PEWARNAAN GRAF

PEWARNAAN GRAPH

Ada tiga macam pewarnaan graf, yaituPewarnaan simpul Pewarnaan sisi Pewarnaan wilayah (region)

Yang akan kita bahas adalah pewarnaan simpul dan pewarnaan wilayah (region).

1. Pewarnaan Simpul

Pewarnaan simpul adalah memberi warna pada simpul-simpul suatu graf sedemikian hingga tidak ada dua simpul bertetangga yang mempunyai warna sama. Kita dapat memberikan sembarang warna pada simpul-simpul asalkan berbeda dengan simpul-simpul tetangganya.

Dalam pewarnaan graf, tidak hanya sekedar mewarnai simpul-simpul dengan warna yang berbeda dengan warna simpul tetangganya saja, namun kita juga menginginkan agar jumlah warna yang digunakan sesedikit mungkin. Jumlah warna minimum yang dapat digunakan untuk mewarnai simpul simpul disebut Bilangan Kromatik dari graf G.

Bilangan Kromatik

Bilangan Kromatik dari graf G adalah jumlah warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai graph G, dilambangkan dgn G (G)

Bilangan kromatik G (G) = 2

Tiga warna cukup untuk mewarnai graf G berikut :

G (G) = 3

Berapa bilangan kromatik dari graph lengkap K6, K10 dan Kn ? G (Kn) = n

Algoritma Welch-PowelAlgoritma Welch-Powell adalah sebuah cara efisien untuk mewarnai sebuah graph.1.

2.

3.

4.

Urutkan simpul-simpul dari G dalam urutan derajat yang menurun. Urutan ini mungkin tidak unik karena beberapa simpul mungkin mempunyai derajat yang sama. Gunakan satu warna tertentu untuk mewarnai simpul pertama. Secara berurut, setiap simpul dalam daftar yang tidak bertetangga dengan simpul sebelumnya diwarnai dengan warna ini. Ulangi langkah 2 di atas untuk simpul dengan urutan tertinggi yang belum diwarnai. Ulangi langkah 3 di atas sampai semua simpul dalam daftar terwarnai.

ContohGraph HV1 V2

Simpul Derajat WarnaV4

V1 V4 V5 V6 V2 5 a 4 b 4 c 4 d 3 b

V3 3 c

V7 3 a

V3

V5

JadiV6 V7

(H) = 4

Contoh

Graph GV1

Simpul V1 V6 V2 V3 V4 V5 Derajat Warna 4 a 4 a 3 b 3 b 3 c 3 c

V3 V2 V4 V5

V6

Jadi (G) = 3

Contoh

Graph GV1 V3

Simpul Derajat Warna

V1 V5 V2 V6 V3 V4 4 a 4 b 3 b 3 c 2 c 2 a

V2

V4 V6

V5

Jadi (G) = 3

Contoh

Graph HA B H G

Simpul Derajat Warna

H A D F B C E G 5 a 4 4 4 b b c 3 3 3 2 a c c a

F C D E

Jadi (H) = 3

Pewarnaan Graf Bipartit

Sebuah graf bipartit adalah sebuah graf yang simpul-simpulnya dapat dibagi ke dalam dua himpunan bagian dimana simpul-simpul pada masing-masing himpunan bagian bertetangga dengan semua simpul pada himpunan bagian lainnya dan bukan pada simpul-simpul dalam himpunan bagiannya sendiri.

Karena tidak ada simpul-simpul yang bertetangga ke simpul-simpul lain dalam himpunan bagian yang sama, maka semua simpul dalam sebuah himpunan bagian dapat dipetakan ke dalam warna yang sama. Sedangkan pada setiap himpunan bagian lainya harus diwarnai dengan warna yang berbeda. Dengan demikian, dibutuhkan dua warna untuk mewarnai graf bipartit, sehingga bilangan kromatis pada graf bipartit adalah 2.

