03 two dimension of motion
DESCRIPTION
[PDF Slide ประกอบการเรียนวิชาฟิสิกส์ 1] บทที่ 3 การเคลื่อนที่ในระนาบTRANSCRIPT
![Page 1: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/1.jpg)
[ บทท 3 การเคลอนทในระนาบ ][ บทท 3 การเคลอนทในระนาบ ]
![Page 2: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/2.jpg)
ในการอธบายการเคลอนทในวถโคง เชน การโคจรของดาวเทยม การเคลอนทเปนเสน
โคงของลกบอลโคงของลกบอล
เราตองบรรยายการเคลอนทในสองหรอสามมต
โ ใ ป ปโดยใชเวกเตอรการกระจด ความเรว และความเรง แตปรมาณเหลานมองคประกอบ
สองหรอสามองคประกอบ และไมไดมทศอยในแนวเสนตรงเดยว
2
![Page 3: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/3.jpg)
ใชเวกเตอรในการบอกตาแหนงของอนภาค การเขยนเวกเตอรบอกตาแหนง ตองเขยน
บอกองคประกอบของเวกเตอรในแตละแกนบอกองคประกอบของเวกเตอรในแตละแกน
ˆˆ ˆi j k+ +k
r xi yj zk= + +rz
θj
xy
i
3
![Page 4: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/4.jpg)
yจากนยามความเรวเฉลย “อตราสวน
ระหวางการกระจดทเปลยนไปกบP1 P2rΔ
y
ชวงเวลาการเปลยนการกระจด”
จากรปเสนทางการเคลอนทของอนภาค 1rจากรปเสนทางการเคลอนทของอนภาค
ในระนาบ xy เมอเวลา t1 อนภาคอยท
ตาแหนง P1 ซงมการกระจดเปน r1
2r เสนทางการเคลอนท
1 1
และเมอเวลา t2 อนภาคนอยทตาแหนง
P2 ซงมการกระจดเปน r2
xO
2
ความเรวเฉลยของอนภาคในชวงเวลา
t1 และ t2
12
ttrr
trvav −
−=
ΔΔ
=1 2 12 tttΔ
4
![Page 5: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/5.jpg)
ถาใหเวกเตอรทงสองมองคประกอบเวกเตอรดงตอไปน
jyixr ˆˆ +
jyixr
jyixrˆˆ
222
111
+=
+=
จะไดความเรวเฉลย
( ) ( )1212ˆˆ jyyixxrvav
−+−=
Δ=
12 tttav −Δ
5
![Page 6: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/6.jpg)
จากนยามความเรวขณะหนง คอ “ความเรวของวตถขณะเวลาใดๆ ซงหาไดจากการ
เปลยนตาแหนงของวตถในชวงเวลาทส นมากๆ จนเขาสศนย”เปลยนตาแหนงของวตถในชวงเวลาทสนมากๆ จนเขาสศนย
ความเรวขณะหนงคอ
kdtdzj
dtdyi
dtdx
dtrd
trv
tˆˆˆlim
0⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
ΔΔ
=→Δ
เขยนเปนเวกเตอรความเรวไดดงน
dtdtdtdtt ⎠⎝⎠⎝⎠⎝Δ
kvjvivv zyxˆˆˆ ++= j zyx
6
![Page 7: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/7.jpg)
องคประกอบของเวกเตอรความเรวหาไดจาก
d ddtdxvx =
dtdyvy =
dtdzvz =
ขนาดของเวกเตอรความเรว หรออตราเรวหาไดจาก
222zyx vvvv ++= zyx
7
![Page 8: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/8.jpg)
จากนยามความเรงเฉลย คอ “อตราสวนระหวางการเปลยนแปลงความเรว กบ ใ ใ ป ”
P1
y
1v1v
vΔชวงเวลาทใชในการเปลยนความเรว”
จากรปแสดงเสนทางการเคลอนทในระนาบ xy ของอนภาคหนง ซงเมอเวลา
P2
1r2v
2v vΔ
ระนาบ xy ของอนภาคหนง ซงเมอเวลา t1 อนภาคอยทตาแหนง P1 และมความเรวเปน v1
2r1
เสนทางการเคลอนท1
และเมอเวลา t2 อนภาคอยทตาแหนง P2 และมความเรวเปน v2
xO
ความเรงเฉลยของอนภาคในชวงเวลา t1และ t2 คอ
12 vvva −=
Δ=
8
12 tttaav −
=Δ
=
![Page 9: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/9.jpg)
