光学第7讲

§5 多光束⼲干涉--Fabry-Perot⼲干涉仪

• 5.1 多光束干涉的强度分布公式

在薄膜干涉中，如果膜的反射率⾜足够⼤大，则⽆无论是反射光还是透射光，相邻光束的强度相差不⼤大，是多光束的相干叠加。

ArA =1 )1( 22 rArtArttAtrA −="="=

)1( 2333 rArttArA −="=

)1( 254 rArA −=

)1( 232 rArA nn −= −

反射光的振幅

斯托克斯的倒逆关系

透射光的振幅

)1( 21 rAtAtA −="="

)1( 222 rArA −="

)1( 243 rArA −="

)1( 2)1(2 rArA nn −=" −

相邻两列波的位相差

ΔL = 2nhcosi δ =2πλΔL = 4πnhcosi

λ

各列波的复振幅可以表示为

!UR = !Ujj=1

N∑

!UT = !U 'jj=1

N∑

!

"#

$#

IT = !UT!U*T

IR = !UR!U*R!

"#

$#

IR + IT = I0

!U1 = −Ar '

! !U1 = Att '! !U2 = Atr

2t 'eiδ

!UT = Att '(1+ r2eiδ + r4e2iδ +")!UT = !U '

jj=1

N∑

!U2 = −Atr 't 'eiδ

……

……

!UT = Att '(1+ r2eiδ + r4e2iδ +")!UT = !U '

jj=1

N∑ !UT =

Att '1− r2eiδ

IT = !UT!U*T=

A2 (tt ')2

(1− r2e−iδ )(1− r2eiδ )=

I0 (1− r2 )2

1− 2rcosδ + r4=

I0

1+4Rsin2 δ

2(1− R)2

IR = I0 − IT =I0

1+ (1− R)2

4Rsin2 δ2

反射光的光强分布

透射光的光强分布

多光束干涉的透射光强分布曲线

=I0

1+4Rsin2 δ

2(1− R)2

IT = !UT!U*T IR = I0 − IT =

I0

1+ (1− R)2

4Rsin2 δ2

·• 5.2 法布里－珀罗干涉仪的装置和条纹的半值宽度

相对两⾯面镀有半透半反膜。

如果h固定，为Fabry-Perot标准具。 如果h可调，为Fabry-Perot干涉仪。

光源 s发出的光在GG’之间多次反射，透出的平⾏行光在L2的焦平⾯面上形成等倾干涉条纹

夏尔.法布⾥里Charles Fabry (1867-1945) 阿尔弗雷德.珀罗 Alfred Perot (1863-1925) 法布⾥里—珀罗空腔谐振器

20世纪50年代中期，肖洛与美国著名物理学家汤斯共同研究微波激射问题。当汤斯提出受激辐射放⼤大原理时，肖洛第⼀一个提出运⽤用没有侧壁的开放式法布⾥里-珀罗腔作振荡器的设想。1960年，他和汤斯研制出第⼀一台激光器。

夏尔·法布⾥里Charles Fabry，法国物理学家。曾先后在⻢马赛⼤大学(1894〜～1920)和索邦⼤大学(1920〜～1945)任教。以研究光学，尤其是光谱学、光度学和光干涉⽽而闻名。1896年和珀罗合作发明了法布⾥里—珀罗干涉仪。1913年他利⽤用这⼀一仪器发现了能滤去太阳紫外辐射的⼤大⽓气臭氧层。 中国物理学家严济慈就是他的学⽣生。

���— ������� ���— ������� 迈克⽿耳孙干涉仪

δ

半值宽度：光强降为峰值⼀一半时峰的宽度

IT = !UT!U*T=I0

1+4Rsin2 δ

2(1− R)2

δ = 2kπ ±ε / 2sin2(δ / 2) = sin2(2kπ ±ε / 2) = sin2(ε / 4) ≈ (ε / 4)2

ITI0=12=

1

1+4Rsin2 δ

2(1− R)2

=1

1+ 4R(ε / 4)2

(1− R)2ε =

2(1− R)R

定量说明反射率R对干涉条纹锐度的影响

ε =2(1− R)

R条纹半值宽度位相值

对于Michelson干涉仪器

半值宽度为课堂作业推导？

δ = 2kπ ±ε / 2 = 4πnhcosi / λ

(1) 如果以单⾊色的扩展光⼊入射dδ = −4πnhsin idi / λ

令 dδ = ε 取 i = ik di = Δik

Δik =λε

4πnhsin ik反射率越⾼高，不仅条纹越细锐，⽽而且⽅方向性越强

ε =2(1− R)

