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Indice de contenidos

1 MATRICES Y DETERMINANTES 1

1.1 Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Operaciones con matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Suma de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Producto de una matriz por un numero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Producto de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.5 Potencia de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Determinantes de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Determinantes de orden 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Menor complementario y adjunto de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.4 Determinantes de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.5 Matriz adjunta. Calculo de la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Rango de una matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.1 Calculo del rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Ejercicios propuestos en examenes anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 ESPACIOS VECTORIALES. 19

2.1 Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.1 El espacio vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Combinacion lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Dependencia e independencia lineal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Bases y dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.1 Base canonica de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2 Dimension de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.3 Cambio de base en un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Suma e interseccion de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.1 Suma de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.2 Interseccion de dos subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.3 Teorema de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.4 Suma directa de dos subespacios. Subespacios complementarios. . . . . . . . . 36

2.5 Ejercicios propuestos en examenes anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 39

3.1 Preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.1 Primeros conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.2 Definiciones y notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.3 Clasificacion de los sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

v

vi

3.1.4 Teorema de Rouche-Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Resolucion de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1 Sistemas diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.2 Sistemas triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.3 Sistemas equivalentes. Metodo de resolucion de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.4 Metodo de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.5 Metodo de Gauss-Jordan para el calculo de la matriz inversa . . . . . . . . . . . 523.2.6 Sistemas homogeneos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Resolucion de sistemas con Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 Ejercicios propuestos en examenes anteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1 MATRICES Y DETERMINANTES

Este primer capıtulo esta dedicado a introducir los conceptos basicos relativosa las matrices y determinantes. Aunque tales cuestiones son de un ampliouso en diferentes sectores no solo de la economıa sino de cualquier disciplinadel saber, nosotros inicialmente usaremos dichos conceptos como herramientaadecuada para la resolucion, en el siguiente capıtulo, de sistemas de ecua-ciones lineales. Ası la estructura del capıtulo y los conceptos en el estudiadospersiguen primordialmente dicho objetivo.

1.1 DEFINICIONES BASICAS

Llamamos matriz de numeros reales con m filas y n columnas, o de tipo m × n, auna lista de numeros reales ordenados en la forma:

A = (aij)m×n =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

donde aij ∈ R, para todo i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. El elemento aij es el que seencuentra en la fila i y la columna j. Al conjunto de todas las matrices de ordenm×n se le denota mediante Mm×n. Cuando una matriz es del tipo 1×n se le llamamatriz fila o vector fila de orden n y una matriz columna o vector columna de ordenm si es del tipo m× 1.

Dos matrices se dicen iguales si tienen igual numero de filas y columnas y coincidenelemento a elemento.

- Ejemplo 1.1

• La matriz A =( −2 1 0

4 2 4

)es una matriz de orden 2× 3.

La matriz B =(

10

)es una matriz columna de orden 2.

1

2 DEFINICIONES BASICAS

Dada una matriz A = (aij), una submatriz de A es cualquier matriz obtenida desdeA suprimiendo filas y/o columnas.

- Ejemplo 1.2

• Dada la matriz A =

(1 2 3 45 6 7 89 0 1 2

), la matriz

B =(

6 7 80 1 2

)

es una submatriz de A obtenida suprimiendo la primera fila y la primera columnade A. De igual forma, la matriz

C =

(1 2 45 6 89 0 2

)

es la submatriz de A obtenida suprimiendo la tercera columna de A.

Una matriz con igual numero de filas que de columnas (de tipo n×n) se dice que esuna matriz cuadrada de orden n. Denotaremos medianteMn al conjunto de matricescuadradas de orden n.

Sea A ∈ Mm×n. La matriz transpuesta de A, At ∈ Mn×m, es la matriz que seobtiene, desde A, cambiando la posicion de las filas y columnas, entre sı.

- Ejemplo 1.3

•(

1 0 −12 3 2

)es la matriz transpuesta de

( 1 20 3−1 2

).

De forma evidente, se obtiene la propiedad (At)t = A.

La matriz de orden m × n con todos los elementos nulos se llama matriz cero. Sedenotara mediante 0m×n o simplemente por 0.

0 =

0 0 0 . . . 00 0 0 . . . 00 0 0 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 0

.

Dada A ∈Mn, la diagonal principal de A es la matriz fila

(a11, a22, . . . , ann).

Es decir, los elementos en negrita en la figura siguiente:

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n

a31 a32 a33 . . . a3n...

......

. . ....

an1 an2 an3 . . . ann

.

MATRICES Y DETERMINANTES 3

La traza de A ∈Mn, tr(A), es la suma de los elementos de la diagonal principal:

tr(A) = a11 + a22 + · · ·+ ann =n∑

i=1

aii.

- Ejemplo 1.4

• La traza de la matriz A =

−1 0 3

0 0 12

0 0 −1

es

tr(A) = a11 + a22 + a33 = −1 + 0− 1 = −2.

Una matriz cuadrada A se dice triangular superior (inferior) si todos los elementospor debajo (encima) de la diagonal principal son nulos y se llamara diagonal si estanto triangular superior como triangular inferior (esto es, todo elemento fuera de ladiagonal es cero). En muchas ocasiones, para simplificar la notacion, designaremospor diag(a1, a2, · · · , an) a la matriz diagonal

diag(a1, a2, · · · , an) =

a1 0 0 · · · 00 a2 0 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · an

.

- Ejemplo 1.5

• Las matrices −1 0 3

0 0 12

0 0 −1

,

1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 1

y

(1 00 1

)

son, respectivamente, triangular superior, triangular inferior y diagonal.

Llamamos matriz identidad de orden n y la denotaremos por In o simplemente porI, a la matriz diagonal de orden n con todos los elementos de la diagonal principaliguales a 1.

In = diag(1, 1,n)· · ·, 1) =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

.

4 OPERACIONES CON MATRICES.

1.2 OPERACIONES CON MATRICES.

1.2.1 Suma de matrices.

No siempre es posible sumar dos matrices, para ello sera necesario que ambas seandel mismo tipo. Dadas dos matrices A = (aij), B = (bij) ∈ Mm×n la matriz sumade A y B es una matriz (del mismo tipo a las anteriores), A + B = C ∈ Mm×n,cuyos elementos se obtienen sumando termino termino a termino los elementos deA y de B, es decir, cij = aij + bij, i = 1, 2, · · · ,m, j = 1, 2, · · · , n.

A + B =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

+

b11 b12 . . . b1n

b21 b22 . . . b2n...

.... . .

...bm1 bm2 . . . bmn

=

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n

a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n...

.... . .

...am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

.

- Ejemplo 1.6

• Si A =(

1 23 4

)y B =

(−2 01 −4

), entonces

A + B =(

1 23 4

)+

(−2 01 −4

)=

(−1 24 0

).

Como primeras propiedades de la suma de matrices obtenemos las siguientes:

+ Resultado 1.2.1 Sean A,B, C ∈ Mm×n y 0 ∈ Mm×n la matriz cero. En-tonces se verifica:

• (Conmutativa) A + B = B + A.

• (Asociativa) A + (B + C) = (A + B) + C.

• (Elemento neutro) A + 0 = 0 + A = A.

• (Elemento opuesto) Existe una matriz A ∈ Mm×n, que llamaremos matrizopuesta de A, tal que A + A = 0.

• (A + B)t = At + Bt.

Resulta inmediato comprobar que la matriz A se obtiene cambiando de signo todoslos elementos de la matriz A, es decir, aij = −aij, i = 1, 2, · · · , n, j = 1, 2, · · · ,m.En lo sucesivo denotaremos a esta matriz por −A.


1.2.2 Producto de una matriz por un numero.

Sea A ∈ Mm×n y λ ∈ R, definimos la matriz producto de λ por A, y la denotamosmediante λ · A ∈Mm×n como:

λ ·

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

=

λ a11 λ a12 . . . λ a1n

λ a21 λ a22 . . . λ a2n...

