eja'ga1' k arang :mingara.ng;' - …pustaka2.upsi.edu.my/eprints/2256/1/ilmu...

�s.s. &,·F.M.S ..... 'l

\:',�..-

" :':-.

T., 'EH)SSE[(':"- t,'. ....:.

:

.; ,��."�

:�� ,"

"

.:. -.�" ">:'"

�> );)I-TJiiH<:JEMAB,:K_AMl' OLEH'"

" '�EJA'gA1' k�ARANG_:MiNGARA.NG;'�

• v.

-

.

,._,.' r, _> .; :u,., 4 \

�UL:r1::, }j)ius T,RAiN.1;�G, COLLE('j:E: T�NJ�NG MALTM

\-,

..,."

...'

... ,. ,:�.

-..(,.:- 1_1

" .�.

. MACMILLAN' AND'CO. 0

LIMITE;D, .

B1'.' MA.kTIN'S S1'.�;EET-0'

,

,f

�. ....

f" ','

THE MALAY SCHOOL SERIES

No. IS

Published for the Education Dept., S.S. Cj F.M.S.

GENERAL EDITORS:

R. O. WINSTEDT, C.M.G., M.A., D.LITT. (Oxon.), W. B. CLARKE.

O. T. DUSSEK, B.A. (Lond:). ZAINAL-'ABIDIN BIN AHMAD.

KITAB

'ILMU GEOMETRY

DI-ATOR OLEH

O. T. DUSSEK

DI-TER]EMAHKAN OLEH

"PE]ABAT KARANG-MENGARANG"SULTAN IDRIS TRAINING COLLEGE, TANJONG MALIM

CHETAK YANG PERTAMA

LONDONPUBLISHED FOR THE EDUCATION DEPT., S.S. & F.M.S.

BY

MACMILLAN & CO., LIMITED1930

ISI-NYA

nAll MUKA

URAl-URAlAN 5

I. MENGGUNAKAN ALAT"ALATAN 15

II. MASAALAH 23

III. RAJAH TIGA PERSEGI 29

IV. SO'AL PEPEREKSAAN 41

V. LUAS BERJENIS-JENIS RAJAH (I) . 48

VI. LUAS BERJENIS"JENIS RAJAH (II) 62

VII. PELAN. 73

VIII. BULATAN 80

IX. MELIPAT KERTAS 93

X. SO'AL-SO'AL PEPEREKSAAN DUGA 96

XI. MASAALAH 104

XII. SO'AL-SO'ALAN 121

'ILMU GEOMETRY

Urai-uraian.

Titek-ia-itu titek menunjokkan dudok-nya suatu benda,Titek itu sa-habis-habis kechil, saperti hujong jarum yang

sangat halus; tiada dapat di-ukor, Akan tetapi titek yangsa-habis-habis kechil itu tiada nampak. Sebab itu selalu

di-buboh titek pencil atau titek kalam, supaya menunjokkanMmpat-nya dengan terang.

Garisan lurus-ia-itu garisan menunjokkan jalan yangsa-habis-habis dekat dari satu titek ka-satu titek yang lain.Garisan itu selalu di-lukiskan dengan pencil atau kalam supayanampak kapada mata; akan tetapi yang sa-benar-benar-nyapanjang-nya sahaja yang dapat di-ukor, tebal-nya tiada dapat.

1. Garisan ini nama-nya AB.

A B

Gar-isan Sa-Iari-ia-itu dua garisan lurus, jalan-nyabersaing sama-sama, sa-berapa jauh pun ia tiada berjumpa,

2.

AB[[CD.A--------B

C D

Sudut-ia-itu buka di-antara dua garisan lurus yangbertemu menjadi siku,

ALA\_ L 1\B C B C B CAe

Buka di-antara tiap-tiap sa-pasang garisan di-atas ini

di-katakan sudut, ia-itu dalam mithal ini di-namakan sudut5

6 'ILMU GEOMETRY

ABC, atau sudut CBA. Boleh juga di-namakan lain-lain;tetapi huruf yang di-tempat pertemuan itu hendak-lah sentiasadi-sebutkan di-tengah.

Isharat-nya L.. .

.

Sudut Tepat (sudut 900)-ia-itu sudut yang jadi apabilasatu garisan tegak betul kapada lain garisan. (Lihat mukajam pada waktu pukul 3 betul.)

A

LB

8 c A c

ABC itu sudut tepat. Isharat-nya 190°.Garisan Tegak-ia-itu satu garisan yang tegak betul

kapada lain garisan. Sudut yang jadi di-antara-nya 90°.

__Lc yBA

.

B

A/ \D C

CD garisan tegak kapada AB. Isharat-nya..l.Sempadan-garisan lurus yang jadi tepi pada barang apa

rajah.D

E C

A B

Tiap-tiap satu garisan AB, BC, CD, DE, EA ini di-namakan

sempadan.

URAl - URAIAN 7

Rajah Empat Persegi-ia-itu barang apa rajah yang

bersempadan empat.Rajah Empat Persegi itu ada lima macham yang di-tetap

kan nama-nya :-

Rajah Empat Persegi Tepat-ia-itu sempadan-nyasemua sama panjang dan tiap-tdap sudut-nya 90°,

A B

o c

Isharat-nya 0 ABCD.

Rajah Empat Persegi Bujor-ia-itu tiap-tiap sudut-nya90°, tetapi sempadan-sempadan-nya yang bertentang sahajasama panjang.

A B

o c

Isharat-nya D ABCD

Rajah Empat Persegi Sa-Iari-ia-itu sempadansempadan-nya yang bertentang sa-Iari, tetapi sudut-sudut-nyatiadasatu pun yang 90° betul buka-nya.

A B

o

Isharat-nya CJ ABCD.c

8 'ILMU GEOMETRY

Rajah Empat Persegi Serong-ia-itu sernpadan-nyasemua sama panjang, tetapi sudut-nya tiada satu pUll yang90°.

D c

Isharat-nya C7 ABeD.

Rajah Empat Persegi Dua Sa-Iard=-ia-itu sa-barangrajah ernpat persegi yang ada dua sahaja sempadan-nyayang sa-lari.

D c

IA B

Rajah Tiga Persegi-ia-itu barang apa rajah yangbersempadan tiga.

�B�LLB C C B CB C

Sernua-nya rajah di-atas ini rajah tiga persegi. Isharat-nyaL, ABC.

URAl - URAlAN 9

Rajah Tiga Persegi Ber-sudut Tepat-ia-itu satu

daripada sudut-sudut-nya 900•

� �B(/CB CAe A

Isharat-nya 1:::::::,..

Rajah 'I'iga Persegi Sama-ia-itu ketiga sempadan-nyasarna panjang. A

CAB = BC = CA.

Rajah_:riga; Persegi Dua Sama-ia-itu dua daripadasempadan-nya sarna panjang.

6B C

AB = AC.

Rajah Tiga Persegi Bersudut Kechil-ia-itu tiaptiap sudut-nya kurang daripada 900•

A

6B C

I

iKetiga-tiga sudut itu buka-nya kurang daripada 900•

10 'ILMU GEOMETRY

Rajah Tiga Persegi Ber-sudut Besar-ia-itu satu

daripada sudut-nya besar daripada 90°.

Sudut ABO dalam ketiga-tiga rajah itu sudut besar (lebehdaripada 90°).

Bulatan-ia-itu rajah bulat betul, yang sama jauh dari

pusat-nya ka-mana tempat di-tepi-nya,

ABOD itu bulatan kerana OA, OB, 00, OD dan sa-umpamanya sama panjang. Isharat-nya o.

Pusat-ia-itu titek yang tetap di-tengah-tengah bulatansama jauh-nya dari sa-barang titek di-Iilit bulatan itu.

o itu pusat, kerana A, B, 0, D itu sama jauh daripada-nya.

URAl - URAlAN 11

Lilit Bulatan-ia-itu garisan tepi yang menjadi sempadan bulatan itu.

ABOD itu lilit bulatan, Isharat-nya 01•

Jari-jari-ia-itu jauh-nya dari pusat bulatan ka-tepibulatan itu.

\ OA; OB, dan 00 itu jari-jari.Permgatan, Panjang jari-jari sa-suatu bulatan itu di

namakan" buka " bulatan, ia-itu buka jangka yang di-gunakanbagi melukiskan bulatan itu, atau pun jarak antara pusatdengan lilit bulatan itu.

'

Garisan pusat-ia-itu garisan lurus yang merentang di

tengah-tengah bulatan dari tepi ka-tepi melaluj pusat-nya.

AB itu garisan pusat.

12 'ILMU GEOMETRY

Garisan rentas-ia-itu garisan lurus yang menyambongkan satu titek di-tepi bulatan dengan lain titek di-tepibulatan itu juga dengan tiada melalui pusat.

AB itu garisan rentas.

Garisan sentoh=-ia-itu garisan lurus., yang bersentoh

dengan satu titek di-lilit bulatan dengan tiada melalui bulatan

itu. Garisan itu tegak betul kapada jari-jari bulatan di-

tempat bersentoh itu. •

A

AB itu garisan sentoh. P tempat bersentoh. OP tegakbetul kapada AB.

Sa-bahagian hulatan-ia-itu sa-keping bulatan dudoknya di-antara garisan rentas dengan tepi bulatan itu.

Rajah ABC itu sa-bahagian bulatan.

URAl-URAIAN 13

Sa-pangsa bulatan-ia-itu satu ruang daripada suatu

bulatan yang di-belah-belah melalui pusat-nya.

o

A

Tiap-tiap satu AOB, BOC, COD, DOA itu sa-pangsabulatan.

Lengkok bulatan-ia-itu sa-potong daripada lilit

bulatan.B

Dari A ka-B itu sa-lengkok bulatan. Demikian juga dari

C ka-D.

Masaalah. Di-dalam kitab ini ada dua jenis masaalah.Satu fasal melukiskan rajah ·dengan menggunakan perkakas ;

yang lagi satu fasal menerangkan jalan sa-suatu perkara yangdi-sebutkan hal-nya dahulu.

Daftar isharat.

AB erti-nya sempadan AB." erti-nya sa-lari.

.L erti-nya tegak betul.erti-nya sama juga.erti-nya sebab itu.

14

><Lo

D

cr

CJ

'ILMU GEOl\1ETRY

erti-nya besar daripada.erti-nya kechil daripada.erti-nya sudut.

erti-nya rajah empat persegi tepat.erti-nya rajah empat persegi bujor.erti-nya rajah empat persegi serong.erti-nya rajah empat persegi sa-lad.

erti-nya rajah tiga persegi.erti-nya bulatan.

erti-nya lilit bulatan..

GEOMETRY.

BAB I.

M:ENGGUNAKAN ALAT-ALATAN.

BAHAWA berfaedah-lah pada enche'-enche' guru yangmulai rnengajarkan kira-kira Geometry menyediakan berjenisjenis balak saperti rajah-rajah yang di-bawah ini. Guna-nyaia-Iah bagi menerangkan yang mana di-katakan muka balak,barisan, penjuru dan sa-bagai-nya.

Tatkala benda-henda itu di-hadapan murid-murid senanglah enche' guru menyo'al-nyo'alkan-nya, supaya lekas terpakudi-hati mereka itu masing-masing.

Demikian juga mahu-Iah di-sediakan alat-alat-nya ;(1) Pembaris yang bertanda perpulohan inchi.(2) Jangka.(3) Penyilang,

15

16 'ILMU GEOMETRY

(4) Achuan tiga persegi. Ia-itu ada dua macham sapertiyang di-gambarkan di-bawah ini.

Kadang-kadang di-kehendaki juga kertas yang berpetakpetak.

Jika dua garisan AO dan PO berjumpa di-titek 0, maka

jarak-nya di-antara AO dan PO di-gelarkan sudut (L) dan

nama-nyu IAOP atau lPOA. Maka sudut ini baik pun di

namakan IAOP atau IPOA melainkan 0 terpakaa-lah di

pertengah Penyilang dudok-nya,

penyilang.

20

10

A

Maka rajah di-atas ini menunjokkan rupa Penyilang itu.

Guna-nya perkakas ini ia-lah bagi mengukor buka sudut diantara dua garisan yang lurus.

MENGGUNAKAN ALAT-ALATAN 17

Mithal-nya hendak mengukorletakkan hujong Penyilang yangbertanda B itu di-atas LK, supayatitek A terletak betul di-atas titekL.

MPerhatikan-Iah di-rnana garisan

LN memotong Penyilang itu. Kemudian kira-lah berapabilangan darjah-nya. Jika KL di-sarnbongkan pula sampaika-M, jadi-lah ia satu garisan Iurus. Jalan hendak menchari

buka lNLM senang sahaja, kerana lNLK + lNLlVI jumlahnya 180°. Mithalan jika lNLK = 50°, mesti-lah buka lNLM=1800 - 50° = 130°.

sudut NLK; mula-mula

1'",,..�IiO--"""''''''''' N, '

I '

/ "I \

I ,,

L K

So'al Rampai-r-ampaian I A.Nyatakan berapa darjah buka di-antara jarum pendek

dengan jarum panjang sa-buah jam tatkala perjalanan-nyasaperti di-bawah ini :-

1. Pukul 3. 2. Pukul 6. 3. Pukul 9. 4. Pukul 1.

5. Pukul 2. 6. Pukul 7. 7. Pukul 5. 8. Pukul 10. 9. Pukul Ll .

Beri jawab-nya dengan darjah dan menet so'aI-so'al yangdi-bawah ini .

10. 1/8 daripada sudut 90°. 11. 1/12 daripada sudut 90°.12. 1/20 daripada sudut 90°.

13. Dengan mengagak sahaja lukiskan sudut 30°, 70°,135°; kemudian duga dengan Penyilang.

14. Berapa buka sudut-nya tatkala jarum panjang sa-buah

jam berjalan 10 menet, 25 menet, 30 menet, dan 45 menet.Per-ingatan : Jika jumlah buka dua sudut 180°, kedua-

dua sudut itu di-katakan sa-pasang.15. Chari sudut yang sa-pasang dengan sudut 135°.16. Chari sudut yang sa-pasang dengan sudut 17° 20'.

17. Chari sudut yang sa-pasang dengan sudut 90° 15' 20".

18. Lukiskan dua garisan lurus bersilang. Ukor berapabuka ke.empat-empat sudut-nya serta jumlahkan sa-kali,

B

18 'ILMU GEOMETRY

19. Lukiskan satu bulatan panjang jari-jari-nya I inchi.

Di-pusat-nya buat dua sudut, tiap-tiap satu buka-nya 60°, dansatu daripada sempadan-nya terpakai bagi kedna-dua sudut

itu. Panjangkan ketiga-tiga hujong sempadan sudut-sudut

it.u yang di-pusat bulatan tadi sampai ia bertemu denganlilitan bulatan itu. Sambongkan segala hujong-hujong itu;tentu-Iah di-dapati suatu rajah enam persegi, Ukor berapapanjang tiap-tiap sempadan rajah itu.

Garisan yang sa-Iar-i,

Dengan memakai Penyilang, lukiskan dua garisan AD, BEtegak betul di-atas Fe. Kemu'

dian panjangkan-lah AD, BE

sa-berapa bo1eh; ada-kah kelihatAI----------D

an garisan yang duaTtu boleh

B1--------- E berjumpa i Ada-kah nampak-nyatatkala di-panjangkan itu makin

jauh sa-makin rapat atau sa-makinberenggang ?

-Iika chermat membuat nya-mesti-Iah garisan itu ta'boleh

berenggang atau berapat.Maka yang demikian itu-lah di-katakan garisan sa-lari dan

'alamat-nya demikian II.Ada pun besi rail jalan kereta api boleh di-dapati sa-lari

belaka ; sebab kalau tidak demikian tentu sa-kali perjalanannya ta' selamat,

F

c

F

c

Jikalau AD dan BE kedua-dua-nya tegak betul di-atas

garisan Fe, jadi-lah AD sa-lari dengan BE.


Demikian juga NO, PR boleh juga jadi sa-lari jikalauIPNO = IMPR, walau buka-nya 90° atau tidak,

L

po

N

M R

Achuan tiga persegi.

Jalan melukis garisan yang sa-lari

o G

-Iika AB satu kayu pembaris, ambil achuan tiga persegiDEF, le'takkan di-tepi kayu pembaris itu serta gariskan DF

dengan pencil.Ubah achuan tiga persegi itu ka-tempat yang bertitek

GRK serta gariskan GK dengan pencil.Maka garisan DF dan DK itu mesti-lah sa-lari kedua-dua

nya. 'Alamat-nya II.

20 'ILMU GEOMETRY

Tuladan.

(1) Ambil sa-keping kertas yang sedia berbaris. Duga sa

lari-kah atau tidak barisan-barisan kertas itu, .Ialanmembuat

nya demikian : Lukiskan satu garisan memotong barisan

barisan kertas itu. Kemudian ambil penyilang, ukor sama-kahatau tidak buka segala sudut yang di-antara barisan-barisan

kertas dengan garisan yang di-Iukiskan itu. Jika sama,

betul-lah barisan-barisan kertas itu sa-lari semua-nya.(2) Lukiskan sa-pasang garisan sa-Iari, kemudian lukiskan

sa-pasang lagi garisan sa-lari memotong akan dia. Maka

terjadi-lah satu rajah empat persegi sa-lari, 'Alamat-nya 0.Chuba ukor sama-kah atau tidak sudut-sudut atau sem

padan-sempadan rajah itu yang bertentangan, Jawab-nyatentu-lah sama,

Lukiskan kedua-dua garisan serong rajah itu dan ukor

panjang-nya. Kedua garisan ini di-dapati memotong satu

dengan lain di-tengah-tengah betul,

(3) Buat saperti jalan di-atas itu juga, tetapi lukiskan sa

pasang sempadan-nya yang mula-mula itu tegak betul kapadasa-pasang sempadan yang kedua,

Rajah yang demikian ini buka semua sudut di-dalam-nya900• 'Alamat rajah itu D.

Duga sama panjang atau tidak garisan-garisan serong-nya.(4) Apa-kah sebab-nya kalau di-perhatikan rail jalan

kereta api yang lurus, kelihatan makin jauh sa-makin kechil

buka-nya � Pada hal yang sa-benar-nya ia tidak berbedza.

Sebab-nya ia-Iah sa-suatu benda itu tatkala jauh dari mata

rupa-nya terkechil daripada benda yang sa-rupa itu juga yangdekat dengan kita.


(5) Lukiskan dua garisan lurus yang sa-lari, AB, CD.Lukiskan satu garisan lurus EFGH memotong-nya di-F, G.

Siasat sudut-sudut mana yang bersamaan,

(i) lEFB IFGD.(ii) IEFA lFGC.(iii) lHGC lGFA.(iv) lHGD = lGFB.(v) lAFG = IFGD.(vi) lBFG = l!GC.(vii) lBFG + lFGD = dua sudut tepat.(viii) lAFG + IFGC = dua sudut tepat.

So'al Rampai-Rampaian I B.1. Letakkan satu pembaris di-atas sa-keping kertas serta

garis sa-panjang kedua tepi-nya. Duga-lah sa-lari atau tidak

garisan-garisan itu.2. Boleh-kah dua garisan yang lurus menjadi sa-lari

apakala ia berjumpa bila di-panjangkan �

3. Buat dua garisan sa-lari sama panjang. Chantumkan

hujong-nya. Perhatikan ada-kah garisan-garisan yang men

chantumkan hujong kedua garisan itu sama panjang dan

sa-lari atau tidak �

4. Lukiskan satu rajah empat persegi bujor. Kemudian

potong gambar rajah itu dengan gunting. Sa-telah itu potongrajah itumengikut garisan serong-nya. Chuba-lah bandingkankedua-dua rajah tiga persegi yang di-dapati itu ; ada-leah ia

sa-rupa betul atau tidak �

5. Lukiskan satu rajah empat persegi serong. Perbuat

saperti dalam so'al yang keempat tadi juga.6. Garisan serong yang di-lukiskan dalam sa-suatu rajah

empat persegi tiada membahagi dua betul sudut-sudut rajahitu jika sempadan-sempadan rajah itu tiada sama panjang.Terangkan perkataan ini dengan melukiskan gambar rajah itu.

22 'ILMU GEOMETRY

7. Ambil sa-keping kertas, Buat satu sudut 90° denganmelipatkan kertas itu,

8. Ambil sa-keping kertas. Buat dua garisan sa-laridengan melipatkan kertas itu.

9. Buat satu rajah empat persegi serong denganmelipatkansa-keping kertas,

BAB II.

MASAALAH.

Masaalah 1.

Satu garisan lurus hendalc di-bahagi dua betuZ.

M

N

BUAT-LAH barang apa garisan lurus namakan AB, mithalnya.

Jalan-nya: Ambil jangka, letakkan jarum-nya pada titekA, dengan buka-nya lebeh daripada sa-parch AB. Gariskansuatu lengkok bulatan sa-belah menyabelah AB.

Dengan buka itu juga letakkan jarum jangka pada titek B

pula, dan gariskan suatu lengkok bulatan di-sabelah-menyabelah AB juga, memotong yang tadi. Namakan-Iah tempatbertemu kedua lengkok itu M, N.

Sambongkan M dengan N.

'I'empat MN memotong AB itu namakan-lah C.

C itu-lah jatoh di-pertengahan AB.

Jadi AC =�B.Masaalah 2.

Satu garisan lurus hendak di-bahagi tiga betul.

E

LIJ·A F G B

23

24 'ILMU GEqMETRY

Mithal-nya, buat-lah barang apa garisan lurus AB.

Jalan-nya: Di-A buat satu garisan lurus AC. Sudut BACitu hendak di-buat sudut kechil,

Kemudian panjangkan garisan AC itu, dan pada-nyatanclakan satu titek D dengan membuat CD sama panjangdengan AC. Demikian juga tandakan lagi satu titek E,dengan membuat DE sama panjang dengan AC.

Sambongkan E clengan B.

Di-titek C dan D lukiskan garisan-garisan sa-lari denganEB bertemu dengan garisan AB itu cli-F dan di-G.

Sekarang garisan AB itu telah terbahagi tiga betul. ia-ituAF=FG=GB.

Demikian juga boleh cli-bahagikan garisan AB itu kapada5 atau lebeh bahagian yang sama panjang, ia-itu di-panjangkan lagi garisan AC itu dan tanclakan beberapa bahagiansama panjang dengan AC di-atas garisan yang telah di-panjangkan itu.

Masaalah 3.

Suatu eudut hendalc di-bahagi dua betuZ.

Buat satu sudut; namakan dia mithal-nya sudut LMN.

Jalan-nya: Ambil jangka, letakkan jarum-nya di-M;gariskan suatu lengkok bulatan memotong akan ML di-P, dan

memotong MN di-R.

Letakkan jarum jangka di-P, dan dengan buka-nya sapertitadi juga gariskan suatu lagi Iengkok bulatan.

MASAALAH 25

V;takkan jarum jangka di-R pula, palmi buka itu juga, lalugariskan suatu lengkok bulatan lagi.

Tempat' bertemu kedua-dua lengkok itu namakan mithal

nya S. Sambongkan MS.Jadi lLMN terbahagi dua betul oleh MS;ia-itu lLMS = lSMN.

Masaalah 4.

Lukiskan satu rajah tiga persegi, yang di-ketahu� berapapanjang sempadan-sempadan-nya.

A B

(Rajah tiga persegi ini hanya dapat di-Iukiskan jika jumlahbarang mana-mana dua sempadan-nya terlebeh panjangdaripada sempadan yang satu lagi itu.)

Mithal-nya panjang-nya sempadan-sempadan itu 2", 2·5",3·2".

Jalan-nya: Lukiskan satu garisan AB 3·2" panjang-nya.Ambil jangka, buka 2". Letakkan jarum-nya di-A, lalu

gariskan suatu lengkok bulatan.Lepas itu Ietakkan jarum-nya di-B.

Dengan buka-nya 2·5", gariskan suatu lengkok bulatan

memotong lengkok tadi.Tempat bertemu kedua-dua lengkok bulatan itu namakan

c.

26 'ILMU GEOMETRY

Sarnbongkan�dengan 0 dan B dengan O.�BO jadi-lah rajah tiga persegi yang di-kehendakkan itu,

ia-itu sempadan-nya �O = 2/1, OB = 2'5/1, B� = 3·2/1

Masaalah 5.,

Hendak melukiekam. suatu. qarisam. yang sa-lari dengan satu

garisan lain.' Jaralc-nya telah di-lcetahui.

F G

c- ...........

A DEB

Mithal-nya, jika �B suatu garisan, Iukiskan-Iah suatu

garisan lain FG sa-Iari dengan �B; jarak-nya O.

Jalan-nya: Tetapkan barang dua titek dalam garisan �B

itu, narnakan dia D dan E.

Ambil jangka buka-nya 0, Ietakkan jarum-nya di-titek D.

Lukiskan satu lengkok bulatan di-sabelah atas (atau punsa-belah bawah) AB.

Bagitu juga buat di-titek E.

Ambil kayu pembaris, lukiskan garisan bersentoh dengankedua-dua lengkok bulatan itu. 'I'empat-tempat bersentoh

itu namakan F dan G.

SarnbongkanF dengan G.

Jadi FG ini-lah garisan sa-Iari yang di-kehendaki itu.

Masaalah 6.

Hendale melukislcan suatu garisan ea-lari kapada suatu

garisan lain, serta menerusi suatu titele yang tetap.P'

cB E

MASAALAH 27

MithaZ-nya: Lukiskan AF sa-lari dengan BC, serta mene

rusi titek A yang tetap tempat-nya.JaZan-nya: Ambil-lah suatu titek dalam BC namakan D,

umpama-nya.Kemudian ambil jangka, buka-nya DA; Ietakkan jaFum-.

nya di-titek D, serta lukiskan suatu lengkok bulatan sa-hinggabertemu BC. Tempat bertemu itu namakan E.

Bagitu jua dari A Iukiskan suatu lengkok bulatan pula,buka-nya AD (= DA).

Sekarang letakkan jarum jangka di-titek D, buka-nya AE,serta lukiskan suatu lengkok bulatan yang bertemu denganlengkok bulatan tadi. 'I'empat bertemu itu namakan F.

Sambongkan A dengan F.-Iadi-lah AF garisan yang di-kehendaki itu.

Masaalah 7.

Lukiskan suaiu. garisan tegak betuZ di-atas suatu garisan lain,ia-itu lukiskan daripada suatu titek yang tetap daZam garisan itu.

\BA E

MithaZ-nya: Jika AB suatu garisan dan C suatu titek yangtetap dalam AB itu, lukiskan-lah dari C garisan CF yang

tegak betul dudok-nya di-atas AB, ya'ani sudut ACF itu

buka-nya hendak-Iah 90°.

Jalan-nya: Tetapkan suatu titek D barang di-mana-mana

di-luar daripada AB.Ambil jangka, buka-nya DC; Ietakkan jarum-nya di-titek

D itu. Lukiskan suatu Iengkok bulatan melalui C serta

bertemu dengan AB.Tempat bertemu itu namakan E.

28 'ILMU GEOMETRY

Sambongkan E dengan D, serta lanjutkan ED sa-hinggabertemu dengan lengkok bulatan tadi pula. Tempat bertemuitu namakan F.

Sambongkan F dengan C.

Jadi-Iah FC tegak betul dudok-nya di-atas AB.

Masaalah 8.

Lukiskan suatu. garisan tegak betul di-aias suaiu. qarisan lain.i�-itu daripada suatu titelc yang tetap di-luar garisan itu.

