تقريب القيم والأشعة الذاتية -...

الذاتية واألشعة القيم تقريبEignvalues & eignvectors approximation

إعداد الطالبة لينة رياض

كاملة

بسم الله الرحمن الرحيم

العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 1جامعة

الفهرس

الموضوع رقم

الصفحة

3مبرهنات وتعاريف أساسية 4مبرهنات وتعاريف أساسية -13طريقة غرام-شميت في التعامد -17التفسير الهندسي لألشعة الذاتية - الطريقة العامة إليجاد القيم واألشعة-

18الذاتية الطرق التكرارية لتقريب القيم الذاتية

23واألشعة الذاتية 24طريقة القوى -34طريقة مقلوب القوى-40طريقة قوى االنتقال -45طريقة مقلوب قوى االنتقال-Gershgorin49أقراص -54طريقة التفريغ واالنكماش-QR67الطريقة -

74تطبيقات القيم الذاتية75سالسل ماركوف-80النمو السكاني-84عالقات التكرار الخطية -

91المراجع


مبرهنات وتعاريفأساسية


:(1تعريف )K ( R ، عناصرها من الحقل n∗n مصفوفة من المرتبة Aلتكن (، نقولCأو

إذا وج@@د ش@@عاع غ@@ير ص@@فريA أنه قيمة ذاتي@@ة للمص@@فوفة λ∈Kعن العدد X=[ x1 , x2 ,…, xn ]∈K n يحق@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ق AX=λX

.λ الموافق للقيمة الذاتية A هو الشعاع الذاتي للمصفوفة Xونقول أن

( :1مبرهنة ) للمعادل@@@ةλ هي بالض@@@بط الحل@@@ول Aالقيم الذاتي@@@ة لمص@@@فوفة مربع@@@ة

det (A−λI هي المصفوفة الواحدية.I ، حيث 0=(البرهان :

من تعريف القيمة الذاتية نجد أنه: بحيثX إذا وجد شعاع غير صفري A قيمة ذاتية للمصفوفة λتكون

AX=λX❑⇔AX−λX=0

❑⇔

( A−λI ) X=0

مجه@@ول، ولكي يك@@ونn معادلة خطية متجانسة ب@ nإن هذه المعادلة تمثل لجملة المعادالت الخطية المتجانسة حل غير الحل الصفري يجب أن يكون

محدد األمثال مساويا للصفر، أي:det (A−λI )=0

مالحظة :detعندما ننشر المحدد (A−λI n فإننا نحصل على حدودية من الدرجة (

:λبالنسبة ل@ det (A−λI )= λn+cn−1 λ

n−1+…+c1 λ+c0

قيم@@ةn ، حيث يك@@ون للمص@@فوفة Aنسميها الحدودية المم@@يزة للمص@@فوفة detذاتي@@ة على األك@@ثر ؛ كم@@ا نس@@مي المعادل@@ة (A−λI المعادل@@ة المم@@يزة0=(

.Aللمصفوفة

( :2مبرهنة )القيم الذاتية لمصفوفة مثلثية هي عناصر قطرها الرئيسي.

البرهان : من الشكل:Aبفرض المصفوفة المثلثية

0…00a110…0a22a21A =


0…a33a32a31

…

ann…an3an2an1

detعندها وإليجاد القيم الذاتية لها، نوجد المعادلة المميزة: (A−λI )=0

0…00a11−λ

= 00…0a22− λa210…a33−λa32a31

…

ann−λ…an3an2an1

أي أن:(a11− λ ) (a22− λ ) (a33− λ )… (ann−λ )=0

هي عناص@@ر القط@@رAوبالت@@الي ف@@إن القيم الذاتي@@ة للمص@@فوفة المثلثي@@ة الرئيسي ..

مالحظTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTة: ، ف@@إنλ مقابل للقيمة الذاتية A شعاع ذاتي للمصفوفة x و α∈R≠0إذا كان

Aه@@و ش@@عاع ذاتي للمص@@فوفة Y=αX من الش@@كل Yأي ش@@عاع ذاتي أيض@@ا، وذلك ألن:λبالنسبة للقيمة الذاتية

AY=A (αX )=α ( λX )=λ (αX )= λY

( :3مبرهنة )detإذا كانت جميع جذور المعادلة المميزة (A−λI مختلف@@ة، ف@@إن األش@@عة0=(

الذاتية المقابلة لها تكون مستقلة خطيا.


تذكرة::نقول عن مجموعة من المتجهات أنها مستقلة خطيا إذا تحقق ما يلي

إذا كان أي تركيب خطي لهذه المتجهات مساويا للصفر فإن جميعالمعامالت يجب أن تساوي الصفر، أي:

x1 v1+x2 v2+…+xn vn=0❑⇔ x1=x2=…=xn=0حيثvi , i=1 ,…,nمجموعة المتجهات .

البرهان:v1لتكن , v2 ,…,vn أشعة ذاتية للمصفوفة المربع@ة Aوالمقابل@ة للقيم الذاتي@ة

λ1 , λ2 ,…, λn المختلف@@@ة مث@@@نى مث@@@نى ولنثبت أن المجموع@@@ة {v1 , v2 ,…,vn } مستقلة خطيا.

:nنطبق االستقراء الرياضي على العدد الطبيعي v1≠0وهي مس@@تقلة خطي@@ا ألن{v1}نحصل على المجموعةn=1من أجل-

شعاع ذاتي. :n-1نفرض صحتها من أجل -

v1نف@@رض ك@@ل مجموع@@ة من األش@@عة , v2 ,…,vn(n>1 تت@@ألف من )n-1 ش@@@@@@@@@@@@@@@عاع تك@@@@@@@@@@@@@@@ون مس@@@@@@@@@@@@@@@تقلة خطي@@@@@@@@@@@@@@@ا

,λ1بم@@ا أن λ2 ,…, λnمختلف@@ة مث@@نى مث@@نى ف@@إن إح@@دى ه@@ذه القيم ال )وه@@ذا ال يفق@@د عمومي@@ة المس@@ألة حيثλnيساوي الصفر ولتكن مثال

λيكفي أن نعيد ترتيب القيم i .) v1}عندئ@@@ذ المجموعة , v2 ,…,vn−1 مس@@@تقلة خطي@@@ا حس@@@ب الف@@@رض{

v1}االستقرائي ولنبرهن على أن المجموعة , v2 ,…,vn مستقلة خطيا.{αلنأخذ 1v1+α2 v2+…+αnvn=0( 1 @@)

فنجد:λn( بالقيمة 1ولنضرب طرفي العالقة )(2 )α1 λn v1+α2 λn v2+…+αn λn vn=0

:Aونضرب طرفي العالقة بالمصفوفة Aα1 v1+Aα2 v2+…+Aα n vn=0❑

⇒α1 (A v1 )+α 2 ( A v2 )+…+α n (A vn )=0

v1)بما أن , v2 ,…,vn λ1 مقابلة ل@ A أشعة ذاتية ل@ ( , λ2 ,…, λn فحسب ،التعريف نجد:(3 )α 1 λ1 v1+α2 λ2 v2+…+α n λn vn=0

( نحصل على:3( من )2بطرح )α 1¿

λبما أن i≠ λ j من أجل i≠ j )حيث القيم الذاتية مختلفة مثنى مثنى( λn−λ)فإن i)≠0 وذلك ∀ i=1,2 ,…,n−1 وvi≠0 أشعة ذاتية للمصفوفة A

αوبالتالي i≠0 وذلك ∀ i=1,2 ,…,n−1


تذكرة::نقول عن مجموعة من المتجهات أنها مستقلة خطيا إذا تحقق ما يلي

إذا كان أي تركيب خطي لهذه المتجهات مساويا للصفر فإن جميعالمعامالت يجب أن تساوي الصفر، أي:

x1 v1+x2 v2+…+xn vn=0❑⇔ x1=x2=…=xn=0حيثvi , i=1 ,…,nمجموعة المتجهات .

( نحصل على:1بالتبديل في )α n vn=0

)شعاع ذاتي( وبالتالي:vn≠0لكن α n=0

ومنه فإنα i=0 ∀ i=1,2 ,…,n

v1}وبالتالي المجموعة , v2 ,…,vn مستقلة خطيا .{

نتيجة:v1} وكانت n*n مصفوفة مربعة من البعد Aإذا كانت , v2 ,……,vn أشعة ذاتية{

λ1 مقابلة للقيم الذاتية Aللمصفوفة , λ2 ,……, λnالمختلف@@ة مث@@نى مث@@نى ف@@إن Rnهذه المجموعة هي قاعدة الفضاء

تذكرة نقول عن مجموعة األشعة{v1 , v2 ,……,vn أنه@@ا قاع@@دة ل@Rn من الفضاء {

Rn.إذا وفقط إذا كانت هذه المجموعة مجموعة مولدة ومس@@تقلة خطي@@ا )ويمكن كتابة أي متجه من الفضاء كتركيب خطي لمجموعة األشعة( .

(:4مبرهنة ) ،X قيمة ذاتية موافقة للشعاع الذاتي λ مصفوفة مربعة ولتكن Aلتكن

عندئذ:Anهي قيم@@ة ذاتي@@ة للمص@@فوفة λn ف@@إنnألجل أي عدد صحيح موجب -1

An=A ، حيثXموافقة للشعاع الذاتي . A .……. A (n .(مرة1مصفوفة قلوبة فإنAإذا كانت-2

λقيمة ذاتية للمصفوفةA−1موافقة .Xللشعاع الذاتي

ف@@إنn مصفوفة قلوبة فإنه ألجل أي عدد صحيح م@@وجب Aإذا كانت -3λ−nقيمة ذاتية للمصفوفة Α−n موافقة للشعاع الذاتي X.

البرهان:عندئذXمقابلة للشعاع الذاتيA قيمة ذاتية ل@λبما أن -1

(1)Α x=λx∀وذلك An−1( ب@ 1ولنضرب طرفي ) n>0)عدد صحيح موجب(

An−1 . AX=An−1 . λX


An . X= λ .(An−1 . X)An . X= λ . An−2.(AX)An . X= λ . An−2.(λX )An . X= λ2(An−2 X )An . X= λ2 An−3.(AX )An . X= λ2 An−3 ( λX )⇔An X=λ3(An−3 . X)...وهكذاAn . X= λn−1 . (AX )An . X= λn−1 . (λX)An . X= λn . X

.X مقابلة للشعاع الذاتي An قيمة ذاتية للمصفوفة λnأي أن

Αلدينا -2 x=λxمن اليسار:A−1نضرب الطرفين ب@

A−1 . AX=A−1 . λXΙ X=λ . A−1 . X

X=λ . A−1 . X⇒ 1λX=A−1 X

1وبالتاليλ@قيمة ذاتية لA−1مقابلة للشعاع الذاتيX.

.2و 1هي نتيجة مباشرة ل@ -3

(:2تعريف ) تش@@ابهA ، نقول أن المصفوفةn∗n مصفوفتين من البعد B و Aلتكن

بحيث يتحق@@ق:n∗nقلوبة من البعدP إذا وجدت مصفوفة Bالمصفوفة P−1 AP=BأوAP=PB

Aونرمز لذلك بالرمز B.

مثال:لتكن:

21A=-10

01B=-1-2


Aإن B:ألن =-1121

11-10

=13-1-1

01-11-1-

211

حيث: AP=PBأي أن-11P=

11( :5مبرهنة )

A وكانتn∗nمصفوفتين من البعدA,Bإذا كانت B:فإنa.A,B.لهما الحدودية المميزة ذاتهاb.A,B.لهما نفس القيم الذاتية

البرهان: λ ولنثبت أن X مقابل@@ة للش@@عاع ال@@ذاتي A قيمة ذاتي@@ة للمص@@فوفة λبفرض

:A المشابهة ل@ Bقيمة ذاتية للمصفوفةAX=λX قيمة ذاتية فحسب التعريف:λبما أن

Aو Bأي يوجدP:بحيثA=P−1 . B .P

نعوض:(P−1 .B . P ) . X=λ X

P−1 .B . (PX )=λX

من اليسار:Pنضرب الطرفين ب@ P .P−1 .B . (PX )=PλX

I . B . (P . X )= λ(P . X)


B . (P . X )= λ .(P .X )

( .PXمقابلة للشعاع الذاتي)Bقيمة ذاتية للمصفوفةλومنه فإن

(:3تعريف ) أنه@@@ا قط@@@ورة إذا وج@@@دتA ، نق@@@ول عن n∗nمص@@@فوفة من البع@@@د Aلتكن

A بحيث تكون Dمصفوفة قطرية D. مثال:

=31Aالمصفوفة22

قطورة ألنها تشابهالمصفوفة القطرية:

04D=

-1

0

حيث أن:3131A.P=-2

122

-3

4=

24

=PD0431=-1

0-2

1

(:6مبرهنة ) عندئذ:n∗n مصفوفة من البعد Aلتكن

Aقطورة⇔A تملك n شعاع ذاتي مستقل خطياالبرهان:


: (⇐ )

A قط@@ورة عندئ@@ذ يوج@@دPقلوب@@ة بحيثP−1 . A . P=D وD.مص@@فوفة قطري@@ة بفرض:

Pn.…P2P1P=

0…01λD=2λ0

…nλ….…0

، أي:AP=PDلدينا

0…01λPn…P2P1=Pn…P2P1A2λ0…

nλ.......

0

i=1,2وبالتالي من أجل ,…,n:لديناA Pi=λ iPi

.Aهي أشعة ذاتية للمصفوفةPiأي أنP1مصفوفة قلوبة فإنPوبما أن ,P2 ,…,Pn.مستقلة خطيا

شعاع ذاتي مستقل خطيا.nتملكAومنه: (⇒ )

P1)لتكن ,P2 ,…,Pn)nش@@عاع ذاتي مس@@تقل خطي@@ا للمص@@فوفة Aعن@@دها من ، i=1,2أجل ,…,nيك@@ون A Pi=λ iPi (λi القيم الذاتي@@ة للمص@@فوفة A@المقابل@@ة ل

Pi. ) =Pn.…P2P1Pفنكتب:

0…01λD=2λ0


…

nλ….…0

قلوب@@ةP مس@@تقلة خطياف@@إن P ، وبم@@ا أن أعم@@دة AP=PDونجد بس@@هولة أن P−1حتما ، وبالتالي AP=D.مصفوفة قطرية

نتيجة: قيم@@ا ذاتي@@ة مختلف@ة ف@@إنnتملك Aوكانت n*nمصفوفة من البعدAإذا كانت

A.قطورة

(:4تعريف )S={v1لتكن , v2 ,…,vn} مجموعة من المتجهات، نقول أن المجموعة S

متعامدة إذا تحقق أن:vi . v j=0 : i≠ j

ونقول أنها متعامدة منظمة إذا تحقق باإلضافة إلى الشرط السابق:vi . v i=0:∀ i=1,2 ,…,n

(:7مبرهنة )v1}نقول عن المجموعة , v2 ,…,vn المؤلفة من أشعة متعامدة أنها{

متعامدة منظمة إذا وفقط إذا كان:||v i||=1, ∀ i=1,2 ,… ,n

طريقة غرام- شميت في التعامد من المسائل الهامة في الفضاءات، للبحث عن قاعدة متعامدة منظمة

للفضاء.(:5تعريف )

u ، ولتكن المتجه@@ات Eليكن الفضاء االقليدي , v∈E حيث u≠0≠vنس@@مي ، uالمتجه . v

v . v. v مسقط u القائم على vونرمزه ، Prv (u )=u . v

v . v. v.


