1 numeroscomplejos mr
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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ESPE
EXTENSIÓN LATACUNGA
INGENIERÍAS: MECATRÓNICA y ELECTROMECÁNICA
1. Números complejos
PERÍODO ACADÉMICO: Abril Agosto 2016
Matemática Superior
Marcelo Román V.
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"Pitágoras es probablemente el
matemático más conocido, pero
también es célebre en el ámbito más
general de la historia de la cultura.Su figura es una de las más
apasionantes e interesantes de la
historia del pensamiento.
Racionalista y místico, filósofo yteólogo, matemático y
experimentador, hombre de carne y
hueso y personaje mítico; Pitágoras
es el inductor de una parte
considerable de los elementosculturales que han ido conformando
la tradición del pensamiento
occidental".
Marcelo Román V.
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Marcelo Román V
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Un número complejo z es un par ordenado de númerosreales x e y, escrito como:
z = ( x,y) (Notación en componentes o coordenadas cartesianas).
x se llama la parte real de z: Re (z ) := x
y se llama la parte imaginaria de z: Im (z ) :=y
Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partesreales e imaginarias son iguales:
(x1 ,y1 ) = (x2 ,y2 ) sii x1= x2 , y1= y2
,con jyxz:),(: y x y xC
El conjunto de números complejos, se denota por C:
(William R. Hamilton)
Marcelo Román V
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(0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:
(Los ingenieros eléctricos a menudo usan “j” para evitar confusiones
con el símbolo “i”, que asocian a la intensidad eléctrica).
Si x = 0 ( z = i y), entonces z se dice que es un imaginariopuro. Si y = 0 ( z = x), entonces z se comporta como unnúmero real.
z = x + i y
Un número complejo z = (x,y) se escribe comúnmentecomo (notación algebraica o binómica, “afijo” en textos de antaño):
)10( ,i
Marcelo Román V
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Suma y producto de números complejos
Suma
)()( 212121 y yi x x z z
)()( 1221212121 y x y xi y y x x z z
Producto
Sean:
222
111
iy x z
iy x z
Parte real Parte imaginaria
“En la facultad teníamos un profesor
cojo al que llamábamos el complejo.
Tenía una pierna real y otra imaginaria.” Memorias de un estudiantede matemáticas
Marcelo Román V
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ii
iiiiii
223)1012()158(
]2)5(34[]3)5(24[)32)(54(
1)00()10()0)(0(2 iiii(1)
(2)
Ejemplos:
De modo que podemos sustituir siempre:
12 i
Esto nos permite una manera práctica de operar.
Por ejemplo:
11112
ii
Marcelo Román V
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8
La resta y la división se definen como operaciones
inversas de la suma y la multiplicación respectivamente
Resta
División
(operación inversa a la suma)
(operación inversa al producto)
z z z 21
z z
z
2
1
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
y x
y x y xi
y x
y y x x z
¿Qué es z ? Es un número complejo tal que:z z2 = z1, siempre que z20.
¿Qué es z ? z + z2 = z1
)()( 2121 y yi x x z
Ejercicio:demostrar
que es cierto.
Marcelo Román V
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9
Calcular:
Re(z1 ) = 18, Re(z2 ) = -7
Im(z1 ) = 3, Im(z2 ) = 2
z1+z2 = 11 + 5i, z1-z2 = 25+i
z1 z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i
Ejemplo: Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i
Marcelo Román V
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Complejo conjugado
Es sencillo
demostrar
que:
El complejo conjugado de un número complejo z = x + i y se define como:
z
21212121
21212121
// z z z z z z z z
z z z z z z z z
iy x z * z :comodenotar suele seTambién
z z
i
z z z
z z z
2)Im(
2)Re(
)Re(2 212121 z z z z z z
Marcelo Román V
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11
21
22112121
2121221121
)()()()(
)()()()(
z z
iy xiy x y yi x x
y yi x xiy xiy x z z
Por ejemplo:
212211
12212121
1221212121
))((
)()(
)()(
z z iy xiy x
y x y xi y y x x
y x y xi y y x x z z
)Re(2
2
2
)()(
2 z x
xiy xiy x z z
z iy xiy xiy x z
Marcelo Román V
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22 ))(( y xiy xiy x z z
Observemos que:
En la práctica, obtenemos el cociente de dos números
complejos z1 / z2 multiplicando el numerador y
denominador de por el complejo conjugado de z2.
