09.23.mathematical models for local deter minis tic in paintings

8/14/2019 09.23.Mathematical Models for Local Deter Minis Tic In Paintings

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M A T H E M A T I C A L M O D E L S F O R L O C A L N O N - T E X T U R E

I N P A I N T I N G S

T O N Y C H A N A N D J I A N H O N G S H E N

D e d i c a t e d t o S t a n l e y O s h e r

A b s t r a c t . I n s p i r e d b y t h e r e c e n t w o r k o f B e r t a l m i o , S a p i r o , C a s e l l e s , a n d B a l l e s t e r T e c h n i c a l

r e p o r t , E C E - U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a ( 1 9 9 9 ) ] o n d i g i t a l i n p a i n t i n g s , w e d e v e l o p g e n e r a l m a t h e m a t -

i c a l m o d e l s f o r l o c a l n o n - t e x t u r e i n p a i n t i n g s . I n s i d e s m o o t h r e g i o n s , i n p a i n t i n g s a r e c o n n e c t e d t o

t h e h a r m o n i c a n d b i - h a r m o n i c e x t e n s i o n s , a n d i n p a i n t i n g o r d e r s a r e d e n e d a n d a n a l y z e d . F o r i n -

p a i n t i n g s i n v o l v i n g t h e r e c o v e r y o f e d g e s , w e p r o p o s e v a r i a t i o n a l m o d e l s t h a t a r e c l o s e l y c o n n e c t e d

t o t h e t o t a l v a r i a t i o n ( T V ) r e s t o r a t i o n m o d e l o f R u d i n , O s h e r , a n d F a t e m i P h y s i c a D , 6 0 ( 1 9 9 2 ) ,

p p . 2 5 9 - 2 6 8 ] a n d t h e M u m f o r d - S h a h s e g m e n t a t i o n m o d e l C o m m . P u r e A p p l . M a t h . , X L I I ( 1 9 8 9 ) ,

p p 5 7 7 - 6 8 5 ] . E m p h a s i s i s p u t o n t h e T V i n p a i n t i n g m o d e l d u e t o i t s s i m p l i c i t y i n t h e o r y a n d i t s

e c i e n c y i n c o m p u t a t i o n a n d a p p l i c a t i o n s . W e d e m o n s t r a t e t h e a p p l i c a t i o n s o f t h e i n p a i n t i n g m o d -

e l s i n r e s t o r i n g s c r a t c h e d o l d p h o t o s , d i s o c c l u s i o n s i n v i s i o n a n a l y s i s , t e x t r e m o v a l f r o m i m a g e s , a n d

d i g i t a l z o o m i n g s .

K e y w o r d s . I n p a i n t i n g , d i s o c c l u s i o n , i n t e r p o l a t i o n , i m a g e r e s t o r a t i o n , v a r i a t i o n a l m e t h o d , p r i o r

m o d e l , t o t a l v a r i a t i o n , s e g m e n t a t i o n , c u r v a t u r e d r i v e n d i u s i o n s , d i g i t a l z o o m i n g s , e d g e c o d i n g a n d

i m a g e c o m p r e s s i o n .

A M S s u b j e c t c l a s s i c a t i o n s . P r i m a r y : 9 4 A 0 8 ; S e c o n d a r y : 6 8 U 1 0 , 6 5 K 1 0 .

1 . I n t r o d u c t i o n . P e r h a p s t h e b e s t w a y t o e x p l a i n i n p a i n t i n g i s t o q u o t e t h e r s t

p a r a g r a p h o f t h e v e r y r e c e n t p a p e r o f B e r t a l m i o , S a p i r o , C a s e l l e s a n d B a l l e s t e r 1 ] o n

d i g i t a l i n p a i n t i n g s :

\ T h e m o d i c a t i o n o f i m a g e s i n a w a y t h a t i s n o n - d e t e c t a b l e f o r a n o b s e r v e r w h o d o e s

n o t k n o w t h e o r i g i n a l i m a g e i s a p r a c t i c e a s o l d a s a r t i s t i c c r e a t i o n i t s e l f . M e d i e v a l

a r t w o r k s t a r t e d t o b e r e s t o r e d a s e a r l y a s t h e R e n a i s s a n c e , t h e m o t i v e s b e i n g o f t e n

a s m u c h t o b r i n g m e d i e v a l p i c t u r e s \ u p t o d a t e " a s t o l l i n a n y g a p s 1 5 , 4 4 ] .

T h i s p r a c t i c e i s c a l l e d r e t o u c h i n g o r i n p a i n t i n g . T h e o b j e c t i v e o f i n p a i n t i n g i s t o

r e c o n s t i t u t e t h e m i s s i n g o r d a m a g e d p o r t i o n s o f t h e w o r k , i n o r d e r t o m a k e i t m o r e

l e g i b l e a n d t o r e s t o r e i t s u n i t y 1 5 ] . "

T h a t i s , i n p a i n t i n g i s t o l l i n i m a g e i n f o r m a t i o n o n a b l a n k d o m a i n D ( o r s e v e r a l

d o m a i n s ) , b a s e d u p o n t h e i m a g e i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e o u t s i d e ( s e e F i g u r e 1 . 1 ) . O n

s u c h d o m a i n s , t h e o r i g i n a l p a i n t i n g o r p i c t u r e h a s b e e n d a m a g e d o r e r a s e d d u e t o a g -

i n g , s c r a t c h i n g o r s p e c i a l e e c t s s u c h a s o b j e c t s d i s a p p e a r a n c e . T h e r e f o r e , i n p a i n t i n g

f a l l s i n t h e g e n e r a l c a t e g o r y o f i m a g e r e s t o r a t i o n , o f w h i c h , d e n o i s i n g a n d d e b l u r r i n g

a r e t h e t w o m o r e f a m i l i a r c l a s s i c a l e x a m p l e s .

T h e s i g n i c a n c e o f i n p a i n t i n g s i n i m a g e p r o c e s s i n g c a n b e c l e a r l y s e e n f r o m i t s

w i d e a p p l i c a t i o n s i n :

( a ) d i g i t a l r e s t o r a t i o n o f a n c i e n t p a i n t i n g s f o r c o n s e r v a t i o n p u r p o s e s 1 5 , 4 4 ] ;

( b ) r e s t o r a t i o n o f o l d p h o t o g r a p h s o r l m s w i t h s c r a t c h e s o r m i s s i n g p a t c h e s 2 2 , 2 3 ] ;

( c ) t e x t r e m o v a l a n d o b j e c t s r e m o v a l i n i m a g e s f o r s p e c i a l e e c t s 1 ] ;

( d ) d i s o c c l u s i o n i n c o m p u t e r v i s i o n 2 7 , 3 2 ] ;

( e ) d i g i t a l z o o m i n g ( S e c t i o n 9 ) .

T o n y C h a n i s w i t h D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U C L A , L o s A n g e l e s , C A 9 0 0 9 5 - 1 5 5 5 ,

c h a n @ i p a m . u c l a . e d u ; J i a n h o n g S h e n i s w i t h S c h o o l o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a , M i n -

n e a p o l i s , M N 5 5 4 5 5 , j h s h e n @ m a t h . u m n . e d u . R e s e a r c h s u p p o r t e d b y g r a n t s f r o m N S F u n d e r g r a n t

n u m b e r D M S - 9 9 7 3 3 4 1 a n d f r o m O N R u n d e r N 0 0 0 1 4 - 9 6 - 1 - 0 2 7 7 .

1


2/31

2 C h a n a n d S h e n

D

uD

c is given

(inpainting domain)

F i g . 1 . 1 I n p a i n t i n g i s t o p a i n t t h e m i s s i n g u

D

o n a n i n p a i n t i n g d o m a i n D b a s e d u p o n w h a t

i s a v a i l a b l e o n D

c

D e s p i t e t h e a p p a r e n t i m p o r t a n c e o f i n p a i n t i n g s i n a l l t h e s e a p p l i c a t i o n s , t h e i r

a p p r o p r i a t e m a t h e m a t i c a l m o d e l i n g i s m u c h l e s s o b v i o u s .

O n o n e h a n d , i n p a i n t i n g i s n o t c o m p l e t e l y s t r a n g e t o u s . I t i s c l o s e l y c o n n e c t e d

t o s o m e f a m i l i a r t o p i c s i n m a t h e m a t i c s , a l l c e n t e r e d a r o u n d t h e t a s k o f i n f e r r i n g o r

r e s t o r i n g t h e m i s s i n g i n f o r m a t i o n f r o m w h a t i s a v a i l a b l e . P e r h a p s t h e t w o m o s t r e l a t e d

e x a m p l e s a r e :

( a ) r e c o n s t r u c t i o n o f c u r v e s a n d s u r f a c e s b a s e d o n d i s c r e t e s a m p l e s a n d r e g u l a r i t y

c o n s t r a i n t s .

( b ) b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s ( B V P ) w h i c h r e c o v e r f u n c t i o n s o r d i s t r i b u t i o n s i n t h e

i n t e r i o r o f a d o m a i n f r o m t h e k n o w l e d g e a l o n g i t s b o u n d a r y .

O n t h e o t h e r h a n d , i n p a i n t i n g i s n o t s i m p l y f u n c t i o n i n t e r p o l a t i o n n o r a b o u n d a r y

v a l u e p r o b l e m d u e t o t h e c o m p l e x i t y o f i m a g e f u n c t i o n s . F o r n a t u r a l i m a g e s ( c l u t t e r s ) ,

M u m f o r d p r o p o s e d t o m o d e l t h e m b y d i s t r i b u t i o n s , o r \ t h i n g s w h i c h c a n b e m e a s u r e d

b y s e n s o r s ( i . e . t e s t f u n c t i o n s ) " 2 9 ] . F o r m o s t t e x t u r e i m a g e s , t h e f u n c t i o n s u s u a l l y

c o n t a i n v e r y r i c h s t a t i s t i c a l c o n t e n t , b u t a r e f a r m o r e c o m p l i c a t e d t h a n t h e s i m p l e

s a m p l e s o f s o m e c o m m o n r a n d o m e l d s . I n c l a s s i c a l l i n e a r w a v e l e t a n a l y s i s , i m a g e s

a r e b e l i e v e d t o b e i n t h e s p a c e o f L

2

( D a u b e c h i e s 1 2 ] , S t r a n g a n d N g u y e n 4 1 ] , f o r

e x a m p l e s ) , w h i c h i s a l s o p o p u l a r i n t h e F o u r i e r m e t h o d . I n t h e s c a l e - s p a c e t h e o r y

b a s e d o n a n i s o t r o p i c d i u s i o n s , i m a g e s a r e c o n s i d e r e d a s i n t h e f u n c t i o n a l s p a c e o f

b o u n d e d v a r i a t i o n s ( R u d i n , O s h e r , a n d F a t e m i 3 8 ] , a n d C h a m b o l l e a n d L i o n s 5 ] ) .

F o r m o s t i m a g e s o f m a n - m a d e o b j e c t s , p i e c e w i s e s m o o t h f u n c t i o n s a r e g o o d e n o u g h

a p p r o x i m a t i o n s a n d c o n v e n i e n t t o w o r k w i t h . R e a l i z i n g s u c h c o m p l e x i t i e s o f i m a g e

f u n c t i o n s h e l p s u n d e r s t a n d t h e c h a l l e n g e o f t h e i n p a i n t i n g p r o b l e m , a n d t h e n e c e s s i t y

o f p u t t i n g t h e t w o r e s t r i c t i v e w o r d s \ l o c a l " a n d \ n o n - t e x t u r e " i n t h e t i t l e o f t h e

c u r r e n t p a p e r .

F i r s t , t h i s p a p e r s h a l l o n l y d i s c u s s i n p a i n t i n g s o f n o n - t e x t u r e i m a g e s . T h a t i s , w e

d o n o t i n t e n d t o w o r k o n i m a g e s w i t h r i c h t e x t u r e s t r u c t u r e s , n o r o n n a t u r a l i m a g e s

( c l u t t e r s ) , s i n c e t h e i n p a i n t i n g o f s u c h i m a g e s i n e v i t a b l y i n v o l v e s t h e i r s t a t i s t i c a l m o d -

e l i n g , w h i c h i s b e y o n d t h e s c o p e o f t h e c u r r e n t p a p e r . H o w e v e r , n u m e r i c a l e x a m p l e s

i n t h e c u r r e n t p a p e r s h o w t h a t t h e m o d e l s a n d a l g o r i t h m s w o r k w e l l f o r m o s t r e a l

i m a g e s w i t h o u t s o p h i s t i c a t e d t e x t u r e s . F o r t e x t u r e i n p a i n t i n g s , s o m e r e c e n t s a m p l e

w o r k s c a n b e f o u n d i n W e i a n d L e v o y 4 5 ] , a n d I g e h y a n d P e r e i r a 1 9 ] .

