01. lintasan
DESCRIPTION
lintasanTRANSCRIPT
![Page 1: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/1.jpg)
KALKULUS IIIBAB 1Fungsi dari ℝ ke ℝn
![Page 2: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Single Variable
Multi Variable
Real Valued
Vector Valued
FUNGSIBentuk umum f : ℝm ℝn
f : ℝm ℝf : ℝ ℝn f : ℝm ℝn
f : ℝ ℝ
Indah Yanti
![Page 3: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/3.jpg)
Indah Yanti 3
( , , )
LINTASANLintasan di ℝn adalah pemetaan c dari ℝ atau interval pada ℝ ke ℝn.
c : ℝ ℝn t ( f1(t), …, fn(t))
Jika c lintasan di ℝ3 maka c(t) dapat ditulis dalam bentuk
c(t) =x(t) y(t) z(t)
fungsi komponen
![Page 4: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/4.jpg)
Indah Yanti 4x
y
z
a b
c(a)
c(b)
c = lintasan
Kurva C = bayangan dari c
![Page 5: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/5.jpg)
Indah Yanti 5
Contoh 1.1c : ℝ ℝ2 t[a, b] ( ,
)
t[0, 2] (cos t, sin t)
x(t) y(t)t cos t sin t0 1 0
/2 0 1 -1 0
3/2 0 -12 1 0
![Page 6: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/6.jpg)
Indah Yanti 6
Contoh 1.1 2
0
/2
3/2
ty
x
x2+ y2 = 1
berlawanan arah jarum jam
![Page 7: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/7.jpg)
Indah Yanti 7
CONTOH 1.2Gambarlah lintasan – lintasan berikut ini:a. c1 : (r cos , r sin ); [0, 2]b. c2 : (r sin , r cos ); [0, 2]c. c3 : (r cos 2t, r sin 2t); t [0, 1]d. c3 : (r cos 4t, r sin 4t); t [0, 1]
![Page 8: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/8.jpg)
Indah Yanti 8
SOLUSIc1 : (r cos , r sin ); [0, 2]Misal x = r cos , y = r sin , maka x2 + y2 = (r cos )2 + (r sin )2
= r2 cos2 + r2 sin2 = r2 (cos2 + sin2 )= r2
yang merupakan lingkaran dengan titik awal (r, 0) dan titik akhir (r, 0) dengan arah berlawanan arah jarum jam.
![Page 9: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/9.jpg)
Indah Yanti 9
SOLUSIc1 : (r sin , r cos ); [0, 2]Misal x = r sin , y = r cos , maka x2 + y2 = (r sin )2 + (r cos )2
= r2 sin2 + r2 cos2 = r2 (sin2 + cos2 )= r2
yang merupakan lingkaran dengan titik awal (0, r) dan titik akhir (0, r) dengan arah searah jarum jam.
![Page 10: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/10.jpg)
Indah Yanti 10
SOLUSIc1 : (r cos 2t, r sin 2t); t [0, 1]Misal x = r cos 2t, y = r sin 2t, maka x2 + y2 = (r cos )2 + (r sin 2t)2
= r2 cos2 2t + r2 sin2 2t = r2 (cos2 2t + sin2 2t)= r2
yang merupakan lingkaran dengan titik awal (r, 0) dan titik akhir (r, 0) dengan arah berlawanan arah jarum jam.
![Page 11: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/11.jpg)
Indah Yanti 11
SOLUSIc1 : (r cos 4t, r sin 4t); t [0, 1]Misal x = r cos 4t, y = r sin 4t, maka x2 + y2 = (r cos )2 + (r sin 4t)2
= r2 cos2 4t + r2 sin2 4t = r2 (cos2 4t + sin2 4t)= r2
yang merupakan lingkaran dengan titik awal (r, 0) dan titik akhir (r, 0) dengan arah berlawanan arah jarum jam dan berputar sebanyak dua kali.
