: vue d’artiste d’un piège magnéto-optique (cha- · michel le bellac physique quantique 2e...

Illustration de couverture : Vue dartiste dun pige magnto-optique (cha-pitre 15). Ces piges sont devenus un outil de base de la physique atomique,et ils servent en particulier dans lobtention de condensats de Bose-Einstein(chapitre 14). c National Institute of Standards and Technology (NIST) /Science Photo Library.

c 2007, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc dactivits de Courtabuf,91944 Les Ulis Cedex AetCNRS DITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris.

Tous droits de traduction, dadaptation et de reproduction par tous procds rservspour tous pays. Toute reproduction ou reprsentation intgrale ou partielle, par quelqueprocd que ce soit, des pages publies dans le prsent ouvrage, faite sans lautorisationde lditeur est illicite et constitue une contrefaon. Seules sont autorises, dune part, lesreproductions strictement rserves lusage priv du copiste et non destines une utili-sation collective, et dautre part, les courtes citations justifies par le caractre scientifiqueou dinformation de luvre dans laquelle elles sont incorpores (art. L. 122-4, L. 122-5et L. 335-2 du Code de la proprit intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent treralises avec laccord de lditeur. Sadresser au : Centre franais dexploitation du droitde copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tl. : 01 43 26 95 35.

ISBN EDP Sciences 978-2-86883-998-5ISBN CNRS ditions 978-2-271-06584-1

Michel Le Bellac

Physique quantique

2e dition

S A V O I R S A C T U E L S

EDP Sciences/CNRSDITIONS

Table des matires

Prface de la premire dition xiii

Avant-propos de la premire dition xv

Avant-propos de la deuxime dition xix

1 Introduction 11.1 Structure de la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 chelles de longueur : de la cosmologie aux particuleslmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 tats de la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Constituants lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Interactions (ou forces) fondamentales . . . . . . . . . . 8

1.2 Physique classique et physique quantique . . . . . . . . . . . . 101.3 Un peu dhistoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Le rayonnement du corps noir . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Leffet photolectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Ondes et particules : interfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.1 Hypothse de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.2 Diffraction et interfrences avec des neutrons froids . . . 201.4.3 Interprtation des expriences . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.4 Ingalits de Heisenberg I . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.5 Interfromtre de Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . . 30

1.5 Niveaux dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.1 Niveaux dnergie en mcanique classique et modles

classiques de latome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.2 Latome de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.3 Ordres de grandeur en physique atomique . . . . . . . . 37

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.7 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

iv Physique quantique

2 Mathmatiques de la mcanique quantique I : dimension finie 472.1 Espaces de Hilbert de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 482.2 Oprateurs linaires sur H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.1 Oprateurs linaires, hermitiens, unitaires . . . . . . . . 492.2.2 Projecteurs et notation de Dirac . . . . . . . . . . . . . 51

2.3 Dcomposition spectrale des oprateurs hermitiens . . . . . . . 532.3.1 Diagonalisation dun oprateur hermitien . . . . . . . . 532.3.2 Diagonalisation dune matrice 2 2 hermitienne . . . . 552.3.3 Ensemble complet doprateurs compatibles . . . . . . . 562.3.4 Oprateurs unitaires et oprateurs hermitiens . . . . . . 582.3.5 Fonctions dun oprateur . . . . . . . . . . . . . . . . . 58


3 Polarisation : photon et spin 1/2 653.1 Polarisation de la lumire et polarisation dun photon . . . . . 65

3.1.1 Polarisation dune onde lectromagntique . . . . . . . . 653.1.2 Polarisation dun photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1.3 Cryptographie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2 Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2.1 Moment angulaire et moment magntique en physique

classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.2.2 Exprience de Stern-Gerlach et filtres de Stern-Gerlach 843.2.3 tats de spin dorientation arbitraire . . . . . . . . . . . 873.2.4 Rotation dun spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.2.5 Dynamique et volution temporelle . . . . . . . . . . . . 95


4 Postulats de la physique quantique 1054.1 Vecteurs dtat et proprits physiques . . . . . . . . . . . . . . 106

4.1.1 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.1.2 Proprits physiques et mesure . . . . . . . . . . . . . . 1084.1.3 Ingalits de Heisenberg II . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.2 volution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.2.1 quation dvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.2.2 Oprateur dvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.2.3 tats stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.2.4 Ingalit de Heisenberg temporelle . . . . . . . . . . . . 1224.2.5 Points de vue de Schrdinger et de Heisenberg . . . . . 126

4.3 Approximations et modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.5 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Table des matires v

5 Systmes nombre de niveaux fini 1395.1 Chimie quantique lmentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.1.1 Molcule dthylne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.1.2 Molcule de benzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.2 Rsonance magntique nuclaire (RMN) . . . . . . . . . . . . . 1465.2.1 Spin 1/2 dans un champ magntique priodique . . . . 1475.2.2 Oscillations de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.2.3 Principes de la RMN et de lIRM . . . . . . . . . . . . . 152

5.3 La molcule dammoniac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.3.1 La molcule dammoniac comme systme deux niveaux1565.3.2 La molcule dans un champ lectrique :

le maser ammoniac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.3.3 Transitions hors rsonance . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.4 Atome deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.4.1 Absorption et mission de photons . . . . . . . . . . . . 1665.4.2 Principes du laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170


6 tats intriqus 1776.1 Produit tensoriel de deux espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 178

6.1.1 Dfinition et proprits du produit tensoriel . . . . . . . 1786.1.2 Systme de deux spins 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.2 Oprateur statistique (ou oprateur densit) . . . . . . . . . . . 1826.2.1 Dfinition et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.2.2 Oprateur statistique rduit . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.2.3 Oprateur statistique pour un systme deux niveaux 1906.2.4 Non-unicit de la prparation . . . . . . . . . . . . . . . 1936.2.5 Dpendance temporelle de loprateur statistique . . . . 1956.2.6 Postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.3 Corrlations quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.3.1 tats de Bell et de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.3.2 Ingalits de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026.3.3 Contextualit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.4 Dcohrence et mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.4.1 Dfinition de la dcohrence . . . . . . . . . . . . . . . . 2086.4.2 Modle pour lmission spontane . . . . . . . . . . . . . 2116.4.3 Modle de von Neumann pour la mesure . . . . . . . . . 2126.4.4 Modle de Zurek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.4.5 La rduction du paquet dondes . . . . . . . . . . . . . . 218

6.5 Information quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.5.1 Thorme de non-clonage quantique . . . . . . . . . . . 2196.5.2 Calcul quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.5.3 Tlportation quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

vi Physique quantique


7 Mathmatiques de la mcanique quantique II :dimension infinie 2417.1 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

7.1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2417.1.2 Ralisations despaces sparables et de dimension infinie 243

7.2 Oprateurs linaires sur H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2457.2.1 Domaine et norme dun oprateur . . . . . . . . . . . . 2457.2.2 Conjugaison hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

7.3 Dcomposition spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.3.1 Oprateurs hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.3.2 Oprateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252


8 Symtries en physique quantique 2558.1 Transformation dun tat dans une opration de symtrie . . . 256

8.1.1 Invariance des probabilits dans une oprationde symtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

8.1.2 Thorme de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2598.2 Gnrateurs infinitsimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

8.2.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2618.2.2 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2638.2.3 Relations de commutation des gnrateurs

infinitsimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2648.3 Relations de commutation canoniques . . . . . . . . . . . . . . 269

8.3.1 Cas de la dimension d = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2698.3.2 Ralisation explicite et commentaires . . . . . . . . . . . 2718.3.3 Lopration parit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

8.4 Invariance galilenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2758.4.1 Hamiltonien en dimension d = 1 . . . . . . . . . . . . . 2758.4.2 Hamiltonien en dimension d = 3 . . . . . . . . . . . . . 278


9 Mcanique ondulatoire 2879.1 Diagonalisation de X et de P ; fonctions donde . . . . . . . . . 288

9.1.1 Diagonalisation de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2889.1.2 Ralisation dans L(2)x (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2909.1.3 Ralisation dans L(2)p (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2929.1.4 Ingalits de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2939.1.5 volution du paquet dondes libre . . . . . . . . . . . . 295

Table des matires vii

9.2 quation de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2989.2.1 Hamiltonien de lquation de Schrdinger . . . . . . . . 2989.2.2 Probabilit de prsence et vecteur courant . . . . . . . . 299

9.3 Rsolution de lquation de Schrdinger indpendante du temps 3029.3.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3029.3.2 Rflexion et transmission par une marche de potentiel 3049.3.3 tats lis du puits carr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3069.3.4 Diffusion par un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

9.4 Potentiel priodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3149.4.1 Thorme de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3149.4.2 Bandes dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

9.5 Mcanique ondulatoire en dimension d = 3 . . . . . . . . . . . . 3199.5.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3199.5.2 Espace de phase et densit de niveaux . . . . . . . . . . 3229.5.3 Rgle dor de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325


10 Moment angulaire 33910.1 Diagonalisation de J 2 et de Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33910.2 Matrices de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34310.3 Moment angulaire orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

10.3.1 Oprateur moment angulaire orbital . . . . . . . . . . . 34810.3.2 Proprits des harmoniques sphriques . . . . . . . . . . 352

10.4 Particule dans un potentiel central . . . . . . . . . . . . . . . . 35510.4.1 quation donde radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35510.4.2 Atome dhydrogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

10.5 Distributions angulaires des dsintgrations . . . . . . . . . . . 36410.5.1 Rotations de , parit, rflexion par rapport un plan 36410.5.2 Transitions dipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36610.5.3 Dsintgrations : cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . 371

10.6 Composition de deux moments angulaires . . . . . . . . . . . . 37310.6.1 Composition de deux spins 1/2 . . . . . . . . . . . . . . 37310.6.2 Cas gnral : composition de deux moments angulaires

J1 et J2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37510.6.3 Composition des matrices de rotation . . . . . . . . . . 37810.6.4 Thorme de Wigner-Eckart (oprateurs scalaires et

vectoriels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37910.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38210.8 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

viii Physique quantique

11 Oscillateur harmonique 39311.1 Loscillateur harmonique simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

11.1.1 Oprateurs de cration et dannihilation . . . . . . . . . 39411.1.2 Diagonalisation du hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . 39511.1.3 Fonctions donde de loscillateur harmonique . . . . . . 398

