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Automatica Vol. 16, pp. 519-526Pergamon Press Ltd. 1980. Prinled in Great Britain Internati onal Federation of Automatic Control

000 ~ 1098/80/0901-0519 $02.00,0

Ms. 195

Step Response and requencyResponse M ethodsH. RAKE,

K e y w o r d s - - l d e n t i f i c a t i o n ; F o u r i e r a n a l y s i s ; fr e q u e n c y r e s p o n s e ; s t e p r e s p o n s e .

A l m t r a e t - - I n t h i s t u t o r i a l v e r y s i m p l e m e t h o d s w i l l b e p r e -s e n t e d b y w h i c h m o d e l s f o r d y n a m i c p r o c e s s e s c a n b e o b -t a i n e d . T h e s e m e t h o d s e m p l o y s t e p r e s p o n s e s o f t h e p r o c e s so r r e s p o n s e s t o o t h e r n o n p e r i o d i c t e s t s i g n a l s o r p r o c e s sr esponses t o pe r iod i c s igna l s .

I N T R O D U C T I O N

ONLY methods giving linear models will be trea-ted in spite of the fact that most processes ofinterest will not be linear. Thus a linear model isfitted somehow to the process.

The discussion will be restricted further tosingle input-single output (SISO) models. Manyprocesses with more than one input and/or morethan one output may be represented by a numberof SISO-models connecting each input to eachoutput. These models can often be determined byinvestigating all signal paths separately from eachother.

Figure 1 shows the general setup of processand model and will be referred to when discuss-ing different methods. The process is exited bythe input (test) signal u provided by a signalgenerator. The measurable process response ywill in general consist of the uncorrupted processoutput plus additional process and/or measure-ment noise n. Thus all noise is thought to becondensed into this noise added to the processoutput. It will be shown that different identifi-cation .methods are more or less sensitive tonoise. It will also become apparent that in almostany identification a large signal to noise ratio isdesirable. Thus in the design of experiments and

Rece ived 19 M ar c h , 1980 . T he o r ig ina l ve r s ion o f t h i sp a p e r w a s p r e s e n t e d a t t h e 5 t h I F A C S y m p o s i u m o nI d e n t i f i c a ti o n a n d S y s t e m P a r a m e t e r E s t i m a t i o n w h i c h w a sh e l d i n D a r m s t a d t , F e d e r a l R e p u b l i c o f G e r m a n y d u r i n gSep tember 1979 .T h e p u b l i sh e d P r o c e e d in g s o f th i s I F A C M e e t i n g m a y b e

o r d e r e d f r o m : P e r g a m o n P r e s s L i m i t e d , H e a d i n g t o n H i l lH a l l , O x f o r d O X 3 0 B W , E n g l a n d .T h i s p a p e r w a s r e c o m m e n d e d f o r p u b l i c a t i o n i n r e v i s e df o r m b y t h e A u t o m a t i c E d i t o r i a l B o a r d .f l n s t , f . R e g e l u n g s t e c h n i k , R W T H A a c h e n , A a c h e n ,G e r m a n y .519

measurements all means should be employed todiminish noise and to enlarge usable signals.Test-signal amplitudes in general are subject torestrictions. With regard to safety, product qua-

lity etc. large deviations from setpoints cannot betolerated in most real processes. In addition tothis, nonlinearities in many processes prevent theuse of large signals for determining linear models.The identification methods to be presented willbe classified according to the test signals em-ployed. This leads to two groups of methods oneof which uses nonperiodic test signals whereasthe other works with periodic signals. Bothgroups will be subdivided into methods givingnonparametric models and those giving para-metric models respectively.

oIII

MOdel Yu

Yr

FI G. 1. Ge ner a l se tup o f p r ocess and m ode l .

Description o f processes and modelsAs implied by Fig. 1 process models will bechosen and rated on the basis of input and

output signals. Thus only the transfer characteris-tics of process and model have to be described.Models are graded according to their ability togenerate an output signal YM which is verysimilar to the signal y generated by the processwhen model and process are exited by the sameinput signal u.Models very often are described by theirweighting function h t ) or their frequency re-sponse function H(je)). When no analytic ex-pression for these functions is known a nonpara-

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520 H . RAKEm e t r i c m o d e l i s o b t a i n e d , w h i c h i s r e p r e se n t e d b ya p l o t o r a n u m b e r o f s a m p l e v a lu e s . B e st k n o w nm e m b e r o f th i s s et o f m o d e l s p r o b a b l y is th ef r e q u e n c y r e s p o n s e r e p r e s e n t e d b y a B o d e p l o t.P a r a m e t r i c m o d e l s a r e d e s c r i b e d b y t h e n u m b e ra n d t h e v a l u e s o f p a r a m e t e r s o f d i ff e r en t ia l e q u a -t io n s , f r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t i o n s o r t r a n s f e rf u n c t i o n s . F r o m t h e s e a n a l y t i c r e p r e s e n t a t i o n sp l o ts o r v a l u es o f i n te r e s t o f f r e q u e n c y r e s p o n s eo r w e i g h t i n g f u n c t i o n s c a n b e c o m p u t e d i n g e -n e r a l w i t h o u t m u c h d i f f i c u l ty w h e r e a s t h e i n v e r sep r o c e s s n a m e l y d e r i v i n g p a r a m e t e r s f r o m n o n -p a r a m e t r i c m o d e l d e s c r i p t i o n s i s m u c h m o r ediff icul t .