I n a d d i t i o n , o u r m o d e l s s h a l l o n l y h a n d l e l o c a l i n p a i n t i n g s . L o c a l i t y , i n o u r o p i n -

i o n , i s a c r u c i a l c o n c e p t a n d w e w i l l d i s c u s s i t i n t h e n e x t s e c t i o n .

T h e m a i n r e s u l t s i n t h i s p a p e r c a n b e s u m m a r i z e d i n t o :

( 1 ) F o r i n p a i n t i n g s o f s m o o t h i m a g e f u n c t i o n s , w e d e n e t h e c o n c e p t o f i n p a i n t i n g

o r d e r s . T h e i n t r o d u c t i o n o f s u c h a s i m p l e b u t n e c e s s a r y c o n c e p t , c a n b e v e r y

u s e f u l f o r a n y q u a n t i t a t i v e s t u d y o n i n p a i n t i n g s , a s i n n u m e r i c a l a n a l y s i s a n d

a p p r o x i m a t i o n t h e o r y .


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M o d e l s f o r L o c a l N o n - t e x t u r e I n p a i n t i n g s 3

( 2 ) W e e s t a b l i s h t h e b a s i c r o l e o f G r e e n ' s S e c o n d F o r m u l a f o r s m o o t h i n p a i n t i n g s ,

w h i c h l e a d s t o t h e h a r m o n i c a n d b i - h a r m o n i c i n p a i n t i n g m o d e l s . I n p a i n t i n g o r d e r s

a r e r i g o r o u s l y e s t a b l i s h e d r e g a r d l e s s o f t h e t o p o l o g i c a l c o m p l e x i t y o f i n p a i n t i n g

d o m a i n s .

( 3 ) W e p r o p o s e t h r e e g e n e r a l p r i n c i p l e s f o r a n y l o w - l e v e l r e a l i s t i c n o n - t e x t u r e i n p a i n t -

i n g m o d e l . T h e y a r e ( a ) b e i n g l o c a l ; ( b ) t h e c a p a b i l i t y o f r e s t o r i n g n a r r o w b r o k e n

e d g e s ; a n d ( c ) r o b u s t n e s s t o n o i s e .

( 4 ) B a s e d o n t h e s e g e n e r a l i n p a i n t i n g p r i n c i p l e s , w e p r o p o s e t h e t o t a l v a r i a t i o n ( T V )

i n p a i n t i n g m o d e l , w h i c h i s v e r y s i m i l a r t o t h e c l a s s i c a l r e s t o r a t i o n m o d e l o f R u d i n ,

O s h e r a n d F a t e m i 3 8 ] i n b o t h t h e o r y a n d a l g o r i t h m . T h e m o d e l m a k e s i t p o s s i b l e

t o d i r e c t l y i n p a i n t n o i s y i m a g e s . I t i s c l o s e l y c o n n e c t e d t o t h e o n e p r o p o s e d b y

M a s n o u a n d M o r e l 2 7 ] i n t h e c o n t e x t o f d i s o c c l u s i o n , a n d i s s i m p l e r a n d m u c h

e a s i e r t o b e i m p l e m e n t e d d i g i t a l l y , a n d r o b u s t t o n o i s e . T h e v a r i a t i o n a l m e t h o d -

o l o g y i s d i s t i n c t f r o m B e r t a l m i o e t a l . ' s a p p r o a c h b a s e d o n t h e m e c h a n i s m o f

t r a n s p o r t a t i o n o f i n f o r m a t i o n f r o m t h e g i v e n d a t a i n t o t h e i n p a i n t i n g d o m a i n 1 ] .

W e a l s o p r e s e n t t h e d i g i t a l i m p l e m e n t a t i o n o f t h e T V i n p a i n t i n g m o d e l b a s e d o n

n u m e r i c a l P D E ' s . T h e l i n e a r i z a t i o n t e c h n i q u e a n d a G a u s s - J a c o b i t y p e o f i t e r a -

t i v e s c h e m e l e a d t o a s t a b l e l o w p a s s l t e r i n g p r o c e s s , w h i c h i s t y p i c a l l y f a s t e r a n d

m o r e s t a b l e t h a n s c h e m e s b a s e d o n d i r e c t t i m e m a r c h i n g s , a n d a p p l i e s e a s i l y t o

d i g i t a l d o m a i n s w i t h i n v o l v e d s h a p e s .

( 5 ) W e d i s c u s s a n a t u r a l m o d i c a t i o n o f t h e M u m f o r d - S h a h 3 0 ] s e g m e n t a t i o n m o d e l

f o r a s e g m e n t a t i o n b a s e d i n p a i n t i n g s c h e m e . W e a l s o d i s c u s s i t s l i n k t o t h e T V

i n p a i n t i n g m o d e l , t h e i r c o m m o n d r a w b a c k , a n d t h e r e c e n t w o r k b y C h a n a n d

S h e n 8 ] o n t h e C D D i n p a i n t i n g s c h e m e , w h i c h i s d e s i g n e d t o o v e r c o m e s u c h

d r a w b a c k .

( 6 ) W e m a k e t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n d i g i t a l i n p a i n t i n g s a n d d i g i t a l z o o m - i n ' s . T h e

v a r i a t i o n a l m e t h o d o l o g y f o r i n p a i n t i n g s d e v e l o p e d i n t h e p a p e r p r o v i d e s a n a t r u a l

f r a m e w o r k f o r d i r e c t d i g i t a l z o o m - i n ' s i n t h e p i x e l d o m a i n .

( 7 ) W e d e v e l o p a n e w i n n o v a t i v e a p p l i c a t i o n o f i n p a i n t i n g f o r i m a g e c o m p r e s s i o n

b a s e d o n e d g e c o d i n g .

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 2 c l a r i e s t h e m e a n i n g o f l o c a l i t y a n d

i t s s i g n i c a n c e . C o n n e c t i o n s t o c o m p u t e r v i s i o n a r e a l s o m a d e t h r o u g h t w o f a m i l i a r

c l a s s e s o f e x a m p l e s . S e c t i o n 3 i n t r o d u c e s t h e H e l m h o l t z p o s t u l a t i o n i n c o m p u t e r v i -

s i o n . I t i s t h e p h i l o s o p h i c a l b e d r o c k f o r t h e v a r i a t i o n a l a p p r o a c h . I n S e c t i o n 4 , w e

s t u d y t h e m o d e l s a n d a c c u r a c y a n a l y s i s f o r i n p a i n t i n g s m o o t h i m a g e s . O u r s t a r t i n g

p o i n t i s G r e e n ' s S e c o n d F o r m u l a , w h i c h l e a d s t o l i n e a r a n d c u b i c s c h e m e s r e a l i z e d b y

t h e h a r m o n i c o r b i - h a r m o n i c i n p a i n t i n g s . I n s e c t i o n 5 , w e p r o p o s e t h r e e i n p a i n t i n g

p r i n c i p l e s f o r a r e a l i s t i c l o w - l e v e l i n p a i n t i n g m o d e l . I n t h i s s p i r i t , t h e t o t a l v a r i a t i o n

( T V ) i n p a i n t i n g m o d e l i s f o r m u l a t e d i n S e c t i o n 6 , w h i c h e x t e n d s t h e c l a s s i c a l T V

r e s t o r a t i o n m o d e l o f R u d i n , O s h e r a n d F a t e m i 3 8 ] . T h e d i g i t a l i m p l e m e n t a t i o n o f

t h e T V i n p a i n t i n g m o d e l i s a l s o p r e s e n t e d . I n s e c t i o n 7 , w e p r o p o s e a s e g m e n t a -

t i o n b a s e d i n p a i n t i n g s c h e m e , a s i n s p i r e d b y t h e c e l e b r a t e d s e g m e n t a t i o n m o d e l o f

M u m f o r d a n d S h a h 3 0 ] . S e c t i o n 8 d i s c u s s e s t h e l a s t i n p a i n t i n g p r i n c i p l e , a n d b r i e y

i n t r o d u c e s t h e r e c e n t w o r k o f C h a n a n d S h e n 8 ] o n i n p a i n t i n g s b a s e d o n c u r v a t u r e

d r i v e n d i u s i o n s ( C D D ) . I n S e c t i o n 9 , w e m a k e t h e l i n k b e t w e e n d i g i t a l z o o m - i n ' s a n d

d i g i t a l i n p a i n t i n g s . A d i g i t a l z o o m - i n m o d e l a l m o s t i d e n t i c a l t o t h e c o n t i n u o u s T V

i n p a i n t i n g m o d e l i s c o n s t r u c t e d b a s e d o n t h e s e l f - c o n t a i n e d d i g i t i z e d P D E m e t h o d

d e v e l o p e d b y C h a n , O s h e r a n d S h e n 7 ] . S e c t i o n 1 0 e x p l a i n s t h e n e w i m p o r t a n t a p -

p l i c a t i o n o f t h e i n p a i n t i n g t e c h n i q u e f o r e d g e d e c o d i n g a n d i m a g e c o m p r e s s i o n . T h e


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l a s t s e c t i o n d e m o n s t r a t e s t h e c o m p u t a t i o n a l r e s u l t s i n r e s t o r i n g s c r a t c h e d o l d p h o t o s ,

( l o c a l ) d i s o c c l u s i o n i n c o m p u t e r v i s i o n , t e x t s r e m o v a l f r o m i m a g e s , d i g i t a l z o o m - i n ' s

a n d e d g e d e c o d i n g .

2 . W h y L o c a l I n p a i n t i n g s ? . T h e w o r d \ l o c a l i t y " i n t h i s p a p e r h a s t w o l a y e r s

o f m e a n i n g . I t i m p l i e s t h a t b o t h t h e c l a s s o f i n p a i n t i n g p r o b l e m s w e a r e t a r g e t i n g a t

a n d t h e c l a s s o f i n p a i n t i n g s c h e m e s w e i n t e n d t o d e v e l o p a r e l o c a l . W e n o w c l a r i f y

t h e m f r o m b o t h t h e v i e w p o i n t o f n u m e r i c a l m a t h e m a t i c s a n d t h a t o f v i s i o n a n a l y s i s .

F i r s t , i n t e r m s o f n u m e r i c a l m a t h e m a t i c s , l o c a l i t y i s n e c e s s a r y f o r a f a i t h f u l r e -

c o n s t r u c t i o n o f t h e m i s s i n g i m a g e i n f o r m a t i o n . T h e s i t u a t i o n i s w e l l e x p l a i n e d b y

S h a n n o n ' s S a m p l i n g T h e o r e m 3 3 ] : i f o n e e x p e c t s a n a c c u r a t e r e c o n s t r u c t i o n o f a

( b a n d - l i m i t e d ) s i g n a l , t h e n t h e s a m p l i n g d i s t a n c e h a s t o b e s m a l l e n o u g h ( a c c o r d i n g

t o t h e b a n d - w i d t h ) . T h e s a m e r u l e a p p l i e s t o i n p a i n t i n g p r o b l e m s . I f a n i n p a i n t i n g

d o m a i n i s t o o l a r g e , g e n e r a l l y ( e x c e p t f o r t h e c a s e w h e n t h e i m a g e c o n t a i n s o n l y l o w

f r e q u e n c i e s a n d t h u s i s v e r y s m o o t h a n d a t ) , w e h a v e a l r e a d y l o s t s o m e v i s u a l l y

m e a n i n g f u l \ h i g h - f r e q u e n c y " c o n t e n t s ( o r s m a l l s c a l e f e a t u r e s ) . A s a r e s u l t , a n y g i v e n

i n p a i n t i n g s c h e m e c a n o n l y o u t p u t a p o s s i b l e p a i n t i n g , i n s t e a d o f a v i s u a l l y m e a n i n g -

f u l a p p r o x i m a t i o n t o t h e o r i g i n a l i m a g e . S i n c e i n p a i n t i n g q u a l i t i e s a r e m o s t l y j u d g e d

b y h u m a n e y e s , s o m e t i m e s a p o s s i b l e p a i n t i n g ( w h i c h i s n o t g u a r a n t e e d t o b e c l o s e t o

t h e o r i g i n a l w h o l e i m a g e ) m a k e s l i t t l e s e n s e . I n p a i n t i n g a n o r m a l h u m a n f a c e w i t h

t h e l e f t ( o r r i g h t ) e y e r e g i o n a s t h e i n p a i n t i n g d o m a i n i s s u c h a g o o d e x a m p l e . A n y

l o c a l i n p a i n t i n g s c h e m e ( s e e t h e d i s c u s s i o n b e l o w ) c a n o n l y o u t p u t a h o r r i b l e h u m a n

f a c e w i t h t h e m i s s i n g e y e r e g i o n l l e d i n b y t h e s u r r o u n d i n g f a c i a l c o l o r . T h u s i n t h i s

p a p e r , w e s h a l l o n l y c o n s i d e r i n p a i n t i n g s w h o s e i n p a i n t i n g d o m a i n s h a v e s m a l l s i z e s

c o m p a r e d t o t h e s c a l e s o f t h e m i s s i n g f e a t u r e s .