11.2 tats cohrents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40011.2.1 Dfinition et proprits lmentaires . . . . . . . . . . . 40011.2.2 Oprateurs de dplacement et de phase . . . . . . . . . 403

11.3 Quantification du champ lectromagntique . . . . . . . . . . . 40711.3.1 Quantification dun mode . . . . . . . . . . . . . . . . . 40811.3.2 Cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

11.4 tats du champ lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . 41811.4.1 Fluctuations quantiques du champ lectromagntique 41811.4.2 Lames sparatrices et dtection homodyne . . . . . . . . 42111.4.3 Hamiltonien de Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . . 425

11.5 Mouvement dans un champ magntique . . . . . . . . . . . . . 42911.5.1 Invariance de jauge locale . . . . . . . . . . . . . . . . . 42911.5.2 Champ magntique uniforme : niveaux de Landau . . . 432


12 Mthodes semi-classiques 44912.1 Propagateurs et fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . 452

12.1.1 Propagateur de lquation de Schrdinger . . . . . . . . 45212.1.2 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45312.1.3 Propagateur libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

12.2 Lintgrale de Feynman-Ka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45612.2.1 Mouvement brownien et diffusion . . . . . . . . . . . . . 45612.2.2 Propagateur euclidien et fonction de partition . . . . . . 46012.2.3 Intgrale de chemin de Feynman . . . . . . . . . . . . . 463

12.3 Applications de lintgrale de chemin . . . . . . . . . . . . . . . 46512.3.1 Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46512.3.2 Intgrale de chemin en prsence dun champ magntique 46712.3.3 Leffet Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

12.4 Lapproximation BKW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47312.4.1 Forme asymptotique de la fonction donde . . . . . . . . 47312.4.2 Formules de raccordement . . . . . . . . . . . . . . . . . 47512.4.3 Phnomne de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47712.4.4 tats lis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47912.4.5 Effet tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

12.5 Mcanique quantique dans lespace de phase . . . . . . . . . . . 48512.5.1 Conditions pour une reprsentation dans lespace de phase48512.5.2 La distribution de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . 48812.5.3 Distribution de Wigner pour les tats purs . . . . . . . 490

Table des matires ix

12.6 Thorme adiabatique et phases gomtriques . . . . . . . . . . 49112.6.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49112.6.2 Thorme adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49412.6.3 La phase gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496


13 Thorie lmentaire de la diffusion 50913.1 Section efficace et amplitude de diffusion . . . . . . . . . . . . . 509

13.1.1 Sections efficaces diffrentielle et totale . . . . . . . . . . 50913.1.2 Amplitude de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

13.2 Ondes partielles et dphasages . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51513.2.1 Dveloppement en ondes partielles . . . . . . . . . . . . 51513.2.2 Diffusion basse nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51913.2.3 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52313.2.4 Diffusion neutron-proton basse nergie . . . . . . . . . 525

13.3 Diffusion inlastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52713.3.1 Thorme optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52713.3.2 Potentiel optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

13.4 Dveloppements formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53113.4.1 quation intgrale de la diffusion . . . . . . . . . . . . . 53113.4.2 Diffusion dun paquet dondes . . . . . . . . . . . . . . . 533


14 Particules identiques 54514.1 Bosons et fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

14.1.1 Symtrie ou antisymtrie du vecteur dtat . . . . . . . 54614.1.2 Spin et statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

14.2 Diffusion de particules identiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 55614.3 tats collectifs de fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

14.3.1 Le gaz de Fermi temprature nulle . . . . . . . . . . . 55914.3.2 Oprateurs de cration et dannihilation . . . . . . . . . 56114.3.3 Oprateurs de champ et hamiltonien . . . . . . . . . . . 56414.3.4 Autres formes du hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . 568

14.4 tats collectifs de bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57114.4.1 La condensation de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . 57114.4.2 Lquation de Gross-Pitaevskii . . . . . . . . . . . . . . 57514.4.3 Lapproximation de Bogoliubov . . . . . . . . . . . . . . 578


x Physique quantique

15 Atomes un lectron 58915.1 Mthodes dapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

15.1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58915.1.2 Cas dune valeur propre simple de H0 . . . . . . . . . . 59115.1.3 Cas dun niveau dgnr . . . . . . . . . . . . . . . . . 59215.1.4 Mthode variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

15.2 Atomes un lectron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59515.2.1 Niveaux dnergie en labsence de spin . . . . . . . . . . 59515.2.2 Structure fine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59515.2.3 Effet Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59815.2.4 Structure hyperfine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

15.3 Interaction atome-champ lectromagntique . . . . . . . . . . . 60215.3.1 Thorie semi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60215.3.2 Approximation dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60415.3.3 Effet photolectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60615.3.4 Champ lectromagntique quantifi : mission spontane 60915.3.5 Dcohrence par mission de photons . . . . . . . . . . 614

15.4 Corrlations de photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61715.4.1 Dtection de photons et fonctions de corrlation . . . . 61715.4.2 Cohrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62015.4.3 Exprience de Hanbury Brown et Twiss . . . . . . . . . 623

15.5 Manipulation datomes par laser . . . . . . . . . . . . . . . . . 62615.5.1 quations de Bloch optiques . . . . . . . . . . . . . . . 62615.5.2 Forces dissipatives et forces ractives . . . . . . . . . . . 63015.5.3 Refroidissement Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63215.5.4 Pige magnto-optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638


16 Atomes complexes et molcules 65116.1 Latome deux lectrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651

16.1.1 Ltat fondamental de latome dhlium . . . . . . . . . 65116.1.2 tats excits de latome dhlium . . . . . . . . . . . . . 654

16.2 Modle en couches de latome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65616.2.1 Potentiel effectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65616.2.2 Couplage spin-orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658

16.3 Molcules diatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66016.3.1 Fonctions donde lectroniques . . . . . . . . . . . . . . 66016.3.2 Niveaux de rotation-vibration . . . . . . . . . . . . . . . 663


Table des matires xi

17 Systmes quantiques ouverts 66917.1 Superoprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671

17.1.1 Reprsentation de Kraus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67117.1.2 Modle pour lamortissement de phase . . . . . . . . . . 675

17.2 quations pilotes : la forme de Lindblad . . . . . . . . . . . . . 67717.2.1 Lapproximation markovienne . . . . . . . . . . . . . . . 67717.2.2 Lquation de Lindblad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67917.2.3 Exemple : loscillateur harmonique amorti . . . . . . . . 681

17.3 Couplage un bain thermique doscillateurs . . . . . . . . . . . 68317.3.1 quations dvolution exactes . . . . . . . . . . . . . . . 68317.3.2 Dduction de lquation pilote . . . . . . . . . . . . . . 68517.3.3 Relaxation dun systme deux niveaux . . . . . . . . . 68817.3.4 Mouvement brownien quantique . . . . . . . . . . . . . 69117.3.5 Dcohrence dun paquet dondes . . . . . . . . . . . . . 696


Appendice A : Thorme de Wigner et renversement du temps 705A.1 Dmonstration du thorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706A.2 Renversement du sens du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708

Appendice B : Mthode de Wigner et Weisskopf 715

Appendice C : Constantes physiques 721

Rfrences 723

Index 733

Prface de la premire dition

La naissance de la physique quantique date dun sicle et cette des-cription des phnomnes physiques, qui a transform notre vision dumonde, nest toujours pas remise en cause, ce qui est exceptionnel pour unethorie scientifique. Ses prdictions ont toujours t vrifies par lexprienceavec une prcision impressionnante. Les concepts fondamentaux, comme lesamplitudes de probabilit, les superpositions linaires dtats, qui semblentsi tranges pour notre intuition lorsquon les rencontre pour la premire fois,restent toujours essentiels. Une volution importante sest cependant manifes-te au cours des dernires dcennies. Les progrs spectaculaires des techniquesdobservation, des mthodes de manipulation des atomes, permettent mainte-nant de raliser des expriences si dlicates quelles ntaient considres quecomme des expriences de pense par les pres fondateurs de la mcaniquequantique. Lexistence de corrlations quantiques non sparables , qui est la base du paradoxe de EinsteinPodolskyRosen et qui viole les fameusesingalits de Bell, a pu tre confirme exprimentalement avec une grandeprcision. Les tats intriqus de deux systmes, qui manifestent de tellescorrlations quantiques, sont mieux compris, et sont mme utiliss pour desapplications concrtes, comme la cryptographie quantique. Lintrication dunappareil de mesure avec son environnement se rvle une piste intressantepour une meilleure comprhension du processus de mesure.

Paralllement ces progrs conceptuels, on assiste galement une inva-sion de notre monde quotidien par des dispositifs dont le principe de fonc-tionnement repose sur des phnomnes quantiques. Les sources laser qui sontutilises pour la lecture des disques compacts, lophtalmologie ou les tl-communications optiques, sont bases sur lamplification de lumire par dessystmes atomiques dont les populations sont inverses. La rsonance magn-tique des noyaux des atomes est couramment utilise dans les hpitaux pourprendre des images de plus en plus prcises des organes du corps humain.Des millions de transistors sont inclus dans les puces qui permettent nosordinateurs deffectuer des oprations des vitesses prodigieuses.

Il est donc clair quun enseignement moderne de la physique quantique doittenir compte de ces dveloppements, pour donner ltudiant ou au chercheurqui dsire sinstruire une image plus prcise des progrs raliss et pour ac-crotre sa motivation de mieux comprendre des phnomnes physiques dont

xiv Physique quantique

limportance conceptuelle et pratique est de plus en plus vidente. Cest cedfi quessaie de relever avec succs Michel Le Bellac dans le prsent ouvrage.