A f a ir ly g e n e ra l p a r a m e t r i c m o d e l c a n b e d e -sc r i b e d b y t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o na , y ~ t ) ( t ) + . . . + al)Y'M(t) + a o y M ( t ) = b o u ( t - r a )

+ b l t i ( t - - r e) + . . . + b , , u ( m ) ( t - r a ) (1)o r b y t h e c o r r e s p o n d i n g f r e q u e n c y r e s p o n s e

b o + b l j o + . . . + b , , ( j o )H ( j e ) ) = a o + a l j o g + . . . + a , ( j o )n e x p ( - j O g r a ) .12)

S o l v i n g t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e i n p u ts igna l

for 0u ( t ) = 6 ( t ) f o r t = 0~ b ( t ) d t = l (3 ): r j

w i t h 6 ( t ) b e i n g t h e u n i t i m p u l se f u n c t i o n g i v e st h e so - c a l l e d w e i g h t i n g f u n c t i o n

a c c o u n t n a m e l y p e r i o d i c a n d n o n p e r i o d i c o n e s .I n c a se o f a n o n p e r i o d i c i n p u t ( t e s t ) s i g n a l t h ep r o c e s s b e i n g i n e q u i l i b r i u m o p e r a t i o n , c o r r e s -p o n d i n g t o z e r o i n i t i a l c o n d i t i o n s , i s d i s t u r b e d .T h e p r o c e s s m a y t h e n s e t t l e i n t o a n e w e q u i l i b -r i u m w h i c h c a n b e e q u a l t o t h e f o r m e r o n e o rs t a r t d r i f ti n g o u t o f th e r e g i o n o f n o r m a l o p e r -a t i o n . W h i c h w a y t h e p r o c e s s w i l l b e h a v e d e -p e n d s o n t h e p r o p e r t i e s o f t h e p r o c e s s a n d t h einput s igna l .

P e r i o d i c s i g n a ls i n . g e n e r a l a r e e m p l o y e d i nsu c h a w a y t h a t t h e p r o c e s s i s r u n n i n g i n as t e a d y s t a t e w i t h t h e o u t p u t o sc i l l a t i n g w i t h t h es a m e f r e q u e n c y ( o r f re q u e n c i e s ) a s t h e i n p u t a n da l l t r a n s i e n t s h a v i n g su b s i d e d .

I n c o n t r a s t t o t h e d e t e r m i n i s t i c i n p u t s i g n a lw e l l k n o w n i n a d v a n c e t h e n o i s e n (F i g . 1 ) h a s t ob e t r e a t e d a s a s t o c h a s t i c s i g n a l a b o u t w h i c h o n l yi ts s t a t i s ti c a l p r o p e r t i e s i f a n y a t a l l m i g h t b ea v a i l a b l e . I n m a n y c a se s o f p r a c t i c a l i n t e r e s t t h en o i s e c a n b e a p p r o x i m a t e d b y s t o c h a s t i c s i g n a l sw i t h G a u s s i a n a m p l i t u d e d i s t r i b u t i o n a n d asp e c t r a l d e n s i t y w h i c h i s e i t h e r i n d e p e n d e n t o ff r e q u e n c y ( w h i t e n o i s e ) o r a n o t t o o c o m p l i c a t e df u n c t i o n o f f r e q u e n c y ( c o l o u r e d n o i s e , e .g . lo wpass- f i l t e red no i se ) . In most cases the no i se w i l lb e c o n s i d e r e d a s h a v i n g z e r o m e a n

E [ n ] = 0 6 )a n d i ts i n t e n s i t y w i ll b e d e sc r i b e d b y i t s v a r i a n c e

a = E [ n 2] 7 )w i t h a a s s o c a l le d s t a n d a r d d e v i a t i o n o r r o o tm e a n sq u a r e ( r . m . s . ) v a l u e .

y u ( t ) = h ( t ) (4)a s c o r r e s p o n d i n g o u t p u t f u n c t i o n . T h i s w e i g h t i n gf u n c t i o n i f r e p r e s e n t e d b y a p l o t o r a n u m b e r o fs a m p l e v a l u e s c a n b e r e g a r d e d a s a n o n p a r a -m e t r i c m o d e l d e s c r i p t i o n a n d b e u s e d i n t h ec o n v o l u t i o n i n t e g r a l

y M t ) = S h z) . u t - r ) d z 5 )0

METHODS FOR NONPERIODIC TEST SIGNALSN o n p e r i o d t e st s i g n a ls

N o n p e r i o d i c t e s t s i g n a l s i n c o m m o n u s e a r e :i m p u l se s o f d i f f e r e n t sh a p e a n d r e l a t i v e l y sh o r td u r a t i o n ; s t e p f u n c t i o n s ; a n d r a m p f u n c t i o n s .T a b l e I s h o w s a c o l l e c ti o n o f n o n p e r i o d i ct e s t s igna l s .

TABLE l. NONPERIODIC TEST SIGNALS

t o c o m p u t e t h e o u t p u t Y M ( t ) f o r a r b i t r a r y i n p u t su t ) .O f c o u r s e t h e d i f f e r e n ti a l e q u a t i o n c a n b e

s o l v e d b y L a p l a ' c e - o r F o u r i e r - T r a n s f o r m t e c h n -n i q u e s e m p l o y i n g t r a n s f e r f u n c t i o n s o r f r e q u e n c yr e s p o n s e f u n c t io n s .S i g n a l s

I t h a s b e e n m e n t i o n e d b e f o r e th a t t w o d i f f e re n ttype s of i npu t s igna l s u (F ig . 1 ) w i l l be t ak en in to

a )t

d )t ~

b )

e )

c )

f )

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S t e p r e s p o n s e a n d f r e q u e n c y r e s p o n s e m e t h o d s 52 1W h e n c h o o s i n g a t e s t s i g n a l f o r a s p e c i f i c

a p p l i c a t i o n t h e p ro p e r t i e s o f t h e s i g n a l , t h e p o s s i -b i l i t i e s fo r g e n e ra t i n g a n d a p p l y i n g t h e s i g n a l a n dt h e k i n d o f i n f o r m a t i o n w a n t e d f r o m t h e t e s th a v e a m o n g o t h e r s t o b e t a k e n i n t o a c c o u n t .T h u s u n i v e r s a l r u l e s a r e h a r d t o f o r m u l a t e .Nonparametr ic model s f rom nonper iod ic s ignal s

A s s t a t e d b e f o r e n o n p a r a m e t r i c p r o c e s s m o d e l so f c o m m o n i n t e re s t a r e : t h e w e i g h t i n g f u n c t io nh ( t ) ; a n d t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t i o n H(jog).

