1

ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Ι. ΚΟΥΚΟΣ

ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (DIGITAL AND DATA COMMUNICATIONS)

Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η απλοποίηση των κυκλωμάτων που επέφεραν τα ψηφιακά ηλεκτρονικά που βασίζονται στην δυαδική λογική επέδρασαν και στις τηλεπικοινωνίες στις τελευταίες δεκαετίες του 20ου αιώνα. Βρήκαμε ότι είναι ευκολώτερο να μεταδίδουμε bits (binarydigits, δυαδικά ψηφία) αντι αναλογικών κυματομορφών. Τα δυαδικά ψηφία 0 και 1 κωδικοποιούνται εύκολα σε παλμούς δύο επιπέδων δυναμικού που μπορούν να διεγείρουν λογικά κυκλώματα πυλών, Flip-Flops και καταχωρητών που έχουν σαν θεμελιώδη δομική συνιστώσα τρανζίστορς σε κορεσμένη κατάσταση. H Intelανακοίνωσε πρόσφατα μνήμες με τρανζίστορς 4 επιπέδων δυναμικού που μπορούν να κωδικοποιήσουν δύο bits αντί για ένα δηλ 00, 01, 11, 10, και έτσι διπλασιάζεται η χωρητικότης της μνήμης για τον ίδιο αριθμό τρανζίστορς !

Τα περισσότερα φυσικά σήματα όπως η ανθρώπινη φωνή, όλοι γενικά οι ήχοι, και οι μετρούμενες παράμετροι διαφόρων συστημάτων (πίεση, θερμοκρασία, ροή, κραδασμοί κ.α) έχουν αναλογική ή συνεχή μορφή και για να επεξεργασθούν μέσω ηλεκτρονικών συσκευών μετατρέπονται σε συνεχείς ή αναλογικές κυματομορφές δυναμικού με την χρήση transducers. Η μετάβαση από το πεδίο συνεχούς στο πεδίο διακριτού χρόνου επιτυγχάνεται μέσω δειγματοληψίας με Μετατροπεις (Converters) A/D σύμφωνα με το Θεώρημα του Nyquist και οι τιμές δυναμικού που εκπροσωπούν τα ληφθέντα δείγματα μετατρέπονται στους πλησιέστερους δυαδικούς αριθμούς επιφέροντας έτσι ένα σφάλμα λόγω κβαντισμού. Οι δυαδικοί αριθμοί είναι από εκεί και πέρα εύκολο να επεξεργασθούν με την χρήση ειδικών λογικών κυκλωμάτων.

Η μετάδοση ψηφιακών παλμοσειρών μέσω διαύλων (Channels) δεν είναι εφικτή λόγω της εξασθένησης πού υφίστανται και έτσι απαιτείται η διαμόρφωση (Modulation) τους σε ημιτονοειδή φέροντα σήματα (Carriers) στον πομπό και εν συνεχεία η αποδιαμόρφωση τους (Demodulation) στον δέκτη. Η συσκευή που εκτελεί αυτή την διαμόρφωση και αποδιαμόρφωση ονομάζεται MODEM. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι ψηφιακής διαμόρφωσης όπως Frequency Shift Keying (FSK), Phase ShiftKeying (PSK), και Minimum Shift Keying (MSK).

Η έξοδος από ένα MODEM είναι ικανή από μόνη της να διέλθει μέσω τηλεφωνικών γραμμών, και ομοαξονικών καλωδίων αλλά εάν πρόκειται να σταλεί μέσω του αέρα ή του κενού τότε απαιτείται η μετατροπή της σε ημιτονοειδή κυματομορφή με την κατάλληλη ραδιοσυχνότητα (RF).

Δίαυλοι Περιωρισμένου Εύρους (Bandlimited Channels)Ας υποθέσουμε ότι μεταδίδεται μέσω ενός καναλιού η παλμοσειρά g(t) πουπαριστάνει την ψηφιακή λέξη 01100010 η οποία αντιστοιχεί στον χαρακτήρα ASCII

2

“b” (Εικ. 1). Από την ανάλυση Fourier είναι γνωστό ότι μπορούμε να μετατρέψουμε την κυματομορφή g(t) σε μια σειρά αρμονικών :

g t c a nft b nftnn

nn

( ) sin( ) cos( )

1

22 2

1 1

(1.1)

όπου οι συντελεστές αn, bn και c υπολογίζονται από τα ολοκληρώματα :

aT

g t nft dtn

T

2

20

( )sin( ) , bT

g t nft dtn

T

2

20

( )cos( ) , cT

g t dtT

2

0

( ) (1.2)

και Τ= διάρκεια παλμού bit, f= 1/T είναι η θεμελιώδης συχνότητα της παλμοσειράς.

Για την κυματομορφή “b” , υπολογίζουμε τα πλάτη των αρμονικών με υπολογισμό των ολοκληρωμάτων (1.2). Έτσι έχουμε :

an

n n n n

bn

n n n n

c

n

n

14 3 4 6 4 7 4

13 4 4 7 4 6 4

3 8

cos( / ) cos( / ) cos( / ) cos( / )

sin( / ) sin( / ) sin( / ) sin( / )

/

(1.3)

Τα rms (root mean square) πλάτη a bn n2 2 των αρμονικών της παλμοσειράς για

n=1,15 επιδεικνύονται στην δεξιά πλευρά της εικόνας 1.a και αντιστοιχούν στην ενέργεια σήματος η οποία φέρεται από κάθε αρμονική.

Οι επόμενες εικόνες 1b-1c δείχνουν πως παραμορφώνεται η κυματομορφή της παλμοσειράς εάν το κανάλι αντίστοιχα επιτρέπει την διέλευση 1,2,4 και 8 αρμονικών.

Παρατηρούμε ότι όσο λιγώτερες αρμονικές διέρχονται μέσω του καναλιού τόσο τα όρια μεταξύ των bits γίνονται δυσδιάκριτα. Το φαινόμενο αυτό λέγεται Διασυμβολική Παρεμβολή (Intersymbol Interference, ISI).

΄Ενα τυπικό κανάλι όπου εμφανίζεται έντονο το παραπάνω φαινόμενο είναι η κοινή τηλεφωνική γραμμή με το στριφτό ζεύγος (twisted pair) συρμάτων. Η γραμμή αυτή περικόπτει όλες τις αρμονικές με συχνότητες πάνω από 3000 Hz (Voice Grade Line). Εάν υποθέσουμε ότι μεταδίδουμε μία ακολουθία από bits με ρυθμό Rb bits/sec, τότε ο χρόνος που απαιτείται να σταλούν 8 bits είναι 8/Rb sec, και η συχνότητα της πρώτης αρμονικής είναι Rb/8 Hz.

3

Εικ. 1. (a) To ψηφιακό σήμα 01100010 που αντιστοιχεί στον χαρακτήρα ASCII b, και τα πλάτη των αρμονικών του κατά Fourier. (b)-(e) Διαδοχικές προσεγγίσεις στο αρχικό σήμα με χρήση 1, 2, 4 και 8 αρμονικών αντίστοιχα. Αυτό σημαίνει ότι το πλήθος των αρμονικών που μπορεί να περάσουν από τηντηλεφωνική γραμμή είναι 3000/(Rb/8) ή 24000/Rb

Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των αρμονικών που περνούν μέσα από την τηλεφωνική γραμμή για μερικούς συχνά χρησιμοποιούμενους ρυθμούς δεδομένων (data rates):

bps T (msec) 1η Αρμονική (Hz) Πλήθος Αρμονικών που περνούν300 26,67 37,5 80600 13,33 75 401200 6,67 150 202400 3,33 300 104800 1,67 600 5

4

9600 0,83 1200 219200 0,42 2400 138400 0,21 4800 0

Παρατηρούμε ότι χωρίς κατάλληλη ψηφιακή διαμόρφωση ακολουθίες δεδομένων των 9600 bps υφίστανται τέτοια διασυμβολική παρεμβολή ώστε αυξάνεται απαγορευτικά ο ρυθμός των λανθασμένων bits (bit error rate) στον δέκτη (Εικόνα 1c).

Πιό σύγχρονες τεχνικές διαμόρφωσης χρησιμοποιούν πολλαπλά επίπεδα δυναμικού μαζύ με τις αλλαγές φάσης ή συχνότητας για να πακετάρουν περισσότερα του ενός bits σε ένα τμήμα της κυματομορφής καθορισμένης διάρκειας και μορφής που ονομάζεται σύμβολο. Ο ρυθμός των αποστελλομένων συμβόλων / sec ονομάζεται διεθνώς baud.

2. Θεώρημα Δειγματοληψίας (Sampling)

Το 1924, ο Nyquist απέδειξε ότι αν ένα οιονδήποτε συνεχές σήμα περάσει μέσα από ένα χαμηλοπερατό φίλτρο εύρους ζώνης Β, τότε το φιλτραρισμένο σήμα μπορεί να υποστεί δειγματοληψία με 2Β ή περισσότερα δείγματα/sec και κατόπιν να ανακατασκευασθεί πλήρως στην αρχική του αναλογική μορφή, χωρίς διασυμβολική παρεμβολή. Εάν κάθε δείγμα (sample) κβαντίζεται (τεμαχίζεται) σε V διακριτά επίπεδα δυναμικού, τότε κάθε επίπεδο μπορεί να εκπροσωπηθεί από log2V bits και συνεπώς ο μέγιστος ρυθμός δεδομένων μέσα από ένα κανάλι εύρους ζώνης Β είναι :

R B Vmax log 2 2 (1.4)Επί παραδείγματι, ένα αθόρυβο κανάλι 3 KHz δεν μπορεί να μεταδώσει δυαδικά (δηλ. δύο επιπέδων δυναμικού, V=2) ψηφιακά σήματα με ρυθμό πάνω από 6000 bps.[Ίδε Παράρτημα Α’].

3. Χωρητικότης Καναλιού

Στην προηγούμενη παράγραφο, το κανάλι μετάδοσης θεωρήθηκε αθόρυβο. Εάν προστεθεί τυχαίος θόρυβος, τότε η κατάσταση χειροτερεύει δραστικώτατα και οι επιτρεπόμενοι ρυθμοί δεδομένων περιορίζονται περαιτέρω όχι μόνο από την διασυμβολική παρεμβολή αλλά και από τον τυχαίο θόρυβο, ο οποίος μετράται ποσοτικά σε σύγκριση με το ωφέλιμο σήμα με τον Λόγο Σήματος-Θορύβου (Signal-to-Noise Ratio, SNR) S/N όπου S παριστά την ισχύ του λαμβανομένου σήματος σε Watts, και Ν την ισχύ θορύβου επίσης σε Watts. Συνήθως ο SNR δεν

εκφράζεται με τον καθαρό λόγο S/N αλλά με την ποσότητα 10 10logS

NdB

, όπου

οι μονάδες dB είναι Decibels. Έτσι ο λόγος S/N=10 αντιστοιχεί στα 10 dB, ο λόγος S/N=100 αντιστοιχεί στα 20 dB, ο λόγος S/N=1000 αντιστοιχεί στα 30 dB κ.ο.κ.

Ως Χωρητικότης Καναλιού (Channel Capacity) C ορίζεται ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης συμβόλων (ή bits) σε ένα κανάλι πέραν του οποίου δεν είναι δυνατή η αλάνθαστη μετάδοση δεδομένων ανεξαρτήτως της τεχνικής διαμόρφωσης και του χρησιμοποιούμενου κώδικα.

5

Ο πατέρας των συγχρόνων τηλεπικοινωνιών Claude Shannon απέδειξε το 1948 ότι η χωρητικότης C ενός καναλιού που διαταράσσεται από Προσθετικό Λευκό Γκαουσσιανό Θόρυβο (Additive White Gaussian Noise - AWGN) δίδεται από τον ακόλουθο τύπο :

C BS

N

log2 1 (1.5)

.όπου B είναι το μονοπλευρικό εύρος ζώνης του καναλιού (Hz), και η C εκφράζεται σε bps (S=Ισχύς Σήματος, Ν=Ισχύς Θορύβου σε Watt). Σημειωτέον ότι log2x=log10x/0,3Για παράδειγμα η απλή τηλεφωνική γραμμή που έχει εύρος καναλιού 3000 Hz και λόγο-σήματος θορύβου 30 dB δεν μπορεί ποτέ να μεταδώσει περισσότερα από 30 Kbps ανεξάρτητα από τό είδος της διαμόρφωσης και της κωδικοποίησης πουχρησιμοποιείται. Τα modems επιτυγχάνουν τον ρυθμό 9600 bps εκπέμποντας 4 bits/symbol στα 2400 baud.

Εστω Rb ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων σε bps, Tb και Εb η διάρκεια και η ενέργεια ενός bit αντίστοιχα. Τότε Rb=1/Tb και Εb=STb. Εάν No=kTs είναι η Φασματική Πυκνότης Ισχύος Θορύβου (Noise Power Spectral Density σε Watts/Hz) τότε ηισχύς θορύβου N=NoB watt εάν υποθέσουμε Λευκό Θόρυβο με επίπεδο φάσμα (flatspectrum), όπου k=1,3810-23Joules/Kelvin είναι η σταθερά Boltzman και Ts = Θερμοκρασία Θορύβου σε Kelvin. Ο Λόγος Σήματος-Θορύβου μπορεί να εκφρασθεί τώρα ώς εξής :

S

N

ST R

N B

E N

B R

rb b

o

b o

b

b

b

/

/ (1.6)

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (1.5) στην εξίσωση χωρητικότητας και υποθέτοντας ότι ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων είναι μέγιστος δηλ. Rb=C ευρίσκομε την σχέση μεταξύ των λόγων rb και γb :

1 12 b

b br log / (1.7)

H εξίσωση (1.7) ισχύει για λευκό θόρυβο μόνο και επιλύεται γραφικά στο σχήμα 1, όπου παρατηρούμε ότι καθώς ο λόγος Ενέργειας Βit προς την Φασματική Πυκνότητα Θορύβου Εb/Νο μειώνεται τότε ο λόγος Εύρους Ζώνης Καναλιού προς τον Ρυθμό Δεδομένων γb αυξάνει. Όταν γb (άπειρο εύρος ζώνης) τότε η (1.7) δίδει :

Εb/Νο = ln2= -1.6 dB (1.8)

6

H (1.8) δίδει το κατώτατο όριο (Shannon Limit) για μετάδοση δεδομένων απηλλαγμένη σφαλμάτων, υπό οιονδήποτε κώδικα και σύστημα διαμόρφωσης. Μέχρι τώρα μόνο οι λεγόμενοι κώδικες Turbo έχουν πλησιάσει το όριο Shannon.

Ψηφιακοποίηση και Πολυπλεξία Αναλογικών Σημάτων

Σχήμα: Κβαντισμός δειγμάτων αναλογικού σήματος σε 16 επίπεδα

Τα δείγματα που λαμβάνονται από ένα αναλογικό σήμα π.χ κυμαινόμενο δυναμικό στην έξοδο μικροφώνου, με συχνότητα υπερδιπλάσια της υψηλότερης σημαντικής αρμονικής συχνότητας του σήματος, σύμφωνα με το θεώρημα Nyquist, μετατρέπονται σε μια παλμοσειρά τετραγωνικών παλμών +/-1 οι οποίοι αντιπροσωπεύουν bits 1,0. Τα 16 επίπεδα κβαντισμού στα οποία αντιστοιχίζονται τα δείγματα αντικαθίστανται από 4 bits ως εξής :

Για αξιοποίηση της χωρητικότητος μιάς τηλεφωνικής γραμμής κορμού (trunk line) περισσότερα του ενός τηλεφωνικά κανάλια πολυπλέκονται με αλληλουχία δειγματοληψίας, όπου τα δείγματα όλων των καναλιών σε μια περίοδο δειγματοληψίας τοποθετούνται διαδοχικά σε ένα πλαίσιο και ο μεταγωγέας επανέρχεται στην επόμενη περίοδο δειγματοληψίας να ξανατοποθετήσει τα επόμενα

7

δείγματα στο επόμενο πλαίσιο με την ίδια σειρά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑΠρόβλημα 1Δίκτυο παράκτιας επιτήρησης αποτελείται από 12 ευρυγώνιες ψηφιακές κάμερες που παίρνουν φωτογραφίες ανά 2 sec. Η κάθε εικόνα έχει 18001200 pixels με 24 bits/pixel σε μορφή Bitmap (BMP). Κωδικοποίηση jpeg μειώνει την απαιτούμενα bits κατά 80% και μετά πρόσθετη κωδικοποίηση για την χρονική αλληλουχία και τον χωρικό πλεονασμό (παρόμοια με την mpeg-2) επιφέρει μία πρόσθετη μείωση των bitsκατά 60% ανά εικόνα. Η ψηφιακή πληροφορία από όλες τις κάμερες συγκεντρώνεται σε ένα εξυπηρετητή και αποστέλλεται στο κεντρικό Διοικητήριο μέσω ενός τηλεπικοινωνιακού καναλιού όπου ο λόγος σήματος-θορύβου S/N = 30 dB.

1. Αν στο κανάλι αυτό ο ρυθμός μετάδοσης bits παραμένει σταθερός στο 60% της χωρητικότητος Shannon του καναλιού, να υπολογισθεί το απαιτούμενο εύρος ζώνης B.

2. Αν το κανάλι προσβληθεί με παρεμβολή J τύπου barrage noise ώστε S/J = 5 dB, ενώ το εύρος ζώνης B παραμείνει ώς έχει στην 1., να ευρεθεί η νέα

8

χωρητικότητα του καναλιού, όπου στο λόγο σήματος θορύβου θα συνυπολογίζεται και η παρεμβολή δηλ S/(N+J).

Λύσις1. Συνολική ροή bits = 121800120024(1-0,8)(1-0,6)/2 =24883200 bps C= 24883200/0,6 bps =41.472.000 bps =Blog2(1+1000) διότι S/N=30dB =1000 log21001=log101001/0,3=10,0014492, B=C/10,0014492=4146600Hz 4,15 MHz

2. Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα

1 1 1S S S

N J N J

«Απο-db-ίζουμε» : S/J=105/10=3,1623 και S/N=1000 S/(N+J) = 3,1523 = 4,986 dB δηλαδή η ισχύς παρεμβολής είναι το κυρίαρχο μέγεθος εν συγκρίσει προς τον λευκό θόρυβο.

C =4,15106log2(4,1523)= 4,151062,061 = 8,553 Mbps έναντι 41,5 Mbps με λευκό θόρυβο μόνο.

Πρόβλημα 2 : PCM (Pulse Code Modulation) – Γραμμή Τ1

Μία τηλεφωνική γραμμή διέρχεται από χαμηλοπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής 4 KHz και δειγματοληπτείται κατά Nyquist σε δείγματα των 8 bits. Hπροκύπτουσα ροή bits πολυπλέκεται με τις ροές από 23 άλλες τηλεφωνικές γραμμές (24 κανάλια εν συνόλω), στην προκύπτουσα ακολουθία bits προστίθεται ένα ακόμα bit για συγχρονισμό πλαισίου, δημιουργείται έτσι ένα πλαίσιο (frame) και διοχετεύεται σε μία κοινή ψηφιακή γραμμή ονομαζόμενη Τ1. (βλέπε επόμενο σχήμα )

Κατόπιν 4 γραμμές T1 πολυπλέκονται με ένα πολυπλέκτη Μ12 (ο οποίος προσθέτει 17 εμβόλιμα bits για συγχρονισμό πλαισίου) και διοχετεύονται σε μία κοινή ψηφιακή γραμμή ονομαζόμενη Τ2. Ο χρόνος πλαισίου στις γραμμές Τ1 και Τ2 παραμένει ο ίδιος με τον χρόνο μεταξύ δειγμάτων στην απλή τηλεφωνική γραμμή. Να υπολογισθούν:

a. O χρόνος μεταξύ δειγμάτων στην απλή τηλεφωνική γραμμή σε μsecb. Ο αριθμός bits ανά πλαίσιο στην γραμμή Τ1c. Η ταχύτητα της γραμμής T1 σε Mbpsd. Ο αριθμός bits ανά πλαίσιο στην γραμμή Τ2e. Η ταχύτητα της γραμμής T2 σε Mbps.

Λύσιςa) Συχνότητα Δειγματοληψίας fs = 2 4000=8 KHz Χρόνος μεταξύ δειγμάτων Ts=1/8000

= 125 msecb) Γραμμή Τ1 : Αριθμός Bits / πλαίσιο = 248+1=193c) Ταχύτητα γραμμής Τ1 = 193 bits/125 μsec = 1,544 Mbpsd) Γραμμή Τ2 : Αριθμός Bits / πλαίσιο = 4193+17=789e) Ταχύτητα γραμμής Τ2 = 789 bits/125 μsec = 6,132 Mbps

Πρόβλημα 3 ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ PCM – ΠΟΛΥΠΛΕΞΙΑ ΧΡΟΝΟΥ DS1 (North American T1)

Α. Σε ένα κέντρο T1 γίνεται χρονική πολυπλεξία 24 τηλεφωνικών καναλιών ως εξής: Κάθε κανάλι περιορίζεται στα 4 KHz και κατόπιν δειγματοληπτείται με συχνότητα Nyquist. Κάθε δείγμα μετατρέπεται σε 8 bits και ακολουθείται από τα αντίστοιχα bitsτων υπολοίπων 23 καναλιών δημιουργώντας ένα πλαίσιο Ν bits που περιλαμβάνει

9

και ένα επιπλέον bit διαχωρισμού. Να ευρεθεί (α) το χρονικό διάστημα ενός πλαισίου σε μsec (β) ο αριθμός N και (γ) ο ρυθμός μετάδοσης σε Μbps.

Β. Κατόπιν 4 γραμμές T1 πολυπλέκονται ακολουθιακά και προστίθενται 17 bits για συγχρονισμό πλαισίου, για να δημιουργήσουν μία γραμμή Τ2. Να ευρεθεί ο ρυθμός μετάδοσης σε Μbpsστην έξοδο της Τ2. (ίδε παρακάτω εικόνα)Γ. Κατόπιν 7 γραμμές T2 πολυπλέκονται ακολουθιακά και προστίθενται 69 bits για συγχρονισμό πλαισίου, για να δημιουργήσουν μία γραμμή Τ2. Να ευρεθεί ο ρυθμός μετάδοσης σε Μbpsστην έξοδο της Τ3.Απάντηση : Γραμμή Τ3 : Αριθμός Bits / πλαίσιο = 7789+69=5592

Ταχύτητα γραμμής Τ3 = 5592 bits/125 μsec = 44,736 Mbps

Δ. Τέλος 6 γραμμές T3 πολυπλέκονται ακολουθιακά και προστίθενται 720 bits για συγχρονισμό πλαισίου, για να δημιουργήσουν μία γραμμή Τ4. Να ευρεθεί ο ρυθμός μετάδοσης σε Μbps στην έξοδο της Τ4.Απάντηση : Γραμμή Τ4 : Αριθμός Bits / πλαίσιο = 65592+720=34272Ταχύτητα γραμμής Τ4 = 34272 bits/125 μsec = 274,176 Mbps

10

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α.

ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ

Η διαδικασία διακριτοποίησης ενός αναλογικού σήματος, δηλ. μετατροπής του από

σήμα συνεχούς χρόνου σε σήμα διακριτού χρόνου ονομάζεται δειγματοληψία

(sampling). Όπως υπονοεί και ο όρος αυτός, η δειγματοληψία μπορεί να

παρομοιασθεί με πολλαπλασιασμό του σήματος (νοούμενου ως χρονικής

συνάρτησης x(t)) επί μία σειρά στενών παλμών, οι οποίοι "απομονώνουν" τις τιμές

του σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές x(tn) και "αγνοούν" (δηλ. μηδενίζουν) τις

υπόλοιπες. Όπως έχει προαναφερθεί, οι στενοί αυτοί παλμοί προσομοιάζουν στη

λεγόμενη συνάρτηση δέλτα. Έτσι η μορφή του σήματος μετά τη δειγματοληψία,

έστω xs(t), μπορεί να γραφεί στην ιδανική περίπτωση ως εξής

x t x t t nT x nT t nTs s

n

s s

n

(1.42)

όπου το δεύτερο μέρος της (1.42) απορρέει από την (1.27) και δείχνει ότι οι

κρουστικοί παλμοί απομονώνουν τις τιμές που παίρνει το σήμα στις τακτές

χρονικές στιγμές tn = nTs . Το χρονικό διάστημα Ts ονομάζεται περίοδος

δειγματοληψίας, και

fTs

s

1(1.43)

είναι η συχνότητα (ή ρυθμός) δειγματοληψίας. Οι τιμές x(nTs) αποκαλούνται,

όπως είναι εύλογο, και δείγματα του σήματος.

Αν με X(f) συμβολιστεί το φάσμα (μετασχηματισμένη Fourier) του αρχικού

σήματος, μπορεί να αποδειχθεί ότι το φάσμα Xs(f) του δειγματοληπτημένου

σήματος xs(t) δίνεται από την

X f f X f nfs s s

n

(1.44)

Η (1.44) δείχνει ότι η πράξη της δειγματοληψίας μετατοπίζει και επαναλαμβάνει

περιοδικά το φάσμα του αρχικού σήματος σε διαστήματα fs, 2fs, 3fs, … στο

χώρο της συχνότητας. Εποπτικά αυτό φαίνεται στο Σχ. 1.9.

f

f

|Χs(f)|

2fsfs0

f

f

|Χ(f)|

fx fx

11

(α) (β)

Σχήμα. 1.9: α) Αρχικό φάσμα πλάτους β) Φάσμα πλάτους κατόπιν δειγματοληψίας. : fs > 2fx , : fs < 2fx .

Έστω ότι το αρχικό σήμα είναι βαθυπερατό με εύρος ζώνης fx , δηλ. εκτείνεται σε

μια περιοχή που περιορίζεται από μια ανώτερη συχνότητα fx (Σχ. 1.8α). Τότε

εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι η συνθήκη για να μην αλληλοεπικαλύπτονται τα

διαδοχικά "αντίγραφα" του αρχικού φάσματος που δημιουργεί η δειγματοληψία

είναι fx fs fx , ή ισοδύναμα

f fs x 2 (1.45)

οπότε το φάσμα Xs(f) του δειγματοληπτημένου σήματος έχει τη μορφή που

δείχνεται στο Σχ. 1.9β με συνεχή γραμμή. Στην περίπτωση αυτή είναι φανερό ότι

το φάσμα X(f) του αρχικού σήματος μπορεί να παραληφθεί αυτούσιο από το Xs(f)

με χρήση ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου με εύρος ζώνης B μεταξύ fx και fs fx ,

δηλ.

f B f fx s x (1.46)

Τότε το αρχικό σήμα x(t) ανακτάται χωρίς παραμόρφωση με διέλευση του

δειγματοληπτημένου σήματος από το εν λόγω φίλτρο. (Αν όμως B < fx δεν

ανακτάται ολόκληρο το X(f), ενώ αν B > fs fx θα παρεισφρήσει και ένα

ανεπιθύμητο τμήμα του επόμενου "αντιγράφου".) Αντίθετα, εφόσον fs < 2fx ,

συμβαίνει αλληλοεπικάλυψη και το Xs(f) είναι όπως δείχνει η διακεκομμένη

γραμμή στο Σχ. 1.9β. Τότε η διέλευση από το βαθυπερατό φίλτρο δεν επιτυγχάνει

ανάκτηση του αρχικού σήματος αλλά μιας παραλλαγής του όπου τα τμήματα

ανώτερων συχνοτήτων έχουν παραμορφωθεί επειδή αναμίχθηκαν με το φάσμα του

επόμενου "αντιγράφου". Η παραμόρφωση αυτή είναι γνωστή ως αλλοίωση ή

αναδίπλωση (aliasing). Ας σχολιασθεί εδώ ότι η παραμόρφωση αυτή είναι μη

αντιστρεπτή, διότι αν γνωρίζουμε μόνο το αλλοιωμένο φάσμα Xs(f) δεν είναι

δυνατόν να προσδιορίσουμε ποιο ήταν το αρχικό φάσμα X(f), και κατά συνέπεια

μέρος της πληροφορίας που περιεχόταν στο X(f) έχει χαθεί.

12

Οι προηγούμενες παρατηρήσεις οδηγούν στο λεγόμενο θεώρημα

δειγματοληψίας ή θεώρημα Nyquist, η απλούστερη μορφή του οποίου είναι η

εξής:

Θεώρημα δειγματοληψίας: Ένα αναλογικό σήμα x(t) μπορεί να

ανακατασκευασθεί χωρίς παραμόρφωση από τις δειγματοληπτημένες τιμές

του υπό την προϋπόθεση ότι η συχνότητα δειγματοληψίας fs ικανοποιεί τη

συνθήκη (1.45), δηλ. είναι τουλάχιστον διπλάσια από τη μέγιστη fx των

συχνοτήτων που υπάρχουν στο φάσμα του σήματος.

Η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας fs,min = 2fx που δίνεται από την (1.45)

λέγεται συχνότητα Nyquist. Εφόσον ικανοποιείται η (1.45), η ανακατασκευή του

σήματος γίνεται με τη βοήθεια του βαθυπερατού φίλτρου που προαναφέρθηκε. Με

επισκόπηση της (1.44), και δεδομένου ότι πρέπει να απομονωθεί μόνο ο όρος

αυτής με n = 0, διαπιστώνουμε ότι το κατάλληλο φίλτρο έχει απόκριση συχνότητας

H f fB f B

f B

s

1

0

,

,

(1.47)

όπου το εύρος ζώνης B πρέπει να ικανοποιεί την (1.46). Παρατηρούμε ότι υπάρχει

σαφής αναλογία ανάμεσα στη μορφή της (1.47) στο πεδίο της συχνότητας και τη

μορφή του μοναδιαίου ορθογωνικού παλμού (Παράδειγμα 1.2.1) στο πεδίο του

χρόνου. (Η εκεί χρονική διάρκεια τ αντιστοιχεί σε 2B εδώ.) Με βάση το

αποτέλεσμα του Παραδείγματος 1.2.1, και λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία

μεταξύ ευθέος και αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier, βρίσκουμε ότι η

κρουστική απόκριση του εν λόγω φίλτρου είναι

h t H fB

fc Bt

s 1 2

2sin

Επομένως, σύμφωνα με την (1.36), με διέγερση του φίλτρου το

δειγματοληπτημένο σήμα της (1.42), η απόκριση είναι

x t x t h t x h t d x nTB

fnT c B t ds s

ss

n

2

2sin

22 2 2

B

fx nT c B t nT BT x nT c B t nT

ss s

n

s s s

n

sin sin (1.48)

13

όπου χρησιμοποιήθηκε η ιδιότητα (1.26) της συνάρτησης δέλτα. Αποδείχθηκε

λοιπόν ότι, αν γνωρίζουμε τα δείγματά του, το αναλογικό σήμα δίνεται από την

(1.48).

Σχήμα. 1.10: Ανάκτηση αναλογικού σήματος από τα δείγματά του με φιλτράρισμα.: Ιδανικό φίλτρο : Πραγματικό φίλτρο.

Στην πραγματικότητα πολλά σήματα που πρέπει να υποβληθούν σε δειγματοληψία

δεν είναι ακριβώς βαθυπερατά, δηλ. το φάσμα τους εκτείνεται ως το άπειρο, αλλά

συνήθως το τμήμα του φάσματος από κάποιο σημείο (έστω fx ) και μετά είναι

πρακτικά αμελητέο ή αδιάφορο για την εφαρμογή όπου θα χρησιμοποιηθεί το

σήμα. Μετά τη δειγματοληψία, όμως, το ανώτερο τμήμα του φάσματος θα

αναδιπλωθεί και θα παραμορφώσει το χρήσιμο κατώτερο τμήμα. Για το λόγο αυτό

(αλλά και για άλλους λόγους), κατά κανόνα πριν από κάθε άλλη επεξεργασία τα

σήματα φιλτράρονται με διέλευση από βαθυπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής

την εν λόγω fx . Στη συνέχεια η δειγματοληψία εκτελείται όχι με τη συχνότητα

Nyquist αλλά με κάποια μεγαλύτερη. Ο λόγος είναι ότι το βαθυπερατό φίλτρο για

την ανακατασκευή του αναλογικού σήματος δεν μπορεί να είναι ιδανικό, και κατά

συνέπεια η απόκριση συχνότητάς του θα εμφανίζει μια μεταβατική ζώνη μεταξύ της

ζώνης διέλευσης και της ζώνης αποκοπής. Το Σχ. 1.10 δείχνει ότι εφόσον fs > 2fx

, υπάρχει στο φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος μια κενή περιοχή (εύρους

fs 2fx) μεταξύ fx και fs fx , αποκαλούμενη προστατευτική ζώνη συχνοτήτων

(frequency guard band), η οποία αποτρέπει την παραμόρφωση εξαιτίας της

μεταβατικής ζώνης του φίλτρου. Για παράδειγμα, το σήμα ομιλίας στην ψηφιακή

τηλεφωνία φιλτράρεται με fx = 3400 Hz (εύρος ζώνης που έχει αποδειχθεί στην

πράξη ότι επαρκεί για άνετη συνδιάλεξη, δηλ. κατανόηση των λεγομένων και της

ταυτότητας του συνομιλητή) και δειγματοληπτείται με ρυθμό fs = 8000 Hz. Το

σήμα μουσικής για ψηφιακή εγγραφή σε CD φιλτράρεται στα 20 kHz (όλο το εύρος

ζώνης των ακουστικών συχνοτήτων, για υψηλή πιστότητα) και δειγματοληπτείται

με fs = 44,1 kHz.

f

|Χ(f)|

fx fx

0fsfx fs

14

Πρέπει επίσης να τονισθεί ότι στην πράξη, όπως ήδη αναφέρθηκε, δεν είναι δυνατό

να χρησιμοποιηθούν κρουστικοί παλμοί (δέλτα) για δειγματοληψία, παρά μόνο

στενοί ορθογωνικοί παλμοί. Η συνηθέστερη πρακτική είναι η λεγόμενη

δειγματοληψία και κράτηση (sample and hold) κατά την οποία παράγονται

ορθογωνικοί παλμοί με πλάτος ανάλογο των τιμών του σήματος στις στιγμές

δειγματοληψίας t = nTs . Στην περίπτωση αυτή το δειγματοληπτημένο σήμα έχει

τη μορφή

x t x nT p t nT p t x nT t nTs s s

n

s s

n

2 2

(1.49)

Η (1.49) έχει γραφεί με βάση την έκφραση του μοναδιαίου ορθογωνικού παλμού

pτ(t) του Παραδ. 1.2.1, αλλά προφανώς η σταθερά πλάτους 1/τ μπορεί να

απαλειφθεί ή να μεταβληθεί χωρίς να αλλάξει η ουσία της μεθόδου. Η χρονική

μετατόπιση του pτ(t) κατά /2 θέτει την έναρξή του στη θέση 0 (αντί /2 του

Παραδ. 1.2.1) για να δείξει ότι η δειγματοληψία αυτή διατηρεί την εκάστοτε τιμή

που είχε το σήμα τις στιγμές έναρξης t = nTs των διαδοχικών παλμών

(δικαιολογώντας τον όρο "δειγματοληψία και κράτηση"). Από την (1.49) με

μετασχηματισμό Fourier και χρήση των ιδιοτήτων (1.13) και (1.17) προκύπτει το

φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος

X f e P f f X f nfsj f

s s

n

(1.50)

όπου P(f) η μετασχηματισμένη Fourier του μοναδιαίου ορθογωνικού παλμού (βλ.