C

E

G

A D B

F

Mithal-nya,' Jika AB suatu garisan dan C suatu titek di

luar AB, Iukiskan-lah dari C garisan CF tegak betul kapada AB,ia-itu lCGA = I CGB = 90°.

Jalan-nua : 'I'etapkan dua titek D dan E di-dalam garisanAB.

Ambil jangka, Ietakkan jarum-nya di-titek D, buka-nya DC.Lukiskan suatu lengkok bulatan.Bagitu jua letakkan jarum-nya di-titek E, buka-nya EC;

lukiskan suatu lengkok bulatan lagi sa-hingga bertemu

dengan lengkok bulatan tadi.

'I'empat bertemu itu namakan F.

Sambongkan C dengan F.

Tempat CF memotong AB itu namakan G.

Jadi-Iah CG tegak betul di-atas AB.Ia-itu lCGB = ICGA = 90°.

BAB III.

RAJAH TIGA PERSEGI.

I. TETAPKAN tiga titek, kemudian chantumkan dengangarisan lurus antara satu dengan lain; apa-kah jadi-nya 1

Jawab-nya ta' dapat tiada tentu-lah menjadi salah satu dari

pada dua perkara, ia-itu :-(a) Jika titek-titek itu dudok-nya berderet lurus, apabila

di-chantumkan dia kelak menjadi-Iah satu garisan lurus.

A B c

(b) Kalau titek itu tiada berderet lurus kemudian di-chan

tumkan, tentu sa-kali menjadi rajah tiga persegi.A

B��

C.

Lukiskan beberapa rajah tiga persegi ; ukor panjangsempadan-sempadan-nya dan buka sudut-sudut-nya, Jawab

nya atorkan saperti dalam jadwal di-bawah ini:-

Sempadan Sudut

AB=

BC =

AC =

lABC=lACB =lCAB=

29

30 'ILMU GEOMETRY

Perhatikan panjang sempadan-sempadan-nya tiap-tiaprajah tiga persegi itu ; apabila di-jumlahkan panjang-nya dua

daripada sempadan-sempadan itu mesti-lah ia terpanjangdaripada sempadan yang ketiga, Oleh sebab itu tetap-lah :

JUMLAH DUA SEMPADAN RAJAH TIGA P:E;RSEGI TERPANJANG

DARIPADA SEMPADAN-NYA YANG KETIGA.

Demikian juga sakalian rajah tiga persegi itu sama jumlahketiga-tiga sudut-nya, ia-itu 180°, walau pun bangun-nyarajah-rajah tiga persegi itu lain-lain tiada sa-rupa. Olehsebab itu tetap-lah pula:

SA-BARANG RAJAH TIGA PERSEGI JUMLAH KETIGA SUDUT-NYA

180°.

So'al Rampai-rampaian A./ 1. Tetapkan tiga titek yang tiada boleh menjadi rajah tigapersegi apabila di-ehantumkan ketiga-tiga-nya./ 2. Lukiskan tiga garisan lurus yang tiada boleh menjadirajah tiga persegi walau berapa pun di-panjangkan dia.

/ 3. Dalam satu garisan lurus ada tiga titek, A, B, C; dan

di-luar-nya ada pula lagi satu titek D. Sebutlmn nama tigabnah rajah tiga persegi yang terjadi apabila di-sambongkantiap-tiap titek itu./ 4. Lukiskan dua garisan lurus ABC, DBE, kedua-dua-nyabersilang di-titek B. Chantumkan segala hujong-nya. Tulis

kan nama delapan rajah tiga persegi yang terjadi di-situ.5. Buat satu bulatan pusat-nya A. Di-atas lilitan (tepi

bulatan) itu tCtapkan dua titek B, C; kemudian ehantumkan

AB, BC, CA. Sa-telah itu: (a) Bandingkan buka-nya sudut

B dengan sudut C; (b) Sebutkan nama mana-mana sempadanyang sama panjang; (c) Sebutkan nama mana-mana sudut

yang sarna buka-nya.6. Buat saperti so'al 5 di-atas itu juga; tetapi Ietakkan

titek C supaya BC = BA. Apa-kah yang di-dapati jika di

ukor segala sudut-nya rajah tiga persegi yang jadi ituj

RAJAH TWA PERSEGI 31

_.' 7. Lukiskan satu rajah tiga persegi, tiap-tiap sempadannya 2 inchi panjang.

8. Lukiskan satu rajah ABCDEFG yang tujoh sempa.dannya; chantumkan A kapada segala penjuru yang lain-lain.

Berapa rajah tiga persegi boleh di-dapati j9. Buat saperti dalam so'al 8, tetapi dengan rajah 10 sem

,.padan. Berapa rajah tiga persegi di-dapati ?

Daripada angka-angka yang di-bawah ini sebutkan yangmana boleh jadi rajah tiga persegi, se:rta Iukiskan rajah-nyasa-kali.

10. Sempadan-nya 3, 6, 9 inchi.

II. Sempadan-nya 4, 5, 7 inchi.

12. Sempadan-nya 4, 7, 12 inchi.

13. Sudut-nya 40°, 70°, 60°.14. Sudut-nya 36°, 54°, 90°.15. Sudut-nya 80°, 100°, 30°.

16. Sudut-nya 25°, 75°, 80°.

II. Ada pun tiap-tiap rajah tiga persegi sentiasa mengandongi dua sudut yang kurang buka-nya daripada 90°.

Shahadan tiap-tiap rajah tiga persegi boleh di-lukiskan

dengan betul-nya jikalau di-ketahui :-

(a) Berapa panjang dua sempadan-nya dan berapa darjahbuka sudut antara kedua sempadan itu.

(b) Panjang ketiga-tiga sempadan-nya.(c) Panjang satu sempadan dan bub tiap-tiap sudut di

hujong sempadan itu.(d) Panjang dua sempadan dan tinggi-nya rajah tiga

persegi itu.Sa-kali-kali kita ta' boleh melukiekan satu rajah tiga

persegi jib di-ketahui bub ketiga-tiga sudut-nya sahaja.

Pada satu rajah tiga persegi jumlah ketiga-tiga sudut-nyasenbiaaa menjadi 180°.

32 'ILMU GEOMETRY

DALIL-NYA.

Lukiskan satu rajah tiga persegi ABO.A

B

(a) Kalau di-baringkan pencil pada sempadan AB kemu

dian di-pusingkan dia dari AB hingga AO, dan dari AO hinggaOB, kemudian dari OB hingga BA, tentu-lah kelihatan yangdi-bawah ini ;-

Jika hujong pencil itu mular menunjok arah ka-A, neschayasudah-nya menunjok arah ka-B.

Jika hujong-nya mulai menunjok arah ka-B, neschayasudah-nya menunjok arah ka-A.

Yang demikian ia-lah oleh sebab pencil itu telah berpusingmelalui dua sudut tepat. Jadi sudut-sudut A, B, 0 itu jumlahnya bersamaan dengan dua sudut tepat ya'ani 2 X 900 = 180°.

(b) Satu jalan lagi demikian ;-Ambil sa-keping kertas, kemudian gunting daripada-nya

flatu rajah tiga persegi ; gunting tiap-tiap sudut-nya serta

chantumkan semua-nya ketiga-tiga sudut itu saperti padagambar di-bawah ini.

A

B c

Tentu-lah di-dapati jumlah-nya 180°.

(c) Lagi satu jalan ia-itu-lah dengan menggunakan jangka;


ya'ani di-ukor ketiga-tiga sudut-nya, Kemudian jumlahkansernua-nya. Tentu-Iah di-dapati 180°.

So'al Rampai-rampaian B.

//1. Chuba lukiskan satu rajah tiga persegi yang sama

panjangdua sempadan-nya, tetapi sudut-nya jangan satu punsama.

2. Chuba lukiskan satu rajah tiga persegi yang tiada berha

clapan sudut-nya yang besar sa-kali dengan sempadan-nyayang panjang sa-kali.

3. Chuba lukiskan satu rajah tiga persegi yang tiada terbe

sar champoran barang mana-mana dua sudut-nya daripadaeudub-nya yang ketiga,

4. Apa-kah di-dapati pada rajah tiga persegi yang sama

panjang ketiga-tiga sempadan-nya ia-itu mithal-nya 3 inchi

belaka,

5. Apa-kah di-dapati pada rajah tiga persegi yang di

lukiskan.dengan sempadan-nya 5, S, 5 inchi ?

o. Jika pada satu rajah tiga persegi di-ketahui buka dua

<sudut-nya, bagaimana-kah hendak mengetahui buka sudut-

nya yang ketiga.-

*7. Apa-kah jenia rajah tiga persegi ini jika buka dua sudut-

nya 3So, 52°.",}i'S. Apa-kah jenis rajah tiga persegi Inl jika buka dua

sudut-nya 45°, 45°."*9. Apa-kah jenis rajah tiga persegi ini jika buka dua

sudut-nya 50°, SO°.

(Mana so'al yang bertanda demikian *, lebeh dahulu

tuliskan berapa buka-nya sudut yang ketiga dalam rajah itu.)

III. Lukiskan satu bulatan pusat-nya A; buat dua jarijari-nya namakan dia AB dan AC; ehantumkan B dengan C;

o

34 'ILMU GEOMETRY

kemudian ukor sudut ABC dan sudut ACB, tentu-Iah di-dapatibuka-nya sarna.

Permgatan. Pada satu rajah tiga persegi jika dua

sempadan-nya sarna panjang tentu-lah dua sudut yang di

antara dua sempadan itu dengan sempadan yang ketiga sarna

besar buka-nya, Demikian juga sa-balek-nya, ia-itu jikadua sudut dalam satu rajah tiga persegi sarna besar, tentu-lahdua sempadan yang di-hadapan-nya sarna panjang.

So'a! Rampai-rampaian C.

Chari berapa panjang sempadan-nya yang ketiga dalam

satu rajah tiga persegi jika dua sempadan dan buka sudut

di-antara-nya demikian :-

1. 2·5", 3·5" dan sudut-nya 57°.

2. 9'2", 12·5" dan buka sudut-nya 70°.3. 4", 4" dan sudut-nya 111°.

4. Buat satu garisan panjang-nya 8 cm. Namakan dia AC.Di-A buat satu garisan lagi panjang-nya 3 cm. dan namakan

dia AB. Buka sudut yang di-antara dua garisan ini buat 90°. >

Sambongkan B dengan C. Vkor berapa panjang BO.

Chari berapa panjang sempadan-eempadan yang tiada di

ketahui dalam rajah-rajah tiga persegi yang di-bawah ini, jikabuka dua sudut-nya dan panjang satu sempadan di-antara dna

sudut itu demikian :-

5. 34°, 56° dan sempadan-nya 3 inchi.

6. 30°, 60° dan sempadan-nya 5 inchi.

RAJAH TIGA PERSEGI 35

IV. Lukiskan satu rajah tiga persegi dengan sempadanAB = 2·5 inchi, BC = 3 inchi, dan tinggi-nya 1·5 inchi.

o A E

I

1:::: 1'-"I":"1

1

1

1.,

c8

Jalan-nua : Buat satu garisan BC panjang-nya 3 inchi.

Dari B lukiskan satu garisan tegak betul di-atas BC panjangnya 1·5 inchi; hujong-nya namakan D. Dari D Iukiskan satu

garisan DE sa-Iari dengan BC. Letakkan jarum jangka di

titek B, buka-nya 2·5 inchi; buat satu lengkok bulatan, barangmana lengkok bulatan iturnemotongDE namakanA. Chantum

kan AC, dan AB.Jadi ABC-lah rajah tiga persegi yang di-kehendaki itu.

Peringatan :

A

c b

B a c

lABC ada juga di-gelarkan orang l:J? sahaja ..IBAC ada juga di-gelarkan orang l� sahaja.

,IBCA ada juga di-gelarkan orang lQ sahaja.Dan lagi sempadan AB yang bertentang dengan C ada juga

di-gelarkan orang G sahaja.-

Sempadan CA yang bertentang dengan B ada juga di

gelarkan orang b sahaja,

36 'ILMU GEOMETRY

Sempadan BC yang bertentang dengan A ada juga di

gelarkan orang a sahaja.

So'al Rampai-rampaian D.

Ii'. Di-atas satu garisan BC panjang-nya 2 inchi lukiskan

saturajah tiga persegi ABC yang di-buatkan sudut A-nya =70°.

/2. Di-atas satu garisan AB panjang-nya 4 inchi lukiskansatu rajah tiga persegi ABC yang di-buatkan sudut C-nya = 50°

dan sudut A-nva = 40°./3. Lukiska� satu bulatan dan tetapkan dua titek A dan B

di-atas Iilitan-nya. Kemudian tetapkan tiga titek yang lain

di-atas lilitan itu juga, namakan dia 1\1[, N, dan O. Chantum

kan A dan B dengan 1\1[, N, 0 itu. Jika di-ukor sudut-sudut

AMB, ANB, AOB apa-kah yang di-dapati 1

/4. Buat satu rajah tiga persegi dan dari tiap-tiap sudut-nyalukiskan garisan-garisan tegak betul ka-atas sempadan yangberhadapan dengan masing-masing sudut itu. Apa-kah yang

di-dapati 1

/5. Dalam suatu rajah tiga persegi ABC letakkan titek D

di-tengah AB betul-betul (ya'ani AD = DB), dan demikian

juga E di-tengah BC, dan F di-tengah CA. Jika di-chantumkan

A ka-E, B ka-F dan C ka-D, apa-kah yang di-dapati 1

6. Buat satu rajah tiga persegi ABC, di-dalam-nya AI? = 5",dan CA = 5". Pada sempadan BC letakkan pertengahan-nya,namakan dia E; ukor berapa panjang AE.

7. Lukiskan satu rajah tiga persegi ABC dengan panjangsempadan-sempadan-nya demikian : AB = 3'5", BC = 5",dan CA = 3". Kemudian bahagi dua betul sudut BAC dengangarisan yang bertemu dengan BC di-D. Ukor BD dan BC.V 8. Di-atas garisan BC panjang 2" lukiskan satu rajah tigapersegi ABC tinggi-nya 1·5", dan BA buatkan 2·3/1 panjang-nya.Ukor AC. . I, i,'lo 'r

/ RAJAH TIGA PERSEGI 37

9. Di-atas garisan MN panjang 5 cm. Iukiskan satu rajahtiga persegi MNO dengan tinggi-nya 4·3 cm. dan sempadanMO = 5 cm. Ukor berapa buka sudut MNO.

So'al Rampai-rampaian E.

J l. Jika pada rajah tiga persegi ABC di-dapati AB = BC =

CA, berapa besar buka sudut A, sudut B, sudut C �

.I 2. Buat satu rajah tiga persegi dengan sarna-sarna panjangsegala sempadan-nya. Kemudian bahagi dua betul sudut B

dan sudut C itu; tempat garisan pembahagi-nya itu bertemu

namakan D. Berapa besar-nya lBDC itu �

3, Satu rajah tiga persegi ABC sudut ABC-nya = 90°, dansempadan AB, BC sarna panjang. Ukor berapa buka kedua

dua sudut kechil-nya,4. Pada satu rajah tiga persegi ABC, dua sempadan-nya

sarna panjang dan buka sudut di-B 90°. Bahagi dua betulsudut C dengan suatu garisan yang bertemu dengan AB di-D.

Berapa buka sudut CDA, dan CDB itu?

5. Pada satu rajah tiga persegi ABC ada dua sempadan-nyayang sarna panjang ia-itu AB dan AC; jika sudut B dan sudut

C sa-ganda terbesar daripada suc1ut A, berapa-kah buka tiaptiap sudut dalam rajah itu ?I 6. Buat satu rajah tiga persegi ABC, sudut ABC = 90°.

Chari tengah sempadan AC serta sambongkan c1ia ka-sudut B.Sebutkan nama mana-mana garisan yang sama panjang dalam

rajah itu.

7. Buat-lah saperti so'a16, sudut B buka-nya 90° juga, tetapirupa rajah tiga persegi ABC itu lain-lain. Sama-kah jawab-nyaatau tidak? Macham mana-leah hendak mencheritakan

sebab-nya itu?8. Buat satu rajah tiga persegi tiap-tiap sernpadan-nya sama

panjang; kemudian lipatkan rajah itu supaya menjadi duarajah tiga persegi yang sarna besar. Apa-kah jenis rajah-nya

38 'ILMU GEOMETRY

rajah tiga persegi kechil ini ? Ukor berapa buka tiap-tiapsudut-nya.

9. Chuba buat satu rajah tiga persegi. Ukor buka tiaptiap sudut-nya serta jumlahkan ketiga-tiga-nya.

10. Chuba buat satu rajah tiga persegi panjang sempadannya 4, 5, 9 cm.

11. Buat satu rajah tiga persegi panjang sempadan-nya 4,5, 7 cm. Ukor berapa buka segala sudut-nya.

12. Buat satu rajah tiga persegi ; sempadan-sempadan-nya3, 3, 5 cm. panjang. Ukor berapa buka tiap-tiap sudut di

dalam-nya.13. Gunting satu rajah tiga persegi daripada sa-keping

kertas, namakan dia ABC. Koyakkan tiap-tiap sudut-nya,kemudian hubongkan dia sama-sama balek. Apa-kah yang

di-dapati ?

14. Buat satu rajah tiga persegi sempadan-sempadan-nya4·5, 6, 7·5 cm. Ukor berapa buka sudut-nya yang besar

sa-kali.

15. Di-atas satu garisan BC panjang 3 inchi lukiskan satu

rajah tiga persegi ABC, semua sempadan-nya sama panjangbelaka, Dari satu suclut-nya lukiskan satu garisan tegakbetul kapada sempadan yang bertentangan dengan sudut itu.

Berapa-kah panjang-nya garisan tegak betu] itu ?

16. Di-atas satu garisan yang panjang 4 cm. buat satu rajahtiga persegi, sempadan-sempadan-nya yang lain jadikan 5 cm.

panjang. Ukor berapa buka tiap-tiap sudut-nya.('17. Pada tapak ·AB panjang 2·4 inchi lukiskan satu rajahtiga persegi 'ABC dengan sudut A dan sudut B masing-masingbuka-nya 30°. Berapa buka sudut C? Berapa panjang lain

lain sempadan rajah itu t

18. Sa-orang berjalan 6 batu ka-barat tepat, kemudian

melenchong pula 8 batu ka-utara tepat. Berapa jauh-kah ia

dari tempat ia mula berjalan itu ?


19. Pada satu tapak yang panjang 6 cm.lukiskan satu rajahtiga persegi ABC; sempadan-sempadan a dan c hendak-Iah

sama panjang dan sudut B = 40°,20. Lukiskan satu rajah tiga persegi panjang sempadan

sempadan-nya 34, 40, 54 mm. Ukor berapa buka tiap-tiapsudut-nya.

21. Buat satu bulatan, panjang jari-jari-nya 2 inchi.

Rajahkan di-dalam-nya satu rajah tiga persegi ABC yang sama

panjang segala sempadan-nya dan tiap-tiap sudut-nya hendak

lah Mrletak di-atas lilitan bulatan itu belaka, Ukor berapapanjang tiap-tiap sernpadan rajah tiga persegi itu.

22. Buat satu rajah tiga persegi panjang sempadanX' sempadan-nya 6, 8, dan 10 cm. Ukor berapa buka tiap-tiap

sudut-nya.23. Lukiskan satu rajah tiga persegi ABC, panjang BC 8 cm.

Buka sudut BCA 50° dan sudut CBA 35°. Berapa-kah buka

sudut-nya yang ketiga �

Buat rajah tiga persegi mengikut ukoran .yang di-bawah

ini :-

24. a = 4 cm., b = 5·2 cm., sudut C = 45°. Ukor berapapanjang sempadan yang ketiga,

25. b = 2'4", c = 3',2", sudut A = 60°. Ukor berapapanjang sempadan yang Mtiga.

26. c = 5 cm., a = 8 cm., sudut B = 30°. Ukor berapapanjang sempadan yang ketiga,

27. a = 7 cm., sudut B = 50°, sudut C = 70°. Ukor

berapa panjang sempadan yang lain-lain itu dan berapa buka

sudut yang ketiga.28. b = 10 cm., sudut A = 30°, sudut C = 60°. Ukor

berapa panjang sempadan yang lain-lain itu.29. b = 5", sudut A = 30°, sudut B '135°. Ukor berapa

panjang sempadan a.

30. Dalam satu rajah tiga persegi ABC, AB panjang-nya

40 'ILMU GEOMETRY

II cm., BC 8 cm., dan sudut ABC buka-nya 60°. Berapa-kahpanjang sempadan AC 1

31. Dalam satu rajah tiga persegi ABC, c panjang-nya 10

em. b 5 em. dan sudut A = 60°. Chari berapa panjang sempa- -

dan dan buka sudut yang lain-lain dalam rajah itu. .

32. Di-atas satu tapak AB lukiskan satu rajah tiga persegiABC yang sama panjang segala sempadan-nya. Bahagi duabetul sudutA dan sudut B; tempat garisan-garisan pemb�hagiitu bertemu namakan D. Dari D buat satu garisan sa-lari

dengan CA dan bertemu dengan AB di-E; dan satu garisanlagi sa-lari dengan CB bertemu dengan AB di-F. Ukor AE,EF, FB. Sama-kah panjang-nya atau tidak �

BAB IV.

SO 'AL ptptREKSAAN.

1.

1. BUAT satu garisan lurus panjang-nya 5". Ukor berapacentimetre panjang-nya; dan daripada jawab itu chari berapacentimetre dalam satu inchi 1

"

2. Sa-orang berjalan 3 batu, kemudian berjalan lagi 2

batu; Iepas itu undor balek 6·3 batu. Tandakan perjalananitu pada satu garisan lurus, dan kira berapa jauh orang itu dari

tempat permulaan-nya.3. Pada kertas yang berpetak-petak buat rajah tiga persegi

yang di-bawah ini :-AB = 3·2", IABC = 900, BC = 2·4".

Berapa panjang-nya AC 1

4. Pada kertas yang berpetak-petak lukiskan rajah perjalanan ABCD, ia-itu dari A ka-B 2 batu, dari B ka-C 3 batu,IABC = 1200, dari C ka-D 1 batu, lBCD = 900•

Berapa batu jumlah jauh-nya perjalanan itu, dan berapajauh dari A ka-D 1

5. Buat satu rajah tiga persegi. Ukor buka tiap-tiap sudutnya, dan jumlahkan berapa darjah semua-nya.

II.,

1. Buat satu garisan panjang-nya 2·3 inchi. Dengan jalanmembahagi dua yang telah di-tunjokkan dahulu, chari tengahnya. Sa-telah dapat, ukor sama-kah atau tidak panjang-nyadari tengah kapada kedua-dua hujong garisan itu.

2. Buat satu garisan lurus AB. Dari hujong-nya yangbernama B itu buat satu garisan tegak betul kapada-nya,

41

42 'ILMU GEOMETRY

3. Jika satu duit bulat di-letakkan di-atas meja, berapa duityang sa-rupa itu bo1eh di-ator sa-chukup-ehukup di-kelilingnya'? Tunjokkan rupa-nya dengan membuat bulatan.

4. Buat satu bu1atan, panjang jari-jari-nya 2 inchi. Lukie

kan satu garisan pusat-nya, namakan dia AB; kemudian buat

satu garisan pusat l�gi tegak betul kapada AB itu, namakan diaCD. Chantumkan AD dan ukor berapa panjang-nya.

5. Buat satu rajah tiga persegi ABC sempadan-nya 2, 3, 4inchi. Dengan menggunakan [alan betul chari tengah-nyasempadan yang panjang sa-kali itu. Kemudian chantumkan

tengah itu ka-sudut yang di-hadapan-nya. Ukor berapapanjang-nya garisan yang menohantumkan itu.

III.

1. Tandakan tiga titek A, B, C di-atas satu garisan. Ke

mudian bahagi dua BC di-D. Chuba-lah terangkan 2 AD =

AB+AC.2. Buat satu garisan AB, dan sa-jauh satu inchi daripada

nya tetapkan suatu titek C. Kemudian chari-1ah di-atas

garisan AB itu titek yang dua inchi jarak-nya dari titek G.Sa-telah dapat barang sa-berapa ada-nya ukor berapa jauh-nyadi-antara titek-titek itu dan berapa buka sudut CAB dan sudut

CBA.3. Lukiskan satu garisan lurus pendek AB; panjangkan dia

sampai ka-C supaya AC lima kali ganda panjang-nya daripadaAB.

4. Buat satu garisan lurus sa-berapa panjang-nya yang di

kehendakkan, Kemudian bahagikan dia kapada lima bahagianyang sama panjang.

5. Buat satu rajah tiga persegi. Bahagi dua tiap-tiapsudut-nya. Jika di-panjangkan ketiga-tiga garisan pembahagiitu apa-kah jadi-nya '?

SO'AL P:ihEREKSAAN 43

IV.

1. Buat-lah satu garisan AB. Di-A lukiskan satu garisantegak betul namakan AC, panjang-nya 5 cm.; demikian puladi-B (pada pehak yang ka-sabelah AC itu juga), lukiskan satu

garisan tegak betul panjang-nya 6 cm., namakan BD. Sambongkan C dengan D. Chari tengah-nya garisan CD itu, namakanE; kemudian dari E itu lukis-lah satu garisan pula sa-lari

dengan AC dan BD tadi menujji ka-Als ; tempat ia bertemu

dengan AB itu namakan F. Chari-lah berapa panjang-nyagarisan EF ini.

2. Buat saperti so'al 1 itu juga, tetapi garisan BD itu

buatkan pada pehak AB yang sa-belah lagi, ya'ani jangansama-sama sa-pehak dengan AC.

3. Di-atas satu garisan PO buat satu rajah tiga persegi.POR dengan buka lR = 80° dan sempadan PR = OR

Berapa-kah buka sudut yang di-P dan di-O �\ 4. Sa-buah jam betul pukul 12; kemudian jarum panjang

nya bergerak 31 minit dan jarum pendek-nya tidak bergeraksadikit jua pun. Berapa darajah-kah buka sudut-nya di

antara jarum panjang dengan jarum pendek itu ?

5. Sa-buah sungai lurus betul kedua-dua tebing-nya ;

lebar dari tepi ka-tepi 40 ela. Sa-buah perahu menyeberang,kemudian balek; masa menyeberang itu ia hanvut 30 ela,demikian juga masa balek itu. Rajahkan jalan perahu itu, danchari berapa jauh-nya,

V.

1. _Tandakan dua titek A dan B, 8 em. jarak-nya. Chari

satu titek 7 om. dari A dan 5·5 cm. dari B. Boleh-kah dapatlebeh daripada satu titek yang demikian ?

2. Lukiskan dua garisan sa-lari [arak-nya 1 inchi. Buat

satu garisan tiga inchi panjang, hujong-hujong-nya terletakdi-atas kedua garisan yang mula-mula itu.

44 'ILMU GEOMETRY

3. Satu sudut ABC buka-nya 900• Di-atas garisan BC

Iukiskan satu rajah tiga persegi BCD sarna panjang tiap-tiapsempadan-nya. Dengan jalan ini bahagikan sudut ABC itu

kapada tiga bahagian yang sama besar.

4. ABC satu sudut dalam rajah tiga persegi, buka-nya 1600•

Bahagikan ilia kapada empat bahagian yang sama besar.5. Buat satu rajah tiga persegi sama, panjang sempadan-nya

3·6 inchi. Ukor berapa buka sudut-sudut di-dalam-nya.