.... . .

...λ am1 λ am2 . . . λ amn

.

Con esta definicion resulta que la matriz opuesta de A es precisamente la matriz(−1) · A, es decir, −A = (−1) · A.

- Ejemplo 1.7

4 ·(

1 −1 2 02 3 0 0

)=

(4 −4 8 08 12 0 0

).

+ Resultado 1.2.2 Sean λ, µ ∈ R y A,B ∈ Mm×n. Entonces se cumplen lassiguientes propiedades:

• (Distributiva respecto a la suma de matrices) λ · (A + B) = λ · A + λ ·B,

• (Distributiva respecto a la suma de escalares) (λ + µ) · A = λ · A + µ · A,

• (Elemento unidad) 1 · A = A,

• (Pseudoasociativa) (λµ) · A = λ · (µ · A),

• λ · 0 = 0, 0 · A = 0,

• (λ · A)t = λ · At,

Una matriz cuadrada A se dice simetrica si coincide con su transpuesta, esto es,A = At. Esto, a su vez, se traduce en la relacion entre coeficientes siguiente: aij =aj i, para cualesquiera i, j = 1, . . . , n.

La matriz cuadrada A se dira antisimetrica si, cumple que At = −A. Esto es, siaij = −aji, para cualesquiera i, j = 1, . . . , n. Es facil deducir, empleando la relacionentre coeficientes anterior para el caso i = j, que los elementos de la diagonalprincipal de matrices antisimetricas son todos nulos.

- Ejemplo 1.8

•( 1 2 −1

2 4 0−1 0 6

)es una matriz simetrica y

( 0 2 −1−2 0 3

1 −3 0

)es antisimetrica.

Toda matriz cuadrada se puede expresar como suma de una matriz simetrica y otraantisimetrica. Mas concretamente, dada la matriz A ∈Mn se puede escribir como

A = B + C,

donde B es la matriz simetrica B = 12(A + At) y C es la matriz antisimetrica

C = 12(A− At).

6 OPERACIONES CON MATRICES.

- Ejemplo 1.9

• Dada la matriz A =

(1 4 −20 4 30 −3 6

), entonces A = B + C, donde

B =12(A + At) =

( 1 2 −12 4 0

−1 0 6

)es una matriz simetrica y

C =12(A−At) =

( 0 2 −1−2 0 3

1 −3 0

)es antisimetrica.

1.2.3 Producto de matrices.

Al igual que ocurrıa con la suma, no siempre sera posible multiplicar dos matricesentre sı. De hecho, solo existira la multiplicacion cuando exista una cierta compat-ibilidad entre el numero de filas y columnas de ambas. Mas concretamente, dadaslas matrices A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×p se define la matriz producto de A y B, yla notaremos por A · B, como una matriz C = A · B ∈ Mn×p cuyos elementos seobtienen en la forma

cij =n∑

r=1

airbrj, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p.

Es decir, el elemento de la matriz A ·B en la posicion (i, j) se obtiene sumando losproductos termino a termino de los elementos de la fila i de A y la columna j de B.

- Ejemplo 1.10

−1 1

2 30 −22 0

4×2

·(

2 −1 01 −1 1

)

2×3

=

−1 · 2 + 1 · 1 −1 · (−1) + 1 · (−1) −1 · 0 + 1 · 1

2 · 2 + 3 · 1 2 · (−1) + 3 · (−1) 2 · 0 + 3 · 10 · 2− 2 · 1 0 · (−1)− 2 · (−1) 0 · 0− 2 · 12 · 2 + 0 · 1 2 · (−1) + 0 · (−1) 2 · 0 + 0 · 1

=

−1 0 1

7 −5 3−2 2 −2

4 −2 0

4×3

+ Propiedad 1.2.1 Propiedades del producto de matrices

• (A ·B) · C = A · (B · C), para A ∈Mm×n, B ∈Mn×p y C ∈Mp×q.

• (A + B) · C = A · C + B · C, para A,B ∈Mm×n y C ∈Mm×p.

• A · (B + C) = A ·B + A · C, para A ∈Mm×n y B, C ∈Mm×n.

• I · A = A · I = A, 0 · A = A · 0 = 0, donde las matrices I y 0 han sidoconvenientemente elegidas, para que tengan sentido las operaciones, y A ∈Mn×m.

• (A ·B)t = Bt · At, para A ∈Mm×n y B ∈Mn×p.


Una observacion interesante es que, en general, el producto de matrices, aun cuandoeste definido en ambos sentidos, no siempre es conmutativo. Es decir, dadas matricesA ∈ Mm×n y B ∈ Mn×m, A · B no tiene porque coincidir con B · A. (De hecho,A ·B ∈Mm y B ·A ∈Mn; la propiedad conmutativa tampoco es cierta, en general,para el caso m = n).

1.2.4 Matriz inversa

Una matriz B ∈Mn se dice inversa de otra A ∈Mn si satisfacen las igualdades

A ·B = B · A = I.

En tal caso, a la matriz B se le denotara mediante A−1 y, como es logico, tambienA es inversa de B, (es decir, A = B−1 y A = (A−1)−1).

Ademas, la matriz inversa de A, en caso de existir, es siempre unica. Una matrizA ∈Mn que posee inversa se le llama matriz regular. En caso contrario, se dice queA es singular.

- Ejemplo 1.11

• La matriz(

1 11 0

)es inversa de

(0 11 −1

), pues

(1 11 0

)(0 11 −1

)=

(0 11 −1

)(1 00 1

)=

(1 00 1

)

1.2.5 Potencia de una matriz

Dada una matriz cuadrada A y numero natural k ∈ N0, donde N0 = N∪0, definimosla potencia k-esima de A, de forma inductiva como

Ak =

{I si k = 0

Ak−1 · A si k > 0

Las potencias de matrices, como productos matriciales que son, se rigen por lasmismas propiedades del producto de matrices; sin embargo, destacamos dos nuevaspropiedades de particular interes.

+ Resultado 1.2.3 Propiedades de las potencias de una matriz:

• Dada A ∈Mn y k, l ∈ N0,

Ak · Al = Al · Ak = Ak+l, (Ak)l = Akl.

• Si A ∈Mn es una matriz diagonal, esto es,

A = diag(a1, a2, · · · , an)

y k ∈ N0, entonces Ak es tambien una matriz diagonal, siendo

Ak = diag(ak

1, ak2, · · · , ak

n

).

8 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.

1.3 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.

1.3.1 Determinantes de orden 2

Supongamos que queremos resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dosincognitas

S ≡{

a11x1 + a22x2 = c1

a21x1 + a22x2 = c2(1.3.1)

Usando el producto matricial y la igualdad de matrices, el sistema anterior puedeescribirse matricialmente en la forma(

a11 a12

a21 a22

)(x1

x2

)=

(c1

c2

).

La matriz A =

(a11 a12

a21 a22

)se denomina matriz de coeficientes del sistema.

Para resolver el sistema (1.3.1) aplicamos el metodo de reduccion: (multiplicamosla primera ecuacion por a22 y la segunda ecuacion por −a12){

a22(a11x1 + a22x2) = c1a22

−a12(a21x1 + a22x2) = −c2a12⇒

{a11a22x1 + a12a22x2 = c1a22

−a21a12x1 − a22a12x2 = −c2a12

Sumando ambas ecuaciones se obtiene:

(a11a22 − a21a12)x1 = c1a22 − c2a12.

Si a11a22 − a21a12 6= 0, entonces x1 =c1a22 − c1a21

a11a22 − a21a12

.

Procediendo de forma analoga se llegarıa a que x2 =c2a11 − c1a21

a11a22 − a21a12

.

El numero a11a22 − a12a21 se denomina determinante de la matriz A y se denotapor

det(A) = det

(a11 a12

a21 a22

)= |A| =

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

Utilizando la definicion de determinante podemos enunciar el siguiente resultadoconocido como regla de Cramer para sistemas de orden 2× 2.

