04-interpolación

8/17/2019 04-Interpolación

1/26

Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Delta

Teórico deCÁLCULO AVANZADO

2015

Tema: INTERPOLACIÓN

Objetivos de aprendizaje• Comprender el concepto de aproximación por Interpolación exacta.• Conocer las ventajas de la Interpolación Polinómica.• Comprender porqué todos los métodos de Interpolación Polinómica son equivalentes.• Comprender cómo varía el error de interpolación con la ubicación del punto desconocido

respecto a los puntos de interpolación usados.• Comprender el concepto de aproximación por Interpolación de Hermite y cuándo usarla.• Comprender el concepto de aproximación por Interpolación a trozos y cuándo usarla.• Conocer los tipos de trazadores cúbicos y comprender cómo se calculan.• Comprender cómo se extienden estos métodos a varias variables.

Germán BRESCIANO


2/26

4 INTERPOLACIÓN ..................................................... ........................................................... .........4-1

4.1 INTRODUCCIÓN ..........................................................................................................................4-1 4.1.1

Tipos de aproximaciones ................................................... ................................................4-2

4.1.1.1 Aproximaciones polinómicas ....................................................................................................... 4-3

4.2

INTERPOLACIÓN POLINÓMICA.....................................................................................................4-3

4.2.1 Existencia del polinomio interpolador ..............................................................................4-3

4.2.2 Unicidad del polinomio interpolador ................................................................................4-4

4.2.3 Error de interpolación ....................................................... ................................................4-4

4.2.4

Interpolación de Lagrange .......................................................... ......................................4-5

4.3

INTERPOLACIÓN DE HERMITE ..................................................... ................................................4-7 4.3.1 Existencia del polinomio interpolador de Hermite ................................................... .........4-7

4.3.2

Unicidad del polinomio interpolador de Hermite .............................................................4-8

4.3.3 Error de interpolación de Hermite ........................................................ ............................4-8

4.4 INTERPOLACIÓN A TROZOS .........................................................................................................4-9 4.4.1

Interpolación de Hermite a trozos ......................................................... ..........................4-10

4.4.2 Interpolación por trazadores cúbicos (Splines cúbicos) ..................................................4-11 4.4.2.1 Spline natural ............................................................................................................................. 4-13

4.4.2.2

Pendiente forzada ....................................................................................................................... 4-13

4.4.2.3

Curvatura extrapolada ................................................................................................................ 4-14

4.5

FUNCIONES DE FORMA ELEMENTALES ............................................................ ..........................4-16 4.5.1 Elementos Lineales ............................................................ ..............................................4-16

4.5.2

Elementos Cuadráticos ...................................................... ..............................................4-17

4.5.3 Elementos Hermíticos ........................................................ ..............................................4-17

4.6 INTERPOLACIÓN EN 2D Y 3D ...................................................... ..............................................4-17 4.6.1 Interpolación en triángulos ......................................................... ....................................4-18

4.6.1.1 Triángulos de 1° orden (3 nodos) ............................................................................................... 4-18 4.6.1.2 Triángulos de 2° orden (6 nodos) ............................................................................................... 4-19

4.6.2 Interpolación en tetraedros ......................................................... ....................................4-19 4.6.2.1 Tetraedro de 1° orden (4 nodos) ................................................................................................. 4-20 4.6.2.2 Tetraedro de 2° orden (10 nodos) ............................................................................................... 4-20

4.6.3 Interpolación en cuñas ...................................................... ..............................................4-20

4.6.3.1

Cuña de 1° grado (6 nodos) ........................................................................................................ 4-21 4.6.3.2 Cuña de 2° grado (15 nodos) ...................................................................................................... 4-21

4.6.4 Interpolación en cuadriláteros .................................................... ....................................4-21 4.6.4.1 Cuadrilátero lineal (4 nodos) ...................................................................................................... 4-22 4.6.4.2 Cuadrilátero de segundo grado (8 nodos) ................................................................................... 4-22

4.6.5 Interpolación en hexaedros () ...................................................... ....................................4-23 4.6.5.1 Hexaedro lineal (8 nodos) .......................................................................................................... 4-23 4.6.5.2 Hexaedro cuadrático (20 nodos) ................................................................................................. 4-24


3/26

Interpolación 4-1

4 Interpolación

4.1 Introducción

Interpolación es el cálculo (o más bien estimación) de valores de una función tabulada en

puntos que no están en la tabla.Antiguamente esto era muy importante, por ejemplo para evaluar la posición de un planeta enun momento dado a partir de una tabla de posiciones observadas. También se utilizaba paracalcular por ejemplo el valor de un logaritmo o el seno de un ángulo pues sólo se disponía detablas de dichas funciones, que alguien había calculado a mano con gran esfuerzo.Actualmente las calculadoras evalúan estas funciones por métodos numéricos y lainterpolación no se necesita para ello, sin embargo la interpolación es la base teórica para otrosmétodos numéricos como derivación, integración o resolución de ecuaciones diferenciales.

El problema de interpolación consiste en que se parte de una función cuyos valores sólo seconocen en una cantidad finita de puntos, llamado nodos , dentro de un dominio (un intervalo sif:R →R ) y se desea predecir cuánto valdrá la función en un punto que no está en la tabla (o seaque no es un nodo).

En algunos casos podría disponerse también de valores de algunas derivadas de la función enlos nodos.La idea en la interpolación polinómica es aproximar la función tabulada por un polinomio quecoincida con la función en los nodos, suponiendo que se comportará en forma semejante a ellaen todo el intervalo tabulado y por tanto los valores que toma el polinomio en puntos notabulados serán estimaciones razonables de los valores de la función en dichos puntos.El problema con esto es que los polinomios de bajo grado se comportan en forma “suave” portanto si los datos tabulados no son “suaves” se necesitarán polinomios de mayor grado paraque se ajusten a las “irregularidades” locales. Pero estos polinomios no ajustarán bien en laszonas en que la función tenga un comportamiento “suave”.En la Figura 4-1 se muestra el resultado de interpolar una función que no es “suave” con unpolinomio de grado 4 y uno de grado 20.

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Polinomio grado 20 Tabla Polinomio grado 4

Figura 4-1 Interpolación de f(x)=1/(1+25x2)


4/26

Interpolación 4-2

Como se ve el polinomio de grado 20 ajusta bien en la zona central pero tiene grandes erroresen los extremos del intervalo, mientras que el polinomio de grado 4 tiene un ajuste mediocre entodo el intervalo.Una solución a esto será ajustar las distintas regiones con distintos polinomios, perodeberemos resolver el problema de que las “uniones” entre los distintos polinomios seanadecuadas (para evitar, por ejemplo, pendientes discontinuas en los puntos de unión de las

regiones). Esto se logra con polinomios especiales llamados splines .En otros casos los valores tabulados no son valores exactos de una función sino que sonmedidas experimentales afectadas de errores. Inclusive podríamos tener varios valoresdiferentes tabulados para un mismo valor de la variable independiente. En estos casos noqueremos que la aproximación se ajuste exactamente a los valores tabulados puesreproduciría los errores. Lo que deseamos es hallar la aproximación (polinómica o de otro tipo)que “mejor se ajuste” a los valores verdaderos sin error. Esto se logra con la técnica demínimos cuadrados, que maximiza la probabilidad de obtener los datos tabulados.