A n o b v i o u s a n d f a i r l y s i m p l e w a y f o r o b t a i n i n gt h e w e i g h t i n g f u n c t i o n h( t ) w o u l d b e t o u s e

u ( t ) = K . 6 ( t ) (8)a s a n i n p u t s i g na l , g i v in g a n o u t p u t

y ( t ) = K h ( t) + n ( t) (9)

p o n e n t s i n t h e o u t p u t s i g n a l y ( t ) wi l l b e t r e a t e di n t h e s a m e w a y a s g e n u i n e p r o c e s s o u t p u t s a r e .

F o u r i e r t r a n s f o r m s o f si g n al s m e a s u r e d a r eu s u a l l y c o m p u t e d b y d i g i t a l c o m p u t e r s v i a t h eD i s c r e t e F o u r i e r T r a n s f o r m ( D F T ) , w h i c h c a n b er e a li z e d i n a c o m p u t a t i o n a l l y e f fi c ie n t m a n n e r b ya l g o r i t h m s u s i n g t h e s o c a l l e d F a s t F o u r i e r t r a n s -f o r m ( F F T ) . W i t h o u t g o i n g i n t o t o o m u c h d e t a i l ,i t s e e m s w o r t h w h i l e t o b e a r i n m i n d t h a t t h eF o u r i e r t r a n s f o r m F ( e o) o f a f u n c t i o n o f t i m e f i t )is

F(co ) = f ( t ) . e x p ( - f i o t ) d t (12)a n d t h a t i t e x i s t s o n l y i f

I f ( t ) l d t < ~ . (13 )05wh i c h i n c a s e o f n e g l ig i b l e n o i s e n( t ) wil l g iveh( t ) w i t h o u t f u r t h e r e f f o r t . I n p r a c t i c e t h e D i r a ci m p u l s e o f e q u a t i o n ( 8) h a s t o b e a p p r o x i m a t e db y ~ m p u l s e fu n c t i o n s w i t h s h o r t b u t f i n i t e d u -r a t i o n a n d l i m i t e d a m p l i t u d e ( T a b l e l a , b ). I ft h e s e i m p u l s e f u n c t i o n s a re o f a d u r a t i o n t h a t i ss h o r t i n c o m p a r i s o n t o t h e d u r a t i o n o f t h ew e i g h t i n g f u n c t i o n , s y s t e m a t i c e r r o r s r e s u l t i n gf ro m u s e o f t h e s e s i g n a l s i n s t e a d o f a D i r a ci m p u l s e m i g h t b e t o l e r a b l e . T h e ( a p p r o x i m a t e d )w e i g h t i n g f u n c t i o n t h e n c a n b e c o m p u t e d a s

y ( t )~ t ) = u ( t ) d t(10)

I n c a s e s w h e r e i m p u l s e f u n c t i o n s o f n o n -n e g l ig i b le d u r a t i o n h a v e t o b e u s e d , i n v e r si o n o ft h e c o n v o l u t i o n i n t e g r a l e q u a t i o n ( 5 ) l e a d s t o a( n u m e r i c a l ) d e c o n v o l u t i o n m e t h o d f o r t h e d e -t e r m i n a t i o n o f t h e w e i g h t in g f u n c t io n . T h o u g hfe a s i b l e i n p r i n c i p l e t h i s m e t h o d i s n o t u s e d v e ryo f t e n d u e t o t h e f a c t s ( a m o n g o t h e r s ) t h a t :w e i g h t in g f u n c ti o n m o d e l s a r e n o t v e ry c o m m o n ;d e c o n v o l u t i o n m a y s u ff e r s ig n i f ic a n t l y f r o m illc o n d i t i o n e d i n p u t s a n d / o r n o n - n e g l i g i b l e n o i s e .

A s m o d e l r e p r e s e n t a t i o n s v i a f r e q u e n c y r e -s p o n s e f u n c t i o n s a r e u s e d v e r y o f te n , m e t h o d s f o rd e r i v i n g f r e q u e n c y r e s p o n s e s f r o m i n p u t - o u t p u ts i g na l p a ir s a r e o f c o m m o n i n te r e s t. F r e q u e n c yr e s p o n s e f u n c t i o n s a r e c a l c u l a t e d f r o m F o u r i e rt r a n s f o r m s o f i n p u t a n d o u t p u t s i g n al s .

Y c o ) ~ [ y t ) ] 1 1 )B ( j m ) = U (~ o) = ~ ' [ u ( t ) ]E q u a t i o n (11 ) w i l l g i v e s a t i s fy i n g r e s u l t s o n l y i fthe no ise (F ig . 1 ) i s neg l ig ib le as no ise c o r n -