![Page 12: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/12.jpg)
Indah Yanti 12
LINTASANPandang lintasan c(t) = ( f1(t), …, fn(t)). Misalkan Di, i = 1, …, n adalah daerah definisi dari fi(t) maka daerah definisi untuk c(t) adalah D = D1 D2 … Dn.
![Page 13: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/13.jpg)
Indah Yanti 13
CONTOH 1.3Diketahui lintasan , tentukan daerah asal lintasan sehingga terdefinisi.
SOLUSIf1(t) = 9 – x2 terdefinisi jika dan hanya jika memenuhi 9 – x2 0.
9 – x2 0Û (3 – x)(3 + x) 0Û – 3 x 3
c(t) = (9 – x2 , )1x – 3
![Page 14: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/14.jpg)
Indah Yanti 14
CONTOH 1.3f2(t) = terdefinisi jika dan hanya jika memenuhi x 3.
Diperoleh D1: – 3 x 3D2: x 3
sehinggaDc(t): – 3 x < 3
1x – 3
![Page 15: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/15.jpg)
Indah Yanti 15
LIMIT LINTASANMisalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)) terdefinisi dan l = (l1, …, ln) adalah vektor di ℝn. Limit c(t) jika t mendekati a sama dengan l, ditulis limit c(t) = l
t aapabila ( > 0) ( > 0) sehingga
0 < t – a< ∥c(t) – l∥ < Secara intuitif, semakin dekat t ke a, semakin dekat c(t) ke l.
![Page 16: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/16.jpg)
16
LIMIT LINTASANCatatan
Pertidaksamaan segitiga di ℝ3
dimana
Indah Yanti
∥c(t) – l∥ = √(f1(t) – l1)2 + … + (fn(t) – ln)2
√(f1(t) – l1)2 + (f2(t) – l2)2 + (f3(t) – l3)2 f1(t) – l1+ f2(t) – l2+ f3(t) – l3fi(t) – li √ (f1(t) – l1)2 + (f2(t) – l2)2 + (f3(t) – l3)2 fi(t) – li= √ (fi(t) – li)2
![Page 17: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/17.jpg)
Indah Yanti 17
TEOREMA 1.1Misalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)). Maka
limit c(t) = lt a
Û limit ∥c(t) – l∥ = 0t a
![Page 18: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/18.jpg)
Indah Yanti 18
TEOREMA 1.2Misalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)). Maka c mempunyai limit di a jika dan hanya jika f1(t), …, fn(t) mempunyai limit di a. Dalam hal ini
limit c(t) = lt a
Û limit fi (t) = lit auntuk i = 1, 2, …, n.
![Page 19: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/19.jpg)
19
BUKTI TEOREMA 1.2() Diketahui artinya
( > 0) ( > 0) 0 < t – a< ∥c(t) – l∥< dari pertaksamaan segitiga fi(t) – li ∥c(t) – l∥ < , i = 1, …, nJadi ( > 0) ( > 0) 0 < t – a< fi(t) – li< atau
Indah Yanti
limit c(t) = lt a
limit fi (t) = lit a
![Page 20: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/20.jpg)
Indah Yanti 20
Bukti TEOREMA 1.2() Diketahui , artinya
( > 0) ( > 0) 0 < t – a< fi(t) – li< /3diketahui ∥c(t) – l∥< f1(t) – l1+ … + fn(t) – ln< /3 + /3
+ /3Û ∥c(t) – l∥< .Jadi ( > 0) ( > 0) 0 < t – a< ∥c(t) – l∥<
atau
limit fi (t) = lit a
limit c(t) = lt a
![Page 21: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/21.jpg)
Indah Yanti 21
TEOREMA 1.3Misalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)), d(t) = (g1(t), …, gn(t)) dan h(t) fungsi real. Jika , , dan ada dan berhingga, maka
limit c(t)t a
limit d(t)t a
limit h(t)t a
limit c(t) tunggalt a
1.2.limit (c(t) + d(t)) =
t a
limit c(t) +t a
limit d(t)t a
![Page 22: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/22.jpg)
Indah Yanti 22
TEOREMA 1.33.limit (c(t) – d(t)) =
t a
limit c(t) –t a
limit d(t)t a
4.limit kc(t) =
t a
k limit c(t), k adalah konstanta realt a
5.limit (c(t).d(t)) =
t a
limit c(t).t a
limit d(t)t a6
.limit (h(t).d(t)) =
t a
limit h(t).t a
limit d(t)t a
![Page 23: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/23.jpg)
Indah Yanti 23
KONTINUITASMisalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)) terdefinisi pada D ℝ. Lintasan c dikatakan kontinu di a D jika dan hanya jika
limit c(t) = c(a)t aatau ( > 0) ( > 0) sehingga
0 < t – a< ∥c(t) – c(a)∥ <
Lintasan c(t) = (f1(t), …, fn(t)) dikatakan kontinu di D ℝ jika c kontinu di setiap titik pada D.