EjemploLa nave NCC 1701E fue enviada a la zona neutral a interceptar una sonda romulana (de la cualse conoce su trayectoria exacta, que cruzará a la de la nave en el instante 10.0 en lacoordenada 745) pero su equipo de comunicación subespacial está averiado, por lo que no sesabe si en el momento que la sonda cruzó su trayectoria la nave estaba dentro del rango delrayo tractor (5 unidad de coordenadas).Sin embargo el Comandante Data ha enviado datos de telemetría que nos pueden servir paraaveriguarlo:

Tiempo 0 3 5 8 13Coordenada 0 225 383 623 993Velocidad 75 77 80 74 72

Tabla 4-1 Datos de telemetría del NCC 1701E

4.1.1 Tipos de aproximacionesPara “estimar” el valor de una función tabulada en un punto que no está tabulado, vamos aaproximar a la función por una combinación (generalmente una combinación lineal) de unacantidad finita de funciones aproximantes llamadas “funciones de forma” de alguna clase quepodamos calcular.Usualmente las funciones de forma son polinomios, pero también podrían ser por ejemplo,funciones de Fourier (sen (kx ) y cos (kx ) con k=1,2,…,n ) u otra familia de funciones.Si las funciones de forma son g 1, g 2 ,…, g n ,

4-1 ( ) ( ) ( ) x E xga x f n

j

j j += ∑=1

Trataremos de hallar los coeficientes a j de modo tal que el error E (x ) sea “pequeño”.La clave del problema está en el criterio para medir cuan “pequeño” es el error y cómo calcularlos coeficientes para que E (x ) sea mínimo.Los tres métodos más importantes son:

1. Interpolación exacta: Los coeficientes se eligen para que la aproximación (yeventualmente algunas derivadas) sea exacta en los nodos.

2. Mínimos cuadrados: Los coeficientes se eligen para minimizar la suma del cuadrado deerrores en los nodos.

3. Mínimo error máximo: Los coeficientes se eligen para minimizar el máximo valor absolutodel error en un intervalo dado.

De estos métodos, la interpolación exacta es el más fácil de analizar y de estimar el error.


5/26

Interpolación 4-3

4.1.1.1 Aproximaciones polinómicasEs el caso en el que las funciones de forma son polinomios, que tienen múltiples ventajas:• Pueden evaluarse directamente en una computadora mediante operaciones aritméticas. (1)• Si se hace un cambio del origen de coordenadas o un cambio de escala, la aproximación

sigue siendo un polinomio.• La clase de los polinomios es completa sobre [a,b ], es decir que para cualquier función

continua en [a,b ], dado ε>0 existen n natural y P polinomio de grado n tales queε


6/26

Interpolación 4-4

Esto se puede plantear como hallar a 0 , a 1, …, a n tales que

4-2 ( ) ( ) ( ) x E xP x f n +=

con ( ) ( ) ,n , ,k x E y xa xP k n

j

j jn L21,00

0

=∀==∑=

Una forma directa de atacar este problema sería evaluar 4-2 en cada uno de los nodos, dondeel error debe ser nulo, obteniendo el sistema lineal:

=++++

=++++

=++++

n

n

nnnn

n

n

n

n

f xa xa xaa

f xa xa xaa

f xa xa xaa

L

M

L

L

2210

11212110

00202010

que se puede escribir como

4-3

=

nnn

nnn

n

n

f

f

f

a

a

a

x x x

x x x

x x x

MM

L

MOMMM

L

L

1

0

1

0

2

1211

0200

1

1

1

La matriz de este sistema lineal es una matriz de Vandermonde, cuyo determinante es

∏≤


7/26

Interpolación 4-5

Si f tiene derivada n+1 continua en un intervalo que contenga a x y a los nodos, entonces F también tiene derivada n+1 continua en ese intervalo y, aplicando el teorema de Rolle n+1 veces concluimos que F (n+1) tendrá al menos una raíz en dicho intervalo.Sea θ dicha raíz, entonces

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )n

nn

x x x x x x

n

x E f F −−−

+

−==

++

L10

)1()1( !1

0 θ θ

y despejando:

4-4 ( )( ) ( ) ( )

( )!n

f x x x x x x x E

)(n

n 1

θ)(

1

10+

−−−=+

L

Obsérvese que 4-4 se verifica también cuando x es un nodo.Esto demuestra que si x 0 , x 1, …, x n son nodos diferentes de [a,b ] y f ∈C

n+1[a,b ] entonces

x ∈

[a,b ] (x )∈

[a,b ] / el error del polinomio interpolador de f por x 0 , x 1, …, x n verifica 4-4.

En general la derivada n+1 de f no se conoce, pero 4-4 nos permite sacar varias conclusiones:• Si f es “suave” (sus derivadas superiores son pequeñas en valor absoluto) un polinomio de

grado bajo la interpolará satisfactoriamente.• Si f es “irregular” (sus derivadas superiores toman valores absolutos grandes) habrá

mayores errores de interpolación.• El error de interpolación será mínimo en la zona central del intervalo tabulado y máximo

cerca de los extremos.• El error de extrapolación (cuando x está fuera del intervalo tabulado) es mayor que el de

interpolación.

4.2.4 Interpolación de LagrangeEl problema de resolver el sistema 4-3 es que la matriz de Vandermonde es mal condicionadalo cual puede dar altos errores de cálculo. Además si queremos agregar un nuevo punto a la

tabla, para obtener el nuevo polinomio debemos rehacer todo otra vez. Afortunadamente, comoel polinomio interpolador es único, cualquier método de cálculo que nos dé un polinomiointerpolador es igualmente válido.Si en lugar de plantearse el polinomio interpolación como una combinación lineal de potenciasde x lo planteamos como una combinación lineal de polinomios de grado n , lo ideal sería queestos polinomios fueran tales que, al sustituir la x por cada nodo para obtener el sistema deecuaciones que determine los coeficientes de la combinación lineal, en lugar de una matriz deVandermonde obtengamos una matriz identidad.De este modo, no sólo eliminamos el mal condicionamiento sino que la solución será trivial, loscoeficientes de la combinación lineal serán simplemente los valores de f en la tabla, f k .Esto lo logra el método de interpolación de Lagrange al plantearse el polinomio interpolacióncomo una combinación lineal de polinomios de grado n , cada uno de los cuales vale 1 en unnodo y cero en los demás, es decir

4-5 ( ) ( ) ( ) ( )