2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
22
22
22
11
22
11
y x
y x y xi
y x
y y x x
iy x
iy x
iy x
iy x
iy x
iy x
Marcelo Román V
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ii
i
i
ii
1
11
(1)
(2)
Ejemplos:
2121 15132)27)(318( z z i--i--i- z z
Sean de nuevo: z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i
53
57120
27
)27)(318(
z
z22
2
1 i-- i--i
2
1
22
2
1
53
57120
27
)27)(318(
z
z
z
z i-
i-i
Marcelo Román V
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Sea la ecuación: 0...10
n
n z z i C . Si p es una raíz de la ecuación, entonces p es raíz de la ecuación:
0...10
nn z z
Y en particular, si i , ni ,...,1 , p y p son raíces de la
misma ecuación, y obtenemos el conocido teorema que nos dice
que: las raíces no reales de la ecuación anterior con coeficientes
reales, aparecen en parejas de raíces conjugadas.
A pesar de la sencillez del conjugado y sus propiedades,
nos permite demostrar fácilmente cosas como esta:
Un número es trascendente (o trascendental) si no es raíz de ningún polinomio (no
nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente
es antónimo de número algebraico (Wikipedia).
Marcelo Román V
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Marcelo Román V
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Sol.:
2/1c)
5/135/1 b)
1a)
z
i z
i z
Sol.:
yiy y z
iy y z
,2
1
iinn
i
n z z i
n z z 10
0
10 )(
Demuestra el teorema del binomio para números complejos:
donde n es un entero positivo.Sugerencia: Usa inducción.
Marcelo Román V
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Q é i ifi
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Caspar Wessel
(1745 - 1818)Primera representación
geométrica en 1797.
Jean Argand (1768 - 1822)
Idem y además consideró
i como una rotación de 90º.Jhon Wallis (1616 - 1703)
“ Algebra”(1673)
¿Qué significa un
número complejo?Anteriores a Gauss:
Marcelo Román V.
El plano complejo (Plano z de Argand o de Gauss)
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19
(Im)
22
: y x z r
x y z arctanarg:
El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss)
Módulo:
También llamado “valor absoluto”
(el módulo de un real es su valor absoluto)
Argumento:
z
x
y
r
(Re)Eje real
Eje imaginario
Para z = 0, el ángulo no está definido.
222||
||||,Im||,Re|| z y x z z
z z z z z z
El argumento está multivaluado.Marcelo Román V.
Ejemplo:
-
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20
x
y
r
13
)2()3( 22
z r
},7.213,7.33,3.146{3
2arctan
3
2arctanarg
z
3
2
rad73.3
Ejemplo:Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo yevaluar módulo y argumento
Módulo:
Argumento:
i23
La calculadora
no distingue
El argumento está multivaluado.Marcelo Román V.
Determinación o valor principal
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z Arg:
),1,0(}255.2{
},455.2,255.2,55.2,255.2{arg
k k
z
z Arg
55.2Arg z
Determinación o valor principal
Ejemplo: supongamos que
Para que sea único, basta con imponer la condiciónadicional de que pertenezca a un cierto intervalo semiabierto
I de longitud
...),2,1,0(}2{Arg:arg k k z z
).etc],,(),2,0[como(2 Escoger este intervalo I se conoce comotomar una determinación del argumento.
Se denomina determinación principal o
valor principal a Arg z, el valor de enel rango:
Marcelo Román V.
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22Marcelo Román V.
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Ejercicios: Demostrar que
)0()6(
|||||||||;|||||)5(
||)4(
||||)3(
))(Im)(Re|:|(
|||Im|Im)2(
|||Re|Re)1(
2
2
1
2
1
21212121
2
222
z z
z
z
z
z z z z z z z z z z
z z z
z z
z z z Nota
z z z
z z z
nn
Marcelo Román V.
Ejercicio:
-
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Ejercicio:
122
22
y x
y x
iy x
iy x
iy x
iy x
iy x
iy x
z
z
x
z y
z y
Gráficamente el conjugado
es una reflexión respecto
al eje real.
Marcelo Román V.
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25Marcelo Román V.
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26
Sol.:
x xi x z
yiy z
,2 b)
,2/3a)
Sol.:
)1(2
1,)1(
2
3c)
),(21,24 b)71,1a)
21
2121
21
i z i z
z z yi z i z i z i z
Marcelo Román V.
Ejercicio: Demostrar que para a b c d enteros siempre
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27
222222 ))(( vud cba Ejercicio: Demostrar que para a, b, c, d enteros siempreexisten u y v enteros tal que:
222222
)133111)(10189( vu Encontrar u y v para:
Liber quadratorum (1225)Leonardo de Pisa (Fibonacci)
(1170-1250)
El matemático italiano Leonardo de Pisa escribió en
1202 el Liber Abaci, un texto en el que se explica
como sumar, restar, multiplicar y dividir con
numerales hindo-arábigos.
Marcelo Román V.
