, 3, 4, 0, 4)′, les lois Gamma choisies a priori, Gamma(1, 0.0001) et nous devonségalement spécifer des valeurs intiales θ0 et ψ0. Le code WinBUGS utilisé se trouve dansl’annexe D.

Afin de contrôler la convergence, nous allons faire tourner trois chaînes de Markov en pa-rallèle, pour chaque paramètre, en spécifiant des valeurs initiales différentes pour chaquechaîne. Les valeurs intiales choisies pour la chaîne 3 correspondent aux estimateurs θMV

et ψMV de θ et ψ calculés par maximum de vraisemblance dans le cadre de la statistiqueclassique où l’on considère θ et ψ constants.

Nous nous attendons à ce que les trois chaînes convergent vers la même valeur aubout de plusieurs milliers d’itérations. Le graphique ci-dessous représente les trois chaînesobtenues pour le paramètre θ après 40 000 itérations (les 20 000 premières itérations nesont pas affichées).



Chaîne no 1 2 3

θ0 2 0.90 3.2

ψ0 1000 2 2.47

TABLE 4.3 – Valeurs intiales des trois chaînes de Markov

20000 25000 30000 35000 40000

12

34

56

FIGURE 4.6 – Les trois chaînes de Markov obtenues pour le paramètre θ

Pour alléger le graphique précédent, nous allons afficher les chaînes (θt+100)t.

200 250 300 350 400

12

34

56

FIGURE 4.7 – Les trois chaînes de Markov obtenues pour le paramètre θ en n’affichant qu’uneitération sur 100

Comme nous pouvons le constater, les chaînes semblent quasiment confondues. Il existeune méthode plus précise permettant de vérifier la convergence. Il s’agit du test de Brooks-Gelman-Rubin. Ce test compare les variations à l’intérieur et entre les chaînes. Pour cela,il calcul un ratio correspondant grossièrement aux variations internes divisées par lesvariations externes. Si ce ratio tend vers 1 alors on peut affirmer qu’il y a convergence detoutes les chaînes de Markov vers une unique distribution. Dans le cas de notre exemple,la convergence est évidente.



150 200 250 300 350 400 450 500

1.00

01.

005

1.01

01.

015

1.02

01.

025

FIGURE 4.8 – Résultat du test de Brooks-Gelman-Rubin

C’est la “magie” de l’algorithme de Gibbs : peu importe la loi a priori, on converge versla vraie valeur. Après 40 000 itérations de nos trois chaînes combinées, nous obtenons lesestimations a posteriori suivantes :

Moyenne a posteriori Ecart-type a posteriori Intervalles de crédibilité bayésien à 95%

θ 3.399 0.8256 [1.985, 5.2]

ψ 2.624 0.635 [1.53, 4.011]

TABLE 4.4 – Estimations des paramètres du modèle Poisson-Pareto

Nous constatons que la moyenne et l’écart-type de la distribution d’équilibre sont prochesdes estimations obtenues par maximum de vraisemblance. Par ailleurs, nous remarquonsqu’à cause du peu de données dont nous disposons, les intervalles bayésiens à 95% sontrelativement larges.

Nous pouvons également tracer les densités des distributions d’équilibre :



θ

1 2 3 4 5 6 7

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

ψ

1 2 3 4 5 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

FIGURE 4.9 – Histogrammes et densités obtenues à l’équilibre pour le paramètre θ à gauche et pourle paramètre ψ à droite

Les densités a posteriori ressemblent bien à des distributions Gamma. Ce que peut confir-mer un QQplot.

1 2 3 4 5 6 7

23

45

67

Q−Q plot

Theoretical quantiles1 2 3 4 5 6

12

34

56

Q−Q plot

Theoretical quantiles

Em

piric

al q

uant

iles

FIGURE 4.10 – QQ-plot. En ordonnées on trouve les quantiles empiriques et en abscisses les quantilesthéoriques

Enfin, il ne nous reste plus qu’à estimer les paramètres de ces lois Gamma. Au choix, nouspouvons utiliser la méthode des moments ou la méthode du maximum de vraisemblancevia la fonction fitdist du package fitdistrplus de R par exemple. Ces deux mé-thodes conduisent à des résultats sensiblement identiques.

a = 16.58

b = 4.87

s = 17.01

t = 6.50



4.4 Limites des modèles bayésiens

Mise à part la calibration des modèles de crédibilité, qui nous l’avons vu, peut se révélerquelque peu hasardeuse, les modèles de crédibilité bayésienne présentent un certainnombre de limites.

4.4.1 Une mise en oeuvre critiquable

Sous réserve que les hypothèses énoncées à la page 45 soient vérifiées, le théorème deBühlmann s’énonce comme suit :

π(Θ) = z × X + (1− z)× π0

Où X et π0 sont les estimateurs de la prime individuelle et de la prime marché respective-ment.

En particulier, pour le modèle fréquence/sévérité, nous avons montré que :

π0 = E[e1(Φ)] =a

b(λ+ d)

∞∑i=1

[ln

(λ+ l + d

λ+ d

)]i1

i!

i−1∑l=0

(i− 1

l

)(−1)

lΓ(s+ l)ts

Γ(s)[t+ ln(λ+d

λ )]s+l

Par conséquent, pour ce modèle, le taux marché pourrait être estimé approximativementà partir des hyperparamètres, a, b, s, t, issus de la calibration. On pourrait donc utiliserce modèle comme un outil de tarification à part entière, indépendamment des outils detarification existants qui calculent les estimateurs des taux de primes stochastiquement.

Néanmoins, l’estimateur empirique X ne donne des résultats satisfaisants que pour lestranches travaillantes. Or, nous voulons justement appliquer ces modèles pour les tranchesnon travaillantes peu sinistrées. C’est pourquoi nous avons préféré, même si cela n’estpas complétement rigoureux, utiliser les modèles bayésiens pour déterminer le facteur decrédibilité uniquement et utiliser les outils de tarification pour estimer les taux de primesstochastiquement, comme expliqué dans les schémas 4.2 et 4.5.

4.4.2 Des modèles reposant sur une hypothèse contraignante

Les deux modèles bayésiens présentés dans ce chapitre imposent les lois modélisant lafréquence et le coût des sinistres, les lois Poisson et Pareto en l’occurrence. Or, si cesdistributions s’avèrent largement utilisées en pratique, les tests de comparaison de modèlemontrent que parfois certaines lois sont plus adaptées. En particulier, dans certains cas, ilest préférable de recourir à une loi binomiale négative plutôt qu’à une loi de Poisson ou àune loi de Pareto généralisée plutôt qu’à une loi de Pareto.

4.4.3 Des modèles incomplets

Enfin, nous avons vu que la prime de crédibilité pouvait s’écrire comme suit :

π(Θi) =

σ2h

σ2h + σ2

Xi

Xi +σ2Xi

σ2h + σ2

Xi

π0

Ainsi, les modèles précédents prennent bien en considération l’hétérogénéité du porte-feuille marché σ2

h et l’erreur commise lors de l’estimation de la prime pure σ2Xi

mais qu’enest-il de l’erreur commise lors de l’estimation de la prime marché et de la corrélationpouvant exister entre les données de la cédante et les données agrégées ?



Chapitre 5

Crédibilité des Incertitudes

5.1 Le modèle de Bonche et Parodi

5.1.1 Contexte général

Il s’agit d’une nouvelle méthode non bayésienne développée par Stéphane Bonche etPietro Parodi [27] pour pallier aux limites des modèles de Bühlmann et Bühlmann-Straub.Cette approche cherche à modéliser les incertitudes inhérentes au processus de cotationpour calculer le facteur de crédibilité le plus fiable possible. La prime pure fondée surl’expérience est affectée par plusieurs sources d’incertitudes, la plus évidente est la taillelimitée de la base de données des pertes historiques associées au client que l’on veuttarifer. En outre, bien que le taux marché soit généralement calculé à partir d’un ensemblede données plus conséquent que le taux d’expérience, il est aussi basé sur une base dedonnées de pertes de taille limitée et est donc affecté par le même type d’incertitude.

Nous allons nous contenter de décrire brièvement ce nouveau modèle dans la mesure où ilest exposé avec force détails dans l’article de Bonche et Parodi. Par contre, nous insisteronsdavantage sur la façon dont nous avons appliqué le modèle étant donné que cela résultesouvent de choix personnels. Dans la suite de cette partie, nous utilisons l’écart-type d’unestimateur comme mesure de l’incertitude liée à cet estimateur (ie comme mesure del’erreur commise lors de l’estimation).

5.1.1.1 Cadre et notations

Dans un premier temps, on ne se place pas nécessairement dans le cadre d’une compagniede réassurance. Soit un client dont on cherche à tarifer le contrat. Notons πc, πm les tauxde prime respectivement du client et du marché et πc, πm les estimateurs associés. Enfin,nous désignons par π, le taux de prime crédibilisé, qui s’exprime comme une combinaisonconvexe des deux estimateurs définis précédemment :

π = z × πc + (1− z)× πm

En outre, nous notons σc et σm les écart-types, respectivement, de l’estimateur de la primedu client et de l’estimateur de la prime marché :

σc = V ar(πc)

σm = V ar(πm)

Enfin, nous notons σh une mesure de l’hétérogénéité du marché. σh est équivalent au τde l’approche bayésienne, il mesure la dispersion des différents clients du portefeuilleconsidéré autour de la valeur marché moyenne.



Le modèle développé par Bonche et Parodi repose sur quatre hypothèses qui sont lessuivantes :

1. πm = πm + σmεm

2. πc = πm + σhεh

3. πc = πc + σcεc

4. E[εmεh] = 0, E[εcεh] = 0 et E[εcεm] = ρm,c

Où εm, εh et εc sont trois variables aléatoires centrées réduites :

E[εm] = E[εh] = E[εc] = 0

E[ε2m] = E[ε2

h] = E[ε2c ] = 1

Et où ρm,c modélise la corrélation entre les données du client et les données marché.

5.1.1.2 Expression du facteur de crédibilité

Sous les quatre hypothèses énoncées précédemment, on peut montrer que le facteur decrédibilité qui minimise l’erreur quadratique moyenne E

[(π − πc)2

]est de la forme :

z =σ2h + σ2

m − ρm,cσmσcσ2h + σ2

m + σ2c − 2ρm,cσmσc

La démonstration de ce résultat est directe et détaillée dans l’article de Bonche et Parodi.

Nous pouvons montrer facilement que : z ≤ 1⇔ σm ≤ σc

Or, le taux marché étant estimé à partir d’un échantillon beaucoup plus important quecelui utilisé pour calculé le taux de prime du client, il est logique que σm soit inférieur àσc. Par conséquent, le facteur de crédibilité ainsi défini est toujours inférieur ou égal à 1.

Par ailleurs, si l’on pose σm = 0 et ρm,c = 0, on retrouve l’expression du facteur decrédibilité du modèle de Bühlmann. En outre, nous constatons que plus la corrélation entreles données du client et les données du marché est élevée, plus le facteur de crédibilitéaugmente. Ce qui est logique puisque plus la corrélation est élevée, plus le client participeà la base données de pertes du marché et donc moins le marché fourni d’informationssupplémentaires utiles pour la tarification du client. Lorsque σ2

h, σ2c et σ2

m valent respective-ment et à une (même) constante près 120, 83 et 0.96, on peut tracer le graphique suivant :

0 10.5

0.6

1

ρm,c

z

FIGURE 5.1 – Evolution du facteur de crédibilité z en fonction de ρm,c.

De plus, dans le cas où le client que l’on veut tarifer ne fait pas parti du marché, la



corrélation ρm,c peut être supposée nulle et le facteur de crédibilité devient :

z =σ2h + σ2

m

σ2h + σ2

m + σ2c

Bien entendu, en pratique, σh, σm, σc et ρm,c sont inconnus et doivent être estimésà partir des données. On note sh, sm, sc et rm,c les estimations respectives. Le facteur decrédibilité peut alors se réécrire :

z ≈ s2h + s2

m − rm,csmscs2h + s2

m + s2c − 2rm,csmsc

5.1.2 Application à la réassurance

5.1.2.1 Formule générale

Nous pouvons aisément transposer les notations et formules précédentes au cadre de laréassurance. Nous conservons les notations précédentes mais nous ajoutons d, l en indicesupérieur pour suggérer qu’il s’agit des taux de prime de la tranche l xs d que l’on chercheà coter.

π = zd,l × πd,lc + (1− zd,l)× πd,lm

On peut montrer facilement, comme précédemment, par minimisation de l’erreur quadra-

tique moyenne E[(πd,l − πd,lc

)2]

que :

zd,l =(σd,lh )

2+ (σd,lm )

2 − ρd,lm,cσd,lm σd,lc

(σd,lh )2

+ (σd,lm )2

+ (σd,lc )2− 2ρd,lm,cσ

d,lm σd,lc

5.1.2.2 Modèle fréquentiel

Le problème devient sensiblement plus simple lorsque l’on peut supposer que la distribu-tion décrivant l’intensité des sinistres ne varie pas beaucoup d’un client à l’autre. Quandcette hypothèse se trouve vérifiée (ce qui est souvent le cas), nous avons uniquementbesoin d’appliquer la crédibilité aux paramètres de fréquence et l’expression du facteur decrédibilité se simplifie grandement.

Parodi et Bonche ont démontré que dans ce cas particulier le facteur de crédibilitézd,l ne dépend pas de la tranche [d; d+ l] et peut s’écrire :

zd,l = z =(σθh)

2+ (σθm)

2 − ρθm,cσθmσθc(σθh)

2+ (σθm)

2+ (σθc )

2 − 2ρθm,cσθmσ

θc

Où σθc , σθm sont les erreurs commises lors de l’estimation des paramètres de fréquence dela cédante et du marché respectivement et où σθh modèlise l’hétérogénéité fréquentielle dumarché.

A nouveau, nous renvoyons le lecteur qui souhaiterait consulter la démonstration dece résultat à l’article [27].

Bien que ce facteur de crédibilité soit calculé uniquement à partir des nombres de si-nistres de l’ensemble des cédantes du marché, il s’applique aux taux de primes.



5.2 Modélisation de la corrélation et des incertitudes

5.2.1 Incertitudes relatives au taux de prime du client et au tauxmarché

Les estimations de la prime individuelle et de la prime marché sont affectées principalementpar trois sources d’incertitudes :

− L’incertitude liée au modèle. Le modèle fréquence/sévérité choisi ne sera pas uneréplique parfaite de la réalité. Cette incertitude est difficile à quantifier.