S e c o n d l y , l o c a l i t y i n i n p a i n t i n g s i s a l s o c l o s e l y c o n n e c t e d t o t w o p r o b l e m s i n v i s i o n

a n a l y s i s : l o c a l i n f e r e n c e a n d t h e f a c t o r o f s c a l e . S i m i l a r d i s c u s s i o n c a n b e f o u n d i n

t h e l i t e r a t u r e o f c o m p u t e r v i s i o n a n d h u m a n v i s i o n ( s e e f o r e x a m p l e , t h e p s y c h o l o g i s t

K a n i z s a ' s a r t i s t i c b o o k 2 1 ] ) .

L o c a l I n f e r e n c e . T h e l o c a l i t y c o n d i t i o n m e a n s t h a t o u r m o d e l s d o n o t r e l y o n g l o b a l

f e a t u r e o r p a t t e r n r e c o g n i t i o n . I n p a i n t i n g i s t h u s b a s e d o n l o c a l ( w i t h r e s p e c t t o t h e

i n p a i n t i n g d o m a i n ) i n f o r m a t i o n o n l y . F o r n o n - t e x t u r e i m a g e s , a p a t t e r n i s a c l a s s

o f s p a t i a l o r c o l o r s y m m e t r y , s u c h a s m i r r o r s y m m e t r y , t r a n s l a t i o n i n v a r i a n c e , a n d

p e r i o d i c i t y . F o r e x a m p l e , m o s t h u m a n f a c e s a r e n e a r l y m i r r o r s y m m e t r i c a l o n g t h e

m o u t h - n o s e c e n t r a l l i n e . T h o u g h a p p a r e n t t o h u m a n v i s u a l p e r c e p t i o n , s u c h p a t t e r n s

a r e m u c h m o r e d i c u l t a n d e x p e n s i v e t o b e c a u g h t b y d i g i t a l i n t e l l i g e n c e , d u e t o t h e i r

r i c h v a r i a t i o n s i n s c a l e s a n d s t r u c t u r e s .

Embedded

The inpainting domains are both

F i g . 2 . 1 A l o c a l i n p a i n t i n g s c h e m e d o e s n o t r e q u i r e g l o b a l p a t t e r n r e c o g n i t i o n .


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H e r e i s a c l a s s i c a l e x a m p l e i n v i s i o n a n a l y s i s t o c l a r i f y w h a t w e j u s t d i s c u s s e d

( r e f e r t o F i g u r e 2 . 1 ) . I n t h e l e f t i m a g e t o b e i n p a i n t e d , t h e i n p a i n t i n g ( o r o c c l u d e d )

d o m a i n i s t h e s q u a r e a t t h e c e n t e r . T o h u m a n s , w e i m m e d i a t e l y \ s e e " a b l a c k c r o s s

d e s p i t e t h e m i s s i n g c e n t e r , a n d t h u s l l i n t h e b l a c k c o l o r . M o s t o f u s a g r e e t h a t t h i s

i s t h e b e s t g u e s s . I n t h e r i g h t i m a g e , w e e m b e d t h e l e f t i m a g e i n t o a l a r g e r s t r u c t u r e .

T h i s t i m e , w e e a s i l y r e c o g n i z e t h e c h e c k - b o a r d p a t t e r n , a n d t h u s l l i n t h e w h i t e

c o l o r . I t i s c a l l e d t h e c o m p l e t i o n o f s p a t i a l s y m m e t r y . T h e e x a m p l e d i s c u s s e d e a r l i e r

o n i n p a i n t i n g a h u m a n f a c e b e l o n g s v e r y m u c h t o t h e s a m e c a t e g o r y . W i t h o u t t h e

c a p a b i l i t y o f r e c o g n i z i n g g l o b a l p a t t e r n s , s u c h o u t p u t s c a n n o t b e e x p e c t e d .

T h e c o m p l e x i t y o f h u m a n v i s u a l p e r c e p t i o n p a r a l l e l s t h a t o f i n p a i n t i n g s . A n y

h i g h - l e v e l i n p a i n t i n g s c h e m e m u s t b e a b l e t o c a r r y o u t p a t t e r n r e c o g n i t i o n . I n t h i s

p a p e r , t h e i n p a i n t i n g m o d e l s s h o u l d b e c o n s i d e r e d a s a l o w - l e v e l o n e | t h e i n p a i n t i n g

r e s u l t s a r e i n d e p e n d e n t o f g l o b a l p a t t e r n s . T h e r e f o r e , e v e n f o r t h e l a t t e r c a s e w i t h

e m b e d d i n g , t h e o u t p u t f r o m t h e i n p a i n t i n g m o d e l s s h a l l s t i l l b e a b l a c k c r o s s .

T h e F a c t o r o f S c a l e . S c a l e p l a y s a u n i v e r s a l l y s i g n i c a n t r o l e i n v i s i o n a n a l y s i s a n d

i m a g e p r o c e s s i n g . S o i t d o e s i n t h e p r o b l e m o f i n p a i n t i n g .

l

L

l

L

" E 3 " or " B " ?

F i g . 2 . 2 T h e e e c t o f t h e i n p a i n t i n g s c a l e L

C o n s i d e r F i g u r e 2 . 2 . I n t h e l e f t i m a g e , t h e i n p a i n t i n g s c a l e L i s m u c h l a r g e r t h a n

t h a t o f t h e c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r e ( d e n o t e d b y l ) , a n d t h e l e f t p a r t \ E " a n d r i g h t p a r t

\ 3 " s e e m t o b e m o r e u n c o r r e l a t e d . W e t h u s t e n d t o a c c e p t t h e g u r e a s t w o s e p a r a t e

l e t t e r s \ E 3 " . I n t h e r i g h t i m a g e , o n t h e o t h e r h a n d , t h e i n p a i n t i n g s c a l e L i s s m a l l e r

t h a n ( o r a t l e a s t c o m p a r a b l e w i t h ) l . A c c o r d i n g l y , w e a r e m o r e l i k e l y t o b e l i e v e t h a t

t h e g u r e i s a b r o k e n l e t t e r \ B . " I n t h i s e x a m p l e , t h e n o n - u n i q u e n e s s i s n o t c a u s e d

b y g l o b a l p a t t e r n s , b u t b y o u r g u e s s o n t h e c o r r e l a t i o n a m o n g f e a t u r e s l e f t t h e r e .

T h e c o n t r o l l i n g p a r a m e t e r i s t h e c o n c e p t o f s c a l e . T h e T V i n p a i n t i n g m o d e l a n d t h e

s e g m e n t a t i o n b a s e d i n p a i n t i n g m o d e l d e v e l o p e d l a t e r o u t p u t t h e s a m e r e s u l t s a s o u r

h u m a n v i s i o n d o e s . ( H o w e v e r , a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 8 , s o m e t i m e s t h e C o n n e c t i v i t y

P r i n c i p l e m u s t b e a n d c a n b e e n f o r c e d r e g a r d l e s s o f t h e s c a l e f a c t o r . )

3 . H e l m h o l t z ' s P o s t u l a t e i n V i s i o n A n a l y s i s . I n v i s i o n r e s e a r c h , t h e f o l l o w -

i n g p o s t u l a t e b e l o n g i n g t o H e l m h o l t z p l a y s a f u n d a m e n t a l r o l e :

T h e H e l m h o l t z P o s t u l a t e . W h a t w e p e r c e i v e i s o u r b e s t g u e s s a s t o t h e s t a t e o f

t h e w o r l d g i v e n t h e s e n s o r y d a t a .

T h i s \ b e s t g u e s s " p r i n c i p l e , i n t e r m s o f s t a t i s t i c s , i s t h e f a m i l i a r B a y e s i a n v i e w o f


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t h e w o r l d ( s e e , f o r e x a m p l e , t h e w e l l - k n o w n p a p e r b y t h e G e m a n b r o t h e r s 1 6 ] ) . O n t h e

o t h e r h a n d , i n t e r m s o f t h e d e t e r m i n i s t i c m e t h o d o l o g y , s u c h \ b e s t g u e s s e s " a r e r e a l i z e d

b y o p t i m i z i n g e n e r g y ( o r c o s t ) f u n c t i o n a l s 2 8 ] . T h e d i c u l t y i s t o c o m e u p w i t h

p e r c e p t u a l l y m e a n i n g f u l e n e r g y f u n c t i o n a l s . F o r i m a g e s e g m e n t a t i o n , t h e M u m f o r d -

S h a h 3 0 ] f u n c t i o n a l h a s p r o v e n t o b e a v e r y s u c c e s s f u l o n e . F o r i m a g e r e s t o r a t i o n

i n v o l v i n g d e n o i s i n g a n d d e b l u r r i n g , t h e R u d i n - O s h e r - F a t e m i 3 8 ] T V f u n c t i o n a l i s

a n o t h e r s u c c e s s f u l e x a m p l e ( a t 3 7 , 3 8 ] o r n o n - a t f e a t u r e s 9 , 3 6 , 4 2 , 4 3 ] ) . F o r t h e

e d g e c o m p l e t i o n f r o m T - j u n c t i o n s i n a u t o m a t i c d i s o c c l u s i o n , N i t z b e r g , M u m f o r d , a n d

S h i o t a 3 2 ] r e c o m m e n d e d E u l e r ' s e l a s t i c a f u n c t i o n a l .

I n t h i s p a p e r , t h e m a j o r i n p a i n t i n g m o d e l s h a v e b e e n c l o s e l y i n s p i r e d b y t h e a b o v e

e x i s t i n g r e s u l t s o n s e g m e n t a t i o n a n d r e s t o r a t i o n , a n d f o l l o w f a i t h f u l l y t h e H e l m h o l t z

P o s t u l a t e . T h i s i s t h e m a i n d i e r e n c e b e t w e e n o u r w o r k a n d B e r t a l m i o e t a l . ' s 1 ] ,

w h i c h i s b a s e d o n t h e t r a n s p o r t a t i o n m e c h a n i s m u s i n g a t h i r d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a -

t i o n . I n t h e c o n t e x t o f c o m p u t e r v i s i o n , t h e m e c h a n i s m o f v a r i a t i o n a l d i s o c c l u s i o n

r s t a p p e a r e d i n 3 2 ] , a n d h a s b e e n r e c e n t l y e x t e n d e d b y M a s n o u a n d M o r e l 2 7 ] .

4 . S m o o t h I n p a i n t i n g s a n d G r e e n ' s S e c o n d F o r m u l a . T o d e v e l o p a r i g o r -

o u s m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k f o r i n p a i n t i n g s , w e s t a r t f r o m a s i m p l e s e t t i n g , i n w h i c h

t h e a c c u r a c y o f i n p a i n t i n g c a n b e s t u d i e d . T h i s i s t h e c a s e w h e n t h e t a r g e t i m a g e

f u n c t i o n i s s m o o t h , o r t h e i n p a i n t i n g d o m a i n i s c o n t a i n e d i n t h e i n t e r i o r o f a s m o o t h

2 - D o b j e c t . B e s i d e s , s t u d y i n g t h i s s i m p l e c a s e c a n a l s o s h e d l i g h t o n t h e m o r e r e a l i s t i c

c a s e c o m i n g l a t e r .

