- istituto superiore ugo … · - matematica c3 – geometria razionale – 2. congruenza nei...

www.matematicamente.it - Matematica C3 – Geometria Razionale – 2. Congruenza nei triangoli

MATEMATICA C3

GEOMETRIA 1

2. CONGRUENZA NEI TRIANGOLI

Triangle Shapes Photo by: maxtodorov

Taken from: http://www.flickr.com/photos/maxtodorov/3066505212/License: Creative commons Attribution

TRIANGOLI 1


Indice

►1. Definizioni relative ai triangoli................................................................................................3►2. Primo e secondo criterio di congruenza dei triangoli..............................................................5►3. Teoremi del triangolo isoscele...............................................................................................11►4. Terzo criterio di congruenza dei triangoli..............................................................................15►5. Congruenza dei poligoni........................................................................................................18

TRIANGOLI 2


►1. Definizioni relative ai triangoli

Definiamo gli elementi principali di un triangolo• Un triangolo è un poligono di tre lati.• Si chiamano vertici gli estremi dei lati.• Un vertice si dice opposto a un lato se non appartiene a quel lato.• Si chiamano angoli interni del triangolo i tre angoli formati dai lati.• Un angolo interno si dice angolo compreso tra due lati quando i lati dell’angolo contengono dei lati

del triangolo.• Un angolo interno si dice angolo adiacente a un lato del triangolo quando uno dei suoi lati contiene

quel lato del triangolo.• Un angolo si dice angolo esterno al triangolo se è un angolo adiacente a un angolo interno.

Figura 8. A, B e C sono i vertici del triangolo. Il vertice A è opposto al lato a. L’an-golo α è angolo interno al triangolo. L’angolo γ è esterno. L’angolo α è compreso trai lati AB e AC.

• Si dice bisettrice relativa a un vertice, il segmento di bisettrice dell’angolo al vertice che ha perestremi il vertice stesso e il punto in cui essa incontra il lato opposto.

• Si dice mediana relativa a un lato il segmento che ha per estremi il punto medio del lato e il verticeopposto a quel lato.

• Si dice altezza di un triangolo relativa a un suo lato il segmento di perpendicolare che ha per estremiil vertice opposto al lato e il punto di intersezione della perpendicolare con la retta contenente il lato.

• Si dice asse di un triangolo, relativo a un suo lato, la perpendicolare al lato condotta nel suo puntomedio.

Figura 9. AL è la bisettrice dell’angolo nel vertice A; AH è altezza relativa alla baseBC; AM è mediana relativa al lato BC, la retta a è l’asse di BC.

Classificazione dei triangoli rispetto ai lati:• un triangolo si definisce equilatero se ha i tre lati congruenti;• un triangolo si definisce isoscele se ha (almeno) due lati congruenti;• un triangolo si definisce scaleno se ha i tre lati a due a due non congruenti;

TRIANGOLI 3

A

BCa

α

γ

angolo esterno

L

aA

BCH M

B A L≅ L A C

BM ≅ MC

AH B≅ AH C angoli retti


Figura 10. Classificazione dei triangoli rispetto ai lati.

Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli:• un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo interno retto;• in un triangolo rettangolo si dice ipotenusa il lato che si oppone all’angolo retto, si dicono cateti i

lati adiacenti all’angolo retto;• un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo interno ottuso;• un triangolo si dice acutangolo se ha tutti gli angoli interni acuti.

Figura 11. Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli.

1 In base alla figura rispondi alle seguenti domande

a) Il lato AB si oppone all’angolo … … …b) L’angolo α si oppone al lato … …c) L’angolo di vertice C si chiama …d) L’angolo γ è adiacente ai lati … … e … …e) I lati AB e BC sono adiacenti all’angolo …f) I lati AC e AB formano l’angolo …g) Traccia l’angolo esterno al triangolo nel vertice Ah) Traccia la bisettrice dell’angolo βi) Traccia l’altezza relativa alla base ABj) La mediana relativa al lato BC

2 Disegna un segmento AB e poi disegna i triangoli ABC e ABD che hanno la base AB in comune.

3 Disegna le tre altezze di ciascuno dei seguenti triangoli

TRIANGOLI 4

A

B

C

α

β

γ

Equilatero Isoscele scaleno

A

B C

A

B C

A

B C

AB≅ AC ≅ BC AB≅ AC

ipotenusa

cateto

cate

to

angolo retto

triangolorettangolo

triangoloottusangolo

angolo ottuso

triangoloacutangolo

angoli acuti


►2. Primo e secondo criterio di congruenza dei triangoli

Ricordiamo che due figure piane sono congruenti se sono sovrapponibili, cioè se è possibile spostare unasull’altra, senza deformarle, in modo che coincidano perfettamente. In particolare, due triangoli sono sovrapponibili se hanno “ordinatamente” congruenti i tre lati ed i tre angoli.Con il termine ordinatamente intendiamo che, a partire da una coppia di vertici e procedendo lungo ilcontorno in senso orario oppure antiorario, incontriamo lati congruenti e vertici di angoli congruenti. Nelcaso dei triangoli, questo succede esattamente quando angoli congruenti nei due triangoli sono compresi tracoppie di lati congruenti o, in maniera equivalente, quando sono opposti a lati congruenti.I criteri di congruenza dei triangoli ci dicono che basta conoscere la congruenza di solo alcuni elementi deidue triangoli, generalmente tre elementi di un triangolo congruenti a tre elementi dell’altro triangolo, perpoter affermare la congruenza di due triangoli, e quindi dedurne la congruenza degli altri elementi.Un modo tradizionale di presentare l’argomento, dovuto allo stesso Euclide, è quello di “dimostrare” i primidue criteri di congruenza dei triangoli facendo uso della definizione di congruenza come “uguaglianza persovrapposizione”, e di utilizzarli successivamente per la verifica di altre proprietà.Secondo il matematico tedesco D. Hilbert (1862-1943), il primo criterio di congruenza è un assioma, ilsecondo criterio può essere dimostrato per assurdo attraverso il primo. È utile, a nostro giudizio, presentarequesti argomenti basilari in entrambi i modi, perché offrono buoni spunti di riflessione.

