Le dimensioni atomiche oggi si possono misurare con strumenti come il Microscopio a Forza Atomica (AFM)

10 atomi in3 nm circa 1 atomo ogni 3 Å

http://www.almaden.ibm.com/almaden/media/mirage5.html

"This STM image shows the direct observation of standing-wave patterns in the local density of states of the Cu(111) surface. These spatial oscillations are quantum-mechanical interference patterns caused by scattering of the two-dimensional electron gas off the Fe atoms and point defects. "

Un “miraggio” quantistico

Sito web: http://www.iapht.unito.it/struttura

e-mail: rinaudo@ph.unito.it

orario lezioni: mercoledì ore 11-13giovedì e venerdì ore 9-11

ricevimento: venerdì ore 11-13

prossimo esame scritto: 14 marzo 05, ore 9

Struttura della Materia I°- 2004/05

Esami propedeutici

- meccanica

- onde, fluidi, termodinamica

- elettromagnetismo e ottica

- complementi di elettromagnetismo

- meccanica analitica e statistica

- meccanica quantistica

Programma

0. Richiami di concetti e argomenti propedeutici

1. Fisica atomica e transizioni radiative

2. Fisica molecolare

3. Statistiche quantistiche

4. Introduzione alla fisica dello stato solido

•Analisi dimensionale, unità di misura e

costanti naturali

•Atomi idrogenoidi

•Meccanica statistica classica

Richiami di concetti e argomenti propedeutici

- energia : eV (l eV = 1.610-19 joule)

- lunghezza: m, nm, Å (1 ångstrom = 10-10 m)

- tempo: s

- campo magnetico: T, G (tesla, gauss, 1G=10-4 T)

- temperatura : K (gradi kelvin)

Unità di misura

- la quantità di moto p: va moltiplicata per c ed espressa in eV

come esprimere le grandezze principali:

- la massa m: va moltiplicata per c2 (c è la velocità della

luce) ed espressa in eV

- la carica elettrica q: si usa il sistema di unità di

misura di Gauss, in cui kel = 1/4o=1 e l’energia

potenziale elettrica Ep = q Q/r (q e Q= cariche,

r=distanza)

Costanti naturali- velocità della luce c = 3108 m s-l

- costante di Planck c = 210-7eV m = 2103 eV Å

- costante di struttura fine e2/ ( c) = 1/137

- carica dell’elettrone al quadrato e2 = c/137 = 14,4 eV Å

- raggio dell’atomo di Bohr

- energia di Rydberg ER = e2/ 2ao =13,6 eV

- numero di Avogadro NA = 61023mole-1

- costante di Boltzmann kB = 8.610-5 eV K-1

- massa dell’elettrone me c2=0.51106 eV

- massa del protone mp c2 = 0.94109 eV

- unità di massa atomica muma c2 = 0.93109 eV

- magnetone di Bohr B =610-5 eV T-1= 0,610-8 eV gauss-

1

m1053,0/)( 10222 cmeca eo

Atomi idrogenoidi: descrizione classica

sono permessi tutti i valori di E e, a parità di E, sono permessi tutti i valori di L, in modulo e direzione

Potenziale: r

ZeEp

2

Costanti del moto:

- energia totale E=Ecin+Ep

- momento angolare (modulo)

- direzione del momento angolare

rpL

L

Atomo di idrogeno: descrizione classica del moto di un elettrone

con semiasse maggiore dell’ellisse pari al raggio di Bohr (0,53 Å)

orbita elettrone

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

-1,20 -1,00 -0,80 -0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80x (angstrom)

y (

an

gs

tro

m)

nucleo

orbita con L inferiore al massimo

orbita con L massimo

afelio perielio

pper

p

paf

Atomo di idrogeno: energie in funzione di r nel moto classico di un

elettrone con orbita circolare di raggio pari al raggio di Bohr (0,53 Å)

atomo H: momento angolare massimo

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

distanza dal nucleo (angstrom)

en

erg

ia (

eV

)

energia totale E

energia coulombiana Ep

potenziale centrifugo EL

potenziale effettivo Ep+EL

ao

r

ZeEp

2

2

2

2mr

LEL

Atomo di idrogeno: energie in funzione di r nel moto classico di un elettrone

con orbita ellittica di semiasse maggiore pari al raggio di Bohr (0,53 Å)

atomo H: momento angolare qualunque

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00

distanza dal nucleo (angstrom)

en

erg

ia (

eV

)

energia totale Eafelio

energia coulombiana Ep

potenziale centrifugo EL

potenziale effettivo Ep+EL

perielio

Atomi idrogenoidi: descrizione quantistica

Numeri quantici:

sono permessi solo i valori di E, L2, Lz corrispondenti ai valori interi dei numeri quantici

n1 ; 0 l < n ; -l ml l

- n energia totale En= - ERZ2/n2

- l momento angolare L2 = l(l+1) 2

- ml componente di L lungo Lz= ml

l’asse di quantizzazione

Potenziale: r

ZeEp

2

Atomo di idrogeno: livelli energetici ed energia potenziale l=0

Potenziale e livelli energetici

-30,0

-25,0

-20,0

-15,0

-10,0

-5,0

0,0

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV

)

n=1

n=3n=2

punti di inversione del moto

Atomo di idrogeno: equazione di Schrödinger

),,(),,(22

),,(2

2

22 rEr

r

Ze

mr

L

m

prH r

),()(

),()(),,( ll ml

ml Y

r

ruYrRr

),()1(),( 22 ll ml

ml YllYL

interpretazione fisica della “funzione d’onda”

dΩdrrr 22),,(

probabilità di trovare

l’elettrone nell’elemento di

volume intorno al

punto (x,y,z)

dΩdrr2

r

z

y

x

oggi si misura direttamente con il Microscopio a Forza Atomica (AFM)