− L’incertitude liée à la calibration du modèle. Les paramètres du modèle sont estimésà partir des données disponibles et ne sont donc connus qu’approximativement.

− L’incertitude liée aux données. En branches longues notamment, les données dontl’on dispose ne sont en général que des estimations des montants finaux que devrapayer la compagnie d’assurance. Plus les données à disposition sont incertaines, plusla calibration du modèle sera incertaine.

Dans la suite du mémoire, nous nous focaliserons sur l’incertitude des paramètres des loisde fréquence et de sévérité retenus au cours de la modélisation. Nous ne nous occuperonspas des incertitudes liées au modèle et aux données. En particulier, nous supposerons quele modèle Poisson/Pareto est systématiquement choisi et validé.

Nous allons utiliser une approche bootstrap afin d’estimer, par le biais de simulations,les erreurs liées aux estimations des taux de prime du client et du marché. Le bootsrapdésigne un ensemble de méthodes consistant à faire de l’inférence statistique sur de“nouveaux” échantillons tirés à partir d’un échantillon initial. Il est naturel d’avoir recoursà cette méthode car elle est souvent utiliser pour obtenir des intervalles de confianced’estimateurs dont la distribution est inconnue.

Soit un échantillon de n réalisations, x1, x2, . . . , xi, . . . , xn de variables aléatoires indépen-dantes et identiquement distribuées. Nous effectuons n tirages avec remise de sorte à obte-nir un nouvel échantillon de même taille que l’échantillon initial : x∗1, x

∗2, . . . , x

∗i , . . . , x

∗n.

Nous itérons cette opération de nombreuses fois et à chaque itération, nous estimons lastatistique d’intérêt. Enfin, à partir de la distribution bootstrap des statistiques d’intérêt,nous calculons un écart-type. Le schéma ci-dessous illustre cette procédure dans le cas oùla statistique d’intérêt est le paramètre de fréquence.

....

θ∗1

θ∗2

θ∗3

θ∗N

x1

x2...

.

xn

x∗(1)1

x∗(1)2....

x∗(1)n

x∗(2)1

x∗(3)1

x∗(N)1

x∗(N)2 .

.

.

.

x∗(N)n

Client ou marché

Statistiqueultime

n tirages

avec remise

Ecart-type

sθ

échantillonsbootstrap

FIGURE 5.2 – Mécanisme du bootstrap permettant d’évaluer l’incertitude liée à l’estimateur duparamètre de fréquence



C’est cette procédure que nous utiliserons au chapitre 7 pour mettre en oeuvre le modèlefréquentiel au détail près que nous ne travaillerons pas directement avec les fréquencesmais les taux de fréquences, c’est à dire que nous diviserons les fréquences des échantillonsbootstrap obtenues par l’assiette de prime de l’année de cotation (2015 en l’occurence)avant de calculer les écart-types, sθc et sθm. Ce qui explique que les nombres obtenus soientsi faibles (se reporter aux tableaux G.2 et G.3).

Par ailleurs, pour pouvoir appliquer la méthode bootstrap, il faut que l’échantillon de dé-part soit suffisamment grand. En effet, si l’échantillon initial est de taille n, après n tiragesavec remise, il est possible d’obtenir

(2n−1n

)échantillons différents. Ainsi, par exemple, si

l’échantillon intial est constitué de 5 données, on ne peut obtenir que 126 échantillonsbootstrap différents et donc 126 valeurs différentes pour la statistique d’intérêt. Et parconséquent, l’écart-type obtenu après 1 000 simulations, par exemple, sera complétementfaussé.

5.2.2 Incertitude liée à l’hétérogénéité du portefeuille

L’hétérogénéité du marché peut être estimée par la variance empirique des taux de primedes cédantes constituant le marché. Comme la prime marché est calculée en agrégeantles données de l’ensemble des cédantes, il est logique que les gros clients participentdavantage au calcul de la variance empirique. Nous allons donc utiliser la formule de lavariance pondérée.

s2h =

∑cWc

(∑cWc)

2 −∑cW

2c

∑c

Wc(πc − πm)2

Dans le cas du modèle fréquentiel, cette formule devient :

(sθh)2

=

∑cWc

(∑cWc)

2 −∑cW

2c

∑c

Wc

(θc − θm

)2

Avec Wc =∑j w

jc où wjc désigne l’assiette de prime de l’année j. Wc est donc la somme

des assiettes de prime des années appartenant à l’horizon de cotation considéré.

5.2.3 Modélisation de la corrélation

A priori, nous ne voyons pas bien comment déterminer la corrélation entre le marché et lacédante à tarifer. Nous allons recourir à un subterfuge pour nous débarrasser de ce terme“gênant”. Nous allons retirer du marché, les données de la cédante que l’on souhaite tarifer.L’expression du facteur de crédibilité se simplifie :

z =σ2h + σ2

m−cσ2h + σ2

m−c + σ2c

Cependant, cette méthode est un peu maladroite car pour calculer le taux de primecrédibilisé de deux cédantes appartenant à un même portefeuille marché, il est nécessairede calculer deux taux marché différents. De plus, cela représente un travail considérablecar cela nous oblige, pour chaque cédante, à retirer du triangle obtenu par agrégation, lessinistres de la cédante considérée et à recalculer les montants ultimes.

5.3 Mise en oeuvre du modèle

Se reporter au schéma de la page suivante.


Lestarifs

desréassureurs

sont-ilscrédibles?

Simulationsstochastiques


Simulationsstochastiques


••••

••••

•

••••

••••

•

extrapolation

Agrégation

cédante 1

cédante 2

cédante n

Portefeuille marché

. . . .

Statistique

ultimeEstimateur du

MV

θm, α πmd,l

Extraction de lacédante à tarifer

extrapolation

Cédante à coter

Reste du portefeuille marché

Agrégation

Statistique

ultime Bootstrap

Distribution del’estimateur θm−c

Varianceσ2m−c

. . .

cédante 1

cédante n

Statistique

ultime

Estimateurdu MV

θc, α πcd,l

Variance

σ2c

Bootstrap

Distribution del’estimateur θc

Estimateur duMV

. . .

θ1

θnVariancepondérée

σ2h

zc

πd,l

=z c×πcd,l

+(1−z c

)×πmd,l

FIGURE 5.3 – Schéma représentant le fonctionnement du modèle de Bonche et Parodi

Christine

Finas|

Mém

oire|

201579


Conclusion de la deuxième partie

“ Tous les modèles sont faux ; certains sont utiles ” G. Box. 1

Dans la deuxième partie de ce mémoire, nous avons présenté trois modèles de crédibilité.Les deux premiers modèles dérivent du théorème de Bühlmann qui s’appuie sur la théorie dela crédibilité et les statistiques bayésiennes. Le troisième modèle, développé beaucoup plusrécemment, n’utilise pas des outils aussi complexes et sophistiqués que les deux premiers.Pourtant, l’expression du facteur de crédibilité diffère peu de celles obtenues par le biais desdeux premiers modèles. De plus, ce dernier et troisième modèle permet de pallier certainsdéfauts des modèles bayésiens.

1. George Edward Pelham Box (né le 18 octobre 1919 à Gravesend, Kent, Angleterre) est un statisticien, qui aapporté d’importantes contributions aux domaines du contrôle qualité, des séries temporelles et de l’inférencebayésienne.



Partie III

Cas pratique

Application au marchébritannique de l’automobile



Ce cas pratique va nous permettre, bien entendu, d’appliquer les modèles de crédibilitédéveloppés dans les chapitres précédents mais ce sera également l’occasion d’apporterdes éléments de réponses à des questions pour lesquelles il n’existe pas d’explicationsthéoriques toutes faites. Ainsi, par exemple, la théorie ne nous dit pas comment choisirnotre portefeuille marché même s’il est évident qu’un marché constitué de trop peu decédantes n’aura qu’un intérêt très limité.

Nous chercherons notamment à répondre, au moins partiellement, aux interrogationssuivantes :

Comment appliquer les modèles de crédibilité efficacement sans simplification hâtiveet arbitraire ? Quels sont les avantages et les inconvénients de chacun d’eux ? Quel modèleprivilégier ? Comment choisir le portefeuille marché ? Quelle est l’importance de ce choix ?

Pour ce faire, nous allons calculer les facteurs de crédibilité et les primes crédibilisées destraités de plusieurs cédantes appartenant à différents groupes marchés constitués à partirdu portefeuille automobile britannique de la CCR.

Tout d’abord, nous prenons le temps de décrire brièvement le marché choisi pour l’étude etde détailler l’étape de préparation des données. Ensuite, nous nous attardons sur la miseen oeuvre des modèles de crédibilité avant de présenter les résultats obtenus et de tirer uncertain nombre de conclusions. Enfin le dernier chapitre est consacré aux limites de notreétude et aux extensions possibles.



Chapitre 6

Présentation de l’étude etpréparation des données

6.1 Présentation du marché de la réassurance automo-bile britannique

6.1.1 Spécificités du marché

6.1.1.1 Considérations générales

Ce marché recouvre des compagnies qui dépendent du Royaume-Uni dont le siège se situeen Grande-Bretagne ou à Gibraltar.

Il s’agit d’un marché mature : les donnéesfournies sont nombreuses et en généralcomplètes et exactes. Les tranches sont stan-dardisées. En effet, la grande majorité destraités sont organisés selon les tranchessuivantes de réassurance (exprimées en mil-lions de Livre Sterling) : 1 xs 1, 3 xs 2, 5 xs5 , 15 xs 10 et∞ xs 25.

De plus, ces tranches ne présentent pasde conditions non linéaires de types AAD,AAL et reconstitutions.

1

2

5

10

25

∞

1

3

5

15

6.1.1.2 Les types de couvertures

En assurance responsabilité civile, il existe deux grands types de couvertures ; la cou-verture complète (“ Comprehensive coverage ” en anglais) et la couverture au tiers (“Third-Party coverage ” en anglais). La première est une formule tous risques offrant unecouverture complète pour assurer les dommages au véhicule quel qu’en soit le responsable.Par contre, l’assurance au tiers implique uniquement notre responsabilité civile, elle necouvre que les dommages corporels et matériels que nous causons à une autre personne.En particulier, elle ne couvre pas le vol, l’incendie, le vandalisme,· · · Le fait qu’il s’agissed’une couverture complète ou d’une couverture au tiers a peu d’importance pour la ta-rification en réassurance. En effet, les sinistres tels que le vol, le vandalisme ne sont engénéral jamais “ assez graves ” pour nécessiter un recours à la réassurance. Ainsi, les si-nistres qui sont reportés aux réassureurs sont presque exclusivement des sinistres corporels.

En outre, en assurance et réassurance automobile, il faut distinguer le marché des flottes



automobiles du marché des particuliers. Une “ flotte ” est un ensemble de véhicules ap-partenant à un même propriétaire, ou assurés par une même entité juridique. En général,on considère comme contrat “ flotte ”, un contrat couvrant quatre véhicules ou plus. Al’intérieur d’une flotte, tous les véhicules sont soumis aux mêmes règles tarifaires, lesprimes de chacun d’eux sont recouvrées en une seule fois et les conditions du contrat sontapplicables indistinctement à tous. La tarification de ces contrats est différente des autres.Elle requiert notamment davantage d’expertise.

6.1.1.3 Les grandes tendances du marché

Les tendances sont à l’aggravation des sinistres corporels. En effet, au cours des dernièresannées, malgré la réduction du nombre d’accidents, le volume des demandes d’indemnisa-tion en responsabilité civile pour dommages corporels a augmenté. Selon un rapport deTower Watson datant de 2013 intitulé A Choppy Voyage-UK Motor Insurance Industry Report,plus d’un tiers des accidents automobiles impliquant un tiers mènent désormais à unsinistre corporel.

6.1.2 Choix du portefeuille marché

Le choix du portefeuille marché est délicat. En effet, nous avons décrit dans les chapitresprécédents la façon dont il faut agréger les données marché et utiliser la statistique agrégéeobtenue pour calculer les facteurs de crédibilité recherchés. En revanche, nous n’avons pasétabli de méthodes ou de règles nous permettant de sélectionner ou d’exclure une cédanteafin de constituer notre portefeuille marché.

A partir du portefeuille automobile de la CCR, nous voulons construire un groupe decédantes “ comparables ” sous la contrainte qu’il soit suffisamment grand. En effet, plusla taille de notre marché est petite, plus l’incertitude liée à la taille limitée de la base dedonnées de pertes est grande et donc moins les taux marché sont fiables.

Commençons par exclure les cédantes “ atypiques ”. Pour cela, nous allons utiliser lesprofils de risque des assurés transmis par les courtiers. Ces profils de risque nous donnentaccès au pourcentage de flottes et de non flottes, au pourcentage d’hommes et de femmeset aux âges des assurés de chaque traité. Nous décidons d’exclure les cédantes possédantplus de 50% de flottes et n’assurant qu’une seule tranche d’âge (par exemple, certainescédantes n’assurent que les moins de 30 ans et d’autres que les plus de 60 ans). Aprèsavoir exclu les cédantes jugées “ atypiques ”, il nous reste 20 cédantes.

Ainsi, nous avons construit un groupe de cédantes “ comparables ” mais pas nécessairementtrès homogène. On peut se demander quelle est la taille du groupe la plus pertinente et sil’on ne gagnerait pas en fiabilité en considérant un groupe constitué de moins de cédantes(mais toujours suffisamment grand) et plus homogène. Afin d’éclaircir cette question, àpartir du groupe de 20 cédantes, nous allons construire des sous-groupes de plus en pluspetits et de plus en plus homogènes. Commençons par chercher les variables qui pourraientconstituer des critères d’homogénéité.

Considérons l’exposition au risque mesurée par l’assiette de primes ou par le nombrede polices contenues dans le traité en fin d’exercice. A priori, il ne semble pas absurde depenser que deux traités présentant des assiettes de primes du même ordre de grandeurauront plus de chance d’avoir des taux purs proches que des traités présentant des assiettesde primes très différentes. Afin de déterminer l’influence des assiettes de primes sur lestaux purs, nous avons représenté graphiquement les taux purs en fonction des assiettes deprimes. Pour la tranche 5 xs 5, nous obtenons le graphique suivant.