≠

=== ∑

= jisi

jisi xl / ngrdode polinomio xlcon xlc xP i j j

n

j

j jn 0

1

0

Obsérvese que combinando 4-2 y 4-5 en los nodos se tiene

( ) ( ) ( ) ,n , ,k c xlc xP x f f k n

j

k j jk nk k L21,000

=∀==+== ∑=

por lo que 4-5 puede escribirse simplemente

4-6 ( ) ( )∑=

=n

j

j jn xl f xP0


8/26

Interpolación 4-6

Figura 4-4 k-simo Polinomio interpolador de Lagrange de orden n

Hallar los polinomios interpoladores de Lagrange es sencillo si consideramos que el polinomiolk debe tener una factorización de la forma

)())(())(()( 1110 nk k k x x x x x x x x x x A xl −−−−−= +− LL

y como en l k (x k ) debe valer 1 entonces

4-7)())(())((

)())(())(()(

1110

1110

nk k k k k k k

nk k k

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x xl

−−−−−

−−−−−=

+−

+−

LL

LL

A continuación se muestra el código de este algoritmo:

for k=1:n+1 //calcula los polinomios de Lagrange en xl(k)=1for i=1:n+1

if ik then l(k)=l(k)*(x-xtabla(i))/(xtabla(k)-xtabla(i))end

endp=ytabla*l’ //combina los polinomios con ytabla

EjemploA partir de los datos de la Tabla 4-1 podemos interpolar la coordenada para tiempo igual a 10:

1346.052

7

1560

210

)130)(80)(50)(30(

)1310)(810)(510)(310()10(0 −=

−=

−=

−−−−

−−−−=l

1300

300

)133)(83)(53)(03(

)1310)(810)(510)(010()10(1 ==

−−−−

−−−−=l

75.1

240

420

)135)(85)(35)(05(

)1310)(810)(310)(010()10(2 −=

−=

−−−−

−−−−=l

75.1600

1050

)138)(58)(38)(08(

)1310)(510)(310)(010()10(3 ==

−−−−

−−−−=l

1346.052

7

5200

700

)813)(513)(313)(013(

)810)(510)(310)(010()10(4 ===

−−−−

−−−−=l

67.7781346.099375.162375.138312251346.00)10(4 =⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−=P

lo cual implica que la sonda, aparentemente, no pudo ser interceptada.


9/26

Interpolación 4-7

4.3 Interpolación de Hermite

4.3.1 Existencia del polinomio interpolador de HermiteSe tiene una tabla de valores de una función f y su derivada f’ no afectados de error en n+1nodos diferentes, o sea que se conocen (x 0 ,f 0 ,f’ 0 ), (x 1,f 1,f’ 1), (x 2 ,f 2 ,f’ 3 ), …, (x n ,f n ,f’ n ), donde f k =f (x k )

y f’ k =f’(x k ) ∀ k=0,1,2,…,n y x i ≠ x j ∀ i ≠ j En este caso se desea hallar un polinomio, H(x), del menor grado posible que coincida con losvalores tabulados, o sea

4-8 ( ) ( ) ( ) x E x H x f +=

con

4-9( ) ( )( ) ( )

,n , , j x f' x H'

x f x H

j j

j jL21,0=∀

=

=

H(x) se llama Polinomio Interpolador de Hermite de f por x 0 , x 1, …, x n .Tenemos 2n+2 condiciones a cumplir y en principio bastaría con un polinomio que tenga 2n+2

coeficientes, por lo que es lógico pensar que el grado de este polinomio no será mayor que2n+1.Veremos que el siguiente polinomio de grado 2n+1 verifica 4-9:

4-10 ( ) ( ) ( )∑∑==

+ +=n

j

j j

n

j

j jn xh f xh f x H 00

12ˆ'

donde

4-11 ( ) )()(')(21)( 2 xl xl x x xh j j j j j −−=

4-12 (4) )()()(ˆ 2 xl x x xh j j j −=

siendo l j es el j-simo polinomio interpolador de Lagrange definido en 4-7 y l’ j su derivada (5).

Para ello calcularemos )(ˆ)( i ji j xh y xh :

( ) [ ]

=≠

====⋅−=−−=

0)(0

1)(1101)()(')(21)( 2

j j

i j ji

i j j j jii j xl pues jisi

xl y x x pues jisi xl xl x x xh

jii ji j jii j x xo xl pues xl x x xh ===−= 0)(0)()()(ˆ 2

por tanto ( ) ( ) ,n , ,i x f f f f x H in

j

ji

n

i j

j jin

L21,00'1000

12 =∀=⋅+⋅+⋅= ∑∑=

≠

=+

y sus derivadas primeras.

( ) =⋅−−+−= )(')(2)(')(21)()('2)(' 2 i ji j j j jii j j ji j xl xl xl x x xl xl xh

[ ]

[ ]

=≠=⋅⋅⋅−−+⋅−

===+−=⋅⋅⋅−+⋅−=

0)(0)('02)(')(210)('2

0)('2)('2)('12011)('2

2

2

i ji j j j ji j j

jii j j ji j j j

xl pues jisi xl xl x x xl

x x pues jisi xl xl xl xl

4 Los )(ˆ)( xh y xh j j se llaman polinomios de Hermite.

5 puede probarse que

n j j j j j j j

j j x x x x x x x x x x

xl−

++−

+−

++−

+−

=+−

11111)('1110

LL


10/26

Interpolación 4-8

=≠=+

====+=⋅⋅−+=

0)(000

1)(101)(')(2)()()(ˆ

2

2

2

i j

i j ji

i ji j jii ji j

xl pues jisi

xl y x x pues jisi xl xl x x xl xh

por tanto ( ) ( ) ,n , ,i x f f f f x H iin

i j

j j

n

j

jin L21,0'1'0'0'

0012 =∀=⋅+⋅+⋅= ∑∑

≠

==

+

lo cual demuestra que dada una tabla de valores de una función y su derivada por n+1 nodos diferentes, existe un polinomio interpolador H 2 n+1 de grado 2n+1 que coincide conla función y su derivada en los nodos.

4.3.2 Unicidad del polinomio interpolador de HermiteSi existieran dos polinomios interpoladores de Hermite de grado 2n+1 para una tabla de n+1 puntos, entonces la diferencia entre ellos sería un polinomio de grado 2n+1 o menor, que seanularía él y su derivada en los n+1 puntos de la tabla, por tanto tendría n+1 raíces demultiplicidad 2 o mayor, lo que equivaldría a 2n+2 raíces o más.Pero un polinomio de grado 2n+1 no puede tener más de 2n+1 raíces a menos que sea elpolinomio nulo. Esto implica que la diferencia entre los polinomios interpoladores de Hermitedebe ser el polinomio nulo y por tanto dada una tabla de valores de una función y suderivada por n+1 nodos diferentes, existe un único polinomio interpolador de Hermite degrado 2n+1 que coincide con la función y su derivada en los nodos .

