1-column lituratures.pdf
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a
l l
.
C o l c u l d u b é t o n
o r m é
7
-
Flelmbemenl
-
Êtat
limire
de steibiliré
de formê
>>reAEL
1/A.4.4t[BAEL
1 A.4.4,1]>[BAELs1/
4 . 4 . 3 . 5 1 < <
Quelles
que
soient les
conditions
d appui
aux
extrémités, l étude
d un
poteau
sera ramenée
à
celle d un
poteau
de
longueur
(rr.
La
valeur
d,
4
dépend
de la raideur
des
pièces
qui
limitent
le
déplacement
ou la
rotation
des extrémités
du
poteau.
Or, il
est
difficile
d évaluer
ces raideurs
qui
dépendent
des
sollicitations,
du ferraillage
établi,
du degré
plus
ou moins
grand
de fissuration
des sections,
etc.
P U B L ] C A T 1 O N S
U
M O N I T E U R ,
9 9 6
-
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F O R M U L A I R E
U B É T O N
A R M É
al.7.2.2
-
Éloncemenl
, h
)-t*
/<
l i t 1
t t l
I t l | -
l'lln
\,\ |
Ê'
\ J - l
rl-\
lL-/
Figure
37
Ainsi,
dans le
cas des
portiques,
le calcul
des longueurs
de flam-
bement
par
les méthodes
élastiques
usuelles, les raideurs
étant
évaluées
d'après les
coffrages,
peut
conduire
à des résultats
très
erronés : en effet, la raideur despoutres est,a priori, plus affectée
par
la fissuration
que
celle
des
poteaux.
Il convient
donc dans
un tel
cas de se montrer
prudent
dans l'évaluation
de
4,
par
exemple
en
prenant
en compte,
pour
les
poutres,
I'inertie
après
fissuration
($
II. 1.2.2)
en conservant
pour
les
poteaux
la raideur
évaluée
d'après les
coffrages.
Si on note B
et I l'aire
et I'inertie
de la
section droite
du béton
seul, le rayon de giration i est défini par :
(i l .7.t
)
et
l'élancement
),
par
:
(r.7.21
Pour
une
section de hauteur
totale
h
(Fig.
37)r I'êIancement
a
pour
valeur
:
-
section
rectangulaire
:
I
t
=
,t/
^ a
= :
I
I
,
=
=n{u=3,46
h
h
-
section
circulaire :
ll.
7.2.3
-
Vérif icqtion
des lioisons
Le calcul
de second
ordre
d'un
poteau permet
de déterminer
les
efforts
et les déformations
aux exrrémités
($
II. 7 .4).
Les
pièces
de
liaison
à ces extrémités doivent être capables de
résister
à ces
efforts avec
des déformations
inférieures
ou
égales
à
celles calculées
pour
le
poteau.
Dans
le cas
contraire, il
est
nécessaire
de recommencer
la
vérification
avec une longueur
de
flambement
plus
grande.
REMARQUE
: Dans le
cas
de
la
liaison d'un
poteau
avec sa fon-
dation,
celle-ci doit
être dimensionnée
pour
les sollicitations
du
poteau
à
son encastrement,
en tenant compte
des effets
du
second
ordre.
,--oI
O
P U B T I C A Ï I O N S
U M O N I T E U R ,
9 9 6
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ta '
/-:
l l
.
C o l c u l d u
b é l o n o r m é
al.
7.2.4
-
€qs des
Figure
38
bâtimenls
couronls
>>IBAEL
1 B.a.3t>[BAEL
1l8.s.3,2]>[BAEL
1l8.a.3.3]>taaEL
1le.a.3,s21>[BAEL
1/A.4.3,st
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U B É T O N
A R M É
la
section
peut
être
justifiée
en flexion composée
vis-à-vis de
l'état
limite
ultime de résistance
($
II.
