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A n E c i e n t A l g o r i t h m f o r C o n s t r u c t i n g
M i n i m a l T r e l l i s e s f o r C o d e s o v e r F i n i t e A b e l i a n G r o u p s
V i j a y V . V a z i r a n i
H u z u r S a r a n
y
B . S u n d a r R a j a n
z
A b s t r a c t
W e p r e s e n t a n e c i e n t a l g o r i t h m f o r c o m p u t i n g t h e m i n i m a l t r e l l i s f o r a g r o u p c o d e o v e r a
n i t e A b e l i a n g r o u p , g i v e n a g e n e r a t o r m a t r i x f o r t h e c o d e . W e a l s o s h o w h o w t o c o m p u t e a
s u c c i n c t r e p r e s e n t a t i o n o f t h e m i n i m a l t r e l l i s f o r s u c h a c o d e , a n d p r e s e n t a l g o r i t h m s t h a t u s e
t h i s i n f o r m a t i o n t o e c i e n t l y c o m p u t e l o c a l d e s c r i p t i o n s o f t h e m i n i m a l t r e l l i s . T h i s e x t e n d s
t h e w o r k o f K s c h i s c h a n g a n d S o r o k i n e , w h o h a n d l e d t h e c a s e o f l i n e a r c o d e s o v e r e l d s . A n
i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n o f o u r a l g o r i t h m s i s t o t h e c o n s t r u c t i o n o f m i n i m a l t r e l l i s e s f o r l a t t i c e s .
A k e y s t e p i n o u r w o r k i s h a n d l i n g c o d e s o v e r c y c l i c g r o u p s C
p
, w h e r e p i s a p r i m e . S u c h
a c o d e c a n b e v i e w e d a s a s u b m o d u l e o v e r t h e r i n g Z
p
. B e c a u s e o f t h e p r e s e n c e o f z e r o -
d i v i s o r s i n t h e r i n g , s u b m o d u l e s d o n o t s h a r e t h e u s e f u l p r o p e r t i e s o f v e c t o r s p a c e s . W e g e t
a r o u n d t h i s d i c u l t y b y r e s t r i c t i n g t h e n o t i o n o f l i n e a r c o m b i n a t i o n t o p - l i n e a r c o m b i n a t i o n ,
a n d i n t r o d u c i n g t h e n o t i o n o f a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e , w h i c h e n j o y s p r o p e r t i e s s i m i l a r t o t h a t o f
a g e n e r a t o r m a t r i x f o r a v e c t o r s p a c e .
I n d e x T e r m s { T r e l l i s , g r o u p c o d e s , c o d e s o v e r r i n g s , l a t t i c e s , a l g o r i t h m s , G a u s s i a n e l i m i n a t i o n .
C o l l e g e o f C o m p u t i n g , G e o r g i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , v a z i r a n i @ c c . g a t e c h . e d u
y
D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e a n d E n g g . , I n d i a n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , D e l h i , h s a r a n @ c s e . i i t d . e r n e t . i n
z
E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t , I n d i a n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , D e l h i , b s r a j a n @ e e . i i t d . e r n e t . i n
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L i s t o f g u r e c a p t i o n s :
1 . T h e t r e l l i s f o r a s i n g l e v e c t o r ( e x a m p l e 1 )
2 . T h e t r e l l i s f r o m a n a r b i t r a r y g e n e r a t o r m a t r i x ( e x a m p l e 2 )
3 . T h e t r e l l i s f o r t h e c o d e g e n e r a t e d b y a s i n g l e v e c t o r o v e r a r i n g .
4 . T h e t r e l l i s f o r E x a m p l e 8
5 . T h e t r e l l i s f o r E x a m p l e 9
6 . T h e t r e l l i s f o r E x a m p l e 1 0
7 . T h e t r e l l i s f o r E x a m p l e 1 1
8 . T h e t r e l l i s f o r E x a m p l e 1 2
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1 I n t r o d u c t i o n
E v e r s i n c e t h e s u c c e s s o f t r e l l i s c o d e d m o d u l a t i o n 2 2 ] ( w h i c h r e v o l u t i o n i z e d t r a n s m i s s i o n r a t e s o f
m o d e m s i n b a n d w i d t h l i m i t e d c h a n n e l s ) , r e s e a r c h e r s h a v e b e e n s t u d y i n g b l o c k c o d e d m o d u l a t i o n 7 ,
1 2 , 1 4 ] . B l o c k g r o u p c o d e s c o n s t i t u t e a b a s i c i n g r e d i e n t f o r a l a r g e c l a s s o f b l o c k c o d e d m o d u l a t i o n
s c h e m e s 7 ] . T h e c o d i n g g a i n a c h i e v e d b y t h e s e s c h e m e s i s p o s s i b l e o n l y w i t h s o f t - d e c i s i o n d e c o d i n g
2 2 , 2 1 ] . T r e l l i s e s p r o v i d e a g e n e r a l f r a m e w o r k f o r e c i e n t s o f t - d e c i s i o n d e c o d i n g o f c o d e s 2 5 ] , f o r
i n s t a n c e u s i n g t h e V i t e r b i a l g o r i t h m 4 ] . S i n c e t h e d e c o d i n g e o r t i s d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e s i z e o f
t h e t r e l l i s , m u c h w o r k h a s b e e n d o n e o n c h a r a c t e r i z i n g a n d c o n s t r u c t i n g m i n i m a l t r e l l i s e s f o r g r o u p
c o d e s 2 0 , 6 , 9 , 1 5 , 1 6 ] .
I n t h i s p a p e r , w e p r e s e n t a n O ( k
2
n + s ) t i m e a l g o r i t h m f o r c o n s t r u c t i n g t h e m i n i m a l t r e l l i s f o r
a b l o c k c o d e o v e r a n i t e A b e l i a n g r o u p , g i v e n a g e n e r a t o r m a t r i x f o r t h e c o d e , w h e r e n i s t h e
l e n g t h o f t h e c o d e , k i s t h e n u m b e r o f r o w s i n t h e g e n e r a t o r m a t r i x , a n d s i s t h e n u m b e r o f s t a t e s
i n t h e m i n i m a l t r e l l i s ; t h r o u g h o u t t h e p a p e r , w e w i l l a s s u m e t h a t i t t a k e s o n e u n i t o f t i m e t o
p e r f o r m a n o p e r a t i o n o v e r t h e u n d e r l y i n g e l d , r i n g o r g r o u p . F o r d e c o d i n g p u r p o s e s , i t i s p e r h a p s
m o r e i m p o r t a n t t o b e a b l e t o e c i e n t l y c o m p u t e r e q u i r e d l o c a l d e s c r i p t i o n s o f t h e m i n i m a l t r e l l i s .
F o r t h i s p u r p o s e , w e s h o w h o w a s u c c i n c t d e s c r i p t i o n o f t h e m i n i m a l t r e l l i s f o r s u c h c o d e s c a n b e
c o m p u t e d i n O ( k
2
n ) t i m e a n d o c c u p y i n g O ( k n ) s p a c e ; n o t i c e t h a t t h i s i s p o l y n o m i a l i n n a m o u n t
o f s p a c e , e v e n t h o u g h t h e m i n i m a l t r e l l i s m a y b e e x p o n e n t i a l l y l a r g e . W e g i v e a l g o r i t h m s t h a t u s e
t h i s i n f o r m a t i o n t o c o m p u t e , f o r e x a m p l e , a l l t r a n s i t i o n s i n t o o r o u t o f a s t a t e i n O ( k ) t i m e .
P e r h a p s t h e m o s t i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n o f o u r w o r k i s t o t h e c o n s t r u c t i o n o f m i n i m a l t r e l l i s e s f o r
l a t t i c e s , s i n c e t h i s p r o b l e m e s s e n t i a l l y r e d u c e s t o t h a t o f c o n s t r u c t i n g m i n i m a l t r e l l i s e s f o r b l o c k
c o d e s o v e r A b e l i a n g r o u p s . T h i s i s e l a b o r a t e d i n S e c t i o n 1 1 . A n o t h e r a p p l i c a t i o n a r i s e s a s a
c o n s e q u e n c e o f t h e f o l l o w i n g r e s u l t : C e r t a i n f a m o u s n o n - l i n e a r b i n a r y c o d e s ( i n c l u d i n g K e r d o c k ,
P r e p a r a t a a n d G o e t h a l s c o d e s ) c o n t a i n m o r e c o d e w o r d s t h a n a n y k n o w n l i n e a r c o d e o f t h e s a m e
l e n g t h . I n a r e c e n t b r e a k t h r o u g h r e s u l t , H a m m o n s , K u m a r , C a l d e r b a n k , S l o a n e a n d S o l e h a v e
s h o w n t h a t u n d e r t h e G r a y m a p f r o m ( Z
2
)
2
t o t h e r i n g Z
4
, t h e s e c o d e s t u r n o u t t o b e l i n e a r o v e r
Z
4
1 1 ] . N o t e t h a t l i n e a r c o d e s o v e r Z
4
a r e t h e s a m e a s g r o u p c o d e s o v e r C
4
W e h a v e b u i l t d i r e c t l y o n t h e w o r k o f F o r n e y a n d T r o t t 9 ] a n d K s c h i s c h a n g a n d S o r o k i n e 1 5 ] .
F o r n e y a n d T r o t t , b u i l d i n g o n t h e w o r k o f W i l l e m s o n d y n a m i c a l s y s t e m s 2 3 , 2 4 ] , s h o w t h a t g r o u p
c o d e s a d m i t u n i q u e m i n i m a l t r e l l i s e s . F u r t h e r m o r e , t h e y p r e s e n t i m p o r t a n t s t r u c t u r a l p r o p e r t i e s o f
s u c h t r e l l i s e s , e s p e c i a l l y i n t h e i r S t a t e S p a c e T h e o r e m ( s e e S e c t i o n 3 ) . K s c h i s c h a n g a n d S o r o k i n e
h a v e g i v e n a n O ( k
2
n + s ) t i m e a l g o r i t h m f o r c o n s t r u c t i n g t h e m i n i m a l t r e l l i s f o r a l i n e a r c o d e o v e r a
e l d , g i v e n a g e n e r a t o r m a t r i x f o r t h e c o d e ( s e e S e c t i o n 4 ) . T h e y a l s o p r e s e n t a n e c i e n t a l g o r i t h m
f o r c o m p u t i n g l o c a l d e s c r i p t i o n s o f t h e m i n i m a l t r e l l i s .
T h e e s s e n t i a l s t e p i n t h e a l g o r i t h m o f K s c h i s c h a n g a n d S o r o k i n e i s o b t a i n i n g a s p e c i a l g e n e r a t o r
m a t r i x f o r t h e c o d e : a t w o - w a y p r o p e r g e n e r a t o r m a t r i x . A s i m p l e r p r o o f i s o e r e d t o s h o w t h a t
s u c h a g e n e r a t o r m a t r i x y i e l d s a m i n i m a l t r e l l i s ( S e c t i o n 4 ) . A k e y s t e p t o w a r d s e x t e n d i n g t h i s t o
c o d e s o v e r n i t e A b e l i a n g r o u p s i s h a n d l i n g c o d e s o v e r c y c l i c g r o u p s C
p
, w h e r e p i s a p r i m e . S u c h
c o d e s c a n b e v i e w e d a s l i n e a r c o d e s o v e r t h e r i n g Z
p
a n d a r e t h e r e f o r e s u b m o d u l e s o v e r Z
p
. T h e
e x t e n s i o n i s n o t s t r a i g h t f o r w a r d ; t h e m a i n d i c u l t y i s t h e p r e s e n c e o f z e r o - d i v i s o r s i n t h e r i n g . I n
S e c t i o n 5 w e s t a t e t h e d i c u l t i e s e n c o u n t e r e d b e c a u s e o f z e r o - d i v i s o r s . S o m e o f t h e s e a r e q u i t e
g e n e r a l , e . g . , t h e i n a b i l i t y t o g i v e s a t i s f a c t o r y d e n i t i o n s f o r b a s i s a n d d i m e n s i o n o f s u b m o d u l e s
o v e r Z
p
; a n d o t h e r s a r e s p e c i c t o m i n i m a l t r e l l i s e s . W e t h e n i n t r o d u c e t h e n o t i o n s o f p - l i n e a r
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c o m b i n a t i o n s a n d p - g e n e r a t o r s e q u e n c e s t h a t e n a b l e u s t o g e t a r o u n d t h e s e d i c u l t i e s ( S e c t i o n 6 ) .