He re s i g n a l s u( t ) a n d y ( t ) a r e t o b e t r a n s f o r m e d .B y s u i t a b l e d e f i n i ti o n s o n e c a n e n s u r e

y ( t ) = u ( t ) = O f o r t < 0 ( 1 4)a n d t h u s

O~3Y((o) = S y ( t ) . e x p ( - j o g t ) d t . (15)F o r n u m e r i c a l e v a l u a t i o n o f e q u a t i o n ( 15 ) t h es i g n a l y ( t ) i s s a m p l e d a t e q u i d i s t a n t p o i n t s n Ti n t i m e a n d s a m p l e v a l u e s y (n ) a r e s t o r e d a n dp r o c e s s e d . F o r p r a c t i c a l r e a s o n s f u n c t i o n s o ft i m e , in o rd e r t o fu lf i ll e q u a t i o n (13 ) a n d t h u s b eF o u r i e r - t r a n s f o r m a b l e , h a v e t o t e n d t o z e r o f o rl a rg e t > T N = N ' T . S u c h s i g n a l s c a n b e r e p re -s e n t e d b y a f i ni te n u m b e r o f sa m p l e s y ( n ) , n= 0 . . . .. N - 1 a n d t h e ir D F T c a n b e o b t a i n e d b ye v a l u a t i n g t h e f i ni te s u m

w i t h

N - 1 / 2 7 t ~ c n ~Y ( k . A c o ) = . = o Y ( n )' e x p k - j - W )k = 0 . . .. . N - 1 ( 16 )

2~A o = - - ( 1 7 )N -A ti n s t e a d o f t h e i n f i n i te i n t e g ra l e q u a t i o n (15 ).

E q u a t i o n ( 16 ) i n d ic a t e s , t h a t t h e D F TY(k -A~ o ) i s d e f i n e d fo r N d i s c r e t e v a l u e s o ff r e q u e n c y a n d t h u s t h e a s s o c i a t e d f r e q u e n c y r e -s p o n s e i s d e f i n e d fo r t h e s a m e N d i s c r e t e f r e q u e n -c ie s. E v i d e n t l y t h e D F T o f th e i n p u t s i g n al c a nb e o b t a i n e d i n t h e s a m e m a n n e r a s d e s c r i b e da b o v e f o r t h e o u t p u t s i g n a l . O f t e n s t a n d a r d i n p u ts i g n a l s w i l l b e u s e d wh o s e F o u r i e r t r a n s fo rm i s

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) ' 35 , , H . R A KEk n o w n b e f o r e h a n d o r c a n b e c a l c u l a t e d a n a l y t i -c a l l y o r l o o k e d u p i n a su i t a b l e t a b l e . I n su c hc a se s t h e o u t p u t s i g n a l o n l y h a s t o b e p r o c e s se d .

F r o m e q u a t i o n ( 1 3 ) i s t o b e s e e n t h a t s t e pf u n c t i o n s a n d s t e p r e s p o n s e f u n c t i o n s t e n d i n g t oa f i n i t e n o n z e r o v a l u e f o r l a r g e t i m e v a l u e s a r en o t F o u r i e r - t r a n s f o r m a b l e . T h i s d i f fi c u lt y c a n b ec i r c u m v e n t e d b y n o t t r a n s f o r m i n g t h e s i g n a l st h e m se l v e s b u t t h e i r f i r s t d e r i v a t i v e s . O n e c a np r o v e t h a t u s i n g s i m p l e d i f f e r e n c e s

y ' ( n ) = y ( n + 1 ) - - y ( n ) (18)u ' ( n ) = u ( n + l ) - u ( n )

i n o r d e r t o o b t a i n

/ -t ( k - A o g ) = , ~ - [ y ( n ) ] ( 1 9 )~ [ u ( n ) ]d o e s n o t i n t r o d u c e s y s t e m a t i c e r r o r s a s i n p u t a n do u t p u t s i g n a l a r e p r e p r o c e s s e d i n t h e s a m e w a y .

A s m e n t i o n e d b e f o r e n o i s e i s a b i g p r o b l e m i nsy s t e m i d e n t i f i c a t i o n w i t h n o n p e r i o d i c s i g n a l s . A l lm e t h o d s u s i n g a n d p r o c e s s i n g s u c h s i g n a l s a r ef e a s i b le o n l y i n c a se s o f h i g h s i g n a l t o n o i s e r a t i o .T h i s c a n e a s i l y b e s e e n f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o ff r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t i o n s . I f t h e p r o c e s s h a s af r e q u e n c y r e s p o n s e H ( ~ o) a n d t h e n o i s e n ( t ) givesa F o u r i e r t r a n s f o r m

T~tN ( ~ o ) = j ' n ( t ) . e x p ( - j o g t ) d t (20)

t h e m e a s u r a b l e p r o c e s s o u t p u t s i g n a l w i l l h a v e aF o u r i e r t r a n s f o r m

Y ( o o ) = U ( o g ) ' H ( o J ) + N ( ~ n ) (21)a n d t h e m o d e l f r e q u e n c y r e s p o n s e w i ll b e

N o~)~ ' ~ o Y ( ~ o )= H ( o g ) - + - - - . ( 2 2 )~= U co) U ~o)T h u s t h e a d d i t i o n a l n o i s e l e a d s t oe r r o r s i n t h e f r e q u e n c y r e s p o n s e . B ys e v e r a l r e s p o n s e f u n c t i o n s o n e m i g h tt h e e f f e c ts o f n o i s e t o a c e r t a i n d e g r e e .

a d d i t i o n a la v e r a g i n ga t t e n u a t e

P a r a m e t r i c m o d e l s f r o m a p e r i o d i c s i g n a lsP a r a m e t r i c m o d e l s u s u a l l y a r e d e s c r i b e d b y

t h e i r f r e q u e n c y re s p o n s e f u n c t i o nH ( ~ ) = b o + b l jo 9 + . . . b ,, ( jo g ) e x p ( - j o y r )

a o + a lj o . . . a , ( j o ) (23)wi th a j , b~ , m, n , z a s pa r am ete r s .