την (1.20)), δηλ. μια συνάρτηση sinc (πράγμα που δικαιολογεί την ονομασία

"συνάρτηση δειγματοληψίας" για την sinc). Ανατρέχοντας στην (1.20)

παρατηρούμε ότι για μικρή χρονική διάρκεια του παλμού ισχύει P(f) 1 για

χαμηλές συχνότητες f, και συνεπώς το πρώτο "αντίγραφο" (με n = 0) του αρχικού

φάσματος X(f) που δημιουργείται από την δειγματοληψία παραμένει ουσιαστικά

απαραμόρφωτο. Επομένως το θεώρημα Nyquist που αποδείχθηκε για ιδανική

περίπτωση δειγματοληψίας εξακολουθεί να ισχύει και εδώ, και η ανάκτηση του

αρχικού σήματος μπορεί και πάλι να γίνει με τη βοήθεια βαθυπερατού φίλτρου. Για

μεγαλύτερη διάρκεια του παλμού θα πρέπει η απόκριση του φίλτρου να

τροποποιηθεί ώστε να αντισταθμίζει την επίπτωση της P(f).

1

ΠΟΛΕΜΙΚΟ ΝΑΥΤΙΚΟΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝΙωάννης Α. Κούκος, Καθηγητής

1. ΨΗΦΙΑΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΌπως στις αναλογικές επικοινωνίες, έτσι και στις ψηφιακές διακρίνουμε τρείς γενικές κατηγορίες διαμόρφωσης μιας ακολουθίας bits σε ένα ημιτονοειδές φέρον σήμα : (α) Κατά Πλάτος, Αmplitude Shift keying (ASK), όπου διακριτές στάθμες Πλάτους Σήματος Αi αντιπροσωπεύουν τα bits 0 και 1 η συνδυασμούς bits, (b) Κατά Συχνότητα, FrequencyShift keying (FSK), όπου διακριτές τιμές Συχνότητος Σήματος fj αντιπροσωπεύουν τα bits 0 και 1 η συνδυασμούς bits και (γ) Κατά Φάση, Phase Shift keying (PSK), όπου διακριτές τιμές Φάσεως Σήματος θk αντιπροσωπεύουν τα bits 0 και 1 η συνδυασμούς bits. Το ψηφιακά διαμορφωμένο σήμα παριστάνεται εν γένει ως :

S(t) = Ai p(t) sin (2π fj t + θk ) (1)Όπου p(t) = τετραγωνικός παλμός πλάτους = 1 και διάρκειας = Τb = διάρκεια ενός bitΓια απλή δυαδική διαμόρφωση οι δείκτες λαμβάνουν τιμές (α) i = 0,1 BASK, (b) j=0,1 BFSK, (γ) k=0,1 BPSK, όπου Β=Βinary.Για πολλαπλή δυαδική διαμόρφωση οι δείκτες λαμβάνουν τιμές (α) i = 0,1, ..., Μ ΜASK, (b) j=0,1, ..., Μ ΜFSK, (γ) k=0,1,...,Μ ΜPSK, όπου Μ=Multiple, όπου η τελική τιμή των δεικτών Μ=2Ν, Ν= αριθμός ομάδας bits που αντιστοιχούν σε κάθε στάθμη ή τιμή.

Υπάρχουν, μεικτοί τύποι ψηφιακής διαμόρφωσης όπως η QASK ή 16-QAM (QuadratureAmplitude Modulation) όπου ένας συνδυασμός 4 διακριτών σταθμών πλάτους και 4 διακριτών τιμών φάσεων προκύπτουν 44 = 16 σύμβολα τα οποία αντιστοιχούν στις τιμές του δεξαεδικού συστήματος 0000, 0001, 0010, ...., 1110, 1111.

2

Το διαμορφωμένο σήμα της (1) μπορεί να γραφεί και σε καρτεσιανή μορφή με την χρήση μιγαδικών αριθμών :

S(t) = Re Ai p(t) exp[ j(2π fj t + θk )] = Re exp( j2π fj t) p(t) Ai ejθk (2)Ο δεύτερος όρος του μιγαδικού γινομένου στην (2) αναλύεται σε καρτεσιανό άθροισμα και παριστάνεται μαζυ με τις αντίστοιχες τετράδες bits στο παραπάνω διάγραμμα αστερισμού (constellation diagram) :

Ŝ(t) = p(t) Ai ejθk = p(t) Ai cosθk + j p(t) Ai sinθk (3a)

Όπου οι καρτεσιανές συνιστώσες είναι X(t) = p(t) Ai cosθk = 1, 3 και Y(t) = p(t) Ai cosθk = 1, 3 ; k Tb t (k+1)Tb (3b)

Η αντιστοίχιση τετράδων bits και σημείων στο διάγραμμα αστερισμού έγινε έτσι ώστε εσφαλμένη αποδιαμόρφωση συμβόλου λόγω θορύβου στα πλησιέστερα γειτονικά σημεία (κάθετα η οριζόντια) να προκαλεί σφάλμα μόνο ενός bit (κώδικας Gray).

Στην απλούστερη διαμόρφωση QPSK (Quadrature Phase Shift Keying), Αi = 1 και θk = 45o , 135o, 225o, 315o

Γιά λόγους εξοικονόμησης φάσματος αντί του QPSK στις επίγειες ασύρματες τηλεπικοινωνίες (π.χ. κινητή τηλεφωνία GSM) χρησιμοποιείται μία τροποποιημένη διαμόρφωση η MSK (Minimum Shift Keying) όπου οι συνιστώσες Χ(t) και Υ(t) πολλαπλασιάζονται από ένα «λειασμένο» παλμό ώστε το σήμα γίνεται :

Ŝ(t) = A cosθk sin (2πt/4Tb) + j A sinθk cos(2πt/4Tb)

Τα διαγράμματα φασματικής πυκνότητας του τετραγωνικού και των λειασμένων παλμών στο παρακάτω σχήμα δείχνουν το πλεονέκτημα της διαμόρφωσης MSK έναντι του QPSK:

3

Το φάσμα του παλμού MSK εκτείνεται μεταξυ [-0,75Rb, 0,75 Rb], δηλαδή το Εύρος Φασματος = 1,5 Rb, όπου Rb= 1/Τb bit rate, ρυθμός μετάδοσης bit. To αντίστοιχο Εύρος Φασματος στο QPSK είναι 2Rb.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΓΚΡΙΣΗΣ ΕΥΡΩΝ ΦΑΣΜΑΤΟΣ

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΕΥΡΟΣ ΖΩΝΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ (Πρώτος Λοβός)

BPSK 2Rb

QPSK Rb

MPSK 2Rb/NBFSK 4 Rb

MFSK 2M Rb/NQASK 2 Rb/NMSK1 1,5 Rb

Όπου Μ=2Ν, Ν=Αριθμός bits/symbol

1 Το 99% Bandwidth του MSKείναι = 0,61Rb ενώ του QPSK είναι 5,1 Rb !!!

4

2. ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ PSK, FSK ΚΑΙ QAM

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Προκειμένου, μέσα από κανάλια διέλευσης ζώνης, να μεταδώσουμε ψηφιακή πληροφορία, πρέπει να μεταφέρουμε την πληροφορία σ’ ένα φέρον κύμα κατάλληλης συχνότητας. Η αποτύπωση ψηφιακής πληροφορίας επάνω σε ένα κύμα μπορεί να γίνει κατά πολλούς διαφορετικούς τρόπους.

Η κυματομορφή που φαίνεται στο Σχ. 2.1 μπορεί να παραχθεί με τη μεταγωγή της συχνότητας του φέροντος σε μια από δύο τιμές 1 ή 0, ανάλογα με τη δυαδική πληροφορία που πρόκειται να μεταδοθεί. Αυτή η μέθοδος, όπου μετάγεται η συχνότητα του φέροντος, καλείται “κλείδωμα μεταλλαγής-συχνότητας” (FSK: frequency-shiftkeying). Στη δεύτερη μέθοδο ψηφιακής διαμόρφωσης που φαίνεται στο Σχ. 2.2, η φάση του φέροντος μετάγεται σε μια από τις δύο τιμές και η μέθοδος αυτή λέγεται “κλείδωμα μεταλλαγής-φάσης“ (PSK: phase-shift keying). Στην κατασκευή των συστημάτων

5

ψηφιακής διαμόρφωσης δεν συναντούμε κάποια δυσκολία, το αντίτιμο όμως που πληρώνουμε για την απλότητα αυτή είναι το επιπλέον εύρος ζώνης και ίσως η αύξηση ισχύος που απαιτείται για την εκπομπή.

Σχ. 2.1 Κλείδωμα μεταλλαγής συχνότητας FSK

cos(ωct +0o) cos(ωct +0o) cos(ωct + 180o) cos(ωct +0o)

Σχ. 2.2 Κλείδωμα μεταλλαγής φάσης PSK

Όταν το εύρος ζώνης δε μας απασχολεί, τότε τα συστήματα ψηφιακής διαμόρφωσης μας παρέχουν πολύ καλές επιδόσείς με ελάχιστη πολυπλοκότητα των διατάξεων και με καλή ανθεκτικότητα απέναντι σε ορισμένες ατέλειες του καναλιού.

2.1 Περιγραφή Συστημάτων Δυαδικού FSK και PSK

Στο Σχήμα 2.3 βλέπουμε ένα συνοπτικό διάγραμμα ενός συστήματος μετάδοσης ψηφιακών δεδομένων μέσα από ζώνη διέλευσης με χρήση ψηφιακής διαμόρφωσης. Στο σύστημα εισάγουμε μια δυαδική ακολουθία bits bk με ρυθμό bit rb και διάρκεια bit Tb.

6

Σχ. 2.3 Κυματομορφές διαμορφωμένου φέροντος χρησιμοποιούμενες στα συστήματα δυαδικής μετάδοσης. (α) Κλείδωμα μεταλλαγής-πλάτους. (b) Κλείδωμα

μεταλλαγής-συχνότητας. (c) Κλείδωμα μεταλλαγής-φάσης. (d) Μορφοποίηση παλμού βασικής ζώνης ακολουθούμενη από διαμόρφωση DSB.

Από την έξοδο κατά την διάρκεια του χρονικού διαστήματος του k-στού bit εξαρτάται από το k-στό bit εισόδου bk. H έξοδος Ζ(t) του διαμορφωτή κατά τη διάρκεια του k-στού bit είναι η μετατοπισμένη έκδοση μιας από τις δύο βασικές κυματομορφές s1(t) και s2(t). Το Ζ(t) είναι μια τυχαία διαδικασία και εκφράζεται από τη σχέση:

1

0

)1(

)1()(

2

1

k

k

b

b

ktS

ktStZ

για bb kTtTk )1( . Οι κυματομορφές s1(t) και s2(t) έχουν διάρκεια Τb και

πεπερασμένη ενέργεια, δηλαδή s1(t) και s2(t) =0 αν ],0[ bTt και

bT

dttsE0

211 )]([

bT

dttsE0

222 )]([

Ο τύπος της κυματομορφής εξαρτάται από τον αντίστοιχο της διαμόρφωσης που χρησιμοποιούμε, όπως φαίνεται και στον Πίνακα 2.1. Η έξοδος του περνά από ένα κανάλι διέλευσης ζώνης Ηc(f), που για λόγους απλότητας της ανάλυσης δεχόμαστε ότι το κανάλι είναι ιδανικό με κατάλληλο εύρος ζώνης ώστε να περνά χωρίς να παραμορφώνεται, εκτός από μια καθυστέρηση λόγω διάδοσης. Υποθέτουμε πως ο θόρυβος n(t) είναι μια Gaussian στατική τυχαία διαδικασία μηδενικής μέσης τιμής με

7

φασματική πυκνότητα ισχύος γνωστή και ίση με Gn(f). Τελικά λαμβάνουμε το άθροισμα σήματος και θορύβου που

είναι: dbdb

db

db

tkTttTk

tntTkts

ή

tntTkts

tV

)1(

)(])1([

)(])1([

)(

2

1

Τύπος διαμόρφωσηςbTtts 0),(1 bTtts 0),(2

Κλειδώμα μεταλλαγής-πλάτους(ASK)

0 A cosωct(ή Α sinωct)

Κλειδώμα μεταλλαγής-φάσης(PSK)

-A cosωct(ή -Α sinωct)

A cosωct(ή Α sinωct)

Κλειδώμα μεταλλαγής-συχνότητας(FSK)

A cos(ωc-ωd)t(ή Α sin(ωc-ωd)t)

A cos(ωc+ωd)t(ή Α sin(ωc+ωd)t)

Πίνακας 2.1 Κυματομορφές σηματοδοσίας για διαφόρους τύπους συστημάτων ψηφιακής διαμόρφωσης. s1(t), s2(t) = 0 για ],0[ bTt , fc =ωc/2π. Η

συχνότητα fc του φέροντος θεωρείται ότι είναι πολλαπλάσιο της rb.

O δέκτης που φαίνεται στο Σχήμα 2.4 πρέπει να αποφασίσει ποια από τις δύο γνωστές κυματομορφές, s1(t) ή s2(t), εμφανίστηκε στην είσοδό του κατά τη χρονικό διάστημα κάθε σηματοδοσίας. Ενδέχεται κατά τη διαδικασία της αποκωδικοποίησης να κάνει σφάλμα λόγω της παρουσίας του θορύβου στην είσοδό του. Η ισχύς του σήματος στην είσοδο του δέκτη με την ισχύς και την πιθανοκατανομή του θορύβου στην είσοδο, το ρυθμό σηματοδοσίας καθώς και παραμέτρους του δέκτη όπως η συνάρτηση μεταφοράς H(f) του φίλτρου και τη θέση του κατωφλίου, θα καθορίσουν την πιθανότητα σφάλματος.

Σχ. 2.4 Συνοπτική δομή του δέκτη

2.1.1 Συστήματα σηματοδοσίας δυαδικού FSK

Τα συστήματα μεταβίβασης δεδομένων μικρής ταχύτητας είναι εκείνα, στα οποία βρίσκουν εφαρμογές, σε ευρεία κλίμακα, τα συστήματα σηματοδοσίας FSK. Τα τελευταία δεν είναι τόσο αποδοτικά όσο τα συστήματα PSK ως προς τη χρησιμοποίηση του εύρους ζώνης και της ισχύος. Οι κυματομορφές που χρησιμοποιούνται, στα συστήματα σηματοδοσίας δυαδικού FSK, είναι οι s1 = Acos(ωct - ωdt) και s2 = Acos(ωct

8

+ ωdt) για την αποστολή αντίστοιχα των ψηφίων 0 και 1. Σ’ ένα σήμα FSK η πληροφορία ουσιαστικά βρίσκεται στη συχνότητα του σήματος.

Μία κυματομορφή FM με συνεχή φάση και σταθερή περιβάλλουσα πλατών αποτελεί την κυματομορφή του δυαδικού FSK. Αυτή μπορεί να παρασταθεί μαθηματικά ως εξής :

t

dc dttDtAtZ ')'(cos)(

όπου D(t) είναι μια δυαδική τυχαία κυματομορφή με στάθμες +1 για bk = 1 και –1 για bk

= 0, και θ η φασική γωνία του φέροντος τη στιγμή t = 0. Η στιγμιαία συχνότητα του δυαδικού FSK σήματος δίνεται από τη σχέση :

)]([ tάdt

dfi

= ωc + ωdD(t)και αφού D(t) = 1 , η στιγμιαία συχνότητα ωi έχει δύο τιμές : dci .

Σχ. 2.5 Μη φιλτραρισμένη ψηφιακή διαμόρφωση FSK

-Καταλαμβανόμενο φάσμα από τη διαμόρφωση FSK

Το φάσμα διαμόρφώσης ενός σήματος FSK δεν είναι εύκολο να προσδιοριστεί όπως στη διαμόρφωση ASK, επειδή η δημιουργία της FSK είναι μη γραμμική. Μπορεί να ληφθεί μία προσέγγιση εάν σχεδιαστούν τα φάσματα δύο ακολουθιών ASKκεντραρισμένων στις αντίστοιχες φέρουσες συχνότητες.

9

Σχ. 2.6 Φάσμα FSK

Είναι φανερό ότι το συνολικό εύρος ζώνης που καταλαμβάνεται από το σήμα FSK εξαρτάται από την απόσταση των συχνοτήτων που παριστάνουν τις καταστάσεις συμβόλων.

Ένα σήμα FSK που χρησιμοποιεί συνεχείς μεταβολές φάσης θα έχει πολύ μικρότερη ενέργεια αποθηκευμένη στους πλευρικούς λοβούς από ένα σύστημα όπου υπάρχουν ασυνέχειες φάσης.

-Πλεονεκτήματα της διαμόρφωσης FSK

H διαμόρφωση FSK αποτελεί μια διαμόρφωση σταθερής περιβάλλουσας και επομένως είναι αναίσθητη στις μεταβολές πλάτους (δηλαδή απολαβής) που συμβαίνουν στο κανάλι και συμβατή με συστήματα μη γραμμικών πομπών και δεκτών. Η ανίχνευση της FSK μπορεί να στηριχθεί στις σχετικές μεταβολές συχνότητας μεταξύ των καταστάσεων συμβόλων και επομένως δεν απαιτεί απόλυτη ακρίβεια των τιμών συχνοτήτων που διαδίδονται στο κανάλι. Άρα η FSK είναι λοιπόν σχετικά ανεκτική στην ολίσθηση συχνότητας του τοπικού ταλαντωτή και τη μετατόπιση Doppler.

-Μειονεκτήματα της διαμόρφωσης FSK

H FSK έχει σχετικά μικρότερη απόδοση εύρους ζώνης από τις ASK και PSK (με εξαίρεση την εκδοχή MSK). Ο ρυθμός εμφάνισης εσφαλμένων bit και συμβόλων της FSK είναι χειρότερος από της PSK.

2.1.2 Συστήματα σηματοδοσίας δυαδικού PSK

Η διαμόρφωση διακριτής-φάσης ή το κλείδωμα μεταλλαγής-φάσης, είναι μια άλλη τεχνική που διαθέτουμε για τη μετάδοση ψηφιακής πληροφορίας με κανάλια διέλευσης ζώνης συχνοτήτων. Στην ψηφιακή διαμόρφωση φάσης η πληροφορία περιέχεται στη στιγμιαία φάση του διαμορφωμένου φέροντος. Αυτή η φάση συνήθως ενσωματώνεται στο φέρον και εκτιμάται ως προς ένα σταθερό φέρον αναφοράς γνωστής φάσης και γι’ αυτό ονομάζεται σύμφωνη PSK. Για τη μετάδοση των δυαδικών ψηφίων 0 και 1, στα συστήματα σηματοδοσίας PSK χρησιμοποιούνται αντίστοιχα οι κυματομορφές :

s1(t) = -Acos(ωct) και s2(t) = Acos(ωct).

Η δυαδική PSK κυματομορφή Ζ(t) μπορεί να περιγραφεί με την :

10

Z(t) = D(t)(Acosωct)

D(t) θεωρούμε μια τυχαία δυαδική κυματομορφή με περίοδο Tb και στάθμες –1 και 1. Η μοναδική διαφορά ανάμεσα στις δυαδικές κυματομορφές ASK και PSK είναι ότι στο σύστημα ASK το φέρον μετάγεται εντός και εκτός, ενώ το φέρον στο σύστημα PSKμετάγεται μεταξύ των τιμών +Α και –Α. Το σύστημα PSK, στη γενική περίπτωση, είναι ένα σύστημα μη γραμμικής διαμόρφωσης.

-Καταλαμβανόμενο φάσμα από τη διαμόρφωση PSK

Το εύρος ζώνης ενός δυαδικού σήματος PSK (BPSK) είναι συμμετρικό ως προς τη συχνότητα του φέροντος και θα αποτελείται από την εικόνα του αρχικού φάσματος συν το ανεστραμμένο είδωλο αυτής που είχε η ακολουθία δεδομένων όταν δεν είχε υποστεί φιλτράρισμα. Στην πραγματικότητα, η BPSK μπορεί να φανεί ως ένα σήμα ASKμε πλάτη +Α και –Α (αντί για +Α και 0 που είναι στην ASK).

Εάν οι αλλαγές φάσης είναι απότομες στα όρια των συμβόλων, τότε όπως και στην FSK, το εύρος ζώνης που καταλαμβάνεται θα είναι πολύ μεγαλύτερο από ότι θα είναι στην περίπτωση ομαλών μεταβάσεων από τη μία κατάσταση φάσης στην επόμενη. Έτσι εμφανίζεται η ανάγκη μορφοποίησης της διαμορφώνουσας κυματομορφής.

Σχ. 2.7 Φάσμα BPSK

2.2 Συνδυασμένη ψηφιακή διαμόρφωση Πλάτους και Φάσης (QAM)

Μέχρι τώρα έχουμε περιγράψει μόνο διαμορφώσεις μίας ιδιότητας, χρησιμοποιώντας σύμβολα φάσης, πλάτους ή συχνότητας για να μεταφέρουμε τα δεδομένα. Θα μπορούσε εύλογα κάποιος να σκεφτεί ότι η απόδοση της διαμόρφωσης θα μπορούσε να αυξηθεί περαιτέρω εάν συνδυάζονταν δύο ή περισσότερα είδη συμβόλων και γινόταν ο αναπόφευκτος συμβιβασμός ανάμεσα στην τελική φασματική απόδοση και την ανοχή στο θόρυβο. Αποδεικνύεται ότι αυτό μπορεί πράγματι να συμβεί και ο

11

συνδυασμός που χρησιμοποιείται συχνότερα είναι μεταξύ πλάτους και φάσης, που αποκαλείται Μ-αδική σηματοδοσία QAM (Quadradure Amplitude Modulation).

Η απλούστερη μορφή διαμόρφωσης QAM είναι στην πραγματικότητα το σύνολο συμβόλων της QPSK, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως δύο ορθογώνιοι (με διαφορά φάσης 90ο) φορείς διαμορφωμένοι κατά πλάτος με στάθμες πλάτους +Α και –Α. Αυξάνοντας τον αριθμό των σταθμών πλάτους κάθε φορέα σε τέσσερις, για παράδειγμα

3A , προκύπτουν 16 δυνατοί συνδυασμοί συμβόλων στην έξοδο του

πομπού, οι οποίοι απέχουν εξίσου στο διάγραμμα αστερισμού και αντιπροσωπεύεται από συγκεκριμένο πλάτος και φάση ο καθένας.

Σχ. 2.8 Διάγραμμα αστερισμού δεκαεξαδικής διαμόρφωσης QAM (16-QAM)

2.3 Μ-αδικά συστήματα σηματοδοσίας

Για να περιορίσουμε το εύρος ζώνης που χρειάζονται τα συστήματα PAMμετάδοσης δεδομένων στη βασική ζώνη, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μεθόδους Μιαδικής σηματοδοσίας. H χρήση των συστημάτων Μιαδικής σηματοδοσίας μπορεί να γίνει και σε συνδυασμό με τις τεχνικές ψηφιακής διαμόρφωσης φέροντος. Σ’ αυτή την περίπτωση κατά τη διάρκεια κάθε διαστήματος σηματοδοσίας, διάρκειας Τς , θα εκπέμπεται ένα από Μ (Μ>2) διακριτά σήματα ).(),...,(),( 21 tststs M Αυτά τα σήματα παράγονται με τη μεταβολή του πλάτους της φάσης ή της συχνότητας ενός φέροντος κύματος σε Μ διακριτές στάθμες. Μ’ αυτόν τον τρόπο μπορούμε να έχουμε συστήματα ψηφιακής διαμόρφωσης Μιαδικού PSK και Μιαδικού FSK. Τα Μιαδικά ψηφιακά συστήματα διαμόρφωσης τα προτιμούμε ως προς τα δυαδικά συστήματα για τη μετάδοση ψηφιακής πληροφορίας μέσα από κανάλια ζώνης διέλευσης όταν θέλουμε να εξοικονομήσουμε εύρος ζώνης (με αντάλλαγμα την αύξηση της απαιτούμενης ισχύος), ή να εξοικονομήσουμε ισχύ (με αντάλλαγμα την αύξηση του απαιτούμενου εύρους ζώνης).Σπάνια βρίσκουμε στην πράξη ένα κανάλι που να έχει ακριβώς το εύρος ζώνης που απαιτείται για τη μετάδοση της εξόδου μιας πηγής που χρησιμοποιεί σύστημα δυαδικής σηματοδοσίας. Χρησιμοποιούνται Μιαδικά συστήματα ψηφιακής διαμόρφωσης για τη διαβίβαση της πληροφορίας, όταν το εύρος ζώνης του διαθέσιμου καναλιού είναι μικρότερο. Αν το κανάλι πάλι έχει εύρος ζώνης πολύ μεγαλύτερο απ’ ότι χρειάζεται για

12

τη μετάδοση της εξόδου της πηγής με δυαδική τεχνική διαμόρφωσης, μπορεί να χρησιμοποιηθούν Μιαδικά συστήματα που αξιοποιούν το πρόσθετο εύρος ζώνης για να δώσουν μεγαλύτερη ανοσία απέναντι στο θόρυβο του καναλιού.

2.3.1 Μ-αδική ψηφιακή διαμόρφωση συχνότητας (M-αδική FSK)

Η Μ-αδική FSK είναι εξαιρετικά ενδιαφέρουσα μέθοδος διαμόρφωσης, επειδή αυξάνει την ανοχή στο θόρυβο του συστήματος ως προς τη δυαδική δια- μόρφωση FSKκαι επομένως επιτρέπει το σχεδιαστή να επιτύχει αξιόπιστη μετάδοση δεδομένων σε περιβάλλον υψηλού θορύβου. Αυτό είναι δυνατό μόνον εάν χρησιμοποιηθεί ένα σύνολο “ορθογώνιων” συμβόλων, με ακριβώς περιορισμένες ισαπέχουσες συχνότητες, που απαιτεί ένα μεγάλο εύρος ζώνης. Η Μ-αδική FSK με ορθογώνια σηματοδοσία είναι μία από τις λίγες τεχνικές όπου η απόδοση του modem πλησιάζει το όριο Shannon, για τη λειτουργία με το ελάχιστο λόγο Εb/N0 δηλαδή –1.6 db.

Σχ. 2.9 Τετραδική FSK (μη ορθογώνια)

Είναι επίσης δυνατό να χρησιμοποιούμε Μ-αδική διαμόρφωση FSKχρησιμοποιώντας “μη-ορθογώνιες” συχνότητες συμβόλων, όπως είδαμε στη διαδική FSK. Τοποθετώντας τις συχνότητες πολύ κοντά τη μία στην άλλη, είναι δυνατό να συμπτύξουμε τέσσερα σύμβολα στο χώρο δύο συμβόλων, για παράδειγμα, και έτσι να βελτιώσουμε την απόδοση εύρους ζώνης ως προς τη δυαδική FSK (BFSK). Σ’ αυτήν την περίπτωση η ανοχή στο θόρυβο του Μ-αδικού συστήματος FSK μειώνεται, σε σύγκριση με αυτήν του δυαδικού συστήματος, καθώς οι συχνότητες των συμβόλων δεν είναι πια ορθογώνιες.

Μ 2 4 8 16 32 64ηΒ 0.4 0.57 0.55 0.42 0.29 0.18

Eb/No για BER = 10-6 13.5 10.8 9.3 8.2 7.5 6.9Πίνακας 2.2 Αποδοτικότητα εύρους ζώνης και ισχύος

σύμφωνου Μ-αδικού FSK [Zie92]

-Oρθογωνική σηματοδοσία

13

Δύο καταστάσεις συμβόλων αi(t) και αj(t) ονομάζονται ορθογώνιες (ή ορθογωνικές) στη διάρκεια της περιόδου συμβόλου Τς, εάν συμβαίνει:

sT jiji dttata

00)()(

Εάν οι συχνότητες των συμβόλων της Μ-αδικής διαμόρφωσης FSK επιλεγούν έτσι ώστε να έχουν τη μορφή:

sc T

mtfta

2

22cos)(

όπου m = 1,2,…,M, τότε αυτές οι συχνότητες είναι ορθογώνιες στο διάστημα μίας περιόδου συμβόλου.

Ένα ορθογωνικό σύνολο οκταδικής διαμόρφωσης FSK με ρυθμό συμβόλων 1200 baud (σύμβολα ανά δευτερόλεπτο) θα μπορούσε επομένως να χρησιμοποιεί τις συχνότητες, π.χ., 1000 Hz, 1600 Hz, 2200 Hz, 2800 Hz, 3400 Hz, 4000 Hz, 4600 Hz και 5200 Hz, αντίστοιχα, με την ίδια εναρκτήρια φάση.

Σχ. 2.10 Παραδείγματα ορθογώνιων συμβόλων στη Μ-αδική διαμόρφωση FSK

-Ιδιότητες των ορθογωνικών συμβόλων

Η πρακτική ερμηνεία του ορισμού της ορθογωνιότητας είναι ότι, εάν ένα σύμβολο αi(t) αναμιχθεί με ένα φέρον αναφοράς που έχει τη συχνότητα και φάση ενός άλλου συμβόλου αj(t), τότε η μέση τιμή της εξόδου του μίκτη για χρονικό διάστημα μιας περιόδου, που λαμβάνεται χρησιμοποιώντας ένα προσαρμοσμένο φίλτρο ή έναν ολοκληρωτή, θα είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι με την ορθογωνική σηματοδοσία είναι δυνατόν να αυξήσουμε τον αριθμό των καταστάσεων συμβόλων χωρίς να επηρεάσουμε την έξοδο ενός συγκεκριμένου σύμφωνου ανιχνευτή, και επομένως χωρίς να αυξήσουμε την πιθανότητα εμφάνισης σφάλματος στον κάθε ανιχνευτή.

Καθώς αυξάνουμε τον αριθμό των ορθογώνιων συμβόλων που χρησιμοποιούνται για τη μετάδοση, μπορούμε να αυξήσουμε τη διάρκεια του κάθε συμβόλου, έτσι ώστε να

14

διατηρήσουμε τον ίδιο ρυθμό εκπομπής πληροφορίας. Όσο μεγαλύτερη είναι η διάρκεια ενός συμβόλου, τόσο μεγαλύτερος είναι ο χρόνος για τον υπολογισμό της μέσης τιμής του συμβόλου, και επομένως τόσο αυξάνει ο λόγος S/N στην έξοδο του δέκτη, βελτιώνοντας επομένως την πιθανότητα ορθής ανίχνευσης συμβόλου. Η ορρθογωνική διαμόρφωση FSK μπορεί θεωρητικά να έχει οποιοδήποτε αριθμό ορθογώνιων καταστάσεων συμβόλων, αλλά με τίμημα το συνεχώς αυξανόμενο εύρος ζώνης.

Σχ. 2.11 Ορθογώνια σύμβολα

2.3.2 Μ-αδική ψηφιακή διαμόρφωση φάσης (Μ-αδική PSK)

Έχουμε ήδη δει στην περίπτωση της Μ-αδικής διαμόρφωσης FSK ότι ένα σύνολο ορθογώνιων συμβόλων καθιστά δυνατή την ταυτόχρονη αποστολή δύο ή περισσότερων συμβόλων στο κανάλι, χωρίς να επηρεάζει την απόδοση της διαδικασίας σύμφωνης ανίχνευσης κάθε επιμέρους συμβόλου. Προκύπτει ότι, όπως υπάρχει ορθογωνιότητα και μεταξύ ενός ημιτονικού και ενός συνημιτονικού όρου, όταν λαμβάνεται η μέση τιμή τους σε χρονικό διάστημα ενός ακέραιου αριθμού κύκλων του φέροντος. Αυτό σημαίνει ότι εάν εκπέμψουμε δυαδική πληροφορία PSK στο συνημιτονικό όρο φέροντος και ταυτόχρονα εκπέμψουμε ένα δεύτερο σήμα δυαδικής πληροφορίας στον ημιτονικό όρο του ίδιου φέροντος, τότε θα είναι δυνατό να ανιχνεύσουμε ανεξάρτητα τα δύο σήματα (σα να μην είχε εκπεμφθεί άλλο). Για να γίνει αυτό η μόνη προϋπόθεση είναι ο κάθε ανιχνευτής να υπολογίζει τη μέση τιμή κατά τη διάρκεια μιας περιόδου συμβόλου, που να διαρκεί έναν ακέραιο αριθμό πλήρων κύκλων του φέροντος.

Μπορούμε από τα παραπάνω να φανταστούμε ένα σήμα διαμόρφωσης PSK με τέσσερις καταστάσεις φάσης, 0ο, 90ο, 180ο και 270ο, σε ορθογωνικότητα φάσης (quadrature) 90o η μία από την άλλη. Επομένως αυτή η τετραδική μέθοδος PSKονομάζεται Διαμόρφωση Μετατόπισης Φάσης με Ορθογωνισμό (Quadrature Phase ShiftKeying, QPSK). H ιδιότητα της ορθογωνικότητας της QPSK σημαίνει ότι η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αποστολή πληροφορίας με ταχύτητα διπλάσια από αυτήν της BPSK (Binary Phase Shift Keying) στο ίδιο εύρος ζώνης, χωρίς να υποβαθμιστεί η απόδοση της ανίχνευσης ως προς την BPSK.