VI.

l. Buat dua garisan lurus bersilang tepat (ya'ani sudutsudut di-tempat persilangan itu sudut tepat.). Kirakan-lah

garisan-garisan itu jadi isharat empat mata angin yang besar,Buboh nama-nya utara, selatan, timor dan barat. Di-tempatpersilangan itu buat satu sudut buka-nya 250 arah ka-sa

belah timor daripada selatan tepat. Berapa-kah buka sudut

di-antara garisan itu dengan garisan selatan menenggara?2. Buat satu rajah empat persegi bujor, sempadan-nya

4" dan 3". Kata-lah di-sudut-sudut-nya rajah itu ada ber

engsel (bersendi), ya'ani boleh di-kembang kunchupkan. Jika

di-kembangkan satu sudut-nya menjadi 120°, tentu-lah garisanserong yang di-hadapan sudut itu bertambah panjang, dansudut-sudut di-hujong garisan serong itu bertambah kechil.

(a) Berapa panjang-kah pertambahan-nya garisan serong itu ?

(b) Berapa buka sudut-sudut baharu itu ?'

3. Buat satu rajah tiga persegi ABC dua sama, panjangtapak BC 9 em, Chari tengah sempadan AB, namakan elia

D. Demikian juga chari tengah AC, namakan elia E; chantumkan D dengan E. Berapa-kah panjang DE, elan apa-apasuelut yang sama buka-nya.

4. Dengan memakai satu garisan AB jaeli satu sempadannya Iukis-lah beberapa rajah tiga persegi yang sama tinggi-

SO'AL PEPEREKSAAN 45

nya. Machammana kedudokan sudut-sudut yang berhadapandengan sempadan AB itu?

5. Lukis satu roda dengan 10 jari-jari, sama buka sudut

nya antara satu dengan satu,

VII.

1. Sa-orang berjalan enam batu ka-timor Mpat; kemudian

melenchong 5 batu ka-utara tepat ; kemudian melenchong pulalagi 7 batu ka-barat tepat. Lepas dari itu ia pun terns melin

tas ka-tempat permulaan-nya. tadi, Rajahkan perjalanannya pacla kertas petak-petak, serta jumlahkan sa-kali berapajauh perjalanan-nya itu.

2. Buat satu garisan lurus, kemudian tandakan tdtek-titek

A, B, 0, D satu inchi jarak-nya antara satu-satu, Dari tdtek

titek itu lukiskan empat garisan yang sa-Iari, Dengan merna

kai garisan-garisan itu bahagikan satu garisan empat inchikapada tiga bahagian yang sama panjang.

3. Pacla sa-belah menyebelah garisan BO 5·5 em. panjang,buat clua rajah tiga persegi ABO, DBC, tiap-tiap satu itu sama

panjang ketiga-tiga sempadan-nya. Sambongkan A denganD; tempat garisan AD memotong BO itu namakan E. Ada

kah garisan BO itu terbahagi clua betul oleh AD atau tidak ?

Apa-kah jenis sudut-sudut-nya yang jadi di-tempat garisanAD msmotong garisan BC itu ?

4. Bahagikan satu garisan panjang 7 inchi kapada empatbahagian yang sama panjang.

5. Buat satu rajah tiga persegi sempadan-nya sama pan

jang, clan tinggi-nya I! inchi.

VIII.

1. AB sa-keping tanah rata, clan satu tembok BO telahdi-dirikan dengan sudut di-B 80° buka-nya. Sa-kira di-

46 'ILMU GEOMETRY

gantongkan satu batu ladong (pelembap) di-C berapa-kah bukasudut di-antara tali batu ladong itu dengan tembok itu �

2. Sa-buah kapal berlayar 10 batu ka-barat-laut, kemudian7 batu ka-selatan tepat. Berapa jauh-kah kapal itu ka

selatan dari tempat permulaan-nya �

3. Anggaran 1" = 20'.

Sa-bush pondok lebar tapak-nya (DF) 20 kaki; tinggi daribumbong ka-tapak-nya (AE) 40 kaki; dan

dari chuchor atap ka-tanah (CF) 30 kaki,

BF----f----"C Jika dari tulang bumbong pondok itu garisanAE membahagi dua betul akan tapak-nya(DF), berapa-kah buka sudut di-antara

chuchoran atap dengan tiang tengah rumah

itu, ia-itu sudut BAE �

F4. Ada satu rajah tiga persegi ABC,

sempadan AB, dan AC = 5 inchi belaka,dan sudut BAC buka-nya 90°. Bahagikan sempadan BC

kapada tujoh bahagian yang sama panjang.5. Buat satu rajah tiga persegi ABC sempadan AB = 5·4

cm., BC = 6·3 cm. dan buka sudut ABC 36°. Berapa-kahpanjang AC �

A

o E

IX.

1. 27T X jari-jari = lilitan. Apa-kah erti-nya itu �

2. Jika jari-jari satu bulatan panjang 1·5", chari berapapanjang lilitan bulatan itu.

3. 7T X (jari-jari)" = luas bu1atan. Apa-kah erti-nya itu �

4. Di-atas satu garisan AB yang panjang 6 cm., lukiskan

satu rajah tiga persegi ABC dengan membuatkan sudut C

buka-nya 70°. Berapa banyak-kah bo1eh di-perbuat rajahyang demikian itu �

Lukiskan berapa banyak yang dapat, serta perhatikankedudokan sudut-sudut yang di-sabelah atas-nya.

5. Buat satu sudut ABC buka-nya 50°; di-A buat satu

SO'AL PEPEREKSAAN

lagi sudut BAD buka-nya 50°, sempadan AD-nyasa-Iari dengan sempadan BC. Jika di-kehendaki se

..

AD-nya sa-lari dengan BC bagaimana-kah pula jalmembuat sudut-sudut itu � Chuba buatkan gambar-nya,f//6. Ada tiga buah rumah A, B dan C; kedudokan di-antara

nya demikian : Antara A dengan B, 5 batu; B dengan C 12

batu ; antara C dengan A, 13 batu. Chari satu titek yang

sama jauh-nya dari tiap-tiap rumah itu; dan nyatakanberapa jauh-nya.

BAB V.

Bahagian I.

LUAS BERJENIS-JENIS RAJAH (I).ABeD ini satu rajah empat persegi tepat, semua sempadan

nya satu inchi belaka ; demikian jugaA l'r B segala sudut-nya 90°. Maka luas-nya

rajah itu di-katakan SATU INCHI P:EJRSEGI.

Demikian itu juga, jika sempadan-1" sempadan-nya satu kaki, jadi-Iah pula

luas-nya SATU KAKl PERSEGI; dan kalau

ela, ela persegi-lah pula ; dan sa-umpama-

o c nya.Isharat memendekkan perkataan, satu

inchi persegi itu ia-Iah 1 in. per.Isharat memendekkan perkataan, satu kaki persegi itu

ia-lah 1 k. per.A G B

E�---------r--�------�F

D H48

c

LUAS BERJENIS'JENIS RAJAH (I) 49

Pada rajah ABOD ini, ukor-lah tiap-tiap sempadan-nya,Tentu di-dapati sa.tu-satu sempadan itu 2 inchi panjang. Ohari

tengah AD, namakan E, dan tengah BO, namakan F; chantumkan EF. Demikian juga chari tengah AB dan OD (G dan H)dan chantumkan. Suclah itu tentu-lah di-dapati 4 kotak yangsatu inchi panjang tiap-tiap sempadan-nya, clan sudut-sudut

nya 900 belaka. Jadi-nya terbahagi-lah kotak ABOD itu

kapada 4 kotak keohil, luas-nya tiap-tiap satu, 1 in. per., clanoleh sebab itu luas ABOD 4 in. per.

(iii) Di-kehendaki menchari luas-nya barang apa rajahempat persegi bujor.

Mithal-nya sa-buah bilek panjang-nya 15 kaki, lebar-nya10 kaki.

A 75 II alii B

t-+--+-+--+-+-+-+-+-+-+--l---+--+-I-< 10 IIa II i

o c

Lukiskan gambar bilek itu pacla kertas berpetak-petak,tiap-tiap satu kaki panjang isharatkan dengan satu sempadanpetak kechi], (Jacli 1 kaki persegi di-isharatkan dengan 1

petak kechil). Rajah itu namakan-lah ABOD. Hetong be

rapa petak di-dalam-nya,Di-sabelah bawah AB ada 10 lapis petak yang sa-lad

dengan AB, tiap-tiap sa-lapis terbahagi kapada 15 petak.Jadi ABOD mengandong 10 X 15 = (150) kaki persegi,

Pendapatan,Ukoran persegi.Luas-nya = lebar-nya X panjang-nya.Maka bagitu juga-Ish jalan menchari jawab-nya jika di

palmi ukoran yang lain-lain saperti centimetre dan sa-bagaiD

50 'ILMU GEOMETRY

nya. Akan tetapi ingat-lah kalau panjang-nya kaki, lebar

nya mahu-lah kaki juga; kalau rantai hendak-lah rantai pula;dan sa-bagai-nya.

Mithal-nya :-

1. Satu keping kertas panjang-nya 2 kaki dan lebar-nya7 inchi; berapa luas-nya �

Mula-mula mahu-lah 2 kaki itu jadikan inchi ia-itu :

2 X 12 = 24 inchi

Luas kertas = Panjang X Lebar

ia-itu-lah = 24 X 7 = 168 inchi persegi.

2. Satu bilek panjang-nya 5 ela dan lebar ..nya 12 kaki.

Berapa kaki persegi luas-nya �

5 ela jadikan kaki = 5 X 3 = 15 kaki.Luas bilek itu = 15 X 12

= 180 kaki persegi.

3. Satu rajah lebar-nya 6 inchi dan panjang-nya 5 kaki.

Berapa luas-nya �

Lebar = 6 inchi

Panjang = 5 kaki = 5 X 12 = 60 inchi

Luas = Panjang X Lebar= 60 X 6 = 360 inchi persegi.

So'al Rampai-rampaian.(Peringatan: Kaki kadang-kadang di-tandakan

Mithal-nya 5 kaki di-tandakan 5'. Demikian pula inchi

kadang-kadang di-tandakan". lVIithal-nya 5 inchi di-tandakan

5".)1. Di-atas satu sempadan AB 3 inchi panjang, lukiskan satu

rajah empat persegi tepat. Chari berapa luas rajah itu.2. Buat satu rajah empat persegi tepat, panjang sempadan

nya l�- inchi. Berapa-kah luas-nya j

LUAS BERJEN1S-JENIS RAJAH (1) 51

3. Buat satu rajah empat persegi tepat luas-nya 9 inchi

persegi.4. Buat saperti so'al 3 tetapi luas-nya 16 inchi persegi,5. Berapa-kah luas-nya satu rajah empat persegi tepat, jika

sempadan-sempadan-nya 6 kaki panjang tiap-tiap satu.

6. Berapa-kah luas-nya satu rajah empat persegi tepat, jikasempadan-sempadan-nya 5 ela panjang tiap-tiap satu.

7. Chuba buat satu rajah empat persegi tepat luas-nya 2

inchi persegi.Chari berapa luas-nya rajah-rajah empat persegi bujor yang

di-bawah ini :-8. Panjang-nya 5'; lebar-nya 3'.

9. Panjang-nya 3"; lebar-nya 7".

10. Panjang-nya 3' 2"; lebar-nya q"11. Panjang-nya 1'; lebar-nya 8".

12. Panjang-nya 3' 4"; lebar-nya l' 9".13. Panjang-nya 1 kaki, 2 inchi ; lebar-nya 9 inchi.

14. Panjang-nya 2' 3"; lebar-nya 4'.

15. Panjang-nya 2' 3"; lebar-nya 4".

16. Pada sa-keping kertas berpetak-petak tandakan satu

rajah sa-luas 1 inchi persegi, Di-dalam-nya tandakan dua

rajah kechil, satu luas-nya 1/10 inchi persegi, dan satu lagi1/100 inchi persegi.

17. Chari berapa Iuas-nya rajah-rajah empat persegi bujoryang di-bawah ini :-

52 'ILMU GEOMETRY

18. Chari berapa luas-nya tiap-tiap satu rajah dalam so'al17 itu, jika anggaran-nya (a) satu inchi sarna dengan satu kaki,(b) satu inchi sarna dengan 10 kaki,

Lukiskan rajah-rajah empat persegi bujor pada kertas

berpetak-petak mengikut ukoran-ukoran dalam so'al-so'aldi-bawah ini. Tiap-tiap rajah itu chari berapa luas-nya dan

berapa panjang garisan serong-nya.19. Panjang-nya 2,5/1; lebar-nya 2/1.

20. Panjang-nya 5"; lebar-nya 1·4".

21. Panjang-nya 2·4"; lebar-nya '5/1.

22. Panjang-nya 3,4"; lebar-nya ·6".

23. Chari-lah luas-nya A, B, C, D, E, dan F c1i-bawah ini :-

1m I r J ..

H-rH�l++rH�+��44�I+I+��4+++-r�I�I�·,44++��I

; i

, I, I

, I

I I i

.It-.+-+-t-+-I-+-+-+++-+-l-+-H-+++++-.L.j-.f-+-+-++++�J-+-J��

"',IJJ

H-H-+�+-+--H4+++��H-+�I�-�H�,-�+-+-l-+-f-+-+-++++��4+-++�Wt-+--+-H--.-t-""""_'-++-H-+-+-,-"-,-I-J._,_,1++- LL_ i -T-I+ -

Lukiskan rajah-rajah empat persegi bujor pada kertas

berpetak-petak, luas-nya demikian :-

24. 1·3 inchi persegi. 25. 2·4 inchi persegi,26. 3·7 inchi persegi. 27. 0·7 inchi persegi ..28. 0·01 inchi persegi. 29. 0·05 inchi persegi.Pada kertas berpetak-petak lukiskan apa-apa rajah mengi

kut luas yang di-bawah ini :-

30. 1·07 inchi pcrsegi. 31. 1·03 inchi persegi,

LUAS BERJENIS-JENIS RAJAH (1) 53

32. 1·45 inchi persegi.34. 2·58 inchi persegi.Telah kita ketahu! sa-suatu rajah empat persegi bujor itu

33. 2·16 inchi persegi.

(i) Luas-nya = Panjang X Lebar.

(ii) Panjang-nya Luas-nya=

Lebar-nyadan

(...

) L b _ Luas-nyaIII e ar-nya -

u' .

.r anjang-nya

Mithal-nya ;-Satu rajah empat persegi bujor Iuas-nya 12·4 kaki persegi.

Berapa-kah lebar-nya jika panjang-nya 4 kaki ?

Panjang-nya = 4 kaki

Luas-nya = 12·4 k. per.12·4

4Lebar-nya= 3·1 kaki,

35. Jika luas satu bilek empat persegi 143 kaki persegi, danpanjang-nya 13 kaki berapa-kah lebar-nya ?

36. Satu rajah empat persegi bujor luas-nya 2 kaki persegi,dan panjang-nya I' 6". Berapa-kah lebar-nya ?

37. Lukiskan satu rajah empat persegi bujor, luas-nya 5 in.

per., dan lebar-nya 2 inchi.38. Demikian juga buat saperti so'al 37 tetapi luas-nya 1 in.

per., dan sa-pasang sempadan-nya yang bertentang t inchi

panjang.

Bahagian II.

LUAS RAJAH EMPAT PERSEGI SA-LARI.Menchari luas rajah empat persegi sa-lari di-bawah ini.ABCD itu satu rajah empat persegi sa-lari. Pada C buat

54 'ILMU GEOMETRY

garisan CE tegak betul kapada BC berjumpa dengan AD

di-E.F A E D

B H C

Panjangkan DA. Pada B buat garisan BF tegak betul

kapada BC berjumpa dengan DA yang telah di-panjangkanitu di-F.

Demikian juga di-A buat garisan AH tegak betul kapada DAberjumpa dengan BC di-H.

Jadi FBCE menjadi suatu rajah empat persegi bujor.Jika di-ukor di-dapati.FA = ED, FB = EC, dan AB = DC.Sebab itu jika di-potong /::,. EDC letakkan di-atas /::,. FAB

betu1-betul, ia-itu ED dudok di-atas FA, DC di-atas AB, danEC di-atas FB, nesohaya di-dapati kedua-dua rajah tiga persegiitu sa-rupa dan sama besar.

/::,. FAB + rajah ABCE = 0 FBCE,/::,. EDC + rajah ABOE = 0 ABCD

:. 0 ABCD sama 1uas-nya dengan 0 FBOE.

'I'etapi luas 0 FBOE = FB X BC ia-itu panjang X

tinggi-nya. Oleh sebab itu nyata-1ah 0 ABCD itu pun

luas-nya = BO X CE ia-itu panjang X tinggi-nya.Per-ingatan. Sa-barang apa rajah empat persegi sa-lari

C

LUAS BERJENIS-JENIS RAJAH (r) 55

Iuas-nya sarna dengan luas rajab ernpat persegi bujor yangberdiri sarna dengan dia di-atas satu tapak dan di-antara dua

garisan sa-Iari,

Mithal-nya luas CJ ABCD di-bawah ini sarna dengan luas

D FBCE.

So'al Rampai-rampaian.l. Chariberapa luas-nya rajah-rajah empat persegi sa-lari

A, B, C, D, E, dan F yang di-bawah ini.

2. Pada kertas petak-petak buat satu rajah ernpat persegisa-lari ABCD, panjang tiap-tiap sempadan-nya 2 inehi, dansa-pasang sudut-nya yang bertentangan 45° buka-nya tiap-tiapsatu.

3. Buat satu rajah ernpat persegi sa-lari luas-nya 6 inehi

persegi, dan t.inggi-nya 2 inehi. Berapa-kah panjang tapakrajah itu j

Lukiskan rajah itu di-atas kertas petak-petak ; buka satu

sudut-nya 75°. Ukor berapa panjang garisan-garisan serong-

nya. •

4. Buat satu rajah tiga persegi ABC; panjang sempadansempadan-nya demikian : AB = 3 crn.; BC = 4 em.; CA = 5

em. Kemudian lukiskan AD sa-lari dengan BC, dan CD sa-lari

dengan BA. Chari berapa luas rajah ABCD itu.

5. Buat satu rajah ernpat persegi sa-Iari ABCD saperti ini :

56 'ILMU GEOMETRY

sempadan AB panjang-nya 2·5 inehi, BC 2 inehi, dan garisanserong AC 3 inehi. Chari berapa luas-nya rajah itu.

Lukiskan beberapa rajah empat persegi sa-lari sapertidi-bawah ini. Kemudian chari berapa luas-nya tiap-tiap satu

rajah itu.6. AB = BC = 2 inchi, [ABC = 70°. 3 ,';'

...-

7. AB = 3em., BC = Dem., lABC = 44°.liI.·�8. AB = 6 cm., BC = 6 em., AC = D em.

9. AB = 1·5 in., BC = 2·5 in., BD = 3 in .

. 10. AB = 2·7 in., AD = 3·4 in., lABC; === 125°.

11. AB = 3·3 cm., BC = 4·6 cm., l�CD = 65°..

12. Di-atas satu garisan sempadan AB 3 inehi panjang,lukiskan tiga rajah empat persegi sa-lari; tiap-tiap satu rajahitu luas-nya 3 inehi persegi.

13. Di-atas satu garisan sempadan AB 3 inehi panjang,Iukiskan tiga rajah empat persegi sa-lari; tiap-tiap satu rajahitu luas-nya 4i inehi persegi.

Bahagian III.LUAS RAJAH TIGA PERSEGI.

Tiap-tiap satu rajah tiga persegi luas-nya sa-paroh betul

daripada luas rajah empat persegi sa-lari yang sarna tapak dansarna tinggi dengan dia.

Mithal-nya D, ABC di-bawah ini luas-nya ia-lah sa-paroho ABCD itu.

A 0

0/B c

Jalan-nya. Jadikan AC garisan serong kapada 0 ABCD

itu, Kemudian pada garisan ini potong rajah empat persegisa-lari itu. Kita dapati dua rajah tiga persegi, ia-itu D, ACB

LUAS BERJENIS-JENrS RAJAH (r) 57

dan /':,. ACD. Jika di-letakkan betul-betul kedua rajah ini

di-tindehkan satu di-atas yang lain neschaya di-dapati ia-itusama besar+-ia-itu garisan serong AC itu membahagi dua betulrajah empat persegi sa-lari itu kapada dua rajah tiga persegi,

A A

E C E

Ada pun yang di-katakan tinggi rajah tiga persegi itu°ia_Iah garisan yang tegak betul kapada tapak rajah itu (atautapak-nya yang telah di-panjangkan) dari sudut-nya yangbertentangan dengan tapak itu.

Dan yang di-katakan tapak rajah tiga persegi itu pula ia-Iahbarang mana satu sempadan-nya., bukan-lah sempadan yangdi-sabelah bawah itu sahaja. (Kedua rajah tiga persegi di-atasitu tinggi-nya ia-Iah AE dan tapak-nya BC.)

Jalan menchar-i luas rajah tiga persegi.ABC di-atas itu satu rajah tiga persegi ; tapak-nya BC dan

tinggi-nya AE.A 0

I1SZB E C

Dari A buat satu garisan sa-Iari dengan BC; dan dari C buatsatu garisan sa-lari. dengan BA pula bertemu dengan garisanyang mula-mula tadi di-D. Jadi-Iah ABCD itu satu rajahempat persegi sa-Iari. MaIm ia-itu tinggi dan tapak-nya sama

dengan tinggi dan tapak /':,. ABC.

:.luas /':,. ABC = i luas CJ ABCD.

58 'ILMU GEOMETRY

'I'etapi luas 0 ABCD itu ia-lah BC X AE, ia-itu 'tapaknya X tinggi-nya.

:. luas /:,. ABC = t BC X AE. ia-itu-lah t tapak-nya X

tinggi-nya.Jika hendak menchari luas rajah tiga persegi tepat ta

payah lagi menchari tinggi atau tapak-nya. -Iadikan-lah satu

sempadan-nya yang mengandongi sudut 90° itu tapak dan

sempadan yang satu lagi itu tinggi-nya.Pez-ingatan (i) Sa-barang apa rajah tiga persegi luas

nya ia-lah t (tapak X tinggi-nya).(ii) Apa-apa rajah tiga persegi yang sama panjang tapak

nya dan sama tinggi-nya, luas-nya sama, Mithal-nya lihat

rajah di-bawah ini.I

E F G H K L

ABC o

Di-dalam rajah itu ABCD sa-Iari dengan EL, dan AB sama

panjang dengan CD.

Segala rajah tiga persegi EAB, FAB, GAB, HCD, KCD,LCD dalam rajah itu sama luas-nya kerana tinggi-nya (antaradua garisan sa-Iari) dan tapak-nya AB dan CD itu sama

panjang.Perhatikan seroua rajah tiga persegi ini hanya-lah luas-nya

sahaja yang sama, rupa-nya tidak. Umpama-nya jika di

potong rajah tiga persegi LCD itu dan letakkan dia di-atas

rajah tiga persegi EAB tentu-lah ia tidak bertindeh betul

betul, yaani ta' sama, satu berIebeh seropadan-nya,· satusudut-nya pula terbesar daripada sudut yang di-bawah-nya.

LUAS BERJENIS-JENIS RAJAH (I) 59

So'a! Rampai-rampaian.1:1. Bagaimana jalan yang senang sa-kali menchari luas satu

rajah tiga persegi bersudut tepat ?

2. Di-atas dua garisan AB dan OD yang sama panjang-nya2 inchi, lukiskan dua rajah tiga persegi ABF, ODG. Kedua-duarajah tiga persegi itu luas-nya sama 3 inchi persegi, tetapirupa-nya lain-lain. Nyatakan macham mana jalan membuat

kedua-dua rajah itu .

.I 3. Lukiskan satu rajah tiga persegi ABO. PanjangkanAB; di-atas-nya chari satu titek D supaya luas rajah tigape�egi AOD itu sama dengan dua rajah tiga persegi ABO./ 4. Lukiskan satu 6 ABO. Kemudian lukiskan pula satu

rajah tiga persegi lagi luas-nya tiga kali ganda daripada itu./5. Lukiskan satu 6 ABO. Bahagi dua betul BO di-D.

Sambongkan A dengan D. Apa sebab kedua-dua 6 ADB,6 ADO itu sama luas-nya ?

Perhatikan, di-atas itu-lah jalan yang senang sa-kali

membahagi dua betul sa-suatu rajah tiga persegi.6. Lukiskan satu rajah tiga persegi panjang sempadan-nya

detnikian : 4 cm., 5 cm. dan 8 cm. Kemudian Iukiskan satu

rajah tiga persegi lagi luas-nya satu sa-tengah kali rajah yangmula-mula tadi.

7. Lihat rajah MIl.:. 58. Salin betul-betul segala rajah tigapersegi yang ada di-dalam-nya. Kemudian chari berapaluas-nya tiap-tiap satu rajah itu.

Lukiskan rajah-rajah tiga persegi (ABO) menurut so'al

so'al yang di-bawah ini. Chari berapa luas-nya tiap-tiap satu

rajah itu. (Jawab-nya hendak-lah dengan angka genap yangdekat sa-kali.)

8. AB = 3 in., BO = 4 in., CA = 5 in.

9. AB = 6 cm., BO = 8 cm., OA = 10 cm.

10. AB = 2·4 in., BO = 1·5 in., IABO = 900•

60 'ILMU GEOMETRY

11. AB = 4·5 em., BC = 3·2 em., lABC = gOo.

12. AB = 5 em., BC = 12 em., CA = 13 em.

(Ukor berapa buka sudut yang besar sa-kali dalam tiap-tiaprajah yang di-atas itu.)

13. AB = 3 in., AC = 4·2 in., lCAB = 45°.14. Chari betul-betul berapa luas-nya satu rajah tiga

persegi sama yang 3 inehi panjang sempadan-nya. Daripadajawab itu kirakan pula berapa luas-nya satu rajah tiga persegisama yang 3 ela panjang sempadan-nya. Berapa kali rajahyang mula-mula tadi besar-nya rajah yang kemudian ini ?

15. Di-atas satu tapak yang panjang 2 inehi lukiskan satu

rajah tiga persegi luas-nya 1·7 inehi persegi./ 16. Lukiskan satu /::,. ABC rupa-nya demikian : L B = 90°,

AB = 3 inehi dan AC = 4 inehi .. Dari B lukiskan satu garisantegak betul kapada AC; namakan dia BD. Kemudian ukor

berapa panjang-nya. Chari berapa luas-nya /::,. ABC itu

dengan dua maeham jalan.17. Lukiskan satu rajah empat persegi tepat di-atas kertas

potak-petak, panjang sempadan-nya. dua inehi. PanjangkanAB sampai ka-E supaya BE sama panjang dengan BA. Sam

bongkan C dengan E; kemudian chari berapa luas-nya /::,. ACEitu.

Jikalau peta itu kamu Iukiskan betul-betul nesohaya kamudapati luas-nya /::,. ACE itu sama dengan ABCD. Chuba-lah

nyatakan apa sebab-nya bagitu.18. Lukiskan dua rajah tiga persegi bersudut tepat Iuas-nya

sama 2 inchi persegi, tetapi rupa-nya lain-lain.19. Lukiskan satu /::,. ABC. Kemudian buat satu garisan

AD sa-lari dengan BO, panjang-nya ikut suka hati. Sam

bongkan D dengan B, dan D dengan C. Nyatakan apa sebab

nya /::,. ABC itu sama luas-nya dengan /::,. DBC.

