15

والتفاضلالنهايات، االستمرار، المشتقات

النهايات، درسنا في المحاضرة السابقة التوابع وأنواعها وخواصها األساسية. سندرس في هذه المحاضرة

لهذه التوابع. والتفاضلاالستمرار، المشتقات

(Limitsالنهايات )

تابع تعريف نهاية

يعتبر مفهوم النهاية من المفاهيم األساسية في الرياضيات وبشكل خاص في التحليل الرياضي في حساب

وتفاضالت التوابع ويكمن مفهوم النهاية في مسألتي ايجاد المستقيم المماس لخط بياني لتابع ما عند تكامالت

نقطة من المنحني البياني. وايجاد المساحة بين المنحني البياني لتابع ما ومحور الفواصل.

.( أول من عرف بدقة مفهوم النهاية في صورته الحاليةCouchyوكان العالم الفرنسي كوشي )

من مجاله أو خارج مجاله البد من معرفة تغيرات قيم هذا oxفي نقطة xf)(ولفهم مفهوم النهاية للتابع

أكثر فأكثر فإذا كانت تغيرات قيم هذا التابع تقترب من قيمة oxتقترب من القيمة xالتابع عندما تكون قيم

Rllxfونكتب: oxتقترب من xعندما lتقترب من xf)(قلنا أن lمعينة oxx

,)(lim

.oxتؤول إلى xعندما lهي xf)(نهاية التابعوتقرأ

lim)33(أوجد :)1(مثال 2

2

xx

)(33هنا 2 xxf ومجاله 2تابع حدودي من الدرجةR ونالحظ كلما اقتربتX كلما اقتربت 2من

)(xf لذلك نقول أن 9من2

lim ( ) 9x

f x

. ( وفي هذا المثال كان بإمكاننا أن نعوض قيمةx=2 في )

)(xf (2)ونحصل على 9f

يؤدي إلى نتائج غير معروفة.لكن يوجد حاالت يصعب فيها التعويض وقد

أوجد :)2(مثال 1

32lim

2

1

x

xx

x

المحاضرة الثانية

16

نالحظ أن الدالة النسبية 1

32)(

2

x

xxxf ( غير معرفة عندx=1 وهذا يعني أنه عند إيجاد )

1lim ( )x

f x l

عندماx ال يمكن التعويض مباشرة في قاعدة االرتباط للتابع ألن عند التعويض 1تؤول إلى

نحصل على قيمة غير معرفة

0

0 xf)(. وهنا نحاول التخلص من القيمة غير المعرفة وذلك بتحليل التابع

ونحصل على :

)1(,321

)1)(32()(

xx

x

xxxf

ومنه

532lim)(lim11

xxfxx

كلما اقترب 5تقترب من xf)(( لكن يمكننا مالحظة أن x=1وهنا نالحظ أنه ال يتم التعويض مباشرة لـ )

ومن اليسار مثال ),......001,1(، )0009,1(سواء من اليمين مثال 1من xالمتغير

)9999,0,9995,0,(......

gfhإذا كانت التوابع نظرية الحصر: )()()(تحقق المتباينة ,, xgxhxf لكلx من جوار

أو ال يحويها وكانت oxيحوي

lim ( ) lim ( )x a x a

f x g x l

lxhفإن: ox

)(lim

أوجد :)3(مثال x

xx

1sinlim 2

0

1نعلم أن الحل:1

sin1 x

0لكل 1

sin 222 xxx

xx

وبما أن

0lim 2

0

xx

0فإن 1

sinlim0 2

0

x

xx

0ومنه حسب نظرية الحصر فإن: 1

sinlim 2

0

x

xx

المرحلة الثانوية ألفنا النظرية التالية:من مالحظة:

17

نظرية: إن:0 0

sin 1 cos1) lim 1 2) lim 0

x x

x x

x x

0

3) lim 1x

tg x

x تقبل بدون برهان().