مثال:u=(2,5ليكن ) , v=(6,3 )∈R2:فيكون ،

Prv (u )=u . vv . v

. v=2.6+5.36.6+3.3

. (6,3 )=2745

. (6,3 )=(185, 95)

(:8مبرهنة ) dim فضاء اقليدي ( بعده منته ) W فضاء حقيقيا ذا جداء داخلي ) Wليكن W = n.فإنه يوجد قاعدة متعامدة منظمة لهذا الفضاء ،)

البرهان:x1}لتكن , x2 ,…,xn ، س@@وف نش@@كل جمل@@ة متعام@@دة منE قاع@@دة للفض@@اء {

}المتجه@@@@@ات y1 , y2 ,…, yn ثم نض@@@@@عy1=x1 وله@@@@@ذا الغ@@@@@رض نض@@@@@ع {y2=x2−Pr y1(x2) فنجد أنy2 عمودي على y1:ألن

y2 . y1=( x2−Pr y1 (x2 )) . y1¿ x2. y1−Pr y1 (x2 ) . y1

¿ x2 . y1−x2 . y1y1 . y1

. y1 . y1

¿ x2 . y1−x2 . y1

||y1||2.||y1||

2

¿ x2 . y1−x2 . y1

¿0

⊥y2أي أن y1. بآن واحد ما علين@@ا إال أنy1 و y2 عموديا على كل من y3ولكي نجد متجها

، أي:y1 و y2 كال من مسقطيه على x3نطرح من y3=x3−Pr y1 (x3 )−Pr y2 (x3 )

وسنجد أن :y3 . y2=(x3−Pr y1 (x3 )−Pr y2 (x3 )) . y2

¿ x3 . y2−x3 . y1y1 . y1

. y1 . y2−x3 . y2y2 . y2

. y2 . y2

¿ x3. y2−0−x3 . y2

¿∨ y2∨¿2.¿∨ y2∨¿2


⊥y2ألن y1.. ¿ x3. y2−x3 . y2

¿0

⊥y3أي أن y2: وكذلك نجد ، y3 . y1=( x3−Pr y1 (x3 )−Pr y2 (x3 )) . y1

¿ x3 . y1−x3 . y1y1 . y1

. y1 . y1−x3 . y2y2 . y2

. y2 . y1

¿ x3 . y1−x3 . y1−0

⊥y2ألن y1.. ¿0

⊥y3أي أن y1.. yوبنفس الطريقة نتابع تعيين المتجهات i: حيث نجد

yk=xk−Pr y1 (xk )−Pr y2 (xk )−…−Pr yk−1 (xk )

}وهكذا نحصل على المتجه@@ات y1 , y2 ,…, yn المتعام@@دة مث@@نى مث@@نى، وك@@ل{ x1=0 ، ول@@@و ك@@@انت y1=x1 فرض@@@ا حيث y1≠0منه@@@ا غ@@@ير مع@@@دوم ألن

x}ألصبحت الجملة i مرتبطة خطيا .{y2≠0 وإال إذا ك@@@@@ان y2=x2−λ y1=x2−λ x1=0 ألص@@@@@بح x2=λ x1 أي x2 و x1

λ=Prمرتبطان خطيا وهو مخالف للفرض )) وذلك بفرض yn−1 (x1 ). )) y3وهكذا نجد أيضا أن كال من ,…, yn≠0.

لكي نحص@@ل على قاع@@دة متعام@@دة منظم@@ة نقس@@م كال منy iعلى نظيم@@@@@@ه فنحص@@@@@@ل على الجمل@@@@@@ة المتعام@@@@@@دة المنظم@@@@@@ة

{y1

¿∨ y1∨¿,

y2

¿|y2|∨¿ ,…,yn

¿|yn|∨¿}¿( .7 وذلك حسب المبرهنة )¿

وإن الجمل@@ة ال@@تي حص@@لنا عليه@@ا مس@@تقلة خطي@@ا ، وع@@دد عناص@@رها فهي تشكل قاعدة منظمة لهذا الفضاء.Wيساوي بعد الفضاء

ونلخص هذه الطريقة كما يلي:x1}إذا كانت الجملة , x2 ,…,xn منتهي البعد،W قاعدة للفضاء االقليدي{

وكانت :y1=x1


y2=x2−Pr y1 ( x2 )

⋮

yn=xn−Pr y1 (xn )−Pr y2 ( xn )−…−Pr yn−1(xn )

}فإن الجملة y1

¿∨ y1∨¿,

y2

¿|y2|∨¿ ,…,yn

¿|yn|∨¿}¿ تشكل قاعدة متعامدة¿

.Wمنظمة ل@ مثال:

استخدم خوارزمية غرام –شميت إليج@@اد قاع@@دة متعام@@دة منظم@@ة للفض@@اءW=spanالجزئي {x1 , x2 , x3 ، حيث:R4 من الفضاء {

x1=(1

−1−11

) , x2=(2101) , x3=(

2212)

الحل:نفرض

y1=x1=(1

−1−11

)فيكون

y2=x2−Pr y1 ( x2 )=(2101)−2−1+0+11+1+1+1 (

1−1−11

)=(1.51.50.50.5

)y3=x3−Pr y1 (x3 )−Pr y2 (x3 )=x3−

x3 . y1y1 . y1

. y1−x3 . y2y2 . y2

. y2

¿(2212)−14 (

1−1−11

)−7.55 (1.51.50.50.5

)=(−0.500.51

)


v

Av

Axx

} هي Wوهك@@@ذا نك@@@ون ق@@@د حص@@@لنا على قاع@@@دة متعام@@@دة ل@ y1 , y2, y3 }، وللحص@ول على قاع@دة متعام@دة منظم@ة نقس@م ك@ل ش@عاع على نظيم@ه،

فيكون :

v1=y1

||y1||= 1

√1+1+1+1y1=(

0.5−0.5−0.50.5

)v2=

y2||y2||

= 1√2.25+2.25+0.25+0.25

y2=(0.67080.67080.22360.2236

)v3=

y3||y3||

= 1√0.25+0+0.25+1

y3=(−0.4082

00.40820.8165

),v1}وبالتالي فإن v2 , v3 تشكل قاعدة متعامدة منظمة ..{

التفسير الهندسي لألشعة الذاتية.1996 وذلك عام Steven Schonefeldطرحت هذه الفكرة من قبل العالم

يمكن أن نعطي تفس@@يرا هندس@@يا لألش@@عة الذاتي@@ة وهي أن نرس@@مR2في س@@يكون ش@@عاعx( عندئ@@ذHead-to-tail بش@@كل متع@@اقب )x و Axالشعاعين

على خط مستقيم واحد. مثال فيxو Axإذا وفقط إذا كانAذاتي للمصفوفةالشكل المجاور:

x@هو شعاع ذاتي لA لكنv.ليس شعاع ذاتي لها


ف@@إن أي ش@@عاعλ موافق للقيمة الذاتية A شعاع ذاتي للمصفوفة xإذا كانα x مرتبط معه خطي@@ا ه@@و أيض@@ا ش@@عاع ذاتي للمص@@فوفة Aمواف@@ق للقيم@@ة

، ف@@إن أردن@@ا البحث عن األش@@عة الذاتي@@ة هندس@@يا فإن@@ه يكفي أنλالذاتي@@ة على أشعة الواحدة.Aندرس تأثير المصفوفة

الطريقة العامة إليجاد القيم واألشعة الذاتية

:القيم الذاتية نوجد جذور معادلتها المميزة، وهذه الجذورAلتعيين القيم الذاتية للمصفوفة

هي القيم الذاتية. مصفوفة مربعة من الشكل:Aبفرض

a1n…a12a11A=a2n…a22a21 …

ann…an2an1

إن معادلتها المميزة تعطى بالشكل:=0a1n…a12a11-λdet(A-

λI)=a2n…a22-λa21 …

ann-λ…an2an1

.λ بمجهول واحد هوnوبنشر هذا المعين نحصل على حدودية من الدرجة وبالت@@@الي على القيم الذاتي@@@ةλوبح@@@ل ه@@@ذه الحدودي@@@ة نحص@@@ل على قيم

.Aللمصفوفة المعطاة

:األشعة الذاتيةi=1,2حيث: Xiلتع@@@يين األش@@@عة الذاتية ,…,n للمص@@@فوفة Aالموافق@@@ة للقيم

λالذاتية i:نوجد حل جملة المعادالت التالية ( A−λi I ) X i=0

=0x1a1n…a12a11-λi

x2a2n…A22-λia21


……

xnann-λi…an2aan1

(a11− λi )x1+a12 x2+…+a1n xn=0

a21 x1+(a22−λi ) x2+…+a2n xn=0

.

.

.an1 x1+an2x2+…+(ann−λ i )xn=0

X1بحل جملة المعادالت هذه نحصل على األش@@عة الذاتية , X2 ,…, Xnالمقابل@@ة λ1للقيم الذاتية , λ2 ,…, λn للمصفوفة A.

أمثلةأوجد القيم الذاتية واألشعة الذاتية للمصفوفات التالية:

(:1مثال )-575A=-140-382

الحل:نوجد الحدودية المميزة:

-575-λdet(A-λI)=-14-λ0-3-λ82

¿ (6−λ ) [ (4− λ ) (−3−λ )+8 ]−7 (2 )−5[−2 (4−λ )]

¿−λ3+6 λ2−11 λ+6

:Aومنه المعادلة المميزة للمصفوفةالعليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 18جامعة

λ3−6 λ2+11 λ−6=0

نوجد جذور المعادلة:λ2−5 λ+6

λ−1 λ3−6 λ2+11 λ−6

λ3−λ2

−5 λ2+11 λ−6

−5 λ2+5 λ

6 λ−6

6 λ−6

0

⇒ ( λ−1 ) (λ2−5 λ+6 )=0

⇒ ( λ−1 ) ( λ−2 ) ( λ−3 )=0

هي:Aوبالتالي القيم الذاتية للمصفوفة λ1=1 , λ2=2 , λ3=3

إيجاد األشعة الذاتية:x1X=,AX=λXx2

x3

=0

x1-575-λ

x2-14-λ0x3-3-λ82


(5−λ ) x1+7 x2−5 x3=0

(4− λ ) x2−x3=0

2 x1+8 x2−(3+ λ ) x3=0

عندماλ=1: 4 x1+7 x2−5 x3=0(1)3 x2−x3=0(2)2 x1+8 x2−4 x3=0(3)

x3=3( نجد:2من ) x2( 3( و )1, نعوض في: )4 x1−8 x2=0(4)2 x1−4 x2=0 (5)

x1=2( نجد أن:5(,)4من ) x2 لهذه الجملة عدد غير منته من الحلول:⇐

S= {(2 x2 , x2 ,3 x2 ) ; x2∈R }={x2 (2,1,3 ) ; x2∈R }

.λ1=1هو الشعاع الذاتي الموافق للقيمة الذاتيةX=(213)وبالتالي

عندماλ=2: 3 x1+7 x2−5 x3=0 (1)2 x2−x3=0(2)2 x1+8 x2−5 x3=0(3)

x3=2( نجد:2من ) x2( 3( و )1 , نعوض في: )3 x1−3 x2=0(4)2 x1−2x2=0 (5)

x1=x2( نجد أن: 5(,)4من ) لهذه الجملة عدد غير منته من الحلول:⇐

S= {(x2 , x2 ,2 x2) ; x2∈ R }={x2 (1,1,2 ) ; x2∈R }

.λ2=2 هو الشعاع الذاتي الموافق للقيمة الذاتية X=(112)وبالتالي

عندماλ=3: 2 x1+7 x2−5 x3=0(1)x2−x3=0(2)2 x1+8 x2−6 x3=0 (3)

( :3( و )1 , نعوض في )x3=x2( نجد:2من )2 x1+2 x3=0(4)


2 x1+2 x3=0(5)x1=−x3( نجد أن: 5(,)4من )

لهذه الجملة عدد غير منته من الحلول:⇐S= {(−x3 , x3 , x3 ) ; x2∈R }= {x2 (−1,1,1 ) ; x2∈R }

X=(−111وبالتالي .λ3=3 هو الشعاع الذاتي الموافق للقيمة الذاتية (

هناك عدة أمور تجعل طريقة إيجاد األشعة الذاتية لمصفوفةبالطريقة العامة غير عملية، منها:

أن هذه الطريقة تعتمد على حساب المحددات الذي يس@@تهلك-وقتا في حال كانت المصفوفة من مرتبة كبيرة.

إن المعادلة المميزة للمصفوفة هي معادلة حدودي@@ة وال يوج@@د- .4طريقة لحلها في حال كانت درجة الحدودية أكبر من

ول@@ذلك س@@وف نق@@وم بتق@@ريب القيم الذاتي@@ة بط@@رق عملي@@ة أك@@ثر ، ل@@ذاسنعرض بعض الطرق التي تعتمد على تقنية تكرار بسيطة...


الطرق التكرارية لتقريب القيم الذاتية

واألشعة الذاتية

( The Power Method أوال:طريقة القوى )ق على المص@@فوفات المربع@@ة إن طريقة الق@@وى هي طريق@@ة بس@@يطة وتطب التي تملك قيمة ذاتية مهيمنة )أي تملك قيمة ذاتي@@ة قيمته@@ا المطلق@@ة أك@@بر تماما من القيم المطلقة لبقية القيم الذاتية( ، حيث تقوم هذه الخوارزمي@@ة على إيجاد متتالية من القيم تتقارب إلى القيم@ة الذاتي@ة المهيمن@@ة ومتتالي@@ة

من األشعة تتقارب إلى الشعاع الذاتي المقابل )المهيمن( . وعلى الرغم من أن طريقة القوى تقوم بتقريب قيم@@ة ذاتي@@ة واح@@دة فق@@ط للمصفوفة، إال أنها تبقى مفيدة في بعض المس@@ائل الحس@@ابية، حيث نحت@@اج في بعض الحاالت إلى تعيين أكبر قيمة ذاتي@@ة للمص@@فوفة والش@@عاع ال@@ذاتي

المقابل لها.


يستخدم هذه الطريقة في حساب ع@@دد النت@@ائجGoogleفعلى سبيل المثال Pageالتي سيعرض@@ها في الص@@فحة الواح@@دة عن@@د البحث عن موض@@وع م@@ا )

Rank. )

خوارزمية طريقة القوى منAإليجاد القيمة الذاتية المهيمن@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي المهيمن لمص@@فوفة

|λ1|>|λ2|>…>|λn| ، وبفرض القيم الذاتية مرتبة بالش@@كل الت@@الي: n∗nالمرتبة v1واألش@@عة الذاتي@@ة المقابل@@ة له@@ا على ال@@ترتيب: , v2 ,…,vnنق@@وم ب@@الخطوات

التالية: )من الممكن أن يكون تقريبRn من x0=γ0نختار شعاع ابتدائي -1

الشعاع الذاتي المهيمن أو شعاع عشوائي ولكن يملك مركبة غيرصفرية واحدة على األقل(.

k=1,2,3نكرر الخطوات التالية ألجل -2 ,…

a.نحسبX k=AY k−1

b. نضعmk هي مركبة X kالتي تكون قيمتها المطلق@@ة أك@@بر X|¿من القيم المطلقة لبقية المركبات أي k|∨¿

c.نضعY k=( 1mk

)Xk

Yويتقارب الش@@عاعλ1 إلى القيمة الذاتية المهيمنة mk عندئذ تتقارب القيمة k

إلى الشعاع الذاتي المقابل لها.

