97

الثالثالفصل

الرتبة األولى المعادالت التفاضلية منتطبيقات (Application to first order differential equations)

تتسم المعادالت التفاضلية بأهميتها الكبيرة في تطبيقاتها التي تشمل مجاالت العلوم والمعرفة كافة،

هندسة التحليلية والفيزياء والكيمياء وعلم ال: فهي حلقة وصل بين الرياضيات والعلوم األخرى، مثل

فهي تساعد على فهم القوانين والظواهر الطبيعية والحياتية وتساعد في . الخ.. .األحياء، والهندسة،

يمر في ذلك نالحظ أن ولتطبيق المعادالت التفاضلية على المجاالت المذكورة سابقا، . تهاشكالحل م

:مراحل أربع

.م المنطق الرمزياستخدبا بصيغة رياضية والهدف ووضعها لمعطياتالمشكلة وا تحديد .1

.هذه المعطيات تمثل المشكلةتشكيل معادلة تفاضلية من .2

.ودراسة خواصه الطرائق التي تناولناها في الفصل الثاني ىحدإحل المعادلة التفاضلية ب إيجاد .3

.الجوابالى لغة المشكلة والحصول على وترجمته الحلفحص .4

:السابقة بالمخطط االنسيابي اآلتي تتلخيص الخطوايمكن

) rajectories)tOrthogonal المتعامدة المسارات 3.1

.دورا مهما في الرياضيات والفيزياء تؤديحد هذه التطبيقات التي أسنتناول في هذا البند

:بمعلمة واحدةليكن لدينا عائلة منحنيات

(3.1 )0),,( 1 cyxF

إيجاد حل المعادلة التفاضلية وتفسيره

فحص الحل وإعادة صياغية بلغة المشكلة

تحديد المشكلة والمعطيات والهدف

وضع المشكلة بصيغة معادلة تفاضلية

08

:اخرى بحيث تتقاطع مع العائلة األولى على التعامدمعلمة واحدة عائلة منحنيات بجاد يإعندئذ يمكننا

(3.2 )0),,( 2 cyxG

.(3.1)، كما موضح في الشكل "المسارات المتعامدة" بـ Gتسمى العائلة

(3.1)الشكل

، الكهربائيؤؤة السؤؤاكنة (Fluied flow)ان الموائؤؤع يسؤؤر: المسؤؤارات المتعامؤؤدة دورا مهمؤؤا فؤؤي تؤؤؤدي

(Electrostatics) الموصؤالت الحراريؤة ،(Heat conduction)علؤى . خؤرى فؤي الفيزيؤاءأع و، وفؤر

خطوط تساوي الجهد هي مسارات متعامدة على خطوط القوى إن (كما سنبين ذلك الحقا ) مثاللسبيل ا

.الكهربائية

GFوتكتؤب Gعمودية على العائلؤة Fالعائلة ن أ من الواضح ةمماسؤالمسؤتقيمات ال ن أتعنؤي و

المسؤؤتقيم ميؤؤل أن أي. عنؤؤد نقطؤؤة التقؤؤاطع Gلعائلؤؤة ل ةمماسؤؤالمسؤؤتقيمات العموديؤؤة علؤؤى Fعائلؤة لل

Gالعائلؤؤة لمنحنؤؤي ممؤؤا المسؤؤتقيم ال عمؤؤودي علؤؤى ميؤؤل 1mولؤؤيكن Fالعائلؤؤة لمنحنؤؤيممؤؤا ال

),(عند نقطة التقاطع ولؤتكن 2mوليكن 00 yxP . ن أمؤن المعؤروف فؤي حسؤبان التفاضؤل والتكامؤل

:إذا وفقط إذا التعامد يتحققهذا

(3.3 )121 mm

:أي أن

1),(),( 0000 yxGyxF

xyهل المنحني (:1) المثال 1 عمودي على المنحنيx

y1

2 ؟)1, 1( النقطةعند

المسارات المتعامدة

08

:)1, 1(نحسب ميل المما للمنحني األول عند النقطة :الحل

1)1,1(

11

dx

dym

:)1,1(لمما للمنحني الثاني عند النقطة ثم نحسب ميل ا

11

)1,1(2

)1,1(

22

xdx

dym

121إذا mm ،(3.2)شكل ال، كما موضح في )1, 1(ن عند النقطة االمنحنيين متعامد أن أي:

(3.2) شكلال

ت امنحنيالمسارات المتعامدة على عائلة إليجاد. لمتعامدةلرئيسة وهي المسارات النعد الى المسألة ا

:نتبع الخطوات اآلتية ،1cمعلمة واحدة ب

:باشتقاقها، 1c معلمة واحدةبنحنيات نجد المعادلة التفاضلية التي تقابل عائلة الم .1

(3.4 ) ),( yxfy

yxبداللة 1c ةم ل ع نجد الم .2 .(3.4)ونعوضها في المعادلة التفاضلية ,

:العمودية على العائلة المعلومةالمسارات نكتب المعادلة التفاضلية التي تقابل .3

(3.5 ) ),(

1

yxfy

عائلؤؤة المسؤؤارات المتعامؤؤدة وهؤؤي عبؤؤارة عؤؤن فنحصؤؤل علؤؤى (3.5)نجؤؤد حؤؤل المعادلؤؤة التفاضؤؤلية .4

.2c معلمة واحدةمنحنيات ب

xy 1

xy

12

08

:جد المسارات العمودية على (:2) المثال

(3.6 )1

22 cyx

.ثابت اختياري 1c إن حيث

تمثل عائلة دوائر متحدة المركز عند نقطة (3.6) معلمة واحدةعائلة المنحنيات ب ن أنالحظ :الحل

1 ),,(0 :األصل يمكن كتابتها بشكل

22

1 cyxcyxFالثابت يه ةم ل ع الم ن أو

.1cختياري اال

022 :، فنحصل علىxنشتق بالنسبة الى المتغير المستقل dx

dyyx ، نحصل على ومنها

:(3.6)لمعادلة التفاضلية التي تقابل العائلة اy

x

dx

dy . تكون المعادلة التفاضلية التي تقابل عندئذ

:المسارات المتعامدة هيx

y

dx

dy .

:نسؤؤتخدم طريقؤؤة فصؤؤل المتغيؤؤرات، فنحصؤؤل علؤؤىx

dx

y

dy حؤؤل المعادلؤؤة وبالتكامؤؤل نحصؤؤل علؤؤى

2lnlnln :التفاضؤؤلية cxy . إذا عائلؤؤة المسؤؤارات العموديؤؤة هؤؤي: xcy 2 وتمثؤؤل عائلؤؤة

المسؤارات المتعامؤدة علؤى عائلؤة الؤدوائر متحؤدة المركؤز عنؤد أن أي .مستقيمات تمر من نقطة األصؤل

:(3.3)شكل ال، كما موضح في عائلة مستقيمات تمر من نقطة األصلي هنقطة األصل

(3.3) شكلال

فؤي المجؤال الكهربؤائي هنؤأل (Electric field)له ارتباط وثيق بالمجؤال الكهربؤائي (2) لمثالا :مالحظة

:عبؤؤارة عؤؤن دوائؤؤر متحؤؤدة المركؤؤزالمركؤؤز تكؤؤون خطؤؤوط تسؤؤاوي الجهؤؤد تي تين متحؤؤدبؤؤين اسؤؤطوان

),( (فولؤؤت) 22 cyxyxU مسؤؤاراتها المتعامؤؤدة عبؤؤارة عؤؤن خطؤؤوط مسؤؤتقيمة تسؤؤمى إن و

.الكهربائي المجالخطوط

xcy 2

1

22 cyx

08

: جد عائلة المسارات العمودية على (:3) المثال

(3.7 ) 2

1xcy

.ثابت اختياري 1c إن حيث

تمر من (Parabola) مكافئةع وقطتمثل عائلة (3.7)معلمة واحدة عائلة المنحنيات ب ن أنالحظ :الحل

01، فتحتها نحو األعلى عندما تكون نقطة األصل c 01ونحؤو األسؤفل عنؤدما تكؤون c وتكؤون

01عندما ( x -محور) ا مستقيم ا خط c يمكن كتابتها بشكلو .(3.4)شكل ال، كما موضح في:

0),,( 2

11 xcycyxF

.1cختياري الثابت اال يه ةم ل ع الم ن أ حيث

:، فنحصؤل علؤىxنشتق بالنسبة الؤى المتغيؤر المسؤتقل dx

dyxc 12 . 1اآلن نجؤدc المعادلؤة مؤن

12 فنحصؤؤل علؤؤى (3.7)c

x

y ، 1نعؤؤوع عؤؤنثؤؤمc لمعادلؤؤة التفاضؤؤلية السؤؤابقة، فؤؤي ا بمؤؤا يسؤؤاويها

:فنحصؤؤل علؤؤىdx

dyx

x

y)(2

2 :(3.6)نحصؤؤل علؤؤى المعادلؤؤة التفاضؤؤلية التؤؤي تقابؤؤل العائلؤؤة ومنهؤؤا

x

y

dx

dy 2 . تكؤؤون المعادلؤؤة التفاضؤؤلية التؤؤي تقابؤؤل المسؤؤارات المتعامؤؤدة هؤؤيعندئؤؤذ:

y

x

dx

dy

2 .

xdxydy: المتغيرات، فنحصل علىنستخدم طريقة فصل 2 وبالتكامل نحصل علؤى حؤل المعادلؤة

2 :التفاضلية

22

2

1cxy .إذا عائلة المسارات العمودية هي:

2

22

2

1cyx

أن أي .x-محورال ومحورها الرئي هو ،نقطة األصلمركزها (Ellipse)قطوع ناقصة وتمثل عائلة

القطوع الناقصة عائلة نقطة األصل هي هامركزقطوع المكافئة التي المسارات المتعامدة على عائلة ال

:(3.4)شكل ال، كما موضح في x -ومحورها الرئي هو محور نقطة األصلالتي مركزها

08

(3.4) شكلال

علؤى المسؤارات العموديؤةالتؤي تمثؤل ( Equipotential Lines)خطوط تساوي الجهد د ج (:4) المثال

1cxy: ريان عبر قناةجلل (Streamlines)عائلة خطوط االنسياب .