M a n y a u t h o r s h a v e p r o p o s e d m e t h o d s f o r d e -t e r m i n i n g p a r a m e t e r v a l u e s f r o m t i m e f u n c t i o n s

o f t h e p r o c e s s o u t p u t p r o v i d e d t h e p r o c e s s i n p u ti s a w e ll d e t e r m i n e d s i g n a l . O f p r i m a r y i m p o r -t a n c e a r e s t e p f u n c t i o n s a s i n p u t a n d s t e p r e -sp o n se s a s o u t p u t s i g n a l s . H e r e t h e d i s c u s s i o nw i l l b e l i m i t e d t o t h i s s i g n a l p a i r t h o u g h t h e r ea r e o t h e r i n p u t s i g n a l s ( T a b l e 1 ) w i t h i n t e r e s t i n gp r o p e r t i e s .

A l m o s t a ll m e t h o d s f o r th e e v a l u a t i o n o f s t e pr e s p o n s e f u n c t i o n s u s e a s m a l l n u m b e r o f c h a r a c -t e r i s ti c v a lu e s o f t h e r e sp o n se f u n c t i o n . O n e o ft h e o l d e s t a n d b e s t k n o w n i s t h a t i n t r o d u c e d b yK f i p f m i J l le r g i v i n g a f i rs t o r d e r l a g m o d e l w i t ht i m e d e l a y a n d a f r e q u e n c y r e s p o n s e

K/4(e9) = - - ' e xp (- j o gz ). (2 4 )1 + j~or 1

T h e p a r a m e t e r s K , r ~ , ~ c a n b e d e r i v e d f r o m t h es t e p r e sp o n se a s i n d i c a t e d i n F i g . 2 w i t h u o b e i n g

FIG. 2. Ev aluatio n of step re sponse s acco rding to Kiipfmfiller.

t h e a m p l i t u d e o f th e i n p u t s t e p s ig n a l. A n o t h e rm e t h o d h a s b e e n d e v e l o p e d b y S t r e j c g i v i n gp a r a m e t e r v a l u e s f o r

/ : /( 0 9 ) = K e x p ( - j ~ o z ) . ( 2 5 )( I + j ~ z I )E q u a t i o n ( 25 ) d e s c r ib e s a m o d e l o f o r d e r n w i the q u a l t i m e c o n s t a n t s a n d a t i m e d e l a y . T h e g a i nf a c t o r K c a n b e o b t a i n e d i n th e u s u a l w a y b yd i v i d in g t h e f in a l v a lu e y ~ o f th e s t e p r e s p o n s eF i g . 3 b y t h e i n p u t s t e p a m p l i t u d e u o . T h er e m a i n i n g p a r a m e t e r s r , ~ l a n d n a r e f o u n d b yc o n s t r u c t io n o f t he t a n g e n t w i t h m a x i m u m s l op ea n d m e a s u r e m e n t o f s e v e r a l i n t e r m e d i a t e v a l u e sa s i n d i c a t e d i n F i g . 3 . T h e n w i t h t h e a i d o f T a b l e2 t h e m o d e l o r d e r i s e s t i m a t e d f r o m T u / T a n dYl/Y~, U s u a l l y a n i n t e g er v a l u e j u s t b e l o w o re q u a l t o t h a t i n d i c a t e d b y t h e se q u o t i e n t s w i l l b ec h o s e n a n d T u, r a n d T ; a d j u s t e d i f n e c e s sa r y .F r o m T , T~, Tg a n d T ,, a s m e a su r e d a c c o r d i n g t oF ig . 3 and qu ot i e n t s T~ /T , T , /T , To/T a n d T , , / T inT a b l e 2 c o r r e s p o n d i n g w i t h t h e o r d e r n c h o s e nb e f o r e f o u r v a l u e s o f T a r e o b t a i n e d . I f t h e se d oa g r e e f a i r ly w el l a n a v e r a g e i s t o b e c o m p u t e d

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5/8

S t e p r e s p o n s e a n d f r e q u e n c y r e s p o n s e m e t h o d s 5 2 3

tY~o

Y~

Ti ~ Tm -I

t ~

Fit;. 3. Exaluation of step responses according to Strejc.

TABLE 2. CHARACTERISTIC VALUES OF STEP RESPONSESn T, 7 . 7 . T Y _ 2 L T.,

T T ~ Y y = T T1 1 1 12 2.718 0.282 0.104 1 0.204 2.000 0.7363 3.695 0.805 0.218 2 0.323 2.500 0.6774 4.463 1.425 0.319 3 0.353 2.888 0.6745 5.199 2.100 0.410 4 0.371 3.219 0.6296 5.699 2.811 0.493 5 0.384 3.510 0.6167 6.226 3.549 0.570 6 0.394 3.775 0.6068 6.711 4.307 0.642 7 0.401 4.018 0.5999 7.146 5.081 0.709 8 0.407 4.245 0.59310 7.590 5.869 0.773 9 0.413 4.458 0.587

a n d t h e t i m e c o n s t a n t i s o b t a i n e d b yTr1 = . (26)n

oI n c a s e t h e s e v a l u e s f o r T d i s a g r e e a d i f f e r e n t( u s u a ll y h i g h e r ) o r d e r n a n d c h o i c e o f a n o t h e r( u s u a l l y s m a l l e r ) d e l a y t i m e r m i g h t a l l e v i a t e t h i sd i s a g r e e m e n t .

A s t i l l m o r e d e t a i l e d m e t h o d h a s b e e n d e -v e l o p e d b y S c h w a r z e . W i t h t h e a i d o f t a b l e s a n dg r a p h s t h e u s e r i s p u t i n t o a p o s i t i o n w h e r e h ec a n e v a l u a te s t ep r e s p o n s e , a n d r a m p r e s p o n s ef u n c t i o n s a n d d e t e r m i n e p a r a m e t e r s f o r s e v e r a ld i f fe r e n t m o d e l s t r u c t u r e s . F o r r e a s o n s o f b r e v i t yo n l y o n e m o d e l s t r u c t u r e a n d o n e s e t o f i n -t e r m e d i a t e v a l u e s t o b e e x t r a c t e d f r o m a s t e pr e s p o n s e w i l l b e d i s c u s s e d .

