ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – СОФИЯФАКУЛТЕТ АВТОМАТИКА

КАТЕдрА СИСТЕМИ И УПрАВЛЕНИЕ

маг. инж. Севил Аптула Ахмед

СИСТЕмИ С НЕВРОННО-РАзмИТО мОдЕлНО пРЕдСКАзВАщО УпРАВлЕНИЕ

АВТОРЕФЕРАТна дисертация за присъждане на образователна и научна степен „доктор”

Професионално направление 5.2 ,,Eлектротехника, електроника и автоматика”

Научна специалност ,,Системи с изкуствен интелект”

Научни ръководители:проф. дтн инж. Камен Георгиев Ищевпроф. д-р инж. Михаил Георгиев Петров

Рецензенти:проф. дтн инж. Стоян Колев Стояновпроф. д-р инж. Снежана Тодорова Йорданова

София, 2013

Дисертационният труд е разработен в общ обем от 220 страници, разпределени в 140 страници изложение, състоящо се от въведение, пет глави и заключение; 12 страници библиография със 161 литературни източника; и три приложения поместени в 68 страници.

Дисертационният труд е обсъден пред катедрен съвет на катедра „Системи и управление” при факултет Автоматика на Технически Университет – София с протокол 11/07.03.2013 г. Защитата на дисертационния труд ще се състои на 09.07.2013 г. от 10.00 часа в зала 2114-б на ТУ-София на открито заседание на научното жури, определено със заповед ОЖ-97/14.03.2013 г. на Ректора на ТУ-София. Материалите по защитата са на разположение на интересуващите се в канцеларията на факултет Автоматика при ТУ-София, на адрес: гр. София, бул. „Св. Климент Охридски” 8, блок 2, ет. 3, каб. 2340.

СИСТЕмИ С НЕВРОННО-РАзмИТО мОдЕлНО пРЕдСКАзВАщО УпРАВлЕНИЕАвтор: маг. инж. Севил Аптула Ахмед

Обща характеристика на дисертационния труд Въведение 3Мотивация, цел и задачи 3Съкратено съдържание на дисертационния труд Глава 1. Съвременно състояние на системите с моделно предсказващо управление 4Глава 2. Интелигентни методи за моделиране на обекти за целите на НМПУ 4Глава 3. Проектиране на невронно-размити предсказващи модели с приложение в системи с НМПУ 6Глава 4. Проектиране на алгоритми за оптимизация за целите на системите с НМПУ 17Глава 5. Експериментални изследвания и резултати 25Заключение 32приноси в дисертационния труд 34Списък с публикации по дисертационния труд 34Участие в научно-изследователски проекти 35Анотация на английски език 36

Тираж: 50 бр.Печатна база на Технически Университет - София

3

Обща характеристика на дисертационния труд

ВъведениеПрез последните години моделното предсказващо управление извоюва място на базова технология за постигането на високо качество при управление на един ши-рок клас нелинейни технологични обекти. Чрез съвременни адаптивни нелинейни методи стана възможна реализацията на различни схеми за управление. Актуално е намирането на нови адаптивни алгоритми за управление, работещи в реално вре-ме и използването им за решаването на сложни нелинейни задачи. В дисертацията се разглеждат интелигентни методи и алгоритми за моделно предсказващо упра-вление (МПУ) в нелинейни системи, базирани на невронно-размити структури с механизъм за извеждане на Такаги-Сугено. Методологията е насочена към проек-тиране и изследване на опростени градиентни процедури за обучение на невронно-размити модели, в качеството им на адаптивни алгоритмични елементи за работа в реално време. Ето защо в разработения дисертационен труд са разгледани алгори-тми, осигуряващи едновременно висока точност на обучение и бързодействие при изчисленията, пригодени за програмна реализация. Разработените алгоритми за идентификация и оптимизация на многомерни системи с невронно-размит модел в пространството на състоянията предлагат решение на актуални, особено за не-линейното моделно предсказващо управление (НМПУ), задачи като: 1) Създаване на предсказващи модели с опростена, но в същото време и адаптивна структура, която да отразява в най-пълна степен поведението на системата; 2) Проектиране на бързи методи за оптимизация за работа в реално време с цел разширяване на полето на приложение на МПУ.

мотивация, цел и задачиВсеобхватността на моделното предсказващо управление създава нови изследова-телски хоризонти и предизвикателства за специалисти от различни области. Как-то беше споменато, за МПУ все още съществуват нерешени задачи. Създаването на адаптивни многомерни модели, бързи и точни методи за оптимизация с приложение в реално време са само две от направленията за развитие на съвременното моделно предсказващо управление. Именно тук намират своето приложение и средствата на изкуствения интелект.Целта на дисертационния труд е да се създадат алгоритми за моделиране и оптими-зация на многомерни системи за целите на НМПУ чрез средствата на изкуствения интелект. За постигане на поставената цел следва да се решат следните задачи:

Изследване на възможностите за приложение на невронно-размити структури •за моделиране с цел приложение в алгоритмите за МПУ;Разработка на алгоритъм за моделиране на многомерни нелинейни системи •чрез невронно-размити структури с цел приложението им в алгоритмите за моделно предсказващо управление;Разработка на ускорен алгоритъм с намалена изчислителна тежест за намиране •на числено решение на оптимизационната задача на МПУ с вграден невронно-размит предсказващ модел;Програмно осигуряване на създадените алгоритми;•Провеждане на изследвания за оценка работоспособността на създадените •алгоритми.

4

Съкратено съдържание на дисертационния труд

Дисертационният труд е оформен в пет глави в съответствие с последователността на работата по него. първа глава представя съвременното състояние на системите с моделно предсказващо управление, в заключение на което са формирани целта и задачите в дисертационния труд. Глава 2 отделя специално внимание на мяс-тото на интелигентните подходи и алгоритми (невронни мрежи, размита логика, невронно-размити структури) в системите за МПУ. Следващите две глави (Глава 3 и Глава 4) предлагат конкретни алгоритмични решения свързани съответно с моделирането и оптимизацията за целите на МПУ. Работоспособността на предло-жените подходи е представена в Глава 5 чрез набор от симулационни изследвания. Заключителната част обобщава постигнатото в дисертацията и очертава насоки за бъдеща работа в изследването на системите с НМПУ.

Глава 1. Съвременно състояние на системите с моделно предсказващо управление Интересът към МПУ, в частност към НМПУ, нараства през последните 20 години. Увеличава се и броят на публикациите. Редица от тях дават съдържателно въве-дение в теоретичните и практически аспекти на МПУ. Mayne et al. (2000) правят задълбочен преглед на теоретични резултати от работата на алгоритми за МПУ в затворени системи. Като основни показатели, определящи развитието като бурно, могат да се посочат: множеството и разнообразни алгоритми за МПУ; нараства-щият брой на регистрираните патенти (над 200 за периода 2003-2013 г. –Wipo Patentscope, http://patentscope.wipo.int/search/en/result.jsf); създаването на нови продукти за индустрията; изследователският интерес. Със сигурност тази тен-денция на развитие на предсказващото управление (особено това на НМПУ) ще се запази, тъй като пред него все още стоят задачи, които не са решени напълно:

Създаване на предсказващи модели с опростена, но в същото време и адаптивна •структура, която да отразява в най-пълна степен поведението на системата;Проектиране на бързи методи за оптимизация за работа в реално време с цел •увеличаване на полето на приложение на МПУ;Проектиране на устойчиви/робастни алгоритми за идентификация и управление; •Подобряване на съвместната работа между инженери и изследователи.•

Глава 2. Интелигентни методи за моделиране на обекти за целите на НмпУКакто вече беше отбелязано, основното предизвикателство пред нелинейното мо-делно предсказващо управление се състои в намирането на модел, изразяващ въз-можно най-точно спецификите на управляваната нелинейна система. Основните изисквания при моделирането за целите на НМПУ, както и обзор на методите за моделиране и идентификация могат да бъдат намерени в (Lee, 2000). Най-важните критерии, на които трябва да отговарят методите за нелинейно моделиране в пред-сказващото управление, могат да се обобщят в следните няколко аспекта (Babuška et al., 1999): 1) Моделът трябва да разчита на описание с малък брой параметри (коефициенти), които са лесни за тълкуване; 2) Процедура по изграждане на моде-ла трябва да бъде проста, надеждна и да позволява включването на априорна ин-формация в различни форми; 3)Моделът трябва да е с подходяща структура, която

5

позволява прилагането на стандартни техники за оптимизация, с цел намаляване на изчислителната тежест на процедурата за намиране на оптималното управле-ние, която в повечето случаи се осъществява в реално време.

2.1 моделиране с невронни мрежиНевронните мрежи намират широко практическо приложение в нелинейните сис-теми за управление. Те се използват както за проектиране на невронни регулатори, така и за моделиране и идентификация на обектите за управление, и са известни като универсални апроксиматори. Един често използван подход при моделиране с невронни мрежи е да се използват входните структури на линейните модели, а в качеството на вътрешна архитектура да се използва многослоен перцептрон (MPL, Multi Layer Perceptron). Обучението на невронните мрежи е процес, свързан с адаптивната настройка на теглата на връзките в тях и представлява нелинейна оптимизационна задача. Най-широко използваните методи за обучение са: Гради-ентни методи от І-ви ред – обратно разпространение на грешката (Backpropaga-tion learning algorithm); Градиентни методи от ІІ-ри ред – метод на Нютон, метод на Левенберг-Маркгуард и др.; Генетични и класификационни алгоритми; Алго-ритми базирани на теорията за управление на системи с променлива структура.

2.2 модели с размити структуриРазмитите структури са другата алтернатива за създаване на модели за целите на НМПУ. Те за разлика от невронните мрежи, се ползват с изключителното предим-ство да съчетават в себе си аналитични знания; лингвистични правила, описващи системите и експериментално снети данни (Abonyi et al., 2000a). Според Driankov и Hellendroon (2001) идентификацията чрез размита логика е ефективен начин за апроксимация на нелинейни системи с неопределености. Също така при тези мо-дели, за разлика от моделите с невронни мрежи, не може да става въпрос за липса на робастност или физическа необоснованост на параметрите. При размитите модели връзките между променливите са представени посредством логически правила, които имат причинно-следствена връзка от вида:

АКО (IF) (предпоставка), ТО (THEN) (следствие)Съществуват различни видове размити модели построени върху тази конструк-ция. Сред тях се откроява размития модел на Такаги-Сугено (TS, Takagi-Sugeno) (2.1), при който следствието е представено с конкретна функция на входните про-менливи от предпоставъчната част на правилото:

Rl: IF z1 is М1l and z2 is М2l … and zn is Мnl THEN yl= fl(z1, z2,…zn) (2.1)

където z(k)=[z1, z2,…zn] е входният вектор на размитата структура с n на брой еле-мента; с Мil (i=1, ..., n) са означени размитите множества в съответните активирани правила от l = 1, ..., L (Петров et al., 2010; Младенов и Йорданова, 2006).