L e t u

0

b e a s m o o t h i m a g e f u n c t i o n d e n e d o n a 2 - D d o m a i n ( a r e c t a n g u l a r

d o m a i n , t y p i c a l l y ) . D e n o t e b y D t h e d o m a i n t o b e i n p a i n t e d a n d d i t s d i a m e t e r .

W r i t e t h e r e s t r i c t i o n o f u

0

o n D b y u

0

D

. T h e n i n p a i n t i n g i s t o n d a f u n c t i o n u

D

d e n e d o n D s u c h t h a t u

D

i s a g o o d a p p r o x i m a t i o n ( o r \ b e s t " g u e s s ) t o u

0

D

.

A n i n p a i n t i n g s c h e m e i s s a i d t o b e l i n e a r i f f o r a n y g i v e n s m o o t h i m a g e u

0

, a s t h e

d i a m e t e r d o f t h e i n p a i n t i n g r e g i o n D t e n d s t o 0 ,

k u

D

? u

0

D

k

1

= O ( d

2

) : ( 4 . 1 )

S i m i l a r l y , a n i n p a i n t i n g s c h e m e i s s a i d t o b e o f k - t h o r d e r i f

k u

D

? u

0

D

k

1

= O ( d

k + 1

) : ( 4 . 2 )

I n t h i s s e c t i o n , w e r s t s t u d y s u c h s m o o t h i n p a i n t i n g m o d e l s .

4 . 1 . S m o o t h i n p a i n t i n g v i a G r e e n ' s S e c o n d F o r m u l a . R e c a l l t h a t f o r t h e

1 - d i m e n s i o n a l c a s e , h a r m o n i c f u n c t i o n s o n a n i n t e r v a l h a v e t o b e l i n e a r f u n c t i o n s .

T h e r e f o r e , 1 - D l i n e a r i n p a i n t i n g s m a y b e c a r r i e d o u t e q u i v a l e n t l y b y h a r m o n i c e x t e n -

s i o n s . T h i s p r o v i d e s t h e k e y f o r 2 - d i m e n s i o n a l s m o o t h i n p a i n t i n g s . H e r e w e p r o p o s e

t o a p p l y t h e t o o l o f G r e e n ' s S e c o n d F o r m u l a .

L e t d e n o t e t h e L a p l a c i a n

u : =

@

2

u

@ x

2

+

@

2

u

@ y

2

:

G r e e n ' s S e c o n d F o r m u l a o n D i s

Z

D

( u v ? v u ) d x d y =

Z

?

( u

@ v

@ n

? v

@ u

@ n

) d s ; ( 4 . 3 )

w h e r e ,


7/31


( a ) u a n d v a r e a n y C

2

f u n c t i o n s d e n e d o n t h e c l o s u r e o f D ;

( b ) n i s t h e o u t w a r d ( w . r . t . D ) n o r m a l d i r e c t i o n o f ? , a n d s t h e l e n g t h p a r a m e t e r .

T a k e G ( z

0

; z ) t o b e t h e G r e e n ' s f u n c t i o n f o r t h e g r o u n d e d P o i s s o n e q u a t i o n o n

D . T h a t i s , f o r a n y \ s o u r c e " p o i n t z

0

= ( x

0

; y

0

) 2 D , G ( z

0

; z ) , a s a f u n c t i o n o f t h e

\ e l d " p o i n t z = ( x ; y ) 2 D , s o l v e s

? G = ( z ? z

0

) ; G

?

= 0 :

A p p l y i n g G r e e n ' s S e c o n d F o r m u l a t o ( u = u

0

( z ) ; v =

?G ( z

0

; z ) ) , w e h a v e

u

0

( z

0

) =

Z

?

u

0

( z ( s ) )

@ ( ? G ( z

0

; z ) )

@ n

d s +

Z

D

G ( z

0

; z )

?

? u

0

( z )

d z ; ( 4 . 4 )

w h e r e d z = d x d y . ( M o r e r i g o r o u s l y , w e s h o u l d h a v e u s e d t h e s y m b o l ( d z d z ) = 2 i . )

I n E q . ( 4 . 4 ) , d e n o t e t h e r s t t e r m o n t h e r i g h t b y u

h

( z

0

) , a n d t h e s e c o n d t e r m b y

u

a

( z

0

) . T h e n u

h

i s t h e h a r m o n i c e x t e n s i o n o f f = u

0

?

a n d

d !

z

0

=

@ ( ? G ( z

0

; z ) )

@ n

d s

i s t h e h a r m o n i c m e a s u r e o f ? a s s o c i a t e d w i t h a s o u r c e p o i n t z

0

( N e v a n l i n n a 3 1 ] ) .

T h e a n t i - h a r m o n i c c o m p o n e n t u

a

: = u

0

? u

h

s a t i s e s t h e P o i s s o n e q u a t i o n

u

a

( z ) = u

0

( z ) ; z 2 D ; a n d u

a

?

= 0 : ( 4 . 5 )

N u m e r i c a l l y , t h e P o i s s o n e q u a t i o n i s f a v o r e d o v e r t h e d i r e c t i n t e g r a t i o n f o r m u l a t i o n

s i n c e o n e c a n p r o t f r o m m a n y n u m e r i c a l P D E s c h e m e s a n d t h e i r f a s t s o l v e r s .

T o e s t a b l i s h a r i g o r o u s r e s u l t o n t h e i n p a i n t i n g a c c u r a c y f o r s m o o t h i m a g e s , w e

t u r n t o t h e g e o m e t r y o f a 2 - D d o m a i n e n c o d e d i n t o i t s a s s o c i a t e d G r e e n ' s f u n c t i o n .

T h e f o l l o w i n g r e s u l t s o n G r e e n ' s f u n c t i o n s a r e s t a n d a r d , b u t t h e y a r e i n d e e d f r e s h

f o r a p p l i c a t i o n s i n i m a g e p r o c e s s i n g a n d c o m p u t e r v i s i o n , a n d s t a n d a r d p r o o f s a r e

t h e r e f o r e p u t d o w n h e r e f o r c o m p l e t e n e s s . W e b e l i e v e t h a t t h e c o m p l e x p o t e n t i a l

t h e o r y w i l l n d i t s w i d e r a p p l i c a t i o n s i n d i g i t a l s i g n a l a n d i m a g e p r o c e s s i n g . ( F o r

e x a m p l e , r e c e n t a p p l i c a t i o n s i n d i g i t a l l t e r d e s i g n c a n b e f o u n d i n 3 9 , 4 0 ] . )

T h e o r e m 4 . 1 . L e t d d e n o t e t h e d i a m e t e r o f a d o m a i n D a n d G ( z

0

; z ) t h e a s s o -

c i a t e d G r e e n ' s f u n c t i o n f o r t h e P o i s s o n e q u a t i o n . T h e n

Z

D

G ( z

0

; z ) d x d y

d

2

4

:

T h e p r o o f i s b a s e d u p o n t w o s i m p l e l e m m a s .

L e m m a 4 . 2 ( C o m p a r i s o n L e m m a ) . S u p p o s e D

1

D

2

, a n d G

1

( z

0

; z ) a n d G

2

( z

0

; z )

a r e t h e i r a s s o c i a t e d G r e e n ' s f u n c t i o n s . T h e n f o r a l l z

0

; z 2 D

1

,

G

1

( z

0

; z ) G

2

( z

0

; z ) :

P r o o f . F o r a n y z

0

2 D

1

, d e n e

g ( z ) = G

2

( z

0

; z ) ? G

1

( z

0

; z ) :


8/31


T h e n a l o n g t h e b o u n d a r y o f D

1

,

g ( z ) = G

2

( z

0

; z ) 0 ;

s i n c e t h e g r o u n d e d G r e e n ' s f u n c t i o n i s a l w a y s n o n - n e g a t i v e . M o r e o v e r , g ( z ) i s h a r -

m o n i c i n s i d e D

1

b e c a u s e t h e l o g a r i t h m s i n g u l a r i t i e s a t z

0

a r e c a n c e l e d o u t . T h e r e f o r e

g ( z ) 0 f o r a l l z 2 D

1

d u e t o t h e e x t r e m u m p r i n c i p l e o f h a r m o n i c f u n c t i o n s : t h e

m i n i m u m i s a l w a y s a c h i e v e d a l o n g t h e b o u n d a r y ( G i l b a r g a n d T r u d i n g e r 1 7 ] ) . T h i s

p r o v e s t h e l e m m a .

L e m m a 4 . 3 . S u p p o s e B

1

i s t h e u n i t d i s k c e n t e r e d a t 0 , a n d G

1

( z

0

; z ) i t s G r e e n ' s

f u n c t i o n . T h e n

Z

B

1

G

1

( z

0

; z ) d x d y =

1 ? j z

0

j

2

4

;

f o r a l l z

0

2B

1

.

P r o o f . C o n s i d e r t h e P o i s s o n e q u a t i o n o n B

1

? u = 1 ; u

@ B

1

= 0 :

I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e u n i q u e s o l u t i o n i s

u ( z ) =

1 ? j z j

2

4

=

1 ? x

2

? y

2

4

:

O n t h e o t h e r h a n d , b y G r e e n ' s S e c o n d F o r m u l a ,

u ( z

0

) =

Z

B

1

G

1

( z

0

; z ) ( ? u ( z ) ) d x d y =

Z

B

1

G

1

( z

0

; z ) d x d y :

T h i s v e r i e s t h e l e m m a . ( N o t e . S i n c e w e d o k n o w t h a t

G

1

( z

0

; z ) =

? 1

2

l n

z ? z

0

1 ? z

0

z

;

t h e l e m m a c a n a l s o b e w o r k e d o u t b y e v a l u a t i n g t h e i n t e g r a l e x p l i c i t l y . )

P r o o f o f T h e o r e m 4 . 1 . T a k e a n y s i n g l e p o i n t w 2 D , a n d l e t B

d

d e n o t e t h e d i s k

c e n t e r e d a t w a n d w i t h r a d i u s d . T h e n

D B

d

:

L e t G

d

( z

0

; z ) d e n o t e t h e G r e e n ' s f u n c t i o n f o r B

d

. T h e n L e m m a 4 . 2 s h o w s t h a t

G ( z

0

; z ) G

d

( z

0

; z ) ;

f o r a l l z

0

a n d z i n D . F o r s i m p l i c i t y , l e t u s a s s u m e t h a t w = 0 . T h e n w e h a v e t h e

s c a l i n g l a w

G

d

( z

0

; z ) = G

1

(

z

0

d

;

z

d

) ; ( 4 . 6 )


9/31


w h e r e G

1

, a s i n L e m m a 4 . 3 , i s t h e G r e e n ' s f u n c t i o n f o r B

1

. ( T h i s s c a l i n g l a w i s t r u e

o n l y f o r t h e 2 - d i m e n s i o n a l c a s e . ) T h e r e f o r e , b y L e m m a 4 . 3 , f o r a n y z

0

2 D ,

Z

D

G ( z

0

; z ) d x d y

Z

D

G

d

( z

0

; z ) d x d y

Z

B

d

G

d

( z

0

; z ) d x d y

=

Z

B

d

G

1

(

z

0

d

;

z

d

) d x d y = d

2

Z

B

1

G

1

(

z

0

d

; z

0

) d x

0

d y

0

= d

2

1 ? j z

0

= d j

2

4

d

2

4

;

a s a s s e r t e d b y t h e t h e o r e m . ( T h e l a s t s t e p i s d u e t o o u r a s s u m p t i o n t h a t w = 0 2 D

a n d z

0

2 D . I f t h i s i s n o t t h e c a s e , t h e n s i m p l y r e p l a c e z

0

a n d z b y z

0

? w a n d z ? w ,

a n d t h e p r o o f s t i l l h o l d s . ) T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .

B a s e d o n t h i s t h e o r e m , w e c a n e a s i l y e s t a b l i s h t h e a c c u r a c y o r d e r s f o r i n p a i n t i n g s

b a s e d o n G r e e n ' s S e c o n d F o r m u l a .

