Παράιγμα - ucyxenophon/courses/mas303/lesson12a.pdfux xx ! ® t ® ¯ ¯ Ψάχνουμ...
TRANSCRIPT
Παράδειγμα:, (0, ), 0
, 0 / 2( ,0) ( )
, / 2
(0, ) ( , ) 0, 0
t xxu u x t
x xu x x
x x
u t u t t
=
= =
− = =
Παράδειγμα:, (0, ), 0
, 0 / 2( ,0) ( )
, / 2
(0, ) ( , ) 0, 0
t xxu u x t
x xu x x
x x
u t u t t
=
= =
− = =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) .
Παράδειγμα:, (0, ), 0
, 0 / 2( ,0) ( )
, / 2
(0, ) ( , ) 0, 0
t xxu u x t
x xu x x
x x
u t u t t
=
= =
− = =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) . Tο πρόβλημα ιδιοτιμών για το Χ είναι
( ) ( ) , (0, )
(0) ( ) 0
X x X x x
X X
− =
= =
Παράδειγμα:, (0, ), 0
, 0 / 2( ,0) ( )
, / 2
(0, ) ( , ) 0, 0
t xxu u x t
x xu x x
x x
u t u t t
=
= =
− = =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) . Tο πρόβλημα ιδιοτιμών για το Χ είναι
( ) ( ) , (0, )
(0) ( ) 0
X x X x x
X X
− =
= =
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι λ > 0.
Παράδειγμα:, (0, ), 0
, 0 / 2( ,0) ( )
, / 2
(0, ) ( , ) 0, 0
t xxu u x t
x xu x x
x x
u t u t t
=
= =
− = =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) . Tο πρόβλημα ιδιοτιμών για το Χ είναι
( ) ( ) , (0, )
(0) ( ) 0
X x X x x
X X
− =
= =
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι λ > 0. Θέτουμε λοιπόν λ = β2 , β > 0 και έχουμε
Παράδειγμα:, (0, ), 0
, 0 / 2( ,0) ( )
, / 2
(0, ) ( , ) 0, 0
t xxu u x t
x xu x x
x x
u t u t t
=
= =
− = =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) . Tο πρόβλημα ιδιοτιμών για το Χ είναι
( ) ( ) , (0, )
(0) ( ) 0
X x X x x
X X
− =
= =
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι λ > 0. Θέτουμε λοιπόν λ = β2 , β > 0 και έχουμε
2( ) ( ) 0X x X x + = ( ) cos( ) sin( ), ,X x C x D x C D = +
Παράδειγμα:, (0, ), 0
, 0 / 2( ,0) ( )
, / 2
(0, ) ( , ) 0, 0
t xxu u x t
x xu x x
x x
u t u t t
=
= =
− = =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) . Tο πρόβλημα ιδιοτιμών για το Χ είναι
( ) ( ) , (0, )
(0) ( ) 0
X x X x x
X X
− =
= =
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι λ > 0. Θέτουμε λοιπόν λ = β2 , β > 0 και έχουμε
2( ) ( ) 0X x X x + = ( ) cos( ) sin( ), ,X x C x D x C D = +
(0) 0 0,X C= = ( ) 0 sin( ) 0X D n = = =
Άρα ( )2 , ( ) sin , .n nn X x nx n = =
Άρα ( )2 , ( ) sin , .n nn X x nx n = =
2
( ) , 0nt n t
n n nT t A e A e t− −= =
Επίσης
με Αn επιλεγμένο έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι ΑΣ:
Άρα ( )2 , ( ) sin , .n nn X x nx n = =
2
( ) , 0nt n t
n n nT t A e A e t− −= =
Επίσης
με Αn επιλεγμένο έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι ΑΣ:
2
1 1
( , ) ( ) ( ) sin( ), 0n t