2.3 Невронно-размити моделиПознанията за процеса могат да се използват за дефинирането на локални работни региони при гладки нелинейности. Във времето като подходящ подход за подо-бряването на точността и робастните свойства на моделите използвани в НМПУ се откроява комбинирането на моделите тип “сива кутия”, които се основават на

6

знанията за процеса и на моделите тип “черна кутия”, които разчитат на входно-изходните данни. Невронно-размитите модели са хибридни структури, които успешно реализират тази комбинация между яснотата и прозрачността на размитите системи с въз-можността за обучение на невронните мрежи. Направеният литературен анализ сочи, че въпреки засиления интерес и многобройните изследвания и разработки на предсказващо управление с приложение на невронно-размити структури в по-следните две десетилетия, моделите с хибридна структура все още не са напълно изследвани. Това открива поле за бъдещи изследвания в посока търсене на най-подходящия подход за проектиране на модели за целите на НМПУ. Ето защо имен-но невронно-размитите структури са избрани за постигане на поставените цел и задачи в настоящия дисертационен труд.

Глава 3. проектиране на невронно-размити предсказващи модели с приложение в системи с НмпУПроектирането на предсказващ модел започва с избор на математично описание. Различните форми на описание определят сложността на алгоритъма за моделиране, точността на модела и нужните изчислителни ресурси при решаване на оптимиза-ционната задача на МПУ. Когато системите за управление са нелинейни, а промен-ливите й са обект на ограничения, се предпочита описанието на предсказващите модели да бъде в пространството на състоянията. След избора на математичен модел, който ще предсказва бъдещото поведение на системата, следва етап на подбор на структура, която да го реализира и да му при-даде адаптивни свойства. Променящата се динамика и наличието на смущения от различно естество при широк клас обекти за управление налагат използването на динамични структури в качеството на модели. В настоящия дисертационен труд, този избор е направен в полза на невронно-размитите структури. Предложената тук адаптивна структура реализира нелинеен предсказващ модел чрез съвкупност от линейни дискретни модели в пространството на състоянията, представени като размити модели от типа Такаги-Сугено. Проектирането на така дефинирания пред-сказващ модел се състои в:

Построяване на адаптивна размита структура на базата на размити правила •тип Такаги-Сугено;Създаване на алгоритъм за настройка/адаптация на параметрите в невронно-•размитата структура;Построяване на предсказващ модел на база получения невронно-размит модел.•

3.1 проектиране на размит модел в пространството на състояниятаПредложената структура има за цел създаването на достатъчно точен модел на уп-равлявания с НМПУ технологичен обект, чието описание съответства на обобще-ния запис в пространството на състоянията в дискретна форма:

1 ,,

x

y

x(k ) f (x(k) u(k)) y(k) f (x(k) u(k))+ =

= (3.1)

7

където x(k) ∈ nℜ , u(k) ∈ mℜ и y(k) ∈ qℜ са съответно векторите на състояния-та, управляващите въздействия и изходите на системата. Неизвестните нелинейни функции fx и fy се апроксимират чрез база от размити правила от типа Такаги-Су-гено (Takagi and Sugeno, 1985):

+ = +

= +

1 1( ) ( ) ( )

( 1) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

:l l i li p lp

l l l

l l l l

R z k is M z k is M z k is M

x k A x k B u k

y k C x k D u k

if and and and

then

(3.2)

където Rl е l-то правило от базата с правила. Предпоставъчната част на правилата е представена чрез набор от условия “if zi(k) is Mli”, където zi(k) е i-та лингвистична променлива (i-ти вход на невронно-размития модел) и Mli е функцията на принад-лежност от размитото множество за съответната променлива zi. Входният вектор на регресорите zi(k) ∈ pℜ е съставен от векторите на състоянията и входовете на системата zi(k)=[x(k) u(k)]T. Следствената част на всяко правило Rl е функция от вхо-довете на невронно-размития модел. В представения дисертационен труд матема-тичният апарат на пространството на състоянията е приложен в качеството на ап-роксимираща функция в следствената част на правилата на Такаги-Сугено (Ahmed et al., 2009). Матриците Al

n n×∈ℜ , Bl n m×∈ℜ , Cl

q n×∈ℜ и Dl q m×∈ℜ са съответно

матриците на състоянието, на входовете, на изходите и тегловната матрица.Моделираното състояние ˆ( 1)x k + и изходът на системата ˆ( )y k се изчисляват като претеглена сума на активираните размити правила:

µµ

µ

µµ

µ

=

=

=

=

=

=

++ = = +

++ = = +

∑∑

∑

∑∑

∑

1

1

1

1

1

1

( ) ( ) ( )ˆ( 1) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )ˆ ˆ( 1) ( ) ( ) ( )

( )

L

yl l l Ll

yl l lLl

yli

L

yl l l Ll

yl l lLl

yll

k A x k B u kx k k A x k B u k

k

k C x k D u ky k k C x k D u k

k

(3.3)

където 1

( ) ( ) ( )L

yl yl yll

k k k=

= ∑µ µ µ е нормализираната стойност на степента на принад-

лежност за l-то активирано правило.Импликацията във всяко размито правило е реализирана чрез операцията алге-брично произведение (Т-norm product):

µ µyl iji

p

==∏

1

, (3.4)

където μij изразява степента на принадлежност (3.5) за активираното j-то размито множество за i-тия вход в l-то активирано правило, изчислена като:

2

2

( )( ) exp

2i Gij

ij iij

z cz

− = −

µs

, (3.5)

8

Израз (3.5) представя Гаусова функция на принадлежност, където zi е текущата стой-ност на i-тия вход на модела, cGij и σij са съответно центърът и широчината на j-тата (j=1, 2, ..., s) функция на принадлежност (Фиг. 3.1). Изборът на функциите на принадлежност е съобразен с нелинейния характер на системите, които са обект на изследване в този дисертационен труд. Поради нели-нейното си описание Гаусовите функции на принадлежност са предпочитан избор при редица размити и невронно-размити структури, които имат за цел моделиране на съществени нелинейни зависимости.

Фиг. 3.1. Гаусови функции на принадлежност за i-та лингвистична променлива

Невронно-размитият модел на нелинейната система (3.1) може да се представи и чрез по-компактния класически запис (3.6):

ˆ( 1) ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( ) ( )

x k Ax k Bu ky k Cx k Du k+ = +

= + (3.6)

където матриците A, B, C и D, участващи в описанието, могат да се изчислят като прете-глена сума на локалните матрици Al, Bl, Cl и Dl от активираните размити правила (3.2):

µ µ µ µ= = = =

= = = =∑ ∑ ∑ ∑1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L L L L

yl l yl l yl l yl ll l l l

A k A k B k B k C k C k D k D k (3.7)

Изрази (3.3) и (3.6) представят основната форма на модела на Такаги-Сугено в пространството на състоянията. Процедурите по идентификация и актуализация се прилагат върху този вид на модела, а в схемата на НМПУ той участва с предсказ-ващата си форма (секция 3.3).

3.2 Разработка на идентификационна процедура и алгоритъм за обучениеПредложената в дисертацията идентификационна процедура определя параметрите в модела на Такаги-Сугено. Това са две групи от параметри – параметри в предпоста-въчната и в следствената част на размития модел (3.2). Първата група включва па-раметрите на функциите на принадлежност, участващи в операцията размиване. Втората група параметри са коефициентите в следствената част на правилата, кои-то участват в матриците Al, Bl, Cl, и Dl за всяко l-то правило. Идентификационната процедура е реализирана чрез петслойна невронно-размита структура (Фиг. 3.2). Всеки слой от мрежата изпълнява характерна за размитата логика операция:Слой 1. Това е входният слой на мрежата. Той пропуска входните сигнали към след-ващия слой на структурата. Броят на невроните в първия слой е равен на броя на елементите във вектора на регресорите z(k) (dim(z(k))=p). Слой 2. Операцията размиване се осъществява в този слой от структурата. Теглата на връзките представят параметрите на функциите на принадлежност, участващи в

9

размиването на входните променливи. Това са параметрите за настройка от пред-поставъчната част на правилата на Такаги-Сугено. Слой 3. Този слой от предложената невронно-размита структура представя базата с размити правила от тип Такаги-Сугено (3.2). Всеки неврон представя конкретно правило Rl от базата.

Слой 1 Слой 2 Слой 3 Слой 4 Слой 5

Фиг. 3.2. Структура на предложената невронно-размита структура

Слой 4. Четвъртият слой на мрежата осъществява операцията импликация чрез (3.4). Теглата на връзките в този слой са единици при условие, че съответното пра-вило Rl в предходния слой е активирано. В противен случай – те са нулеви. Изхо-дите на невроните в този слой могат да се запишат като:

Y f Ixl yll

L4

1

5( )

=

( )= =∑ µ или Y f Iyl yll

L4

1

5( )

=

( )= =∑ µ (3.8)

където с I(5) е означен входът към невроните в следващия пети слой.Слой 5. Последният слой на мрежата осъществява операцията деразмиване и фор-мира изхода на мрежата (3.3). Този слой също съдържа параметри за настройка. Това са теглата на връзките, които съответстват на коефициентите в следствената част на правилата на Такаги-Сугено (3.2). Изходът на мрежата ŷ(k) или ˆ( )x k (3.9) се изчислява като сума от всички входове (3.8) на единствения неврон в този слой.

1 1

ˆ( )L L

xl yl yll l

x k f= =

=∑ ∑m m или 1 1

ˆ( )L L

yl yl yll l

y k f= =

=∑ ∑m m (3.9)

където

( ) ( )xl l lf A x k B u k= + f C x k D u kyl l l l= +( ) ( ) (3.10)

са локалните линейни модели съответстващи на правилата (3.2), благодарение на които се моделира нелинейната динамика на обекта за управление.

10

3.2.1 Алгоритъм за обучение на невронно-размития моделАлгоритъмът за обучение на предложения модел е съобразен със структурата на модела на Такаги-Сугено, която е реализирана чрез невронна мрежа. Разположени-ето на параметрите за обучение в два от слоевете на структурата (Фиг. 3.2) е пред-поставка за прилагане на двустъпкова градиентна обучаваща процедура, която да използва обща обучаваща променлива. По същество разработеният в дисертацията алгоритъм се базира на метода с об-ратно разпространение на грешката (backpropagation) (Werbos, 1994). Целта е да се минимизира функцията EFNN:

E k kFNN ( ) ( ) /= ε 2 2 (3.11)

където ε(k) е текущата разлика между реалния изход y(k) на обекта за управление и из-хода на невронно-размития модел ŷ(k) зададен с един от изразите (3.3), (3.6) или (3.9):

ε(k)=y(k)– ŷ(k), (3.12)

Обучението на мрежата се състои в адаптация на променливите в предпоставъч-ната и следствената част на размитите правила дефинирани в (3.2). Алгоритъмът за настройка се прилага само за активираните правила от базата. Това е и главното предимство на предложения метод за адаптация. Редуцираниият брой на правилата спестява значителни изчислителни ресурси, което го прави подходящ за приложение в реално време. Броят на активираните правила зависи от броя на ак-тивираните размити функции за всеки вход на структурата представена на Фиг. 3.2.