Chacun des 14 chapitres de ce livre contient en effet, en plus dun exposclair et concis des notions de base, de nombreuses discussions prsentant desdveloppements conceptuels ou exprimentaux trs rcents, qui permettentau lecteur de se faire une ide prcise des avances de la discipline et de sesgrandes tendances dvolution. Le chapitre 6 sur les tats intriqus est bien ca-ractristique dun tel choix de prsentation. Au lieu de mettre laccent sur lesproprits mathmatiques du produit tensoriel de deux espaces dtats, ce quiest un peu austre et rbarbatif, ce chapitre prfre centrer la discussion sur lanotion dintrication, et introduire de nombreux exemples de dveloppementsthoriques et exprimentaux (dont certains sont trs nouveaux) : ingalits deBell, tests de ces ingalits, en particulier les plus rcents utilisant la conver-sion paramtrique, les tats GHZ (Greenberger, Horne, Zeilinger), la notionde dcohrence illustre par des expriences modernes dlectrodynamiquequantique en cavit, et qui sera reprise plus en dtail dans une annexe, latlportation. Comme on le voit, il est difficile dimaginer une immersion pluscomplte dans lun des domaines les plus actifs actuellement de la physiquequantique. De nombreux exemples de prsentation moderne peuvent tre don-ns propos dautres chapitres : interfrences dondes de de Broglie ralisesavec des neutrons lents ou des atomes refroidis par laser ; microscopie effettunnel ; fluctuations du champ quantique et effet Casimir ; transformations dejauge non abliennes ; quations de Bloch optiques ; forces radiatives exercespar des faisceaux laser sur les atomes ; pige magnto-optique ; oscillations deRabi dans le vide dune cavit, etc.

Je suis vraiment admiratif devant leffort fait par lauteur pour donner son lecteur une vision si moderne et si attrayante de la physique quantique.Certes, les dveloppement dcrits ne peuvent pas toujours tre analyss engrand dtail, et le lecteur devra fournir une effort personnel pour parvenir une comprhension plus approfondie du sujet tudi. Il sera aid en cela par labibliographie dtaille quil trouvera, soit au cours du chapitre sous forme denotes en bas de page, soit la fin de chaque chapitre. Je suis convaincu quuntel ouvrage permettra une meilleure comprhension de la physique quantiqueet stimulera un plus grand intrt pour cette discipline aussi centrale. Jeremercie Michel Le Bellac pour cette contribution importante qui va certai-nement donner une image plus vivante de la physique.

Claude Cohen-Tannoudji

Avant-propos de la premiredition

Ce livre est issu de cours donns Nice dans les annes 19701980, en matrise de physique et en DEUG MP deuxime anne, etplus rcemment en licence et en matrise de physique. Les dix premierschapitres correspondent un cours de base de mcanique quantique ni-veau licence et les quatre derniers chapitres peuvent servir comme com-plment de cours en matrise, par exemple pour un cours de physiqueatomique. Le livre contient environ 130 exercices de longueur et de dif-ficult varies ; plus des trois quarts de ces exercices ont t effective-ment utiliss pour des sances de travaux dirigs ou des examens. Lescorrigs dune slection de ces exercices sont disponibles sur le site webhttp://livres.edpsciences.org/livres/sa_physique_quantique/

En plus des tudiants de second cycle et des coles dIngnieurs, ce livreest susceptible dintresser un large public de physiciens : tudiants de DEAou de thse, chercheurs, enseignants du second degr ou du suprieur sou-haitant rafrachir leurs connaissances en physique quantique. Il contient desdveloppements rcents qui ne figurent pas dans les manuels classiques : tatsintriqus, cryptographie et calcul quantiques, expriences sur la dcohrence,interaction dun champ laser avec un atome deux niveaux, fluctuations quan-tiques du champ lectromagntique, manipulation datomes par laser, etc.,ainsi quen annexe un expos succinct des ides actuelles sur la mesure enmcanique quantique.

Lorganisation du livre diffre profondment de celle des textes classiques,qui prennent tous comme point de dpart lquation de Schrdinger et ltu-dient dans diverses configurations, ce qui oblige exposer les principes debase de la mcanique quantique dans un cas qui nest pas le plus simple eta linconvnient de masquer ces principes par des calculs souvent fastidieux.Je me suis efforc au contraire de prsenter les fondements de la mcaniquequantique sur les exemples les plus simples et lquation de Schrdinger ap-parat seulement au chapitre 9. Lapproche suivie consiste mener jusqu son terme la logique quavait adopte Feynman (Feynman et al. [1965]) :dvelopper au maximum une approche algbrique et exploiter les symtries,

xvi Physique quantique

en prsentant la mcanique quantique dans son cadre autonome, sans fairerfrence la physique classique. Cette logique a de nombreux avantages.

Lapproche algbrique permet de traiter des problmes simples dans desespaces de dimension finie, par exemple de dimension deux : polarisationdun photon, spin 1/2, atome deux niveaux. . .

Cette approche permet dnoncer de la faon la plus claire les postulatsde la mcanique quantique, en sparant ce qui est fondamental de cequi ne lest pas (par exemple le principe de correspondance nest pas unpostulat fondamental).

Lexploitation des proprits de symtrie permet lintroduction la plusgnrale des grandeurs physiques fondamentales : impulsion, momentangulaire. . . comme gnrateurs infinitsimaux de ces symtries, sansfaire appel au principe de correspondance et un analogue classique.

Un dernier avantage est que le lecteur qui souhaite sinitier aux dve-loppements rcents de linformation quantique peut se limiter aux sixpremiers chapitres. On peut parfaitement comprendre les bases de lacryptographie quantique sans tre pass au pralable par le dveloppe-ment de la fonction donde en harmoniques sphriques et la rsolutionde lquation de Schrdinger dans un potentiel central !

Les aspects pdagogiques ont fait lobjet dune attention particulire. La pro-gression des chapitres a t soigneusement tudie, les premiers chapitres uti-lisant uniquement les espaces de dimension finie ; cest seulement une fois lesbases acquises que lon passe au cas gnral partir du chapitre 7, tandis queles chapitres 11 14 et les annexes font appel des techniques plus avancesqui pourront intresser les physiciens professionnels. Un effort a t port surle vocabulaire, afin dviter certaines expressions historiquement dates et quipeuvent tre un obstacle la comprhension de la mcanique quantique : sui-vant la modernisation du vocabulaire prconise par Lvy-Leblond, grandeurphysique est utilis au lieu d observable , ingalit de Heisenberg aulieu de principe dincertitude , des expressions comme complmentarit ou dualit onde-corpuscule ont t vites, etc.1

Les chapitres cls du livre, cest--dire ceux qui divergent de la faon laplus vidente de lexpos traditionnel, sont les chapitres 3, 4, 5, 6, et 8. Lechapitre 3 introduit lespace des tats sur lexemple de la polarisation des pho-tons et montre comment passer dune amplitude ondulatoire une amplitudede probabilit. Le spin 1/2 introduit demble le lecteur un problme sansanalogue classique (ou si peu. . .). Les proprits essentielles du spin 1/2 (al-gbre des matrices de Pauli, matrices de rotation. . .) sont obtenues partir des

1. J.-M. Lvy-Leblond Mots et maux de la physique quantique Bull. U. Phys. 816,1129 (1999).

Avant-propos de la premire dition xvii

deux seules hypothses : (1) la dimension deux de lespace des tats ; (2) lin-variance par rotation. La prcession de Larmor du spin quantique permetdintroduire lquation dvolution. Ce chapitre prpare le lecteur lnoncdes postulats de la mcanique quantique au chapitre suivant : il lui est pos-sible dans chaque cas dillustrer ces postulats de faon concrte en revenantaux exemples du chapitre 3. La distinction entre le cadre conceptuel gn-ral de la mcanique quantique et la modlisation dun problme concret estsoigneusement explique. Le chapitre 5 met en pratique la mcanique quan-tique sur des applications simples et physiquement importantes, dans le casde systmes dont le nombre de niveaux est fini, avec comme cas particulier ladiagonalisation dun hamiltonien en prsence dune symtrie priodique. Cechapitre introduit galement sur lexemple de la molcule dammoniac linter-action dun systme deux niveaux atomique ou molculaire avec un champlectromagntique et les notions fondamentales dmission et dabsorption.

Le chapitre 6 est consacr aux tats intriqus. On sest rendu compte delimportance de ces tats depuis le dbut des annes 1980, mais ils sont igno-rs par la plupart des manuels, lexception notable de celui de Basdevant etDalibard [2001]. Ce chapitre traite aussi bien des applications fondamentales :ingalits de Bell, interfrences deux photons, thorie de la mesure, que desapplications concrtes potentielles linformation quantique. Le chapitre 8 acomme objectif ltude des symtries partir du thorme de Wigner, quiest gnralement ignor des manuels malgr son importance cruciale. La sy-mtrie de rotation permet de dfinir le moment angulaire comme gnrateurinfinitsimal, et de dmontrer immdiatement les relations de commutationde J en soulignant leur origine gomtrique. Les relations de commutationcanoniques de X et P sont dduites de lidentification de limpulsion commegnrateur infinitsimal des translations. Enfin, on obtient la forme la plusgnrale du hamiltonien compatible avec linvariance galilenne, moyennantune hypothse sur la loi de transformation de la vitesse. Ce hamiltonien serarinterprt ultrieurement dans le cadre de linvariance de jauge locale.

Les autres chapitres peuvent se rsumer comme suit. Le chapitre 1 poursuitun triple objectif : (1) introduire des notions de base de physique microsco-pique auxquelles il sera fait appel dans la suite du livre ; (2) introduire lecomportement des particules quantiques, la conventionnelle dualit onde-corpuscule ; (3) laide de latome de Bohr, expliquer simplement la notionde niveau dnergie et de spectre de niveaux. Le chapitre 2 prsente les no-tions essentielles sur lespace de Hilbert dans le cas de la dimension finie. Lechapitre 7 donne quelques indications sur les espaces de Hilbert de dimensioninfinie ; le but nest videmment pas de traiter les mathmatiques de faonrigoureuse, mais de prvenir le lecteur de certaines difficults de la dimensioninfinie.

Les six derniers chapitres sont consacrs des applications plus classiques.Le chapitre 9 prsente la mcanique ondulatoire et ses applications usuelles(effet tunnel, tats lis du puits carr, potentiel priodique...). Les relations

xviii Physique quantique

de commutation du moment angulaire ayant t tablies au chapitre 8, lechapitre 10 dbute par la construction des tats propres de J 2 et Jz et setermine par le thorme de Wigner-Eckart pour les oprateurs vectoriels. Lechapitre 11 dveloppe la thorie de loscillateur harmonique et celle du mou-vement dans un champ magntique constant, ce qui est loccasion de donnerquelques explications sur linvariance de jauge locale. Une section importantetraite des champs quantifis : champ de vibrations et phonons, champ lectro-magntique et ses fluctuations quantiques. Les chapitres 12 et 13 sont consa-crs la diffusion et aux particules identiques. Enfin le chapitre 14 est unebrve introduction la physique de latome un lectron, lobjectif principaltant de calculer les forces sur un atome deux niveaux plac dans le champdun laser et den discuter les applications, dont le refroidissement Doppler etles piges magnto-optiques.