5), à condition
de rem-
placer
l'excentricité
du
premier
ordre e1
par
une excentricité
majorée
:
€
=
€ r + e a + 9 2
(.t.7.41
-
er r
excentricité de la résultante
des contraintes normales,
-
eu
excentricité additionnelle
ffaduisant les imperfections
géométriques
initiales
(après
exécution)
qui
s'ajoute
à
I'excentricité
résultant
des
efforts appliqués,
-
ez I excentricité
due aux
efforts du second
ordre,
liés
à la
déformation
de la structure,
t l l '
J
u r
e z =
- *
( 2 + a @ )
1 . t . 7 . 6
l O h '
ea
=
r'ax
[r.-,
*)
M1o* r , * , q , ;
o
=
lrf*ff
(| l .7.5)
ln.7.7l
avec
:
-
Q:
longueur de flambement
de
la
pièce,
-
h : hauteur
totale
de la section
dans la direction
du flam-
bement,
-
cr : le rapport
du moment
du
premier
ordre dfi
aux charges
de
longue
durée
d'application
au
moment
total
du
premier
ordre
étant
pris
avant
application
des coefficients de
pon-
d é r a t i o n . c r = 0 + 1 ,
-
O : le rapport
de la déformation
finale due
au fluage, à la
défor-
mation
instantanée
sous la
charge considérée.
Q
=
2.
>>[BAEL
1/A.2.1,221
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l l
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C q l c u l
d u
b é t o n
o r m é
Dans le
cas où
I'excentricité
du
premier
ordre
el
est nulle,
pour
les
charges
de
longue
durée,
comme
pour
les
charges
otales,
on
raisonnera
sur la
valeur
de I'effort
normal
au lieu
de
celle du
moment
fléchissant,
afin
d'éviter
d'obtenir
systématiquement
un
coefficient cr nul.
REMARQUE:
Pour
des
sections
de forme
voisine
du carré,
ra
direction
la
plus
défavorable
pour
I'excentricité
peut
être la
dia-
gonale.
La
section
doit alors
être
vérifiée
en flexion
composée
avec l'axe
neutre
parallèle
à la diagonale,
ou
en flexion
déviée.
11.7.4
-
tVlêthode
gênêrole
de
cqlcul >>TBAEL
1/A.4.4,2t>[BAEL
s1 A.4.4,31]
-
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F O R M U I A I R E
D U B É T O N A R M É
En
effet,si on supposee
bâtiment ncliné
d'un angle
o
=
,
l'effort
normal N dans
un
poteau
peut
êue décomposé
onfor-
mément à la figure
41.
H = N s i n s
1
( [=-
100
Poteau
Refend
Figure 4l
On
pourra
calculer le
poteau
soumis
à un effort normal
+
3 N,
sous
réserve
que
le
refend soit capable
de résister
à
cosc[
l'ensemble
des forces H
=
N sin
cr
=
*
1 0 0 '
Le
poteau
sera alors
justifié
en majorant
I'excentricité
initiale
e-
de la quantité :
l - ^
L 1
ea
=
max
lLzcm,
250)
Calcul
des sections >>[BAEL
1/A.4.4,s21
-
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l l
e
C o l c u l
d u
b é t o n
q r m é
Pour
les
BHP,
on
adopte
la loi
contrainte-déformation
de sargin
(règles
BPEL).
Le
diagramme
de béton
représenté par
la
figure
42
sera
carac-
térisé par le paramètre :
1
t , =
r f r o B
dont la
valeur
est
comprise
entre 2
%oo
combinaison
d'actions
sans
influence
sur le
fluage)
et
6
Voo
(combinaison
d'actions
ayant
toutes
une influence
sur le
fluage).
ob.
0,85
=
ftze
oYo
i l.
2
o,oo
'50'o%,
=
2
o,oox
B
t'u
oloox
P
€b.
Figure
42
: Diogromme
contrqinte-déformotion
du
bêton.
7.4.2 - Mêrhode de colcul
on
considère
un
poteau
de longueur
4, dont
toutes
les
sections
ont le
même
coffrage
et
le même
ferraillage
supposé
connu;
ir
est
articulé
aux
deux
extrémités
et
soumis
à un
effort
normal
N
appliqué
à
une
distance
e0
par
rapport
au centre
de
gravité
du
béton
seul
(Fig.