نتائج هامة:

0,sin

sinlim)5

1tan

lim)4

2

cos1lim)3

0cos1

lim)2

sinlim)1

0

0

2

20

0

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

احسب النهايات اآلتية: :(4)مثال

x

xiii

x

xii

x

xi

xxx

2

coslim)(

cos1lim)(

4

7sinlim)

2

200

الحل:

0 0

sin 7sin 7 77) lim lim

44 4

7

x x

xx xi

xx

x

2

1

2

1.1

cos1

1lim.

sinlim

)cos1(

cos1lim

)cos1(

)cos1)(cos1(lim

cos1lim)(

02

2

0

2

2

02

02

0

xx

x

xx

x

xx

xx

x

xii

xx

xxx

18

بوضع

)2

cos(sin

02

,2

,2

yy

yxyxxy

1sin

lim

)2

cos(

lim

2

coslim)(

00

2

y

y

y

y

x

xiii

yyx

أوجد :)5(مثال

3

0

2 53lim

4sinx

x x

x

)4

53

4

2(

sin0

limsin4

532

0

lim 23

xx

x

xx

xx

x

4

53)

4

530(1)

4

53

2

1(

0

lim.sin

0

lim 2

x

xx

x

x

أي أن:4

53

sin

3

0

lim3

x

xx

x

(The Continuity) ستمرارالا 2.

تعريف استمرار التابع

تلعب دورا في تعريف النهاية أوفي a= قيمة التابع في نقطة مافي دراسة نهايات التوابع لم نؤكد أن

تحقق ، خصائصها وقد وجدنا أن هناك بعض التوابع مثل كثيرات الحدود والتابعين المثلثيين

مثل هذه التوابع التي تحقق هذه الخاصة تسمى توابع مستمرة)متصلة(. العالقة:

تتحقق إذا كان aمستمر في النقطة aالتي تحوي النقطة Aعلى المجموعة لمعرفا التابع نقول إن

:هيشروط ثالثة

.aمعرفا عند fأن يكون التابع (1

.نهاية عندما f( أن يكون للتابع 2

0x

sincos

0

0limx x

f x f x

f

x a

19

.a( أن تكون هذه النهاية مساوية لقيمة التابع عند 3

أثبت أن التابع: :(6) مثال

a=0 عند النقطة غير مستمر

غير موجودة )لماذا؟(. لكن نالحظ أن: الحل:

.مستمر على أثبت أن التابع : :)7( مثال

:الحل

منأن التابع مستمر عند كل قيمة يعنيوهذا مجموعة تعريفه التابع عبارة عن كثيرة حدود فإنبما أن

أثبت أن التابع :(8)مثال

a=1غير مستمر عند النقطة

لدينا الحل: 1 2f ،لكن: فرضا

. a=1إذن التابع غير مستمر عند

مفهوم النهاية من اليمين والنهاية من اليسار في النقطة على ذلك aعرفنا سابقا نستطيع إعطاء وقياسا

.a تعريف مماثل لالستمرار من اليمين واالستمرار من اليسار في

إذا كان: aمن اليمين في النقطة ا مستمر fيكون التابع

إذا كان: aمستمر من اليسار في النقطة fويكون التابع

مستمرا من اليمين ومن اليسار fإذا وفقط إذا كان aيكون مستمرا في النقطة fاعتمادا على ذلك نجد أن

.a في

1

, 0

1, 0

xf x x

x

0 1f 0 0

1lim limx x

f xx

2 5f x x R

R

R

3 1, 1

1

2, 1

xx

f x x

x

2

2

1 1 1

1 1lim lim lim 1 3 1

1x x x

x x xf x x x f

x

limx a

f x f a

limx a

f x f a

20

.a = 0 في النقطة ادرس استمرار التابع : )9( مثال

فقط حيث aفي النقطةاسة استمراره من اليمين لذا سوف نقصر در نالحظ أن: الحل:

أن: 0 0

lim ( ) lim 0 0x x

f x x f

إذن التابع .f 0 مستمر من اليمين فيa .

ادرس استمرارية التابع: :(10) مثال

2,1;3

1;0

1,0;1

)(

xx

x

xx

xf

: الحل 1 1

lim ( ) lim 3 3 1 2x x

f x x

1 1

lim ( ) lim 1 1 1 2x x

f x x

)1(0هي 1xوقيمة التابع في النقطة f .