Les annexes contiennent des sujets qui sont techniquement un peu plusexigeants. La dmonstration du thorme de Wigner et lopration de ren-versement du sens du temps sont expliques en dtail. Des complments surla thorie et les expriences sur la dcohrence et une discussion des idesactuelles sur la mesure se trouvent dans lannexe B. Enfin lannexe C contientune discussion de la mthode de Wigner et Weisskopf pour les tats instables.

Remerciements. Jai bnfici des critiques et suggestions de Pascal Baldi,Jean-Pierre Farges, Yves Gabellini, Thierry Grandou, Jacques Joffrin, Chris-tian Miniatura et tout particulirement de Michel Brune ( qui je suis aussiredevable des figures 6.9, B.1 et B.2), Jean Dalibard, Fabrice Mortessagne,Jean-Pierre Romagnan et Franois Rocca qui ont lu de larges extraits, ouparfois mme lintgralit du manuscrit. Je remercie galement David Wil-kowski qui a inspir le texte de plusieurs exercices du chapitre 14. Je suis bienentendu entirement responsable du texte final. Laide de Karim Bernardet etde Fabrice Mortessagne, qui ma initi XFIG et install le logiciel, a t dci-sive dans la ralisation des figures, et je tiens remercier Christian Taggiascopour sa comptence et sa disponibilit dans linstallation et la maintenancede lensemble des logiciels ncessaires. Enfin ce livre naurait pas vu le joursans les encouragements et le soutien sans faille de Michle Leduc, et je suistrs reconnaissant Claude Cohen-Tannoudji qui a bien voulu le prfacer.

Nice, mars 2003Michel Le Bellac

N.B. Cet ouvrage utilise le point dcimal.

Avant-propos de la deuximedition

Jai souhait faire de cette seconde dition un ouvrage qui puisseservir aussi bien de manuel denseignement que de rfrence (ou du moinsdintroduction la littrature) pour des sujets qui ont pris aujourdhui unegrande importance : tats intriqus, dcohrence, information quantique, tatsdu champ lectromagntique, intgrale de chemin, atomes froids, condensatsde Bose-Einstein, quations pilotes pour les systmes ouverts, etc. Cette se-conde dition, contrairement la premire qui tait avant tout un livre den-seignement, couvre une trop grande varit de sujets pour quelle puisse encorecorrespondre un cours de premire anne de master (M1). Un guide de lec-ture est propos au lecteur afin de lui permettre de sorienter dans un coursdintroduction la mcanique quantique.

Je rsume maintenant les principales diffrences par rapport la premiredition. Jai complt le chapitre 1 par une sous-section 1.4.5 sur les lamessparatrices et linterfromtre de Mach-Zehnder. Le chapitre 5 (Systmes nombre de niveaux fini) a t remani : une nouvelle section (5.2) est consa-cre la RMN, comme exemple dapplication des oscillations de Rabi, et unecourte sous-section (5.4.2) expose le principe du laser. Le chapitre 6 (tatsintriqus) a t rcrit 80 %. La thorie de loprateur statistique (ou den-sit) a t considrablement dveloppe, ainsi que celles de la dcohrenceet de la mesure. La section 6.5 sur linformatique quantique a t compl-te par une analyse dtaille du thorme de non-clonage quantique et delalgorithme de recherche de Grover. Dans le chapitre 9 (Mcanique ondula-toire), jai supprim plusieurs passages sur les puits et barrires de potentielen crneau. Le chapitre 11 (Oscillateur harmonique) a t complt par unediscussion dtaille des tats cohrents, de la quantification et des tats duchamp lectromagntique et par des applications : dtection homodyne, lec-trodynamique en cavit. Le chapitre 12 (Mthodes semi-classiques) est enti-rement nouveau. Il traite de lintgrale de chemin, aussi bien dans son aspecttemps rel que temps euclidien, de la mthode BKW, de la distribution deWigner et de la phase gomtrique. On trouve maintenant dans le chapitre 14(Particules identiques, ancien chapitre 13) une introduction la secondequantification ainsi quaux condensats de Bose-Einstein. Une section (15.4)

xx Physique quantique

sur la dtection et le comptage de photons a t ajoute au chapitre 15. Lechapitre 16 (nouveau) contient une courte introduction aux atomes complexeset aux molcules diatomiques, et le chapitre 17 (galement nouveau) une in-troduction aux quations pilotes des systmes quantiques ouverts : quationsde Lindblad, relaxation de systmes deux niveaux, mouvement brownienquantique. Compte tenu de la nouvelle rdaction du chapitre 6, lancien ap-pendice B a t supprim.

Guide de lecture

Seules les sections 1.3 1.5 du chapitre 1 sont indispensables pour la suite,et le chapitre 2 peut tre omis par le lecteur qui possde le niveau L2 enalgbre. Les chapitres 3 et 5 constituent, mon avis, le cur dune introduc-tion la mcanique quantique : les principes de base sont introduits sur lesexemples de la polarisation du photon et du spin 1/2, et le rle de la sym-trie de rotation est mis en valeur dans le cas du spin 1/2. Des applicationssimples de ces principes de base sont exposes dans le chapitre 5 : rsolutionde lquation de Schrdinger indpendante du temps pour des problmes dechimie quantique lmentaire, oscillations de Rabi, atome deux niveaux,le tout illustr par la RMN et le laser. Le chapitre 4 (Postulats de la m-canique quantique) est un peu plus abstrait : le lecteur pourra se contenterdune premire prise de contact, et y revenir aprs avoir acquis un peu plusde familiarit avec la mcanique quantique. Dans une premire lecture duchapitre 6, on peut se limiter ce qui sera indispensable pour la suite : sec-tion 6.1 (produit tensoriel), 6.2.1 et 6.2.3 (oprateur statistique). Il seraittoutefois dommage de ne pas consacrer un peu de temps aux ingalits deBell ( 6.3.2). Dans le chapitre 7, le lecteur peut se limiter la section 7.3,qui donne les recettes mathmatiques pour la suite. Les chapitres 8, 9 et10 sont classiques dans tout cours de mcanique quantique niveau M1. Toute-fois la section 8.4 (invariance galilenne) peut tre omise sans dommage pourla suite, et la section 9.4 (bandes dnergie) peut trouver sa place dans uncours de physique du solide. Les sections de base du chapitre 11 (Oscillateurharmonique) sont les sections 11.1, 11.2 et 11.3.1. Le lecteur pourra aborderles autres sections en fonction de ses intrts, et la section 11.5 (niveaux deLandau) peut faire partie dun cours de physique du solide. Le chapitre 12(Mthodes semi-classiques) est entirement optionnel, et ses quatre grandesparties : intgrale de chemin, approximation BKW, distribution de Wigner etphases gomtriques sont entirement indpendantes. Le lecteur pourra se li-miter aux sections 14.1 et 14.2 du chapitre 14 (Particules identiques). Enfin lessections 15.1 et 15.2 sont une introduction standard la physique atomique,les autres sections de ce chapitre tant optionnelles.

En rsum, un cours niveau M1 pourrait reposer sur les sections suivantes.Chapitre 1 : sections 1.3 1.5. Chapitres 3, 4 et 5. Chapitre 6 : section 6.1.

Avant-propos de la deuxime dition xxi

Chapitre 7 : section 7.3. Chapitre 8 : sections 8.1 8.3. Chapitre 9 : sections 9.1 9.3 et 9.5. Chapitre 10 : sections 10.1 10.4, 10.6.1 et 10.6.2. Chapitre 11 :sections 11.1, 11.2.1 et 11.3.1. Chapitre 13 : sections 13.1 et 13.2. Chapitre 14 :sections 14.1 et 14.2. Chapitre 15 : sections 15.1 15.3.

Remerciements. Je suis trs reconnaissant Yvan Castin, Jean Dalibard,Claude Fabre, Olivier Legrand, Gian-Luca Lippi, Fabrice Mortessagne, Jean-Michel Raimond, Denis Ullmo, et tout particulirement Christian Miniatura,qui ont accept de lire un ou plusieurs chapitres de cette nouvelle dition, etje les remercie pour leurs critiques et suggestions.

Chapitre 1

Introduction

Le premier objectif de ce chapitre est dexposer succinctementquelques notions de base sur lorganisation de la matire, en reprenantet en prcisant les acquis de cours de physique (et de chimie) antrieurs, eten particulier les notions de physique microscopique ; il sagira dun survol,et la grande majorit des noncs seront donns sans dmonstration et sansdiscussion dtaille. Le deuxime objectif est de dcrire brivement quelquestapes cruciales des dbuts de la physique quantique ; nous ne suivrons nilordre historique strict, ni les arguments quutilisrent au dbut du sicledernier les pres fondateurs de la mcanique quantique, mais nous insisteronsplutt sur les concepts qui nous serviront par la suite. Le troisime objectifest dintroduire des notions de base, comme celles de particule quantique oude niveau dnergie, qui reviendront de faon rcurrente tout au long du livre.Nous nous appuierons sur la thorie de Bohr, qui permet dexpliquer de faonsimple, sinon convaincante, la notion de quantification des niveaux dnergieet le spectre de latome dhydrogne. Ce chapitre est relire ultrieurement,lorsque les bases de la mcanique quantique auront t explicites et illustrespar des exemples. Dun point de vue pratique, il est possible de sauteren premire lecture les considrations gnrales des sections 1 et 2 et decommencer ce chapitre par la section 3, quitte revenir ultrieurement auxdeux premires sections lorsquil sera fait appel aux notions qui y ont tintroduites.

1.1 Structure de la matire

1.1.1 chelles de longueur : de la cosmologieaux particules lmentaires

Le tableau 1.1 donne lordre de grandeur en mtres des dimensions dequelques objets typiques, en partant des dimensions de lUnivers pour des-cendre celles de la physique subatomique. Une unit de longueur commode

2 Physique quantique

Tab. 1.1 Ordres de grandeur de quelques distances typiques en mtres.