( a ) L i n e a r i n p a i n t i n g v i a h a r m o n i c e x t e n s i o n . S u p p o s e w e i n p a i n t u

0

D

s i m p l y

b y t h e h a r m o n i c e x t e n s i o n , i . e . u

D

= u

h

. W e n o w s h o w t h a t t h i s i s a l i n e a r

i n p a i n t i n g s c h e m e , i . e . ,

k u

h

? u

0

D

k

1

= O ( d

2

) ;

a s t h e d i a m e t e r d ! 0 .

A c c o r d i n g t o E q . ( 4 . 4 ) , t h e e r r o r o f t h e h a r m o n i c i n p a i n t i n g i s e x a c t l y t h e a n t i -

h a r m o n i c c o m p o n e n t u

a

. S i n c e u

0

i s a x e d s m o o t h f u n c t i o n , t h e r e e x i s t s a

c o n s t a n t M s u c h t h a t

j u

0

( z ) j M ;

f o r a l l z 2 D . T h e n f o r a n y z

0

2 D , b y T h e o r e m 4 . 1 ,

j u

a

( z

0

) j M

Z

D

G ( z

0

; z ) d z

M d

2

4

:

T h i s v a l i d a t e s t h e a s s e r t i o n .

( b ) C u b i c i n p a i n t i n g v i a G r e e n ' s F o r m u l a . T o i m p r o v e t h e a c c u r a c y o f i n p a i n t -

i n g s b a s e d o n G r e e n ' s S e c o n d F o r m u l a , w e n e e d i n p a i n t t h e \ d e t a i l " c o m p o n e n t

u

a

m i s s e d b y t h e h a r m o n i c i n p a i n t i n g .

L e t u

D

b e a n y l i n e a r i n p a i n t i n g o f u

0

D

( v i a t h e h a r m o n i c s c h e m e , f o r e x a m p l e ) .

T h e n w e i n p a i n t u

a

D

b y u

a

D

a c c o r d i n g t o t h e i n t e g r a t i o n f o r m u l a

u

a

D

( z

0

) =

Z

D

G ( z

0

; z ) ( ? u

D

( z ) ) d z ; ( 4 . 7 )

o r e q u i v a l e n t l y , b y s o l v i n g t h e g r o u n d e d P o i s s o n e q u a t i o n

? u

a

D

( z ) = ? u

D

( z ) ; z 2 D ; u

a

D

?

= 0 :

F i n a l l y , b y a d d i n g t h i s n e w d e t a i l t o t h e h a r m o n i c i n p a i n t i n g , w e d e r i v e a m o r e

a c c u r a t e i n p a i n t i n g u

D

t o t h e o r i g i n a l s m o o t h i m a g e :

u

D

( z ) = u

h

( z ) + u

a

D

( z ) : ( 4 . 8 )


10/31

1 0 C h a n a n d S h e n

T h e o r e m 4 . 4 ( C u b i c I n p a i n t i n g ) . I f u

D

i s a l i n e a r i n p a i n t i n g o f u

0

o n D , t h e n

E q . ( 4 . 7 ) a n d ( 4 . 8 ) d e n e a c u b i c i n p a i n t i n g o f u

0

, i . e .

k u

D

? u

0

D

k

1

= O ( d

4

) :

P r o o f . B y G r e e n ' s S e c o n d F o r m u l a , f o r a n y z

0

2 D ,

u

D

( z

0

) ? u

0

D

( z

0

) =

Z

D

G ( z

0

; z )

?

? u

D

( z ) + u

0

( z )

d x d y :

S i n c e u

D

( z ) i s a l i n e a r i n p a i n t i n g o f u

0

( z ) , t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t M , i n d e p e n -

d e n t o f t h e i n p a i n t i n g d o m a i n D , s u c h t h a t

j u

D

( z ) ? u

0

( z ) j M d

2

;

f o r a l l z 2 D . H e n c e ,

j u

D

( z

0

) ? u

0

D

( z

0

) j M d

2

Z

D

G ( z

0

; z ) d x d y :

T h e p r o o f i s t h e n c o m p l e t e b y T h e o r e m 4 . 1 .

R e m a r k 2 . I n t h e a b o v e c u b i c i n p a i n t i n g p r o c e s s , i f t h e l i n e a r i n p a i n t i n g u

D

o f u

0

D

i s r e a l i z e d b y a h a r m o n i c i n p a i n t i n g , t h e n t h e c u b i c i n p a i n t i n g i s i n

f a c t a b i - h a r m o n i c i n p a i n t i n g . T h a t i s , u

D

( z ) s o l v e s t h e f o l l o w i n g b i - h a r m o n i c

b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m :

2

u

D

= 0 ; u

D

?

= u

0

?

; u

D

?

= u

0

?

:

A smooth test image to be inpainted Harmonic inpainting

An ideal step edge to be inpainted Harmonic inpainting

F i g . 5 . 1 H a r m o n i c i n p a i n t i n g s o f a s m o o t h i m a g e ( u = r =

p

x

2

+ y

2

) a n d a n i d e a l s t e p e d g e .

5 . T h r e e P r i n c i p l e s f o r a P r a c t i c a l I n p a i n t i n g S c h e m e . A s i n t h e c l a s -

s i c a l a p p r o x i m a t i o n t h e o r y , t h e s m o o t h i n p a i n t i n g m o d e l s h a v e a l l o w e d u s t o s t u d y


11/31


12/31


i n t h e c o m p l e m e n t D

c

, s o t h a t ? l i e s i n t h e i n t e r i o r o f E D ( F i g u r e 6 . 1 ) . S u c h a

s e t t i n g i s m o t i v a t e d b y t h e I n p a i n t i n g P r i n c i p l e s o f l o c a l i t y a n d r o b u s t n e s s t o n o i s e .

(inpainting domain)D

(boundary)

E (an extended ring)

F i g . 6 . 1 T h e T V i n p a i n t i n g m o d e l n d s t h e b e s t g u e s s f o r u

D

b a s e d o n t h e T V n o r m o n t h e

e x t e n d e d d o m a i n E D a n d t h e n o i s e c o n s t r a i n t o n E

W e a s s u m e t h a t u

0

E

i s c o n t a m i n a t e d b y h o m o g e n e o u s w h i t e n o i s e . T h e v a r i -

a t i o n a l i n p a i n t i n g m o d e l i s t o n d a f u n c t i o n u o n t h e e x t e n d e d i n p a i n t i n g d o m a i n

E D , s u c h t h a t i t m i n i m i z e s a n a p p r o p r i a t e r e g u l a r i t y f u n c t i o n a l :

R u ] : =

Z

E D

r ( j r u j ) d x d y ; ( 6 . 1 )

u n d e r t h e t t i n g ( o r d e n o i s i n g ) c o n s t r a i n t o n E

1

A r e a ( E )

Z

E

j u ? u

0

j

2

d x d y =

2

: ( 6 . 2 )

H e r e ,

( i ) r i s a n a p p r o p r i a t e r e a l f u n c t i o n w h i c h i s n o n n e g a t i v e f o r n o n n e g a t i v e i n p u t s .

( i i ) i s t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e w h i t e n o i s e .

R e m a r k 3 . I f D i s e m p t y , t h e a b o v e v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n b e l o n g s t o t h e c l a s s i c a l

d e n o i s i n g m o d e l s s u c h a s t h e H

1

m o d e l i f r ( s ) = s

2

, a n d t h e t o t a l v a r i a t i o n m o d e l o f

R u d i n , O s h e r a n d F a t e m i 3 8 ] i f r ( s ) = s .

T h e v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n ( 6 . 1 ) a n d ( 6 . 2 ) h a v e b e e n d e s i g n e d t o s a t i s f y I n p a i n t -

i n g P r i n c i p l e I o n l o c a l i t y a n d I n p a i n t i n g P r i n c i p l e I I I o n r o b u s t n e s s t o n o i s e . T o

m e e t t h e s e c o n d p r i n c i p l e o n t h e c a p a b i l i t y o f r e s t o r i n g b r o k e n e d g e s , w e n e e d t o

c h o o s e c a r e f u l l y t h e r e g u l a r i t y f u n c t i o n a l R u ] o r r ( s ) . A l o n g a s t e p e d g e , r u i s a

1 - d i m e n s i o n a l d e l t a f u n c t i o n

1

( l i k e ( x ) a s a f u n c t i o n o f x a n d y ) . T h u s , t o b e a b l e

t o r e s t o r e a b r o k e n s t e p e d g e , w e h a v e t o r e q u i r e

Z

E D

r (

1

) d x d y

t o b e n i t e . T h i s i m p l i e s t h a t i f

r ( s ) = s

+ ( l o w e r o r d e r t e r m s )

f o r s o m e p o w e r a s s ! + 1 , t h e n 1 . T o e n s u r e c o n v e x i t y , = 1 i s t h e i d e a l

c h o i c e . I t l e a d s t o t h e w e l l k n o w n t o t a l v a r i a t i o n ( T V ) r e s t o r a t i o n m o d e l o f R u d i n ,

O s h e r a n d F a t e m i 3 8 ] , w h e r e r ( s ) i s t a k e n t o b e s e x a c t l y . I n t h i s p a p e r , w e s h a l l

a l s o m a k e t h e s a m e c h o i c e , a n d c a l l t h e r e s u l t i n g i n p a i n t i n g m o d e l t h e T V i n p a i n t i n g

m o d e l . I t m e e t s a l l t h e t h r e e i n p a i n t i n g p r i n c i p l e s .


13/31

M o d e l s f o r L o c a l N o n - t e x t u r e I n p a i n t i n g s 1 3

A s i n t h e s e g m e n t a t i o n m o d e l o f M u m f o r d a n d S h a h 3 0 ] a n d t h e T V r e s t o r a t i o n

m o d e l o f R u d i n , O s h e r a n d F a t e m i 3 8 ] , i t i s m o r e c o n v e n i e n t t o s o l v e t h e u n c o n -

s t r a i n e d T V i n p a i n t i n g p r o b l e m

J

u ] =

Z

E D

j r u j d x d y +

2

Z

E

j u ? u

0

j

2

d x d y ; ( 6 . 3 )

w h e r e p l a y s a r o l e o f t h e L a g r a n g e m u l t i p l i e r f o r t h e c o n s t r a i n e d v a r i a t i o n a l p r o b -

l e m ( 6 . 1 ) a n d ( 6 . 2 ) .

T h e E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n f o r t h e e n e r g y f u n c t i o n a l J

i s

? r

r u

j r u j

+

e

( u ? u

0

) = 0 ; ( 6 . 4 )

f o r a l l z = ( x ; y ) 2 E D , p l u s t h e N e u m a n n b o u n d a r y c o n d i t i o n 9 , 3 8 ] . H e r e t h e

e x t e n d e d L a g r a n g e m u l t i p l i e r

e

i s g i v e n b y

e

=

(

; z 2 E

0 ; z 2 D :

T h e i n n i t e s i m a l s t e e p e s t d e s c e n t e q u a t i o n f o r J

u ] i s t h e r e f o r e g i v e n b y

@ u

@ t

= r

r u

j r u j

+

e

( u

0

? u ) : ( 6 . 5 )

S i n c e

e

t a k e s t w o d i e r e n t v a l u e s , ( 6 . 4 ) o r ( 6 . 5 ) i s a t w o - p h a s e p r o b l e m , a n d t h e

i n t e r f a c e i s t h e b o u n d a r y ? o f t h e i n p a i n t i n g d o m a i n .

F r o m t h e n u m e r i c a l p o i n t o f v i e w , i n a l l t h e a b o v e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , w e

r e p l a c e t h e c u r v a t u r e t e r m

r

ru

j ru

j

b y r

ru

j ru

j

a

; ( 6 . 6 )

w h e r e t h e \ l i f t e d " a b s o l u t e v a l u e i s d e n e d b y

j s j

a

: =

p

s

2

+ a

2

;

f o r s o m e ( u s u a l l y s m a l l ) p o s i t i v e l i f t i n g p a r a m e t e r a . T h i s c o r r e s p o n d s t o t h e c h o i c e

o f r ( s ) =

p

s

2

+ a

2

f o r t h e r e g u l a r i z e r R u ] i n ( 6 . 1 ) . W e a r e t h u s a c t u a l l y m i n i m i z i n g

J

a

u ] =

Z

E D

p

a

2

+

j ru

j

2

d x d y +

2

Z

E

ju

?u

0

j

2

d x d y :

A s i n m o s t p r o c e s s i n g t a s k s i n v o l v i n g t h r e s h o l d i n g s ( l i k e d e n o i s i n g a n d e d g e d e t e c -

t i o n ) , t h e l i f t i n g p a r a m e t e r a a l s o p l a y s a t h r e s h o l d i n g r o l e . I n s m o o t h r e g i o n s w h e r e

j r u j a , t h e m o d e l t r i e s t o i m i t a t e t h e h a r m o n i c i n p a i n t i n g , w h i l e a l o n g e d g e s w h e r e

j r u j a , t h e m o d e l r e s u m e s t h e T V i n p a i n t i n g .