Esponiamo prima il metodo tradizionale.

1° CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLIDue triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso.

Ipotesi: AC ≅ A ' C ' , BC ≅ B ' C ' , A C B≅ A 'C ' B ' .

Tesi: ABC ≅ A ' B ' C ' .

Dimostrazione. Vogliamo provare che il triangolo A’B’C’ può essere portato a sovrapporsi perfettamente altriangolo ABC.

A tal proposito, portiamo il punto C’ sul punto C in modo tale che la semiretta C’A’ sia sovrapposta allasemiretta CA ed i punti B e B’ siano nello stesso semipiano individuato dalla retta AC.Dopo questo movimento, i triangoli potrebbero trovarsi nella seguente posizione?

Vediamo perché questa situazione non è possibile. Abbiamo supposto per ipotesi che i segmenti AC e A’C’siano congruenti, pertanto se C coincide con C’ anche A deve coincidere necessariamente con A’, mentrenella figura A’C’ è maggiore di AC.Allora i triangoli potrebbero trovarsi almeno nella seguente posizione, nella quale A e A’ coincidono?

TRIANGOLI 5

A B

C C’

A’ B’

γ γ'

A

B

C C’

A’B’

γ γ'


Tuttavia nemmeno questa posizione è possibile poiché abbiamo supposto per ipotesi che gli angoli γ e γ’siano congruenti, mentre dalla figura risulta che γ è maggiore di γ’. Di conseguenza la semiretta per CB e lasemiretta per C’B’ devono sovrapporsi, in quanto devono formare lo stesso angolo con la semiretta per CA.A questo punto, rimane da fissare la posizione di B’ rispetto a B, cioè rimane da decidere se B’ cade interna-mente al segmento CB, come nella figura che segue, se B’ cade esternamente al segmento CB o se B’ e Bcoincidono.

Poiché per ipotesi ''CBBC ≅ , il punto B’ deve necessariamente coincidere con B. Pertanto i vertici deltriangolo ABC si sovrappongono ai vertici del triangolo A’B’C’ e di conseguenza i triangoli ABC e A’B’C’sono congruenti.

2° CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLIDue triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e il lato tra essi compreso.

Ipotesi: AB≅ DE , C A B≅ F D E , AB C≅ DE F .

Tesi: A B C≅ D E F .

Dimostrazione. Vogliamo provare che il triangolo DEF può essere portato a sovrapporsi perfettamente altriangolo ABC.

A tal proposito, in virtù della congruenza dei lati AB e DE, portiamo a sovrapporre il segmento DE alsegmento AB in maniera tale che D coincida con A, E coincida con B, e i punti C ed F siano nello stessosemipiano individuato dalla retta AB. I due triangoli potrebbero trovarsi nella seguente posizione?

TRIANGOLI 6

A

B

C C’

A’

B’

γ γ'

AB

C C’

A≡A’

B’

γ γ'

B’


Dalla congruenza degli angoli A e D , segue che la semiretta DF sarà sovrapposta alla semiretta AC;analogamente, dalla congruenza degli angoli B e E , segue che la semiretta EF sarà sovrapposta allasemiretta BC. Dunque C ed F devono necessariamente coincidere, perché sono l’unica intersezione di duerette incidenti. Poiché i tre vertici si sono sovrapposti, i due triangoli sono completamente sovrapposti equindi sono congruenti.

Procediamo ora alla maniera di Hilbert. Assioma XVII. PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLISe per due triangoli ABC e A′B′C′ si ha che AB≅ A ' B ' , AC≅ A 'C ' , e l'angolo BAC congruente

all'angolo B′A′C′, allora tutto il triangolo ABC è congruente al triangolo A′B′C′.

Figura 12. Primo criterio di congruenza dei triangoli

Essendo un assioma, non si dimostra.

SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLIDue triangoli sono congruenti se hanno congruenti due coppie di angoli e il lato tra essi compreso.

Ipotesi: AB≅ DE , C A B≅ F D E , ABC ≅ DE F .

Tesi: A B C≅ D E F .Dimostrazione.

Figura 13. Secondo criterio di congruenza dei triangoli

TRIANGOLI 7

A B

C

A’ B’

C’

A≡D B≡E

CF


Se CB≅ FE , i due triangoli risultano congruenti per il primo criterio, avendo per ipotesi AB≅ DE eAB C≅ DE F .

Supponiamo dunque per assurdo che non sia CB≅ FE ma indifferentemente possiamo supporreCBFE o CBFE . Sia ad esempio CBFE . Prendiamo un punto G sul segmento FE in modo

che CB≅G E . Allora per il primo criterio di congruenza risulterà A B C≅ D E G e dunque ancheC A B≅GD E . Ma per ipotesi C A B≅ F D E , e l’angolo GD E è una parte propria di F D E ,

per cui dovrebbe risultare GD EF D E e questo contrasta con la proprietà transitiva della congruenzache vorrebbe GD E ≅ F D E in quanto entrambi congruenti a C A B . Si può, analogamente, suppo-nendo CBFE , dedurre che C A BF D E , contro l’ipotesi. Pertanto, dovrà essere

CB≅ FE e A B C≅ D E F , C.V.D.

4 Per ciascuna delle seguenti coppie di triangoli indica se sono congruenti ed eventualmente per qualecriterio.

Esempio

p=”un triangolo ha tre lati” (Vera) q=”un triangolo ha tre vertici” (Vera)Allora p∧q è vera, q∧r è falsa, r∧ s è falsa.

Inoltre p∨q è vera, q∨r è vera, r∨ s è falsa.

TRIANGOLI 8

A’A

B

C

B’

C’

Si sa che sono congruenti i lati AB con A'B' e AC con A'C', l'angolo in A con l'angolo A'.