• Taux purs pourla tranche 5 xs 5

EPI

taux pursen %

•

••

•

••••

•

•

•

•• • • •

•

•••• • •

•

•

•

••

0

1%

2%

3%

4%

5%

6%

500 000 000 1 000 000 000 1 500 000 000 2 000 000 000

FIGURE 6.1 – Représentation des taux purs de la tranche 5 xs 5 des cédantes CCR en fonction desestimations de l’assiette de primes 2015

Nous observons le même type de graphique pour toutes les tranches standards. Par consé-quent, l’assiette de prime ne semble pas avoir une grande influence sur la déterminationdu taux pur. En outre, le graphique que l’on obtient en traçant les taux purs en fonctionnon plus de l’assiette de primes mais du nombre de polices en fin d’exercice n’est pas plusconcluant. Il n’existe donc pas de relation évidente entre la taille du portefeuille et les tauxpurs, pour le marché automobile britannique du moins.

Nous représentons également les taux purs en fonction de la fréquence de sinistralitéestimée pour chaque cédante à partir de l’historique disponible. Nous constatons queglobalement, plus la fréquence est importante, plus le taux pur est élevé.

• Taux purs pourla tranche 5 xs 5

θ

taux pursen %

••

••••

•

••• •• • •

•

•

• • •••••• •

0

1%

2%

3%

4%

5%

6%

5 10 15 20 25

FIGURE 6.2 – Représentation des taux purs de la tranche 5 xs 5 des cédantes CCR en fonction de lafréquence de sinistralité

Par conséquent, nous allons tirer profit de la fréquence de sinistralité annuelle pour consti-tuer à partir de notre groupe de 20 cédantes des sous-groupes plus homogènes. Nousutilisons la formule présentée en 5.2.2 pour constituer des groupes de 15, 12, 9, 6 et 3cédantes les plus homogènes possibles. Il est judicieux de constituer des sous-groupesemboîtés afin de pouvoir ensuite comparer pour une même cédante mais pour différentsgroupes marché les taux crédibilisés obtenus. Enfin, nous renumérotons les compagnies desorte que les cédantes n1, n2, n3 appartiennent aux 6 groupes marchés, les cédantesn4, n5, n6 aux 5 plus grands groupes marchés,. . .



Il est important de signaler qu’en pratique s’ajoute une contrainte supplémentaire : notremarché doit contenir la cédante que l’on veut tarifer. Si la cédante que l’on cherche à coterest elle-même atypique (par exemple, elle ne couvre que les personnes âgées), soit ondispose de suffisamment de cédantes atypiques pour obtenir un taux marché, soit il estvain de calculer un taux marché et il faut recourir à des avis d’experts.

6.2 Préparation des données

Lorsque l’on veut tarifer une cédante et que l’on cherche à recourir aux modèles de crédi-bilité développés précédemment, il est nécessaire de disposer des montants de sinistres àl’ultime pour la cédante ainsi que pour le marché auquel appartient cette cédante. Afin d’ob-tenir ces statistiques ultimes, nous procédons aux transformations décrites au chapitre 2,c’est-à-dire que, nous indexons primes et sinistres et nous calculons les IBNER et les IBNYR.

Cependant, pour les portefeuilles marché, il faut au préalable, uniformiser et agrégerles triangles des différentes cédantes les constituant.

6.2.1 Formatage et uniformisation des triangles de sinistralité

Une fois notre marché défini, il faut fusionner les triangles des cédantes le constituant.Cependant, tous les traités ne sont pas gérés de la même façon et de ce fait ne sont pasdirectement comparables. Il va donc falloir opérer un certain nombre de modifications surles triangles individuels pour les rendre uniformes et cohérents et pour pouvoir les agréger.

6.2.1.1 Gestion comptable

Il existe plusieurs méthodes de comptabilisation d’un traité de réassurance. Concernant lestraités en excédent de sinistre, les deux principales sont la gestion par année de souscrip-tion et la gestion par année de survenance.

Comptabilisation par exercice de souscription

Lorsqu’un traité de réassurance est comptabilisé par année de souscription, les sinistresayant touchés une police souscrite au cours de l’année d’exercice N sont imputés à l’exer-cice N , quelle que soit leur date de survenance et quelle que soit leur date de paiement.Ainsi, le réassureur peut être engagé pour des sinistres dont la date de survenance estpostérieure à la date de résiliation du traité.

Comptabilisation par exercice de survenance

Dans le cas d’un traité géré comptablement par année de survenance, un sinistre seraobligatoirement rattaché à l’exercice au cours duquel il est survenu, quelle soit la date àlaquelle a été souscrite la police touchée par ce sinistre et quelle soit la date de règlementde ce sinistre. Ainsi, le réassureur peut avoir à payer pour une police qui aurait été souscriteavant la souscription du traité de réassurance.

Afin d’agréger les triangles de sinistralité des 20 traités constituant notre marché, il nousfaut choisir entre l’un des deux modes de comptabilisation présentés. En fait, nous sommescontraints d’utiliser une gestion par année de survenance. En effet, le courtier fournittoujours les dates d’occurences des sinistres mais il ne fournit pas systématiquement lesdates de souscriptions des polices associées. Par conséquent, il nous faut modifier lestriangles des traités gérés par exercice de souscription.



Sinistre à rattacher

à l’année 2014

01/01/2014 25/09/2014 31/12/2014 31/12/201520/04/2015

Souscription du traité

de réassurance

Résiliation annuelle

du traité de réassurance

Souscription

d’une police


de la police

Sinistre

Période pendant laquelle l’assureur

peut souscrire

Période pendant laquelle un sinistre

est couvert par le réassureur

FIGURE 6.3 – Gestion par année de souscription

02/01/2013 25/09/2013 01/01/2014 31/12/201420/04/2014

Souscription du traité

de réassurance


du traité de réassurance

Souscription

d’une police


de la police

Sinistre

Période pendant laquelle l’assureur

peut souscrire

Période pendant laquelle un sinistre

est couvert par le réassureur

FIGURE 6.4 – Gestion par année de survenance

6.2.1.2 Dates de prise d’effet

La plupart des contrats se renouvellent en décembre et prennent effet le 1er janvier del’année suivante. Néanmoins, il y a toujours quelques polices qui sont souscrites en coursd’année. Parmi les 20 traités de notre marché, 14 prennent effet le 1er janvier, 2 le 1er avril,1 également le 1er juin et 3 le 1er juillet.

Nous allons considérer que notre traité “ marché ” se renouvelle au 1er janvier. Le schémaci-dessous, décrit le problème dans le cas d’un traité renouvelable au 1er avril.

PR2013fictive = 25%PR2012 + 75%PR2013

Pour les 6 traités ne prennant pas effet au 1er janvier, on ne tiendra pas compte de ladernière et de la première année.

6.2.2 Agrégation des triangles

Une fois les triangles de sinistres et les primes des cédantes constituant le marché modi-fiés, nous construisons un “ traité marché ” fictif. Pour cela, nous agrégeons les triangles



01/01/2012 01/01/2013 01/01/2014 01/01/2015

PR2012 PR2013 PR2014

PR2013 fictive

25% PR2012 75% PR2013

FIGURE 6.5 – Calcul de la prime fictive de réassurance versée au 1er janvier dans le cas d’un traitérenouvelé au 1er avril

uniformisés en utilisant comme seuil de communication le maximum des seuils de com-munication des cédantes du marché. Par ailleurs, nous considérons un historique de 10années. Ce qui signifie que nous ne tenons pas compte des sinistres survenus avant 2005.

....Tagrégé

seuil = max(seuil1, . . . , seuiln)

T1, seuil1

T2, seuil2

T3, seuil3

Tn, seuiln

Agrégation

FIGURE 6.6 – Processus d’agrégation des triangles de sinistralité



Chapitre 7

Mise en oeuvre des modèles decrédibilité

Nous allons suivre les procédures indiquées sur les schémas des pages 56, 64 et 80. Nousinvitons le lecteur à les consulter. Toutefois, auparavant, nous devons nous assurer quenous sommes bien dans le cadre d’application de ces modèles de crédibilité. En particulier,en ce qui concerne les modèles bayésiens, il faudra vérifier que, pour chaque cédante etpour chaque traité marché fictif, le modèle Poisson/Pareto pour les lois fréquence/sévéritén’est pas une trop mauvaise approximation. En outre, nous avons vu que le problèmese simplifie considérablement lorsque l’on peut supposer que la distribution décrivantl’intensité des sinistres est la même pour toutes les cédantes du marché considéré. Nousallons donc commencer par tester cette hypothèse.

7.1 Validation de l’hypothèse des modèles fréquentiels

7.1.1 Le test de Kolmogorov-Smirnov pour deux échantillons

Cette hypothèse peut-être vérifiée ou rejetée au moyen du test de Kolmogorov-Smirnovpour deux échantillons. Il s’agit d’un test non paramétrique qui compare les distributionscumulées de deux échantillons de données indépendants. L’hypothèse nulle du test est lasuivante :

(H0) : F1,m(x) = F2,n(x) ∀ x

où F1,m est la fonction de répartition empirique du premier échantillon de taille m et F2,n

la fonction de répartition du deuxième échantillon de taille n.

La statistique du test (illustrée sur la figure 7.1) est :

Dm,n = maxx|F1,m(x)− F2,n(x)|

La p-valeur du test est définie comme suit :

p-valeur = P (Dm,n ≥ D0 | H0)

Où D0 est la valeur observée de la statistique du test.

Autrement dit, si les deux échantillons provenaient d’une même loi, on obtiendrait unestatistique D supérieure à la statistique observée D0 avec une probabilité égale à la p-valeur. Ainsi, si la p-valeur est élevée, on accepte l’hypothèse nulle et si elle est faible, onla rejette.



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−4 −2 0 2 4

Dm,n

FIGURE 7.1 – Illustration de la statistique du test de Kolmogorov-Smirnov

7.1.2 Résultats obtenus sur nos données

Nous effectuons ce test pour chaque cédante du portefeuille marché et pour trois seuilsdifférents, 1 million £, 1.5 million £ et 3 millions £. Cela nécessite d’effectuer 20 testsdifférents pour chaque seuil, soit 60 tests au total. Et cela parce qu’il est nécessaireavant chaque test de retirer les données de la cédante testée des données agrégées duportefeuille marché afin de créer deux échantillons complétement indépendants et de nepas fausser le test par la présence de trop nombreuses valeurs égales. Ce qui représente untravail considérable dans la mesure où nous appliquons ce test aux statistiques ultimeset qu’il nous faut donc, avant chaque test, supprimer du triangle obtenu par agrégation,les sinistres de la cédante testée puis recalculer les montants ultimes et effectuer cetteopération pour chaque cédante et pour chaque seuil. Nous utilisons la fonction ks.testde R qui renvoie la valeur observée de la statistique du test, D0, ainsi que la p valeurassociée. Nous obtenons les résultats suivants :

RésultatsSeuil en ( M £) Nombre de tests positifs Nombre de tests négatifs Manque de données

1 12 8 0

1.5 14 4 2

3 16 2 2

TABLE 7.1 – Résultats du test de Kolmogorov-Smirnov pour deux échantillons

Les résultats détaillés par cédante et par seuil sont fournis dans le tableau E. Pour certainstraités, aucun sinistre ne dépasse les seuils de 1.5 million £ ou de 3 millions £ et doncle test n’a pas pu être effectué. A partir de 1.5 million £, l’approximation selon laquelleune seule courbe de sévérité (celle de notre portefeuille marché) pourrait être ajustée auxdonnées empiriques de toutes les cédantes du marché, devient raisonnable puisque que letest est positif pour près de trois quart des cédantes.

7.2 Calculs des primes individuelles et des primes mar-ché

Nous allons appliquer les procédures vues en 2.2.4 aux triangles individuels et aux tri-angles agrégés (obtenus au chapitre 6) afin de déterminer les taux de prime individuels et



les différents taux marché. Pour un seuil de modélisation égal à 1.5 million, nous obtenonsles résultats suivants :

Tranche 3 xs 2 Tranche 5 xs 5 Tranche 15 xs 10

Cédante 1 1.34% 0.91% 0.37%

Cédante 2 3.24% 1.70% 0.92%

Cédante 3 3.46% 2.73% 1.70%

Cédante 4 2.54% 1.14% 0.32%

Cédante 5 1.38% 0.94% 0.26%

Cédante 6 1.08% 0.47% 0.31%

Cédante 7 3.63% 1.25% 0.64%

Cédante 8 2.57% 2.12% 1.22%

Cédante 9 2.12% 1.85% 2.82%

Cédante 10 3.51% 2.06% 1.17%

Cédante 11 1.68% 0.48% 0.26%

Cédante 12 6.24% 5.31% 4.64%

Cédante 13 2.56% 0.98% 0.51%

Cédante 14 2.90% 0.76% 0.48%

Cédante 15 7.23% 3.28% 3.05%

Cédante 16 2.13% 1.45% 0.41%

Cédante 17 1.90% 2.12% 0.97%

Cédante 18 1.75% 1.90% 0.92%

Cédante 19 2.74% 1.07% 0.38%

Cédante 20 1.95% 0.65% 0.40%

TABLE 7.2 – Taux purs estimés stochastiquement pour les 20 cédantes du portefeuille marché

hhhhhhhhhhTranchesTaux purs

Groupe de 20cédantes






3 xs 2 4.72% 3.99% 3.82% 3.14% 2.94% 2.79%

5 xs 5 3.17% 2.77% 2.58% 2.28% 2.00% 1.88%

15 xs 10 3.73% 3.38% 3.05% 2.58% 2.38% 2.23%

TABLE 7.3 – Taux marché estimés stochastiquement pour les différents groupes marchés

Nous remarquons que les taux de prime varient beaucoup d’un groupe à un autre. Le choixdu portefeuille marché aura donc un impact significatif sur le taux de prime crédibilisé.

Reprenons les notations de la partie précédente :

π = z × πc + (1− z)× πm

Où π est le taux de prime crédibilisé et πc, πm les taux purs estimés stochastiquement de



la cédante et du marché respectivement.

Si πc < πm alors π > πc, c’est-à-dire que le taux pur calculé sur l’expérience de si-nistralité de la cédante sous-estime le taux pur réel. Inversement, si πc > πm alors π < πc,le taux pur stochastique de la cédante sur-estime le taux pur réel.