4.3.3 Error de interpolación de HermiteQueremos hallar una expresión para el error del polinomio interpolador de Hermite definido en4-8, E(x), en un punto x distinto de los nodos.Para ello consideramos la función auxiliar

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

2

10

10

−−−

−−−−−=

n

n

x x x x x x

xt xt xt x E t H t f t F

L

L

La función F(t) (6) se anula en al menos n+2 valores de t , a saber t=x 0 , x 1, …, x n y x .Si f tiene derivada 2n+2 continua en un intervalo que contenga a x y a los nodos, entonces F también tiene derivada 2n+2 continua en ese intervalo y, aplicando el teorema de Rollededucimos que F’ se anula en n+1 valores de t distintos de t=x 0 , x 1, …, x n y x .Además

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

′

−−−

−−−⋅

−−−

−−−−−=

n

n

n

n

x x x x x x

xt xt xt

x x x x x x

xt xt xt x E t H t f t F

L

L

L

L

10

10

10

102'''

que se anula en t=x 0 , x 1, …, x n , por lo tanto F’ se anula en 2n+2 puntos distintos del intervalo.Aplicando a F’ el Teorema de Rolle 2n+1 veces concluimos que F (2n+2) tendrá al menos una raízen dicho intervalo.Sea θ dicha raíz, entonces

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )[ ]210

)22()22( !220n

nn

x x x x x x

n x E f F

−−−

+−==

++

Lθ θ

y despejando:

4-13 ( )( ) ( )[ ] ( )

( )!n f

x x x x x x x E )n(

n 22

θ)(

222

10+

−−−=+

L

Obsérvese que 4-13 se verifica también cuando x es un nodo.

6 F es función de t, x es un parámetro


11/26

Interpolación 4-9

Esto demuestra que si x 0 , x 1, …, x n son nodos diferentes en [a,b ] y f ∈C 2 n+2

[a,b ] entonces

x ∈

[a,b ] (x )∈

[a,b ] / el error del polinomio interpolador de Hermite de f por x 0 , x 1, …, x n verifica 4-13.

EjemploEn el caso del ejemplo anterior

73525641.01560

1147

130

1

80

1

50

1

30

1)0('0 −=

−=

−+

−+

−+

−=l

46666667.030

14

300

140

133

1

83

1

53

1

03

1)3('1 −=

−=

−=

−+

−+

−+

−=l

24166667.0120

29

240

58

135

1

85

1

35

1

05

1)5('2 −==

−+

−+

−+

−=l

( ) 458333330120

55

600

275

138

1

58

1

38

1

08

183 .l' ===

−+

−+

−+

−=

50192308.0520

261

5200

2610

813

1

513

1

513

1

013

1)13('4 ===

−

+

−

+

−

+

−

=l

[ ]( ) 28459737.01346.0)0(')010(21)10( 200 =−−−= lh

[ ]( ) 53333333.71)3(')310(21)10( 211 =−−= lh

[ ]( ) 33854167.475.1)5(')510(21)10( 222 −=−−−= lh

[ ]( ) 5520833.275.1)8(')810(21)0( 233 −=−−= lh

( ) ( ) ( )[ ]( ) 07269430134601313102110 244 ..l' h =−−=

( ) ( )( ) 18121302013461538.001010ˆ 20 .h =−−=

( ) ( )( ) 7131010ˆ 21 =−=h

( ) ( )( ) 3125.1575.151010ˆ 22 =−−=h

( ) ( )( ) 125675181010ˆ 23 ..h =−=

( ) ( )( ) 05436391.013461538.0131010ˆ 24 −=−=h

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+−⋅+−⋅+⋅+⋅= 552083326233385416743835333333372252845973700199 .... H =−⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+ )05436391.0(72)125.6(74)3125.15(80)7(77)18121302.0(75)0726943.0(993

5742.=

lo cual indicaría que la sonda sí fue interceptada.

4.4 Interpolación a trozos

Como se mencionó en 4.1 si la función a interpolar tiene comportamiento irregular en unaregión y suave en otra, puede ser muy difícil hallar un polinomio que la aproximesatisfactoriamente en ambas regiones. Esto puede superarse usando interpolación polinómicade bajo grado con distintos polinomios en los distintos subintervalos.

Si se tiene una tabla de valores de una función f en n+1 nodos diferentes x 0 , x 1, x 2 , …, x n yordenados y usamos en cada elemento (x i , x i+1) un polinomio interpolador de primer grado,estamos aproximando la función por la poligonal que pasa por los puntos de la tabla.Esto es una interpolación a trozos lineal o spline lineal y tiene el inconveniente de que la

pendiente es discontinua en los nodos.


12/26

Interpolación 4-10

Figura 4-5 Spline lineal

4.4.1 Interpolación de Hermite a trozosSi se conocen también los valores de la derivada primera de la función en los puntos tabulados,se podrían usar en cada elemento (x i , x i+1) un polinomio interpolador de Hermite de tercergrado. Esto nos daría una aproximación con derivada primera continua y que coincide con f y f’ en los nodos.Esto es una interpolación por trazadores hermíticos o splines hermíticos. Veamos cómo aproximar el valor de f en un punto x del elemento (x i , x i+1). Aplicando la fórmula4-10 en este caso queda:

4-14 )(ˆ)(ˆ)()()( 11113 xh f xh f xh f xh f x H iiiiiiii ++++ ′+′++=

Figura 4-6 Funciones de forma hermíticas

2

1

1

1

21)(

−

−

−

−−=

+

+

+ ii

i

ii

ii

x x

x x

x x

x x xh y

2

11

11 21)(

−

−

−

−−=

++

+

+

ii

i

ii

i

i x x

x x

x x

x x xh

2

1

1)()(ˆ

−

−−=

+

+

ii

i

ii x x

x x x x xh y

2

111 )()(ˆ

−

−−=

+

++

ii

iii

x x

x x x x xh

EjemploVolviendo a nuestro ejemplo, queremos aproximar f (10 ).Como x=10 está en el elemento (8,13 ) aplicamos la ecuación 4-14 a ese elemento:


13/26

Interpolación 4-11

( ) 648.0138

1310

138

8102110

2

0 =

−

−

−

−−=h

( ) 352.0813

810

813

1310

2110

2

1 =

−

−

−

−−=

h

( ) ( ) 72.0138

131081010ˆ

2

0 =

−

−−=h

( ) ( ) 48.0813

810131010ˆ

2

1 −=

−

−−=h

96.77148.07272.074352.0993648.0623)10(3 =⋅−⋅+⋅+⋅= H

En Scilab la interpolación de Hermite a trozos puede calcularse conyy=interp(xx,xtabla,ytabla,dtabla)donde

xtabla es el vector de los nodos,ytabla el vector de los y nodales,dtabla el vector de las derivadas nodales yxx es el vector de puntos donde se quiere evaluar el spline.