I triangoli sono congruenti? SI NO

Se sì, per il … … … … … … … …

A’A

B

CB’

C’Si sa che sono congruenti i lati AB con A'B' e gli angoli in A con B' e B con A'.I triangoli sono congruenti?

SI NOSe sì, per il … … … … … … … …

A’A

BC B’

C’Si sa che sono congruenti ilati AB con A'B' e BC con A'C', l'angolo in A con A'I due triangoli sono congruenti? SI NOSe sì, per il … … … … … … … …


Esempio

Si considerino due rette incidenti, r ed s, ed il loro punto in comune P. Sulle semirette opposte di origine Psi prendano punti equidistanti da P, come in figura, in maniera tale che AP ≅PB , CP≅ PD . Dimostrache, unendo i quattro punti in modo da costruire un quadrilatero, i quattro triangoli che si vengono aformare sono a due a due congruenti: ACP≅ BDP , ADP≅ BPC .

Realizziamo il disegno ed esplicitiamo ipotesi e tesi

Dimostrazione. I triangoli ACP e BPD hanno: AP ≅PB per ipotesi, CP≅ PD per ipotesi,AP C ≅BP D perché opposti al vertice. Pertanto sono congruenti per il 1° criterio di congruenza dei

triangoli.Analogamente, i triangoli ADP e BPC hanno: … … … … … … … …

Esempio

Si considerino un segmento AB ed il suo punto medio M. Si tracci una generica retta r passante per M edistinta dalla retta per AB. Si traccino inoltre due semirette di origine rispettivamente A e B, situate nei duesemipiani opposti rispetto alla retta per AB, che intersechino la retta r rispettivamente in C e in D e cheformino con la retta per AB due angoli congruenti (vedi figura). Detti C e D i rispettivi punti d’intersezionedelle due semirette con la retta r, dimostra che i triangoli AMC e BMD sono congruenti.

Dimostrazione. I segmenti AM e MB sono congruenti in quanto M è il punto medio di AB, gli angoli divertice M sono congruenti perché opposti al vertice, gli angoli di vertice A e B sono congruenti per costru-zione. Allora i triangoli AMC e BMD sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli.

TRIANGOLI 9

Ipotesir∩s=PAP ≅PB

CP≅ PD

TesiACP ≅BDP

ADP ≅ BPC

Ipotesi:AM ≅MB

M A C≅M B D

Tesi:AMC ≅ BMD


Dimostra le seguenti affermazioni, utilizzando i criteri di congruenza dei triangoli.

5 In un triangolo ABC prolunga la medianaAM di un segmento MD congruente a MA. Dimo-stra che il triangolo AMC è congruente al triangoloBMD e che il triangolo ABM è congruente al trian-golo CMD. 6 Sulla bisettrice AL di un triangolo ABC, o sulsuo prolungamento, prendi il punto K in modo cheBK sia congruente a KC. Quali tra i seguenti trian-goli sono necessariamente congruenti? ABK eACK; BKL e CKL. Dai una dimostrazione. 7 Due triangoli ABC e DEF hanno il lati AB eDE congruenti, hanno inoltre gli angoli esterni aivertici A e B rispettivamente congruenti agli angoliesterni ai vertici D e E. Dimostra che i due trian-goli sono congruenti. 8 Due triangoli rettangoli sono congruenti sehanno rispettivamente congruenti i due cateti. 9 Due triangoli rettangoli sono congruenti sehanno congruenti un cateto e l’angolo acuto adia-cente ad esso. 10 Due triangoli isosceli sono congruenti sehanno congruenti l’angolo al vertice e i due latiobliqui. 11 Nel triangolo isoscele ABC, di base BC,prolunga la bisettrice AD di un segmento DE.Dimostra che AE è bisettrice dell’angolo BE C. 12 Dati due triangoli congruenti ABC eA’B’C’, si considerino sui lati AC e A’C’ duepunti D e D’ tali che DC ≅ D' C ' . Dimostrare

che DB≅ D ' B ' . 13 Siano ABC e DEF due triangolo congruenti.Sui lati congruenti AB e DE prendi il punto G suAB e H su DE, in modo che AG ≅ DH . Dimo-stra che anche GC è congruente ad HF. 14 In un triangolo ABC, sul prolungamento dellato AB, dalla parte di B, prendi un punto D taleche BD≅ AB , analogamente sul prolungamentodel lato CB, dalla parte di B, prendi un punto E taleche EB≅ BC . Dimostra che la mediana BM deltriangolo ABC è allineata con la mediana BN deltriangolo DBE, ossia che l’angolo formato dalledue mediane è un angolo piatto. 15 Del triangolo ABC prolunga il lato AB diun segmento BD congruente a BC, analogamenteprolunga il lato CB di un segmento BE congruentead AB. Traccia la bisettrice BF del triangolo ABCe la bisettrice BG del triangolo DBE. Dimostra che

BF ≅ BG . 16 Nel triangolo ABC traccia la bisettrice ADdell’angolo in A. Con origine in D traccia duesemirette che incontrano rispettivamente AC in E eAB in F, in modo che AD F ≅ AD E . Dimostrache il triangolo AFE è un triangolo isoscele.