T h e p a r a m e t e r s K , T , b a n d n o f t h e f r e q u e n c yr e s p o n s e

K (27)tl ~oJ~= (1 +jeJT) (1 +jmbT) -td e s c r i b in g a m o d e l o f o r d e r n c a n b e o b t a i n e dv i a t h e t i m e v a l u e s T i e , T s o, T go m e a s u r e d a si n d i c a t e d i n F i g . 4 . F r o m t h e s e e . g . t h e q u o t i e n tT9o/Tso i s c o m p u t e d a n d u s e d t o d e t e r m i n e as u i t a b l e m o d e l o r d e r w i t h t h e a i d o f F i g . 5. F r o mt h i s f i g u r e o n e m i g h t f i n d t h a t T9o/T5o=2 in-

Yoo m D ~0 . g y , o ,O l S y = = - -

- , . 4 ; i. l Ym -- I I0 T , o T e o 1 9 ot =FIG. 4. Evaluation of step responses according to Schwarze.

3 5n = I

n :

2 5

b(4) -~ I ~ n ~ . ~b ' ( 5 ) ' - . ~ ~ Ib ( 6 ) h - I S i 1 ~ I2 3 4 5 6

nFIG. 5. Determination of model order.

d i c at e s a m o d e l o r d e r o f n = 3 w i t h eq u a l t i m ec o n s ta n t s ( b = l ) o r o n e o f n > 3 w i th b < l .H a v i n g c h o s e n n ( u s u a l l y a s s m a l l a s p o s s i b l e )g r a p h s s i m i l a r t o F i g . 6 a n d F i g . 7 c a n b e u s e d t od e t e r m i n e t h e f a c t o r b a n d a c o r r e s p o n d i n g s e t o fq u o t i e n t s T9o/T, Tso/T a n d T l o / T f r o m w h i c ht h r e e v a l u e s o f t h e t i m e c o n s t a n t T a r e t o b eo b t a i n e d . I n c a s e o f g o o d a g r e e m e n t a l l p a r a -

2I 0 25

2

T v t OT

2I o

5

T o t~o

2

i O - I4

9 O5 O

IO

I I I i I I I I J II I ~ I I 2 5 I0 15 202 15 I0 5 2

b FIG. 6. Determina tion of time consta nt and factor b for n =3.

8/12/2019 1-s2.0-0005109880900758-main

6/8

524 H. RAKE

2tO 2

5

2

T v i O IT5

2; o52

iO ~4

rg.o 3T~o

2

9 05 0

I__ i I I 2 5 10 15 20~ 15 ro 5 2b

FIG. 7. Determination of time constant and factor b for n=4.

m e t e r s h a v e b e e n d e t e r m i n e d . I n c a s e o f s i g n i-f i c a n t d i s a g r e e m e n t a d ; f f e r e n t o r d e r n s h o u l d b et r i ed .

A q u i t e d i f f e r e n t m e t h o d u s e s l i m i t t h e o r e m s o ft h e L a p l a c e t r a n s f o r m t o d e t e r m i n e t h e c o e f -f i ci e n ts o f t h e m o d e l t r a n s f e r f u n c t i o n

/ t ( s ) = b o + b l s + . . . + b , j1 + a l s + . . . + a . s (28)

f r o m t h e u n i t s t e p r e s p o n s e r l ( t ) = y ( t ) / u o. A s

o n e h a sl i m r l ( t ) = K o = l i m l C I ( s ) = b o 2 9 )t~3 s ~ O

b o = K o 3 0 )w i t h K o f r o m F i g . 8 a s i n d i c a t e d t h e r e . W i t h t h ei n t e g r a l

r /t ( t ) - S [ K o - r / ( r ) ] d r ( 3 1 )0

I K ' = / * [ K o - r ~ ? ) ] d iK o ~ 7

O | J i? ,

FIG. 8. Evaluation of unit step response.

a n d c o r r e s p o n d i n g l y

/ /~ s ) = - I [ K o - / l s )]s 132)t h e l i m i t t h e o r e m g i v e s

l i m rh ( t ) = K l = l i m / 4 t s ) = K o a l - b tt ~ ~ 0

A n o t h e r s t e p o f i n t e g r a t i n g e t c . l e a d s t o(33)

b z + K t a I - K o a 2 = K 2 (34)a n d t h e g e n e r a l f o r m u l a

( - 1)rbr + K , _ l a 1 - K , _ 2a2 -+-...+ ( - 1 ) ' - t K o a , = K , (35)

g i v i n g a s y s t e m o f l in e a r e q u a t i o n s .I n c a s e a l l b j i n e q u a t i o n ( 2 8 ) b u t b o a r e z e r o

o n e h a sK 0 = b o

K 1 = K o . a 1K z = K I a l - K o ' a 2 i36)

w h i c h c a n b e s o l v e d r e c u r s i v e l y w i t h o u t m u c hef for t .

O f c o u r s e d e t e r m i n a t i o n o f K ~ f o r i> =2 c a n b ed i f f i c u l t a n d p r o n e t o e r r o r s l i m i t i n g t h e a r e a o fu s e f u l a p p l i c a t i o n t o l o w o r d e r m o d e l s .