4.4.2 Interpolación por trazadores cúbicos (Splines cúbicos)La interpolación de Hermite a trozos necesita del conocimiento de la derivada de f en lospuntos tabulados.Si no se conocen estos valores pero se quiere tener una aproximación a trozos con derivada

continua, podríamos lograrlo tratando de hallar qué coeficientes deberían tener los polinomiosinterpoladores para que pasen por los puntos de la tabla y que además la derivada de unpolinomio en el final de su intervalo sea igual a la del siguiente en el comienzo de su intervalo.Esto podría lograrse con polinomios de segundo grado, pero el caso más común es hacerlocon polinomios de tercer grado, a los que además podremos pedirles que también denderivada segunda continua.

Figura 4-7 Splines cúbicos

Si se tiene una tabla de valores de una función f en n+1 nodos diferentes x 0 , x 1, x 2 , …, x n yordenados y usamos en cada elemento (x i , x i+1) un polinomio interpolador de tercer gradogrado, g i (x), queremos que:


14/26

Interpolación 4-12

4-15

−=∀′′=′′

−=∀′=′

−=∀=

−=∀=

+++

+++

++

2,...,2,1,0)()(

2,...,2,1,0)()(

1,...,2,1,0)(

1,...,2,1,0)(

111

111

11

ni xg xg

ni xg xg

ni f xg

ni f xg

iiii

iiii

iii

iii

estas son un total de 4n-2 condiciones y los n polinomios de tercer grado tienen 4n coeficientes, por lo cual usualmente se agregan dos condiciones “de contorno” para determinarlos coeficientes.Si escribimos

4-16iiiiiiii d x xc x xS x xa xg +−+−+−= )()()()(

2213

entonces

iiiiii c x xS x xa xg +−+−=′ )()(3)( 2

iiii S x xa xg +−=′′ )(6)(

si definimos h i =x i+1-x i podemos escribir los valores de g i y sus derivadas en x i y x i+1 según

iii d xg =)( y iiiiiiiii d hchS ha xg +++=+2

213

1)(

iii c xg =′ )( y iiiiiii chS ha xg ++=′ +2

1 3)(

iii S xg =′′ )( y iiiii S ha xg +=′′ + 6)( 1

Sustituyendo estos valores en 4-15 obtenemos

4-17

−=∀=+

−=∀=++

−=∀=+++

−=∀=

+

+

+

2,...,2,1,06

2,...,2,1,03

1,...,2,1,0

1,...,2,1,0

1

12

12

213

niS S ha

nicchS ha

ni f d hchS ha

ni f d

iiii

iiiiii

iiiiiiii

ii

de la primera y cuarta ecuaciones de 4-17 de pueden despejar

4-18 1,...,2,1,0 −=∀= ni f d ii

4-19 2,...,2,1,061 −=∀−

= + nih

S S a

i

iii

Además introducimos una nueva variable Sn que verifique 4-19 para i=n-1 y sustituyendo en lasrestantes ecuaciones de 4-17 eliminamos estas incógnitas y queda

−=∀=++

−

−=∀=+++

−

++

+

+

2,...,2,1,06

3

1,...,2,1,06

121

12

2131

nicchS hh

S S

ni f f hchS hh

S S

iiiii

i

ii

iiiiiii

i

ii

de la primera de estas ecuaciones y definiendo ∆f i =f i+1-f i , podemos despejar


15/26

Interpolación 4-13

4-20 ( ) 1,...,2,1,06

2 1 −=∀+−∆

= + nih

S S h

f c iii

i

ii

y sustituir en la segunda llegando a

4-21 ( ) 2,...,2,1,062 1

12111 −=∀

∆−

∆

=++++

+

++++ nih

f

h

f

S hS hhS hi

i

i

i

iiiiiii

En cada caso se resuelve el sistema para obtener S 0 ,S 1,…,S n y luego se calculan loscoeficientes a i , c i y d i con las ecuaciones 4-19, 4-20 y 4-18 para calcular la aproximación en xcon 4-16.

Para poder resolver este sistema hay que fijar dos condiciones más, que usualmente sonalgunas de las siguientes:

4.4.2.1 Spline naturalSe toma S 0 =0 y S n =0 . O sea que la curvatura (g” ) tienda a cero en los extremos del intervalo.Agregando estas ecuaciones a 4-21 se obtiene el siguiente sistema tridiagonal

( )

( )

( )

( )

∆−

∆

∆−

∆

∆−

∆

=

+

+

+

+

−

−

−

−−−−−−

0

0

6

100000

2000

00200

0020

0002

000001

2

2

1

1

1

1

2

2

0

0

1

1

1

3

2

1

0

1122

3322

2211

1100

n

n

n

n

n

nnnnn

h

f

h

f

h

f

h

f

h

f

h

f

S

S

S

S

S

S

hhhh

hhhh

hhhh

hhhh

M

MM

L

L

MMOLMMM

L

L

L

En Scilab el spline de curvatura extrapolada puede evaluarse con la función splin que calculael vector de valores de la derivada (c i , i=0,1,,,,,n-1)

c = splin(xtabla,ytabla,”natural”)

y con él se aplica la función interp que hace la interpolación de Hermite a trozos mediante

yy=interp(xx,xtabla,ytabla,c)

dondextabla es el vector de los x tabulados,ytabla el vector de los y tabulados yxx es el vector de puntos donde se quiere evaluar el spline.

4.4.2.2 Pendiente forzadaCuando se conocen los valores de f’ en los extremos del intervalo (f’ 0 y f’ n ) entonces se fuerza

( )

′−

∆=+⇒′=+−

∆==′ 0

0

010000

010

0

0000 626

2)( f h

f S hS h f

hS S

h

f c xg

( ) ⇒′=+−∆

++−

=++=′ −−−

−−−−

−

−−−−−−− n

nnn

n

nnnn

n

nnnnnnnnn f

hS S

h

f hS h

h

S S chS ha xg

62

633)( 11

1

111

21

1

1111

2111

4-22

∆−′=+

−

−

−−−

1

1111 62

n

nnnnnn

h

f f S hS h


16/26

Interpolación 4-14

Agregando estas ecuaciones a 4-21 se obtiene el siguiente sistema tridiagonal

( )

( )

( )

( )

∆−′

∆−

∆

∆−∆

∆−

∆

′−∆

=

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−−

−−

−−−−

1

1

2

2

1

1

1

1

2

2

0

0

1

1

00

0

1

3

2

1

0

11

1122

3322

2211

1100

00

6

20000

2000

00200

0020

0002

00002

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nn

nnnn

h

f f

h

f

h

f

h f

h f

h

f

h

f

f h

f

S

S

S

S

S

S

hh

hhhh

hhhh

hhhh

hhhh

hh

M

M

M

L

L

MMOLMMM

L

L

L

En Scilab el spline con pendientes forzadas puede evaluarse con

c = splin(xtabla,ytabla,”clamped”,[pi pf])yy=interp(xx,xtabla,ytabla,c)

dondextabla es el vector de los x tabulados,ytabla el vector de los y tabulados,

pi y pf son las pendientes inicial y final que se quieren forzar yxx es el vector de puntos donde se quiere evaluar el spline.