222222 )133111)(10189( vu
-
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)133111)(10189( vu
ad bcvbd acuad bcibd acid cibaivu
t zw
t t zw zww z zwww z z t w z
ivut id cwiba z
||)()())((
))(())(())(()1(||||||
222 22
22
312.23626
048.23554.3
||
)()())((
))(())(()2(
ad bcvbd acu
ad bcibd acid cibaivu
t w z t t w z w z ww z z
Marcelo Román V.
-
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29
"Una pareja de conejos tarda un mes en
alcanzar la edad fértil, a partir de ese
momento cada vez engendra una parejade conejos, que a su vez, tras ser fértiles
engendrarán cada mes una pareja de
conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo
de un determinado número de meses?"Marcelo Román V.
Suma y resta de números complejos
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y p j
en el plano complejo
x
y
1 z
2 z 21 z z
12 z z
En la suma (y la resta)
los números complejos
se comportan como vectores
Prueba que si |z1| = |z2| = |z3| y z1 + z2 +z3 = 0,entonces estamos hablando de los vértices
de un triángulo equilátero.
Sugerencia:
Muestra que |z1-z2|2 = |z2-z3|
2 = |z3-z1|2
Marcelo Román V.
y
-
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31
x
y
1 z 2
3 1 z
1
z
C con la suma y el producto por un escalar posee estructura
de espacio vectorial, isomorfo a R 2.
El conjunto {1, i} es base de ese espacio. Y podemosidentificar C con los vectores libres del plano R 2. Pero
recordemos que C tiene algo más: el producto complejo.
Marcelo Román V.
i i ||||||
-
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Desigualdad triangular
El módulo de zes equivalente a
la distancia
euclidiana del
vector libre (x,y).
La distancia entre
z1 y z2 es |z1-z2|. Así disponemos de
un espacio métrico donde podemos
definir límites,
continuidad, ...
|| 21 z z
x
y1 z
2 z
21 z z
|| 1 z
|| 2 z
|||||| 2121 z z z z
¿Qué significa que |z1| > |z2|?Marcelo Román V.
Demostremos la desigualdad triangular:
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33
221
2221
21
221
22
||||2||||2||2)Re(2
122111
21212121
2
21
|)||(|||||||2||||
))(())((||
21212121
z z z z z z z z
z z z z z z z z
z z z z z z z z z z
z z z z z z z z
Demostremos la desigualdad triangular:
Extrayendo la raíz cuadrada (recordemos que elmódulo es siempre positivo), la desigualdad triangular
queda demostrada.
Marcelo Román V.
Ejercicio: Demostrar que |||||| 2121 z z z z
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34
Podemos generalizar la desigualdad triangular:
...),3,2(||11 n z z
n
j j
n
j j
Ejercicio:
Demostrar por inducción.Hemos demostrado que es cierto para n = 2.Supongamos que es cierto para n y demostremosque entonces es también cierto para n+1.
j e os que |||||| 2121
Ejercicio: Demostrar que |||||| 2121 z z z z
Marcelo Román V.
Forma polar y trigonométrica
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35
z
x
y r
sin
cos
r y
r x
sincos ir r
iy x z
sincos ir z 0r
A partir de las coordenadas polares (r, ) tenemos:
p y g
Utilizamos el
argumento principal
r z Forma polar
Forma trigonométrica
cisr
r En ingeniería:
Marcelo Román V.
Ejemplo:
-
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36
x
y
i z 11
1
12
1r
4sin
4cos21
i z
2)1()1( 2211 z r
argumento:
4/)Arg(
),1,0(}24/{
1
1arctanarg
11
1
z
nn
z
j p
Escribir el siguiente número complejo z1=1+i,en forma polar y trigonométrica:
módulo:
4/1 2 z Marcelo Román V.
Ejemplo: Módulo:
-
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37
4
3
sin4
3
cos22 24/32
i z z
2)1()1( 2222 z r
Argumento:
x
y
i z 12
1
12 2r
j
Ídem para z2=-1-i :Módulo:
Nota: tan( 1 ) = tan( 2 ) = 1, pero z2 está en el tercercuadrante, así que 2 = -3 /4.
4/3)Arg(
),1,0(}24/{
1
1arctanarg
22
2
z
nn
z
Marcelo Román V.
Dos números complejos
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38
0,0,2
0,0,2
0,0,arctan
0,0,arctan
0arctan
Arg
y x
y x
y x x
y
y x x
y
x x
y
z
21
21
ArgArg||||
z z z z
Dos números complejos
serán iguales sii:
Marcelo Román V.
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39Marcelo Román V.