n n n
n n
u x t T t X x A e nx t
−
= =
= =
Άρα ( )2 , ( ) sin , .n nn X x nx n = =
2
( ) , 0nt n t
n n nT t A e A e t− −= =
Επίσης
με Αn επιλεγμένο έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι ΑΣ:
2
1 1
( , ) ( ) ( ) sin( ), 0n t
n n n
n n
u x t T t X x A e nx t
−
= =
= =
1
, 0 / 2( ,0) ( ) sin( )
, / 2n
n
x xu x x A nx
x x
=
= =
−
Άρα ( )2 , ( ) sin , .n nn X x nx n = =
2
( ) , 0nt n t
n n nT t A e A e t− −= =
Επίσης
με Αn επιλεγμένο έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι ΑΣ:
2
1 1
( , ) ( ) ( ) sin( ), 0n t
n n n
n n
u x t T t X x A e nx t
−
= =
= =
1
, 0 / 2( ,0) ( ) sin( )
, / 2n
n
x xu x x A nx
x x
=
= =
−
( )/2
12 2
0 /2
0 , 22 2 4 4sin( ) sin( ) cos( / 2)
( 1) , 2 1n k
n kA x nx dx x nx dx n
n kn n
+
== + − = =
− = −
( )( )
21
2 1
21
4 ( 1)( , ) sin((2 1) ), 0
2 1
nn t
n
u x t e n x tn
+− −
=
−= −
−
( )( )
21
2 1
21
4 ( 1)( , ) sin((2 1) ), 0
2 1
nn t
n
u x t e n x tn
+− −
=
−= −
−
Παράδειγμα:
2
, (0,1), 0
( ,0) , (0,1)
(0, ) (1, ) 0, 0
t xx
x x
u u x t
u x x x x
u t u t t
=
= − = =
Παράδειγμα:
2
, (0,1), 0
( ,0) , (0,1)
(0, ) (1, ) 0, 0
t xx
x x
u u x t
u x x x x
u t u t t
=
= − = =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) .
Παράδειγμα:
2
, (0,1), 0
( ,0) , (0,1)
(0, ) (1, ) 0, 0
t xx
x x
u u x t
u x x x x
u t u t t
=
= − = =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) . Tο πρόβλημα ιδιοτιμών για το Χ είναι
( ) ( ) , (0,1)
(0) (1) 0
X x X x x
X X
− =
= =
Παράδειγμα:
2
, (0,1), 0
( ,0) , (0,1)
(0, ) (1, ) 0, 0
t xx
x x
u u x t
u x x x x
u t u t t
=
= − = =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) . Tο πρόβλημα ιδιοτιμών για το Χ είναι
( ) ( ) , (0,1)
(0) (1) 0
X x X x x
X X
− =
= =
το οποίο δίνει( ) ( )
2
0, ( ) cos ,n nn X x n x n = =
Παράδειγμα:
2
, (0,1), 0
( ,0) , (0,1)
(0, ) (1, ) 0, 0
t xx
x x
u u x t
u x x x x
u t u t t
=
= − = =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) . Tο πρόβλημα ιδιοτιμών για το Χ είναι
( ) ( ) , (0,1)
(0) (1) 0
X x X x x
X X
− =
= =
το οποίο δίνει( ) ( )
2
0, ( ) cos ,n nn X x n x n = =
Επίσης, ( ) , 0nt
n nT t A e t−
=
Παράδειγμα:
2
, (0,1), 0
( ,0) , (0,1)
(0, ) (1, ) 0, 0
t xx
x x
u u x t
u x x x x
u t u t t
=
= − = =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) . Tο πρόβλημα ιδιοτιμών για το Χ είναι
( ) ( ) , (0,1)
(0) (1) 0
X x X x x
X X
− =
= =
το οποίο δίνει
( ) ( )2
0
( , ) cosn t
n
n
u x t A e n x
−
=
=
( ) ( )2
0, ( ) cos ,n nn X x n x n = =
Επίσης, και έτσι ( ) , 0nt
n nT t A e t−
=
Από την ΑΣ,
( ) ( )2
0
0 1
( ,0) cos cosn n
n n
u x x x A n x A A n x
= =
= − = = +
Από την ΑΣ,