17 Nel triangolo ABC con AC<AB traccia labisettrice AD dell’angolo in A. Per il punto Dtraccia la perpendicolare alla bisettrice AD. Detti Eed F i punti in cui la perpendicolare incontra rispet-tivamente i lati AC e AB, dimostra che

AF ≅ AE . 18 Sui prolungamenti oltre A del lato AC, oltreB del lato AB e oltre C del lato BC di un triangoloequilatero ABC si considerino i segmenticongruenti AA’, BB’, CC’. Dimostrare che il trian-golo A’B’C’ è ancora equilatero. 19 Dato l’angolo convesso bAc si conside-rino su b i due punti B e B’, su c si considerino ipunti C e C’, tali che AB e AB’ siano rispettiva-mente congruenti con AC e con AC’. Dimostrareche BB’ e BC’ sono rispettivamente congruenticon CC’ e B’C. 20 Dato un segmento AB, condurre per il suopunto medio M una qualsiasi retta r e consideraresu di essa, da parti opposte rispetto ad AB, duesegmenti congruenti MC e MD. Dimostrare che itriangoli AMC e BMD sono congruenti. 21 Si consideri il segmento AB e per il suopunto medio M si tracci una retta r qualsiasi. Sutale semiretta, da parti opposte rispetto a AB, siprendano due punti S e T tali che SM ≅MT .Dimostrare che i triangoli AMS e TMB sonocongruenti. 22 Sui lati dell’angolo X OY si considerinoi punto A e B tali che OA≅OB . Sia H un puntodella bisettrice dell’angolo tale che OH<OA. SianoT il punto di intersezione di AH con OY e S ilpunto di intersezione di BH con OX. Dimostrareche AH ≅ HB e SH ≅ HT . 23 Si consideri un punto O interno al triangoloABC e si congiunga tale punto con i vertici A e Bdel triangolo. Si prolunghino i segmenti AO e BOoltre O di due segmenti OA’ e OB’ rispettivamentecongruenti ai suddetti segmenti. Dimostrare che isegmenti AB e A’B’ sono congruenti. 24 Si considerino i triangoli congruenti ABC eA’B’C’ e si prolunghino i lati AB e A’B’ di duesegmenti BP e B’P’ tra loro congruenti. Si prolun-ghino inoltre i lati AC e A’C’ di due segmenti CQe C’Q’ tra loro congruenti. Si dimostri che sonocongruenti i triangoli APQ e A’P’Q’;

CP≅C ' P ' , QB≅Q' B ' . 25 Sui lati a e b di un angolo di vertice Oprendi i punti A e B sulla semiretta a e i punti C eD sulla semiretta b, in modo che OA≅OC e

AB≅CD . Sia E il punto di intersezione di ADcon BC. Dimostra che sono congruenti i triangoliABE e CDE.

TRIANGOLI 10


►3. Teoremi del triangolo isoscele

Il triangolo isoscele ha almeno due lati congruenti, l’eventuale lato non congruente si chiama base, i due laticongruenti si dicono lati obliqui. Il triangolo equilatero è un caso particolare di triangolo isoscele: si dice che il triangolo equilatero è

isoscele rispetto a qualsiasi lato preso come base.

TEOREMA (DIRETTO) DEL TRIANGOLO ISOSCELE.In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti.

Ipotesi: AB≅ BC .

Tesi: B A C ≅ A C B .

Figura 14. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti.

Dimostrazione. Vogliamo dimostrare la tesi facendo uso solo delle nozioni comuni della geometria euclideae dei primi due criteri di congruenza dei triangoli. Procediamo per passi, avviando una costruzione che cipermetta di confrontare coppie di triangoli congruenti.In figura 14 il triangolo ABC è isoscele sulla base AC, per cui i lati obliqui AB e BC sono congruenti.Prolunghiamo i lati AB e BC, rispettivamente dalla parte di A e di C, di due segmenti AD e CE congruentitra di loro, cioè AD ≅CE .Confrontiamo i triangoli BDC e BAE, per comodità sono stati riportati in piccolo a destra del disegno princi-pale (B1D1C1 e B2A2E2). Questi due triangoli hanno: i lati BC e BA congruenti per ipotesi; i lati BD e BEcongruenti in quanto somme di segmenti congruenti (BD=BA+AD, BE=BC+CE); l’angolo compreso traqueste coppie di lati congruenti è sempre lo stesso perché è in comune ai due triangoli (è l’angolo di verticeB). Pertanto i due triangoli BDC e BAE risultano congruenti per il 1° criterio. Di conseguenza anche i restantielementi risultano ordinatamente congruenti: DC ≅ AE , B D C ≅ A E B , B C D≅ B A E .

Confrontiamo ora i triangoli ADC e AEC (anch’essi sono stati riprodotti a rimpiccioliti a destra della figuraprincipale). I due triangoli risultano congruenti per il 1° criterio, poiché hanno: AD ≅CE

per costruzione

DC ≅ AE , AD C ≅ AE C , per la dimostrazione precedente. Pertanto, anche gli altri elementi dei duetriangoli risultano ordinatamente congruenti, in particolare D A C ≅ A C E .Osserviamo che questi due angoli sono adiacenti agli angoli alla base del triangolo isoscele ABC, per cui

B A C ≅ A C B in quanto supplementari di due angoli congruenti. C.V.D.

Il teorema precedente è invertibile, nel senso che è valido anche il teorema inverso, quello che si ottienescambiando ipotesi e tesi.

TRIANGOLI 11


TEOREMA INVERSO DEL TRIANGOLO ISOSCELESe un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele (rispetto al lato compreso tra gli angolicongruenti preso come base).Ipotesi: C A B≅C B A .

Tesi: A C ≅ B C .

Dimostrazione. Procediamo per passi, realizzando una costruzione che ci permetta di confrontare coppie ditriangoli congruenti.

Figura 15. Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele.

Prolunghiamo i lati AC e BC dalla parte di A e di B rispettivamente, e prendiamo due punti D ed E suirispettivi prolungamenti in maniera tale che risulti A D≅ B E .A questo punto confrontiamo i triangoli ADB e BAE (ne abbiamo riprodotto un grafico rimpicciolito a sini-stra della figura principale). I due triangoli risultano congruenti per il 1° criterio, avendo in comune il latoAB ed essendo A D≅ B E per costruzione e D A B ≅ AB E perché adiacenti agli angoli C A B e

C B A congruenti per ipotesi. Pertanto, i restanti elementi risultano ordinatamente congruenti: DB ≅ AE ,AD B ≅ B E A , AB D≅ B A E .

