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1Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001

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and randomnessand randomness » » Duncan WattsDuncan Watts

Réunion biblio LISC

09 Janvier 2001

Réunion biblio LISC - 09 Janvier 2001

Duncan Watts & Small WorldsDuncan Watts & Small Worlds

• Duncan Watts– Cornell University (PhD)– Sante Fe Institute (Post-Doc)– MIT

• Small Worlds– « only six handshakes away from the president

of the USAs… »– Imaginaire collectif aux USAs+ films…


Expérience de Milgram 1967Expérience de Milgram 1967

• Idée : chaîne de lettres avec cible…

• Contrainte : connaître les intermédiaires par leur prénom

• Résultats : 5 intermédiaires en moyenne

• Discussion méthodo => validité des résultats…


Pb Méthodo…Pb Méthodo…• Obtenir des données détaillées• Les interviewés sont incapables de donner leur nb

d’amis• Certaines amitiés sont + importantes que d’autres

(les liens n’ont pas le même poids)• Les individus n’ont pas le même poids dans le

réseau• Liens non symétriques• La notion d’amitié dépend du contexte social

(Amish Hollywood)


Théorie des graphes : définitions Théorie des graphes : définitions de basede base

• Graphe G à n sommets

• Taille(G) = nb de liens

• ks = degré du sommet s

• k = degré moyen de G

• Si ks = cte qq soit sommet, alors G = k-régulier

(s) = sommets voisins de s


Th G : length, clusteringTh G : length, clustering• Distance (i,j) = + court chemin entre i et j• Characteristic path length L = médiane des

moyennes des distances pour chaque sommet = médiane des

• Clustering coeff s= nb liens de (s) / nb de liens possibles dans (s)

s = E((s))/(ks²/2)•

sd

s


Modèles de Small WorldsModèles de Small Worlds


Construction de réseaux sociauxConstruction de réseaux sociaux

• Existence d’un espace social, réseau social défini de manière exogène (graphes spatiaux)

• Pb : quel espace ? Quelle métrique ?• Graphes relationnels :

– Un réseau social peut être exprimé uniquement par ses liens (sans espace sous-jacent)

– Existence d’une relation = f (relations pré-existantes) réseau social défini de manière endogène

• Images : Caveman World, Solaria, réseaux réels entre les deux…


Hypothèses faites, limitationsHypothèses faites, limitations

• Graphes pris en compte : – Liens non dirigés– Non pondérés– Non multiplexes– Graphes non complets– Graphe connexe– Sparseness condition : taille(G)<<nb de liens

possibles


Modèle Modèle : définition : définition

• Une variable pour balayer [caveman, solaria]

0

01

1

,

,,

,

,

ji

jiji

ji

ji

mp

mkppk

m

km

R


Modèle Modèle : explication : explication

• Mi,j = nb de sommets adj à i et j

• p <<(n/2)

• Mi,j/k = part de réseau perso commun

= importance du réseau commun pour la création d’une nouvelle relation


Le cas Le cas = 0 = 0

• Nouvelles connections déterminées uniquement par les relations existantes

• Graphe dépend énormément du graphe de départ choisi (substrat)


Need for a substrateNeed for a substrate

• Si pas de graphe de départ, 1ers liens aléatoires puis clusters déconnectés => caveman

• Possibilités : – Ajouter connections a posteriori, augmenter

p ????


Substrat initialSubstrat initial

• Structure de base doit être minimale et aucun sommet ne doit avoir un statut particulier => anneau seule possibilité !!!

• Quelle relation entre et L et ?


Length & clustering propertiesLength & clustering properties


InterprétationInterprétation

• Pour L : après transition : equiv à random graphs

• Interprétation : augmentation de taille des clusters puis connexions des clusters

• Conjecture : il existe une classe de graphes avec L equiv a random graphs et highly clustered


Substrat grilleSubstrat grille


Cayley treeCayley tree


Caylee tree bis…Caylee tree bis…


Random substrate minimally connectedRandom substrate minimally connected


Modèle Modèle : définition et : définition et motivationsmotivations

• Quand =0, prop dominée par celle du substrat

model => [ring => random graph]

• Substrat 1-lattice avec k voisins

• On bouge les liens avec la proba


Algo modèle Algo modèle

• Chaque sommet i est choisit à tour de rôle, ainsi que la relation à son plus proche voisin dans le sens des aiguilles d’une montre

• Si random < on enlève le lien et on tire j au hasard => création du lien (i,j)

= 0 => 1-lattice, =1 => random graph

• Modèle est k-régulier


: propriétés length & clustering: propriétés length & clustering


ShortcutsShortcuts

• Rang R(i,j) = longueur du plus court chemin entre i et j en enlevant le lien (i,j)

• Lien de rang 2 = triade

• Un lien de rang r >2 = shortcut = fraction des relations qui sont des

shortcuts


ContractionContraction

• Contraction quand une paire de sommets non connectés ont un et un seul voisin en commun

= fraction des relations qui sont des contractions


vs. vs.