2),,( r

)(2)(

22

2ruEE

m

dr

rudeff

Eeff = EL + Ep

curvatura della funzione d’onda funzione d’onda

coefficiente di proporzionalità

)(2

)1()(

2

2

2

2

2

22ruE

r

Ze

mr

ll

dr

rud

m

termine cinetico termini di energia “di posizione”

Atomo di idrogeno: l=0

Eeff =Ep

- i punti di inversione del moto classico sono punti di flesso della funzione d’onda perché E-Eeff=0

- il numero di “nodi” della funzione d’onda aumenta con n

Funzioni d'onda l = 0

-10,0

-8,0

-6,0

-4,0

-2,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

0 2 4 6 8 10 12

r (angstrom)

Potenziale e livelli energetici

-30,0

-25,0

-20,0

-15,0

-10,0

-5,0

0,0

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00

r (angstrom)

En

erg

ia (e

V)

punti di flesso

punti di inversione

n=1

n=3n=2

n=1 n=3

n=2

Atomo di idrogeno: livelli energetici ed energia potenziale l=1 e 2

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV

)

n=1

n=3n=2

Eeff per l=2

EL per l=2EL per l=1

Eeff per l=1

punti di inversione per n=2 n=2, l=0 n=2, l=1

n=2, l=2

Atomo di idrogeno: n=1

Eeff =EL+ Ep

- i punti di inversione del moto classico sono punti di flesso della funzione d’onda perché E-Eeff=0

- il numero di “nodi” della funzione d’onda diminuisce con l

-35.0

-30.0

-25.0

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00

r (angstrom)

En

erg

ia (

eV

)Funzioni d'onda n=2; l = 0,1

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.00 2 4 6 8 10 12

r (angstrom)

punti di inversione

n=1

n=3n=2

l=1

l=0

punti di flesso

Le dimensioni atomiche

Il “raggio di Bohr” ao=0,53 ·10-10m

222

2

4 cm

c

me

ha

eeo

dipende solo dalle costanti naturali (h, c, e, me) che compaiono nell’equazione di Schrödinger

….. oggi si possono misurare con strumenti come il Microscopio a Forza Atomica (AFM)

10 atomi in3 nm circa 1 atomo ogni 3 Å

ao determina la rapidità della

caduta esponenziale della funzione d’onda dopo l’ultimo flesso

conviene introdurre la “distanza ridotta ”, tale che:

Z

nar o

2

il flesso • si “allontana” al crescere di n•si “avvicina” al crescere di Z

2/10 e2)(01 rCruln

2/20 e)2(

22

1)(02 rCruln

2/21 e

62

1)(12 rCruln

“orbitale” 1s1s

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4z (angstrom)

fun

zio

ne

d'o

nd

a

Z

“orbitale” atomico 2pz2pz

-0,25

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x (angstrom)

funz

ione

d'o

nda

Z

X

andamento in funzione di x a z>0

andamento in funzione di x a z<0

2pz

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8z (angstrom)

fun

zio

ne

d'o

nd

a

andamento in funzione di z a x,y=0

Livelli energetici: diagramma di GrotrianE (eV)

-13.6

-1.5-3.4

-0.85

n

1

234

lml

0s

1p

2d

0 -1 0 +1 -2 -1 0 +1 +2

rappresentazione n,l,ml ,ms>

(2)

(6)(2)

(6)(2) (10)

(6)(2) (10)

Livelli energeticiE (eV)

-13.6

-1.5-3.4

-0.85

n

1

234

rappresentazione n, l, j ,mj>

lj

mj

0s

1p

2d

1/2 1/2 3/2 3/2 5/2

-1/2 +1/2 -1/2 +1/2 -3/2 -1/2 +1/2 +3/2 -3/2 -1/2 +1/2 +3/2 -5/2 -3/2 -1/2 +1/2 +3/2 +5/2

(2)

(4)(2) (2)

(6)(4)(4)(2) (2)

trasformazione da una base all’altra

n, l, j ,mj> 2,1, 3/2 ,+1/2>=

mj = 1/2 si può ottenere con

ml=1, ms= -1/2

ml=0, ms= +1/2

2,1, 1 ,-1/2>=2,1, 3/2 ,+1/2> a 2,1, 0 ,+1/2>+ b

coefficienti di Clebsch Gordon

a = 2/3 b = 1/3

tabella dei coefficienti di Clebsch - Gordan

ml ms 3/2 j +3/2 mj

+1 +1/2 1 3/2 1/ 2 j +1/ 2 +1/2 mj

+1 -1/2 1/3 2/3 3/2 1/ 2 j 0 +1/2 2/3 -1/3 -1/ 2 -1/2 mj

0 -1/2 2/3 1/3 3/2 j-1 +1/2 1/3 -2/3 -3/2 mj

-1 -1/2 1

2

11