Confrontiamo ora i triangoli CDB e CAE (anch’essi riprodotti a sinistra della figura principale). I due trian-goli risultano congruenti per il 2° criterio poiché hanno D B≅ A E , C D B ≅C B A , per la dimostrazioneprecedente, C B D ≅C A E perché somma di angoli rispettivamente congruenti: C B D ≅C B AA B D ;

C A E ≅C A BB A E .

Pertanto, i restanti elementi risultano ordinatamente congruenti, in particolare CB ≅CA .C.V.D.

Dai due teoremi precedenti seguono importanti proprietà, che qui riportiamo come corollari del teorema prin-cipale.

COROLLARIUn triangolo equilatero è anche equiangolo. Viceversa, se un triangolo è equiangolo, allora è equilatero.Un triangolo scaleno non ha angoli congruenti. Viceversa, se un triangolo non ha angoli congruenti, allora è scaleno.

Dimostrazioni

(1) Poiché un triangolo equilatero è isoscele rispetto a qualsiasi lato preso come base, la tesi segue dalteorema diretto del triangolo isoscele.

(2) Possiamo confrontare gli angoli a due a due; risulteranno i lati congruenti a due a due in base alteorema inverso del triangolo isoscele.

(3) Se per assurdo un triangolo scaleno avesse due angoli congruenti, allora risulterebbe isoscele, in baseal teorema inverso del triangolo isoscele.

(4) Se per assurdo un triangolo che non ha angoli congruenti non fosse scaleno, il che vuol dire chesarebbe isoscele, allora avrebbe angoli congruenti in contrasto con l’ipotesi di assurdo.

TRIANGOLI 12


PROPOSIZIONE (PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO ISOSCELE)In ogni triangolo isoscele, la mediana relativa alla base è anche altezza e bisettrice.

Figura 16. La bisettrice dell’angolo al vertice, l’altezza relativa alla base e la mediana relativaalla base coincidono.

In figura, CJ è per ipotesi la bisettrice dell’angolo al vertice γ del triangolo ABC, FK è la mediana relativaalla base DE del triangolo DEF, IL è l’altezza relativa alla base GH del triangolo GHI.Dividiamo l’enunciato in tre parti:

a) In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche altezza e mediana relativa allabase.

b) In un triangolo isoscele la mediana relativa alla base è anche bisettrice dell’angolo al vertice ealtezza relativa alla base.

c) In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è anche bisettrice dell’angolo al vertice e medianarelativa alla base.

Dimostriamo le prime due parti della proposizione.

Per ciascuna delle tre parti precedenti, scriviamo ipotesi e tesi; utilizziamo i tre triangoli della figura 16segnalando che CJ è per ipotesi la bisettrice dell’angolo al vertice γ del triangolo ABC, FK la mediana rela-tiva alla base DE del triangolo DEF, IL l’altezza relativa alla base GH del triangolo GHI.

Prop a) In ABC: Ipotesi: AC ≅CB , C A B≅ C B A , AC J ≅ B C J . Tesi: CJ ⊥ AB , AJ ⊥ JB .

Prop b) In DEF: Ipotesi: DF ≅ FE , F D E ≅ F E D , DK ≅ KE . Tesi: FK ⊥ DE , DF K ≅ E F K .

Prop c) In GHI: Ipotesi: IG ≅ IH , I G H ≅ I H G , IL⊥GH . Tesi: G I L≅ H I L , GL⊥ LH .

Avviamo la dimostrazione delle prime due parti, che lasciamo completare al lettore, rimandando al prossimocapitolo la dimostrazione della terza parte. Utilizziamo i primi due criteri di congruenza, i teoremi del trian-golo isoscele e le nozioni comuni della geometria euclidea.

Dimostrazione Prop a): I triangoli AJC e CJB sono congruenti per il secondo criterio. Infatti… DunqueAJ ≅ JB e A J C ≅C J B che risultano pertanto retti in quanto adiacenti.

Dimostrazione Prop b): I triangoli DKF e FKE sono congruenti per il primo criterio. Infatti… DunqueD F K ≅ E F K e F K D≅ F K E che risultano pertanto retti in quanto adiacenti.

TRIANGOLI 13


Dimostra le seguenti affermazioni.

26 In un triangolo isoscele le mediane relativeai lati congruenti sono congruenti. 27 In un triangolo isoscele le bisettrici degliangoli alla base sono congruenti. 28 Due triangoli isosceli sono congruenti sehanno rispettivamente congruenti l’angolo alvertice e uno dei lati obliqui. 29 Due triangoli isosceli sono congruenti sehanno rispettivamente congruenti la base e unodegli angoli ad essa adiacenti. 30 Due triangoli isosceli sono congruenti sehanno rispettivamente congruenti la base e labisettrice dell'angolo al vertice. 31 Due triangoli isosceli sono congruenti sehanno rispettivamente congruenti gli angoli alvertice e due lati corrispondenti qualsiasi. 32 In un triangolo isoscele ABC di base AB evertice C, prendi su AC un punto M e su BC unpunto N in modo che CM ≅ CN , quali delleseguenti coppie di triangoli sono congruenti?Dimostralo.

a) ACN ≅ ANB b) ACN ≅ BCM

c) ABN ≅ ABM d) ABC ≅ MNC

33 In un triangolo isoscele ABC di base AB evertice C, indica con M il punto medio di AC, conN il punto medio di CB e con H il punto medio diAB. Quali delle seguenti coppie di triangoli sonocongruenti?

a) AMH ≅ HNB b) MNH ≅ MNC

c) AMH ≅MCN

34 Sui lati AC e CB del triangolo isosceleABC di base AB considera rispettivamente duepunti D ed E tali che CD≅ CE . Dimostra che itriangoli ADB e AEB son congruenti. Detto P ilpunto di intersezione tra AE e DB, dimostrare cheABP e DPE sono triangoli isosceli. 35 In un triangolo isoscele ABC di base AB evertice C prolunga la base AB, dalla parte di A diun segmento AD e dalla parte di B di un segmentoBE congruente ad AD. Dimostra che anche iltriangolo DEC è isoscele. 36 Nel triangolo isoscele ABC di base BC,prendi sul prolungamento di BC due segmenticongruenti BQ ≅ AP , dimostra che APQ èisoscele. 37 Due triangoli isosceli ABC e ABD hannoin comune la base AB, i vertici C e D sono situatida parti opposte rispetto alla base AB. Dimostrache la retta per CD è bisettrice dell’angolo in C.