-+

u(k)

ŷ(k)

y(k)

Невронноразмитмодел

Обект

Обучаващалгоритъм

Фиг. 3.3. Основно представяне на схемата за обучение

3.2.1а. Редуциране на броя правила Обобщеният запис, по който се определят активираните правила за структура с p на брой входа и s на брой Гаусови функции на принадлежност, може да се запише като:

L sact ii

p

==∏ _

1

, (3.13)

където със sact_i е означен броят на активираните множества от i-тия вход на нев-ронно-размитата мрежа. Процедурата по обучение налага следните ограничения върху параметрите на Гаусовите функции:

cGij < cGi(j+2) + 3(σij + σi(j+2)), i=1,2,...,p; j=1,2,...s-2 (3.14)

11

с цел гарантиране на максималния брой sact_max на активираните множества да бъде равен на 2 (sact_max = 2), т.е. функциите на принадлежност да са разположени така, че входната променлива да може да активира най-много две съседно разположени функции на принадлежност (Фиг. 3.4). Изпълнението на условие (3.14) от друга страна осигурява по-голяма точност на модела, като предотвратява припокриване на локалните модели Rl (3.2) от структу-рата на Такаги-Сугено в пространството на състоянията.

1

11

1j

12 13

11 11-3

11 11+312 12-3

12 12+313 13-3

13 13+3

Фиг. 3.4. Разположение на Гаусовите функции на принадлежност за един от входовете на структурата

Намаленият брой правила води също до значително опростяване на топологията на невронно-размитата структура, която е представена на Фиг. 3.2. Отпадат връзките между невроните, които съответстват на неподлежащите на актуализация правила. В този смисъл предложената структура е динамична.

2

3

4

5

6

7

8

12

13

21

22

23

31

32

33

41

42

43

41

42

43

31

32

33

21

22

23

11

y1

1

2

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

12

13

3

4

5

6

7

8

Фиг. 3.5. Представяне на активираните правила и параметрите им за настройка

Двустъпковият алгоритъм за обучение (секция 3.2.1б) се прилага за параметри-те във втория и четвъртия слой (означени със затъмнени блокове) на текущата структура (Фиг. 3.5). Настройката започва от предпоследния слой след изчислява-не на грешката (3.12). Следва настройка на параметрите на Гаусовите функции във втория слой, като обучаващата променлива ε(k) се разпространява (предава) по връзките в скритите слоеве, които са с единични тегла.

12

3.2.1б. Двустъпкова процедура за обучениеПървата стъпка от обучаващата процедура включва актуализация на параметри-те в следствената част на размитите правила на Такаги-Сугено (3.2). Обобщеният израз за адаптация на теглата в последния слой на предложената структура има следния рекурентен запис:

β β η∂βl l

FNN

l

k kE

( ) ( )+ = + −∂

1 (3.15)

където η е скоростта на обучение и βl е обобщаващ параметър, който обединя-ва коефициентите aij, bij, cij, dij за всяко активирано правило Rl (3.2). Коефициентите попълват съответно матриците Al, Bl, Cl и Dl (3.16) от модела в пространството на състоянията за всяко l-то активирано правило (l=1, 2, 3,...,L). Именно тези матри-ци апроксимират нелинейните функции fx и fy (3.1) съгласно дефинираната база от размити правила (3.2). Размерността на матриците се определя от параметрите на моделираната система – брой входове m, брой изходи q и брой състояния n.

11 1 11 1

1 1

11 1 11 1

1 1

( ) ( )

( ) ( )

n m

l l

n nn n nm

n m

l l

q qn q qm

a a b bA k B k

a a b b

c c d dC k D k

c c d d

= =

= =

11 1 11 1

1 1

11 1 11 1

1 1

( ) ( )

( ) ( )

n m

l l

n nn n nm

n m

l l

q qn q qm

a a b bA k B k

a a b b

c c d dC k D k

c c d d

= =

= =

(3.16)

Актуализацията на теглата на връзките в последния слой на невронно-размитата структура се изчислява чрез намирането на производната (3.15) на текущата греш-ка по отношение на обобщения параметър на коефициентите в следствената част на дефинираните правила. Следвайки верижното правило, производната (3.15)може да се изрази чрез уравнения (3.8)–(3.12)

(5)

(5)

ˆˆ

FNN FNN

l l

E E y Iy I

∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ ⋅

∂ ∂ ∂ ∂b b (3.17)

След изчисляване на частните производни в (3.17), изразите за актуализация на параметрите в следствената част на всяко активирано правило придобиват след-ния вид:

a k a k k k x k i j nb k b

ij ij yl i

ij

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )+ = + = = ÷

+ =

1 11

he m

iij yl j

ij ij

k k k u k i n j mc k c k

( ) ( ) ( ) ( ) ,( ) ( )

+ = ÷ = ÷

+ =

he m 1 11 ++ = ÷ = ÷

+ = +

he m

he

( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) (

k k x k i q j nd k d k

yl j

ij ij

1 11 kk k u k i q j myl j) ( ) ( ) ,m = ÷ = ÷1 1

(3.18)

Предложената невронно-размита структура позволява грешката, изчислена на изхода на мрежата (3.11), да се използва при актуализацията на параметрите в предпоставъч-ната част на размитите правила. Грешката EFNN се разпространява от изходния към втория слой на мрежата, където се намира втората група параметри за настройка (Фиг. 3.5). Степените на принадлежност в четвъртия и втория слой също са свързани чрез μyl → μij. Обобщеният израз за адаптация на параметрите на размитите функции във втория слой на мрежата има следния вид:

13

α α η∂αij ij

FNN

ij

k kE

( ) ( )+ = + −∂

1 (3.19)

където производната ∂EFNN

ij∂α е изчислена съгласно следващия израз (3.20):

ˆˆ

ijFNN FNN

ij ij ij

E E yy

∂∂ ∂ ∂= ⋅ ⋅

∂ ∂ ∂ ∂

m

a m a (3.20)

Параметрите за настройка в предпоставъчната част на невронно-размития модел на Такаги-Сугено са центровете cGij и разпределенията σij на Гаусовите функции (3.5). Те са обединени в параметъра αij, който съответства на i-тия вход на модела и неговото j-то активирано размито множество. Производната (3.20), подобно на (3.17), се състои от три частни производни. След изчисляване на частните производни за адаптация на теглата във втория слой на предложената структура, се получават изразите за актуализация на параметрите на Гаусовата функция:

−+ = + − 2

( ( ) ( ))( 1) ( ) ( ) ( )( ( ))

( )i Gij

Gij Gij yl ylij

z k c kc k c k k k f y k

khe m

s (3.21)

−+ = + −

2

3

( ( ) ( ))( 1) ( ) ( ) ( )( ( ))

( )i Gij

ij ij yl ylij

z k c kk k k k f y k

ks s he m

s (3.22)

Създаденият невронно-размит модел е в основата на предложения в дисертацията адаптивен модел с приложение в системите с НМПУ. Той е подходящ за моделиране на многомерни обекти от висок ред. Моделираните чрез размитите правила на Та-каги-Сугено състояния и изходи участват в построяването на предсказващ модел в пространството на състоянията, който се отличава с адаптивни качества благодаре-ние на предложената невронно-размита структура.

3.3 проектиране на невронно-размит предсказващ модел в пространството на състоянията

На база предложения невронно-размит модел в пространството на състоянията са проектирани две предсказващи структури с цел приложение в системите с НМПУ. При първия подход предсказването се осъществява на база изчислените в текущия момент k матрици A(k), B(k), C(k) и D(k) (3.7). Така алгоритъмът за управление ге-нерира оптимална последователност от бъдещи управляващи въздействия на база идентифицираната еднократно за текущия момент k структура (3.6). Вторият под-ход дефинира структура, която се състои от множество предсказващи модели. При него моделът на Такаги-Сугено се преизчислява (идентифицира) за всяка стъпка на предсказване (k+j), където j= 1, 2, ..., Hp (Hp – хоризонт на предсказване).

3.3.1 предиктор на база модел от типа Такаги-СугеноКакто при повечето алгоритми за управление, така и при МПУ е широко застъпен подходът, при който регулаторите генерират моментното изменение на управлява-

14

щото въздействие ∆u(k), а не стойността му u(k). В тази връзка и съобразно поста-вената цел на дисертацията изведеният в (3.6) невронно-размит модел на Такаги-Сугено е приведен в удобна за следващите етапи на проектирането форма (3.23):

ˆ( 1) ( ) ( 1) ( )

ˆ ˆ( ) ( ) ( 1) ( )x k Ax k Bu k B u k

y k Cx k Du k D u k+ = + − + ∆

= + − + ∆ ’ (3.23)

където ∆u(k) = u(k) – u(k–1). Обобщеният запис за предсказаните състояния на обекта за j стъпки напред (j= 1, 2, ..., Hp) може да се запише в следната форма:

1 1

0 01

0

1 0

( ) ,

ˆ( ) ( ) ( 1)

( 1),u

j j ii

ui p

jj i

ij lH

iu p

l i

A B u k p j H

x k j A x k A Bu k

A B u k l H j H

− − −

= =−

=−

= =

∆ + ≤

+ = + − + ∆ + − < ≤

∑ ∑

∑

∑∑

(3.24)

където Hu – хоризонт на управление. Рекурентният запис за предсказания изход ŷ(k+j), (j= 1, 2, ..., Hp), може да се представи в следния вид:

−

=

− − −

= =

=−

= =

+ = + + − +

∆ + ≤ + + ∆ + ∆ + − < ≤

∑

∑ ∑

∑∑∑

1

0

1 1

0 0

0

1 0

ˆ( ) ( ) ( 1)

( ) ,

( )

( 1),u

jj i

i

j j ii

ui p j

iH j li

u pl i

y k j CA x k C A B D u k

C A B u k p j H

D u k i

C A B u k l H j H

(3.25)

Предсказаният модел от (3.25) може да се обобщи в матричен запис от вида:

( ) ( ) ( 1) ( )Y k x k u k U k= Ψ +Γ − +Θ∆ , (3.26)

където предсказаните изходи и бъдещите стойности на изменението на управлява-щия сигнал са представени съответно чрез векторите Y(k) и ∆U(k):

ˆ( ) ( ) ( )( ) , ( ) , ( )

ˆ( - 1) ( - 1) ( - 1)p p u

y k r k u kY k T k U k

y k H r k H u k H

∆= = ∆ =

+ + ∆ +

,

ˆ( ) ( ) ( )( ) , ( ) , ( )

ˆ( - 1) ( - 1) ( - 1)p p u

y k r k u kY k T k U k

y k H r k H u k H

∆= = ∆ =

+ + ∆ +

(3.27)

а параметрите на предсказващия модел в лицето на матриците A, B, C и D (3.7)участват в обобщените записи на Ψ, Γ и Θ, както следва:

15

+ + + + − Θ = +∑

= − − −

+ + ∑ ∑ = =

0 0

02

0

2 1

0 0

DCB D D

CAB CB D CB D

Hu iC A B D Di

H H Hp p ui iC A B D C A B Di i

Ψ =

−

CCACA

CAHp

2

1

2

0

pHi

i

DCB D

CAB CB D

C A B D−

=

++ +Γ =

∑ +

(3.28)

3.3.2 предиктор на база предсказваща форма на размитите правила тип Такаги-Сугено

По същество предсказването чрез множество предсказващи подмодели предста-влява итерационна процедура, която повтаря подхода от секция 3.3.1 j пъти до достигане на хоризонта на предсказване Hp. На всяка итерация от процедурата се решава оптимизационна задача, която осигурява управляващото въздействие u(k+j) = u(k+j-1)+ Δu(k+j) за следващата стъпка. Така построеният модел включва множество нестационарни предсказващи подмодели, които обхващат по-широк спектър нелинейни зависимости за обекта на управление.