+ Resultado 1.3.1 (Regla de Cramer para sistemas de orden 2× 2)Si el determinante de la matriz de coeficientes del sistema (1.3.1) es distinto decero, entonces las solucion de (1.3.1) viene dada por

x1 =

∣∣∣∣c1 a12

c2 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣, x2 =

∣∣∣∣a11 c1

a21 c2

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣.

1.3.1.1 Propiedades de los determinantes de orden 2. Enunciamos a conti-nuacion algunas de las propiedades de los determinantes de orden 2 cuya com-probacion resulta inmediata. Dichas propiedades se generalizaran posteriormente adeterminantes de orden superior.


+ Resultado 1.3.2

a) El determinante de una matriz coincide con el de su transpuesta∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣a11 a21

a12 a22

∣∣∣∣ .

(Esta propiedad nos permite que todos los resultados que enunciamos a continuacionpara las filas de una matriz sean tambien validos para las columnas).

b) Si una matriz tiene una fila (columna) de ceros, su determinante es cero.

c) Si intercambiamos dos filas (columnas) de una matriz, el determinante cambiade signo.

d) Si una matriz tiene sus dos filas (columnas) iguales su determinante es cero.

e) Si multiplicamos cada elemento de una fila (columna) por un numero, el de-terminante queda multiplicado por ese numero,∣∣∣∣

λa11 a12

λa21 a22

∣∣∣∣ = λ

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .

f) Si una matriz tiene dos filas (columnas) proporcionales, el determinante valecero.

g) Si los elementos de una fila (columna) de una matriz vienen expresados comosuma de dos elementos, entonces el determinante se descompone en suma dedos determinantes del siguiente modo∣∣∣∣

a11 + a′11 a12

a21 + a′21 a22

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ +

∣∣∣∣a′11 a12

a′21 a22

∣∣∣∣ .

h) Si a una fila (columna) le sumamos la otra fila (columna) multiplicada por unnumero, el determinante no cambia.∣∣∣∣

a11 + λa12 a12

a21 + λa22 a22

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .

1.3.1.2 Una interpretacion geometrica del determinante. En el siguiente para-lelogramo se representa graficamente la suma de los vectores (x1, y1) y (x2, y2).

(x1, y1)

(x2, y2)

Para calcular el area comprobamos que


y1

y2

x2 x1

AB

C

D

EF

Area del paralelogramo

= Area del rectangulo− Area de A

− Area de B − · · · − Area de F= (x1 + x2)(y1 + y2)− x2y1 − x1y1/2− x2y2/2− x2y2/2− x1y1/2− x2y1

= x1y2 − x2y1

Ası, es facil concluir que el area del paralelogramo coincide con el valor del deter-minante siguiente ∣∣∣∣

x1 x2

y1 y2

∣∣∣∣ = x1y2 − x2y1 .

1.3.2 Determinantes de orden 3

Los determinantes de orden 3 surgen de forma analoga al considerar un sistemalineal de 3 ecuaciones y 3 incognitas

S ≡{

a11x1 + a12x2 + a13x3 = c1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = c2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = c3

⇔(

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a23

) (x1

x2

x3

)=

(c1

c2

c3

).

Mediante un proceso de reduccion (un poco mas engorroso) se llega a expresionesdel tipo

x1 =∆1

∆, x2 =

∆2

∆, x3 =

∆3

∆,

supuesto que ∆ 6= 0, donde

∆ = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a23 − a21a12a33 − a11a32a23. (1.3.2)

El valor de ∆ se llama determinante de la matriz A =

(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a23

)y se denota

por

det(A) = det

(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a23

)= |A| =

∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a23

∣∣∣∣∣ .

Para recordar la formula (1.3.2) se recurre a la regla de Sarrus . Para ello se repitenlas dos primeras filas del determinante. Las diagonales trazadas desde a11, a21 y a31

corresponden a los sumandos positivos y las diagonales trazadas desde a13, a23 y a33

a los sumandos negativos.

+ a11 a12 a13

↘+ a21 a22 a23

↘ ↘+ a31 a32 a33

↘ ↘a11 a12 a13

↘a21 a22 a23

a11 a12 a13 −↙

a21 a22 a23 −↙ ↙

a31 a32 a33 −↙ ↙

a11 a12 a13

↙a21 a22 a23


- Ejemplo 1.12∣∣∣∣∣1 −1 02 2 03 −2 1

∣∣∣∣∣ = 1 · 2 · 1− 1 · 0 · 3− 2 · 2 · 0− 2 · 3 · 0 + 1 · 2 · 1 + 1 · 2 · 0 = 4.

1.3.2.1 Propiedades de los determinantes de orden 3. Las propiedades de losdeterminantes de orden 3 son analogas a las de los determinantes de orden 2. Dehecho las propiedades a)-g) que figuran en la Proposicion 1.3.2 se enuncian exacta-mente igual para determinantes de orden 3. Por otra parte, la propiedad h) admiteuna formulacion mas general.

+ Resultado 1.3.3

h) Si a una fila (columna) le sumamos una combinacion lineal de las restantesfilas (columnas), el determinante no varıa.

i) Si una fila (columna) es combinacion lineal de las restantes filas (columnas),el determinante es cero.

La propiedad h) es especialmente interesante porque nos permite efectuar transfor-maciones en las filas y columnas de una matriz A sin que se altere el valor de sudeterminante. De hecho este sera el procedimiento que seguiremos para el calculode determinantes de orden superior.

1.3.3 Menor complementario y adjunto de un elemento

Consideremos la matriz

A =

(a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a23

).

Se llama menor complementario del elemento aij, y lo representamos por αij, aldeterminante de la submatriz de orden 2 × 2 obtenida al suprimir la fila i y lacolumna j de la matriz A, es decir, al suprimir la fila y la columna en la que seencuentra dicho elemento. Por ejemplo:

α11 =

∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ , α23 =

∣∣∣∣a11 a12

a31 a32

∣∣∣∣ , a22 =

∣∣∣∣a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣ .

Se llama adjunto del elemento aij, y lo denotaremos por Aij, al numero

Aij = (−1)i+jαij,

es decir, el adjunto del elemento aij tiene el mismo valor que el menor complemen-tario αij anteponiendo el signo + o − segun que la suma de los ındices i, j sea paro impar. Por ejemplo:

A11 = (−1)1+1α11 =

∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ , A23 = (−1)2+3α23 = −∣∣∣∣a11 a12

a31 a32

∣∣∣∣ .


+ Resultado 1.3.4 El determinante de la matriz A se puede obtener como lasuma de los elementos de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos corre-spondientes

Comprobemos que se cumple esta propiedad. En efecto,

|A| = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a23 − a21a12a33 − a11a32a23

= a11(a22a33 − a32a23)− a12(a21a33 − a31a23) + a13(a21a32 − a31a22)

= a11

∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣ + a13

∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣= a11A11 + a12A12 + a13A13. (1.3.3)

En la expresion (1.3.3) se dice que el determinante se obtiene desarrollando loselementos de la primera fila por sus adjuntos correspondientes. De igual forma puedecomprobarse facilmente que se obtiene el mismo resultado desarrollando por loselementos de cualquier fila o columna.

1.3.3.1 Interpretacion geometrica de un determinante de orden 3. Tambienpuede darse una interpretacion geometrica para determinantes de orden 3. En estecaso, el volumen del paralelepıpedo determinado por los vectores

(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3, z3)

coincide (salvo el signo) con el valor del determinante de la matriz cuyas filas ocolumnas vienen dadas por las coordenadas de los vectores.