F r o m t h e t h e o r e t i c a l p o i n t o f v i e w , t h e l i f t i n g p a r a m e t e r a a l s o b e t t e r c o n d i t i o n s

t h e T V i n p a i n t i n g m o d e l ( 6 . 3 ) . I n a n o i s e f r e e s i t u a t i o n , ( 6 . 3 ) i s r e d u c e d t o a b o u n d a r y

v a l u e p r o b l e m :

r

ru

j r u j

= 0 ; x 2 D ; u

@ D

= u

0

@ D

: ( 6 . 7 )


14/31


A s e x p l a i n e d i n 4 ] , t h i s b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m , u n l i k e h a r m o n i c e x t e n s i o n s , i s

g e n e r a l l y i l l - p o s e d a n d m a y f a i l t o h a v e o r t o u n i q u e l y h a v e a s o l u t i o n . T h e p a r a m e t e r

a p l a y s a c o n d i t i o n i n g r o l e a s f o l l o w s . F o r t h e l i f t e d m o d e l ,

r

r u

j r u j

a

=

1

j r u j

3

a

?

j u

y

j

2

a

u

x x

+ j u

x

j

2

a

u

y y

? 2 u

x

u

y

u

x y

:

A s a s e c o n d o r d e r e q u a t i o n , i t s l o c a l e l l i p t i c s y m b o l

a

i s :

a

=

1

j r u j

3

a

j u

y

j

2

a

? u

x

u

y

? u

x

u

y

j u

x

j

2

a

=

a

2

j r u j

3

a

I

2

+

j r u j

3

j r u j

3

a

0

;

w h e r e

0

i s t h e s y m b o l f o r t h e T V m o d e l . I t i s t h e n e a s y t o s h o w t h a t

P r o p o s i t i o n 6 . 1 ( T h e c o n d i t i o n i n g e e c t o f a ) . T h e T V s y m b o l

0

h a s e i g e n -

v a l u e s 0 a n d j r u j

? 1

, w h i l e t h e l i f t e d T V s y m b o l

a

s a t i s e s

j ru = a

j

? 3

1

a

I

2

a

2

a

I

2

:

T h e r e f o r e , a t e a c h p i x e l a w a y f r o m e d g e s ( w h e r e j r u j i s n i t e ) , t h e l i f t e d T V

e q u a t i o n i s s t r o n g l y e l l i p t i c ; i f u h a s a b o u n d e d g r a d i e n t , t h e n t h e l i f t e d T V e q u a t i o n

i s i n f a c t u n i f o r m l y s t r o n g l y e l l i p t i c . T h i s i s t h e c o n d i t i o n i n g e e c t o f a .

R e m a r k 4 . I n s p i r e d b y M u m f o r d ' s p r o p o s a l o f E u l e r ' s e l a s t i c a

Z

L

( +

2

) d s ( 6 . 8 )

f o r e d g e c o m p l e t i o n i n d i s o c c l u s i o n ( a n d a r e c o n s t a n t s , a n d L d e n o t e s a p e r m i s s -

a b l e e d g e c o n n e c t i o n b e t w e e n t w o d e t e c t e d T - j u n c t i o n s , a n d i t s c u r v a t u r e ) , M a s n o u

a n d M o r e l i n 2 7 ] s u g g e s t e d t h e d i s o c c l u s i o n f u n c t i o n a l

Z

j rv

j( 1 +

j ( v )

j

p

) ) d x d y w i t h v = u o u t s i d e D ; ( 6 . 9 )

w h e r e ,

( a ) i s t h e e n t i r e i m a g e d o m a i n , a n d D t h e o c c l u d e d r e g i o n ;

( b ) v = v ( x ; y ) i s a p e r m i s s a b l e d i s o c c l u s i o n a n d u t h e g i v e n i m a g e ;

( c ) ( v ) i s t h e c u r v a t u r e o f l e v e l l i n e s a s g i v e n b y t h e r s t e x p r e s s i o n i n E q . ( 6 . 6 ) .

L i k e t h e L a p l a c i a n v , t h e c u r v a t u r e ( v ) i s a s e c o n d - o r d e r f e a t u r e o f v . T h e r e -

f o r e , s i m i l a r t o t h e b i - h a r m o n i c i n p a i n t i n g m o d e l d i s c u s s e d e a r l i e r , t h e M a s n o u - M o r e l

m o d e l l e a d s t o a f o u r t h o r d e r E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n , a n d c a n b e c o n s i d e r e d a s a

h i g h - o r d e r c o r r e c t i o n o f t h e T V i n p a i n t i n g m o d e l ( w h e n t h e i m a g e i s n o t c o n t a m i -

n a t e d b y n o i s e ) . T h i s f o u r t h - o r d e r e q u a t i o n i s h i g h l y n o n l i n e a r a n d i l l - p o s e d , w h i c h

a c c o u n t s f o r M a s n o u a n d M o r e l ' s p r e f e r e n c e o f t h e l e v e l - l i n e b a s e d d y n a m i c p r o g r a m -

m i n g a l g o r i t h m o v e r t h e n u m e r i c a l P D E m e t h o d .

R e m a r k 5 . S o f a r , t h e T V i n p a i n t i n g m o d e l h a s b e e n s o l e l y i n s p i r e d b y t h e v a r i a -

t i o n a l f o r m u l a t i o n f o r s m o o t h i n p a i n t i n g s a n d t h e t h r e e i n p a i n t i n g p r i n c i p l e s . W e n o w

f u r t h e r j u s t i f y t h e T V n o r m t h r o u g h a w e l l - k n o w n e x a m p l e i n h u m a n v i s i o n p h e n o m -

e n a , w h i c h m a y c o n v i n c e u s ( p a r t i a l l y i f n o t c o m p l e t e l y ) t h a t t h e T V n o r m d o e s w e l l


15/31


a p p r o x i m a t e o u r \ b e s t g u e s s " i n v i s u a l p e r c e p t i o n . T h i s p u t s t h e T V m o d e l u n d e r

t h e g e n e r a l f r a m e w o r k o f H e l m h o l t z ' s P o s t u l a t e i n S e c t i o n 3 .

T h e v i s i o n p h e n o m e n o n w e a r e t o d i s c u s s i s b e s t i l l u s t r a t e d t h r o u g h t h e e x a m p l e

o f K a n i z s a ' s E n t a n g l e d W o m a n a n d M a n , w h i c h i s o n e o f t h e m a n y a r t i s t i c i n v e n t i o n s

o f K a n i z s a 2 1 ] . I t s i m p o r t a n c e f o r t h e m a t h e m a t i c a l u n d e r s t a n d i n g a n d m o d e l i n g

o f h u m a n v i s i o n w a s r s t e m p h a s i z e d i n N i t z b e r g , M u m f o r d , a n d S h i o t a ' s s y s t e m a t i c

w o r k o n d i s o c c l u s i o n 3 2 ] . W e h a v e p l o t t e d a s i m p l e v e r s i o n i n F i g u r e 6 . 2 , a n d n a m e

i t \ K a n i z s a ' s E n t a n g l e d M a n . "

Kanizsas entangled man

F i g . 6 . 2 C a n t h e T V i n p a i n t i n g m o d e l e x p l a i n K a n i z s a ' s E n t a n g l e d M a n ?

F i g u r e 6 . 2 s h o w s h o w o u r v i s u a l p e r c e p t i o n c a n s u b c o n s c i o u s l y c o n t r a d i c t c o m m o n

k n o w l e d g e i n l i f e . W h a t w e p e r c e i v e i s a m a n e n t a n g l e d i n t h e f e n c e . K n o w i n g b y

c o m m o n s e n s e t h a t h e i s b e h i n d t h e f e n c e d o e s n o t e r a s e t h i s f a l s e p e r c e p t i o n . A s

N i t z b e r g e t a l . 3 2 ] w r o t e , \ S i m p l y p u t , w e n a v i g a t e i n t h e w o r l d s u c c e s s f u l l y b y s e e i n g

w h a t ' s i n f r o n t o f w h a t i n d e p e n d e n t l y o f k n o w i n g w h a t ' s w h a t . " W e n o w a p p l y t h e

T V i n p a i n t i n g m o d e l t o e x p l a i n s u c h s t u b b o r n b e s t g u e s s b y o u r v i s u a l p e r c e p t i o n .

T h e c o n t r a d i c t i o n o c c u r s i n s i d e t h e c i r c l e d r e g i o n i n F i g u r e 6 . 2 : t h e f a c t i s t h a t

t h e u p p e r b o d y o f t h e m a n i s b e h i n d t h e f e n c e , w h i l e o u r p e r c e p t i o n s t r o n g l y s u g g e s t s

t h e o p p o s i t e . S u c h c o n t r o v e r s y i s a p p a r e n t l y c a u s e d b y t h e s a m e c o l o r s h a r e d b y t h e

f e n c e a n d t h e u p p e r b o d y . S o t h e p u z z l e i s : w h y d o e s o u r v i s i o n p r e f e r t o a s s i g n t h e

c o n t r o v e r s i a l i n t e r s e c t i o n t o t h e u p p e r b o d y

K a n i s z a ' s o r i g i n a l e x p l a n a t i o n w a s b a s e d o n t h e m o d a l a n d a m o d a l c o m p l e t i o n

a c c o m p l i s h e d b y t h e s h o r t e s t e d g e c o n t i n u a t i o n b e t w e e n T - j u n c t i o n s . H e r e w e s h o w

t h a t t h e T V i n p a i n t i n g m o d e l o e r s a n o t h e r s i m i l a r e x p l a n a t i o n . W h i l e i n p r a c t i c e

t h e d e t e c t i o n o f T - j u n c t i o n s o f t e n r e l i e s o n t h e s h a r p n e s s o f e d g e s , t h e f u n c t i o n a l

a p p r o a c h b a s e d o n v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s t h u s s e e m s t o b e m o r e g e n e r a l .

F i r s t w e s i m p l i f y t h e p r o b l e m t o t h e l e f t i m a g e i n F i g u r e 6 . 3 . T h e v e r t i c a l a n d

h o r i z o n t a l b a r s m o d e l s e p a r a t e l y t h e u p p e r b o d y a n d t h e f e n c e . N o t i c e t h e l e n g t h

s c a l e s L > l , a n d i n F i g u r e 6 . 2 , L i s r o u g h l y a t r i p l e o f l . A s s u m e t h a t t h e t w o b a r s

s h a r e t h e s a m e g r a y l e v e l u

b

= u

f

= 1 = 2 ( w i t h \ b " a n d \ f " t r a c k i n g t h e \ b o d y " a n d

\ f e n c e " v a r i a b l e s ) . T h e u n c e r t a i n r e g i o n i s d e n o t e d b y D .

O u t s i d e D , l e t u s m a k e a s m a l l p e r t u r b a t i o n o f t h e t w o g r a y l e v e l s :

u

b

= 1 = 2 ! u

b

= 1 = 2 + ; u

f

! u

f

= 1 = 2 ? ;

f o r s o m e s m a l l p o s i t i v e g r a y v a l u e ( s e e t h e i m a g e o n t h e r i g h t i n F i g u r e 6 . 3 ) . N o w

t r e a t D a s a n i n p a i n t i n g d o m a i n a n d d e n o t e b y u

D

t h e o p t i m a l s o l u t i o n o n D o b t a i n e d


16/31


L

l

Ub =.5

Uf=.5

Perturbed to

DD

Ub =.5+

Uf=.5 -

L > l

F i g . 6 . 3 T h e m o d e l f o r K a n i z s a ' s E n t a n g l e d M a n .

f r o m t h e T V i n p a i n t i n g m o d e l w i t h = 1 ( s i n c e t h e r e i s n o n o i s e ) a n d E t h e

c o m p l e m e n t o f D . A s i m p l e c a l c u l a t i o n s h o w s t h a t

u

D

= u

b

= 1 = 2 + ; ( 6 . 1 0 )

w h i c h c o i n c i d e s w i t h o u r \ s t u b b o r n " p e r c e p t i o n . I n o t h e r w o r d s , t h e T V m o d e l i s

c o n s i s t e n t w i t h t h e \ a l g o r i t h m " p e r f o r m e d b y o u r v i s u a l n e u r o n s .