7.3 Calculs des facteurs de crédibilité

Dans cette section, nous allons rappeler les expressions des facteurs de crédibilité desmodèles étudiés dans la partie précédente, les différents éléments qui les composent etsurtout la façon dont ces éléments doivent être estimés.

7.3.1 Aperçu modèle par modèle

7.3.1.1 Modèles bayésiens

Modèle fréquentiel

zdc =nc

nc+b/qd

Longueur de l’historique de

la cédante à tarifer

Probabilité qu’un sinistre dépasse la priorité d• Ce paramètre dépend bien entendu

de la tranche cotée• Il dépend également du marché considéré(il est identique pour toutes les cédantes dumarché, α étant estimé à partir de lastatistique agrégée)

• Paramètre de la loi Gammadécrivant Θ, le profil de risque

de la cédante• Ce paramètre est identiquepour toutes les cédantes du

marché considéré

qd = P (X > d) =(λd

)α

Modèle combiné fréquence/sévérité

zd,lc = ncnc+ρ

Longueur de l’historique de

la cédante à tarifer

Coefficient de crédibilité ρ(a, b, s, t, d, l)

• Ce paramètre dépend de la tranche cotée• Ce paramètre dépend aussi du marchéconsidéré décrit par le prodil de risque(Θ,Ψ) de lois Gamma(a,b) et Gamma(s,t)

ρ = E[e2(Φ)]

E[e1(Φ)2]−E[e1(Φ)]2



A titre d’exemple, nous appliquons l’algorithme de Gibbs au portefeuille marché constituédes 20 cédantes. Le test de Brooks-Gelman-Rubin montre qu’après quelques milliersd’itérations seulement, l’algorithme de Gibbs a convergé. Au bout de 40 000 itérations,nous obtenons les résultats suivants :

a = 66.686 , b = 0.995 , s = 66.635 , t = 58.474

7.3.1.2 Modèle non bayésien

Comme expliqué au chapitre 5, nous avons choisi une approche bootstrap pour apprécierles incertitudes liées à l’estimation des primes individuelles et des primes marchés. Cetteméthode est envisageable car les échantillons initiaux sur lesquels nous allons appliquer laprocédure sont constitués des montants des sinistres à l’ultime. Or, ces montants peuventêtre considérés i.i.d (c’est l’hypothèse du modèle fréquence/sévérité). En outre, les tests deKolmogorov-Smirnov réalisés en 7.1 ayant montré que l’intensité des sinistres ne variait pasbeaucoup d’une cédante à l’autre, nous pouvons appliquer le modèle fréquentiel présentéen 5.1.2. Nous allons utiliser l’astuce présentée en 5.2.3 puisque nous n’avons pas trouverle moyen de nous débarrasser de la corrélation autrement :

z =σ2h + σ2

m−cσ2h + σ2

m−c + σ2c

Bien entendu, dans ce cas, la statistique d’intérêt est le paramètre de fréquence. Rappelonsque le paramètre de fréquence de la loi de Poisson est estimé comme suit :

θ =

∑ki=1 ωiniωi•

avec ωi• =

k∑i=1

ωi

où k désigne la longueur de l’historique, ni le nombre de sinistres ayant dépassé le seuilde modélisation durant l’année ni et ωi l’assiette de prime revalorisée de l’année ni.

La remarque énoncée à la page 78 est d’autant plus vraie que le paramètre de fréquence estcalculé pour un seuil fixé et donc uniquement à partir des sinistres dépassant ce seuil. Parconséquent, nous ne pourrons appliquer la méthode bootstrap que si la statistique ultimeconsidérée contient suffisamment de sinistres dépassant le seuil de modélisation choisi.Nous considérons qu’en dessous de 10 sinistres, l’échantillon est trop petit pour obtenir unécart-type fiable. Nous choisissons un seuil de modélisation égal à 1 500 000 afin d’obtenirun facteur de crédibilité pour les tranches 3 xs 2, 5 xs 5 et 15 xs 10. Les statistiques de 2des 20 cédantes du portefeuille marché ne disposent pas d’assez de données au delà de ceseuil. Nous ne pourrons donc pas calculer de facteur de crédibilité pour ces 2 cédantes.

Nous implémentons les tirages avec remise sous R ou VBA. Nous effectuons systéma-tiquement 1 000 rééchantillonages afin de disposer d’un nombre important de réalisationsdistinctes de la statistique d’intérêt.

7.3.2 Récapitulatif des procédures à utiliser pour chaque modèle



Modèle fréquentiel bayésien Modèle fréquence/sévéritébayésien

Modèle fréquentiel nonbayésien

z = n

n+b/(λd

)α z = nn+ρ où ρ =

E[e2(Φ)]

E[e1(Φ)2]−E[e1(Φ)]2z =

(σθh)2+(σθm)

2−ρθm,cσθmσ

θc

(σθh

)2+(σθm)2+(σθc )2−2ρθm,cσ

θmσ

θc

Algorithme de Gibbs : Algorithme de Gibbs : Méthode bootstrap :

pour déterminer les valeurs deshyperparamètres a et b

pour déterminer les valeurs deshyperparamètres a, b, s et t

• Les tirages avec remisepeuvent être implémentés sur Rou VBA (cf figure 5.2 page 77)

•WinBUGS avec possibilitéd’exporter les résultats vers Rvia le package R2WinBUGS (cfannexe D)

•WinBUGS avec possibilitéd’exporter les résultats vers Rvia le package R2WinBUGS (cfannexe D)

• Calcul de la varianceempirique sur les réalisations dela statistique d’intérêt obtenuesà l’issu de chaque tirage

• Test de Brooks-Gelman-Rubinpour tester la convergence del’algorithme (cf figure 4.8page 71)

• Test de Brooks-Gelman-Rubinpour tester la convergence del’algorithme (cf figure 4.8page 71)

• Calcul d’une variancepondéré (cf section 5.2.2page 78 )

Modèle de Cockroft :

pour déterminer la valeur ducoefficient de crédibilité ρ

• Implémentation informatiquesous R (cf section 4.2.3)

TABLE 7.4 – Méthodes et logiciels utilisés pour chaque modèle



Chapitre 8

Résultats et conclusions

Pour ne pas ennuyer le lecteur avec des successions de tableaux, nous avons placé lesrésultats receuillis dans les annexes F et G . Nous précisons que les résultats discutés dansce chapitre sont ceux obtenus pour un seuil de modélisation égal à 1.5 M. Des calculs ontégalement été menés pour un seuil égal à 4 M et les résultats associés ont été reportésdans les annexes H et I.

8.1 Illustrations de quelques résultats théoriques

8.1.1 Modèles bayésiens

Afin de mettre en évidence et d’illustrer quelques propriétés, nous avons entrepris derésumer l’information contenue dans les tableaux de l’annexe F par des graphiques.

nombre d’annéesd’observation

Facteur de crédibilitéen %

Tranche 3 xs 2

Tranche 5 xs 5

Tranche 15 xs 10

Groupe de20 cédantes






0

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FIGURE 8.1 – Facteurs de crédibilité obtenus pour le modèle fréquence/sévérité et pour les troistranches standards étudiées



nombre d’annéesd’observation


Tranche 3 xs 2

Tranche 5 xs 5

Tranche 15 xs 10







0

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FIGURE 8.2 – Facteurs de crédibilité obtenus pour le modèle fréquentiel et pour les trois tranchesstandards étudiées

Nous pouvons formuler quelques remarques générales concernant les deux graphiquesprécédents :

− Plus l’horizon de modélisation est important, plus le facteur de crédibilité est élevé,c’est-à-dire plus on accorde de crédit à la prime calculée sur l’expérience de lacédante uniquement.

− Le facteur de crédibilité des tranches basses est plus élevé que celui des trancheshautes. Autrement dit, plus la tranche est haute (priorité élevée), plus on accorde depoids à la prime marché.

− Plus le groupe est petit et homogène, plus le facteur de crédibilité est faible. Cettepropriété apparaît de façon plus évidente sur les figures 8.3 et 8.4 ci-après. Ce quisignifie qu’on accorde plus de poids aux données marché. Cela met en évidence unedes failles des modèles bayésiens ; ils ne tiennent pas compte de l’incertitude liéeaux données marché. En effet, les groupes constitués de 6 ou 3 cédantes sont certesplus homogènes que les groupes constitués de plus de cédantes mais les taux marchéobtenus sont moins fiables car calculés à partir d’un nombre moins important dedonnées.

En outre, les graphiques précédents montrent qu’il existe des différences significativesentre les deux modèles de crédibilité bayésienne. Tout d’abord, le nuage de points de lafigure 8.1 est beaucoup plus resserré que celui de la figure 8.2. En effet, le facteur decrédibilité du modèle purement fréquentiel décroît plus rapidement lorsque la prioritéaugmente que celui calculé par le biais du modèle fréquence/sévérité. Globalement, nousconstatons que l’approche combinée fréquence/sévérité donne davantage de poids auxdonnées de la cédante et donc à la prime d’expérience alors que l’approche purementfréquentielle donne plus de poids à la prime marché. Néanmoins, les différences entre lesdeux modèles s’atténuent pour les tranches basses. Ce que confirme le tableau 8.1.



Tranche 3 xs 2

Tranche 5 xs 5

Tranche 15 xs 10

Groupe de

20 cédantes

Groupe de

15 cédantes

Groupe de

12 cédantes

Groupe de

9 cédantes

Groupe de

6 cédantes

Groupe de

3 cédantes


70%

80%

90%

100%

FIGURE 8.3 – Facteurs de crédibilité obtenus pour la cédante n1 et pour le modèle fréquence/sévérité

Tranche 3 xs 2

Tranche 5 xs 5

Tranche 15 xs 10

Groupe de

20 cédantes

Groupe de

15 cédantes

Groupe de

12 cédantes

Groupe de

9 cédantes

Groupe de

6 cédantes

Groupe de

3 cédantes


20%

40%

60%

80%

100%

FIGURE 8.4 – Facteurs de crédibilité obtenus pour la cédante n1 et pour le modèle purementfréquentiel

Longueur de

l’historique

(en années)

Groupe de 20 cédantes

T 3 xs 2 T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 1.39% 10.29% 28.57%

9 1.71% 11.12% 27.94%

8 2.29% 12% 31.44%

7 1.75% 12.81% 30.99%

6 2.02% 14.11% 32.8%

5 3.61% 16.31% 31.77%

4 4.59% 19.52% 35.9%

3 7.09% 19.53% 30.68%

2 12.73% 18.65% 30.24%

TABLE 8.1 – Écarts entre les facteurs de crédibilité obtenus pour les modèles bayésiens



8.1.2 Modèle non bayésien

Nous rappelons que, puisque l’intensité des sinistres varie très peu d’une cédante à l’autredu portefeuille, le facteur de crédibilité du modèle de Bonche et Parodi est indépendantde la tranche cotée. Les facteurs de crédibilités présentés dans le tableau G.4 s’appliquent,en particulier, aux trois tranches standards 3 xs 2, 5 xs 5 et 15 xs 10.

Le tableau G.3 de l’annexe G montre que σθh décroît lorsque la taille du groupe dimi-nue. Ce qui est rassurant puisqu’il était dans notre dessein de former des groupes de plusen plus petits mais aussi de plus en plus homogènes. A l’inverse, le tableau G.2 montreque l’incertitude liée au paramètre marché, modélisée par σθm−c, croit lorsque la taille dugroupe diminue. Ce qui est logique puisque plus le groupe est petit, plus la prime marchéest sujette à une erreur d’estimation importante. En effet, si le groupe marché est pluspetit, la base de données pertes servant au calcul des paramètres est plus réduite et parconséquent l’information fournie par le marché est moins riche.

Ces deux phénomènes inverses expliquent les différences flagrantes observées entre ce mo-dèle et les modèles de crédibilité bayésienne pour les résultats des plus petits groupes. Ilspermettent, en particulier, de justifier le fait que, dans ce modèle, le facteur de crédibiliténe fait pas que décroître lorsque la taille du groupe diminue.

Cédante n1

Cédante n2

Cédante n3

Groupe de

20 cédantes

Groupe de

15 cédantes

Groupe de

12 cédantes

Groupe de

9 cédantes

Groupe de

6 cédantes

Groupe de

3 cédantes


70%

80%

90%

100%

FIGURE 8.5 – Facteurs de crédibilité des cédantes n1, n2 et n3 pour les différents groupes marché

8.2 Choix du portefeuille marché : lacune théorique desmodèles de crédibilité

8.2.1 Une question préoccupante

Comparons pour une même cédante, les taux de prime pure crédibilisés obtenus pour lestrois modèles de crédibilité étudiés et pour les 6 groupes marchés construits au chapitre 6.



tranchetarifée

Taux de primeen %

estimé par simulationsstochastiques

Modèle bayésienfréquentiel

Modèle bayésien combinéfréquence/sévérité

Modèle non bayésien







1%

1.5%

2%

2.5%

3%

3.5%

T 3 xs 2 T 5 xs 5 T 15 xs 10

3.46%

2.73%

1.70%

FIGURE 8.6 – Taux de prime pure crédibilisés calculés pour la cédante n3

Pour la tranche 15 xs 10, le taux estimé stochastiquement à partir de l’expérience de lacédante n3 est égal à 1.70%, soit un taux inférieur aux taux marché 1 également détermi-nés par calculs stochastiques. C’est la raison pour laquelle, pour cette tranche, les taux deprime crédibilisés sont systématiquement supérieurs au taux pur stochastique. Pour lestranches plus basses, le taux de prime crédibilisé est soit supérieur soit inférieur au tauxpur stochastique selon la valeur du taux marché.

Par ailleurs, nous constatons que, pour un même modèle de crédibilité, d’un groupemarché à un autre, le taux de prime crédibilisé peut varier significativement. On notejusque 0.5% d’écart. L’assiette de prime de la cédante (cédante n3) étant de l’ordre de90 000 000 £, cela donne un écart de prix de l’ordre de 450 000 £. Le choix du portefeuillemarché n’est donc pas neutre.