Universconnu

rayon de laGalaxie

distanceTerre-Soleil

rayon dela Terre

homme insecte

1.3 1026 5 1020 1.5 1011 6.4 106 1.7 0.01 0.001bactrieE. coli

virus HIV fullerneC60

atome noyau deplomb

proton

2106 1.1 107 0.7 109 1010 71015 0.8 1015

pour les distances astrophysiques est lanne-lumire : 1 anne-lumire =0.95 1016 m. Les sous-multiples du mtre utiles en physique microscopiquesont le micromtre : 1 m = 106 m, le nanomtre : 1 nm = 109 m, et lefemtomtre (ou fermi) : 1 fm= 1015 m. Lexploration des objets lchellemicroscopique se fait souvent laide dun rayonnement lectromagntique1dont la longueur donde est de lordre de grandeur des dimensions caract-ristiques de lobjet tudier (observation au microscope, aux rayons X. . . ).On sait en effet que la limite de rsolution est fixe par la longueur dondeutilise : quelques fractions de m pour un microscope utilisant de la lumirevisible, quelques fractions de nanomtre pour des rayons X. La gamme deslongueurs donde du rayonnement lectromagntique (infra-rouge, visible, . . .)est rsume dans la figure 1.1.

104

(m)1014 10

10 106 102 102

E (eV)

X UV IR micro

108 104 1 108

radio

Fig. 1.1 Longueur donde de rayonnements lectromagntiques et nergie desphotons correspondants. La bote hachure reprsente le domaine visible. Les fron-tires entre les diffrents types de rayonnement (par exemple la frontire entre lesrayons et les rayons X) ne sont pas dfinies de faon stricte. Un photon dnergieE = 1 eV a une longueur donde = 1.24106 m, une frquence = 2.421014 Hzet une frquence angulaire = 1.52 1015 rad.s1.

1. Dautres techniques dexploration sont la diffusion de neutrons (exercice 1.6.4), lamicroscopie lectronique, la microscopie effet tunnel ( 12.4.4), etc.

1. Introduction 3

1.1.2 tats de la matire

Nous serons particulirement intresss par les phnomnes lchelle mi-croscopique, et il est utile de rappeler quelques notions lmentaires sur ladescription microscopique de la matire. La matire peut se prsenter sousdeux formes : une forme ordonne, le solide cristallin, et une forme non or-donne, liquide, gaz, solide amorphe.

Le solide cristallin prsente un ordre longue distance. La figure 1.2 donnelexemple de la structure microscopique du chlorure de sodium : on constateque le motif du cristal se rpte avec une priodicit l = 0.56 nm, le pas durseau. Partant dun ion chlore ou dun ion sodium, et suivant une des artesde la structure cubique, on retrouvera un ion chlore ou un ion sodium unedistance n 0.56 nm o n est un nombre entier : cest ce que lon appelle unordre longue distance.

l

Cl

Na+

Fig. 1.2 Arrangement des atomes dans le cristal de chlorure de sodium. Les ionschlore Cl sont plus gros que les ions sodium Na+.

Les liquides, les gaz et les solides amorphes ne possdent pas dordre longue distance. Prenons lexemple dun liquide monoatomique, celui de lar-gon liquide. En premire approximation, les atomes dargon peuvent tre re-prsents par des sphres impntrables de diamtre 0.36 nm. La fi-gure 1.3 reprsente schmatiquement une configuration des atomes pour unliquide o les sphres sont pratiquement en contact, mais sont disposes defaon dsordonne. Partant du centre dun atome pris comme origine, la pro-babilit p(r) de trouver le centre dun autre atome une distance r de cecentre sera pratiquement nulle tant que r


l

r

2l 3l

r

(a) (b) (c)

2

3

p(r) p(r)

Fig. 1.3 (a) Arrangement des atomes dans largon liquide. (b) Probabilit p(r)pour un liquide (tirets) et pour un gaz (trait continu). (c) Probabilit p(r) pour uncristal simple.

entre gaz et liquide disparat au point critique, et on peut passer continmentdu gaz au liquide ou inversement en contournant le point critique, alors quuntel passage continu est impossible vers un solide, parce que le type dordre estqualitativement diffrent.

Nous avons pris comme exemple un gaz monoatomique, mais en gnralla brique de base est une combinaison datomes, la molcule : N2, O2, H2O,etc. Certaines molcules comme les protines peuvent contenir des milliersdatomes ; par exemple le poids molculaire de lhmoglobine est de lordre de64 000. Une raction chimique est un rarrangement datomes : les atomes desmolcules initiales se redistribuent pour donner les molcules finales

H2 + Cl2 2HCl

Latome est compos dun noyau atomique (ou simplement noyau) chargpositivement et dlectrons chargs ngativement. Plus de 99.9 % de la massede latome se trouve dans le noyau atomique, car le rapport de la masse dellectron me celle du proton mp est me/mp 1/1836. Latome est de dix cent mille fois plus gros que le noyau : la dimension typique dun atome2est 1 (1 = 1010 m = 0.1 nm), celle dun noyau de quelques fermis (oufemtomtres).

Un noyau atomique est form de protons et de neutrons, les premierschargs lectriquement et les seconds neutres ; les masses du proton et duneutron sont identiques 0.1 % prs, et on pourra souvent ngliger cettediffrence de masse. Le numro atomique Z est le nombre de protons du noyau,et aussi le nombre dlectrons de latome correspondant, de faon assurersa neutralit lectrique. Le nombre de masse A est le nombre de protonsplus le nombre de neutrons N : A = Z + N . Les protons et les neutrons

2. Nous continuerons utiliser lAngstrm, qui est typique de la dimension atomique,de prfrence au nm. Par un hasard ( ?) heureux, le symbole fm peut aussi bien dsigner lefemtomtre que le fermi, unit de longueur des physiciens nuclaires.

1. Introduction 5

sont appels collectivement nuclons. Les ractions nuclaires sont pour lesprotons et les neutrons lanalogue des ractions chimiques pour les atomes :une raction nuclaire est une redistribution des protons et des neutrons dansdes noyaux diffrents des noyaux initiaux, de mme quune raction chimiqueest une redistribution des atomes dans des molcules diffrentes des molculesinitiales. Un exemple de raction nuclaire est la raction de fusion des noyauxde deutrium (2H : un proton + un neutron) et de tritium (3H : un proton +deux neutrons) pour donner un noyau dhlium4 (4He : deux protons + deuxneutrons) et un neutron libre

2H + 3H 4He + n + 17.6 MeV

La raction dgage une nergie de 17.6 MeV et pourrait tre utilise dansun futur (probablement lointain) pour produire de lnergie grande chelle,lnergie de fusion. Le projet de racteur de recherche ITER est une premiretape dans cette direction.

Dans la composition de latome en noyau et lectrons, de mme que danscelle du noyau en protons et neutrons, un concept important est celui dnergiede liaison. Considrons un objet stable C form de deux objets A et B : C estappel tat li de A et B. La dsintgration C A + B ne sera pas possiblesi la masse mC de C est infrieure la somme des masses mA et mB de A etde B, cest--dire si lnergie de liaison3 EL

EL = (mA + mB mC)c2 (1.1)

est positive ; c est la vitesse de la lumire. EL est lnergie quil faut fournirpour dissocier C en A + B. En physique atomique, cette nergie est appelenergie dionisation : cest lnergie ncesssaire pour dissocier un atome en union positif et un lectron, ou, en dautres termes, pour arracher un lectron latome. Pour les molcules, EL est lnergie de dissociation, ou lnergiencessaire pour dissocier la molcule en atomes. Une particule ou un noyauinstable dans une certaine configuration peut parfaitement tre stable dansune autre configuration. Le neutron libre (n), par exemple, est instable : enun temps dune quinzaine de minutes en moyenne, il se dsintgre en un pro-ton (p), un lectron (e) et un antineutrino lectronique (e), ce qui correspond la dsintgration de base de la radioactivit

n0 p+ + e + 0e (1.2)

o nous avons indiqu en exposant la charge des particules en units dela charge du proton. Cette dsintgration est possible, car les masses4 des

3. En raison de la clbre relation dEinstein E = mc2, ou tout simplement par analysedimensionnelle, on peut relier masse et nergie et exprimer par exemple les masses en J/c2ou en eV/c2.

4. Trois expriences rcentes : Fukuda et al. [2001], Ahmad et al. [2001] et Eguchiet al. [2003] montrent de faon convaincante que la masse du neutrino est non nulle, pro-bablement de lordre de 102 eV/c2 : cf. lexercice 4.4.6 sur les oscillations neutrino. Pourune revue rcente, voir par exemple Wark [2005].


particules dans (1.2) vrifient

mnc2 > (mp + me + m)c2

mn 939.5 MeV/c2 mp 938.3 MeV/c2 me 0.51 MeV/c2 me 0En revanche le neutron ne se dsintgre pas dans les noyaux atomiques stables,par exemple dans le noyau deutrium, ou deutron, (2H), car

m2H 1875.6Mev/c2 < (2mp + me + me) 1878.3 MeV/c2

et la dsintgration2H 2p + e + e

est impossible : le deutron est un tat li proton-neutron.

1.1.3 Constituants lmentaires

Nous avons dcompos les molcules en atomes, les atomes en lectrons etnoyaux, les noyaux en protons et neutrons. Peut-on aller encore plus loin, parexemple dcomposer le proton ou llectron en constituants plus lmentaires ?Peut-on dire par exemple partir de (1.2) que le neutron est form dunproton, dun lectron et dun antineutrino ? Un argument simple fond surles ingalits de Heisenberg montre que llectron ne peut pas prexister dansle neutron (exercice 9.6.4), et quil est cr au moment de la dsintgration :on ne peut donc pas dire que le neutron est compos dun proton, dunlectron et dun neutrino. On pourrait aussi penser casser un protonou un neutron en des composants plus lmentaires, en les bombardant pardes particules nergiques, et rpter ce qui se passe par exemple quand onbombarde un deutron avec des lectrons de quelques MeV

e + 2H e + p + n

Le deutron 2H a t cass en ses constituants, un proton et un neutron.Lhistoire ne se rpte pas lorsque lon bombarde un proton avec des lectrons.Pour des lectrons peu nergiques les collisions sont lastiques

e + p e + p

mais pour des lectrons dnergie suffisante (quelques centaines de MeV), aulieu de casser le proton, on cre dautres particules, par exemple dans desractions du type

e + p e + p + 0

e + p e + n + + + 0

e + p e + K+ + 0

1. Introduction 7

o les msons et K et lhypron 0 sont de nouvelles particules, dont lanature importe peu ici. Le point crucial est quelles ne sont pas prsentesinitialement dans le proton, mais quelles sont cres au moment de la raction.