15

Σχ. 2.12 Διαμόρφωση Μετατόπισης Φάσης με Ορθογώνισμό

Στα Μ-αδικά συστήματα, η φάση του φέροντος επιτρέπεται να πάρει μια από τις Μ δυνατές τιμές :

)1,...,2,1,0(/2

Έτσι τα Μ δυνατά σήματα που θα μπορούσαν να μεταδοθούν σε κάθε διάστημα σηματοδοσίας διάρκειας Ts είναι :

sck TtMkMktAts 0,1,...,1,0),/2cos()(

Θα δεχτούμε ότι η φέρουσα συχνότητα fc είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του rs (rs = 1/Ts). Η Μ-αδική ψηφιακή κυματομορφή PSK μπορεί να παρασταθεί με την :

k

cs tkTtgAtZ )cos()()(

όπου g(t) είναι ορθογώνιος παλμός μοναδιαίου πλάτους με διάρκεια Ts. Η ακολουθία φασικών γωνιών φέρει την ψηφιακή πληροφορία. Μπορούμε να ξαναγράψουμε την προηγούμενη σχέση ως :

k

sc kTtgtAtZ )()(coscos)(

k

sc kTtgtA )()(sinsin

πράγμα που δείχνει ότι η κυματομορφή Ζ(t) είναι διαφορά δύο σημάτων ΑΜ που χρησιμοποιούν για φέροντα τα :

tt cc sincos

H φασματική πυκνότητα ισχύος της Ζ(t) είναι το μετατοπισμένο ανάτυπο της φασματικής πυκνότητας των Μ-αδικών ορθογωνίων κυματομορφών :

)()(sin)()(cos ss kTtgkTtg

16

H psd των κυματομορφών αυτών έχει τη μορφή ενός (sinx/x)2 και περνάει από το μηδέν στις τιμές Hzkrs . Επομένως το απαιτούμενο εύρος ζώνης για ένα Μ-αδικό PSK

σήμα θα είναι περίπου 2rs ως 3rs.Αν η πληροφορία που πρόκειται να μεταδώσουμε είναι μια ανεξάρτητη δυαδική

ακολουθία με ρυθμό bit rb τότε το εύρος ζώνης που χρειάζεται για τη μετάδοση αυτής της ακολουθίας χρησιμοποιώντας σύστημα δυαδικού PSK, είναι περίπου 2rb. Aν τώρα πάρουμε πακέτα των λ bits, και χρησιμοποιήσουμε Μ-αδικό PSK σύστημα με Μ = 2λ και rs = rb/λ, τότε το εύρος ζώνης που χρειαζόμαστε θα είναι κάπου 2rs = 2rb/λ. Επομένως το σύστημα Μ-αδικής PSK σηματοδοσίας μας προσφέρει μια ελλάττωση του εύρους ζώνης κατά έναν παράγοντα λ ως προς το σύστημα δυαδικής PSK σηματοδοσίας.

M 2 4 8 16 32 64ηΒ = Rb/B 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Eb/No για BER = 10-6 10.5 10.5 14 18.5 23.4 28.5Πίνακας 2.3 Αποδοτικότητα εύρους ζώνης και ισχύος

Μ-αδικού PSK [Zie92]

2.3.3 Μ-αδική συνδυασμένη ψηφιακή διαμόρφωση Πλάτους και Φάσης (M-QAM)

H ψηφιακή διαμόρφωση M-QAM σχεδιάστηκε για να μεταφέρει δύο διαφορετικά σήματα εξαρτώμενα από την ίδια συχνότητα μεταφοράς χρησιμοποιώντας δύο φέρουσες :

)2sin()2cos( tftf cc

τα δύο αυτά σήματα τελικά αθροίζονται. Αυτή η κατασκευή επιτρέπει Μ επίπεδα ενίσχυσης και αυτό δίνει τη δυνατότητα κάθε σύμβολο να έχει περισσότερα από ένα bitπληροφορίας. Έτσι έχουμε το παρακάτω σήμα :

)2sin()()2cos()( tftgbtftgS ckck

MkTt ,...,2,1,0

όπου ακ , bk είναι οι πληροφορίες και Μ = 2n ,όπου n είναι ο αριθμός των bits του κωδικού του κάθε συμβόλου.

17

a) 4 - QAM b) 8 - QAM

c) 16 - QAM d) 32 - QAM

Σχ. 2.13 Μερικά παραδείγματα διαμόρφωσης Μ-QAM (Μ=4,8,16,32)

Όσο πιο μεγάλο Μ έχουμε, τόσο πιο εκτεθειμένο στο θόρυβο και στο fading θα είναι το σήμα. Έτσι για μεγάλα Μ σήμερα το Μ-QAM χρησιμοποιείται στις ενσύρματες μεταφορές παρά στις ασύρματες όπου το σήμα δέχεται μεγαλύτερη παραμόρφωση.

M 4 16 64 256 1024 4096ηΒ 1 2 3 4 5 6

Eb/No για BER = 10-6 10.5 15 18.5 24 28 33.5Πίνακας 2.4 Αποδοτικότητα εύρους ζώνης και

ισχύος M-αδικού QAM [Zie 92]

2.3.4 Σύγκριση Μ-αδικών διαμορφώσεων QAM και PSK

18

Η σύγκριση των διαγραμμάτων αστερισμού των Μ-αδικών μεθόδων διαμόρφωσης QAM και PSK δείχνει ότι η απόσταση ανάμεσα στις καταστάσεις συμβόλων της QAM είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη απόσταση στην PSK, η οποία περιορίζεται σε καταστάσεις συμβόλων σταθερού πλάτους, που βρίσκονται, επομένως, επάνω σε έναν κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων.

Τα διαγράμματα αστερισμού, που εικονίζονται στο Σχήμα 2.14, έχουν σχεδιαστεί για διαμορφώσεις QAM και PSK με την ίδια ισχύ συμβόλων. Η αυξημένη απόσταση ανάμεσα στα σύμβολα στην περίπτωση της QAM σημαίνει ότι η αντίστοιχη διαδικασία ανίχνευσης είναι λιγότερη ευάλωτη στο θόρυβο.

Η ισχύς κορυφής της QAM υπό αυτές τις συνθήκες είναι παρ’ όλα αυτά μεγαλύτερη από αυτή της Μ-αδικής PSK, και αυτό πρέπει να λαμβάνεται υπόψη όταν η διαδικασία εκπομπής έχει περιορισμό ως προς τη μέση ισχύ.

Σχ. 2.14 Σύγκριση των μεθόδων 16-PSK (ανοικτοί κύκλοι) και 16-QAM (κλειστοί κύκλοι) για την ίδια μέση ισχύ συμβόλων

2.3.5 Παράγοντες που επηρεάζουν την επιλογή της ψηφιακής διαμόρφωσης

Διάφοροι παράγοντες επηρεάζουν την επιλογή ενός ψηφιακού τύπου διαμόρφωσης. Ένα επιθυμητός τύπος διαμόρφωσης παρέχει χαμηλά ποσοστά σφάλματος δυαδικών ψηφίων στις χαμηλά λαμβανόμενες σήματος προς θόρυβο αναλογίες, αποδίδει καλά σε multipath και σε fading, καταλαμβάνει ένα ελάχιστο του εύρους ζώνης, και είναι εύκολο και οικονομικώς αποδοτικό να εφαρμοστεί. Οι υπάρχοντες τύποι διαμόρφωσης δεν ικανοποιούν ταυτόχρονα όλες αυτές τις απαιτήσεις. Μερικοί είναι καλύτεροι από την άποψη της απόδοσης ποσοστού σφάλματος δυαδικών ψηφίων, ενώ άλλοι είναι καλύτεροι από την άποψη της αποδοτικότητας εύρους ζώνης. Ανάλογα με τις απαιτήσεις της ιδιαίτερης εφαρμογής, οι εξισορρόπηση όλων των παραγόντων γίνεται κατά την επιλογή μιας ψηφιακής διαμόρφωσης .

Η απόδοση ενός τύπου διαμόρφωσης μετριέται συχνά από την άποψη της αποδοτικότητας ισχύος και της αποδοτικότητας εύρους ζώνης. Η αποδοτικότητα ισχύος περιγράφει τη δυνατότητα μιας τεχνικής διαμόρφωσης για να συντηρηθεί η ακρίβεια του ψηφιακού μηνύματος στα χαμηλά επίπεδα δύναμης. Σε ένα ψηφιακό σύστημα επικοινωνίας, προκειμένου να αυξηθεί η ανοσοποίηση θορύβου, είναι απαραίτητο να

19

αυξηθεί η ισχύς των σημάτων. Εντούτοις, το ποσό από το οποίο η ισχύς των σημάτων πρέπει να αυξηθεί για να λάβει ένα ορισμένο επίπεδο ακρίβειας (δηλ., μια αποδεκτή πιθανότητα σφάλματος δυαδικών ψηφίων) εξαρτάται από τον ιδιαίτερο τύπο διαμόρφωσης που υιοθετείται. Η αποδοτικότητα δύναμης, p (η μερικές φορές αποκαλούμενη αποδοτικότητα ενέργειας) ενός ψηφιακού τύπου διαμόρφωσης είναι ένα μέτρο του πόσο ευνοϊκά αυτή η ανταλλαγή μεταξύ της ακρίβειας και της ισχύος σημάτων γίνεται, και εκφράζεται συχνά ως ο λόγος της ενέργειας σημάτων για κάθε bitπρος τη φασματική πυκνότητα της ισχύος θορύβου (Eb/N0) που απαιτείται στην είσοδο δεκτών για μια ορισμένη πιθανότητα σφάλματος (πέστε 10-5).

Η αποδοτικότητα εύρους ζώνης περιγράφει τη δυνατότητα ενός τύπου διαμόρφωσης να προσαρμόσει την πληροφορία μέσα σε ένα περιορισμένο εύρος ζώνης. Γενικός, η αύξηση της ροής πληροφορίας υπονοεί τη μείωση του πλάτος του παλμού ενός δυαδικού ψηφιακού συμβόλου, το οποίο αυξάνει το εύρος ζώνης του σήματος. Κατά συνέπεια, υπάρχει μια αναπόφευκτη σχέση μεταξύ της ροής πληροφορίας και της κατοχής εύρους ζώνης. Εντούτοις, μερικά σχέδια διαμόρφωσης παρουσιάζονται καλύτερα από άλλα στην παραγωγή αυτής της ανταλλαγής. Η αποδοτικότητα εύρους ζώνης απεικονίζει το πόσο αποτελεσματικά το δεσμευμένο εύρος ζώνης χρησιμοποιείται και καθορίζεται ως ο λόγος της παραγωγής ροής πληροφορίας προς τα Hertz σε ένα δεδομένο εύρος ζώνης. Εάν το R είναι το ποσοστό των bits ανά δευτερόλεπτο, και το Β είναι το εύρος ζώνης που καταλαμβάνεται από το διαμορφωμένο σήμα RF, κατόπιν η αποδοτικότητα εύρους ζώνης nB εκφράζεται ως εξής :

nB = R/B bps/Hz

Η ικανότητα συστημάτων ενός ψηφιακού κινητού συστήματος επικοινωνίας είναι άμεσα συνδεδεμένη με την αποδοτικότητα του εύρους ζώνης του τύπου διαμόρφωσης, δεδομένου ότι μια διαμόρφωση με μεγαλύτερη τιμή του nB θα διαβιβάσει τα περισσότερη πληροφορία σε ένα δεδομένο φάσμα.

Υπάρχει ένα θεμελιώδης ανώτερο όριο που δεσμεύει στην επιτεύξιμη αποδοτικότητα εύρους ζώνης. Το θεώρημα κωδικοποίησης καναλιών του Shannonδηλώνει ότι για μια αυθαίρετα μικρή πιθανότητα του σφάλματος, η μέγιστη πιθανή αποδοτικότητα εύρους ζώνης περιορίζεται από το θόρυβο στο κανάλι, και δίνεται από τον τύπο ικανότητας καναλιών [Sha48] :

N

S

B

CnB 1log2

όπου το C είναι η ικανότητα καναλιών (σε bps), το B είναι το εύρος ζώνης RF, και S/Nείναι ο λόγος σήματος προς θόρυβο.

Στο σχέδιο ενός ψηφιακού συστήματος επικοινωνίας, πολύ συχνά υπάρχει μια ανταλλαγή μεταξύ της αποδοτικότητας εύρους ζώνης και της αποδοτικότητας της ισχύος. Παραδείγματος χάριν, η πρόσθεση κωδικοποίησης ελέγχου σφάλματος σε ένα μήνυμα αυξάνει την κατοχή εύρους ζώνης (και αυτό, στη συνέχεια, μειώνει την αποδοτικότητα εύρους ζώνης), αλλά συγχρόνως μειώνει την απαιτούμενη λαμβανόμενη δύναμη για ένα ιδιαίτερο ποσοστό σφάλματος, και ως εκ τούτου ανταλλάσσει την αποδοτικότητα εύρους ζώνης για την αποδοτικότητα δύναμης. Αφ' ετέρου, οι υψηλότερου επιπέδου τύποι διαμόρφωσης (Μ-αδική διαμόρφωση) μειώνουν την κατοχή εύρους ζώνης αλλά αυξάνουν την απαιτούμενη λαμβανόμενη δύναμη, γι' αυτό το λόγο ανταλλάσσει την αποδοτικότητα της ισχύος για την αποδοτικότητα εύρους ζώνης.

20

Ενώ οι εκτιμήσεις αποδοτικότητας της ισχύος και του εύρους ζώνης είναι πολύ σημαντικές, άλλοι παράγοντες έχουν επίσης επιπτώσεις στην επιλογή ενός ψηφιακού τύπου διαμόρφωσης. Παραδείγματος χάριν, για όλα τα προσωπικά συστήματα επικοινωνίας που εξυπηρετούν μια μεγάλη κοινότητα χρηστών, το κόστος και η πολυπλοκότητα του δέκτη συνδρομητών πρέπει να ελαχιστοποιηθούν, και μια διαμόρφωση που είναι απλή να ανιχνευθεί είναι η ελκυστικότερη. Η απόδοση του τύπου διαμόρφωσης κάτω από τους διάφορους τύπους βλάβης καναλιών όπως η εξασθένιση Rayleigh και Rician και η πολλαπλών διαδρομών χρονική διασπορά, λαμβάνοντας υπόψη μια ιδιαίτερη εφαρμογή αποδιαμορφωτών, είναι ένας άλλος βασικός παράγοντας στην επιλογή μιας διαμόρφωσης. Στα κυψελοειδή συστήματα όπου η παρεμβολή είναι ένα σημαντικό ζήτημα, η απόδοση ενός τύπου διαμόρφωσης σε περιβάλλον παρεμβολής είναι εξαιρετικά σημαντική. Η ευαισθησία στην ανίχνευση της χρονικής διαταραχής, που προκαλείται από τα χρονικά μεταβαλλόμενα κανάλια, είναι επίσης ένας σημαντικός παράγοντας για την επιλογή ενός ιδιαίτερου τύπου διαμόρφωσης. Γενικά, η διαμόρφωση, η παρεμβολή, και η εφαρμογή των χρονικά μεταβαλλόμενων αποτελεσμάτων του καναλιού καθώς επίσης και η απόδοση του συγκεκριμένου αποδιαμορφωτή αναλύονται ως πλήρες σύστημα χρησιμοποιώντας την προσομοίωση για να καθορίσουν τη σχετική απόδοση και την τελευταία επιλογή .

2.4 Διαγράμματα οφθαλμού

-Δημιουργία διαγραμμάτων οφθαλμού

Το διάγραμμα οφθαλμού (eye diagram) είναι μια εύχρηστη οπτική μέθοδος για τη διάγνωση προβλημάτων σε συστήματα μετάδοσης δεδομένων.

Ο συμβατικός τρόπος δημιουργίας ενός διαγράμματος οφθαλμού γίνεται συνδέοντας έναν παλμογράφο στο αποδιαμορφωμένο και φιλτραρισμένο σήμα των συμβόλων πριν από τη μετατροπή τους σε δυαδικά ψηφία. Ο παλμογράφος επανασκανδαλίζεται σε κάθε περίοδο των συμβόλων ή σε ακέραια πολλαπλάσια αυτών χρησιμοποιώντας ένα σήμα χρονισμού συμβόλων, που προκύπτει από τη λαμβανόμενη κυματομορφή. Στηριζόμενοι στην ικανότητα παραμένουσας απεικόνισης μίας τυπικής οθόνης παλμογράφου, μπορούμε να δούμε ένα σύνολο επικαλυπτόμενων διαδοχικών δειγμάτων από τα ανιχνευόμενα σύμβολα, τα οποία σχηματίζουν στην οθόνη μία εικόνα σαν το ανθρώπινο μάτι, που ονομάζεται διάγραμμα οφθαλμού. (Αυτή η εικόνα μπορεί να δημιουργείται επίσης χρησιμοποιώντας σύγχρονους ψηφιακούς παλμογράφους καθώς και οθόνες υπολογιστή που υπάρχουν σε συσκευές δοκιμών).

-Διάγνωση προβλημάτων χρησιμοποιώντας το διάγραμμα οφθαλμού

21

Από το διάγραμμα οφθαλμού είναι δυνατό να γίνει μία κριτική για τις πιθανές επιδόσεις και τις πηγές υποβάθμισης σε μία επικοινωνιακή ζεύξη δεδομένων. Εδώ εικονίζονται παραδείγματα διαγραμμάτων οφθαλμού για διάφορους τύπους παραμόρφωσης, ο καθένας από τους οποίους παρουσιάζει μια μοναδική χαρακτηριστική επίδραση στην εμφάνιση του “ανοίγματος οφθαλμού”.

Η επίδραση του σφάλματος χρονισμού εμφανίζεται στο διάγραμμα οφθαλμού με τη μορφή επικλινών γραμμών που σχηματίζουν τον οφθαλμό ο οποίος φαίνεται να κλείνει, που σημαίνει ότι το σήμα δε δειγματοληπτείται στα σημεία μηδενικής διασυμβολικής παρεμβολής. Η προσθήκη θορύβου επηρεάζει τις βαθμίδες ανάκτησης χρονισμού, προκαλώντας ένα γενικό κλείσιμο του οφθαλμού ως το τελικό κλείσιμο, οπότε προκαλούνται σφάλματα.

Έτσι μπορούμε να κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις από το διάγραμμα οφθαλμού :1. Η καλύτερη χρονική στιγμή για τη δειγματολήπτηση της κυματομορφής στο

δέκτη είναι όταν το άνοιγμα οφθαλμού είναι το μεγαλύτερο.2. Το μέγιστο της παραμόρφωσης υποδείχνεται από το κατακόρυφο εύρος των δύο

κλάδων τη στιγμή της δειγματολήπτισης.3. Το περιθώριο του θορύβου ή η ανοσία στο θόρυβο είναι ανάλογη με το πλάτος

του ανοίγματος οφθαλμού.4. Η ευαισθησία του συστήματος στο σφάλμα χρονισμού φαίνεται από την ταχύτητα

με την οποία κλείνει ο οφθαλμός καθώς μεταβάλλεται η χρονική στιγμή δειγματοληψίας.

5. Ο χρόνος δειγματοληψίας βρίσκεται στο μέσο μεταξύ των σημείων μηδενισμού· αν η πληροφορία του ρολογιού παράγεται από τους μηδενισμούς, τότε το ποσό παραμόρφωσης των μηδενισμών δίνει το ποσό του “jitter” δηλαδή της μεταβολής του ρυθμού και της φάσης του ρολογιού.

6. Ασυμμετρίες στο διάγραμμα οφθαλμού δείχνουν την ύπαρξη μη γραμμικών φαινομένων στο κανάλι αφού σε ένα αυστηρά γραμμικό σύστημα με αληθινά τυχαία δεδομένα όλα τα ανοίγματα οφθαλμού θα είναι τα ίδια.

Σχ. 2.15 Μερικά διαγράμματα οφθαλμού

-Παραδείγματα σύνθετου διαγράμματος οφθαλμού

22

Παρακάτω εικονίζεται το διάγραμμα οφθαλμού για ένα αποδιαμορφωμένο σήμα με τέσσερις και ένα σήμα με δεκαέξι καταστάσεις. Αυτές θα μπορούσαν να είναι τυπικές εικόνες για τον ένα κλάδο modem 16-QAM ή 256-QAM (quandradure amplitudemodulation), αντιστοιχία. Το διάγραμμα οφθαλμού αποτελεί εδώ ένα καλό εργαλείο διάγνωσης, και δείχνει καθαρά τους επιμέρους “οφθαλμούς” μεταξύ των διακριτών καταστάσεων και επίσης δείχνει πόσο σημαντικός είναι ο ακριβής χρονισμός της δειγματοληψίας, ώστε να ανιχνεύεται το σύμβολο τη στιγμή του μέγιστου ανοίγματος του οφθαλμού.

Σχ. 2.16 PSK 4 επιπέδων , PSK 16 επιπέδων

Το διάγραμμα αυτό επίσης δείχνει πόσο ευάλωτες είναι οι διαμορφώσεις υψηλότερης τάξης στο θόρυβο και την παραμόρφωση όταν συγκρίνονται με το δυαδικό σύστημα ίσης ενέργειας ανά bit. Το άνοιγμα του οφθαλμού στο σύστημα τεσσάρων επιπέδων είναι στενότερο και η απόσταση ανάμεσα στα όρια των διαφορετικών καταστάσεων μικρότερη από ότι στα προηγούμενα παραδείγματα δύο καταστάσεων και αυτό προοδευτικά χειροτερεύει όταν αυξάνει ο αριθμός των καταστάσεων συμβόλων.

23

Σχ. 2.17 Εκφυλισμός στην ανίχνευση συμβόλων εξαιτίας της ασύμφωνης χρονικής δειγματοληψίας

Θα πρέπει να δίνεται μεγάλη προσοχή κατά τη χρησιμοποίηση διαγραμμάτων οφθαλμού για τη διάγνωση δυσλειτουργιών στο ότι η παρατήρηση πρέπει να γίνεται μετά το συνολικό φιλτράρισμα που επιφέρει το σύστημα.

2.5 Διαγράμματα αστερισμού

Το διάγραμμα αστερισμού (constellation diagramm) είναι παρόμοιο με το διανυσματικό διάγραμμα και είναι μία μέθοδος παρουσίασης των καταστάσεων συμβόλων σε ένα modem διέλευσης ζώνης ως προς το πλάτος και τη φάση του διαμορφωμένου φέροντος. Ο οριζόντιος άξονας θεωρείται ως αναφορά και περιγράφει σύμβολα που είναι σε φάση με το φορέα cosωct, ενώ ο κατακόρυφος άξονας αντιπροσωπεύει την ορθογωνική συνιστώσα του φορέα, sinωct. Με τη δυαδική διαμόρφωση PSK υπάρχουν μόνο δύο καταστάσεις για απεικόνιση στο χώρο του διαγράμματος αστερισμού : α(t) = -Acosωct (οπότε προκύπτει ένα σημείο στον αρνητικό οριζόντιο άξονα σε απόσταση Α) και : α(t) = Αcosωct (οπότε προκύπτει ένα σημείο στο θετικό οριζόντιο άξονα σε απόσταση Α από την αρχή των αξόνων).

24

a) 2 - PSK b) 4 - PSK

c) 8 – PSKΣχ. 2.18 Διαγράμματα αστερισμού της διαμόρφωσης Μ-PSK (Μ=2,4 ,8)

Τα συστήματα διαμόρφωσης PSK πολλών επιπέδων αντιπροσωπεύονται από κατάλληλα σημεία που τοποθετούνται στο διάγραμμα αστερισμού όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπου εικονίζεται ένα οκταδικό σύστημα PSK.

25

Minimum Shift Keying - MSK

Το MSK είναι μία ειδική μορφή του CPFSK (FSK σταθερής φάσης) στην οποία ο δείκτης διαμόρφωσης είναι h = ½. Επομένως, η φάση του φέροντος στο MSK σήμα είναι

)(2

);(1

bn

n

kk nTtqaaat

nb

bn a

T

nTt

2

, bb TntnT )1(

όπου Τb είναι η διάρκεια του bit Eb είναι η ενέργεια του bit.Η οποία απορρέει από την εξίσωση:

dbn

n

kkd fnTtaaTfat )(22);(

1

)(2 nTtqah nn , TntnT )1( ,

που παριστάνει τη φάση του φέροντος μέσα στο διάστημα TntnT )1( για ένα

σύστημα κλειδώματος μεταλλαγής συχνότητας σταθερής φάσης (CPFSK), και στην οποία τα μεγέθη h, θn, και q(t) ορίζονται από τις παρακάτω σχέσεις: Tfh d2

1n

kkn ah

Tt

TtTt

t

tq

,2/1

0,2/

0,0

)(

Η αντίστοιχη, λοιπόν, έκφραση του διαμορφωμένου σήματος θα είναι:

);(2cos2

)( attfT

Etu c

b

b

bnbncb

b TanTttfT

E2/)(2cos

2

nnn

bc

b

b an

taT

fT

E

24

12cos

2 , (1)

Η έκφραση αυτή είναι ουσιαστικά ένα ημιτονοειδές σήμα που, σε κάθε χρονικό διάστημα bb TntnT )1( , αποτελείται από τις εξής δύο δυνατές συχνότητες,

b

c Tff

4

11

26

b

c Tff

4

12

Επομένως τα δύο ημιτονοειδή σήματα μπορούν να εκφραστούν ως

1)1(

22cos

2)( i

nib

bi

ntf

T

Etu

, i =1, 2

Η συχνοτική τους απόσταση είναι Δf= f2-f1 = ½ Tb. Υπενθυμίζουμε ότι αυτή είναι η ελάχιστη απόσταση για ορθογωνιότητα μεταξύ δύο ημιτονοειδών, προκειμένου να είναι δυνατή η σύμφωνη φώραση των σημάτων. Αυτό εξηγεί τώρα και την ονομασία του δυαδικού CPFSK με h = ½, ως μεταλλαγή ελάχιστης ολίσθησης (Minimum shift keying -ΜSK). Σημειώνουμε ότι η φάση του φέροντος στο n-στο χρονικό διάστημα σηματοδοσίας είναι η κατάσταση φάσης του σήματος που οδηγεί σε φασική συνέχεια μεταξύ διαδοχικών διαστημάτων.

Είναι ενδιαφέρον να αποδείξουμε ότι το MSK είναι μία μορφή PSK τεσσάρων φάσεων. Για να το αποδείξουμε αυτό ας ξεκινήσουμε από μ’ ένα σήμα PSK τεσσάρων φάσεων της μορφής:

tfnTtgaT

Etu c

nbTn

b

b 2cos)2(2

)( 2

tfTnTtga

T

EcbbT

nn

b

b 2sin22

12

όπου gT είναι ένας ημιτονοειδής παλμός που ορίζεται από την

ώ

TtT

t

tgb

bT

,0

20,2

sin)( και απεικονίζεται στο σχήμα 1.

27

Ενπρώτοις, παρατηρούμε ότι το σήμα PSK τεσσάρων φάσεων αποτελείται από δύο ορθογώνια φέροντα, cos2πfct και sin2πfct, που είναι διαμορφωμένα κατά πλάτος με ρυθμό ενός bit ανά 2Tb. Τα bits πληροφορίας με άρτιο δείκτη α2n μεταδίδονται με διαμόρφωση συνημιτονικού φέροντος, ενώ τα περιττού δείκτη α2n+1 με διαμόρφωση ημιτονικού φέροντος. Σημειώνουμε ότι ρυθμός μετάδοσης με κάθε μια ορθογώνια φέρουσα είναι ½ Tb και ότι οι παλμοί βασικής ζώνης των δύο συνιστωσών είναι μεταξύ τους μετατοπισμένοι κατά Τb. Ο τύπος αυτός διαμόρφωσης τεσσάρων φάσεων καλείται εν γένει μετατοπισμένο ορθογώνιο PSK (offset quadrature PSK - OQPSK) ή ‘κλονιζόμενο’ ορθογώνιο PSK (straggered quadrature PSK - SQPSK).

Το σχήμα 2 εικονίζει ένα σήμα SQPSK σε σχέση με τα δύο μετατοπισμένα ορθογώνια διαμορφωμένα δυαδικά PSK σήματα. Το αντίστοιχο άθροισμα των δύο ορθογώνιων σημάτων είναι σταθερού πλάτους, συνεχούς φάσης FSK σήμα, όπως φαίνεται στο τμήμα (γ) του σχήματος 2.

Είναι επίσης ενδιαφέρον να συγκρίνουμε τις κυματομορφές MSK με τις κυματομορφές OQPSK στις οποίες ο παλμός βασικής ζώνης, gΤ (t), είναι ορθογώνιος στο διάστημα

bTt 20 καθώς και με το συμβατικό ορθογώνιο PSK (QPSK) όπου ο παλμός βασικής

ζώνης είναι επίσης ορθογώνιος στο bTt 20 . Τονίζουμε ότι και οι τρεις αυτές μέθοδοι

οδηγούν στον ίδιο ρυθμό δεδομένων. Το σήμα MSK έχει συνεχή φάση. Το σήμα OQPSK με ορθογώνιο παλμό βασικής ζώνης είναι ουσιαστικά δύο σήματα δυαδικού PSK στα οποία οι αλλαγές φάσης είναι μετατοπισμένες κατά Τb sec. Συνεπώς, το σήμα αυτό

28

περιέχει άλματα φάσης κατά ±90ο που μπορούν να εμφανίζονται κάθε Τb sec. Τέλος, στο συμβατικό QPSK σταθερού πλάτους, το ένα ή και τα δύο σύμβολα πληροφορίας, μπορούν να προκαλέσουν αλλαγές φάσης κάθε 2Τb sec. Αυτά τα άλματα φάσης μπορεί να είναι ±180ο ή ±90ο. Στο σχήμα 3 εικονίζονται οι τρεις αυτοί τύποι σημάτων PSK τεσσάρων φάσεων.

Συμπερασματικά καταλήγουμε ότι υπάρχουν δύο σημαντικές διαφορές ανάμεσα στο QPSK και το MSK:

1. στο MSK η κυματομορφή βασικής ζώνης που πολλαπλασιάζει τα ορθογώνια φέροντα (quadrature carrier) είναι περισσότερο ‘ομαλή’ από την απότομη τετργωνισμένη κυματομορφή του QPSK. Ενώ το φάσμα του MSK έχει έναν κεντρικό λοβό ο οποίος είναι 1.5 φορές ευρύτερος από τον κύριο κεντρικό λοβό του QPSK, οι πλευρικοί λοβοί στο MSK είναι σχετικά πολύ μικρότεροι συγκριτικά με τον κύριο λοβό, καθιστώντας το φιλτράρισμα πολύ ευκολότερο.

2. η κυματομορφή του MSK παρουσιάζει συνέχεια φάσης, δηλαδή, δεν υπάρχουν αλλαγές φάσης όπως στο QPSK. Σαν αποτέλεσμα έχουμε την αποφυγή της αλληλοπαρεμβολής συμβόλων που προκαλείται από μη γραμμικούς ενισχυτές.

Στο σχήμα 4 παρουσιάζονται οι κυματομορφές του MSK. Στην (α) ξεκινούμε με μία αντιπροσωπευτική παλμοσειρά δεδομένων b(t). Η παλμοσειρά αυτή διαιρείται σε μία περιττή και μία άρτια παλμοσειρά στην (b) και τη (c), κατά κάποιον τρόπο όπως στο

29

OQPSK. Η περιττή παλμοσειρά bo(t) αποτελείται από εναλλακτικά bits b1, b3, κ.τ.λ. και η άρτια παλμοσειρά be(t) αποτελείται από τα b2, b4 κ.τ.λ. Κάθε bit και στις δύο παλμοσειρές διατηρείται για διάστημα των δύο bit 2Τb = Ts, το χρόνο συμβόλου. Όπως θα δούμε, η κλιμάκωση είναι σημαντική στο MSK και αποτέλεσμα αυτής είναι ότι οι αλλαγές στην άρτια και την περιττή παλμοσειρά δε συμβαίνουν την ίδια χρονική στιγμή.

Από την πιο πάνω περιγραφή, γίνεται φανερό ότι το CPFSK είναι μία μέθοδος διαμόρφωσης με μνήμη. Η μνήμη προέρχεται από τη συνέχεια φάσης της μεταδιδόμενης φάσης φέροντος από το ένα διάστημα συμβόλου στο επόμενο. Ως αποτέλεσμα των χαρακτηριστικών της συνεχούς φάσης, το φάσμα ισχύος των σημάτων CPFSK είναι στενότερο από ότι το αντίστοιχο των σημάτων FSK στα οποία η φάση επιτρέπεται να μεταβάλλεται απότομα στην αρχή κάθε διαστήματος συμβόλου.

Στο πομπό MSK παράγονται επίσης οι κυματομορφές sin2π(t/4Tb) και cos2π(t/4Tb) όπως στην (d). Αυτές οι κυματομορφές και οι φάσεις τους σε σχέση με τις παλμοσειρές των δεδομένων, πληρούν τις απαραίτητες προϋποθέσεις για να διέρχεται από το μηδέν το sin2π(t/4Tb) ακριβώς στο τέλος της διάρκειας συμβόλου για το be(t) και το cos2π(t/4Tb) να διέρχεται από το μηδέν ακριβώς στο τέλος της διάρκειας συμβόλου για το bo(t). Παράγουμε τώρα και τα γινόμενα be(t)sin2π(t/4Tb) και bo(t)cos2π(t/4Tb) που παρουσιάζονται στα (e) και (f).

Στο MSK το σήμα που μεταδόθηκε είναι

tT

tbPt

T

tbPtu

bos

besMSK 00 sin

42cos2cos

42sin2)(

, (2)

Παρατηρούμε ότι στο MSK τα φέροντα πολλαπλασιάζονται με τις ομαλότερες κυματομορφές που παρουσιάζονται στα (e) και (f). Όπως μπορούμε να αναμένουμε και όπως θα επαληθεύουμε, οι πλευρικοί λοβοί που παράγονται από αυτές τις ομαλότερες κυματομορφές θα είναι μικρότεροι από αυτούς που συνδέονται με τις τετραγωνισμένες κυματομορφές και κατά συνέπεια ευκολότερο να κατασταλούν όπως απαιτείται για την αποφυγή της διακαναλικής παρεμβολής.

Στην παραπάνω εξίσωση το ΜSK εμφανίζεται σαν μία τροποποιημένη μορφή του OQPSK, της οποία μπορούμε και να καλούμε ‘μορφοποιημένο QPSK’.μπορούμε βέβαια να ξαναγράψουμε την παραπάνω εξίσωση για να καταστήσουμε σαφές ότι το MSK είναι ένα σύστημα FSK. Εφαρμόζοντας τις τριγωνομετρικές ταυτότητες για τα γινόμενα των ημιτονοειδών, βρίσκουμε ότι:

ttbtb

Pttbtb

Ptu eos

eosMSK )sin(

2

)()(2)sin(

2

)()(2)( 00

, (3)

όπου Ω=2π/(4Τb).Οπότε αν ορίσουμε CH=(bo+be)/2, CL=(bo-be)/2, ωΗ=ωο+Ω, ωL=ωο-Ω τότε

tCPtCPtu LLsHsMSK sin2sin2)( , (4)

Έτσι ανάλογα με την τιμή των bo, be σε κάθε διάστημα bit, το σήμα που μεταδόθηκε είναι στη γωνιακή συχνότητα ωΗ ή ωL ακριβώς όπως στο FSK και το μέτρο του πλάτους είναι πάντα ίσο με (2Ρs)

1/2.