8.2.2 Sans réponses théoriques

Ces écarts de prix sont d’autant plus préoccupants qu’il n’existe aucune théorie nouspermettant d’opter pour un groupe marché plutôt qu’un autre. Nous allons tenter d’apporterquelques éléments de réponse relevant du bon sens à cette question embarrassante. Nousallons laisser provisoirement de côté les premiers modèles bayésiens et nous concentrersur le modèle de Stéphane Bonche et Pietro Parodi qui, nous l’avons vu, a été conçuspécialement pour pallier aux défauts de ces premiers modèles. Rappelons l’expression dufacteur de crédibilité pour ce modèle, dans le cas où la corrélation est nulle, c’est-à-diredans le cas où nous avons retiré les données de la cédante de la statistique agrégée dumarché.

z =σ2h + σ2

m

σ2h + σ2

m + σ2c

Dans le cas où l’hypothèse d’une distribution de sévérité unique est vérifiée, le facteur decrédibilité z est indépendant la tranche cotée l xs d, dans les autres cas il en dépend.

Si l’on choisit de construire un portefeuille marché à partir d’un grand nombre de cédantes(par exemple l’ensemble des clients du réassureurs pour le secteur concerné), le terme

1. Se reporter au tableau 7.3



σ2h modélisant l’hétérogénéité du portefeuille, sera élevé et prépondérant par rapport aux

autres termes obtenus par bootstrap : σ2h >> σ2

m, σ2h >> σ2

c . Par conséquent z sera trèsproche de 1 et il n’y aura pas beaucoup de d’écarts entre le taux estimé stochastiquementet le taux crédbilisé. C’est pour cela que les valeurs des facteurs de crédibilité obtenuespour notre plus grand groupe marché et reportées dans le tableau G.1 sont très prochesde 1, variant de 97.12% à 99.96%. Considérer trop de cédantes peut donc fausser le modèle.

Inversement, si le portefeuille marché est constitué de trop peu de cédantes, le termerelatif à l’erreur commise lors de l’estimation du taux marché sera élevé. Le taux marchén’est alors pas beaucoup plus fiable que le taux de prime de la cédante et il n’y a plusaucun intérêt à pondérer ces deux taux de prime.



Chapitre 9

Bilan et Perspectives

9.1 Bilan comparatif des différents modèles

Nous sommes maintenant en mesure de discuter plus longuement les avantages et lesinconvénients de chaque modèle.

On a, d’une part, un modèle élaboré par deux actuaires spécialistes de la réassurance,Stéphane Bonche et Pietro Parodi, qui a été conçu et pensé comme support des outils detarification et comme outil d’aide à la décision pour l’actuaire. Ce modèle ne fait pas appelà des théories mathématiques particulièrement complexes.

D’autre part, on a des modèles bayésiens qui se sont construits et affinés au fil du tempsavec en dernier date la contribution de Mark Cockroft en 2003 1. Ces modèles s’appuientet donc nécessitent de s’imprégner d’une théorie mathématique difficile et ésotérique, lathéorie de la crédibilité. Ils sont également utilisés comme support des outils de tarificationexistants. Le modèle développé par Cockroft peut même être employé comme outil detarification à part entière.

La principale difficulté lors de la mise en oeuvre des deux modèles bayésiens étudiésconcerne la calibration du modèle. A cela, se rajoute, pour le modèle fréquence/sévérité,le calcul du coefficient de crédibilité qui nécessite une programmation substantielle. Pourle modèle purement fréquentiel, par contre, les difficultés s’arrêtent à la calibration du mo-dèle. En effet, pour ce dernier modèle, le facteur de crédibilité s’exprime très simplement.Nous avons énuméré en 4.4, quelques défauts de ces deux modèles. En particulier, ce nesont pas des modèles “taillés sur mesure” pour la tarification des traités de réassurance.Par conséquent, leur application s’avère un peu maladroite.

Le modèle développé par Bonche et Parodi est théoriquement plus complet que les modèlesde crédibilité bayésienne puisqu’il tient compte de l’incertitude liée aux données marché.Toutefois, la mise en oeuvre qui en est faite dans ce mémoire n’est pas optimale. Enparticulier, le subterfuge qui consiste à retirer les statistiques de la cédante de la statis-tique marché agrégée pour s’affranchir de la corrélation des cédantes du marché, rend laméthode laborieuse, fastidieuse et surtout inapplicable pour les cédantes pour lesquelleson dispose de très peu de données. Des recherches supplémentaires sont donc nécessairesafin de faciliter l’application de ce modèle. En particulier, il faudrait trouver une formuleanalytique pour la corrélation.

Puisqu’un schéma vaut sans doute mieux qu’un long discours, nous dressons un tableau enguise de résumé des propos ci-dessus.

1. Se reporter à la frise chronologique de l’annexe B


Lestarifs

desréassureurs

sont-ilscrédibles?

Crédibilité Bayésienne Crédibilité des Incertitudes

Modèle combiné Modèle fréquentiel Modèle fréquentiel

fréquence/sévérité

λ : seuil de modélisation

Expression du facteur deCrédibilité

z = nn+ρ

où ρ =E[e2(Φ)]

E[e1(Φ)2]−E[e1(Φ)]2z = n

n+b/(λd )αd : priorité de la tranche cotée z =

(σθh)2+(σθm)

2−ρθm,cσθmσ

θc

(σθh

)2+(σθm)2+(σθc )2−2ρθm,cσ

θmσ

θc

α : paramètre de la loi de Pareto

• Le facteur de crédibilité peut être appliqué direc-tement aux taux de prime sans hypothèses.

• Pratique et très simple à mettre en oeuvre. • Il n’est pas nécessaire de faire une analyse decrédibilité séparée pour les différentes tranches.

• Ce modèle peut être utilisé comme outil de tarifi-cation à part entière.

• Modèle récent datant de 2008 et développé pardes spécialistes de la réassurance.

• Modèle en adéquation avec les méthodes detarification employées en réassurance.

Avantages • Pour ces modèles, une procédure entièrement automatisée est envisageable.

• La prime de crédibilité est le meilleur estimateur de la prime pure au regard du critère de l’erreur quadratique.

• Plus de liberté concernant le choix des lois defréquence et de sévérité.

• Ces modèles viennent en support des outils de tarification traditionnels.

• Requiert une programmation substantielle. • L’hypothèse d’une distribution de sévérité unique n’est pas toujours raisonnable et doit être testée sur les données.

• Rien ne permet de prédire la convergence ou lanon-convergence.

• Il n’est pas possible de calculer un facteur de cré-dibilité pour les affaires pour lesquelles on disposede très peu de données, pour les affaires nouvellesnotamment.

• Les lois modélisant la fréquence et le coût des sinistres (Poisson/Pareto) sont imposées par le modèle. • Mise en oeuvre laborieuse et fastidieuse.

• Ne prend pas explicitement en compte l’incertitude du prix du marché dans la formule du facteur de crédibilité.

Inconvénients • Ne tient pas compte de l’interaction entre les données de la cédante et les données du marché.

• Modèles basés sur des théories développées dans les années 1960 dans un cadre strictement assurantiel.

TABLE 9.1 – Bilan sur les modèles de crédibilité mis en oeuvre dans le mémoire

Christine

Finas|

Mém

oire|

2015102


9.2 Limites de l’étude et recherches ultérieures

9.2.1 Généralisation à un marché quelconque

Il faut rappeler que le marché de l’automobile britannique demeure un marché atypiqueet marginal. Il existe très peu de marchés présentant des tranches standardisées et pourlesquels les cédantes n’exigent pas de conditions non linéaires de type AAD, AAL,. . . (cfsection 2.1.4 page 13). La question qui se pose est de savoir si une généralisation del’étude menée pour le marché britannique de l’automobile à un marché non standardiséest possible.

Les modèles de crédibilité introduits dans la deuxième partie de ce mémoire font abs-traction des conditions non linéaires. S’il est indéniable que la présence d’une AAL oud’une AAD aura un impact sur la prime technique et donc sur la prime commerciale, lacédante étant en droit d’attendre une réduction du montant de la prime, on peut parcontre suspecter que l’impact sur le facteur de crédibilité servant à pondérer la primeindividuelle et la prime marché sera minime. Certes, une tranche l xs d avec une AADaura tendance à “augmenter” la rétention d et donc à diminuer le facteur de crédibilité.Inversement une tranche l xs d avec une AAL aura tendance à “diminuer” la limite l dutraité donc à augmenter le facteur de crédibilité. Mais, il y a fort à parier que ces variationssoient infimes. Il est donc possible de contourner le problème en calculant un facteur decrédibilité grâce aux modèles développés dans ce mémoire, c’est-à-dire sans tenir comptedes éventuelles conditions non linéaires de la tranche à tarifer, mais en faisant attentionde les prendre en compte dans le calcul du taux marché.

En fait, ce n’est pas tant l’organisation standardisée des traités que la profusion desdonnées disponibles qui fait du marché de l’automobile britannique un cadre d’étudeparticulièrement agréable pour l’application de nos modèles. En effet, le fait que l’onpuisse disposer pour ce marché de nombreuses données, données qui sont en généralcomplètes et exactes, permet de calculer des taux marché fiables. Ce qui n’est pas le cas detous les marchés loin s’en faut. C’est également un marché pour lequel l’hypothèse d’unecourbe de sévérité unique est vérifiée. Beaucoup de travail reste encore à faire pour savoircomment mettre en oeuvre le modèle de Bonche et Parodi dans le cas où cette hypothèsen’est pas validée.

9.2.2 Prise en compte de la qualité des données

Les modèles que nous avons élaborés et mis en oeuvre dans ce mémoire ne remettentaucunement en cause la précision et l’exactitude des données fournies par les clients.Pourtant, il pourrait être pertinent d’ajuster le facteur de crédibilité en fonction de laqualité de l’information fournie par la cédante. Si, par exemple, les données transmises nesemblent pas correctes, trop synthétiques ou incomplètes, alors le facteur de crédibilitédoit être réduit. Une solution pourrait être de multiplier le paramètre σ2

c , modélisantl’incertitude liée au calcul de la prime pure, par un coefficient qui serait un indicateur dela plus ou moins grande qualité des données.

9.2.3 Processus de tarification du taux marché

La méthode qui consiste à fusionner les statistiques de sinistres et de primes pour calculerun taux marché est laborieuse, contraignante et source d’erreurs. De plus, elle n’estapplicable que pour les marchés pour lesquels on dispose de suffisamment de cédantes.En fait, pour de nombreux marchés, il serait plus confortable de déterminer un tauxmarché en utilisant des outils benchmark (cf section 2.3.3). Pour que cela soit possible,il faut adapter les modèles de crédibilité en conséquence. Des recherches doivent êtremenées pour savoir comment. Le modèle de Bonche et Parodi, plus encore que les modèlesbayésiens, dépend fortement du processus de tarification utilisé. En particulier, la façon decalculer le paramètre σ2

m devra être révisée.



Conclusion de la troisième partie

Cette troisième partie est un cas pratique mais c’est surtout un cas particulier dans la mesure oùles modèles sont appliqués à un marché spécifique présentant un certain nombre de particula-rités que l’on ne rencontre pas forcément sur les autres marchés de la réassurance. Néanmoins,cela nous a permis de retrouver et d’illustrer quelques résultats théoriques mais égalementde prendre conscience des difficultés auxquelles on peut se heurter lors de la mise en ouvrede ces trois modèles et enfin de mieux cerner les avantages et les inconvénients de chacun d’eux.

Au début de cette partie, nous avons listé plusieurs questions auxquelles nous avons répondu.Malheureusement, nous n’avons pas pu apporter de réponse mathématique et théorique satis-faisante à la question portant sur le choix du portefeuille marché. L’actuaire devra donc sefier à son bon sens pour choisir le portefeuille marché adéquat. Dans l’Actuarial Standard ofPractice No.25 publié par l’Actuarial Standards Board, il est écrit “Any credibility procedurerequires the actuary to exercise informed judgment, using relevant information. The use ofcredibility procedures is not always a precise mathematical process”.



Conclusion Générale

Au terme de cette étude, nous espérons que les travaux présentés dans ce rapport, aurontpermis de sensibiliser le lecteur aux problèmes inhérents à la tarification des traités deréassurance et surtout, lui auront apporté une compréhension plus profonde des modèlesde crédibilité pouvant être mis en place pour pallier au manque d’information lors de latarification d’un traité en excédent de sinistre. Nous espérons également que ces travauxserviront de tremplin vers des recherches plus approfondies sur le sujet.

Partis du constat que, la taille de l’historique des sinistres disponible a un impact si-gnificatif sur la finesse de l’estimation de la prime pure et sur l’erreur commise lors de cetteestimation, nous avons cherché à développer des méthodes permettant d’augmenter lafiabilité des taux de primes des tranches peu sinistrées des traités en excédent de sinistre.Pour ce faire, nous avons pensé à incorporer dans le calcul de la prime des informationsprovenant du marché. L’idée est alors venue naturellement de pondérer les estimateursde la prime pure individuelle et de la prime marché par un coefficient appelé facteur decrédibilité. Les modèles présentés, dans ce mémoire, portent sur le calcul de ce facteur.

Dans un premier temps, nous avons présenté les différentes facettes et les mécanismes quirégissent la réassurance non vie. Nous avons notamment abordé les aspects techniques dela tarification en nous focalisant plus particulièrement sur les traités en excédent de sinistre.

Nous nous sommes ensuite attaqués au problème proprement dit en l’envisageant sousl’angle de la crédibilité bayésienne et à la lumière des théorèmes démontrés par Bühl-mann et Straub dans les années 1960. Des concepts bayésiens et du modèle de Bühlmann,nous avons tiré deux autres modèles ; un modèle purement fréquentiel pour les nombresde sinistres mais pouvant s’appliquer, sous certaines hypothèses, aux primes pures deréassurance et un modèle plus complet pour les pertes agrégées. Pour ces modèles, l’infor-mation marché est résumée par des lois Gamma dont les paramètres doivent être estimés.Les quelques articles traitant du sujet n’abordent pas ce problème de calibration et secontentent de paramètres empiriques basés sur des études difficilement généralisables oudes jugements d’experts. Pour sortir de cette impasse, nous avons eu recours à l’échantillon-nage de Gibbs. Cet algorithme nous a permis d’obtenir, à partir de l’historique des sinistresdisponible, une calibration plausible et fiable. En outre, les modèles de Bühlmann et Straubn’ont pas été conçus initialement pour servir à la tarification des traités de réassurance.De ce fait, les modèles bayésiens présentent quelques défauts et s’avèrent ne pas être enparfaite adéquation avec les méthodes de tarification utilisées en réassurance.