E q u a t i o n ( 33 ) p r o v i d e s a n i m p o r t a n t i n f o r -m a t i o n f o r m o d e l s w i t h f r e q u e n c y r e s p o n s e

H ( o ) ) = K ( 37 )f i ( 1 + j . o r i )

i = 1A s i n t h i s c a s ea n d

K = K o ( 3 8)

a~ = ~ r i (39)i = 1

t h e a r e a i n F i g . 8 f r o m w h i c h K t i i t o b eo b t a i n e d is e q u i v a l e n t t o t h e s u m o f a ll t i m ec o n s t a n t s m u l t i p li e d b y t h e g a i n K . T h i s p r o p e r t yo f t h e s t e p r e s p o n s e m a y b e u s e d f o r f i rs t a p p r o -x i m a t i o n s a s w e l l a s f o r c h e c k i n g p u r p o s e s .

METHODS FOR PERIODIC TEST SIGNALP e r i o d i c t e s t s i g n a l sA l l m e a s u r e m e n t s w i t h p e r i o d i c t e s t s i g n a l s a r ec o n d u c t e d w i t h t h e p r o c e s s i n s t e a d y s t a t e , i . e . a l lt r a n s i e n t s p r o d u c e d b y in i ti a l c o n d i t i o n s h a v ev a n i s h e d .

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7/8

S t e p r e s p o n s e a n d f r e q u e n c y r e s p o n s e m e t h o d s 5 25T e s t s i g n a l s i n c o m m o n u s e a r e s i m p l e s i -

n u s o i d a l o r b i n a r y m o n o f r e q u e n t s i g n a l s o r m u l t i -f r e q u e n c y s i g n a l s c o n t a i n i n g s i g n i f i c a n t s i g n a la m p l i t u d e s a t m o r e t h a n o n e f r e q u e n c y . T h el a t t e r s i gn a l s c a n b e o f s i n u s o i d a l o r b i n a r y t y p eTab le 3 ) .

T A B L E 3 PERIODIC TEST SIGNALS

o n o f r e q u e n t M u l t l f r N ~ t

1

Notrparametric model s f ro m per iod ic s ignalsM o d e l s d e t e r m i n e d f r o m p e r i o d i c i n p u t a n d

o u t p u t s i gn a l s a r e u s u a l l y o f t h e f r e q u e n c y r e-s p o n s e t y p e . T h i s t y p e o f m o d e l i s m o s t e a s i l yd e t e r m i n e d . I n t h e s i m p l e st c a s e o f a m o n o -f r e q u e n t s i n u s o i d a l i n p u t a n d a n u n c o r r u p t e do u t p u t o f a l i n e a r p r o c e ss , a m p l i t u d e a n d p h a s e o ft h e f r e q u e n c y r e s p o n s e c a n r e a d i l y b e c o m p u t e df r o m a r e c o r d i n g o f b o t h s i g n a l s b y a t w oc h a n n e l r e c o rd e r F i g . 9 ) g i v i n g

I / - ) c o ) l =Y , 4 ) c 0 ) = - - ~ . 3 6 0 . 4 0 ). y r -

~ l u t )

F IG 9 E v a l u a t i o n o f s i n u s o i d a l re s p o n s e

COS w t

s ~ ~ t

U ~lbF IG 1 0 D e t e r m i n a t i o n o f f r e q u e n c y r es p o n s e b y c o r re l a t i o n

T h e n o t - s o - s im p l e p r o b l e m o f s ig n i f ic a n t n oi s ea n d / o r p r o c e s s n o n l i n e a r i t y c a n b e h a n d l e d w i t ha s e t u p a c c o rd i n g t o F i g . 1 0 wh i c h i s t h e p r i n -c i p l e o f a c o u p l e o f c o m m e rc i a l l y a v a i l a b l e fr e -q u e n c y r e s p o n s e a n a l y s e r s . B y m u l t i p l y i n g th ep r o c e s s o u t p u t b y r e f e r e n c e s i g n a l s o b t a i n e d f r o mt h e t e s t s i g n a l g e n e r a t o r a n d i n t e g r a t i n g t h ep r o d u c t s o v e r a n i n t e g er n u m b e r K o f t e s t si g n alp e r i o d s T o n e g e t s

K ' T ' U r . rR = R e lS I( co )+ ~ n ( t ) ' c o s c o t d tbK TI= K T ' U oS n ( t ) ' s i n o ~ t d t .

41)

A s c a n b e s h o w n t h e a v e r a g e o f t h e i n t e g r a t e dn o i s e in e q u a t i o n 4 1) is z e ro a n d t h e v a r i a n c e o ft h e s e i n t e g r a l s i s b o u n d e d . T h u s m e a s u r e m e n t st a k e n o v e r a s u f f ic i e nt n u m b e r o f p e r i o d s c a n b em a d e a s a c c u r a t e a s d e s i r e d e ve n i n c a s es o f lo ws i g n a l t o n o i s e r a t i o .

I f t h e p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y S . . o f t h e n o i s e isk n o w n t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e f r e q u e n c yr e s p o n s e a s d e t e r m i n e d a c c o r d i n g t o F i g . 1 0 a n de q u a t i o n 4 1 ) i s

e . I H (( o )[ K . T 3 42)

w h i c h c a n b e d e c r e a s e d b y i n c r e a s i n g m e a s u r e -m e n t t i m e K T .