W e s h o w h o w G a u s s i a n e l i m i n a t i o n c a n b e a d a p t e d t o t h i s s e t t i n g , a n d c a n b e u s e d f o r o b t a i n i n g
a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e f o r a n y s u b m o d u l e o v e r Z
p
, g i v e n a u s u a l g e n e r a t o r m a t r i x f o r i t . T h e s e
n o t i o n s s h o u l d n d o t h e r a p p l i c a t i o n s a s w e l l , s i n c e t h e y e n a b l e o n e t o p e r f o r m c e r t a i n o p e r a t i o n s
o n s u b m o d u l e s o v e r Z
p
s i m i l a r t o t h e m a n n e r i n w h i c h t h e s e o p e r a t i o n s a r e p e r f o r m e d o n s u b s p a c e s
o f a v e c t o r s p a c e .
I n S e c t i o n 7 w e g i v e a n a t u r a l g e n e r a l i z a t i o n o f a t w o - w a y p r o p e r m a t r i x : a t w o - w a y p r o p e r p -
g e n e r a t o r s e q u e n c e , a n d w e s h o w h o w G a u s s i a n e l i m i n a t i o n c a n b e u s e d f o r o b t a i n i n g i t . O n c e
t h i s i s d o n e , a m i n i m a l t r e l l i s f o r a l i n e a r c o d e o v e r Z
p
c a n b e c o n s t r u c t e d e s s e n t i a l l y i n t h e s a m e
m a n n e r a s t h e e l d c a s e .
F i n a l l y , i n S e c t i o n 8 w e c o n s i d e r c o d e s o v e r n i t e A b e l i a n g r o u p s . F i r s t , w e s h o w t h a t g r o u p c o d e s
o v e r e l e m e n t a r y A b e l i a n g r o u p s c a n b e s e e n a s l i n e a r c o d e s o v e r a n a p p r o p r i a t e n i t e e l d . W e
o b t a i n a m i n i m a l t r e l l i s f o r t h i s l i n e a r c o d e , a n d f r o m t h i s t r e l l i s , u s i n g s e c t i o n a l i z a t i o n , w e o b t a i n
a m i n i m a l t r e l l i s f o r t h e g i v e n g r o u p c o d e . F o r d e a l i n g w i t h a r b i t r a r y n i t e A b e l i a n g r o u p s , w e
s h o w t h a t i t i s s u c i e n t t o c o n s i d e r A b e l i a n p - g r o u p s . A c o d e o v e r s u c h a g r o u p i s i n t u r n s a m e a s
a l i n e a r c o d e o v e r a r i n g Z
p
, a n d c a n b e h a n d l e d a n a l o g o u s l y .
T h e p r o b l e m o f c o m p u t i n g l o c a l d e s c r i p t i o n s o f m i n i m a l t r e l l i s e s i s a d d r e s s e d i n S e c t i o n 9 . T w o
t y p e s o f p r o b l e m s a r e s o l v e d : G i v e n t w o s t a t e s i n s u c c e s s i v e t i m e i n d i c e s , d e t e r m i n e i f t h e r e i s a
t r a n s i t i o n b e t w e e n t h e m , a n d i f s o , d e t e r m i n e t h e s e t o f l a b e l s o n t h e t r a n s i t i o n . A l s o , g i v e n a s t a t e
a t t i m e i n d e x i , c o m p u t e a l l t r a n s i t i o n s i n t o i t a n d o u t o f i t .
I n S e c t i o n 1 0 , w e b u i l d o n t h e S t a t e S p a c e T h e o r e m t o g i v e a l g e b r a i c s t r u c t u r a l p r o p e r t i e s o f t h e
s e t o f t r a n s i t i o n s b e t w e e n t w o t i m e i n d i c e s i n t h e m i n i m a l t r e l l i s f o r a g r o u p c o d e ; w e c a l l t h i s t h e
T r a n s i t i o n S p a c e T h e o r e m . T h i s t h e o r e m a l s o d e n e s a s u c c i n c t r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e m i n i m a l
t r e l l i s f o r a g r o u p c o d e , f r o m w h i c h l o c a l d e s c r i p t i o n s c a n b e c o m p u t e d . T h i s a p p l i e s t o g r o u p c o d e s
o v e r n o n - A b e l i a n g r o u p s a s w e l l ; h o w e v e r , i n g e n e r a l , t h e r e p r e s e n t a t i o n m a y b e s u p e r - p o l y n o m i a l
s i z e d .
2 P r e l i m i n a r i e s
I n t h i s p a p e r , w e w i l l o n l y d e a l w i t h b l o c k c o d e s , i . e . , c o d e s f o r w h i c h e a c h c o d e w o r d i s o f t h e s a m e
l e n g t h , d e n o t e d b y n . L e t G b e a n i t e g r o u p ( i n t h i s p a p e r , a l l c o d e s a r e o v e r n i t e A b e l i a n
g r o u p s ) , a n d l e t W = G
n
b e t h e n - f o l d d i r e c t p r o d u c t o f G . A s u b g r o u p C o f W u n d e r t h e
c o m p o n e n t w i s e a d d i t i o n o p e r a t i o n o f G i s s a i d t o b e a g r o u p c o d e o v e r G . L e t I d e n o t e t h e s e t o f
p o s i t i v e i n t e g e r s f r o m 1 t o n ; I w i l l b e c a l l e d t h e t i m e a x i s . A n e l e m e n t a 2 W w i l l b e c a l l e d a
s e q u e n c e ; a = ( a
i
; i 2 I )
L e t R b e a r i n g ; a s a s p e c i a l c a s e , R m a y a l s o b e a e l d . A s b e f o r e , l e t W = R
n
. L e t C b e a
s u b g r o u p o f W u n d e r t h e c o m p o n e n t w i s e a d d i t i o n o p e r a t i o n o f R , a n d a s s u m e f u r t h e r m o r e t h a t
C i s c l o s e d u n d e r m u l t i p l i c a t i o n w i t h e l e m e n t s o f R , a g a i n c a r r i e d o u t c o m p o n e n t w i s e . T h e n , C i s
s a i d t o b e a l i n e a r c o d e o v e r R . C l e a r l y , t h e c l a s s o f l i n e a r c o d e s o v e r e l d s i s c o n t a i n e d i n t h e c l a s s
o f l i n e a r c o d e s o v e r r i n g s , w h i c h i s i n t u r n c o n t a i n e d i n t h e c l a s s o f g r o u p c o d e s .
A t r e l l i s , T , f o r a g r o u p c o d e C i s a n e d g e - l a b e l l e d d i r e c t e d l a y e r e d g r a p h . T h e v e r t i c e s o f T a r e
p a r t i t i o n e d i n t o d i s j o i n t s u b s e t s V
0
; V
1
; V
n
. T h e s e t V
i
i s r e f e r r e d t o a s t h e s e t o f s t a t e s a t t i m e
2
-
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5/36
i n d e x i V
0
c o n t a i n s a u n i q u e s t a r t s t a t e v
0
, a n d V
n
c o n t a i n s a u n i q u e t e r m i n a t i n g s t a t e v
n
. E d g e s
o f T a r e a l l o w e d t o r u n o n l y b e t w e e n s t a t e s i n s u c c e s s i v e t i m e i n d i c e s . A t r a n s i t i o n ( u ! v ) ,
u 2 V
i
; v 2 V
i + 1
i s l a b e l l e d w i t h a n o n - e m p t y s u b s e t o f e l e m e n t s f r o m t h e g r o u p G . T h i s t r a n s i t i o n
i s s a i d t o b e o u t o f s t a t e u a n d i n t o s t a t e v . A s t a t e h a v i n g m o r e t h a n o n e o u t - t r a n s i t i o n ( i n -
t r a n s i t i o n ) w i l l b e c a l l e d f o r k i n g s t a t e ( c o l l a p s i n g s t a t e ) . A s t a t e u i n t r e l l i s T w i l l b e s a i d t o b e
f o r w a r d p r o p e r ( b a c k w a r d p r o p e r ) i f t h e s e t s o f l a b e l s o n t h e o u t - t r a n s i t i o n s ( i n - t r a n s i t i o n s ) o f u a r e
p a i r w i s e d i s j o i n t . F i n a l l y , t r e l l i s T w i l l b e s a i d t o b e t w o - w a y p r o p e r i f e a c h o f i t s s t a t e s i s f o r w a r d
p r o p e r a n d b a c k w a r d p r o p e r .
A p a t h f r o m v
0
t o v
n
c o n s i s t s o f n t r a n s i t i o n s , v
0
! v
1
! v
2
! v
n
, w h e r e v
i
2 V
i
. S u c h a
p a t h d e n e s a l l t h e n l e n g t h w o r d s (
1
;
2
;
n
) , w h e r e
i
i s d r a w n f r o m t h e s e t l a b e l l i n g t h e
t r a n s i t i o n ( v
i ? 1
! v
i
) . W e r e q u i r e t h a t e a c h s t a t e m u s t b e u s e f u l , i . e . , i t m u s t b e o n s o m e p a t h
f r o m v
0
t o v
n
. F i n a l l y , w e r e q u i r e t h a t t h e s e t o f a l l w o r d s d e n e d b y a l l p a t h s i n T f r o m v
0
t o v
n
b e e x a c t l y t h e s e t o f c o d e w o r d s i n C . W e w i l l s a y t h a t s t a t e s i s r e s p o n s i b l e f o r a l l t h e c o d e w o r d s
w h o s e p a t h s u s e s t a t e s
C l e a r l y , t h e r e e x i s t s a t r e l l i s f o r e a c h g r o u p c o d e C : c r e a t e a u n i q u e p a t h f r o m v
0
t o v
n
f o r e a c h
c o d e w o r d , w i t h u n i q u e i n t e r m e d i a t e s t a t e s . S u c h a t r e l l i s w i l l h a v e a s m a n y s t a t e s a t e a c h t i m e
i n d e x a s t h e n u m b e r o f c o d e w o r d s i n C . F o r s e v e r a l r e a s o n s , i n c l u d i n g e c i e n t d e c o d i n g , i t i s
i m p o r t a n t t o o b t a i n a t r e l l i s f o r C h a v i n g a s f e w s t a t e s a s p o s s i b l e . L e t u s s a y t h a t T i s a m i n i m a l
t r e l l i s f o r C i f a t e a c h t i m e i n d e x , T h a s t h e s m a l l e s t p o s s i b l e n u m b e r o f s t a t e s .
L e t C
1
a n d C
2
b e t w o g r o u p c o d e s o v e r t h e s a m e u n d e r l y i n g g r o u p G , a n d l e t T
1
a n d T
2
b e t r e l l i s e s
f o r t h e s e c o d e s . L e t C = C
1
C
2
b e t h e p r o d u c t o f t h e s e t w o g r o u p c o d e s . N o t i c e t h a t i n g e n e r a l , C
m a y n o t b e a g r o u p c o d e ; h o w e v e r , i f G i s c o m m u t a t i v e , C w i l l b e a g r o u p c o d e . W e c a n d e n e t h e
o p e r a t i o n o f t a k i n g t h e p r o d u c t o f t r e l l i s e s T
1
a n d T
2
t o o b t a i n a t r e l l i s T f o r t h e c o d e C a s f o l l o w s :
L e t U
i
; 0 i n a n d V
i
; 0 i n b e t h e s e t o f s t a t e s o f T
1
a n d T
2
. T r e l l i s T w i l l h a v e s t a t e s
W
i
; 0 i n , w h e r e W
i
= U
i
V
i
, a n d c o r r e s p o n d i n g t o e a c h p a i r o f s t a t e s u 2 U
i
a n d v 2 V
i
,
t h e r e i s a s t a t e ( u ; v ) 2 W
i
. T h e r e i s a t r a n s i t i o n f r o m ( u ; v ) 2 W
i
t o ( u
0
; v
0
) 2 W
i + 1
i ( u ! u
0
)
a n d ( v ! v
0
) a r e t r a n s i t i o n s i n T
1
a n d T
2
r e s p e c t i v e l y . L e t a n d b e t h e l a b e l s o n t h e t r a n s i t i o n s
( u ! u
0
) a n d ( v ! v
0
) . T h e n , t h e s e t o f l a b e l s o n t r a n s i t i o n ( ( u ; v ) ! ( u
0
; v
0
) ) i s f a b a 2 ; b 2 g
3 S t r u c t u r a l p r o p e r t i e s o f m i n i m a l t r e l l i s e s f o r g r o u p c o d e s
A s e s t a b l i s h e d b y F o r n e y a n d T r o t t , s t r u c t u r a l p r o p e r t i e s o f g r o u p c o d e s l e a d t o s t r u c t u r a l p r o p -
e r t i e s o f m i n i m a l t r e l l i s e s f o r s u c h c o d e s . I n t h i s s e c t i o n , w e w i l l r e v i e w p r o p e r t i e s e s s e n t i a l f o r o u r
w o r k , e s p e c i a l l y t h o s e f o l l o w i n g f r o m t h e S t a t e S p a c e T h e o r e m .