شؤكل الكمؤا فؤي . صؤلألتمثل خطوط انسياب السريان عبر قناة عائلة قطوع زائدة مركزها نقطؤة ا :الحل

0 :، فنحصؤل علؤىxتق بالنسبة الؤى المتغيؤر المسؤتقل نشاآلن . (3.3) ydx

dyx نحصؤل ومنهؤا

:علؤؤى المعادلؤؤة التفاضؤؤلية التؤؤي تقابؤؤل عائلؤؤة خطؤؤوط االنسؤؤيابx

y

dx

dy . تكؤؤون المعادلؤؤة عندئؤؤذ

:التفاضلية التي تقابل المسارات المتعامدة هيy

x

dx

dy

وبالتكامؤؤل نحصؤؤل علؤؤى حؤؤل المعادلؤؤة xdxydy: نسؤؤتخدم طريقؤؤة فصؤؤل المتغيؤؤرات، فنحصؤؤل علؤؤى

:التفاضلية

2

22

2

1

2

1

2

1cxy

:هيعلى عائلة خطوط االنسياب للسريان إذا عائلة المسارات العمودية

2

22 cxy

شكل الأنظر ،مركزها نقطة األصلضا يأوهي عبارة عن قطوع زائدة ،ي الجهدالتي تمثل خطوط تساو

(3.3):

2

1xcy

2

22

2

1cyx

08

(3.3) شكلال

),(دة بالصيغة القطبية ماآلن سنتناول المسارات المتعا r :

fr)( :بالصيغة القطبية متمثل بالدالة C يليكن لدينا منحن

),(وليكن لدينا نقطؤة rP الخؤط الواصؤل بؤين النقطؤة يسؤمى تقؤع علؤى المنحنؤي، عندئؤذP ونقطؤة

الزاوية المحصورة بين المسؤتقيم الممؤا للمنحنؤي لتكن (. Radial line) شعاعيبالخط الاألصل

ين ل، كمؤؤا مبؤؤين فؤؤي الشؤؤك(عكؤؤ عقؤؤرب السؤؤاعة)باالتجؤؤاه الموجؤؤب شؤؤعاعيوالخؤؤط ال P عنؤؤد النقطؤؤة

:إذا من حسبان التفاضل والتكامل يكون .(3.3)و (3.3)

tandr

dr

: )( :ن بالصؤؤؤؤيغة القطبيؤؤؤؤةااآلن لؤؤؤؤيكن لؤؤؤؤدينا منحنيؤؤؤؤ 11 frC و)( : 22 frC . مؤؤؤؤن

1)(: المنحنيؤؤين ن أ( حقؤؤق ذلؤؤك)ن التفاضؤؤل والتكامؤؤل المعؤؤروف فؤؤي حسؤؤبا fr 2)(و fr

: كانإذا وفقط إذا عند نقطة تقاطعهما يكونان متعامدين

1).(tan)(tan21 21 CC

),,(0إذا كانؤؤت : منهؤؤا نسؤؤتنت dr

drrF

دلؤؤة تفاضؤؤلية تمثؤؤل عائلؤؤة منحنيؤؤات باإلحؤؤداثيات معا

(0: هؤي المسارات العمودية عليها إن ، فالقطبية1

,,(

d

dr

rrGن ، إل:

dr

dr

C

11tan

و

1cxy

2

22 cxy

08

d

dr

rC

1cot)

2tan(tan 112 2

جاد المسارات العمودية على العائلةيإلستخدم االحداثيات القطبية ا (:3) المثال

xcyx 1

22 2

),(باستخدام اإلحداثيات القطبية :الحل r وبنقل المعادلة من اإلحداثيات الكارتيزية الى القطبية

: مستخدما التحويل sin ,cos ryrx نحصل على: cos2 1cr

.دية عليهاوجاد المسارات العميإوب التي تمثل عائلة المنحنيات باإلحداثيات القطبية، والمطل

:المعادلة التفاضلية نحصل على جراء المشتقة بالنسبة الى إب

sin2 1cd

dr .

جاد قيمة يإبcos2

1

rc والتعويع في المعادلة التفاضلية نحصل على:

cos

sinsin

cos22 r

r

d

dr

:على المعادلة التفاضلية باالحداثيات القطبية التي تمثل عائلة المنحنيات ومنها نحصل

1tansin

cos

dr

dr

:المعادلة التفاضلية التي تقابل المسارات العمودية هي إن وعليه

2tancos

sin

dr

dr

:وبفصل المتغيرات نحصل على

sin

cos d

r

dr نحصل علىل التكاممنها بعد إجراء و:

22lnsinlnln cr

sin2 :إذا المسارات العمودية هي 2cr .المسارات العمودية على العائلة أن أي:

cos2 1cr هي العائلة: sin2 2cr . 3.3)الحظ الشكل(.

xcyx: علؤؤى العائلؤؤةالمسؤؤارات العموديؤؤة ن أباإلحؤؤداثيات الكارتيزيؤؤة نجؤؤد 1

22 2 هؤؤي العائلؤؤة :

ycyx 2

22 2. وتمثل المسارات العمودية عائلة الدوائر التي تم محور- x عند نقطة األصل.

09

(3.3) الشكل

sin1(1(: جد المسارات العمودية على (:3) المثال cr

:فنحصل على ، 1cونعوع بالثابت نشتق :حلال

sin1

coscos1

rc

d

dr

:ومنها نحصل على المعادلة التفاضلية التي تقابل عائلة المنحنيات

1tancos

sin1

dr

dr

:المعادلة التفاضلية التي تقابل عائلة المسارات العمودية أن أي

2tansin1

cos

dr

dr

:اآلن نحل المعادلة بطريقة فصل المتغيرات، فنحصل على

dd

r

dr )tan(sec

cos

sin1

:ومنها نحصل على الحل

2lncoslntanseclnln cr

)sin1(ln 2 c

sin1(2( :إذا المسارات العمودية هي cr . يبين ذلك (3.3)والشكل.

sin2 1cr

cos2 2cr

00

(3.3) الشكل

( Physics inApplications) الفيزياءتطبيقات في 3.2

سؤؤقوطا حؤؤرا السؤؤاقطة جسؤؤام االب سؤؤنبدأ ، الفيزيؤؤاءبلننتقؤؤل اآلن الؤؤى تطبيقؤؤات مؤؤن نمؤؤط خؤؤر تتعلؤؤق

(Free fall) زيؤاء أن الجسؤم السؤاقط تكؤون سؤرعته مؤن المعؤروف فؤي الفي. بؤالقرب مؤن سؤطح االرع

اتجاه عمودي على سطح ي، ويسير على خط مستقيم ذ(ا تساوي صفريمكن أن بالطبع ) 0vة بتدائياال

أما قيمته فهي تقترب gاالرع وحركته تكون بتسارع ثابت يسمى التعجيل االرضي ويرمز له بالرمز

حسؤؤؤب نظؤؤؤام الوحؤؤؤدات ) 2ثؤؤؤا/ قؤؤؤدم 32 أو( IS - حسؤؤؤب نظؤؤؤام الوحؤؤؤدات الؤؤؤدولي) 2ثؤؤؤا/م 9.8 مؤؤؤن

سنسؤؤتخدم فؤؤي هؤؤذا الكتؤؤاب نظؤؤام الوحؤؤدات الؤؤدولي تماشؤؤيا مؤؤع االتجؤؤاه المعاصؤؤر فؤؤي كتؤؤب (. البريطؤؤاني

البريطانية وخاصة في التمارين لتعويد الطالب على ، وقد نستخدم احيانا نظام الوحدات الحديثة الفيزياء

النظؤؤامين وسؤؤهولة مراجعؤؤة المصؤؤادر فؤؤي كتؤؤب المعؤؤادالت التفاضؤؤلية التؤؤي غالبيتهؤؤا تسؤؤتخدم النظؤؤام

:الجدول اآلتي يوضح الفرق بين النظامينو .كون الحسابات أيسر و أبسط البريطاني

ني في الحركةات المستخدمة في قانون نيوتن الثادجدول نظام الوح

النظام العالمي النظام البريطاني المادة

kg(كغم)كيلوغرام slug (قدم/2ثا -رطل)سل الكتلة

N (2ثا/ كغم -متر)نيوتن lbرطل القوة

mمتر ftقدم المسافة

sec( ثا)ثانية sec( ثا)ثانية الزمن

)sin1(2 cr

)sin1(1 cr

07

. بين ذلك في المثال اآلتيكما سن

ة ابتدائيؤبسؤرعة 0xرتفاعها ا يةابنسطح من رأسيا نحو األعلى mجسم كتلته قذف (:1) المثال

التعجيؤؤل األرضؤؤي ن أإذا علمؤؤت tزمؤؤن أيعنؤؤد tv)(والسؤؤرعة tx)( رتفؤؤاع، جؤؤد اال0vمقؤؤدارها

.(3.3)شكل الكما مبين في .gالثابت

(3)

maF :فعندئذ حسب قانون نيوتن الثاني. لنفترع أن االتجاه الموجب هو نحو االعلى :الحل

2

2

dt

xdmmamg

: ومنه نحصل على المعادلة التفاضلية

gdt

xd

2

2

جراء إوبؤ. ألن وزن الجسم هو قوة متجهة نحو األسؤفل أي عكؤ االتجؤاه يعزى السالبة وجود االشارة