LUAS BERJENIS-JENIS RAJAH (I) 61

Jalan mernbuat Rajah Ernpat Persegi Bujor luas-nyasarna dengan satu Rajah Tiga persegi.

Lukiskan satu L, ABC. Di-A buat satu garisan sa-lari

dengan BC. Di-B dan di-C buat garisan tegak betul kapadaBC berjumpa dengan garisan tadi di-D dan di-E.

o DBCE = 2 L, ABC,:. L, ABC = t 0 DBCE.

Sekarang hendak-Iah di-bahagi dua betul 0 DBCE ini.

Bahagi dua betul BD di-G. Lukiskan GH sa-lari denganBC dan bertemu dengan garisan CE di-H.

o GBCH = �- 0 DBCE.

DaAE

Tetapi t 0 DBCE = L, ABC.

:. 0 GBCH = L, ABC.G H

Jadi GBCH itu-lah rajah empat persegi B C

bujor yang di-kehendaki itu.

(Demikian juga boleh kita dapati datu lagi rajah empatpersegi bujor yang sama luas dengan rajah tiga persegi ABC itu

dengan jalan ini: Bahagi dua betul BC, di-tempat garisan itu

terbahagi dua buat satu garisan sa-lari clengan BD atau CE.)20. Lukiskan satu rajah tiga persegi p�njang sempadan

sempadan-nya dernikian : 6 cm., 7 cm., dan 8 cm.

Sempadan yang panjang 6 cm. itu jadikan tapak rajah itu;kemudian ukor berapa tinggi-nya rajah tiga persegi itu.

Di-atas tapak itu Iukiskan satu rajah empat persegi bujoryang sama luas dengan rajah tigapersegi itu.

21. Di-atas suatu tapak yang panjang 2·4 inchi lukiskan

satu rajah empat persegi bujor tinggi-nya 1·8 inchi.'

Pada tapak itu juga .Iukiskan satu rajah tiga persegi yangsama luas dengan rajah empat. persegi bujor itu.

BAB VI,

LUAS BERJENIS-JENIS RAJAH (II)Menchari luas sa-suatu rajah yang di-sempadankan

oleh beberapa garisan lurus ..

DI-ATAS itu ada tiga jenis rajah yang di-sempadallkan olehbeberapa garisan lurus. Rajah (i) empat sempadan-nya;Rajah (ii) lima sempadan-nya ; Rajah (iii) tujoh sempadan-nya.

o

o

(ii)

c

A

G c

(iii)

-Ialan menchari luas tiap-tiap satu rajah itu ia-lah mula-mula

bahagikan dia kapada beberapa rajah tiga persegi, Lepas ituchari luas tiap-tiap rajah tiga persegi itu. Kemudian jumlahkan semua-nya; baharu-lah dapat Iuas-nya rajah yang di

kehendaki itu,

Mithal-nya hendak menchari luas Rajah (ii) itu (ia-ituABCDE) mula-mula sambongkan E dengan B dan B dengan D.Sekarang di-dapati tiga rajah tiga persegi dalam rajah ABCDE

itu, ia-itu ,6, ABE, .,6, BDE, ,6, BCD. Chari luas ketiga rajah

A B

62

LUAS BERJENIS-JENIS RAJAH (II) 63

tiga persegi itn, kemudian jumlahkan jawab-nya dapat-lah luasrajah ABODE itu.

Tuladam 1.

Jalan menchar-i luas rajah ABCDE di-bawah ini :

Jalan-nya: Sambongkan A dengan 0, dan A dengan D.

A

D

Di-dapati 3 rajah tiga persegi, ia-itu 6 ABC, 6 ACD, 6 ADE.Luas ABCDE ./6 ABC + 6 ACD + 6 ADE.

,,'

Kemudian lukiskan dad B garisan BF .L AC, dan dari A

garisan AG 1. CD, demikian juga dari E garisan EH j_ AD.

Jadi r. ABC tinggi-nya BF,6 ACD tinggi-nya AG,

dan /";. ADE tinggi-l1ya EE.Luas 6 ABC = t AC.BF,luas /";. AOD = i CD.AG,

dan luas 6 ADE = i AD.EH.Oleh sebah itu luas rajah ABODE itu = t(AC.BF) +

!(CD.AG) + t(AD.EE),.= !(AC.BF + CD.AG + AD.EH).

Tuladan II.Jalan memhuat satu rajah empat persegi sa-rupa

betul dengan chontoh-riya.Sel1ang sahaja membuat-nya itu jika terlebeh dahulu di-

64 'ILlHU GEOMETRY

lukiskan satu garisan serong-nya supaya rajah itu terbahagikapada dua rajah tiga persegi.

Jika hendak membuat satu rajah sa-rupa dengan rajahABCD di-atas itu mula-mula sambongkan A dengan C di-dalam

rajah itu.Dahulu telah di-pelajarkan membuat rajah tiga persegi

A

c

sa-rupa betul dengan chontoh-nya. Maka dengan jalan itu

lukiskan satu rajah tiga persegi sa-rupa betul dengan D, ABC

elalam rajah ABCD itu.

Mithal-nya D, A'B'C' jadi rajah yang di-perbuat' itu ia-itu

di-tiru daripada chontoh-nya D, ABC; kemudian dengan jalansaperti dahulu itu juga di-atas garisan A/C' lukiskan satu

D, A'C/D' sa-rupa dengan chontoh-nya D, ACD itu. Jaeli

A'B'O'D' itu-lah rajah yang di-kehendaki itu.

Rajah ini boleh di-tunjokkan ia-itti sa-rupa betul-kah ia

dengan chontoh-nya atau tidak dengan jalan cli-bawah ini.

Ambil sa-keping kertas minyak ; Ietakkan elia di-atas rajahABeD dan tandakan di-atas-nya tiap-tiap penjuru rajah itu

ia-itu A, B, C, D. Lepas itu Ietakkan dia di-atas rajahA'B'O'D' pula; tentu-lah di-dapati penjuru-penjuru A, B, 0,D itu jatoh betul-betul tepat di-atas A', B', 0', D'. Irii-Iah

tanda menunjokkan kedua-dua rajah itu sama betul,

Kedua-dua rajah itu bukan besar-nya sahaja yang sama

tetapi tentang lain-lain pun sarna juga.Rajah yang lebeh daripada empat sempadan-nya pun boleh

juga di-tiru dengan jalan ini.Mithal-nya jika hendak meniru rajah ABODE di-bawah ini,


mula-mula chantumkan A dengan C dan A dengan D. Kemu

dian tiru c: ABC, t:, ACD, t:, ADE.

A

D c

Salin be�ul-betul balelr segala rajah yang di-bawah ini.

Rajah-rajah empat piksegi df-per-huat menurutsharat-sharat yang dr-ber-i.

1. Buat satu rajah empat persegi ABCD mengikut panjangsempadan-eempadan-nya saperti di-bawah ini: AB = 3 em.,BC = 4 em., CD = 2·8 cm., DA = 3·6 cm., dan AC = 5 em.

Jalan-nua : Lukiskansatu garisan AC panjang-nya 5 em.

Jadikan A itu pusat. Kemudian dengan jari-jari 3 em.

panjang-nya buat satu bulatan.

Jadikan C itu pusat. Dengan jari-jari panjang-nya 4 em.

buatkan satu bulatan memotong bulatan yang mula-mula tadi

di-B.

Di-pusat C juga buat lagi satu bulatan panjang jari-jariatau buka-nya 2·8 em.

E

66 'ILMU GEOMETRY

Di-pusat A pula buat lagi satu bulatan panjang [ari-jarinya 3·6 cm. Biarkan bulatan ini memotong bulatan yangketiga itu di-D, ia-itu di-sabelah AC yang lain bertentangandengan titek B.

Sambongkan ABCD. Jadi rajah ABCD ini-lah rajahempat persegi yang di-kehendaki itu.

2. Buat satu rajah empat persegi ABCD rupa-nya demikian :

AB = 2·5 cm., BC = 3 cm., CD = 3·5 cm., DA = 4 cm., dan

sudut DAB buka-nya 100°.

Jalan-nya. Lukiskan satu garisan AB panjang-nya 2·5 cm.

Di-A buat satu sudut BAD buka-nya 100°, dan AD pan

jang-nya 4 cm.

Jadikan D itu pusat. Di-pusat itu buat satu bulatan

panjang jari-jari-nya 3·5 cm.

Jadikan B itu pusat. Di-situ buat satu bulatan memotongbulatan yang mula-mula tadi di-C. Sambongkan ABCD.Jadi rajah ABCD ini-lah rajah empat persegi yang di-kehendakiitu.

Menchari luas rajah empat persegi dua sa-lari.

Mithal-nya ABCD itu suatu rajah empat persegi dua sa-lari,dan AB, DC itu dua sempadan-nya yang sa-lari.

F D C

A E B

Panjangkan CD.Di-A lukiskan satu garisan AF .L AB bertemu dengan CD

(yang telah di-panjangkan itu) di-F.Di-C lukiskan satu garisan CE .L CD bertemu dengan AB

di-E.


Jadi rajah FAEC itu satu D, dan AF = CEo

Luas rajah ABCD itu = laus /':" ABC + /':" ADC,

'I'etapi luas /':" ABC = t CE.AB.= tAF.AB.

Dan luas /':" ADC = tAF.DC.:. luas rajah ABCD = tAF.AB + tAF.DC.

= A2F (AB + DC).

Oleh sehab itu kita dapati luas sa-suatu r-ajah empatpersegi dua sa-lad itu ia

Iah jurnlah dua sempadannya yang sa-Iari itu di

dzarab dengan sa-par-ch[arak di-antara kedua

sernpadan itu.

Mithal-nya. Sa-orang penyukat tanah melukiskan rajah sa-keping tanah ABCD dalam

buku peringatan-nya demikian :

Lukiskan rajah tanah ABCD itu

betul-betul dengan memakai ukoran1 inchi sama juga dengan 10 kaki,

Kemudian lukiskan lagi satu

rajah tanah ABCD itu juga denganmernakai ukoran 1 inchi sama jugadengan 5 kaki.

Rajah ABCD di-bawah ini ia

lah pelan kasar sa-buah padang.Buat betul-betul pelan padang itu

balek; palmi ukoran 1 inchi sama

juga dengan 10 ela. Kemudian

chari berapa luas-nya padang itu.

Lukiskan satu pelan Rajah ABCD

A

�'* D'<)

�

li:j�

90°

B 28 fla C

68 'ILMU GEOMETRY

di-bawah mi mengikut ukoran-ukoran yang di-beri dalam

Rajah itu. Kemudian chari pula berapa luas-nya.A

So'a! Rampai-rampaian.1. Buat satu rajah empat persegi dua sa-lari ABCD saperti

ini: AB = 5·7 cm., BO = 5·2 cm., OD = 6·3 cm., lABO = 90°,lBOD = 130°.

2. Mithal-nya ABOD satu rajah empat persegi dua sa-lari,sempadan AB sa-lari dengan OD. AB = 6·6 cm., BO =� 4·5

cm., AD = 4·2 cm., dan jarak di-antara AB dengan CD 3 cm.

Lukiskan rajah itu.3. Dalam satu rajah empat persegi ABOD, AB = 3 in.,

BO = 2·1 in., AD = 1·8 in., lDAB = lADO = 90° dan lABCsatu sudut kechil. Lukiskan-lah rajah itu.

4. Dalam satu rajah el11pat persegi ABOD, AB = 2·6 in.,AD = 1·7 in., DO = 1·3 in., l:i)AB = lADO = 90°. Lukiskan

rajah itu.5. Buat satu rajah enam penegi yang sama panjang

sempadan-nya., ia-itu 2 inchi 'satu-satu. Kemudian chari

berapa luas rajah itu.

6. Lukiskan satu rajah el11pat persegi tepat serta dengangarisan serong-nya sa-kali.> Perhatikan ada-kah kedua-dua

garisan serong ini berpotongan di-sudut tepat dan tiap-tiapsatu itu terbahagi dua betul.


7. Dengan chontoh yang di-atas itu buat satu rajah empatpersegi tepat, tiap-tiap sudut-nya terletak di-atas lilitan satu

bulatan yang 2 inchi panjang jari-jari-nya. Chari berapaluas-nya rajah empat persegi itu.

8. Buat satu rajah enam persegi ABCDEF dalam satu

bulatan yang 2 inchi panjang jari-jari-nya. Sambongkan AC,CE, EA kemudian ukor berapa panjang-nya garisan-garisan ini.

9. Chari jalan membuat satu rajah tiga persegi sama di

dalam satu bulatan.

10. Lukiskan pelan tapak sa-buah menara enam persegisarna; lebar tiap-tiap muka dinding-nya yang di-sa-belah

dalam 10 kaki dan tebal dinding itu 1 kaki. Pakai-lah ukoran

yang menasabah bagi melukiskan rajah itu.

Tuladan.

Jalan melukis satu rajah tiga persegi luas-nya sarna

dengan satu rajah empat persegi ABCD.o

c

ABCD itu satu rajah empat persegi,Di-kehendaki melukis satu rajah tiga persegi luas-nya

sama dengan rajah empat persegi ABCD itu.

Jalan-nya. Sambongkan B dengan D.

Panjangkan CB. Dari A lukiskan satu garisan sa-Iari

dengan BD dan bertemu dengan CB (yang telah di-panjangkanitu) di-E. Sambongkan B dengan E.

Jadi � DEC itu-lah rajah tiga persegi yang di-kehendaki,

(Dalil-nya. Rajah ABCD = c: BCD + c. ABD

r. DEC = c: BCD + c: EBD

70 'ILMU GEOMETRY

Tetapi 6 ABD = 6 EBD sebab kedua-dua-nya itu berdiri

di-atas satu tapak BD dan di-antara dua garisan sa-Iari EA

danBD.

:. 6BCD+ 6ABD= 6BCD+ 6EBD,ia-itu rajah ABCD = 6 DEC.)T1tladan.

-

Jalan melukiskan satu rajah tiga persegi luas-nya sarna

dengan rajah lima persegi,A

FeD

ABCDE itu satu rajah lima persegi. Di-kehendaki melukissatu rajah tiga persegi Iuas-nya sarna dengan rajah ABCDE itu.

Sambongkan C dengan A, dan A dengan D.Panjangkan CD pacla kedua hujong-nya.Dari B lukiskan BF sa-lari dengan AC, dan bertemu dengan

CD (yang telah di-panjangkan itu) di-F.Dari E lukiskan EG sa-lari dengan AD, dan bertemu dengan

CD (yang telah di-panjangkan itu) di-G.Sambongkan A dengan F, dan A dengan G.Jadi 6 AFG itu-lah rajah tiga persegi yang di-kehendaki.

(Dalil-nya: Perhatikan

Rajah ABCDE = 6 ABC + 6 ACD + 6 ADE.

6AFG= 6AFC+ 6ACD+ 6ADG.

'I'etapi 6 AFC = 6. ABC sebab kedua-nya berdiri di-atas

satu tapak AC dan di-antara dua garisan sa-lari AC dan BF.

Dan juga 6 ADG = 6 ADE sebab kedua-nya berdiridi-atas satu tapak AD dan di-antara dua garisan sa-lari AD danEG .

.. 6 AFG = 6 ABC + 6 ACD + 6 ADE.= Rajah ABCDE itu.)


Pada sa-barang rajah tiga persegi tepat, luas rajahempat persegi tepat yang her-dir-i dr-sempadan rajahtiga persegi itu yang bertentangan dengan sudut tepatnya sama dengan jumlah luas kedua-dua rajah empatpersegi tepat dr-sempadan-nya yang lagi dua itu.

G

F

K

Mithal-nya rajah ABC di-atas ini satu rajah tiga persegibersudut tepat di-A.

Hendak menunjokkan rajah ernpat persegi tepat yangbersempadankan BC itu luas-nya sama dengan jumlahkedua-dua rajah ernpat p�rsegi tepat yang bersempadanlmnCA dan AB itu.

Jalan-nya: Di-BC buat satu 0 BCED, di-CA buat satuo CAHK, dan di-AB buat satu 0 ABFG.

Di-tapak AH buat satu 0 AHMP (tentu-lah sarna besar

nya dengan 0 CAHK). Demikian juga di-tapak AB buat satu

o ABFG. Lukiskan HO sama panjang dengan AB; sambongkan 0 dengan M dan 0 dengan F.

Rajah FBHMPG = 0 ABFG + 0 AHMP (= CAHK).Potong rajah ini jadikan tiga keping : (I) OBF, (2) OFGPM,

(3) OMH. Maka ketiga keping ini betul muat di-dalam rajahempat persegi tepat BCED itu. (Lihat gambar. )

Ia-itu 0 BCED = D CAlIK + D ABFG.

72 'ILMU GEOMETRY

So'al Rampai-r-ampaian.Di-bawah ini di-beri panjang-nya sempadan beberapa rajah

tiga persegi, Lukiskan-lah rajah-rajah itu. Ada-kah ia

bersudut tepat atau tidak �

1. Panjang sempadan-sempadan-nya : 3 in., 4 in., dan 5 in.

2. Panjang sempadan-sempadan-nya : 5 in., 12 in., dan

13 in.

3. Panjang sempadan-sempadan-nya: 7 in., 24 in., dan

25 in.

4. Panjang sempadan-sempadan-nya : 15 in., 20 in., dan

25 in.

5. Lukiskan satu rajah sa-parch bulatan, namakan dia AB.Sambongkan kedua-dua A dan B kapada satu titek C di-atas

lilitan bulatan itu, Ukor sudut ACB itu. Sudut tepat-kah iaatau tidak j

BAB VII.

PELAN.·

MARA ada-lah garnbar sa-suatu bends itu jarang di-lukiskan

dia sarna besar betul-betul dengan benda itu. Chuba-laharnbil suatu benda yang semua orang tahu, ia-itu peta sa

barang negeri. Lihat-lah peta itu, ia-itu hanya menyatakanbagairnana rupa negeri itu sahaja, bukan besar-nya.

Mithal-nya A, B, dan C di-dalam rajah di-atas itu mengisharatkan tiga buah bandar yang di-tandakan dalarn sa-buah

peta, Jauh-nya yang betul dari bandar A ka-bandar B

ia-Iah 100 batu, dan dari bandar B ka-bandar C pula 50 batu.

Oleh sebab itu garisan AB dalarn peta itu di-Iukiskan dua kali

ganda panjang-nya daripacla BC, kerana 100 = 2 X 50.

Jika dari B ka-C jauh-nya 20 batu, maka garisan AB itu

�nj�9.i lima kali ganda pula panjang-nya claripada BC,

k��na 100 = 5 X 20.

-Iadi-nya peta itu di-lukis mengikut kadar ukoran yangdi-tetapkan. , Mithal-nya di-dalam peta itu

1 inchi di-lukiskan sama dengan 10 batu,jadi 2 inchi di-lukiskan sarna dengan 20 batu pula,dan 3 inchi di-lukiskan sarna dengan 30 batu,

t inchi di-lukiskan sarna dengan 5 batu,.fa inchi di-lukiskan sarna dengan 1 batu clan sa-umpama

nya73

74 'ILMU GEOMETRY

Dalam rajah di-bawah ini 1 perpulohan inchi mengisharatkan 1 batu, Dalam rajah itu jauh dari A ka-B 2 inchi ia-ini

mengisharatkan jauh-nya yang sa-benar-nya 20 batu.

I <,

-,

\,

It,

\

"I\. I

r"

,1/ V-, /

c

A B

Dari B ka-C 15 batu jauh-nya, kerana dalam peta itu

BC 1·5 inchi panjang-nya.Dari C ka-D 13 batu jauh-nya, kerana dalam peta itu

CD = CE = 1·3 inchi panjang-nya.Luas sa-suatu rajah yang di-1ukiskan pada kertas petak

petak dapat di-chari dengan jalan ini, ia-itu di-bilang berapapetak ada da1am rajah itu.

Jika somua sempadan rajah itu dudok-nya betul padagarisan petak-petak ita luas rajah itu dapat di-chari betulbetul, kerane, petak-petak di-dalam rajah itu semua petakpenoh belaka. Tetapi jika sempadan rajah itu bengkangbengkok hanya-Iah dapat kita chari luas-nya lebeh kurangsahaja, kerana banyak petak yang tiada penoh di-dalam-nya,Maka petak-petak yang tiada penoh di-dalam rajah itu di-kira

satu juga [ika besar-nya 1ebeh sa-paroh. 'I'etapi jika besar

nya tiada sampai sa-paroh tiada-Iah di-kira dia.

Maka jalan menchari Iuas yang demikian ini, ia-itu dengandi-bilang petak-petak dalam rajah itu, berguna bagi menyaksikan jawab yang di-dapati dengan ja1an lain, sunggoh pun

jawab-nya lebeh kurang sahaja.

Mithal-nya di-bawah ini satu rajah tiga persegi ABC yangdi-lukiskan di-atas kertas

petak-petak ; panjang tapaknya 11 petak, dart tingginya 6 petak. Hendak men

chari luas rajah itu bilangIah berapa petak ada di

da,lam-nya.. 'I'entulah di

dapati 33 petak.Luas rajah itu yang sa-benar-nya ia-lah

! tapak-nya X tinggi-nyaatau ! (11 petak X 6), ia-itu-lah 33 petak.Biasa-nya jika menchari luas sa-suatu rajah itu Iebeh

kurang sahaja, hendak-lah di-gunakan kerbas yang kechil

petak-petak-nya. Sebab-nya ia-lah sa-suatu rajah itu banyakpetak-nya, lagi pun sa-makin kechil petak-petak itu sa-makinlah senang boleh di-dapati luas rajah itu betul-betul. Rajahyang di-atas itu hanya-lah di-buat tuladan sahaja guna-nya,kerana petak-petak yang besar itu senang memileh-nya mana

mana yang mesti di-kira.

Maka, dengan jalan yang di-nyatakan di-atas ini dapat-lahdi-ehari luas barang apa rajah baik yang di-sempadankan oleh

garisan bengkok atau garisan bengkang-bengkok benar sa-kali

pun.Di-atas ini satu rajah,

yang di-sempadankan olehgarisan lurus AB, BC, CD,dansatu garisanbengkangbengkok AFD. Jalan

menchari luas rajah itu

demikian :

Hetong berapa banyakpetak dalam rajah itu yang patut di-kira, Neschaya di

dapati jumlah-nya saperti di-bawah ini:

M

rr+/��,+1�-t��-�,�"�r�/�E=��+��+rT�r�,T+-i

"0

A�v+�+-t��-��--II<

B H G

PELAN 75

A

V\/v \

1/ \V \

//-

\/ \B cD

N

c

76 'ILMU GEOMETRY

Dalam rajah AKE ada 6 petak,dalam rajah ABHK ada 12 petak, (4 X 3)dalam rajah EHGF ada 98 petak, (14 X 7)dalam rajah FLD ada 3 petak,dalam rajah LGCD ada 15 petak,Di-sabelah atas EF 10 petak,

Jumlah semua-nya 144 petak.Jadi luas rajah ABCDF itu ia lah 144 petak.Maka jawab ini boleh di-uji betul tidak-nya dengan jalan

ini. Mula-mula bilang berapa petak ada di-antara garisanbengkang-bengkok itu dengan garisan MN, dan champorkandia dengan jawab tadi. Kemuclian hetong berapa petals ada

dalam 0 MBCN itu; jawab-nya ia-lah 200 petak. Sa-telah

itu bandingkan luas 0 lYIBC:� itu dengan kedua jawab yang

di-jumlahkan tacli; kalau sama itu-lah tanda jawab kita yangmula-mula tadi betul ia-ita 144 petak.

Jika panjang lilitan sa-suatu bulatan itu di-bahagi dengan•

panjang garisan pusat-nya di-dapati jawab-nya lebeh kurang3·14.

Lukiskan satu bulatan pada kertas petak-petak, panjangjari-jari-nya satu inchi. Chuba chari saperti yang di-sebutkandi-atas itu, ia-itu berapa panjang-nya lilitan bulatan itu, dan

juga berapa luas-nya; kemudian jalankan dapat tidak jawab3·14 saperti di-atas itu.

'"

71

So'a!. Chuba-lah chari berapa luas-nya 0 di-bawah

ini ia-itu dengan jalan membilang petak-petak yang ada di

dalarn rajah-rajah ·itu.

So'al Rampai-rampaian.1. Ada sa-buah bilek panjang-nya 34 kaki dan lebar-nya

22 kaki. Lukiskan pelan bilek itu. Palmi ukoran 1 inchi

sama dengan 10 kaki.

2. Di-bawah ini pelan iantai sa-buah bilek, ia-itu telah

di-lukiskan dengan ukoran 1 inchi sama dengan 20 kaki.

Daripada pelan-nya chari berapa panjang dan lebar-nyabilek itu.

.

3. Di-abwah ini pelan kasar sa-buah rneja; rupa-nya

saperti huru£ T. Besar meja itu ada di-nyatakan dalam pelankasar-nya. Lukiskan pelan rneja itu betul-betul ; pakaiukoran 1 inchi sama dengan 4 kaki,

16'f

4'4

12'

4'

4. Satu tembok tegak AB tinggi-nya 34 kaki. Di-kaki

nya ada satu garisan BC 46 kaki panjang-nya. Lukiskan

rajah ternbok itu dengan memakai ukoran 1 inchi sarna dengan10 kaki. Chari berapa buka sudut ACB.

5. Dalarn rajah di-bawah ini garisan AB itu ia-lah tinggikemunchak (menara) gereja besar eli-Cologne, ia-itu 515 kaki,

78 'ILMU GEOMETRY

dan titek C itu dudok-nya 700 kaki dari B kaki kemunchak

itu.A

c

Lukiskan pelan rajah itu dengan memakai ukoran 1 inchisarna dengan 100 kaki.

6. Daripadt;" peta itu chari berapa buka sudut ACB, dan

berapa panjang garisan AC itu.

7. Di-bawah ini peta kasar sa-buah bilek, Lukiskan pelanitu balek betul-betul. Palmi ukoran 1 inchi sama dengan5 kaki.

7'2'

70'

3'3'

8. Lukiskan betul-betul pelan bilek dalarn so'al 7 itu.Pakai ukoran 1 inchi sarna dengan 2t kaki.

9. Di-bawah ini pelan kasar hujong sa-buah rurnah.

Lukiskan balek pelan itu menurut kenyataan-kenyataan yangdi-beri dalarn pelan kasar-nya; dan chari berapa tinggi rurnahitu, Pakai ukoran 1 inchi sama dengan 5 kaki.

PELAN 70

10. Sa-bidang tanah tiga persegi panjang sempadansempadan-nya demikian : 30 ela, 35 ela, dan 40 ela, Lukiskarf

pelan tanah itu dengan ukoran I inchi sama dengan 10 ela.II. Lukiskan pelan sa-buah padang empat persegi tepat,

luas-nya 10 acre. Bahagikan betul-betul padang ini kapada 4

petak empat persegi tepat. Di-tengah-tengah satu daripadaempat petak itu tandakan sa-buah padang cricket (pitch),panjang-nya I rantai. (10 rantai persegi = I acre).

12. Lukiskan satu pelan hujong sa-buah rumah. Tinggidari chuchoran atap-nya ka-tanah 20 kaki dan jarak di-antarakedua chuchoran atap itu 15 kaki. Buka sudut di-antara

atap dengan alang rumah itu 40°. Ukor berapa tinggi bumbongan rumah itu, serta chari berapa luas-nya hujong rumah

itu.