L e t J I b e a s u b s e t o f t h e t i m e a x i s . T h e p r o j e c t i o n m a p P
J
: W ! W s e n d s s e q u e n c e a 2 W
t o t h e f o l l o w i n g s e q u e n c e b :
b
i
=
(
a
i
i f i 2 J
0 i f i 2 I ? J
T h u s , t h e p r o j e c t i o n m a p P
J
s i m p l y ` z e r o s o u t ' t h e I ? J c o m p o n e n t s o f a s e q u e n c e . D e n e
p r o j e c t i o n P
J
( C ) = f P
J
( c ) c 2 C g , i . e . , t h e i m a g e o f C u n d e r t h e p r o j e c t i o n m a p P
J
. T h e p r o j e c t i o n
m a p i s a h o m o m o r p h i s m , s i n c e P
J
( a b ) = P
J
( a ) P
J
( b ) . F u r t h e r , s i n c e C i s a g r o u p , t h e i m a g e o f C
u n d e r P
J
, P
J
( C ) i s a s u b g r o u p o f W I f J c o n s i s t s o f t h e r s t k t i m e i n d i c e s , w e w i l l d e n o t e P
J
( C )
3
-
8/3/2019 10.1.1.30.2962 (1)
6/36
b y P
k
( C ) , a n d P
I ? J
( C ) b y P
k
+ ( C ) ; f o r a 2 W ; P
k
( a ) a n d P
k
+ ( a ) a r e s i m i l a r l y d e n e d . P
k
( C )
w i l l b e c a l l e d t h e s e t o f c o d e w o r d p a s t s a n d P
k
+
( C ) t h e t h e s e t o f c o d e w o r d f u t u r e s
T h e c r o s s s e c t i o n o f C i n J , d e n o t e d b y C
J
, i s a s u b c o d e o f C c o n s i s t i n g o f a l l c o d e w o r d s w h o s e
c o m p o n e n t s i n I ? J a r e z e r o , i . e . ,
C
J
= f c 2 C c
k
= 0 ; k 2 I ? J g
N o t i c e t h a t C
J
i s t h e k e r n e l o f t h e p r o j e c t i o n m a p P
I ? J
r e s t r i c t e d t o C . A g a i n , i f J c o n s i s t s o f t h e
r s t k t i m e i n d i c e s , w e w i l l d e n o t e C
J
b y C
k
a n d C
I ? J
b y C
k
+ ; t h e s e a r e c a l l e d t h e p a s t s u b c o d e
a n d f u t u r e s u b c o d e , r e s p e c t i v e l y , i n 9 ] . S i n c e C
k
a n d C
k
+ a r e b o t h n o r m a l s u b g r o u p s o f C , C
k
C
k
+
i s a l s o a n o r m a l s u b g r o u p o f C . F u r t h e r m o r e , s i n c e C
k
\ C
k
+ = f 0 g , C
k
C
k
+ i s a d i r e c t p r o d u c t .
T h e S t a t e S p a c e T h e o r e m o f F o r n e y a n d T r o t t 9 ] s t a t e s t h a t
P
k
( C ) = C
k
' P
k
+ ( C ) = C
k
+ ' C = ( C
k
C
k
+ )
I t w i l l b e i n s t r u c t i v e t o c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g b i p a r t i t e g r a p h , H
k
t h e p a s t - f u t u r e g r a p h a t t i m e
i n d e x k : I t s v e r t e x s e t s a r e P
k
( C ) a n d P
k
+ ( C ) , a n d t w o v e r t i c e s u 2 P
k
( C ) a n d v 2 P
k
+ ( C ) a r e
j o i n e d b y a n e d g e i u v 2 C . W e w i l l s a y t h a t ( A ; B ) ; A P
k
( C ) ; B P
k
+
( C ) i s a b i p a r t i t e c l i q u e
i f f o r e a c h u A a n d v B , ( u ; v ) i s a n e d g e i n H
k
. T h e S t a t e S p a c e T h e o r e m s h o w s t h a t H
k
c o n s i s t s o f d i s j o i n t b i p a r t i t e c l i q u e s .
N o t i c e t h a t C
k
P
k
( C ) a n d C
k
+ P
k
+ ( C ) . S i n c e C
k
C
k
+ i s a d i r e c t p r o d u c t , t h e r e i s a b i p a r t i t e
c l i q u e b e t w e e n t h e c o r r e s p o n d i n g s e t s o f v e r t i c e s i n H
k
. T h i s c l i q u e w i l l b e c a l l e d t h e z e r o c l i q u e
s i n c e i t c o r r e s p o n d s t o t h e s u b g r o u p C
k
C
k
+ o f c o d e w o r d s o f C ; o n e o f i t s e d g e s c o r r e s p o n d s t o t h e
a l l z e r o s c o d e w o r d .
F o r a n y c 2 C , c o n s i d e r t h e c o s e t c C
k
C
k
+ . T h e c o d e w o r d s i n t h i s s e t c o n s i s t o f p a s t s c o r r e s p o n d i n g
t o t h e e l e m e n t s o f t h e c o s e t P
k
( C ) P
k
( c ) a n d f u t u r e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e e l e m e n t s o f t h e c o s e t
P
k
+
( C ) P
k
+
( c ) . I n H
k
, t h e r e i s a b i p a r t i t e c l i q u e b e t w e e n t h e s e s e t s o f v e r t i c e s ; t h e e d g e s o f t h i s
c l i q u e c o r r e s p o n d t o c C
k
C
k
+
T h e c o n s t r u c t i o n o f t h e u n i q u e m i n i m a l t r e l l i s , T , f o r C f o l l o w s f r o m t h e p a s t - f u t u r e g r a p h s H
k
; 1
k < n T h a s C = ( C
k
C
k
+
) s t a t e s a t t i m e i n d e x k ; e a c h s t a t e i s r e s p o n s i b l e f o r c o d e w o r d s i n o n e o f
t h e c o s e t s . T h e s t a t e t h a t i s r e s p o n s i b l e f o r c o d e w o r d s i n t h e s u b g r o u p C
k
C
k
+ w i l l b e c a l l e d t h e
z e r o s t a t e , a n d w i l l s o m e t i m e s b e d e n o t e d b y 0 . I f u a n d v a r e s t a t e s a t t i m e i n d i c e s k a n d k + 1
r e s p e c t i v e l y , t h e n t h e r e i s a t r a n s i t i o n f r o m u t o v i t h e s e t s o f c o d e w o r d s t h e y a r e r e s p o n s i b l e f o r
h a v e a n o n - e m p t y i n t e r s e c t i o n , s a y A . I f s o , t h e s e t o f l a b e l s o n t h i s t r a n s i t i o n i s t h e s e t o f s y m b o l s
i n P
( k + 1 )
( A ) , i . e . , t h e p r o j e c t i o n o f A o n t o t h e ( k + 1 )
t h
c o o r d i n a t e . D e n e t h e o u t p u t g r o u p a t
t i m e i n d e x k + 1 t o b e G
k + 1
= P
( k + 1 )
( C ) ; n o t i c e t h a t G
k + 1
i s a s u b g r o u p o f G
4 M i n i m a l t r e l l i s e s f o r c o d e s o v e r e l d s
I n t h i s s e c t i o n w e w i l l i n t r o d u c e t h e a l g o r i t h m o f K s c h i s c h a n g a n d S o r o k i n e 1 5 ] f o r l i n e a r c o d e s
o v e r e l d s , s i n c e w e b u i l d d i r e c t l y o n i t . W e w i l l a l s o g i v e a s i m p l e r p r o o f f o r t h e i r a l g o r i t h m . T h e
r u n n i n g t i m e o f t h e i r a l g o r i t h m i s O ( k
2
n + s ) , w h e r e t h e g e n e r a t o r m a t r i x h a s s i z e k n , a n d s i s
t h e n u m b e r o f s t a t e s i n t h e m i n i m a l t r e l l i s .
4
-
8/3/2019 10.1.1.30.2962 (1)
7/36
O u r s i m p l i e d p r o o f o f m i n i m a l i t y r e l i e s o n t h e f o l l o w i n g c h a r a c t e r i z a t i o n e s t a b l i s h e d b y W i l l e m s
2 3 , 2 4 ] i n t h e c o n t e x t o f d y n a m i c a l s y s t e m s . W e w i l l u s e t h i s c h a r a c t e r i z a t i o n f o r p r o v i n g m i n i m a l i t y
o f t r e l l i s e s c o n s t r u c t e d f o r t h e c y c l i c g r o u p a n d A b e l i a n g r o u p c a s e s a s w e l l .
T h e o r e m 4 . 1 ( W i l l e m s 2 3 , 2 4 ] ) A t w o - w a y p r o p e r t r e l l i s f o r a b l o c k c o d e , C , i s t h e u n i q u e
m i n i m a l t r e l l i s f o r C
F o r a s i m p l i e d p r o o f o f T h e o r e m 4 . 1 , p r o v e n i n t h e c o n t e x t o f m i n i m a l t r e l l i s e s f o r g r o u p c o d e s ,
s e e 1 7 , 1 8 ] . F o r f u r t h e r e x t e n s i o n s o f W i l l e m s ' r e s u l t s t o c o d e s o v e r n i t e A b e l i a n g r o u p s , s e e 3 ] .
I n g e n e r a l , a c o d e m a y n o t a d m i t a t w o - w a y p r o p e r t r e l l i s . H o w e v e r , i f s u c h a t r e l l i s d o e s e x i s t f o r
t h e c o d e , i t i s g u a r a n t e e d t o b e m i n i m a l ; s e e 1 3 ] f o r a p r o o f o f t h i s f a c t .
A l i n e a r c o d e , C , o v e r a e l d , G F ( q ) , i s a v e c t o r s u b s p a c e , a n d c a n b e d e s c r i b e d b y i t s g e n e r a t o r
m a t r i x , A . T h e m i n i m a l t r e l l i s f o r t h e c o d e g e n e r a t e d b y a s i n g l e r o w v e c t o r o f A c a n b e o b t a i n e d
i n a s t r a i g h t f o r w a r d m a n n e r a s e x p l a i n e d b e l o w . S i n c e C i s t h e s u m o f t h e c o d e s g e n e r a t e d b y
t h e r o w s o f A , t h e p r o d u c t o f t h e t r e l l i s e s f o r t h e s e c o d e s w i l l b e a t r e l l i s f o r C ; t h e o p e r a t i o n o f
c o m p u t i n g t h e p r o d u c t o f t r e l l i s e s w a s i n t r o d u c e d b y K s c h i s c h a n g a n d S o r o k i n e 1 5 ] f o r p r e c i s e l y
t h i s r e a s o n . I n g e n e r a l , t h i s t r e l l i s m a y n o t b e m i n i m a l . F o r n e y h a s c a l l e d a g e n e r a t o r m a t r i x t h a t
g i v e s r i s e t o a m i n i m a l t r e l l i s a t r e l l i s - o r i e n t e d g e n e r a t o r m a t r i x 6 ] . T h e k e y s t e p i n t h e a l g o r i t h m
o f K s c h i s c h a n g a n d S o r o k i n e i s e c i e n t l y o b t a i n i n g a t r e l l i s - o r i e n t e d g e n e r a t o r m a t r i x , g i v e n a n
a r b i t r a r y g e n e r a t o r m a t r i x A
L e t ( a
1
a
2
a
n
) b e a r o w o f A . L e t a
i
b e t h e r s t n o n - z e r o e n t r y a n d a
j
b e t h e l a s t n o n - z e r o e n t r y
i n t h i s r o w , i . e . , a
k
= 0 f o r k < i a n d f o r k > j . T h e n , w e w i l l s a y t h a t t h i s r o w s t a r t s a t i a n d e n d s
a t j . F u r t h e r m o r e , a
i
w i l l b e c a l l e d t h e s t a r t i n g e l e m e n t o f t h i s r o w a n d a
j
w i l l b e c a l l e d i t s e n d i n g
e l e m e n t . T h e m i n i m a l t r e l l i s f o r t h e c o d e g e n e r a t e d b y t h i s v e c t o r h a s a s i m p l e s t r u c t u r e : I t h a s a
s i n g l e f o r k i n g s t a t e w i t h q o u t - t r a n s i t i o n s a t t i m e i n d e x i ? 1 , a n d a s i n g l e c o l l a p s i n g s t a t e w i t h q
i n - t r a n s i t i o n s a t t i m e i n d e x j ; a l l o t h e r s t a t e s h a v e o n e i n a n d o n e o u t t r a n s i t i o n ; s e e E x a m p l e 1 .