)0(0 بتدائيعملية التكامل والتعويع في الشرط اال vv زمؤن ي سؤرعة الجسؤم عنؤد أ ، نحصؤل علؤى

t: 0)( vgtdt

dxtv

)0(0 بتؤؤدائيوالتعؤؤويع فؤؤي الشؤؤرط اال ثانيؤؤة جراء عمليؤؤة التكامؤؤلإوبؤؤ xx ارتفؤؤاع ، نحصؤؤل علؤؤى

t: 00زمن أي الجسم عند

2

2

1)( xtvgttx

00أي ة صؤفرا،بتدائيؤعندما تكؤون السؤرعة اال: مالحظة v ، فؤإن ارتفؤاع الجسؤم عنؤد أي زمؤنt

:يصبح2

02

1)( gtxtx

(3.3) الشكل

78

عن سطح االرع tx)(الكرة ارتفاع جد. مترا 13من أعلى بناية ارتفاعها ت كرةسقط(: 2)المثال

.واحدة بعد ثانية الكرة، ثم جد ارتفاع tعند أي زمن

. ا ة تسؤاوي صؤؤفربتدائيؤؤبمؤؤا أن الجسؤم سؤؤقط مؤن أعلؤؤى بنايؤة دون دفؤؤع، فعليؤه تكؤؤون السؤرعة اال :الحؤل

التعجيل االرضي يساويباعتبار أن 2sec/ 8.9 mg وبتطبيق المعادلة ،:

2

02

1)( gtxtx

:tنحصل على ارتفاع الجسم الساقط عن األرع عند أي زمن

.22 9.416)8.9(

2

116)( tttx

:ة فهودأما ارتفاع الجسم بعد ثانية واح

m ( متر) 1.11)1(516)( 2 tx

بقين أننا قد اهملنا مقاومة الهواء او اي تدخل فؤي حركؤة االجسؤام، ننتقؤل اآلن الحظنا في المثالين السا

سنفترع ان الجسم يتحرك داخل مائع فيه مقاومة، تسمى هذه . الى تطبيقات في الفيزياء من نمط خر

:كما سنوضح ذلك في المثال اآلتي (Motion in fluids)" الحركة خالل الموائع" بـالحالة

vسرعة الجسؤم مقدار تتناسب مقاومته مع مائع من السكون في mسقط جسم كتلته (:3) المثال

.tلحظة أيةعند وسرعته الجسم ارتفاع جد . gالتعجيل األرضي هو الثابت ن أبفرع

:(3.3)شكل النحو األسفل، كما في واتجاهه الموجب الخط الرأسي x -حورنأخذ م :الحل

، حيث kv هي عندئذ المقاومة. (له اتجاه موجب يأ)سفل األنحويؤثر رأسيا mg ليكن وزن الجسم

:وبذلك قانون نيوتن يأخذ الصيغة .التناسب تثاب 0k إن dt

dvmkvmg .أن أي :

(3.3)الشكل

78

gvm

k

dt

dv خطية من الرتبة األولى فيها عامل المكامل تفاضلية وهي معادلة:

tm

k

et

)(

:والحل العام للمعادلة التفاضلية هو

tm

k

cek

mgv

)0(0 بتدائياالبالشرط وبالتعويع v ، نحصل على: k

mgc .سرعة الجسم هي أن أي :

)1( t

m

k

ek

mgv

ن أ t نالحظ عندماk

mgvv e .

، نعوع عن tx)( زاحةالللحصول على اdt

dxv ، فنحصل على:

)1( t

m

k

ek

mg

dt

dx

)0(0 بتدائياالجراء عملية التكامل والتعويع بالشرط إب xنحصل على اإلزاحة ،:

)1()(

2

2t

m

k

ek

gmt

k

mgtx

.

فؤإذا 0vة ابتدائيؤرأسيا نحو األعلؤى بسؤرعة 0mة بتدائيالأطلقت مركبة فضاء كتلتها ا (:4) المثال

)( fmكانت كتلؤة الوقؤود فؤي الخؤزان 0 fmm تتنؤاقص بسؤبب االحتؤراق بمعؤدل ثابؤت خؤالل

الجاذبيؤة ثابتؤة ن أبفؤرع uالغاز النات من احتؤراق الوقؤود تسؤاوي وسرعة اندفاع 1tفترة زمنية

.همال مقاومة الهواء، جد السرعة عندما يكون الوقود قد احترق كليا إو

10 :لحظة هي أيةكتلة المركبة عند إن :الحل , )( tttmtm

1ttعندما يكون كتلة المركبة تصبح إن ، ف: fmmtmm 0101

tt 1: عنؤؤؤؤؤدما تكؤؤؤؤؤون معادلؤؤؤؤؤة الحركؤؤؤؤؤة هؤؤؤؤؤي إن ، فؤؤؤؤؤ: dt

dmugtm

dt

dvtm :أن أي. )()(

ugtmdt

dvtm ) () ( وعليه 00

) ( 0 tm

ug

dt

dv

وهي معادلة مؤن

78

:حصؤؤؤؤؤؤؤل علؤؤؤؤؤؤؤى الحؤؤؤؤؤؤؤل العؤؤؤؤؤؤؤامالرتبؤؤؤؤؤؤؤة األولؤؤؤؤؤؤؤى يمكؤؤؤؤؤؤؤن حلهؤؤؤؤؤؤؤا بطريقؤؤؤؤؤؤؤة فصؤؤؤؤؤؤؤل المتغيؤؤؤؤؤؤؤرات ون

ctmumgv ) ln( 0 إن حيؤؤث c بتؤؤدائيبؤؤالتعويع بالشؤؤرط اال .ثابؤؤت اختيؤؤاري :

0vv 0عنؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤدماt ،نحصؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤل علؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤى: cmuv 00 ln ،أي

1:أن 0

00 ),

ln( tt

tm

mugtvv

:لسرعة عند احتؤراق الوقؤود كليؤا هؤياوبذلك تكون

)ln()(0

001

f

f

mm

mu

mgvv

كبؤؤر مؤؤن سؤؤرعة الهؤؤروب عنؤؤد أفؤؤإذا كانؤؤت هؤؤذه السؤؤرعة .

المركبؤة تكؤون قؤادرة علؤى تؤرك مجؤال الجاذبيؤة إن اللحظة فؤ وصلت اليه المركبة في تلك ياالرتفاع الذ

ضؤافية إل في حركة المركبة عوامل مالم تتدخ)سطح األرع الىستعود مرة أخرى فإنهااألرضية وإال

د بزيؤادة سؤرعة انؤدفاع الغؤاز النؤات ياسرعة المركبة تتز ن أالمعادلة التفاضلية حل يتضح من (.أخرى

.حتراقالمن ا

) ircuitscElectric( الكهربائية اتالدار -تطبيقات في الكهربائية 3.3

دارةداخؤؤل يالكهربؤؤائالتيؤؤار تؤؤي تخؤؤدم سؤؤريان سؤؤنتناول فؤؤي هؤؤذا البنؤؤد المعؤؤادالت التفاضؤؤلية الخطيؤؤة ال

:لمانييناليعود الفضل في تناول هذه التطبيقات الى كل من العالمين ا. بسيطةكهربائية

جورج أوم(George Ohm) : اشتهر (م1334 -1333)لماني عاش خالل الفترة اعالم فيزيائي

امؤؤؤؤل الرياضؤؤؤؤي الشهيردرشؤؤؤؤلي التيؤؤؤؤار الكهربؤؤؤؤائي التؤؤؤؤي سنسؤؤؤؤتخدمها الحقؤؤؤؤا، زبوضؤؤؤؤع قؤؤؤؤوانين

(Dirichlet.) وأقرانؤؤه اكتشؤؤافاته ممؤؤا جعلؤؤه يقؤؤدم اسؤؤتقالته مؤؤن ؤهفؤؤي بؤؤدء األمؤؤر لؤؤم يصؤؤدق زمؤؤال

.عظمة اكتشافاته فعززوه وكرموه زمالؤهقن أيكرسي األستاذية وينعزل، لكن فيما بعد

شؤؤوفتريسؤؤتاف ككو (Gustav Kirchhoff) ل الفتؤؤرة ضؤؤا عؤؤاش خؤؤالأيلمؤؤاني اعؤؤالم فيزيؤؤائي

هؤؤو معؤؤروف لكؤؤل طلبؤؤة الفيزيؤؤاء مؤؤن خؤؤالل ، وشؤؤتهر بقوانينؤؤه فؤؤي الكهربائيؤؤةا (م1333 -1342)

ي ذشتهر في تحليل الطيؤف الؤاكما .الذي سنستخدمه الحقا ( قانون الحلقة)الثاني القانون ،يهقانون

.لنجوملاستخدمه في دراسته

:تحتوي على (ر ونقول دارةأحيانا نختص) بسيطةكهربائية دارةاآلن ليكن لدينا

أو ملف محاثة (Inductor ) حثها الذاتيL هنري

مقاومة(Resistor ) مقدارهاR أوم

78

متسعة أو مكثفCapacitor) ) سعتهاC فراد

دافعة كهربائية قوةemf (Electromotive force )

بطاريات ، : هاومن أهم مصادر. فولت tE)(جهدها التي

مولدات، وخالية شمسية

(3.13)الشكل

.(3.13)شكل ال، كما مبين في tتعتمد على الزمن tE)( إن ثوابت، و C، و R و L إن حيث

مثؤل ي ا كولومؤ tq)( ولؤيكن ، t زمؤن أيعنؤد الكهربائيؤة دارةالمؤار بالؤيرمز للتيار ا أمبير ti)( ليكن

ti)( :العالقة بين التيار وكمية الشحنة هي إن . t زمن أيند ع كمية الشحنةdt

dq.