43).
rDéformée
du
poteau
on prend pour déformée du poteau un arc de sinusoide avec
les
points
d'inflexion
aux
extrémités,
ce
qui
constitue
une
approximation
de la
déformée
élastique.
e ^ A'*T
Avec
les
notations
de la figure
43,1a
déformée
a
pour
expression
:
z - f . o r
at
et sa
dérivée
seconde
:
, , ^ ( nY
l lY
z
=
-rll'J'ot
o'
r Relation
effort
nosnal-courbure
On suppose
onnue
a
courbure
1,
et
on
r
normal
équilibré
par
le
poteau.
L'excentricité
a
pour
valeur
-LW^ly
Figure43
(il.7.to1
(il.7.t
l
recherche
l'effort
de
I'effort
normal
..*
u;)'
+
] Ù B L I C A T I O N S
D U M O N I T E U R ,
9 9 6
e o + f =
|il.7.r21
-
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U B E T O N A R M É
La
pente
du diagramme
des déformations
de la section la
plus
sollicitée
(Fig.
43)
ayantpour valeur
1,
à ,orrr. valeur de x
cor-
t
respond un diagramme des déformations, donc un effort normal
dont l'excentricité
sera notée
e(x).
L'effort
normal N équilibré
par
le
poteau
valeur
de
x
que
vérifie l'équation
:
,,,"\'
( x )
= . 0 * [ i ,
r
est obtenu
pour
la
La résolution
de cette équation
se
fait
par
itération sur la valeur
de x,
ce
qui
impose en
pratique
I'usage de I'ordinateur
(S
I. 7.5).
r Effort nonrnal ultirne
La
courbe représentative
de la relation
entre I'effort normal
N
et
la
courb.rr.
1
a
l'allure
indiquée
sur
la
figure
44.
r
Le
point
A
correspond à l'état
ultime de la
section
la
plus
solli-
citée.
L'ordonnée
maximale de la
courbe fournit la
valeur de
I'effort
ultime
\
dr
poteau.
La
partie
ascendante de la courbe
correspond à
un équilibre stable,la
partie
descendante
à un équi-
libre instable. On constateque, sauf pour les faibles élancements
€rg.
aa a), un
poteau
peut
être instable
sans
qu'aucune
de ses
sections ne
soit dans un
état
limite
ultime
(Fig.
aa b).
a)
Faibles
lancements
N
(il.7.I31
N
Nu
Nu
l------------t
Figure 44
ll. 7.4.3
-
Utiliscrtion
des
oboques
Capnal
Dans le
cas des
poteaux
à sections rectangulaires,
susceptibles
de flamber
dans un
plan
médian,
à
partir
de la méthode de
calcul
développée
précédemment,
les abaques
de Capna
permettent:
-
de vérifier le
poteau;
montrer
que
I'effort normal
de calcul
est
inférieur
à
l'effort
normal
ultime.
l. Guide
pratique
d'utilisation desRèglesBAEL
80, A.
Capra et V. Davi-
dovici, Eyrolles 1980.
b) Cas
général
O
P U B T I C A T I O N S
U M O N I T E U R ,
9 9 6
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l l
.
C o l c u l
d u
b é t o n
q r m ê
-
de
calculer
la
section
des
armatures,
-
de
déterminer
la
déformation
du
poteau.
Les
abaques
cRpRa
ne
sont
pas
reproduites.
Il
est
donc
vive-
ment conseillé d employer
un des
deux
programmes
de
calcul
(S
II.
7.5),
disponibles
acruellemenr.
l l .7-5
-
Progrommes
de
colcul
qu
f lqmbement
Les
différentes
méthodes
de
justification
des
structures
vis-à-vis
des risques de flambement sont décrites dans l annexe E7 des
règles
BAEL
gl .r t tanel
e1lE.71>[BAEL
s1/E.7
1
21. j>[BAEL
1/8.7.2][BAEL
1
8.7.4.1
-
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U B E T O N
A R M E
11.7.5.1
-
Progrqmme
Tlor l
Ce logiciel
calcule la charge
critique
ultime ou recherche
l état
d équilibre
d une colonne-modèle
en béton
armé de
section
quelconque à axe de symétrie, constante sur sa hauteur, avec
flambement
dans le
plan
de
symétrie. Elle
est supposée
chargée
en
tête. Les
calculs sont
conduits selon les
principes
énoncés à
l article
A.4.4 du BAEL
91.