دراسة تقارب الخوارزميةA=VJ محللة إلى صيغة جوردانAلتكن المصفوفة V−1 حيث

, vn…v2 ,v1 ,V=

;1λJ=

2λ

nλ

يمكن كتابة الشعاع االبتدائيX A كتركيب خطي لألشعة الذاتية ل@ 0العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 23جامعة

X 0=c1 v1+c2v2+…+cnvnXومن الفرض نعلم أن يملك مركبة غير صفرية على األقل.0

((The starting vector X 0 has a non-zero-component in the direction of an eigenvector associated with the dominant eiganvalue))

.c1≠0وبالتالي :ويمكن كتابة العالقة التكرارية لطريقة القوى بالشكل التالي

X k+1=A Xk

¿|A X k|∨¿=Ak+1X0

¿|Ak+1 X0|∨¿¿¿

X k=A kX 0

¿|Ak X0|∨¿=(VJ V−1)k X0

¿|(VJ V−1 )kX 0|∨¿=V J kV−1X 0

¿|V J kV−1 X0|∨¿¿¿¿

¿V J kV−1(c1 v1+c2 v2+…+cn vn)

¿|V J kV−1 (c1 v1+c2 v2+…+cn vn )|∨¿¿

¿V J k (c1e1+c2 e2+…+cn en)

¿|V J k (c1 e1+c2 e2+…+cn en)|∨¿¿

¿V J kc1 e1+V J

k (c2 e2+…+cn en)¿|V J kc1 e1+V J k (c2 e2+…+cnen )|∨¿¿

¿(λ1)

k c1 v1+V Jk (c1 e1+c2 e2+…+cn en)

¿|(λ1 )kc1 v1+V Jk (c1 e1+c2 e2+…+cn en)|∨¿¿

¿(λ1

|λ1|)k

.c1

¿c1∨¿ .r1+

1c1V ( 1

λ1J )

k

(c2e2+…+cn en)

¿∨r1+1c1V ( 1λ1 J )

k

(c2 e2+…+cn en )∨¿¿

حيث:∞⟶kنستطيع تبسيط العالقة السابقة عندما 1( 1

λ1J )

k

=¿

k⟶∞(λ2λ1

)k


(λnλ1

)k

10

0

λiحيثλ1

<1;(i=2 ,…,n)وبالتالي(λiλ1

)k

∞⟶kعندما0⟶

وبالتالي :1c1V ( 1λ1 )

k

(c2 e2+…+cnen )⟶0ask⟶∞

Xوباستخدام هذه الحقيقة نستطيع أن نكتب k:بالشكل التاليX k=(

λ1|λ1|

)k

.c1

¿c1∨¿ .v1+

1c1V ( 1

λ1)k

(c2 e2+…+cn en)

¿∨v1+1c1V ( 1λ1 )

k

(c2 e2+…+cn en )∨¿=e iϕk

c1¿c1∨¿v1+rk ¿

¿

eحيث iϕk=(λ1

|λ1|)k

r|¿و k|∨⟶0عندماk⟶∞.

إن المتتاليةX kمحدودة وبالتالي إنه@@ا تح@@وي ح@@د مق@@ارب، ولكنه@@ا ال تتقارب بالضرورة إلى الشعاع الذاتي المهيمن حيث أن وج@@ود الح@@د

e iϕk يعني أن (bk) ال تتقارب إال عن@@دما e iϕk=1وذل@@ك ض@@من الش@@روط( التي ذكرناها سابقا(.

Xوعلى الرغم من أن المتتالي@@ة k ق@@د ال تتق@@ارب إال أن X k ه@@و تقريب@ا كبيرة.k وذلك من أجل Aشعاع ذاتي للمصفوفة

إذا كانتAمصفوفة قطورة فإن البرهان التالي سيؤدي إلى نفس النتيجة:

λ1بف@@رض , λ2 ,…, λnالقيم الذاتي@@ة للمص@@فوفةAبحيث|λ1|>|λ2|>…>¿ λn∨¿و ، v1 , v2 ,…,vnاألش@@@عة الذاتي@@@ة المقابل@@@ة له@@@ا وهي مس@@@تقلة خطي@@@ا )ألن

المصفوفة قطورة( .Xيمكن كتابة الشعاع االبتدائي بالشكل التالي:0

X 0=c1 v1+c2 v2+…+cnvn

X1=Aلنحسب X0


X1=A X0=c1 A v1+c2 A v2+…+cn A vn

v1وبما أن , v2 ,…,vnأشعة ذاتية للمصفوفة، فحسب تعريف القيمة الذاتية يكون:

i=1,2 ,…,n;Av i=λ v i

ومنه يمكن أن نكتب:X1=c1 λ1v1+c2 λ2 v2+…+cn λn vn

نحسب كذلك على الترتيب:X2=A X1 ,X 3=A X2 ,…, Xk+1=A Xk

أن:X1ونجد كما في حساب X2=c1 λ1

2 v1+c2 λ22 v2+c3 λ3

2v3+…+cn λn2 vn

.

.

.X k=c1 λ1

k v1+c2 λ2k v2+c3 λ3

k v3+…+cn λnk vn

وبالتالي يمكن أن نكتب:λ1≠0 هي القيمة الذاتية المهيمنة فإنλ1بما أن X k=λ1

k ¿

c1إن العبارة ما بين القوسين تتقارب إلى v1 ألن |λ jλ1|<1 من أجل j>1 كبيرة .Kو

أي يصبح لدينا :X k=λ1

k c1 v1X k+1=λ1

k+1 c1 v1=λ1 ( λ1k c1 v1 )= λ1 Xk

Xنستنتج إذا أن مركبات الشعاعين k و X k+1تصبح تقريب@@ا متناس@@بة ونس@@بتها وذات أكبر قيمة مطلقة.A أي القيمة الذاتية للمصفوفة λ1تساوي تقريبا

من جهة أخرى لدينا

X k=Ak X0

¿|Ak X0|∨¿¿

Xوبالتالي فإن k تتقارب إلى الشعاع الذاتي v1ومعدل التقارب يساوي ،

|λ2λ1| حيث λ2.هي ثاني أكبر قيمة ذاتية للمصفوفة


نتيجة: إن هذه الطريقة تتقارب ببطء إذا وجدت قيمة ذاتية قريبة من القيمة

الذاتية المهيمنة.

(:1مثال ) استخدم طريقة القوى لتقريب القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي

المهيمن للمصفوفة التالية :

A=[ 0 5 −6−4 12 −12−2 −2 10 ]

Xوذلك باستخدام الشعاع األولي 0=Y 0=[111].

الحل:

X1=AY 0=[ 0 5 −6−4 12 −12−2 −2 10 ][111]=[−1−4

6 ]=6 [−0.16667−0.666671 ]

X2=AY 1=[ 0 5 −6−4 12 −12−2 −2 10 ] [−0.16667−0.66667

1 ]=[ −9.33333−19.3333311.66667 ]

X2=−19.33333[−0.482761−0.60344]

Xوبالمتابعة حتى تكون النتائج كالتالي:943210K

[ 8.1195216.24701−8.19522][ 8.6206917.31035

−9 ][ −9.33333−19.3333311.66667 ][−1−4

6 ][111]X k

[ 0.499751−0.50441][ 0.498011

−051992][−0.482761−0.60344][−0.16667−0.66667

1 ][111]Y k

16.2470117.31035−19.3333361mk


98765K

[ 8.0000916.00004−8.00003][ 8.0003716.00075

−8.00062][ 8.0015116.00303−8.00251][ 8.0062316.01259

−8.01033][ 8.0264816.05395−8.04365]X k

[ 0.51−0.5][ 0.51

−0.50002][ 0.51

−0.50006][ 0.51

−0.50025][ 0.499971−0.50104]Y k

16.0000416.0007516.0030316.0125916.05395mk

λ=16تتقارب إلى القيمة الذاتية المهيمنةmkوكما نالحظ فإن المتتالية

Yومتتالية األشعة kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المهيمن)المقابل للقيمة

]الذاتية المهيمنة( 0.51−0.5].



A=[ 4 −1 1−1 3 −21 −2 3 ]


الحل:


X1=AY 0=[ 4 −1 1−1 3 −21 −2 3 ] [111]=[402]=4[

100.5]

X2=AY 1=[ 4 −1 1−1 3 −21 −2 3 ] [ 100.5]=[4.5−2

2.5]=4.5 [1

−0.444440.55556 ]

تكون النتائج كالتالي:X14وبالمتابعة حتى 43210K

[ 5.4−4.488894.51111 ][ 5

−3.444443.55556 ][4.5−2

2.5][402 ][111]X k

[ 1−0.831280.83540 ][ 1

−0.688890.71111 ][ 1

−0.444440.55556 ][ 100.5][111]Y k

5.454.541mk


98765K

[ 5.97675−5.941865.94187 ][ 5.95384−5.88460

5.88462 ][ 5.90909−5.772675.77279 ][ 5.82353−5.55846

5.55918 ][ 5.66667−5.164615.16872 ]X k

[ 1−0.994160.99416 ][ 1

−0.988370.98837 ][ 1

−0.976910.97693 ][ 1

−0.954490.95461 ][ 1

−0.911400.91213 ]Y k

5.976755.953845.909095.823535.66667mk

1413121110K

[ 5.99927−5.998175.99817 ][ 5.99853−5.99634

5.99634 ][ 5.99707−5.992685.99268 ][ 5.99416−5.98539

5.98538 ][ 5.98832−5.970815.97081 ]X k

[ 1−0.999820.99982 ][ 1

−0.999630.99963 ][ 1

−0.999270.99927 ][ 1

−0.998540.99854 ][ 1

−0.997080.99708 ]Y k

5.999275.998535.997075.994165.98832mk

λ=6تتقارب إلى القيمة الذاتية المهيمنة mkوكما نالحظ فإن المتتالية

Yومتتالية األشعة kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المهيمن )المقابل للقيمة

]الذاتية المهيمنة( 1−11 ].




A=[2 0 10 2 −11 −1 1 ]


الحل:

X1=AY 0=[2 0 10 2 −11 −1 1 ][111]=[311]=3 [

10.33330.3333]

X2=AY 1=[2 0 10 2 −11 −1 1 ] [ 1

0.33330.3333]=[2.33330.3333

1 ]=2.3333[ 10.14280.4286]

تكون النتائج كالتالي:X15وبالمتابعة حتى

543210K

[ 2.6279−1.13971.8838 ][ 2.5294−0.6472

1.5883 ][ 2.4286−0.14301.2858 ][2.33330.3333

1 ][311][111]X k

[ 1−0.43370.7168 ][ 1

−0.25590.6279 ][ 1

−0.05890.5294 ][ 1

0.14280.4286][ 1

0.33330.3333][111]Y k

2.62792.52942.42862.333331mk


109876K

[ 2.9276−2.6382.7828 ][ 2.8952−2.476

2.6856 ][ 2.8507−2.25332.552 ][ 2.7915−1.9577

2.3746 ][ 2.7168−1.58422.1505 ]X k

[ 1−0.90110.9505 ][ 1

−0.85520.9276 ][ 1

−0.79040.8952 ][ 1

−0.70130.8507 ][ 1

−0.58310.7915 ]Y k

2.92762.89522.85072.79152.7168mk

1514131211K

[ 2.9898−2.9492.9694 ][ 2.9848−2.924

2.9544 ][ 2.9774−2.8872.9322 ][ 2.9665−2.8325

2.8995 ][ 2.9505−2.75272.8516 ]X k

[ 1−0.98640.9932 ][ 1

−0.97960.9898 ][ 1

−0.96960.9848 ][ 1

−0.95480.9774 ][ 1

−0.9330.9665 ]Y k

2.92762.98482.97742.96652.9505mk

λ=3تتقارب إلى القيمة الذاتية المهيمنة mkوكما نالحظ فإن المتتالية

Yومتتالية األشعة kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المهيمن )المقابل للقيمة

]الذاتية المهيمنة( 1−11 ].


( The Inverse Power Method ثانيا: طريقة قوى المقلوب ) قلوب@@ةAفي بعض المسائل نحتاج إليجاد أصغر قيمة ذاتية لمصفوفة مربع@ة

والشعاع الذاتي المقابل لها، وهذه الطريقة تمكننا من ذلك.. تمل@@كA−1 قيمة ذاتية لها فإن λ مصفوفة قلوبة وكانت Aنعلم أنه إذا كانت

1قيمة ذاتية هي λوبالتالي فإنه إذا طبقنا طريق@@ة الق@@وى على المص@@فوفة ،

A−1يك@@ون مقل@@وب القيم@@ة الذاتي@@ة العظمى له@@ا ه@@و أص@@غر قيم@@ة ذاتي@@ة .Aللمصفوفة

لتطبيق طريقة ق@@وى المقل@@وب نتب@@ع نفس الخط@@وات المتبع@@ة في طريق@@ةX، نقوم بحساب (a)2القوى ماعدا الخطوة k=A−1Y x−1

خوارزمية طريقة قوى المقلوبXنحتار شعاع ابتدائي -1 0=Y .Rn من 0k=1,2,3نكرر الخطوات التالية ألجل -2 ,…

a. نحسبX k=A−1Y k−1

b. نضعmk هي مركبة X kالتي تكون قيمتها المطلقة أكبر من القيم المطلقة لبقية المركبات.

c. نضعY k=( 1mk

)Xk

A−1 إلى القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ة للمص@@فوفة mkعندئ@@ذ تتق@@ارب القيم@@ة 1وبالتالي

mk كم@@ا يتق@@اربA تتقارب إلى القيمة الذاتي@@ة الص@@غرى للمص@@فوفة

Yالشعاع k.إلى الشعاع الذاتي المقابل

(:1مثال )العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 33جامعة

تذكرة:مصفوفةقلوبة مقلوب :Aإليجاد التالية الخطوات نجري

أي -1 المصفوفة محدد أوال .det Aنوجد2-: التالية الصغائر مصفوفة نوجد

( Aij )=[ A11 A12 ⋯ A1nA21 A22 ⋯ A2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮An1 An2 ⋯ Ann

]المصفوفة منقول نوجد )ثم Aij نوجد ( )أي Aij )

T @@ب لها نرمز والتيadjA.

المصفوفة -3 ب@@ Aمقلوب له :A−1ونرمز التالية بالعالقة يعطىA−1= 1

detA.adjA

Aعين أص@@غر قيم@@ة ذاتي@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي المقاب@@ل له@@ا للمص@@فوفة

A=[1باس@@@@@@@@@@@@تخدام طريق@@@@@@@@@@@@ة ق@@@@@@@@@@@@وى المقل@@@@@@@@@@@@وب 12 0]

Xباستخدام الشعاع األولي 0=Y 0=[10].

الحل:detA=−2 , A−1=−1

2 [ 0 −1−2 1 ]=[0 0.5

1 −0.5]

X1=A−1Y 0=[0 0.51 −0.5] [10]=[01]

X2=A−1Y 1=[0 0.51 −0.5] [01]=[ 0.5−0.5]=0.5[ 1−1]

تكون النتائج كالتالي :X14وبالمتابعة حتى 76543210K

[ 0.5−1.0238 ][ 0.5

−0.9545][ 0.5−1.1][ 0.5−0.8333][−0.51.5 ][ 0.5−0.5][01][10]X k

[−0.48841 ][−0.52381 ][−0.45451 ][−0.61 ][0.33331 ][ 1−1][01][10]Y k

−1.0238−0.9545−1.1−0.83331.50.511mk

141312111098K

[ 0.5−0.9998][ 0.5

−1.0003][ 0.5−0.9993][ 0.5

−1.0014][ 0.5−0.9971][ 0.5

−1.0059][ 0.5−0.9884]X k

[−0.500011 ][−0.49981 ][−0.50031 ][−0.49931 ][−0.50141 ][−0.49711 ][−0.50591 ]Y k

−0.9998−1.0003−0.9993−1.0014−0.9971−1.0059−0.9884mk

تتق@@ارب إلى القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ةmkوكم@@ا نالح@@ظ ف@@إن المتتالي@@ة 1 ، وبالت@@الي A−1 : λ=−1للمص@@فوفة

λ= 1

−1 قيم@@ة ذاتي@@ة ص@@غرى1−=


Y ، ومتتالية األشعة Aللمصفوفة kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المقاب@@ل 0.51−]لهذه القيمة الذاتية ].

(:2مثال ) Aعين أص@@غر قيم@@ة ذاتي@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي المقاب@@ل له@@ا للمص@@فوفة

A=[2باس@@@@@@@@@@@تخدام طريق@@@@@@@@@@@ة ق@@@@@@@@@@@وى المقل@@@@@@@@@@@وب 12 3 ]


الحل:detA=4 , A−1=1

4 [ 3 −1−2 2 ]=[ 0.75 −0.25

−0.5 0.5 ]Xنقوم بحساب k ,Y k ,mk:

X1=A−1Y 0=[ 0.75 −0.25−0.5 0.5 ][11]=[0.50 ]=0.5[10]

X2=A−1Y 1=[ 0.75 −0.25−0.5 0.5 ] [10]=[ 0.75−0.5]=0.75[ 1

−1.5]

Xوبالمتابعة حتى تكون النتائج كالتالي :9543210K

[ 0.9936−0.987][−1.08331.0555 ][ 1.125−1.25][ 0.75−0.5][0.50 ][11]X k

[ 1−0.9934][ 1

−0.9743][−1.11111 ][ 1−1.5][10][11]Y k

0.9936−1.0833−1.250.750.51mk

9876K


[ 0.9999−0.9999][ 0.9999−0.9997][ 0.9996−0.9991][ 0.9983−0.9967]X k

[ 1−1][ 1−0.9998][ 1

−0.9995][ 1−0.9983]Y k

0.99990.99990.99960.99835mk

تتق@@ارب إلى القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ةmkوكم@@ا نالح@@ظ ف@@إن المتتالي@@ة 1 ، وبالت@@@الي A−1 : λ=1للمص@@@فوفة

λ=11 قيم@@@ة ذاتي@@@ة ص@@@غرى1=

Y ، ومتتالية األشعة Aللمصفوفة kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المقاب@@ل ]لهذه القيمة الذاتية 1−1].