38 In un triangolo isoscele ABC di base AB evertice C traccia le bisettrici BD all’angolo in B eAE all’angolo in A.

a) Dimostra che BD ≅ AE .b) Detto O il punto di intersezione delle biset-

trici dimostra che AOB è isoscele.c) Dimostra che il triangolo ADO è congruente

al triangolo BEO. 39 In un triangolo isoscele ABC di base AB evertice C prolunga, dalla parte di C la bisettriceCD dell’angolo in C di un segmento CE. Dimostrache ED è bisettrice dell’angolo AE D . 40 In un triangolo isoscele ABC di base AB evertice C prendi su AC un punto D e su BC ilpunto E tali che AD≅ BE . Detto O il punto diintersezione di AE con BD, dimostra che AOB èisoscele. 41 In un triangolo ABC sia M il punto mediodi AB. Traccia la mediana CM e prolungala dallaparte di M di un segmento MD congruente a CM.Dopo aver dimostrato che AMC è congruente aBME, dimostra che se CM è bisettrice dell’angoloin C allora ABC è isoscele. 42 In un triangolo isoscele ABC di base AB evertice C, prendi su AC un punto D e su CB unpunto E in modo che CD ≅ CE . Dimostra che iltriangolo DME, dove M è il punto medio dellabase AB, è isoscele. 43 Due triangoli isoscele hanno in comune labase,dimostra che la retta che unisce i vertici deidue triangoli divide la base a metà. 44 In un triangolo isoscele ABC di base AB evertice C, si ha che AC ≅CB ≅ 2 AB . ChiamaM il punto medio di AC e N il punto medio di BC,P il punto di intersezione di BM con AN. Indi-vidua tutti i triangoli isosceli che si vengono aformare. 45 Sia dato il triangolo ABC e sia M il puntomedio del lato AB. Si prolunghi CM di unsegmento MD ≅CM . Dimostrare che

AC B ≅ AD B . 46 Si prolunghino i lati AC e CB del triangoloisoscele ABC rispettivamente di due segmenti CPe CQ tra loro congruenti. Dimostrare che e che

AQ B ≅ AP B e che A B P ≅ Q A B .

47 Sulla base AB di un triangolo isosceleABC prendi i punti M e N tali che AM<AN e

AM ≅ NB . Dimostra che CMN è isoscele. 48 Sia D il punto di intersezione delle biset-trici degli angoli alla base di un triangolo isosceleABC di vertice A. Dimostra che BDC è isoscele.

TRIANGOLI 14


►4. Terzo criterio di congruenza dei triangoli

TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLIDue triangoli sono congruenti se hanno congruenti le tre coppie di lati.

Ipotesi: AB≅ A ' B ' , BC ≅ B ' C ' , AC ≅ A ' C ' .

Tesi: ABC ≅ A ' B ' C ' .

Figura 17. Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti le tre coppie di lati.

Dimostrazione. Abbiamo due triangoli, ABC e A’B’C’, dei quali sappiamo che i lati dell’uno sonocongruenti ai lati dell’altro. Ribaltiamo il triangolo A’B’C’ e portiamo il segmento A’B’ sul segmento AB inmodo che il punto A’ coincida con A, il punto B’ coincida con B (ciò è possibile in quanto AB ≅ A ' B ' )ed in modo che il punto C’ cada nel semipiano individuato dalla retta AB opposto a quello in cui si trova C.Uniamo C con C’. Viene fuori un disegno diverso a seconda che il punto d’intersezione, che chiamiamo D,tra il segmento CC’ e la retta per AB sia interno al segmento AB oppure coincide con uno degli estremi (A oB) oppure sia esterno al segmento AB. Il punto D esiste in ogni caso in quanto C e C’ sono nei due semipianiopposti individuati dalla retta AB, pertanto il segmento CC’ deve necessariamente tagliare la retta per AB.

Primo caso: D è interno ad AB.

Figura 18. Primo caso della dimostrazione del terzo criterio di congruenza dei triangoli.

Essendo AC ≅ A ' C ' e CB≅ C ' B ' , i triangoli ACC’1 e CC’1B sono isosceli, entrambi sulla base CC’1.Dunque, per il teorema (diretto) del triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti. Precisamenterisulta: A C C1 ' ≅ A C 1 ' C e C 1 ' C B≅C C 1 ' B . Inoltre, A hatC B≅ A hatC1 ' B in quanto somme di

angoli congruenti: A C B=A C DD C B≅ AC1 ' DDC 1 ' B=AC 1 ' B . In conclusione ABC e ABC’1

sono congruenti per il primo criterio perché hanno AC ≅ AC1 ' ; BC ≅ BC1 ' ; AC B ≅ AC1 ' B . Infine,poiché ABC è congruente a ABC’1 e quest’ultimo è congruente a A’B’C’ se ne deduce che ABC e A’B’C’sono congruenti tra di loro.

TRIANGOLI 15


Secondo caso: il punto D coincide con uno dei due estremi.

Figura 19. Secondo caso

Poiché per ipotesi CB ≅C 1 ' B1 ' il triangolo CBC’1 è isoscele sulla base CC’1, pertanto AC B ≅ AC1 ' B

in quanto angoli alla base di un triangolo isoscele. I triangoli ABC e ABC’1 sono congruenti per il primocriterio perché hanno: AC ≅ AC1 ' ; BC ≅ BC1 ' ; AC B ≅ AC 1 ' B . Infine, come per il caso precedente,poiché ABC è congruente a ABC’1 e quest’ultimo è congruente a A’B’C’ anche ABC è congruente aA’B’C’.