Nous nous sommes alors tournés vers un troisième modèle non bayésien développépar Pietro Parodi et Stéphane Bonche, deux actuaires spécialistes de la réassurance. Ils’agit d’un modèle construit sur mesure pour la tarification des traités en excédent desinistre en réassurance. Il est donc plus complet et mieux adapté au cadre de l’étude.

Enfin, nous avons appliqué ces trois modèles à un secteur spécifique de la réassurance, lemarché de l’automobile en Grande-Bretagne. Il faut reconnaître que si nous avons choisice marché, ce n’est pas par hasard mais parce que c’est un marché doté de caractéris-tiques intéressantes pour notre étude. En effet, c’est un marché mature pour lequel les



actuaires peuvent avoir confiance en les données fournies par les cédantes, pour lequelles tranches de réassurance sont standardisées et surtout, pour lequel l’hypothèse selonlaquelle l’intensité des sinistres varie très peu d’une cédante à une autre du marché estvalidée. Les résultats obtenus sont venus confirmer et illustrer les constats théoriques desparties précédentes.

Malheureusement, quelques points d’ombre viennent assombrir le bilan de cette étude.Tout d’abord, les modèles étudiés ne tiennent pas compte de la qualité des données four-nies par la cédante. Or le facteur de crédibilité devrait vraisemblablement fluctuer enfonction de la confiance plus ou moins grande que l’actuaire accorde aux données. Ensuite,nous n’avons apporté qu’une réponse très partielle à la question du choix du portefeuillemarché. Enfin, des recherches doivent encore être effectuées pour que l’un des modèlesétudiés, de préférence le troisième, puisse être entièrement automatisé et utilisé lors despériodes de renouvellement.

Enfin, au-delà des aspects techniques, ce travail sur la crédibilité a été enrichissant àplusieurs égards. Nous avons été confrontés à un sujet très technique faisant appel àdes théories mathématiques ardues et où les publications sont assez rares. Ce travail aété l’occasion de discuter avec certains spécialistes du domaine exerçant dans diversescompagnies de réassurance. Il ressort de ces échanges que :

− La question du “taux marché” est un sujet un peu obscur. L’expression “taux marché”recouvre des réalités très différentes d’une compagnie à une autre, parfois mêmed’un actuaire à un autre. Ainsi, il est utilisé tantôt pour désigner les prix fixés eninterne et tantôt pour désigner les prix leader. De même, tantôt il désigne un tauxbenchmark, tantôt un taux de prime calculé sur l’expérience agrégée de l’ensembledes cédantes du marché. C’est d’ailleurs, cette dernière définition qui a été retenuepour notre étude.

− Peu de compagnies de réassurance ont développé des modèles de crédibilité àproprement parler. La plupart n’en n’ont pas ou se contentent de modèles de crédi-bilité empiriques reposant sur des jugements d’experts et conduisant à l’utilisationsystématique de certains facteurs de crédibilité.

En général, même en l’absence de modèles de crédibilité, les actuaires tarificateurs, deleur propre chef, cherchent à mélanger les résultats issus de l’expérience de la cédante etceux issus de l’expérience agrégée de l’ensemble des cédantes du marché en appliquantun facteur de pondération dont le choix, bien souvent arbitraire, est justifié par uneconnaissance approfondie des incertitudes du processus de cotation. Cela fait partiedu métier de l’actuaire d’acquérir une bonne maîtrise des outils de tarification, de leurcomplexité et de leur limites.



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Table des figures

1.1 Répartition des primes brutes cédées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Montants agrégés des sinistres évènements naturels majeurs de 1991 à 2011 41.3 Traité Quote-Part avec un plein de conservation de 70% . . . . . . . . . . . 71.4 Traité en Excédent de Plein avec un plein de conservation de 0.5M et une

capacité de 3 pleins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Représentation graphique d’un traité XS en deux tranches . . . . . . . . . 91.6 Fonctionnement d’un traité XS par événement . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Les différentes étapes permettant d’aboutir à la prime de réassurance . . . 142.2 Choix du seuil de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Les différentes étapes de la vie d’un sinistre en branche longue . . . . . . . 192.4 Les différentes familles de sinistres tardifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Un exemple de cadencement de règlement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 Effet des IBNER sur les montants des sinistres . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7 Effet des IBNYR sur la fréquence des sinistres . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8 Exemple de courbes marchés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.9 Comparaison du RoL de différents traités en fonction de la valeur centrale

de la tranche cotée en échelle log-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.10 Calcul de la prime de crédibilité en réassurance . . . . . . . . . . . . . . . 362.11 Schématisation de la problématique du mémoire . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Le modèle à deux urnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Démarche bayésienne pour l’estimation de la prime de Bayes . . . . . . . . 43

4.1 Evolution du facteur de crédibilité en fonction de la priorité et du nombred’années d’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Schéma représentant le fonctionnement du modèle bayésien purementfréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Facteur de crédibilité en fonction de la priorité et du nombre d’années pourun seuil égale à 0.5 M selon deux angles différents . . . . . . . . . . . . . 63

4.4 Facteur de crédibilité en fonction de la priorité et du nombre d’années pourun seuil égale à 0.65 M selon deux angles différents . . . . . . . . . . . . . 64

4.5 Schéma représentant le fonctionnement du modèle bayésien fréquence/sé-vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.6 Les trois chaînes de Markov obtenues pour le paramètre θ . . . . . . . . . 704.7 Les trois chaînes de Markov obtenues pour le paramètre θ en n’affichant

qu’une itération sur 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.8 Résultat du test de Brooks-Gelman-Rubin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.9 Histogrammes et densités obtenues à l’équilibre pour le paramètre θ à

gauche et pour le paramètre ψ à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.10 QQ-plot. En ordonnées on trouve les quantiles empiriques et en abscisses

les quantiles théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.1 Evolution du facteur de crédibilité z en fonction de ρm,c. . . . . . . . . . . 75



5.2 Mécanisme du bootstrap permettant d’évaluer l’incertitude liée à l’estima-teur du paramètre de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3 Schéma représentant le fonctionnement du modèle de Bonche et Parodi . 79

6.1 Représentation des taux purs de la tranche 5 xs 5 des cédantes CCR enfonction des estimations de l’assiette de primes 2015 . . . . . . . . . . . . 85

6.2 Représentation des taux purs de la tranche 5 xs 5 des cédantes CCR enfonction de la fréquence de sinistralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.3 Gestion par année de souscription . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4 Gestion par année de survenance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.5 Calcul de la prime fictive de réassurance versée au 1er janvier dans le cas

d’un traité renouvelé au 1er avril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.6 Processus d’agrégation des triangles de sinistralité . . . . . . . . . . . . . . 88

7.1 Illustration de la statistique du test de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . 90

8.1 Facteurs de crédibilité obtenus pour le modèle fréquence/sévérité et pourles trois tranches standards étudiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.2 Facteurs de crédibilité obtenus pour le modèle fréquentiel et pour les troistranches standards étudiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.3 Facteurs de crédibilité obtenus pour la cédante n1 et pour le modèlefréquence/sévérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.4 Facteurs de crédibilité obtenus pour la cédante n1 et pour le modèlepurement fréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.5 Facteurs de crédibilité des cédantes n1, n2 et n3 pour les différentsgroupes marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.6 Taux de prime pure crédibilisés calculés pour la cédante n3 . . . . . . . . 99

A.1 Densité de la loi de Poisson pour différentes valeurs de λ . . . . . . . . . 111A.2 Densité de la loi de Binomiale Négative pour différents paramètres . . . . 112A.3 Fonctions densité de la loi de Pareto en échelle Log-Log . . . . . . . . . . . 113A.4 Fonctions de densité d’une loi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115



Liste des tableaux

2.1 Données d’exposition du traité à tarifer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Assiettes de primes revalorisées par la mesure d’exposition . . . . . . . . . 232.3 Triangle des sinistres extrapolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Triangle des nombres de sinistres extrapolés . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Notations du modèle de Bühlmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Notations du modèle de Bühlmann-Straub . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1 Paramètres des lois Poisson et Pareto pour les cédantes du marché . . . . . 664.2 Données issues d’un portefeuille automobile et extraites de l’article de

Rytgaard [31] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3 Valeurs intiales des trois chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4 Estimations des paramètres du modèle Poisson-Pareto . . . . . . . . . . . 71

7.1 Résultats du test de Kolmogorov-Smirnov pour deux échantillons . . . . . 907.2 Taux purs estimés stochastiquement pour les 20 cédantes du portefeuille

marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.3 Taux marché estimés stochastiquement pour les différents groupes marchés 917.4 Méthodes et logiciels utilisés pour chaque modèle . . . . . . . . . . . . . . 94

8.1 Écarts entre les facteurs de crédibilité obtenus pour les modèles bayésiens 97

9.1 Bilan sur les modèles de crédibilité mis en oeuvre dans le mémoire . . . . 102

E.1 Statistiques observées et p-valeur des tests de Kolmogorov-Smirnov . . . . 119

F.1 Facteurs de crédibilité obtenus pour le modèle combiné fréquence/sévéritélorsque le seuil de modélisation est égal à 1 500 000 . . . . . . . . . . . . . 120

F.2 Facteurs de crédibilité obtenus pour le modèle purement fréquentiel lorsquele seuil de modélisation est égal à 1 500 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

G.1 Résultats obtenus pour les 20 cédantes du portefeuille marché lorsque leseuil de modélisation est égal à 1 500 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

G.2 Estimation de l’erreur commise lors de l’estimation de la fréquence marchéσθm−c

2pour différents groupes marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

G.3 Estimation de l’hétérogénéité σθh2

des différents groupes marché . . . . . . 124G.4 Estimation du facteur de crédibilité pour les cédantes des différents groupes

marché considérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

H.1 Facteurs de crédibilité obtenus pour le modèle fréquence/sévérité lorsquele seuil de modélisation est égal à 4 000 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

H.2 Facteurs de crédibilité obtenus pour le modèle purement fréquentiel lorsquele seuil de modélisation est égal à 4 000 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

I.1 Résultats obtenus pour les 20 cédantes du portefeuille marché lorsque leseuil de modélisation est égale à 4 000 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128



I.2 Estimation de l’erreur commise lors de l’estimation de la fréquence marchéσλm pour différents groupes marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

I.3 Estimation de l’hétérogénéité σλh des différents groupes marché . . . . . . 130I.4 Estimation du facteur de crédibilité pour les cédantes des différents groupes

marché considérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131



Annexe A

Lois de distribution de fréquence et d’intensité

A.1 La loi de Poisson

La densité de probabilité d’une loi de Poisson de paramètre λ s’écrit :

P (X = k) = e−λ · λk

k!∀ k ∈ N

On a alors :E[N ] = V ar[N ] = λ

0

0.05

0.1

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0 5 10 15 20

λ = 2

λ = 10

λ = 15

Densité de la loide Poisson

FIGURE A.1 – Densité de la loi de Poisson pour différentes valeurs de λ

Pour certaine branche, il peut être intéressant de considérer une volatilité plus importante,on préfère alors avoir recours à la distribution Binomiale Négative.



A.2 La loi Binomiale Négative

La densité de probabilité d’une loi de Binomiale Négative de paramètres n > 0 et p ∈]0, 1[s’écrit :

P (X = k) =

(k + n− 1

k

)pn(1− p)k

On a alors :

E[N ] = n× 1− pp

V ar[N ] = n× 1− pp2

Donc :V ar[N ] > E[N ]

0

0.05

0.1

0.15

0.20

0.25

0.30

0 5 10 15 20 25

n = 7, p = 0.7

n = 7, p = 0.5

n = 7, p = 0.3

Densité de la loibinomiale négative

FIGURE A.2 – Densité de la loi de Binomiale Négative pour différents paramètres

A.3 La loi de Pareto

La distribution la plus utilisée en réassurance est sans aucun doute la loi de Pareto. Elle esttrès appréciée car elle est simple et possède plusieurs propriétés adaptées à la réassurance.Ces propriétés ont été détaillées dans les parties 4.1.1 et 4.2.1.

Cette loi est caractérisée par deux paramètres, un paramètre de forme α et un para-mètre d’échelle, le seuil, λ. En général, on fixe le seuil λ et on cherche le α associé à ceseuil.

La fonction de densité peut s’écrire :

f(x) =αλα

xα+11]λ;+∞[(x)



En échelle Log-Log, cette fonction densité est une droite affine de pente (α+ 1) et d’ordon-née à l’origine ln(α) + α ln(λ).

4 5 6 7 8 9 10

−50

−40

−30

−20

−10

0

ln(xa

)

α = 8α = 5

α = 3α = 2

α = 1

FIGURE A.3 – Fonctions densité de la loi de Pareto en échelle Log-Log

La fonction de répartition est :

F (x) = 1−(λ

x

)α1]λ;+∞[(x)

Donc :

P (X > x) =

(λ

x

)α∀ x > λ

Par conséquent, plus α est petit, plus la queue de la distribution est épaisse (et donc plusla probabilité de sinistres importants est élevée).

L’espérance est égale à :

E[X] =

αα−1λ si ∀ α > 1

∞ si α ≤ 1

La variance vaut :

V ar[X] =

α

(α−1)2(α−2)λ si ∀ α > 2

∞ si α ≤ 2

L’estimateur du maximum de vraisemblance se calcule ainsi :

α =n∑n

i=1 ln(xiλ )



où x1, ..., xn est la réalisation d’un n-échantillon i.i.d de X.

Cet estimateur étant biaisé, on lui préfère souvent l’estimateur débiaisé suivant :

α =n− 1∑ni=1 ln(xiλ )

Nous avons présenté la loi de Pareto selon sa défintion “ européenne ”. Il existe d’autresécritures possibles de la loi de Pareto. La définition “ américaine ” est la suivante :

f(x) =αλα

(x+ λ)α+11]λ;+∞[(x)

F (x) =

1− ( λ

x+λ )α

si x > 0

0 si x ≤ 0

Il s’agit bien sûr de la même loi mais dans un cas, on s’intéresse à la valeur des dépasse-ments depuis l’origine 0 et dans l’autre à la valeur des dépassements depuis le seuil, λ.Si X suit une loi de Pareto “ européenne ” de paramètres (λ, α) alors X − λ est distribuéselon une Pareto “ américaine ” de paramètres (λ, α).