النقطة، عندئذ يكون وبما أن النهاية من اليمين تساوي النهاية من اليسار ولكنها ال تساوي قيمة التابع في تلك

، والتابع غير مستمرا.1xالتابع منقطعا في النقطة

ادرس استمرارية التابع تدريب:

3,2;2

2;1

2,0;3

)(

xx

x

xx

xf

(Derivation) :االشتقاق .3

تعريف مشتق تابع

التابعنسمي نهاية نسبة تزايد xfxxfy إلى تزايد المتغير المستقلx عندما يسعى تزايد

. ونكتب:y=f(x) التابعالمتغير المستقل إلى الصفر إذا كانت موجودة بمشتق

x

yxfy

x

0lim

أو:

xfdx

d

dx

dy

f x x

0,D f

21

مالحظات:

القابل للمفاضلة على هذه المجموعة. أو بكالم لتابعبا Xعلى مجموعة ملك مشتقي الذيالتابع سمى ي -1

إذا كان قابل لالشتقاق في هذه النقطة. xفي النقطة أنه قابل للمفاضلة y=f(x) التابعآخر نقول عن

ر أن العكس غير في هذه النقطة. غيكون مستمر ي التابعفي نقطة ما، فإن قابل للمفاضلة التابعإذا كان -2

كون قابل لالشتقاق.ي غير المستمر يمكن أن التابعصحيح بالضرورة. حيث أن

.امستمر تابعاكون يالمستمر ليس بالضرورة أن التابع مشتق

القواعد األساسية في االشتقاق:

:عندئذما فة ومستمرة على مجالالمدروسة معر التوابعبفرض أن (1

0)1 ycy

2) y u v w y u v w

3) y uv y u v uv

2)4

v

uvvuy

v

uy

مشتق التوابع الصحيحة: (2

2

1

1'

1

2

n n

n n

y x y

y x y x

y x y nx

y u x y n u x u x

22

:)11(مثال 3 2

5 2 3.5 5 2y x y x

مشتق التوابع األسية:3)

'

ln .

x x

x x

u x u x

x x

y e y e

y e y e

y e y u x e

y a y a a

:)12(مثال 2 23 31) 6x xy e y xe

2) 3 3 .ln3x xy y

:مشتق التوابع اللوغرتمية 4)

1lny x y

x )i

ii)

'

ln ; 0u x

y u x y u xu x

:)13(مثال

5ln 5 4

5 4y x y

x

:مشتق التوابع الجذرية5)

1; 0

2y x y x

x )i

ii)

'

; 02

u xy u x y u x

u x

(:14ل )مثا

23

3

3 1; 0

2

xy x x y x

x x

23

مشتق التوابع المثلثية 6)

تابع الجيب

sin cosy x y x )i

ii) 'sin cosy u x y u x u x

:)15(مثال sin 5 3 5cos 5 3y x y x

تابع التجب

cos siny x y x )i

ii) 'cos siny u x y u x u x

:(16)مثال

cos 5 3 5sin 5 3y x y x

تابع الظل

2tan 1 tany x y x )i

ii) ' 2tan 1 tany u x y u x u x

:(17)مثال

2 2 2tan 5 4 10 1 tan 5 4y x y x x

حاالت عدم التعيين وطرق إزالتها: 3)

توجد سبع حاالت عدم تعيين هي:

، ، ، ، ، ،

0

0

01000

24

كما يلي: باستخدام )قاعدة أوبيتال( نستطيع إزالة هذه الحاالت وذلك

الحالة األولى -10

0:

)(إذا كل من )قاعدة أوبيتال(: نظرية xf ،( )g x تابعان معرفان وقابالن لالشتقاق على المجالI

نقطة من هذا المجال : aولتكن

limوإذا كانت: ( ) ( ) 0, lim ( ) ( ) 0x a x a

g x g a f x f a

وكان '( ) 0 , ( ) 0g x g x مهما كان\{ }x I aوإذا وجدت النهاية ،

' ( )lim

'( )x a

f x

g x: ، عندئذ يكون

( ) '( )lim lim

( ) '( )x a x a

f x f x

g x g x

هذه النظرية بدون برهان.تقبل

: احسب النهاية :)18(مثال 0

coslim

x

x xx

e x

e e

: نالحظ أنالحل: ( ) 0

lim( ) 0

0

f x

g xx

لذلك نطبق قاعدة أوبيتال:( ) cos

lim lim( )

0 0

x

x x

f x e x

g x e ex x

2

1

11

01sin

0

lim

xx

x

ee

xe

x

إذا طبقنا على نهاية ما من النوع مالحظة:0

0قاعدة أوبيتال وحصلنا مجددا على عدم تعيين من النوع

0

0

فإنه باستطاعتنا أن نطبق من جديد القاعدة ويكون :