30

Στο MSK, οι δύο συχνότητες fH και fL επιλέγονται ώστε να εξασφαλίζουν το ότι τα δύο δυνατά σήματα είναι ορθογώνια στο διάστημα ενός bit Tb. Δηλαδή επιβάλλουμε τον περιορισμό:

0sinsin0

tt L

Tb

, (5)

Όπως μπορεί να επαληθευτεί η παραπάνω εξίσωση θα ικανοποιείται εφόσον κανονιστεί για m και n ακεραίους να ισχύει

2π(fH - fL)Tb = nπ 2π(fH + fL)Tb = mπ

31

επιπλέον χρησιμοποιώντας και τις γνωστές από το πρώτο τμήμα της εργασίας σχέσεις fH = fo+ fb/4 fL = fo- fb/4καταλήγουμε στην παρακάτω σχέση

nf

fTfb

bbb 11

και

bo fm

f4

η πρώτη από τις δύο παραπάνω εξισώσεις δείχνει ότι εφόσον n = 1, οι fH και fL είναι οι πλησιέστερες δυνατές για να υπερισχύει η ορθογωνιότητα. Για το λόγο αυτό το παρόν σύστημα καλείται MSK. Η δεύτερη εκ των παραπάνω εξισώσεων δείχνει ότι η συχνότητα φέροντος fo είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της fb/4. Έτσι,

4)1( b

H

fmf

και

4)1( b

L

fmf .

Τα φασματικά χαρακτηριστικά των σημάτων MSKΗ ειδική περίπτωση δυαδικού CPFSK με h=1 / 2 (ή fd=1 / 4Tb) και β=0 αντιστοιχεί σε

MSK όπως ήδη έχουμε πει. Στην περίπτωση αυτή, η φασματική πυκνότητα ισχύος απορρέει από τον τύπο για τη φασματική πυκνότητα ισχύος του CPFSK, που φαίνεται παρακάτω:

M

n

M

n

M

mmnnmnV fAfAfB

MfA

MTfS

1 1 12

2 )()()(2

)(1

)(

όπου

2/)12(

2/)12(sin)(

hMnTf

hMnTffAn

2

)12(sin

MnhTfc

fT

aaTffB nmnm

nm 2cos21

cos)2cos()(

2

)1( Mnmhanm

hM

hM

sin

sin

32

Η σχέση για την φασματική πυκνότητα ισχύος για το MSK λοιπόν είναι:

2

222 161

2cos32)(

Tf

TfEfS s

V

Αντίθετα, η φασματική πυκνότητα ισχύος του SQPSK με ορθογώνιο παλμό gT(t) διάρκειας Τ=2Τb είναι :

2

2

2sin4)(

b

bsV Tf

TfEfS

Οι φασματικές πυκνότητες ισχύος των παραπάνω εξισώσεων φαίνονται (σε dB) στο Σχήμα 5. Παρατηρούμε ότι ο κύριος λοβός του MSK είναι 50% ευρύτερος από ότι εκείνος του SQPSK. Όμως οι πλευρικοί λοβοί του MSK μειώνονται σημαντικά ταχύτερα. Το αποτέλεσμα αυτό έπρεπε να αναμένεται εκτός από την κοντινή περιοχή στην f=0 (ή f=fo), όπου στο QPSK η φασματική πυκνότητα μειώνεται ανάλογα με 1/f2, ενώ στο MSK η φασματική πυκνότητα μειώνεται κατά 1/f4. συνάγεται λοιπόν ότι στο MSK το 99% της ισχύος του σήματος περιλαμβάνεται σε ένα εύρος ζώνης περίπου1.2 fb

ενώ στο QPSK το αντίστοιχο εύρος είναι 8fb. Κατά συνέπεια το MSK είναι σημαντικά πιο αποδοτικό ως προς το εύρος ζώνης από ότι το SQPSK.

33

Παράσταση του MSK στο χώρο σημάτωνΣτο σχήμα 5 παρουσιάζεται η παράσταση του MSK στο χώρο σημάτων. Τα

ορθοκανονικά μοναδιαία διανύσματα του συστήματος συντεταγμένων δίνονται από

tT

us

H sin2

και tT

u Ls

L sin2

. Τα άκρα των τεσσάρων δυνατών

διανυσμάτων των σημάτων σημειώνονται με τελείες. Η μικρότερη απόσταση μεταξύ των σημείων των σημάτων είναι:

bs EEd 42 ακριβώς όπως και στο QPSK.

Θυμίζουμε ότι το QPSK παράγει δύο σήματα BPSK που είναι ορθογώνια μεταξύ τους δυνάμει του γεγονότος ότι τα αντίστοιχα φέροντα έχουν διαφορά φάσης 90ο. μια τέτοια ορθογωνιότητα μπορεί επίσης να χαρακτηριστεί σαν ορθογωνιότητα στο χρόνο εφόσον, σε μία συχνότητα φέροντος fo επιτυγχάνεται μετατόπιση στη φάση κατά π/2 με μετατόπιση στο χρόνο κατά την ποσότητα ¼ fo κι έτσι

sin2πfo(t + ¼ fo) = sin(2πfot + π/2) = cos(2πfot). Αντίθετα είναι ενδιαφέρον να σημειώσουμε ότι στο MSK έχουμε και πάλι δύο BPSK σήματα. Ωστόσο τα αντίστοιχα φέροντα είναι μεταξύ τους ορθογώνια λόγω του γεγονότος ότι είναι ορθογωνικά από πλευράς συχνότητας.

Συνέχεια φάσης στο MSK

34

Ένα πολύ σημαντικό και χρήσιμο χαρακτηριστικό γνώρισμα του MSK, όπως αναφέρθηκε και στην αρχή αυτής της εργασίας, είναι η συνέχεια φάσης του. Συγκεκριμένα στην πρώτη παράγραφο αυτού του κειμένου υποστηρίξαμε και τεκμηριώσαμε ότι το MSK είναι μία ειδική μορφή του CPFSK (FSK σταθερής φάσης) στην οποία ο δείκτης διαμόρφωσης είναι h = ½. Εδώ θα δούμε πιο ανλυτικά την ιδιότητα αυτή του MSK. Η περίπτωση αυτή δείχνεται στο σχήμα .6 στις κυματομορφές (g), (h), (i). Εδώ έχουμε υποθέσει ότι fo = 5fb/4 έτσι που

fH=fo+fb/4=5fb/4+fb/4=1.5fb

και επίσης fL=fo-fb/4=1.0fb.Στις (g) και (h) παρουσιάζονται τα φέροντα συχνοτήτων fH και fL. Βρίσκουμε επίσης από

την (3) ότι για διάφορους συνδυασμούς των bo και be, το sMSK Ptu 2/)( δίνεται στον

πίνακα 1.

be bosMSK Ptu 2/)(

-1 -1 -sin(ωο +Ω)t-1 1 sin(ωο - Ω)t1 -1 -sin(ωο - Ω)t1 1 sin(ωο +Ω)t

Πίνακας 1

Για τις ακολουθίες των bit bo και be στο σχήμα 6 (b) και (c), η αντίστοιχη κυματομορφή uMSK(t) παρουσιάζεται στο (i). Για τιμές των bo και be πινακοποιούνται στην (i) για τα διαστήματα καθενός bit. Σημειώνουμε, φυσικά, ότι λόγω της κλιμάκωσης, τα bo και be δεν αλλάζουν συγχρόνως. Η κυματομορφή για την uMSK(t) παράγεται κατά τον ακόλουθο τρόπο:

Σε κάθε διάστημα ενός bit καθορίζουμε από την εξ. 5 ή τον πίνακα που παρουσιάζεται παραπάνω, πότε να χρησιμοποιήσουμε φέρον συχνότητας fH ή συχνότητας fLκαι επίσης εάν πρόκειται να αντιστραφεί η κυματομορφή του φέροντος ή όχι. Έχοντας κάνει έναν τέτοιο καθορισμό, η κυματομορφή της uMSK(t) είναι το ένα ή το άλλο φέρον, αντιστραμμένο ή όχι, σε αυτό το ίδιο διάστημα ενός bit. Παρατηρούμε τώρα ότι η uMSK(t) είναι ‘ομαλή’ και δεν παρουσιάζει απότομες αλλαγές στη φάση. Συνεπώς, στο MSK αποφεύγουμε τη δυσκολία που περιγράφηκε πιο πάνω, η οποία προκύπτει από τις απότομες αλλαγές φάσης στην κυματομορφή του QPSK. Θα δείξουμε τώρα ότι η συνέχεια φάσης είναι ένα γενικό χαρακτηριστικό του MSK. Για το σκοπό αυτό παρατηρούμε από τον παραπάνω πίνακα ότι η κυμαρομορφή uMSK(t) της εξ. 3 ή της εξ. 4 μπορεί να γραφεί

ttbtbtPtbtu eosoMSK )()(sin2)()( , (6)

Η ισοδυναμία των εξισώσεων 3 και 4 και της 6 μπορεί να στηριχθεί συγκρίνοντας τις δύο σε κάθε μία από τις τέσσερις περιπτώσεις που αντιστοιχούν σε bo(t) = ±1 και be(t) = ±1. Ας στρέψουμε τώρα την προσοχή μας στην στιγμιαία φάση φ(t) του ημιτονοειδούς της εξ. 6 όπου

35

ttbtbtt eo )()()( , (7)

Για ευκολία παριστούμε την φάση σαν φ+(t) και φ-(t) όπου

φ+(t) = (ωο +Ω)t , bo(t)be(t) = +1 φ-(t) = (ωο - Ω)t , bo(t)be(t) = -1

Στο σχήμα 6 έχουμε παραστήσει γραφικά τις φ+(t) και φ-(t).

Ο όρος bo(t)be(t) στην εξ. 6 μπορεί να αλλάξει στις χρονικές στιγμές kTb όπου κ: ακέραιος. Οπότε ο bo(t)be(t) αλλάζει από +1 σε –1 και αντίστροφα, παρατηρούμε από το σχήμα 6 ότι υπάρχει μία απότομη αλλαγή φάσης στη φ(t) μέτρου 2ΩkTb = kπ. Στο σχήμα παρουσιάζονται η εμφάνιση και τα μέτρα αυτών των απότομων αλλαγών. Θυμίζουμε τώρα ότι οι bo(t) και be(t) δεν αλλάζουν την ίδια χρονική στιγμή και ότι αν αλλάζει η bo(t), αλλάζει σε χρόνους t = kTb με k: περιττό, ενώ η be(t) μπορεί να αλλάξει μόνο όταν το k είναι άρτιος. Θεωρούμε λοιπόν, πρώτα μία αλλαγή στην bο(t). Μια τέτοια αλλαγή θα επιφέρει μία αλλαγή στη φάση πολλαπλάσια του 2π, που ισοδυναμεί με καθόλου αλλαγή. Θεωρούμε στη συνέχεια το αποτέλεσμα μιας αλλαγής στην be(t). Στην περίπτωση αυτή η αλλαγή της φάσης στην φ(t) θα είναι ένα περιττό πολλαπλάσιο του π, δηλαδή, η αλλαγή φάσης ισοδυναμεί με π. Αλλά τώρα επιστρέφοντας στην εξίσωση 6 λαμβάνουμε υπόψη

τον συντελεστή του bo(t) που πολλαπλασιάζει το )](sin[2 tPs . Οπότε υπάρχει αλλαγή

στην bo(t) για να αλλάξει η φάση φ(t) κατά π, ο συντελεστής bo(t) θα αλλάξει επίσης

36

πρόσημο, επιστρέφοντας μία πρόσθετη αλλαγή στη φάση κατά π. Συνεπώς, μία αλλαγή στην bo(t) δεν παράγει τελικά ασυνέχεια στη φάση.

Έτσι, έχουμε αποδείξει ότι η εξίσωση 7 εξασφαλίζει τη συνέχεια φάσης που επιδιώκαμε.

Παραγωγή και λήψη του MSKΈνας τρόπος για να παράγουμε ένα σήμα MSK είναι ο ακόλουθος:Ξεκινούμε με το sinΩt και το sinωοt και χρησιμοποιούμε τις μετατοπίσεις φάσης των

90ο για να παράγουμε sin(Ωt + π/2) = cosΩt και sin(ωοt + π/2) = cosωοt. Μετά χρησιμοποιούμε πολλαπλασιαστές για να σχηματίσουμε τα γινόμενα sinΩt cosωοt και

cosΩt sinωοt. Πρόσθετοι πολλαπλασιαστές παράγουν [ s2 be(t) sinΩt cosωοt ] και

[ s2 bo(t) cosΩt sinωοt ]. Τελικά χρησιμοποιείται ένας αθροιστής για να σχηματίσει το

άθροισμα όπως απαιτείται από την εξίσωση (2). Στο σχήμα 7(α) παρουσιάζεται μια εναλλακτική και περισσότερο προτιμώμενη διάταξη. Η αξία αυτής τεχνικής έγκειται στο ότι αποφεύγεται η ανάγκη για μετατοπίσεις φάσης των 90ο ακριβώς, στις γωνιακές συχνότητες ωο και Ω.

Στο σχήμα 7(β) παρουσιάζεται ο δέκτης MSK. Η ανίχνευση πραγματοποιείται σύγχρονα, δηλαδή, προσδιορίζοντας τη συσχέτιση του σήματος που λαμβάνεται με την κυματομορφή x(t)= cosΩt sinωοt για να καθοριστεί το bit bo(t) και με το y(t)= =sinΩt cosωοt για να καθοριστεί το bit be(t). Όπως συνιθίζεται τέτοια συσχέτιση πραγματοποιείται με πολλαπλασιασμό και ολοκλήρωση στο διάστημα συμβόλου. Οι ολοκληρωτές ολοκληρώνουν σε κλιμακωτά επικαλυπτόμενα διαστήματα διάρκειας συμβόλου Τs=2Τb. Στο τέλος κάθε χρόνου ολοκλήρωσης, η έξοδος του ολοκληρωτή αποθηκεύεται και στη συνέχεια αποβάλλεται.(η αποβολή – εκφόρτιση δεν φαίνεται επακριβώς στο σχήμα). Ο διακόπτης της εξόδου μετάγεται πίσω και μπροστά με ρυθμό bit έτσι ώστε τελικά η κυματομορφή εξόδου να είναι η αρχική παλμοσειρά δεδομένων.

37

Για να κάνουμε το δέκτη αποτελεσματικό χρειάζεται φυσικά να επανακτήσουμε τις κυματομορφές x(t) και y(t). Στο σχήμα 8 παρουσιάζεται μια μέθοδος για τοπική αναπαραγωγή των x(t) και y(t). Από την εξ. 4 παρατηρούμε ότι το MSK συνίσταται από την μετάδοση ενός από δύο δυνατά σήματα BPSK το πρώτο συχνότητας ωο-Ω και το δεύτερο συχνότητας ωο+Ω. Έτσι όπως και στην ανίχνευση του BPSK, υψώνουμε στο τετράγωνο πρώτα και φιλτράρουμε το εισερχόμενο σήμα. Η έξοδος της βαθμίδας ύψωσης στο τετράγωνο έχει φασματικές συνιστώσες στη συχνότητα 2ωΗ=2(ωο+Ω) και στη 2ωL=2(ωο-Ω). αυτές διαχωρίζονται με ζωνοπερατά φίλτρα. Η διαίρεση με το 2 δίνει τις κυματομορφές ½ sinωΗt και ½ sinωLt από τις οποίες όπως δεικνύεται, οι x(t) και y(t) παράγονται με πρόσθεση και αφαίρεση αντίστοιχα. Επιπλέον, ο πολλαπλασιαστής και το χαμηλοπερατό φίλτρο που φαίνονται, αναπαράγουν την κυματομορφή με ρυθμό συμβόλου fs=fb/2 που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για λειτουργούν οι διακόπτες του σχήματος 7-β που πραγματοποιούν δειγματοληψία.

38

Πιθανότητα σφάλματος για gaussian θόρυβοΑναφερόμενοι στο σχήμα 5 βλέπουμε ότι η διαμόρφωση MSK χρησιμοποιεί σύγχρονη

ανίχνευση για να διαχωρίζει τις άρτιες και τις περιττές σειρές bit. Επιπλέον το διάστημα συσχέτισης είναι 2Τb όπως και στο QPSK. Έτσι από κάθε άποψη ο σύγχρονος ανιχνευτής (συσχετιστής) θα μπορούσε να επεξεργάζεται ένα σήμα QPSK παρά ένα σήμα MSK. Επομένως, θα αναμέναμε ότι η πιθανότητα λάθους του MSK θα ήταν η ίδια όπως η πιθανότητα λάθους στο QPSK (θεωρούμε γκαουσσιανό θόρυβο μέσης τιμής μηδέν):

bebeb

EerfcQPSKPMSKP

2

1)()(

Για να δείξουμε ότι πράγματι έτσι συμβαίνει, ας αναφερθούμε στην αναπαράσταση του MSK στο χώρο σημάτων που φαίνεται στο σχήμα 6. Εκεί βλέπουμε ότι d2=4Eb και επομένως ο ρυθμός των εσφαλμένων συμβόλων του MSK είναι

be

Eerfc

derfcMSKP

42

12)(

2

και επομένως ο ρυθμός των εσφαλμένων bit του MSK είναι

beeb

EerfcMSKPMSKP

2

1)(

2

1)( , όπως αναμενόταν.

39

Πρόβλημα 1

Δίδονται παρακάτω σε ενα κοινό μονόπλευρο διάγραμμα, προς σύγκριση, οι κανονικοποιημένες φασματικές πυκνότητες ισχύος των ψηφιακών διαμορφώσεων QPSKκαι MSK, όπου τα εμβαδά κάτω από τις αντίστοιχες καμπύλες =1 όπως φαίνεται στο παρακάτω ολοκλήρωμα (Eb = Ενέργεια ανά bit και fb = ρυθμός bits σε bps) :

1)(2

0

dffGEb

1. Τι αντιπροσωπεύουν στο διάγραμμα τα ακόλουθα ολοκληρώματα ;

bf

b

dffGE

5,0

0

)(2

για QPSK και bf

b

dffGE

75,0

0

)(2

για MSK

2. Συγκρίνετε την κατάληψη φάσματος των δύο διαμορφώσεων QPSK και MSKλαμβάνοντες υπόψιν τις παρακάτω σχέσεις :

99,0)(2

4

0

bf

b

dffGE

για QPSK και 99,0)(2

6,0

0

bf

b

dffGE

για MSK

3. Ποιά διαμόρφωση έχει σαφές πλεονέκτημα ως προς την οικονομία φάσματος, και τι θα λέγατε για τα ολοκληρώματα της 1., για το εάν αποτελούν ασφαλείς ή μη ενδείξεις κατάληψης φάσματος ;

Πρόβλημα 2 : Χωρητικότητα Καναλιού και Ψηφιακές Διαμορφώσεις

40

Σε ένα τηλεπικοινωνιακό ψηφιακό κανάλι, ο λόγος σήματος-θορύβου S/N=25 dB, το εύρος ζώνης θορύβου Βn=30 KHz, και ο επιλεγείς ρυθμός μετάδοσης Rb σε bps είναι το 80% της χωρητικότητος καναλιού. a) Να ευρεθεί ο αριθμός των bits/σύμβολο, ώστε το εύρος ζώνης ΒΜ του πρώτου

φασματικού λοβού της διαμόρφωσης να είναι ΒΜ Βn, εάν η χρησιμοποιούμενη διαμόρφωση είναι QASK, και

b) να ευρεθεί ο αριθμός των συμβόλων σε ένα διάγραμμα αστερισμού.c) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα αστερισμού μιας διαμόρφωσης QASK με Ν=4

bits/σύμβολο με κώδικα Gray. Τι επιτυγχάνει ο κώδικας Gray;d) Εάν η κανονικοποιημένη ενέργεια ανά bit είναι Εb και οι ελάχιστες αποστάσεις

μεταξύ συμβόλων στο διάγραμμα αστερισμού για 3 διαμορφώσεις παρατίθενται στον ακόλουθο πίνακα :

QPSK 16-PSK 16-QASK

d=2Eb d=20,15Eb d=20,4Eb

να συγκριθούν οι ρυθμοί εσφαλμένων bit (BER, bit error rate) για τις 3 διαμορφώσεις. Εάν λάβουμε υπόψη και τον ρυθμό μετάδοσης bit Rb ποιά διαμόρφωση αναδεικνύεται σαν η καλύτερη επιλογή για ένα μόντεμ ;

Σημ.: Η BER είναι ανάλογη της μονοτόνως φθίνουσας συνάρτησης erfc(d2/No), όπου Νο = φασματική πυκνότητα ισχύος λευκού θορύβου.

1

Σχολή

Ναυτικών

∆οκίμων ∆’

Τάξη

Γ. Βαρδούλιας

Εισαγωγή

στις

∆ιαμορφώσεις

2

ΠεριεχόμεναΑναλογικές

Ψηφιακές

•

Αναγκαιότητα

διαμόρφωσης•

ΑΜ

διαμόρφωση

•

FM-PM διαμόρφωση•

ASK διαμόρφωση

•

FSK διαμόρφωση•

BPSK διαμόρφωση

•

QPSK διαμόρφωση

3

Αναγκαιότητα

ύπαρξης

διαμόρφωσηςΑναγκαίο

μήκος

κεραίας

L προκειμένου

να

εκπέμψει

ή

να

λάβει

ένα

σήμα

μήκους

κύματος

λ:

L~λ/2

Για

την

ανθρώπινη

φωνή

μπορούμε

να

θεωρήσουμε:

-

μέση

συχνότητα

f=3kHz

-

άρα

λ=c/f=3•108/3•103=100 km

Επομένως

θα

χρειαζόταν

κεραία

μήκους

~ 50

km για να εκπεμφθεί !

Έτσι

για

κάθε

ασύρματη

εκπομπή

χρησιμοποιούμε

ένα

ημιτονοειδές

σήμα μεγάλης

συχνότητας, γνωστό

ως

Φέρουσα

(συχνότητα), διεθνώς

Carrier,

«πάνω»

στο

οποίο

«απεικονίζουμε», με

κάποιο

τρόπο, το

πληροφοριακό σήμα.

Η

«απεικόνιση»

αυτή

λέγεται

διαμόρφωση.

4

Τύποι

διαμόρφωσηςΑναζητούμε

παραμέτρους

της

φέρουσας

οι

οποίες

να

μπορούν

να

μεταβληθούν

και

οι

μεταβολές

τους

να

αντιστοιχούν

στις

μεταβολές

του πληροφοριακού

σήματος. Έχουμε

3 επιλογές: πλάτος, συχνότητα, φάση

και

προκύπτουν

3 αντίστοιχες

οικογένειες

διαμορφώσεων.

c(t) = Ac •cos[2πfc

t + φ]

πλάτος συχνότητα φάση

Οι

διαμορφώσεις

διακρίνονται

ακόμα

σε

Αναλογικές

και

Ψηφιακές

ανάλογα

με το

αν

το

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ

σήμα

είναι

αναλογικό

ή

ψηφιακό

αντίστοιχα.

ΠΡΟΣΟΧΗ

!!! Το

εκπεμπόμενο

σήμα

από

την

κεραία

είναι

πάντα

αναλογικό.

Οι

ψηφιακές

διαμορφώσεις

απεικονίζουν

ψηφιακά

σήματα

στη

φέρουσα. Το τελικό

διαμορφωμένο

σήμα

είναι

όμως

αναλογικό

!

5

Φασματική

μετατόπιση

Το

διαμορφωμένο

σήμα

έχει

εύρος

ζώνης

n•W

το

οποίο

σχετίζεται

με

το αρχικό

W με

τρόπο

που

καθορίζεται

από

την

διαμόρφωση

και

βρίσκεται

στη

περιοχή

της

φέρουσας

fc

.

fc

0

∆ιαδικασία

διαμόρφωσης

Αρχικό

σήμα

ή

σήμα

βασικής

ζώνης

(Baseband)

∆ιαμορφωμένο

σήμα

(Passband)

fW n•W

6

∆ιαμόρφωση Πλάτους - ΑΜ -

7

Βασικά

στοιχεία

ΑΜ•

ΑΜ

= Amplitude Modulation.

•

Η

AM είναι

η

απλούστερη

αναλογική

διαμόρφωση.•

Η

πληροφορία

μεταβάλει

το

πλάτος

της

φέρουσας.

•

Η

διαμόρφωση

της

φέρουσας

γίνεται

με

απλό

πολ/σμό

(μίξη) με

το πληροφοριακό

σήμα.

Σήμα

πληροφορίας

(π.χ. φωνή ή εικόνα). Άξονες: x

= χρόνος, y = τάση

ΑΜ

διαμορφωμένη

φέρουσαμε

βάση

το

σήμα

πληροφορίας.

Άξονες: x

= χρόνος, y = τάση

Το

πλάτος

της

διαμορφωμένης

φέρουσαςλέγεται

περιβάλλουσα

(Envelope)

8

Frequency

BasebandBandwidth

fc

Passband Bandwidth

BasebandSpectrum

fm-fm fc+fmfc-fm

Βασική

ΑΜ

διαμόρφωση

(DSB-AM)• Double Side Band AM = AM

διπλής

πλευρικής

ζώνης.

• Εξίσωση

διαμορφωμένου

σήματος:

s(t) =

όπου

m(t) = πληροφορία, c(t)=Ac•cos(ωct)

η

φέρουσα

και

Κ= ευαισθησία πλάτους.

•

Πρέπει

|K•m(t)|<1, για

κάθε

t, αλλιώς

έχουμε

υπερδιαμόρφωση

όπου

η πληροφορία

αλλοιώνεται

λόγω

της

διαμόρφωσης.

•

|K•m(t)|max

= ποσοστό

διαμόρφωσης

(100% το

μέγιστο

αποδεκτό

για

να

μην έχουμε

υπερδιαμόρφωση).

• Μετασχηματισμός

Fourier: S(f) =

0.5•Ac[δ(f-fc)

+

δ(f+fc) +

K•M(f-fc) + K•M(f+fc)]

Ac[1

+

K•m(t)]cos(ωct)

9

Χρονικές

απεικονίσεις

DSB-AM

K=0.3

K=0.5

K=1 Υπερδιαμόρφωση

(K=2)

• Σήμα: απλό

ημίτονο

συχνότητας

fs

• Φέρουσα: fc=100•fs• ΑΜ

σήμα

για

διάφορα

Κ

Λόγω

υπερδιαμόρφωσης

έχουμεαναστροφή

φάσης

και

αλλοίωση

του

σήματος.

10

Φασματικές

απεικονίσεις

DSB-AM• Σήμα: απλό

ημίτονο

100 Hz.

• Φέρουσα:1000 Hz.

• Ίδια

πλάτη.

K=0.3

K=1

mcc

mc

PPPPP

+=η

Μεγάλο

μέρος

της

διαθέσιμης ισχύος

καταναλώνεται

στην εκπομπή

της

φέρουσας. Η

απόδοση της

διαμόρφωσης

δίνεται

από

τη σχέση:

όπου

Pc=ισχύς

φέρουσας

και Pm=ισχύς

του

πληροφοριακού σήματος. Αν

το

σήμα

είναι

ημίτονο προκύπτει:

max1 ή 33.3%3η =

Μεγάλη

σπατάλη

ενέργειας

!!!

11

Φασματικές

απαιτήσεις

DSB-AM

Αν

το

πληροφοριακό

σήμα

έχει

εύρος

βασικής

ζώνης

(baseband) W τότε

το ΑΜ

διαμορφωμένο

σήμα

(passband) απαιτεί

εύρος

2W όπως

φαίνεται

στο

σχήμα.

Frequency

BasebandBandwidth

fc

Passband Bandwidth

BasebandSpectrum

fm-fm fc+fmfc-fm

πληροφοριακό

σήμαΑΜ

διαμορφωμένο

σήμα

W →

2W

12

ΑΜ

με

καταπιεσμένο

φέρον

(DSBSC-AM)• DSBSC=Double Side Band Suppressed Carrier.• Εξίσωση

διαμορφωμένου

σήματος:

s(t) = Ac •

m(t)cos(ωc

t).• Μετασχηματισμός

Fourier: S(f) =

0.5•Ac

[M(f-fc

) + M(f+fc

)].•

∆εν

σπαταλάμε

ισχύ

για

τη

μετάδοση

της

φέρουσας, οι

φασματικές

απαιτήσεις

είναι

και

εδώ

2W.

Frequency

BasebandBandwidth

fc

Passband Bandwidth

BasebandSpectrum

PassbandSpectrum

Upper SidebandLower Sideband

fm-fm fc+fmfc-fm

13

ΑΜ

απλής

πλευρικής

ζώνης

(SSB-AM)

Frequency

BasebandBandwidth

fc

Passband Bandwidth

BasebandSpectrum

PassbandSpectrum

Upper SidebandLower Sideband

fm-fm fc+fmfc-fm

F1 F2

• SSB= Single Side Band.• Είναι

η

βασική

διαμόρφωση

σε

ασύρματους

HF (στρατιωτική

χρήση).

• Ζώνη

πάνω

από

τη

φέρουσα: Upper Side Band ή

USB.• Ζώνη

κάτω

από

τη

φέρουσα: Lower Side Band ή

LSB.

• Το

απαιτούμενο

εύρος

ζώνης

μετάδοσης

είναι

W.•

Με

χρήση

ζωνοπερατών

φίλτρων

F1 ή

F2

στον

πομπό

μπορούμε

να μεταδώσουμε

την

μια

από

τις

δύο

ζώνες

(εξοικονόμηση

φάσματος).

14

Μαθηματική

περιγραφή

SSB-AM (1)•

Μετασχηματισμός

Hilbert:

μεταβάλλει

τη

φάση

του

εισερχόμενου

σήματος

κατά +90ο

για

αρνητικές

τιμές

της

συχνότητας

(ω<0) και

κατά

-90ο

αν

ω>0.

• Πρακτικά

μετατρέπει

το

συνημίτονο

σε

ημίτονο

εισάγοντας

διαφορά

φάσης

±π/2.

cos sin cos sin coswt wt wt wt wt→ → − → − →

v(t)

t

f Frequency

[V]

Real

[V]

Q+

Q-

Spectral Amplitude Magnitude Spectrum

A/2A/2A/2

A/2

-f +f

cos(ωt)

v(t)

t

f

A/2 A/2

Real

[V]

Frequency

[V]

Magnitude Spectrum

-f +fQ+

Q-

A/2 A/2

Spectral Amplitude

sin(ωt)

Real

[V]

A/2A/2

+90°

-90° Q+Q-

Hilbert

Μετατροπή

σε sin

15

Μαθηματική

περιγραφή

SSB-AM (2)Αποδεικνύεται

ότι

το

SSB διαμορφωμένο

σήμα

s(t) ενός

πληροφοριακού

σήματος

m(t) δίνεται

από

τη

σχέση:

m(t)^όπου ο

μετασχηματισμός

Hilbert του

m(t).

m t t m t tc c( ) cos( ) ( )sin( )^

= ±ω ωs(t)USB με

το

-

LSB με

το

+

12 ( ( ) ( ))M Mc cω ω ω ω− + +

12 j c cM j M j( ( )( ) ( )( )ω ω ω ω− − + +

m t tc( ) cos( )ω

m t tc( )sin( )^

ω

Fourier

Fourier

Επίσης

ισχύει:

16

∆ιαμορφωτές

DSB-AM

Φίλτρο

x

Ac cos wct

m(t)

Message signal

The carrier

xModulationIndex, k

+k m(t) Ac cos wct

Ac (1+ k m(t))cos wct

∆ιαμορφωτής

γινομένου

Πραγματική

κυκλωματική

διάταξη

Μη

γραμμικό

στοιχείο

(τετραγωνιστής)

• Uout

=a1

Uin

+a2

U2in

•

Φίλτρο

= ζωνοπερατό

εύρους

2W γύρω

από

την

fc

∆ιαμορφωτής

τετραγωνισμού

17

Αποδιαμορφωτής

περιβάλλουσας

DSB-AM

Αποδιαμορφωτής

περιβάλλουσας

LPF φίλτρο

εξομάλυνσης

Συνθήκη

αποδιαμόρφωσης: 1/fc

<<R1

C1

<<1/W

18

Αποδιαμορφωτής

τετραγωνικού

νόμου

DSB-AM

• Uout

=a1

Uin

+a2

U2in

• Uin

=λαμβανόμενο

ΑΜ

σήμα

= Ac

[1

+

K•m(t)]cos(ωc

t)

• Φίλτρο

= Βαθυπερατό

εύρους

W

•

Στη

βασική

ζώνη

εμφανίζονται

συνιστώσες

συχνότητας

που

οφείλονται στον

όρο

[Ac

K•m(t)]2/2. Οι

συνιστώσες

αυτές

είναι

ουσιαστικά

παρεμβολές οι

οποίες

είναι

αποδεκτές

αν

|K•m(t)|<<1, δηλαδή

για

μικρά

μόνο

Κ.

Μη

γραμμικό

στοιχείο

(τετραγωνιστής)

19

c(t)=Ac cos(wt)

m(t)

s(t)=m(t) Ac cos(wt)s(t)=m(t) Ac cos(wt) + Ac cos(wt)

c(t)= -Ac cos(wt)

-m(t)

s(t) = m(t) Ac cos(wt)

s(t)= m(t) Ac cos(wt) - Ac cos(wt)

s(t)= 2 m(t) Ac cos(wt)

m(t) OSC +

X

XHilbertTrans-former

Ac cos(wt)

Ac sin(wt)

m(t) Ac cos(ωt)

m(t) Ac sin(ωt)

∆ιαμορφωτές

DSBSC και

SSBDSBSC

SSB

s(t) (δες

σελ. 13)

m t tc^

( ) sin( )ωAc

20

Απαιτούμενη

Ισχύς

AM σημάτων

• DSB-AM: Ptot

=Pc

+K2Pc

Pm

• DSBSC-AM: Ptot

=Pc

Pm

• SSB-AM: Ptot

=0.5•Pc

Pm

όπου

Ptot

= ολική

ισχύς

διαμορφωμένου

σήματος,

Pc = ισχύς

φέρουσας

=0.5•A2c

Pm

= ισχύς

σήματος

πληροφορίας

m(t)

21

∆ιαμόρφωση Συχνότητας - FΜ -

22

∆ιαμόρφωση

Γωνίας

(FM και

PM)

• Αν s(t) = Ac•cos[2πfct + φ(t)], τότε

η

στιγμιαία

συχνότητα

δίνεται

από

την:

• Αν

m(t) το

σήμα

πληροφορίας

τότε: PM:

→ φ(t)=kp•m(t)

FM:

→ fi(t)-fc=kf•m(t)=

Γωνία

θ(t) της

φέρουσας

dttdf

dttdtf ci

)(21)(

21)( φ

πθ

π+==

dttd )(

21 φπ ∫+=

t

fci dmktft0

)(22)( ττππθ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∫

t

fcc dmktfAts0

)(22cos)( ττππΆρα

FM διαμορφωμένο

σήμα:

• ∆fmax=kf

•max[|m(t)|]

→

Μέγιστη

απόκλιση

συχνότητας

σε

FM σήματα

• βf

=∆fmax/W →Δείκτης

διαμόρφωσης

(W = εύρος

ζώνης

του

m(t))

23

Κυματομορφές

FM

24

Επίδραση

του

kf

FFT

Καθώς

αυξάνει

το

kf

, αυξάνει

και

το

απαιτούμενο

φασματικό εύρος

για

την

μετάδοση

του

FM σήματος.