( ) ( )2
0
0 1
( ,0) cos cosn n
n n
u x x x A n x A A n x
= =
= − = = +
όπου
( )
1
2
0
0
11 2
2
2 2 3 3 3 3
0 0
12 ( )
3
1 2 2 22 ( )cos( ) 2 sin( ) sin( ) 1 ( 1)
x
n
n
x
A x x dx
x x xA x x n x dx n x n x
n n n n
=
=
= − =
− −= − = − − = − + −
Από την ΑΣ,
( ) ( )2
0
0 1
( ,0) cos cosn n
n n
u x x x A n x A A n x
= =
= − = = +
όπου
( )
1
2
0
0
11 2
2
2 2 3 3 3 3
0 0
12 ( )
3
1 2 2 22 ( )cos( ) 2 sin( ) sin( ) 1 ( 1)
x
n
n
x
A x x dx
x x xA x x n x dx n x n x
n n n n
=
=
= − =
− −= − = − − = − + −
( ) ( )2
1
3 31
1 2 ( 1) 1( , ) cos
3
nn t
n
u x t e n xn
+−
=
− −= +
Η λύση είναι
Η εξίσωση της θερμότητας με μικτές ΣΣ
Η εξίσωση της θερμότητας με μικτές ΣΣ
, (0, ), 0
( ,0) ( ), (0, )
(0, ) ( , ) 0, 0
t xx
x
u u x t
u x x x
u t u t t
=
= = =
Η εξίσωση της θερμότητας με μικτές ΣΣ
, (0, ), 0
( ,0) ( ), (0, )
(0, ) ( , ) 0, 0
t xx
x
u u x t
u x x x
u t u t t
=
= = =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t)
Η εξίσωση της θερμότητας με μικτές ΣΣ
, (0, ), 0
( ,0) ( ), (0, )
(0, ) ( , ) 0, 0
t xx
x
u u x t
u x x x
u t u t t
=
= = =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t). Όπως έχουμε ήδη δει
( ) , 0ktT t Ae t−=
Η εξίσωση της θερμότητας με μικτές ΣΣ
, (0, ), 0
( ,0) ( ), (0, )
(0, ) ( , ) 0, 0
t xx
x
u u x t
u x x x
u t u t t
=
= = =
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t). Όπως έχουμε ήδη δει
( ) , 0ktT t Ae t−=
( ) ( ) , (0, )
(0) ( ) 0
X x X x x
X X
− =
= =
και το Χ ικανοποιεί
Για λ = 0, έχουμε ( ) 0 ( )X x X x cx d = = +
Για λ = 0, έχουμε και οι ΣΣ δίνουν
άρα λ 0.
( ) 0 ( )X x X x cx d = = +
(0) 0 0 , ( ) 0 0X c X d = = = =
Για λ = 0, έχουμε και οι ΣΣ δίνουν
άρα λ 0. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το λ είναι θετικό. Θέτουμε λοιπόν λ = β2 , β > 0 και έχουμε
( ) 0 ( )X x X x cx d = = +
(0) 0 0 , ( ) 0 0X c X d = = = =
2( ) ( ) 0X x X x + =
Για λ = 0, έχουμε και οι ΣΣ δίνουν
άρα λ 0. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το λ είναι θετικό. Θέτουμε λοιπόν λ = β2 , β > 0 και έχουμε
( ) 0 ( )X x X x cx d = = +
(0) 0 0 , ( ) 0 0X c X d = = = =
2( ) ( ) 0X x X x + = ( ) cos( ) sin( ), ,X x C x D x C D = +
Για λ = 0, έχουμε και οι ΣΣ δίνουν
άρα λ 0. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το λ είναι θετικό. Θέτουμε λοιπόν λ = β2 , β > 0 και έχουμε
( ) 0 ( )X x X x cx d = = +
(0) 0 0 , ( ) 0 0X c X d = = = =
2( ) ( ) 0X x X x + = ( ) cos( ) sin( ), ,X x C x D x C D = +
(0) 0 0,X D = =
Για λ = 0, έχουμε και οι ΣΣ δίνουν
άρα λ 0. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το λ είναι θετικό. Θέτουμε λοιπόν λ = β2 , β > 0 και έχουμε