Предсказването с множество модели се основава на база от размити правила, при която векторът на регресорите ˆpzi(k+j)=[x(k+j) u(k+j)]T се обновява във всяка стъп-ка (k+j), j=1, 2, ..., Hp от предсказването:

+ + +

+ + = + + + + +

+ = + + + + +

if and and

then

1 1ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

( 1) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

:l l i li p lp

l l l

l l l l

R z k j is M E z k j is M z k j is M

x k j A k j x k j B k j u k j

y k j C k j x k j D k j u k j (3.29)

За разлика от първия подход (секция 3.3.1), при който матриците се определят едно-кратно за момента k и не се променят в процеса на предсказване, тук идентификацион-ният алгоритъм от секция 3.1 се прилага на всяка стъпка (k+j). Процедурата по извеж-дане на обобщения предсказващ модел повтаря последователностите (3.24) и (3.25):

+ = + − + ∆

+ = + + − + ∆ + + + + + ∆ + = + + + + + − + + + + + ∆ + + ∆ +

ˆ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )

ˆ( 2) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)

ˆ(

x k A k x k B k u k B k u k

x k A k A k x k B k u k B k u k B k u k B k u k

A k A k x k A k B k B k u k

A k B k B k u k B k u k

x− − −−

== =

− −− −

= = =

− −−

= = =

+ = + + + − + − +

+ − + ∆ + ≤

+

+ − + ∆ + − < ≤

∑∏ ∏

∑∑ ∏

∑∑ ∏

1 11

00 1

11 1

0 1

1

1 0 1

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( 1),u

j j ij

ii p

j ij j

ul i l p

j ij lH

u pl i p

k j A k i x k A k j p B k i u k

A k j p B k i u k l j H

A k j p B k i u k l H j H

(3.30)

16

Рекурентният запис за предсказания изход с използване на множество предсказва-щи модели се извежда аналогично:

ˆ ˆ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)

ˆ( 2) ( 2) ( 1) ( ) ( )( 2) ( 1) ( ) ( 2) ( 1) ( 2)

y k C k x k D k u k D k u kC k A k x k C k B k D k u kC k B k D k u k D k u k

y k C k A k A k x kC k A k B k C k B k D k

+ = + + + + + + ∆ + =

= + + + + + − + + + + + ∆ + + ∆ +

+ = + + +

+ + + + + + + +

1 11

00 1

1

( 1)( 2) ( 1) ( ) ( 2) ( 1) ( 2) ( )( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 2)

ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)

( )

( )

j j ij

ii p

p

u kC k A k B k C k B k D k u kC k B k D k u k D k u k

y k j C k j A k i x k C k j A k j p B k i u k

A k j p

C k j

− − −−

== =

=

− ++ + + + + + + + ∆ + + + + + ∆ + + + ∆ +

+ = + + + + + − + − +

+ −

+ +

∑∏ ∏

11 1

0

01

1 0 1

( ) ( ),

( ) ( )

( ) ( ) ( 1),u

j ij j

ul i l j

iH j ij l

u pl i p

B k i u k l j H

D k j u k i

A k j p B k i u k l H j H

− −− −

= =

=− −−

= = =

+ ∆ + ≤

+ + ∆ + + − + ∆ + − < ≤

∑∑ ∏

∑

∑∑ ∏

(3.31)

ˆ ˆ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)

ˆ( 2) ( 2) ( 1) ( ) ( )( 2) ( 1) ( ) ( 2) ( 1) ( 2)

y k C k x k D k u k D k u kC k A k x k C k B k D k u k

C k B k D k u k D k u k

y k C k A k A k x kC k A k B k C k B k D k

+ = + + + + + + ∆ + =

= + + + + + − + + + + + ∆ + + ∆ +

+ = + + +

+ + + + + + + +

1 11

00 1

1

( 1)( 2) ( 1) ( ) ( 2) ( 1) ( 2) ( )( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 2)

ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)

( )

( )

j j ij

ii p

p

u kC k A k B k C k B k D k u kC k B k D k u k D k u k

y k j C k j A k i x k C k j A k j p B k i u k

A k j p

C k j

− − −−

== =

=

− ++ + + + + + + + ∆ + + + + + ∆ + + + ∆ +

+ = + + + + + − + − +

+ −

+ +

∑∏ ∏

11 1

0

01

1 0 1

( ) ( ),

( ) ( )

( ) ( ) ( 1),u

j ij j

ul i l j

iH j ij l

u pl i p

B k i u k l j H

D k j u k i

A k j p B k i u k l H j H

− −− −

= =

=− −−

= = =

+ ∆ + ≤

+ + ∆ + + − + ∆ + − < ≤

∑∑ ∏

∑

∑∑ ∏

На база изрази (3.30) и (3.31) се променят съответно и обобщените матрици Ψ, Γ и Θ в матричния запис на предсказания изход от (3.26).

11

0 1

1

0 1

( ) 0 0( 1) ( ) ( 1) ( )

( 2) ( 1) ( ) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( ) ( 1)0

( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )

( 1) ( - ) ( )

Hu iHu

u ui p

Hp iHp

pi p

D kC k B k D k D k

C k A k B k C k B k D k C k B k D k

C k H A k j p B k i D k H D k

C k H A k j p B k i

− −−

= =

− −−

= =

+ + ++ + + + + + + + + +

Θ =+ − + − + + + −

+ − + +

∑ ∏

∏

12

0 1

( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1)j ij Hu

p u ui p

D k H C k H A k j p B k i D k H− −−

= =

+ + − + − + − + + + −

∑ ∑ ∏

11

0 1

1

0 1

( ) 0 0( 1) ( ) ( 1) ( )

( 2) ( 1) ( ) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( ) ( 1)0

( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )

( 1) ( - ) ( )

Hu iHu

u ui p

Hp iHp

pi p

D kC k B k D k D k

C k A k B k C k B k D k C k B k D k

C k H A k j p B k i D k H D k

C k H A k j p B k i

− −−

= =

− −−

= =

+ + ++ + + + + + + + + +

Θ =+ − + − + + + −

+ − + +

∑ ∏

∏

12

0 1

( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1)j ij Hu

p u ui p

D k H C k H A k j p B k i D k H− −−

= =

+ + − + − + − + + + −

∑ ∑ ∏

12

0 1

( )( 1) ( ) ( 1)

( 2) ( 1) ( ) ( 2) ( 1) ( 2)

( 1) ( - ) ( ) ( 1)pp H iH

p pi p

D kC k B k D k

C k A k B k C k B k D k

C k H A k j p B k i D k H− −−

= =

+ + + + + + + + + + Γ = + − + + + + −

∑ ∏

2

0

( )( 1) ( )

( 2) ( 1) ( )

( 1) ( )Hp

pi

C kC k A k

C k A k A k

C k H A k i−

=

+ + +

Ψ =

+ − +

∏

(3.32)

17

Предложените в тази глава подходи за създаване на невронно-размити предсказва-щи модели са в основата на проектираните в дисертацията алгоритми за НМПУ. Те са решение на една от поставените в настоящия труд задачи и са пряко свързани с изпълнението на следващата задача за разработка на алгоритъм за оптимизация за целите МПУ с приложение върху многомерни системи. Опростеното описание на невронно-размития модел и опростената изчислителна процедура при обучение на структурата са главните предимства на предложения в дисертацията алгоритъм за идентификация и адаптация. Ролята на създадените предиктори в задачата на НМПУ е представена в следващата глава, където те се използват при дефиниране и решаване на оптимизационната задача на предсказващото управление в два различ-ни алгоритъма за управление – безусловен (при отсъствие) и условен (при наличие на ограничения).

Глава 4. проектиране на алгоритми за оптимизация за целите на системите с НмпУ Проектирането на предложения в дисертационния труд невронно-размит пред-сказващ регулатор е свързано с избор и разработка на подходящ алгоритъм за оп-тимизация, който осигурява управление с желано качество. Изборът на метод за решаване на конкретна оптимизационна задача и на стратегия за управляване на оптимизационния процес според (Стоянов et al., 2004) са обвързани със специфич-ните особености на задачата и възможностите на съществуващите методи за оп-тимизация. Основните изисквания, поставени пред оптимизационния алгоритъм, са бързата му сходимост и опростена изчислителна процедура, която да позволява реализацията му в реално време. Въпреки спецификите, цялостният процес по дефиниране и решаване на оптимиза-ционни задачи се състои от три основни избора (Стоянов et al., 2004):

Избор и формулировка на цел на оптимизацията;•Определяне на ограниченията, т.е. на реалните възможности за постигане на •тази цел;Намиране на подходящ начин за постигане на целта при удовлетворяване на •ограниченията.