- Ejemplo 1.13

• El volumen de la siguiente figura puede calcularse mediante el determinante

(2, 0, 2)

(0, 3, 1)

(−1, 0, 1) ∣∣∣∣∣2 0 −10 3 02 1 1

∣∣∣∣∣ = 12

1.3.4 Determinantes de orden superior

La generalizacion de la definicion de adjunto a matrices de orden n y la Proposicion1.3.4 nos permitiran calcular, de forma inductiva, el determinante de una matrizcuadrada de orden superior a 3. Basta observar que los menores complementariosde los elementos de una matriz de orden 4 seran determinantes de orden 3 que yasabemos calcular. De hecho vamos a definir los determinantes de orden superiorutilizando un desarrollo analogo al dado en la expresion (1.3.3).


Sea A una matriz cuadrada de orden n

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

,

se define el determinante de A, y lo notaremos por cualquiera de las expresionessiguientes,

det(A) = det

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

= |A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣,

al valor obtenido desarrollando los elementos de la primera fila por sus adjuntoscorrespondientes, es decir,

det(A) = a11A11 + a12A12 + · · ·+ a1nA1n =n∑

j=1

a1jA1j. (1.3.4)

Observaciones:

• El adjunto de un elemento tiene el mismo significado que el dado para matricescuadradas de orden 3.

• La definicion de determinante dada en (1.3.4) es inductiva, es decir, si sabemoscalcular determinantes de orden 2 sabemos calcular de orden 3 y, por tanto, deorden 4 y, por tanto, de orden 5, etc.

• Puede probarse que el valor dado en (1.3.4) no varıa si hacemos el desarrollopor los elementos de cualquier otra fila o columna.

• De igual forma, puede probarse por induccion, que los determinantes de ordensuperior cumplen las mismas propiedades que las enunciadas para determinantesde orden 2 y 3.

- Ejemplo 1.14∣∣∣∣∣∣∣

7 4 1 92 0 6 35 1 6 11

−1 7 2 8

∣∣∣∣∣∣∣=−4

∣∣∣∣∣2 6 35 6 11

−1 2 8

∣∣∣∣∣ + 0

∣∣∣∣∣7 1 95 6 11

−1 2 8

∣∣∣∣∣− 1

∣∣∣∣∣7 1 92 6 3

−1 2 8

∣∣∣∣∣ + 7

∣∣∣∣∣7 1 92 6 35 6 11

∣∣∣∣∣ = 1628.

En el ejemplo anterior hemos calculado el determinante haciendo el desarrollo de loselementos de la segunda columna por sus adjuntos correspondientes. El calculo deldeterminante queda reducido al calculo de (como maximo) 4 determinantes de orden3. Observemos que la presencia de un cero en el elemento a22 de la matriz nos ahorrael calculo del adjunto correspondiente en el desarrollo. Por tanto, resulta convenienteutilizar para el desarrollo del determinante aquella fila o columna que tenga mayornumero de ceros. La presencia de un cero nos ahorra calculos y tiempo. Precisamenteen esto se basa la tecnica de calculo de determinantes de orden superior: “Si no hayceros, los hacemos”. Para ello utilizaremos la propiedad h) de los determinantes:“Si a una fila (columna) le sumamos una combinacion lineal de las restantes filas(columnas), el determinante no varıa”.


- Ejemplo 1.15∣∣∣∣∣∣∣

7 4 1 92 0 6 35 1 6 11

−1 7 2 8

∣∣∣∣∣∣∣=

F1 → F1 − 4F3

F2 → F2

F3 → F3

F4 → F4 − 7F3

=

∣∣∣∣∣∣∣

−13 0 −23 −352 0 6 35 1 6 11

−36 0 −40 −69

∣∣∣∣∣∣∣=

desarrollando porlos elementos de lasegunda columna

= −1

∣∣∣∣∣−13 −23 −352 6 3−36 −40 −69

∣∣∣∣∣ = 1628.

Otras propiedades interesantes de los determinantes vienen recogidas en la propo-sicion siguiente:

+ Resultado 1.3.5 Sean A,B ∈Mn, entonces

a) Si A ∈Mn es una matriz triangular, entonces el determinante de A se obtienemultiplicando los elementos situados en la diagonal principal, es decir,

|A| = a11a22 · · · ann.

b) En particular, si A es una matriz diagonal A = diag(a1, a2, · · · , an), entonces

|A| = a1a2 · · · an.

En particular, |I| = 1.

c) (Formula de Binet-Cauchy): |A ·B| = |A| · |B|.d) A es regular si, y solo si, |A| 6= 0. Ademas, en tal caso, |A−1| = 1

|A| .e) |Ak| = |A|k, para k ∈ N0.

1.3.5 Matriz adjunta. Calculo de la matriz inversa

Dada una matriz A ∈Mn se define la matriz adjunta de A, y se denota por adj(A),a la matriz cuyos elementos en la posicion (i, j) son los adjuntos Aij de la matriz A.

El calculo de la matriz adjunta nos proporciona un metodo para calcular la matrizinversa, A−1, de una matriz A regular.

+ Resultado 1.3.6 Sea A ∈Mn una matriz regular, entonces

A−1 =1

|A|(adj(A)

)t=

1

|A| adj(At

).

- Ejemplo 1.16

• Supongamos que queremos calcular la inversa de la matriz

A =

1 1 1 1−1 0 0 1

1 2 1 −13 0 0 1

.


En primer lugar hemos de probar que A es una matriz regular. Para ello calculamossu determinante

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1−1 0 0 1

1 2 1 −13 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣=

F1 → F1

F2 → F2

F3 → F3 − F1

F4 → F4

=

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1−1 0 0 1

0 1 0 −23 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣

= 1

∣∣∣∣∣−1 0 1

0 1 −23 0 1

∣∣∣∣∣ = −4.

Como el determinante es distinto de cero, la matriz A es regular. Ahora determi-namos la matriz adjunta, calculando los adjuntos de cada uno de los elementos dela matriz A,

A11 =

∣∣∣∣∣0 0 12 1 −10 0 1

∣∣∣∣∣ = 0, A12 = −∣∣∣∣∣−1 0 1

1 1 −13 0 1

∣∣∣∣∣ = 4, · · ·

La matriz adjunta viene dada por

adj(A) =

0 4 −8 01 −6 8 −30 −4 4 0

−1 −2 4 −1

.

Finalmente, la matriz inversa sera

A−1 =1|A|

(adj(A)

)t = −14

0 1 0 −14 −6 −4 −2

−8 8 4 40 3 0 −1

t

=

0 −14 0 1

4

−1 32 1 1

2

2 −2 −1 −10 3

4 0 14

.

Tambien con ayuda del Mathematica podrıamos haber obtenido dicho inversa

1.4 RANGO DE UNA MATRIZ.

Si en una matriz A ∈ Mm×m seleccionamos r filas y r columnas (r ≤ m, r ≤ n)se forma una submatriz cuadrada de orden r. Al determinante de esta matriz lollamaremos menor de orden r de la matriz A.

El rango de A es el mayor de los ordenes de los menores de A no nulos; es decir, elmayor orden de las submatrices cuadradas de A con determinante distinto de cero.

De forma evidente, se cumple que si A es una submatriz de B, entonces el rango deA es siempre menor o igual que el rango de B.

- Ejemplo 1.17

• La matriz A =

1 −1 10 0 21 2 10 0 1

tiene rango 3.

16 RANGO DE UNA MATRIZ.

En efecto, la submatriz cuadrada de orden 3 obtenida a partir de la matriz A selec-cionando las 3 primeras filas y las 3 primeras columnas

(1 −1 10 0 21 2 1

)

tiene determinante no nulo.

Este nuevo concepto nos permite obtener una caracterizacion de las matrices regu-lares en funcion de el.

+ Resultado 1.4.1 Una matriz cuadrada A ∈ Mn es regular si, y solo si, surango es n.

Como es logico, desde esta proposicion tambien se concluye una caracterizacion dela singularidad de una matriz cuadrada: A ∈Mn es singular si, y solo si, su rangoes estrictamente menor que n.