Il arrive donc un moment o il ne semble plus possible de dcomposerla matire en constituants de plus en plus lmentaires. On peut alors seposer la question suivante : quel est le critre dlmentarit ? Le point devue actuel est dappeler lmentaires les particules qui apparaissent commeponctuelles dans leurs interactions avec dautres particules. Avec ce point devue, llectron, le neutrino et le photon sont lmentaires, tandis que le protonet le neutron sont composs de quarks : les guillemets sont importants, carles quarks nexistent pas ltat libre5, et cette composition du proton enquarks est tout fait diffrente de la composition du deutron en proton etneutron. Il existe seulement des preuves indirectes (mais convaincantes !) decette composition en quarks.

Dans ltat actuel de nos connaissances6, il existe trois familles de parti-cules lmentaires, ou particules de matire de spin 1/27. Le tableau 1.2en donne la liste ; la charge lectrique q est exprime en units de la chargedu proton. Chaque famille se compose de leptons et de quarks, et chaqueparticule correspond une antiparticule de charge oppose. Les leptons de lapremire famille sont llectron et son antiparticule le positron e+, ainsi que leneutrino lectronique e et son antiparticule lantineutrino lectronique e, etles quarks de cette famille sont le quark up (u) de charge 2/3 et le quark down (d) de charge 1/3, avec bien sr les antiquarks u et d correspon-dants, de charge 2/3 et 1/3 respectivement. Le proton est une combinaisonuud et le neutron une combinaison udd. Cette premire famille suffit notrevie courante, puisquelle permet de fabriquer la matire ordinaire, le neutrinotant indispensable dans le cycle des ractions nuclaires assurant la bonnemarche du Soleil. Si lexistence de la premire famille peut se justifier par unargument anthropocentrique : si elle nexistait pas, nous ne serions pas l pouren parler ! la raison dtre des deux autres familles reste aujourdhui tout fait mystrieuse8.

ces particules il faut ajouter celles qui transportent les interactions :le photon pour les interactions lectromagntiques, les bosons W et Z pourles interactions faibles, les gluons pour les interactions fortes et le graviton

5. Ce qui fait que la notion de masse dun quark est une notion complexe, du moinspour les quarks dits lgers , up, down et trange. On retrouve une masse (presque) usuellepour les quarks lourds b et t.

6. Il existe un argument trs fort pour limiter trois ce nombre de familles : des ex-priences au CERN ont montr en 1992 que le nombre de familles tait limit trois, condition que les neutrinos aient une masse infrieure 45 GeV/c2. La valeur exprimentaleactuelle du nombre de familles est de 2.984 0.008.

7. Le spin 1/2 est dfini au chapitre 3 et le spin en gnral au chapitre 10.8. cf. la clbre interrogation de Rabi : Who ordered the muon ? Cependant on sait

que chaque famille doit tre complte : ainsi lexistence du quark top et sa masse ont tprdites plusieurs annes avant sa dcouverte exprimentale en 1994. En raison de sa masseleve, environ 175 fois la masse du proton, il a fallu attendre la construction du Tevatronaux tats-Unis pour le produire.


Tab. 1.2 Les particules de matire. Les charges lectriques sont mesures enunits de la charge du proton.

lepton q = 1 neutrino q = 0 quark q = 2/3 quark q = 1/3famille 1 lectron neutrinoe quark up quark downfamille 2 muon neutrino quark charm quark trangefamille 3 tau neutrino quark top quark b

pour les interactions gravitationnelles9, ce qui nous amne naturellement prsenter ces interactions.

1.1.4 Interactions (ou forces) fondamentalesOn distingue quatre10 types dinteractions (ou de forces) fondamentales :

fortes, lectromagntiques, faibles et gravitationnelles. Les interactions lec-tromagntiques sont celles qui vont jouer un rle majeur dans ce livre : ce sontelles qui rgissent le comportement des atomes, des molcules, des solides, etc.Les forces lectriques de la loi de Coulomb sont dominantes : rappelons que siune charge q est immobile lorigine des coordonnes, la force quelle exercesur une charge immobile q situe en un point r est

F =qq

40r

r2(1.3)

o r est le vecteur unitaire11 r/r, r = |r | et 0 la permittivit du vide. Si lescharges sont en mouvement avec une vitesse v, on doit aussi tenir compte desforces magntiques, mais celles-ci sont plus faibles que la force de Coulombpar un facteur (v/c)2. Pour les lectrons des couches externes, (v/c)2 (1/137)2 1, mais, compte tenu de la trs grande prcision des expriences dephysique atomique, les forces magntiques sont facilement mises en videncedans des phnomnes comme la structure fine ou leffet Zeeman ( 15.2.3). Laforce de Coulomb (1.3) est caractrise par

la forme de la loi de force en 1/r2 : la loi de force est dite longueporte ;

lintensit de la force mesure par une constante de couplage qq/(40).Le point de vue moderne, celui de la thorie quantique des champs, est queles forces lectromagntiques sont dues lchange de photons virtuels 12

9. En toute rigueur, les interactions lectromagntiques et les interactions faibles sontmaintenant unifies en interactions lectrofaibles ; le gluon, tout comme les quarks, nexistepas ltat libre. Enfin lexistence du graviton est pour le moment hypothtique : on namme pas encore dtect sur la Terre sa version classique, les ondes gravitationnelles.

10. La cinquime force revient priodiquement sur le devant de la scne, mais elledisparat tout aussi priodiquement !

11. Nous utiliserons systmatiquement la notation r, n, p, etc. pour les vecteurs unitairesde lespace ordinaire.

12. Ce terme sera expliqu au 4.2.4.

1. Introduction 9

entre particules charges. La thorie quantique des champs rsulte du mariage(conflictuel13 !) entre la mcanique quantique et la relativit restreinte. Lesinteractions entre atomes ou entre molcules sont reprsentes par des forceseffectives, par exemple les forces de van der Waals (exercice 15.6.1). Ces forcesnont pas de caractre fondamental car elles se dduisent de la force de Cou-lomb : cest le dguisement sous lequel apparat la force de Coulomb pour dessytmes complexes lectriquement neutres.

Les interactions fortes sont responsables de la cohsion du noyau atomique.Contrairement la force de Coulomb, elles dcroissent exponentiellement enfonction de la distance, suivant une loi en exp(r/r0)/r2, avec r0 1 fm : ondit que ce sont des forces courte porte. Pour r


m et m

F = Gmm rr2

(1.5)

o les notations sont identiques celles de (1.2) et o G est la constante degravitation. La loi de force (1.5), est, comme la loi de Coulomb, une loi longue porte, et on peut comparer directement les forces de gravitation et deCoulomb entre un lectron et un proton, puisque la forme de la loi de forceest la mme

FCbFgr.

=(

q2e40

) (1

Gmemp

) 1039

Dans un atome dhydrogne, la force de gravitation est ngligeable, et de fa-on gnrale, la force de gravitation sera totalement ngligeable pour tousles phnomnes de physique atomique, molculaire ou du solide. La relativitgnrale, thorie relativiste de la gravitation, prdit lexistence dondes gravi-tationnelles14 qui sont pour la gravitation lanalogue des ondes lectromagn-tiques, tandis que le graviton, particule de spin 2 et de masse nulle, est lana-logue du photon. Toutefois il nexiste pas aujourdhui de thorie quantiquede la gravitation. Concilier la mcanique quantique et la relativit gnrale,expliquer lorigine de la masse et des trois familles de particules constituentles dfis majeurs de la physique thorique du XXIe sicle.

Comme rsum de cette prsentation des constituants lmentaires et desforces, on retiendra quil existe trois familles de particules de matire, com-prenant des leptons et des quarks, et que les vecteurs des forces sont le photonpour les interactions lectromagntiques, le gluon pour les interaction fortes,les bosons W et Z pour les interactions faibles, et enfin lhypothtique gravi-ton pour les interactions gravitationnelles.

1.2 Physique classique et physique quantiqueAvant dintroduire la physique quantique, rsumons brivement les fonde-

ments de la physique classique. La physique classique comporte trois branchesprincipales, qui ont chacune diverses ramifications.

1. La premire branche est la mcanique, dont la loi fondamentale est la loide Newton, ou loi fondamentale de la dynamique, donnant la force F surune particule ponctuelle de masse m en fonction de la drive par rapport autemps de son impulsion p

F =dpdt

(1.6)

Sous cette forme, lquation fondamentale de la dynamique survit aux modifi-cations apportes par Einstein en 1905 avec la relativit restreinte, condition

14. Les preuves de lexistence des ondes gravitationnelles sont pour le moment indirectes :elles rsultent de lobservation de pulsars (toiles neutrons) binaires. Ces ondes pourraienttre dtectes prochainement sur Terre dans les expriences VIRGO et LIGO. Lobservationdu graviton est probablement repousse un futur trs lointain

1. Introduction 11

dutiliser lexpression relativiste de limpulsion en fonction de la vitesse v, dela masse m de la particule et de la vitesse de la lumire c

p =mv

1 v2/c2(1.7)

2. La deuxime branche est llectromagntisme, rsum dans les quatre qua-tions de Maxwell donnant le champ lectrique E et le champ magntique Ben fonction des densits de charge em et de courant jem, appeles sources duchamp lectromagntique

B = 0 E = B

t(1.8)

E = em0

c2 B = E

t+

10

jem (1.9)

De ces quations on dduit la propagation dondes lectromagntiques dansle vide la vitesse de la lumire(

1c2

2

t22

){ EB

= 0 (1.10)

Ceci fait le lien avec loptique, qui devient un cas particulier de llectroma-gntisme. Le lien entre 1 et 2 est fourni par la loi de Lorentz donnant la forcesur une particule de charge q et de vitesse v

F = q( E + v B) (1.11)

3. La troisime branche est la thermodynamique, qui se dduit du secondprincipe15 : il nexiste pas de dispositif fonctionnant suivant un cycle dont leseul effet serait de fournir du travail partir dune source de chaleur unique. partir du second principe, on dduit la notion dentropie, dont dcoule toute lathermodynamique classique. Lorigine microscopique du second principe a tcomprise la fin du XIXe sicle par Boltzmann et Gibbs, qui ont pu relier ceprincipe au fait quun chantillon de matire macroscopique est compos dunnombre norme ( 1023) datomes, ce qui permet dutiliser des raisonnementsprobabilistes la base de la mcanique statistique. Le rsultat principal de lamcanique statistique est la loi de Boltzmann : la probabilit p(E) pour quunsystme physique en quilibre la temprature absolue T ait lnergie16 Ecomprend un facteur, le poids de Boltzmann pB(E)

pB(E) = exp( E

kBT

)= exp(E) (1.12)

15. Le premier principe nest autre que la conservation de lnergie, quant au troisime,il est fondamentalement dorigine quantique.