4.1 дефиниране на целевия критерий на оптимизационната задача в алгоритмите за мпУ

Основен етап при формирането на оптимизационната задача е изборът на целе-вата функция. В алгоритмите за МПУ целевият критерий включва предсказващ модел на управлявания процес. В настоящата дисертация този модел е един от проектираните в Глава 3 невронно-размити предсказващи модели (секция 3.3 и секция 3.4). На база литературния обзор (Глава 1) за дефиниране на целевата функция в на-стоящия дисертационен труд е използвана широко прилагания в предсказващото управление критерий за обобщено МПУ от квадратичен вид със следната форма:

1 1

2 2

0

ˆ( ) ( ) ( ) ( )p w u

w

H H H

Q Ri H i

J k y k i r k i u k i+ − −

= =

= + − + + ∆ +∑ ∑

(4.1)

18

където ŷ(k), r(k) и ∆u(k) са съответно векторите на предсказания изход на модела, заданието в системата за управление и предсказаното изменение на управляващо-то въздействие в момента k;Q ≥0 и R >0 са константни тегловни матрици, които осъществяват връзката между изискванията за точност на управление и големи-ната на управляващите въздействия. Хоризонтът на предсказване, минималният хоризонт на предсказване и хоризонтът на управление са отбелязани съответно с Hp, Hw и Hu. С цел съответствие на целевия критерий на оптимизационната задача с обобщения запис на предсказващия модел (3.26) израз (4.1) се представя чрез еквивалентната му матрична форма:

2 2( ) ( ) ( ) ( )Q R

J k Y k T k U k= − + ∆ , (4.2)

където Y(k), T(k), ∆U(k), Q и R са съответно векторите на предсказаните изходи, на заданието, на изменението на управляващото въздействие и тегловни матрици:

ˆ( ) ( ) ( )( ) , ( ) , ( )

ˆ( - 1) ( - 1) ( - 1)p p u

y k r k u kY k T k U k

y k H r k H u k H

∆= = ∆ =

+ + ∆ +

(1) 0

0 ( )p

QQ

Q H

=

(1) 0

0 ( )u

RR

R H

=

(4.3)

В алгоритмите за предсказващо управление минимизирането на предварително дефиниран целеви критерий от вида (4.2) относно бъдещите стойности на упра-вляващото въздействие или на неговото изменение осигурява нулеви/минимални стойности на предсказаната грешка (4.4) за целия хоризонт на предсказване:

( ) ( ) ( )

ˆ( )( )

ˆ( -1)p

E k T k F k

e kE k

e k H

= −

= +

(4.4)

Векторът Е(k) има смисъл на грешка от проследяване, ако се приеме, че се изчисля-ва като разлика между желаната траектория и свободното движение на системата F(k) (Akesson, 2006). Свободното движение в системите с предсказващо управле-ние е това, което зависи само от миналите стойности на управляващия сигнал, т.е. компонентата на предсказания изход (3.26), която не се влияе от изменението на управляващото въздействие в процеса на предсказване. В този смисъл, за свобод-ното движение може да се запише:

F k x k u k( ) ( ) ( ) = + −Ψ Γ 1 (4.5)

Вземайки в предвид (4.5), изходът на предсказващия модел (3.26) придобива след-ната форма: Y k F k U k( ) ( ) ( )= +Θ∆ , (4.6)

където втората компонента ΘΔU(k) отразява принуденото движение на системата, което зависи от предсказаните управляващи въздействия. Предсказаният изход Y(k)

19

(3.26) се формира на база информацията от невронно-размития модел на Такаги-Сугено, като в зависимост от избора на предиктор (секция 3.3 или секция 3.4) това са съответно матриците (3.28) и (3.32).

4.2 проектиране на алгоритъм за безусловна оптимизация за целите на мпУПредложеният в тази секция на дисертацията подход представлява алгоритъм за аналитично решение на оптимизационната задача на НМПУ при отсъствие на ограничения. Той се състои в последователно решаване на системи уравнения с опростена програмна реализация (Petrov et al., 2011a, 2011b). За намиране на оп-тималната последователност от бъдещи управляващи въздействия, алгоритъмът използва въведения в секция 4.1 целеви критерий (4.2).

4.2.1 постановка на задачата за безусловна оптимизация Подлежащият на минимизиране целеви критерий (4.2) може да се представи в следния вид: min ( ) ( ) ( )J U T Y Q T Y U R UT T∆ ∆ ∆= − − + , (4.7)

където означението на стъпката на дискретизация k е пропуснато, за да не се ус-ложняват следващите записи по извеждането на предложения оптимизационен алгоритъм. Със заместване на предсказания модел (4.6) в (4.7), целевата функция на оптимизационната задача придобива крайния си запис от вида:

min ( ) ( ) ( ) ( ) ( )J U U Q R U F T Q U T F Q T FT T T T∆ ∆ Θ Θ ∆ Θ∆= + + − + − −2 (4.8)

Минимумът на целевата функция J(∆U) може да се изчисли, ако се намери такова ΔU, при което вектор-градиентът на целевата функция се нулира, т.е. ∂J/∂ΔU = 0:

∂∂

=∂

∂+ + − + − − =

∆∆

∆∆ Θ Θ ∆ Θ∆

UJ U

UU Q R U F T Q U F T Q F TT T T T( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 (4.9)

Оптималната последователност на изменението на управляващото въздействие, изразена като вектор на предсказаните стойности ΔU*, е представена чрез матрич-ната зависимост:

∆ Θ Θ ΘU Q R Q T FT T* ( ) ( )= + −−1 (4.10)

Управляващото въздействие, приложено към обекта в момента k, е изчислено съо-бразно принципа на плаващия хоризонт на предсказване, т.е. прилага се само пър-вият елемент Δu*(k) от предсказаната оптимална последователност ΔU*, а управля-ващият сигнал се изчислява като:

u k u k u k( ) ( - ) ( )*= +1 ∆ (4.11)

Така поставената задача за намиране на оптималната последователност от упра-вляващи въздействия на МПУ следва да бъде решена стъпково (итеративно) чрез предложения алгоритъм за безусловна оптимизация.

20

4.2.2 Алгоритъм за безусловна оптимизация за целите на мпУПредложеният алгоритъм за оптимизация може да се отнесе към непреките мето-ди за оптимизация, които разчитат на първите производни на целевите си крите-рии при търсене на оптималното решение. Изчислителната процедура използва вектор-градиента на целевата функция:

∇ =∂∂

∂∂ +

∂∂ + −

J U k J k

u kJ k

u kJ k

u k Hu

( ( )) ( )( )

, ( )( )

, , ( )( )

∆∆ ∆ ∆1 1

T

, (4.12)

който съдържа първите производни на целевия критерий (4.7) относно управлява-щите параметри ∆u(k+j), j=1,2, ..., Hu–1. Ако целевата функция (4.7) се минимизира по отношение на бъдещите стойности на изменение на управляващото въздейст-вие ∆u, то оптималните им стойности могат да се изчислят чрез условията на век-тор-градиента (4.12) в точката на екстремума (Стоянов, 1990). Изчислителната процедура на алгоритъма за оптимизация започва с намиране на производните, участващи във вектор-градиента (4.12). Всяка от тях може да се представи чрез общия матричен запис от вида:

∂ ∆∂∆

= − ∂∂∆

+∂J U k

U kT k Y k T Q Y k

U kUT k R U k( ( ))

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )2 2∆ ∆

∂∂∆

U k( )

, (4.13)

в който ясно се обособяват две групи от частни производни. Първата от тях чрез матрицата (4.14) обединява частните производни на предсказания изход спрямо бъдещата последователност на изменението на управляващото въздействие, т.е. компонентите в ∆U(k) (4.3),

ˆ ˆ( ) ( )( ) ( 1)

( )( ) ˆ ˆ( 1) ( 1)

( ) ( 1)

w w

u

p w p w

u

y k H y k Hu k u k H

Y kU k

y k H H y k H Hu k u k H

∂ + ∂ +

∂∆ ∂∆ + − ∂ = ∂∆∂ + + − ∂ + + − ∂∆ ∂∆ + −

(4.14)

а втората е представена чрез (4.15):

( ) ( )....

( ) ( 1)( )( )

( 1) ( 1)....

( ) ( 1)

u

u u

u

u k u ku k u k H

U kU k

u k H u k Hu k u k H

∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ + − ∂∆

= ∂∆

∂∆ + − ∂∆ + −

∂∆ ∂∆ + −

(4.15)

Намирането на производните, участващи в описаните матрици (4.14) и (4.15) е следваща стъпка в изчислителната процедура на алгоритъма. След намиране на двете групи производни всеки елемент от вектор-градиента (4.12) може да се намери чрез следната система от уравнения:

21

ˆ( )ˆ( ) ( 1)ˆ ˆ2 ( 1) (1) ... 2 ( ) ( )

( 1) ( ) ( )

2 (1) ( ) 2 (2) ( 1) ... 2 ( ) ( 1) 0

pp p

u u

y k HJ k y ke k Q e k H Q Hu k u k u k

R u k R u k R H u k H

∂ +∂ ∂ += + + + + +

∂∆ + ∂∆ ∂∆

+ ∆ − ∆ + + − ∆ + − =

(4.16)

ˆ( )ˆ( ) ( 1)ˆ ˆ2 ( 1) (1) ... 2 ( ) ( )( 2) ( 1) ( 1)

2 (2) ( 1) 2 (3) ( 2) ... 2 ( ) ( 1) 0

pp p

u u

y k HJ k y ke k Q e k H Q Hu k u k u k

R u k R u k R H u k H

∂ +∂ ∂ += + + + + +

∂∆ + ∂∆ + ∂∆ +

+ ∆ + − ∆ + + − ∆ + − =

(4.17)

…………………………………………..........................

ˆ( )ˆ( ) ( 1)ˆ ˆ2 ( 1) (1) ... 2 ( ) ( )( 1) ( 1) ( 1)

2 ( ) ( 1) 0

pp p

u u u

u u

y k HJ k y ke k Q e k H Q Hu k H u k H u k H

R H u k H

∂ +∂ ∂ += + + + + +

∂∆ + − ∂∆ + − ∂∆ + −

+ ∆ + − =

(4.18)

където ˆ ˆ( ) ( ) ( ), 1, 2, , H pe k j r k j y k j j+ = + − + = е предсказаната грешка (4.4).След приравняване на нула на всяка от производните (4.16)–(4.18) се получава сис-тема от уравнения, в която неизвестните са търсените оптимални стойности на ∆u*(k+j), j= 1, 2, ..., Hu-1. Предложен е алгоритмичен подход за решаване на тази система от Hu-1 на брой урав-нения. Изчисленията се извършват в обратен ред, започвайки от последното урав-нение (4.18) с цел изчисление на корекцията в управлението ∆u*(k+Hu-1). След това се продължава с изчисление на предходното изменение на управляващото въздейст-вие ∆u*(k+Hu-2). Процедурата продължава по този начин до изчисляване на всич-ки управляващи въздействия в хоризонта на управление Hu. Редът на изчисленията е от съществено значение за предложения алгоритъм за безусловна оптимизация. Намереното в предходната стъпка от процедурата оптимално решение участва при изчисляването на следващия елемент от вектора ∆U(k). Така например изчисленото в (4.19) изменение ∆u*(k+Hu–1) участва при изчислението на ∆u*(k+Hu–2).

∂ + + + ∂∆ + −− ∆ + − =∂ +

+ + ∂∆ + −

ˆ( 1)ˆ( 1) (1)( 1)1( 1) ( ) ˆ( )

ˆ... ( ) ( )( 1)

uu u

pp p

u

y ke k Qu k H

u k H R H y k He k H Q H

u k H

(4.19)

……………………………………….................................……..