I n f a c t , b y t h e s y m m e t r y o f t h e e n t i r e d o m a i n , i t i s e a s y t o s e e t h a t t h e o p t i m a l

s o l u t i o n u

D

m u s t b e a c o n s t a n t , c , s a y . T h e n t h e M a x i m u m P r i n c i p l e 7 ] r e q u i r e s t h a t

u

f

c u

b

: T h e T V n o r m ( i n t h e d i s t r i b u t i o n a l s e n s e ) o f u

D

o n t h e c l o s u r e o f D

c o n c e n t r a t e s a l o n g t h e f o u r e d g e s a n d e q u a l s

2 ( j u

f

? c j l + j u

b

? c j L ) = ( 1 + 2 ) L ? ( 1 ? 2 ) l ] ? ( L ? l ) c : ( 6 . 1 1 )

W e d o n o t c a r e a b o u t t h e T V n o r m o n E b e c a u s e i t i s a x e d q u a n t i t y f o r t h i s n o i s e

f r e e i n p a i n t i n g p r o b l e m . T o m i n i m i z e t h e T V n o r m a s g i v e n i n E q . ( 6 . 1 1 ) , t h e o n l y

c h o i c e i s c = u

b

= 1 = 2 + s i n c e L > l . T h i s p r o v e s t h e c l a i m .

6 . 2 . N u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n . I f t h e i n p a i n t i n g d o m a i n D i s e m p t y , t h e n

E q . ( 6 . 4 ) a n d ( 6 . 5 ) t o g e t h e r i s e x a c t l y t h e R u d i n - O s h e r - F a t e m i 3 8 ] d e n o i s i n g a n d

d e b l u r r i n g r e s t o r a t i o n m o d e l . I t s t h e o r e t i c a l s t u d y c a n b e f o u n d i n C h a m b o l l e a n d

L i o n s 5 ] a n d o t h e r s . N u m e r i c a l i n v e s t i g a t i o n s a n d d i s c u s s i o n s c a n b e f o u n d i n 2 , 6 ,

1 3 , 3 8 ] , a n d m o r e r e c e n t o n e s i n 7 , 2 5 , 3 5 ] . N e w a p p l i c a t i o n s o f t h e T V m o d e l f o r

r e s t o r i n g n o n - a t i m a g e f e a t u r e s s u c h a s o p t i c a l o w s a n d c h r o m a t i c i t y c a n b e f o u n d

i n t h e r e c e n t p a p e r s b y P e r o n a 3 6 ] , T a n g , S a p i r o , a n d C a s e l l e s 4 2 , 4 3 ] , a n d C h a n

a n d S h e n 9 ] .

I n t h i s p a p e r , w e h a v e a d o p t e d t h e f o l l o w i n g n u m e r i c a l s c h e m e f o r t h e T V i n -

p a i n t i n g m o d e l ( 6 . 4 ) . H e r e w e l o o k f o r t h e e q u i l i b r i u m s o l u t i o n d i r e c t l y , i n s t e a d o f

b y t h e t i m e m a r c h i n g ( 6 . 5 ) , w h i c h i s u s u a l l y s l o w d u e t o t h e t i m e s t e p c o n s t r a i n t s f o r

n u m e r i c a l s t a b i l i t y .

A s i n F i g u r e 6 . 4 , a t a g i v e n t a r g e t p i x e l O , l e t E ; N ; W ; S d e n o t e i t s f o u r a d j a c e n t

p i x e l s , a n d e ; n ; w ; s t h e c o r r e s p o n d i n g f o u r m i d w a y p o i n t s ( n o t d i r e c t l y a v a i l a b l e f r o m

t h e d i g i t a l i m a g e ) . W r i t e

O

= f E ; N ; W ; S g :

L e t v = ( v

1

; v

2

) = r u = j r u j . T h e n t h e d i v e r g e n c e i s r s t d i s c r e t i z e d b y c e n t r a l


17/31


O

N

E

S

W

SE

NENW

SW

e

n

w

s

F i g . 6 . 4 A t a r g e t p i x e l O a n d i t s n e i g h b o r s

d i e r e n c i n g :

r v =

@ v

1

@ x

+

@ v

2

@ y

( 6 . 1 2 )

'

v

1

e

? v

1

w

h

+

v

2

n

? v

2

s

h

; ( 6 . 1 3 )

w h e r e h d e n o t e s t h e g r i d s i z e , w h i c h i s a l w a y s t a k e n t o b e 1 i n i m a g e p r o c e s s i n g . N e x t ,

w e g e n e r a t e f u r t h e r a p p r o x i m a t i o n s a t t h e m i d w a y p o i n t s , w h e r e i m a g e i n f o r m a t i o n

i s n o t d i r e c t l y a v a i l a b l e . T a k e t h e m i d - p o i n t e f o r e x a m p l e ,

v

1

e

=

1

j r u

e

j

@ u

@ x

e

'

1

j r u

e

j

u

E

? u

O

h

; ( 6 . 1 4 )

j r u

e

j '

1

h

q

( u

E

? u

O

)

2

+ ( u

N E

+ u

N

? u

S

? u

S E

) = 4 ]

2

: ( 6 . 1 5 )

N a m e l y , w e a p p r o x i m a t e @ u = @ x ]

e

b y t h e c e n t r a l d i e r e n c e s c h e m e , a n d @ u = @ y ]

e

b y

t h e a v e r a g e o f ( u

N E

?u

S E

) = 2 h a n d ( u

N

?u

S

) = 2 h . S i m i l a r d i s c u s s i o n a p p l i e s t o t h e

o t h e r t h r e e d i r e c t i o n s N ; W a n d S .

T h e r e f o r e , a t a p i x e l O E q . ( 6 . 4 ) i s d i s c r e t i z e d t o

0 =

X

P 2

O

1

j r u

p

j

( u

O

?u

P

) +

e

( O )

?

u

O

?u

0

O

; ( 6 . 1 6 )

w h e r e , f o r e x a m p l e , i f P = E , t h e n p d e n o t e s e . D e n e

w

P

=

1

j r u

p

j

; P 2

O

; ( 6 . 1 7 )

h

O P

=

w

P

P

P 2

O

w

P

+

e

( O )

; ( 6 . 1 8 )

h

O O

=

e

( O )

P

P 2

O

w

P

+

e

( O )

: ( 6 . 1 9 )

T h e n E q . ( 6 . 1 6 ) b e c o m e s

u

O

=

X

P 2

O

h

O P

u

P

+ h

O O

u

0

O

; ( 6 . 2 0 )

w i t h

X

P 2

O

h

O P

+ h

O O

= 1 :


18/31


E q . ( 6 . 2 0 ) i s i n t h e f o r m o f a l o w p a s s l t e r , w h i c h i s o f c o u r s e a s y s t e m o f n o n l i n e a r

e q u a t i o n s i n c e t h e l t e r c o e c i e n t s a l l d e p e n d o n u .

F r e e z i n g t h e l t e r c o e c i e n t s ( t o l i n e a r i z e t h e e q u a t i o n s ) , a n d a d o p t i n g t h e G a u s s -

J a c o b i i t e r a t i o n s c h e m e f o r l i n e a r s y s t e m s , a t e a c h s t e p n , w e u p d a t e u

( n ? 1 )

t o u

( n )

b y :

u

( n )

O

=

X

P 2

O

h

( n ? 1 )

O P

u

( n ? 1 )

P

+ h

( n ? 1 )

O O

u

( n ? 1 )

O

; ( 6 . 2 1 )

w h e r e h

( n ? 1 )

= h ( u

( n ? 1 )

) . S i n c e h i s a l o w p a s s l t e r , t h e i t e r a t i v e a l g o r i t h m i s s t a b l e

a n d s a t i s e s t h e M a x i m u m P r i n c i p l e 7 ] . I n p a r t i c u l a r , t h e g r a y v a l u e i n t e r v a l 0 ; 1 ] i s

a l w a y s p r e s e r v e d d u r i n g t h e i t e r a t i n g p r o c e s s .

U s e f u l v a r i a t i o n s o f t h e a l g o r i t h m c a n b e o b t a i n e d b y a l t e r i n g t h e d e n i t i o n w

P

o r j r u

p

j i n ( 6 . 1 7 ) . F o r i n s t a n c e , i n s t e a d o f E q . ( 6 . 1 5 ) , w e c a n a l s o t r y

j r u

e

j '

1

h

p

( u

E

? u

O

)

2

+ ( u

N E

? u

S E

) = 2 ]

2

:

E x p e r i m e n t s s h o w t h a t s u c h v a r i a t i o n s s o m e t i m e s w o r k b e t t e r f o r s h a r p e d g e s i n t h e

d i g i t a l s e t t i n g .

R e m a r k 6 .

( a ) ( L i f t i n g p a r a m e t e r a ) I n i m p l e m e n t a t i o n , a s i n E q . ( 6 . 6 ) , t h e w e i g h t s w

P

' s

a r e \ l i f t e d " t o

w

P

=

1

j r u

p

j

a

=

1

p

a

2

+

j ru

p

j

2

( 6 . 2 2 )

f o r s o m e s m a l l n u m b e r a ( 0 : 0 1 , f o r e x a m p l e ) , t o a v o i d a z e r o d i v i s o r i n s m o o t h

r e g i o n s . N o t i c e t h a t c h o o s i n g a l a r g e a b r i n g s t h e T V m o d e l c l o s e r t o t h e h a r m o n i c

i n p a i n t i n g ( e s p e c i a l l y c o m p u t a t i o n a l l y s i n c e t h e s p a t i a l s t e p s i z e h i s s e t t o 1 , a n d

u t a k e s v a l u e s f r o m t h e n i t e g r a y - s c a l e i n t e r v a l 0 ; 1 ] ) . I n a d d i t i o n , a s a g e t s

b i g g e r , t h e c o n v e r g e n c e o f t h e i t e r a t i o n s c h e m e s p e e d s u p .

( b ) ( L a g r a n g e m u l t i p l i e r ) F o r i n p a i n t i n g s o f c l e a n i m a g e s , w e c a n c h o o s e

a r b i t r a r i l y l a r g e . T h e i d e a l c a s e i s =

1, w h i c h a m o u n t s t o r e q u i r i n g t h a t

h

O P

0 ; h

O O

1 ;

a n d p i x e l s o u t s i d e t h e i n p a i n t i n g d o m a i n a r e t h u s u n c h a n g e d . T o i n p a i n t a n o i s y

i m a g e , i s d e t e r m i n e d b y t h e n o i s e l e v e l , a n d i t s c h o i c e a n d e c i e n t e s t i m a t i o n

h a v e b e e n d i s c u s s e d i n 2 , 7 , 3 8 ] .

( c ) ( C o m p l e x i t y o f i n p a i n t i n g d o m a i n s ) T h e T V i n p a i n t i n g m o d e l a n d a l g o -

r i t h m b o t h e a s i l y h a n d l e t h e c o m p l e x i t y o f t h e i n p a i n t i n g d o m a i n D . O n c e t h e

i n p a i n t i n g d o m a i n i s s p e c i e d b y t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n ( o r m a s k ) M

M

O

= 1 ; O 2 D ; 0 ; o t h e r w i s e ,

t h e n w e t a k e

e

i n E q . ( 6 . 4 ) t o b e

e

( O ) = ( 1

?M

O

) ;

a n d t h e i t e r a t i o n 6 . 2 1 g o e s w i t h o u t b e i n g f u r t h e r b o t h e r e d b y t h e d o m a i n c o m -

p l e x i t y .


