1 Introducci´on 2 Ejemplo Cl´asico Sencillo - cimat.mx · Diferencias Finitas y E.D.P. 3 Ahora es claro que el valor negativo −k2 se toma porqu´e no es posible obtener soluciones
46
DIFERENCIAS FINITAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES L. H´ ector Ju´ arez V. Departamento de Matem´ aticas, UAM-I, M´ exico, D. F. Guanajuato, Gto, Junio 2006 1 Introducci´on Este minicurso constituye una introducci´on a la soluci´on num´ erica de ecuaciones diferenciales parciales del tipo parab´olico. Se discuten los aspectos b´asicos fundamentales como son: derivaci´on de los esquemas de diferencias finitas, estudio del error, de la convergencia y de la estabilidad de los m´ etodos. Adem´as se incluyen programas en el ambiente MATLAB para ilustrar algunos resultados num´ ericos con los diferentes esquemas. 2 Ejemplo Cl´ asico Sencillo Comezamos con el estudio del modelo m´as sencillo de una ecuaci´on diferencial parcial del tipo parab´olico, a saber la ecuaci´on que modela el flujo ´o propagaci´on de calor en una barra homogenea de longitud finita sin fuentes de calor. La ecuaci´on es la siguiente: ∂u ∂t = k ρC p ∂ 2 u ∂x 2 , en 0 < x < L, t > 0 (2.1) u(0,t)= u(L, t)=0, t> 0, (2.2) u(x, 0) = u 0 (x) , 0 ≤ x ≤ L, (2.3) donde u = u(x, t) es la temperatura de la barra en la posici´on x al tiempo t, k es el coeficiente de conductividad t´ ermica, ρ es la densidad de la barra, C p es el calor espec´ ıfico, y L es la longitud de la barra. Suponemos que los parametros k, ρ y C p son constantes. Adimensionalizaci´on. Con el objeto de simplificar la ecuaci´on diferencial anterior se in- troducen las siguientes variables adimensionales: x = x L , u = u U , donde U = max u 0 (x) con 0 ≤ x ≤ L. Con lo anterior se obtienen las siguientes relaciones ∂u ∂t = U ∂u ∂t y ∂ 2 u ∂x 2 = U L 2 ∂ 2 u ∂x 2 . Sustituyendo estas ´ ultimas expresiones en la ecuaci´on (2.1) se obtiene