A.4 La loi Gamma

La loi Gamma est caractérisée par deux paramètres, un paramètre de forme a et un para-mètre d’intensité b.

La fonction densité s’écrit :f(x) =

ba

Γ(a)· e−bx · xa−1

avec

Γ(a) =

∫ ∞0

e−x · xa−1dx

La fonction de répartition s’écrit :

F (x) =ba

Γ(a)

∫ x

0

e−bx · xa−1dx

L’espérance est égale à :E[X] =

a

b

Et la variance à :V ar[X] =

a

b2



0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

x

Den

sité

a = 10

a = 4

a = 2

a = 1

a = 0.5

FIGURE A.4 – Fonctions de densité d’une loi Gamma



Annexe B

Frise chronologique de la crédibilité appliquée àla réassurance

1

2

3

4

56

7

8

2008

2005

1992

1991

1971

1967

1945

1914 Crédibilité AméricaineArthur H. Mowbray

Crédibilité des Moindres CarrésArthur L. Bailey

Crédibilité BayésienneHans Bühlmann & Erwin Straub

Première application à la RéassuranceErwin Straub

Modèle de crédibilité fréquentiel en RéassuranceGary Patrik & Isaac Mashitz

Crédibilité des IncertitudesJoseph A. Boor

Modèle de crédibilité fréquence/sévéritéen RéassuranceMark Cockroft Crédibilité des Incertitudes

appliquée à la RéassuranceStéphane Bonche & Pietro Parodi



Annexe C

Modèle de Cockroft

Lemme 8

µr(Ψ) = (λ+ d)rr∑j=0

(r

j

)(−1)

r−j j

Ψ− j

(1−

(λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ−j)

Preuve.

µr(Ψ) =

∫ l

0

yrΨ(λ+ d)Ψ

(λ+ d+ y)−(Ψ+1)

dy + lr(

λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ

=

∫ l+d

l

(x− d)rΨ(λ+ d)

Ψ(λ+ x)

−(Ψ+1)dx+ lr

(λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ

=

∫ l+d

l

[(λ+ x)− (λ+ d)]rΨ(λ+ d)

Ψ(λ+ x)

−(Ψ+1)dx+ lr

(λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ

=

∫ l+d

l

r∑j=0

(r

j

)(λ+ x)

j(−1)

r−j(λ+ d)

r−jΨ(λ+ d)

Ψ(λ+ x)

−(Ψ+1)dx+ lr

(λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ

=

r∑j=0

(r

j

)(−1)

r−j(λ+ d)

r−jΨ(λ+ d)

Ψ∫ l+d

l

(λ+ x)−(Ψ−j+1)

dx+ lr(

λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ

=

r∑j=0

(r

j

)(−1)

r−j(λ+ d)

rΨ(λ+ d)

Ψ−j (λ+ d)−(Ψ−j) − (λ+ l + d)

−(Ψ−j)

Ψ− j

+ (λ+ d)r

(λ+ l + d

λ+ d− 1

)r(λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ

=

r∑j=0

(r

j

)(−1)

r−j(λ+ d)

r Ψ

Ψ− j

(1−

(λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ−j)

+ (λ+ d)r

r∑j=0

(r

j

)(−1)

r−j(

λ+ d

λ+ d+ l

)j( λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ

=

r∑j=0

(r

j

)(−1)

r−j(λ+ d)

r

[Ψ

Ψ− j

(1−

(λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ−j)

+

(λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ−j]

=

r∑j=0

(r

j

)(−1)

r−j(λ+ d)

r

[1 +

j

Ψ− j

(1−

(λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ−j)]

= (λ+ d)r

r∑j=0

(r

j

)(−1)

r−j

︸︷︷︸=0

+(λ+ d)r

r∑j=0

(r

j

)(−1)

r−j j

Ψ− j

(1−

(λ+ d

λ+ d+ l

)Ψ−j)



Annexe D

Code WinBUGS pour le modèle Poisson-Pareto

model

for(i in 1 :16) y[i] ∼ dpar(psi, 1.5)for(i in 1 :5) n[i] ∼ dpois(theta)psi ∼ dgamma(1, 0.0001)theta ∼ dgamma(1, 0.0001)list(y = c(2.495, 2.120, 2.095, 1.700, 1.650, 1.985, 1.810, 1.625,3.215, 2.105, 1.765, 1.715, 19.180, 1.915, 1.790, 1.755),n = c(5, 3, 4, 0, 4))list(psi = 1000,theta= 2)



Annexe E

Résultats des tests de Kolmogorov-Smirnov

Cédante Seuil = 1 M £ Seuil = 1.5 M £ Seuil = 2 M £

D0 p valeur D0 p valeur D0 p valeur

1 0.0859 0.4799 0.2165 0.392 0.1533 0.2339

2 0.0572 0.9868 0.088 0.9623 0.1563 0.8218

3 0.0572 0.3920 0.1048 0.4621 0.2314 0.2846

4 0.2213 0.2564 0.1742 0.3162 0.2524 0.1461

5 0.0723 0.7772 0.1693 0.1615 0.1985 0.4074

6 0.3652 0.3101 0.3582 0.960 0.7056 0.7031

7 0.1706 0.3022 0.1864 0.5445 0.2013 0.8201

8 0.1364 0.1236 0.0812 0.2540 0.1514 0.6757

9 0.3420 0.00091 0.1480 0.0221 0.1602 0.1820

10 0.0661 0.1290 0.0704 0.345 0.0983 0.510

11 0.2993 0.00215

12 0.0968 0.0081 0.2411 0.0092 0.1092 0.2729

13 0.0602 0.8718 0.0996 0.7247 0.2004 0.2993

14 0.2647 0.00153 0.1099 0.00081 0.1603 0.04199

15 0.0947 0.2768 0.1216 0.3213 0.1611 0.3367

16 0.2201 0.01563 0.1503 0.422 0.2167 0.2782

17 0.0929 0.00578 0.0489 0.410 0.0752 0.1965

18 0.1032 0.1367 0.0907 0.2041 0.1926 0.210

19 0.1648 0.03612

20 0.0876 0.0072 0.0898 0.0034 0.1936 0.00289

TABLE E.1 – Statistiques observées et p-valeur des tests de Kolmogorov-Smirnov



Annexe F

Résultats obtenus pour les modèles bayésiens

Longueur de

l’historique

(en années)


T 3 xs 2 T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 99.22% 98.04% 97.11%

9 98.40% 96.89% 93.23%

8 97.57% 95.25% 91.41%

7 95.22% 92.81% 87.99%

6 93.22% 90.44% 85.65%

5 91.80% 87.64% 77.44%

4 88.56% 84.55% 75.67%

3 85.90% 80.78% 69.48%

2 83.13% 74.59% 65.29%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 3 xs 2 T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 98.88% 97.76% 96.83%

9 98.17% 95.95% 93.01%

8 97.37% 94.00% 90.52%

7 95.19% 92.11% 85.98%

6 92.86% 89.65% 80.74%

5 91.72% 86.76% 74.48%

4 88.31% 84.01% 68.57%

3 84.99% 78.99% 66.65%

2 82.31% 74.02% 63.21%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 3 xs 2 T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 97.49% 94.43% 91.65%

9 96.07% 92.71% 89.32%

8 93.84% 89.83% 86.18%

7 90.20% 88.76% 83.69%

6 88.87% 84.10% 79.79%

5 85.00% 81.95% 76.18%

4 81.75% 78.89% 73.22%

3 77.18% 70.46% 68.41%

2 72.23% 68.98% 61.94%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 3 xs 2 T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 93.36% 82.87% 80.34%

9 91.43% 81.04% 79.66%

8 89.63% 78.42% 75.44%

7 86.18% 77.20% 73.09%

6 83.20% 76.49% 69.87%

5 79.52% 74.32% 65.13%

4 76.00% 71.03% 56.78%

3 67.28% 62.13% 45.12%

2 59.36% 51.22% 32.99%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 3 xs 2 T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 89.74% 76.89% 71.00%

9 86.10% 72.61% 67.25%

8 84.51% 67.57% 62.41%

7 82.87% 61.01% 58.95%

6 78.24% 58.48% 51.74%

5 75.07% 53.06% 49.78%

4 69.98% 46.82% 37.92%

3 60.33% 39.59% 28.79%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 3 xs 2 T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 87.14% 70.12% 60.77%

9 85.47% 67.19% 57.30%

8 82.37% 59.81% 48.45%

7 80.99% 58.30% 48.19%

6 76.14% 56.55% 45.30%

5 75.40% 47.13% 34.87%

4 66.82% 35.87% 24.01%

3 57.67% 29.60% 19.76%

TABLE F.1 – Facteurs de crédibilité obtenus pour le modèle combiné fréquence/sévérité lorsque leseuil de modélisation est égal à 1 500 000



Longueur de

l’historique

(en années)


T 3 xs 2 T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 97.83% 87.75% 68.54%

9 96.69% 85.77% 65.29%

8 95.28% 83.25% 59.97%

7 93.47% 80.00% 57.00%

6 91.20% 76.33% 52.85%

5 88.19% 71.33% 45.67%

4 83.97% 65.03% 39.77%

3 78.81% 61.25% 38.80%

2 70.40% 55.94% 35.05%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 3 xs 2 T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 95.35% 84.39% 66.25%

9 94.12% 82.26% 63.59%

8 90.54% 80.04% 60.27%

7 87.30% 77.16% 56.81%

6 84.05% 72.99% 52.63%

5 81.14% 69.84% 44.10%

4 77.69% 62.41% 38.65%

3 73.32% 55.60% 34.78%

2 63.32% 43.72% 30.31%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 3 xs 2 T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 89.01% 78.75% 59.80%

9 86.92% 76.23% 55.97%

8 85.17% 72.67% 50.94%

7 82.37% 70.42% 47.88%

6 79.41% 68.28% 45.10%

5 75.16% 64.57% 41.64%

4 72.13% 58.94% 38.69%

3 65.97% 53.98% 34.13%

2 59.18% 43.52% 24.13%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 3 xs 2 T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 87.91% 74.08% 54.10%

9 86.12% 72.43% 52.46%

8 84.23% 69.07% 47.69%

7 81.00% 67.28% 42.06%

6 77.58% 63.34% 39.46%

5 74.81% 57.96% 35.63%

4 70.91% 53.22% 29.87%

3 63.66% 45.55% 24.56%

2 52.12% 39.31% 15.98%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 3 xs 2 T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 77.95% 65.04% 37.86%

9 75.21% 63.10% 36.02%

8 71.44% 60.73% 35.27%

7 63.99% 57.49% 28.41%

6 60.22% 52.96% 24.52%

5 57.34% 46.20% 20.42%

4 51.87% 41.11% 13.50%

3 45.21% 36.14% 10.34%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 3 xs 2 T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 60.16% 57.40% 26.40%

9 57.95% 48.44% 23.42%

8 53.99% 44.60% 16.81%

7 49.66% 38.13% 14.18%

6 45.92% 31.81% 12.28%

5 41.30% 28.59% 10.71%

4 39.87% 25.93% 7.80%

3 38.12% 24.42% 6.51%

TABLE F.2 – Facteurs de crédibilité obtenus pour le modèle purement fréquentiel lorsque le seuil demodélisation est égal à 1 500 000



Annexe G

Résultats obtenus pour le modèle non bayésien

Cédantes (σθc)2

(σθm−c)2

(σθh)2

zθ

1 8.97 10−18 6.68 10−19 2.92 10−15 99.69%

2 6.70 10−18 7.21 10−19 2.93 10−15 99.77%

3 6.50 10−17 5.71 10−19 2.79 10−15 97.12%

4 7.76 10−17 5.74 10−19 2.85 10−15 97.35%

5 1.79 10−17 5.70 10−19 2.85 10−15 99.37%

6 6.91 10−18 5.04 10−19 2.77 10−15 99.75%

7 9.26 10−17 5.24 10−19 2.79 10−15 97.81%

8 7.33 10−18 6.08 10−19 2.99 10−15 99.76%

9 2.12 10−17 5.79 10−19 2.77 10−15 99.24%

10 1.80 10−18 7.11 10−19 2.36 10−15 99.92%

11 1.06 10−17 5.79 10−19 2.76 10−15 99.62%

12 4.04 10−18 6.57 10−19 2.22 10−15 99.82%

13 1.39 10−17 9.39 10−19 3.07 10−15 99.55%

14 5.01 10−17 6.58 10−19 2.86 10−15 98.28%

15 3.35 10−17 5.14 10−19 2.88 10−15 98.85%

16 2.39 10−18 5.63 10−19 2.93 10−15 99.92%

17 8.40 10−19 5.79 10−19 2.39 10−15 99.96%

18 6.63 10−17 6.62 10−19 3.49 10−15 98.14%

19 5.19 10−19

20 4.90 10−19

Calcul impossible en raison du peu de données dépassant le seuil de modélisation

TABLE G.1 – Résultats obtenus pour les 20 cédantes du portefeuille marché lorsque le seuil demodélisation est égal à 1 500 000


Lestarifs

desréassureurs

sont-ilscrédibles?

hhhhhhhhhhhhhhla cédante n :

Marché privé deGroupe de 20 cédantes Groupe de 15 cédantes Groupe de 12 cédantes Groupe de 9 cédantes Groupe de 6 cédantes Groupe de 3 cédantes

1 6.677 10−19 1.297 10−18 1.478 10−18 2.773 10−18 3.702 10−18 1.214 10−16

2 7.210 10−19 9.280 10−19 1.310 10−18 2.201 10−18 7.092 10−18 1.202 10−16

3 5.714 10−19 1.094 10−18 1.185 10−18 2.126 10−18 3.872 10−18 1.380 10−16

4 5.741 10−19 9.81 10−19 1.077 10−18 1.333 10−18 2.380 10−18 X

5 5.703 10−19 9.276 10−19 1.724 10−18 2.165 10−18 2.603 10−18 X

6 5.042 10−19 9.184 10−19 1.319 10−18 1.733 10−18 1.92 10−18 X

7 5.258 10−19 9.540 10−19 1.379 10−18 2.666 10−18 X X

8 6.084 10−19 9.9175 10−19 1.207 10−18 1.44 10−18 X X

9 5.791 10−19 1.136 10−18 1.364 10−18 1.81 10−18 X X

10 7.114 10−19 1.385 10−18 1.43 10−18 X X X

11 5.789 10−19 1.153 10−18 1.237 10−18 X X X

12 6.572 10−19 1.116 10−18 1.956 10−18 X X X

13 9.385 10−19 9.756 10−19 X X X X

14 6.578 10−19 1.077 10−18 X X X X

15 5.14 10−19 9.236 10−19 X X X X

16 5.629 10−19 X X X X X

17 5.790 10−19 X X X X X

18 6.623 10−19 X X X X X

19 5.190 10−19 X X X X X

20 4.896 10−19 X X X X X

TABLE G.2 – Estimation de l’erreur commise lors de l’estimation de la fréquence marché σθm−c2

pour différents groupes marché

Christine

Finas|

Mém

oire|

2015125

Lestarifs

desréassureurs

sont-ilscrédibles?