จากนยามความเรงขณะหนง คอ “การเปลยนแปลงความเรวทขณะเวลาใด ๆ หรอ
ในชวงเวลาสนๆ จนเขาสศนย”ในชวงเวลาสนๆ จนเขาสศนย
vdvΔlidtt
at
=Δ
=→Δ 0
lim
จากเวกเตอรความเรวจะไดความเรงขณะหนงคอ
dvdvdvvd ˆˆˆ kdtdvj
dtdv
idtdv
dtvda zyx ˆˆˆ ++==
9
![Page 10: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/10.jpg)
เวกเตอรความเรง
ˆˆˆ
ป
kajaiaa zyxˆˆˆ ++=
องคประกอบของเวกเตอรความเรง
222 zddvyddvxddv y222 ,,
dtzd
dtdva
dtyd
dta
dtxd
dtdva z
zy
yx
x ======
ขนาดของเวกเตอรความเรง
222zyx aaaa ++=
10
![Page 11: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/11.jpg)
ตวอยางท ตวอยางท 33--1 1 วตถเคลอนทตามเสนทางโดยมคาตามแนวแกนทงสองคอ
x = 5t2 และ y = 2 sin 2t เมอ t แทนเวลา ณ ขณะใด ๆ จงคานวณหาx = 5t และ y = 2 sin 2t เมอ t แทนเวลา ณ ขณะใด ๆ จงคานวณหา
ความเรว และความเรงชวขณะของอนภาค
จากโจทยใหองคประกอบเวกเตอรบอกตาแหนงของวตถทเวลา t ใดๆ ดงนน
องคประกอบเวกเตอรขณะหนงหาไดโดยองคประกอบเวกเตอรขณะหนงหาไดโดย
( ) ttddxvx 105 2 === ( )dtdtx
( ) ttddyv 2cos42sin2( ) ttdtdt
yvy 2cos42sin2 ===และ
ไ ˆˆ
11
เขยนเปนเวกเตอรความเรวไดดงน jtitv ˆ2cos4ˆ10 +=
![Page 12: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/12.jpg)
จากองคกอบเวกเตอรความเรว นามาหาองคประกอบเวกเตอรขณะหนงไดโดย
dd ( ) 1010 === tdtd
dtdva x
x
( ) ttdtd
dtdv
a yy 2sin82cos4 −===และ ( )
dtdty
เขยนเปนเวกเตอรความเรงไดดงนเขยนเปนเวกเตอรความเรงไดดงน
jtia ˆ2sin8ˆ10= jtia 2sin810 −=
12
![Page 13: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/13.jpg)
โพรเจคไทล (Projectile Motion) เปนการเคลอนทในสองมต ภายใตความเรงโนมถวง (Gravitational Force) ของโลก
โดยมเงอนไข คอ ความเรวในแนวระดบมคาคงท หรอความเรงในแนวระดบมคาป ไ เปนศนย ไมคานงถงแรงเสยดทาน ความโคง และการหมนของโลก
ดงนนจงเหลอแคความเรงในแนวดงซงดงนนจงเหลอแคความเรงในแนวดงซงกคอคา g ซงเปนแบบจาลองโพรเจคไทลในอดมคต
13
![Page 14: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/14.jpg)
yจากรปแสดงการเคลอนทของอนภาค
หนงในระนาบ xy โดยใหอนภาคนม
vyv xx uvv ==
v xx uv =θ
ความเรวตนเทากบ u มทศทามม θ0
กบแนวระดบ uv =
yuxx uv = vyv
เขยนองคประกอบความเรวตนไดเปน
0cosθuux =
xu
xx uv =0θ
0θθ −=
x0
0
sinθuuy
x
=x
vyy uv −=
14
![Page 15: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/15.jpg)
y
vyv xx uvv ==
uv =
จากเงอนไขการเคลอนทแบบโพรเจคไทลจะได
วา ax = 0 และ ay = -g
uv =yu
xx uv = vyv xx uv =θ
หาตาแหนงและความเรวทเวลาใดๆ ของ
อนภาคไดจากสมการการเคลอนทดวย
xx uv =0θ
x
ความเรงคงท โดยสามารถแยกคดในแตละ
องคประกอบxu
vyy uv −= 0θθ −=
พจารณาความเรวและตาแหนงในแนวระดบ (แกน x)
เนองจากความเรงมคาเปนศนยดงนนความเรวของวตถในแนวนไมเปลยนแปลง
0cosθuuv xx ==
15
และ ( )tutvx x 0cosθ==
![Page 16: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/16.jpg)