BAB VIII.

BULATAN.

SA-BARANG apa bahagian satu garisan lurus yang terpotongoleh liIitan sa-suatu bulatan itu di-namakan dia garisanrentas.

Dalam rajah di-bawah ini garisan-garisan AB dan CD ia-Iah

garisan rentas bagi bulatan ABCD itu.

o

Maka garisan CE yang melalui 0 pusat bulatan itu di

namakan dia garisan pusat.Jika di-amat-amati jalan melukiskan bulatan itu nyata-Iah

di-dapati daripada-nya, segala jari-jari sa-suatu bulatan itu

sama panjang-nya.

I.

Jalan M"enchari pusat sa-suatu hulatan.

Lukiskan satu bulatan.

Jalan menchari pusat-nya demikian :

Mula-mula buat satu garisan rerrtas AB. Chari tengah-nya,80

13ULATAN 81

dan namakan dia C. Di-C buat satu garisan tegak betul kapadaAB memotong lilitan bulatan itu di-E dan di-F.

F

Sa-telah itu bahagi dua garisan EF. Tempat garisan itu

terbahagi dua namakan O.

Titek 0 ini-Iah pusat bulatan yang di-kehendaki itu.

Perhatikan betul-betul rajah di-bawah ini. Ada pun

garisan AIBv A2B2 dan lain-lain-nya dalam rajah itu ia-lah

semua-nya garisan rentas. Garisan-garisan ini tegak betul

kapada garisan pusat EOF, serta ia-itu semua-uya terbahagidua betul oleh garisan itu: AICI = BICv A2C2 = B2C2, dansa-umpama-nya.

Dan lagi garisan-garisan rentas ini di-dapati makin c1ekat

ka-F sa-makin penc1ek. Akhir-nya bila sampai ka-F tiadaF

82 'ILMU GEOMETRY

dapat lagi di-Iukiskan garisan rentas itu. Yang dapat di

buat hanya-Iah satu garisan (_l juga kapada EF) yang ber

sentoh sahaja dengan bulatan itu. Maka garisan ini di

namakan garisan sentoh..Ia-itu satu garisan yang bertemu dengan lilitan bulatan itu,

tetapi tiada memotong akan dia,

Psr-ingatan. Garisan sentoh sa-suatu bulatan tegakbetul kapada jari-jari bulatan itu, ia-itu jari-jari yang di

lukiskan pada titek tempat bertemu garisan sentoh itu. Pada

chontoh yang di-atas tadi garisan sentoh GFH itu tegak betul

kapada jari-jari OF.

Sudut-sudut dalam sa-parch bulatan.

Lukiskan satu bulatan. Namakan dia AOBE, pusat-nya 0,dan garisan pusat-nya AOB.

Tandakan sa-barang titek 0 pada lilitan bulatan itu;kemudian hubongkan dia kapada titek A dan titek B. Jadi

lah rajah AOB itu sa-paroh bulatan dan sudut AOB itu ia-Iah

satu sudut dalam dalam sa-parch bulatan,

c D

Tandakan lagi sa-barang titek D dan E pada lilitan bulatanitu dan sambongkan dia kapada A dan B.

Ukor dengan penyelang lAOB, lADB, dan l�EB itu.Tentu-Iah di-dapati tiap-tiap sat') sudut yang tersebut itu

buka-nya 90°.

Per-ingatan, Segala sudut yang di-dalam sa-parch bulatanitu sama besar ; dan tiap-tiap satu sudut itu buka-nya 90°.

BULATAN

II.

Jalan melukiskan satu garisan sentoh kapada sa-

suatu hulatan, dari satu titek di-luar hulatan itu.Lukiskan satu bulatan BCD, pusat-nya O.

Tandakan satu titek A di-luar bulatan itu.

Sambongkan 0 dengan A kemudian bahagi dua betul AOitu di-titek E.

Lukiskan satu bulatan pusat-nya E dan jari-jari-nya EO

(atau EA). Tempat ia memotong bulatan yang mula-mula

tadi namakan G clan H.

Sambongkan A dengan G dan A dengan H.Jadi garisan AG dan AH itu-lah garisan sentoh kapada

bulatan BCD, ia-itu di-lukiskan dari A di-luar bulatan itu.

Sebab-nya ia-lah rajah AGO itu rajah sa-parch bulatan

jadi sudut AGO itu satu suc1ut tepat atau suc1ut 90°.

Maka oleh sebab itu garisan AG tegak betul kapac1a jarijari OG. Jadi AG itu ia-lah garisan sentoh bulatan itu di

titck G.

III.

Jalan melukiskan satu hulatan 3 inchi huka-nyamelalui dua titek A dan B; jarak di-antara dua titekitu 2 inchi.

Tandakan satu pusat A, buat satu bulatan, buka-nya 3

inchi.

84 'ILMU GEOMETRY

Kemudian tandakan satu pusat B pula (jauh-nya 2 inchi

dari A) dan buat lagi satu bulatan buka-nya 3 inchi jugamemotong bulatan yang mula-mula tadi di-C dan di-D.

Jika di-lukiskan satu bulatan pusat-nya C dan buka-nyaCA panjang 3 inchi nesohaya di-dapati bulatan itu melaluikedua-dua titek A dan B.

Demikian juga kelak di-dapati jika di-lukiskan satu bulatan

pusat-nya D pula, dan buka-nya 3 inchi juga.

IV.

Jalan melukiskan satu rajah enarn persegi sama.Mula-mula lukiskan satu bulatan dan tandakan satu titek

A pada lilitan-nya.Kemudian letakkan jarum jangka di-titek A itu buka-nya

saperti jari-jari bulatan tadi dan goriskan dua garisan sa-belah

menyebelah titek A pada lilitan bulatan itu. Namakan dia

B dan C. Lepas itu letakkan jarum jangka di-titek B pula,buka-nya macham tacli juga, dan goriskan lagi satu garisan

A

pada lilitan bulatan itu. Namakan ilia D pula. Demikianlah di-perbuat sampai habis berkeliling bulatan itu. Sa-telah

itu sambongkan A dengan B, B dengan D dan sa-umpamanya.

nULATAN 85

Maka rajah ABDEFC yang di-dapati itu ia-lah rajah enam

persegi sama yang di-kehendaki itu.

Jika di-ukor segala sudut dalam rajah itu neschaya di

dapati tiap-tiap satu buka-nya 1200•

V.

Jalan menchar-i berapa buka-nya sudut-sudut

dalarn rajah lima persegi sarna.Mithal-nya rajah ABCDE di-bawah ini satu rajah lima

persegi sama, Hendak menchari berapa buka satu-satu sudut

dalam rajah itu. Sambongkan A dengan C dan A dengan D.

Jadi rajah ABCDE itu terbahagi kapada tiga buah rajah tigapersegi, ia-itu ,0,EAD, ,0,DAC dan ,0,CAB.

Ketahui-lah bahawa segala sudut dalam satu-satu rajahtiga persegi itu jumlah buka-nya ia-lah 1800 (ia-itu dua sudut

tepat).Oleh sebab itu semua sudut dalam ketiga-tiga 6 itu jumlah

buka-nya ia-lah 3 X 1800 = 5400 (ia-itu enam sudut tepat).Akan tetapi segala suclut-sudut dalam rajah-rajah tiga

persegi itu jumlah buka-nya sama dengan lima suclut rajahABCDE itu.

D

A B

Maka kelima-lima. sudut dalam rajah ABCDE itu buka-nyasama besar. Jumlah buka kelima-Iima-nya 5400• Oleh sebab

itu tiap-tiap satu sudut itu buka-nya 5�Q" = 1080•

Lukiskan satu bulatan pusat-nya 0 clan jari-jari-nya 2 inchi

86 ILMU GEOMETRY

panjang. Kemudian lukiskan tiga garisan rentas AB, BC, CD,sarna panjang-nya. Sambongkan OA, OB, 00, OD. Ukor

berapa buka-nya lAOB, lBOC, lCOD. Apa-kah yang di

dapati ?

Dalarn sa-suatu bulatan garisan-garisan rentas

yang sarna panjang jika di-sarnbongkan hujonghujong-nya ka-pusat bulatan itu, di-dapati sudut

sudut yang bertentang dengan dia di-pusat itu sarna

buka-nya.Rajah yang tersebut di-bawah ini di-lukiskan betul-betul

dalarn sa-suatu bulatan, ia-itu segala sempadan-nya menjadigarisan rentas :

(i) Rajah lima persegi sarna sudut sama.(ii) Rajah enarn persegi sama suelut sarna.

(iii) Rajah tujoh persegi sama suelut sama.

(iv) Rajah delapan persegi sama suelut sania.

Chari berapa buka suelut di-pusat bulatan itu, ia-itu suclut

yang bertentang dengan sempaelan satu-satu rajah itu.Buat satu bulatan jari-jari-nya 3 inchi. Kemudian eli

dalam-nya lukiskan (i) Satu rajah lima persegi sama suelut sama.(ii) Satu rajah delapan persegi sama sudut

sama.

VI.

Jalan melukiskan satu bulatan bersentoh dengandua garisan yang ber-silang.

Lukiskan elua garisan AB dan CD bersilang eli-O. Satelah itu buat satu garisan yang membahagi elua betul [AOO, elannamakan dia OP. Dari P, ia-itu sa-barang titek pada garisanitu, lukiskan satu garisan tegak betul kapada OC; namakan

garisan ini PN.

BULATAN 87

Jadikan P itu pusat dan lukiskan satu bulatan, buka-nyaPN.

c

Bulatan ini akan 'di-dapati bersentoh dengan garisan OA,00, ia-itu-lah garisan AB dan CD.

VII.

Jalan melukiskan satu garisan bersentoh dengandua bulatan.

Ia-itu ada dua jalan :

(i) Mithal-nya, tandakan dua titek A dan B; jarak di

antara-nya 3 inchi. Jadikan A itu pusat, lukiskan satu bulatan

huka-nya 1·8 inchi. Jadikan B itu pusat Iukiskan lagi satubulatan buka-nya 1 inchi.

D

Kemudian di-pusat A itu lukiskan satu lagi bulatan, bukanya·8 inchi (ia-itu bedza di-antara buka dua bulatan yangmulamula tadi]. Dari pusat B itu buat satu garisan sentoh kapadabulatan yang ketiga ini ; namakan dia BO.

Sambongkan A dengan C dan panjangkan garisan AO ini

sampai bertemu ia dengan lilitan bulatan yang di-sabelah luar.

'l'cmpat ia bertemu itu namakan D.

88 'ILMU GEOMETRY

Di-pusat B buat satu garisan BE sa-lari dengan garisanACD tadi, clan bertemu dengan lilitan bulatan itu di-E.

Sambongkan D dengan E. Maka garisan DE ini akan di

clapati bersentoh dengan c1ua bulatan yang mula-mula tacli.

Ia-ini-lah garisan sentoh yang di-kehendaki itu.

So'al. lACB = 90°. Apa sebab-nyajApa sebab-nya rajah DCBE itu empat persegibujor?

Apa sebab-nya garisan DE itu sa-lari c1engan BC 1

(ii) Mithal-nya, mula-mula buat dna bulatan saperti tadijuga.

Kemudian di-pusat A Iukiskan satu lagi bulatan buka-nya2·8 inchi (ia-itu jumlah buka kedua bulatan yang mula-mula

itu tacli).Dari pusat B lukiskan satu garisan sentoh BC kapada

bulatan ini. Sambongkan A dengan C. Tempat garisan AC

mernotong lilitan bulatan yang 1·8 buka-nya itu namakan D.

Dari pusat B buat satu garisan BE sa-lari dengan CDdan (mengikut arah CD) memotong lilitan bulatan itu di-E.

Sambongkan D dengan E. Garisan DE ini-lah garisan sentoh

yang di-kehendaki itu.

BULATAN 89

So'al Rampai-rampaian. A.1. Buat dua bulatan: satu pusat-nya A, dan buka-nya 2

inchi, satu lagi pusat-nya B dan buka-nya 1 inchi. Jarak di

antara dua pusat, A dan B, ini 3 inchi. Sa-telah itu lukiskan

satu garisan sentoh yang bersentoh dengan kedua bulatan itu

dan memotong garisan AB yang di-panjangkan. Berapagarisan sentoh boleh di-lukiskan ia-itu tiap-tiap satu-nyabersentoh dengan kedua-dua bulatan ini.

2. Tandakan dua titek A dan B, jarak di-antara-nya 3

inchi. Jadikan A itu pusat, dan dengan jari-jari 1·4 inchi

lukiskan satu bulatan. Kemudian jadikan B itu pula pusatdan dengan jari-jari 0·7 inchi lukiskan lagi satu bulatan.

Sambongkan A dengan B. Buat satu garisan sentoh yangbersentoh dengan kedua-dua bulatan itu clan memotong AB itu.

3. Buat satu bulatan buka-nya 2 inchi. Kemudian

tandakan satu titek jauh-nya 4 inchi dari pusat bulatan itu.

Dari titek itu lukiskan garisan-garisan sentoh pacla bulatan

itu. Ukor panjang-nya garisan-garisan ini dengan di-kira

kapada perpulohan inchi yang hampir sa-kali. Agakkanpanjang-nya dengan di-kira sampai kapada dua number

perpulohan inchi yang hampir sa-kali,4. Buat satu rajah tiga persegi sama, panjang sempadan-nya

5 em.

(i) Lukiskan satu bulatan bersentoh dengan sempadan ABdan BC pada arah ka-sabelah dalam rajah tiga persegi itu.

(ii) Demikian juga lukiskan satu bulatan bersentoh dengansempadan BC dan CA pula.

(iii) Lukiskan satu bulatan bersentoh dengan ketigasempadan bulatan itu.

5. Satu garisan ABC bersentoh dengan satu bulatan eli-B.Macham mana dudok-nya pusat bulatan itu.

6. Buat satu bulatan buka-nya 1·4 inchi bersentoh dengansatu garisan ABC eli-B.

90 'ILMU GEOMETRY

7. Buat satu bulatan, Kemudian di-luar-nya buat satu

bulatan lagi yang bCrsentoh dengan dia. Sambongkan pusatkedua-nya., Apa-kah yang nampak jadi pada rajah itu 1

8. Buat satu bulatan. Di-dalam-nya buat lagi satu

bulatan yang bersentoh dengan dia. Sambongkan pusat keduadua-nya. Panjangkan garisan inimernotong kedua bulatan itu.Apa-kah yang kelihatan pada rajah itu 1

9. Dalam satu bulatan lukiskan dua garisan pusat yangbersilang di-sudut tepat, Sambongkan segala hujong-nya.Vkor panjang semparian-sempadan-nya, dan buka sudut

sudut-nya rajah empat persegi yang terjadi itu.10. Tandakan dua titek A dan B. Jarak di-antara-nya

3·5 inchi. Jadikan A pusat dan dengan jari-jari panjang 1·5

inchi lukiskan satu bulatan. Kemudian jadikan B pula pusatdan dengan jari-jari panjang 3 inchi lukiskan lagi satu bulatan

rnemotong bulatan yang mula-mula tadi di-C dan D. Ukor

panjang-nya garisan rentas CD itu.

Suatu jalan melukiskan garisan sentoh yang biksentoh dengan dua hulatan, ia-itu dengan tiada menggunakan jari-jari bulatan.

Lukiskan garisan pusat kedua-dua bulatan itu sa-lari.

o

Sambongkan hujong-nya. Panjangkan garisan penyambongitu sampai kedua-nya bertemu di-O (lihat Rajah).

Jika dari titek 0 ini di-lukiskan garisan sentoh kapada satu

BULATAN 91

bulatan itu neschaya di-dapati garisan ini bersentoh jugadengan bulatan yang satu lagi itu.

Dua garisan sentoh boleh di-Iukiskan dari 0 bertemu

dengan kedua-dua bulatan itu.

Lagi dua garisan sentoh boleh juga di-lnkiskan bersentoh

dengan dua bulatan itu tiap-tiap satu-nya, ia-itu melalui O.

Titek 0 ini di-dapati bila di-sambongkan hujong dua garisanpusat itu melintang ; mithal-nya di-dalam rajah itu A di

sambongkan dengan D, dan C di-sambongkan dengan B.

So'al Rampai-rampaian B.

1. Lukiskan satu rajah tiga persegi, semua suclut di-dalam

nya sudut kechil ya'ani kurang daripada 90°. Kemudian

bahagi elua betul BC di-D, elan AC eli-E. Lukiskan satu

garisan DO tegak betul kapada BC, dan EO tegak betul kapadaAC bertemu dengan DO eli-O. Sambongkan 0 dengan A, 0dengan B, dan 0 dengan C. Ukor panjang-nya ketiga garisanini. Jika rajah itu di-lukiskan betul-betul neschaya di-dapatiketiga-tiga garisan ini sama panjang-nya.

Per-ingatan. Di-atas itu menyatakan suatu jalan melu

kiskan bulatan melalut tiga titek yang tetap ; atau bulatan

mel�lul tiap-tiap penjuru satu rajah tiga persegi,2. Buat saperti so'al yang di-atas tacli juga, tetapi sudut

ACB elalam rajah tiga persegi ABC itu sudut besar ya'anilebeh 90° buka-nya·.

3. Buat saperti itu juga, tetapi sudut ACB suc1ut tepat.Perhatikan rajah itu. Chari jalan yang terlebeh senang

lagi membuat bulatan itu.4. Buat satu rajah tiga persegi ABC, elan bahagi elua betul

sudut A dan sudut B dengan garisan-garisan lurus yang bertemudi-O. Lukiskan OD, OE elan OF tegak betul kapada sempadansempadan rajah tiga persegi itu dan ukor panjang-nya garisangarisan ini. Jika rajah itu di-lukiskan betul-betul neschayadi-dapati ketiga garisan ini sama panjang-nya. Jadikan

o itu pusat dan dengan jari-jari OD lukiskan satu bulatan.

92 'ILMU GEOMETRY

Bulatan ini akan di-dapati bersentoh dengan sempadan-sempadan rajah tiga persegi itu.

Per-ingatan, Di-atas itu suatu jalan melukiskan dalam

rajah tiga persegi satu bulatan yang bersentoh dengan sempadan-sempadan rajah itu.

5. Buat satu rajah tiga persegi ABC. Panjangkan sempadan AB sampai ka-D dan AC Im-E. Bahagi dua betul sudut

sudut CBD, BCE dengan garisan-garisan lurus. Tempat keduagarisan ini bertemu namakan O. Dari 0 lukiskan garisangarisan tegak betul kapada ketiga sempadan rajah tiga persegiitu, dan ukor berapa panjang-nya. Jika rajah itu di-lukiskan

betul-betul neschaya di-dapati ketiga-tiga garisan tegak betul

yang di-lukiskan ini sama panjang-nya.Per-ingatan, Ini-lah suatu jalan melukiskan bulatan

yang bersentoh dengan satu sempadan rajah tiga persegi dandengan dua lagi sempadan rajah itu yang telah di-panjangkan.

6. Lukiskan satu bulatan buka-nya 1·5 inehi. Tandakan

satu titek 4 inehi jauh-nya dari pusat bulatan itu. Dari titek

ini buatkan satu garisan sentoh kapada bulatan itu. Ukor

berapa panjang garisan sentoh ini.

7. Pada satu pusat lukiskan dua bulatan, satu buka-nya1·3 inehi, dan satu lagi 2 inehi. Lukiskan sa-barang tiga jarijari dalam rajah yang kechil itu. Pada hujong tiap-tiap jarijari ini lukiskan garisan sentoh. Ukor panjang-nya garisanrentas yang terjadi dalam bulatan yang besar itu. Apa di

dapati t8. Buat satu sudut BAC, buka-nya 60°. Bahagi dua sudut

ini dengan garisan AD.Tandakan satu pusat D (sa-barang titek dalam garisan D

itu). Di-pusat ini lukiskan satu bulatan bersentoh denganAB dan AC. Ukor berapa panjang jari-jari-nya, ia-itu DE.

Demikian juga ukor berapa panjang AD, dan chari jawab-V

h h DE'tnya pee a anDA

1 u.

BAB IX.

MELIPAT KERTAS.

1. JaZan membuat satu sudnu. tepat (sudut 90°) denganmeZipat kerias.

Ambil sa-keping kertas lipatkan baik-baik. Kesan lipatanE

A

F

itu namakan ABC. Lepas itu lipatkan lagi kertas itu betu].betul supaya BC terletak bertindeh di-atas BA. Kesan

lipatan yang kedua ini namakan EBF. Buka lipatan itu.

Vkor buka-nya sudut-sndut EBA, EBC, FBA, dan FBC.

'I'entu-Iah di-dapati segala sudut itu sudut tepat atau sudut900•

2. Jalan membuat. suclut 45°.Mula-mula buat satu sudut 90°. Lepas itu lipat kertas

itu baik-baik supaya CA terletak bertindeh di-atas CB. Kesan

A /,D,

,,

,,

,,

,

,,

c B

lipatan itu namakan CD. Tentu-lah di-dapati lDCB =lDCA = � sudut tepat = 45°.

Apa sebab lDCB = lDCA �93

94 'ILMU GEOMETRY

3. Jalan membahagi dua betul suaiu. sudut, ia-iiu. dengan'\

di-lipatkan dia.

B tot c

A

Lukiskan satu sudut BAC pada sa-keping kertas. Pan-,jangkan sempadan-sempadan sudut itu, AB, AC, sampai ka- .

tepi kertas itu. Kemudian lipatkan kertas itu betul-betul

supayl1. AB terletak bertindeh di-atas AC.

Kesan lipatan kertas itu namakan AD. Garisan AD

ini-lah membahagi dua betul sudut BAC itu.

Kertas ini mudah melipatkan-nya betul-betul,: jika titek

A itu di-lubangkan dengan jarum supaya senang nampakdari luar.

4. Jalan membua: garisan sa-lari denqam. melipatlcan kertae.

F E

A B c D

Buat garisan lurus ABCD di-atas sa-keping kertas. Lipatkan kertas itu baik-baik di-C supaya DC terletak bertindeh di

atas CB. Kesan lipatan itu namakan CEo Demikian jugalipatkan kertas itu di-B supaya DB terletak bertindeh betul

betul di-atas BA; dan kesan lipatan itu namakan BF pula.'I'entu-lah di-dapati garisan CE itu sa-lari dengan BF, s�bab

kedua-dua-nya tegak betul kapada garisan lurus ABCD itu.

So'al Rampai-rampaian.1. Lukiskan satu garisan lurus AB di-atas sa-keping

kertas, 'I'andakan satu titek C di-luar garisan itu. Buat satu

MELIPAT lcERTAS 95

garisan melalui titek C ini serta tegak betul kapada garisanAB itu, ia-itu dengan melipatkan kertas itu baik-baik.

2. Ambil sa-keping kertas, Chuba-lah buat satu rajahempat persegi bujor dengan melipatkan kertas itu. Tandakan

penjuru-penjuru rajah itu.3. Ambil sa-keping kerfas, Buat satu rajah empat persegi

sa-lari dengan melipatkan kertas itu. Tandakan segalapenjuru rajah itu.

4. Garisan pusat sa-suatu bulatan membahagi dua betul

garisan rentas bulatan itu jika ia tegak betul kapada-nya.Chuba-lah terangkan perkataan ini dengan di-lukiskan

rajah itu di-atas kertas dan lipatkan dia betul-betul,

5. Ambil sa-keping kertas. Buat satu rajah empat persegitepat, ia-itu dengan melipatkan kertas itu.

BAB X

SO'AL-SO'AL PEPEREKSAAN DUGA.

r.

1. LUKISKAN satu garisan lurus 6 inehi panjang-nya.Kemudian ukor berapa centimetre pula panjang-nya, serta

kirakan berapa centimetre satu inehi.2. Lukiskan satu rajah tiga persegi bersudut tepat. Pan

jang sernpadan-nya yang bertentang dengan sudut tepat itu84 mm., dan buka satu daripada sudut-nya yang lain-lain

itu 42°. Ukor berapa panjang sempadan-nya yang lagi duaitu.

3. Buat satu rajah empat persegi sa-lari; rupa-nya demi

kian : AB = 6·4 em., BC = 5·5 em., dan sudut ABC = 51°.

Chari berapa luas-nya rajah itu.

4. Satu tangga panjang-nya 38 kaki tersandar pada suatu

ternbok yang tinggi 34 kaki, hujong-nya betul-betul bertemu

dengan hujong tembok itu sa-belah atas, Chari berapa buka

sudut atas itu, dan berapa jarak-nya di-antara kaki tanggadengan kaki tembok itu.

5. Sa-ekor lembu tertambat kapada sa-batang pokok kayu ;

panjang tali-nya 38 kaki, Dekat pokok kayu itu ada suatu

pagar lurus; jauh-nya dari pokok kayu itu 25 kaki.. Berapapanjang-nya pagar itu yang boleh di-sampai oleh lembu itu?

II.

1. Buat satu garisan panjang-nya 14 em.; kemudian ukor

berapa inchi pula panjang-nya. Lepas itu kirakan 1 inehi

berapa centimetre?96

SO'AL-SO'AL PEPEREKSAAN DUGA 97

2. Lukiskan satu rajah tiga persegi di-atas satu tapak AB :

panjang-nya tapak ini 2·4 inehi. Rupa rajah tiga persegi itudemikian : lCAB = 65°,' leBA = 43°. Ukor berapa pan

jang sempadan CA dan CB.3. Sa-orang mengukor sa-buah padang tiga persegi di

dapati-nya panjang sempadan-sempadan itu 48 ela, 64 ela, dan80 ela. Chari berapa Iuas-nya padang itu. Lukiskan pelannya.

4. Lukiskan satu rajah 8 persegi sama dalam satu bulatan

yang 2 inehi panjang jari-jari-nya.5. Buat satu rajah tiga pcrsegi ABC: AB = 3·5 inehi,

BC = 2·8 inehi, dan IABC = 58°. Sa-telah itu lukiskanL�_

satu garisan CD tegak betul kapada AB eli-D. Ukor berapapanjang garisan ini.

III.

1. Lukiskan satu sudut buka-nya 30°. Kemudian ujidengan penyilang betul-kah atau tidak suc1ut itu.

2. Lukiskan satu rajah empat persegi tepat pac1a garisanlurus (tapak) yang panjang 5·4 em. Sa-telah itu ukor berapapanjang garisan serong rajah itu.

3. Satu rajah empat persegi bujor Iuas-nya 864 em. persegi.Satu sempadan-nya. 38 em. panjang c1aripada sempadan yanglain. Chari berapa panjang sempadan-sempadan rajah itu.

4. Lukiskan satu rajah lima persegi sama dalam bulatan

yang 1·6 inehi panjang jari-jari-nya.5. Buat satu bulatan, panjang jari-jari-nya 1·8 inehi.

Di-dalam-nya lukiskan satu rajah tiga persegi sama. Ukor

berapa panjang sempadan rajah itu.

IV.

1. Buat satu suc1ut 45, ia-itu dengan melipatkan kertas,2. Lukiskan satu rajah tiga persegi pada kertas petakG

98 'ILMU GEOMETRY

petak panjang sempadan-nya 2·8 inchi, 3·0 inchi, dan 2·3 inchi.Chari berapa luas rajah itu.