16. La probabilit p(E) est le produit de pB(E) (1.12) et dun facteur D(E), la densitdes niveaux dnergie , qui en physique classique sobtient par une intgration sur lespacede phase : voir la note 22. Le calcul quantique de la densit de niveaux est dcrit au 9.5.2.


o kB est la constante de Boltzmann (la constante R des gaz parfaits divisepar le nombre dAvogadro), et nous avons introduit la notation usuelle =1/(kBT ). Cependant la mcanique statistique classique nest pas en fait unethorie cohrente, et il faut parfois se livrer des acrobaties pour obtenir desrsultats senss, par exemple pour lentropie dun gaz parfait. La physiquequantique lve toutes ces difficults.

4. En toute rigueur il faut ajouter une quatrime branche la physique clas-sique. En effet, la thorie relativiste de la gravitation nest pas incluse dansle cadre prcdent : cette thorie est la relativit gnrale, qui est une des-cription gomtrique, o les forces de gravitation sont relies la courbure delespace-temps.

Nous avons dcrit dans (1.6)(1.11) les lois fondamentales de la physiqueclassique, qui se rsument donc sept quations en tout et pour tout ! Lelecteur pourra se demander ce que sont devenues les multiples autres lois quila rencontres : loi dOhm, loi de Hooke, lois de la dynamique des fluides, etc.Certaines de ces lois se dduisent directement des lois fondamentales : ainsila loi de Coulomb est une consquence des quations de Maxwell et de laforce de Lorentz (1.11) pour des charges statiques, lquation dEuler pourles fluides parfaits une consquence de la loi fondamentale de la dynamique.Dautres lois sont des lois17 phnomnologiques, qui nont pas une validit uni-verselle, contrairement aux lois fondamentales : par exemple certains milieuxnobissent pas la loi dOhm, la relation entre linduction D et le champlectrique D = E (pour un milieu isotrope) est en dfaut quand le champlectrique devient grand, ce qui donne lieu aux phnomnes de loptique nonlinaire, la loi de Hooke nest plus valable si la tension devient trop impor-tante, etc. La mcanique du solide, llasticit ou la mcanique des fluidesdcoulent de (1.6) et de diverses lois phnomnologiques, comme la loi quirelie en mcanique des fluides force, gradient de vitesse et viscosit. Il importede bien faire la distinction entre le petit nombre de lois fondamentales et lesmultiples lois phnomnologiques que la physique classique utilise, faute demieux, pour dcrire la matire.

Bien que la physique classique soit dune utilit indiscutable, elle nen pr-sente pas moins une lacune de taille : alors que la physique se veut une thoriede la matire, la physique classique est compltement incapable dexpliquer lecomportement de la matire tant donn ses constituants et les forces entreces constituants18. Elle ne peut pas prdire lexistence des atomes, car on nepeut pas construire une chelle de longueur avec les constantes de la physique

17. Bien souvent une loi phnomnologique nest pas autre chose que le premier termedun dveloppement de Taylor !

18. Cette affirmation mrite dtre un peu nuance. Il existe de bons modles microsco-piques en physique classique : par exemple la thorie cintique des gaz permet un calculfiable des coefficients de transport (viscosit, conductibilit thermique) dun gaz. Mais nilexistence des molcules qui composent le gaz, ni la valeur de la section efficace ncessaireau calcul ne peuvent sexpliquer par la physique classique.

1. Introduction 13

classique : masses et charges du noyau et des lectrons19. Elle nexpliquepas pourquoi le Soleil brille, pourquoi la vapeur de sodium met une lumirejaune, elle na rien dire sur les proprits chimiques des alcalins, sur le faitque le cuivre conduit llectricit alors que le soufre est un isolant, etc. Lorsquele physicien classique a besoin dune proprit de la matire, une rsistancelectrique, une chaleur spcifique, il na pas dautre choix que de la mesurerexprimentalement. Au contraire la mcanique quantique a la prtention dex-pliquer le comportement de la matire partir des constituants et des forces.Naturellement des prdictions prcises partir des premiers principes ne sontpossibles que pour les systmes les plus simples, comme latome dhydrogneou celui dhlium. La complexit des calculs ne permet pas par exemple deprdire la structure cristalline de largent partir des donnes sur cet atome,mais tant donn cette structure, on saura expliquer pourquoi largent est unconducteur, ce que la physique classique est incapable de faire.

Il ne faudrait pas conclure de cette discussion que la physique classique nepeut plus tre intressante et novatrice. Bien au contraire, on a assist au coursde ces vingt dernires annes un renouveau de la physique classique, avecdes ides nouvelles sur les systmes dynamiques chaotiques, les instabilits,les formations de structures hors quilibre, etc. Des problmes aussi familiersque la turbulence ou le frottement restent largement ouverts et passionnants.Simplement il existe des problmes que par nature la physique classique nepeut pas aborder.

La physique quantique prtend donc expliquer le comportement de la ma-tire partir des constituants et des forces, mais il y a un prix payer : lesobjets quantiques exhibent un comportement radicalement nouveau, qui dfienotre intuition fonde sur lexprience du comportement dobjets classiques.Cela dit, si lon ne se proccupe pas de cet aspect surprenant, la mcaniquequantique se rvle un outil remarquable, jamais mis en dfaut jusqu aujour-dhui, capable de couvrir des phnomnes allant de la physique des quarks la cosmologie en passant par toutes les chelles intermdiaires. La plupart destechnologies modernes nauraient pas vu le jour sans la mcanique quantique :toutes les technologies de linformation sont fondes sur notre comprhensionquantique des solides, en particulier des semi-conducteurs, et sur celle deslasers. On peut prvoir que la miniaturisation des dispositifs lectroniquesrendra la mcanique quantique de plus en plus omniprsente dans la techno-logie moderne.

19. Si lon ajoute la vitesse de la lumire, on peut construire une chelle de longueur, lerayon classique de llectron

re =q2e

40

1

mec2 2.8 1015 m

qui est trop petit par 4 ordres de grandeur par rapport aux dimensions atomiques. Onpeut aussi invoquer linvariance dchelle des quations classiques : cf. Wichman [1974],chapitre 1.


La grande majorit des physiciens ne se proccupent pas des propritsdroutantes de la mcanique quantique et sen servent comme dun outil sansse poser de questions de principe. Cependant, les progrs thoriques et sur-tout exprimentaux de ces vingt dernires annes ont permis de mieux cer-ner certains aspects du comportement des objets quantiques. Des expriencespermettant de tester directement les fondements de la mcanique quantique,autrefois qualifies dexpriences de pense (gedanken experiment) parles pres fondateurs qui les jugeaient irralisables20, sont maintenant monnaiecourante dans les laboratoires. En dpit de ces progrs spectaculaires que nousexaminerons en particulier au chapitre 6, nombre de questions fondamentalesrestent ouvertes, et laffirmation provocatrice de Feynman : je pense que lonpeut dire aujourdhui que personne ne comprend la mcanique quantique garde encore aujourdhui une part de vrit. Avant daborder ces dveloppe-ments rcents, revenons quelques instants une centaine dannes en arrire,aux dbuts de la physique quantique.

1.3 Un peu dhistoire

1.3.1 Le rayonnement du corps noirUn objet chaud comme un fer chauff au rouge, ou le Soleil, met un

rayonnement lectromagntique avec un spectre de frquences qui dpend dela temprature. La puissance mise u(, T ) par unit de frquence et desurface dpend de la temprature absolue T de lobjet. Un raisonnement pu-rement thermodynamique permet de montrer que si lobjet est parfaitementabsorbant, ce qui en fait un corps noir, alors u(, T ) est une fonction univer-selle, indpendante de lobjet pour une temprature donne. Une trs bonneralisation dun corps noir pour la lumire visible est une petite ouverturedans une enceinte dont lintrieur est peint en noir : un rayon lumineux pn-trant dans lenceinte na pratiquement aucune chance den ressortir, puisquchaque rflexion il a une bonne probabilit dtre absorb par la paroi int-rieure de lenceinte (figure 1.4).

Supposons lenceinte chauffe la temprature T : les atomes de la paroimettent et absorbent du rayonnement lectromagntique, et il stablit lquilibre thermodynamique un systme dondes stationnaires dans la cavit.Si la cavit est un parallpipde de cts Lx, Ly et Lz, et si nous utilisonsdes conditions aux limites priodiques, le champ lectrique sera de la formeE0 exp[i(k rt)], le vecteur donde k perpendiculaire E0 tant de la forme

k =(

2Lx

nx,2Ly

ny,2Lz

nz

)(1.13)

20. Ainsi Schrdinger crivait en 1952 : Nous nexprimentons jamais juste avec un seullectron ou une seule (petite) molcule. Dans les expriences de pense, nous supposonsparfois que nous le faisons : ceci entrane invariablement des consquences ridicules. . . Onpeut dire juste titre que nous nexprimentons pas plus avec des particules isoles quenous nlevons dichtyosaures dans un zoo. (Schrdinger [1952]).