Propiedades del argumento
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40
2121 argarg)arg( z z z z
}:2{arg
}:2{arg
22
11
Z nn z
Z nn z
22211121 sincos||sincos|| i z i z z z
}sincoscossin
sinsincoscos{||||
2121
212121
i
z z
Recordemos que el argumento está multivaluado:
Marcelo Román V.
Usemos las relaciones trigonométricas siguientes para
-
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41
2121
2121
argarg}:2{}:2{
}:2{)arg(
z z Z nn Z nn
Z nn z z
)arg(
)sin()cos(||||
2121
21212121
z z
i z z z z
212121
212121
sincoscossin)sin(
sinsincoscoscos
g g p
la suma de ángulos:
Obtenemos que:
Marcelo Román V.
-
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42
iiii arg2argarg)arg( 2
Tengamos en cuenta que arg z es un conjunto. Y en general
dado un conjunto A, A+A no es igual a 2A. Por ejemplo:
}:22/{arg Z nni }:2{argarg Z nnii
}:4{arg2 Z nni
iii
iii
argargarg2
arg2argarg
Marcelo Román V.
Hemos demostrado en particular que para z1= z2 = z:
-
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43
Hemos demostrado en particular que para z1 z2 z:
z z z argarg)arg( 2
Pero recordemos que en general: z z arg2)arg( 2
Observemos que, sin embargo, para el argumento principal:
22
)Arg()Arg(
)1Arg(])Arg[( 2
ii
i
Así que, en general:2121 ArgArg)Arg( z z z z
Marcelo Román V.
Ejercicio: demostrar que
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44
j q
2121 ArgArg)/Arg( z z z z
2121 argarg)/arg( z z z z
Y que en general:
Marcelo Román V.
Multiplicación en forma trigonométricalid d l l i i d l i d d
-
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45
)]sin()[cos( 212121 ir r
2121 z z r r r 2121 argargarg z z z z
2121
2121
argargarg z z z z
z z z z
En realidad ya tenemos la solución a partir de las propiedades
del argumento:
22211121 sincossincos ir ir z z z
]sincoscossin
sinsincoscos[
2121
212121
i
r r
Marcelo Román V.
Producto de números complejos en el plano complejo
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46
x
y
1 1r 1 z
2 z
2r
2
z
21r r r
21
21 z z z
Marcelo Román V.
Producto de números complejos en el plano complejo
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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47
x
y
1 1 z
2 z
2
21 z z
1
1
Observa que los
triángulos azul y
rojo son semejantes.
Marcelo Román V.
Potencias de i12i
-
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48
1)1(1)( 2634254 iii
1
1
1
6
5
4
3
2
i
ii
i
ii
i
11
i
i
Por ejemplo:
Marcelo Román V.
-
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49Marcelo Román V.
Multiplicar por i es equivalente a y
-
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p p q
girar 90 grados en sentido anti-
horario (operador rotación):
"The number you have
dialed is imaginary.
Please rotate your phone90 degrees and try again."Anonimus
)]2/sin()2/[cos(
)cossin(
)sin(cos
ir
ir
iir iz
x
z
z i2 z i
3
iz
Prueba que:
)Im()Re(
Im)Re(
iz z
z iz
Marcelo Román V.
-
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51Marcelo Román V.
¿Qué significa unnúmero complejo?
dx = 0
-
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52
Bus parado en el
semáforo (arrancando)
Tú corriendo
para pillarlo
vavt d xat xt
d x xt
pb
pb
2
210
00
Alcanzar el bus en T:
a
vd
2
2
T es un tiempo complejo y no alcanzarás el bus.
Pero además tiene significado físico...
Supón que hay dos soluciones
reales. ¿Qué significan T+ y T-?
¿Y si hay una única solución real?
vT d aT T xT x pb 2
2
1,)()(
a
d
a
v
a
vT 2
2
Si:
Marcelo Román V.
22
Supongamos que perdemos el bus:
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
53/97
53
vt d at s x x s pb 2
2
1¿En que instante s es mínimo?
a
vt
dt
ds 0
Es decir: el tiempo
correspondiente a la
parte real del tiempo
complejo T.
y queremos saber en qué momento estuvimos más cerca...
22
22
a
v
a
d i
a
v
a
d
a
v
a
vT
Marcelo Román V.
Relatividad especial: la importancia de i
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
54/97
54
22222
2222
2
21
2
21
2
21
2
)'()'()'()'()(
)()()()(
)()()(
dz dydxdsds
dz dydxds
z z y y x x s
Distancia espacial
(teorema de Pitágoras)
Métrica euclidiana
Invariancia frente a rotaciones
y/o translaciones
Albert Einstein
(1879 – 1955)
Marcelo Román V.