:إن الذي ينص على أوم حسب قانون

: والملف هفرق الجهد على طرفي -2

2d

dt

di

dt

qLLEL

: وومة هالمقافرق الجهد على طرفي -dt

dqRtiRER )(

)(: وه تسعةالمفرق الجهد على طرفي -1

tqC

EC

(Loop rule) الحلقة عدةقا – يةشوف الثانتريك عدةقا

دارة رع عناصؤؤيؤؤلفؤؤروق الجهؤؤد حؤؤول جمالمجمؤؤوع الجبؤؤري ن أعلؤؤى يؤؤةشؤؤوف الثانتريكعؤؤدة نص قاتؤؤ

:هذا يعني. كهربائية مغلقة هو صفر

0)( CLR EEEtE

:أن أي

CLR EEEtE )(

:التي يمكن كتابتها بالصيغة

(3.8) )(1

)( dt

di )( tq

CtiRLtE

:أي أن

(3.9) )(1d

)(2

2

tqCdt

dqR

dt

qLtE

78

يساوي مغلقة كهربائية دارةفي لكهربائيةا قوة الدافعةالن فرق الجهد عند طرفي أتعني (3.8)المعادلة

(3.11)شكل ال، كما مبين في دارةالفي المارة ع فروق الجهد عند طرفي العناصر االخرى مجمو

(3.11)الشكل

هي معادلة خطية من الرتبة الثانية، لم يسبق أن درسنا طريقة حلها وهذا ما (3.8)المعادلة ن أنالحظ

:اتدارال تناول نوعين منعليه سن. بعسنفعله في الفصل الرا

:(ملف –مقاومة )كهربائية دارة .1

شكل ال، كما مبين في فقط حاثةوم ،مقاومةو كهربائية قوة دافعة : المغلقة على دارةوي هذه التتح

(3.12) .

(3.12)الشكل

:هي ةاصر الثالثنعندئذ تكون المعادلة التفاضلية التي تقابل هذه الع

(3.10) )( )( tiRdt

diLtE

كما فعلنا في البند خطية غير متجانسة من الرتبة األولى معادلة تفاضلية يمكن حلها على أسا و

:المعادلة ن أباعتبار ( يأتيكما )، أو بطريقة فصل المتغيرات حاول ذلك (2.4)

)( )( tiRtE

di

L

dt

78

ln)( )( :نحصل على وبإجراء التكامل1

tiRtER

cL

t إن حيث c ثابت يمكن حسابه من

، 0Eوالقوة الدافعة الكهربائية هي ثابتة ولتكن 0i إن 0tعندما : بتدائيالشرط اال

0ln : فبالتعويع نحصل على1

ER

c ومنها نحصل على:

0

0 ln

E

iRE

L

tR الحل أن أي:

0

0 e

E

iREtL

R

.

:التيارومنه نحصل على معادلة

(3.11 )

tL

R

eR

Eti

0 1)(

EtiR )(0 تصبح (3.11) المعادلة إن ف، tعندما وهو ما يعرف بقانون أوم.

( متسعة – مقاومة)كهربائية دارة .2

شكل ال،، كما مبين في فقط متسعةو ، مقاومةو ةقوة دافعة كهربائي :المغلقة على دارةوي هذه التتح

(3.13) .

(3.13)الشكل

:هي ةر الثالثاصنعندئذ تكون المعادلة التفاضلية التي تقابل هذه الع

(3.12) )(1

)( tqCdt

dqRtE

من الرتبة األولى يمكن حلها كما فعلنا في ة غير متجانسةخطية تفاضلي ةمعادل يه (3.12) ةالمعادل

.(حاول بالطريقتين)وحلها كما في الحالة األولى ،عتبارها متجانسةا ، أو(2.4)البند

78

) احثهحاثة ومأوم 13في دارة بسيطة تتألف من مقاومة :(1) المثال2

1مربوطة على هنري (

بتدائيالالتيار ا ن أذا علمت إ المار التيار احسب. تفول 12قوتها الدافعة الكهربائية التوالي مع بطارية

.هو صفر

:يةنحصل على المعادلة الخط (3.10)من المعادلة :الحل

0)0( ),( 102

112 iti

dt

di

: المكامل لنجد عامtet 20)( المعادلة التفاضلية فنحصل علىب طرفي ، ونضر:

tt eiedt

d 20 20 24)( .جراء عملية التكامل نحصل على التيارإب: tceti 20

5

6)(

)0(0 بتدائياالوبالتعويع بالشرط i نحصل على الثابت ،5

6c .إذا التيار:

)1(5

6)( 20 teti

مربوطؤة علؤى فؤراد 410أوم ومتسعة سؤعتها 233 في دارة بسيطة تتألف من مقاومة :(2) المثال

أيةفي tq)( نة الكهربائيةالشحكمية احسب. فولت 233كهربائية الدافعة بطارية قوتها الالتوالي مع

)0(0ن أإذا علمت ، tلحظة q . ثانية 02.0شدة التيار الكهربائي بعد مضي احسبثم.

:نحصل على المعادلة الخطية (3.12)من المعادلة :الحل

)(10

1200200

4tq

dt

dq

.

50)(1 :والتبسيط نحصل على 233 ىوبالقسمة عل tqdt

dqوهي عبارة عن معادلة خطية مؤن

(:حقؤؤؤق ذلؤؤؤك)الرتبؤؤؤة األولؤؤؤى حلهؤؤؤا tcetq 50

50

1)( .بتؤؤؤدائيوبؤؤؤالتعويع فؤؤؤي الشؤؤؤرط اال

0)0( q قيمة الثابت ى نحصل عل50

1c ،كمية الشحنة هي ن أ أي:

tetq 50150

1)( .

79

:نحصؤؤل علؤؤى التيؤؤارشؤؤتقاق وباالte

dt

dqti 50)( . ثانيؤؤة هؤؤو 02.0التيؤؤار بعؤؤد يكؤؤون وعليؤؤه

1 ei أمبير.

(النمو واالضمحالل)األحياء علم تطبيقات في 3.4

Application in Biology (Growth and Decay)

بشكل خاص على المسائل التي تتعلق بنمو أو ينزرك محياء، ألاعلم البند بعع تطبيقات هذا نتناول في

وومؤؤا مؤؤالثتينسؤؤب هؤؤذا العمؤؤل الؤؤى االقتصؤؤادي البريطؤؤاني . اضؤؤمحالل عينؤؤة مؤؤن مجتمؤؤع معؤؤين

(Thomas Malthus ) يتناسؤبي عينؤة أتغير ن معدل أم صاحب الفرضية التي تنص على 1333سنة

.العينة عددتبع

فإن معؤدل تغيؤر هؤذه العينؤة بالنسؤبة للؤزمن هؤو tP)( عددهاعينة من مجتمع ما إذا فرضا أن dt

dP

tP)( :أي أن ، tP)(العينة عدديتناسب مع وdt

dP .حصل علىومنها ن:

(3.13) )(tkPdt

dP

هي من الرتبة األولى يمكن حلها بطريقة فصل (3.13)المعادلة التفاضلية .ناسبثابت الت kحيث إن

kdt :يأتيكما المتغيرات،P

dP ،1 :وبإجراء التكامل، نحصل علىln cktP 1حيثc ثابت

:ومنها نحصل على .اختياريtkcetP )( ، 1حيثcec هي ثابت.

، فإن المعادلة 0tأي قبل بدء التجربة، أي عندما ،0Pهو في البدء العينة عددن أإذا فرضنا

cP :السابقة تصبح 0 هو ،(3.13) حل المعادلة إن وعليه:

(3.14 )tkePtP

0)(

، كما موضؤح ا تمثل نموها فإن ، 0kإذا كان و، تمثل اضمحالال (3.14)المعادلة ن إ، ف0kإذا كان

:(3.14)في الشكل

70

(3.14)شكل ال

بعد و. العينة الموجودة في أي وقتنمو خاليا تزداد بمعدل يتناسب مع عدد ةبكتريعينة (:1)المثال

؟ا ضعف 13 العينة خاليا ة يصبح عدداعفبعد كم س مثال،أربعة أالعينة الياخ عددصبح أ تيناعس

:(3.14)نبدأ من المعادلة :الحلtkePtP

0)( ، 0ن إحيثP العينة قبل بدء خاليا عدد

)2(04 إن ، ساعات 2tعندما . التجربة PP ومنها نحصل على ، : 2

004 kePP ، أي

2ln4ln :أن 2

1k. نيكووبذلك:

tePtP ln2)(

0)( .

.(3.13)، انظر الشكل ةنالعيخاليا زيادة في عدد : ، أيا لة تمثل نموأموجبة إلن المس kن أنالحظ

:عنؤؤدما يكؤؤون عفا ضؤؤ 13العينؤؤة اآلن، يصؤؤبح عؤؤددtePP ln2)(

0016 ومنؤؤه نحصؤؤل علؤؤى الؤؤزمن

4الالزم، وهو 2ln

16lnt ساعة.