พจารณาความเรวและตาแหนงในแนวดง เนองจากความเรงในแนวนมขนาด
เทากบความเรงโนมถวง แตมเครองหมายเปนลบ จะได
gtugtuv yy −=−= 0sinθ
ตาแหนงในแนวดงทเวลา t ใดๆ
( ) 22 1sin1 gttugttuy == θ( )0 2sin
2gttugttuy y −=−= θ
สมการแสดงเสนทางการเคลอนทของโพรเจกไทล ไดจากการแทนคา t ซงสมการแสดงเสนทางการเคลอนทของโพรเจกไทล ไดจากการแทนคา t ซง
cosθuxt =
0cosθu
( )2
1sin ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
θ xgxuy16
( )00
0 cos2cossin ⎟⎟
⎠⎜⎜⎝
−=θθ
θu
gu
uy
![Page 17: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/17.jpg)
จะได ( ) 2220 cos2
tan xu
gxyθ
θ −=0cos2u θ
เทยบกบสมการทวไปของเสนโคงพาราโบลาร 2cxbxy = เมอ b และ c เปนคาคงท เทยบกบสมการทวไปของเสนโคงพาราโบลาร cxbxy −= เมอ b และ c เปนคาคงท
ดงนนเสนทางการเคลอนทของโพรเจคไทลเปนโคงแบบพาราโบลาร
17
![Page 18: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/18.jpg)
ความสงทสดทวตถสามารถเคลอนทไดหาไดจากสมการ
gtuvy −= 0sinθ
เมอวตถเคลอนทไปถงจดสงสดจะหยดนงขณะหนงกอนจะเคลอนทกลบลงมา
ดงนนความเรวในแนวดง ณ ตาแหนงนจะมคาเปนศนย
gtu =0sinθ
0cosθuxt =แต
0
จะไดuux 2sincossin 0
200
2 θθθ==
18
จะได ggx
2==
![Page 19: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/19.jpg)
( ) 2
0220 cos2
tan xu
gxyθ
θ −=จากสมการ0cos2u θ
เมอแทนดวยคา x จะได
uy2sin 0
22
maxθ
=g2max
ระยะทางทไกลทสดทวตถสามารถเคลอนทไดคอ
guR 0
2 2sin θ=
19
g
![Page 20: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/20.jpg)
ตวอยางท ตวอยางท 33--2 2 นกกรฑาขวางคอนมความสามารถเหวยงคอนไดใน
อตราเรวสงสด 5 เมตร / วนาท เขาจะสามารถขวางคอนไปไดไกลทสดอตราเรวสงสด 5 เมตร / วนาท เขาจะสามารถขวางคอนไปไดไกลทสด
หางจากจดทเขายนอยกเมตร ถาไมคดแรงเสยดทานอากาศและความสง
ของนกกรฑา
uR 02 2sin θ
จากสมการ gR 0=
จะไดระยะไกลทสดเมอขวางทามม 45๐ กบแนวระดบซงจะไดจะไดระยะไกลทสดเมอขวางทามม 45๐ กบแนวระดบซงจะได
uR2
gR =
จากโจทย 5 เมตร/วนาท( ) 525 2
R เมตร
20
จากโจทย u = 5 เมตร/วนาท( ) 5.2
8.9==R เมตร
![Page 21: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/21.jpg)
ตวอยางท ตวอยางท 33--33 ชายคนหนงขวางกอน
หนออกไปจากดาดฟาตกสง กอนหน
พงออกจากมอดวยทศทามม กบแนว
ระดบ และมอตราเรวเรมตน ดงแสดง
ในรป ถาตกนสง จงหา 1) ตองใชเวลานานเทาใดหลงจากท
ขวางออกไป ทกอนหนนจะตกถง
พนดน2) อตราเรวสดทายของกอนหนท
กระทบพน
21
![Page 22: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/22.jpg)
1) พจารณาการเคลอนทในแนวระดบ x และ แนวดง y
( )( ) 3.170.30cos0.20cos 0 === θuux m/s
( )( )( ) 0.100.30sin0.20sin 0 === θuuy m/s
หาคา t ไดจากสมการหาคา t ไดจากสมการ
20 2
1 gttuyy y −+=2
เมอ y = -45 m
( ) ( ) 2891010045 ( ) ( ) 28.9210.10045 tt −+=−
224=t วนาท
22
22.4=t วนาท
![Page 23: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/23.jpg)
2) จากสมการ gtuv yy −=
แทนคา t จากขอ 1) จะได