Transformaciones
-
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55
t t
z z y y
vt x x
'
''
'
Transformaciones
de Galileo
Transformaciones
de Lorentz
2
2
2
)/(1
/'
''
)/(1'
cv
cvxt t
z z y y
cv
vt x x
Marcelo Román V.
En vez de hablar de distancia entre eventos (posiciones) en el espacio
tridimensional los físicos hablan de intervalos entre eventos en
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
56/97
56
tridimensional, los físicos hablan de intervalos entre eventos en
el espacio cuatro-dimensional espaciotiempo. Parece razonable
definir la métrica de ese espaciotiempo como:
22222 )()()()()( dz dydxcdt ds
¡Pero es incorrecto! La métrica así definida no es invariante bajo
las transformaciones de Lorentz. Para comprobarlo, supón que
el movimiento es solo en el eje x, y calcula:
222222 )'()'()'()'()'()( dz dydxcdt dsds
dt cv
dxcv
cvdt
dt t
t dx
x
t dt
cv
cvxt t
22
2
2
2
)/(1
1
)/(1
/'
'''
)/(1
/'
Por ejemplo:
Marcelo Román V.
¿Cómo hacer (ds)2 invariante? Lo que Minkowski descubrióes que en vez de usar c(dt) debemos tomar ic(dt)
-
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57
es que en vez de usar c(dt) debemos tomar ic(dt).
222222 )()()()()( dz dydxdt cds
Demostrar que de esta manera (ds)2 es invariante bajolas transformaciones de Lorentz. Observa que usando ic(dt) o lo que es lo mismo c(idt), ¡tenemos un “tiempo imaginario”!
“Las consideraciones sobre el espacio y el tiempo que quisiera presentarles surgieron en el seno de la física experimental, y enello radica su fuerza. Son radicales. De ahora en adelante elespacio en sí mismo y el tiempo en sí mismo están condenados
a ser sombras; sólo un tipo de unión entre los dos conservaráuna realidad independiente”.Hermann Minkowski
(1864 – 1909) Marcelo Román V.
Pensemos que la división es la operación inversa del producto:
División en forma polar
-
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58
Sean z1 = r 1(cos 1+i sin 1 ) y z2 = r 2(cos 2+i sin 2 ).Queremos z = z1 /z2 . Entonces: z z2 = z1. De modo que: |z z2| = |z| |z2| = |z1|
|z| = |z1|/|z2|arg(z z2 ) = arg(z) + arg(z2 ) = arg(z1 )
arg(z) = arg(z1 ) - arg(z2 )
Así que:
Pensemos que la división es la operación inversa del producto:
z1 /z2 = (r 1 /r 2 )[cos( 1- 2 )+i sin ( 1- 2 )]
Marcelo Román V.
División de números complejos en el plano complejo
-
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59
1 z
x
y
21
z
2 z
2
r
2
1r
1
2
1
r
r
r
2
1
z
z z
Marcelo Román V.
ii22
Ejemplos: (1) Usando la forma trigonométrica, evaluar:
-
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60
4/sin4/cos822
2/sin2/cos
ii
ii
i22
i
4/sin4/cos8
1
22
i
i
i
x
z y
z y z /1
(2) Ídem para: z /1
)sin(cos1
)]sin()[cos(11
)sin(cos
0cos1
ir
ir z
ir iy x z
Marcelo Román V.
Fórmula de MoivrePotencias enteras de complejos
f l
Abraham de Moivre (1667 - 1754)
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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61
en forma polar:
...,1,0sincos
)2sin()2cos(
)sin()cos(
2sin2cos
sincos
22
11
22
nninr z
ir z
ir z
ir z
ir z
nn
)sin()cos(sincos nini n Ejercicio: Demostrar por inducción.Marcelo Román V.
S l
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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62
Sol.: Z k i z ,
Marcelo Román V.
El teorema de Moivre es una máquina de
generar identidades trigonométricas. Por ejemplo:
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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63
3223
3
sinsincos3sincos3cos)sin(cos3sin3cos
iiii
generar identidades trigonométricas. Por ejemplo:
Igualando las partes reales e imaginarias:
32
23
sinsincos33sin
sincos3cos3cos
Marcelo Román V.
Otra manera ingeniosa de derivar identidades trigonométricas:
i i
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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64
)(cos2
cos2
sincos1
sincos
1
1
1
nnn z z
z z
i z z
i z
)cos(2
)sin()cos(
)sin()cos(
n z z
nin z
nin z
nn
n
n
Marcelo Román V.