(3.13)الشكل

ktePtP 0)(

0 k

0 k

2ln

0)( tePtP

t

77

خبؤرا حؤول العثؤور علؤى عظؤم ( التلفاز او المؤذياع)نسمع كثيرا من خالل األجهزة المرئية والمسموعة

ذلك في هؤذا الجؤزء نالعمر؟ سنحاول االجابة ع ذلك سنين، كيف تم تقديرمتحجر عمره يقدر بماليين ال

.من البند

يكؤون زمؤن عنؤدمابمؤرور الؤزمن، و األصؤليةمادتهؤا المشؤعة تفقؤد مؤن في الطبيعة عناصر مشعةيوجد

مؤادة مشؤعة ماليورانيؤو: مؤثال . قرارا تأكثؤر اسؤالمؤادة تكؤون طؤويال األصلية المادةفقدان جزء معين من

.يقدر بمئات السنين بزمن طويل ضئيال جزءا المشعة هامادتتفقد من

الزم كي تفقد تلؤك للمادة مشعة معينة بانه هو الزمن ا( Half - life time" )العمر -زمن نصف"يدعى

C14زمن نصف العمر لمؤادة الكربؤون يقدرفي العظام . خرىأتحول الى صيغة كميتها وتالمادة نصف

سؤؤنة (Willard Libby)هؤؤذا االكتشؤؤاف الكبيؤؤر العؤؤالم الكيميؤؤائي ويؤؤالرد ليبؤؤي أنجز. سؤؤنة 3333هؤؤو

العمؤر -مؤن نصؤفزيبؤين اآلتؤيالجؤدول . م1333م الحاصل علؤى جؤائزة نوبؤل فؤي الكيميؤاء سؤنة 1333

:المشعة الموادلبعع

لمواد المشعةلبعع االعمر -جدول زمن نصف

عثر على عظم متحجر يحتوي علؤى (:2)المثال 1000

1C14الكربؤون مؤن

فؤي حالؤة المقؤرر وجؤوده

.قدر عمر المتحجر. الحياة

:(3.14)نبؤؤدأ مؤؤن المعادلؤؤة :الحؤؤلtkePtP

0)( ، 0ن إحيؤؤثP الكربؤؤون تمثؤؤل كميؤؤةC14المقؤؤرر

. وجوده في حالة الحياة

الرمز المادة

الذري

العمر -زمن نصف

سنة

الرمز المادة

ذريال

العمر -زمن نصف

سنة

Al26 المنيوم

5104.7 بولونيوم Po209 100

Be10 بريليم 61051.1 بولونيوم Po210

days 138

C14 كربونRn222 رادون 5600

days 82.3

Cl36 كلورين

51001.3 راديوم Ra226 1700

I131 اليود days 05.8 ثوريوم Th230

000,75

K40 البوتاسيوم

9104.27.1 يورانيوم U238

91051.4

888

0 إن سنة، 5600tعندما 2

1)5600( PP قيمة ، ومنها نحصل علىk بحل المعادلة :

5600

002

1 kePP ، 00012378.0: أي أن5600

2lnk . إذا:

t0.00012378

0)( ePtP

0اآلن عنؤؤؤدما .اضؤؤؤمحالال ن المسؤؤؤالة تمثؤؤؤل أل سؤؤؤالبة kن أنالحؤؤؤظ 1000

1)( PtP نحصؤؤؤل علؤؤؤى ، :

t0.00012378

001000

1 ePP ومنه نحصل على الزمن الالزم، وهو:

800,55سنة 00012378.0

1000lnt .

U238لمسؤتقر النسؤبي ا معل ذري يحول اليورانيوامف (:3)المثال وجؤد . 233 الؤى نظيؤر البالتينيؤوم

العمؤر -جؤد زمؤن نصؤف. قؤد اضؤمحلت 0Pمن الكمية األصلية للبالتينيوم 3.343 %ن أسنة 13بعد

.ن معدل التغير يتناسب مع الكمية المتبقيةألنظير البالتينيوم إذا علمت

:(3.14)نبدأ من المعادلة . tزمن أيترمز الى كمية البالتينيوم المتبقية عند tP)( ع أن نفر :الحل

أيtkePtP

0)( .

قد 0Pمن الكمية األصلية %99.957قد اضمحلت، فإن 0Pمن الكمية األصلية %0.043إذا كان

:أي أن . تبقؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤىk 15

00 PP 99957.0 e ومنهؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤا نحصؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤل علؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤى قيمؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤة الثابؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤؤت :

00002867.099957.0ln15

1k .إذا المعادلة تصبح:

t0.00002867

0)( ePtP

:يتم عندما تكونالعمر –زمن نصف إن .ن المسالة تمثل اضمحالال ألسالبة kن أنالحظ

02

1)( PtP ، ن أومنهؤؤا نسؤؤتنت :

t0.00012378

002

1 ePP ،ومنؤؤه نحصؤؤل علؤؤى الؤؤزمن الؤؤالزم

180,24سنة : وهو000012378.0

2lnt .

888

(Application in Chemistry)تطبيقات في الكيمياء 3.3

(Mixture problems)سوف نركز على مسؤائل الخلؤط .لكيمياءنتناول في هذا البند بعع تطبيقات ا

أ بالمسألة المتعلقة دسنب .(Cooling problems) في التركيز ومسائل البرودة مختلفين بين محلولين

فهرنهايؤتدرجة tT)(ليكن لدينا جسم درجة حرارته هي ":قانون نيوتن في التبريد" بـ FtT o)(

وهؤ tبالنسؤبة للؤزمن tT)(معدل تغير درجؤة حؤرارة الجسؤم إن ، بالطبع tعند زمن معين dt

dT .

FTدرجة حرارة الوسط المحيط بالجسم هي الثابت نفرع أن o

إن قانون نيوتن . (درجة فهرنهايت) 1

يتناسؤب مؤع حاصؤل tبالنسؤبة للؤزمن tT)(معدل تغيؤر درجؤة حؤرارة الجسؤم :في التبريد ينص على

:أي أن . ودرجة حرارة الوسط المحيط بالجسم tT)(الفرق بين درجة حرارة الجسم

)( 1TTkdt

dT

.ناسبثابت الت kحيث

:، كما هو موضحيمكن حلها بطريقة فصل المتغيراتو من الرتبة األولى السابقةالمعادلة

kdtTT

dT

)( 1

11 :على لبإجراء عملية التكامل نحص cktTTLn 1ن إحيثc ومنها نحصل . ثابت التكامل

:على

(3.15 ) tkceTT

1

1cecحيث إن هي ثابت.

سؤاعتين بعؤد . Fo66ي هؤ ، 0t البؤدء، أي عنؤدما درجؤة حؤرارة غرفؤة عنؤد كنتلؤ(: 1)المثال

إذا من البؤدء، اتساع 13كم تصبح درجة الحرارة بعد . Fo63 أصبحت درجة حرارة الغرفة ينتثنا

؟Fo32 يعلمت إن درجة حرارة الوسط المحيط ه

: الحل هو ن أمعطيات نجد ، وبالتعويع بال (3.15)من المعادلة أنبد :الحلtkceT 32

)0(66 بتدائياالوبالتعويع بالشرط T نحصل على ،: )0(3266 kce

:، ومنها يصبح الحل 34c: الثابت أي أن tkeT 3432 .

888

: ، ومنها نحصل على63T إن ، 2t ن عندما آلاke2343263 وبحلها

046187.0911765.0ln :نحصل على قيمة الثابت2

1

34

31ln

2

1k

:إذا الحل هو

teT 046187.03432

:ساعات تكون درجة الحرارة 13بعد و

FeT o )10( 046187.0 4.533432 .

.ئل الخلط بين محلولين مختلفين في التركيزااآلن مس نتناول

رطال من الملح ، عند لحظة معينة 43من ماء مذاب فيه جالون 233برميل يحتوي على (:2)المثال

سمحنا لمحلول خر من المؤادة الكيمياويؤة نفسؤها ولكؤن بتركيؤز يسؤاوي رطلؤين اثنؤين لكؤل غؤالون بؤأن

جيؤدا وسؤمحنا للخلؤيط نخلؤط المحلؤوال. فؤي الدقيقؤة اتغالونؤ 3ى بمعؤدل يتدفق الؤى البرميؤل مؤن األعلؤ

كميؤؤة الملؤؤح فؤؤي احسؤؤب. بؤؤالخروج مؤؤن الجهؤؤة السؤؤفلى للبرميؤؤل بمعؤؤدل خؤؤروج يسؤؤاوي معؤؤدل الؤؤدخول

فسؤر ؟ بعد زمؤن طويؤل جؤدا كمية الملح دقيقة؟ وما 23ما كمية الملح بعد . tالمحلول عند أية لحظة

.ذلك مع الرسم

(3.13)الحظ الشكل لتبسيط المسألة وتحويلها الى صيغة معادلة تفاضلية :الحل

:فعليه يكون .tA)(تساوي tنفرع أن كمية الملح في المحلول عند أية لحظة

( = قبيل بدء التجربة) تركيز المحلول األصلي -200

40

5

1 غالون/ رطل.

.غالون وهو اكبر من تركيز المحلول األصلي/ رطل 2= تركيز المحلول الداخل -

.دقيقة/ غالونات 3= معدل خروج المحلول = معدل دخول المحلول -

ويساوي tتركيز المحلول عند الخروج هو متغير ويعتمد على الزمن -200

)(tA .غالون/ رطل

يساوي tمعدل تغير كمية الملح في البرميل بالنسبة للزمن -dt

dA .

أرطال 2 =13 3= التركيز معدل دخول المحلول = معدل دخول كمية الملح -

3= التركيز معدل خروج المحلول = خروج كمية الملح معدل -200

)(tA رطل

888

معدل خروج كمية الملح –معدل دخول كمية الملح = معدل تغير كمية الملح في البرميل -

(3.13)الشكل

:إذا

AA

dt

dA025.010

200

510

:ي أن أ

10025.0 Adt

dA

:المكامؤؤل هؤؤو معامؤؤلوهؤؤي معادلؤؤة خطيؤؤة غيؤؤر متجانسؤؤة مؤؤن الرتبؤؤة األولؤؤى، فيهؤؤا t025.0)( et

:وعندئذ يكون t025.0 t025.0 10)( eAe .

:إذا الحل العام هو t025.0 400)( cetA.

)0(40 إن 0tاآلن عندما A360: ، ومنها نحصل على قيمة الثابتc.

:هي t عند أي زمن إذا كمية الملح

t025.0 360400)( etA.

:دقيقة هي 23كمية الملح بعد و

438.182)(360400360400)( 5.0 (20) 025.0 eetA.