(:3مثال ) Aعين أص@@غر قيم@@ة ذاتي@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي المقاب@@ل له@@ا للمص@@فوفة

باس@@@@@@@@@@@@@@@تخدام طريق@@@@@@@@@@@@@@@ة ق@@@@@@@@@@@@@@@وى المقل@@@@@@@@@@@@@@@وب

A=[5 7 −50 4 −12 8 X باستخدام الشعاع األولي [3− 0=Y 0=[111].

الحل:detA=6 ,

(adjA )T=[ |4 −18 −3| −|0 −1

2 −3| |0 42 8|

−|7 −58 −3| |5 −5

2 −3| −|5 72 8|

|7 −54 −1| −|5 −5

0 −1| |5 70 4| ]=[ −4 −2 −8

−19 −5 −2613 5 20 ]

A−1=1

detA.adjA=

16 [−4 −19 13

−2 −5 5−8 −26 20 ]=[−0.6667 −3.1667 2.1667

−0.3333 −0.8333 0.8333−1.3333 −4.3333 3.3333 ]

Xنقوم بحساب k ,Y k ,mk:


X1=A−1Y 0=[−0.6667 −3.1667 2.1667−0.3333 −0.8333 0.8333−1.3333 −4.3333 3.3333 ][

111]=[−1.6667−0.3333

−2.3333]=−2.3333[0.71430.14281 ]

X2=A−1Y 1=[−0.6667 −3.1667 2.1667−0.3333 −0.8333 0.8333−1.3333 −4.3333 3.3333] [

0.71430.14281 ]=[1.23830.4762

1.7621]=1.7621[0.70270.27021 ]

تكون النتائج كالتالي :X15وبالمتابعة حتى 543210K

[0.70220.34091.0438][0.74220.3499

1.0946][0.84260.37391.2255][1.23830.4762

1.7621][−1.6667−0.3333−2.3333][111]X k

[0.67270.32661 ][0.67810.3197

1 ][0.68750.30511 ][0.70270.2702

1 ][0.71430.14281 ][111]Y k

1.04381.09461.22551.7621−2.33331mk

11109876K

[0.66730.33351.0008][0.66770.3335

1.0013][ 0.6690.33381.0028][0.67110.3342

1.0053][0.67540.33511.0106][ 0.6840.3369

1.0211]X k

[0.66680.33321 ][0.66680.3331

1 ][0.66710.33291 ][0.66760.3324

1 ][0.66830.33161 ][0.66990.3299

1 ]Y k

1.00081.00131.00281.00531.01061.0211mk

15141312K

[0.66680.33341.0002][0.66670.3333

1.0001][0.66670.33331 ][ 0.6670.3334

1.0004]X k

[0.66670.33331 ][0.66660.3333

1 ][0.66670.33331 ][0.66680.3333

1 ]Y k


1.00021.000111.0004mk

تتق@@ارب إلى القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ةmkوكم@@ا نالح@@ظ ف@@إن المتتالي@@ة 1 ، وبالت@@@الي A−1 : λ=1للمص@@@فوفة

λ=11 قيم@@@ة ذاتي@@@ة ص@@@غرى1=

Y ، ومتتالية األشعة Aللمصفوفة kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المقاب@@ل

0.66670.3333]لهذه القيمة الذاتية 1 ]≅ [

23131].


( Power Iteration With Shift ثالثا:طريقة قوى االنتقال )

λ−α ف@@إن A قيمة ذاتية للمصفوفة λتعتمد هذه الطريقة على أنه إذا كانت )هي قيمة ذاتية للمصفوفة A−αI .α وذلك أيا كانت (

( A−αI ) X ¿? ( λ−α ) X

( A−αI ) X=AX−αIX=AX−αX=λX−αX=( λ−α )X

A−αI قيمة ذاتية للمصفوفة λ−αوبالتالي

,λ2 وك@@انتA قيمة ذاتي@@ة مهيمن@@ة ل@@@λ1ومنه إذا كانت λ3 ,…, λnهي بقي@@ة القيم A−λ1الذاتية لها فإن القيم الذاتية للمصفوفة I:0هي , λ2−λ1 , λ3−λ1 ,…, λn−λ1.

علما أنها القيم@@ةλ2−λ1وعندئذ نستطيع أن نستخدم طريقة القوى لحساب ، وبتكراره@@@ا يمكن أنλ2العظمى، ومن ه@@@ذه الص@@@يغة يمكن أن نحس@@@ب

نحسب بقية القيم الذاتية .

مالحظة:

¿علمنا سابقا أن معدل تقارب طريقة الق@@وى يس@@اوي λ2λ1

، وفي طريق@@ة¿∨A−αI)قوى االنتقال نختار مقدار اإلزاحة بحيث يكون:(

|λ2−αλ1−α|<|λ2λ1|

وبالتالي يكون التقارب محقق وأسرع من التقارب في طريقة القوى.


(:1مثال ) استخدم طريقة قوى االنتقال لحساب القيمة الذاتية الثانية للمصفوفة

التالية:-650A=-1212-4

10-2-2


الحل:،16 تس@@اوي Aوج@@دنا س@@ابقا أن القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ة للمص@@فوفة

وللحصول على القيمة الذاتية الثانية نطبق طريقة قوى االنتقال:A−λ1نوجد المصفوفة I:

-65-16A−16 I=¿

-12-4-4-6-2-2

A−16ولنوجد القيمة الذاتية المهيمنة ل@@ I:باستخدام طريقة القوى 43210k

[−12.0848−13.5212−6.7606 ][−11.8512−13.4628

−6.7314 ][−11.6−13.4−6.7 ][−17−20

−10][111]Xk

[0.893810.5 ][0.880310.5 ][0.865710.5 ][0.8510.5 ][111]Yk

-13.5212-13.4628-13.4-201mk

98765

[−12.984−13.746−6.873 ][−12.8384−13.7096

−6.8548 ][−12.6768−13.6692−6.8346 ][−12.4976−13.6244

−6.8122 ][−12.3008−13.5752−6.7876 ]

[0.944610.5 ][0.936510.5 ][0.927410.5 ][0.917310.5 ][0.906110.5 ]-13.746-13.7096-13.6692-13.6244-13.5752

1413121110


[−13.496−13.874−6.937 ][−13.4176−13.8544

−69272 ][−13.328−13.832−6.916 ][−13.2272−13.8068

−6.9034 ][−13.1136−13.7784−6.8892 ]

[0.972710.5 ][0.968510.5 ][0.963610.5 ][0.958010.5 ][0.951710.5 ]-13.874-13.8544-13.832-13.8068-13.7784

تتق@@ارب إلى القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ةmkوكم@@ا نالح@@ظ ف@@إن المتتالي@@ة A−16للمص@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@فوفة I:

λ=−13.874≅−14 وبالتالي ، λ2−16=−14❑⇒λ2=2قيم@@ة ذاتي@@ة للمص@@فوفة

A ومتتالية األشعة ، Y kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المقابل لهذه القيم@@ة

0.972710.5]الذاتية ]≅ [ 110.5].

(:2مثال ) ،Aاستخدم طريقة قوى االنتقال لحساب القيمة الذاتية الثانية للمصفوفة

Xوباستخدام الشعاع األولي 0: 1X 0=Y 0=¿;11A=002

الحل:X=[11]T والشعاع الذاتي المقابل لها 2 تساوي Aالقيمة الذاتية المهيمنة ل@@

لنوجد المصفوفةA−2 I: 1-1A−2 I=¿

-22

عليها :القوىولنطبق طريقة

X1=(A−2 I )Y 0=[−1 12 −2][10]=[−12 ]=2[−0.51 ]

X2=(A−2 I )Y 1=[−1 12 −2] [−0.51 ]=[1.5−3]=−3[−0.51 ]


X3=(A−2 I )Y 2=[−1 12 −2] [−0.51 ]=[1.5−3]=−3[−0.51 ]

X 4=( A−2 I )Y 3=[−1 12 −2][−0.51 ]=[1.5−3]=−3[−0.51 ]

كما نالح@@ظ ف@@إن المتتالي@@ةmkتتق@@ارب إلى القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ة A−2للمص@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@فوفة I:

λ=−3 وبالتالي ، λ2−λ1= λ2−2=−3❑⇒λ2=−1قيمة ذاتية للمصفوفة

A ومتتالية األشعة ، Y kتتقارب إلى الشعاع الذاتي المقاب@@ل له@@ذه 0.51−]القيمة الذاتية ].

(:3مثال ) استخدم طريقة قوى االنتق@@ال لحس@@اب القيم@@ة الذاتي@@ة الثاني@@ة للمص@@فوفة

A=[ 4 −1 1−1 3 −21 −2 3 X ، باستخدام الشعاع األولي [ 0=Y 0=[111].

الحل: .A هي القيمة الذاتية المهيمنة للمصفوفة λ1=6وجدنا أن

لنحسبA−λ1 I:

A−6 I=[−2 −1 1−1 −3 −21 −2 −3 ]

عليها :القوىولنطبق طريقة

X1=(A−6 I )Y 0=[−2 −1 1−1 −3 −21 −2 −3][

111]=[−2−6

−4 ]=−6[0.333310.6667 ]X2=[−2 −1 1

−1 −3 −21 −2 −3] [

0.33331

0.6667]=[−0.9999−4.6667−3.6668 ]=−4.6667 [0214310.7857 ]العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 42جامعة

بالتكرار حتىX10: نحصل على الجدول التالي 543210K

[−0.2484−4.9172−4.6688][−0.4029−4.8657

−4.4628 ][−0.6429−4.7857−4.1428 ][−0.9999−4.6667

−3.6668 ][−2−6−4 ][111]X k

[0.050510.9495][0.082810.9172][0.134310.8657][0.214310.7857][0.333310.6667][111]Y k

−4.9172−4.8657−4.7857−4.6667−61mk

109876K

[−0.0201−4.9933−4.9732][−0.0333−4.9889

−4.9556 ][−0.0555−4.9815−4.926 ][−0.0918−4.9694

−4.8776 ][−0.1515−4.9495−4.798 ]X k

[0.00410.996][0.006710.9933][0.011110.9889][0.018510.9815][0.030610.9694]Y k

−4.9933−4.9889−4.9815−4.9694−4.9495mk

كما نالح@@ظ ف@@إن المتتالي@@ةmkتتق@@ارب إلى القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ة A−6للمص@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@فوفة I:

λ=−4.9933≅−5 وبالت@@@الي ، λ2−λ1= λ2−6=−5❑⇒λ2=1قيم@@@ة ذاتي@@@ة

Y ، ومتتالية األش@@عة Aللمصفوفة kتتق@@ارب إلى الش@@عاع ال@@ذاتي

≅[0.00410.996]المقابل لهذه القيمة الذاتية [011].

The shifted inverse رابعا: طريقة قوى مقلوب االنتقال )power iteration )

كم@@ا م@@ر معن@@ا س@@ابقا، إن اس@@تراتيجية االنتق@@ال )اإلزاح@@ة( من الممكن أنن عملي@@@@@@@@@@@@@@@@ة التق@@@@@@@@@@@@@@@@ارب كث@@@@@@@@@@@@@@@@يرا . تحس@@@@@@@@@@@@@@@@ إن هذه الطريق@@ة تفي@@د بش@@كل خ@@اص في تق@@ريب ش@@عاع ذاتي لمص@@فوفة، مقابل لقيم@@ة ذاتي@@ة مقرب@@ة س@@ابقا. على اعتب@@ار أن@@ه يتق@@ارب بس@@رعة عن@@د

هي قيمة ذاتية تقريبي@@ة ؛ كم@@اλحيث A−λIالتطبيق على مصفوفة االنتقال أن هذه الطريقة مفيدة أيضا في تقريب قيمة ذاتية قريبة من قيمة معطاة


α حيث أنه إذا مانت ، λ قيمة ذاتية للمصفوفة A و λ≠αليست قيمة ذاتي@@ة لها ، فإن:

-A−α I قلوبة، ألنه في هذه الحالة يكون det (A−α I حتما.0≠(-1

λ−α @قيمة ذاتية ل (A−α I )−1.

فنقوم في هذه الطريقة بتط@@بيق طريق@@ة ق@@وى المقل@@وب على المص@@فوفةA−α I: وتكون العبارة التكرارية لهذه الطريقة ،

X k+1=(A−α I )−1 X k

‖(A−α I )−1 X k‖

تعقيد خوارزمية قوى مقلوب االنتقال: إن ه@@ذه الطريق@@ة تتطلب ح@@ل جمل@@ة مع@@ادالت خطي@@ة أو حس@@اب مقل@@وب

Oمصفوفة، وللمصفوفات –التي ال شروط عليها- هذا يتطلب (n3 عملي@@ة.( )حيث يمكنن@@ا عوض@@ا عن إيج@@اد مقل@@وب مص@@فوفة أن نعي@@د كتاب@@ة العب@@ارة

)التكرارية بالشكل التالي: A−α I ) X k+1=Xk

‖(A−α I )−1 X k‖

ومنه تتشكل لدينا جملة من المعادالت الخطية ونك@@ون بحاج@@ة لحله@@ا ح@@تىXنوجد التقريب التالي k+1.

إن عملية االختيار بين إحدى الطريقتين )حل جملة معادالت خطية أو إيجاد مقلوب مصفوفة( يعتم@@د على ع@@دد التك@@رارات، حيث إن الح@@ل باس@@تخدام

k∗Oجمل@@ة المع@@ادالت الخطي@@ة تك@@ون درج@@ة تعقي@@ده (n3 ه@@و ع@@ددk )و ( التكرارات( . أما حساب مقلوب المصفوفة أوال ثم تطبيق الطريقة لتقريب

Xالشعاع k تكون من التعقيد O (n3 )+k∗n2. ووضوحا نجد أن الخيار الثاني مناسب من أجل ع@@دد كب@@ير من التك@@رارات، بينما خيار حل جملة المعادالت الخطية يكون مناسبا أكثر عندما يكون عدد

التكرارات المطبقة صغير .

(:1مثال )


Aاستخدم طريقة قوى مقلوب االنتقال لتقريب القيمة الذاتي@@ة للمص@@فوفة

X ، باس@@تخدام الش@@عاع األولي 5والقريبة من القيمة 0=Y ، وبحيث :[111]=0

A=[ 0 5 −6−4 12 −12−2 −2 10 ].

الحل:A−αنوجد المصفوفة IأيA−5 I:

A−5 I=[−5 5 −6−4 7 −12−2 −2 5 ]

نطبق طريقة مقلوب القوى على هذه المصفوفة :

( A−5 I ) Xk=Y k−1; X k=[rst ]( A−5 I ) X1=Y 0❑

⇒ [−5 5 −6−4 7 −12−2 −2 5 ] [rst ]=[111]

❑⇒−5 r+5 s−6 t=1−4 r+7 s−12 t=1−2 r−2 s+5 t=1

بح@@ل جمل@@ة المع@@ادالت ه@@ذه )بطريق@@ة التع@@ويض مثال – أو بأح@@د الط@@رقالتكرارية( نجد أن :

r=−0.61 , s=−0.88 , t=−0.39

ويكون:

Y 1=−10.88 [−0.61−0.88

−0.39]=[0.6910.45]وبالتالي وبنفس األسلوب نحصل على الجدول التالي:

76543210K


[−0.5−1−0.5][−0.50−0.99

−0.5 ][−0.50−0.98−0.49][−0.49−0.95

−0.48][−0.47−0.89−0.44 ][−0.41−0.69

−35 ][−0.61−0.88−0.39][111]X k

[0.510.5][0.510.5][0.510.5][0.5110.5 ][0.5310.5 ][0.9510.51][0.6910.45][111]Y k

−1−0.99−0.98−0.95−0.89−0.69−0.881mk

تتقارب إلى القيمة الذاتية المهيمنة للمص@@فوفةmkكما نالحظ فإن المتتالية ( A−6 I )−1 : λ=−1- قيمة ذاتية ص@@غرى للمص@@فوفة 1 ، وبالتالي A−6 I،

❑λ−5=−1ومن@@ه ⇒λ=4 قيم@@ة ذاتي@@ة للمص@@فوفة A ومتتالي@@ة األش@@عة ، Y k

.[0.510.5]تتقارب إلى الشعاع الذاتي المقابل لهذه القيمة الذاتية

(:2مثال ) Aاستخدم طريقة قوى مقلوب االنتقال لتقريب القيمة الذاتي@@ة للمص@@فوفة

X ، باس@@تخدام الش@@عاع األولي 5والقريبة من القيمة 0=Y ، وبحيث :[11]=0A=[2 1

2 3 ].