1.4.1 Calculo del rango de una matriz

Para la determinacion del rango de una matriz resulta conveniente tener en cuentalas siguientes observaciones:

• De la definicion inductiva de los determinantes se deduce inmediatamente quesi todos los memores de orden r de una matriz A son nulos, entonces tambienseran nulos todos los menores de orden mayor que r que pudieran formarse en lamatriz A. Esto nos sugiere una estrategia para calcular el rango de una matriz:seleccionar menores no nulos comenzando por menores de orden 1, 2, etc.

• Como sabemos, la operacion de sumar a una fila (columna) una combinacionlineal de las restantes filas (columnas) no afecta al valor del determinante deuna matriz y, por tanto, dicha operacion tampoco afectara al rango de la matriz.

De igual modo las operaciones de permutacion de filas o columnas (que soloafectan al signo del determinante) y la de multiplicacion de los elementos deuna fila o columna por un numero distinto de cero (que solo afecta al valor deldeterminante pero no al hecho de que este sea o no distinto de cero), tampocoalterara el valor del rango de la matriz.

Estas operaciones se llamaran operaciones elementales y constituyen una buenaherramienta para simplificar el calculo del rango de una matriz.

• Por otra parte, tambien sabemos que si una matriz cuadrada tiene una fila(columna) que es combinacion lineal de las restantes filas (columnas), el deter-minante vale cero. Esto se traduce en la siguiente propiedad: si una matriz tieneuna fila (columna) que es combinacion lineal de las restantes filas (columnas),dicha fila (columna) puede suprimirse dado que no afectara al rango de la ma-triz.

Las observaciones anteriores nos sugieren el siguiente procedimiento para calcular elrango de una matriz:


1) Comprobar si hay alguna fila (columna) que sea combinacion lineal de lasrestantes filas (columnas). En tal caso, esta se suprime.

2) Seleccionar un menor de orden 2 que sea distinto de cero y marcarlo sobre lamatriz. Si esto no es posible, el rango serıa 1 (salvo en el caso trivial de quetodos los elementos de la matriz sean cero en que el rango serıa 0).

3) Formar posibles menores de orden 3 que contengan al menor de orden 2 selec-cionado anteriormente (este proceso se llama orlar filas o columnas). Si todosestos menores son cero, el rango serıa 2; en caso contrario tomarıamos el menorde orden 3 y continuamos estudiando los de orden 4, etc.

- Ejemplo 1.18

• Para calcular el rango de la matriz

A =

−1 3 0 1 2

0 5 1 2 3−3 −1 −2 −1 0

3 11 4 5 6

,

procedemos de la siguiente manera:

1) Comprobamos si hay alguna fila (columna) que sea combinacion lineal de lasrestantes filas (columnas). Aparentemente no.

2) Buscamos un menor de orden 2 que sea distinto de cero y lo senalamos en lamatriz. En nuestro caso, el menor obtenido tomando las dos primeras filas y lasdos primeras columnas satisface esta condicion,∣∣∣∣

−1 30 5

∣∣∣∣ = −5 6= 0.

3) Orlamos la 3a fila y formamos menores de orden 3 con las columnas 3a, 4a y 5a.∣∣∣∣∣−1 3 0

0 5 1−3 −1 −2

∣∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣∣−1 3 1

0 5 2−3 −1 −1

∣∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣∣−1 3 2

0 5 3−3 −1 0

∣∣∣∣∣ = 0.

Todos los menores de orden 3 obtenidos orlando la 3a fila son cero, lo cualsignifica que la 3a fila es combinacion lineal de la 1a y 2a filas y, por tanto, puedesuprimirse.

4) Continuamos formando determinantes de orden 3 orlando ahora la 4a fila con lascolumnas 3a, 4a y 5a.

∣∣∣∣∣−1 3 0

0 5 13 11 4

∣∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣∣−1 3 1

0 5 23 11 5

∣∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣∣−1 3 2

0 5 33 11 6

∣∣∣∣∣ = 0.

De nuevo todos los menores obtenidos orlando la 4a fila son cero, lo cual significaque tambien la 4a fila es combinacion lineal de la 1a y 2a filas y, por tanto, puedesuprimirse.

En consecuencia, se concluye que rango(A) = 2.

Para concluir esta seccion, indicaremos que el rango del producto de dos matriceses menor o igual que el mınimo del rango de las dos matrices.

18 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EXAMENES ANTERIORES

1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EXAMENES ANTERIORES

1.- Calcular el determinante de la matriz cuadrada de orden n, A = (aij), cuyoselementos vienen dados por

aij = i + j − 1, i, j = 1, 2, . . . , n.

2.- Dada la matriz

A =

0 13

013

0 00 0 1

3

calcular S = I + A + A2 + A3 + · · ·+ An.3.- Obtener el valor de x para que se cumpla que∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1sen 0 senπ

6−1 −x

sen20 sen2 π6

1 x2

sen30 sen3 π6−1 −x3

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.

4.- Sabiendo que a 6= −1, obtener el valor de x en la siguiente ecuacion:∣∣∣∣∣∣∣

7a + 7 a + 1 a + 1 a + 17 −1 1 −17 2 4 87 x x2 x3

∣∣∣∣∣∣∣= 0.

5.- Sabiendo que

A =

1 −1 0 0 00 1 −1 0 00 0 1 −1 00 0 0 1 −10 0 0 0 1

y A−1 =

1 1 1 1 10 1 1 1 10 0 1 1 10 0 0 1 10 0 0 0 1

,

calcular la inversa de la matriz

B =

2 −1 0 0 0−1 2 −1 0 00 −1 2 −1 00 0 −1 2 −10 0 0 −1 1

sabiendo que B = A.A>.6.- Calcular a, b, c, d ∈ R para que

A2 − (a + d)A + (ad− bc)I + A =

(1 20 −1

),

siendo A =

(a bc d

).

7.- Resolver la ecuacion ∣∣∣∣∣∣∣

a −1 1 −1a a a2 a3

a −b b2 −b3

a (a− b) (a− b)2 (a− b)3

∣∣∣∣∣∣∣= 0.

2 ESPACIOS VECTORIALES.

Los espacios vectoriales constituyen una de las estructuras algebraicas masimportantes en Matematicas. La mayorıa de los objetos matematicos queusamos habitualmente: vectores, matrices, polinomios, funciones, ... tienenestructura de espacio vectorial.

2.1 DEFINICION Y EJEMPLOS

Sea V un conjunto, cuyos elementos llamaremos vectores y notaremos por ~u,~v, · · · ,en el que tenemos definidas dos operaciones: la operacion ‘+’ que llamaremos sumade vectores y la operacion ‘·’ que llamaremos producto a izquierda por un numeroreal . Diremos que (V , +, ·) es un espacio vectorial real si se cumple que:

1.- La suma de vectores es una operacion interna en V , es decir, si ~v, ~w ∈ V ,entonces ~v + ~w ∈ V , verificando las siguientes propiedades:

a1) Conmutativa: ∀~u,~v ∈ V , ~u + ~v = ~v + ~u.

a2) Asociativa: ∀~u,~v, ~w ∈ V , (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w).

a3) Existencia de elemento neutro: Existe un vector, ~0 ∈ V , que llamaremos

vector nulo tal que ~v +~0 = ~v , para todo ~v ∈ V .

a4) Existencia de elemento opuesto: Para cada vector ~v ∈ V existe otro vec-

tor ~v′ ∈ V , que llamaremos vector opuesto de ~v, tal que ~v + ~v′ = ~0.

19

20 DEFINICION Y EJEMPLOS

2.- La operacion de multiplicacion a izquierda por un numero real es una operacionexterna sobre V , es decir, si λ ∈ R y ~v ∈ V , entonces λ · ~v ∈ V , verificando lassiguientes propiedades:

b1) Distributiva respecto a la suma de numeros reales: ∀λ, µ ∈ R y ∀~v ∈ V ,

(λ + µ) · ~v = λ · ~v + µ · ~v.

b2) Distributiva respecto a la suma de vectores:∀λ, µ ∈ R, ∀~u,~v ∈ V ,

λ · (~u + ~v) = λ · ~v + µ · ~v.

b3) Pseudoasociativa: ∀λ, µ ∈ R, ∀~v ∈ V , (λµ) · ~v = λ · (µ · ~v).

b4) Elemento unidad: ∀ v ∈ V , 1 · ~v = ~v.