hhhhhhhhhhhhhhla cédante n :


1 2.915 10−15 9.603 10−16 2.848 10−16 1.945 10−16 1.942 10−16 1.821 10−16

2 2.933 10−15 1.974 10−16 1.749 10−16 1.740 10−16 1.713 10−16 1.431 10−16

3 2.789 10−15 1.696 10−16 1.666 10−16 1.374 10−16 1.042 10−16 9.855 10−17

4 2.849 10−15 3.521 10−16 2.954 10−16 1.886 10−16 1.749 10−16 X

5 2.853 10−15 3.188 10−16 1.995 10−16 1.867 10−16 1.710 10−16 X

6 2.770 10−15 1.715 10−16 1.493 10−16 1.206 10−16 1.093 10−16 X

7 2.791 10−15 5.639 10−16 1.837 10−16 1.769 10−16 X X

8 2.992 10−15 1.906 10−16 1.805 10−16 1.730 10−16 X X

9 2.765 10−15 1.871 10−16 1.840 10−16 1.772 10−16 X X

10 2.356 10−15 4.133 10−16 2.712 10−16 X X X

11 2.758 10−15 3.854 10−16 2.515 10−16 X X X

12 2.219 10−15 2.058 10−16 1.438 10−16 X X X

13 3.069 10−15 6.733 10−16 X X X X

14 2.862 10−15 1.905 10−16 X X X X

15 2.876 10−15 1.603 10−16 X X X X

16 2.931 10−15 X X X X X

17 2.386 10−15 X X X X X

18 3.487 10−15 X X X X X

19 X X X X X

20 X X X X X

TABLE G.3 – Estimation de l’hétérogénéité σθh2

des différents groupes marché

Christine

Finas|

Mém

oire|

2015126

Lestarifs

desréassureurs

sont-ilscrédibles?

`````````Cédantes n :zθ Groupe de 20 cédantes Groupe de 15 cédantes Groupe de 12 cédantes Groupe de 9 cédantes Groupe de 6 cédantes Groupe de 3 cédantes

1 99.69% 99.08% 96.96% 95.65% 95.66% 97.13%

2 99.77% 96.73% 96.34% 96.34% 96.38% 97.52%

3 97.72% 72.41% 72.06% 68.21% 62.43% 78.44%

4 97.35% 81.98% 79.26% 70.99% 69.55% X

5 99.37% 94.68% 91.81% 91.32% 90.63% X

6 99.75% 96.15% 95.61% 94.65% 94.15% X

7 97.81% 85.91% 66.64% 65.97% X X

8 99.76% 96.31% 96.12% 95.97% X X

9 99.24% 89.88% 89.74% 89.41% X X

10 99.92% 99.57% 99.34% X X X

11 99.62% 97.33% 95.97% X X X

12 99.82% 98.08% 97.30% X X X

13 99.55% 97.98% X X X X

14 98.28% 79.28% X X X X

15 98.85% 82.82% X X X X

16 99.92% X X X X X

17 99.96% X X X X X

18 98.14% X X X X X

19 X X X X X

20 X X X X X

TABLE G.4 – Estimation du facteur de crédibilité pour les cédantes des différents groupes marché considérés

Christine

Finas|

Mém

oire|

2015127


Annexe H

Compléments - Modèles bayésiens

Longueur de

l’historique

(en années)


T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 97.35% 96.90%

9 95.11% 94.54%

8 92.34% 90.08%

7 92.14% 89.87%

6 97.78% 89.39%

5 83.70% 78.85%

4 82.65% 76.23%

3 80.14% 70.39%

2 72.19% 65.74%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 94.45% 93.71%

9 93.48% 92.55%

8 91.40% 89.21%

7 90.85% 88.15%

6 89.88% 86.66%

5 82.55% 76.58%

4 80.72% 66.90%

3 76.54% 64.08%

2 71.30% 55.89%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 89.34% 88.32%

9 88.97% 87.93%

8 84.92% 83.62%

7 84.67% 82.82%

6 82.71% 80.51%

5 79.75% 76.91%

4 77.99% 74.61%

3 71.75% 66.91%

2 69.62% 63.85%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 82.21% 79.66%

9 82.19% 79.56%

8 79.29% 75.77%

7 78.06% 74.61%

6 74.26% 69.92%

5 69.77% 64.24%

4 64.48% 57.77%

3 54.28% 44.62%

2 40.73% 33.21%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 72.32% 67.10%

9 72.27% 67.31%

8 66.66% 60.10%

7 66.35% 59.73%

6 58.82% 51.42%

5 55.69% 48.22%

4 41.53% 27.13%

3 36.26% 25.06%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 64.64% 58.80%

9 62.25% 55.95%

8 60.94% 54.41%

7 60.02% 53.39%

6 58.47% 50.52%

5 46.74% 35.08%

4 31.72% 24.90%

3 29.72% 18.17%

TABLE H.1 – Facteurs de crédibilité obtenus pour le modèle fréquence/sévérité lorsque le seuil demodélisation est égal à 4 000 000



Longueur de

l’historique

(en années)


T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 87.34% 68.25%

9 85.86% 64.06%

8 84.07% 59.44%

7 82.22% 56.48%

6 79.83% 51.91%

5 76.30% 44.62%

4 71.78% 38.46%

3 65.23% 30.40%

2 55.72% 22.83%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 78.38% 61.33%

9 77.85% 56.24%

8 74.06% 49.36%

7 71.73% 47.73%

6 68.55% 43.98%

5 64.45% 39.39%

4 59.23% 34.42%

3 51.55% 26.48%

2 41.88% 20.24%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 77.98% 54.46%

9 76.04% 51.32%

8 73.52% 46.66%

7 70.87% 43.63%

6 67.58% 39.85%

5 63.08% 34.00%

4 57.53% 28.46%

3 49.97% 21.69%

2 40.44% 16.72%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 70.39% 44.64%

9 68.25% 42.52%

8 65.22% 37.95%

7 62.32% 35.72%

6 58.54% 31.75%

5 53.77% 27.10%

4 48.11% 22.65%

3 40.26% 16.28%

2 33.61% 11.48%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 63.46% 35.20%

9 61.12% 33.42%

8 58.90% 33.03%

7 54.48% 26.24%

6 50.53% 23.23%

5 45.16% 18.02%

4 35.02% 12.50%

3 30.98% 9.69%

Longueur de

l’historique

(en années)


T 5 xs 5 T 15 xs 10

10 56.11% 23.57%

9 53.92% 23.00%

8 49.31% 16.69%

7 48.12% 20.00%

6 42.35% 13.47%

5 38.64% 12.69%

4 34.63% 7.11%

3 28.44% 6.71%

TABLE H.2 – Facteurs de crédibilité obtenus pour le modèle purement fréquentiel lorsque le seuil demodélisation est égal à 4 000 000



Annexe I

Compléments - Modèle non bayésien

Cédantes (σθc)2

(σθm−c)2

(σθh)2

zθ

1 3.29 10−18 9.13 10−20 4.80 10−16 99.32%

2 4.34 10−18 2.45 10−19 4.84 10−16 99.11%

3 2.13 10−17 2.20 10−19 4.70 10−16 95.68%

4 6.91 10−18 2.07 10−19 4.76 10−16 98.57%

5 8.98 10−18 2.66 10−19 4.76 10−16 98.15%

6 2.73 10−18 2.09 10−19 4.68 10−16 99.42%

7 7.41 10−18 2.46 10−19 4.70 10−16 98.45%

8 3.28 10−18 2.52 10−19 4.91 10−16 99.34%

9 8.01 10−18 2.52 10−19 4.67 10−16 98.32%

10 1.09 10−18 3.10 10−19 5.22 10−16 99.79%

11 5.94 10−18 2.49 10−19 4.66 10−16 98.74%

12 2.89 10−18 2.29 10−19 5.14 10−15 99.44%

13 4.92 10−18 3.00 10−19 4.98 10−16 99.02%

14 1.66 10−17 2.35 10−19 4.77 10−16 96.63%

15 1.82 10−17 2.80 10−19 4.78 10−16 96.33%

16 8.17 10−18 2.77 10−19 5.83 10−16 98.62%

17 5.42 10−19 2.51 10−19 2.68 10−16 98.04%

18 1.24 10−17 3.49 10−19 5.73 10−16 97.75%

19 2.46 10−19

20 2.38 10−19

Calcul impossible en raison du peu de données dépassant le seuil de modélisation

TABLE I.1 – Résultats obtenus pour les 20 cédantes du portefeuille marché lorsque le seuil demodélisation est égale à 4 000 000


Lestarifs

desréassureurs

sont-ilscrédibles?

hhhhhhhhhhhhhhla cédante no :


1 9.126 10−20 5.183 10−19 8.204 10−19 9.202 10−19 1.89 10−18 5.803 10−18

2 2.446 10−19 5.730 10−19 7.795 10−19 8.396 10−19 1.175 10−18 3.617 10−18

3 2.199 10−19 4.689 10−19 5.576 10−19 6.376 10−19 9.95 10−19 1.945 10−18

4 2.056 10−19 5.039 10−19 5.034 10−19 6.277 10−19 9.69 10−19 X

5 2.66 10−19 4.336 10−19 6.895 10−19 1.101 10−18 1.302 10−18 X

6 2.093 10−19 5.00 10−19 5.774 10−19 8.06 10−19 7.156 10−19 X

7 2.46 10−19 5.650 10−19 6.49 10−19 9.431 10−19 X X

8 2.518 10−19 5.001 10−19 7.019 10−19 6.649 10−19 X X

9 2.523 10−19 5.160 10−19 6.254 10−19 6.52 10−19 X X

10 3.104 10−19 6.485 10−19 7.96 10−19 X X X

11 2.491 10−19 5.023 10−19 5.682 10−19 X X X

12 2.291 10−19 5.230 10−19 1.029 10−18 X X X

13 3.00 10−19 3.580 10−19 X X X X

14 2.346 10−19 4.539 10−19 X X X X

15 2.796 10−19 5.411 10−19 X X X X

16 2.77 10−19 X X X X X

17 2.507 10−19 X X X X X

18 3.494 10−19 X X X X X

19 2.464 10−19 X X X X X

20 2.381 10−19 X X X X X

TABLE I.2 – Estimation de l’erreur commise lors de l’estimation de la fréquence marché σλm pour différents groupes marché

Christine

Finas|

Mém

oire|

2015131

Lestarifs

desréassureurs

sont-ilscrédibles?

hhhhhhhhhhhhhhla cédante no :


1 4.798 10−16 9.703 10−17 7.842 10−17 5.847 10−17 4.752 10−17 3.936 10−17

2 4.842 10−16 9.515 10−17 4.511 10−17 2.966 10−17 3.541 10−17 3.533 10−17

3 4.702 10−16 9.676 10−17 3.757 10−17 6.773 10−17 2.570 10−17 3.021 10−17

4 4.758 10−16 7.004 10−17 6.694 10−17 5.122 10−17 4.879 10−17 X

5 4.760 10−16 1.091 10−16 6.543 10−17 4.421 10−17 3.413 10−17 X

6 4.680 10−16 9.343 10−17 3.516 10−17 2.998 10−17 3.073 10−17 X

7 4.695 10−16 2.131 10−16 4.622 10−17 5.278 10−17 X X

8 4.905 10−16 1.262 10−16 4.358 10−17 4.123 10−17 X X

9 4.674 10−16 1.237 10−16 4.583 10−17 3.631 10−17 X X

10 5.217 10−16 8.463 10−18 6.895 10−17 X X X

11 4.660 10−16 1.548 10−16 4.456 10−17 X X X

12 5.141 10−16 9.668 10−17 7.114 10−17 X X X

13 4.981 10−16 9.397 10−17 X X X X

14 4.770 10−16 9.553 10−17 X X X X

15 4.775 10−16 9.175 10−17 X X X X

16 5.832 10−16 X X X X X

17 2.684 10−17 X X X X X

18 5.732 10−16 X X X X X

19 X X X X X

20 X X X X X

TABLE I.3 – Estimation de l’hétérogénéité σλh des différents groupes marché

Christine

Finas|

Mém

oire|

2015132

Lestarifs

desréassureurs

sont-ilscrédibles?

XXXXXXXXXCédanteszλd,l Groupe de 20 cédantes Groupe de 15 cédantes Groupe de 12 cédantes Groupe de 9 cédantes Groupe de 6 cédantes Groupe de 3 cédantes

1 99.32% 96.74% 96.01% 94.75% 93.76% 99.11%

2 99.11% 95.66% 91.36% 87.54% 89.40% 95.68%

3 95.68% 82.06% 64.20% 76.28% 55.66% 60.19%

4 98.57% 91.08% 88.21% 88.24% 87.81% X

5 98.15% 91.86% 88.04% 83.46% 79.78% X

6 99.42% 97.17% 92.90% 91.85% 92.01% X

7 98.45% 96.65% 69.59% 72.40% X X

8 99.34% 97.48% 93.11% 92.75% X X

9 98.32% 93.94% 85.29% 82.19% X X

10 99.79% 89.29% 98.46% X X X

11 98.74% 96.32% 88.37% X X X

12 99.44% 97.11% 96.15% X X X

13 99.02% 95.04% X X X X

14 96.63% 85.23% X X X X

15 96.33% 85.53% X X X X

16 98.62% X X X X X

17 98.04% X X X X X

18 97.75% X X X X X

19 X X X X X

20 X X X X X

TABLE I.4 – Estimation du facteur de crédibilité pour les cédantes des différents groupes marché considérés

Christine

Finas|

Mém

oire|

2015133

« credibility theory is one of the cornerstones of

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