25

Φασματικά

χαρακτηριστικά

της

FM

(1)Για σήμα πληροφορίας m(t) = Am

sin(2πfm

t)

προκύπτει

ότι

διαμορφωμένο

σήμα s(t) είναι:

s(t)=

J0(β) J1(β)J2(β) J3(β)

Η

FM διαμόρφωση

δημιουργεί

άπειρα

ζεύγη

συχνοτήτων

n•fm

συμμετρικά

ως προς

τη

φέρουσα. Κάποια

από

αυτά

έχουν

σημαντικό

πλάτος

ανάλογα

με

το

β

και

το

n.

Συναρτήσεις

Bessel 1ου

είδους

Τα

μήκη

των

διανυσμάτων

δεν

αντιστοιχούν

στα

πλάτη

των

cos(ωc

+n•ωm)t

όπως

αυτά

δίνονται

από

τις

Bessel

26

β

β

β

β

Φασματικά

χαρακτηριστικά

της

FM

(2)

β< 0.2, FM στενής

ζώνης

> 0.2, FM ευρείας

ζώνης

Για

να

υπολογίσουμε

κατά

προσέγγιση

το

εύρος

ζώνης

FM σήματος

χρησιμοποιούμε

τον

Κανόνα

του

Carson:

Βfm

=2(β+1)W

όπου

W το

εύρος

ζώνης

του

πληροφοριακού

σήματος

και

Βfm

το

εύρος

ζώνης

του

διαμορφωμένου

σήματος. Είναι

φανερό

ότι

η

FM διαμόρφωση

έχει

μεγάλες

φασματικές

απαιτήσεις.

27

Μέθοδοι

FM

διαμόρφωσης

Άμεση

FM

Έμμεση

FM

Ολοκληρωτής ΠολλαπλασιαστήςΣυχνότητας

ΚρυσταλλικόςΤαλαντωτής

∆ιαμορφωτήςΦάσης

Στενής

Ζώνης

Στην

έμμεση

μέθοδο, το

πληροφοριακό

σήμα

m(t) πρώτα

ολοκληρώνεται

και

στη

συνέχεια

χρησιμοποιείται

για

να

διαμορφώσει

κατά

φάση

έναν

ταλαντωτή. Για

να

ελαχιστοποιήσουμε

την

παραμόρφωση, που

πάντα

υπάρχει

στον

διαμορφωτή

φάσης

ο

δείκτης

διαμόρφωσης

επιλέγεται

μικρός, καταλήγοντας

με

αυτόν

τον

τρόπο

σε

κυματομορφή

FM στενής

ζώνης. Το

σήμα

αυτό

στη

συνέχεια

πολλαπλασιάζεται, μέσω

ενός

πολλαπλασιαστή

συχνότητας, έτσι

ώστε

να

παράγει

την

επιθυμητή

κυματομορφή

FM ευρείας

ζώνης

FM σήμα

m(t)

Σε

σύστημα

άμεσης

διαμόρφωσης

FM, η στιγμιαία

συχνότητα

του

φέροντος

μεταβάλλεται

απευθείας

με

το

πληροφοριακό

σήμα

m(t), μέσω

μιας

διάταξης

που

είναι

γνωστή

σαν

ταλαντωτής

ελεγχόμενος

από

τάση

(Voltage-Controlled

Oscillator, VCO). Πρόκειται

για

ταλαντωτές, των

οποίων

η

συχνότητα

εξαρτάται-

ελέγχεται

από

το

m(t). Γενικά, η

ιδέα

της

άμεσης

μεθόδου

είναι

η

μεταβολή

της

χωρητικότητας

ενός

συντονισμένου

κυκλώματος.

Χρησιμοποιούνται

πυκνωτές

των

οποίων

η

χωρητικότητα

εξαρτάται

από

την

εφαρμοζόμενη

τάση

(varactor

ή

varicap) όπως

το

στοιχείο

D2 στο

διπλανό

κύκλωμα

28

Υπάρχουν

οι

εξής

βασικές

τεχνικές

FM αποδιαμόρφωσης

:

• ∆ιευκρίνιση

συχνότητας• Ανίχνευση

μηδενισμών

• Χρήση

PLL• Ορθογωνική

φώραση

(Quadrature

detection)

FM σε

AMμετατροπέας

AMαποδιαμόρφωση

AM σήμαFM σήμα έξοδος

f

V

σε

πρόσφατους

δέκτες

σε

παλαιότερους

δέκτες

∆ιευκρίνιση

συχνότητας:

μετατροπή

της

FM σε

AM

και

στη

συνέχεια

AM αποδιαμόρφωση. Αυτό

επιτυγχάνεται

με

τη

χρήση

κυκλωμάτων

τα

οποία

μετατρέπουν

τις

μεταβολές

της

συχνότητες

σε

αντίστοιχες

μεταβολές

του

πλάτους

εξόδου

τους. Τα

κυκλώματα

αυτά

ονομάζονται

διευκρινιστές και

έχουν

την

εξής

χαρακτηριστική

καμπύλη:

Μέθοδοι

FM

αποδιαμόρφωσης

(1)

29

Ο

απλούστερος

διευκρινιστής

είναι

ο

διαφοριστής

ο

οποίος

δίνει

στην

έξοδό του

την

πρώτη

παράγωγο

του

σήματος

εισόδου.

∆ιευκρινιστήςy(t) dy/dt

Αν

ισχύει: τότε

η

έξοδος

του

διευκρινιστή

είναι

ΑΜ

σήμα

με

περιβάλλουσα:

και

ελαφρώς

μεταβαλλόμενη

συχνότητα. Το

σήμα

αυτό

αποδιαμορφώνεται

από

ΑΜ αποδιαμορφωτή

περιβάλλουσας.

∆ιευκρινιστήςΑποδιαμορφωτής

περιβάλλουσας

AM σήμαFM σήμα έξοδος

Μέθοδοι

FM

αποδιαμόρφωσης

(2)

30

Ισχύς

και

σηματοθορυβικοί

λόγοι

(1)

Σε

αντίθεση

με

την

ΑΜ,

η

FM διαμόρφωση

παράγει

σήμα

σταθερού πλάτους

Αc

της

φέρουσας.

Η

ισχύς

επομένως

ενός

FM σήματος

είναι:

2

2c

FMAP =

∆έκτης

SNRin

SNRoutδ

=

SNRin SNRout

∆είκτης

θορυβικής

αξιολόγησης

δέκτη

(δ)

Μέση

ισχύς

διαμορφωμένου

σήματος

στην

είσοδο

Μέση

ισχύς

θορύβου

στο

εύρος

ζώνης

της

πληροφορίας

στην

είσοδοSNRin

=

Μέση

ισχύς

θορύβου

στο

εύρος

ζώνης

της

πληροφορίας

στην

έξοδοΜέση

ισχύς

αποδιαμορφωμένου

σήματος

στην

έξοδοSNRout

=

31

Ισχύς

και

σηματοθορυβικοί

λόγοι

(2)

δFM

=3kf

2PW2

Αν

Ρ

η

ισχύς

του

πληροφοριακού

σήματος

και

W το

εύρος

ζώνης

του, αποδεικνύεται

ότι

υπό

ορισμένες

συνθήκες

ισχύει:

δAM

=ka

2P1+ka

2PδSSB

= δDSBSC

=1 (για

ομόδυνη

φώραση)

(για

φωρατή

περιβάλλουσας)

AM (ka

=1)

SSB, DSBSC

FM (β=2)

FM (β=5)

Η

FM βελτιώνει

πολύ

την

θορυβική επίδοση

του

συστήματος

σε

σχέση

με

κάθε

ΑΜ

διαμόρφωση, απαιτεί όμως

μεγαλύτερο

εύρος

ζώνης

μετάδοσης.

32

Φαινόμενο

Σύλληψης

(capture effect)•

Εάν

σε

FM δέκτη

φτάνουν

δυο

(ή

περισσότερα) σήματα

με

την

ίδια

ή

πολύ

κοντινή

φέρουσα, ο δέκτης έχει την ικανότητα να

κλειδώνει

στο

πιο

ισχυρό

και

να

καταστέλλει

όλα

τα

άλλα.

Αν

η

ισχύς

των

σημάτων

είναι

περίπου

ίδια

ο

δέκτης παλινδρομεί

μεταξύ

τους. Αυτό

είναι

γνωστό

ως

φαινόμενο

σύλληψης.

•

Το

φαινόμενο

σύλληψης

καθιστά

την

FM ακατάλληλη

για εφαρμογές

όπου

πολλοί

χρήστες

πρέπει

να

χρησιμοποιούν

την

ίδια

συχνότητα

και

να

μπορούν

να

ακούγονται

όλοι ταυτόχρονα

αν

χρειαστεί.

•

Αυτός

είναι

ο

λόγος

που

τα

αεροδρόμια

χρησιμοποιούν

AM διαμόρφωση

για

επικοινωνία

με

τα

αεροσκάφη, ώστε

σε

περίπτωση

κινδύνου

να

μπορεί

να

ακουστεί

οποιαδήποτε κλήση

ακόμα

και

σε

κατειλημμένη

συχνότητα.

33

Προέμφαση

και

αποέμφαση

στην

FMΣτα

συστήματα

FM

έχει

διαπιστωθεί

ότι

η

θορυβική

τους

απόδοση

βελτιώνεται

πάρα

πολύ

αν

το

πληροφοριακό

σήμα, πριν

διαμορφωθεί, περάσει

από

υψιπερατό

φίλτρο

(όπως

αυτό

στο

σχήμα). Στο

δέκτη

περνάει

από

αντίστοιχο

βαθυπερατό

φίλτρο

μετά

την

αποδιαμόρφωση.

FM πομπός: προέμφαση

FM δέκτης: αποέμφαση

Ουσιαστικά

ενισχύονται στον

πομπό

οι

υψηλές ακουστικές

συχνότητες (πάνω

από

1kHz)

οι

οποίες επανέρχονται

στην κανονική

τους

«τιμή»

από το

φίλτρο

αποέμφασης

του δέκτη.

Στη

σελίδα

30 τα

13 dB (από

τα

20.8 dB) σηματοθορυβικής

βελτίωσης

που

προσφέρει η

FM έναντι

της

AM, οφείλονται

στις

διαδικασίες προ/απο-έμφασης.

34

Ψηφιακές ∆ιαμορφώσεις - ΑSK, FSK, BPSK-

35

Το

ψηφιακό

μέρος

των

ψηφιακών διαμορφώσεων

Πληροφορία ∆ιαμόρφωση

Οι

διαμορφώσεις

διακρίνονται

σε

Αναλογικές

και

Ψηφιακές

ανάλογα

με

το

αν το

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ

σήμα

είναι

αναλογικό

ή

ψηφιακό

αντίστοιχα.

ΠΡΟΣΟΧΗ

!!! Το

εκπεμπόμενο

σήμα

από

την

κεραία

είναι

πάντα

αναλογικό.

Οι

ψηφιακές

διαμορφώσεις

απεικονίζουν

ψηφιακά

σήματα

στη

φέρουσα. Το τελικό

διαμορφωμένο

σήμα

είναι

όμως

αναλογικό

!

Πάντα

ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ

Αναλογική ή Ψηφιακή

36

Bits,

σύμβολα

και

baud: BITSBits:

Τα

γνωστά

δυαδικά

ψηφία

0 και

1 τα

οποία

αντιστοιχίζονται

σε

ηλεκτρικούς

παλμούς

προκαθορισμένου

πλάτους, διάρκειας

και

μορφής. Η

διαδικασία

αυτή

είναι

γνωστή

και

ως

μορφοποίηση

παλμού

βασικής

ζώνης

ή

και

σηματοδοσία

βασικής

ζώνης

(baseband signaling) ή κώδικες γραμμής (Line Codes).

NRZ = Non-Return-to-Zero RZ = Return-to-Zero

00

+V

37

Κριτήρια

επιλογής

σχήματος

παλμούΗ

επιλογή

του

σχήματος

παλμού

βασικής

ζώνης

γίνεται

με

βάση

τα

εξής

κριτήρια:

•

Ύπαρξη

DC συνιστώσας:

σε

ορισμένα

συστήματα

δεν

είναι

επιθυμητές

συχνότητες

κοντά

στα

0 Hz. Αν

ο

μέσος

όρος

του

αθροίσματος

των

τάσεων

που

αντιστοιχούν

στα

λογικά

σύμβολα

0,1 είναι

0 τότε

δεν

υπάρχει

DC συνιστώσα

(όπως

π.χ στην NRZ-L)

ενώ

στην

αντίθετη

περίπτωση

υπάρχει

(π.χ

Unipolar

RZ).

•

∆υνατότητα

αυτοχρονισμού: συνήθως

είναι

επιθυμητό

να

μπορεί

ο

δέκτης

να

παράγει

παλμό

διαρκείας

Tb

που

ισούται

με

την

διάρκεια

του

εκπεμπόμενου

παλμού. Τα

σχήματα

παλμού

που

αλλάζουν

την

τάση

(από

0 →±V ή

+V→-V) σε

κάθε

παλμό

(π.χ

Manchester) βοηθούν

την

διαδικασία

χρονισμού

του

δέκτη. Αντιθέτως, στην

NRZ-L για

παράδειγμα, συνεχόμενα

1 ή

0 θα

οδηγήσουν

σε

μη-μεταβολές

της

τάσης

που

δυσχεραίνει

την

διαδικασία

χρονισμού.

•

∆υνατότητα

ανίχνευσης

σφαλμάτων: πέρα

από

την

χρήση

αλγόριθμων

ανίχνευσης

σφαλμάτων

ο

δέκτης

μπορεί

να

ανιχνεύσει

σφάλματα

αν

υπάρχουν

μη

επιτρεπτές

μορφές

λαμβανομένων

παλμών. Για

παράδειγμα

αν

χρησιμοποιούμε

την

RZ-AMI

και

ο

δέκτης

λάβει

τον

παλμό

του

σχήματος

τότε

μπορεί

εύκολα

να

εντοπίσει

το

σφάλμα.

Αδύνατο. Πρέπει

να

είναι

κάποιο

από

τα

διπλανά:

Αν

έχει

σταλεί

1

Αν

έχει

σταλεί

0

•

Εύρος

ζώνης: η

οικονομία

στο

απαιτούμενο

φάσμα

είναι

σημαντική. Η

Bipolar RZ για

παράδειγμα

απαιτεί

διπλάσιο

εύρος

ζώνης

από

την

NRZ-L.

•

Ανοχή

στην

αντιστροφή

πολικότητας: κατά

τη

μετάδοση

του

παλμού

είναι

πιθανό

να

συμβεί

αντιστροφή

πολικότητας

(+V σε

–V ή αντίστροφα). Ο

δέκτης

είναι

καλό

να

παρουσιάζει

ανοχή

στο

φαινόμενο

αυτό, οπότε

σχήματα

παλμού

όπως

το

NRZ-L είναι

ακατάλληλα.

•

Ανοχή

στο

θόρυβο: η

ανοχή

στο

θόρυβο

είναι

βασική

απαίτηση

σε

κάθε

τηλεπικοινωνιακό

σύστημα. Σχήματα

παλμών

όπου

ο

παλμός

που

αντιστοιχεί

στο

λογικό

1 διαφέρει

σημαντικά

από

τον

παλμό

που

αντιστοιχεί

στο

λογικό

0 παρουσιάζουν

καλύτερη

ανοχή

στο

θόρυβο. Για

παράδειγμα

η

NRZ-L είναι

πιο

ανθεκτική

από

την

unipolar

RZ καθώς

οι

παλμοί

που

αντιστοιχούν

στα

λογικά

0 και

1 έχουν

«μεγαλύτερες

διαφορές»

στο

σχήμα

τους.

38

Περίληψη

των

Line Codes

NRZ level (or change)"1" represented by one level"0" represented by other level

NRZ-L+V

-V

+V

+V

+V

+V

+V

+V

+V

+V

+V

+V

+V

-V

-V

-V

-V

-V

-V

-V

-V

-V

0

-V

0 T 2T 3T 6T 7T 8T 9T 10T 11T4T 5T

DecodeNRZ

DelayModulation

Bi-o-S

Bi-o-M

Bi-o-L

RZ-AMI

BipolarRZ

UnipolarRZ

NRZ-S

NRZ-M

DecodeRZ

NRZ Mark"1" represented by a change in level"0" represented by no change in level

NRZ Space"1" represented by no change in level"0" represented by a change in level

Unipolar RZ"1" represented by a 1/2-bit wide pulse"0" represented by no pulse condition

Bipolar RZ"0's" & "1's" represented by opposite level polarpulses that are half-bit wide

RZ AMI"0" represented by no signal; successive "1's"represented by equal amplitude alternating pulses

Bi-phase Level (Manchester II + 180)"1" represented by a "10""0" represented by a "01"

Bi-phase Mark (Manchester I)A transition at beginning of every bit period"1" represented by a 2nd transition 1/2 bit period later"0" represented by no 2nd transition

Bi-phase SpaceA transition at beginning of every bit period"1" represented by a no 2nd transition"0" represented by a 2nd transition one-half bit periodlater

Delay ModulationA "1" to "0" or "0" to "1" changes polarity;otherwise a zero is sent.

Decode NRZA "1" to "0" or "0" to "1" transition produces a halfduration polarity change; otherwise a zero is sent.

Decode RZA "1" represented by a transition at the midpoint of abit interval; a "0" is represented by no transitionunless it is followed by another zero; In this case, atransition is placed at the end of the bit period.

1 10 00011 01 1

39

Bits,

σύμβολα

και

baud: ΣΥΜΒΟΛΑ

•

Σύμβολα:

Είναι

ομάδες

από

bits, το

πλήθος

των

bits που

φτιάχνουν

την

ομάδα

είναι

το μήκος

του

συμβόλου. Αν

συμβολίσουμε

το

σύμβολο

με

S, ισχύει

S =b1

, b2

, …,bm

με

μήκος m. Όλες

οι

ψηφιακές

διαμορφώσεις

αντιστοιχούν

ΣΥΜΒΟΛΑ

σε

αναλογικές

κυματομορφές. Τα

σύμβολα

αυτά

μπορούν

να

έχουν

μήκος

1 οπότε

η

έννοια

του

συμβόλου

ταυτίζεται

με αυτή

του

bit. Οι

διαμορφώσεις

που

αντιστοιχούν

σύμβολα

μήκους

1 (δηλαδή

απλά

bits) σε αναλογικές

κυματομορφές

είναι

γνωστές

ως

δυαδικές

ή

δισταθμικές

διαμορφώσεις

ενώ

αν το

μήκος

συμβόλου

είναι

m>1 λέγονται

πολυσταθμικές

διαμορφώσεις.

•

Baud:Είναι

ο

ρυθμός

μετάδοσης

συμβόλων

(σύμβολα

ανά

sec) και

για

να

υπολογίσουμε

τα bits/sec πρέπει

να

γνωρίζουμε

το

μήκος

m του

συμβόλου.

Στο

σχήμα

φαίνεται

ένα

κομμάτι

ημιτονοειδούς

κυματομορφής. Μια

απλή

δισταθμική

διαμόρφωση

θα

απεικονίσει

ένα

και

μόνο ένα

bit πάνω

σε

αυτό

το

αναλογικό

σήμα. Μια

πολυσταθμική διαμόρφωση

θα

απεικονίσει

περισσότερα

(π.χ

2, 3, 4) bits στην ίδια

κυματομορφή

αυξάνοντας

έτσι

την

ταχύτητα

μετάδοσης, αλλά

ταυτόχρονα

και

την

πιθανότητα

σφάλματος

όπως

θα

δούμε παρακάτω.

Αριθμός

bits ανά

σύμβολοbit

ratesymbol

rate=

40

μέση

τιμή:

διακύμανση: (variance)

Υπενθύμιση: Συνάρτηση

Πυκνότητας

ΠιθανότηταςΈστω

χ τυχαία

μεταβλητή. Η

p(x) είναι

η

συνάρτηση

πυκνότητας

πιθανότητας

(ή

pdf

από

το

probability density function): ολοκληρώνοντας

την

pdf

με

όρια

χ1

και

χ2 υπολογίζουμε

την

πιθανότητα

P

η τυχαία

μεταβλητή

να

πάρει

τιμές

στο

διάστημα

[χ1

, χ2

]. Σημαντικά

μεγέθη

για

κάθε

τυχαία

μεταβλητή

είναι

η

μέση

τιμή

και

η

διακύμανση.pdf

τυχαία

μεταβλητή

με

μεγάλο

στυχαία

μεταβλητή

με

μικρό

σ

Γενίκευση: από

κοινού

pdf

των

μεταβλητών

a, b,…, z

41

Παράδειγμα

υπολογισμού

μέσης

τιμής

και

διακύμανσης τυχαίας

μεταβλητής

∆ίνεται

τυχαία

μεταβλητή

x με

pdf

p(x)

που

φαίνεται

στο

σχήμα. Να

υπολογιστούν

η

μέση

τιμή

και

η

διακύμανση.

Η μέση τιμή χm

είναι:Η διακύμανση σ2

είναι:Λύση

42

Υπενθύμιση: Στοχαστικές

ΑνελίξειςΈστω

Α1

, Α2

, ..., ΑΝ

τυχαία

γεγονότα

π.χ

η

κίνηση

ισάριθμων

αυτοκινήτων

στον

ίδιο

δρόμο

και

x(t1

,Ai

) η ταχύτητα του

αυτοκινήτου

Ai

την

χρονική

στιγμή

t1

. Εμφανίζονται

τρία

διαφορετικά

τυχαία

φαινόμενα:1. Η

εξέλιξη

της

ταχύτητας

του

κάθε

αυτοκινήτου

στον

χρόνο.2.

Η

τιμή

της

ταχύτητας

του

κάθε

αυτοκινήτου

την

χρονική

στιγμή

t1

(δηλαδή

η

τιμή

της

μεταβλητής

x(t1

,Ai

)

για

κάθε

Ai

).3.

Η συνολική τυχαία

διαδικασία

x(t,A)

που

περιλαμβάνει

Ν

τυχαίες

εκδηλώσεις

του

ίδιου

τυχαίου

φαινομένου

(εδώ

η

κίνηση

με

κάποια

ταχύτητα

ενός

αυτοκινήτου

σε

κάποιο

δρόμο, κάποιο

χρονικό

διάστημα).

Η

x(t,A) είναι

μια

τυχαία

διαδικασία

ή

στοχαστική

ανέλιξη

ενώ

η

τιμή

της

ταχύτητας

μια

συγκεκριμένη

χρονική

στιγμή

x1

=x(t1

,Ai

)

για

κάθε

αυτοκίνητο

Ai

είναι

μια

κλασσική

τυχαία

μεταβλητή

η

οποία

θα

έχει

κάποια

pdf.

Για

την

πλήρη

περιγραφή

μιας

στοχαστικής

διαδικασίας

απαιτείται

η

γνώση

της

από

κοινού

pdf

p(x1, x2,…,xk

) για

κάθε

k. Η γνώση αυτής

της

pdf

είναι

συνήθως

αδύνατη

και

έτσι

καταφεύγουμε

σε

μερικές

περιγραφές

των

στοχαστικών

ανελίξεων

που

όμως

μπορούν

να

την

περιγράψουν

ικανοποιητικά. Συνήθως

αρκούν

δύο

ποσότητες: η μέση

τιμή

της

ανέλιξης

και

η

συνάρτηση

αυτομεταβλητότητας

(autocovariance).

43

Υπενθύμιση: χαρακτηριστικά

μεγέθη

στοχαστικών

ανελίξεων

Μια

ανέλιξη

λέγεται

στατική

με

την

ευρεία

έννοια

(Wide Sense Stationary-WSS)

αν

ισχύουν

οι

δύο

παρακάτω

προϋποθέσεις:

Μέση

τιμή

xm

(t1

) ανέλιξης:

Αυτομεταβλητότητα

Rx

(t1 ,t2

) ανέλιξης:

Είναι

φανερό

ότι

η

μέση

τιμή

μπορεί

να

είναι

διαφορετική

για

κάθε

χρονική

στιγμή. Ομοίως

η

αυτομεταβλητότητα

μπορεί

να

είναι

διαφορετική

για

κάθε

διαφορετικό

ζεύγος

χρονικών

στιγμών. Κάτι

τέτοιο

μπορεί

να

περιπλέξει

πάρα

πολύ

την

μαθηματική

περιγραφή

μιας

ανέλιξης. Τα

πράγματα

απλοποιούνται

αν

η

ανέλιξη

είναι

στατική.

Η

πρώτη

σχέση

δηλώνει

ότι

η

μέση

τιμή

παραμένει

σταθερή

για

κάθε

χρονική

στιγμή ενώ η δεύτερη ότι

η

αυτομεταβλητότητα

εξαρτάται

μόνο

από

την

διαφορά

των

χρονικών

στιγμών. Στις

τηλεπικοινωνίες

περιγράφουμε, συνήθως, το

θόρυβο

ως

στατική

στοχαστική

ανέλιξη. Το

πιο

απλό

αλλά

πολύ

χρήσιμο

θορυβικό

μοντέλο

είναι

αυτό

του

ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΟΥ

ΛΕΥΚΟΥ

GAUSSIAN ΘΟΡΥΒΟΥ

(Additive White Gaussian Noise ή

AWGN) στο

οποίο

θα

αναφερόμαστε

απλά

με

τον

όρο

Λευκός

Θόρυβος.

44

Παράδειγμα

υπολογισμού

μέσης

τιμής

και αυτομεταβλητότητας

στοχαστικής

ανέλιξης

∆ίνεται

στοχαστική

ανέλιξη

Α

με

p(x(t1

,A))

για

όλα

τα

t:και:

Να υπολογιστούν

η μέση τιμή και η αυτομεταβλητότητα.

Η μέση τιμή χm

είναι: Η

αυτομεταβλητότητα

είναι:

Λύση

45

Υπενθύμιση: Λευκός

Θόρυβος, pdf

και

cdfpdf

κατανομής

Gauss με

μέση

τιμή

V και

διακύμανση

σ2:

Στο

σχήμα

φαίνεται

η

κατανομή

των

υψών

σε

δείγμα

πληθυσμού

γυναικών

(αριστερά) και

ανδρών

(δεξιά)

Η

cdf

(Cumulative Density Function) F(x) προκύπτει

από

την

ολοκλήρωση

της

pdf

f(x) :

Στο

σχήμα

φαίνεται

η

cdf

της

κατανομής

των

υψών

του

γυναικείου

πληθυσμού.

Η τιμή της cdf

σε

ένα

σημείο

χο

δίνει

την

πιθανότητα

η

τυχαία

μεταβλητή

χ

να

είναι

μικρότερη

από

την

τιμή

χο

. Για

κατανομή

Gauss μέσης

τιμής

μ ισχύει:

όπου:

46

Πολλά

τυχαία

φαινόμενα

σε

όλες

τις

επιστήμες

ακολουθούν

την

κατανομή

Gauss. Αυτό

οφείλεται

στο

Κεντρικό

Οριακό

Θεώρημα

σύμφωνα

με

το

οποίο

το

άθροισμα

(ή

μέσος

όρος

αθροίσματος)

η

τυχαίων

μεταβλητών

προσεγγίζει

Gaussian pdf όταν

n ∞

x

σ1

μ1μ2

σ 2

Gaussian curves with and μ μ σ σ1 2 1 2< =

x

σ1

μ μ1 2=

σ 2

Gaussian curves with and μ μ σ σ1 2 1 2= <

x

σ1

μ2

σ 2

Gaussian curves with and μ μ σ σ1 2 1 2< <μ1

Υπενθύμιση: κατανομή

Gauss

xμ σ+3μ σ−3 μ σ− μ σ+μ

0607. a

af xX ( )

a = 12 2πσ

X N~ ,μ σ 2b g

47

Υπενθύμιση: συναρτήσεις

σφάλματος

Ενώ

η

συμπληρωματική

συνάρτηση

σφάλματος

Q(x)

ορίζεται

ως

εξής:Η

συνάρτηση

σφάλματος

erf(x) ορίζεται

από το ολοκλήρωμα:

48

Η

CDF της

τυχαίας

μεταβλητής

χ

δίνεται

από

την

σχέση: Υπολογίστε

την

πιθανότητα

P[1/2 < X ≤

3/2 ].Λύση:

<

F x

xx x

xX( )

,

= ≤ <

<

0 0

160 2

1 2

4

Παράδειγμα

υπολογισμού

πιθανοτήτων

από

cdf

(1)

4321

1

x

FX(x)

33 [ ]22

1 3 3 12 2 2 2

4 41 13 116 162 2

F P X

P X F FX X

⎛ ⎞ = ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞< ≤ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

49

Παράδειγμα

υπολογισμού

πιθανοτήτων

από

cdf

(2)

[ ] , 0xP e xX x λ−= >>∆ίνεται:

[ ]1 2xP λ λ< ≤Να

υπολογιστεί

η

cdf

F(x)

και

η

πιθανότητα

(για

θετικό

λ):

Λύση

[ ] [ ]( ) 1

1 , 00, 0

X

x

F x P PX x X xe x

x

λ−

= = −≤ >

⎧ − ≥= ⎨

<⎩

( )

1 2 2 1

2 11 11 2

0.233

P X F FX X

e e

e e

λ λ λ λ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞< ≤ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −= − − −− −= −

=

Α)

Β)

50

•

Στο

κανάλι, το

σήμα

υφίσταται

μείωση

ισχύος

(attenuation), χρονική

καθυστέρηση

(time delay) και

προσθετικό

θόρυβο

(additive noise)•

Οι

περισσότερες

αλλοιώσεις, παρεμβολές, κτλ., συνήθως

κατηγοριοποιούνται

σαν θόρυβος

•

Ο

απλούστερος

αλλά

και

σημαντικότερος

τύπος

θορύβου

που

συναντάμε

στα

συνήθη συστήματα

επικοινωνιών

ονομάζεται

«λευκός»

(white noise), n(t), θεωρείται προσθετικός

(additive), και

περιγράφεται

μαθηματικά

από

την

κατανομή

Gauss με φασματική

πυκνότητα

ισχύος

(power spectral density)

Gn

(f)=No/2•

Συμβολίζεται

διεθνώς

με

τα

αρχικά

AWGN

(Additive White Gaussian Noise).

Θόρυβος

στο

κανάλι

AWGN

Πομπός Κανάλι ∆έκτης

+ r(t)

λαμβανόμενο

σήμα

n(t)Θόρυβος

s(t)∆ιαμορφωμένο

σήμαr(t)

= s(t) + n(t)

51

Αυτοσυσχέτιση

ή

Autocorrelation (ACF)•

∆ίνει

το

μέτρο

του

ποσού

ομοιότητας

(συσχετισμού) που

έχει

ένα

σήμα

με

ένα

μετατοπισμένο στο

χρόνο

αντίγραφο

του

εαυτού

του•

Συμβολίζεται

με

•

Ορίζεται

ως

•

Βασικές

μαθηματικές

ιδιότητες:1. είναι

άρτια

συνάρτηση, ισχύει

δηλαδή:2. Παρουσιάζει

μέγιστο

για

τ=0 (δηλαδή

για

μηδενική

χρονική

μετατόπιση):3. Μέση

τετραγωνική

τιμή

σήματος

= ενέργεια

σήματος=αυτοσυσχέτιση

για

τ=0

1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( )XX XX X XR t t R t t R t t Rτ τ= + = =

( ) [ ( ) ( )]XR E X t X tτ τ= +

( ) ( ) ( )XR x t x t dtτ τ∞−∞= +∫

R RX Xτ τ( ) = −( )R RX X0( ) ( )≥ τ

2(0) ( )XR x t dt∞−∞= ∫

Για σήματα ενέργειας*

/ 2 21/ 2(0) ( )T

X T TR x t dt−= ∫Για σήματα ισχύος*

* ∆είτε

επόμενη

διαφάνεια

για

υπενθύμιση

ορισμού

σημάτων

ενέργειας

και

ισχύος

)]([)0( 2 tXERX =

52

Υπενθύμιση: σήματα

ισχύος

και

ενέργειας

Η

ενέργεια

που

καταναλώνει

ένα

σήμα

στο

χρονικό

διάστημα

(-Τ/2, Τ/2) δίνεται

από

την:

και

η

μέση

ισχύς

κατανάλωσης

είναι:

Όταν

Τ

->

το

σήμα

είναι

ενεργειακό αν

και

μόνο

αν

ισχύει: 0 < Εx

< , όπου

Το

σήμα

είναι

ισχύος

αν

και

μόνο

αν: 0 < Px

< , όπου

/ 2 2 2/ 2lim ( ) ( )T

X TTE x t dt x t dt∞

− −∞→∞= =∫ ∫

/ 2 2 2/ 2

1 1lim ( ) ( )T

x TT T TP x t dt x t dt∞

− −∞→∞= =∫ ∫

/ 2 2/ 2 ( )TT

x TE x t dt−= ∫

/ 2 2/ 2

1 1 ( )TT Tx x TT TP E x t dt−= = ∫

∞ ∞

∞

Οι

ιδιότητες

αυτές

είναι

αμοιβαία

αποκλειστικές. Ειδικότερα

ένα

ενεργειακό

σήμα

έχει μηδενική

μέση

ισχύ, ενώ

ένα

σήμα

ισχύος

έχει

άπειρη

ενέργεια. Συνήθως, περιοδικά

και τυχαία

σήματα

είναι

σήματα

ισχύος

ενώ

απεριοδικά

και

ντετερμινιστικά

σήματα

είναι ενεργειακά.

53

Συνάρτηση

φασματικής

πυκνότητας

ενέργειας

H συνάρτηση

φασματικής

πυκνότητας

(spectral density

function) ενός

σήματος δίνει

την

κατανομή

της

ενέργειας

ή

της

ισχύος

του

σήματος

στο

πεδίο

συχνοτήτων.

Για

ενεργειακά

σήματα,

με

βάση

το

θεώρημα

Parseval, ισχύει:

όπου

X(f) είναι

ο

μετασχηματισμός

Fourier

του

σήματος

x(t). Η

ποσότητα:

ονομάζεται

ενεργειακή

φασματική

πυκνότητα

(energy spectral density) του απεριοδικού

ενεργειακού

σήματος

x(t)

και

δίνει

σημαντικές

πληροφορίες

για

τον

τρόπο

κατανομής

της

ενέργειας

στις

διάφορες

συχνότητες

του

σήματος. Από

την συνάρτηση

αυτή

προκύπτει

το

φάσμα

των

απεριοδικών

σημάτων.