E x a m p l e 1 F o r t h e c o d e g e n e r a t e d b y a s i n g l e v e c t o r o v e r G F ( q ) , t h e m i n i m a l t r e l l i s c o n s i s t s o f a
f o r k i n g s t a t e a t t h e t i m e i n d e x a t w h i c h t h i s v e c t o r s t a r t s a n d a c o l l a p s i n g s t a t e a t t h e t i m e i n d e x
a t w h i c h t h i s v e c t o r e n d s . F o r e x a m p l e , t h e m i n i m a l t r e l l i s f o r t h e c o d e o v e r G F ( 5 ) g e n e r a t e d b y
( 0 3 0 2 1 0 ) i s g i v e n i n F i g u r e 1 .
W e w i l l r s t p r o v e t h a t f o r e s t a b l i s h i n g m i n i m a l i t y o f t h e p r o d u c t o f t w o m i n i m a l t r e l l i s e s , i t i s
s u c i e n t t o e s t a b l i s h t w o - w a y p r o p e r n e s s o f t h e z e r o - s t a t e s a t e a c h t i m e i n d e x . W e w i l l p r o v e
t h i s i n t h e f u l l g e n e r a l i t y o f g r o u p c o d e s . T h e l e m m a s b e l o w c o n s i d e r o n l y f o r w a r d p r o p e r n e s s {
a n a l o g o u s s t a t e m e n t s h o l d f o r b a c k w a r d p r o p e r n e s s . B y t h e s e t o f l a b e l s e m a n a t i n g f r o m a s t a t e
w e m e a n t h e u n i o n o f t h e s e t s o f l a b e l s o n a l l t r a n s i t i o n s o u t o f t h i s s t a t e .
L e m m a 4 . 2 L e t T b e a m i n i m a l t r e l l i s f o r a g r o u p c o d e , C , o v e r g r o u p G a n d l e t s
0
a n d s b e t h e
z e r o s t a t e a n d a n a r b i t r a r y s t a t e a t t i m e i n d e x i . L e t
0
a n d b e t h e s e t s o f l a b e l s e m a n a t i n g f r o m
s
0
a n d s r e s p e c t i v e l y , a n d l e t G
i + 1
b e t h e o u t p u t g r o u p a t t i m e i n d e x i + 1 . T h e n ,
0
i s a n o r m a l
s u b g r o u p o f G
i + 1
, a n d i s a n e l e m e n t o f t h e q u o t i e n t g r o u p G
i + 1
=
0
P r o o f : S t a t e s
0
i s r e s p o n s i b l e f o r t h e s e t o f c o d e w o r d s i n C
i
C
i
+ . S i n c e C
i
C
i
+ / C ( n o t e t h a t a s
u s u a l , \ / " d e n o t e s n o r m a l s u b g r o u p ) ,
0
= P
( i + 1 )
( C
i
C
i
+
) / P
( i + 1 )
( C ) = G
i + 1
5
-
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8/36
S i n c e t h e s e t o f c o d e w o r d s t h a t s i s r e s p o n s i b l e f o r f o r m a c o s e t o f C
i
C
i
+ i n C , u s i n g a s i m i l a r
a r g u m e n t , w e g e t t h a t i s a n e l e m e n t o f t h e q u o t i e n t g r o u p G
i + 1
=
0
L e m m a 4 . 3 L e t C
1
a n d C
2
b e l e n g t h n g r o u p c o d e s o v e r t h e s a m e u n d e r l y i n g g r o u p G a n d l e t
C = C
1
C
2
( i n g e n e r a l , C m a y n o t b e a g r o u p c o d e ) . L e t T
1
a n d T
2
b e m i n i m a l t r e l l i s e s f o r C
1
a n d
C
2
r e s p e c t i v e l y , a n d l e t T b e t h e p r o d u c t o f t h e s e t r e l l i s e s , w h i c h w i l l b e a t r e l l i s f o r c o d e C . L e t
0
a n d
0
b e t h e s e t o f l a b e l s e m a n a t i n g f r o m t h e z e r o s t a t e s , z
1
a n d z
2
, a t t i m e i n d e x i i n T
1
a n d
T
2
r e s p e c t i v e l y . T h e n , T i s f o r w a r d p r o p e r a t t i m e i n d e x i i
0
a n d
0
i n t e r s e c t t r i v i a l l y , i . e . ,
0
\
0
= f 0 g , w h e r e 0 i s t h e i d e n t i t y e l e m e n t o f G
P r o o f : S i n c e
0
a n d
0
a r e s u b g r o u p s o f G , b y a w e l l - k n o w n t h e o r e m i n g r o u p t h e o r y ,
0
0
=
0
0
0
\
0
S o , t h e l a b e l s e m a n a t i n g f r o m t h e z e r o s t a t e a t t i m e i n d e x i i n T , ( z
1
; z
2
) , a r e a l l d i s t i n c t i
0
0
=
0
0
, w h i c h h a p p e n s i
0
\
0
= f 0 g
C o n s i d e r t w o a r b i t r a r y s t a t e s s
1
a n d s
2
i n T
1
a n d T
2
r e s p e c t i v e l y a t t i m e i n d e x i . L e t u s v i e w t h e
s e t o f l a b e l s e m a n a t i n g f r o m s
1
a s a l e f t c o s e t o f
0
, s a y a
0
, a n d t h o s e e m a n a t i n g f r o m s
2
a s a r i g h t
c o s e t o f
0
, s a y
0
b ( n o t i c e t h a t i n g e n e r a l
0
a n d
0
m a y b e n o r m a l s u b g r o u p s o f d i e r e n t g r o u p s
i n G ) . T h e n , t h e o f l a b e l s e m a n a t i n g f r o m s t a t e ( s
1
; s
2
) i n T a r e g i v e n b y a
0
0
b . A s b e f o r e , t h e s e
w i l l b e a l l d i s t i n c t i
0
0
=
0
0
. T h e l e m m a f o l l o w s .
W e w i l l s a y t h a t a g e n e r a t o r m a t r i x i s t w o - w a y p r o p e r i f e v e r y r o w s t a r t s a t a d i s t i n c t p o i n t , a n d
e v e r y r o w e n d s a t a d i s t i n c t p o i n t . F o l l o w i n g i s a r e s t a t e m e n t o f T h e o r e m 2 o f K s c h i s c h a n g a n d
S o r o k i n e 1 5 ] ; w e g i v e a s i m p l e r p r o o f f o r i t u s i n g T h e o r e m 4 . 1 a n d L e m m a 4 . 3 .
T h e o r e m 4 . 4 ( K s c h i s c h a n g a n d S o r o k i n e 1 5 ] ) A g e n e r a t o r m a t r i x f o r a l i n e a r c o d e o v e r a
e l d i s t r e l l i s - o r i e n t e d i i t i s t w o - w a y p r o p e r .
P r o o f : S i n c e f o r a e l d , m u l t i p l i c a t i o n b y a n o n - z e r o e l e m e n t i s a o n e - t o - o n e o n t o m a p , i n t h i s
c a s e , t h e s e t o f s y m b o l s e m a n a t i n g f r o m a z e r o s t a t e i s e i t h e r f 0 g o r t h e e n t i r e e l d . C o m p u t e
t h e p r o d u c t o f t h e t r e l l i s e s f o r t h e r o w s o f t h e g e n e r a t o r m a t r i x . A t a n y t i m e i n d e x i , t h e z e r o -
s t a t e o f t h e p r o d u c t t r e l l i s i s f o r w a r d p r o p e r i t h e s e t s o f l a b e l s e m a n a t i n g f r o m z e r o - s t a t e s i n
t h e c o m p o n e n t t r e l l i s e s a t t i m e i n d e x i i n t e r s e c t t r i v i a l l y . T h i s h a p p e n s i a t m o s t o n e r o w o f t h e
g e n e r a t o r m a t r i x s t a r t s a t i . S i m i l a r l y f o r b a c k w a r d p r o p e r n e s s .
U s i n g t w o s t a g e s o f G a u s s i a n e l i m i n a t i o n , a n y g e n e r a t o r m a t r i x f o r C c a n b e c o n v e r t e d i n t o a t w o -
w a y p r o p e r g e n e r a t o r m a t r i x . T h e r s t s t a g e g e t s t h e m a t r i x i n t h e u s u a l r o w e c h e l o n f o r m , i . e . ,
r o w i + 1 s t a r t s a t a l a t e r p o i n t t h a n r o w i , f o r 1 i n ? 1 . T h e n , b y a p r o c e s s o f \ c a n c e l l i n g
u p w a r d s " , w e c a n e n s u r e t h a t n o t w o r o w s e n d a t t h e s a m e p o i n t ; t h i s p r o c e s s d o e s n o t a e c t t h e
s t a r t i n g p o i n t s .
E x a m p l e 2 C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g g e n e r a t o r m a t r i x o v e r G F ( 2 ) :
1 1 0 0
1 0 1 0
!
6
-
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T h e t r e l l i s e s f o r t h e i n d i v i d u a l r o w s a s w e l l a s t h e p r o d u c t t r e l l i s a r e s h o w n i n F i g u r e 2 ( a ) . I n t h i s
c a s e , t h e t r e l l i s o b t a i n e d i s n o t t w o - w a y p r o p e r . H o w e v e r , w e m a y c o n v e r t t h e a b o v e g e n e r a t o r
m a t r i x t o a t w o - w a y p r o p e r m a t r i x t o o b t a i n
1 1 0 0
0 1 1 0
!
T h e t r e l l i s o b t a i n e d f r o m t h i s m a t r i x i s s h o w n i n F i g u r e 2 ( b ) .
5 E x t e n d i n g t o r i n g s Z
p
: t h e d i c u l t i e s e n c o u n t e r e d
A l e n g t h n l i n e a r c o d e , C , o v e r a r i n g Z
p
i s a s u b m o d u l e o f t h e m o d u l e Z
n
p
. S u c h a s u b m o d u l e
c a n b e s p e c i e d v i a a g e n e r a t o r m a t r i x ; l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e r o w s o f t h e m a t r i x g i v e v e c t o r s
o f t h e s u b m o d u l e . S o , t h e q u e s t i o n a r i s e s w h e t h e r t h e n o t i o n o f a t w o - w a y p r o p e r g e n e r a t o r m a t r i x
a g a i n h e l p s i n o b t a i n i n g m i n i m a l t r e l l i s e s . T h e a n s w e r i s , \ N o " . C o n s i d e r t h e c o d e g e n e r a t e d b y
t h e f o l l o w i n g m a t r i x o v e r Z
4
:
1 1
0 2
!
. T h e t w o r o w s s t a r t a t d i e r e n t i n d i c e s , b u t e n d a t t h e s a m e i n d e x . H o w e v e r , i t i s n o t p o s s i b l e
t o r e m e d y t h i s b y u p w a r d G a u s s i a n e l i m i n a t i o n . T h e r e a s o n i s t h a t w h e r e a s 1 i s a u n i t , 2 i s a
z e r o - d i v i s o r i n Z
4
. I n f a c t , a s s h o w n i n E x a m p l e 3 , n o g e n e r a t o r m a t r i x f o r t h i s c o d e i s t w o - w a y
p r o p e r .
E x a m p l e 3 T h e f o l l o w i n g c o d e o v e r Z
2
4
h a s n o t w o - w a y p r o p e r g e n e r a t o r m a t r i x . M o r e o v e r , e a c h
g e n e r a t o r m a t r i x y i e l d s a t r e l l i s t h a t i s n o t t w o - w a y p r o p e r , a n d h e n c e n o n - m i n i m a l .
C = f 0 0 ; 1 1 ; 2 2 ; 3 3 ; 0 2 ; 1 3 ; 2 0 ; 3 1 g
S i n c e t h i s c o d e h a s e i g h t c o d e w o r d s , w e n e e d a t l e a s t t w o r o w s i n t h e g e n e r a t o r m a t r i x . S i n c e t h e
m u l t i p l e o f a z e r o - d i v i s o r c a n n o t g i v e a u n i t , o n e o f t h e r o w s i n t h e g e n e r a t i n g m a t r i x m u s t c o n t a i n
a u n i t a n d s o m u s t b e d r a w n f r o m f 1 1 ; 3 3 ; 1 3 ; 3 1 g . B u t t h e n t h e o t h e r r o w w i l l e i t h e r h a v e t h e s a m e
s t a r t i n g p o i n t o r t h e s a m e e n d i n g p o i n t a s t h i s r o w .