Contoh : G : K2,4

G1 = {v1, v2} G2 = {v3, v4, v5, v6}

Contoh

Graph HV1

Simpul V1 V2 V3 V4 V5 V6 Derajat WarnaV3

3 a

3 b

3 b

3 a

3 b

3 a

V2

Jadi (H)= 2V4 V5 V6

G1 = {v1, v4, v6} G2 = {v2, v3, v5}

2. Pewarnaan Wilayah (region)

Pewarnaan Wilayah dilakukan pada graf bidang. Dua buah wilayah dari sebuah graf bidang dikatakan bertetangga jika keduanya mempunyai sebuah sisi bersama.

Tetangga dari R7 adalah : R4, R5, R8 Tetangga dari R2 adalah : R4, R1 Tetangga dari R6 adalah : R4

Pewarnaan Wilayah dari suatu graf planar (graf bidang) G adalah suatu pemetaan warna-warna ke wilayah-wilayah dari graf G sedemikian hingga wilayah-wilayah yang bertetangga mempunyai warna yang berbeda.

R1 : hijau R2 : merah R3 : biru R4 : merah R5 : hijau R6 : biru

R1 : biru R2 : merah R3 : biru R4 : hijau R5 : hijau R6 : biru R7 : biru R8 : merah

3. Graf Dual dari Graf Planar

Dari suatu permasalahan pewarnaan wilayah pada graf bidang, bisa kita bawa kepermasalahan pewarnaan simpul dengan membangun sebuah graf dual dari graf bidang tersebut.

Cara membentuk Graf Dual

Misal terdapat sebuah graf bidang M. Dalam setiap wilayah dari M, pilih sebuah titik. Jika dua buah region mempunyai sebuah sisi bersama, maka titik-titik yang terkait dapat dihubungkan dengan sebuah garis melalui sisi bersama tersebut. Garis-garis ini akan membentuk kurva. Kurva-kurva ini digambarkan sedemikian hingga agar tidak bersilangan. Dengan demikian kurva-kurva tersebut membentuk sebuah graf yang disebut sebagai Graf Dual dari M.

R1 : hijau R2 : merah R3 : biru R4 : merah R5 : hijau R6 : biru

Graf Dual :

R1 : biru R2 : merah R3 : biru R4 : hijau R5 : hijau R6 : biru R7 : biru R8 : merah

Graf Dual..? Bilangan Kromatik..?

4. Penerapan Pewaraan Graf

Ada 6 jenis zat kimia yang perlu disimpan di dalam gudang. Beberapa pasangan zat itu tidak dapat disimpan di dalam ruangan yang sama, karena campuran gasnya bersifat eksplosif (mudah meledak). Untuk zat yang semacam itu, perlu dibangun ruang-ruang terpisah yang dilengkapi ventilasi dan penyedot udara keluar yang berlainan. Jika lebih banyak ruang yang dibutuhkan, berarti lebih banyak ongkos yang dikeluarkan. Karena itu perlu diketahui berapa banyak minimum ruangan yang diperlukan untuk dapat menyimpan semua zat kimia dengan aman. Berikut ini adalah daftar pasangan zat kimia yang tidak dapat disimpan dalam ruangan yang sama.

Berikut ini adalah daftar pasangan zat kimia yang tidak dapat disimpan dalam ruangan yang sama.

Gambarkan graf yang menyatakan persoalan di atas. Kemudian tentukan jumlah minimum ruangan yang dibutuhkan untuk menyimpan semua zat kimia di atas.

Model Graf dari permasalahan diatas :

Simpul Derajad Warna

B 4 x

D 3 y

A 2 z

E 2 y

F 2 z

C 1 x

G (G) = 3Jadi jumlah minimum ruangan yang diperlukan untuk menyimpan zat kimia tersebut adalah 3 ruang.

SOAL-SOAL1 7 2

6

3

5

4

SOAL-SOAL

5 4 2

37 1 6