Por ejemplo:
-
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65
16
5)2cos(
32
15)4cos(
16
3)6cos(
32
1)(cos
)(cos220)2cos(30)4cos(12)6cos(2
6
66
...6;)(cos26 46616661 z z z z z z n
20)(15)(6)()2cos(2
22
)4cos(2
44
)6cos(2
66
z z z z z z
Marcelo Román V.
Ejercicio: Sumar
)cos(...)2cos(cos21
21)( nx x x x Dn
nn
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
66/97
66
xi x z kxS kxS n
k
n
k
sincos:)sin(:)cos(:0
2
0
1
n
k
nk
z
z z iS S 0
1
211
1
x
x xnnx
xi x
xni xn
z
z S
n
cos22
1cos])1cos[()cos(
sin)1(cos
1])1sin[(])1cos[(Re
1
1Re
1
1
2sin2
2
12sin
2
1
2
1
2
1)( 1
x
xn
S x Dn
En teoría de series deFourier la función
Dn(x) se llama
núcleo de Dirichlet.
)sin()cos( kxikx z k
Marcelo Román V.
Raíces de z
-
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67
Si z = wn, entonces w se llama la raíz enésima de z y
podemos escribirla como:
que posee n distintos valores. Es decir n z está multivaluada.
Sean w = R(cos + i sin ), z = r(cos + i sin )
Entonces por el teorema de Moivre:
wn = Rn[cos(n ) + i sin(n )] = r(cos + i sin )
r = Rn , o R = n r
y n = +2k o = /n + 2k /n
tomando los valores k = 0,1,...., n-1, obtendremos las n raíces.
n z w
¿Por qué solo hasta n-1?Marcelo Román V.
Resumiendo:
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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68
1,,1,0
2sin
2cos
nk n
k i
n
k r z nn
donde sincos ir z
Los n valores se equireparten en un círculo de radio n rcon centro en el origen, constituyendo los vértices de
un polígono regular de n caras.
El valor den
z obtenido al tomar el valor principal dearg(z) y k = 0 en la fórmula de arriba se asume como valor
principal de w = n z Marcelo Román V.
Ejercicio: Encontrar la raíz cúbica de z = i.Usando en la fórmula anterior r = 1, = arg z = /2:
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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69
, g
iiwk
iiwk
k ik wk
2
1
2
3
6
5sin
6
5cos,1
2
1
2
3
6sin
6cos,0
)3
22/sin3
22/(cos1
1
0
3/1
iiwk 2
3sin
2
3cos,2 2
Marcelo Román V.
Encontrar la raíz cuarta de z = 1 + i.Con r = 2½ , = arg z = /4; tenemos:
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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70
, g ;
iiwk
iiwk
k i
k wk
1664.12320.0)169sin
169(cos2,1
2320.01664.1)16
sin16
(cos2,0
)4
24/sin4
24/(cos2
8/11
8/10
8/1
iiwk
iiwk
1664.12320.0)16
25sin
16
25(cos2,3
2320.01664.1)16
17sin
16
17(cos2,2
8/13
8/12
Marcelo Román V.
Ejemplo: raíces de la unidad
2020
)0sin0(cos11
kk
i 1n
z Ecuaciónciclotómica
-
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71
5
8sin
5
8cos
5
6sin
5
6cos
54sin
54cos
5
2sin
5
2cos
10sin0cos
4,,1,020
sin20
cos11
4
3
2
1
0
55
iw
iw
iw
iw
iw
k n
k i
n
k
Ejercicio: Encuentra las raíces cúbicas de 1 - iMarcelo Román V.
Ejercicio: Sea zk cualquier raíz enésima de la unidad, prueba que:
12 n
-
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72
1,0...1 12 k
n
k k k z si z z z
Nota: Si 1, z1, z2, ..., zn-1 son las raíces de la unidad, demuestra:
12
121 ...1))...()(( n
n z z z z z z z z z
Sol.:i z
i z
2
2
2
1
Sol.: 1 z
Marcelo Román V.
Falacia (Del lat. fallacĭa). 1. f. Engaño, fraude o mentira con que se intenta dañar a alguien.
2. f. Hábito de emplear falsedades en daño ajeno.
-
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73
jReal Academia Española
21;2
3
2
1
2
3
2
12
3
22
3
2
;
2
3
2
1
2
3
2
23
21
23
2;
21
2;1
1
1
1
1
1;
1
1
1
1;
1
1
1
1
2
i
i
i
i
i
ii
ii
i
i
ii
iiii
ii
ii
Marcelo Román V.
El segundo paso (extraer raíces a ambos lados) puede parecer
el origen de la falacia, pero no lo es. Basta con determinar el
valor principal en ambas raíces
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
74/97
74
valor principal en ambas raíces.