U n l i k e t h e e l d c a s e , t h e t r e l l i s f o r t h e c o d e g e n e r a t e d b y a s i n g l e v e c t o r c a n h a v e s e v e r a l f o r k i n g
s t a t e s a n d s e v e r a l c o l l a p s i n g s t a t e s . F o r e x a m p l e , t h e m i n i m a l t r e l l i s f o r t h e l e n g t h 6 c o d e g e n e r a t e d
b y ( 2 4 1 0 1 4 ) o v e r Z
8
i s s h o w n i n F i g u r e 3 .
W e w i l l n e e d t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n s : F o r a 2 Z
p
i f t h e a d d i t i v e s u b g r o u p g e n e r a t e d b y a h a s p
k
e l e m e n t s , t h e n s a y t h a t t h e o r d e r o f a i s k . F o r e x a m p l e , t h e o r d e r o f 0 i s z e r o , a n d t h e o r d e r o f 1 i s
. F o r a ; b 2 Z
p
, a a n d b w i l l b e s a i d t o b e a s s o c i a t e s i f t h e r e i s a u n i t u 2 Z
p
s u c h t h a t a = u b
N o t i c e t h a t a a n d b a r e a s s o c i a t e s i t h e y h a v e t h e s a m e o r d e r . I n t h e e x a m p l e , n o t i c e t h a t a s t h e
o r d e r s o f e l e m e n t s i n t h e g i v e n v e c t o r r s t i n c r e a s e , w e g e t f o r k i n g s t a t e s . F i n a l l y , a s t h e o r d e r s
d e c r e a s e , w e g e t c o l l a p s i n g s t a t e s .
L e t u s p o i n t o u t s o m e m o r e g e n e r a l d i c u l t i e s i n w o r k i n g o v e r m o d u l e s , a r i s i n g b e c a u s e o f z e r o -
d i v i s o r s ( a n d m o r e g e n e r a l l y , t h e f a c t t h a t e l e m e n t s o f t h e r i n g h a v e d i e r e n t o r d e r s ) . T h e r e a r e
t w o n a t u r a l w a y s o f d e n i n g l i n e a r d e p e n d e n c e o f a s e t o f v e c t o r s V :
7
-
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a n o n - t r i v i a l l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e v e c t o r s i n V g i v e s t h e z e r o v e c t o r
o n e o f t h e v e c t o r s i n V c a n b e e x p r e s s e d a s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e r e s t .
I n t h e c a s e o f a v e c t o r s p a c e , t h e s e t w o d e n i t i o n s a r e e q u i v a l e n t . H o w e v e r , i n t h e c a s e o f a m o d u l e
d e p e n d e n c e i n t h e r s t s e n s e n e e d n o t i m p l y d e p e n d e n c e i n t h e s e c o n d s e n s e . F o r e x a m p l e , o v e r
Z
4
, t h e v e c t o r s ( 1 2 ) a n d ( 1 0 ) a r e d e p e n d e n t b y t h e r s t d e n i t i o n , b u t n o t t h e s e c o n d .
A n o t h e r d i c u l t y i s t h a t w e c a n n o t g i v e a s u i t a b l e d e n i t i o n o f d i m e n s i o n o f a s u b m o d u l e . F o r
e x a m p l e , o v e r Z
4
, ( 2 0 ) a n d ( 0 2 ) f o r m a b a s i s f o r t h e s u b m o d u l e t h e y g e n e r a t e . O n t h e o t h e r h a n d
( 1 0 ) a n d ( 0 1 ) f o r m a b a s i s f o r a s u b m o d u l e t h a t s t r i c t l y c o n t a i n s t h e r s t s u b m o d u l e . C o n s e q u e n t l y ,
d e n i n g t h e d i m e n s i o n o f a s u b m o d u l e a s t h e c a r d i n a l i t y o f i t s b a s i s i s n o t v e r y m e a n i n g f u l . A l s o
n o t i c e t h a t t h e v e c t o r s o f t h e r s t s u b m o d u l e a r e n o t u n i q u e l y g e n e r a t e d b y l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f
t h e b a s i s v e c t o r s .
6 p - l i n e a r c o m b i n a t i o n s a n d p - g e n e r a t o r s e q u e n c e s
I n t h i s s e c t i o n , w e w i l l i n t r o d u c e t h e n o t i o n s o f p - l i n e a r c o m b i n a t i o n s a n d p - g e n e r a t o r s e q u e n c e s
w h i c h e n a b l e u s t o g e t a r o u n d t h e d i c u l t i e s m e n t i o n e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n i n w o r k i n g o v e r
s u b m o d u l e s o f Z
p
. W e w i l l s h o w t h a t p - l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f p - g e n e r a t o r s e q u e n c e s e n j o y p r o p -
e r t i e s s i m i l a r t o t h o s e o f a b a s i s f o r a v e c t o r s u b s p a c e : t h e y u n i q u e l y g e n e r a t e t h e e l e m e n t s o f t h e
s u b m o d u l e , a s u i t a b l e d e n i t i o n o f d i m e n s i o n o f a s u b m o d u l e c a n b e g i v e n , a n d t h e t w o n o t i o n s o f
l i n e a r d e p e n d e n c e t u r n o u t t o b e e q u i v a l e n t .
L e t V = f ~v
1
; ; ~v
k
g b e a s e t o f v e c t o r s o v e r Z
p
. W e w i l l s a y t h a t
P
k
i = 1
a
i
~v
i
i s a p - l i n e a r c o m b i n a -
t i o n o f t h e s e v e c t o r s i f a l l c o e c i e n t s a
i
2 f 0 ; 1 ; ( p ? 1 ) g . N o t i c e t h a t t h e e l e m e n t s 1 ; ; ( p ? 1 )
a r e a l l u n i t s i n Z
p
. W e w i l l d e n o t e b y p - s p a n ( V ) t h e s e t o f a l l v e c t o r s g e n e r a t e d a s p - l i n e a r
c o m b i n a t i o n s o f v e c t o r s i n V , a n d b y s p a n ( V ) t h e s e t o f v e c t o r s g e n e r a t e d a s ( o r d i n a r y ) l i n e a r
c o m b i n a t i o n s o f v e c t o r s i n V . W e w i l l s a y t h a t a g i v e n l i n e a r c o m b i n a t i o n ( p - l i n e a r c o m b i n a t i o n )
u s e s v e c t o r ~v
i
i f i t s c o e c i e n t i s n o n - z e r o i n t h e l i n e a r c o m b i n a t i o n ( p - l i n e a r c o m b i n a t i o n ) .
A n o r d e r e d s e q u e n c e o f v e c t o r s V = ( ~v
1
; ; ~v
k
) o v e r Z
p
i s s a i d t o b e a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e i f
f o r 1 i k ; p ~ v
i
i s a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e v e c t o r s ~v
i + 1
; ; ~v
k
( i n p a r t i c u l a r , p ~v
k
i s t h e
z e r o v e c t o r ) . F o r e a c h v e c t o r ~v
i
o n e s u c h p - l i n e a r c o m b i n a t i o n i s d e s i g n a t e d t h e c a n o n i c a l p - l i n e a r
c o m b i n a t i o n f o r ~v
i
I f i < j , f o r c o n v e n i e n c e , w e w i l l s a y t h a t ~v
i
i s e a r l i e r t h a n ~v
j
a n d t h a t ~v
j
i s
l a t e r t h a n ~v
i
F o r a n a r b i t r a r y s e t o f v e c t o r s V , p - s p a n ( V ) m a y n o t b e a s u b m o d u l e , f o r e x a m p l e , i f p ~v
i
i s n o t a
p - l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e v e c t o r s i n V , f o r s o m e ~v
i
2 V . H o w e v e r , e n s u r i n g t h i s c o n d i t i o n i s n o t
s u c i e n t a s s h o w n i n E x a m p l e 4 . O n t h e o t h e r h a n d , t h i s c o n d i t i o n t o g e t h e r w i t h t h e o r d e r a m o n g
t h e v e c t o r s , a s s t a t e d i n t h e d e n i t i o n o f a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e , t u r n s o u t t o b e s u c i e n t ; t h i s i s
e s t a b l i s h e d i n T h e o r e m 6 . 2 .
E x a m p l e 4 C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s e t o f v e c t o r s o v e r Z
9
~v
1
= ( 3 1 0 6 ) ; ~v
2
= ( 2 2 7 0 ) ; ~v
3
= ( 8 5 1 0 ) ; ~v
4
= ( 3 5 3 3 )
H e r e ,
3 ~v
1
= ~v
2
+ 2 ~v
3
; 3 ~v
2
= ~v
1
+ ~v
4
8
-
8/3/2019 10.1.1.30.2962 (1)
11/36
3 ~v
3
= ~v
1
+ ~v
4
; 3 ~v
4
= ~v
1
+ 2 ~v
2
+ ~v
3
+ ~v
4
T h e p - s p a n o f t h e s e v e c t o r s i s n o t a s u b m o d u l e , s i n c e i t d o e s n o t c o n t a i n t h e v e c t o r 5 ~v
4
= ( 6 7 6 6 ) .
T h e r e a s o n i s t h a t w e c a n n o t o r d e r t h e v e c t o r s s o t h e y s a t i s f y t h e d e n i t i o n o f a p - g e n e r a t o r
s e q u e n c e .
E x a m p l e 5 T h e f o l l o w i n g s e t o f v e c t o r s o v e r Z
9
f o r m a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e :
~v
1
= ( 0 1 0 1 ) ; ~v
2
= ( 2 5 0 0 ) ; ~v
3
= ( 5 2 0 3 ) ; ~v
4
= ( 3 3 0 0 )
3 ~v
1
= 2 ~v
2
+ ~v
3
; 3 ~v
2
= 2 ~v
4
; 3 ~v
3
= 2 ~v
4
; 3 ~v
4
= 0
L e t u s s e e h o w t o o b t a i n a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n e q u i v a l e n t t o ~u = 7 ~v
1
+ 4 ~v
2
+ ~v
3
+ 2 ~v
4
= ( 1 8 0 1 ) :
~u = 7 ~v
1
+ 4 ~v
2
+ ~v
3
+ 2 ~v
4
= ~v
1
+ 2 ( 3 ~v
1
) + 4 ~v
2
+ ~v
3
+ 2 ~v
4
= ~v
1
+ 2 ( 2 ~v
2
+ ~v
3
) + 4 ~v
2
+ ~v
3
+ 2 ~v
4
= ~v
1
+ 8 ~v
2
+ 3 ~v
3
+ 2 ~v
4
= ~v
1
+ 2 ~v
2
+ 2 ( 2 ~v
4
) + 3 ~v
3
+ 2 ~v
4
= ~v
1
+ 2 ~v
2
+ 2 ~v
4
+ 6 ~v
4
= ~v
1
+ 2 ~v
2
+ 2 ~v
4
R e m a r k : L e t u s g i v e a n i n t u i t i v e j u s t i c a t i o n f o r t h e d e n i t i o n o f p - g e n e r a t o r s e q u e n c e s . T h e
d e n i t i o n i s m o t i v a t e d b y c o m p u t a t i o n a l c o n s i d e r a t i o n s . I f t h e v e c t o r s c a n b e o r d e r e d a s r e q u i r e d
i n t h e d e n i t i o n , c o m p u t a t i o n s w i t h t h e m p r o c e e d i n a n o r d e r l y f a s h i o n a l o n g t h e o r d e r i n g ; t h i s i s
p r o v e n r i g o r o u s l y i n T h e o r e m 6 . 2 . O t h e r w i s e , c o m p u t a t i o n s g e t \ e n t a n g l e d " i n l o o p s . I n f a c t , w e
c o n j e c t u r e t h a t i f t h e v e c t o r s i n V c a n n o t b e o r d e r e d , t h e n e i t h e r p - l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f V d o
n o t g e n e r a t e a s u b m o d u l e , o r t h e t w o n o t i o n s o f d e p e n d e n c e d o n o t t u r n o u t t o b e e q u i v a l e n t ( s e e
T h e o r e m 6 . 3 ) ; w e e x p e c t t h e p r o o f o f t h i s t o b e q u i t e i n v o l v e d . E x a m p l e s 4 a n d 5 i l l u s t r a t e t h i s .