( ) 0 ( )X x X x cx d = = +
(0) 0 0 , ( ) 0 0X c X d = = = =
2( ) ( ) 0X x X x + = ( ) cos( ) sin( ), ,X x C x D x C D = +
(0) 0 0,X D = =(2 1) (2 1)
( ) 0 cos( ) 0 ,2 2
n nX C n
− −= = = =
Για λ = 0, έχουμε και οι ΣΣ δίνουν
άρα λ 0. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το λ είναι θετικό. Θέτουμε λοιπόν λ = β2 , β > 0 και έχουμε
( ) 0 ( )X x X x cx d = = +
(0) 0 0 , ( ) 0 0X c X d = = = =
2( ) ( ) 0X x X x + = ( ) cos( ) sin( ), ,X x C x D x C D = +
(0) 0 0,X D = =(2 1) (2 1)
( ) 0 cos( ) 0 ,2 2
n nX C n
− −= = = =
Συνεπώς, οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις δίδονται από
2(2 1) (2 1)
, ( ) cos ,2 2
n n
n n xX x n
− − = =
2
2
1
(2 1)( , ) cos
2
nkt
n
n
n xu x t A e
−
=
− =
και η u από
2
2
1
(2 1)( , ) cos
2
nkt
n
n
n xu x t A e
−
=
− =
όπου τα Αn υπολογίζοντας ως εξής:
και η u από
2
2
1
(2 1)( , ) cos
2
nkt
n
n
n xu x t A e
−
=
− =
όπου τα Αn υπολογίζοντας ως εξής:
και η u από
1
(2 1)( ,0) ( ) ( ) cos
2n
n
n xu x x x A
=
− = =
2
2
1
(2 1)( , ) cos
2
nkt
n
n
n xu x t A e
−
=
− =
όπου τα Αn υπολογίζοντας ως εξής:
και η u από
1
(2 1)( ,0) ( ) ( ) cos
2n
n
n xu x x x A
=
− = =
0
2 (2 1)( )cos
2n
n xA x dx
− =
2
2
1
(2 1)( , ) cos
2
nkt
n
n
n xu x t A e
−
=
− =
όπου τα Αn υπολογίζοντας ως εξής:
και η u από
1
(2 1)( ,0) ( ) ( ) cos
2n
n
n xu x x x A
=
− = =
0
2 (2 1)( )cos
2n
n xA x dx
− =
H λύση u(x, t) δίδεται από2
1
(2 1)( , ) cos ,
2
nkt
n
n
n xu x t A e
−
=
− =
Παράδειγμα: , (0,2), 0
(0, ) (2, ) 0, 0
, (0,1)( ,0)
2 , (1,2)
t xx
x
u u x t
u t u t t
x xu x
x x
=
= =
= −
Παράδειγμα: , (0,2), 0
(0, ) (2, ) 0, 0
, (0,1)( ,0)
2 , (1,2)
t xx
x
u u x t
u t u t t
x xu x
x x
=
= =
= −
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) .
Παράδειγμα: , (0,2), 0
(0, ) (2, ) 0, 0
, (0,1)( ,0)
2 , (1,2)
t xx
x
u u x t
u t u t t
x xu x
x x
=
= =
= −
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) . Tο πρόβλημα ιδιοτιμών για το Χ είναι
( ) ( ) , (0,2)
(0) (2) 0
X x X x x
X X
− =
= =
Παράδειγμα: , (0,2), 0
(0, ) (2, ) 0, 0
, (0,1)( ,0)
2 , (1,2)
t xx
x
u u x t
u t u t t
x xu x
x x
=
= =
= −
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) . Tο πρόβλημα ιδιοτιμών για το Χ είναι
( ) ( ) , (0,2)
(0) (2) 0
X x X x x
X X
− =
= =
το οποίο δίνει, με λ = β 2 , β > 0,
2( ) ( ) 0X x X x + =
Παράδειγμα: , (0,2), 0
(0, ) (2, ) 0, 0
, (0,1)( ,0)
2 , (1,2)
t xx
x
u u x t
u t u t t
x xu x
x x
=
= =
= −
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) . Tο πρόβλημα ιδιοτιμών για το Χ είναι
( ) ( ) , (0,2)
(0) (2) 0
X x X x x
X X
− =
= =
το οποίο δίνει, με λ = β 2 , β > 0,