888

433كمية الملح بعد زمن طويل جدا هو إن فعليه . t025.0 e 0 إن ، tاآلن، عندما

يكون التركيز وبعد زمن طويل ،غالون ماء 233وي على توهذا الجواب منطقي إلن البرميل يح. رطل

:(3.13)الشكل نظر ا. الجواب مطابق أي أن ،ملح لكل غالون يرطل 2

(3.13)الشكل

.في حالة كون معدل دخول المحلول ال يساوي معدل خروج المحلول ش فيما يأتي مسائل الخلط نناق

يزيد دقيقة/ غالون 5.5 بالمعطيات نفسها ولكن معدل دخول المحلول (2)أعد حل المثال (:3)المثال

معدل خروجه بمقدار عن2

1 . دقيقة 233دقيقة، وبعد 33كمية الملح بعد احسبم ث .دقيقة/غالون

.دقيقة/ غالون 5= معدل خروج المحلول و .دقيقة/ غالون 5.5= معدل دخول المحلول :الحل

ييساو tتركيز المحلول عند الخروج هو متغير ويعتمد على الزمن t

tA

5.0200

)(

.غالون/ رطل

5.5211= التركيز معدل دخول المحلول = معدل دخول كمية الملح رطال

5= التركيز معدل خروج المحلول = معدل خروج كمية الملح 5.0200

)(

t

tA رطل

معدل خروج كمية الملح –معدل دخول كمية الملح = غير كمية الملح في البرميل معدل ت

:إذا t

A

dt

dA

400

1011

، أي أن:

11 400

10

t

A

dt

dA

tetA 025.0360400)(

t

888

:المكامل هو معاملوهي معادلة خطية غير متجانسة من الرتبة األولى، فيها 10)400()( tt

:وعندئذ يكون 10

t)(400 11)400( 10

At

:إذا الحل العام هو

1)400( 400)( tcttA.

)0(40 إن 0tاآلن عندما A144000: ، ومنها نحصل على قيمة الثابتc

:هي t عند أي زمن إذا كمية الملح 400

144000400)(

tttA

.

130 رطل :دقيقة هي 33كمية الملح بعد 450

14400050400)( tA.

360 رطل :دقيقة هي 233أما كمية الملح بعد 600

144000200400)( tA.

يقؤل دقيقؤة/ اتغالونؤ 3 بالمعطيات نفسها ولكن معدل دخول المحلؤول (2)أعد حل المثال (:4)المثال

.دقيقة 133كمية الملح بعد احسبثم .قيقةد/غالون 1معدل خروجه بمقدار عن

.دقيقة/ اتغالون 3= معدل خروج المحلول و .دقيقة/ غالون 3= معدل دخول المحلول :الحل

يساوي tتركيز المحلول عند الخروج هو متغير ويعتمد على الزمن t

tA

200

)(

.غالون/ رطل

رطل 2 = 13 3= التركيز معدل دخول المحلول = الملح معدل دخول كمية

3= التركيز معدل خروج المحلول = معدل خروج كمية الملح t

tA

200

)(

رطل

معدل خروج كمية الملح –معدل دخول كمية الملح = رميل معدل تغير كمية الملح في الب

:إذا t

A

dt

dA

200

610

، 10 :أي أن

200

6

t

A

dt

dAوهي معادلة خطية غيؤر متجانسؤة

:المكامل هو معاملمن الرتبة األولى، فيها 6 )200()( tt الحل العام هو وعندئذ يكون:

66 )200( 2400)200( )200(2)( tcttcttA .

)0(40 إن 0tاآلن عندما Aومنها نحصل على قيمة الثابت ، :

12

610625.5

)200(

360 c

:هي tزمن الإذا كمية الملح عند 612 )200(10625.5400)( tttA

.

888

:دقيقة هي 133كمية الملح بعد أخيرا،

)(375.294625.5100400 رطل tA.

(inear DElonn of sApplication)المعادالت التفاضلية غير الخطية تطبيقات 3.3

. تناولنا في هذا الفصل الدور المهم للمعادالت التفاضلية وتطبيقاتها المتنوعؤة فؤي مجؤاالت العلؤوم كافؤة

ن حلهؤا بطريقؤة فصؤل المتغيؤرات عن معادالت تفاضلية خطية يمكؤ ن هذه التطبيقات عبارةألكن الحظنا

البند بعع تطبيقات المعادالت التفاضؤلية غيؤر هذا نتناول في. نها خطية غير متجانسةأأو على اسا

.، واطالق الصواريخ أو مركبات الفضاءمسارات الطائرات والنمو السكاني :وبخاصة الخطية

مسارات الطيران: 3.6.1

ن إولكن هذا لي واقع الحال حيث ،عن خطوط مستقيمة ةعبار هي مسارات الطيران من المعروف أن

:تيآلوسنبين هذا في المثال ا. الطائرات تتأثر بسرعة و إتجاه الرياح فتتغير مساراتها إلى منحنيات

، Pتجاه غرب المطؤاراكم ب 333يبعد ، الذيQرتجاه المطااب Pأقلعت طائرة من المطار (:1)المثال

و كانت Qرتجاه المطااب دوما تسيرذا كانت الطائرة اف. ساعة/ كم Pv500بسرعة ثابتة مقدارها

xfy)(الة تجاه الشمال، جد الداساعة ب/ كم Nv100سرعة الريح تساوي التي تمثل المسؤقط

. ( 3.13)الحظ الشكل ؛على األرع لمسار الطائرة

Pو )0,0(نقطؤة األصؤل Qحيؤث تمثؤل ، x-يقؤع علؤى المحؤور QPفتؤرع مالمسار ال ليكن :الحل

؛ yو xحؤداثيات الوعليه ستكون مركبات سؤرعة الطؤائرة علؤى األرع بالنسؤبة ل. )800,0(النقطة

:كاالتي ؛ (3.13)الحظ الشكل

NPP vvdt

dyv

dt

dx sin,cos

889

(3.13)الشكل

:مسار مسقط الطائرة على االرع يحقق المعادلة التفاضلية ومنها نستنت أن

][1

/

/ 22 yxvyvxvdtdx

dtdy

dx

dyNP

P

:و تبسيط المعادلة نحصل على Nv100و Pv500بالتعويع عن القيمتين

2

2

15

1

x

y

x

y

dx

dy

ستخدام التعويع بذلك يمكن حلها با. تبة األولى لكنها متجانسةتفاضلية غير خطية من الر وهي معادلة

uxy وxuuy في المعادلة السابقة لنحصل على:

x

dx

u

du

51 2

:األيسرالى يؤول التكامل ةالمثلثي بالدوال و بالتعويع

)1ln()secln(tansec 2

uud

cxuu :ومنه نحصل على ln5

1)1ln( 2

)800(0 :بتدائيةاال حسب القيمةو. y

0 يكون لدينا800

)800()800(

yu 800 الثابتفنحصل على قيمةln

5

1c و بتعويضها في

:معادلة الحل وتبسيطها نحصل على

5

1

5

1

)800

()800

(2

1 xxu

Nv

(x, y)

Pv

y

P

x Q

880

:على الحل الصريحنحصل و أخيرا

5

1

5

1

)800

()800

(2

xxxy

.مسار الطائرة بالنسبة لألرع يمثل (3.13)و الشكل

(3.13) الشكل

( quationeLogistic) المعادلة المنطقية - النمو السكاني: 3.6.2

kPالمعادلؤؤة التفاضؤؤلية (3.4)تناولنؤؤا فؤؤي البنؤؤد dt

dP متعلقؤؤة التؤؤي تعتبؤؤر نموذجؤؤا رياضؤؤيا لتطبيقؤؤات

يسؤؤؤتخدم هؤؤؤذا النمؤؤؤوذج لتقؤؤؤدير النمؤؤؤو الطبيعؤؤؤي ،فؤؤؤي الحقيقؤؤؤة. ضؤؤؤمحالل مجتمعؤؤؤات معينؤؤؤةا بنمؤؤؤو أو

أي أن . نقصؤؤانوال زيؤؤادةوهؤؤو يعتمؤؤد علؤؤى معؤؤدالت ثابتؤؤة لل ،للمجتمعؤؤات k حيؤؤث ثابؤؤت

ثابتة بل و كثر عمومية قد ال تكون قيم أفي نماذج . النقصان ناسبتثابت و الزيادة ناسبت

. tP)(المجتمع عددتتغير مع الزمن و تعتمد على

،قيمؤة ثابتؤة و tP)(تمؤد علؤى دالة خطيؤة متناقصؤة تع تي يتضمن نموذجا تكون فيهآلالمثال ا

:أي

PPdt

dP)( 21

وبفرع 2

12 ,

mk تيةآلالمنطقية نحصل على المعادلة ا:

(3.13 )PPmkdt

dP)(

:لنحصؤؤل علؤؤى بفصؤؤل المتغيؤؤرات و يمكؤؤن حلهؤؤا

dtkPmP

dP

)(سؤؤتخدام طريقؤؤة الكسؤؤور اب.

:الجزئية للتكامالت تؤول المعادلة السابقة الى

dtkdPPmPm

)11

(1 .

ر الطائرةامس

إتجاه الطائرة

Q P

887

1ln :جراء التكامؤؤل نحصؤؤل علؤؤىإوبؤؤ1

cktPm

P

m

وبتبسؤؤيطها نحصؤؤل علؤؤى معادلؤؤة الحؤؤل ،

:cة م ل ع بالم

mktcePm

P

:و منها معادلة الحل cنحصل على قيمة ةبتدائياال شروطو بتعويع ال

(3.13 )mkte

Pm

P

Pm

P

)0(

)0(

.