الحل:A−αنوجد المصفوفة I أي A−5 I:

A−5 I=[−3 12 −2]

ثم نوجد مقلوب المصفوفة :

( A−5 I )−1= 14 [−2 −1

−2 −3 ]=[−0.5 −0.25−0.5 −0.75]نطبق طريقة القوى فنحصل على الجدول التالي :

X1=(A−5 I )−1Y 0=[−0.5 −0.25−0.5 −0.75] [11]=[−0.75−1.25]=−1.25[0.61 ]

876543210K


[−0.5−1 ][−0.5−1 ][−0.5002−1.0002][−0.5007−1.0007][−0.5029−1.0029][−0.5119−1.0119][−0.55−1.05][−0.75−1.25][11]X k

[0.51 ][0.51 ][0.50011 ][0.50041 ][0.50151 ][0.50591 ][0.52381 ][0.61 ][11]Y k

−1−1−1.0002−1.0007−1.0029−1.0119−1.05−1.251mk

تتقارب إلى القيمة الذاتية المهيمنة للمص@@فوفةmkكما نالحظ فإن المتتالية ( A−5 I )−1 : λ=−1- قيمة ذاتية ص@@غرى للمص@@فوفة 1 ، وبالتالي A−5 I،

❑λ−5=−1ومن@@ه ⇒λ=4 قيم@@ة ذاتي@@ة للمص@@فوفة A ومتتالي@@ة األش@@عة ، Y k

0.51]تتقارب إلى الشعاع الذاتي المقابل لهذه القيمة الذاتية ].


Gershgorin أقراص

(:6تعريف )A=[aijلتكن المص@@فوفة r مص@@فوفة حقيقي@@ة أو عقدي@@ة، ولتكن [ iترم@@ز

وال@@تي ال تنتمي إلى القط@@رiلمجم@@وع القيم المطلق@@ة لعناص@@ر الس@@طر ∑=riالرئيس@@ي، أي

i ≠ j|aij| عندئ@@ذ ق@@رص ، Gershgorin @@@ال iه@@و الق@@رص

a في المستوي العقدي والذي مركزه Diالدائري ii ونصف قطره r i:أي ، Di= {z∈C :|z−a ii|≤ ri }

(:9مبرهنة ) )عناصرها حقيقية أو عقدي@@ة( عندئ@@ذ ك@لn*n مصفوفة من البعد Aلتكن

.Gershgorinمحتواة في قرص Aقيمة ذاتية ل@ البرهان:

X=(x ، وليكن A قيمة ذاتية للمص@@فوفة λلتكن j)الش@@عاع ال@@ذاتي المواف@@ق له@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ا.

=iنختار {1,2 ,…,n x| بحيث { i|=maxj

|x j|. x|)إن i|>0 ألنه إذا كانت |x i|=0 فإن � X=0وهو شعاع ذاتي للمص@@فوفة

A أي أنه بالتأكيد شعاع غير صفري وبالتالي |x i|≠0.) الشعاع الذاتي الموافق لها فإن:X و A قيمة ذاتية ل@ λبما أن

AX=λ X∑jaij x j=λ x i;∀ i∈ {1,2 ,…,n }

بفك المجموع نحصل على :∑j ≠ iaij x j=λ x i−aii x i

∑j ≠ iaij x j=(λ−a ii)x i

xنقسم على i: ونأخذ القيمة المطلقة

|λ−a ii|=|∑j ≠i aij x j

x i |≤∑j ≠i |aij x jx i |≤∑j≠ i |aij|=R i


x|]حيث j

x i|≤1 for j ≠ i].

(:1مثال )

A=[2 للمصفوفة التالية Gershgorinأوجد أقراص 12 −3 ].

الحل: .1 ونصف قطره هو 2 األول هو Gershgorinإن مركز قرص

.2- ونصف قطره هو 3 الثاني هو Gershgorinومركز قرص موجودة ضمن هذين القرصين .Aوبالتالي فإن القيم الذاتية للمصفوفة

لنوجد القيم الذاتية بالطريقة الجبرية:-det (A−λI )=|2−λ 1

2 −3−λ|=0(2− λ ) (−3− λ )−2=0❑

⇒λ2+λ−8=0

وبالتالي القيم الذاتية هي :λ1=

−1+√1−4 (−8)2

≈2.37

λ2=−1−√1−4 (−8 )

2≈−3.37

نجد :Gershgorinوبرسم أقراص

(:2مثال )

A=[1 للمصفوفة التالية Gershgorinأوجد أقراص −32 3 ].

الحل: .3|=3|- ونصف قطره هو 1 األول هو Gershgorinإن مركز قرص


.2 ونصف قطره هو 3 الثاني هو Gershgorinومركز قرص موجودة ضمن هذين القرصين .Aوبالتالي فإن القيم الذاتية للمصفوفة

لنوجد القيم الذاتية بالطريقة الجبرية:-det (A−λI )=|1−λ −3

2 3−λ|=0❑⇒λ2−4 λ+9=0

وبالتالي القيم الذاتية هي :λ1=

4+√(−4)2−4 (9)2

≈2+2.23 i

λ2=4−√(−4)2−4(9)

2≈2−2.23 i

نجد :Gershgorinوبرسم أقراص

(:3مثال )

]=A للمصفوفة التالية Gershgorinأوجد أقراص 4 1 10 2 1

−2 0 9 ].

الحل:| =1|+|1| ونصف قطره هو 4 األول هو Gershgorinإن مركز قرص

3. .1| =1 + |0 ونصف قطره هو 2 الثاني هو Gershgorinومركز قرص | =2 + |0 ونصف قطره هو 9 الثالث هو Gershgorinومركز قرص

2. العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 50جامعة

موجودة ضمن هذين القرصين ،Aوبالتالي فإن القيم الذاتية للمصفوفة نجد :Gershgorinوبرسم أقراص

مالحظات: نالحظ أن@@ه إذا ك@@ان ل@@ديناk ق@@رص Gershgorinمنص@@لين عن بقي@@ة

k قيمة ذاتية بالضبط ستكون محتواة في اتحاد ال@ kاألقراص فإن قرص، وبشكل خاص إذا كان هناك قرص منفصل عن بقية األقراصفإنه يجب أن يحوي قيمة ذاتية وحيدة للمصفوفة .. كما في المثال )

1.. )4

( أن ال@ 1نالحظ في المثال )غير محتوى في ق@رص 0 Gershgorin، ، وبالت@@الي ف@@إنA ليس قيم@@ة ذاتي@@ة للمص@@فوفة 0ه@@ذا يع@@ني أن

Aقلوبة . وهذه المالحظة تفيدنا في المصفوفات الكبيرة ألن أقراص Gershgorin. تحدد مباشرة من عناصر المصفوفة


Wielandt خامسا: طريقة التفريغ واالنكمTTاش ) deflation method )

إن فعالي@@ة طريق@@ة ق@@وى مقل@@وب االنتق@@ال تكمن في م@@دى ق@@رب القيم@@ة المخمنة إلى القيمة الذاتية الفعلية، ولكن إذا كنا ال نملك معلومات مناسبة عن القيم الذاتية لمصفوفة تصبح تلك الطرق غير عملية ومضللة في بعض

( حيثDeflationاألحيان ؛ وكبديل لتلك الطريقة هناك طريق@@ة االنكم@@اش ) نستطيع بعد إيجاد القيمة الذاتية المهيمنة والش@@عاع ال@@ذاتي المقاب@@ل له@@ا – باستخدام طريقة القوى مثال – أن نحسب القيم الذاتية األخرى للمص@@فوفة

وذلك باالعتماد على فكرة االنكماش .(:Deflationاالنكماش )

هو أن نحذف حل موجود مسبقا مع إبقاء الحلول األخرى كم@@ا هي ال يط@@رأعليه@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ا أي تغي@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ير .

مثال .. االنكماش في إيجاد جذور لكثيرة حدود:x3−6 x2+11 x−6= ( x−1 ) (x2−5 x+6 )=( x−1 ) ( x−2 ) (x−3 )

فنحن نوجد الجذر األول تجريبيا ثم نزيله عبر التقسيم على أحادي الحد . أما االنكماش بالنسبة لمسألة إيجاد القيم الذاتي@@ة لمص@@فوفة ه@@و أن نح@@ول القيمة الذاتي@@ة المعين@@ة مس@@بقا إلى ص@@فر بينم@@ا تبقى القيم االتي@@ة األخ@@رى

نفسها ..

قبل وضع خوارزمية التفريغ واالنكماش هن@@اك مجموع@@ة من الخ@@واص نحنبحاج@@@@@@@@@@@@@@@ة إلى الم@@@@@@@@@@@@@@@رور عليه@@@@@@@@@@@@@@@ا وإثباته@@@@@@@@@@@@@@@ا:

λ1 له@@ا القيم الذاتي@@ة n*n مص@@فوفة من البع@@د Aلتكن , λ2 ,…, λnواألش@@عة v1الذاتية المقابلة لها , v2 ,…,vn.

(:1الخاصة ) تملكان نفس مجموعة القيم الذاتية.At وAالمصفوفتاناإلثبات:

نجد أن:A قيمة ذاتية للمصفوفة λبفرض det (A t−λI )=det (A− λI )T=det (A−λI )=0

حيث كما نعلم سابقا أن:det (AT )=det A


هي نفس@@ها القيم الذاتي@@ةATوبالتالي فإن القيم الذاتي@@ة لمنق@@ول مص@@فوفة ؛ ولكن بشكل عام تكون األشعة الذاتية مختلفة.Aللمصفوفة

( :2خاصة )wليكن i الش@@عاع ال@@ذاتي للمص@@فوفة AT المقاب@@ل للقيم@@ة الذاتي@@ة λ iأي أن(

AT wi=λ iwi.)λإذا كان i≠ λ jفإنvi

T .w j=0. اإلثبات:

Avنعلم أن i=λi v i)فرضا(ولنأخذ منقول طرفي المعادلة:

(A vi)T=(λ i v i)

T

viT AT= λi v i

T

wنضرب طرفي المعادلة ب@ j:viT ATw j=λ i v i

T w j

وباستخدام المعادلة: Av i=λi v i

نجد أن:λ j v i

Tw j= λi v iTw j⇒ (λ j−λ i )v iTw j=0

λوبما أن i≠ λ jفإنviT .w j=0.

( :3خاصة )B=A−λ1v1لتكن x

T حيث xT v1=1 @عندها تكون القيم الذاتية ل . B و 0 هي λ ii=2,3حيث ,…,n.

اإلثبات:لنأخذ المصفوفة التالية:

(1 )B=A− λ1 v1 xT


فنجد:v1ولنضرب طرفي المعادلة ب@@ Bv1=A v1−λ1v1 x

T v1

Bv1=λ1 v1−λ1 v1 xT v1

Bv1=λ1 v1(1−xT v1)

xTبحيث يكونxوبالفرض نختار v1=1

xT−1وبالتالي: v1=0

الشعاع الذاتي المقابل لها.v1وB قيمة ذاتية للمصفوفة0أي أن ال@ ( :1لنأخذ منقول طرفي المعادلة )-

BT=(A−λ1 v1 xT )T

BT=AT−λ1 x v1T

wنضرب طرفي المعادلة ب@ iحيثi=2,3 ,…,n

wو i شعاع ذاتي للمصفوفة ATمقابل للقيمة الذاتية λ i

BTw i=AT wi−λ1X v1Twi

(-:2ونعلم أن-من الخاصة )v1T wi=0⇒BTwi= λiwi

λ2أي أن , λ3 ,…, λnقيم ذاتية للمصفوفةBTوبالتالي قيم ذاتية للمصفوفةB.

B=A−λ1في الصيغةXكيفية اختيار الشعاع v1 XT:

بالشكل التالي:XنختارWielandt deflationفي طريقة

X= 1λ1 v1 ,k

[ak 1ak 2ak 3…akn]T

v1حيث , kهي العنصرkمن الشعاعv1

akوالعناصر 1ak 2ak3…aknهي عناصر السطرkمن المصفوفةA. v1بحيثxويمكننا أن نختار أي قيمة ل@ , k ليس@@ت ص@@فرا ، ولكن هن@@ا س@@نختارx

¿بحيث هو أصغر عدد صحيح يحقق أن v1 , k∨¿يساوي نظيم القيمة العظمى هو رقم أول مركبة التي تكون قيمته@@ا المطلق@@ة أك@@بر منk ؛ أيv1للشعاع

.v1القيم المطلقة لبقية مركبات الشعاعXTالتحقق من أن v1=1:


XT v1=1

λ1 v1 ,k[kthrow of A]T v1

¿ 1λ1 v1 ,k

[kthelement of the product A v1 ]

¿ 1λ1 v1 ,k

[kthelement of λ1 v1 ]

¿ 1λ1v1 ,k

λ1v1 ,k=1

⇒ XT v1=1

واألشعةBإيجاد العالقة بين األشعة الذاتية للمصفوفة Tالذاتية لA:

λ مقاب@@ل للقيم@@ة الذاتي@@ة B تش@@ير إلى ش@@عاع ذاتي للمص@@فوفة uiبف@@رض i كتركيب خطي لألشعة الذاتيةvi، ويمكننا أن نكتب u1=v1 و λ1=0ووجدنا أن :Bللمصفوفة

vi=α ui+β v1(2)

:β و αلنحدد الثوابت ( ب@ 1نضرب )vi:

Bv i=A v i−λ1v1 XT vi

Bv i=λ i v i−λ1 v1 XT v i

( 2نعوض: )B (α ui+β v i )= λi (α ui+β v i )− λ1 v1 X

T (α ui+β v i ):باستخدام العالقات

Bu i=λ iui ,B v1=0 , XT v1=1

نجد أن:α Bui+Bβv1=α λi ui+β λ i v1−α λ1 v1X

T u i−β λ1 v1XT v1

α λiu i=α λiu i+ λiβ v1−α λ1 (v1XT )ui−β λ1 v10=λi β v1−α λ1 (XT ui ) v1−β λ1v1¿

وأحد حلول هذه المعادلة هو:α=λ i−λ1, β=λ1 (XT ui )

وبالتالي:vi=(λ¿¿ i−λ1)u i+ λ1 (XT ui ) v1¿


خوارزمية طريقة التفريغ واالنكماش:v1=(u1 حيث إذا كان v1 من الشعاع kنعين .1 ,u2,…,un ه@@وk ف@@إن (

uk|=max|أصغر عدد صحيح يحقق : ❑

¿u j∨¿ ; (1≤ j≤n ) ¿

كالتالي:Xنضع الشعاع .2X= 1

λ1v1 ,k[kth row of A ]T

λ1v1نحسب .3 XT فنحصل على مصفوفة من البعد n*n

B=A−λ1نضع المصفوفة .4 v1 xT وهي مصفوفة من البعد n*n

فنحص@@ل علىB من المص@@فوفة k والعم@@ود kنح@@ذف الس@@طر .5Bالمصفوفة

مس@@قط منn-1 م@@ع أول Bنطبق طريقة القوى على المصفوفة .6 والش@@عاعλ2 ، أي نحس@@ب القيم@@ة الذاتي@@ة المهيمن@@ة v1الش@@عاع

u2الذاتي المهيمن الموافق u2 فنحصل على الشعاع u2 إلى الشعاع kنضيف الصفر كمركبة .7 λ2 المواف@@ق للقيم@@ة الذاتي@@ة A للمصفوفة v2يكون الشعاع الذاتي .8

هو:v2=(λ ¿¿2−λ1)ui+λ1 (XT u i) v1¿


(:1مثال ) أوج@@د القيمت@@ان ال@@ذاتيتان األولى والثاني@@ة واألش@@عة الذاتي@@ة المقابل@@ة

للمصفوفة التالية بطريقة التفريغ واالنكماش:

A=[ 11 −6 4 −24 1 0 0

−9 9 −6 5−6 6 −6 7 ]

الحل: هيAبتطبيق طريقة الق@@وى تك@@ون القيم@@ة الذاتي@@ة المس@@يطرة ل@@@

λ1=5 والشعاع الذاتي المقابل لها هو v1=[1100] :kنعين .1

|uk|=max {|1|,|1|,0 ,0}=1=|u1|❑⇒k=1

:Xنضع الشعاع .2

X=15 [ 11−64

−2 ]λ1v1نحسب .3 X

T:

λ1v1 XT=55 [1100 ] [11 −6 4 −2 ]=[11 −6 4 −2

11 −6 4 −20 0 0 00 0 0 0 ]

B : B=A−λ1نضع المصفوفة .4 v1 xT

B=A−λ1 v1 xT=[ 11 −6 4 −2

4 1 0 0−9 9 −6 5−6 6 −6 7 ]−[11 −6 4 −2

11 −6 4 −20 0 0 00 0 0 0 ]

❑⇒B=[ 0 0 0 0

−7 7 −4 2−9 9 −6 5−6 6 −6 7]

:Bنحذف السطر األول والعمود األول من المصفوفة .5


B=[7 −4 29 −6 56 −6 7]

v1 مسقط من الشعاع n-1 مع أول Bنطبق طريقة القوى على .6 مساقط فنحصل على3أي مع أول

λ2=4 ,u2=[ 00.51 ]]=u2 فنحص@@ل على u2 إلى الشعاع k=1نضيف الصفر كمركبة .7 000.51 ]

.