El tercer paso es el origen de la falacia. No existe regla que garantice
que:
b
a
b
a
excepto si a>0 y b>0.La única manera de que dos números u y v (u,v distintos de cero)tengan el mismo cuadrado es que u = v o u = -v. En nuestro caso, podíamos haber escrito:
ba
baó
ba
ba
Marcelo Román V.
111111
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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75
11
;
11
;
11
De esta manera no se produce falacia.
Observemos que pasa lo mismo con:
11;1;111
;1)1)(1(;1)1)(1(
2
i
De hecho, si operamos con i, sin pensar que es -1,todo funciona correctamente.
Marcelo Román V.
Un producto infinito para :
sincossincos 2/1 ii
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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76
2cos
2sin2sin
Igualando las partes imaginarias
Elevando al cuadrado a ambos lados:
2
sin2
cossincos ii
2cos
2sin2
2sin
2cossincos 22 ii
Marcelo Román V.
coscossin22cossin2sin
Un producto infinito para :
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
77/97
77
nn
n
2sin
2cos...
4cos
2cos2sin
(Aplicamos el resultado encontrado al ángulo mitad. )
Aplicándolo reiteradamente...
2cos
4cos
4sin22
2cos
2sin2sin
4cos
4sin2
Marcelo Román V.
2sin
2cos...
4cos
2cos
sin
n
n
n
Dividiendo la igualdad entre :
-
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78
...16
cos8
cos4
cos2
2
...8
cos4
cos2
cossin
2
242
n
2 2cos2
k k
Producto infinito
de Viète para
Marcelo Román V.
Tomando ө = π /4:
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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79
...
2
222
2
22
2
22
2
cos1
2cos2
2
4cos
Usando reiteradamenteen el producto infinito
Marcelo Román V.
Potenciación de exponente racional Sean m Z , n N , con n m , primos entre sí.
Se definem
n n m
z z
1
-
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80
Si j j isen r z cos , entonces:
) k 2 (
n
m sen i ) k 2 (
n
m cos r z n
m n
m
con 1 n ,..., 1 , 0 k .
Los n valores ( para 1,...,1,0 n k ) son distintos.Supongamos que para k y 'k se obtuviese el mismo nº complejo.
Sería entonces:
j j p k n
m k
n
m 22'2 , es decir: p
n
m k
n
m k ' .
O sea, )'()'( k k m pn k k n
m p
Como m y n son primos entre si, todo factor de n deberá estar en k k ' ,es decir k k n ' . Imposible pues n k k '
Marcelo Román V.
Ya podemos encontrar todas las soluciones
de una ecuación como:
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
81/97
81
Serán n soluciones.
O las soluciones de ecuaciones como:
¿Cuántas soluciones tiene?
nn z z 23023
n mmn z z )1(01/
Marcelo Román V.
Cualquier complejo elevado a m está univaluado,nos proporcionará un único valor.
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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82
Si m/n es irreducible, tendremos n soluciones. Si
es reducible, m/n = p/q, y tendremos q < n
soluciones distintas.
Es importante, por tanto, simplificar m/n siempre.
Además: supongamos que hemos simplificado
hasta
alcanzar m/n. Tomemos una solución de las n
posibles.
Al elevarla a n/m debería darnos z , ¡pero nos dará
m valores y solo uno de ellos es z !Marcelo Román V.
Propiedades algebraicasLa suma y el producto dotan
a C de estructura de cuerpo
-
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83
Ley de clausura:
z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C.
Ley asociativa:
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 )
(z1 z
2 ) z
3 = z
1(z
2 z
3 )
Ley distributiva:
z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3
Las propiedades son fáciles de probarescribiendo z en
forma algebraica
x+iy, y usando lascorrespondientes
propiedades de losnúmeros reales.
a C de estructura de cuerpo.
Ley conmutativa:
z1 + z2 = z2 + z1
z1 z2 = z2 z1
Marcelo Román V.
0+z = z+0 = z (Neutro para la suma)
z +(-z) = (-z)+z = 0 (Opuesto para la suma)
-
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84/97
84
z ·1 = 1 · z = z (Identidad para el producto)
z · z-1
= z-1
· z = 1 (Inverso para el producto){C,+,·} con las propiedades anteriores es un cuerpo.
No es posible ordenar el conjunto de los números complejos.
Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2, por ejemplo.
z · 0 = 0 · z = 0 (Neutro para el producto)
(Para todo z distinto de 0)
Marcelo Román V.
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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85Marcelo Román V.
-
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86Marcelo Román V.
-
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87Marcelo Román V.
-
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88/97
88Marcelo Román V.