L e m m a 6 . 1 L e t V b e a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e , w i t h V = k . L e t ~v =
P
k
i = 1
a
i
~v
i
b e a n y l i n e a r
c o m b i n a t i o n o f v e c t o r s i n V , a n d l e t ~v
l
b e t h e e a r l i e s t v e c t o r u s e d i n t h i s l i n e a r c o m b i n a t i o n . T h e n ,
~v c a n b e e x p r e s s e d a s a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n o f ~v
l
a n d l a t e r v e c t o r s o f V
P r o o f : T h e c o e c i e n t s o c c u r r i n g i n a n y l i n e a r o r p - l i n e a r c o m b i n a t i o n c a n b e w r i t t e n a s a k
d i m e n s i o n a l v e c t o r . L e t ( b
1
; ; b
k
) a n d ( c
1
; ; c
k
) b e t w o s u c h v e c t o r s , a n d l e t b
i
a n d c
j
b e t h e i r
r s t n o n - z e r o c o e c i e n t . W e w i l l s a y t h a t ( b
1
; ; b
k
) i s l e x i c o g r a p h i c a l l y l a r g e r t h a n ( c
1
; ; c
k
)
i f e i t h e r i < j , o r i = j a n d b
i
> c
i
N o w c o n s i d e r t h e c o e c i e n t v e c t o r ( a
1
; ; a
k
) . I f a l l c o e c i e n t s a r e i n t h e r a n g e f 0 ; 1 ; ; p ? 1 g ,
t h e n w e a r e d o n e . O t h e r w i s e , l e t a
j
b e t h e r s t c o e c i e n t t h a t i s p . L e t a
j
= a p + b . W r i t e
a p ~v
j
u s i n g t h e c a n o n i c a l p - l i n e a r c o m b i n a t i o n f o r ~v
j
. T h i s u s e s v e c t o r s o c c u r r i n g l a t e r t h a n ~v
j
S u b s t i t u t i n g , w e w i l l g e t a v e c t o r e q u i v a l e n t t o ( a
1
; ; a
k
) , w h i c h i s t h e s a m e i n t h e r s t j ? 1
p l a c e s , a n d h a s b i n t h e j
t h
p l a c e . S o , t h i s v e c t o r i s l e x i c o g r a p h i c a l l y s m a l l e r t h a n ( a
1
; ; a
k
)
N o w , t h i s p r o c e s s c a n b e c o n t i n u e d u n t i l w e g e t a n e q u i v a l e n t p - l i n e a r c o m b i n a t i o n . C l e a r l y , t h e
p r o c e s s t e r m i n a t e s , a n d t h e n a l v e c t o r w i l l h a v e z e r o c o e c i e n t s i n t h e r s t l ? 1 p l a c e s .
9
-
8/3/2019 10.1.1.30.2962 (1)
12/36
T h e o r e m 6 . 2 I f V i s a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e t h e n p - s p a n ( V ) = s p a n ( V )
P r o o f : C l e a r l y , p - s p a n ( V ) s p a n ( V ) . S i n c e b y L e m m a 6 . 1 e v e r y v e c t o r i n s p a n ( V ) c a n a l s o b e
e x p r e s s e d a s a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n o f v e c t o r s i n V , t h e o t h e r d i r e c t i o n a l s o f o l l o w s .
T h e o r e m 6 . 3 L e t V b e a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e . W . r . t . p - l i n e a r c o m b i n a t i o n s o v e r V , t h e t w o
n o t i o n s o f l i n e a r d e p e n d e n c e a r e e q u i v a l e n t , i . e . , t h e r e i s a n o n - t r i v i a l p - l i n e a r c o m b i n a t i o n o f
v e c t o r s f r o m V t h a t i s 0 i t h e r e i s a v e c t o r i n V t h a t c a n b e e x p r e s s e d a s a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n
o f t h e r e m a i n i n g v e c t o r s i n V
P r o o f : F i r s t s u p p o s e t h a t t h e r e i s a n o n - t r i v i a l p - l i n e a r c o m b i n a t i o n
P
k
i = 1
a
i
~v
i
= 0 . L e t ~v
l
b e t h e
e a r l i e s t v e c t o r u s e d b y t h i s p - l i n e a r c o m b i n a t i o n . N o w w e h a v e
a
l
~v
l
= ? (
k
X
i = l + 1
a
i
~v
i
) =
k
X
i = l + 1
( p
? 1 ) a
i
~v
i
S i n c e a
l
i s a u n i t i n Z
p
, w e g e t
~v
l
= ( a
l
)
? 1
k
X
i = l + 1
( p
? 1 ) a
i
~v
i
N o w , b y L e m m a 6 . 1 , t h e l i n e a r c o m b i n a t i o n o n t h e r . h . s . c a n b e e x p r e s s e d a s a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n
w h i c h d o e s n o t u s e ~v
l
. S o , ~v
l
h a s b e e n e x p r e s s e d a s a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e r e m a i n i n g v e c t o r s .
T o p r o v e t h e o t h e r d i r e c t i o n , s u p p o s e ~v
l
=
P
i 6= l
a
i
~v
i
. L e t ~v
j
b e t h e e a r l i e s t v e c t o r u s e d i n t h e r . h . s .
T h e r e a r e t w o c a s e s :
C a s e 1 : l < j . B y L e m m a 6 . 1 , ? (
P
i 6= l
a
i
~v
i
) c a n b e e x p r e s s e d a s a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n u s i n g
v e c t o r s l a t e r t h a n ~v
l
o n l y . H e n c e ,
~v
l
? (
X
i 6= l
a
i
~v
i
)
c a n b e w r i t t e n a s a n o n - t r i v i a l p - l i n e a r c o m b i n a t i o n t h a t i s 0 .
C a s e 2 : l > j . B y L e m m a 6 . 1 , ? ~v
l
c a n b e e x p r e s s e d a s a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n t h a t d o e s n o t u s e
~v
j
. H e n c e ,
X
i 6= l
a
i
~v
i
? ~v
l
c a n b e w r i t t e n a s a n o n - t r i v i a l p - l i n e a r c o m b i n a t i o n t h a t i s 0 .
W e w i l l s a y t h a t a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e V i s p - l i n e a r l y i n d e p e n d e n t i f t h e r e i s n o n o n - t r i v i a l p - l i n e a r
c o m b i n a t i o n o f i t s v e c t o r s t h a t i s 0 . A p - l i n e a r l y i n d e p e n d e n t p - g e n e r a t o r s e q u e n c e w i l l b e c a l l e d
a p - b a s i s . C l e a r l y , t h e p - l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e e l e m e n t s o f a p - b a s i s V u n i q u e l y g e n e r a t e t h e
e l e m e n t s o f t h e s u b m o d u l e p - s p a n ( V ) . S o , i f V = k , t h e s u b m o d u l e h a s p
k
e l e m e n t s . W e w i l l
d e n e t h e p - d i m e n s i o n o f t h i s s u b m o d u l e t o b e k
1 0
-
8/3/2019 10.1.1.30.2962 (1)
13/36
R e m a r k : N o t e t h a t t h e n o t i o n s o f p - d i m e n s i o n a n d p - g e n e r a t o r s e q u e n c e o f a s u b m o d u l e o v e r Z
p
c o r r e s p o n d e x a c t l y t o t h e n o t i o n s o f c o m p o s i t i o n l e n g t h a n d g e n e r a t i n g s y s t e m a l o n g a c o m p o s i t i o n
c h a i n o f a m o d u l e i n c o m m u t a t i v e r i n g t h e o r y ( s e e 1 9 ] ) . T h e r e a s o n f o r o u r c h o i c e o f t e r m i n o l o g y
i s t h a t i t i s m o r e s u g g e s t i v e o f p r o p e r t i e s o f v e c t o r s u b s p a c e s t h a t w e a r e a t t e m p t i n g t o e n d o w
s u b m o d u l e s o v e r Z
p
w i t h .
L e m m a 6 . 4 E v e r y s u b m o d u l e o v e r Z
p
h a s a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e .
P r o o f : L e t U = f ~v
1
; ; ~v
k
g b e a u s u a l g e n e r a t i n g s e t f o r t h e s u b m o d u l e . L e t V b e t h e o r d e r e d
s e q u e n c e c o n s i s t i n g o f m u l t i p l e s o f t h e s e v e c t o r s b y p
i
; 0 i ? 1 , i . e . ,
V = ( ~v
1
; p ~v
1
; ; p
? 1
~v
1
; ; ~v
k
; p ~v
k
; ; p
? 1
~v
k
)
T h e n , c l e a r l y V i s a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e w i t h p - s p a n ( V ) = s p a n ( U ) . N o t i c e t h a t i f a n y o f t h e
v e c t o r s i n V i s 0 , i t c a n b e d r o p p e d .
O u r n e x t g o a l i s t o s h o w t h a t e v e r y s u b m o d u l e o v e r Z
p
h a s a p - b a s i s ; w e w i l l a c c o m p l i s h t h i s b y
a d a p t i n g G a u s s i a n e l i m i n a t i o n t o t h i s s e t t i n g . L e t u s r s t r e c a l l t h e p r o c e s s o f G a u s s i a n e l i m i n a t i o n
w h e n p e r f o r m e d o n v e c t o r s f r o m a v e c t o r s p a c e . L e t V = f ~v
1
; ; ~v
k
g b e t h e g e n e r a t o r s e t f o r a
s u b s p a c e o f F
n
, t h e n - d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e o v e r e l d F . T h e p r o c e s s o f G a u s s i a n e l i m i n a t i o n
i s b a s e d o n t h e f o l l o w i n g f a c t : L e t ~v =
P
k
i = 1
a
i
~v
i
b e a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e v e c t o r s i n V . T h e n ,
f o r a n y v e c t o r ~v
i
t h a t i s u s e d b y t h i s l i n e a r c o m b i n a t i o n , V + ~v ? ~v
i
g e n e r a t e s t h e s a m e s u b s p a c e a s
V . U s i n g t h i s p r i n c i p l e , G a u s s i a n e l i m i n a t i o n s t a r t s w i t h a n a r b i t r a r y g e n e r a t o r s e t f o r a s u b s p a c e ,
a n d b r i n g s i t i n t o \ r o w e c h e l o n " f o r m , i . e . , a l l n o n - z e r o v e c t o r s h a v e d i s t i n c t s t a r t i n g p o i n t s , a n d
a r e s o r t e d b y s t a r t i n g p o i n t , w i t h t h e 0 v e c t o r s b e i n g l i s t e d l a s t . N o w , t h e n o n - z e r o v e c t o r s a r e
l i n e a r l y i n d e p e n d e n t , a n d f o r m a b a s i s f o r t h e s u b s p a c e . C a r r y i n g o u t t h i s p r o c e s s i s s o m e w h a t
m o r e i n v o l v e d f o r p - g e n e r a t o r s e q u e n c e s .
L e m m a 6 . 5 L e t V = ( ~v
1
; ; ~v
k
) b e a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e , a n d l e t ~v =
P
k
i = 1
a
i
~v
i
b e a p - l i n e a r
c o m b i n a t i o n o f i t s v e c t o r s . L e t ~v
l
b e t h e e a r l i e s t v e c t o r i n t h i s o r d e r i n g t h a t i s u s e d b y t h e p - l i n e a r
c o m b i n a t i o n , a n d U b e o b t a i n e d b y r e p l a c i n g ~v
l
b y ~v i n t h e o r d e r e d s e t V . T h e n , U i s a l s o a
p - g e n e r a t o r s e q u e n c e w i t h t h e s a m e s p a n a s V
P r o o f : S i n c e a
l
i s a u n i t , w e c a n w r i t e
~v
l
= ( a
l
)
? 1
( ~v ?