3. Lukiskan satu rajah empat persegi tepat, panjangsempadan-nya 3 inchi. Buatkan satu garisan serong-nya. Di

kiri kanan garisan serong ini sa-jauh 1 inchi daripada-nyalukiskan dua garisan sa-lari dengan dia. Chari berapa luas

nya tiap-tiap satu bahagian rajah itu yang terbahagi oleh dua

garisan sa-lari ini.

4. Ada sa-batang galah terchachak tegak betul di-tengahpadang. Apabila matahari tinggi 30°, di-dapati bayangbayang galah itu panjang-nya 35 kaki. Chari berapa panjanggalah itu.

5. Buat satu rajah 10 persegi sama di-dalam satu bulatan

yang 1·8 inchi panjang jari-jari-nya.

V.

1. Sa-buah padang empat persegi bujor panjang-nya 30 ela

dan lebar-nya 20 ela. Lukiskan pelan padang itu serta chari

berapa panjang garisan serong-nya. Pakai ukoran satu inchi

sama dengan 10 kaki,

2. Buat satu rajah tiga persegi rupa-nya demikian : AB =

2·5 inchi, BC = 2·7 inehi, dan CA = 3·2 inchi. Bahagi duabetul sudut CAB dengan garisan AD yang bertemu dengan BCdi-D. Ukor berapa panjang BD dan CD.

3. Chari berapa luas satu rajah tiga persegi sama yang 7·4

em. panjang sempadan-nya.4. Sa-orang budak tinggi 5 kaki berdiri sa-jauh 6 kaki

daripada sa-buah lampu [alan raya. Bayang-bayang budakitu di-dapati panjang-nya 7 kaki, Chari berapa tinggi-nyalampu itu.

5. AB satu garisan lurus panjang-nya 2·7 inchi, dan ia-itu

bersentoh dengan lilitan satu bulatan di-titek B. Bulatan ini

panjang [ari-jari-nya 1·5 inehi. Chari berapa jauh dari pusatbulatan itu ka-titek A.

SO'AL SO'AL PEPEREKSAAN nUGA 99

VI.

l. Buat dua garisan sa-lari, jarak di-antara-nya 2 inehi.

Kemudian buat lagi satu garisan panjang-nya 3·8 inehi dan

kedua-dua hujong-nya terletak di-atas dua garisan sa-lari itu.

2. Sa-buah padang tennis panjang-nya 35 ela dan luas-nya1785 ela persegi. Lukiskan pelan padang itu. Palmi ukoran

1 inehi sama dengan 10 ela.

3. Satu rajah empat persegi rupa-nya demikian : AB = 5·7

em., BC = 4·5 em., CD = 5·6 em" AD = 10 em. dan BD = 7

em. Chari berapa Iuas-nya,4. Buat satu bulatan, panjang jari-jari-nya 2·4 inehi. Di

dalam-nya lukiskan satu rajah empat persegi bujor panjangsa-pasang sempadan-nya 2 inehi.

5. Lukiskan satu rajah tiga persegi di-atas satu tapak AB,panjang-nya 3·6 inchi dan tinggi rajah itu 1·4 inehi. Ukor

berapa buka sudut-sudut di-hujong tapak rajah. Dan Iukiskan

satu rajah empat persegi bujor yang luas dua kali rajah tigapersegi itu.

VII.

l. Sa-orang menonggang bicycle menuju 21 batu lea-timor,kemudian 18 batu ka-utara, lepas itu terus balek ka-tempatnya mula-mula tadi. Buatkan pelan perjalanan-nya ini padakertaa petak-petak, Pakai ukoran I inchi sama dengan 10

batu. Chari betul-betul berapa jauh-nya ia telah berjalan itu.2. Lukiskan satu rajah tiga persegi ABC, rupa-nya demi

kian : AB = 3·1 inchi, AC = 1·6 inehi, dan sudut ABC = 28°.

Rajah itu ada dua macham rupa-nya.3. Lukiskan satu rajah empat persegi tepat panjang sempa

dan-nya 2 inchi. Pada sempadan rajah itu lukiskan satu

rajah tiga persegi dua sarna yang sama luas-nya dengan rajahempat persegi tepat itu.

4. Lukiskan satu bulatan panjang jari-jari-nya 2'3 inchi.

100 'ILMU GEOMETRY

Kemudian tandakan satu titek di-luar bulatan itu; jauh-nyadari pusat bulatan itu 4·6 inehi. Dari situ lukiskan garisangarisan sentoh pada bulatan itu, serta ukor berapa panjang-nya.

5. Ada satu jalan raya Iebar-nya 20 kaki, Di-sabelah kiri

nya ada sa-batang tiang telegraph, panjang-nya 30 kaki. Di

sabelah kanan-nya pula ada satu tembok tinggi-nya 10 kaki.

Jika tiang telegraph itu rebah betul-betul tersandar di-atastembok di-seberang [alan itu, berapa panjang bahagian-nyayang tersorong di-atas tembok itu �

VIII.

1. Satu garisan lurus AB panjang-nya 4·7 em. Pada sa

belah menyebelah garisan itu buat dua rajah tiga persegi samaABC, ABD. Ukor berapa panjang CD.

2. Sa-buah bandar A dudok-nya 23 batu arah ka-selatandad bandar B dan 16 batu arah ka-timor daripada bandar

C pula. Chari berapa jauh-nya dari bandar B ka-bandar C.

Pakai ukoran I inehi sama dengan 10 batu.

3. Lukiskan satu rajah empat persegi tepat, Iuas-nya 2

inehi persegi,4. Buat satu rajah tiga persegi ABC sama panjang sempa

dan-nya 3 inchi. Bahagi dua betul sempadan AB di-D dan

AC di-E. Sambongkan D dengan E. Sekarang di-dapatisatu rajah BDEC. Lukiskan satu rajah tiga persegi sama luas

dengan dia di-tapak itu juga.5. Lukiskan satu rajah tiga persegi di-atas tapak AB,

sudut CAB = 50°, sudut CBA = 42°. Chari berapa tinggi-nyarajah itu.

IX.

1. Lukiskan satu rajah tiga persegi, panjang sempadan-nyaia-lah 4·9 em., 6·3 em., dan 7·2 em. Ukor berapa buka sudut

yang besar sa-kali di-dalam rajah itu.


2. Buat satu sudut buka-nya 22io ia-itu dengan menggunakan pembaris dan jangka sahaja (jangan palmi penyilang).Tandakan jalan membuat-nya,

3. Lukiskan satu rajah tiga persegi ABC, sudut ABC = 46°,sudut BCA = 86°, dan AB = 3·4 inchi. Ukor berapa panjangBC dan CA.

4,. Ada satu rajah empat persegi sa-lari panjang garisangarisan serong-nya 55 mm. dan 64 mm.; dan satu daripadasempadan-nya 43 mm. panjang. Lukiskan rajah itu. (Ingat:tiap-tiap garisan serong rajah empat persegi sa-lari terbahagidua betul oleh yang lain-nyu di-tempat ia bersilang itu.)

5. Buat satu rajah tiga persegi ABC bersudut tepat di-B.AB panjang-nya 3·2 inchi clan sudut CAB = 38°. Ukor

berapa panjang BC.

X.

l. Lukiskan satu rajah tiga persegi dua sama pada satu

tapak yang panjang 1·8 inchi. Tinggi rajah itu 1·8 inchi.

Ukor berapa panjang kedua sempadan-nya yang sama itu.

2. Buat satu garisan lurus panjang-nya 10 cm. Bahagikanclia Impada tiga bahagian betul,

3. Buat satu bulatan panjang jari-jari-nya 2·4 inchi. Di

dalam-nya lukiskan satu rajah empat persegi rupa-nya derni

kian : AB = 2·2 inchi , BC = 3·8 inchi, CD = 3 inchi. Chari

berapa luas-nya rajah itu. (Tiap-tiap penjuru rajah itu

terletak di-atas lilitan bulatan itu.)4. Sa-orang berdiri jauh-nya 40 ela daripada suatu tembok.

Tinggi dari mata-nya ka-tanah 5 kaki. Di-dapati-nya buka

sudut di-antara garisan mata-nya (sa-Iari dengan tanah)dengan garisan clari mata-nya ka-kemunchak tembok itu 38°.

Chari berapa tinggi tembok itu.5. Buat satu rajah empat persegi tepat, panjang sempadan

I�ya 3 inchi. Kemudian Iukiskan satu rajah delapan persegi-dalam-nya, dan empat daripada sempadan rajah ini

102 'ILMU GEOMETRY

hendak-lah terletak pada sempadan-sempadan rajah empatpersegi tepat itu.

XI.

1. Buat satu sudut buka-nya 45°, ia-itu dengan memakai

kayu pembaris dan jangka sahaja (jangan pakai penyilang).Nyatakan macham mana jalan membuat-nya.

2. Buat satu garisan panjang-nya 4·8 inchi; kemudian

bahagikan dia kapada 5 bahagian yang sama panjang.3. Buat satu sudut ABO buka-nya 64°, dan BO panjang-nya

3 inchi. Di-O buat satu garisan CD 2 inchi. panjang-nya dan

sudut BOD buka-nya 55°. Tandakan satu titek E padagarisan AB dan titek F pada garisan BC supaya. di-dapatigarisan EF betul-betul sama panjang dan sa-lari dengan DO.

4. Ada sa-buah padang tiga persegi ABO. Sa-orang berdiridi-penjuru 0 di-dapati-nya buka. sudut C itu 58°. Kemudiania berjalan pada gempadan CB mengarah ka-B, Apabilasampai ka-suatu tempat 0 ia-itu 150 kaki dari C di-dapati-nyabuka sudut AOB itu llO°. Chari berapa jauh dari A ka-C,

XII.I

1. Pada satu tapak AB panjang-nya 3·6 inchi lukiskansatu rajah tiga persegi ABO. Bahagi dua betul OA di-D dan

OB di-E. Ukor berapa panjang DE.

2. Buat satu bulatan ABO panjang jari-jari-nya 2 inchi.

Di-dalam-nya lukiskan satu rajah tiga persegi ABC rupa-nyademikian AB = 2·4 inchi, dan BO = 3·2 inchi. (Segalapenjuru rajah ini hendak-lah terletak di-atas lilitan bulatan

itu.)3. Lukiskan satu rajah tiga persegi ABO: AB = 7·4 em.,

BC = 6·7 em., dan CA = 8·6 em. Bahagikan rajah ini kapadatiga rajah tiga persegi yang sama luas-nya; tiap-tiap satu

kemunchak-nya di-B.


4. Lukiskan satu rajah empat persegi tepat dalam satu

bulatan yang 2·4 inchi panjang jari-jari-nya. (Segala penjururajah itu hendak-lah terletak di-atas lilitan bulatan itu.) Chari


5. Lukiskan satu rajah tiga persegi ABC bersudut tepat·di

B. Panjang AB 2·6 inchi dan BC 3·8 inchi. Bahagi dua

betul Be di-D. Chari berapa luas ,0,ACD, dan ukor panjangsempadan AC itu.

BAB XI.

MASAALAH 1.

Jika satu garisan lurue bertemu dengan lain garisan lurus,kedua-dua sudut yang di-sa-belah. menyebelah garisan yang

pertama itu jumlah-nya sama dengan dua sudut tepa: (180°).

EA

o B c

Mithal-nya, dalam rajah di-atas itu DC satu garisan lurus

dan satu garisan lurus yang lain bertemu dengan dia di-B.

Di-kehendaki menunjokkan jumlah kedua-dua sudut DBA,ABC itu sama dengan dua sudut tepat (atau 180°).

Di-titek B buat satu garisan BE tegak betul kapada garisanDC itu.

Jalan-nya, pusingkan garisan bB itu di-titek B (ia-itutitek B itu tetap tiada bergerak) mengikut jalan yang di-tun

jokkan dengan jarum penunjok dalam rajah itu sampai iabertindeh dengan garisan BC.

Dengan yang dernikian garisan BD itu telah berpusingmelalui betul-betul dna sudut tepat, ia-itu lDBE dan lEBC.

Demikian juga nyata-lah ia telah berpusing betul-betulmelalm kedua-dua sudut DBA dan ABC itu.

Oleh sebab itu lDBA + lABC = lDBE + IEBe= sudut tepat.

104

MASAALAH 105

So'al Rampaian bagi Masaalah 1.

1. ABC satu garisan lurus. Satu garisan lain BD hertemu

dengan dia di-B dan sudut CBD buka-nya 70°. Berapa buka

sudut ABD �

2. Dua garisan lurus AC dan DE bersilang di-B, Jika

satu daripada sudut-sudut di-antara dua garisan itu sudut

tepat, chuba-lah terangkan ketiga-tiga sudut yang lain itu

pun sudut tepat juga.3. Ada satu garisan lurus ABC. Dari titek B pada garisan

itu lukiskan dua garisan BH dan BK, kedua-dua-nya di

sabelah atas garisan ABC itu, dan suelut HBK yang terjadi itubuatkan sudut tepat. Chari berapa jumlah kedua-dua suelut

kechil di-titek B itu.

4. Dalam satu rajah tiga persegi jika sudut-sudut yang

di-tapak-nya itu sama besar, apabila di-panjangkan tapak itukedna-dua sudut yang di-sabelah luar rajah tiga persegi itupun sama besar juga. Terangkan hal ini.

5. Dua suelut ABD, DBC terletak pada sa-belah satu

garisan lurus ABC. Terangkan: Garisan yang mernbahagi duabetul satu daripada sudut itu tegak betul kapada lain garisanyang membahagi dua betul sudut yang lain itu.

6. Satu rajah tiga persegi ABC, jika di-panjangkan sempadan AB, BC, dan CA itu, di-dapati ketiga sudut yang di-Iuar

dan ketiga sudut yang di-dalam rajah itu jumlah semua-nyaenam sudut tepat (540°). 'I'erangkan hal ini.

7. Ada satu rajah tiga persegi ABC, ketiga sudut di-dalam

nya sama besar. Jika di-panjangkan sempadan AB, BC, elanCA itu neschaya di-dapati ketiga suelut yang di-sabelah luar

rajah itu sama besar juga. Terangkan hal ini.

MASAALAR 2.

Ada satu titele pada soi« qarisan. lUT1lS. Dua qarisan. laindari sa-belah. rnenyebelah qarisan. yang per-tama itu beTte1JW di-

106 'ILMU GEOMETRY

titek itu. Ji1ca kednui-dnia sudu: yang terletalc di-antara dua

garisan yang bertemn: 'ini denqam. garisan yang pertama itu

jumlah-nya dna sudut tepat, kedua garisan yang bertemu ini

jadi saiu. garisan lurus.

E

c B D

Mithal-nya B itu satu titek pada satu garisan lurus AB.

CB dan DB dua garisan lurus dari sa-belah menyebelah titekB itu bertemu di-B menjadikan sudut-sudut CBA, DBA itu

jumlah-nya dua sudut tepat (180°).Hendak menerangkan garisan CB dan BD itu jadi satu

garisan lurus.

Jalan-nya: Jikalau BD tidak sa-baris dengan CB (menjadisatu garisan lurus) panjangkan-lah CB sampai ka-E supaya di

dapati BE sa-garisan dengan CB.

Oleh sebab CBE satu garisan lurus jadi

lCB� + lEBA = 2 sudut tepat.Akan tetapi tadi telah di-sebutkan

lCBA + lDBA = 2 sudut tepat.. . lEBA = lDBA.

Jadi BE sama dengan BD.Akan tetapi garisan CBE itu telah di-buatkan satu garisan

lurus;CB dan BD menjadi satu garisan lurus.


1. Satu sudut ABC buka-nya 35°. Berapa darjah-kahbuka sudut CBD supaya AB dan BD menjadi satu garisanlurus j

2. Ada tiga sudut AOB, BOC, COD; buka-nya masing-

MASAALAH 107

rnasing ia-lah 40°, 60° dan 800• Apa-kah yang di-ketahui fasal

garisan AO dan OD itu 1,/ 3. Satu garisan.lurus AOB dan di-sabelah rnenyebelah-nyaada dua sudut yang sarna besar buka-nya ia-itu AOP, BOT.

'I'erangkan garisan POT satu garisan lurus.

4. Ernpat garisan lurus bertemu pada satu titek. Kedua

dua pasang sudut yang bertentang di-titek itu sarna besar

buka-nya. Terangkan kedua-dua pasang garisan ini menjadidua garisan lurus.

MASAALAH 3.

Jilea dua qarisam. lurus bersilang, 8tl(Zut-SUd�lt yang berten

tang tepa: dictempat qarisan. itu bersilang sama beso» buka-nsja,

D

Mithal-nya, dna garisan lurus AB dan CD bersilahg di-E.Hendak menerangkan :

i. lAEC = lBED,ii. lCEB = lAED.

Jalan-nqja. Garisan CE berternu dengan garisan AB di-E,

lAEO + lOEB = 2 sudut tepat ;

dan juga garisan BE bertemu dengan garisan OD di-E,

lCEB + IBED = 2 sudut tepat.lAEO + lOEB = IBED + lOEB,lAEC = lBED.

Demikian juga boleh di-terangkanlCEB = lAED.

B

Peringatan: 1. Jika dua garisan lurus bersilang, keernpat

ernpat sudut yang terjadi di-situ jurnlah buka-nya empat sudut

tepat.

108 'ILMU GEOMETRY

2. Jika sa-berapa banyak pun garisan lurus bertemu padasatu titek, jumlah buka sudut-sudut yang terjadi di-titek ituia-Iah empat sudut tepat.


1. AOB suata sudut, Buat lagi satu suelut yang sama

besar dengan suc1ut itu, ia-itu denganmemanjangkan sempadansempadan suclut itu sahaja.

2. Pacla satu titek 0 ada dua suc1ut POT, TOR, tiap-tiapsatu buka-nya 60°. Lukiskan lagi empat suelut berkelilingtitek itu supaya keenam-enam suelut eli-situ sama besar buka

nya. Gunakan kayu pembaris sahaja.3. Dua garisan lurus bersilang c1i-titek O. Terangkan :

Garisan-garisan yang membahagi dua betul suclut-suclut yang

bertentang c1i-titek 0 itu jadi satu garisan lurus.

MASAALAH 4.

Jilca barang dua sempadan sa-suats: rajah. tiga peTSegi samapa,njang denqam. d.ua eempadan. pada suatu. rajah tiga persegiya,ng lain, dam jilca stulut di-antara kedua-dua senupadam. yangpertama soma besar clengan sudut di-aniara kedua-dua sempacZa,nlain itu, di-dapa,ti lcedua-dua rajah tiqa pe1'8egi itu sama betul

ptula serba-serbi-nya.

8 c E F

Mithal-nya ABC, DEF dua rajah tiga persegi, di-dalam-nya :

1. AB = DE,2. AC = DF,3, lBAC = lEDF.

MASAALAII 109

Hendak menerangkan kedua-dua 6 ABO, DEF itu sama

betul pada serba-serbi-nya.Jalan-nya: Mithal-nya angkat .6 ABO itu letakkan dia

betul-betul di-atas 6 DEF supaya titek A dudok-nya di-atastitek D dan AB di-atas DE.

Sempadan AO itu tentu-lah terletak di-atas DF pula, keranalBN] = lEDV:.

Oleh sebab AB terletak di-atas DE, titek B mesti-lah

terletak di-atas titek E pula (kerana AB = DE).Demikian juga oleh sebab AO terletak di-atas DF titek 0 itu

mesti-Iah terletak di-atas F (kerana AO = DF).6 ABO terletak bertindeh betul di-atas 6 DEF.

Jadi 6 ABO sama betul dengan l::, DEF pada serba-serbi

nya.

Ia-itu l. BO = EF,2. lABO = lDEF,3. \AO� = lDFE.4. Kedua-dua rajah itu sama luas-nya.

Ingat tiap-tiap satu rajah tiga persegi ada enam, bahagiannya, ia-itu tiga sudut dan tiga sempadan-nya, Dan lagi pulaada luas-nya,


l..

Pada dua 6 ABO, DEF di-dapati sempac1an AB = DE

dan BO = EF dan lABO = 1800_\DEF. Panjangkan OB

H B c E F

sampai ka-H supaya BH = OB; !epas itu chantumkan AH.

Terangkan AH = DF.

110 'ILMU GEOMETRY

2. Ada dua garisan lurus AB, AC sama panjang kedua

dua-nya, dan lBAC di-bahagi dua betul dengan AD. TerangkanBD = CD.

MASAALAH 5.

Sudut-sudut yang di-tapalc sa-suatu rajah tiga persegi duasama itu sama beear buka-nqa.

A

Mithal-nya ABC satu 6 dua sama, di-dalam-nya sempadanAB sarna panjang dengan sempadan AC.

Rendak menerangkan lABC = lACB.Jalan-nya buat satu garisan lurus membahagi dua betul

sudut BAC, dan berternu dengan BC di-F,

Perhatikan dalam rajah tiga persegi ABF, ACF itu :

(1) AB = AC (sernpadan 6 dua sarna),(2) AF jadi sempadan kedua-nya,(3) lBAF = lCAF,oleh sebab itu kedua-dua 6 itu sarna betul pada serba

serbi-nya.Jadi lABF = lACFatau lABC = lACB.


1. Pada satu tapak BC di-sabelah menyebelah-nya ada

dua rajah tiga persegi dua sama ABC, DBC. TerangkanlABD = lACD.

2. Pada satu tapak BC ada dua rajah tiga persegi dua

MASAALAH 111

sama ABC, DBC. Kedua rajah ini terletak sama-sama padasa-belah garisan BC itu. 'I'erangkan lABD = lACD.

3. Jika pada sa-suatu"

rajah empat persegi di-dapatikeempat-empat sernpadan-nya sama panjang, terangkan suelutsuelut yang bertentang di-dalam rajah itu sama besar buka-nya,

4. Jika paela suatu rajah tiga persegi elua sama, tapak-nyaeli-panjangkan, kedua-dua suelut yang eli-luar rajah tigapersegi itu sama besar buka-nya. Terangkan hal itu,

5. Di-dalam sa-suatu rajah tiga persegi dua sama, garisanyang membahagi dua betul suelut yang bertentangan denganI

tapak rajah itu membahagi dua betul juga tapak itu, elan

dudok-nya tegak betul kapaela-nya. Terangkan hal itu.

6. Di-dalam suatu rajah tiga persegi dua sama ABO, jikaD dan E dua titek terletak di-tengah-tengah dua sempadanyang sama panjang itu, ia-itu AB elan AO, jaeli BE = OD.

Terangkan hal itu.

MASAALAIi 6.

(Lawan Masaalah 5.)Jika dua sudui dalam saiu. rajah tiga persegi sama beear,

eempadam-eempadan. yang bertentangan denqan. sudut itu sama

panjang-nya.A

&B c

Mithal-nya ABC satu rajah tiga persegi di-elalam-nyaIABC = lACB. � ,

Hendak menerangkan AB = AC.

Jika AB tidak sama panjang dengan AC, tentu-lah salah

satu daripada-nya mesti terpanjang daripada yang lain.

I--_j

112 'ILMU GEOMETRY

Mithal-nya AB 1ebeh panjang daripada'

AC. Jikalau

bagitu buatkan BD sama panjang dengan AC. SarnbongkanD dengan C.

Keterangan-nya: Di-dalam /':,. DBC, ABC di-dapati1. DB = AC (telah kita buatkan tadi).2. BC menjadi sempadan kapada kedua-nya.,3. Sudut-sudut di-antara sernpadan-sernpadan yang terse

but itu sama besar buka-nya, ia-itu lDBC = IACB.:. /':,. DBC sarna 1uas dengan /':,. ABC;ia-itu ta' boleh jadi kerana sa-bahagian sa-suatu benda itu

tidak sama besar dengan benda itu juga. Oleh sebab itu

sempadan AB itu tidak lebeh panjang daripada sempadan AC.

Demikian juga boleh kita tunjokkan AC tidak lebeh panjangc1aripada AB. Jadi sempadan AB itu mesti-lah sarna panjangdengan sempadan AC.

So'al Rampaian bagi Masaalah G.

1. Pac1a satu tapak BC buatkan satu rajah tiga persegi c1uasama, ia-itu dengan mernakai penyilang sahaja.

2. Ada satu rajah tiga persegi ABC, dua sempadan-nya AB,AC sarna panjang. Di-dalam-nya dua garisan lain BD, CD

di-Iukiskan bertemu di-D dan menjadikan lABD = IACD.'I'erangkan rajah tiga persegi DBC itu menjadi rajah tigapersegi dua sarna.

3. Dalarn satu rajah tiga persegi ABC, AB = AC, elan

garisan yang membahagi elua betul sudut B elan suelut C itu

bertemu di-D. Terangkan DBC satu rajah tiga persegi duasarna.

4. Aela satu rajah tiga persegi ABC; sernpaelan-sernpadanAB dan AC-nya sarna panjang. Satu garisan lurus EB di

lukiskan tegak betul kapada AB di-B, dan satu lagi garisan AC

di-lukiskan tegak betul kapada AC eli-C. 'I'erangkan EBCsatu rajah tiga persegi dua sama.

MASAALAH 113

MASAALAH 7.

Jika pada satu rajah tiga persegi lcetiga-tiga sempadan-nyasama panjang denqom. lcetiga-tiga sempadan satu rajah tigapersegi yang lain, kedua-dua rajah ini sama betul pada serba

serbi-nqa,A o

LE F

Mithal-nya ABO, DEF dua 6, dan di-dalam-nya:

(1) AB = DE,(2) BC = EF,(3) CA = FD.

Hendak menunjokkan kedua-dua rajah tiga persegi itusama betul pada serba-serbi-nya.

Jalan-nya: Di-dalam 6 ABC itu jadikan-Iah sempadanBO itu panjang daripada AB atau AC.

Letakkan 6 DEF di-atas 6 ABC supaya tapak EF

bertindeh betul dengan tapak BO, dan D bertentang denganA dudok-nya di-sabelah menyebelah tapak BC itu. 'I'empatD jatoh itu namakan G. Sambongkan A dengan G.

Keterangan-nya:BA = BG (telah di-tetapkan)OA = CG (telah di-tetapkan)Tetapi lBAG + lCAG = lBAO,dan lBGA + lCGA = lBGC = IEDF(telahdi-tetapkan),

.' lBAO = lEDF.H

:. lBAG = lBGA.:. lCAG = ICGA.

114 'ILMU GEOMETRY

J·adi dalam /':,. BAC, /':,. EDF di-dapati(1) AB = DE,(2) AC = DF,(3) lBAC = lEDF./':,. ABC sama betul dengan /':,. DEF. (Lihat Masaalah 4.)


(Lihat Masaalah 7.)1. /':,. BAG itu rajah tiga persegi apa jenis-nya 1

2. /':,. CAG itu rajah tiga persegi apa jenis-nya 1

3. Apa sebab IBAG = lBGA?4. Apa sebab lCAG = lCGA?5. Buat dua rajah tiga persegi ABC, DEF; di-dalam-nya

AB = DE, BC = EF, dan CA = FD, ia-itu dengan menggunakan kayu pembaris dan jangka sahaja.· Potong kedua-dua

rajah itu ikut sempadan-nya dengan gunting. Kemudian

tindehkan betul-betul kedua-dua keping kertas itu. Ada-kah

dia sama besar ?6. Di-sabelah menyebelah satu tapak CD ada dua rajah

tiga persegi dua sama ia-itu CAD, CBD. Terangkan sudut

sudut CAD, CBD itu terbahagi dua betul oleh garisan yang

menyambongkan A dengan B itu.

MASAALAH 8.