:v2نحسب الشعاع .8v2=(λ ¿¿2−λ1)u2+ λ1 (XT u2) v1¿

v2=(4−5 ) [ 000.51 ]+5. 15 ([11 −6 4 −2 ] [ 000.51 ])[1100]=[ 00

−0.5−1 ]

والش@@عاع ال@@ذاتي المقاب@@لλ2=4وبالتالي حصلنا على القيمة الذاتية

]=v2لها 00

−0.5−1 ].

نع@@ود فنطب@@ق خوارزمي@@ة التفري@@غ A إليج@@اد قيم@@ة ذاتي@@ة ثاني@@ة للمص@@فوفة واالنكماش:

:kنعين .1|uk|=max {0 ,0 ,|−12 |,|1|}=1=|u4|❑

⇒k=4



X=14 [−66−67 ]

λ1v1نحسب .3 XT:

λ1v1 XT=44 [ 0

0−0.5−1 ] [−6 6 −6 7 ]=[0 0 0 0

0 0 0 0

3 −3 3 −72

6 −6 6 −7]


B=A−λ1 v1 xT=[ 11 −6 4 −2

4 1 0 0−9 9 −6 5−6 6 −6 7 ]−[0 0 0 0

0 0 0 0

3 −3 3 −72

6 −6 6 −7]

❑⇒B=[ 11 −6 4 −2

4 1 0 0

−12 12 −9 172

−12 12 −12 14]

:Bنحذف السطر الرابع والعمود الرابع من المصفوفة .5

B=[ 11 −6 44 1 0

−12 12 −9] v1 مس@@اقط من الش@@عاع 3 م@@ع أول Bنطب@@ق طريق@@ة الق@@وى على .6

فنحصل على :43210K

[−1.3526−2.7059−4.4628][ 3.75711.4539

−6.0912][−0.8884−1.7776−3.6672][−204.5][ 0

0−0.5]X k

[0.30310.60631 ][−0.6168−0.2387

1 ][0.24230.48471 ][−0.4440

1 ][ 00

−0.5]Y k


−4.4628−6.0912−3.66724.51mk

98765K

[3.66991.97715.0448][ −1.623

−3.2465−4.926 ][ 3.67671.9363

−5.1264][−1.5482−3.0968−4.7976 ][ 3.69631.8187

−5.3616]X k

[−0.7275−0.39191 ][0.32950.6291

1 ][−07172−0.37771 ][0.32270.6455

1 ][−0.6894−0.33921 ]Y k

−5.0448−4.926−5.1264−4.7976−5.3616mk

1413121110K

[−1.6662−3.3303−4.9956 ][ 3.66871.9983

−5.0064][−1.6622−3.3228−4.9896 ][ 3.66851.9925

−5.016][−1.651−3.351−4.972]X k

[0.33350.66661 ][−0.7328−0.3991

1 ][0.33310.66591 ][−0.7314−0.3972

1 ][0.33210.66411 ]Y k

−4.9956−5.0064−4.9896−5.016−4.972mk

201918171615K

[−1.6694−3.3356−4.9992][ 3.6692−2.0023

−5.0004][−1.6689−3.3351−4.9992][ 3.66872.0018

−5.0004][ −1.668−3.3335−4.998 ][−3.66892.0006

−5.0028]X k

[0.33390.66721 ][−0.7338−0.4004

1 ][0.33380.66711 ][−0.7337−0.4003

1 ][0.33370.66751 ][−0.7334−0.3999

1 ]Y k

−4.9992−5.0004−4.9992−5.0004−4.998−5.0028mk

، والش@@عاع ال@@ذاتيB قيمة ذاتي@@ة للمص@@فوفة λ3=−5ومنه نستنتج أن المقابل لها :


u3=[−0.199950.26681 ]≅ [ −0.2

0.13331 )أخذت المتوسط الحسابي آلخ@@ر ش@@عاعين[

Y 19 ,Y 20)

فنحص@@@ل علىu3 إلى الش@@@عاع k=4نض@@@يف الص@@@فر كمركب@@@ة .7

u3=[ −0.20.133310 ].

:v3نحسب الشعاع .8v3=( λ¿¿3− λ2)u3+λ2 (XT u3 )v2 ¿

v3=(−5−4 )[ −0.20.133310 ]+ 44 ([−6 6 −6 7 ] [ −0.2

0.133310 ])[ 0

0−0.5−1 ]=[ 1.8

−1.997−6.99994.0002 ]

حالة خاصة: كالتالي:Xفي حال كانت المصفوفة متناظرة، نضع الشعاع

X= 1λ1

∗(A T(الصفkمنالمصفوفة

(:2مثال ) أوج@@د القيم@@ة الذاتي@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي للمص@@فوفة التالي@@ة بطريق@@ة

التفريغ واالنكماش:

A=[ 4 −1 1−1 3 −21 −2 3 ]

موافقة للشعاعA قيمة ذاتية للمصفوفة λ1=6علما أن الذاتي:

V 1= [1 −1 1 ]T

الحل: :kنعين .1


|uk|=max ¿¿


X=16 [ 4−11 ]


λ1v1 XT=66 [ 1−11 ] [4 −1 1 ]=[ 4 −1 1

−4 1 −14 −1 1 ]


B=[ 4 −1 1−1 3 −21 −2 3 ]−[ 4 −1 1

−4 1 −14 −1 1 ]=[ 0 0 0

3 2 −1−3 −1 2 ]

:Bنحذف السطر األول والعمود األول من المصفوفة .5B=[ 2 −1

−1 2 ]

X مع الشعاع األولي Bنطبق طريقة القوى على .6 0=Y 0=[ 1−1] فنحصل علىλ2=3 ,u2=[ 1−1]

]=u2 فنحص@@ل على u2 إلى الشعاع k=1نضيف الصفر كمركبة .7 01−1]

.


v2=(3−6 )[ 01−1]+6([ 23 −16

16 ][ 01−1])[

1−11 ]=[−2−1

1 ]


والشعاع الذاتي المقابل لهاλ2=3وبالتالي حصلنا على القيمة الذاتية

v2=[−2−11 ].

(:3مثال ) أوجد القيمة الذاتي@@ة والش@@عاع ال@@ذاتي للمص@@فوفة التالي@@ة بطريق@@ة التفري@@غ

واالنكماش:

A=[1 1 11 1 01 0 1]

موافقة للشعاع الذاتي:A قيمة ذاتية للمصفوفة λ1=1علما أن V 1= [0 1 −1 ]T

الحل: :kنعين .1

|uk|=max ¿¿


X=11 [110]


λ1v1 XT=11 [ 01−1] [1 1 0 ]=[ 0 0 0

1 1 0−1 −1 0]


B=[1 1 11 1 01 0 1]−[ 0 0 0

1 1 0−1 −1 0]=[1 1 1

0 0 02 1 1]

:Bنحذف السطر األول والعمود األول من المصفوفة .5


B=[1 12 1]

X مع الشعاع األولي Bنطبق طريقة القوى على .6 0=Y فنحص@@ل[01]=0على

6543210K

[1.70732.4146][1.70592.4118 ][1.71432.4286][1.66672.3334][23][11][01]X k

[0.70711 ][0.70731 ][0.70591 ][0.70731 ][0.66671 ][11][01]Y k

2.41462.41182.42862.3334311mk

والش@@عاع ال@@ذاتي المقاب@@لλ2=2.41ومنه نحصل على القيمة الذاتية u2=[0.70711لها ].

فنحص@@@ل علىu2 إلى الش@@@عاع k=2نض@@@يف الص@@@فر كمركب@@@ة .7

u2=[0.707101 ].


v2=(2.41−1 )[0.707101 ]+([1 1 0 ] [0.707101 ]) [ 01−1]=[0.990.71

0.70 ] والشعاع ال@@ذاتي المقاب@@ل له@@اλ2=2.41وبالتالي حصلنا على القيمة الذاتية

v2=[0.990.710.70].


QR سادسا: الطريقة إن أكثر االستراتيجيات الشائعة لتقريب جميع القيم الذاتية في وقت واح@@د

م1961 ، وال@@تي تم طرحه@@ا أوال في ع@@ام QR هي خوارزمية Aلمصفوفة .Kublaovskaya و Francisمن قبل

إن الفكرة األساسية لهذه الخوارزمية تتمثل بتحليل المصفوفة إلى الج@@داءQRباستخدام خوارزمية غ@@رام-ش@@ميث A=A0=Q 0. R0 حيث Q0مص@@فوفة

مص@@@@@@فوفة مثلثي@@@@@@ة علي@@@@@@ا قلوب@@@@@@ة ،R0متعام@@@@@@دة منظم@@@@@@ة و A(Q,R)وتك@@ون الخط@@وة الثاني@@ة هي ج@@داء عوام@@ل تحلي@@ل المص@@فوفة

A1=R0بالترتيب المعاكس أي .Q0وبذلك تنتج المصفوفة الجدي@@دة، فنك@@رر ، فيكون :kالعملية مرة أخرى حتى

Ak +1=Rk .Qk=Qk +1 . Rk +1 , k=0,1,2 ,….

إلى مصفوفة مثلثية عليا تش@@كل عناص@@رAkفي النهاية تتقارب المصفوفة .Aقطره@@@@@@@@@ا الرئيس@@@@@@@@@ي القيم الذاتي@@@@@@@@@ة للمص@@@@@@@@@فوفة

وإذا أردن@@ا إيج@@اد الش@@عاع ال@@ذاتي المقاب@@ل لك@@ل قيم@@ة ذاتي@@ة فمن الممكناس@@@@@@@@@@تخدام طريق@@@@@@@@@@ة ق@@@@@@@@@@وى مقل@@@@@@@@@@وب االنتق@@@@@@@@@@ال .

الدراسة التحليلية للخوارزمية(:10مبرهنة )

أعم@@دتها مس@@تقلة خطي@@ا عندئ@@ذ ف@@إنn*m مصفوفة من البعد Aإذا كانت Aتطبيق خوارزمية غرام-شميث لهذه األعمدة سيعطينا تحليال للمص@@فوفة

.A=Qعلى الشكل R حيث Q مصفوفة من البعد m*nأعمدتها متعامدة مصفوفة مثلثية عليا قلوبة .Rمنظمة و

البرهان:a1لتكن , a2 ,…,an أعمدة مس@@تقلة للمص@@فوفة A ولتكن ، q1, q2 ,…,qnهي

األشعة المتعامدة المنظمة والناتج@@ة عن تط@@بيق خوارزمي@@ة غ@@رام-ش@@ميثعلى تل@@@@@@ك األعم@@@@@@دة وتقس@@@@@@يم ك@@@@@@ل ش@@@@@@عاع على طويلت@@@@@@ه .

i=1,2وبالتالي حسب خوارزمية غرام-شميث فإنه ألجل ,…,n:يكون W i=span {a1 , a2,…,an }=span {q1 , q2 ,…,qn }

r1وبالتالي فإنه يوجد أعداد i ,r 2i ,…, rii:بحيث a i=r1 iq1+r2 iq2+…+rii qi ; i=1,2 ,…,n

هذا يعني أن :a1=r11q1


a2=r12q1+r22q2

⋮

an=r1nq1+r2nq2+…+rnnqn

والتي يمكن كتابتها بالشكل المصفوفي التالي:

A=[a1 a2 … an ]=[q1 q2 … qn ] [r11 r12 … r1n0 r22 … r2n⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 … rnn

]=QR

تملك أعمدة تشكل مجموعة متعامدة منظمة، كماQوكما هو واضح فإن غير صفرية، ألن@@ه ل@@و فرض@@ناRأن عناصر القطر الرئيسي في المصفوفة

a فس@@@@تكون rii=0أن i @ت@@@@ركيب خطي ل q1, q2,…,qi−1@@@@@وبالت@@@@الي ل a1 , a2 ,…,ai−1 وه@@ذا غ@@ير ممكن ألن a1, a2 ,…,aiمس@@تقلة خطي@@ا، وبالت@@الي

تكون المصفوفة قلوبة )مح@@ددها ه@@و ج@@داء عناص@@ر قطره@@ا الرئيس@@ي غ@@يرالصفرية( .

مثال:

]=A للمصفوفة التالية: QRأوجد تحليل 1 2 2−1 1 2−1 0 11 1 2].

الحل: هي األشعة ذاتها التي أخذناها في المث@@ال ص@@فحةAإن أعمدة المصفوفة

)عن خوارزمي@@ة غ@@رام-ش@@ميث(، وبالت@@الي ف@@إن القاع@@دة المتعام@@دة17 وفقا لغرام-شميث هي:Aالمنظمة الموافقة ألعمدة

v1=(0.5

−0.5−0.50.5

) , v2=(0.67080.67080.22360.2236

) , v3=(−0.4082

00.40820.8165

)وبالتالي فإن :

Q=[ 0.5 0.6708 −0.4082−0.5 0.6708 0−0.5 0.2236 0.40820.5 0.2236 0.8165 ]

مص@@فوفةR حيث A=QR يمكن أن نكتب QRوحس@@ب نظري@@ة التحلي@@ل مثلثية عليا إليجادها يكفي أن نالحظ ما يلي:


QT متعامدة منظمة فإن Qبما أن أعمدة .Q=I:وبالتالي ، QT . A=QT .Q .R=I .R=R

ومنه:

R=QT . A=[ 0.5 −0.5 −0.5 0.50.6708 0.6708 0.2236 0.2236

−0.4082 0 0.4082 0.8165 ][ 1 2 2−1 1 2−1 0 11 1 2]=[2 1 0.5

0 2.2361 3.35410 0 1.2247]

عند تط@بيق خط@@وات الخوارزمي@@ةk م@@رة نحص@@ل على Ak=Rk−1 .Qk−1 وهي تس@@عى إلى مص@@فوفة مثلثي@@ة علي@@ا أو قريب@@ة من مثلثي@@ة علي@@ا

هي عناص@@ر القط@@ر الرئيس@@يAفتك@@ون القيم الذاتي@@ة للمص@@فوفة لماذا ؟ ، Akللمصفوفة

A أي A تشابه المصفوفة A1إن المصفوفة A1: ألن A=QR❑

⇒A R−1=Q

A1=RQ❑⇒R−1 A1=Q❑

⇒R−1 A1=A R−1❑

⇒A1=RA R−1

وبنفس الطريقة يكون لدينا :A2 A1 ,……, A k Ak−1

وبمالحظة أن عالقة تشابه المصفوفات هي عالقة تك@@افؤ )انعكاس@@يةAk– تناظري@@ة – متعدي@@ة( وبالت@@الي هي عالق@@ة تع@@دي ، يك@@ون A

وبالتالي لهما نفس القيم الذاتية .