R条纹半值宽度位相值

=λ

2πnhsin ik1− RR

(2) 如果以⾮非单⾊色光平⾏行光⼊入射

δ = 2kπ ±ε / 2 = 4πnhcosi / λ

dδ = −4πnhcosidλ / λ 2

令 dδ = ε 取 dλ = Δλk

Δλk =λ 2ε

4πnhcosi

ε =2(1− R)

R

=λ 2

2πnhcosi1− RR

ν k =cλk

=kc2nh

Δvk =cΔλkλ 2

=c

2πnhcosi1− RR

=c

πkλ1− RR

波⻓长改变，强度下降

到达半值宽度时，相应波⻓长改变

λk

λk +δλk2

δλk

ÈëÉä¹â

¦Ë

³öÉä¹â

¦Ëvk vk+1

可⽤用于选模。保证了激光的单⾊色性。

输⼊入 输出

• 5.3 法布⾥里－珀罗干涉仪在光谱学中的应⽤用

光谱的精细结构分析

2nhcosik = kλ

2nhcosi 'k = kλ ' = k(λ +δλ)

两谱线k级亮条纹间的⾓角距离为

δik =k

2nhsin ikδλiΔ

δik =k

2nhsin ikδλ

作为可分辨的极限，要求 等于k级亮条纹本⾝身的⾓角宽度 δik Δik

Δik =λε

4πnhsin ik=

λ4πnhsin ik

1− RR

δik = Δikk

2nhsin ikδλ =

λ4πnhsin ik

1− RR

δλ =λπk1− RR

分光仪器的⾊色分辨本领 λδλ

= πk R1− R

条纹间的⾓角距离：

条纹半⾓角宽度

Rayleigh判据

可分辨的最⼩小波⻓长间隔

第四章 衍射光栅

衍射光栅：具有周期性空间结构或光学结构的衍射屏

可以具有反射或透射结构。Fraunhofer多缝衍射

a

b d

θ

θ

ad

P0Σ

f

0θ

可以按不同的透射率或反射率分为⿊黑⽩白光栅、正弦光栅，等等。

a

b d

⬥经过光栅的所有光波，进行相干叠加。 ⬥光栅的每一个单元，是次波的叠加，按衍射分析； ⬥不同的单元之间，是分立的衍射波之间的叠加，按干涉分析。

ad ad

§1 多缝夫琅和费衍射

1.1 实验装置和衍射图样

a：缝宽 b：不透明部分宽度 d=a+b：光栅常数 θ：衍射⽅方向⾓角度

特点： 1、出现了⼀一系列新的极⼤大和极⼩小（与单缝相⽐比），其中那些较强的亮线叫主极强，较弱的亮线叫做次极强。

2、主极强的位置与缝数N⽆无关，但它们的宽度随N增⼤大⽽而减⼩小。

3、相邻主极强间有N-1条暗纹和N-2个次极强。

4、强度分布中保留了单缝衍射的痕迹，那就是曲线的包络（外部轮廓）与单缝衍射强度曲线的形状⼀一样

1.2、N缝衍射振幅分布和强度分布

⬥ 满足近轴条件 ⬥ 每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍射因子。

θθ auuUU !==

sin~)(~ 0 θλ

πθ sinsin

21 akau ==

feQUaKUikr0

0)(~~

0 Σ=

用振幅矢量法求解衍射强度δ = 2β

⬥ 每一个单元衍射的复振幅用一个矢量表示。

⬥ 相邻的单元间具有位相差

⬥ 所有单元衍射的矢量和为光栅衍射的复振幅。

θ

θd

1L

2L

3L

4L

θa!

θa!

θa!

θa!

θ

各个单元衍射矢量的光程为θsin12 dLL +=

θsin)1(1 dnLLn −+=

相邻衍射单元间的光程差

相邻衍射单元间的位相差

ϕΔ

β2

N个矢量首尾相接，依次转过Δφ，即2β角。δ = 2β θλ

πβ sind=

θa!

βN2

O

NB

1B2B

R

R

NOBA =θθA!

β

βθ sinsin Na=

β

β

sinsinsin~

0N

uuU=

βNR sin2= ββ

θ Na sinsin

2/2=

βθ

sin2/aR =

ΔL = d sinθ

δ = kd sinθ = 2πλd sinθ

δ = 2β

δ = 2βIθ = aθ

2 (sinNβsinβ

)2

其中：u =πaλsinθ,β = πd

λsinθ.