X
i 6= l
a
i
~v
i
)
T h e r e f o r e , c o r r e s p o n d i n g t o a n y l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e v e c t o r s o f V t h e r e i s a n e q u i v a l e n t l i n e a r
c o m b i n a t i o n o f t h e v e c t o r s o f U a n d v i c e v e r s a . H e n c e , U h a s t h e s a m e s p a n a s V
N e x t w e s h o w t h a t U i s a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e , i . e . , f o r e a c h v e c t o r ~v
j
2 U , p ~v
j
c a n b e e x p r e s s e d
a s a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n o f v e c t o r s l a t e r t h a n ~v
j
i n U . T h i s i s c l e a r l y t r u e f o r j > l . F o r v e c t o r ~v ,
p ~v = p ~v
l
+
X
i 6= l
p a
i
~v
i
U s i n g L e m m a 6 . 1 , a n d t h e f a c t t h a t t h e r e i s a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n f o r p ~v
l
u s i n g v e c t o r s l a t e r t h a n
l , t h e r . h . s . c a n b e e x p r e s s e d a s a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n o f v e c t o r s l a t e r t h a n l . F i n a l l y , c o n s i d e r
1 1
-
8/3/2019 10.1.1.30.2962 (1)
14/36
j < l . I f t h e c a n o n i c a l p - l i n e a r c o m b i n a t i o n f o r p ~v
j
i n V d o e s n o t u s e ~v
l
, w e w i l l s i m p l y u s e t h i s
s a m e p - l i n e a r c o m b i n a t i o n . O t h e r w i s e , w e w i l l s u b s t i t u t e f o r ~v
l
u s i n g t h e r s t e q u a t i o n g i v e n a b o v e ,
a n d u s e L e m m a 6 . 1 t o o b t a i n a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n t h a t u s e s v e c t o r s o f U l a t e r t h a n ~v
j
C o r o l l a r y 6 . 6 L e t V = ( ~v
1
; ; ~v
k
) b e a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e . L e t ~v = ~v
i
+ a ~v
j
, w h e r e i < j a n d
a 2 Z
p
. T h e n , r e p l a c i n g ~v
i
b y ~v i n V g i v e s a n e q u i v a l e n t p - g e n e r a t o r s e q u e n c e .
P r o o f : T h e p r o o f f o l l o w s b y o b s e r v i n g t h a t a ~v
j
c a n b e w r i t t e n a s a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n o f ~v
j
a n d
l a t e r v e c t o r s o f V
S a y t h a t a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e , V , i s p r o p e r i f f o r e a c h p a i r o f n o n - z e r o v e c t o r s , ~u ; ~ v 2 V , i f ~u a n d
~v h a v e t h e s a m e s t a r t i n g p o i n t , t h e n t h e i r s t a r t i n g e l e m e n t s a r e n o t a s s o c i a t e s .
L e m m a 6 . 7 E v e r y s u b m o d u l e o f Z
n
p
h a s a p r o p e r p - g e n e r a t o r s e q u e n c e .
P r o o f : L e t V b e a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e t h a t i s n o t p r o p e r . S a y t h a t v e c t o r s ~u a n d ~v a r e i n
c o n i c t i f t h e y h a v e t h e s a m e s t a r t i n g p o i n t , a n d t h e i r s t a r t i n g e l e m e n t s a r e a s s o c i a t e s . A m o n g
a l l c o n i c t i n g p a i r s h a v i n g t h e e a r l i e s t s t a r t i n g p o i n t , p i c k a p a i r w h o s e s t a r t i n g e l e m e n t s h a v e t h e
h i g h e s t o r d e r . L e t ~v
i
a n d ~v
j
b e t h i s p a i r , w i t h i > j . N o w , w e c a n n d a 2 Z
p
s u c h t h a t a d d i n g
a ~v
j
t o ~v
i
z e r o s o u t t h e s t a r t i n g e l e m e n t o f ~v
i
, i . e . , ~v = ~v
i
+ a ~v
j
h a s a l a t e r s t a r t i n g p o i n t t h a n ~v
i
B y C o r o l l a r y 6 . 6 , r e p l a c i n g ~v
i
b y ~v i n V g i v e s a n e q u i v a l e n t p - g e n e r a t o r s e q u e n c e . C l e a r l y , t h i s
p r o c e s s m u s t t e r m i n a t e , a n d y i e l d a p r o p e r p - g e n e r a t o r s e q u e n c e .
W e w i l l s a y t h a t a p r o p e r p - g e n e r a t o r s e q u e n c e V = ( ~v
1
; ; ~v
k
) i s i n r o w e c h e l o n f o r m i f f o r
1 i < j k e i t h e r :
1 ~v
i
h a s a n e a r l i e r s t a r t i n g p o i n t t h a n ~v
j
, o r
2 ~v
i
a n d ~v
j
h a v e t h e s a m e s t a r t i n g p o i n t , a n d t h e s t a r t i n g e l e m e n t o f ~v
i
h a s h i g h e r o r d e r t h a n
t h e s t a r t i n g e l e m e n t o f ~v
j
L e m m a 6 . 8 L e t V = f ~v
1
; ; ~v
k
g b e a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e i n r o w e c h e l o n f o r m . I f ~v
i
i s n o n - z e r o ,
t h e n a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n f o r p ~v
i
c a n n o t u s e a n y v e c t o r ~v
j
w i t h j < i
P r o o f : S u p p o s e n o t , a n d l e t ~v
l
b e t h e e a r l i e s t v e c t o r u s e d . V h a s a t m o s t o n e v e c t o r w i t h a g i v e n
s t a r t i n g p o i n t a n d o r d e r o f s t a r t i n g e l e m e n t . T h e r e f o r e , t h e r e m a i n i n g v e c t o r s u s e d i n t h e p - l i n e a r
c o m b i n a t i o n c a n n o t z e r o o u t t h e s t a r t i n g e l e m e n t o f ~v
l
. S o , t h i s p - l i n e a r c o m b i n a t i o n w i l l e i t h e r
s t a r t b e f o r e ~v
i
, o r w i l l s t a r t a t t h e s a m e p o i n t a s ~v
i
b u t w i t h a n e l e m e n t o f h i g h e r o r d e r t h a n t h e
s t a r t i n g e l e m e n t o f ~v
i
. I n e i t h e r c a s e w e g e t a c o n t r a d i c t i o n .
C o r o l l a r y 6 . 9 L e t V b e a p r o p e r p - g e n e r a t o r s e q u e n c e . T h e n , p e r m u t i n g i t s v e c t o r s s o t h e y a r e i n
r o w e c h e l o n f o r m g i v e s a n e q u i v a l e n t p - g e n e r a t o r s e q u e n c e .
L e m m a 6 . 1 0 T h e n o n - z e r o v e c t o r s o f a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e i n r o w e c h e l o n f o r m a r e p - l i n e a r l y
i n d e p e n d e n t .
1 2
-
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15/36
P r o o f : T h e p r o o f i s a l o n g t h e s a m e l i n e s a s L e m m a 6 . 8 . C o n s i d e r a n y n o n - t r i v i a l p - l i n e a r c o m -
b i n a t i o n o f t h e v e c t o r s . T h e n , t h e s t a r t i n g e l e m e n t o f t h e e a r l i e s t v e c t o r u s e d c a n n o t b y c a n c e l l e d
o u t b y t h e r e m a i n i n g v e c t o r s . H e n c e , n o n o n - t r i v i a l p - l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e v e c t o r s c a n b e 0 .
T h e o r e m 6 . 1 1 E v e r y s u b m o d u l e o f Z
n
p
h a s a p - b a s i s .
F i n a l l y , w e g i v e b e l o w t h e G a u s s i a n e l i m i n a t i o n p r o c e d u r e t h a t s t a r t s w i t h a n a r b i t r a r y p - g e n e r a t o r
s e q u e n c e f o r a s u b m o d u l e o f Z
n
p
, a n d n d s a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e i n r o w e c h e l o n f o r m . T h i s
p r o c e d u r e i s d e s i g n e d a l o n g t h e l i n e s o f t h e u s u a l G a u s s i a n e l i m i n a t i o n p r o c e d u r e f o r o b t a i n i n g a
b a s i s i n r o w e c h e l o n f o r m f o r t h e e l d c a s e ; i t s i m u l t a n e o u s l y c a r r i e s o u t t h e p r o c e s s i n L e m m a 6 . 7 ,
t o g e t h e r w i t h t h e p e r m u t a t i o n o f v e c t o r s g i v e n i n C o r o l l a r y 6 . 9 .
A l g o r i t h m G a u s s i a n e l i m i n a t i o n
1 ) S ? V
2 ) . W h i l e t h e r e i s a n o n - z e r o v e c t o r i n S d o :
3 ) . F i n d S
0
S , v e c t o r s o f S h a v i n g t h e e a r l i e s t s t a r t i n g p o i n t .
4 ) . F i n d S
0 0
S
0
, v e c t o r s o f S
0
h a v i n g t h e h i g h e s t o r d e r s t a r t i n g e l e m e n t .
5 ) . P i c k t h e l a s t v e c t o r ~v 2 S
0 0
, l i s t i t , a n d s e t S ? S ? f ~v g
6 ) . F o r e a c h r e m a i n i n g ~u 2 S
0 0
, r e p l a c e ~u i n S b y ( ~u + a ~v ) ,
w h e r e a 2 Z
p
s u c h t h a t ( ~u + a ~v ) s t a r t s l a t e r t h a n ~u
7 ) . e n d .
T h e o r e m 6 . 1 2 T h e p r o c e s s o f G a u s s i a n e l i m i n a t i o n s t a r t s w i t h a n a r b i t r a r y p - g e n e r a t o r s e q u e n c e
f o r a s u b m o d u l e , a n d n d s a p r o p e r p - g e n e r a t o r s e q u e n c e i n r o w e c h e l o n f o r m . I t s r u n n i n g t i m e
i s b o u n d e d b y O ( k
2
n ) o p e r a t i o n s o v e r Z
p
, w h e r e k i s t h e n u m b e r o f v e c t o r s i n t h e p - g e n e r a t o r
s e q u e n c e .
E x a m p l e 6 C o n s i d e r t h e c o d e o v e r Z
8
g e n e r a t e d b y :
0
B
@
1 2 1 2
2 0 4 2
0 0 4 4
1
C
A
A p - g e n e r a t o r s e q u e n c e f o r i t i s i s g i v e n b e l o w . S i n c e t h e r e a r e t w o r o w s s t a r t i n g w i t h a 2 i n c o l u m n
o n e , w e a d d 3 t i m e s r o w 3 t o r o w 2 . N e x t , w e a d d r o w 6 t o r o w 5 . F i n a l l y , d i s c a r d i n g d u p l i c a t e
r o w s w e g e t a p - b a s i s .
0
B
B
B
B
B
B
B
@
1 2 1 2
2 0 4 2
2 4 2 4
0 0 4 4
4 0 0 4
4 0 4 0
1
C
C
C
C
C
C
C
A
? !
0
B
B
B
B
B
B
B
@
1 2 1 2
0 4 2 6
2 4 2 4
0 0 4 4
4 0 0 4
4 0 4 0
1
C
C
C
C
C
C
C
A
? !
0
B
B
B
B
B
B
B
@
1 2 1 2
0 4 2 6
2 4 2 4
0 0 4 4
0 0 4 4
4 0 4 0
1
C
C
C
C
C
C
C
A
? !
0
B
B
B
B
B
@
1 2 1 2
0 4 2 6
2 4 2 4
0 0 4 4
4 0 4 0
1
C
C
C
C
C
A
1 3
-
8/3/2019 10.1.1.30.2962 (1)
16/36
7 M i n i m a l t r e l l i s e s f o r c o d e s o v e r r i n g s Z
p
I n t h i s s e c t i o n w e w i l l p r e s e n t a p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m f o r c o n s t r u c t i n g a m i n i m a l t r e l l i s f o r a
l i n e a r c o d e o v e r a r i n g Z
p
, g i v e n a g e n e r a t o r m a t r i x f o r i t . L e t u s r s t g i v e a n a t u r a l g e n e r a l i z a t i o n
o f t h e n o t i o n o f a t w o - w a y p r o p e r m a t r i x a s d e n e d f o r t h e e l d c a s e .
A p - g e n e r a t o r s e q u e n c e , V w i l l b e s a i d t o b e t w o - w a y p r o p e r i f :
1 . f o r e a c h p a i r o f v e c t o r s ~ u ; ~ v 2 V , i f ~u a n d ~v s t a r t a t t h e s a m e p o i n t , t h e n t h e i r s t a r t i n g
e l e m e n t s a r e n o t a s s o c i a t e s , a n d
2 . f o r e a c h p a i r o f v e c t o r s ~ u ; ~ v 2 V , i f ~u a n d ~v e n d a t t h e s a m e p o i n t , t h e n t h e i r e n d i n g e l e m e n t s
a r e n o t a s s o c i a t e s .
B e l o w w e g i v e a n a l g o r i t h m t h a t s t a r t s w i t h a p r o p e r p - g e n e r a t o r s e q u e n c e i n r o w e c h e l o n f o r m , V ,
a n d n d s a t w o - w a y p r o p e r p - g e n e r a t o r s e q u e n c e h a v i n g t h e s a m e s p a n .
A l g o r i t h m t w o - w a y p r o p e r p - g e n e r a t i n g s e t
1 ) S ? V
2 ) . W h i l e S i s n o t t w o - w a y p r o p e r d o :
3 ) . F i n d S
0
S , w i t h S
0
> 1 , v e c t o r s h a v i n g t h e l a t e s t e n d i n g p o i n t ,
a n d m o r e o v e r t h e i r e n d i n g e l e m e n t s b e i n g a s s o c i a t e s .