InterprétationsInterprétations

• Pour très petit création de shortcut très rare => très petit

• Quand augmente, shortcut de – en – rare équivalent à , désordre dans une grille

ordonnée équivalent à création de shortcuts• Quand ou augm. On tend vers random graphs• Random graphs = élevé, petit• Small World graphs = L faible et élevé


L pour diff. substrats en fonction de L pour diff. substrats en fonction de


pour diff. substrats en fonction de pour diff. substrats en fonction de


modelmodel

• L p/r à LrandomGraph plus important que L

mesure ça… et autres modèles ne permettent pas d’explorer => -model

• 1-lattice au départ de degré k,

• On fixe • On bouge les liens comme dans -model +

contrainte (kn)/2 doivent être des shortcuts


Model : algo répété Model : algo répété (kn)/2 (kn)/2 foisfois

• On choisit sommet u au hasard• On choisit v voisin de u / u et v ont un ami

commun• On efface (u,v)• On choisit w au hasard / u et w n’ont pas

d’amis communs• On ajoute le lien (u,w)• Modèle est k-régulier


L pour L pour model model


pour pour model model


Complexité structurelleComplexité structurelle• C = déviation moyenne de R (rang des liens)


Cas réels : Oracle de BaconCas réels : Oracle de Bacon

• Kevin Bacon• Bacon Number• Caractéristiques :

– n = 225 226– k = 61– L = 3.65 = 0.79 = 0.0002 et = 0.166


Exploration des donnéesExploration des données

• Graphe bien défini, 90% des acteurs dans une même composante connexe

• Graphe suffisamment large et computable

• 1 film = sous-graphe

• Pas de shortcuts…(film avec seulement 2 acteurs) plutôt des contractions (acteurs pivots liant 2 groupes d’acteurs)


Acteurs pivots…Acteurs pivots…

• Pivots culturels (Bruce Lee entre ciné asiatique et Hollywood)

• Pivots temporels (Eddie Albert lie Humphrey Bogart, Marlon Brando, John Travolta et Kevin Bacon)

• Pivots de genre :– Nicholas Cage comédie (raising arizona) &suspense

(kiss of death)

– Mel Gibson action (arme fatale) &drame (Hamlet)


Autres cas réelsAutres cas réels

• Oracle de Bacon = small world

• Autres cas : – Erdös Number– Réseau électrique américain (propriété Small

World mais violation de sparseness condition)– Système nerveux du lombric (petit mais par

extrapolation equiv à Small World)


Dynamics in (static) networksDynamics in (static) networks

Est-ce que les dynamiques changent quand on choisit un Small World

graph ???


Spreading diseases : introSpreading diseases : intro• 3 sous-population :

– Susceptible (S), non atteints– Infectious (I), infectés et contagieux– Removed (R ), immunisés ou morts

• Ti et Tr durée des états I et R = proba qu’un élément I infecte un de ses

voisins• Cas particuliers :

– Tr = permanent-removal dynamics– Tr < Tmax temporary-removal dynamics (Tmax = durée

simul)


Permanent-removal dynamicsPermanent-removal dynamics


Temporary removal dynamicsTemporary removal dynamics


Temporary removal dynamics(2)Temporary removal dynamics(2)


Results disease spreadingResults disease spreading

• Nature de l’attracteur dépend de la topologie

• Le temps de contagion dépend de la topologie (L)

• D.W. « no generally applicable relationship between structure and dynamics seems evident… »


Prisoner dilemnaPrisoner dilemna

• 2 prisonniers accusés du même crime sont mis dans 2 cellules différentes, ils peuvent soit se taire, soit vendre l’autre et recevoir une peine plus faible

• Meilleure stratégie : trahir dans tous les cas…• Dilemme du prisonnier itéré (fini, infini)• Meilleure stratégie : coopérer jusqu’à la dernière

itération• Spatial prisoner dilemna


Generalised Tit-for-tatGeneralised Tit-for-tat

• Param dureté h (entre 0 et 1)

• Pour chaque joueur :– Si taux de coop dans son voisinage h il

coopère, sinon il trahit– h = 0 il coopère tout le temps– h = 0.5 généralisation du cas à deux joueurs

• Scheduling asynchrone (diffusion + rapide)


Generalised Tit-for-tat (2)Generalised Tit-for-tat (2)


resultsresults

• Coopération très sensible à • Dans random graphs faible => chaque

coop joue tout seul, même pour taux de coop initial élevé il peut se faire bouffer

• Quand augmente le voisinage est plus représentatif de l’état global (la taille effective de la population avec laquelle le joueur interagit augmente)


Win-stay Lose-shiftWin-stay Lose-shift

• Si PayOff(i) moyenne des payoff de son voisinage, il garde sa stratégie (coop ou trahir)

• Sinon il change• On introduit 1 coop i dans un monde de traîtres• 2ème tour PayOff(i)<moyenne(payOff(V(i)) => i

trahit et V(i) trahit• Mais PayOff(V²(i))<PayOff(V3(i)) (les V(i) ont

plus gagné parce qu’ils ont plumé i• Donc V²(i) change…pas de stabilisation…


Win-stay Lose-shift(2)Win-stay Lose-shift(2)


Conclusion & limitationsConclusion & limitations

• Un potentiel énorme• Une première pour la prise en compte de la

structure sociale dans Prisoner Dilemna ou CA… • Des limitations :

– Est-ce qu’on est toujours dans le cas d’un small-world ?

– Tous les individus sont semblables tous les liens sont semblables

– Pas de dynamiques sur la structure sociale

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