1. Introduction 15

Fig. 1.4 Enceinte pour le rayonnement du corps noir.

o (nx, ny, nz) sont des nombres entiers positifs ou ngatifs et = c|k| = ck.On montre que chaque onde stationnaire se comporte comme un oscillateurharmonique21 de frquence dont lnergie est proportionnelle au carr delamplitude, et donc E20 . Daprs la loi de Boltzmann (1.12), la probabilitque cet oscillateur ait une nergie E comprend un facteur exp(E/kBT ) =exp(E). En fait, dans ce cas, la densit de niveaux D(E) (cf. note 16) estune constante22, et lnergie moyenne de cet oscillateur est simplement

E =

dE E exp(E)dE exp(E) =

ln

(dE exp(E)

)

=

ln1

=1

= kBT (1.14)

Lnergie moyenne de chaque onde stationnaire est kBT . Comme le nombredondes stationnaires possibles est infini, lnergie dans lenceinte est infinie !

On relie facilement u(, T ) la densit dnergie (, T ) par unit defrquence dans lenceinte (exercice 1.6.2)

u(, T ) =c

4(, T ) (1.15)

et on est ramen au calcul de (, T ), dont on dduit la densit dnergie

(T ) =

0

d (, T ) (1.16)

La thermodynamique permet de montrer la loi dchelle

(, T ) = 3(

T

)(1.17)

21. Ceci sera expliqu au 11.3.1.22. Lintgration sur lespace de phase pour loscillateur harmonique classique une

dimension donne en effet, pour une fonction arbitraire f(E) (exercice 1.6.2)d xdp

(E p

2

2m 1

2m2x2

)f(E) =

2

f(E)

x et p tant la position et limpulsion.


o la fonction est indpendante de la forme de lenceinte, mais elle ne ditrien sur la forme explicite de la fonction . Essayons de la dterminer unfacteur multiplicatif prs par analyse dimensionnelle : a priori, (, T ) nepeut dpendre que de , de c, de lnergie disponible dans le problme kBTet dune constante sans dimension A que lanalyse dimensionnelle ne permetpas de fixer. La seule solution possible est (exercice 1.6.2)

(, T ) = Ac3(kBT )2 = 3[Ac3

(kBT )

)](1.18)

ce qui est bien de la forme (1.17). On retrouve le fait que la densit dnergiedans lenceinte est infinie

(T ) =

0

d (, T ) = Ac3(kBT )

0

2d = +

La mcanique statistique permet de calculer A (exercice 1.6.2), mais ne rsouten rien le problme de lnergie infinie, et lanalyse dimensionnelle suggrefortement que le rayonnement du corps noir ne peut sexpliquer que si lonaccepte dintroduire une nouvelle constante physique.

Parmi toutes les hypothses conduisant au rsultat inacceptable dunenergie infinie, Planck remet en cause celle qui conduit au calcul (1.14) delnergie moyenne dun oscillateur23 : au lieu de supposer que E peut prendretoutes les valeurs possibles entre zro et linfini, il admet que cette nergie nepeut prendre que des valeurs discrtes En qui sont des multiples entiers de lafrquence de loscillateur, avec un coefficient de proportionnalit

En = n() n = 0, 1, 2, . . . (1.19)

La constante est appele constante de Planck ; plus exactement, cest laconstante de Planck h divise24 par 2 : = h/(2). La constante de Planckse mesure en J.s : elle a pour dimension ML2T 1 et elle a pour valeur num-rique

1.055 1034 J.s ou h 6.63 1034 J.s

23. En ralit, Planck a appliqu son raisonnement un rsonnateur dont la naturereste obscure. Considrer les vibrations du champ lectromagntique est plus simple et plusdirect, mais constitue une entorse la vrit historique. Notre prsentation historique ,tout comme celle de la plupart des manuels, tient plus du conte de fes (Kragh [2000]) quede lhistoire relle. De mme il ne semble pas que les physiciens de la fin du XIXe sicleaient t proccups par le problme de lnergie infinie, ou par labsence dune constantefondamentale.

24. Nous utiliserons systmatiquement et non h, et par abus de langage nous appel-lerons la constante de Planck ; la relation E = est bien sr quivalente E = h,o est la frquence ordinaire, mesure en Hz, et la frquence angulaire, ou pulsation,mesure en rad.s1 : = 2. Comme nous utiliserons pratiquement toujours et jamais, par abus de langage nous appellerons la frquence.

1. Introduction 17

Daprs la loi de Boltzmann, la probabilit normalise dobserver une nergieEn est

p(En) = en(

n=0

en)1

= exp(n)(1 exp()) (1.20)

Pour obtenir (1.20), on remarque que la sommation sur n est celle dune sriegomtrique. Posant x = exp() on calcule aisment la valeur moyenneE de lnergie dun oscillateur

E = (1 x)

n=0

(n)xn = (1 x)x ddx

n=0

xn

= (1 x)x ddx

11 x =

x

1 x =

exp() 1 (1.21)

Cette formule permet de calculer la densit dnergie (exercice 1.6.2)

(, T ) =

2c33

exp() 1 (1.22)

et donc u(, T ), en parfait accord avec lexprience si lon fixe convenablementla valeur de , et avec le rsultat (1.17) de la thermodynamique. On remarqueque lapproximation classique (1.18) est valable si kBT , cest--direpour les basses frquences.

Lexemple le plus connu de rayonnement du corps noir est le rayonnementfossile qui remplit lUnivers25, ou rayonnement 3 K. La distribution defrquence de ce rayonnement suit remarquablement la loi de Planck (1.22) avecune temprature de 2.73 3 K (figure 1.5), mais ce rayonnement nest plus lquilibre thermodynamique. Il sest dcoupl des atomes environ 380 000 ansaprs le big-bang, cest--dire la naissance de lUnivers. Au moment de cedcouplage, le temprature tait de 104 K environ. Ensuite lexpansion delUnivers a rduit cette temprature la valeur actuelle de 3 K.

1.3.2 Leffet photolectriqueLe nombre entier n dans (1.19) possde une interprtation physique parti-

culirement importante : la raison pour laquelle lnergie dune onde station-naire de frquence est un multiple entier n de est que lon y trouveprcisment n photons (ou particules de lumire) dnergie . Cest cetteinterprtation qui a conduit Einstein introduire le concept de photon pourexpliquer leffet photolectrique. Lorsquun mtal est illumin par un rayon-nement lectromagntique, des lectrons sont arrachs au mtal, avec un effetde seuil qui dpend de la frquence, et non de lintensit. Lexprience de

25. On trouvera un expos remarquable du big-bang dans Weinberg [1978].


1020 FIRAS (COBE)DMR (COBE)UBCLBL ItaliePrincetonCyanogne

10 1.0 0.1

1 10 100

corps noir 2.73 K

frquence (Hz)

longueur donde (cm)

1018

Fig. 1.5 Le rayonnement du corps noir 3 K. Laxe vertical donne lintensit durayonnement en W.m2.sr1.Hz1. On observera laccord remarquable avec la loide Planck pour T = 2.73 K. Daprs J. Rich [2002].

Millikan (figure 1.6) confirme linterptation dEinstein : les lectrons sontarrachs au mtal avec une nergie cintique Ec

Ec = W (1.23)

o W est le potentiel dextraction. Aucun lectron de charge qe natteint lacathode si |qeV | > Ec. Si V0 est le potentiel pour lequel le courant sannule

|V0| =

|qe| W|qe|

(1.24)

1. Introduction 19

C A

+

W/|qe|

(a) (b)

|V0|

Fig. 1.6 Lexprience de Millikan. (a) Schma de lexprience. (b) |V0| en fonctionde .

et porter |V0| en fonction de donne une droite de pente /|qe|, et la valeur de concide avec celle du rayonnement du corps noir, ce qui confirme lhypothsedEinstein26 : le rayonnement lectromagntique est compos de photons27.

1.4 Ondes et particules : interfrences

1.4.1 Hypothse de de Broglie

Partons de la relation (1.19) E = pour n = 1 reliant lnergie et lafrquence dun photon, aussi appele relation de Planck-Einstein. Un photonpossde une impulsion

p =E

c=

c

mais compte tenu de = ck et de ce que limpulsion et le vecteur donde sontparallles et de mme sens, on aboutit la relation vectorielle suivante entre

26. Encore une rcriture de lhistoire ! Certains rsultats qualitatifs sur leffet photolec-trique avaient t obtenus par Lenard au dbut des annes 1900, mais les mesures prcisesde Millikan sont postrieures de 10 ans lhypothse dEinstein, qui semble avoir t mo-tive non par leffet photolectrique, mais par des arguments thermodynamiques : voir parexemple Darrigol [2005].

27. Toutefois largument nest pas entirement convaincant, car leffet photolectriquepeut sexpliquer dans le cadre dune thorie semi-classique, o le champ lectromagntiquenest pas quantifi et o le concept de photon nexiste pas : cf. 15.3.3. En revanche onne peut pas expliquer leffet photolectrique sans introduire . Le fait quun photomultipli-cateur dont le fonctionnement repose sur leffet photolectrique enregistre des coups isolspeut tre attribu au caractre quantique du dtecteur et non larrive de photons isols,voir le 15.4.1.


impulsion p et vecteur donde k

p = k (1.25)

Cette quation se traduit aussi par une relation (cette fois scalaire) entreimpulsion et longueur donde , la longueur de de Broglie

p =h

(1.26)

Lhypothse de de Broglie est que les relations (1.25) et (1.26) sont valablespour toutes les particules. Selon cette hypothse, une particule dimpulsionp possde des proprits ondulatoires caractristiques dune longueur donde = h/p. Si v c, on utilisera p = mv, et sinon la formule gnrale (1.7),sauf bien sr pour m = 0, o p = E/c. Si cette hypothse est correcte, on doitpouvoir observer avec des particules des proprits caractristiques des ondescomme les interfrences et la diffraction.

1.4.2 Diffraction et interfrences avec des neutronsfroids

Depuis les annes 1980, les techniques exprimentales modernes per-mettent de vrifier les proprits dinterfrences et de diffraction de particulesdans des expriences dont le principe est simple et dont linterprtation estdirecte. Ces expriences ont t ralises avec des photons, des lectrons, desatomes, des molcules

: vue d’artiste d’un piège magnéto-optique (cha- · michel le bellac physique quantique 2e...

Documents