( ) '( ) "( )lim lim lim

( ) '( ) "( )

f x f x f x

g x g x g xx a x a x a

25

من النوع وذلك بشرط أن تكون النهاية األخيرة موجودة وإذا حصلنا مجددا على عدم تعيين0

0فإننا نعود

إلى أن نحصل على قيمة معينة.… ونطبق القاعدة وهكذا

الحالة الثانية – 2

:

)(ليكن لدينا xf ،( )g x تابعان معرفان وقابالن لالشتقاق على المجالIلتكن وa نقطة من هذا

limذا كان فإالمجال ( ) , lim ( )x a x a

g x f x

وكان' ( ) 0g x

فإن: ( ) '( )

lim lim( ) '( )x a x a

f x f x

g x g x

احسب النهاية :)19(مثال nx

x

x

loglim

0nمن أجل

الحل: هذه النهاية من الشكل

لذلك:

0.

1lim

1

limlog

lim1

nnn xnx

xn

x

xx

x

x

أوجد قيمة النهاية :)20(مثال

: نالحظ أن البسط ينتهي إلى الصفر والمقام أيضا ينتهي إلى الصفر فيكون لدينا عدم تعيين من الشكل الحل

إلزالته نطبق قاعدة لوبيتال: ،

،

، :نجد

2

10

lnlim

sin

x

x

e x c

x

0

0

1sinx x 2 lnxx e x c

2

1

1x

x

2 12 xx e

x c

26

منهو

يمكننا استخدام قاعدة لوبيتال أكثر من مرة في التمرين الواحد. مالحظة:

اوجد قيمة النهاية :)21(مثال

ونجد أن كال من التابعين: : أيضا نحصل على حالة عدم تعيين من الشكل الحل

قابال لالشتقاق في الجوار األيسر للواحد وذلك ألن و

واآلن لنحسب كما أن )أي في جوار الصفر(، األصغر من الواحد معرف من أجل قيم

المشتقات:

،

نجد ثم نعوض في النهاية،

لذلك نطبق قاعدة لوبيتال مرة ثانية: وهذه تمثل حالة عدم تعيين من الشكل

(Differential) التفاضل:

:تفاصل تابع تعريف

نطلق على xxf التابع سم تفاضلاy=f(x) في النقطةx ونرمز لهذا التفاضل بـdy أوdf(x) :إذن

dxxfdy

2

0 0 0

2

12

1lim lim lim 2

1

1

x

x x x

ex x x c

x x c

x

2

0

ln 1lim

tan2

x

x

x

2ln 1x x tan2

x x

x

x 0x

2

2

1

xx

x

22cos2

x

x

2

21 0 1 0

4 cos2lim lim1x x

x xx

x x

0

0

2

1 0

cos 2 sin4 4 02lim 0

2 2x

x x x

x

27

نجد السابقة من العالقة dx

dyxf وهو رمز المشتق الذي مر معنا سابقا. نالحظ أخيرا أن التفاضلdy

في حين أن المشتق dxو xيتعلق بـ xf يتعلق بـx .فقط

خواص التفاضل:

التالية قابلة لالشتقاق فإن: بعوالتبفرض أن ا

dwdvduwvud

dycy

)()2

0)1

udvvduuvd )()3

24) ( )

u vdu udvd

v v

تمارين

أثبت أن التابع (1

.x=1 غير مستمر عند النقطة

اآلتية: التوابعأوجد مشتقات ( 2

12

1)1ln)

1)1

)

2)253)

2

2

2

2

xx

xyfxye

xydxx

yc

xybxxya

اآلتية: التوابعأوجد مشتقات (3

xxyxxy

ba

baxy

xxxy

x

xyxxy

1)612)5

)41

32)3

2

2)223ln)1

2

3

3 2

2

22

3 1, 1

1

2, 1

xx

f x x

x

28

2cos)12sin)11

sin)10cossin

cossin)9

1

2)8sin)7

32

2

2

2

xyxy

xyxx

xxy

x

xyxxy

References:

1) Biostatistics : For the Biological And Health Sciences.Marc M. Triola، M.D

Mario F. Triola

2) College Mathematics : For Business، Economics، Life Sciences، and Social

Sciences. R.A Barnett + M.R. Ziegler + K.E. Byleen

Name: Soueycatt Mohamed

Email: soueycatt55@hotmail.com

إضافات مدرس المقرر