Representación matricial de los números complejos
1001yx
-
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89
01
10
10
01 y x
x y
y x z
Actúa como 1 Actúa como i(una rotación de 90º)
Con la suma y el producto matricial clásico, y teniendo en
cuenta que toda matriz no cero de este tipo es invertible,
tenemos un cuerpo.
El módulo es igual a la raíz cuadrada del determinante.
¿A qué corresponde el conjugado de z en forma matricial?
Marcelo Román V.
A pesar de las diferencias entre N, Z, Q, R y C ,poseen muchas propiedades comunes como
la conmutatividad y la asociatividad de la suma y
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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90
la conmutatividad y la asociatividad de la suma y
el producto, la distributividad del producto respectoa la suma o la existencia de elemento unidad
para la multiplicación.
Según el teorema de Frobenius no es posible un campo mayor
que C.
¿Se puede ampliar más el concepto denúmero de modo que se conservenestas propiedades?
F. Frobenius
(1849 - 1917)Marcelo Román V.
Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865)
Hamilton intentó extender los números
l j "t di i " H t
-
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91
complejos a "tres dimensiones". Hasta
convencerse de que necesitaba cuatro:cuaterniones. Los cuaterniones son números
complejos en cuatro dimensiones en lugar de
dos (Hamilton 1843).
Parte Imaginaria
Parte Real
Así un cuaternión q se expresa como:
q = a + ib +jc + kd donde a,b,c,d son números reales.
{1, i, j, k} hacen de base en el hiperespacio de loscuaterniones. {1, i} era la base estándar para los
números complejos, simplemente se añaden dos
vectores unitarios, j y k , perpendiculares entre sí.
Cuaterniones
Marcelo Román V.
CuaternionesSuma:
La suma se realiza análogamente a como se hace con números
-
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92
Como se puede apreciar en esta regla de multiplicación de los
elementos de la base, el producto entre cuaterniones es asociativo y
no conmutativo.
g
complejos:
Producto:
El producto se realiza componente a componente de acuerdo con las
leyes de combinación y producto de los elementos de la base (Reglas
de Hamilton):
Marcelo Román V.
Así el producto será:
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
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93
Cuaternión conjugado:
Dado el cuaternión , su
conjugado se escribe como:
Cociente entre cuaterniones:
El cociente entre cuaterniones se obtiene rápidamente a
partir de la fórmula del inverso de un cuaternión:
93Marcelo Román V.
Es el precio que se paga porobtener un álgebra consistente con
los cuaterniones es la falta de
-
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94
El software de vuelo del SpaceShuttle usaba cuaterniones para elcontrol de navegación y vuelo. Su
uso conseguía compacidad de
código, velocidad de cómputo y
evitaba aparición de singularidades
en los cálculos.
conmutatividad. En general, el
producto q· q´ de dos cuaternionesno es igual que el producto q´· q
(como ocurre con el producto
matricial estándar, por ejemplo).
Sorprendentemente, esta propiedad
viene al pelo para describir
rotaciones en 3 dimensiones.
Marcelo Román V.
Las rotaciones 3D no son conmutativas:
-
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95
180 grados es el equivalente al cambio de signo en la multiplicación de cuaterniones. Los
cuaterniones tienen las propiedades adecuadas para describir rotaciones y en particular
composición de rotaciones. Los cuaterniones se usan para las rotaciones en los gráficos deordenador (a partir de ahora puedes decir cuando manejes la PS2 que estás computando
cuaterniones) y en GPS.
180 grados dediferencia
dependiendo del
orden de las
rotaciones.
Marcelo Román V.
Hamilton desarrolló también otraálgebra alternativa: la de los
números hipercomplejos. En
vez de sacrificar la
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
96/97
96
vez de sacrificar la
conmutatividad, sacrificó laexistencia de inverso. En el
álgebra hipercompleja no todo
elemento h distinto de 0 posee
inverso 1/h. La base de cuatroelementos posee la misma
notación que la de cuaterniones,
pero las reglas de multiplicación
son distintas:
i j = k, j k = -i, k i = -j j i = k, k j = -i, i k = -ji i = j j = -k k = -1 i j k = 1
El puente de Brougham sobre elCanal Real, donde Hamilton durante
un paseo dedujo las reglas para loscuaterniones.
Marcelo Román V.
“... los números complejoscomponen una notableunidad con la naturaleza.Es como si la propia
-
8/17/2019 1 Numeroscomplejos MR
97/97
97
Es como si la propia
naturaleza estuviera tanimpresionada por elalcance y consistencia delsistema de los númeroscomplejos como lo estamos
nosotros, y hubieraconfiado a estos númeroslas operaciones detalladasde su mundo en sus
escalas más minúsculas”.
Roger Penrose,"El camino a la realidad".
Marcelo Román V.