مالحظة:QRعادة في التطبيقات العملية خوارزمية المباشرة تأخذ وقتا طويال جدا

في الوصول إلى تقريب معقول للقيم الذاتية للمصفوفات الكبيرة، وقد تم تحسين هذه الخوارزمية بإضافة بضعة خطوات أخ@@رى بس@@يطة لن نتط@@رق

لها هنا .

(:1مثال )


]=A لحس@@اب القيم الذاتي@@ة للمص@@فوفة : QRاستخدم الطريقة 5 −2−2 8 ]

خطوة .11وذلك بعد الحل:

مستقلة خطيا وبالتالي يمكن أن نطبق الخوارزمية:Aنالحظ أن أعمدة نضع :Q ، إليجاد A=QR على الشكل Aنحلل المصفوفة .1

x1=[ 5−2] , x2=[−28 ]ثم نطبق خوارزمية غرام-شميث ، فنضع :

v1=x1=[ 5−2]v2=x2−( v1 x2v1v1 )v1=[−28 ]−(−2629 )[ 5−2]=[ 2.486.208]

وبالتالي:q1=

v1‖v1‖

= 15.385 [ 5−2]=[ 0.928−0.371]

q2=v2

‖v2‖= 16.685 [ 2.486.208]=[0.3710.928]

ومنه :Q=[ 0.928 0.371

−0.371 0.928 ] :Rولنوجد اآلن المصفوفة

R=QT A=[0.928 −0.3710.371 0.928 ] [ 5 −2

−2 8 ]=[−5.385 4.8280 6.685]

A1=RQ=[−5.385 4.8280 6.685][ 0.928 0.371

−0.371 0.928]=[ 6.793 −2.482−2.482 6.207 ]

بتطبيق خوارزمية غرام-شميث تكون:.2Q1=[ 0.939 0.343

−0.343 0.939 ]ويكون:

R1=Q1T A1=[7.233 −4.462

0 4.977 ]A2=R1Q1=[ 8.324 −1.708

−1.708 4.675 ]

3.Q2=[ 0.979 0.201−0.201 0.979]


R2=Q2T A2=[8.492 −2.612

0 4.233 ]A3=R2Q2=[ 8.969 −0.387

−0.387 4.030 ]

4.A4=R3Q3=[8.993 0.1730.173 4.006 ]

........ وهكذا ........

11.A11=R10Q10=[8.999996 0.001340.0134 4.000018 ]

وهي مصفوفة قريبة من مثلثية عليا عناصر قطرها الرئيس@@ي تش@@كل القيم .4 و A : 9الذاتية لها وبالتالي القيم الذاتية للمصفوفة

(2مثال ) :

A=[2 لحساب القيم الذاتية للمصفوفة : QRاستخدم الطريقة 12 3 ].

الحل: مستقلة خطيا وبالتالي يمكن أن نطبق الخوارزمية:Aنالحظ أن أعمدة

وبتطبيق خوارزمية غرام- ، A=QR على الشكل Aنحلل المصفوفة .1شميث نحصل على :

Q0=[0.7071 −.70710.7071 0.7071 ]

R0=Q0T A=[2.8284 2.8284

0 1.4142]ومنه يكون :

A1=R0Q0=[4 01 1]

بتطبيق خوارزمية غرام-شميث تكون:.2Q1=[0.9701 −0.2425

0.2425 0.9701 ]العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 69جامعة

ويكون:R1=Q1

T A1=[4.1231 2.24250 0.9701]

A2=R1Q1=[4.0588 −0.76470.2353 0.9412 ]

3.Q2=[0.9983 −0.05790.0579 0.9983 ]

R2=Q2T A2=[4.0656 −0.7090

0 0.9839 ]A3=R2Q2=[4.0178 −0.9431

0.0569 0.9822 ]

........ ونكمل بنفس الطريقة ........

10.Q9=[1 00 1]

R9=[4 −10 1 ]

A10=[4 −10 1 ]

وهي مصفوفة مثلثية عليا عناصر قطرها الرئيسي تشكل القيم الذاتية لها1 و A : 4وبالتالي القيم الذاتية للمصفوفة


تطبيقات القيم الذاتية


A B0.30

0.200.70

سالسل ماركوف

سنطرح فكرة سالسل ماركوف من خالل المثال التالي: من معجون األس@@نان بإحص@@ائية لمعرف@@ة أيA,Bقامت شركة تنتج نوعين

ش@@خص وطلبت200نوع يفضله الناس أكثر، لذلك أخذت عينة مؤلف@@ة من إلى كل واحد منهم أن يجرب النوعين لعدة أشهر، فكانت النتائج كالتالي:

% منهم بقي70 في أي ش@@هر ف@@إن Aاألشخاص الذين استخدموا النوع ،B% منهم أص@@بح يس@@تخدم الن@@وع 30يس@@تخدمه في الش@@هر الت@@الي و

% منهم بقي80 في أي شهر ف@@إن Bواألشخاص الذين استخدموا النوع .A% منهم أصبح يستخدم النوع 20يستخدمه في الشهر التالي و

يمكن التعبير عن ذلك كما يلي:

إن هذا الشكل مثال بسيط على سالسل ماركوف المنتهية، فكم@@ا ش@@اهدنا ع@@دد الح@@االت الممكن@@ة منتهي، وفي ك@@ل مرحل@@ة فإن@@ه إم@@ا أن نبقى في الوضعية ذاته@@ا أو ننتق@@ل إلى وض@@عية أخ@@رى، كم@@ا أن وض@@عية االنتق@@ال في

المرحلة الالحقة تتعلق فقط بالمرحلة الراهنة وال تتعلق بما قبلها . نسمي االحتماالت باحتم@االت االنتق@ال وهي ثابت@@ة، أي أن احتم@ال االنتق@@ال

ثابت دوما .j إلى الحالة iمن الحالة

(:1مثال ) 120 هو Aلنفرض أنه في بداية الدراسة كان عدد الذين يستخدمون النوع

، فم@@@ا ه@@@و ع@@@دد ال@@@ذين80 ه@@@و B، وع@@@دد ال@@@ذين يس@@@تخدمون الن@@@وع سيستخدمون كل نوع بعد شهر؟ ثم بعد شهرين؟

الحل: % من عدد المستخدمين ل@@ه70 بعد شهر = Aإن عدد المستخدمين للنوع

في بداي@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ة الدراس@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ة في بداي@@@@ة الدراس@@@@ة .B من ع@@@@دد المس@@@@تخدمين للن@@@@وع 20%+

100( = 80)0.20( + 120)0.70أي :


0.80

% من عدد المستخدمين80 بعد شهر = Bكما أن عدد المستخدمين للنوع ل@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ه في بداي@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ة الدراس@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ة

من ع@@@@@@@@@@@@@دد30% + في بداي@@@@@@@@@@@@ة الدراس@@@@@@@@@@@@ة .Bالمس@@@@@@@@@@@@تخدمين للن@@@@@@@@@@@@وع

100( = 80)0.80( + 120)0.30أي :

ويمكن أن نكتب المساواتين على الشكل التالي:

[0.70 0.200.30 0.80][12080 ]=[100100]

P=[0.70ولنض@@@ع المص@@@فوفة 0.200.30 x0=[12080 واألش@@@عة [0.80 ] , x1=[100100 )حيث[

والمس@@قطAالمسقط األول في كل منهم@@ا ه@@و ع@@دد المس@@تخدمين للن@@وع .Bالث@@@@@@@@@اني ع@@@@@@@@@دد المس@@@@@@@@@تخدمين للن@@@@@@@@@وع @@@@@)

x1=Pوبالتالي يمكن أن نكتب x0 أي أن x1يعبر عن عدد مستخدمي ك@@ل من الن@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@وعين بع@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@د الش@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@هر األول .

k يعبر عن عدد مس@@تخدمي ك@@ل من الن@@وعين بع@@د xkوبتعميم ذلك يكون شهر ، فلمعرفة عدد المستخدمين بعد شهرين نطبق النتيج@@ة الس@@ابقة م@@ع

، فيكون:x0 عوضا عن الشعاع x1البدء بالشعاع

x2=P x1=[0.70 0.200.30 0.80][100100]=[ 90110 ]

110 و A شخص يس@@تخدمون الن@@وع 90أي أنه بعد شهرين يصبح لدينا .Bش@@@@@@@@@@@@@@@@خص يس@@@@@@@@@@@@@@@@تخدمون الن@@@@@@@@@@@@@@@@وع

مالحظات: نس@@مي األش@@عةxk أش@@عة الحال@@ة لسلس@@لة م@@اركوف، ونس@@مي P

مصفوفة االنتقال . :سلسلة ماركوف تحقق العالقة

xk=P xk−1 , k=0,1,2 ,… أي من الممكن حساب أي شعاع من أش@@عة الحال@@ة بش@@كل تك@@راري

، وهذا يعني أن سلسلة ماركوف تحدد بش@@كل ت@@امP و x0بمعرفة باحتماالت االنتقاالت والحالة األولية .


يمكن أن نأخ@@ذ النس@@بة المئوي@@ة للمس@@تخدمين في ك@@لxkب@@دل أن نأخ@@ذ ع@@ددهم ، وذل@@ك بالقس@@مة على الع@@دد الكلي للمس@@تخدمين )

( ، فيصبح لدينا:200

x0=[ 12020080200 ]=[0.600.40] 0.60 ه@@و Aأي في بداية الدراس@@ة ك@@ان ع@@دد المس@@تخدمين للن@@وع

ويكون:0.40 هو Bوعدد المستخدمين للنوع x1=P x0=[0.70 0.20

0.30 0.80] [0.600.40 ]=[0.500.50] وعدد0.50 هو Aأي بعد شهر واحد يصبح عدد المستخدمين للنوع

أيضا .0.50 هو Bالمستخدمين للنوع

x0نسمي األشعة , x1 ,…,xk 1 والتي مجموع مركباتها ال يتجاوز ال@ …,أش@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@عة االحتم@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ال .

الحظ كيف رتبت احتم@@االت االنتق@@ال في مص@@فوفة االنتق@@الPحيث أن األعم@@دة تع@@بر عن الحال@@ة الحالي@@ة واألس@@طر تع@@بر عن الحال@@ة

التالية ، كاآلتي:present

A Bnext AB [0.70 0.200.30 0.80]

هي أشعة احتمالية، ونس@@مي أي مص@@فوفة له@@اPنالحظ أن أعمدة هذه الخاصة المصفوفة االحتمالية أو العشوائية .

بن@@اء على ه@@ذه المالحظ@@اتxkبالعودة إلى مثالنا السابق وبمتابع@@ة إيج@@اد يكون :

x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1x0

[0.40.6][0.4000.600][0.4010.599][0.4020.598][0.4030.597][0.4060.594][0.4120.588][0.4250.575][0.450.55][0.500.50][0.600.40]

.[0.40.6]فنالحظ أن أشعة الحالة تقترب إلى الشعاع


12

3

وA% من المس@@تخدمين في الدراس@@ة سيس@@تخدمون الن@@وع 40أي أن@@ه .B% منهم سيستخدم النوع 60

، ونس@@ميPx=x وبالت@@الي س@@يكون ل@@دينا …=x9=x10=x11كم@@ا نالح@@ظ أن الشعاع الذي يحقق هذه الخاصة شعاع الحالة الثابت .

هي1ويكون حسب تعريف القيمة الذاتية والشعاع الذاتي لمص@@فوفة أن شعاع الحالة الثابت .x موافقة للشعاع الذاتي Pقيمة ذاتية للمصفوفة

(:2مثال )ب الف@@أر على اختي@@ار3وضع فأر في قفص له أجزاء كما في الش@@كل، ودر

باب عشوائي عند سماع صوت الجرس لينتقل خالله إلى الجزء التالي :

فما هو احتمال أن يكون1والمطلوب: إذا كان الفأر في البداية في الجزء في الجزء الثاني بعد أن يرن الجرس مرتين ؟ ثم ثالث مرات ؟

الحل:

.x0=[100]إن شعاع الحالة األولي هو :

x1=Pبعد أن يرن الجرس أول مرة يكون : x0=[ 013

13

12

0 23

12

23

0 ][100]=[01212]

وبعد أن يرن الجرس مرتين :

x2=P x1=[ 013

13

12

0 23

12

23

0 ] [ 01212 ]=[131313]

مرات :3وبعد أن يرن الجرس


x3=P x2=[ 013

13

12

0 23

12

23

0 ][131313]=[

29718718

]1وبالتالي فإنه بعد رنتين يكون احتمال وجود الفأر في الجزء الثاني هو 3،

7وبعد ثالث رنات يكون احتمال وجوده فيه هو 18.


النمو السكاني

، وه@@و يص@@ف النم@@و1945أوجد نموذج النمو السكاني من قبل لزيلي عام الس@@كاني لإلن@@اث وال@@تي يف@@ترض أن يك@@ون له@@ا عم@@ر مح@@دد ، حيث يتم تقسيمهن إلى أجيال، وباستخدام البيانات حول متوس@@ط مع@@دالت الموالي@@د واحتماالت البقاء لكل جي@@ل ف@@إن النم@@وذج يص@@بح ق@@ادرا على تحدي@@د النم@@و

السكاني بعد أي فترة نريد .

(:1مثال ) لنأخذ نوع من الخنفس@@اء األلماني@@ة يعيش لم@@دة ثالث س@@نوات على األك@@ثر،

س@@نة ص@@غار ,01نقسم إناث هذه الخنفساء إلى ثالث@@ة أجي@@ال ك@@اآلتي : 12 ، 2 س@@@@@@@@@@@نة أح@@@@@@@@@@@داث3. س@@@@@@@@@@@نة ب@@@@@@@@@@@الغين

إناث وس@@طيا ،3الصغار ال تعطي بيوض ، األحداث كل واحدة منهن تعطي البالغات كل واحدة منهن تعطي ثالث إناث ، كم@@ا أن نس@@بة البق@@اء للص@@غار

( ونس@بة0.5% )أي احتمال أن تبقى الص@غار لتص@بح أح@داث ه@و 50هي أن@ثى من الخنفس@اء100% ؛ ولنفترض أنن@ا ب@دأنا ب@ 25البقاء لألحداث هو

20 أحداث و 40 منهن صغار و 40األلمانية بحيث بالغات . فما ه@@و تقريب@@ا سنوات ؟5عدد إناث الخنفساء بعد

الحل :بعد سنة واحدة سيكون عدد الصغار :

.220 =@ 20 *@ 3 +@ 40*@ 4 =@ 3 + عدد البالغات * 4 األحداث * عدد .20 = 0.5 * 40ويكون عدد األحداث : .10 = 0.25 * 40أما عدد البالغات فهو :

ونعبر عن ذلك مصفوفيا كالتالي:

[ 0 4 30.5 0 00 0.25 0] [

404020]=[2202010 ]

Lأو x0=x1 حيث x0=[404020]الشعاع األولي ويعبر عن ع@@دد اإلن@@اث في ك@@ل

x1=[2202010جيل و الشعاع يعبر عن عددهن بعد سنة واحدة .[


نالحظ أن هذا الش@@كل المص@@فوفي يش@@به تمام@@ا ش@@كل سالس@@ل م@@اركوفxk+1=Lxk , k=0,1,2 ,…

وهذا يعني أنه من الممكن حساب أشعة الحالة والتي ستعطينا عدد اإلناث، فيكون :

x2=Lx1=[ 0 4 30.5 0 00 0.25 0] [

2202010 ]=[1101105 ]

و

x3=L x2=[ 0 4 30.5 0 00 0.25 0 ][

1101105 ]=[ 4555527.5]

x4=Lx3=[ 0 4 30.5 0 00 0.25 0] [

4555527.5]=[302.5227.5

13.75 ]

x5=L x4=[ 0 4 30.5 0 00 0.25 0] [

302.5227.513.75]=[951.2151.2

56.88] وبالتالي فإنه من المتوقع أن@@ه بع@@د خمس س@@نوات س@@يكون ع@@دد ص@@غيرات

57 تقريب@@ا، وع@@دد البالغ@@ات 151 تقريبا، وعدد األح@@داث 951الخنفساء تقريبا .