= I0 (sinuu)2 (sinNβ

sinβ)2

1.3、缝间干涉因子的特点

单缝衍射因⼦子 缝间干涉因⼦子

1、主极强峰值⼤大⼩小、位置、数⺫⽬目 令 ： β=kπ(k=0、±1、2、3、……) 则 ： sinNβ=sinNkπ=0 sinβ=0 sinNβ/sinβ=N 这些地⽅方缝间干涉因⼦子主极⼤大，对应于主极强。

其中：u =πaλsinθ,β = πd

λsinθ.

Iθ = I0 (sinuu)2 (sinNβ

sinβ)2

（1） sinθ=kλ/d或dsinθ=kλ 即：凡是衍射⾓角满⾜足上式⽅方向上，出现⼀一个主极强，主极强位置与缝数⽆无关。

β = kπ = πdλsinθ

（2）Iθ=N2I0 主极强的强度是单缝在该⽅方向上强度的N2倍。

（3） ∣ θ ∣ ≦ π/2 ∣ sinθ ∣ ≦ 1 ∣ k ∣ ﹤d / λ 即：主极强的数⺫⽬目有限。 若：λ≧d , k 只能取零，即：除零级外，⽆无其它主极强。

2.零点位置 、主极强的半宽度和次级强数⺫⽬目

（1）当Nβ等于π的整数倍，但β不是π的整数倍时 sinNβ=0 sinβ≠0 sinNβ/ sinβ=0 此即为暗线（点）的位置，此时： β=（k+m/N）π k=0、±1、±2、±3、…… m=1、2、3、……、N-1

sinθ=(k+m/N) λ/d (β=πdsinθ/λ)

故： 每个主极强之间有N-1条暗线，相邻暗线之间有⼀一个次极强，共有N-2个次极强。

（2）主极强亮线的宽度

以主极强两侧的暗线为界，它的中⼼心到邻近的暗线之间的⾓角距离称为它的半⾓角宽度△θ，对于偏离幕中央不是很远的主极强θ很⼩小：

sinθ≈θk级主极强的位置：β=πdsinθk/λ → sinθk=βλ/πd β=kπ → sinθk=kλ/d → θk ≈kλ/d相邻暗线的位置近似为：θk+ △θ ≈(k+1/N) λ/d △θ ≈λ/(Nd) (Note: m=1)

普遍情形：sinθk=kλ/d sin(θk+△θ)=(k+1/N) λ/d sin(θk+△θ)- sinθk≈(dsinθ/dθ) θ=θk △θ =cosθk △θ ∴ △θ=λ/Nd cosθk 若： θk ≈0 cosθk ≈1 △θ ≈ λ/Nd

故： 主极强的半⾓角宽度△θ与Nd成反⽐比，Nd越⼤大，△θ越⼩小 主极强锐度越⼤大，条纹越细。

1.4、单缝衍射因⼦子的作⽤用

1、实际强度分布还要考虑单缝衍射因⼦子作⽤用

单缝衍射因⼦子 零点处，主极强 消失，出现缺级 现象。

2、在给定了缝间隔d之后，主极强的位置就确定下来了： 单缝衍射因⼦子并不改变主级强的位置和半⾓角宽度，但会改变各主级强的强度。即单缝衍射因⼦子的作⽤用仅在于影响强度在各主极强间的分配，所以强度分布曲线的包络线（外部轮廓）与单缝衍射强度曲线具有相同的形状