T h e m e t h o d d e s c r i b e d a b o v e a n d i l l u s t r a t e d b yF i g . 1 0 c a n e a s il y b e i n t e r p r e t e d a s d e t e r m i n a t i o no f t h e b a s i c c o m p o n e n t o f a F o u r i e r s e ri es e x p a n -s i o n o f t h e p r o c e s s o u t p u t . I n f a c t a ll m o d e r nt r a n s f e r f u n c t i o n a n a l y s e r s a r e o r g a n i z e d a sF o u r i e r a n a l y s e r s p r o c e s s i n g b y d i g i t a l h a r d w a r es i g n a l s a m p l e v a l u e s t a k e n a t e q u i d i s t a n t p o i n t si n t i m e . W i t h s u c h e q u i p m e n t o r b y p r o c e s s i n gs i g n a l s r e c o r d e d i n a s u i t a b l e m a n n e r b y g e n e r a lp u r p o s e d i g i t a l c o m p u t e r s b i n a r y i n p u t s i g n a l sc a n b e e m p l o y e d . T h i s c a n b e a d v a n t a g e o u s a ss i m p l e s w i t c h i n g c o n t r o l e l e m e n t s o n l y a r en e e d e d t o a p p l y t h i s t e s t s i g n a l t o t h e p ro c e s s .An o t h e r i n t e r e s t i n g p o s s i b i l i t y is th e u s e o f m u l -t i f r e q u e n c y s i n u s o i d a l o r b i n a ry t e s t s i g n a l sT a b l e 3 ) . T h e p ro c e s s o u t p u t r e s u l t i n g f ro m s u c h

i n p u t s i g n a l s w i l l o f c o u r s e c o n t a i n s i g n a l c o m -p o n e n t s w i t h d i f f e r e n t f r e q u e n c i e s . T h e s e h a v e t ob e s e p a r a t e d b y F o u r i e r s e r i e s e x p a n s i o n g i v i n gs e v e ra l e .g . u p t o t e n v a l u e s o f t h e f r e q u e n c yr e s p o n s e a t p r e d e t e r m i n e d f r e q u en c i e s o f in t e re s t .

T h o u g h t r e a t e d r a t h e r b r i e fl y h e r e f r e q u e n c yr e s p o n s e m e a s u r e m e n t s w i t h p e r i o d i c s i g n a l s i fa p p l i c a b l e h a v e t o b e r e g a r d e d a s t h e m o s t

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526 H. RAKEp o w e r f u l m e t h o d a t h a n d f o r d e t e r m i n i n g p r o c e s sm o d e l s w i t h h i g h a c c u r a c y e v e n f r o m n o i s ym e a s u r e m e n t s .

P a r a m e t r i c m o d e l s f r o m p e r i o d s ig n a l sI f p a r a m e t r i c f r e q u en c y re s p o n s e ) m o d e l s a rew a n t e d f r o m m e a s u r e m e n t s w i t h p e r i o d i c s i g n a l s

t h e u s u a l w a y i s t o d e t e r m i n e i n a f i r s t s t e p as u f fi c ie n t n u m b e r o f f r e q u e n c y r e s p o n s e v a l u e s i .e .a n o n p a r a m e t r i c m o d e l . T h i s n o n p a r a m e t r i c m o -d e l i s u s e d a s a b a s i s f o r f u r t h e r o p e r a t i o n s .

A n i m p r e s s i v e n u m b e r o f m e t h o d s h a v e b e e nd e v e l o p e d w h i c h a i m a t t h e d e t e r m i n a t i o n o fv a l u e s o f c o e f f ic i e n ts i n a n a l y t i c f r e q u e n c y r e -s p o n s e f u n c t i o n s . O n e r a t h e r s i m p l e b u t f a i r l ye f f ec t iv e g r a p h i c a l m e t h o d is b a s e d o n t h e B o d ep l o t o f f r e q u e n c y r e s p o n s e s . F r o m t h e r e su l t s o ft r a n s f er f u n c t io n m e a s u r e m e n t s a B o d e p l o t i sd r a w n a n d t h is in tu r n i s a p p r o x i m a t e d b ye l e m e n t a r y f r e q u e n c y r e s p o n s e f u n c t i o n s . T h i st r i a l a n d e r r o r m e t h o d c a n b e m a d e m o r e e f f e c -t i v e b y u s e o f p r e f a b r i c a t e d d r a w i n g a i d s e tc .

C o m p u t e r o r i en t e d m e t h o d s c a n b e d iv i d edi n t o i n t e r p o l a t i n g m e t h o d s a n d e r r o r m i n i m i z i n gm e t h o d s . T h e f o r m e r i m p l y al l m e a s u r e d v a l u est o b e c o r r e c t a n d d e t e r m i n e a n a l y t ic e x p r e s s io n sw h i c h s a ti s fy e a c h a n d e v e r y m e a s u r e m e n t . I nc o n t r a s t t h e e r r o r m i n i m i z i n g m e t h o d s d e t e r m i n ep a r a m e t e r s o f a n a n a l y t ic e x p r e s s io n . T h e s t r u c-t u r e o f t h i s e x p r e s s i o n u s u a l l y h a s t o b e s p e c if i e d

i n a d v a n c e . P a r a m e t e r s t h e n a r e d e t e r m i n e d i ns u c h a w a y t h a t a m e a s u r e o f t o t a l e r r o r e . g . t h ew e i g h te d ) s u m o f e r r o r s s q u a r e d b e c o m e s

m i n i m a l .CONCLUS ION

I d e n t i f i c a t i o n a n d p r o c e s s p a r a m e t e r e s t i -m a t i o n w i l l a l w a y s b e d i f f e r e n t t h i n g s t o d i f f e r e n tp e o p l e . A s t h e r e a r e m a n y d i f f e r e n t r e a s o n s f o re x p e r i m e n t a l p r o c e s s i d e n t i f i c a t i o n t h e p r a c t i s i n gc o s t - c o n s c i o u s s c i e n t i s t a n d e n g i n e e r n e e d s t ok n o w a t l e as t in p r i n c i p l e a v a r i e t y o f m e t h o d s a th a n d f r o m w h i c h h e h a s t o s e l e c t a s u i t a b l e o n e .F o r r e a s o n s o f s i m p l ic i ty a n d e c o n o m y , m e t h o d su s i n g d e t e r m i n i s t i c p e r i o d i c a n d n o n p e r i o d i c t e s ts i g n a ls d e s e r v e c l o s e a t t e n t i o n .

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