02 traction ou compression simple

Résistance des matériaux

Chapitre 2: traction ou compression simple

préparé par

John BOTSIS, Professeur LMAF/FSTI/EPFL

BIBLIOGRAPHIE 1. M. Del Pedro & Th. Gmür, éléments de mécanique des structures, PPUR, 2001.

2. E. P. Popov, Engineering Mechanics of Solids, PRENTICE HALL, 1990.

Source: www.almohandiss.com

traction ou compression simple

Le calcul des contraintes est facile si l’on admet les hypothèses suivantes

- le solide est prismatique, une section normale F étant invariable selon l’axe x;

- la section F' après déformation se déduit de F par simple translation selon l’axe x.

la seconde condition implique que l’hypothèse de Bernoulli soit satisfaite,

à savoir

qu’une section plane avant déformation reste plane après déformation.

La section d’un solide travaille en traction simple quand

le torseur des efforts intérieurs se réduit à une composante N


traction ou compression simple

FdFF

N

F

N

Pour que l’hypothèse de Bernoulli soit

satisfaite :

0 xy

.const

F

F

Fyz

Fz

Fy

F

ydF0

zdF0

dF)zy(0

dF0

dF0

dF

N

= 0


distribution des contraints : Principe de St-Venant

la contrainte est constante dans toute section d’un barreau

si la force extérieure s’applique uniformément sur les extrémités

Sinon : la section doit se trouver à une certaine distance des extrémités pour

que l’hypothèse adoptée soit valable dans le cas d’une force concentrée.

principe de St-Venant Source: www.almohandiss.com

distribution des contraintes : effet de la section

D ’après la théorie de l’élasticité la différence relative

entre la contrainte maximale réelle et = N/F est

pour a = 10 deg. erreur relative de 1,3 %;

pour a = 30 deg. erreur relative de 13 %.

exemple

contrainte moyenne

F

N

Attention

Quand la contrainte n’est plus constante dans toute la section,

il apparaît des contraintes tangentielles

même si l’effort tranchant T et le moment de torsion Mt sont nuls.


exemples


exemples

PNN 21

1N 2NP

11

11

FE

Nc


exemples

2/

011 dF)sinp(2Be2

)Rd(BdF

2/

011 dsinpRB2Be2

pRB2Be 11

pR2e 11

anneau de cuivre

pRBBe 22

anneau d’acier

équilibre

équilibre


contraintes principales

x

y z 2

13

3

1

2

X

Y

Z

M

P1 P2 P3

P4


contraintes principales

Dans le cas tri-dimensionnel: autour d’un point M0 quelconque d’un solide,

il existe toujours au moins trois plans normaux deux à deux

sur lesquels les contraintes tangentielles sont nulles et

les contraintes normales extrema.

plans principaux et les axes correspondants

axes principaux ou directions principales

De tels plans sont appelés


état de contrainte mono-dimensionnel

Plans principaux : Moxy ; Moxz ; Moyz

plan est toujours une plan principal



0sinFF

0cosFF

x0

x0

équilibre des forces selon la direction n

et selon la direction orthogonale

cos/FF 0

sincos

cos

x

2x

Etant donné que



sincos

cos

x

2x

2sin2

)2cos1(2

x

x


contrainte de cisaillement

2sin2

)2cos1(2

x

x

Pour 2/2

2

xmax

2

xmin


contrainte de cisaillement

Effet de cisaillement sur certains matériaux ductiles

pour les aciers doux, on constate

l’apparition de stries qui sont appelées

lignes de Lüder


énergie de déformation

00

)(NddUU

0

)(dEF

U

EF

P Loi de Hooke


énergie de déformation

2

1u

2E2

1u

E2

1u

2

E

Loi de Hooke


énergie de déformation : domaine plastique

21 UUU

U

U10

énergie totale énergie élastique

énergie plastique

degré d’élasticité parfaitement plastique

parfaitement élastique 1


énergie de déformation: cas non-linéaire

les densités d’énergie de déformation correspondant à

un matériau plastique parfait ( = 0),

un matériau plastique ordinaire (0 < < 1)

un matériau élastique non linéaire ( = 1)


exemple : chargement mécanique

P=3 kN

P=2,23 kN

3m

6m

P=2,83

kN

6m

1AB1

2BC2

cosBB

cosBB


exemple : chargement mécanique

P=3 kN

P=2,23 kN

3m

6m

P=2,83 kN 6m

1AB1

2BC2

cosBB

cosBB

EF

LN

EF

LN

AB

ABABAB

BC

BCBCBC

Contrainte-déformation: (loi de Hooke)

1o

2 4,108 1AB cos/

2BC cos/

A partir de la géométrie de la déformation:

Equilibre: NAB et NBC


exemple: chargement thermique

3m

6m

1TCB

2TAB

cos

cos

6m

géométrie de la déformation :


exemple: chargement thermique

ABAB

BCBC

TL

TL

a

a

1o

2 6,71

2AB cos/

1BC cos/

géométrie de la déformation :


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