4.4.2.3 Curvatura extrapoladaSe toma S 0 y S n como extrapolaciones lineales de S 1 y S 2 y de S n-1 y S n respectivamente.Este es el único caso en el que si los datos tabulados corresponden exactamente a unpolinomio de grado 3, el spline da exacto.

Las condiciones son

4-23( ) ( )

2

21112

1

201100

−

−−−−− −+=−+

=n

nnnnnn

h

S hS hhS y

h

S hS hhS

Agregando estas ecuaciones a 4-21 se obtiene el siguiente sistema

( )

( )

( )

( )

( )

( )

∆−

∆

∆−

∆

∆−

∆

=

+−

+

+

+

+

+−

−

−

−

−−

−−−−

−−−−

0

0

6

000

2000

00200

0020

0002

000

2

2

1

1

1

1

2

2

0

0

1

1

1

3

2

1

0

2121

1122

3322

2211

1100

0101

n

n

n

n

n

n

nnnn

nnnn

h

f

h

f

h

f

h

f

h

f

h

f

S

S

S

S

S

S

hhhh

hhhh

hhhh

hhhh

hhhh

hhhh

M

MM

L

L

MMOLMMM

L

L

L

En Scilab el spline de curvatura extrapolada puede evaluarse con

c = splin(xtabla,ytabla)yy=interp(xx,xtabla,ytabla,c)

dondextabla es el vector de los nodos,

ytabla el vector de los y nodales yxx es el vector de puntos donde se quiere evaluar el spline.


17/26

Interpolación 4-15

EjemploA partir de la tabla del primer ejemplo:

i 0 1 2 3 4x i 0 3 5 8 13h i 3 2 3 5 -

f i 0 225 383 623 993f i 225 158 240 370 -

f i / h i 75 79 80 74 -

El sistema para Spline natural queda:

−

=

0

6

1

4

0

6

10000

516300

031020

002103

00001

4

3

2

1

0

S

S

S

S

S

cuya solución es

−

=

0

4149.2

8797.0

2241.2

0

4

3

2

1

0

S

S

S

S

S

como queremos calcular f (10 ), calcularemos los coeficientes a , c y d para i=3

0.080496756

4149.203 =

⋅

+=a

( ) 02433.7804149.2274 65

3 =+⋅−−=c

6233 =d

por tanto

86.774623)810(02433.78)810(4149.2)810(0804967.0)10( 2213

3 =+−+−−−=g

Si queremos forzar f’ 0 =75 y f’ 4 =72 queda:

−

−

=

2

6

1

4

0

6

105000

516300

031020

002103

00036

4

3

2

1

0

S

S

S

S

S

cuya solución es

−

−

−

=

0009.0

3982.2

7920.0

6372.2

3186.1

4

3

2

1

0

S

S

S

S

S

resultando los coeficientes

0.0799156

3982.20009.03 =

⋅

+−=a

( ) 77.997750009.03982.2274 65

3 =−⋅−−=c

6233 =d

por tanto

84.774623)810(77.99775)810(3982.2)810(07991.0)10( 22133 =+−+−−−=g


18/26

Interpolación 4-16

y si usamos Curvatura extrapolada

−

=

−

−

0

6

1

4

0

6

38500

516300

031020

002103

00352

4

3

2

1

0

S

S

S

S

S

cuya solución es

=

4.0299-

1.1108-

0.6406

1.4629

2.6964

4

3

2

1

0

S

S

S

S

S

en este caso

-0.09727356

1108.1029.43 =

⋅

+−=a

( ) 79,209580299.41108.1274 65

3 =−⋅−−=c

6233 =d

por tanto

42.778623)810(20958.79)810(1108.1)810(097273.0)10( 2213

3 =+−+−−−−=g

4.5 Funciones de forma elementales

Otra forma de ver la interpolación a trozos es, en lugar de considerar que se está haciendo unainterpolación diferente en cada subintervalo, considerar que se hace una interpolación en todoel dominio pero que las funciones de forma utilizadas son funciones “elementales”, cada una delas cuales es nula fuera de su elemento.El dominio se divide en elementos (subintervalos que pueden contener dos o más nodos) ypara cada elemento se definan sus funciones de forma elementales que dentro del elemento

coinciden con los polinomios de Lagrange (o de Hermite) correspondientes a los nodos delelemento y fuera del elemento son nulas.Esta característica va a ser de gran utilidad en el Método de Elementos Finitos (de resoluciónde ecuaciones diferenciales) donde los coeficientes de la combinación lineal se hallanresolviendo un sistema de ecuaciones cuyos coeficientes involucran integrales de las funcionesde forma. Como son nulas fuera de su elemento, la integral en el dominio se reduce a laintegral en “su elemento”. Como veremos en su momento, esto hace que el sistema deecuaciones resultante tenga una matriz con muchos coeficientes nulos, facilitando su cálculo yresolución.Para cada elemento habrá tantas funciones de forma elementales como nodos tenga elelemento si se usan “elementos Lagrangianos” o el doble de la cantidad de nodos si se usan“elementos Hermíticos”.Para simplificar los nodos y las funciones de forma elementales se identifican por su elemento

y una “numeración local” (dentro del elemento)

4.5.1 Elementos Lineales

4-24

( )

( ))(

1)(

2

)(1)(

2

)(2

)(1

)(2)(

1

ee

ee

ee

e

e

x x

x x x N

x x

x x x N

−

−=

−

−=

El valor interpolado se calcula como

( ) ( ) )(2

)(2

)(1

)(1

eeee

u x N u x N u += Donde )(ek u representa el valor nodal de la función Figura 8 Elementos lineales 1D


19/26

Interpolación 4-17

a interpolar en el nodo k del elemento e que es el que contiene a x.

4.5.2 Elementos Cuadráticos

4-25

( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( ))(2

)(3

)(1

)(3

)(2

)(1)(

3

)(3

)(2

)(1

)(2

)(3

)(1)(

2

)(

3

)(

2

)(

2

)(

1

)(3

)(2)(

1

eeee

eee

eeee

ee

e

eeee

ee

e

x x x x

x x x x x N

x x x x

x x x x x N

x x x x

x x x x x N

−−

−−=

−−

−−=

−−

−−=


( ) ( ) ( ) )(3)(

3)(

2)(

2)(

1)(

1eeeeee

u x N u x N u x N u ++=

4.5.3 Elementos Hermíticos

4-26

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

)(2

)(1

)(

1)(22)(4

2

)(1

)(2

)(2)(

11)(

3

2

)(2

)(1

)(1

)(1

)(2

)(2

2)(

2

2

)(1

)(2

)(2

)(2

)(1

)(1

1)(

1

ˆ

ˆ

21

21

−

−−==

−

−−==

−

−

−

−−==

−

−

−

−−==

ee

e

ee

ee

eee

ee

e

ee

ee

ee

e

ee

ee

x x x x x x xh x N

x x

x x x x xh x N

x x

x x

x x

x x xh x N

x x

x x

x x

x x xh x N


( ) ( ) ( ) ( ) )(2)(

3)(

1)(

3)(

2)(

2)(

1)(

1 '' eeeeeeee

u x N u x N u x N u x N u +++=

Donde )(ek u y

)(' ek u representan el valor nodal de la función y su derivada en el nodo k delelemento e.