19/31


( d ) ( T h e e x t e n s i o n d o m a i n E ) T h e s i z e o f t h e e x t e n s i o n d o m a i n E i s e a s i l y d e -

t e r m i n e d . I f t h e i m a g e i s c l e a n , w e c a n s i m p l y t a k e E t o b e t h e b o u n d a r y o f t h e

i n p a i n t i n g d o m a i n D . O t h e r w i s e , t o c l e a n u p t h e s t a t i s t i c a l n o i s e , a n d e x t r a c t

t h e u n d e r l y i n g i m a g e i n f o r m a t i o n , w e n e e d t o c h o o s e E w i t h a r e a s o n a b l e s i z e ,

e . g . s e v e r a l p i x e l s w i d e , a s w e l l p r a c t i c e d i n i m a g e p r o c e s s i n g 1 8 ] . I f , a s f o r t h e

i n p a i n t i n g o f a n o l d p h o t o , t h e e n t i r e i m a g e i s c o n t a m i n a t e d b y n o i s e , t h e n w e

t a k e E t o b e t h e c o m p l e m e n t o f D .

7 . S e g m e n t a t i o n - B a s e d I n p a i n t i n g . T h e k e y t o i m a g e i n p a i n t i n g s i s t h e r i g h t

m o d e l f o r i m a g e f u n c t i o n s . I m a g e m o d e l s p l a y a u n i v e r s a l l y c r u c i a l r o l e i n a l l p r o b l e m s

i n v o l v i n g i m a g e r e s t o r a t i o n , s u c h a s i m a g e d e n o i s i n g , d e b l u r r i n g , a n d s e g m e n t a t i o n .

I n t e r m s o f t h e B a y e s i a n w o r l d v i e w , t h i s i s t h e s i g n i c a n c e o f g u r i n g o u t a n a p p r o -

p r i a t e p r i o r m o d e l . T h e l i n k b e t w e e n t h e B a y s i a n s t a t i s t i c a l m e t h o d o l o g y a n d t h e

v a r i a t i o n a l a p p r o a c h i s c l e a r l y e x p l a i n e d i n M u m f o r d 2 8 ] .

I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h e i n p a i n t i n g m o d e l h a s b e e n c o n s t r u c t e d b a s e d o n

t h e t o t a l v a r i a t i o n n o r m . T h e m a i n m e r i t s o f t h e t o t a l v a r i a t i o n p r i o r m o d e l a r e

i t s p e r m i s s i o n o f e d g e s , a n d i t s c o n v e n i e n t n u m e r i c a l P D E i m p l e m e n t a t i o n . I n t h i s

s e c t i o n , w e e x p l o r e t h e s e c o n d i m p o r t a n t i m a g e p r i o r m o d e l . T h i s i s t h e s e g m e n t a t i o n

p r i o r m o d e l a s a p p e a r e d i n t h e c e l e b r a t e d M u m f o r d - S h a h s e g m e n t a t i o n m o d e l 3 0 ] .

I n t h e s e g m e n t a t i o n p r i o r m o d e l , a n i m a g e i s c o n s i d e r e d a s t h e u n i o n o f a c o l -

l e c t i o n o f 2 - D s m o o t h o b j e c t s , w h i c h m e e t e a c h o t h e r a l o n g t h e i r e d g e s . T h u s i n t h e

v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n , t h e r e g u l a r i t y f u n c t i o n a l i s n o l o n g e r i n t h e s i m p l e f o r m o f

R u ] =

Z

r ( j r u j ) d x ;

a s i n E q . ( 6 . 1 ) . I n s t e a d , i t i m p o s e s t h e r e g u l a r i t y c o n d i t i o n o n b o t h t h e e d g e c u r v e s

a n d i n d i v i d u a l o b j e c t s :

R

s e g

u ] =

Z

n ?

r ( j r u j ; j u j ) d x d y + l e n g t h ( ? ) : ( 7 . 1 )

F o r e x a m p l e s , i n t h e M u m f o r d - S h a h s e g m e n a t i o n m o d e l , r ( s ; t ) i s t a k e n t o b e s

2

= 2 .

( H e r e w e h a v e r e p l a c e d t h e H a u s d o r m e a s u r e o f ? s i m p l y b y t h e l e n g t h f o r s i m p l i c i t y . )

T h u s t h e u n c o n s t r a i n e d e n e r g y f o r t h e s e g m e n t a t i o n b a s e d i m a g e i n p a i n t i n g i s

J

;

u ; ? ] =

Z

n ?

r ( j r u j ; j u j ) d x d y + l e n g t h ( ? ) +

2

Z

n D

( u ? u

0

)

2

d x d y ; ( 7 . 2 )

w h e r e D i s t h e i n p a i n t i n g d o m a i n . A p p a r e n t l y , i t a l s o m e e t s t h e t h r e e p r i n c i p l e s .

T h e s e g m e n t a t i o n b a s e d i n p a i n t i n g m o d e l i s a f r e e - b o u n d a r y p r o b l e m . I t s a l g o -

r i t h m a n d n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n a r e m u c h m o r e i n v o l v e d t h a n t h e T V i n p a i n t -

i n g . A m o n g t h e m a n y e x i s i t i n g c o m p u t a t i o n a l m e t h o d s , h e r e w e o u t l i n e t h e l e v e l - s e t

m e t h o d o f O s h e r a n d S e t h i a n 3 4 ] , a s r e c e n t l y a p p l i e d t o t h e n u m e r i c a l s e g m e n t a t i o n s

b y C h a n a n d V e s e 1 0 ] , w h e r e i n t e r e s t e d r e a d e r s c a n n d m o r e d e t a i l s .

F r o m n o w o n , w e a s s u m e t h a t w e t a k e r ( s ; t ) = s

2

= 2 i n t h e s e g m e n t a t i o n b a s e d

i n p a i n t i n g , a s i n t h e c l a s s i c a l M u m f o r d - S h a h s e g m e n t a t i o n m o d e l .

T h e l e v e l - s e t a p p r o a c h f o r t h e s e g m e n t a t i o n b a s e d i n p a i n t i n g r e l i e s o n t h e a c t i v e

c o n t o u r m e t h o d . S t a r t i n g w i t h a n i n i t i a l l y g u e s s e d c o n t o u r ? ( 0 ) , w e l e t ? ( t ) e v o l v e t o

c o n v e r g e t o t h e o p t i m a l e d g e c o l l e c t i o n ? . A t e a c h t i m e t , ? ( t ) p a r t i t i o n s t h e w h o l e

i m a g e d o m a i n t o d i s j o i n t o p e n c o n n e c t e d c o m p o n e n t s

i

( t ) ' s s o t h a t

n ? ( t ) =

N ( t )

i = 1

i

( t ) ;


20/31


w h e r e d u e t o m e r g i n g a n d s p l i t t i n g , t h e n u m b e r N ( t ) o f c o n n e c t e d c o m p o n e n t s a l s o

v a r i e s w i t h t i m e . M e r g i n g a n d s p l i t t i n g a r e c r u c i a l d u r i n g t h e e v o l u t i o n o f t h e i n i t i a l

g u e s s , w h i c h m a k e s t h e l e v e l - s e t m e t h o d a n i d e a l t o o l f o r n u m e r i c a l l y c o m p u t i n g t h e

c u r v e e v o l u t i o n ( o r a c t i v e c o n t o u r ) .

K n o w i n g ? ( t ) f o r e a c h t i m e t , w e t h e n m i n i m i z e t h e i n p a i n t i n g e n e r g y J

;

u ; ? ( t ) ]

o n t h e f r e e v a r i a b l e u , b y s o l v i n g o n e a c h c o n n e c t e d c o m p o n e n t

i

( t ) t h e e l l i p t i c

e q u a t i o n w i t h N u e m a n n c o n d i t i o n :

8


21/31


Answer from most humans Answer by the TV modeWhat is behind the box?

(l >> w)

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 1 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

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0 0 0 0 0

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0 0 0 0 0

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1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

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0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

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0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 1 1 1

l

w

ba

c d

F i g . 8 . 1 W h e n l > w , t h e T V a n d s e g m e n t a t i o n b a s e d i n p a i n t i n g s b o t h a c t a g a i n s t t h e C o n -

n e c t i v i t y P r i n c i p l e o f h u m a n p e r c e p t i o n | h u m a n s m o s t l y p r e f e r t o h a v e t h e t w o d i s j o i n t p a r t s

c o n n e c t e d , e v e n w h e n t h e y a r e f a r a p a r t 2 1 , 3 2 ] .

T h e e x a m p l e i n t h e g u r e e a s i l y e x p l a i n s w h y t h e T V a n d s e g m e n t a t i o n b a s e d

i n p a i n t i n g m o d e l s f a i l t o r e a l i z e t h e C o n n e c t i v i t y P r i n c i p l e w h e n t h e i n p a i n t i n g s c a l e

b e c o m e s l a r g e . L e t u

d i s

a n d u

c o n

d e n o t e t h e d i s c o n n e c t e d a n d c o n n e c t e d i n p a i n t i n g

r e c o n s t r u c t i o n s a s i n t h e g u r e . S u p p o s e l > w . T h e n , t h e T V m o d e l p e r f e r s u

d i s

t o

u

c o n

s i n c e

T V u

c o n

] ? T V u

d i s

] = 2 l ? 2 w = 2 ( l ? w ) > 0 ;

a s s u m i n g t h a t t h e b l a c k b a r h a s u

0

= 0 a n d t h e w h i t e b a c k g r o u n d u

1

= 1 . I n t h e

s a m e f a s h i o n , u n d e r t h e s e g m e n t a t i o n r e g u l a r i t y , w e h a v e

R

s e g

u

c o n

; ?

c o n

] ? R

s e g

u

d i s

; ?

d i s

] = ( 2 l ? 2 w ) = 2 ( l ? w ) > 0 :

T h u s t h e s e g m e n t a t i o n b a s e d i n p a i n t i n g a l s o b i a s e s a g a i n s t t h e c o n n e c t i o n .

T o o v e r c o m e s u c h d r a w b a c k , C h a n a n d S h e n r e c e n t l y p r o p o s e d a n e w P D E m o d e l

b a s e d o n c u r v a t u r e d r i v e n d i u s i o n s ( C D D ) , w h i c h i s i n s p i r e d b y t h e T V i n p a i n t i n g

m o d e l E q . ( 6 . 5 ) . T h e C D D i n p a i n t i n g m o d e l i s g o v e r n e d b y t h e f o l l o w i n g P D E :

@ u

@ t

= r

G ( ; x )

j r u j

r u

+

e

( u

0

? u ) ; x 2 ; ( 8 . 1 )

w h e r e i s t h e s c a l a r c u r v a t u r e r r u = j r u j ] . T h e n e w i n g r e d i e n t o f t h e C D D m o d e l ,

c o m p a r e d w i t h t h e T V i n p a i n t i n g m o d e l , i s t h e n e w d i u s i o n c o e c i e n t G ( ; x ) w h i c h

i s g i v e n b y :

G ( ; x ) =

(

1 ; x 2 n D ;

g ( j j ) ; x 2 D :

T h e c h o i c e o f 1 o u t s i d e t h e i n p a i n t i n g d o m a i n i n d i c a t e s t h a t t h e m o d e l c a r r i e s o u t t h e

r e g u l a r T V d e n o i s i n g t a s k o u t s i d e D . M e a n w h i l e , g ( s ) c a n b e a n y a p p r o p r i a t e f u n c t i o n

t h a t \ e r a s e s " l a r g e c u r v a t u r e s a n d s t a b l i z e s s m a l l c u r v a t u r e s i n s i d e t h e i n p a i n t i n g

d o m a i n . I n C h a n a n d S h e n 8 ] , i t i s a r g u e d t h a t g ( s ) m u s t s a t i s f y

g ( 0 ) = 0 ; g ( + 1 ) = + 1 :

T h u s , f o r e x a m p l e , o n e c a n c h o o s e g ( s ) = s

, f o r s o m e 1 . U n d e r t h e c o n d i t i o n ,

t h e m o d e l s t r e t c h e s o u t b e n d e d l e v e l l i n e s i n s i d e t h e i n p a i n t i n g d o m a i n , a n d o u t p u t s

c o n n e c t e d o b j e c t s . T h u s t h e C D D i n p a i n t i n g m o d e l r e a l i z e s t h e C o n n e c t i v i t y P r i n c i p l e

( s e e F i g u r e 1 1 . 6 , f o r e x a m p l e ) . M o r e d e t a i l s o n t h e C D D i n p a i n t i n g s c h e m e c a n b e

f o u n d i n 8 ] .


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2 2 C h

09.23.mathematical models for local deter minis tic in paintings

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