Dalam satu rajah tiga peTSegi, jika satu daripada sempadamnya di-panjangkan, sudut yang jacli di-sa-belah. luar rajah itu

terbisa» daripada tiap-tiap sudut dalam rajah itu yang jauhdaripacla-nya.

Mithal-nya ABC satu rajah tiga persegi ; satu daripadasempadan-nya, BC, di-panjangkan sampai ka-D.

Hendak menerangkan lACD di-sa-belah luar rajah itu

terbesar daripada lABC atau lBAC di-dalam rajah itu.

MASAALAH ll5

Jalan-nya. Tandakan satu titekE di-tengah-tengah sempadan AC itu. Sambongkan B dengan E, dan panjangkan BEsampai ka-F. Buat EF sama panjang dengan BE. Sam

bongkan C dengan F.

/>:'B C"_ 0

GKeterangan-nya. Di-dalam rajah tiga persegi AEB, CEF

itu di-dapati (1) AE = EC,(2) BE = EF,(3) lAE� - lCEF (sebab bertentangtepat.),

. kedua £:,. itu sama betul. (Lihat Masaalah 4.)Jadi IBAE = lECF.Akan tetapi lACD besar daripada lECF;.. IACD lebeh besar daripada lBAC.

Demikian juga jikalau di-bahagi dua betul BC, dan AC di

panjangkan sampai ka-G, boleh di-tunjokkan IBCG, ia-itu

IACD, lebeh besar daripada sudut ABC.


1. Buat satu rajah tiga persegi ABCsaperti rajah Masaalah

8 itu juga. Kemudian bahagi dua betul BC di-H. Sam

bongkan A dengan H dan panjangkan garisan ini sampai ka-K.Buat HK sama panjang dengan AH. Sambongkan C denganK. 'I'erangkan sudut BCG lebeh besar daripada sudut ABC.

2. Satu rajah tiga persegi tidak boleh mengandongi lebehdaripada satu sudut tepat di-dalam-nya. 'I'erangkan hal itu.

Gunakan jalan Masaalah 8.

MASAALAH 9.

Barang mana dua sudut dalam satu. rajah tiga persegi jumlahbuka-nya terkechil daripada dua sudut tepat (180°).

116 'ILMU GEOMETRY

Mithal-nya, ABC satu rajah tiga persegi.Hendak menunjokkan [BAC + lACB terkechil daripada

dua sudut tepat (180°).

BCD

Panjangkan BC sampai ka-D.Telah di-ketahur lACD lebeh besar daripada lBAC (Masa

alah 8). Kapada lACD, dan lBAC ini champorkan �C�.Jadi lACI_> + lACB lebeh besar daripada lBAC + lACB.Tetapi lACD + lACB = 2 sudut tepat,.. lBAC + IACB terkechil daripada 2 sudut tepat.Demikian juga boleh di-tunjokkan :

lABC + l!__CB terkechil daripada 2 sudut tepat,dan lABC + lBAC terkechil daripada 2 sudut tepat.

Permgatan, Hanya satu sahaja garisan tegak betul

boleh di-lukiskan daripada satu titek kapada satu garisanIurus.

Jika lebeh daripada satu garisan boleh di-lukiskan tegak

A

E D

betul dad satu titek kapada satu garisan, dad titek A buatlah dua garisan AD, AE. Katakan kedua-dua-nya tegakbetul kapada BC.

Dalam rajah tiga persegi ADE, lADE sudut tGpat, (sebab

_AD .lBC). [AED sudut tepat (sebab AE .lBC). Jadi dalam

MASAALAH 117

6 ADE ini ada dua sudut jumlah buka-nya dua sudut tepat.Perkara ini salah, ta' boleh jadi, sebab dalam Masaalah 9 telah

di-terangkan sa-barang mana dua sudut dalam satu rajahtiga persegi jumlah buka-nya mesti terkechil daripada dua

. sudut tepat. Oleh sebab itu nyata-lah hanya satu sahajagarisan tegak betul boleh di-lukiskan dari satu titek kapadasatu garisan lurus.


1. ABCD satu rajah empat persegi ; jika di-panjangkanBA ka-E, dan BC ka-F di-dapati lEA_!) + lFCD terbesar

daripada lABC atu IADC. Terangkan hal itu.2. Barang mana tiga sudut dalam satu rajah empat persegi

jumlah buka-nya terkechil daripada empat sudut tepat.Terangkan hal itu.

MASAALAH 10.

Pada satu rajah tiga persegi jilca satu sempadan-nya terpam:jang daripada satu sempaclan yang lain, suclut yang bertentangdengan sempadan panjang itu teTbesar daripada sudut yang

bertentang denqan. sempadam. yang panclalc itu.A

,UB C

Mithal-nya, ABC satu rajah tiga persegi, di-dalam-nyasempadan AC terpanjang daripada sempadan AB.

Hendak menerangkan IABC lebeh besar daripaela lACB.Jalan-nya. Dengan pusat-nya A elan buka-nya AB

lukiskan satu bulatan memotong AC eli-D. (Tentu-lah ia

memotong AC sebab AC terpanjang daripada AB.) Sambongkan B dengan D.

Keterangan-nya. Oleh sebab AB = AD.

118 'ILMU GEOMETRY

Jadi IABD = lADB.Tetapi dalarn rajah tiga persegi DBC lADB terbeear

daripada lDCB, ia-itu lACB... lABD mesti-Iah terbesar juga daripada IACB.'I'etapi lABD hanya-lah satu bahagian sudut ABC itu

sahaja.:. Jika lABD terbesar daripada lACB, IABC itu tentu-Iah

terlebeJ;t besar lagi daripada �CB.

MASAALAH 11.

Pada satu rajah tiga persegi jilca satu sudut-nya terbisa« dari

pada satu eudut yang lain, sempadas: yang bertentang dengansudut yang besa» itu terpanjang daripada sempadam. yang berten

tang dengan sudut yang kurang beear itu.

A

�B C

Mithal-nya,· ABC satu rajah tiga persegi, di-dalam-nyasudut ABC terbesar daripada sudut ACB.

Hendak menerangkan AC terpanjang daripada AB.Keterangan-nya. Jika AC tidak terpanjang daripada AB

mesti-lah ia sama panjang atau terpandak daripada AB.Jikalau AC sarna panjang dengan AB tentu-lah IACB =

IABC (Mas. 5).Tetapi tadi telah di-sebutkan IACB tidak sama besar

dengan IABC.:. AC tidak sama panjang dengan AB.Dan juga jika AC terpandak daripada AB tentu-lah lABC

terkechil daripada lACB. (Lihat Masaalah 10.)Tetapi tadi telah di-sebutkan I ABC terbesar daripada lACB.Oleh yang demikian nyata-lah AC tidak sama panjang dan

MASAALAH 119

tidak terpandak daripada AB. Jikalau bagitu mesti-lah AC

terpanjang daripada AB..

Peringatan. Dalam banyak-banyak garisan lurus yangdi-lukiskan dari satu titek kapada satu garisan lurus yang lain,yang pandak sa-kali ia-lah garisan yang tegak betul kapadagarisan itu.

MASAALAH 12.

Pada satu rajah tiga persegi barang mana dua sempadan.terpanjang jumlah-nya daripada eempado»; yang ketiga itu.

B

Mithal-nya, ABC satu rajah tiga persegi,Hendak menerangkan barang mana dua sempadan-nya

terpanjang daripada sempadan yang ketiga.Mithal-nya hendak menerangkan BA + AC terpanjang

daripada CB.Jalan-nya. Panjangkan BA. Kemudian lukiskan satu

bulatan pusat-nya A dan buka-nya AC. Biar-lah bulatan ini

memotong BA di-D.

Chantumkan C dengan D.

Keterangan-nya. Oleh sebabAf = AD, :. IACD = lADC.Akan tetapi IBCD lebeh besar daripada lACD... lBCD lebeh besar daripada IADC (atau IBDC).

BD lebeh panjang daripada BC (Masaalah 11).Ia-itu BA + AC lebeh panjang daripada CB.Demikian juga boleh di-terangkan

AC + CB lebeh panjang daripada AB,dan CB + BA lebeh panjang daripada AC.

120 "ILMU GEOMETRY

SoJal Rampai-rampaian.1. Terangkan hal ini: Barang mana tiga sempadan pada

satu ajah empat persegi jumlah-nya terpanjang daripadasempadan yang keempat.

2. ABC satu rajah tiga persegi sarna. Satu garisan lurusAD di-lukiskan melalui titek A dan bertemu dengan BC di-D.E satu titek di-tengah-tengah garisan AD itu. TunjokkanAE terpendek daripada CE.

3. ABC satu rajah tiga persegi dua sama. P satu titekterletak pada tapak BC atau pada garisan BC itu yang telah

di-panjangkan. Sambongkan A dengan P. 'I'erangkan garisan AP itu ta' boleh sa-kali-kali sarna panjang dengan garisanAB atau AC.

4. Kedua-dua garisan serong pada sa-suatu rajah empatpersegi jumlah-nya terkurang daripada keempat-empat scmpadan rajah itu. 'I'erangkan hal ini.

5. 'I'erangkan kedua-dua garisan serong pada sa-suatu

rajah empat persegi jumlah-nya terbesar daripada sa-parohjumlah keempat-empat sempadan rajah itu.

6. 0 satu titek dalam satu rajah tiga persegi sama ABC.

Sambongkan OA, OB, OC. Tunjokkan mana-mana dua

daripada tiga garisan ini jumlah-nya terpanjang daripadagarisan yang ketiga.

7. Ada dua bulatan pusat-nya sama, Sambongkan keduadua lilitan bulatan itu dengan garisan yang pendek sa-kali.

Terangkan garisan ini bila di-panjangkan kelak melalui pusatbulatan itu.

8. 'I'erangkan dalam satu rajah tiga persegi bersudut tepatsempadan-nya yang panjang sa-kali ia-lah yang bertentangdengan sudut tepat itu.

BAB XII.

SO'AL-SO'ALAN.

So'al Rampai-rampaian I.

DI-ATAS ini satu rajah tiga persegi bersudut tepat di-B.A

c

Gunakan rajah itu bagi menjawab so'al-so'al yang di-bawah ini.Chari berapa panjang AO [ika :-1. AB = 532 kaki ; BO = 165 kaki,

2. AB = 7584 kaki ; BO = 3937 kaki.

3. AB = 278 kaki, 8 inchi; BO = 262 kaki, 6 inchi.4. AB = sa-tengah batu; BO = 345 ela, 1 kaki,

Demikian juga chari berapa kaki panjang AO sa-hingga duaangka perpulohan, jika :-

5. AB = 437 kaki ; BO = 342 kak],6. AB = 4395 kaki ; BO = 3874 kaki,

7. AB = 314 kaki, 3 inchi; BO = 288 kaki, 9 inchi.

8. AB = ! batu; BO = 427 ela.

Chari berapa panjang AB jika :-9. AC = 725 kaki ; BO = 664 kaki.

10. AO = 16417 kaki ; BO = 14208 kaki,

11. AO = 269 kaki, 5 inchi; BO = 250 kaki, 8 inchi.

12. AC = 340 ela, 1 kaki ; BO = 1 furlong.121

122 'ILMU GEOMETRY

Chari berapa panjang AB hingga dua angka perpulobansahaja; jika:-

13. AC = 647 kaki ; BC = 431 kaki,

14. AC = 4987 kaki ; BC = 3765 kaki,

15. AC = 424 kaki, 3 inchi; BC = 276 kaki, 6 inchi.

16. AC = 5 [urlonq ; BC = 916 ela, 2 kaki.

17. Dalam satu rajah tiga persegi ABC, AB = 450 kaki,BC = 750 kaki, dan AC = 600 kaki, Chari berapa tinggirajah itu.

18. Dalam satu rajah tiga persegi ABC yang bersudut tepatdi-B, BC panjang-nya 3925 kaki, dan AC terpanjang 625 kaki

daripada AB. Chari berapa panjang AB dan AC.

19. Satu tangga panjang 25 kaki terdiri rapat betul-betul

pada suatu tembok, Berapa jauh mesti di-tarek keluar kaki

tangga itu supaya kepala-nya terendah 1 kaki.

20. Dalam sa-buah lorong ada terdiri satu tangga, pan

jang-nya 40 kaki, Bila di-sand�rkan tangga itu pada tembokyang di-kanan jalan itu di-dapati kepala-nya 24 kaki tinggi daritanah. Bila di-sandarkan dia pada tembok di-sabelah kiri

lorong itu pula, ia-itu dengan tiada di-aleh kaki-nya di-dapatikepala-nya 32 kaki tinggi dari tanah. Chari berapa lebar-nyalorong itu.

21. Dalam sa-buah lorong ada satu tangga tersandar padatembok di-kanan jalan itu. Kaki-nya terletak 14 kaki jauhdari kaki tembok itu dan kepala-nya 48 kaki tinggi dari tanah.Bila di-balekkan tangga itu dengan tiada di-aleh kaki-nya di

sandarkan pada tembok di-kiri jalan itu pula di-dapati kepalanya 40 kaki tinggi dari tanah. Chari berapa lebar-nya lorong itu.

22. Satu rajah empat persegi tepat panjang, sempadan-nya1 inchi. Chari berapa : panjang garisan serong-nya ia-itu

sampai lima angka perpulohan.23. Satu rajah empat persegi tepat panjang sempadan-nya

110 kaki, Berapa panjang garisan serong-nya �

SO'AL-SO'ALAN 123

24. ABCD satu rajah empat persegi bujor. AB = 147 ela,dan BC = 196 ela. Chari berapa panjang BD.

25. Dalam satu rajah tiga persegi ABC, AB = AC = 18

kaki, dan tapak-nya BC = 27 kaki. Chari b�rapa tinggirajah itu.

26. Satu bulatan di-lukiskan melalui penjuru-penjuru satu

rajah empat persegi tepat, Jika sempadan rajah empatpersegi tepat. itu 8 inehi, chari berapa panjang jari-jari bulatanitu.

27. Lukiskan satu bulatan buka-nya 6 kaki, Kemudian

di-dalam rajah itu lukiskan satu rajah empat persegi tepatsegala penjuru-nya ter�etak pada lilitan bulatan itu. Chari

berapa panjang' rajah empat persegi tepat itu.28. Ada satu bulatan panjang jari-jari-nya 1 inehi. Ambil

satu jari-jari dalam bulatan itu, bahagikan dia kapada enam

bahagian yang sama besar, ia-itu dengan lima garisan yang

tegak betul kapada-nya. Kelima-lima garisan ini hujongnya terletak pada lilitan bulatan itu. Chari berapa panjangtiap-tiap satu garisan itu.

So'al Rampai-rampaian II.

1. Lukiskan satu rajah tiga persegi ABC, panjang sempadan-nyademikian : AB = 1·3 inchi, BC = 2·0 inchi dan

CA = 1·8 inehi. Ukor berapa buka tiap-tiap sudut dalam

rajah itu.2. Buat satu rajah tiga persegi ABC. BC = 7·5 em., dan

.CA = 7·0 em., dan AB = 6·5 em. Dari B lukiskan satu garisantegak betul kapada CA. Ukor berapa panjang garisan itu dan

berapabuka tiap-tiap sudut dalam rajah itu.3. Chari berapa luas satu rajah tiga persegi sarna panjang

sempadan-nye 7 em. Ukor berapa tinggi rajah itu.4. Satu rajah tiga persegi panjang tapak-nya 3·6 inchi dan

tinggi-nya 2 inohi, Lukiskan rajah itu dan chari berapa Iuas

nya.

124 ,. 'ILMU GEOMETRY/5. ABC satu rajah tiga persegi; di-dalam-nya sudut BAC =

75°, AB = 6·4 cm., AC = 4 em, Lukiskan rajah itu dan

chari berapa panjang tapak-nya (BC) serta berapa tinggi rajahitu.

6. Di-dalam satu rajah tigapersegi di-dapati sudut A = 65°,sudut B = 70° dan AB = 2·6 inchi. Chari berapa panjangBC dan CA serta berapa sudut-sudut yang lain dalam rajahitu.

7. Berapa millimetre persegi Iuas-nya satu rajah tigapersegi ABC yang bersempadan demikian : AB = 5·7 cm.;

BC = 4 cm. dan CA = 5·1 cm. Lukiskan rajah itu.8. Lukiskan satu rajah tiga persegi panjang tapak-nya 3·6

inchi, dan buka kedua sudut di-hujong tapak itu 55° dan 70°.

Chari berapa tinggi rajah itu dan berapa inchi persegi pulaluas-nya (sampai tiga angka perpulohan).

9. ABC satu rajah tiga persegi luas-nya 2·16 inchi persegi.Jika tinggi-nya 1·2 inchi chari berapa inchi panjang tapak-nyarajah itu.

10. Pada satu rajah tiga persegi dua sama tapak-nya pan

jang 3·6 inchi dan buka sudut-sudut di-hujong tapak-nya itu 54°.Lukiskan rajah itu serta chari berapa inchi tinggi-nya.

11. Satu tangga tersandar pada tembok, kepala-nya terletakpada tempat yang tinggi 35 kaki di-tembok itu, dan kaki-nya12 kaki jauh dari kaki tembok itu. Lukiskan pelan-nya, palmiukoran 1 inchi = 10 kaki: Ukor berapa panjang tangga itu.

12. A berjalan ka-utara tepat 99 metre, kemudian melon

chong pula ka-timor tepat 20 metre. Lukiskan pelan jalan-nyaitu. Ukor berapa metre jauh-nya ia dari tempat mula-mulatadi.

13. Apabila matahari tinggi 42° di-dapati panjang bayangbayang sa-batang galah 30 kaki. Lukiskan rajah-nya dan

ukor berapa panjang galah itu.14. Sa-orang penyukat tanah berjalan dari A 150 ela ka-

SO'AL-SO'ALAN 125

timor tepat ka-B; kemudian 300 ela ka-utara tepat ka-C; sa

telah itu melenchong pula ia ka-barat tepat; berjalan sa-jauh450 ela 1m-D. Buatkan pelan jalan-nya itu dan chari berapajauh dari Aka-D. Ukor berapa buka sudut DAB. Dan

berapa luas-nya rajah ABCD itu.

15. Dua tempat B dan C dudok-nya di-tepi suatu pantaiyang lurus; jarak di-antara-nya 260 ela. A sa-buah kapalberlaboh di-hadapan pantai itu. Apabila di-ukor di-dapatibuka sudut CBA 33° dan sudut BCA 81°. Chari berapa jauhdi-antara kapal itu dengan B dan dengan C. Dan berapajauh-nyayang dekat sa-kali dari kapal itu ka-pantai �

16. Sa-orang tukang ukor hendak mengukor dari A 1m-B.Di-antara dua tempat ini ada sa-buah tasek besar ; jadi tiacladapat ia mengukor terus dari A 1m-B. Oleh sebab itu di

tarrdakan-nya satu titek C di-luar garisan AB itu. Dari situ

ia boleh mengukor ka-A dan 1m-B. Apabila di-ukor di-dapatinya jauh dari A ka-C 245 ela, dari C ka-B 320 ela, dan sudut

ACB buka-nya 42°. Lukiskan pelan rajah itu (pakai ukoransendiri) dan chari berapa jauh dari A 1m-B.

17. Sa-buah padang tiga persegi panjang sempadansempadan-nya demikian: AB 280 ela, BC 320 ela, dan CA200 eia. Chari berapa luas padang itu.

18. Sa-batang tangga tersandar pada satu tembok sa-buah

rumah; kaki-nya terletak 9 kaki jauh dari kaki tembok rumahitu, dan kepala-nya 40 kaki dari tanah. Buatkan pelan-nya,Ukor berapa kaki panjang tangga itu,

19. Sa-buah kapal berlayar 33 batu arah ka-timor tepat.Kemudian 56 batu ka-selatan tepat. Lukiskan jalan kapal itu,dan ukor berapa batu jauh-nya dari tempat permulaan ia

berlayar tadi.20. Berapa luas sa-buah padang tiga persegi jika sempadan

sempadan padang itu panjang-nya demikian: AB 268 eIa, 2

kaki ; BC 342 eia dan CA 313 ela, 1 kaki.

126 'ILMU GEOMETRY

So'al �ampai-rampaian III.1. ABCP satu rajah empat persegi tepat, panjang sempa

dan-nya 5·6 cm. Lukiskan rajah itu serta chari berapa luas-nya.2. Satu rajah empat persegi bujor ABCD luas-nya 8·64

inchi persegi, Berapa panjang AB jika BC panjang-nya 2·4

inchi j

3. Sa-buah padang empat persegi bujor luas-nya 44,400 ela.

Satu daripada sempadan-nya 240 ela panjang. Chari berapapanjang sempadan-nya yang lain dan chari berapa jauh berksliling padang itu.

4. Lukiskan satu rajah empat persegi serong panjangsempadan-nya 2·4 inchi dan buka satu daripada sudut-nya80°. Chari berapa luas-nya. Lukiskan lagi satu rajah itu

tetapi buka satu daripada sudut-nya 45°; chari berapa luas

nya.5. ABCD satu rajah empat persegi serong panjang sempa

dan-sempadan-nya 2·6 inchi dan buka satu daripada sudut

nya 75°. Lukiskan rajah itu pada kertas petak-petak. Chari

berapa Iuas-nya ia-itu dengan membilang petak-petak yangada dalam rajah itu sahaja.

6. Satu rajah empat persegi bujor luas-nya 30 cm. persegidan panjang tapak-nya 6 cm. Chari berapa lebar-nya. Lukiskan rajah itu di-atas kertas petak-petak. Bilang petakpetak dalam rajah. itu supaya di-ketahui betul atau tidak

rajah itu.7. Chari berapa panjang satu rajah empat persegi bujor

yang luas 3,9 inchi persegi dan Iebar-nya 1·5 inchi. Lukiskan

rajah itu pada kertas petak-petak. Bilang berapa banyakpetak-petak yang di-dalam rajah itu supaya di-ketahui betul

tidak rajah yang di-lukiskan itu.

8. Satu rajah empat persegi tepat panjang sempadan-nya3·2 inchi. Chari berapa luas-nya dan berapa panjang garisanserong-nya.

SO'AL-SO'ALAN 127

9. Sa-buah padang empat persegi tepat di-dapati jauhkeliling-nya 1040 ela. Chari berapa luas padang itu.

10. Dalam pelan sa-buah kebun empat persegi bujor didapati panjang kebun itu 3·6 inehi dan lebar-nya 2·5 inehi.

Ukoran yang di-pakai dalam peta itu I inehi sama dengan10 ela. Chari berapa luas-nya yang sa-benar kebun itu.

Chari berapa luas rajah-rajah empat persegi bujor yangdalam so'al-so'al di-bawah ini. Lukiskan rajah itu padakertas petak-petak. Uji jawab kamu dengan petak-petakdalam rajah itu.

II. Panjang-nya 3·1 inehi, dan lebar-nya 2 inehi.

12. " ,,4·0 " " 1·5"13. " ,,3'5 " 0·8 "

14. " " 2·5 " 1·4 "

15. " " 2·2 " " " 1·5

16. " " 3·7 '

" lebar-nya demikian juga.17. " " 4·3 lebar-nya 1·1 inehi.

18. " " 3·5 em. lebar-nya 2·7 em.

19. " " 2·4 inehi, dan lebar-nya 0·90 inehi.

20. " " 3·9 " dan lebar-nya demikian juga.

So'al Rampai-rampaian IV.

l. Pada satu garisan AB ada satu titek O. Dari 0 lukiskan

OC, OD pada sa-belah menyebelah AB supaya menjadikansudut COB sama besar dengan sudut AOD. 'I'erangkan OC

dan OD terletak pada satu garisan.2. Dua garisan lurus AB, CD bersilang di-O. Sudut BOD

terbahagi dua betul oleh garisan OP. Terangkan garisan OPini apabila di-panjangkan kelak membahagi dua betul sudut

AOC pula.3. 'I'erangkan dalam satu rajah tiga persegi dua sama garis

an yang membahagi dua betul sudut yang bertentangan

128 'ILMU GEOMETRY

dengan tapak rajah itu (i) membahagi dua betul tapak itu, (ii)tegak betul kapada tapak itu.

4. ABCD satu rajah empat persegi tepat. 'I'erangkangarisan-garisan serong AC, BD itu sama panjang.

5. Dalam satu rajah tiga persegi dua sama ABC, AB = AC.Tandakan satu titek X di-AB dan satu titek Y di-AC supayaAX = AY. SambongkanBY danCX. 'I'erangkan B'Y = CX.

6. ABCD satu rajah empat persegi yang sama panjangsegala sempadan-nya. Lukiskan garisan serong BD. Tun

jokkan:

(i) sudut ABD = sudut ADB,(ii) sudut CBD = sudut CDB,(iii) sudut ABC = sudut ADC.

7. ABCD satu rajah empat persegi serong; SambongkanAC. 'I'erangkan :

(i) sudut ABC = sudut ADC,(ii) AC membahagi dua betul tiap-tiap satu sudut

BAD, BCD.

S. ABCD satu rajah empat persegi ; sernpadan-sempadannya yang bertentang sama panjang, ia-itu AB = CD danAD = CB. 'I'erangkan sudut ADC= sudut ABC.

9. ABC satu rajah tiga persegi dua sama ; di-dalam-nyaAB = AC. Bahagi dua AB di-D dan AC di-E. SambongkanB dengan E dan C dengan D. Terangkan BE = CD.

10. Satu rajah tiga persegi dua sama ABC sempadansempadan-nya. yang sama panjang ia-lah AB dan AC. SudutB dan sudut C terbahagi dua betul oleh BO dan CO. Terangkan(i) BO = CO, (ii) AO membahagi dua betul BAC.

11. Garisan-garisan serong sa-suatu rajah empat. persegiserong itu membahagi dua betul masing-masing di-sudut tepat.'I'erangkan hal ini.

12. Jika satu sempadan satu rajah tiga persegi di-pan-

SO'AL-SO'ALAN 129

jangkan kedua-dua hujong-nya sudut-sudut yang terjadi diluar raj,ah itu jumlah-nya terbesar daripada dua suclut tepat.

13. ABC satu rajah tiga persegi; D satu titek cli-dalam-nya.Jika di-sarnbongkan B dengan D dan C dengan D sudut BDCterbesar daripada sudut BAC. Terangkan hal ini dengan dua

jalan:(i) Memanjangkan BD sampai ia bertemu dengan AC

di-E.

(ii) Menyambongkan A dengan D dan memanjangkanAD sampai ia bertemu dengan tapak rajah tigapersegi itu.

14. Satu rajah tiga persegi dua sama A.BC, dua sempac1annya yang sama BA dan CA itu di-panjangkan sampai lm-Edan F menjadikan AE sama panjang dengan AF. F di

sambongkan dengan B dan E dengan C. 'I'erangkan BF sama

panjang dengan CEo15. BC tapak satu rajah tiga persegi dua sama ; pada-nya

ada dua titek M dan N; MB sama panjang dengan NC.

Terangkan kedua-dua titek ini sama jauh-nya dari kemunchak

rajah itu.

So'al Rampai-rampaian V.

l. Pada rajah-rajah yang di-atas ini chari-Iah berapaA

8

c

B D A

panjang BC, jika AD = 5 inchi, DE = 4 inchi, dan AB = 7

inchi.I

130 'ILMU GEOMETRY

2. Satu rajah tiga persegi sama panjang sempadan-nya 2

kaki 6 inchi. Chari berapa tinggi-nya3. Sa-orang tirrggi 6 kaki di-dapati panjang bayang

bayang-nya 8 kaki 6 inchi ; pada masa itu juga di-dapatipanjang bayang-bayang sa-batang tiang 56 kaki 8 inchi.