2 2( ) | ( ) |XE x t dt X f df∞ ∞

−∞ −∞= =∫ ∫

2( ) | ( ) |x f X fΨ =

54

Συνάρτηση

φασματικής

πυκνότητας

ισχύος

(1)Οι

σειρές

Fourier δεν

υπάρχουν

για

τα

απεριοδικά

σήματα

ισχύος

με

απεριόριστη

χρονική

διάρκεια. Ο

μετασχηματισμός

Fourier μπορεί

να

υπάρχει

ή

να

μην

υπάρχει, οπότε

η

έννοια

της

ενεργειακής

πυκνότητας

δεν

μπορεί

να

εφαρμοστεί. Εντούτοις, επειδή

θεωρούμε

ότι

η

μέση

ισχύς

είναι

πεπερασμένη, μπορούμε

να

χρησιμοποιήσουμε

συναρτήσεις

φασματικής

πυκνότητας

ισχύος

για

την

περιγραφή

στο

πεδίο

συχνοτήτων

των

απεριοδικών

σημάτων

ισχύος.

Αν

θεωρήσουμε

ένα

τμήμα

του

σήματος

στο

διάστημα

±Τ/2, τότε:

Η

συνάρτηση

αυτοσυσχέτισης

είναι:

/ 2 2/ 2

1 1 ( )TT Tx x TT TP E x t dt−= = ∫

[ ]/ 2

/ 2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )TT

xx T T T TT

R E x t x t x t x t dtT

τ τ τ−∫= + = +

55

Συνάρτηση

φασματικής

πυκνότητας

ισχύος

(2)Ο

Μετασχηματισμός

Fourier της

μπορεί

να

αποδειχτεί

ότι

είναι

όπου

είναι

ο

μετασχηματισμός

Fourier του

x(t).

Επειδή

το

x(t) είναι

πραγματικό, έχουμε

ΧΤ

(-f) = XT*(f) και

επομένως

η

προηγούμενη

σχέση γίνεται:

Ο

όρος

δίνει

την

κατανομή

ισχύος

στο

πεδίο

της

συχνότητας. Επομένως ορίζουμε

τη

φασματική

πυκνότητα

ισχύος

(psd) GX

(f) ως:

( )TxxR τ

2 1( ) ( ) ( )T j fXX T TR e d X f X f

Tπ ττ τ

∞ −

−∞∫ = −

( )TX f

2 21( ) | ( )|T j fXX TR e d X f

Tπ ττ τ

∞ −

−∞∫ =

2| ( ) | /TX f T

[ ]2| ( ) |( ) ( ) lim T

X XX TX fG f F RT

τ →∞= =

56

Ο λευκός θόρυβος είναι μία τυχαία διαδικασία με επίπεδη(σταθερή) φασματική πυκνότητα ισχύος Gn(f), σε όλο το φάσμασυχνοτήτων–

Λευκός

σε

αναλογία

με

το

λευκό

φως

–

Θεωρείται

ως

μία

Gaussian στοχαστική

ανέλιξη–

συνήθως

από

τη

φύση

της

προσθετική

Η φασματική πυκνότητα ισχύος του λευκού θορύβου είναι: 0( )2nNG f =

Λευκός

Θόρυβος

(1)

(f)Gn

f0

02N

57

Επομένως, σύμφωνα

με

τα

προηγούμενα, και

λαβαίνοντας

υπόψη

ότι

ο

θόρυβος

είναι ένα

σήμα

ισχύος, αφού

η

συνάρτηση

αυτοσυσχέτισης

του

λευκού

θορύβου

δίνεται

από

τον

αντίστροφο μετασχηματισμό

Fourier της

φασματικής

συνάρτησης

πυκνότητας

ισχύος∆ηλαδή:

0

2nNP df

∞

−∞

= = ∞∫

( )nG f

[ ] 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )2n nNR E n t n t F G fτ τ δ τ−= + = =

0

( )nR τ

/ 2oN

τ

Αυτό

σημαίνει

ότι

δύο

διαφορετικά

δείγματα

θορύβου

n(t)

όσο

κοντά

και

αν

είναι

στο

χρόνο, έχουν

μηδενική

συσχέτιση

Λευκός

Θόρυβος

(2)

58

•

Αν

είσοδος

σε

ένα

γραμμικό

σύστημα

με

απόκριση

συχνότητας

H(f) είναι

μία

τυχαία

διεργασία,

όπως

για

παράδειγμα

θόρυβος,

με

φασματική

πυκνότητα

εισόδου, GX

(f), τότε

η

φασματική

πυκνότητα της

εξόδου

GΥ

(f), δίνεται

από

την

σχέση:

•

Η

σχέση

αυτή

είναι

ιδιαίτερη

χρήσιμη

για

να

βρούμε

την

ισχύ

μίας τυχαίας

διεργασίας

θορύβου

(π.χ. Gaussian noise) στην

έξοδο

ενός

φίλτρου.•

Η

έξοδος

θα

είναι

επίσης

Gaussian αλλά

με

διαφορετική

φασματική

πυκνότητα

ισχύος,

η

οποία

θα

δίνεται

από

την

παραπάνω

σχέση.

2( ) ( )| ( ) |Y XG f G f H f=

Λευκός

Θόρυβος

μέσω

γραμμικού

συστήματος

59

Επίδραση

θορύβου

σε

αναλογικά

και

ψηφιακά

σήματα

Θόρυβος

Θόρυβος

Οι

μεταβολές

που

επιφέρει

ο

θόρυβος

στο

αναλογικό

σήμα

μπορούν

ίσως

να

μετριαστούν

ή να γίνουν μικρές σε σχέση με το σήμα. Πάντα όμως θα υπάρχουν.

Οι

μεταβολές

που

επιφέρει

ο

θόρυβος

στο

ψηφιακό

σήμα

μπορούν

να

εξαφανιστούν

εντελώς. Αν

ο

δέκτης

αποφασίσει

σωστά

υπέρ

του

λογικού

0 ή

1 τότε

το

σήμα

αναπαράγεται

τοπικά

(στο

δέκτη) και

έτσι

ο

θόρυβος

του

καναλιού

ουσιαστικά

εξαλείφεται.

60

Γεωμετρική

ερμηνεία

σημάτων∆υο

συναρτήσεις

Φi

(t) και

Φj

(t) λέγονται

ορθοκανονικές

ή

απλά

ορθογώνιες

αν

ισχύει

η

σχέση:

Τέτοιες

συναρτήσεις

χρησιμοποιούνται

συχνά

για

την

περιγραφή

και

μελέτη

των

ψηφιακών

διαμορφώσεων. Αποδεικνύεται

ότι

ένα

πραγματικό

σήμα

μπορεί

να

περιγραφεί

ως

συνισταμένη

δυο

(ή

περισσότερων) ορθοκανονικών

συναρτήσεων

Φ1

(t) και

Φ2

(t), όπως

ένα

οποιοδήποτε

διάνυσμα

μπορεί

να

αναλυθεί

σε

δύο

κάθετες

μεταξύ

τους

συνιστώσες

και

. Παράδειγμα

τέτοιων

συναρτήσεων

είναι: Φ1

(t)= sin(2πfo

t)

και

Φ2

(t) = cos(2πfo

t) οι

οποίες

συχνά

αναφέρονται

και

ως

I,

Q

συνιστώσες

του

σήματος.

x y

I

Q

Ενέργεια

σήματος

S

Πλάτος

σήματος

S

Φάση

σήματος

S

61

Γεωμετρική

ερμηνεία

σημάτων

Θεωρούμε

δύο

σήματα

s1 και

s2 τα

οποία

απεικονίζονται

στο

ίδιο

διάγραμμα

I,Q με

τα

διανύσματα

sig1 και

sig2

που

καταλήγουν

στα

αντίστοιχα

σημεία. Το

σήμα

s2 έχει

μεγαλύτερη

ενέργεια

από

το

s1

επειδή

το

μήκος

του

αντίστοιχου

διανύσματος

είναι

μεγαλύτερο. Η

απόσταση

των

σημείων

sig1 και

sig2

αντιστοιχεί

στην

ενεργειακή

διαφορά

των

δύο

σημάτων

και

δίνεται

από

το

γινόμενο:

Η

γωνία

των

δύο

διανυσμάτων

αντιστοιχεί

στη

συσχέτιση

(correlation) των

δύο

σημάτων.

Όσο

μικρότερη

η

γωνία

των

δυο

διανυσμάτων

τόσο

πιο

δύσκολο

είναι

να

διαχωρίσουμε

τα

δύο

σήματα

σε

περίπτωση

ταυτόχρονης

λήψης. Όταν

θ=90ο

τότε

cos(θ)=0 και

τα

δύο

σήματα

είναι

ασυσχέτιστα

ή

ορθογωνικά

μεταξύ

τους.

∆ιαγράμματα

όπως

το

παραπάνω

στα

οποία

παρουσιάζονται

τα

σημεία

sigi

διαφόρων

λαμβανομένων

σημάτων

λέγονται

διαγράμματα αστερισμού (constellation diagrams) και

είναι

πολύ

χρήσιμα

στη

μελέτη

τηλεπικοινωνιακών

συστημάτων.

62

Γενικοί

τύποι

ψηφιακών

διαμορφώσεων

MODEM

NONCOHERENTCOHERENT

BINARY M-ary HYBRID BINARY M-ary HYBRID

ASK(OOK)

FSK(MSK)

PSK

ASK

FSK

PSK(QPSK,OQPSK)

APK(QAM) ASK

FSK

DPSK

CPM

ASK(OOK)

FSK

DPSK

CPM

Σύμφωνη: Απαιτείται

γνώση

της

φάσης

του

λαμβανόμενου

σήματος

Ασύμφωνη: δεν

απαιτείται

γνώση

της

φάσης

του

λαμβανόμενου

σήματος

Μέθοδος

Ανάλυσης:• ∆ιαδικασία

∆ιαμόρφωσης: Μαθηματική

Περιγραφή

Σήματος• Υπολογισμός φασματικής πυκνότητας

ισχύος

του

διαμορφωμένου

σήματος• ∆ιαδικασία

Ανίχνευσης• Υπολογισμός

Πιθανότητα

Σφάλματος

63

∆ιαμόρφωση

ASK

• ASK= Amplitude Shift Keying.•

Είναι

η

απλούστερη

ψηφιακή

διαμόρφωση

πλάτους.•

Στη

γενική

περίπτωση

αντιστοιχεί

μια

τιμή

πλάτους

της

φέρουσας

στο λογικό

1 και

μια

άλλη

τιμή

πλάτους

της

φέρουσας

στο

λογικό

0.

Σήμα

πληροφορίας

s(t)=

2Tb f Rc b+

f Rc b+ 2

impulse

64

∆ιαμόρφωση

FSK• FSK= Frequency Shift Keying.•

Είναι

η

απλούστερη

ψηφιακή

διαμόρφωση

συχνότητας.•

Στη

γενική

περίπτωση

αντιστοιχεί

μια

τιμή

συχνότητας

της

φέρουσας

στο

λογικό

1 και

μια

άλλη

τιμή

συχνότητας

της

φέρουσας

στο

λογικό

0.

Σήμα

πληροφορίας

s(t)=

Μία

καλή

προσέγγιση

του

φάσματος

της

FSK μπορεί

να

υπολογιστεί

θεωρώντας

το

FSK ως

το

άθροισμα

δύο

ASK σημάτων.

65

∆ιαμόρφωση

PSK (Binary PSK)

• PSK= Phase Shift Keying.•

Είναι

η

απλούστερη

ψηφιακή

διαμόρφωση

φάσης.•

Στη

γενική

περίπτωση

αντιστοιχεί

μια

τιμή

φάσης

της

φέρουσας

στο λογικό

1 και

μια

άλλη

τιμή

φάσης

της

φέρουσας

στο

λογικό

0.

Σήμα

πληροφορίας

s(t)=

22 bb

Bandwidth RT

= =

Η

BPSK μπορεί

να

θεωρηθεί

ως

ένα

ASK σήμα

με

πλάτη

φέροντος

στο

+A και

–A (αντί

για

+A και

0 στην

ASK)

66

∆ιαμόρφωση

QPSK (Quadrature

PSK)

Ο

υπολογισμός

των

I,Q συνιστωσών

για

το

σύμβολο

S1 γίνεται

όπως

παρακάτω. Εφαρμόζοντας

την

σχέση:

έχουμε:

Η

QPSK (ή

4-PSK)

απεικονίζει

2 bits σε

συγκεκριμένη

διάρκεια

της

φέρουσας

αυξάνοντας

έτσι

τον

ρυθμό

μετάδοσης

bits σε

σχέση

με

την

απλή

ΒPSK. Αυτό

επιτυγχάνεται

μεταβάλλοντας

τη

φάση

της

φέρουσας

κατά

π/2 (αντί

για

π

της

BPSK). Οι πιθανές φάσεις της φέρουσας

είναι

οι

π/4, 3π/4, 5π/4 και

7π/4 και

η

γενική

εξίσωση

που

περιγράφει

ένα

QPSK διαμορφωμένο

σήμα

είναι

η

εξής:

( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧≤≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+=

αλλου

ππ

,0

0,4

122cos2

)( TtitfTE

tS cs

i

όπου

i=1,2,3,4 και

Εs

η

ενέργεια

ανά

μεταδιδόμενο

σύμβολο. Ο τρόπος

υπολογισμού

του

Εs

περιγράφεται

στην

επόμενη

διαφάνεια.

67

Σύμφωνη

αποδιαμόρφωση•

Απαιτείται

γνώση

της

φάσης

του

λαμβανόμενου

σήματος.

•

Υπάρχουν

δύο

διαφορετικές

υλοποιήσεις

οι

οποίες

αποδεικνύεται

ότι έχουν

την

ίδια

απόδοση

σε

κανάλι

AWGN. Η

πρώτη

υλοποίηση

δίνει

τον

δέκτη

προσαρμοσμένου

φίλτρου

(matched filter receiver)

και

η

δεύτερη τον

δέκτη

συσχέτισης

(correlator receiver).

•

Το

προσαρμοσμένο

φίλτρο

παρουσιάζεται

στις

επόμενες

διαφάνειες.

68

Προσαρμοσμένο

φίλτρο

(matched filter)Το

προσαρμοσμένο

φίλτρο

είναι

έννοια

θεμελιώδης

στις

τηλεπικοινωνίες

και

παρά

την

πολύπλοκη

μαθηματική

περιγραφή

του

η

βασική

ιδέα

είναι

πολύ

απλή. Ένα

φίλτρο

του

οποίου

η

κρουστική

απόκριση

h(t) είναι

μια

χρονικά

αντεστραμμένη

και

καθυστερημένη

μορφή

κάποιου

σήματος

s(t), λέγεται

ότι

είναι προσαρμοσμένο

στο

s(t). Πρέπει

να

ισχύει

δηλαδή:

όπου

k μια

σταθερά

που

εξαρτάται

από

το

κανάλι, και

td χρονική

καθυστέρηση που

θα

εξηγηθεί

στα

επόμενα. Το

s*(t)

παριστάνει

το

μιγαδικό

συζυγή

του

s(t).

Η

βασική

ιδιότητα

ενός

προσαρμοσμένου

φίλτρου

σε

σήμα

s(t) είναι

ότι

το

SNR του

σήματος

εξόδου

είναι

το

μέγιστο

δυνατό

(σε

σχέση

με

κάθε

άλλο

φίλτρο) την

χρονική

στιγμή

t=td αν

ο

θόρυβος

είναι

AWGN.Αυτό

ακριβώς

καθιστά

το

προσαρμοσμένο

φίλτρο

τόσο

σημαντικό

και

επιθυμητό,

αφού

μπορεί

να

δώσει

τα

καλύτερα

δυνατά

δείγματα

στην

έξοδο

ενός

ψηφιακού δέκτη

τα

οποία

στη

συνέχεια

θα

χρησιμοποιηθούν

για

την

απόφαση

λήψης

0 ή

1.

στο

πεδίο

του

χρόνου

ή

ισοδύναμα

στο

πεδίο

της

συχνότητας

69

Προσαρμοσμένο

φίλτρο

(2)

s(t) + n(t) v(ntd

)h(t)=s(td

-t)

δείγμα

για

t=td

Έστω

ότι

λαμβάνουμε

το

ψηφιακό

σήμα

s(t) το

οποίο

περνάει

από

κανάλι

AWGN και

προστίθεται

θόρυβος

n(t). Η

θεωρία

προσαρμοσμένων

φίλτρων

μας

λέει

ότι

ο

καλύτερος

τρόπος

για

να

περιορίσουμε

την

επίδραση

του

θορύβου

n(t) είναι

να κάνουμε

τα

εξής:

1. Το

λαμβανόμενο

σήμα

οδηγείται

μέσα

από

μια

συσκευή

(το

προσαρμοσμένο φίλτρο) της

οποίας

η

κρουστική

απόκριση

είναι

h(t)=s(td

-t).2. Η

έξοδος

του

φίλτρου

δειγματοληπτείται

σε

χρονικές

στιγμές

που

είναι

ακέραια

πολ/σια

του

td

.3. Χρησιμοποιούμε

αυτά

τα

δείγματα

v(n•td

) για να αποφασίσουμε αν το λαμβανόμενο

σήμα

είναι

0 ή

1 αφού

αυτές

τις

χρονικές

στιγμές

έχουμε

το

μέγιστο

δυνατό

SNR.

70

Προσαρμοσμένο

φίλτρο

= δέκτης

συσχέτισης

Η

έννοια

του

προσαρμοσμένου

φίλτρου

είναι

γενική

και

ανεξάρτητη

από συγκεκριμένες

υλοποιήσεις

ή

τύπους

φίλτρων. Πρόκειται

για

το

θεωρητικό

πλαίσιο

που

εξασφαλίζει

τη

βέλτιστη

λήψη

(optimum reception) σε

κανάλι AWGN. Αποδεικνύεται

μαθηματικά

ότι

η

απόδοσή

του

είναι

ίδια

με

αυτή

του

δέκτη

συσχέτισης

ο

οποίος

υπολογίζει

τη

συσχέτιση

του

λαμβανόμενου

σήματος y(t)=s(t)+n(t) με

τοπικά

παραγόμενο

αντίγραφο

του

σήματος

s(t), όπως

στο

παρακάτω

σχήμα.

71

2-ASK

2-FSK

•

∆εν

απαιτείται

γνώση

της

φάσης

του

λαμβανόμενου

σήματος.•

Χρησιμοποιούνται

ζωνοπερατά

φίλτρα

που

επιτρέπουν

την

διέλευση

μιας περιοχής

γύρω

από

τη

φέρουσα

του

σήματος

ανάλογα

με

το

εύρος

ζώνης

της διαμόρφωσης

και

φωρατές

περιβάλλουσας. •

Αποδίδουν

1-3 dB χειρότερα

(ανάλογα

με

το

Eb/N0

) σε

σχέση

με

τις

ομόδυνες τεχνικές

αλλά

είναι

ευκολότερη

και

φτηνότερη

η

υλοποίηση

των

δεκτών. Παραδείγματα:

Ασύμφωνη

αποδιαμόρφωση

72

Η σχετική ισχύς σήματος-θορύβου

εκφράζεται, συνήθως, από

το

λόγο

Eb

/Νο

(bit

energy-to-noise

density

ratio). Το

Eb

=(Ισχύς

Σήματος)/(Ρυθμός

μετάδοσης

bits). Γενικά

για

κανάλια

AWGN με

μηδενική

μέση

τιμή

θορύβου

και

διακύμανση

σ2

=Νο

Β

όπου

Νο

είναι

η

πυκνότητα

φάσματος

ισχύος

θορύβου

και

Β

είναι

το

εύρος

ζώνης

του

σήματος, το

οποίο

συχνά

για

πρακτικούς

λόγους

ταυτίζεται

με

το

εύρος

ζώνης

του

πρώτου

ζωνοπερατού

φίλτρου

του

δέκτη. Το

λαμβανόμενο

SNR είναι:

όπου

Es

και

Eb

είναι

η

ενέργεια

ανά

σύμβολο

και

bit, αντίστοιχα,

Ts

είναι

η

διάρκεια

του

συμβόλου

και

Tb

είναι

η

διάρκεια

του

bit.

Ενέργεια

ανά

bit, ανά

σύμβολο

και

ισχύς

φέρουσας

Ενέργεια

ανά

bit

διαμορφωμένου

σήματος:

όπου

Pc

= ισχύς

φέρουσας

= Α2/2 και

Tb

= διάρκεια

bit

Η

ενέργεια

ανά

σύμβολο

είναι:

Αν

το

bit και

το

σύμβολο

ταυτίζονται

(όπως

π.χ στην BPSK) τα

Es

και

Eb

είναι

ίσα. Για

την

QPSK όμως, όπου

το

κάθε

σύμβολο

έχει

δύο

bits (δηλαδή

Ts

=2Tb

)

έχουμε:

για

την

I συνιστώσα

για

την

Q συνιστώσα

b

b

s

sr

BTNE

BTNE

BNP

ύύήήύSNR

000

====βουςθορισχ

ψηςματοςλςσισχ

73

∆ιαγράμματα

αστερισμού

BPSK QPSK

8-PSK16-QAM Ο

θόρυβος

μεταβάλει

την

γωνία

και

το

μέτρο

του

διανύσματος

του

σήματος

και

έτσι

αλλάζει

το

διάγραμμα

αστερισμού.

∆ιάνυσμα

σήματος

χωρίς

θόρυβο

Επίδραση

θορύβου

στο

διάγραμμα

αστερισμού

∆ιάνυσμα

σφάλματος

Σφάλμα

φάσης

∆ιάνυσμα

λαμβανόμενου

σήματος(με

θόρυβο)

Σφάλμα

πλάτους

∆ιάνυσμα

αθόρυβου

συμβόλου

74

Πιθανότητα

σφάλματοςΕκπεμπόμενο

σήμαΛογικό

1 Λογικό

0

Χρονική

στιγμή

απόφασης Πλάτος

την

στιγμή

της

απόφασης

•

Λόγω

θορύβου

το

λαμβανόμενο

σήμα

παρουσιάζει

τυχαίες

διακυμάνσεις

γύρω

από

το

εκπεμπόμενο. •

Ο

δέκτης

αποφασίζει

αν

το

λαμβανόμενο

σύμβολο

αντιστοιχεί

σε

0 ή

1 με

βάση

την

τιμή

που

μετράει

σε

κάποια

δεδομένη

χρονική

στιγμή

δειγματοληψίας. Αν

η

τιμή

είναι

πάνω

από

κάποιο

προκαθορισμένο

όριο

(threshold) αποφασίζει

υπέρ

του

1, αλλίως

υπέρ

του

0. Έτσι

υπάρχει

πάντα

η

πιθανότητα

να

γίνει

σφάλμα.•

Η

πιθανότητα

σφάλματος

(Probability of Error)

είναι

βασικό

ποιοτικό

χαρακτηριστικό

κάθε

ψηφιακού

συστήματος

και

υπολογίζεται

πάντα

κατά

την

σχεδίασή

του

ως

συνάρτηση

του

SNR ή

άλλης

σχετικής

μεταβλητής.

Παράδειγμα

σφάλματος: αν

το

εκπεμπόμενο

σύμβολο

είναι

το

1 και

λόγω

θορύβου

πάρουμε

την

μέτρηση

αυτή, τότε

αν

το

όριο

απόφασης

είναι

τα

0

Volts

ο

δέκτης

θα

αποφασίσει

λανθασμένα

υπέρ

του

συμβόλου

0.

στιγμή

απόφασης

Πομπός: data

bits ∆έκτης:

Κανάλι

75

Γενικός

τρόπος

υπολογισμού

πιθανότητας

σφάλματοςΟρίζουμε

τα

εξής

μεγέθη:

= Πιθανότητα

σφάλματος

δεδομένου

ότι

το

εκπεμπόμενο

σύμβολο

είναι

το

1

= Πιθανότητα

σφάλματος

δεδομένου

ότι

το

εκπεμπόμενο

σύμβολο

είναι

το

0

Τότε

(κανόνας

Bayes) η

συνολική

πιθανότητα

σφάλματος

είναι:

όπου

P(0)

και

P(1)

οι

πιθανότητες

εμφάνισης

(στον

πομπό) των

συμβόλων

0 και

1 αντίστοιχα. Αν

υποθέσουμε

ότι

τα

σύμβολα

0 και

1 είναι

ισοπίθανα

τότε

ισχύει

P(0)=P(1)=0.5

και επομένως:

Το

ζητούμενο

σε

κάθε

ψηφιακό

σύστημα

επικοινωνιών

είναι

ο

υπολογισμός

των

παραπάνω δεσμευμένων

πιθανοτήτων. Αυτές

εξαρτώνται

από

τη

σχετική

ισχύ

ή

ενέργεια

σήματος- θορύβου

αλλά

και

την

δομή

του

δέκτη

(π.χ. αλγόριθμος

λήψης

απόφασης

0,1, ύπαρξη συγκεκριμένων

κυκλωματικών

διατάξεων

κ.α.)

76

Παράδειγμα

δέκτη

προσαρμοσμένου

φίλτρουΗ διάταξη I&D ολοκληρώνει

το

εισερχόμενο

σήμα

για

χρόνο

Tb

(διάρκεια

bit) και

την

τιμή

του

ολοκληρώματος

την

χρονική

στιγμή

Tb

την

συγκρίνει

με

προκαθορισμένο

κατώφλι

Τ. Αν

η

τιμή

της

τάσης

εξόδου

του

I&D

είναι

πάνω

από

το

κατώφλι

τότε

θέτει

το

λαμβανόμενο

bit=1. Αλλιώς

θέτει

λαμβανόμενο

bit=0.κα

τώφλ

ι

Τιμές

σε

αυτή

την

περιοχή

αντιστοιχούν

σε

λαμβανόμενο

bit=0

Τιμές

σε

αυτή

την

περιοχή

αντιστοιχούν

σε

λαμβανόμενο

bit=1

Πιθανότητα

εκπεμπόμενο

0 να

ληφθεί

ως

1Πιθανότητα

εκπεμπόμενο

1 να

ληφθεί

ως

0

Φέρουσα Ιδανικός

∆έκτης

Μίκτης Συγκριτής

Bits πληροφορίας

Bits πληροφορίας

με

θόρυβο

Παλμοί

χρονισμού

οι

οποίοι

παράγονται

κάθε

Tb

Έξοδος

I&D

Είσοδος

στο

I&D κύκλωμα

(bit)

Έξοδος

του

I&D κυκλώματος

i•Tb

, i=0,1,2, …

77

a: Coherent BPSKb: DPSKc: Coherent ASKd: Noncoherent FSKe: Noncoherent

ASK

a: Coherent BPSKb: DPSKc: Coherent ASKd: Noncoherent FSKe: Noncoherent

ASK

Σύγκριση

Pe

ομόδυνης-ασύμφωνης

λήψης

Eb

/No (dB)

Pe

Στο

διάγραμμα

παρουσιάζεται

η πιθανότητα

σφάλματος

Pe

ως

συνάρτηση τoυ

λόγου

Eb/No για

τις

τρεις απλούστερες

ψηφιακές

διαμορφώσεις ASK, FSK, BPSK. Και

στις

τρεις περιπτώσεις

παρατηρούμε

την

καλύτερη απόδοση

των

σύμφωνων

(coherent) δεκτών

σε

σχέση

με

τις

ασύμφωνες εκδοχές

τους.

78

Βασικοί

τύποι

πιθανότητας

σφάλματοςΟμόδυνη

BPSK

01DPSK: 2

bEN

BP e−

=

021Noncoherent BFSK: 2

bEN

BP e−

=

duuxQ ∫∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

χπ 2exp

21)(

2

Όπου

η

συμπληρωματική

συνάρτηση

σφάλματος.

∆ιαφορική

PSK

(μορφή

ασύμφωνης

PSK)

Ομόδυνη

FSK⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0NEQP b

e

0

2NE

QP be =

00

22NEQ

NEerfcP bb

e =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= QPSK

Ασύμφωνης

FSK

79

Κανάλια

με

διαλείψεις

(fading channels)

Λόγω

ανακλάσεων, μπορεί

να

φτάσουν

στο

δέκτη

πολλές

καθυστερημένες

εκδοχές

του εκπεμπόμενου

σήματος, γεγονός

το

οποίο

μπορεί

να

αυξήσει

δραματικά

την

πιθανότητα σφάλματος. Το

κανάλι

δεν

μπορεί

να

θεωρηθεί

πλέον

ως

AWGN καθώς

εμφανίζονται απότομα

βυθίσματα

στην

λαμβανόμενη

ισχύ

όπως

στο

παρακάτω

σχήμα. Σε

αυτή

την περίπτωση

το

κανάλι

περιγράφεται

από

την

κατανομή

Rayleigh

ή

Rice

η

παρουσίαση

των οποίων

ξεφεύγει

από

τους

σκοπούς

του

μαθήματος.

80

Κανάλια

με

διαλείψεις

(2)

Στο

παραπάνω

διάγραμμα

φαίνεται

η

πιθανότητα

σφάλματος

για

διαμόρφωση

FSK

σε κανάλια

με

και

χωρίς

διαλείψεις. Η

πιθανότητα

σφάλματος

για

απλό

AWGN (non-fading FSK)

κανάλι

είναι

σαφώς

καλύτερη

από

τα

κανάλια

Rayleigh

(διαλείψεις).

81

Σύνοψη

διαδικασιών ζωνοπερατής

μετάδοσηςInformation:- analog:BW & dynamic range

-

digital:bit rate

Information:- analog:BW & dynamic range-

digital:bit rate

Maximization of information transferred

Maximization of information transferred

Transmitted power;

bandpass/baseband signal BW

Transmitted power;bandpass/baseband signal BW

Message protection & channel adaptation;

convolution, block coding

Message protection & channel adaptation;convolution, block coding

M-PSK/FSK/ASK..., depends on channel BW & characteristics

M-PSK/FSK/ASK..., depends on channel BW & characteristics wireline/wireless

constant/variablelinear/nonlinear

wireline/wirelessconstant/variablelinear/nonlinear

NoiseNoise

InterferenceInterference

ChannelChannel

ModulatorModulator

ChannelEncoderChannelEncoder

Source encoder

Source encoder

Channel decoder

Channel decoder

Source decoder

Source decoder

DemodulatorDemodulator

Information sink

Information sink

Information source

Information source

Message Message estimate

Received signal

(may contain errors)

Transmitted signal

InterleavingInterleaving

Fights against burst errors

Fights against burst errors

DeinterleavingDeinterleaving

82

Βιβλιογραφία

• «Συστήματα

επικοινωνίας», S. Haykin, εκδόσεις

Παπασωτηρίου.

•

“Hewllet

Packard, Test & measurement Application Note 150-1”

(spectrum mesurements, AM-FM modulations), online, www.hp.com/go/tmappnotes.

• “All about modulation, parts I, II”, online, www.complextoreal.com.

•

“Linear Time Invariant Systems and Matched Filter”, online, www.complextoreal.com.

• “Telecommunications demystified”, C. Nassar, LLH Technology Publishing.

• Σημειώσεις

μαθήματος

«Ψηφιακές

Επικοινωνίες», Πανεπιστήμιο

Πειραιώς.

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Κεφάλαιο 3

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΠΛΑΤΟΥΣ

39

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

3.1 ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ ΔΕΚΤΩΝ Στις ενότητες 3.1 και 3.2 παρουσιάζονται μερικά από τα βασικότερα δομικά στοιχεία

ενός ασύρματου αναλογικού πομποδέκτη ο οποίος μπορεί να αποτελεί μέρος ενός

ευρύτερου τηλεπικοινωνιακού συστήματος, ενός ραντάρ ή κάποιου οπλικού

συστήματος. Σκοπός μας είναι να αποκτήσει ο αναγνώστης μια αίσθηση για το λόγο

ύπαρξης των βασικότερων στοιχείων ενός πομποδέκτη και όχι η εις βάθος ανάλυση

κάθε ενός απ’ αυτά. Κάτι τέτοιο άλλωστε, θα ήταν αδύνατο στα πλαίσια ενός

εισαγωγικού βιβλίου.

3.1.1 Φασματική μετατόπιση και αρνητικές συχνότητες Μια από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier με τεράστιες πρακτικές

εφαρμογές είναι η «ιδιότητα διαμόρφωσης» η οποία εκφράζεται μαθηματικά από τις

παρακάτω σχέσεις:

Αν

τότε

(3.1α)

Πρακτικά οι παραπάνω σχέσεις δηλώνουν ότι όταν πολλαπλασιάζουμε οποιοδήποτε

σήμα με ένα (συν)ημίτονο συχνότητας ωο = 2πfo τότε ολόκληρο το φασματικό

περιεχόμενο του σήματος μετατοπίζεται στη περιοχή συχνοτήτων γύρω από τη

συχνότητα του (συν)ημιτόνου. Σχηματικά αυτό φαίνεται στο σχήμα 3.1. Το αρχικό

φάσμα του σήματος είναι η καμπύλη στη περιοχή [0,fmax] ενώ μετά τον πολ/σμό με

τη φέρουσα δημιουργούνται δύο ακόμα είδωλα: [fο - fmax, fο] (κάθετη διαγράμμιση)

και το [fο, fο + fmax] (χιαστί διαγράμμιση).