2( ) ( ) 0X x X x + = ( ) cos( ) sin( ), ,X x C x D x C D = +
Παράδειγμα: , (0,2), 0
(0, ) (2, ) 0, 0
, (0,1)( ,0)
2 , (1,2)
t xx
x
u u x t
u t u t t
x xu x
x x
=
= =
= −
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) . Tο πρόβλημα ιδιοτιμών για το Χ είναι
( ) ( ) , (0,2)
(0) (2) 0
X x X x x
X X
− =
= =
το οποίο δίνει, με λ = β 2 , β > 0,
2( ) ( ) 0X x X x + = ( ) cos( ) sin( ), ,X x C x D x C D = +
(0) 0 0,X C= =
Παράδειγμα: , (0,2), 0
(0, ) (2, ) 0, 0
, (0,1)( ,0)
2 , (1,2)
t xx
x
u u x t
u t u t t
x xu x
x x
=
= =
= −
Ψάχνουμε για λύση στη μορφή u(x, t) = X(x)T(t) . Tο πρόβλημα ιδιοτιμών για το Χ είναι
( ) ( ) , (0,2)
(0) (2) 0
X x X x x
X X
− =
= =
το οποίο δίνει, με λ = β 2 , β > 0,
2( ) ( ) 0X x X x + = ( ) cos( ) sin( ), ,X x C x D x C D = +
(0) 0 0,X C= =(2 1) (2 1)
(2) 0 cos(2 ) 0 2 ,2 4
n nX D n
− − = = = =
Συνεπώς, οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις δίδονται από
2(2 1) (2 1)
, ( ) sin ,4 4
n n
n nX x x n
− − = =
Συνεπώς, οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις δίδονται από
2(2 1) (2 1)
, ( ) sin ,4 4
n n
n nX x x n
− − = =
Επίσης, και έτσι ( ) , 0nt
n nT t A e t−
=
Συνεπώς, οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις δίδονται από
2(2 1) (2 1)
, ( ) sin ,4 4
n n
n nX x x n
− − = =
2(2 1)
4
1
(2 1)( , ) sin
4
nt
n
n
nu x t A e x
− −
=
− =
Επίσης, και έτσι ( ) , 0nt
n nT t A e t−
=
Συνεπώς, οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις δίδονται από
2(2 1) (2 1)
, ( ) sin ,4 4
n n
n nX x x n
− − = =
2(2 1)
4
1
(2 1)( , ) sin
4
nt
n
n
nu x t A e x
− −
=
− =
Επίσης, και έτσι ( ) , 0nt
n nT t A e t−
=
Τα Αn θα προσδιοριστούν έτσι ώστε να ισχύει η ΑΣ:, (0,1)
( ,0)2 , (1,2)
x xu x
x x
=
−
Συνεπώς, οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις δίδονται από
2(2 1) (2 1)
, ( ) sin ,4 4
n n
n nX x x n
− − = =
2(2 1)
4
1
(2 1)( , ) sin
4
nt
n
n
nu x t A e x
− −
=
− =
Επίσης, και έτσι ( ) , 0nt
n nT t A e t−
=
Τα Αn θα προσδιοριστούν έτσι ώστε να ισχύει η ΑΣ:, (0,1)
( ,0)2 , (1,2)
x xu x
x x
=
−
1
, (0,1)(2 1)sin
2 , (1,2)4n
n
x xn xA
x x
=
− =
−
Οι συντελεστές Αn είναι
1 2
0 1
(2 1) (2 1)sin (2 )sin
4 4n
n x n xA x dx x dx
− − = + −
Οι συντελεστές Αn είναι
1 2
0 1
(2 1) (2 1)sin (2 )sin
4 4n
n x n xA x dx x dx
− − = + −
Οι συντελεστές Αn είναι
2 2
32 (2 1)sin cos( )
(2 1) 4
nn
n
− = = +
−
1 2
0 1
(2 1) (2 1)sin (2 )sin
4 4n
n x n xA x dx x dx
− − = + −
2(2 1)
4
2 2 21
32 32 (2 1) (2 1)( , ) sin cos( ) sin
(2 1) 4 4
nt
n
n n xu x t n e
n
− −
=
− − = +
−
Οι συντελεστές Αn είναι
2 2
32 (2 1)sin cos( )
(2 1) 4
nn
n
− = = +
−
και η λύση είναι