![Page 24: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/24.jpg)
Indah Yanti 24
SoalTentukan nilai c(0) agar fungsi c yang didefinisikan sebagai
kontinu di setiap titik.
c(t) = , , t 0sin t t
1 – et t
![Page 25: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Solusilim = 1
lim = lim = lim – et = –1 (aturan L’Hospital)
Sehingga fungsi menjadi
Indah Yanti
sin t tt 0
t 01 –
et td(1 – et)/dtdt/dt
t 0
c(t) =sin t t
1 – et t, , untuk t
0(1, –1) , untuk t = 0
![Page 26: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/26.jpg)
Indah Yanti 26
TURUNAN LINTASANMisalkan c(t) = (f1(t), …, fn(t)). Turunan c di a didefinisikan sebagai
c’(a) =
limit c(t) – c(a)t a t – a
c’(t) =
limit c(t + h) – c(t)h 0 h
atau secara umum
dengan asumsi nilai limit tersebut ada.
![Page 27: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/27.jpg)
Indah Yanti 27
TURUNAN LINTASANJika lintasan diferensiabel, maka turunannya adalah matriks berukuran n 1.
c’(t) =
=
df1
dt, ,
dfn
dt=(f1’(t), …, fn’(t))
dfn
dt
df1
dt
Jika salah satu fungsi komponen tidak memiliki turunan maka lintasan disebut tidak mempunyai turunan.
![Page 28: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/28.jpg)
Indah Yanti 28
TEOREMA 1.4Aturan TurunanMisal b(t) dan c(t) adalah lintasan yang diferensiabel di ℝn serta p(t) dan q(t) adalah dua fungsi skalar yang diferensiabel, maka
ddt [b(t) + c(t)] = b’(t) + c’(t)
ddt [p(t)c(t)] = p’(t)c(t) +
p(t)c’(t)ddt [b(t) c(t)] = b’(t) c(t)+ b(t)
c’(t)ddt [c(q(t))] =
q’(t)c’(q(t))
Aturan Penjumlahan
Aturan Perkalian Skalar
Aturan Dot Product
Aturan Rantai
![Page 29: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/29.jpg)
Indah Yanti 29
TEOREMA 1.5Aturan TurunanMisal b(t) dan c(t) adalah lintasan yang diferensiabel di ℝ3
ddt [b(t) c(t)] = b’(t) c(t)+ b(t)
c’(t)Aturan Cross Product
![Page 30: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/30.jpg)
Indah Yanti 30
Soal Diberikan c(t) = (e2t, , t cos t). Maka
c’(t) = (2e2t, , cos t – t sin t).
Jika c(t) = (e2t, |t|, t cos t). Maka c(t) tidak mempunyai turunan di t = 0 karena fungsi |t| tidak mempunyai turunan di t = 0.
t2 cos t – 2t sin t t4
sin tt2
![Page 31: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/31.jpg)
Indah Yanti 31
KECEPATAN DAN KELAJUANJika c lintasan dan diferensiabel, maka c disebut lintasan yang diferensiabel. Kecepatan c pada saat t didefinisikan
c’(t) =
limit c(t + h) – c(t)h 0 h
dan kelajuan dari lintasan c(t) adalah s = ∥c’(t)∥, yang merupakan panjang dari vektor kecepatan.