En lo que sigue, para simplificar la notacion, el producto de un numero real λ porun vector ~v ∈ V tambien lo notaremos simplemente por λ~v.

- Ejemplo 2.1

• El conjunto de vectores del plano es un espacio vectorial. Geometricamente un vectordel plano viene representado mediante un segmento orientado. Algebraicamente, unvector ~u del plano viene dado por un par de numeros reales ~u = (u1, u2) que sedenominan coordenadas del vector. El conjunto de vectores del plano se identificacon el conjunto

R2 = R× R = {~x = (x1, x2) : x1, x2 ∈ R},en el que se definen las operaciones usuales de suma de vectores y multiplicacion porun numero real dadas por

~x + ~y = (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2),

λ ~x = λ (x1, x2) = (λ x1, λ x2).(2.1.1)

Entonces (R2, +, ·) es un espacio vectorial real.

• El conjunto P2[x] de los polinomios grado menor o igual que 2 en la variable x,es decir, expresiones de la forma p(x) = a0 + a1x + a2x

2 con a0, a1, a2 ∈ R, tieneestructura de espacio vectorial con las operaciones algebraicas usuales:

p(x) + q(x) = (a0 + a1x + a2x2) + (b0 + b1x + b2x

2)

= (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2.

λ · p(x) = λ(a0 + a1x + a2x2) = (λa0) + (λa1) + (λa2)x2.

En general, el conjunto Pn[x] (polinomios de grado menor o igual que n en la variablex con las operaciones usuales) tiene estructura de espacio vectorial).

• El conjunto de matrices cuadradas reales de orden 2 que notaremos por M2×2(R)tiene estructura de espacio vectorial. Las operaciones de suma y producto porescalares vienen dadas por:

A + B =(

a11 a12

a21 a22

)+

(b11 b12

b21 b22

)=

(a11 + b11 a12 + b12

a21 + b21 a22 + b22

).

λ ·A = λ ·(

a11 a12

a21 a22

)=

(λa11 λ a12

λa21 λ a22

)

ESPACIOS VECTORIALES. 21

En general, el conjunto Mm×n(R), de las matrices reales com m filas y n columnasy las operaciones usuales de suma de matrices y multiplicacion de una matriz porun numero real, es un espacio vectorial.

• El espacio de las funciones f : R → R es un espacio vectorial con las operacionesusuales:

(f + g)(t) = f(t) + g(t), (λ f)(t) = (λ · f)(t) = λ f(t), t ∈ A.

+ Propiedad 2.1.1 En un espacio vectorial (V , +, ·) se satisfacen las identidadessiguientes:

p1) 0 · ~v = ~0,

p2) ~v + (−1)~v = ~0,

p3) λ ·~0 = ~0.

para todo ~v ∈ V y λ ∈ R.

Observemos que la propiedad p2) nos indica que el vector opuesto de un vector ~ves precisamente el vector (−1)~v. En lo sucesivo notaremos a este vector por −~v.Asimismo, definiremos la operacion de restar dos vectores en la forma

~u− ~v = ~u + (−~v).

- Ejercicio 2.2

• Escribe el vector nulo en cada uno de los espacios vectoriales del Ejemplo 1.1.• Da un ejemplo concreto de un vector en cada uno de los espacios vectoriales del

Ejemplo 1.1 y escribe su vector opuesto.

2.1.1 El espacio vectorial Rn

La estructura de espacio vectorial definida sobre R2 puede extenderse facilmente aRn, conjunto de vectores de n coordenadas,

Rn = {~x = (x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n},definiendo las operaciones

~x + ~y = (x1, x2, . . . xn) + (y1, y2, . . . , xn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),

λ · ~x = λ (x1, x2, . . . xn) = (λx1, λ x2, . . . λ xn).

- Ejemplo 2.3

• El espacio R3 (vectores de 3 coordenadas) se identifica con el conjunto de los vectoresen el espacio tridimensional.

22 DEFINICION Y EJEMPLOS

Observaciones:

• Aunque hemos denotado a los elementos de Rn como vectores fila de ordenn, en ocasiones, puede resultar mas ventajoso utilizar la notacion de vectorescolumna de orden n,

~x =

x1

x2...

xn

.

En este caso, las operaciones definidas anteriormente vendran dadas por

~x + ~y =

x1

x2...

xn

+

y1

y2...

yn

=

x1 + y1

x2 + y2...

xn + yn

, λ ·

x1

x2...

xn

=

λx1

λx2...

λxn

. (2.1.2)

• Por otra parte, si ~x = (x1, x2, · · · , xn) es un vector fila en Rn, tambien pode-mos utilizar la operacion de transposicion de matrices, para denotar por xt =(x1, x2, · · · , xn)t, al correspondiente vector columna en Rn.

~x = (x1, x2, . . . , xn) ⇒ ~xt =

x1

x2...

xn

.

• En lo que sigue utilizaremos indistintamente ambas notaciones, si bien, cuandosea necesario, distinguiremos entre vectores fila y vectores columna.

2.1.2 Subespacios vectoriales

Sea (V , +, ·) un espacio vectorial real y sea S un subconjunto no vacıo de V . Diremosque S es un subespacio vectorial de V si (S, +, ·) tiene estructura de espacio vectorialcon las operaciones ‘+’ y ‘·’ definidas en V .

Notemos que el hecho de que (V , +, ·) sea un espacio vectorial real y que S ⊂ V ,simplifica mucho las cosas a la hora de probar que (S, +, ·) tiene o no estructura deespacio vectorial.

+ Resultado 2.1.1 Sea (V , +, ·) un espacio vectorial real y S un subconjunto novacıo de V. Entonces S es un subespacio vectorial de V si, y solo si,

i) ∀ ~u,~v ∈ S ⇒ ~u + ~v ∈ S,

ii) ∀λ ∈ R, ∀~v ∈ S ⇒ λ~v ∈ S.


- Ejemplo 2.4

• El conjunto S de las matrices cuadradas de orden 2 de la forma(0 ab c

)

es un subespacio vectorial de M2×2(R).Solucion: Hemos de comprobar que se cumplen las condiciones i) y ii) del Resul-tado 2.1.1.

i) Tomemos dos matrices A,B ∈ S y veamos que A + B ∈ S.

A =(

0 ab c

), B =

(0 a′b′ c′

),

A + B =(

0 ab c

)+

(0 a′b′ c′

)=

(0 a + a′

b + b′ c + c′

)∈ S.

1.- Tomemos λ ∈ R y A ∈ S y probemos que λ ·A ∈ S.

λ ·A = λ ·(

0 ab c

)=

(0 λa

λ b λ c

)∈ S.

- Ejercicio 2.5

• Indica si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales:1) El conjunto de funciones trigonometricas de la forma

x(t) = a0 + a1 cos t + b1 sen t, a0, a1, b1 ∈ R.

2) El conjunto de matrices cuadradas de orden 2 cuya traza es 0 con las operacionesusuales.

3) El conjunto de vectores del plano cuyas coordenadas suman 1, con las operacionesusuales.

4) El conjunto de polinomios de grado menor o igual que 2 que se anulan en elpunto x = 1, con las operaciones usuales.

2.2 COMBINACION LINEAL DE VECTORES

+ Definicion 1 Sea V un espacio vectorial. Se dice que el vector ~v es combinacionlineal de los vectores {~v1, ~v2, . . . , ~vk} ⊂ V, si puede escribirse en la forma

~v = λ1~v1 + λ2~v2 + · · ·+ λk~vk.