40

Μετά από πολ/σμό με Fo Μετά από πολ/σμό με Fo

Αρχικό σήμα

0 -FMAX - Fo -Fo FMAX Fo - FMAX Fo FMAX+ Fo -Fo + FMAX -FMAX

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Σχήμα 3.1: Φασματική μετατόπιση λόγω πολ/σμού με φέρουσα συχνότητα fo

Στο σχήμα 3.1 παρατηρούμε ότι υπάρχουν αρνητικές συχνότητες, γεγονός που

μπορεί να προκαλέσει απορίες. Το αρνητικό φάσμα [-fmax, 0] υπάρχει; Μαθηματικά

τουλάχιστον υπάρχει. Από πρακτικής άποψης η απάντηση είναι θέμα ερμηνείας. Το

σίγουρο είναι ότι όταν πολ/ζουμε ένα πραγματικό σήμα (π.χ τη φωνή μας) με ένα

ημίτονο συχνότητας Fo τότε γύρω από την Fo εμφανίζεται το αρχικό σήμα (χιαστί

διαγράμμιση) αλλά και ένα ακόμα (κατακόρυφη διαγράμμιση) στη περιοχή [fο - fmax,

fο]. Η έννοια της αρνητικής συχνότητας προέρχεται από τη χρήση μιγαδικών

αριθμών για τη περιγραφή φυσικών φαινομένων. Θυμίζουμε τις σχέσεις:

41

(3.1β)

όπου το ημίτονο και το συνημίτονο περιγράφονται με τη βοήθεια των «φασιθετών»

e±iωt. Σε αυτές τις εξισώσεις εμφανίζεται η αρνητική συχνότητα –ω. Καθώς οι

φασιθέτες περιγράφουν περιστρεφόμενα διανύσματα στο μιγαδικό επίπεδο, η έννοια

της αρνητικής συχνότητας αποκτά φυσική σημασία και φανερώνει τη φορά

περιστροφής του διανύσματος όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Y

X

ejwt

Phasor Q+ rotatescounterclockwisewith time

Phasor Q- rotatesclockwisewith time

e-jwt

Q- Q+

2sinwt = ejwt - e-jwt

2coswt = ejwt + e-jwt

Σχήμα 3.2: Περιστροφή φασιθετών και αρνητικές συχνότητες (πηγή: σημειώσεις Fourier από την

ιστοσελίδα http://www.complextoreal.com/)

co ωt e e i− iω ω+

= 2

i

e i− iω ω− e =ωt sin

2

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Με τη λογική των φασιθετών η έννοια της αρνητικής συχνότητας μπορεί να

συγκριθεί με αυτή της αρνητικής ταχύτητας. Η διατύπωση «σώμα κινούμενο με –3

m/sec» απλά δείχνει ότι το σώμα κινείται με ταχύτητα 3 m/sec με φορά αντίθετη

προς μια κατεύθυνση που θεωρείται θετική. Άλλωστε η συχνότητα είναι ο ρυθμός

μεταβολής (δηλαδή η ταχύτητα) της φάσης φ ενός σήματος:

f ddt

=φ

(3.1γ)

Ως θετική συχνότητα θεωρούμε μεταβολή της φάσης από το 0 στο 2π (αύξηση) ενώ

ως αρνητική συχνότητα θεωρούμε μεταβολή της φάσης από το 2π στο 0 (μείωση).

Το σχήμα 3.3 μπορούμε να το παρατηρήσουμε στη πράξη με τη βοήθεια του Matlab

και του Simulink. Υλοποιούμε στο Simulink τη προσομοίωση του σχήματος 3.3 με το

οποίο καταγράφουμε τη φωνή μας (From Wave Device), παρατηρούμε το φάσμα της

(FFT Spectrum Scope), τη φιλτράρουμε με βαθυπερατό φίλτρο με συχνότητα

αποκοπής τα 1000 Hz (Digital Filter Design), παρατηρούμε το φάσμα του

φιλτραρισμένου σήματος (FFT Spectrum Scope1) και τέλος καταγράφουμε τη φωνή

μας (To Wave File).

Σχήμα 3.3: Παραγωγή φωνητικού αρχείου και παρατήρηση του φάσματος

42

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Το φάσμα της φωνής μας (πριν και μετά το φίλτρο) φαίνεται στο σχήμα 3.4

(αριστερά και δεξιά αντίστοιχα). Παρατηρούμε το συμμετρικό φάσμα γύρω από το 0

Hz και τις αρνητικές συχνότητες που εμφανίζονται. Να σημειωθεί ότι το μπλοκ FFT

εξ’ορισμού δεν εμφανίζει τις αρνητικές συχνότητες. Για να τις δούμε πρέπει να

κάνουμε το εξής: διπλό κλικ στο εικονίδιο του FFT, επιλογή του show axis properties

και τέλος επιλογή του [-fs/2,..,fs/2] στο Frequency Range.

Σχήμα 3.4: Παραγωγή φωνητικού αρχείου και παρατήρηση του φάσματος. Η συχνότητα δειγματοληψίας

είναι fs=11025 Hz

Στη συνέχεια προσομοιώνουμε τη διαδικασία μίξης της φιλτραρισμένης φωνής με

συχνότητα fc=3kHz όπως φαίνεται στο σχήμα 3.5.

43

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Σχήμα 3.5: Μίξη φωνής με φέρουσα 3 kHz

Τη φέρουσα των 3 kHz την παράγουμε με το μπλοκ DSP/Sine Wave ενώ

παρατηρούμε το φάσμα πριν (πάνω) και μετά τον πολλαπλασιασμό (κάτω) των δυο

σημάτων. Σε τυχαία χρονική στιγμή της προσομοίωσης προκύπτει η φασματική

εικόνα του σχήματος 3.6. Παρατηρούμε, όπως προβλέπει η θεωρία, ότι μετά τον

πολλαπλασιασμό το φάσμα της φωνής μεταφέρεται γύρω από τη φέρουσα (με

κατοπτρική συμμετρία ως προς αυτήν) αλλά και γύρω από την αρνητική φέρουσα.

44

Σχήμα 3.6: Φασματική μετατόπιση φωνής μετά από μίξη με φέρουσα 3 kHz

3.1.2 Η αρχή της (υπέρ)-ετεροδύνωσης

Η συντριπτική πλειοψηφία των εμπορικών δεκτών που χρησιμοποιούνται σήμερα

χρησιμοποιούν την αρχή της ετεροδύνωσης και πιο συγκεκριμένα της υπέρ-

ετεροδύνωσης (super-heterodyne receivers).

Ετεροδύνωση ονομάζουμε τον πολλαπλασιασμό δύο (συν)ημιτονοειδών

σημάτων με συχνότητες f1 και f2 . Το αποτέλεσμα της ετεροδύνωσης (η οποία

συχνά λέγεται και μίξη) είναι δυο νέα σήματα με συχνότητες (f1 + f2) και (f1 - f2)

αντίστοιχα. Η μαθηματική περιγραφή της είναι απλή:

S1 = A1 cos(2πfCt) -> το πρώτο σήμα

S2 = A2 cos(2πfLOt) -> το δεύτερο σήμα

Το προϊόν της μίξης είναι:

( )[ ] ( )[ ]tt ⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=⋅= LOC21LOC212 f f2πcos AA0.5 f f2πcos AA0.5 SS S 1 (3.2)

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Υπερετεροδύνωση έχουμε απλά όταν μας ενδιαφέρει να κρατήσουμε το σήμα με

τη χαμηλή συχνότητα, δηλαδή το S3 = 0.5*A1*A2 cos[2π(fC – fLO)t]. Στη πράξη το

ένα σήμα (έστω το S1) είναι η εκπεμπόμενη φέρουσα ενώ το δεύτερο σήμα S2

παράγεται στο δέκτη από έναν ταλαντωτή (τοπικός ταλαντωτής ή Local Oscillator).

Το κύκλωμα που κάνει τον πολλαπλασιασμό των σημάτων λέγεται μίκτης (mixer).

Στην έξοδο του μίκτη υπάρχει κάποιο ζωνοπερατό φίλτρο ώστε να φιλτράρουμε

το σήμα S. Αυτό το κάνουμε για να αποκόψουμε τον υψίσυχνο όρο S4=0.5*A1*A2

cos[2π(fC + fLO)t] και να κρατήσουμε μόνο τον S3. Το φιλτράρισμα του όρου αυτού

είναι γνωστό ως «απόρριψη ειδώλου» (image rejection). Το χρησιμοποιούμενο

ζωνοπερατό φίλτρο επιτρέπει τη διέλευση σημάτων σε μια ζώνη συχνοτήτων [fL , fH]

γύρω από την (fC – fLO). Ισχύει δηλαδή fL < (fC – fLO) < fH << (fC + fLO). Η

συχνότητα fIF =(fC – fLO) ονομάζεται ενδιάμεση συχνότητα ή απλά συχνότητα IF

(Intermediate Frequency). Συνήθως φροντίζουμε να είναι σταθερή για λόγους που

θα εξηγήσουμε παρακάτω.

Συνοπτικά: Η διαδικασία υπερετεροδύνωσης περιλαμβάνει τη μίξη με την

ενδιάμεση συχνότητα fIF και κατόπιν την απόρριψη της υψίσυχνης

συνιστώσας (fC + fIF) με χρήση ζωνοπερατού ή βαθυπερατού φίλτρου.

Μπορούμε να εξομοιώσουμε τη διαδικασία ετεροδύνωσης στο Matlab με απλές

εντολές (ή ακόμα πιο εύκολα στο Simulink):

1. Tmax=10; 2. fs =5000; % συχνότητα δειγματοληψίας 3. t=0:1/fs:10; % διάνυσμα χρόνου 4. f1=100; 5. f2=80; 6. s1=0.5*cos(2*pi*f1*t); % το πρώτο σήμα 7. s2=0.4*cos(2*pi*f2*t); % τοδεύτερο σήμα 8. plot(t,s1) 9. hold % όλα τα διαγράμματα στο ίδιο σχήμα 10. plot(t,s2, 'r*:') % το δεύτερο σήμα με κόκκινο χρώμα και σταυρούς 11. plot(t,s1.*s2, 'k-') % το γινόμενο με μαύρο χρώμα – μικρό σήμα

Κώδικας Μ3.1: οι αριθμοί στην αρχή κάθε σειράς δεν αποτελούν μέρος του κώδικα.

45

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Σχήμα 3.7: Μίξη συνημίτονων (κώδικας Μ3.1)

Σε σχηματικά διαγράμματα (block diagrams) ο μίκτης παριστάνεται όπως στο σχήμα

3.8.

Σχήμα 3.8: Σχηματικό διάγραμμα μίκτη

Στα σχήματα 3.9 και 3.10 φαίνονται δύο πιθανές υπερετερόδυνες αρχιτεκτονικές AM

ραδιοφωνικών δεκτών. Θα εξετάσουμε τη λειτουργία και τις διαφορές τους. Ας

υποθέσουμε ότι θέλουμε να ακούσουμε τον σταθμό που εκπέμπει στα 1490 kHz

(δηλαδή χρησιμοποιεί φέρουσα συχνότητα 1490 kHz). Στη πάνω γραμμή του

σχήματος 3.24 βλέπουμε την κεραία η οποία οδηγεί το σήμα σε RF ενισχυτή που

μπορεί να ενισχύσει την περιοχή [550, 1600] kHz και έχει δυνατότητα συντονισμού

(“tuning” με χρήση μεταβλητού πυκνωτή). Ο τοπικός ταλαντωτής (LO στη κάτω

γραμμή) είναι επίσης συντονιζόμενος και έστω ότι fLO= 1945 kHz. Η μίξη παράγει τις

συχνότητες 455 kHz και 3435 kHz και στη συνέχεια αποκόπτουμε την 3435 kHz με

χρήση IF φίλτρου. Το πρόβλημα με αυτόν το δέκτη είναι ότι ένας σταθμός στα 2400

46

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

kHz δίνει την ίδια IF συχνότητα στα 455 kHz (2400-1945=455). Έτσι αν το

φιλτράρισμα από τον RF ενισχυτή δεν είναι τέλειο θα έχουμε παρεμβολές από το

δεύτερο σταθμό. Η δημιουργία ίδιων IF συχνοτήτων από διαφορετικές πηγές είναι

ένα σοβαρό πρόβλημα στη σχεδίαση δεκτών (και αυτό γνωστό ως πρόβλημα

απόρριψης ειδώλου). Για να ξεπεράσουμε αυτό το πρόβλημα προσθέτουμε ένα

ακόμα RF φίλτρο στην έξοδο του ενισχυτή όπως φαίνεται στο σχήμα 3.10. Το φίλτρο

αυτό αποκόπτει την 2400 kHz πριν την είσοδο του μίκτη και έτσι «καθαρίζει» την IF

συχνότητα από πιθανές παρεμβολές. Στους εμπορικούς AM δέκτες χρησιμοποιείται

αρχιτεκτονική παρόμοια με αυτή του σχήματος 3.10 η οποία δημιουργεί μία σταθερή

IF συχνότητα 455 kHz για όλους τους ΑΜ σταθμούς (550 - 1600 kHz).

Σχήμα 3.9: Υπερετερόδυνος ΑΜ δέκτης

Σχήμα 3.10: Υπερετερόδυνος ΑΜ δέκτης με βελτιωμένο φιλτράρισμα στις RF συχνότητες

47

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Στο σχήμα 3.11 φαίνεται ένας υπερετερόδυνος δέκτης με δύο IF συχνότητες στα

10.7 MHz η πρώτη και στα 455 kHz η δεύτερη. Είναι η συνηθισμένη αρχιτεκτονική

για ραδιόφωνα FM (88 -108 MHz) επειδή με τη ύπαρξη δύο ταλαντωτών είναι

ευκολότερη η σχεδίαση φίλτρων αποκοπής ειδώλων στη συγκεκριμένη περιοχή

συχνοτήτων.

Σχήμα 3.11: Υπερετερόδυνος δέκτης με δύο τοπικούς ταλαντωτές

Από τα παραπάνω παραδείγματα γίνεται φανερό ότι υπάρχει μεγάλη ευελιξία στην

επιλογή των IF συχνοτήτων οι οποίες μπορεί να είναι μεγάλες ή μικρές και να

επιτυγχάνονται με χρήση ενός ή περισσοτέρων τοπικών ταλαντωτών οι οποίοι

μπορούν να παράγουν συχνότητες μικρότερες ή μεγαλύτερες από τη φέρουσα. Το τι

θα επιλέξουμε εξαρτάται πάντα από τις ιδιαίτερες συνθήκες λειτουργίας του δέκτη

μας.

FR

Επιθυμητό

48

Σχήμα 3.12: Σχηματική παράσταση υπερετερόδυνου δέκτη

RF ενισχυτής και φίλτρο

Τοπικός ταλαντωτής

IF φίλτρο και ενισχυτής

FRF -

FRF + FLO

Ανεπιθύμητο

FIF=FRF - FLO FR

FL

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Τα σχήματα 3.12 και 3.13 συνοψίζουν τη λειτουργία του υπερετερόδυνου δέκτη με

ένα τοπικό ταλαντωτή. Στο σχήμα 3.12 φαίνονται οι βασικές κυκλωματικές διατάξεις

και η πορεία του σήματος από ψηλότερες (RF) σε χαμηλότερες συχνότητες (IF) ενώ

στο σχήμα 3.13 παρουσιάζονται οι φασματικές μεταβολές του σήματος. Να

σημειωθεί ότι το λαμβανόμενο σήμα έχει φέρουσα Fc (περικλείεται από τη κλειστή

γραμμή).

Αποτελέσματα Μίξης

49

Σχήμα 3.13: Φασματικά αποτελέσματα της μίξης

3.1.3. Πλεονεκτήματα Υπερετεροδύνωσης

Η υπερετεροδύνωση προσφέρει σημαντικά οφέλη. Συνοπτικά αναφέρουμε τα εξής:

• Ελαττώνει τη φέρουσα συχνότητα του σήματος. Γενικά τα κυκλώματα που

μπορούν να λειτουργήσουν σε υψηλές συχνότητες είναι πιο ακριβά και

πολύπλοκα από τα κυκλώματα που εκτελούν την ίδια λειτουργία σε χαμηλότερες

συχνότητες. Με την υπερετεροδύνωση η φέρουσα συχνότητα ελαττώνεται

σημαντικά.

• Αυξάνει τη σχετική φασματική απόσταση δυο σημάτων και διευκολύνει τη

σχεδίαση φίλτρων και ενισχυτών. Για να γίνει κατανοητό αυτό ας δούμε ένα

παράδειγμα: έστω δύο σήματα με φέρουσες συχνότητες fα =10.000.000 Hz και

fβ =10.010.000 Hz αντίστοιχα τα οποία θέλουμε να διαχωρίσουμε. Η απόστασή

τους είναι 10.000 Hz το οποίο αντιστοιχεί στο 0.1% της τιμής τους.

Εφαρμόζουμε τη διαδικασία υπερετεροδύνωσης (πολ/σμός και απόρριψη της

FMAX FC FMAX+ FC 0 FC - FMAX

FLΟ

FC+ FLO FC - FLO

Εισερχόμενο στο δέκτη σήμα (αποτέλεσμα διαμόρφωσης)

Τοπικός ταλαντωτής

Επιθυμητά Ανεπιθύμητα

Αρχικό σήμα

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

υψηλής συνιστώσας) και στα δύο σήματα με συχνότητα IF fIF=9,999,000 Hz και

στην έξοδο του μίκτη παίρνουμε: για το πρώτο σήμα fαl =1000 Hz και για το

δεύτερο σήμα fβl =11000 Hz. Η απόσταση των δύο σημάτων παραμένει 10 KHz

αλλά αυτή η διαφορά αντιστοιχεί στο 1000% της μικρότερης από τις δύο

συχνότητες. Η σχεδίαση ενός φίλτρου που μπορεί να διαχωρίσει το 1 kHz από τα

11 kHz είναι πολύ πιο εύκολη και αποτελεσματική από τη σχεδίαση φίλτρου που

μπορεί να διαχωρίσει τα 10 MHz από τα 10.01 MHz.

• Μεταβάλλοντας την IF συχνότητα μπορούμε να κρατήσουμε σταθερή την

προκύπτουσα διαφορά (fC – fIF). Έτσι όλα τα κυκλώματα (φίλτρα κτλ) που

ακολουθούν τον μίκτη μπορούν να βελτιστοποιηθούν για λειτουργία σε αυτή τη

περιοχή. Γενικά τα κυκλώματα που λειτουργούν σε σταθερή περιοχή

συχνοτήτων είναι αποτελεσματικότερα και φτηνότερα από τα αντίστοιχα που

μπορούν να συντονίζονται (tuning) σε διάφορες περιοχές συχνοτήτων.

Βεβαίως υπάρχουν και σοβαρά μειονεκτήματα τα οποία σχετίζονται με την μεγάλη

πολυπλοκότητα των κυκλωμάτων, την υψηλή κατανάλωση ισχύος και άλλα πρακτικά

θέματα. Μια εναλλακτική αρχιτεκτονική είναι αυτή του ομόδυνου δέκτη (θα

αναπτυχθεί σε επόμενη ενότητα) στην οποία μηδενίζεται η συχνότητα IF και

προκύπτουν απλούστερα κυκλώματα. Εμπορικά πάντως η υπερετερόδυνη

αρχιτεκτονική κυριαρχεί απόλυτα.

3.1.4 Ένα κατασκευαστικό παράδειγμα

Η υπερετεροδύνωση χρησιμοποιείται σε όλους τους δέκτες AM/FM (ραδιόφωνο,

τηλεόραση), σε ασύρματους, κινητά τηλέφωνα και radar. Στα σχηματικά

διαγράμματα που ακολουθούν φαίνονται ένα κλασσικό ολοκληρωμένο κύκλωμα

(chip) το NE612 που χρησιμοποιείται ως μίκτης και ένας πολύ απλός

υπερετερόδυνος δέκτης AM που μπορεί να κατασκευαστεί με βάση αυτό το τσιπάκι.

Τα σχεδιαγράμματα αυτά είναι από το e-book "Radio Receivers, from crystal set to

stereo”, του Miomir Filipovic, το οποίο μπορείτε να κατεβάσετε δωρεάν από την

ιστοσελίδα:

http://www.mikroelektronika.co.yu/english/product/books/rrbook/rrbook.htm. Στην

ίδια σελίδα υπάρχουν απλές οδηγίες για τη κατασκευή αυτού του δέκτη.

50

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Σχήμα 3.14: Κατασκευαστικό διάγραμμα ΑΜ υπερετερόδυνου δέκτη με χρήση του ΝΕ612

Τέλος στη φωτογραφία που ακολουθεί φαίνεται ένας ολόκληρος υπερετερόδυνος

δέκτης (με δύο τοπικούς ταλαντωτές LO1, LO2) ασύρματου τηλεφώνου (DECT)

σχεδιασμένος στο πανεπιστήμιο Berkeley των ΗΠΑ διαστάσεων 7.5 x 6.5 mm. Δεξιά

είναι το ίδιο ολοκληρωμένο τοποθετημένο στη πλακέτα του με τους ακροδέκτες του

συνδεδεμένους.

51

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Σχήμα 3.15: Ολοκληρωμένο κύκλωμα DECT δέκτη (Berkeley)

3.1.5 Προϊόντα ετεροδιαμόρφωσης

Σε προηγούμενη ενότητα είδαμε ότι ένας μίκτης με είσοδο τις συχνότητες fC (RF

σήμα εισόδου) και συχνότητα τοπικού ταλαντωτή την fLO δίνει στην έξοδό του δύο

νέα σήματα τα (fLO+fC) και (fLO-fC). Στη πράξη τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά.

Στην έξοδο του μίκτη εμφανίζονται και άλλα σήματα στα οποία θα αναφερόμαστε με

τον όρο προϊόντα ετεροδιαμόρφωσης (intermodulation products ή IP). Τα

προϊόντα αυτά περιγράφονται από τη σχέση fip = N*fLO ± M*fC. Το άθροισμα (Ν+Μ)

λέγεται τάξη του IP.

Σχήμα 3.16: Προϊόντα ετεροδιαμόρφωσης πραγματικού μίκτη

52

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Στο σχήμα 3.16 παρουσιάζονται τα προϊόντα ετεροδιαμόρφωσης ενός μίκτη με

εισόδους fC, fLO (στο σχήμα f1, f2 αντίστοιχα) και αναμενόμενες εξόδους τις fLO+fC,

fLO-fC. Παρατηρούμε ότι στην έξοδο του μίκτη υπάρχουν πολλές ακόμα συχνότητες

και μάλιστα με αρκετά μεγάλη ισχύ όπως οι 3fLO±2fC (5ης τάξης), 2fLO±fC (3ης τάξης)

κ.τ.λ. Τα διαγράμματα αυτά (συνήθως σε μορφή πίνακα) δίνονται από τους

κατασκευαστές μικτών και πρέπει να τα γνωρίζουμε προκειμένου να λειτουργήσει

σωστά ο δέκτης που σχεδιάζουμε ή χειριζόμαστε. Το φαινόμενο της

ετεροδιαμόρφωσης παρατηρείται όχι μόνο μεταξύ της εισερχόμενης RF συχνότητας

και του τοπικού ταλαντωτή αλλά και μεταξύ των εισερχομένων RF συχνοτήτων

(όταν υπάρχουν περισσότερες από μια όπως συμβαίνει συνήθως στη πράξη). Έτσι αν

υποθέσουμε ότι στην είσοδο ενός μίκτη υπάρχουν οι συχνότητες fRF1, fRF2 και η

συχνότητα τοπικού ταλαντωτή είναι η fLO τότε στην έξοδο του μίκτη μπορεί να

εμφανιστούν τα (±m1•fRF1 ±m2 •fRF2) ± n•fLO. Με λίγα λόγια οι πραγματικοί μίκτες

μπορούν να δώσουν στην έξοδό τους πολλά σήματα που δεν περιμένουμε και

απαιτείται προσοχή στην επιλογή τους και στη χρήση τους.

3.1.6 Δυναμικό εύρος δέκτη και προϊόντα τρίτης τάξης

H ευαισθησία του δέκτη (Receiver Sensitivity) είναι η ελάχιστη ισχύς εισόδου που

απαιτείται ώστε να πάρουμε ένα δεδομένο σηματοθορυβικό λόγο στην έξοδο (π.χ. 0

dB). Η ευαισθησία είναι συνάρτηση του NF του δέκτη. Πρακτικά μας δείχνει πόσο

χαμηλής ισχύος σήματα μπορεί να «πιάνει» ο δέκτης.

Μεγάλη σημασία στους δέκτες έχει επίσης η ικανότητα χειρισμού ισχυρών

σημάτων. Σε έναν ιδανικό δέκτη η ισχύς εξόδου είναι ανάλογη της ισχύος εισόδου.

Στη πράξη αυτό ισχύει μέχρι μια μέγιστη ισχύ εισόδου. Από εκεί και πάνω ο δέκτης

μπαίνει σε μια περιοχή κορεσμού όπου η ισχύς εξόδου μεταβάλλεται πιο αργά από

την ισχύ εισόδου, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.32. Το σημείο όπου η απόκλιση από τη

γραμμική απόκριση γίνεται 1 dB ονομάζεται σημείο συμπίεσης 1 dB (1 dB

compression point) του δέκτη. Πρακτικά, αύξηση της ισχύος εισόδου πάνω από το

σημείο συμπίεσης έχει ως αποτέλεσμα την υπερθέρμανση του δέκτη καθώς η

επιπλέον ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα.

Το δυναμικό εύρος του δέκτη (dynamic range) είναι ουσιαστικά το εύρος (από

άποψη ισχύος) των σημάτων που μπορεί να χειριστεί ο δέκτης. Μας δείχνει πρακτικά

τη διαφορά ανάμεσα στην στο πιο αδύναμο (καθορίζεται από την ευαισθησία του

53

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

δέκτη) και πιο δυνατό σήμα (καθορίζεται από το σημείο συμπίεσης) που μπορεί να

λάβει ο δέκτης.

Σχήμα 3.17: Διάγραμμα κορεσμού της ισχύος εξόδου του δέκτη

Από τα προϊόντα ετεροδιαμόρφωσης ιδιαίτερη σημασία έχουν τα προϊόντα τρίτης

τάξης δηλαδή τα 2fLO±fC και 2fC±fLO. Αυτά τα σήματα μπορούν να δημιουργήσουν

σημαντικές παρεμβολές και οι κατασκευαστές δίνουν στις προδιαγραφές των

προϊόντων τους το σημείο παρεμβολής τρίτης τάξης στο οποίο η ισχύς της

παρεμβολής γίνεται ίση με την ισχύ του επιθυμητού σήματος εξόδου (σχήμα 3.18).

Το σημείο αυτό είναι θεωρητικό καθώς η εξίσωση των ισχύων γίνεται μετά το σημείο

συμπίεσης 1 dB στο οποίο ο δέκτης ούτως ή άλλως δεν πρέπει να λειτουργεί. Ομοίως

ορίζεται και το σημείο παρεμβολής δεύτερης τάξης.

Σχήμα 3.18: Διάγραμμα προϊόντων δεύτερης και τρίτης τάξης

54

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

3.1.7 Ορθογωνικές συνιστώσες σήματος (I-Q συνιστώσες)

Μια εξαιρετικά χρήσιμη και διαδεδομένη πρακτική στις τηλεπικοινωνίες είναι η

παραγωγή των ορθογωνικών συνιστωσών (I-Q συνιστώσες ή I-Q κανάλια) ενός

σήματος. Η ακριβής σημασία του όρου ξεφεύγει από τα πλαίσια του μαθήματος και

επιπλέον συχνά διαφέρει από περίπτωση σε περίπτωση. Γενικά η ύπαρξη I-Q

συνιστωσών σημαίνει ότι το σήμα που εξετάζουμε έχει χωριστεί (με κάποιο τρόπο)

σε δύο επιμέρους σήματα με διαφορά φάσης 90ο ή έχει χωριστεί σε δύο κλάδους ο

ένας από τους οποίους πολλαπλασιάζεται με ημίτονο συχνότητας fLO και ο άλλος με

συνημίτονο ίδιας συχνότητας. Οι δύο γενικοί αυτοί τρόποι παραγωγής I-Q

συνιστωσών παρουσιάζονται στο σχήμα 3.19. Ο λόγος και ο τρόπος παραγωγής των

I-Q καναλιών εξαρτάται από την εφαρμογή. Εδώ θα δούμε δύο παραδείγματα

χρήσης των I-Q συνιστωσών που βρίσκουν εφαρμογή στη σχεδίαση δεκτών.

55

Σχήμα 3.19: Δύο γενικοί τρόποι παραγωγής I-Q συνιστωσών

Η πρώτη εφαρμογή που θα συζητήσουμε είναι μια διάταξη απαλοιφής της

συχνότητας (fLO+fIF) η οποία παράγεται κατά τη μίξη των συχνοτήτων fLO, fIF.

Όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενη ενότητα η συχνότητα (fLO+fIF) είναι

ανεπιθύμητη και αποκόπτεται με τη χρήση βαθυπερατού φίλτρου το οποίο επιτρέπει

τη διέλευση μόνο της (fLO - fIF). Ο συνδυασμός μίκτη και φίλτρου μπορεί να

αντικατασταθεί από την I-Q διάταξη η οποία φαίνεται στο σχήμα 3.20.

Σχήμα 3.20: I-Q διάταξη απαλοιφής της υψίσυχνης συνιστώσας cos(ωRF+ωLO). Το κουτί 90ο μεταβάλει τη

φάση του εισερχόμενου σήματος κατά 90ο

I

m(t) cos(ωLO)

sin(ωLO)

Q Q 90o

I m(t)

m(t)

m*(t)

cos(ωLO)

sin(ωLO)

Q 90o

I

cos(ωRF-ωLO) cos(ωRF)

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Η διάταξη αυτή μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει 2 εισόδους, τα σήματα cos(ωRF) και

cos(ωLO) ενώ η έξοδός της είναι η cos(ωRF-ωLO). Αυτό προκύπτει πολύ απλά με

χρήση των παρακάτω τριγωνομετρικών ταυτοτήτων:

• 2cos(A)cos(B)=cos(A+B)+cos(A-B) (1)

• cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B)=cos(A-B) (2)

• sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)=sin(A+B) (3)

Η δεύτερη εφαρμογή είναι η απόρριψη παρεμβαλόντων σημάτων που έχουν την ίδια

διαφορά συχνότητας από την συχνότητα τοπικού ταλαντωτή με το επιθυμητό σήμα.

Η φασματική απεικόνιση του προβλήματος παρουσιάζεται στο σχήμα 3.36.

Θεωρείστε για παράδειγμα ότι η συχνότητα τοπικού ταλαντωτή σε υπερετερόδυνο

δέκτη είναι fIF=8 MHz, θέλουμε να ακούσουμε ένα σήμα (πράσινο στο σχήμα) η

φέρουσα του οποίου είναι fΕΠ=10 MHz ενώ στο δέκτη φτάνει και ένα ανεπιθύμητο

σήμα (κόκκινο στο σχήμα) με φέρουσα fΑΝ=6 MHz. Το αποτέλεσμα της μίξης των

δυο σημάτων με τον τοπικό ταλαντωτή είναι ότι και τα δυο μεταφέρονται στην

συχνότητα fIF=2 MHz. Αυτό είναι καταστροφικό για τη λήψη. Είδαμε σε

προηγούμενη ενότητα ότι αυτό το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπισθεί με την

προσθήκη ζωνοπερατού φίλτρου (πριν το μίκτη) συντονισμένου στην fΕΠ ώστε η fΑΝ

να μη φτάσει στο μίκτη. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις όπου η προσθήκη του φίλτρου

είτε δεν είναι εφικτή είτε είναι ανεπαρκής. Τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη

διάταξη του σχήματος 3.22.

Συνθήκη που δημιουργεί το πρόβλημα:FIF = FΑΝ–FLO= FΕΠ –FLO

56

FIF FΑΝ FLO FΕΠ

Σχήμα 3.21: Φασματική απεικόνιση της παρεμβολής σημάτων με ίδια διαφορά συχνότητας από τη

συχνότητα του τοπικού ταλαντωτή.

Στην είσοδο της διάταξης του σχήματος 3.22 υπάρχουν δύο σήματα, το επιθυμητό

cos(ωΕΠt) και το ανεπιθύμητο cos(ωΑΝt). Επομένως η είσοδος του συστήματος είναι

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

το cos(ωΕΠt) +cos(ωΑΝt). Το μπλοκ «90ο Hilbert» μεταβάλλει τη φάση του

εισερχόμενου σήματος κατά +90ο για αρνητικές τιμές της συχνότητας (ω<0) και

κατά -90ο αν ω>0 (μετασχηματισμός Hilbert). Χρησιμοποιώντας τις τριγωνομετρικές

ταυτότητες 1,2,3 καθώς και τις sin(x+90ο)=cos(x), sin(x-90ο)=-cos(x)

μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι η έξοδος της διάταξης είναι η cos(ωΕΠ-ωLO)t.

Παρατηρούμε λοιπόν ότι έχει απαλειφθεί η ανεπιθύμητη διαφορά ωΑΝ-ωLO.

57

Σχήμα 3.22: I-Q διάταξη απόρριψης παρεμβολής (Image Rejection)

3.1.8 Ομόδυνοι δέκτες

Στη διεθνή βιβλιογραφία αναφέρονται ως Direct Conversion ή Zero-IF receivers.

Μπορούν να θεωρηθούν ως ειδική περίπτωση των υπερετερόδυνων δεκτών στην

οποία η συχνότητα του τοπικού ταλαντωτή είναι ίση (ή σχεδόν ίση) με την RF

συχνότητα. Ισχύει δηλαδή fLO=fRF. Η ισότητα αυτή έχει ως αποτέλεσμα το σήμα να

μεταφέρεται στη βασική του ζώνη συχνοτήτων αμέσως μετά την μίξη με τον τοπικό

ταλαντωτή. Στο σχήμα 3.23 φαίνεται ένα σχηματικό διάγραμμα του ομόδυνου

δέκτη. Θεωρητικά ο δέκτης αυτός είναι πιο απλός από τον υπερετερόδυνο αφού

λείπει το στάδιο της ενδιάμεσης συχνότητας. Παρουσιάζει όμως σημαντικά πρακτικά

προβλήματα. Συγκεκριμένα, καθώς όλα τα στοιχεία του RF τμήματος του δέκτη

(κεραία, ενισχυτής, τοπικός ταλαντωτής) λειτουργούν στην ίδια περιοχή συχνοτήτων

(κοντά στην fRF) υπάρχει διαρροή ενέργειας από το ένα στοιχείο στο άλλο όπως

φαίνεται στο σχήμα 3.24. Αποτέλεσμα των διαρροών αυτών είναι η εμφάνιση

ισχυρών DC συνιστωσών στην είσοδο του δέκτη γεγονός το οποίο δημιουργεί

προβλήματα στη λειτουργία του. Γενικά οι ομόδυνοι δέκτες είναι λιγότερο

δημοφιλείς από τους υπερετερόδυνους.

LPF

LPF 90o

Hilbert

I

cos(ωΕΠt) cos(ωΕΠ-ωLO) cos(ωLO)

cos(ωANt) sin(ωLO)

Q

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

FRF

Επιθυμη Σήμα στη βασική ζώνη

58

Σχήμα 3.23: Σχηματικό διάγραμμα ομόδυνου δέκτη.

Σχήμα 3.24: Διαρροή ενέργειας μεταξύ στοιχείων ομόδυνου δέκτη.

RF ενισχυτής και φίλτρο

Τοπικός ταλαντωτής FLO=FRF

Βαθυπερατό φίλτρο

0

2FRF

Ανεπιθύμη

FRF

FLO

Κεραία

LNA

Τοπικός Ταλαντωτής

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

3.2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Από την θεωρία κεραιών είναι γνωστό ότι για να εκπεμφθεί ένα σήμα πρέπει το

μήκος κύματος του σήματος να είναι συγκρίσιμο με το φυσικό μήκος της κεραίας.