Le
programme
présente
une
double option :
-
option sur la forme
de la
section
:
polygonale,
carrée,
circu-
laire,
annulaire,
-
option sur le résultat
à
obtenir : la charge
critique ultime
(la
plus grande charge pondérée que peut
équilibrer
la
colonne),
l état
d équilibre
(la
recherche
de la
déformée
d équilibre
pour
une charge
donnée
et
les
moments
correspondants).
11.7.5.2
-
Progrqmme
Sragos2
Le logiciel
Sreeos
(programme
de calcul
global) permet
de véri-
fier
toutes les formes
de
stabilité au flambement,
depuis
le
poteau
isolé
jusqu à
la structure
hyperstatique
quelconque
en
béton
armé ou
en béton
précontraint
(ensemble
de
poteaux
et
de
poutres
encastrés
ou articulés
pour
lesquels
estimation
des
longueurs
de flambement
peut
être
éventuellement mpossible).
Cette vérification
permet
de
prendre
(ou
de ne
pas
prendre)
en
compte:
-
les
effets de
second ordre
dus à la non-linéarité
des matériaux,
-
la
naissance
de
rotules
plastiques
: effet favorable
de
la
redis-
tribution des efforts entre éléments,
-
la
présence
éventuelle
de
ressorts
d appui à comportement
non
linéaire
: rotations
de fondations
et le décollement
partiel
éven-
tuel
de celles-ci.
Les
sections des barres
peuvent
présenter
des ferraillages
symé-
triques
ou non et leurs
formes
peuvent
être
quelconques
tant
que
le centre
de
gravité
reste
à mi-hauteur
de ces
sections.
Les limites du programme sont de 80 barres et 80 degrés de
liberté.
L utilisation
du
prograrnme
est facilitée
par
le dessin
du
modèle
et de sa défôrmation
schématiséeaprès
calcul.
l. Programme
Ttcn,
J.-P.
Boutin,
SOCOTEC, L993.
2. Programme
Sraaos,
Ch. Baloche,
CSTB 1994.
@
P U B L I C A T I O N S
U
M O N I T E U R ,
9 ç ô
-
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r
C o l c u l
d u b é t o n
o r m ê
l l .
I
-
Geilcul
des
poteoux
en
compression
(
centrêe r
bâtimenls
courernls
l l .
8 .1
-
Domoine
d opp l i co t ion
>>TBAEL
1/B.e.z ,1ot>[BAEL
118.8.4.1]
-
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F O R M U T A I R E U B E T O N A R M E
l l .
8.2
-
Méthode
de
cqlcul
L'effort normal
ult ime N,, a
pour
valeur
:
>>[BAEL
1l8.8.4.1]
-
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.
C o l c u l
d u
b é t o n
o r m é
Toblequ
55 : Colcul
des poteoux
de
bôtiments
courqnts.
Compression
centrée.
À
=
t 2
à
3 8
f,zs
=
25
MPa
Tu
=
1r5
L = 5 O O M P a %
= 1 , 1 5
)
l
i l--*1ooâ
*
t 2
t 4
t 6
t 8
20
22
24
26
28
30
32
34
3ô
38
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m t n l m t n l
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3 ,
6
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2,56
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5,00 5,00 5,00
5,00
5.00 5,00
5,00 5,00
24,00
3,08
3 ,25
3,44
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5,00 5,00 5,00
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5,00
24,50
3 ,25
3,43
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3 , 8 1 4 , O 1
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5,00 5,00
5,00 5,00
5,00 5 0 0 5,00
5,00
25,00
3 ,42
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3 7 9
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5,00
5,OO
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5,00 5.00 5,00
5,00
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4 . 3 8
4 , 6 1
5,00
5,OO 5,OO
5,OO 5,00 5,00
5,00
5,00 5,00 5,00
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4 , 3 5
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4,54
4,76 4,99
5,00 5,00 5,00 5,00 5,00
5,OO
5,00 5,00 5,00
5,00
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4 , 1 0
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4 5 0
4,72
4 9 4
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5,00 5,00
5,00 5,00
5,00 5,00
5 00 5,00
27,50
4 . 2 7
4,47
4,68 4,90
5,00 5,00
5,00 5,00
5,00 5,00
5,00 5,00
5,00 5,00 5 0 0
5 0 0
28,00
4 4 4
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