4.6 Interpolación en 2D y 3D

La interpolación también es útil para estimar el valor de una función de varias variables a partir

de datos tabulados.Por ejemplo, en tratamiento de imágenes se pueden tener valores de intensidad de color enuna cuadrícula de puntos y querer calcular los valores en una cuadrícula más densa, lo cualpuede hacerse por interpolación.En el Método de Elementos Finitos, que veremos más adelante, se dividen dominios en 2D o3D en elementos triangulares, rectangulares, tetraédricos, cuñas o hexaédricos. Cadaelemento tiene cierta cantidad de nodos y los valores de una función en otros puntos delelemento se aproximan por interpolación de los valores nodales.Para simplificar y obtener fórmulas generales, la interpolación (y otras operaciones) sedesarrollan para elementos estándar en los que se pueden transformar otros elementosmediante cambios de variable.

Figura 9 Elementos cuadráticos 1D

Figura 10 Elementos hermíticos 1D


20/26

Interpolación 4-18

4.6.1 Interpolación en triángulos

El triángulo estándar tiene vértices ( ) ( ) ( )1,00,10,0 y se puedetransformar en cualquier triángulo de vértices

( ) ( ) ( )eeeeee y x y x y x 332211 ,,, mediante la transformación

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )hgT yhgT yhgT y yhgT xhgT xhgT x x

eee

eee

,,, ,,, 332211332211

++=++=

Donde( )

( )

( ) hhgT

ghgT

hghgT

=

=

−−=

,

,

1,

3

2

1

o sea

+

=

)(

1

)(1

e

e

y

x

h

g M

y

x

donde

4-27

+−+−

+−+−

=

−−

= )(3)(

1)(

2)(

1

)(3

)(1

)(2

)(1

)(3

)(2

)(1

)(3

)(2

)(1

10 01

11

eeee

eeee

eee

eee

y y y y

x x x x

y y y

x x x

M

Por tanto

4-28

−

=

−)(

1

)(11

e

e

y

x

y

x M

h

g

Para interpolar en (x,y ) se halla (g,h ) con 4-28 y se interpola en el triángulo estándar.

4.6.1.1 Triángulos de 1° orden (3 nodos)El valor interpolado se calcula como

( ) ( ) ( ) )(33)(22)(11 ,,, eee uhg N uhg N uhg N u ++=

Siendo

( )

( )

( ) hhg N

ghg N

hghg N

=

=

−−=

,

,

1,

3

2

1

o sea ( ) )(3)(

2)(

11 eee

huguuhgu ++−−=

Donde )(ek u representa el valor nodal de la función a interpolar en el nodo k del elemento

original e que es el que contiene al punto de interpolación.Nótese que las funciones de forma N i que se usan para interpolar en el triángulo lineal son lasmismas que las T i usadas para transformar el triángulo estándar en un elemento triangulargeneral y son polinomios de primer grado en g y h tales que cada una vale 1 en un nodo y 0 enlos otros dos nodos.

Figura 12 Funciones de forma de triángulo lineal

Figura 11 Triángulo estándar


21/26

Interpolación 4-19

4.6.1.2 Triángulos de 2° orden (6 nodos)El valor interpolado se calcula como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(66)(

55)(

44)(

33)(

22)(

11 ,,,,,, eeeeee

uhg N uhg N uhg N uhg N uhg N uhg N u +++++=

Siendo

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )hghhg N

ghhg N

hgghg N

hhhg N

gghg N hghghg N

−−=

=

−−=

−=

−=−−−−=

14,

4,

14,

2,

2,12,

6

5

4

21

3

21

2

21

1

o sea

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) )(6

)(5

)(4

)(32

1)(22

1)(12

1

14414

2212eee

eee

uhghghuuhgg

uhhugguhghgu

−−++−−+

−+−+−−−−=

Las funciones de forma N i son polinomios de segundo grado en g y h tales que cada una vale 1en un nodo y 0 en los otros cinco nodos.

Figura 13 Funciones de forma de triángulo cuadrático

4.6.2 Interpolación en tetraedros

El tetraedro estándar tiene vértices ( ) ( ) ( ) ( )1,0,00,1,00,0,10,0,0 y se puede transformar en

cualquier tetraedro de vértices ( ) ( ) ( ) ( )eeeeeeeeeeee z y x z y x z y x z y x 444333222111 ,,,,,,,, mediante latransformación

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )r hgT zr hgT zr hgT zr hgT z z

r hgT yr hgT yr hgT yr hgT y yr hgT xr hgT xr hgT xr hgT x x

eeee

eeee

eeee

,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,,,,

44332211

44332211

44332211

+++=

+++=+++=

Donde( )

( )

( )

( ) r r hgT

hr hgT

gr hgT

r hgr hgT

=

=

=

−−−=

,,

,,

,,

1,,

4

3

2

1

Figura 14 Tetraedro estándar


22/26

Interpolación 4-20

O sea

+

=

)(1

)(1

)(1

e

e

e

z

y

x

r

h

g

M

z

y

x

donde

+−+−+−

+−+−+−+−+−+−

=

−−−

=

)(4

)(1

)(3

)(1

)(2

)(1

)(4

)(1

)(3

)(1

)(2

)(1

)(

4

)(

1

)(

3

)(

1

)(

2

)(

1

)(4

)(3

)(2

)(1

)(4

)(3

)(2

)(1

)(

4

)(

3

)(

2

)(

1

100

010

001

111

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eeee

eeee

eeee

z z z z z z

y y y y y y x x x x x x

z z z z

y y y y x x x x

M

Por tanto

4-29

−

=

−

)(1

)(1

)(1

1

e

e

e

z

y

x

z

y

x

M

r

h

g

Para interpolar en (x,y,z ) se halla (g,h,r ) con 4-29 y se interpola en el tetraedro estándar.