Chari berapa tirrggi tiang itu.4. Lukiskan satu rajah tiga persegi panjang sempadan

sempadan-nya demikian : 4·9 cm., 6·3 cm., dan 7·2 em. Ukor

berapa buka sudut-nya yang besar sa-kali,

5. Sa-buah negeri buka-nya memanjang 500 batu. Chari

berapa panjang negeri itu di-dalam peta jika anggaran yang

di-pakai dalam peta itu �. inchi = 1 batu.

6. Jarak di-antara dua buah bandar A dan B 31 batu; di

dalam peta di-dapati jauh di-antara dua buah bandar ini 71inchi. Chari berapa anggaran peta itu.

7. Jarak di-antara dua buah bandar A dan B 54 batu; di

dalam peta di-dapati jauh-nya 61 inchi. Chari berapa jarakdi-antara dua buah bandar yang lain (C dan D) di-dalam petaitu juga, jika jauh-nya di-dapati 8i inchi.

A

B

8. Pada rajah di-atas itu jika BC = 20 inchi, DE = 16

inchi, BD = 6 inchi, berapa panjang BA �

9. Pada rajah di-atas itu jika AD = 8 inchi, DE = 7 inchi

dan BD = 3 inchi, berapa panjang BC �

10. Pada rajah di-atas itu jika DE = 7 inchi, BC = 10

inchi, dan BD = 2 inchi, berapa panjang DA.

SO'AL-SO'ALAN 131

So'al Rampai-rampaian VI.

PAT = Lengkok bulatan; OA = Jari�jari.Rajah PAT di-atas itu tinggi-nya AK. dan A di-namai

kernunchak-nya.1. Jika AK = 15 kaki, dan TK = 4k kaki, chari berapa

panjang �A.A

2. Jika AK = 2·28 kaki, dan TK = 7·15 kaki, berapapanjang OA?

3. Jika TK = 3 kaki 4 inchi, dan OA = 12t kaki, berapapanjang AK?

4. Jika TK = 6·43 kaki, dan OA = 1l·83 kaki, berapapanjang AK?

5. Jika AK = 1 kaki 3 inchi, dan OA = 5 kaki 7t inchi,berapa panjang TK?

6. Jika AK = 3·24 kaki, dan OA = 14·38 kaki, berapapanjang TK?

7. Jika PT = 20 kaki, clan AK = 4 kaki, berapa panjangOA?

8. Jib PT = 15·78 kaki, dan AK = 2·8 kaki, berapapanjang OA?

9. Jib PT = 15 inchi, clan OA = 10 inchi, berapa panjangTK?

.10. -Iika PT = 80 inchi , dan OA = 50 inchi, berapa panjang TK?

11. Jika TK = 2 kaki 6 inchi, dan OA = 2 kaki 1 inchi,berapa panjang PT?

12. Jika TK = 2·4 kaki, clan OA = 8 kaki, berapa panjangPT?

12

182 'ILlIiU GEOMETRY

13. Jika PT = 12 ela, dan TK = 19 kaki 6 inchi, berapapanjang OA?

14. Jika PT = 49 kaki, dan TK = 25 kaki, berapa panjangOA?

So'al Rampai-rampaian VII.

Chari berapa luas rajah empat persegi sa-lari ABCD yangdi-atas ini jika :-

1. BC = 14 ela, AE = 11 ela, I kaki.2. BC = 16 ela 2 kaki 3 inchi, AE = 14 ela 2 kaki 8 inchi.

B E c

3. BC = 15 ela 2.kaki, AE = 11 ela 1 kaki.

.4. BC = 14 rantai 16 link, AE = 9 rantai 48 link.

Chari berapa tinggi rajah ABCD itu jika:-5. Luas-nya 1125 kaki persegi, dan BC = 15 ela.6. Luas-nya 3i acre, dan BC = 242 ela.

7. Luas-nya 93 kaki 140 inchi persegi, dan BC = 5 ela I

kaki 7 inchi.

A D

L[7B E c

8. Luas-nya 160 ela 3 kaki 33 inchi persegi, dan BC = 13

ela I kaki 9 inchi.

9. Jika BC = 4 kaki 6 inchi, AE = 2 kaki 8 inchi danAB = 3 kaki, berapa panjang AG ?

SO'AL-SO'ALAN 133

ABCD ini suatu rajah empat persegi serong, chari :-10. Berapa luas rajah itu, jika AB = 24 kaki. dan AE = 16

kaki,

11. Berapa luas rajah itu, jika AB = 32 kaki dan l!? = H�.

So'al Rampai-rampaian VIII.

Chari berapa luas rajah empat persegi tepat di-atas ini jikapanjang sempadan-sempadan-nya demikian:-

1. 14 ela. 2. 24 ela, 3. 27t ela. 4. 30! ela,5. 10 ela 2 kaki, 6. 12 ela 1 kaki,

D c

A B

7. 18 ela 2 kaki. 8. 20 ela 1 kaki.

9. 3 ela 2 kaki 4 inchi. 10. 5 ela 2 kaki 8 inchi.11. 8 ela 1 kaki 9 inchi. 12. 14 ela 1 kaki 10 inchi.

13. 4 rantai 50 link. 14. 7 rantai 25 link.


Chari berapa luas rajah itu jika panjang AC demikian :-

17. 225 kaki. 18. 88 ela 2 kaki 3 inchi.


Chari berapa panjang AB jika luas rajah itu demikian :-

21. 1764 ela persegi. 22. 7225 ela persegi.23. 74529 ela persegi. 24. T1r batu persegi.25. 160 acre. 26. 2t acre.27. 3 acre 1 rood 13 pole 51 ela persegi.28. 64,064,016 Jraki persegi.29. 120 kaki persegi. 30. 287 kaki persegi.

1.34 'ILlVIU GEOMETRY

31. 47S ela 1 kaki persegi,32. 526 ela 2 kaki 90 inchi persegi.33. 150 acre. 34. 2£ acre.

35. Berapa panjang AC jika luas rajah itu 7 inchi persegi ?

36. Sa-buah papan chator berisi 64 petak, luas muka-nya100 inchi persegi, Chari berapa panjang satu-satu petakitu.

A B

(;'hari berapa luas rajah empat persegi bujor yang di-atas

ini jika;-

37. Panjang-nya 20" dan lebar-nya 14".

3S. Panjang-nya 24" dan lebar-nya IS".

:�9. Panjang-nya IS" dan lebar-nya 5ft.40. Panjang-nya 20ft dan Iebar-nya lSi".41. Panjang-nya 6 eladan lebar-nya 5 ela 2 kaki.42. Panjang-nya S ela 2 kaki dan lebar-nya 7 ela 1 kaki.43. Panjang 12 ela 1 kaki dan lebar-nya 10 ela 1 kaki.

44. Panjang-nya 18 ela 2 kaki dan lebar-nya 9 ela 2 kaki.

45. Panjang-nya 3 ela 1 kaki 3 inchi dan lebar-nya 2 ela

1 kaki.

46. Panjang-nya 4 ela 2 kaki dan lebar-nya 3 ela 1 kaki

4 inchi.

47. Panjang 4 ela 2 kaki 10 .inchi dan lebar-nya 4 ela 2 kaki

8 inchi.\

4S. Panjang-nya S ela 2 kaki 11 inchi dan lebar-nya 6 ela

1 kaki 9 inchi.49. Panjang-nya 6 rantai 25 link dan lebar-nya 5 rantai

14 link.

so'AL-SO'ALAN 135

50. Panjang-nya S rantai 12 -link dan lebar-nya 7 rantai

4 link.

51. Panjang-nya 10 rantai 36 link dan lebar-nya 9 rantai

24 link.52. Panjang-nya 12 rantai 40 link dan Iebar-nya 10 rantai

SO link.

Chari berapa lebar rajah itu jika :-53. Luas-nya 1056 kaki persegi dan panjang-nya 11 ela.

54. Luas-nya 1 acre dan panjang-nya 110 ela.

55. Luas-nya satu batu persegi dan panjang-nya 5 batu.56. Luas-nya 1000 acre dan panjang-nya 2i batu.57. Luas-nya 2! acre dan panjang-nya 115t ela.5S. Luas-nya 5! acre dan panjang-nya 32 rantai.59. Luas-nya 7 acre 1 rood 15 pole dan panjang-nya 453 ela

2 kaki 3 inchi.

So'al Rampai-rampaian IX.

Permgatan. 'TI' = 3·1416.

Lilit bulatan = 21T X jari-jari = 21T X �A.Luas bulatan = 1T X (jari-jari)» = 1T X ON.

ABC di-atas ini rajah satu bulatan, jari-jari AO.1. Chari berapa panjang lilit bulatan itu jika AO = 7 kaki,2. Chari berapa panjang lilit bulatan itu jika AO = 43 ela,3. Chari berapa panjang lilit bulatan itu jika AO = 2S0 ela.

4. Chari berapa panjang lilit bulatan itu jika AO = 27 kaki.

5. Chari berapa panjang lilit bulatan itu jika AO = 15 ela,

6. Chari berapa panjang lilit bulatan itu jika AO = 1·3 ela.

186 'ILMU GE·0.METRY

7. Jika lilit bulatan itu panjang-nya 66 ela, berapa panjangAO? (17 = 22/7).

8. Jika lilit bulatan itu panjang-nya 10 rantai, berapapanjang AO? (17 = 22/7).

9. Jika lilit bulatan itu panjang-nya 1 batu, berapa panjangAO? (17 = 22/7).

10. Jika lilit bulatan itu panjang-nya I kaki, berapapanjang jari-jari-nya ? (17 = 22/7).

II. Jika lilit bulatan itu panjang-nya 25 kaki, berapapanjang jari-jari-nya? (17 = 22/7).

12. Jika lilit bulatan itu panjang-nya 220 ela, berapapanjang jari-jari-nya.? (17 = 22/7).

13. Jika jari-jari sa-buah roda panjang di-dapati 14 inchi,chuba-lah kira berapa kali roda itu berpusing apabila kereta ituberjalan sa-tengah batu.

14. Di-keliling sa-buah taman yang bulat �da satu lorong;lilitan lorong itu yang di-sa-belah dalam (tepi taman itu) 480

kaki panjang-nya, dan yang di-sa-belah luar itu 600 kaki.Chari berapa lebar lorong itu.

15. Sa-buah roda panjang jari-jari-nya 18 inchi .. Jika

di-golek di-atas tanah berapa jauh roda itu pergi-nya dalam

500 kali pusing ?

So'al Rampai-rampaian X.

Chari berapa luas rajah-rajah tiga persegi saperti di-bawahini ;-

I. BC (tapak-nya) = 18 kaki, dan tinggi-nya 5 ela 2 kaki.2. BC (tapak-nya) = 8 ela I kaki, dan tinggi-nya 5 ela 2

kaki.3. BC (tapak-nya) = 10 ela 2 kaki 6 inchi, dan tinggi-nya

7 ela I kaki 3 inchi.

4. BC (tapak-nya) = 14 rantai 5 link, dan tinggi-nya 12

rantai 24 link.

SO'AL-SO'ALAN 137

Chari berapa luas rajah-rajah tiga persegi besudut tepatsaperti di-bawah ini. A

5. Sempadan AC = 421 dan BC = 29.

�6. Sempadan AC = 730 dan AB = 152. .

0

.

7. Sempadan AC = 10, dan BC = 7. '\90

8. Sempadan AC = 13, dan AB = 9. B C

Chari berapa luas rajah-rajah tiga persegi yang di-nyatakansempadan-sempadan-nya di-bawah ini :

9. 5,5,5.12. 273, 373, 504.15. 105, 116, 143.18. 319,444,455.

10. 65,65,112.13.68,75,77.16. 111,175,176.19. 533,875,888.

11. 85, 85, 154.14.20,493,507.17. 43,875,888.20. 3501,3604,3605.

Chari berapa luas rajah-rajah tiga persegi yang di-nyatakansempadan-sempadan-nya di-bawah ini sampai tiga angkaperpulohan :

21. 2, 3, 4.

24.15,16,17.22. 6,7,9.25. 23, 33, 40.

23. 7,8,13.26. 17, 63, 73.

2'7. Satu rajah tiga persegi panjang sempadan-eempadannya ia-lah 11, 24, dan 31. Tunjokkan dengan terang luas

rajah itu 66V3'.28, Satu rajah tiga persegi di-dapati panjang sempadan-nya

61, 62, 63. Tunjokkan dengan terang luas rajah rtu 744'\15.A

B�CB G F C

29. Pada rajah tiga persegi ini AB = 68, BC = 77, CA =

138 'ILMU GEOMETRY

75. D dudok-nya di-tengah-tengah AB dan E di-tengahtengah AC. Chantumkan D dengan E. Chari berapa luas

rajah ADE, dan rajah DBCE itu.

30. Pada rajah tiga persegi ini AB = Ill, BC = 175,CA = 176. Bahagikan AB kapada tiga bahagian sama besar ;dan namakan garisan-garisan pembahagi itu DF dan EG.Lukiskan kedua-dua-nya sa-Iari dengan AC. Chari berapaluas rajah-rajah ABC, ADFC, dan DEGF itu.

31. Pada satu rajah tiga persegi ABC di-dapati AB = 51

kaki, AC = 53 kaki dan BC = 52 kaki. Dari A lukiskan satu

garisan tegak betul kapada BC. Chari berapa panjanggarisan itu, dan berapa Iuas rajah ABC itu.

32. Pada satu rajah tiga persegi ABC di-dapati sempadanAB = 13 kaki, BC = 14 kaki, dan CA = 15' kaki. Chari

berapa panjang garisan yang tegak betul dari A ka-BC itu.

33. ABCD satu rajah empat persegi tepat, panjang sempadan-nya 100 kaki. E satu titek di-dalam rajah itu dudok

nya 80 kaki dari B dan dari C. Chantumkan AE, BE, CE,D

8 c

dan DE. Chari berapa luas-nya tiap-tiap rajah tiga persegiyang terjadi di-dalam rajah itu. Jumlahkan semua jawabitu; bandingkan sama-kah ia atau tidak dengan luas rajahempat persegi itu.

34. ABC satu rajah tiga persegi ; di-dalam-nya di-dapatiAD tegak betul kapada BC, panjang-nya 8 inchi; dan garisanyang tegak betul dari D ka-AC itu 6 inchi ; dan yang tegak

SO'AL-SO'ALAN 139

betul dari D ka-AB itu pula 4 inchi. Chari berapa panjangsempadan-sempadan rajah itu, clan berapa Iuas-nya.

35. Sa-keping tanah rupa-nya tiga persegi ; clan buka-nyademikian : panjang tapak-nya 116 link clan tinggi-nya 738

link. Sewa semua-nya £24. Chari berapa sewa tanah itu

pada sa-acre.

36. Sa-buah paclang tiga persegi di-dapati panjang sempadan-nya dernikian 450 ela, 750 ela, dan 900 ela. Sewa semua

nya £26. 58. Chari berapa sewa padang itu pada sa-acre.

37. Satu rajah tiga persegi panjang sempadan-nya 5,6, dan7 inchi. Chari berapa luas rajah itu (kirakan pada inchi yangdekat. sa-kali).

38. Sa-buah padang tiga persegi ABC di-dapati sempadanAB = 100 ela, BC = 200 ela dan IABC = 90°. Chari berapaluas-nya. Jika dari B di-lukiskan satu garisan tegak betul

kapada AC, chari berapa pula Iuas rajah-rajah tiga persegiyang terjadi oleh-nya itu.

39. Sempadan-sempadan satu rajah tiga persegi di-dapatimengikut kadar 5, 12, dan 13. Jika jumlah sempadan itusemua-nya 60 ela, chari berapa luas rajah itu.

40. Sempadan-sempadan satu rajah tiga persegi di-dapatimengikut kadar 12, 13, 15. Chari berana luas rajah tigapersegi itu jika jumlah sernua sempadan-nya 80 ela.

Berapa panjang jari-jari bulatan yang melengkongi rajahrajah tiga persegi yang di-nyatakan sempadan-nya di-bawah,

ini.41. AB = 293, BC = 285, dan AC = 68 kaki.

42. AB = 136, BC = 125, dan AC = 99 kaki,

43. AB = 123, BC = 122, dan AC = 49 kaki,44. AB = 267, BC = 244, dan AC = 161 kaki,

140 'ILMU GEOMETRY

So'al Rampai-rampaian XI.

Chari berapa luas rajah ABCD di-atas itu mengikut ukoranyang di-beri di-bawah ini :

1. BD = 50·08 kaki, AE = 10·12 kaki, dan OF = 8·4 kaki .

.A

C

2. BD = 54 kaki, AE = 23 kaki 9 inchi, dan CF = 18 kaki

3 incbi.3. BD = 10 rantai 14 link, AE = 6 rantai 27 link dan

CF = 8 rantai 6 link.

4. BD = 3 rantai 27 link, AE = 2 rantai 15 link, dan

OF = 1 rantai 75 link.

5. BD = 18 ela 2 kaki, AE = CF = 16 ela 1 kaki.

A D

/l'----------\B E c

Berapa luas .rajah ABeD di-bawah ini jika :

6. BO = 5 kaki, AD = 3 kaki, dan AE = 2 kaki.7. BO = 12 kaki, AD = 10 kaki, dan AE = 4 kaki.8. BO = 20 ela, AD = 14 ela dan AE = 12 ela.9. Lukiskan satu rajab empat persegi tepat panjang

garisan ·serong-nya 3·0 inchi. Chari berapa panjang sempadanrajah itu dan berapa pula Iuas-nya,

10. Sa-buah padang e�pat persegi tepat di-dapati panJanggarisan serong-nya 60 ela. Berapa panjang sempadan padangitu dan berapa luas-nya ?

SO'AL-SO'ALAN 141

11. Lukiskan satu rajah empat persegi sa-lari ABCD, rupanya demikian : AB = 5·5 cm., garisan serong AC = 8 cm.,

dan BD = 6 cm. Ukor berapa panjang AD. Chuba chari


12. Chari berapa panjang-nya satu rajah empau persegibujor yang luas 3·9 persegi inchi dan lebar 1·5 inchi. Lukiskan

rajah-nya.So'al Rampai-rampaian XII.

1. ABCDE satu rajah lima sempadan, panjang AC = 16

kaki, AD = 12 kaki, dari B dan D tegak betul ka-atas AC,panjang-nya 8·4 kaki dan 4·6 kaki, dari E tegak betul ka-atasAD 5 kaki, Chari berapa luas rajah itu.

2. ABCDE satu rajah lima sempadan, panjang AD 15·3

kaki, BK = 7·6 kaki, CL = 5·5 kaki, EM = 4·3 kaki, AK =2·7 kaki, DL = 3·9 kaki, dan BK, CL, EM semua-nya tegakbetul ka-atas AD. Berapa luas rajah itu i

3. ABCDEF satu rajah enam sempadan-nya ; BK, CL,EM, FN semua-nya tegak betul ka-atas AD, dan AD = 18·4

kaki, BK = 5 kaki, CL = 7 kaki, EM = 6 kaki, FN = 4 kaki,AK = 4·7 kaki, AN = 4·1 kaki, DL = 5·3 kaki, dan DM = 4'9

kaki. Berapa luas rajah itu �

4. ABCDEF satu rajah enam sempadan yang sama panjangbelaka semua-nya. AB = 57·8 kaki, BF = 64·4 kaki dan

BCEF jadi satu rajah empat persegi bujor. Chari berapaluas rajah ini.

5. ABODE satu rajah lima sempadan; sudut di-E buka

nya ,90° dan AB = 14 kaki, BC = 7 kaki, CD = 10 kaki,

142 'ILMU GEOMETRY

DE = 12 kaki, EA = 5 kaki dan AC 17 kaki. Chari berapaluas rajah itu.

6. Berapa luas satu rajah enarn sempadan, jika tiap-tiapsempadan itu panjang-nya 20 kaki �

7. Di-dalarn satu bulatan yang 50 kaki panjang jari-jarinya ada satu rajah enam sempadan yang sarna panjang keenarnenam-nya. Chari berapa luas rajah ini.

8. Satu rajah gnarn sempadan sarna belaka panjang tiaptiap satu sempadan-nya ia-itu 10 rantai. Chari berapa luas

rajah itu.9. Di-dalarn satu bulatan yang panjang jari-jari-nya 1 kaki

ada satu rajah lapan sempadan yang sama belaka panjang-nya.Berapa luas rajah itu �

10. Di-dalam satu bulatan yang panjang jari-jari-nya 1

kaki ada satu rajah 24 sempadan yang sarna belaka panjangsemua-nya. Chari berapa luas rajah itu.

So'al Rampai-rampaian XIII.Dalarn so'al-so'al di-bawah ini 7T di-pakai 2·2/7. Chari

lah berapa luas bulatan-bulatan yang tersebut itu jika panjangjari-jari-nya demikian :

1. OA = 21 kaki. 2. OA = 16 ela 2 kaki.. 3. OA = I

furlong.Jika 7T = 3·1416, chari-Iah pula berapa luas bulatan-bulatan

yang di-nyatakan jari-jari-nya di-bawah ini :

4. OA = 25 kaki. 5. OA = 922 kaki, 6. OA = satu batu.

SO'AL-SO'ALAN 143

Berapa panjang OA jika luas 0 ABC demikian :

7. Luas 0 ABC = 100 kaki persegi.8. Luas 0 ABC = satu rood.

9. Luas 0 ABC = 5 acre 3 rood 8 pole persegi.10. Luas 0 ABC = 500 kaki persegi.

11. Luas 0 ABC = 6 acre 2 rood 11 pole persegi.12. Luas 0 ABC = satu batu persegi.13. Ada dua bulatan, satu panjang jari-jari-nya 14 kaki

dan satu lagi 16 kaki. Chari berapa luas kedua-dua bulatanitu.14. Jika pada rajah di-bawah ini OA = 10·15 kaki dan

OE = 13·35 kaki, chari berapa luas ruangan yang di-antaralilitan kedua bulatan itu.

15. Jika pada rajah di-bawah ini OA = 14 inchi dan luas

ruangan di-antara kedua-dua bulatan itu 100 inchi persegi,chari berapa panjang OE.

16. Jika pada rajah ini OE = 20 kaki dan luas ruangan

F

di-antara kedua-dua bulatan itu 300 kaki persegi, berapapanjang OA 1

144 'ILMU GEOMETRY

17. Jika luas ! daripada satu bulatan 7 ela persegi, berapapanjang jari-jari bulatan itu ?

18. Jika lilitan satu bulatan 700 kaki, chari berapa luas

bulatan itu.19. Jika lilitan satu bulatan t batu, berapa pula luas-nya

bulatan itu ?

20. Jika luas satu bulatan i acre, berapa panjang Iilitan

nya ?

21. Jika luas satu bulatan sama dengan luas satu rajahernpat persegi bujor yang bersempadan 400 kaki dengan 256

kaki, berapa panjang lilitan bulatan Itu ?

22. Jika jari-jari satu bulatan panjang-nya 8 kaki, berapapanjang jari-jari dan lilitan satu bulatan lain yang sa-parchitu luas-nya ?

23. Jika satu bulatan panjang jari-jari-nya 18 inchi berapapanjang jari-jari satu bulatan lain yang luas 1/5 daripada-nya ?

:;:B �

::tII

D.

... �E"'---25Iialil 3I11Chl----�

24. Ada satu bulatan panjang jari-jari-nya 10 inchi.Lukiskan di-dalam-nya dua bulatan yang lain supaya luas

antara ketiga-tiga lilitan bulatan itu sama,

25. Chari berapa Iuas rajah di-bawah ini :

26. Jika berat udara pada tiap-tiap satu inchi persegi 15pound, berapa berat udara yang terkandong di-dalam satu

bulatan yang It kaki panjang jari-jari-nya j27. Berapa belanja menambak sa-buah padang bulat yang

SO'AL-SO 'ALAN 145-

20 kaki panjang jari-jari-nya, jika upah-nya pada tiap-tiapsatu kaki persegi 28. 3d. ?

28. Pada rajah di-bawah ini OA = 34 bki· 5 inchi dan

CD = 22 inchi. Chari berapa luas ruangan yang di-antara

lilitan kedua-dua bulatan ABC dan DEF itu.

29. Ada satu petak tanah tempat bunga bulat, panjangjari-jari-nya di-dapati 50 kaki. Di-keliling tempat itu di-buat

suatu lorong lebar-nya 101mb. Berapa belanja membuat

lorong itu jika pada tiap-tiap satu kaki persegi upah-nya 4d. ?

D

E

30. Di-tengah padang ada satu bulatan panjang jari-jarinya 20 ela. Di-sa-belah dalam bulatan itu di-buat satu lorongbulat berkeliling di-tepi lilit bulatan itu, lebar-nya lorong ini1 ela. Berapa belanja menamhak lorong itu jika pada tiaptiap satu ela persegi upah-nya 4d. ?

31. Di-keliling sa-buah taman bulat ada suatu lorong.B

D 76kaki T

Panjang lilitan lorong itu sa-belah luar-nya 500 kaki, dansa-bslah dalam-nya 420 kaki. Chari berapa luas lorong itu.

32. Berapa panjang satu rajah empat persegi tepat yangsama Iuas-nya dengan satu bulatan yang 80 kaki panjang[ari-jari-nya t

146 'ILMU GEOMETRY

33. Berapa panjang jari-jari satu bulatan yang sama luas

nya dengan satu rajah empat persegi tepat yang 80 kaki

panjang sempadan-nya ?

34. Chari berapa luas rajah-rajah RSTU di-bawah ini :

35. Pada satu rajah tiga persegi ABC di-dapati AB = 27

kaki, BC = 43 kaki dan sudut ABC 90°. Chari tengah sempadan AC, namakan dia D. Di-D, dan jari-jari-nya DC, lukiskansatu bulatan. Chari berapa Iuas-nya.

36. Chari berapa panjang lilit sa-parch bulatan yang luas

nya 645 kaki persegi.37. Pada satu rajah tiga persegi ABC di-dapati AB = 370

kaki, BC = 168 kaki, dan sudut ABC 90°. Chari berapa Iuas

rajah itu.38. Jika panjang sempadan satu rajah empat persegi

bujor 8 kaki dan lebar-nya 7 kaki, berapa luas satu bulatan,jika lilitan-nya sama dengan jumlah keempat-empat sempadan rajah empat persegi bujor itu ?

39. Satu rajah tiga persegi sempadan-nya. 13, 14 dan 15 em.

Chari berapa luas satu bulatan yang sama panjang lilitan-nyadengan jumlah ketiga-tige, sempadan rajah tiga persegi itu.

40. Jika satu bulatan panjang Iilitan-nya 4 kaki, berapaIuas satu rajah empat persegi tepat yang di-lukiskan betul

betul di-dalam bulatan itu ?

41. -Iika satu bulatan 'panjang lilitan-nya 7 kaki, berapaIuas satu rajah empat persegi tepat yang di-lukiskan betul

betul di-dalam rajah itu, dan nyatakan berapa panjang sempadan-nya?

PRINTED IN GREA.T BRITATN BY

RICHARD CLAY &; SONS, LIMITED,BUNOAY, SUFFOLK.

eja'ga1' k arang :mingara.ng;' - …pustaka2.upsi.edu.my/eprints/2256/1/ilmu...

Documents