Για την ανθρώπινη φωνή (αφού έχει μετατραπεί σε ηλεκτρικό σήμα μέσω κάποιου

μικροφώνου) μπορούμε να θεωρήσουμε:

- μέση συχνότητα f=3kHz

- μήκος κύματος λ=c/f=3·108/3·103=100 km

Επομένως θα χρειαζόταν κεραία μήκους πολλών χιλιομέτρων για να εκπεμφθεί! Έτσι

για κάθε ασύρματη εκπομπή χρησιμοποιούμε ένα ημιτονοειδές σήμα μεγάλης

συχνότητας, γνωστό ως Φέρουσα (διεθνώς Carrier), «πάνω» στο οποίο

«απεικονίζουμε», με κάποιο τρόπο, το πληροφοριακό σήμα. Η «απεικόνιση» αυτή

λέγεται διαμόρφωση.

Ένα ημιτονοειδές σήμα έχει γενικά τη μορφή:

c(t) = A·cos[θ(t)] (3.3α)

όπου

θ(t) = 2π·fc·t + φ(t) (3.3β)

Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι το σήμα χαρακτηρίζεται (α) από το πλάτος του Α

και (β) από τη γωνία του θ(t). Επομένως, αν το σήμα c(t) είναι η φέρουσα, τότε το

πληροφοριακό σήμα m(t) μπορεί να "φορτωθεί", δηλαδή να αλλάξει ή ακριβέστερα

να διαμορφώσει είτε το πλάτος του φορέα είτε τη γωνία του. Έτσι, διακρίνονται δύο

βασικά συστήματα διαμόρφωσης: τα συστήματα διαμόρφωσης πλάτους (ΑΜ) και

τα συστήματα διαμόρφωσης γωνίας. Τα τελευταία, επειδή η γωνία του

ημιτονοειδούς σήματος έχει δύο παραμέτρους, τη συχνότητα fc και τη φάση φ(t),

διακρίνονται σε συστήματα διαμόρφωσης συχνότητας (FM) και σε συστήματα

διαμόρφωσης γωνίας (ΡΜ). Στο κεφάλαιο αυτό, θ’ αναλυθούν τα συστήματα

διαμόρφωσης πλάτους, και στο επόμενο κεφάλαιο τα συστήματα διαμόρφωσης

γωνίας.

59

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

fc

0

∆ιαδικασία διαμόρφωσης

Αρχικό σήμα ή σήμαβασικής ζώνης(Baseband)

∆ιαμορφωμένοσήμα (Passband)

fW n•W

fc

0

∆ιαδικασία διαμόρφωσης

Αρχικό σήμα ή σήμαβασικής ζώνης(Baseband)

∆ιαμορφωμένοσήμα (Passband)

fWW n•Wn•W

Σχήμα 3.25: Σχηματική απεικόνιση των φασματικών αλλαγών που επιφέρει η διαμόρφωση.

Το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι συνήθως μεγαλύτερο από αυτό

του σήματος πληροφορίας (n>1, στο σχήμα 3.25). Η ακριβής τιμή της παραμέτρου n

εξαρτάται από τον τύπο της διαμόρφωσης. Σε αρκετές περιπτώσεις το φάσμα του

διαμορφωμένου σήματος είναι συμμετρικό ως προς την φέρουσα fc αν και κάτι τέτοιο

δεν είναι ούτε απαραίτητο, ούτε πάντα επιθυμητό. Αυτό που ισχύει πάντα είναι ότι η

τιμή της φέρουσας είναι πολύ μεγαλύτερη από την μεγαλύτερη συχνότητα του

σήματος πληροφορίας (αυτό ΔΕΝ απεικονίζεται στο σχήμα 3.25)

Ο πομπός και ο δέκτης μπορούν να χωριστούν σε τρία τμήματα κάθε ένα από τα

οποία λειτουργεί σε διαφορετικές περιοχές συχνοτήτων. Τα τμήματα αυτά

παρουσιάζονται στο σχήμα 3.26 και είναι: (α) το τμήμα βασικών συχνοτήτων

(διεθνώς baseband) χειρίζεται τη καθαρή πληροφορία που θέλει να στείλει ο

χειριστής του πομπού και πρέπει να λάβει ο χειριστής του δέκτη. Η πληροφορία αυτή

μπορεί να είναι φωνή ή δεδομένα το φάσμα των οποίων είναι συνήθως σχετικά

περιορισμένο (μερικές εκατοντάδες kHz), (β) το τμήμα ενδιάμεσων συχνοτήτων

(διεθνώς IF) χειρίζεται το διαμορφωμένο σήμα το οποίο έχει διαφορετικά φασματικά

χαρακτηριστικά από τη καθαρή πληροφορία, η βασικότερη από τις οποίες είναι η

ύπαρξη φέρουσας συχνότητας της τάξης των δεκάδων ή εκατοντάδων MHz, (γ) το

τελευταίο μπλοκ είναι το τμήμα ραδιοσυχνοτήτων (διεθνώς RF) το οποίο είναι

υπεύθυνο για το χειρισμό σημάτων πολύ υψηλών συχνοτήτων, αρκετών

εκατοντάδων MHz ή και GHz. Η κεραία εκπομπής/λήψης είναι μέρος του RF

τμήματος. Μεταξύ των τριών αυτών τμημάτων παρεμβάλλονται συνδυασμοί φίλτρων

και ενισχυτών. Η διάκριση των τριών αυτών τμημάτων δεν έχει μόνο εκπαιδευτική

αξία αλλά κυρίως πρακτική. Κάθε ένα μπλοκ περιλαμβάνει μια πληθώρα από

διαφορετικά κυκλώματα αλλά το βασικό κριτήριο ομαδοποίησης και διαχωρισμού

60

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

τους εδώ είναι η συχνότητα λειτουργίας και αυτό επειδή όλα τα ηλεκτρονικά στοιχεία

και διατάξεις εξαρτώνται από αυτήν. Το ίδιο ακριβώς κύκλωμα απαιτεί διαφορετικά

υλικά, σχεδίαση και κόστος προκειμένου να λειτουργήσει σε διαφορετικές περιοχές

συχνοτήτων. Γενικά όσο μεγαλώνει η συχνότητα τόσο αυξάνει η δυσκολία

σχεδιασμού, η πολυπλοκότητα και το κόστος των κυκλωμάτων.

Πομπός

61

Σχήμα 3.26: Βασικά τμήματα πομπού και δέκτη ανάλογα με τη συχνότητα.

Καθαρή πληροφορία

Διαμορφωμένοσήμα

Κεραία

Βασικές συχνότητες σήματος

Διαμορφωμένο σήμα

Κεραία

Ενδιάμεσες συχνότητες

Υψηλές συχνότητες

Πηγή πληροφορίας

Διαμορφωμένοσήμα

Διαμορφωμένο σήμα

Βασικές συχνότητες σήματος

Ενδιάμεσες συχνότητες

Υψηλές συχνότητες

Δέκτης

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

3.3 ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΠΛΑΤΟΥΣ (Amplitude Modulation, AM) Η διαμόρφωση πλάτους απεικονίζει το σήμα πληροφορίας στο πλάτος της φέρουσας.

Το τι ακριβώς σημαίνει αυτό, φαίνεται στο σχήμα 3.27 (κάτω εικόνα) όπου η

φέρουσα δεν έχει πλέον την κλασσική μορφή του ημιτόνου. Το πλάτος της δεν είναι

σταθερό αλλά ακολουθεί τις μεταβολές του σήματος πληροφορίας (πάνω εικόνα).

Σήμα πληροφορίας(π.χ. φωνή ή εικόνα). Άξονες: x = χρόνος, y = τάση

ΑΜ διαμορφωμένη φέρουσαμε βάση το σήμα πληροφορίας.Άξονες: x = χρόνος, y = τάση

Το πλάτος της διαμορφωμένης φέρουσαςλέγεται περιβάλλουσα (Envelope)

Σήμα πληροφορίας(π.χ. φωνή ή εικόνα). Άξονες: x = χρόνος, y = τάση

Σήμα πληροφορίας(π.χ. φωνή ή εικόνα). Άξονες: x = χρόνος, y = τάση

ΑΜ διαμορφωμένη φέρουσαμε βάση το σήμα πληροφορίας.Άξονες: x = χρόνος, y = τάση

ΑΜ διαμορφωμένη φέρουσαμε βάση το σήμα πληροφορίας.Άξονες: x = χρόνος, y = τάση

Το πλάτος της διαμορφωμένης φέρουσαςλέγεται περιβάλλουσα (Envelope)

Σχήμα 3.27: Πάνω = σήμα πληροφορίας, Κάτω = ΑΜ διαμορφωμένη φέρουσα Από το ίδιο σχήμα είναι φανερό ότι προκειμένου ο δέκτης να ανακτήσει την

πληροφορία που στέλνει ο πομπός πρέπει να αποκόψει την αρνητική περιοχή της

φέρουσας και μετά να απομονώσει την περιβάλλουσα. Υπάρχουν 4 παραλλαγές της

διαμόρφωσης ΑΜ: AM-DSB, AM-DSBSC, AM-SSB και AM-VSB. Στις επόμενες

ενότητες θα παρουσιαστούν οι 3 πρώτες. Η παρουσίαση της ΑΜ-VSB (Vestigial Side

Band) ξεφεύγει από τον σκοπό του παρόντος.

3.3.1 ΑΜ διπλής πλευρικής ζώνης (Double Side Band AM)

3.3.1.α Διαμόρφωση AM-DSB

Πρόκειται για την απλούστερη μορφή ΑΜ διαμόρφωσης. Μαθηματικά περιγράφεται

από την εξίσωση:

s(t) = Ac[1+K·m(t)] ·cos(2π·F

c·t) (3.4α)

62

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

όπου m(t) το σήμα πληροφορίας, c(t)= Ac·cos(2π·F

c·t) η φέρουσα και Κ μια σταθερά

που ονομάζεται ευαισθησία πλάτους.

Η σχέση (3.4α) γράφεται ισοδύναμα:

x(t) = A(t)cos(ωct) (3.4β)

με

A(t) = Ac[1+K·m(t)] (3.4γ)

Από τις εξισώσεις (3.4α,β,γ) γίνεται φανερό ότι η περιβάλλουσα του διαμορφωμένου

σήματος A(t) περιέχει το πληροφοριακό σήμα m(t). Στο σημείο αυτό πρέπει να

σημειωθεί το εξής: Η "έκταση" της διαμόρφωσης του φορέα από το πληροφοριακό

σήμα δεν πρέπει να είναι αυθαίρετα μεγάλη. Συγκεκριμένα, για να έχει η

περιβάλλουσα του διαμορφωμένου σήματος τη μορφή του πληροφοριακού σήματος

θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη:

|K·m(t)|≤1, για κάθε t (3.5)

Αν δεν ισχύει η (3.5) τότε μιλάμε για υπερδιαμόρφωση όπου η πληροφορία

αλλοιώνεται και είναι αδύνατο να ανακτηθεί από τον δέκτη (το οποίο είναι

προφανώς ανεπιθύμητο). Η σχέση (3.5) δηλώνει κάτι απλό: το πλάτος του σήματος

πληροφορίας πρέπει να είναι μικρότερο από το πλάτος της φέρουσας. Σε αντίθετη

περίπτωση η περιβάλλουσα θα έχει αρνητικές τιμές (δες σχήμα 3.27 και 3.28), οι

οποίες θα εξαλειφθούν από τον δέκτη κατά την αποδιαμόρφωση. Ονομάζουμε

ποσοστό διαμόρφωσης την μέγιστη τιμή του γινομένου |K·m(t)|max (η οποία

προκύπτει για m(t)=max[m(t)] και δεν πρέπει να ξεπερνάει το 1 για να μην έχουμε

υπερδιαμόρφωση).

Στα σχήματα (3.28) και (3.29) παρουσιάζονται τυπικές εικόνες ΑΜ διαμορφωμένου

σήματος στην ειδική περίπτωση που το σήμα πληροφορίας είναι ημίτονο. Είναι

φανερή η επίδραση της ευαισθησίας πλάτους (Κ). Ένας ποσοτικός τρόπος για τον

προσδιορισμό της "έκτασης" της διαμόρφωσης είναι η χρησιμοποίηση του δείκτη

διαμόρφωσης m, ο οποίος ορίζεται από τη σχέση:

minmax

minmax

|)(||)(||)(||)(|

tAtAtAtA

m+−

= (3.6)

63

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

K=0.3

K=0.5

K=1

K=0.3

K=0.5

K=1

Σχήμα 3.28: (α) = σήμα πληροφορίας, (β, γ, δ) ΑΜ διαμορφωμένα σήματα για Κ=0,3 - 0,5 και 1 αντίστοιχα. Το σήμα πληροφορίας είναι ημίτονο, ενώ η συχνότητα της φέρουσας είναι 100 φορές

μεγαλύτερη. Για αυτό φαίνεται ως ενιαία μαύρη γραμμή.

Σχήμα 3.29: (α) = σήμα πληροφορίας, (β) υπερδιαμόρφωση με Κ=2. Η περιβάλλουσα δεν είναι πλέον ημίτονο.

64

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Για να βρούμε τις φασματικές απαιτήσεις της ΑΜ διαμόρφωσης υπολογίζουμε τον

Μετασχηματισμό Fourier S(f) της σχέσης (3.4) ο οποίος δίνεται από τη σχέση:

π δ ω ω δ ω ω ω ω ω ωω − + + + − + += i[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

2( ) c

c c c c

K AA Μ ΜS c (3.7)

Σχήμα 3.30: Φάσμα ΑΜ-DSB διαμορφωμένου σήματος.

όπου Μ(ω) είναι ο Μ/Σ Fourier του πληροφοριακού σήματος m(t). Από την εξίσωση

(3.7) γίνεται φανερό ότι αν το Μ(ω) έχει τη μορφή του Σχήματος 3.30α, τότε το

Χ(ω) θα είναι της μορφής που δίνεται στο Σχήμα 3.30β. Τόσο από την εξίσωση (3.7)

όσο και από το σχήμα (3.30) γίνονται αμέσως φανερά τα παρακάτω:

• στο φάσμα του διαμορφωμένου σήματος συμμετέχει και το φάσμα της

φέρουσας Αccos(ω

ct), δηλαδή οι δύο συναρτήσεις δέλτα στις συχνότητες ±ω

c.

• όταν το εύρος ζώνης του πληροφοριακού σήματος είναι W (W= ωmax

στο

σχήμα 3.30) τότε το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος AM είναι

2W. H περιοχή συχνοτήτων (ωc, ω

c + ω

max) του φάσματος του

διαμορφωμένου σήματος ονομάζεται άνω πλευρική ζώνη, ενώ η περιοχή

συχνοτήτων (ωc - ω

max, ω

c) ονομάζεται κάτω πλευρική ζώνη. Η ορολογία

αυτή θα χρειαστεί στη συνέχεια, όταν θα εξεταστεί η διαμόρφωση πλάτους

μιας πλευρικής ζώνης (SSB).

Στη συνέχεια, υπολογίζεται η μέση ισχύς του διαμορφωμένου σήματος AM.

65

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

66

Υπενθύμιση 3.1: υπολογισμός ενέργειας και ισχύος

Σχήμα 3.31: Υπενθύμιση: υπολογισμός ενέργειας και μέσης ισχύος σήματος f(t).

• 2

( )E f t∞

−∞

= ∫ dt

• 2

2

2

1( ) lim ( )

T

TT

P t f t dtT→∞

−

= ∫

2

2Α

• Ισχύς (συν)ημιτόνου πλάτους Α =

Από τις σχέσεις υπολογισμού της ισχύος που δίνονται στην Υπενθύμιση 3.1 και την

εξίσωση (3.4α) προκύπτει ότι η μέση ισχύς είναι:

22

2

1( ) ( )

T

DSB c c mT

P t s t dt P K P PT −

= = +∫ 2 (3.8)

όπου Pc είναι η μέση ισχύς της φέρουσας και Pm είναι η μέση ισχύς του σήματος

πληροφορίας m(t). Για το αποτέλεσμα της εξίσωσης (3.8) χρησιμοποιήθηκαν οι

ακόλουθες παραδοχές:

i) Η μέση τιμή του m(t) είναι ίση με μηδέν, δηλαδή: 2

2

1( ) 0

T

T

m t dtT −

=∫

ii) Το σήμα m(t) είναι αργά μεταβαλλόμενο σε σχέση με τη φέρουσα οπότε:

2

2

1( )cos( ) 0

T

cT

m t t dtT

ω−

=∫

Η εξίσωση (3.8) δείχνει ότι η μέση ισχύς του διαμορφωμένου σήματος "μοιράζεται"

μεταξύ της φέρουσας ( Pc ) και των πλευρικών ζωνών ( P Pc m ). Αυτό όμως σημαίνει

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

ότι ένα κομμάτι από τη μέση ισχύ, που διατίθεται για την εκπομπή του

διαμορφωμένου σήματος, "καταναλώνεται" στη φέρουσα, ενώ θα έπρεπε να

χρησιμοποιείται ολοκληρωτικά για την εκπομπή του πληροφοριακού σήματος,

δηλαδή για την εκπομπή των πλευρικών ζωνών. Αυτό είναι σημαντικό πρόβλημα της

διαμόρφωσης AM. Η απόδοση η της ισχύος ορίζεται ως το πηλίκο της μέσης ισχύος

που μεταφέρει πληροφορία προς τη συνολική ισχύ που εκπέμπεται, δηλαδή:

2 2

2 1c m m

c c m

K P P K PP K P P K P

η = =+ + 2

m

(3.9α)

Στην περίπτωση που το πληροφοριακό σήμα m(t) είναι ημιτονοειδούς μορφής,

δηλαδή m(t) = Αcos(ωmt), η απόδοση γίνεται:

2 2 2 2

2 2 2 2

0.51 0.5 2

K A K AK A K A

η = =+ +

(3.9β)

Για να μην έχουμε υπερδιαμόρφωση πρέπει να ισχύει 1K A⋅ ≤ . Η μέγιστη απόδοση

επιτυγχάνεται για , οπότε η μέγιστη απόδοση ηmax

θα είναι: 1K A⋅ =

ηmax

= 1/3 ή 33.3% (3.9γ)

πράγμα που σημαίνει ότι το 66.7% της μέσης ισχύος του πομπού χάνεται, αφού δε

χρησιμοποιείται για μετάδοση της πληροφορίας αλλά για τη μετάδοση του φορέα.

Στο σχήμα 3.31 φαίνεται το φάσμα ΑΜ διαμορφωμένου ημιτόνου 100 Hz σε

φέρουσα 1000 Hz και η σταδιακή αύξηση της ισχύος των πλευρικών μέχρι την

μέγιστη τιμή που επιτυγχάνεται για Κ=1. Τα σχήματα 3.29 και 3.31 έχουν

δημιουργηθεί με το m-file που ακολουθεί:

67

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

68

% Ορισμός σταθερών fs=8000; f_sig=100; fc=1000; As=1; Ac=1; ka = 0.5; Tmax=10; l_fft=2048; % Ορισμός χρόνου, σήματος πληροφορίας και διαμορφωμένου σήματος t=0: 1/fs:Tmax; signal=As*sin(2*pi*f_sig*t); outam = Ac*(1+ka*signal) .*cos(2*pi*fc.*t); % Υπολογισμός FFT figure(1) subplot(2,1,1), plot(t,signal,'b-'); subplot(2,1,2), plot(t,outam,'r-'); f1 = (0:(l_fft/2)-1)*fs/l_fft; f1 = f1'; f2 = (0:(l_fft/2)-1)*fs/l_fft; f2 = f2'; S_signal = fft(signal,l_fft); S_outam = fft(outam,l_fft); % Σχεδίαση FFT figure(2) subplot(2,1,1) plot(f1,abs(S_signal(1:l_fft/2))) title('Spectrum of original signal') ylabel('Amplitude') xlabel('Frequency (Hz)') grid on; subplot(2,1,2) plot(f2,abs(S_outam(1:l_fft/2))) title('Spectrum of AM modulated signal') ylabel('Amplitude') xlabel('Frequency (Hz)') grid on;

Κώδικας Μ3.1: προσομοίωση της ΑΜ-DSB διαμόρφωσης στο Matlab.

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

K=0.3

K=1

K=0.3

K=1

K=0.3

K=1

Σχήμα 3.31: Το φάσμα της φέρουσας (1000 Hz) και των πλευρικών για διαφορετικά Κ. Είναι φανερό ότι

καθώς το Κ αυξάνει, αυξάνει η ισχύς των πλευρικών χωρίς όμως να φτάνει ποτέ σε ικανοποιητικό επίπεδο.

3.3.1.β Αποδιαμόρφωση ΑΜ-DSB

H αποδιαμόρφωση (ή φώραση) του σήματος AM μπορεί να γίνει με τη βοήθεια

του κυκλώματος που φαίνεται στο Σχήμα 3.32α, το οποίο διαχωρίζει την

περιβάλλουσα από την φέρουσα. Το κύκλωμα αποδιαμόρφωσης είναι ένας απλός

συνδυασμός μιας διόδου (που αποκόπτει τα αρνητικά της φέρουσας) και ενός

βαθυπερατού φίλτρου με συχνότητα αποκοπής μεγαλύτερη της μέγιστης συχνότητας

του σήματος πληροφορίας και μικρότερης της φέρουσας. Η σχέση (3.10) είναι η

συνθήκη αποδιαμόρφωσης και προκύπτει εύκολα από τα παραπάνω δεδομένου ότι η

συχνότητα αποκοπής είναι fcutoff = 1/2πR1C1

Σχήμα 3.32α: απλό κύκλωμα ΑΜ φωρατή περιβάλλουσας. Στη δεξιά εικόνα ο συνδυασμός C2, R2

δημιουργεί ένα επιπλέον βαθυπερατό φίλτρο για την πλήρη εξομάλυνση του σήματος.

69

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Σχήμα 3.32β: από το διαμορφωμένο σήμα (επάνω), στην αρχική πληροφορία.

Στο σχήμα 3.32β παρουσιάζεται η διαδοχή των σημάτων από την είσοδο προς την

έξοδο του κυκλώματος αποδιαμόρφωσης. Το διάστημα κατά το οποίο το σήμα

εισόδου είναι θετικό η δίοδος D άγει και ο πυκνωτής C φορτίζεται στη μέγιστη τιμή

του σήματος εισόδου. Όταν το σήμα εισόδου μειωθεί από τη μέγιστη τιμή του, η

δίοδος σταματά να άγει και ο πυκνωτής εκφορτίζεται μέσω της αντίστασης R. Η

εκφόρτιση διαρκεί μέχρι το σήμα εισόδου να αποκτήσει ξανά τιμή μεγαλύτερη της

στιγμιαίας τάσης του πυκνωτή, οπότε η δίοδος άγει και πάλι κ.ο.κ. Η σταθερά

χρόνου RC πρέπει να είναι τέτοια ώστε η μεταβολή της τάσης Uc μεταξύ διαδοχικών

κύκλων να είναι τουλάχιστον ίση με τη μείωση του σήματος εισόδου μεταξύ

διαδοχικών κύκλων.

1 1

1 1

c

R Cf W

(3.10)

Για την αποδιαμόρφωση ΑΜ σημάτων χρησιμοποιείτε πολύ συχνά ο υπερετερόδυνος

δέκτης που παρουσιάστηκε στην ενότητα 3.1. Το σήμα εισόδου στον δέκτη δίνεται

από την εξίσωση (3.4α) και ο τοπικός ταλαντωτής πρέπει να παράγει ένα

ημιτονοειδές σήμα της ίδιας συχνότητας και φάσης με την φέρουσα (για το λόγο

αυτό ονομάζεται σύμφωνη αποδιαμόρφωση). Εάν υπάρξει κάποιο σφάλμα, είτε στη

φάση είτε στη συχνότητα, δημιουργούνται σοβαρά προβλήματα, που οδηγούν στην

παραμόρφωση του σήματος εξόδου του βαθυπερατού φίλτρου. Οι σχετικοί

υπολογισμοί παρουσιάζονται στην άσκηση 5.

70

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

3.3.2 AM Διπλής Πλευρικής Ζώνης με Kαταπιεσμένη Φέρουσα (AM DSB Suppressed Carrier , AM-DSBSC)

Η AM-DSBSC είναι βελτιωμένη εκδοχή της AM-DSB, καθώς δεν σπαταλάει ενέργεια

για την μετάδοση της φέρουσας: εκπέμπονται μόνο οι δύο πλευρικές. Η εξίσωση που

περιγράφει ένα ΑΜ-DSBSC σήμα στο πεδίο του χρόνου είναι:

x(t) = Acm(t)cos(ωct) (3.11)

όπου m(t) είναι το σήμα πληροφορίας. Η διαμόρφωση αυτή μπορεί να υλοποιηθεί με

τη διάταξη που φαίνεται στο σχήμα 3.33 η οποία ονομάζεται ισορροπημένος

διαμορφωτής. Το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος DSBSC μπορεί να βρεθεί

από το μετασχηματισμό Fourier της εξίσωσης (3.11) και είναι:

X Μ Μc( ) [ ( ) ( )]ω ω ω ω= − + +12 cω (3.12)

c(t)=Ac cos(wt)

m(t)

s(t)=m(t) Ac cos(wt)s(t)=m(t) Ac cos(wt) + Ac cos(wt)

c(t)= -Ac cos(wt)

-m(t)

s(t) = m(t) Ac cos(wt)

s(t)= m(t) Ac cos(wt) - Ac cos(wt)

s(t)= 2 m(t) Ac cos(wt)

Σχήμα 3.33: διαμορφωτής AM-DSBSC.

Από την εξίσωση (3.12) γίνεται φανερό ότι η φέρουσα έχει εξαλειφθεί από το τελικό

διαμορφωμένο σήμα και έτσι η ισχύς κατανέμεται αποκλειστικά στις δυο πλευρικές

ζώνες (σχήμα 3.34). Εδώ, η απόδοση είναι η = 1 (100%) και με τις υποθέσεις ότι το

πληροφοριακό σήμα m(t) έχει μηδενική μέση τιμή και μεταβάλλεται αργά σε σχέση

με τη "γρήγορη" φέρουσα cos(ωct), η μέση ισχύς του σήματος DSBSC είναι:

DSBSC c mP P= P (3.13)

71

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Σχήμα 3.34: φάσμα AM-DSBSC διαμορφωμένου σήματος.

Για την αποδιαμόρφωση ενός AM-DSBSC σήματος αρκεί η χρήση υπερετερόδυνου

δέκτη όπου η έξοδος του βαθυπερατού φίλτρου είναι 0.5m(t). Αυτό προκύπτει

εύκολα, με την παρατήρηση ότι το σήμα, που εισέρχεται στο φίλτρο, είναι:

x t t m t t m t m t tc c( )cos( ) ( )cos ( ) ( ) ( )cos( )ω ω= = +2 12

12

2 cω (3.14)

ενώ το φάσμα του είναι:

ℑ = + − + +[ ( )cos( )] ( ) [ ( ) ( )]x t t M M Mc cω ω ω ω ω ω12

14

2 c2 (3.15)

Από τη σχέση (3.15) γίνεται φανερό ότι ο δεύτερος και τρίτος όρος του φάσματος,

είναι το φάσμα του m(t) κεντραρισμένο γύρω από τη συχνότητα ±2ωc και θα κοπεί

από το φίλτρο. Έτσι, το φάσμα του σήματος στην έξοδο του φίλτρου είναι ο πρώτος

όρος της εξίσωσης (3.15), δηλαδή στο πεδίο του χρόνου το σήμα στην έξοδο του

φίλτρου είναι 0.5m(t) (ο πρώτος όρος της σχέσης 3.14).

Όταν το εύρος ζώνης του πληροφοριακού σήματος είναι W (W= ωmax

στο σχήμα

3.34) τότε το εύρος ζώνης του AM-DSBSC διαμορφωμένου σήματος είναι 2W

(όπως και στην ΑΜ-DSB).

Στο σχήμα 3.35 παρουσιάζεται η χρονική μορφή ενός AM-DSBSC σήματος, για σήμα

εισόδου το οποίο είναι άθροισμα δύο ημιτόνων. Η περιβάλλουσα του διαμορφωμένου

σήματος δεν ταυτίζεται πλέον με το σήμα πληροφορίας. Έτσι δεν μπορεί να γίνει

αποδιαμόρφωση με κυκλώματα φώρασης όπως αυτά του σχήματος (3.32α).

72

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

(α) (β)

Σχήμα 3.35: (α) σήμα πληροφορίας m(t)= 0.5cos(2π800t)-0.5 cos(2π1200t) και (β) το αντίστοιχο AM-

DSBSC διαμορφωμένο σήμα. Με πράσινο φαίνεται το αρχικό σήμα πάνω στο πλάτος της φέρουσας.

3.3.3 AM Μονής Πλευρικής Ζώνης (AM Single Side Band, AM-SSB)

Σχήμα 3.36: φάσμα AM-SSB με την πάνω πλευρική (USB) και την κάτω πλευρική (LSB).

Στους δύο προηγούμενους τύπους της ΑΜ διαμόρφωσης, το απαιτούμενο εύρος

ζώνης του διαμορφωμένου σήματος είναι διπλάσιο από αυτό του σήματος

73

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

πληροφορίας. Αυτό οφείλεται στο ότι κατά τον πολ/σμό ενός πραγματικού σήματος

με τη φέρουσα (ημίτονο ή συνημίτονο) δημιουργούνται δύο πλευρικές ζώνες (άνω

και κάτω) οι οποίες περιέχουν ουσιαστικά το ίδιο πληροφοριακό περιεχόμενο.

Επομένως αρκεί η εκπομπή της μιας μόνο πλευρικής για τη μετάδοση της

πληροφορίας. Η διαμόρφωση που επιτυγχάνει το αποτέλεσμα αυτό είναι η AM-SSB,

η οποία διακρίνεται σε SSB άνω πλευρικής ζώνης (SSB-Uper Side Band ή απλά

USB) και SSB κάτω πλευρικής ζώνης (SSB-Lower Side Band ή απλά LSB). Στο

σχήμα 3.36 παρουσιάζονται τα φάσματα των σημάτων USB και LSB. Είναι ξεκάθαρο

ότι το απαιτούμενο εύρος ζώνης είναι ίσο με το εύρος ζώνης του σήματος

πληροφορίας.

BSSB = ωmax (3.15)

ενώ η μέση εκπεμπόμενη ισχύς είναι η μισή της AM-DSBSC, δίνεται επομένως από

την:

P P Pc m=0 5. (3.16)

Από τις εξισώσεις (3.15) και (3.16) φαίνεται καθαρά η βελτίωση, που προσφέρει η

SSB διαμόρφωση, όσον αφορά τις απαιτήσεις του πομπού σε ισχύ και εύρος ζώνης.

Το τίμημα που πληρώνουμε για τις παραπάνω βελτιώσεις, είναι η αυξημένη

πολυπλοκότητα στη σχεδίαση και κατασκευή του πομπού (και δέκτη) και επομένως

το μεγαλύτερο χρηματικό κόστος.

Μια "προφανής" μέθοδος δημιουργίας ενός σήματος SSB είναι η χρήση κατάλληλου

ζωνοπερατού φίλτρου, που "κόβει" τη μια πλευρική ζώνη από ένα σήμα DSBSC. Η

διαδικασία αυτή φαίνεται στο Σχήμα 3.37 για την περίπτωση της διαμόρφωσης SSB-

USB. Σημειώνεται ότι η τεχνική αυτή δεν είναι γενικά εύκολο να υλοποιηθεί στην

πράξη, εκτός αν το πληροφοριακό σήμα δεν έχει φασματικό περιεχόμενο στις

χαμηλές συχνότητες. Ο λόγος είναι ότι τα φίλτρα, τα οποία πρέπει να

χρησιμοποιηθούν, πρέπει να έχουν πολύ απότομη χαρακτηριστική συνάρτηση

μεταφοράς, πράγμα που στην πράξη είναι πολύ δύσκολο.

Στη πράξη για τη διαμόρφωση SSB χρησιμοποιούνται κυκλώματα αλλαγής φάσης.

Για να γίνει κατανοητή η τεχνική αυτή, υποθέτουμε ότι το πληροφοριακό σήμα m(t)

είναι ημιτονοειδές, δηλαδή m(t) = cos(ωmt). Τότε, το σήμα DSBSC είναι:

1 1( ) cos( )cos( ) cos[( ) ] cos[( ) ]

2 2DSBSC m c c m c mx t t t tω ω ω ω ω ω= = − + t+

(3.17)

Η άνω και κάτω πλευρική ζώνη (USB) του διαμορφωμένου σήματος είναι αντίστοιχα:

74

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

75

t( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )SSB USB m c m cx t t t tω ω ω− ω= − (3.18)

( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )SSB LSB m c m cx t t t t tω ω ω− ω= + (3.19)

Οι σχέσεις (3.24) δείχνουν τον τρόπο υλοποίησης της διαμόρφωσης SSB (Σχήμα

3.38).

Σχήμα 3.37: Διαμόρφωση σήματος SSB-USB με χρήση ζωνοπερατού φίλτρου.

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

Σχήμα 3.38: Δημιουργία ενός σήματος SSB, όταν το πληροφοριακό σήμα είναι ημιτονοειδές.

Μπορεί ν’ αποδειχτεί ότι αυτό, που ισχύει για την περίπτωση ημιτονοειδούς

πληροφοριακού σήματος, ισχύει και για την περίπτωση τυχαίου σήματος. Δηλαδή,

στη γενική περίπτωση ισχύει:

x t m t t m tSSB USB c c− = −( ) ( )cos( ) ( )sin( )^

ω ω t tω και

(3.20)

x t m t t m tSSB LSB c c− = +( ) ( )cos( ) ( )sin( )^

ω

όπου είναι το σήμα που προκύπτει με ολίσθηση του m(t) κατά 90° σε κάθε

συχνότητα και το οποίο ονομάζεται Μετασχηματισμός Hilbert του m(t) και

ορίζεται από τη σχέση:

m t^

( )

m t Μ t d M e di t^ ^( ) ( )sin( ) ( )= =

+∞

−∞

+∞

∫ ∫1 1

20πω ω ω

πω ω ω (3.21)

Ο μετασχγματισμός Fourier του αποδεικνύεται ότι δίνεται από τη

σχέση:

M^

( )ω m t^

( )

MiΜiΜ

^( )

( )ω

ω ωω ω

=−⎧⎨⎩

, > 0 ( ) , < 0

(3.22)

Στη συνέχεια, δίνονται μερικά παραδείγματα για το Μετασχηματισμό αυτό.

i) m(t) = 1/(1 + t2). Τότε M(ω) = πexp(-|ω|) και m t t t

^( ) ( )= +1 2 .

ii) m(t) = . Τότε 1 , | | < 10 , | | > 1

tt

⎧⎨⎩

Μ( )sin

ωω

ω=2 και m t

tt

^( ) ln=

+−

1 11π

.

76

Σημειώσεις Η/Ν – Δ’ έτους ΣΝΔ Γιώργος Βαρδούλιας

77