Terzo caso: Il punto D cade esternamente al segmento AB.

Figura 20. Terzo caso

Come nel primo caso, i triangoli CAC’1 è CBC’1 sono isosceli sulla base CC’1, pertanto AC C 1 '≅ AC 1 ' Ce B C C1 '≅ BC1 ' C . Per differenza di angoli congruenti si ottiene che AC B ≅ AC1 ' B infatti

AC B=D C B−DC A≅ DC1 ' B−DC1 ' A=AC1 ' B . Da ciò segue che i triangoli ABC e ABC’1 sonocongruenti per il primo criterio in quanto hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essicompreso. Come per i casi precedenti, se ABC è congruente a ABC’1 è congruente anche a A’B’C’.

49 Due triangoli sono congruenti se hanno

a) tre lati congruenti V Fb) tre angoli congruenti V Fc) due lati e l’angolo tra essi compreso congruenti V Fd) due angoli e il lato in comune congruenti V Fe) un lato e l’angolo opposto congruenti V F

TRIANGOLI 16


Dimostra le seguenti affermazioni.

50 Due triangoli equilateri sono congruenti sehanno lo stesso perimetro. 51 Dimostra che due triangoli equilateri ABCe ABD che hanno in comune la base AB sonocongruenti. 52 Se in due triangoli sono congruenti duecoppie di lati e la mediana relativa ad uno di essi,allora i due triangoli sono congruenti. 53 Se in due triangoli sono congruenti duecoppie di lati e la bisettrice relativa ad uno di essi,allora i due triangoli sono congruenti. 54 Due triangoli isosceli sono congruenti sehanno rispettivamente congruenti la base e unaltro lato. 55 In un triangolo isoscele ABC di base BC evertice A prendi un punto D sul lato AB e unpunto E sul lato AC, in modo che BD ≅ EC ,unisci C con D e B con E, detto F il punto di inter-sezione di BE e DC, dimostra che sono congruentii triangoli BFA e CFA. 56 In un triangolo isoscele ABC di base BC evertice A, prolunga il lato AB di un segmento BDe il lato AC di un segmento CE in modo che

BD ≅CE , prolunga la base BC di un segmentoBG, dalla parte di B, e di un segmento CF dallaparte di C, in modo che BG ≅CF . Dimostra chesono congruenti i triangoli ADG e AEF. 57 In un triangolo scaleno ABC sia AC>BC.Prolunga BC, dalla parte di C, di un segmento CDcongruente ad AC e prolunga AC, dalla parte diC, si un segmento CE congruente a BC. Detto H ilpunto di intersezione della retta per AB con laretta per DE, dimostra che AH ≅ DH . 58 In un triangolo isoscele ABC di base BC evertice A, prolunga il lato AB di un segmento BDe il lato AC di un segmento CE in modo che

BD ≅CE . Unisci D con C e prolunga ilsegmento DC, dalla parte di C di un segmento CF.Unisci E con B e prolunga il segmento EB dallaparte di B di un segmento BG congruente a CF.Dimostra che i triangoli AGD e AFE sonocongruenti. 59 Dato il triangolo convesso non piatto

aO b si prenda un punto A sul lato Oa e unpunto B sul lato Ob, in modo che OA≅OB . SiaM il punto medio di OA e N il punto medio diOB, congiungi A con N e B con M, indica con Pin punto di intersezione. Dimostra che sonocongruenti i triangoli OBC e OAD e i triangoloAOP OPB.

60 Nel triangolo isoscele ABC di base AB evertice C, prendi un punto D sulla bisettrice CHdell’angolo al vertice C, indica con E il punto diintersezione della retta AD con BC e F il punto diintersezione di BD con AC. Dimostra che i trian-goli FDA e EDB sono congruenti. 61 Siano ABC e ABD due triangoli isosceliaventi la base AB in comune e i vertici C e Dsituati da parti opposte rispetto ad AB. Dimostrareche AC D≅ D C B . 62 Sia P un punto interno al triangolo isosceleABC di base AB e sia AP ≅ PB . Si dimostri cheil segmento CP appartiene alla bisettrice dell’an-golo in C. 63 Due triangoli equilateri ABC e DBC hannola base BC in comune e i vertici A e D situati daparti opposte rispetto alla base BC. Dimostra che idue triangoli sono congruenti. 64 Siano ABC e A’B’C’ due triangolicongruenti. Si fissino su AC un punto P e su A’C’un punto P’ tali che AP ≅ A ' P ' . Si fissino suBC un punto Q e su B’C’ un punto Q’ tali che

BQ ≅ B ' Q ' . Si dimostri che PQ ≅ P ' Q ' . 65 Due triangoli, che hanno un latocongruente e hanno congruenti anche i due angoliesterni al triangolo aventi per vertici gli estremidel lato congruente, sono congruenti. 66 Dato il triangolo ABC e un punto Oesterno al triangolo, si unisca O con A con B econ C. Si prolunghi ciascun segmento, dalla partedi O, dei segmenti OA '≅ OA , OB '≅OB ,

OC '≅ OC . Allora il triangolo A’B’C’ ècongruente al triangolo ABC. 67 Siano LMN i punti medi dei lati del trian-golo isoscele ABC, dimostra che anche LMN èisoscele. 68 Siano MN i punti medi dei lati congruentiAB e AC del triangolo isoscele ABC, dimostrache le mediane AM e AN sono congruenti. 69 Siano AO B e B O C due angoli conse-cutivi congruenti, sia OM la bisettrice dell’angolo

AO B . Sulle semirette OC, OB, OM e OA siprendano rispettivamente i segmenti tutticongruenti tra di loro OC’, OB’, OM’, OA’.Dimostrare che A ' M '≅ M ' B ' , A ' B '≅ B ' C ' . 70 Sia OM la bisettrice dell’angolo AO B ,sui lato dell’angolo AO B si prendano i punti Pe Q tali che OP ≅OQ . Sia C un punto qualsiasidella bisettrice OM. Dimostra che CP ≅ CQ .