单缝衍射因⼦子 缝间干涉因⼦子

Iθ = I0 (sinuu)2 (sinNβ

sinβ)2

1.5 复振幅的计算，用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解

∫∫Σ

Σ= dreFQUKPUikr

),()(~)(~ 00 θθ

∫∫Σ

Σ= def

UK ikr1)0(~0

∑ ∫=

ΣΣ=

N

nn

ikr def

UKn

n

10 ][1)0(~

先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分相加。

θ

θd

1L

2LnL

4L

nxz

x

∑ ∫=

ΣΣ=

N

nn

ikr def

UKPUn

n

10 ][1)0(~)(~

nr

θsinnnn xLr −=

∑ ∫=

−

−=N

n

a

a nxLik dxe

fUK nn

1

2/

2/

)sin(0 ][1)0(~ θ ∑ ∫

=−

−=N

n

a

a nikxikL dxee

fUK nn

1

2/

2/

sin0

1)0(~ θ

∑∫=

−

−=N

n

ikLa

a

ikx nedxef

UK1

2/

2/

sin0 ]1)0(~[ θ ∑

=

=N

n

ikLneU1

)(~ θ

0Σ

nΣ

单元衍射因子 N元干涉因子

∑=

=N

n

ikLneN1

)(~ θ ∑=

−+=N

n

dnLike1

]sin)1([ 1 θ ∑=

−=N

n

dnikikL ee1

sin)1(1 θ

∑=

−=N

n

niikL ee1

)1(21 β

ββ

ββ

β

β

ii

iNiN

i

iN

eeee

ee

−

−=

−

−

β

β

i

iN

ee2

2

11−

−=

∑−

=

=1

0

21

N

n

niikL ee β

)()1( θβNe Ni −=β

ββ

sin)sin()1( Ne Ni −=

β

βθ

sin)sin()( NN =

N元干涉因子

单元衍射因子

衍射单元的性质要⽤用波前上的光瞳函数U0（x）来表征：

!U(θ )∝ e−ikxsinθ dx−a/2

+a/2

∫ =1

ik sinθ(eikasinθ /2 − e−ikasinθ /2 )∝ sinu

u

u = πaλsinθ其中

)(~)(~)(~ θθ NUPU =

β

ββ

sinsinsin)(~ )1(

0 Nuue

feQUK Niikr

−=

220 )

sinsin()sin()(

β

βNuuIPI =

2

0

)(~0

fQUK

aI Σ=

单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a

d=3aN=4

) ( ) (

) (

) (

N=6,d=5a

§2 光栅光谱仪

2.1、光栅的分光原理 1、光栅⽅方程（公式）：sinθ =kλ/d 或: dsinθ =kλ —主极强位置 不同波长的同级主极强位置出现在不同的⽅方向，长波的衍射⾓角⼤大，短波的衍射⾓角⼩小，如果⼊入射光⾥里包含⼏几种不同波长的光，则除0级外各主极强的位置都不同。

2、⽤用缝光源照明时，看到的衍射图样中，有⼏几套不同颜⾊色的亮线（谱线），它们各⾃自对应⼀一个波⻓长。各种波⻓长的同级谱线集合起来构成光源的⼀一套光谱，光栅具有分光作⽤用。

3、光栅的光谱与棱镜的光谱有⼀一个重要的区别:光栅的光谱⼀一般有许多级，每⼀一级是⼀一套光谱，总的有⼏几套光谱，⽽而棱镜光谱只有⼀一套。

8

1、光栅的性能标志主要有两个：⾊色散本领和⾊色分辨本领

2、⾊色散本领：为了描述波长差δλ的两条谱线 • 其⾓角间隔δθ或在幕上的距离δl有多⼤大. • ⾓角⾊色散本领定义：Dθ=δθ/δλ • 线⾊色散本领定义：Dl= δl /δλ • 设光栅后⾯面聚集物镜焦距为f: δl=fδθ • Dl =ƒDθ

2.2 光栅的⾊色散本领和⾊色分辨本领

3、光栅的⾊色散本领： sinθk=kλ/d → cos θk δθk=kδλ/d Dθ=δθ/δλ=k/(d cos θk) Dl= δl /δλ=k ƒ / (d cos θk) Dθ ∝ 1/d Dl ∝ f/d 为了增⼤大⾓角⾊色散本领d要⼩小，每mm内数 百条或上千条缝： d≈10-2 〜～10-3mm。 对于1级光谱（k=1）: Dθ ≈0.1ˊ/埃〜～ 1ˊ/埃，为了增⼤大线⾊色散本领， ƒ常达数⽶米, Dl ≈0.1〜～1mm/埃.

4、光栅的⾊色分辨本领 ⾊色散本领只反映谱线（主极强）中⼼心分离的程度，它 不能说明两条谱线是否重迭，要分辨波⻓长很接近的谱线需 要每条谱线都很细。 λ λ+δλ ⾓角间隔：δθ 谱线半⾓角宽度:Δθ ⽆无法分辨:Δθ＞δθ 刚好分辨:Δθ =δθ 较好分辨:Δθ＜δθ

瑞利判据： Δθ=δθ 两条谱线刚好分辨的极限 谱线的半⾓角宽度：△θ=λ/(N d cosθk ) δ λ=δθ /Dθ= △θ/Dθ = (λ/N d cosθk ) / [k /(d cosθk) ] =λ/(N k) δλ越⼩小，⾊色分辨本领越⼤大。 分光仪器的⾊色分辨本领定义为：R=λ/δλ 光栅的⾊色分辨本领公式为：R=N k 只与k、N有关，与d⽆无关。