∂ + + + ∂∆ +− ∆ + = ∆ + +

∂ + + + ∂∆ +

ˆ( 1)ˆ( 1) (1)( 1)1( 1) ( 2) (2) ˆ( )

ˆ( ) ( )( 1)

pp p

y ke k Qu k

u k u k R y k He k H Q H

u k

(4.20)

22

∂ + + + ∂∆− ∆ = ∆ + +∂ + + + ∂∆

ˆ( 1)ˆ( 1) (1)( )1( ) ( 1) (1) ˆ( )

ˆ( ) ( )( )

pp p

y ke k Qu k

u k u k R y k He k H Q H

u k

(4.21)

Изчислителната процедура завършва с намирането на стойността за ∆u(k) (4.21). Така намерените решения за системата уравнения (4.16)–(4.18) попълват вектора ∆U*(k) (4.10) с оптималните изменения (4.19)–(4.21) ∆u*(k+j), j= 1, 2, ..., Hu-1:

∆ ∆∆ = ∆ =

∆ + ∆ +

=

* ( ) ( )* ( ) ( )

* ( - 1) ( - 1)u u

u k u kU k U k

u k H u k H

(4.22)

Съгласно принципа на пълзящия хоризонт, само първият елемент от решението (4.22) участва при изчислението на управлението u(k). Намалената изчислителна тежест чрез стъпково решаване на оптимизационната задача е главното предимство на предложения алгоритъм. Намирането на обра-тни матрици се счита за една от най-тежките изчислителни задачи. Участващите в предложената процедура тегловни матрици Q и R са константни, което позволя-ва да се намерят съответстващите им обратни матрици при инициализацията на алгоритъма, това елиминира необходимостта от търсене на обратни матрици на всяка изчислителна итерация.

4.3 проектиране на алгоритъм за условна оптимизация за целите на НмпУМоделното предсказващо управление при наличие на ограничения цели да намери оптималната последователност от управляващи въздействия за целия хоризонт на предсказване, взимайки в предвид наложените ограничения. Задачата на НМПУ при наличие на ограничения е формулирана като задача от нелинейното квадра-тично програмиране (Ahmed et al., 2010a, 2010b). Използвайки локалната линеари-зация (3.25) или (3.31) проблемът може да се дефинира като задача от стандарт-ното (линейно) квадратично програмиране. Поради характера на ограниченията, прилагани на системите, ограниченията в МПУ са от тип линейни неравенства. Така в крайна сметка задачата се превръща в задача на квадратично програми-ране с ограничения от тип линейни неравенства. На всяка стъпка тя се решава с нови параметри, които се изчисляват от невронно-размития предсказващ модел на Такаги-Сугено.

4.3.1 постановка на задачата за условна оптимизацияПредставената в Глава 3 невронно-размита идентификационна процедура осигу-рява нужните за построяването на оптимизационната задача на МПУ матрици от описанието в пространството на състоянията. Подобно на подхода за решаване на оптимизационната задача на МПУ при отсъствие на ограничения (секция 4.2), целевата функция (4.2) може да се изрази чрез:

23

J k U k E k Q U k E k U k R U kT T( ) ( ) - ( ) ( ) - ( ) ( ) ( )

= ( ) ( ) + =

=

Θ∆ Θ∆ ∆ ∆

∆∆ Θ Θ ∆ ∆ ΘU k Q R U k E k QE k U k QE kT T T T T( )( ) ( ) ( ) ( ) - ( ) ( )+ + 2 (4.23)

С дефиниране на изразите:

2 ( )TQE kΦ = Θ и TH Q R= Θ Θ+ , (4.24)

целевата функция на МПУ придобива следния компактен вид:

( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) ( )T T TJ k U k U k U k E k QE k= ∆ Η ∆ ∆ Φ + , (4.25)

където H е матрицата на Хес (Хесиан), която съдържа вторите частни производни на целевия критерий (4.2). Целта е да се намери минимума на така дефинираната целева функция (4.25) като се отчетат наложените на системата ограничения.Едно от основните предимства на МПУ е възможността да отработва ограничения, които се включват също към целевата функция. Те са породени главно от иконо-мически и от съображения за сигурност. Ограниченията в една оптимизационна задача се формулират математически като равенства или неравенства, които съ-държат параметри и характеристики на обекта (Стоянов et al., 2004).

4.3.2 Алгоритъм за условна оптимизация за целите на мпУПроектираният алгоритъм за условна оптимизация за целите на МПУ се базира на стандартното квадратично програмиране. Приложението на този известен подход в алгоритмите за предсказващо управление, които са обект на изследване и проекти-ране в настоящия дисертационен труд, е възможно благодарение на представените в Глава 3 предсказващи модели. Тяхната форма позволява използването на техни-ки от линейното и/или квадратичното програмиране при търсене на оптимално решение на нелинейните оптимизационни задачи на МПУ. По този начин нелиней-ната задача се адаптира (свежда) към линейна (кавдратична) чрез представяне на сложния нелинеен модел на обекта като съвкупност линейни модели описани чрез апарата на пространството на състоянията. В този смисъл, тъй като дефинираната целева функция J(k) (4.25) е квадратична и ограниченията са от тип линейни не-равенства, оптималната последователност на предсказаното управление следва да бъде решение на стандартна задача на квадратичното програмиране.Видът на целевата функция (4.25) и ограниченията от тип линейни неравенства класифицират задачата на НМПУ към класа на задачите обект на квадратичнотo програмиране. Представеният подход се прилага при решаване на оптимизацион-ната задача на МПУ при наличие на ограничения. Също така, ако Хесианът H е положително дефиниран, то задачата за оптимизация е от „изпъкнал” („convex”) тип, и решението й може да се запише в следната съкра-тена форма (Fletcher, 2000):

11 2

U H −∆ = Φ (4.26)

24

В този смисъл и ограниченията за системата могат да се формулират по отноше-ние на независимата (управляващата) променлива в оптимизационната задача, а именно вектора ∆U(k):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

min max

min max

min max

( -1)

( ) ( -1) ( )

u uU k I u k I U k U kU k U k U k

Y k x k u k U k Y k

∆≤ + ∆ ≤

∆ ≤ ∆ ≤ ∆

≤ Ψ + Γ + Θ∆ ≤

, (4.27)

където Imm m×∈ℜ е единична матрица, а Iu и I∆u са дефинирани като:

0 00

, .u u u

m m

m m mmN m mN mNu u

m m m m

I II I I

I I

I I I I

× ×∆

= ∈ℜ = ∈ℜ

(4.28)

По този начин и трите групи ограничения в задачата на МПУ са обобщени както следва:

−

−

−

≤

− + −−

∆

∆

II

II

U

U I u kU I u

u

u

u

u

ΘΘ

∆

min

max

( )1(( )

( ( ) ( ))( ( ) ( ))

min

max

min

max

kUU

Y x k u kY x k u k

−∆∆

− + + −− + −

1

11

Ψ ΓΨ Γ

(4.29)

където I u umN mN×∈ℜ е единична матрица със съответната размерност.Следвайки дефиницията на квадратичното програмиране с линейни ограничения и взимайки в предвид ограниченията (4.29), целевият критерий (4.25) се миними-зира относно вектора ∆U:

min ( ) -Ω∆

∆ ∆ ∆ ∆ ΦU

T T TJ U U H U U E QE≤

= +ω

(4.30)

Ограниченията от (4.29) в горния израз за целевата функция на МПУ са изразени чрез Ω∆U≤ω, където Ω е матрица с брой на редовете – равен на размерността на ω и брой колони – равен на размерността на вектора ∆U. В случай, че са приложени всички ограничения, размерността на вектора ω е 4×m×Hu+2×q×Hp, където m е броя на входовете на системата, а q отразява броя на изходите. По принцип, броят на ограниченията е по-голям от размерността на вектора ∆U. На всяка стъпка задачата на квадратичното програмиране с ограничения от тип линейни неравенства се решава с нови параметри. Хесианът и Лагранжианът се актуализират чрез матриците A(k), B(k), C(k) и D(k) , получени по време на иден-

25

тификационната процедура. Решението на така дефинираната задача е решение на МПУ с отчитане на ограничения (Espinosa et al., 2005) и осигурява бъдещите стойности на управляващото въздействие.

Глава 5. Експериментални изследвания и резултатиПроектните изследвания на представените в предходните две глави (Глава 3 и Глава 4) алгоритми за предсказващо управление са проведени в симулационната среда на MATLAB/Simulink®. Проведени са симулационни изследвания с три мно-гомерни обекта – изпарителна система (Ahmed, 2011; Ahmed et al., 2012), каскада от три резервоара (Ahmed et al., 2010a, Petrov et al., 2009, 2011a, 2011b), двуроторна аеродинамична система (Ahmed et al., 2010b), всеки от който носи характерните за класа си динамични свойства и специфика. Изборът на обектите на изследване е целесъобразен и покрива няколко от основните класове обекти за управление.

5.1 Невронно-размито мпУ на изпарителна система В първата група експерименти като обект за управление е избрана изпарителна система, чиято схема е показана на Фиг. 5.1. Подробно описание на използвания модел може да бъде намерено в монографията на проф. Мацийовски от Кеймбри-джкия университет (Великобритания) (Maciejowski, 2002).

5.1.1 Описание на процеса на изпаряванеЗа реализиране на процеса на изпаряване се използва изпарител с входен поток пара. Процесът се използва най-вече при производството на хартия или захар. Експери-ментът се състои в моделиране и управление на процеса на изпаряване, описан подробно и от Newell и колектив (Newell et al., 1989).

параF100

P100T100

сепараторP2, L2

продуктF2, X2, T2

суровинаF1, X1, T1

кондензатF5

вода заохлаждане

F200, T200

изпарител

кондензат

T201

кондензаторF4, T3

F3

Фиг. 5.1. Схема на изпарителната система

Променливата, която трябва да бъде управлявана е концентрацията на продукта, обозначена с X2. Също така е необходима и безопасна работа с изпарителната инсталация. Това изисква налягането в изпарителя (Р2) и нивото на течността в сепаратора (L2) да бъдат регулирани. Дефинират се три променливи, които се оп-ределят като управляващи за изпарителя: дебита на масовия поток на продукта,

26

преработен вече и всмукан (F2), налягането на парата, постъпваща в изпарителя (Р100) и дебита на потока на охлаждащата вода, постъпваща в кондензатора (F200). Приема се, че тези три променливи определят управляващите входове за обекта за управление. Останалите променливи на процеса се разглеждат като измерими сму-щения, въздействащи върху управляваните променливи, които водят до промяна на техните желани стойности. Това са входният поток на суровината (F1), потокът на преработения продукт (F3), входната концентрация (Х1), входната температура (Т1) и температурата на охлаждащата вода (Т200), като всички те представляват съществени смущаващи въздействия.