k=0,1,2 حيث xkبحساب نحصل على الجدول التالي :34,.…,76543210K

[53.316410.25663.1448 ][13.63728.3626

0.6648 ][69.1818114.1364 ][ 11

8.27270.5 ][ 91115.5][ 11110.5][2202010 ][404020]X k

[16.95383.26151 ][20.513312.5791

1 ][16.72512.65931 ][ 22

16.54541 ][16.54542

1 ][22221 ][2221 ][404020]Y k

3.14480.66484.13640.55.50.5101mk


141312111098K

[21.39968.73261.1410 ][35.76189.4187

2.0476 ][19.92258.66221.0576 ][39.25189.5853

2.2657 ][18.14318.57710.9464 ][44.58409.8392

2.5990 ][16.04588.47690.8154 ]X k

[18.75517.65351 ][17.46524.5999

1 ][18.83758.19041 ][17.32434.2306

1 ][19.17079.06291 ][17.15433.7858

1 ][19.678510.39601 ]Y k

1.14102.04761.05762.26570.94642.59900.8154mk

21201918171615K

[29.60849.124351.6630 ][24.34208.8733

1.3339 ][30.48869.16641.7180 ][23.57228.8362

1.2858 ][31.69749.22461.7936 ][22.60398.7810

1.2252 ][33.63759.37761.9134 ]X k

[17.80425.48671 ][18.24876.6521

1 ][17.74665.33551 ][18.33276.8722

1 ][17.67255.14311 ][18.44927.1743

1 ][17.57104.90101 ]Y k

1.66301.33391.71801.28581.79361.22521.9134mk

28272625242322K

[26.06978.95571.4418 ][28.11749.0537

1.5698 ][25.78488.94181.4240 ][28.47779.0707

1.5924 ][25.41978.92481.4012 ][28.95939.0934

1.6224 ][24.94688.90211.3717 ]X k

[18.08136.21151 ][17.91155.7674

1 ][18.10736.27931 ][17.88355.6962

1 ][18.14146.36941 ][17.84965.6048

1 ][18.18676.48981 ]Y k

1.44181.56981.42401.59241.40121.62241.3717mk

343332313029K

[26.58328.97981.4740 ][27.48559.0230

1.5304 ][26.45538.97401.4660 ][27.64179.0309

1.5401 ][26.28718.96581.4554 ][27.64179.0407

1.5529 ]X k

[18.03476.09221 ][17.95975.8958

1 ][18.04596.12141 ][17.94805.8638

1 ][18.06186.16041 ][17.93175.8638

1 ]Y k


1.47401.53041.46601.54011.45541.5529mk

X=[1861ومنه نالحظ أن هذه األشعة تقترب إلى الشعاع λ=1.5 ، وتك@@ون [

، حيث :X موافقة للشعاع Lقيمة ذاتية للمصفوفة

LX=[ 0 4 30.5 0 00 0.25 0] [

1861 ]=[2791.5 ]=1.5 [

1861 ]=1.5 X

مالحظات : نسمي المصفوفةL. مصفوفة ليزلي @بش@@كل ع@@ام إذا ك@@ان ل@@دينا مس@@ألة نم@@و س@@كاني بnجي@@ل ف@@إن

ومن الشكل:n*n تكون من البعد Lالمصفوفة

L=[b1 b2 b3 ⋯ bn−1 bns1 0 0 ⋯ 0 00 s2 0 ⋯ 0 00 0 s3 ⋯ 0 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 0 sn−1 0

]حيث :

b i متوسط أعداد اإلن@@اث ال@@تي تعطيه@@ا ك@@ل أن@@ثى في الجي@@ل i و ، si .i+1 ليصبح من الجيل iهي احتماالت بقاء الجيل

نالحظ في المثال أننا اخترناmkبحيث تك@@ون هي أص@@غر مركب@@ة من Xمركبات الشعاع kعوضا عن أكبر مركبة وه@@ذا ممكن حيث اله@@دف

X هو تجاوز عائق أن مركبات mkمن التقسيم على kتكبر بسرعة ، وعلى اعتب@@ار أنن@@ا في المث@@ال نحس@@ب مق@@دار النم@@و الس@@كاني

Xللخنفساء األلمانية فإنه من األفض@@ل أن تك@@ون مركب@@ات األش@@عة k أكبر أو تساوي الواحد ال العكس .


عالقات التكرار الخطية

(:7تعريف )xn)لتكن )= (x0 , x1 متتالية من األعداد معرفة كاآلتي :(……,

x0=a0 , x1=a1 ,…, xk−1=ak−1 ;(scalars)أعداد a0ثابتة ,a1,…,a2

يكون :n≥kوألجل xn=c1 xn−1+c2 xn−2+…+ck xn−k ;(scalars)أعداد c0ثابتة , c1 ,…,ck−1

كانت ckإذا المرتبة 0≠ من خطية تكرار عالقة تسمى األخيرة المساواة فإنk. للتكرار األولية الشروط إلى تشير البداية في والمتساويات

تمكننا صبغة إيجاد أي الخطية، التكرار عالقة حل يلي فيما سنحاولحس@@اب ول@@ذلك xnمن ، الس@@ابقة الح@@دود لمعرف@@ة الحاج@@ة دون

التالي : المثال من سننطلق(:1مثال )

a1=1لتكن ,a2=5 , an+2=6an+1−8an(2)

الحل :شكل على الخطية التكرار عالقة كتابة هو المسألة هذه لحل األولى الفكرة

إيجاد أي مصفوفة،A=[α β

γ δ an+2]بحيث [

an+1]=A [an+1an ].

نجد : األيمن الطرف من بدءا

A[ an+1an ]=[α βγ δ ][an+1an ]=[αan+1+β anγan+1+δan ]

األيسر : الطرف مع وبالمطابقة

[an+1

an ]=[6an+1−8anan+1 ]أن : فنجد

A=[6 −81 0 ]


نكتب : أن يمكننا وبالتالي

[an+1

an ]=[6 −81 0 ][an+1

an ]=[6 −81 0 ]

2

[ anan−1]=…=[6 −81 0 ]

n

[a2a1]لحساب صيغة أوجدنا فإذا إليجاد Anومنه صيغة أوجدنا قد وإن an+2نكون ،

الشكل : إلى بتحليلها هو مصفوفة قوة لحساب طريقة .A=Pأفضل D .P−1 حيث :

D=[ λ1 00 λ2] : λ1حيث , λ2 للمصفوفة الذاتية Aالقيم

=Pو [v1 v2 v1حيث [ , v2 الذاتية للقيم والمقابلة للمصفوفة الذاتية األشعةالسابقة .

يكون : وعندهاAn=(P .D .P−1 ) (P . D .P−1 )…(P . D .P−1)=P .Dn . P−1

]=Dnو λ1n 00 λ2

n ].

ل@ الذاتية القيم :Aوإليجاد

det (A−λI )=|6− λ −81 − λ|=λ2−6 λ+8=0 (2 )

ل@ الذاتية القيم فإن تساوي :Aومنهλ1=4 , λ2=2

هي : الترتيب على لهما المقابلة الذاتية v1=[41واألشعة ] , v2=[21]: وبالتالي ،

P=[4 21 1]❑

⇒P−1= 1

detP [ 1 −2−1 4 ]=[ 12 −1

−12

2 ]ومنه :

[an+2

an+1]=An[a2a1]=P . Dn .P−1[a2a1]=[4 21 1][4

n 00 2n] [ 12 −1

−12

2 ] [51]¿ [4n+1 2n+1

4n 2n ] [ 12 −1

−12

2 ] [51](3)العليا – – الدراسات التطبيقية الرياضيات قسم دمشق 82جامعة

¿ [4n+1 2n+ 1

4n 2n ] [ 32−12 ]=[32 .4n+1

−122n+1

32.4

n

−122n ]

أن : نجد األوليتين المركبتين وبمطابقة

an+2=32.4

n+1

−122n+1

مكافئ : بشكل أو

an=32.4

n−1

−122n−1

الخوارزمية : إلى المثال منو الذاتية األشعة إيجاد ضرورة تجنب إمكانية كيفية شرح اآلن ، P−1سنحاول

المصفوفة إيجاد تجنب إمكانية كيفية .Aثم أيضاالمساواة ) إلى مدخالت( 3بالنظر فقط أنه على Dnنجد ولذلك nتعتمد ،

كالتالي : النتيجة فستكون كان مهما الضرب هذا بإجراء

[an+2

an+1]=[a .4n+1+b2n+1

c .4n+d 2n ] aثوابت, ,b , c ,dأن : نجد األولى المركبة وبمطابقة

an=a .4n−1+b2n−1(4)

في )bو aولتحديد :n=2و n=1( 4نعوض

n=1: a1=a .40+b .20❑

⇒a+b=1

n=2: a2=a . 41+b .21❑

⇒4 a+2b=5

نجد : معا بحلهما خطيتين معادلتين لدينا أصبح ومنهa=32, b=−1

2

يكون : وبالتالي

an=32.4

n−1

−122n−1


إليجاد نحتج لم أننا v1أي , v2 ,P , Pالذاتية 1− القيم لمعرفة بحاجة كنا فقط ،

.Aللمصفوفة

المصفوفة إيجاد نتجنب أن لنا ؟ Aكيفمن نحتاجه ما أن فقط Aرأينا بحاجة نحن وبالتالي الذاتية قيمها هو

( للعالقة وبالنظر المميزة، التكرار( 2لمعادلتها لعالقة مشابهة أنها نالحظمنها ) انطلقنا التي بمصادفة( !1الخطية ليست هذه وإن ،

الشكل : من الخطية التكرار عالقة إنan+2= p .a❑

n+1+qa❑n(5)

هي :Aوالمصفوفة هذه الخطية التكرار لعالقة

A=[ p q1 0]

تساوي : المميزة معادلتها والتي

det (A−λI )=|p−λ q1 −λ|=λ2−pλ−q=0

( نفسها هي بدلنا( 5والتي .anب@ 1و an+1ب@ λو an+2ب@ λ2إذا المصفوفة إليجاد بحاجة لسنا معادلتها Aوبالتالي إيجاد نستطيع حيث ،

الخطية . التكرار عالقة من مباشرة المميزة

الخوارزمية :xn=aلتكن xn−1+b xn−2( للمتتالية خطية تكرار λ1ولتكن ¿xnعالقة , λ2

: المميزة المعادلة عن تنتجان ذاتيتين :λ2−aλ−b=0قيمتين للمصفوفة

[a b1 عندئذ :[0

كانت - ≠λ1إذا λ2 فإنxn=c1 λ1n−1+c2 λ2

n−1. كانت - =λ1=λ2وإذا λ فإنxn=c1 λ

n−1+c2n λn−1 .

c1حيث , c2(( . يمكن األولية الشروط على باالعتماد تحدد ثوابتالتعميم((

(:2مثال )


فيبوناتشي : متتالية a1=1حل ,a2=1 , an+2=an+1+an

الحل :المميزة : المعادلة لنكتب

λ2−λ−1=0

أن : نجد وبحلها

λ1=φ=1+√52

, λ2=1−φ=1−√52

وبالتالي :an=a .φ

n−1+b .(1−φ)n−1

:bو aإليجاد

n=1: a+b=1

n=2: aφ+b(1−φ)=1

نجد المعادالت جملة : وبحل

a= φ√5

, b=−1−φ√5

النهائي الحل : وبالتالي

an=φ√5

φn−1−1−φ√5

(1−φ )n−1=φn−(1−φ)n

√5

(:3مثال )التالية : الخطية التكرار عالقة حل

a1=−1 , a2=6 , a3=8 ,

an+3=−an+ 2+4an+1+4 an


λ3+ λ2−4 λ−4=0

أن : نجد وبحلهاλ1=−2 , λ2=−1 , λ3=2


وبالتالي :an=a .(−2)

n−1+b .(−1)n−1+c . (2)n−1

:cو bو aإليجاد

n=1: a+b+c=−1

n=2:−2a−b+2c=6

n=3 :4 a+b+4c=8


a=1 , b=−4 , c=2


an=1.(−2)n−1+ (−4 ) (−1 )n−1+2.2n−1=(−2)n−1+4 (−1 )n+2n

(:4مثال )التالية : الخطية التكرار عالقة حل

a1=1 ,a2=10

an+2=4an+1−4an


λ2−4 λ+4=0❑⇒

( λ−2 )2=0

مضاعف : جذر ولهاλ1=2

وبالتالي :an=a .(2)

n−1+b .n(2)n−1

:bو aإليجاد


n=1: a+b=1

n=2:2a+4b=10


a=−3 , b=4 ,


an=−3. (2 )n−1+4.n (2 )n−1=2n−1(4 n−3)

تعالى- - بعونه تم


المراجع

الهيئةالمؤلفاسم المرجعWebsiteالتابع لها

التحليل العددي1والبرمجة

الدكتور محمدصبح

جامعة-دمشق

الجبر الخطي )21)

الدكتور عبداللطيف هنانو

جامعة-دمشق

الجبر الخطي –34جبر

الدكتور عبد الواحد أبو

جامعةحمدةدمشق

كلية)العلوم(

- الدكتور أنور

اللحام الدكتور يوسف

الوادي الدكتور عبد

اللطيف هنانو

4 بحث – القيم

الذاتية واألشعةالذاتية

الطالب مأمونالحسن

جامعةدمشق )كلية

العلوم(- إشراف الدكتور

محمد صبح

5 بحث – تقريب القيم الذاتية

واألشعة الذاتية

الطالبة قمر أبو جامعةحسن

دمشق )كلية

العلوم(http://numericalanalysis.weebly.com/ إشراف

الدكتورة برلنتمطيط

6Scientific Computing:

An Introductory

Survey

Prof. Michael T. Heath

University of Illinois

at Urbana-Champaign

(Departmen

t of

http://www.cs.illinois.edu/~heath/


http://www.cs.illinois.edu/~heath/

http://numericalanalysis.weebly.com/

Computer Science)

7

Lecture Notes on Numerical

Analysis 8. Numerical Computation

of Eigenvalues

Prof. Peter J. Olver

University of

Minnesota (School of

Mathematics)

http://www.math.umn.edu/~olver/

8

Course - Elementary

Linear AlgebraTextbook:

Elementary Linear

Algebra by Ron Larson,

seventh Edition.

Prof.StayaMandal

University of Kansas

(Departmen

t of Mathemati

cs)

http://www.math.ku.edu/~mandal/

9

Course - Numerical methods

Chapter 4 . Eigenvalues

and Eigenvectors

Assistant Professor. Bin

Cheng

Arizona State

University(School of

Mathematical

andStatistical

Sciences)

http://math.la.asu.edu/~cheng/

10

Course - Numericalanal

ysis2009-spring

Associate Professor. Tien-Hao

Chang

National Cheng Kung

University

http://www.ee.ncku.edu.tw/nckueechinese /

professor/t710-darby/T0000000e.htm

11

Linear recurrence relations

Associate Professor.

Robert Harron

Boston Universityhttp://ww w.math.wisc.edu/~rharron /

12

Wikipedia article - Matrix

similarityhttps://en.wikipedia.org/wiki/

Matrix_similarity

13

Wikipedia article –

https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors




https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_similarity

https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_similarity

http://www.math.wisc.edu/~rharron/

http://www.ee.ncku.edu.tw/nckueechinese/professor/t710-darby/T0000000e.htm



http://math.la.asu.edu/~cheng/

http://www.math.ku.edu/~mandal/

http://www.math.umn.edu/~olver/

and eigenvectors

14

Wikipedia article – Power

iterationhttps://en.wikipedia.org/wiki/

Power_iteration

15

Wikipedia article – Inverse iteration

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_iteration

16

Wikipedia article –QR algorithm

https://en.wikipedia.org/wiki/QR_algorithm






https://en.wikipedia.org/wiki/Power_iteration

https://en.wikipedia.org/wiki/Power_iteration

تقريب القيم والأشعة الذاتية -...

Documents