4 ) . L e t ~v b e t h e l a s t v e c t o r i n S
0
5 ) . F o r e a c h r e m a i n i n g ~u 2 S
0
, r e p l a c e ~u i n S b y ( ~u + a ~v ) ,
w h e r e a 2 Z
p
s u c h t h a t ( ~u + a ~v ) e n d s e a r l i e r t h a n ~u
6 ) . e n d .
L e m m a 7 . 1 A l g o r i t h m t w o - w a y p r o p e r p - g e n e r a t i n g s e t s t a r t s w i t h a p r o p e r p - g e n e r a t o r
s e q u e n c e i n r o w e c h e l o n f o r m , a n d n d s a t w o - w a y p r o p e r p - g e n e r a t o r s e q u e n c e w i t h t h e s a m e s p a n .
I t s r u n n i n g t i m e i s b o u n d e d b y O ( k
2
n ) o p e r a t i o n s o v e r Z
p
, w h e r e k i s t h e n u m b e r o f v e c t o r s i n
t h e p - g e n e r a t o r s e q u e n c e .
E x a m p l e 7 T h e p - b a s i s o b t a i n e d i n E x a m p l e 6 i s n o t t w o - w a y p r o p e r . W e a d d r o w 2 t o r o w 1
a n d r o w 4 t o r o w 3 t o o b t a i n t h e n a l t w o - w a y p r o p e r p - b a s i s :
0
B
B
B
B
B
@
1 6 3 0
0 4 2 6
2 4 6 0
0 0 4 4
4 0 4 0
1
C
C
C
C
C
A
U s i n g t w o - w a y p r o p e r p - g e n e r a t o r s e q u e n c e s , o u r t r e l l i s c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m h a s t h e s a m e o v e r a l l
s t r u c t u r e a s t h e e l d c a s e . T h e t r e l l i s f o r a s i n g l e v e c t o r ~v o f t h e t w o - w a y p r o p e r p - g e n e r a t o r
1 4
-
8/3/2019 10.1.1.30.2962 (1)
17/36
s e q u e n c e , V , i s r e q u i r e d t o g e n e r a t e a l l c o d e w o r d s t h a t c a n b e g e n e r a t e d a s p - l i n e a r c o m b i n a t i o n s
o f t h i s v e c t o r , i . e . , f 0 ; ~ v ; 2 ~v ; ; ( p ? 1 ) ~v g . T h i s t r e l l i s i s s i m i l a r t o t h e t r e l l i s f o r a s i n g l e v e c t o r
i n t h e e l d c a s e : i t h a s a p - w a y f o r k a t t h e t i m e i n d e x a t w h i c h ~v s t a r t s , a n d a p - w a y c o l l a p s e a t
t h e t i m e i n d e x a t w h i c h ~v e n d s . T h e p o u t - t r a n s i t i o n s w i l l b e l a b e l l e d w i t h 0 a n d a s s o c i a t e s o f t h e
s t a r t i n g e l e m e n t o f ~v , a n d t h e p i n - t r a n s i t i o n s w i l l b e l a b e l l e d w i t h 0 a n d a s s o c i a t e s o f t h e e n d i n g
e l e m e n t o f ~v . W e w i l l n e x t s h o w t h a t t h e p r o d u c t o f t h e t r e l l i s e s f o r t h e v e c t o r s o f V i s t w o - w a y
p r o p e r a n d h e n c e m i n i m a l .
L e t a
1
; a
k
2 Z
p
. F o r n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e , i t w i l l b e u s e f u l t o r e g a r d t h e s e e l e m e n t s a s o n e
d i m e n s i o n a l v e c t o r s b e l o n g i n g t o t h e m o d u l e Z
1
p
. W e c a n t h e n t a l k a b o u t a l l p - l i n e a r c o m b i n a t i o n s
o f t h e s e e l e m e n t s .
L e m m a 7 . 2 L e t a
1
; a
k
2 Z
p
, s o t h a t t h e y a r e p a i r w i s e n o n - a s s o c i a t e s . T h e n , t h e i r p - l i n e a r
c o m b i n a t i o n s g i v e d i s t i n c t e l e m e n t s o f Z
p
P r o o f : N o t i c e t h a t i f w e s t a r t w i t h a n y e l e m e n t s o f Z
p
t h a t a r e p a i r w i s e n o n - a s s o c i a t e s , t h e y w i l l
f o r m a p - b a s i s f o r t h e o n e d i m e n s i o n a l m o d u l e Z
1
p
. H e n c e , i n p a r t i c u l a r t h e p - l i n e a r c o m b i n a t i o n s
o f a
1
; a
k
w i l l g e n e r a t e d i s t i n c t e l e m e n t s i n Z
1
p
I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e c o n v e r s e o f t h e s t a t e m e n t i n L e m m a 7 . 2 i s n o t t r u e , i . e . , o n e c a n g e t a n
e x a m p l e i n w h i c h e v e n t h o u g h a
1
; a
k
a r e n o t p a i r w i s e n o n - a s s o c i a t e s , t h e i r p - l i n e a r c o m b i n a t i o n s
m a y s t i l l g e n e r a t e d i s t i n c t e l e m e n t s o f Z
p
. Y e t t h e f o l l o w i n g h o l d s :
T h e o r e m 7 . 3 L e t V b e a p - b a s i s f o r a s u b m o d u l e o f Z
n
p
. T h e n , t h e p r o d u c t o f t r e l l i s e s f o r t h e
v e c t o r s o f V i s a m i n i m a l t r e l l i s f o r t h e s u b m o d u l e g e n e r a t e d b y V i V i s t w o - w a y p r o p e r .
P r o o f : S u p p o s e V i s t w o - w a y p r o p e r . L e t u s s h o w t h a t t h e p r o d u c t t r e l l i s w i l l b e f o r w a r d p r o p e r ;
t h e p r o o f t h a t i t i s b a c k w a r d p r o p e r i s s i m i l a r . I f V h a s k
i
v e c t o r s , s a y V
i
, t h a t s t a r t a t t i m e i n d e x
i , t h e n a n y s t a t e , s , i n t h e p r o d u c t t r e l l i s a t t i m e i n d e x i ? 1 w i l l h a v e p
k
o u t - t r a n s i t i o n s . S i n c e t h e
s t a r t i n g e l e m e n t s o f t h e v e c t o r s i n V
i
a r e n o n - a s s o c i a t e s , b y L e m m a 7 . 2 , t h e p - l i n e a r c o m b i n a t i o n s
o f t h e s e v e c t o r s w i l l a l l s t a r t w i t h d i s t i n c t e l e m e n t s . T h e s e t o f s y m b o l s o n t h e o u t - t r a n s i t i o n s o f s
c o n s i s t o f s o m e e l e m e n t a 2 Z
p
a d d e d t o t h e s e d i s t i n c t e l e m e n t s , a n d s o s i s f o r w a r d p r o p e r .
N e x t , s u p p o s e V i s n o t t w o - w a y p r o p e r . S u p p o s e t h e r e a r e t w o v e c t o r s ~u a n d ~v s t a r t i n g a t i n d e x
i , s o t h a t t h e i r s t a r t i n g e l e m e n t s a r e a s s o c i a t e s ; t h e p r o o f i n c a s e V h a s t w o v e c t o r s w h o s e e n d i n g
p o i n t s a r e t h e s a m e , b u t e n d i n g e l e m e n t s a r e a s s o c i a t e s i s s i m i l a r .
N o w , t h e r e a r e u n i t s b ; c 2 Z
p
s u c h t h a t b ~u + c ~v s t a r t s a t a l a t e r i n d e x t h a n i . L e t V
i
b e t h e s e t
o f v e c t o r s o f V t h a t s t a r t a t i n d e x i . U s i n g t h e f a c t t h a t V i s a p - g e n e r a t o r s e q u e n c e i t c a n b e
a r g u e d t h a t b ~u + c ~v c a n b e w r i t t e n a s a p - l i n e a r c o m b i n a t i o n o f v e c t o r s i n V
i
; c l e a r l y , t h i s p - l i n e a r
c o m b i n a t i o n i s n o n - t r i v i a l . I n a d d i t i o n , t h e t r i v i a l p - l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e v e c t o r s i n V
i
a l s o
g i v e s a v e c t o r t h a t i s 0 a t t i m e i n d e x i
F i n a l l y , l e t s a n d a b e a s d e n e d a b o v e . N o w , t h e r e a r e t w o p - l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f v e c t o r s i n V
i
t h a t g i v e o u t - t r a n s i t i o n s o n s y m b o l a f r o m s t a t e s . T h e r e f o r e , t h e p r o d u c t t r e l l i s i s n o t t w o - w a y
p r o p e r , a n d h e n c e i t i s n o t m i n i m a l .
1 5
-
8/3/2019 10.1.1.30.2962 (1)
18/36
E x a m p l e 8 C o n s i d e r t h e c o d e o v e r Z
4
g e n e r a t e d b y t h e f o l l o w i n g t w o - w a y p r o p e r p - g e n e r a t o r
s e q u e n c e :
0
B
@
1 2 3 0
2 0 2 0
0 2 2 2
1
C
A
T h e t r e l l i s e s f o r t h e i n d i v i d u a l r o w s a s w e l l a s t h e p r o d u c t t r e l l i s a r e s h o w n i n F i g u r e 4 .
8 M i n i m a l t r e l l i s e s f o r c o d e s o v e r A b e l i a n g r o u p s
W e w i l l r s t e x t e n d o u r c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m t o c o d e s o v e r e l e m e n t a r y A b e l i a n g r o u p s ; t h i s w i l l
i l l u s t r a t e i n a s i m p l e r s e t t i n g t h e m a i n i d e a s i n t h e e x t e n s i o n t o c o d e s o v e r a r b i t r a r y n i t e A b e l i a n
g r o u p s . A n e l e m e n t a r y A b e l i a n g r o u p G i s i s o m o r p h i c t o a d i r e c t p r o d u c t o f c y c l i c p - g r o u p s , i . e . ,
G ' C
m
p
, w h e r e p i s a p r i m e .
L e m m a 8 . 1 A l e n g t h n g r o u p c o d e C o v e r G ' C
m
p
c a n b e v i e w e d a s a l i n e a r c o d e , S , o f l e n g t h
m n o v e r G F ( p )
P r o o f : U s i n g t h e n a t u r a l i s o m o r p h i s m b e t w e e n C
p
a n d t h e a d d i t i v e g r o u p o f G F ( p ) , w e c a n
v i e w C a s a l e n g t h m n c o d e o v e r G F ( p ) , s a y S . S i n c e C i s a g r o u p c o d e , s o i s S . F u r t h e r , s i n c e
m u l t i p l i c a t i o n i n G F ( p ) i s s i m p l y r e p e a t e d a d d i t i o n , S i s a l i n e a r c o d e o v e r G F ( p )
B i g l i e r i a n d E l i a 1 ] h a v e s h o w n t h a t C c a n b e s p e c i e d b y a k n g e n e r a t o r m a t r i x w h o s e e n t r i e s
a r e e n d o m o r p h i s m s ,
i j
: C
m
p
! C
m
p
. A n y i n f o r m a t i o n v e c t o r ~v 2 ( C
m
p
)
k
y i e l d s t h e c o d e w o r d ~v ,
a n d t h e s e t o f a l l c o d e w o r d s c o n s t r u c t e d i n t h i s m a n n e r c o n s t i t u t e C
L e m m a 8 . 2 G i v e n a g e n e r a t o r m a t r i x f o r C , w e c a n o b t a i n a k m m n g e n e r a t o r m a t r i x o v e r
G F ( p ) , A , f o r S .
P r o o f : A s s h o w n i n 1 ] , a n e n d o m o r p h i s m : C
m
p
! C
m
p
c a n b e v i e w e d a s a n m m m a t r i x , M
,
o v e r C
p
. V i e w a n e l e m e n t a 2 C
m
p
a s a n m - d i m e n s i o n a l r o w v e c t o r ~a w i t h e n t r i e s f r o m C
p
. T h e n ,
~a M
= ( a )
T h u s , c a n n o w b e v i e w e d a s a k n m a t r i x w h o s e e l e m e n t s a r e m m m a t r i c e s o v e r C
p
. I n t u i t i v e l y ,
t h e k m m n m a t r i x A i s o b t a i n e d b y s i m p l y \ r e m o v i n g t h e