![Page 32: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/32.jpg)
Indah Yanti 32
Soal Diberikan c(t) = (cos t, sin t, t). Tentukan vektor kecepatan pada saat t = /2.
![Page 33: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/33.jpg)
Indah Yanti 33
Solusi c’(t) = (– sin t, cos t, 1) c’(/2) = (– sin (/2), cos (/2), 1)
= (–1, 0, 1)
x
y
z
2
![Page 34: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/34.jpg)
Indah Yanti 34
Soal Diketahui lintasan c(t): [0, 2] (cos3 t, sin3 t).a. Gambarlah lintasan tersebutb. Tentukan vektor kecepatan dari lintasan tersebutc. Tentukan kelajuan dari lintasan tersebut.
![Page 35: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/35.jpg)
Indah Yanti 35
GARIS SINGGUNG LINTASANJika c(t) sebuah lintasan, dan c’(t0) 0, persamaan garis singgung di titik c(t0) adalah
l(t) = c(t0) + (t – t0)c’(t0)
Pada saat t = t0 makal(t0) = c(t0) + (t0 – t0)c’(t0)
Û l(t0) = c(t0) l(t)
l(t0) c(t0) c(t)
![Page 36: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/36.jpg)
Indah Yanti 36
Soal Sebuah lintasan di ℝ3 melalui titik (3, 6, 5) pada saat t = 0 dengan vektor singgung i – j. Tentukan persamaan garis singgung di titik tersebut.
![Page 37: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/37.jpg)
Indah Yanti 37
Solusi c(t0) = (3, 6, 5)t0 = 0c’(t0) = i – j = (1, –1, 0)
l(t) = c(t0) + (t – t0)c’(t0) = (3, 6, 5) + (t – 0)(1, –1, 0) = (3 + t, 6 – t, 5)
![Page 38: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/38.jpg)
Indah Yanti 38
Soal Tentukan panjang busur untuk setiap lintasan berikut:1. c(t): [0, 2] (t – sin t, 1 – cos t)2. c(t): [0, 2] (cos t, sin t, t)3. c(t): [0, 2] (cos3 t, sin3 t).
![Page 39: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/39.jpg)
39
INTEGRAL LINTASANIntegral lintasan, atau integral dari fungsi f(x, y, z) sepanjang lintasan c, terdefinisi jika c : I = [a, b] ℝ3
adalah kelas C1 dan jika fungsi komposit t f(x(t), y(t), z(t)) kontinu pada I. Integral fungsi didefinisikan sebagai berikut
Indah Yanti
f ds = c [ f(x(t), y(t), z(t)) . ∥c’(t)∥] dta
b
![Page 40: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/40.jpg)
Indah Yanti 40
Soal Misal diketahui c(t): [0, 2] (cos t, sin t, t) dan f(x, y, z) = x2 + y2 + z2.Hitung
f dsc
![Page 41: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/41.jpg)
Indah Yanti 41
![Page 42: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/42.jpg)
Indah Yanti 42
PANJANG BUSURMisal c(t) adalah sebuah lintasan yang kontinu diferensiabel. Maka
ℓ(c) = ∥c’(t)∥ dt
c(t): [a, b] ℝn
ℓ(c) = ∥c’(t)∥ dta
b
![Page 43: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/43.jpg)
Indah Yanti 43
Soal Diketahui lintasan c(t) = (r cos t, r sin t), dimana t berada di interval [0, 2]. Tentukan panjang busur dari lintasan c(t).
![Page 44: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/44.jpg)
Indah Yanti 44
![Page 45: 01. LINTASAN](https://reader036.vdocument.in/reader036/viewer/2022081505/5695d0d11a28ab9b0293fc49/html5/thumbnails/45.jpg)
Indah Yanti 45
Daftar tambahan nilai kuis1. Ongky2. Sigit