TRIANGOLI 17


►5. Congruenza dei poligoni

Ricordiamo che due poligoni sono congruenti se hanno lo stesso numero di lati ed hanno “ordinata-mente” congruenti tutti i lati e tutti gli angoli corrispondenti.

Il seguente criterio di congruenza dei quadrilateri è una semplice applicazione del primo criterio dicongruenza dei triangoli.

CRITERIO DI CONGRUENZA DEI QUADRILATERI

Due quadrilateri, aventi ordinatamente congruenti tre lati ed i due angoli tra essi compresi, sonocongruenti. Di conseguenza hanno ordinatamente congruenti anche il rimanente lato ed i rimanentidue angoli.

Conseguenza diretta del primo e del secondo criterio di congruenza dei triangoli è il seguentecriterio.

CRITERIO DI CONGRUENZA DEI QUADRILATERI

Due quadrilateri, aventi ordinatamente congruenti due lati consecutivi e tre angoli (adiacenti ai duelati congruenti), sono congruenti. Di conseguenza hanno ordinatamente congruenti anche il rima-nente angolo ed i rimanenti due lati.

Conseguenza del primo e del terzo criterio di congruenza dei triangoli è il seguente criterio.

CRITERIO DI CONGRUENZA DEI QUADRILATERI.

Due quadrilateri sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i quattro lati ed un angolocorrispondente. Di conseguenza hanno ordinatamente congruenti anche i rimanenti tre angoli.

CRITERI DI CONGRUENZA DEI POLIGONI

Due poligoni sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti tutti i lati e tutti gli angolicompresi, tranne tre elementi su cui non si fa alcuna ipotesi:

1) due angoli consecutivi ed il lato compreso;

2) due lati consecutivi e l’angolo compreso;

3) tre angoli consecutivi.

La dimostrazione di questi criteri è lasciata al lettore che potrà esercitarsi applicando i tre criteri

di congruenza dei triangoli.

TRIANGOLI 18


Quesiti dalle prove INVALSI

71 In un triangolo isoscele l’angolo al vertice è metà dell’angolo alla base. Quanto misurano gli angolidel triangolo?

A. 72°, 72°, 36°B. 30°, 60°, 90°C. 36°, 36°, 72°D. 90°, 45°, 45°

(Prove invalsi 2005) 72 Osserva la seguente figura. Se AB ≠ AC e BH=HC, che cosarappresenta il segmento AH nel triangolo ABC?

A. Una altezza.B. Una mediana.C. Una bisettrice.D. Un asse.

(Prove invalsi 2006)

73 Da un triangolo equilatero MNO di lato 6 cm viene tagliato via un triangolo equilatero di vertice in Oe lato 2 cm. Il perimetro del quadrilatero rimanente è…

A. 12 cm B. 14 cm C. 16 cm D. 18 cm E. 20 cm(Prove invalsi 2003) 74 Quanto misurano gli angoli interni di un triangolo rettangolo isoscele?

A. 30°; 60°; 90° B. 45°; 90°; 45° C. 60°; 60°; 90° D. 90°; 30°; 30°(Prove invalsi 2005) 75 Un lato di un quadrato e un lato di un triangolo equilatero, di uguale perimetro, hanno lunghezze lacui somma è 14m. Quanto misurano rispettivamente il lato del quadrato e quello del triangolo?

A. 5m e 9 mB. 6m e 8mC. 7m e 7mD. 8m e 6m

(Prove invalsi 2005) 76 In un triangolo ABC si ha AC=6, AB=7, BC=5. Se confrontiamo tra loro i tre angoli del triangolo,quale tra le seguenti affermazioni è vera?

A. C A B è l’angolo di misura maggiore e AB C l’angolo di misura minore.B. B C A è l’angolo di misura maggiore e AB C l’angolo di misura minore.C. B C A è l’angolo di misura maggiore e C A B l’angolo di misura minore.D. AB C è l’angolo di misura maggiore e C A B l’angolo di misura minore.

(Prove invalsi 2006) 77 Nel triangolo in figura, AB=AC e D A C=128 ° . Quanto misura

B A C ?A. 48°B. 52°C. 64°D. 76°

TRIANGOLI 19


Copyright © Matematicamente.it 2011

Questo libro, eccetto dove diversamente specificato, è rilasciato nei termini dellalicenza Creative Commons Attribuzione – Condividi allo stesso modo 3.0 Italia

(CC BY-SA 3.0) il cui testo integrale è disponibile al sito http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/it/legalcodeTu sei libero:di riprodurre, distribuire, comunicare al pubblico, esporre in pubblico, rappresentare, eseguire e recitarequest'opera, di modificare quest'opera, alle seguenti condizioni:Attribuzione — Devi attribuire la paternità dell'opera nei modi indicati dall'autore o da chi ti ha dato l'operain licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l'opera. Condividi allo stesso modo — Se alteri o trasformi quest'opera, o se la usi per crearne un'altra, puoi

distribuire l'opera risultante solo con una licenza identica o equivalente a questa.

AutoriAngela D’Amato: teoria, eserciziAntonio Bernardo: esercizi, integrazioniClaudio Carboncini: editing OpenOfficeCristina Mocchetti: teoria, integrazioniGemma Fiorito: integrazioni, correzioniErasmo Modica: eserciziLuciano Sarra: correzioniEugenio Medaglia: correzioniLaura Todisco: correzioni

Collaborazione, commenti e suggerimentiSe vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiornamento del manuale Matematica C3 o se vuoi inviare deicommenti e/o suggerimenti scrivi a [email protected]

Versione del documentoVersione 2.7 del 01.10.2011

TRIANGOLI 20

- istituto superiore ugo … · - matematica c3 – geometria razionale – 2. congruenza nei...

Documents