- Ejemplo 2.1

• El vector ~v = (4,−5,−2) de R3 es combinacion lineal de los vectores ~v1 = (1, 1, 1) y~v2 = (2,−1, 0), dado que

~v = −2~v1 + 3~v2.

• Para saber si el vector ~v = (3, 0,−5) es combinacion lineal de los vectores ~v1 y ~v2

anteriores, planteamos la igualdad~v = λ · ~v1 + µ · ~v2 ⇒ (3, 0,−5) = λ(1, 1, 1) + µ(2,−1, 0)

24 COMBINACION LINEAL DE VECTORES

que conduce al sistema {λ + 2µ = 3λ− µ = 0

λ = −5

Dado que el sistema anterior es incompatible (no tiene solucion) concluimos que elvector ~v no es combinacion lineal de los vectores ~v1 y ~v2.

• En M2×2(R), para averiguar si la matriz A =(

3 1−6 4

)es combinacion lineal de

las matrices

A1 =(

1 −12 0

), A2 =

(3 −10 2

),

planteamos la igualdad

A = λ ·A1 + µ ·A2 ⇒(

3 1−6 4

)= λ

(1 −12 0

)+ µ

(3 −10 2

)

que conduce al sistema

λ + 3µ = 3λ− µ = 0

2λ = −62µ = 4

de donde se obtiene λ = −3, µ = 2. Por tanto, la matriz A es combinacion lineal delas matrices A1 y A2 ya que

A = −3A1 + 2A2.

- Ejercicio 2.2

• Determina si el polinomio p(x) = −1− 6x2 + 19x− x3 es combinacion lineal de lospolinomios p1(x) = 1 + 3x− x3, p2(x) = 2− 3x + x2, p3(x) = 4x− 4x2 + 2x3.

• Determina si el vector v = (1, 0,−1, 4) de R4 es combinacion lineal de los vectores~v1 = (1, 1, 0, 1) y ~v2 = (2, 1,−1, 1).

• En M2×3(R), determina si la matriz A =(

3 1 0−6 4 2

)es combinacion lineal de

las matrices

A1 =(

1 −1 02 0 −1

), A2 =

(3 −1 −10 0 2

), A3 =

(0 0 −11 0 2

).

2.2.1 Dependencia e independencia lineal de vectores

+ Definicion 2 Un conjunto de vectores S = {~v1, ~v2, . . . , ~vk} de un espacio vec-torial V se dice que es linealmente independiente, si ninguno de los vectores de Spuede escribirse como combinacion lineal de los restantes vectores de S. En casocontrario, se dice que es un conjunto de vectores linealmente dependiente.


- Ejemplo 2.3

• El conjunto S = {(−2, 1), (1, 0)} de R2 es linealmente independiente, ya que ningunode ellos puede ponerse como combinacion lineal del otro.

• El conjunto de vectores S = {(4,−5,−2), (1, 1, 1), (2,−1, 0)} de R3 es linealmentedependiente dado que el primer vector puede escribirse como combinacion lineal delos restantes:

(4,−5,−2) = −2(1, 1, 1) + 3(2,−1, 0).

+ Propiedad 2.2.1 Un conjunto de vectores S = {~v1, ~v2, . . . , ~vk} es linealmenteindependiente si se cumple que

λ1~v1 + λ2~v2 + · · ·+ λk~vk = ~0 ⇒ λ1 = λ2 = · · · = λk = 0,

es decir, si la unica forma de escribir el vector nulo como combinacion lineal delos vectores de S es que todos los coeficientes sean nulos.

La propiedad anterior tambien puede enunciarse de esta otra forma:

+ Propiedad 2.2.2 Un conjunto de vectores S = {~v1, ~v2, . . . , ~vk} es linealmentedependiente si es posible expresar el vector nulo como combinacion lineal de elloscon al menos un coeficiente no nulo. Dicho en terminos matematicos, es posibleencontrar numeros λ1, λ2, · · · , λk no todos nulos, de forma que

λ1~v1 + λ2~v2 + · · ·+ λk~vk = ~0

- Ejemplo 2.4

• Para determinar si el conjunto de vectores S = {(−2, 1), (1, 0)} de R2 es linealmenteindependiente planteamos la igualdad

λ(2,−1) + µ(1, 0) = (0, 0),

que conduce al sistema {2λ + µ = 0

−λ = 0

cuya unica solucion es λ = µ = 0. Por tanto, deducimos que el conjunto S eslinealmente independiente.

• Para determinar si el conjunto de vectores S = {(4,−5,−2), (1, 1, 1), (2,−1, 0)} deR3 es linealmente independiente planteamos la igualdad

α(4,−5,−2) + β(1, 1, 1) + γ(2,−1, 0) = (0, 0, 0). (2.2.1)

que conduce al sistema { 4α + β + 2γ = 0−5α + β − γ = 0

−2α + β = 0que admite soluciones distintas de la trivial:

{α = tβ = 2tγ = −3t

, t ∈ R.


Tomando, por ejemplo, t = 1, obtenemos la solucion particular α = 1, β = 2,γ = −3, por lo que la igualdad (2.2.1) nos asegura que es posible expresar el vectornulo como una combinacion lineal de los vectores de S con coeficientes no nulos.

En el caso particular de que trabajemos con vectores de Rn, podemos aplicar elsiguiente resultado para determinar si son linealmente independientes:

+ Resultado 2.2.1 El conjunto de vectores S = {~v1, ~v2, . . . , ~vk} de Rn es lineal-mente independiente si, y solo si,

rango (~v1 |~v2 | . . . |~vk) = k.

- Ejemplo 2.5

• El conjunto de vectores S = {(−2, 1), (1, 0)} de R2 es linealmente independiente yaque

∣∣∣∣−2 1

1 0

∣∣∣∣ 6= 0.

• Para determinar si el conjunto de vectores S = {(4,−5,−2, 4), (1, 1, 1, 1), (2,−1, 0, 2)}de R4 es linealmente independiente calculamos el rango de la matriz

A =

(4 −5 −2 41 1 1 12 −1 0 2

).

1) En primer lugar observamos que la 4a columna es igual que la 1a por lo quepuede suprimirse, es decir,

rango

(4 −5 −2 41 1 1 12 −1 0 2

)= rango

(4 −5 −21 1 12 −1 0

).

2) Por otra parte,

∣∣∣∣4 −51 1

∣∣∣∣ = 9 6= 0,

∣∣∣∣∣4 −5 −21 1 12 −1 0

∣∣∣∣∣ = 0,

de donde se concluye que rango(A) = 2 y por tanto, el conjunto de vectores S eslinealmente dependiente.


+ Propiedad 2.2.3 En un espacio vectorial V se cumplen las siguientespropiedades:

1) El conjunto S = {~v} formado por un solo vector es linealmente dependiente

si, y solamente si, ~v = ~0.

2) Si ~0 ∈ S, entonces S es un conjunto linealmente dependiente.

3) El conjunto S = {~u,~v} es linealmente dependiente si, y solamente si, ~v = λ~u(vectores proporcionales).

4) Si S es un conjunto linealmente independiente y S ′ ⊂ S, entonces S ′ es lin-ealmente independiente.

5) Si S es un conjunto linealmente dependiente y S ⊂ S ′, entonces S ′ es lineal-mente dependiente.

2.2.2 Subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores

Sea S = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V . Elconjunto L(S) de todos los vectores que se pueden obtener como combinacion linealde los vectores de S es subespacio vectorial de V que se llama subespacio vectorialgenerado por S y se representa por

L(S) = 〈~v1, ~v2, . . . , ~vn〉 .El conjunto S se llama sistema de generadores de L(S).

Un vector ~x ∈ L(S) si se puede expresar como combinacion lineal de los vectores deS, es decir, si ~x se puede escribir en la forma

~x = λ1~v1 + λ2~v2 + · · ·+ λn~vn, λ1, λ2, . . . , λn ∈ R.