دل و قؤد كؤان معؤ ،مليؤون نسؤمة 43م هؤو 1333ذا كان عدد سكان دولؤة معينؤة فؤي عؤام إ (:2)المثال

مليؤؤون 33م تضؤؤاعف العؤؤدد ليصؤؤبح 2333وفؤؤي العؤؤام . مليؤؤون نسؤؤمة 3.3النمؤؤو السؤؤنوي فؤؤي حينؤؤه

عتمؤاد المعادلؤة اب 2323المطلوب تخمؤين عؤدد السؤكان فؤي عؤام . لتلك السنة 3.33بمعدل نمو سنوي

ماذا يحصل لعدد السكان بمرور السنين؟. (3.13)

km يجؤاد قيمتؤيإ فيجبللمسألة ا نموذج (3.13) عتماد المعادلةاعلينا يتعين هبما أن :الحل . أوال ,

:ستخدام المعادلة نفسها نحصل على المعادلتينامن المعلومات التي لدينا ب

)80)(80(75.0

)40)(40(5.0

mk

mk

و 200m :نيا نحصل على القيمتين وبحلهما 12800

1k.

ممؤؤثال 0t ونعتبؤؤر العؤؤام . t0حيؤؤث ، tالعؤؤام فؤؤيتمثؤؤل عؤؤدد السؤؤكان tP)(الدالؤؤة أن نفؤؤرع

:ةبتدائياالعليه ستكون لدينا مسألة القيمة ،م 2333للسنة

80)0( P ، PPmkdt

dP)(

km عؤؤن قؤؤيم (3.13)بؤؤالتعويع فؤؤي معادلؤؤة حلهؤؤا )0(80 بتؤؤدائياال شؤؤرطو ال , P نحصؤؤل علؤؤى

:معادلة الحلt

eP

P64

1

3

2

200

،

:ومنها نحصل على الحل الصريح

(3.13 ) t

e

tP

64

1

32

400)(

888

:م2313نحصل على عدد السكان المتوقع في العام ،20بالقيمة (3.13)في المعادلة tعنوبالتعويع

089355.95)60( P . تقريبا ا مليون 33.4أي.

: (3.23) للشك، كما في امليون 233السنين فسيؤول الى القيمة الثابتة أما عن عدد السكان بمرور

(3.23) الشكل

( elocityvEscape)سرعة الهروب : 3.6.3

قريؤب مؤن سؤطح االرع، أي أن الجسم الساقط سقوطا حرا يكون علؤى ارتفؤاع (3.2)ال حظنا في البند

.Rصغير جدا بالنسبة الى نصف قطر الكرة االرضية أن بعد الجسم عن سطح االرع

من جانب خر، في حالة كون بعد الجسم عن سطح االرع كبيؤرا جؤدا بالنسؤبة الؤى نصؤف قطؤر الكؤرة

وتن الثؤاني فؤي عند اطالق الصواريخ أو مركبات الفضاء، عندئذ نسؤتخدم قؤانون نيؤ: ، مثال Rاالرضية

الشتقاق المعادلة التفاضؤلية (Universal law of gravitation)الجاذبية في العام هالحركة مع قانون

بسؤرعة يمكننا استخدام حؤل تلؤك المعادلؤة التفاضؤلية لحسؤاب السؤرعة الصؤغرى التؤي تسؤمى . المطلوبة

وينطلؤق جاذبيؤة االرضؤية؛ وهي السرعة الصغرى التؤي يحتاجهؤا الصؤاروك كؤي يتحؤرر مؤن الالهروب

.نحو الفضاء الخارجي

(:3)المثال

رنؤا االتجؤاه الموجؤب هؤو نحؤو االعلؤى بإذا اعت. اطلق صاروك افقيا نحو االعلى مؤن علؤى سؤطح االرع

:اشتعال المحروقات هيوأهملنا مقاومة الهواء فإن المعادلة التفاضلية التي تقابل الحركة بعد

2

2

2 dt

xdm

x

mMk

: أي أن

t

e

tP

64

1

32

400)(

888

(3.19 ) ,22

2

x

Mk

dt

xd

االرع، هي كتلة Mهي بعد الصاروك عن مركز االرع و tx)(هي ثابت التناسب و kحيث إن

Rx نستخدم الحقيقة عنؤدما دعنا، kلحساب الثابت . هي كتلة الصاروك mو ،فنحصؤل علؤى:

mgR

mMk

2أي أن ،

M

gRk

2

. تصبح (3.19)وعليه فإن المعادلة التفاضلية:

(3.20) .2

2

2

2

x

Rg

dt

xd

اعؤادة كتابتهؤا هي ليست من الرتبة األولى إال أنه يمكننؤا ةعلى الرغم من أن المعادلة التفاضلية السابق

:يأتباستخدام قاعدة السلسلة للمشقة وتعويضها في التعجيل كما ي

,.2

2

dx

dvv

dt

dx

dx

dv

dt

dv

dt

xd

:تصبح من الرتبة االولى (3.20)عليه فإن المعادلة

.2

2

x

Rg

dx

dvv

dxxgRvdv:بطريقة فصل المتغيرات، كما يليالتي يمكن حلها 22

:فنحصل على

(3.21) .2

1 22 c

x

Rgv

0vvإذا فرضنا السرعة هي و انطؤالق الصؤاروك عندRx عنؤد تلؤك اللحظؤة، فعندئؤذ تكؤون

:القيمة التقريبية للثابت هي

2

02

1vgRc

العالقؤؤة بؤؤين بعؤؤد الصؤؤاروك عؤؤن مركؤؤز نحصؤؤل علؤؤى (3.21)فؤؤي المعادلؤؤة cوبؤؤالتعويع عؤؤن الثابؤؤت

:االرع وسرعته

0

22 22 vgR

x

Rgv

888

( utcomes)oLearningللفصل المخرجات التعليمية 7.3

يكون الطالب قد أتقن المخرجات التعليمية اآلتية الثالث، بعد االنتهاء من دراسة الفصل

.المعادالت التفاضلية االعتياديةالمشاكل التي يمكن حلها باستخدام حديدت .1

.مشكلة معينة بصيغة معادالت تفاضلية من أجل حلهاالتعبير عن .2

. التفاضلية إليجاد عائلة منحنيات عمودية على عائلة معلومةم المعادالت استخدا .3

.الفيزياء واألحياء، والكيمياء: المعادالت التفاضلية الخطية لحل مشاكل في استخدام .4

.العلومالطيران وفي المعادالت التفاضلية غير الخطية لحل بعع المشاكل استخدام .3

.اتها في العلوم األخرىتقدير أهمية المعادالت التفاضلية من خالل تطبيق .3

و حسؤؤاب المرافؤؤق للكتؤؤاب لمراجعؤؤة محتويؤؤات الكتؤؤاب مغؤؤنطالمقؤؤدرة علؤؤى اسؤؤتخدام القؤؤرص الم .3

.لشحنات و شدة التيار في الدرات الكهربائيةاكمية

888

الفصل الثالثتمارين

م لؤبعع مؤع رسؤ ، 3 -1 مؤن فؤي المسؤائلجد معادلة المسارات المتعامدة لعائلؤة المنحنيؤات المعطؤاة

:هذه المنحنيات والمسارات المتعامدة معها معا

1. 1

22 4 cyx 2 . xecy 1

3. xcy 1

2 4 . xecy 1

3. ycyx 1

22 2 3 . 2

1

2

1

2

1 2)()( ccycx

3. 1

2 2 cxy 3 . 1

22 cmxy

3. 1cmxy

: 13 -13 من وائل في المسائلالعمودية على العالمسارات جد

13. xc

xy

11 11.

xcy

1

1

12. xc

xcy

1

1 13. 1ln cxy

14. )cos1(1 cr 13. 2sin1

2 cr

13. 1ln cr 13. sec1cr

13. cos1

1

cr

متعاكستين لهما الشدة نفسها خطوط الكهربائية لقوة شحنتين ن أ نجدالتجارب العملية من خالل .13

هؤذه عائلؤة معادلة ن أبين . ئر التي تمر من تلك النقطتينواهي الد )0,1(و )0,1( عند النقطتين

: الدوائر هي 2

1

2

1

2 1)( ccyx المسؤارات المتعامؤدة )خطؤوط تسؤاوي الجهؤد ن أثم اثبؤت

:هي الدوائر ( لدوائر األولىعلى عائلة ا

1)(2

2

22

2 cycx.

المغلقؤؤة البسؤؤيطة ،الكهربائيؤؤةارات المعادلؤؤة التفاضؤؤلية التؤؤي تمثؤؤل الؤؤد كؤؤون 23 -23 مؤؤن فؤؤي المسؤؤائل

:على التوالي، ثم جد الحل وفق الشروط المعطاة مربوطةوال

888

متسؤعةكهربائيؤة تحؤوي دارةوالي بعلى الت مربوطة ا فولت 24قوتها الدافعة الكهربائية بطارية .23

اذا ، tفي أية لحظؤة tq)(كمية الشحنة الكهربائية احسب. أوم 20مقدارها فراد ومقاومة 1 سعتها

)0(0 ن أعلمت q . بعد التيار ثم احسب شدةt من الزمن.

أوم مربوطة 33ومقاومة هنري 3.1 احثه حاثةفيها م( اثةحم –مقاومة ) كهربائية رةدا .21

لحظة أيةشدة التيار الكهربائي في احسب .فولت 33قوتها الدافعة الكهربائية بطارية مع على التوالي

t (0)( أمبير) :ن أعلما 0i ، عندما شدة التيار الكهربائي حسباثمt.

4Rفيهؤا ( حاثؤةم –مقاومة ) كهربائية دارة .22 ، 0.1HL ، VtE 20)( ، وكؤان

.t زمن عند أي دارةالتيار المار في ال احسب. التيار يساوي صفرا عند البدء

5Rفيهؤؤا ( متسؤؤعة –مقاومؤؤة ) كهربائيؤؤة دارة .23 ، 1

50FC قوتهؤؤا الدافعؤؤة بطاريؤؤة و

) الكهربائية ) 100E t v ، دارةالتيؤار فؤي الؤ احسؤب. يؤةافؤي البد ةغيؤر مشؤحون متسؤعةال توكانؤ

0tميع قيم لج .