( ) ( )( ) 4.3122.48.90.10 −=−=yv เมตร/วนาท
ใ แตความเรวในแนวระดบ (ตามแกน x) มคาคงทหรอ
3.17== uv เมตร/วนาท3.17xx uv
อตราเรวของกอนหนคอขนาดของเวกเตอรความเรวหาไดจาก
( ) 9.354.313.17 2222 =−+=+= yx vvv เมตร/วนาท
23
![Page 24: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/24.jpg)
24
![Page 25: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/25.jpg)
1v vsΔ ΔΔ Δ1
1
or v sv R R
= Δ = Δ
ดงนนขนาดความเรงเฉลยในชวงเวลาใดๆ มคาดงนนขนาดความเรงเฉลยในชวงเวลาใดๆ มคา
1av
v v sat R t
Δ Δ= =
Δ Δt R tΔ Δ
25
![Page 26: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/26.jpg)
ขนาดความเรง a ทจด P ใดๆ จะไดขนาดความเรง a ทจด P ใดๆ จะได
1 1v vs sΔ Δ1 1
0 0lim limt t
v vs saR t R tΔ → Δ →
Δ Δ= =
Δ Δ
และจาก lim sv Δ=และจาก 0
limt
vtΔ →
=Δ
แตจาก v คออตราเรวท P ซงเปนจดใดๆ กไดเพราะอตราเรวมคาเทากน จงได แตจาก v1 คออตราเรวท P1 ซงเปนจดใดๆ กไดเพราะอตราเรวมคาเทากน จงได
และความเรงทไดนมทศเขาสศนยกลาง
2va26
aR⊥ =
![Page 27: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/27.jpg)
ในเวลา T วตถเคลอนทไดระยะทางเทากบเสนรอบวงของวงกลม
2 RvTπ
=T
ดงนนเราสามารถหาความเรงไดอกรปแบบหนงคอ
24 Ra π⊥ = 2a
T⊥
27
![Page 28: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/28.jpg)
ตวอยางท ตวอยางท 33--44 ดวงจนทรหมนรอบโลกครบรอบใชเวลา 27.3 วน สมมต
ใหวงโคจรเปนวงกลมมรศมความโคง 3 82 x 108 เมตร จงคานวณหาใหวงโคจรเปนวงกลมมรศมความโคง 3.82 x 10 เมตร จงคานวณหา
ขนาดของความเรงของดวงจนทรเขาสโลก
คาบการโคจรของดวงจนทรรอบโลก T = 27.3 วน เปลยนใหเปนหนวยวนาทไดเปน
( ) hour min s27.3 day 24 60 60day hour min
T ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
62.36 10= × วนาท
ความเรงเขาสศนยกลางความเรงเขาสศนยกลาง
( )( )
2 223 2
22 6
4 3.82 10 m4 2.71 10 m/sRaT
ππ −⊥
×= = = ×
28
( )22 62.36 10 sT ×
![Page 29: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/29.jpg)
จากนยามของความเรวสมพทธของการเคลอนทในแนวเสนตรง
เราหาความเรวสมพทธของการเคลอนทในระนาบไดจากนยามเดยวกน ดวยการบวก
เวกเตอร
ความเรวกระแสนาความเรวเรอ
สมพทธกบพน v ความเรวกระแสนา
สมพทธกบพน Vสมพทธกบพน v
ความเรวเรอสมพทธ
กบกระแสนา v’
v v V′= +29
![Page 30: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/30.jpg)
ตวอยางท ตวอยางท 33--55 เครองบนลาหนงบนไปทางทศเหนอ เขมชความเรวอยท
240 km/hr ลมพดดวยความเรว 100 km/hr ไปทางทศตะวนออก 240 km/hr ลมพดดวยความเรว 100 km/hr ไปทางทศตะวนออก
ความเรวของเครองบนสมพทธกบโลกจะมคาเปนเทาไร
V = 100 km/hr
v v V′= +จาก
v’ = 240 km/hr v = ?2 2v v V′= +ซงจากรปv = 240 km/hr
2 2240 100= +θ
260= km/hr
30
โดยมทศทามม θ กบทศเหนอ หาคามม 1 100tan 22.6240
θ −= =
![Page 31: 03 Two Dimension of Motion](https://reader034.vdocument.in/reader034/viewer/2022051413/55291ad74a7959bd158b45e2/html5/thumbnails/31.jpg)
31