����������

�����������������

1

600~/8001 nmmmd

λ=

( )nm

nmraddd

D

mmnmd

d

/105

/109.048.01

10800

sin1

1cos1

48.0/800600sinsin

2

3

2

6

12

1

11

!−

−−

×=

×=−

×=

−==

=×==⇒=

θθ

λθλθ

θ

��

2.3、量程与⾃自由光谱范围1、量程：光栅能够测定的波⻓长的最⼤大范围 d sinθ k =kλ , ︱θk︱ ≤900 ,

∣ sinθ ∣ ≦ 1, 所以： λM＜d 即：⼯工作于不同波⻓长段的光栅光谱仪,要选⽤用光栅常数适当的光栅备件2、⾃自由光谱范围 考虑光栅光谱中可能发⽣生邻级光谱线重迭的现象， λ m与λ M受到限制。

例： λ 1 =800埃 λ 2 =400埃 则: λ 1的⼀一级谱线正好与λ 2的⼆二级谱 线重迭。所以对于⼀一级谱线来说： λ m ＞ λ M/2

2.4、闪耀光栅

1、透射光栅的缺点： 对于零级⽆无⾊色散级：(sin α / α)2与(sinNβ /sinβ)2都最⼤大：1和N2这意味着0级主极强占有了总光能的很⼤大⼀一部分，其余各级谱线的强度⽐比较⼩小，不便于观测。

θ

⬥ 光栅的衍射包括单元衍射和缝间干涉两部分。 ⬥ 这两部分是各自独立的。

220 )

sinsin()sin()(

β

βNuuIPI =

)sin(sin 0θθλ

πβ ±= d)sin(sin 0θθ

λ

π$±$= au

0θ " 0θ

θ " θ

0θ "θ "

0θθ

2、闪耀光栅（平⾯面反射光栅） ⺫⽬目的：将单缝衍射0级与缝间干涉0级错开，从⽽而把光能移到所需要的某⼀一级谱线上（让零级成为缺级）。 ⽅方法：选择两种照明⽅方式： 第⼀一种：平⾏行光束沿槽⾯面法向⽅方向 n ⼊入射。 第⼆二种：平⾏行光束沿光栅平⾯面法线⽅方向N⼊入射。

1.闪耀光栅的结构

θb

闪耀角

N

nd

（1）沿n的方向入射 （2）沿N的方向入射

-6

-4

-2

02

46

-6-4

-20

24

6

j=0 j=0

-6-4

-20

24

6

j=0

j=0

Bθ0θ

0θ "Bθ

单元衍射的极大值在入射光反射的几何光线的方向

多元干涉的零级在相对于光栅平面法线对称的方向

������

�����0

第⼀一种照明⽅方式：

单槽衍射的0级是⼏几何光学的反射⽅方向，即沿原⽅方向返回（ θ B ）。

相邻槽⾯面之间，在 n ⽅方向上的光程差： △L=2 d sin θ B （为什么有系数2？）

满⾜足2 d sin θ B = λ 1 B的 λ 1 B称为⼀一级闪耀波⻓长（此时k=1）。 可⻅见：光栅单槽衍射0级主极强正好与的⼀一级槽间的主极强重迭。

Bθ

00 =!=! θθ

第⼆二种照明⽅方式： 平⾏行光束沿光栅平⾯面法线N⼊入射，经槽⾯面反向的⼏几何光线与⼊入射⽅方向有2θB的夹⾓角。这时相邻槽⾯面间的光程差将为: △L =dsin2 θB 有关这种照明⽅方式衍射图样的分析与第⼀一种类似，只是需采⽤用斜⼊入射的公式进⾏行处理（⻅见§1习题3）。

Bθ

Bθθ ="0θ "

Bθθθ ="=" 0

0θ "

考虑到a≈d, λ 1B的其它级（包括0级）都⼏几乎落在单槽衍射击的暗线位置，形成缺级，这样80%〜～90%的光能集中在光的⼀一级谱线上，使其强度⼤大⼤大增加 同理： 若 λ 2B满⾜足， 2dsinθB = 2λ2B（此时k=2），光强集中在于级闪耀波附近的⼆二级光谱中。 显然：可以通过设计不同的闪耀⾓角 θB ，使光栅适⽤用于某⼀一特定波⻓长的某⼀一级光谱 上。

入射狭缝S1

出射狭缝S2

球面镜M1

球面镜M2

反射光栅G（闪耀光栅）

S1处于M1的焦平

面处。

光栅单色仪

S2处于M2的焦平面处。

球面闪耀光栅G2

探测器

引出单色光

双光栅光谱仪（单色仪）

G1

G2

球面闪耀光栅G1

光谱仪

单色仪

作业：16⻚页3题，17⻚页5题，30⻚页3题，6题