VttE قوتهؤؤا الدافعؤؤة الكهربائيؤؤةبطاريؤؤة فيهؤؤا ( حاثؤؤةم -مقاومؤؤة ) دارة .24 )4sin10()( و

2R ،(2 3)L H، ما قيمة التيار عند احسب. يةاوال يوجد انسياب للتيار في البدt0 .

2Rفيهؤؤؤا المقاومؤؤة ( متسؤؤعة -مقاومؤؤؤة ) كهربائيؤؤة دارة .23 ، 1

8FC ، والقؤؤؤوة

VttE الكهربائيؤة الدافعة ) 3cos10()( (0) (كولؤوم)وكانؤت 1q .دارةالتيؤار فؤي الؤ احسؤب

.t0ما ندع

)فيهؤؤؤؤا ( متسؤؤؤؤعة -مقاومؤؤؤؤة ) كهربائيؤؤؤؤة دارة .23 ) 0E t (0) و 5q c، الشؤؤؤؤحنة احسؤؤؤؤب

0tعندما متسعةالموجودة على ال .ماذا يحدث عندماt ؟ ؟ هل هذا معقول

50مؤؤن مقاومؤؤة تتؤؤألفكهربائيؤؤة دارة .23 0.02 حاثؤؤةومL H مربوطؤؤة علؤؤى التؤؤوالي مؤؤع

VE قوتها الدافعة الكهربائية بطارية 50 .ثانية 01.0بعد دارةشدة التيار في ال احسب.

0iiالتيار ن أإذا علمت . 23 0والقؤوة الدافعؤة الكهربائيؤةEE 0عنؤدماt ن أ، فاثبؤت

:يصبح (3.11)حل المعادل

tL

R

eR

Ei

R

Eti

0

00)(

)0(0حصل إذا كان ي ماذا 0 ii.

888

مسؤألة، ثؤم جؤدكؤل المعادلة التفاضلية التي تمثل كونأو االضمحالل، تمثل النمو 33 -23 من المسائل

:الحل مع الرسم

Po209جد نسبة المتبقي من مادة البولونيوم .23 -سنة، إذا علمت أن زمن نصؤف 33بعد مرور

Po209العمر لمادة .سنة133هو

مادة من %33زمن الفراعنة المصريين يحتوي على وجد تابوت خشبي متحجر مصنوع في .33

C14الكربون قدر عمر التابوت؟. في ذلك اليوم

سؤنوات 3بعؤد . وقؤت أيعينة من مجتمع تزداد بمعدل يتناسؤب مؤع عؤدد العينؤة الموجؤودة فؤي .31

؟أضعاف 3العينة ضعف العدد فبعد كم سنة يصبح العدد عددصبح أ

فؤإذا ،لحظؤة أيؤةد بمعدل يتناسب مع العدد الموجؤود عنؤد ياالطحالب يتزخاليا عدد إذا كان .32

حؤدد . يومؤا 12بعؤد يؤةطحلبخليؤة 3333ووجؤد ،ام أيؤبعؤد عشؤرة بيؤةطحلخلية 3333وجد

.وجد زمن التضاعف لهذا النظام ،الذي بدأت به المزرعة بتدائيالا عددال

أيؤةبمعدل يتناسب مع العدد الموجود بالمزرعؤة عنؤد يتزايد في مزرعة ةبكتريخاليا عدد ليكن .33

3وكؤؤان زمؤؤن التضؤؤاعف ، ايؤؤخال 13 يسؤؤاوي بكتريؤؤةلللخاليؤؤا ا ولؤؤيألفؤؤإذا كؤؤان العؤؤدد ا ، tلحظؤؤة

.ساعة 24بالمزرعة بعد ةالموجود بكتريةالالخاليا عدد جد ،ساعات

كان عدد سكان مدينؤة معينؤة هؤو 1333في سنة .34 1333وفؤي سؤنة ،نسؤمة 510

413العدد أصبح 10 عؤدد السؤكان يؤزداد بمعؤدل يتناسؤب مؤع ن أبفرع صؤحة القاعؤدة ،نسمة

متؤؤى احسؤؤبو 2333عؤؤدد السؤؤكان المتوقؤؤع سؤؤنة احسؤؤب ،عؤؤدد األشؤؤخاص عنؤؤد بؤؤدء قيؤؤا الؤؤزمن

يصبح 52 10 نسمة .

فؤإذا ،تتزايد بمعدل يتناسؤب مؤع العؤدد الموجؤود عنؤد أيؤة لحظؤةة بكتريخاليا مستعمرات لتكن .33

. ةبكتريخلية 1333بكترية وبعد ست ساعات زاد العدد إلى خلية 333مزارع بـ البدأت إحدى

ومتؤى يكؤون العؤدد مسؤاويا ،بعد مرور يوم كامؤل مؤن لحظؤة البؤدء ةبكتريالالخاليا كم يكون عدد

بكترية ؟ 610إلى

مؤع جد الحؤل وفؤق الشؤروط المعطؤاة ، ثم 33 - 33 من مسائل الخلطالمعادلة التفاضلية التي تمثل كون

: الرسم

عنؤد لحظؤة معينؤة . ملؤح رطؤل 233 غؤالون مؤاء مؤذاب فيؤه 1333برميل يحتؤوي علؤى .33

بؤأن لكؤل غؤالون ا واحؤد رطؤال سمحنا لمحلول خر من المادة الكيمياوية نفسها ولكؤن بتركيؤز يسؤاوي

888

زمؤن أيفي البرميؤل عنؤد كمية الملحجد . في الدقيقة ا غالون 33بمعدل يتدفق الى البرميل من األعلى

t لمعدل الدخول معدل الخروج مساو ن ألمت دقائق إذا ع 13كمية الملح بعد جدثم.

عند لحظة معينة سمحنا . رطل ملح 33غالون ماء مذاب فيه 233برميل يحتوي على .33

بؤأن يتؤدفق الؤى لكؤل غؤالون ينرطلؤ 2 لمحلول خر من المادة الكيمياوية نفسها ولكن بتركيز يساوي

ثؤم جؤد tفي البرميؤل عنؤد أي زمؤن كمية الملحجد .في الدقيقة ينغالون 2بمعدل البرميل من األعلى

. لمعدل الدخول ن معدل الخروج مساو أدقائق إذا علمت 3كمية الملح بعد

عند لحظة معينة سمحنا . ملح رطل 33غالون ماء مذاب فيه 233برميل يحتوي على .33

بؤأن يتؤدفق الؤى لكؤل غؤالون ينرطلؤ 2 لمحلول خر من المادة الكيمياوية نفسها ولكن بتركيز يساوي

ثؤم جؤد tزمؤن أيفي البرميؤل عنؤد كمية الملحجد . في الدقيقة ينغالون 2بمعدل البرميل من األعلى

غؤؤالون فؤؤي 1بمقؤؤدار معؤؤدل الؤؤدخوليزيؤؤد علؤؤى معؤؤدل الخؤؤروج ن أدقؤؤائق إذا علمؤؤت 3كميؤؤة الملؤؤح بعؤؤد

.الدقيقة

عند لحظة معينة سمحنا . ملح رطل 33ب فيه غالون ماء مذا 233برميل يحتوي على .33

بؤأن يتؤدفق الؤى لكؤل غؤالون ينرطلؤ 2 لمحلول خر من المادة الكيمياوية نفسها ولكن بتركيز يساوي

جؤدثؤم tزمؤن أيفي البرميؤل عنؤد كمية الملحجد . في الدقيقة ينغالون 2بمعدل البرميل من األعلى

فؤي اتغالونؤ 3 يقؤل عؤن معؤدل الؤدخول بمقؤدارمعؤدل الخؤروج ن أت دقائق إذا علمؤ 3كمية الملح بعد

.الدقيقة

و معدل النمو السنوي في حينه ،مليون نسمة 14هو م1333عدد سكان مدينة معينة في عام . 43

لتلؤك 3.3بمعدل نمو سنوي ا مليون 23م تضاعف العدد ليصبح 2333وفي العام . مليون نسمة 3.3

مؤؤاذا يحصؤؤل لعؤؤدد . (3.13)عتمؤؤاد المعادلؤؤة اب 2323خمؤؤين عؤؤدد السؤؤكان فؤؤي عؤؤام المطلؤؤوب ت. السؤؤنة

السكان بمرور السنين؟

، فوجؤؤد أن درجؤؤة tتؤؤم قيؤؤا درجؤؤة حؤؤرارة قطعؤؤة كيؤؤك مسؤؤحوبة مؤؤن فؤؤرن سؤؤاخن عنؤؤد لحظؤؤة . 41

جؤؤد . Fo200وجؤؤد أن درجؤؤة الحؤؤرارة هؤؤي وتؤؤم قياسؤؤها بعؤؤد ثؤؤالث دقؤؤائق ف. Fo300الحؤؤرارة هؤؤي

دقيقؤة، ثؤم احسؤب الؤزمن الؤالزم كؤي تصؤبح درجؤة حؤرارة الكيؤك تسؤاوي tدرجة حؤرارة القطعؤة بعؤد

؟Fo70درجة حرارة الغرفة نفسها

أن و .طالؤؤب 1333 مؤؤنة معزولؤؤة تتكؤؤون اإلنفالونؤؤزا فؤؤي كليؤؤ فؤؤايرو يحمؤؤل ا طالبؤؤنفتؤؤرع ل .42

عؤؤدد احسؤؤب. معؤؤدل انتشؤؤار الفيؤؤرو يتناسؤؤب مؤؤع عؤؤدد الطلبؤؤة الحؤؤاملين وغيؤؤر الحؤؤاملين للفيؤؤرو

. طالبا 33أيام أصبح 4أيام إذا علمت أن عدد المصابين بعد 3المصابين بالفيرو بعد مرور

889