5.1.2 Симулационни изследвания и резултатиПроведени са няколко симулационни изследвания, които целят да покажат начина на работа и ефективността на предложените в дисертационния труд алгоритми за предсказващо управление. Тяхната работа е сравнена с тази на друг адаптивен подход – размито ПИД управление (FPID, Fuzzy PID), описан подробно в статията на авторския колектив (Taneva et al., 2007).

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

1

2

L2, m

time,sample

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100010

20

30

X2,

%

time,sample

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100050

60

70

80

P2, k

Pa

time,sample

FNMPC reference FPID

Фиг. 5.2. Изходи на изследваната изпарителна система

На Фиг. 5.2 се вижда по-доброто поведение на системата при работа с предложения в дисертацията алгоритъм (FNMPC). Управлението компенсира настъпилите проме-ни и връща и трите изхода към желаните стойности, без да се нарушават наложените системни ограничения. Размитите ПИД регулатори (FPID) по отделните канали не успяват да се справят с настъпилите промени в динамиката на изпарителната сис-тема. Липсата на свързаност между отделните управляващи променливи обуславя това поведение. Както вече беше споменато, FPID алгоритъмът се прилага за всеки един от управляващите контури. Именно многомерния характер на проектирания в дисертацията алгоритъм за предсказващо управление осигурява ефективно и адек-ватно управление при подобен тип обекти със сложна динамика.

27

FNMPC

Фиг. 5.3. Входове на изследваната изпарителна система

5.2 Невронно-размито мпУ на система от три резервоараПредложените алгоритми за невронно-размито МПУ са изследвани и върху си-мулационен модел на лабораторен стенд – резервоар за вода (Inteco® MultiТank System) (Фиг. 5.4). Обектът се състои от три отделни резервоара за вода, свързани помежду си с регулируеми вентили (Inteco, 2009). .

a = 0.250 mb = 0.348 mc = 0.100 mR = 0.365 mw = 0.035 mH1max = H2max = H3max = 0.35 m

H1max

H2max

H3max

H1

H2

H3

DC помпа C3

C2

C1

PS1

PS2

PS3

входен поток

q

w

R

ab

cw

w

Фиг. 5.4. Схема на изследваната каскада от резервоари

Допълнителният резервоар най-отдолу събира оттичащата се вода. Само най-гор-ният резервоар има константно напречно сечение, останалите имат променящо се

28

сферично и конусовидно сечение. Това създава допълнителна нелинейност в сис-темата. Водата в системата постъпва в най-горния резервоар посредством помпа с регулируем дебит. Течността преминава към по-долните резервоари през свърз-ващите клапи благодарение на силата на гравитацията. Сечението на вентилите С1, С2 и С3 може да бъде променяно, което води до различна скорост на оттичане на водата. Всеки от трите резервоара разполага със сензор за ниво (PS1, PS2, PS3). Изследваната система от резервоари има три изхода представени от нивата Н1, Н2, Н3 на течността (водата) във всеки от трите резервоара (Фиг. 5.4). Управляващите въздействия са четири, а именно: входен дебит q и съпротивленията на сеченията на клапите C1, C2, C3 между отделните резервоари (Inteco, 2009).

Проведени са две основни групи от експерименти – невронно-размито МПУ при наличие и отсъствие на ограничения. И двата предложени подхода за оптимизация (безусловна и условна) се основават на предсказващия модел получен посредством невронно-размитата идентификационна процедура.

5.2.1 Резултати при невронно-размито мпУ с условна оптимизацияЕкспериментът е проведено с цел да се покаже необходимостта от адаптивен модел в постановката на МПУ. Сравнени са класически алгоритъм за МПУ (Classic MPC) и предложеният в дисертацията подход за невронно-размито МПУ (FNMPC). Класиче-ският предсказващ регулатор използва линеaризиран модел на обекта за управление, който не се променя в хода на предсказващото управление.

0 100 200 300 400 500 6000

0.1

0.2

0.3

H1,

m

time,sec

0 100 200 300 400 500 6000

0.1

0.2

0.3

H2,

m

time,sec

0 100 200 300 400 500 6000

0.1

0.2

0.3

H3,

m

time,sec

reference FNMPC Classic MPC

Фиг. 5.5. Управление на нивото в трите резервоара чрез Classic MPC и FNMPC

Преимуществото на предложения подход за МПУ използващ невронно-размит модел на обекта за управление е видимо (Фиг. 5.5). Актуализацията на модела във всеки такт на управление осигурява адекватен модел на всяка стъпка на МПУ. Това влияе на качеството на генерираното от предсказващия регулатор управление.

29

0 100 200 300 400 500 600-1

0

1

x 10-4

pum

p flo

w, m

3/s

time,sec

time,sec

0 100 200 300 400 500 6000

1

2

C2

time,sec

0 100 200 300 400 500 6000

1

2x 10

-4

C3

time,sec

Classic MPC FNMPC

0 100 200 300 400 500 6000

1

2x 10

-4

C1

x 10 -4

Фиг. 5.6. Управляващи сигнали получени при Classic MPC и FNMPC

5.2.2 Резултати при невронно-размито мпУ с безусловна оптимизация Каскадата от резервоари (Фиг. 5.4) е обект на изследване и на предложения алгори-тъм за безусловна оптимизация с опростено решаване на оптимизационната задача на МПУ (секция 4.2) с невронно-размит предсказващ модел на Такаги-Сугено (Глава 3). Следващите две фигури (Фиг. 5.7 и Фиг. 5.8) показват получените резултати.

0 100 200 300 400 500 6000

0.05

0.1

0.15

0.2

H1,

m

time,sec

0 100 200 300 400 500 6000

0.1

0.2

0.3

H2,

m

time,sec

0 100 200 300 400 500 6000

0.1

0.2

0.3

H3,

m

time,sec

referenceFNMPCClassic MPCdisturbance

Фиг. 5.7. Изходи на системата при работа с МПУ с безусловна оптимизация

30

0 100 200 300 400 500 6000

0.5

1

x 10-4

pum

p flo

w, m

3/s

time,sec

C1

0 100 200 300 400 500 6000

0.5

1x 10

-4

C2

time,sec

0 100 200 300 400 500 6000

1

2x 10

-4

C3

time,sec

Classic MPCFNMPC

0 100 200 300 400 500 6000

1

2x 10

-4

time,sec

Фиг. 5.8. Входове на системата при работа с МПУ с безусловна оптимизация

Симулационният експеримент пресъздава многомерно управление с постоянно задание и смущение в системата, изразяващо се в периодично отваряне и затваряне на вентила за ръчно управление на най-долния резервоар. Това нарушава създаде-ния в каскадата резервоари баланс, който следва да бъде възстановен от предложе-ния подход за интелигентно МПУ. Описаното смущение се появява в t=300 s, когато всяко от заданията е достигнато (Фиг. 5.7). Предложените алгоритми са успешно приложени при предсказващо управление (с условна и безусловна оптимизация) на нелинейна многомерна система – каскадa от три резервоара. Нелинейните характеристики на изследвания обект усложня-ват процесите на моделиране и управлението му. Добрите резултати потвърждават работоспособността и на двата подхода за размито моделно-предсказващо упра-вление на многомерни системи.

5.3 Невронно-размито мпУ на двуроторна аеродинамична системаТази секция представя резултатите от симуационните изследвания на предложения алгоритъм за предсказващо управление с условна оптимизация (секция 4.3). Обектът за управление е типичен представител на класа обекти, отличаващи се с аеродинамич-ни характеристики. За целите на експериментите се разглежда модел на лабораторен стенд на двуроторна аеродинамична система с две степени на свобода Фиг. 5.9.

5.3.1 Описание на двуроторна аеродинамична системаОбектът за управление – двуроторна аеродинамична система, се състои от рамо монтирано на неподвижна основа, противотежест и две витла, които осигуряват маневрирането на модела. Моделът може да се върти около оста на неподвижната основа. На Фиг. 5.9. с θе е отбелязан ъгълът между рамото и хоризонталната равни-

31

на (ъгъл на тангажа), θr е ъгълът на завъртане около оста (ъгъл на рискание), а θp е ъгълът на крена (Åkesson, 2006).

Фиг. 5.9. Схема на изследвания обект – двуроторна аеродинамична система

5.3.2 Симулационни изследвания и резултати

Проведените симулационни експерименти са насочени към изследване на влиянието на параметрите на МПУ (хоризонтите Hp, Hu, Hw и тегловните матрици Q и R) върху качеството на управление. Дължината на хоризонтите на предсказване и управление определя като цяло размерността (продължителността) на оптимизационната проце-дура като част от подхода на МПУ. Неоправдани големи стойности за Hp увеличават допълнително изчислителната тежест на задачата за предсказващо управление. На Фиг. 5.10 се вижда, че големият хоризонт на предсказване осигурява бързодействие, но е причина за по-големи стойности на пререгулиране. Разликата в генерираните от предсказващия алгоритъм управляващи въздействия също е видима (Фиг. 5.11).

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

time, sec

thet

a e, rad

referenceHp=30 Hu=10 Hw=1Hp=15 Hu=5 Hw=3

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

0.5

1

1.5

time, sec

thet

a r, rad

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

time, sec

thet

a p, rad

Фиг. 5.10. Изходи на изследваната система при различни хоризонти на МПУ

32

Също така, при по-малките хоризонти на предсказване и управление следеният ъгъл на крена θp не се доближава до граничните си стойности. Показани са вли-янията на параметрите на МПУ върху резултата от управлението. Тези резултати нямат общовалиден смисъл, тъй като всяка система за управление е специфична и параметрите на МПУ се избират съобразно конкретната постановка.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-2

-1

0

1

2

time, sec

V

b, V

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-2

-1

0

1

2

time, sec

Vf, V

Hp=30 Hu=10 Hw=1Hp=15 Hu=5 Hw=3

Фиг. 5.11. Входове на изследваната система при различни хоризонти на МПУ

Заключение

В настоящата дисертация са представени два ефективни подхода за моделно пред-сказващо управление, съответно без и с отчитане на системните ограничения. Общото в двата подхода е използвания невронно-размит модел на Такаги-Сугено в пространството на състоянията, който е включен в качеството на предиктор в класическата схема на МПУ. Изборът на интелигентна структура е направен след проведеното литературно проучване за възможностите и предимствата на невронно-размити структури за моделиране с цел приложение в алгоритми за МПУ на нелинейни обекти (Глава 2). Този избор от своя страна е предложение за решение на очертаните в Глава 1 не-решени задачи пред съвременното МПУ свързани с трудностите при създаване на точни модели за целите на предсказващото управление. Идеята за използването на невронно-размити структури за целите на МПУ е ус-пешно реализирана в Глава 3 на дисертацията. Акцентът пада върху алгоритъма за адаптация (обучение) на параметрите на петслойна размита невронна мрежа, която чрез набор от локални линейни функции на Такаги-Сугено моделират обек-та за управление в схемата на МПУ. Предложеният алгоритъм за идентификация представлява опростена двустъпкова процедура от градиентен тип, която осигу-рява точен модел на обекта за управление на всяка стъпка от МПУ. С цел намаля-ване на изчислителната тежест на алгоритъма за обучение се прилага процедура за редуциране на броя на правилата в размития модел на Такаги-Сугено. Именно опростеното описание на невронно-размития модел и опростената изчислителна