4.6.2.1 Tetraedro de 1° orden (4 nodos)El valor interpolado se calcula como

( ) ( ) ( ) ( ) )(44)(

33)(

22)(

11 ,,,,,,,, eeee

ur hg N ur hg N ur hg N ur hg N u +++=

Siendo

( )

( )

( )

( ) r r hg N

hr hg N

gr hg N

r hgr hg N

=

=

=

−−−=

,,

,,

,,

1,,

4

3

2

1

o sea ( ) )(4)(

3)(

2)(

11 eeee

ruhuguur hgu +++−−−=

Nótese que las funciones de forma N i que se usan para interpolar en el tetraedro lineal son lasmismas que las T i usadas para transformar el tetraedro estándar en un elemento tetraédricogeneral y son polinomios de primer grado en g, h y r tales que cada una vale 1 en un nodo y 0en los otros tres nodos.

4.6.2.2 Tetraedro de 2° orden (10 nodos)

En este caso las funciones de forma usadas para interpolar son polinomios de segundo gradoen g, h y r tales que cada una vale 1 en un nodo y 0 en los otros nueve nodos.

4.6.3 Interpolación en cuñasLa cuña estándar tiene vértices

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,0,10,1,10,0,11,0,10,1,10,0,1 −−−

y se puede transformar en cualquier cuña de vértices

( ) ( ) ( ) ( )eeeeeeeeeeee z y x z y x z y x z y x 444333222111 ,,,,,,,, ( ) ( )eeeeee z y x z y x 666555 ,,,,

mediante la transformación

Figura 15 Cuña estándar


23/26

Interpolación 4-21

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r hgT zr hgT zr hgT zr hgT zr hgT zr hgT z z

r hgT yr hgT yr hgT yr hgT yr hgT yr hgT y y

r hgT xr hgT xr hgT xr hgT xr hgT xr hgT x x

eeeeee

eeeeee

eeeeee

,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,

665544332211

665544332211

665544332211

+++++=

+++++=

+++++=

Donde( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )r hr hgT

r gr hgT

r hgr hgT

r hr hgT

r gr hgT

r hgr hgT

+=

+=

+−−=

−=

−=

−−−=

1,,

1,,

11,,

1,,

1,,

11,,

21

6

21

5

21

4

21

3

21

2

21

1

4.6.3.1 Cuña de 1° grado (6 nodos)

Nuevamente las funciones de forma que se usan para interpolar en la cuña de 1° grado son lasmismas que las usadas para transformar la cuña estándar en un elemento cuña general y sonpolinomios de primer grado en g, h y r tales que cada una vale 1 en un nodo y 0 en los otroscinco nodos.

4.6.3.2 Cuña de 2° grado (15 nodos)

En este caso las funciones de forma usadas para interpolar son polinomios de segundo gradoen g, h y r tales que cada una vale 1 en un nodo y 0 en los otros catorce nodos.

4.6.4 Interpolación en cuadriláterosEl cuadrado estándar tiene vértices

( ) ( ) ( ) ( )1,11,11,11,1 −−−−

y se puede transformar en cualquier cuadrilátero devértices

( ) ( ) ( ) ( )eeeeeeee y x y x y x y x 44332211 ,,,,


24/26

Interpolación 4-22


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )hgT xhgT yhgT yhgT y y

hgT xhgT xhgT xhgT x xeeee

eeee

,,,,

,,,,

44332211

44332211

+++=

+++=

Donde

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )hghgT

hghgT

hghgT

hghgT

+−=

++=

−+=

−−=

11,

11,

11,

11,

41

4

41

3

41

2

41

1

En este caso la transformación del cuadrado estándar al cuadrilátero general no es unatransformación lineal sino bilineal, por lo que su transformación inversa no es sencilla dededucir y no lo veremos acá.

4.6.4.1 Cuadrilátero lineal (4 nodos)El valor interpolado se calcula como

( ) ( ) ( ) ( ) )(44)(

33)(

22)(

11 ,,,, eeee uhg N uhg N uhg N uhg N u +++=

Siendo

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )hghg N

hghg N

hghg N

hghg N

+−=

++=

−+=

−−=

11,

11,

11,

11,

41

4

41

3

41

2

41

1

o sea ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) )(441)(

341)(

241)(

141 11111111 eeee uhguhguhguhgu +−++++−++−−=

Nótese que las funciones de forma N i que se usan para interpolar en el cuadrilátero lineal son

las mismas que las T i usadas para transformar el cuadrado estándar en un elementocuadrilátero general y son polinomios de primer grado en g y h tales que cada una vale 1 en unnodo y 0 en los otros tres nodos.

4.6.4.2 Cuadrilátero de segundo grado (8 nodos)

Nuevamente vemos que las funciones de forma que se usan para interpolar son polinomios desegundo grado en g y h tales que cada una vale 1 en un nodo y 0 en los demás nodos.

.


25/26

Interpolación 4-23

4.6.5 Interpolación en hexaedros (7)El cubo estándar tiene vértices

( ) ( ) ( ) ( )1,1,11,1,11,1,11,1,1 −−−−−−−−

( ) ( ) ( ) ( )1,1,11,1,11,1,11,1,1 −−−−

y se puede transformar en cualquier cuadriláterode vértices

( ) ( ) ( ) ( )eeeeeeeeeeee z y x z y x z y x z y x 444333222111 ,,,,,,,, ( ) ( ) ( ) ( )eeeeeeeeeeee z y x z y x z y x z y x 888777666555 ,,,,,,,,


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )hgT zhgT zhgT zhgT zhgT zhgT zhgT zhgT z z

hgT yhgT yhgT yhgT yhgT yhgT yhgT yhgT y y

hgT xhgT xhgT xhgT xhgT xhgT xhgT xhgT x x

eeeeeeee

eeeeeeee

eeeeeeee

,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

8877665544332211

8877665544332211

8877665544332211

+++++++=

+++++++=

+++++++=

Donde

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )r hghgT

r hghgT

r hghgT

r hghgT

r hghgT

r hghgT

r hghgT

r hghgT

++−=

+++=

+−+=

+−−=

−+−=

−++=

−−+=

−−−=

111,

111,111,

111,

111,

111,

111,

111,

81

8

81

7

81

6

81

5

81

4

81

3

81

2

81

1

En este caso la transformación del cubo estándar al hexaedro general es trilineal, por lo que sutransformación inversa no es sencilla de deducir y no lo veremos acá.

4.6.5.1 Hexaedro lineal (8 nodos)

Nótese que las funciones de forma N i que se usan para interpolar en el hexaedro lineal son lasmismas que las T i usadas para transformar el cubo estándar en un elemento cuadriláterogeneral y son polinomios de primer grado en g, h y r tales que cada una vale 1 en un nodo y 0en los otros siete nodos.

7 Consideramos hexaedro a cualquier poliedro con seis caras cuadriláteras.


26/26

Interpolación 4-24

4.6.5.2 Hexaedro cuadrático (20 nodos)

En este caso las funciones de forma usadas para interpolar son polinomios de segundo gradoen g, h y r tales que cada una vale 1 en un nodo y 0 en los otros diecinueve nodos.

04-interpolación

Documents