33

процедура при обучение на структурата са главните предимства на предложения в дисертацията алгоритъм за идентификация и адаптация. Така идентифицираният модел служи за основа при построяване на адаптивен предсказващ модел в прос-транството на състоянията за целите на МПУ. Ролята на създадените в Глава 3 невронно-размити предсказващи модели в зада-чата на МПУ е представена в следващата глава (Глава 4), където те се използват при дефиниране и решаване на оптимизационната задача на предсказващото уп-равление в два различни алгоритъма за управление – безусловен (при отсъствие на ограничения) и условен (при наличие на ограничения). Първият от предложе-ните алгоритми за намиране на оптималната последователност от управляващи въздействия представлява опростена процедура за аналитично решение на опти-мизационната задача на МПУ при отсъствие на ограничения. Тя се състои в по-следователно решаване на системи уравнения, което в значителна степен улеснява програмната й реализация. При вторият подход, множеството локални линейни модели на Такаги-Сугено в пространството на състоянията позволяват третиране-то на задачата на МПУ с отчитане на ограниченията като задача на квадратичното програмиране с ограничения от тип линейни неравенства. Всеки от представените в Глава 4 подходи има своите предимства и би могъл да намери приложение в раз-лични задачи за МПУ на многомерни системи. Проектираните в дисертацията алгоритми са успешно приложени при пред-сказващо управление на нелинейни многомерни системи. Работоспособността и възможностите на предложените алгорит ми за невронно-размито предсказващо управление са изследвани и представени в Глава 5 от дисертацията. Нелинейни-те характеристики на изследваните в дисертацията обекти усложняват процеси-те на моделиране и управлението им. Проведените симулационни изследвания и доб рите резултати демонстрират ефективността и на двата предложени подхода за невронно-размито моделно предсказващо управление. Представеният в Гла-ва 5 набор от експерименти засяга моделиращите и управляващите качества на предложените алгоритми. Изследвани са ситуации при наличие на измерими и/или неизмерими смущения, наличие на неопределености, както и влиянието на параметрите на МПУ (хоризонти на предсказване и управление, и тегловни ма-трици) върху качеството на управление. Проведени са и няколко сравнителни екс-перимента, които показват предимството на предложените в дисертацията алго-ритми за невронно-размито предсказващо управление пред класическия подход на МПУ, който разчита на линеаризиран спрямо една работна точка модел. Друго сравнително изследване демонстрира предимството на предложените алгоритми за многомерно интелигентно МПУ пред едномерни интелигентни подходи (напри-мер размито ПИД управление), когато задачата за управление касае многомерни/многосвързани обекти. Проектираните алгоритми за моделно предсказващо управление с невронно-раз-мит модел в пространството на състоянията могат да бъдат използвани като от-правна точка за бъдещи изследвания и разработки насочени към изследване на устойчивост и оценка на робастните свойства на нелинейни системи с вградени невронно-размити структури от типа на Такаги-Сугено. Интересен подход и насо-ка за работа е включването на апарата на линейните матрични неравенства, като техника за изследване на робастността при невронно-размитите системи.

34

Приноси в дисертационния труд

В изпълнение на поставената цел, а именно създаване на алгоритми за модели-ране и оптимизация на многомерни системи за целите на НМПУ, чрез средствата на изкуствения интелект, са формирани следните по-важни научно-приложни и приложни приноси:

Представено е изследване на възможностите и предимствата на невронно-раз-•мити структури за моделиране в пространството на състоянията с цел прило-жение в алгоритми за МПУ на нелинейни обекти;Предложен е метод и алгоритъм с намалена изчислителна тежест за адаптация •(обучение) на невронно-размити модели, представени в пространството на състоянията, съдържащ опростена двустъпкова градиентна процедура;Разработен е ускорен алгоритъм с намалена изчислителна тежест и постановка •с поетапно числено решение на задачата на МПУ при безусловна оптимизация с вграден невронно-размит предсказващ модел;Реализиран е втори алгоритъм с намалена изчислителна тежест, работещ при •условна оптимизация на МПУ с вграден невронно-размит предсказващ модел; Представените в дисертацията алгоритми имат модулна програмна реализа-•ция с цел по-лесното им използване и внедряване;Получени и представени са множество резултати от изследвания и сравнител-•ни анализи с цел доказване на работоспособността и ефективността на проек-тираните в дисертацията алгоритми.

Различните етапи в проектирането и изследването на предложените в дисертаци-ята алгоритми за невронно-размито предсказващо управление са докладвани на конференции в страната и чужбина.

Списък с публикации по дисертационния труд

доклади на конференции в чужбина:Ahmed, S.1. , Petrov, M., Ichtev, A. (2010a) Fuzzy Model-Based Predictive Control Applied to Multivariable Level Control of Multi Tank System. Proceedings of 2010 IEEE International Conference on Intelligent Systems (IS 2010), London, UK. pp. 456–461

доклади на конференции в страната:Ahmed, S.2. , Petrov, M., Taneva, A., Todorov, Y. (2012) Nonlinear Model Predictive Control of an Evaporator System Using Fuzzy-Neural Model, In Proceedings of the 1st IFAC Workshop “Dynamics and Control in Agriculture and Food Processing”, 13-16 June, 2012, Plovdiv, Bulgaria, pp. 187-192

Ahmed, S.3. (2011) Fuzzy-Neural Model Predictive Control Of An Evaporator System. Proceedings of International Conference Automatics аnd Informatics’11, October 3-7, 2011, Sofia, Bulgaria. pp. B-93–B-96

35

Ahmed, S.4. , Petrov, M., Ichtev, A. (2010b) Fuzzy-Neural Model Predictive Control of a Laboratory Model of Two-Rotor Helicopter. Proceedings of International Conference Automatics and Informatics ’10 , October 3-7, 2010, Sofia, Bulgaria. pp. I-139 - I-142

Ahmed, S.5. , Petrov, M., Ichtev, A. (2009) Model Predictive Control of a Laboratory Model – Coupled Water Tanks, in Proceedings of International Conference Automatics and Informatics’09, October pp. 1–4, 2009, Sofia, Bulgaria. pp. VI-pp. 33–35

Petrov, M., 6. Ahmed, S., Taneva, A., Todorov, Y. (2011b) Fuzzy Model Predictive Control of a MIMO System. Proceedings of Anniversary Scientific Conference with International Participation, University of Chemical Technology and Metallurgy, pp.44-48, ISBN:978-954-465-043-8, 18 March 2011, Sofia, Bulgaria

Petrov, M., 7. Ahmed, S., Taneva, A., Ichtev, A. (2009) Model Predictive Controller Applied to Level Control. Proceedings of INTERNATIONAL CONFERENCE AUTOMATICS AND INFORMATICS ’09 , October 1-4, 2009, Sofia, Bulgaria. pp. VI-37 - VI-40

Глава от книга:Petrov, М., 8. Ahmed, S., Ichtev, A., Taneva, A. (2011a) Fuzzy–neural Model Predictive Control of Multivariable Processes, Advanced Model Predictive Control, Tao Zheng (Ed.), ISBN: 978-953-307-298-2, InTech, Available from: http://www.intechopen.com/articles/show/title/fuzzy-neural-model-predictive-control-of-multivariable-processes

Участие в научно-изследователски проекти

Договор 08012ни-8 /2008 г. към НИС при Технически университет София 1. “Алгоритми на невронно-размити предсказващи регулатори за управление на нелинейни обекти”, ръководител проф. д-р Камен Георгиев Ищев

Договор 091пд030-17/2009 г. към НИС при Технически университет София 2. „Алгоритми за системи с невронно-размито предсказващо управление”, доц. д-р Михаил Георгиев Петров

Договор 091ни134-08/2009 г. към НИС при Технически университет София 3. на тема „Алгоритми за диагностика и управление при неизправности”, ръко-водител доц. д-р Александър Каменов Ищев

Договор 102ни046-08/2010 г. към НИС към НИС при Технически университет 4. София на тема: „Многомоделно и предсказващо управление с откриване и ком-пенсиране на неизправности “, ръководител доц. д-р Александър Каменов Ищев

36

Systems with Fuzzy-Neural Model Predictive Control

This PhD thesis presents an effective approach of fuzzy model-based control. The effec-tive modelling and identification techniques, based on fuzzy structures, combined with Model Predictive Control (MPC) strategy result in effective control for nonlinear MIMO plants. The goal is to design a new control strategy - simple in realization for designers and simple in implementation for the end user of the control systems.The idea of using fuzzy-neural models for nonlinear system identification is not new, although more applications are necessary to demonstrate its capabilities in nonlinear identification and prediction. By implementing this idea to state-space representation of control systems, it is possible to achieve a powerful model of nonlinear plants or proc-esses. Such models can be embedded into a predictive control scheme. State-space model of the system allows constructing the optimization problem, as a quadratic programming problem. It is important to note that the model predictive control approach has one major advantage – the ability to solve the control problem taking into consideration the opera-tional constraints on the system.The thesis includes two simple control algorithms with their respective derivations. They represent control strategies, based on the estimated fuzzy-neural predictive model. The two-stage learning gradient procedure is the main advantage of the proposed identifica-tion procedure. It is capable to model nonlinearities in real-time and provides an accurate model for MPC optimization procedure at each sampling time. A state-space representa-tion of a Takagi-Sugeno type fuzzy-neural model is proposed in Chapter 3. The second stage of the MPC strategy involves the computation of a future control actions sequence. In order to obtain the control actions, a previously defined optimization prob-lem has to be solved. Two different approaches for MPC are proposed in Chapter 4. They consider the unconstrained and constrained model predictive control problem. Both of the approaches use the proposed Takagi-Sugeno fuzzy-neural predictive model. The developed algorithms are studied in Chapter 5. The case studies are capable to show how the proposed NMPC algorithms handle multivariable processes control problem.

The contributions of the achieved results are pointed as follows:A survey of properties and benefits of fuzzy-neural techniques in use of NMPC is •presented;A two-stage gradient learning method with rule reduction is proposed in order to •identify and adapt the parameters of the developed fuzzy-neural state-space model;An algorithm for iterative solution of the unconstrained optimization problem of •MPC is developed. The proposed approach decreases computational burden avoiding the necessity to inverse the gain matrix at each sampling time;Second algorithm with an internal fuzzy-neural model is proposed to solve a con-•strained MPC task;The proposed algorithms are coded in Matlab® and C;•The proposed model predictive control algorithms with Takagi-Sugeno fuzzy-neural •model as a predictor are examined by many experimental investigations and results.