- Ejemplo 2.6

• Sea S = {~u,~v} un conjunto de vectores de R4 con ~u = (1,−1, 1, 2) y ~v = (1, 3,−2, 1).El subespacio vectorial L(S) viene dado por el conjunto de vectores ~x ∈ R4 talesque

~x = λ~u + µ~v, con λ, µ ∈ R.

Si tomamos ~x = (x1, x2, x3, x4), la igualdad anterior se escribe como

(x1, x2, x3, x4) = λ(1,−1, 1, 2) + µ(1, 3,−2, 1), λ, µ ∈ R.

La igualdad anterior se denomina ecuacion vectorial de L(S).De la ecuacion anterior se obtienen las igualdades

x1 = λ + µx2 = −λ + 3µx3 = λ− 2µx4 = 2λ + µ

, λ, µ ∈ R.

Los numeros λ, µ son numeros reales arbitrarios que reciben el nombre de parametros.De ahı que a las ecuaciones anteriores se denominen ecuaciones parametricas deL(S).Las ecuaciones parametricas son utiles para obtener vectores que pertenezcan aL(S). Para ello basta darle valores concretos a los parametros λ y µ. Por ejemplo,para λ = 1 y µ = 1, se obtiene el vector ~x = (2, 2,−1, 3) ∈ L(S).


Si despejamos (por ejemplo) λ en la primera igualdad λ = x1 − µ y sustituimos enlas restantes ecuaciones se obtiene{

x2 = −(x1 − µ) + 3µx3 = (x1 − µ)− 2µx4 = 2(x1 − µ) + µ

⇒{

x2 = −x1 + 4µx3 = x1 − 3µx4 = 2x1 − µ

Si ahora repetimos lo mismo con el parametro µ (lo despejamos en la ultima ecuacionporque es mas facil), µ = 2x1 − x4 , y sustituimos en las restantes ecuaciones, seobtiene {

x2 = −x1 + 4(2x1 − x4)x3 = x1 − 3(2x1 − x4)

⇒{

7x1 − x2 − 4x4 = 05x1 + x3 − 3x4 = 0

Se obtienen 2 ecuaciones donde no intervienen los parametros λ, µ. Estas ecuacionesse denominan ecuaciones cartesianas o ecuaciones implıcitas de L(S).Las ecuaciones cartesianas de L(S) son utiles para comprobar si un determinadovector pertenece o no a L(S). Por ejemplo, el vector (2,−1, 3, 4) no pertenece aL(S) ya que no se cumplen las dos ecuaciones parametricas.

7x1 − x2 − 4x4 = 7(2)− (−1)− 4(4) = −2 6= 0.

El vector (3, 1, 0, 5) ∈ L(S) ya que

7x1 − x2 − 4x4 = 7(3)− (1)− 4(5) = 0, 5x1 + x3 − 3x4 = 5(3) + (0)− 3(5) = 0.

• Sea M el subespacio vectorial de R3 dado por las ecuaciones parametricas{

x1 = µx2 = λ− µx3 = λ + 2µ

, λ, µ ∈ R.

Para determinar un sistema de generadores de M podemos escribir las ecuacionesparametricas en la forma

(x1

x2

x3

)= λ

( 011

)+ µ

( 1−1

2

).

Entonces resulta que S = {(0, 1, 1), (1,−1, 2)} es un sistema de generadores de L, esdecir, podemos escribir

M = L(S) = 〈(0, 1, 1), (1,−1, 2)〉• Sea L el subespacio vectorial de R5 determinado por las ecuaciones cartesianas{

x1 − 2x3 + x5 = 0x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = 0

Para determinar un sistema de generadores de L resolvemos el sistema dado por lasecuaciones cartesianas.


+ Propiedad 2.2.4 Sean S = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} y S ′ = {~v1, ~v2, . . . , ~vn, ~w}. Si ~w escombinacion lineal de ~v1, ~v2, . . . , ~vn, entonces se cumple que:

L(S) = L(S ′),

es decir, los subespacios vectoriales generados por S y S ′ son el mismo.

2.3 BASES Y DIMENSION

+ Definicion 3 Sea V un espacio vectorial y L un subespacio vectorial de V. Sedice que L es finitamente generado si existe un conjunto de vectores S = {~v1, ~v2, . . . , ~vn}de V de forma que

L = L(S) = 〈~v1, ~v2, . . . , ~vn〉.El conjunto S se dice que es un sistema de generadores del subespacio L. Si ademas,S es un conjunto de vectores linealmente independientes entonces se dice que S esuna base del subespacio vectorial L.

La propiedad 2.2.4 nos dice que si S es un sistema de generadores de L y elimi-namos aquellos vectores de S que sean combinacion lineal de los restantes, entoncesseguimos teniendo un sistema de generadores de L. De esta forma siempre seraposible obtener un sistema de generadores que ademas sea linelmente independientey, en definitiva, siempre sera posible obtener una base de un subespacio vectorialfinitamente generado.

- Ejemplo 2.7

• Los vectores {(1, 0), (0, 1)} forman un base de R2.

• Sea S el subespacio vectorial de R3 generado por los vectores

~v1 = (1, 1, 1, 1), ~v2 = (2,−1, 0, 1), ~v3 = (0, 3, 2, 1).

El conjunto {~v1, ~v2, ~v3} es un sistema de generadores de S, sin embargo no es unabase de S dado que no son linealmente independientes al ser ~v3 combinacion linealde ~v1 y ~v2,

~v3 = 2~v1 − ~v2.

Ahora bien, teniendo en cuenta que

S =⟨~v1, ~v2, ~v3

⟩=

⟨~v1, ~v2

⟩,

donde ahora los vectores ~v1 y ~v2 son linealmente independientes. Por tanto, podemosconcluir diciendo que {~v1, ~v2} es una base de S.

+ Propiedad 2.3.1 Un conjunto de vectores B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} es una base deun espacio vectorial V si, y solo si, cualquier vector de V se expresa de forma unicacomo combinacion de los vectores de B.

Sea B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} una base de V . Por la Propiedad 2.3.1, cualquier vector~v ∈ V puede escribirse como combinacion lineal unica de los vectores de B, es decir,

~v = λ1 ~v1 + λ2 ~v2 + λk ~vk,

30 BASES Y DIMENSION

donde λ1, λ2, . . . , λk, son numeros reales unıvocamente determinados.

Los numeros reales λ1, λ2, . . . , λk se denominan coordenadas del vector ~v respecto dela base B.

2.3.1 Base canonica de Rn

Como sabemos el conjunto B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2. Dicha base recibeel nombre de base canonica de R2 y es la que suele utilizarse para estudiar losproblemas de geometrıa en el plano. Cualquier vector de R2 viene determinado deforma unica como combinacion lineal de los vectores de B. Mas concretamente,cualquier (x, y) ∈ R2, puede escribirse como

(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).

Los numeros x e y se denominan coordenadas del vector (x, y).

En general, el conjunto B = {~e1, ~e2, · · · , ~en} de vectores de Rn, definidos por

~ei = (0, 0, . . . ,

i︸︷︷︸1 , 0, . . . , 0),

para i = 1, 2, · · · , n, determinan una base de Rn que se denomina base canonica deRn. Cualquier vector ~x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn se escribe como

~x = x1~e1 + x2~e2 + · · ·+ xn~en.

2.3.2 Dimension de un espacio vectorial

Un espacio vectorial V no tiene una base unica. Ası, por ejemplo, los conjuntosB = {(1, 0), (0, 1)} y B′ = {(1, 1), (0, 1)} son bases de R2 (De hecho, una base deR2 estara formada por dos vectores cualesquiera ~v1 y ~v2, no nulos, que no seanproporcionales; geometricamente significarıa que tienen distinta direccion).

Sin embargo, todas las bases de un espacio vectorial V tienen algo en comun: elmismo numero de vectores. A tal numero se le llamara dimension del espacio vec-torial V , y lo denotaremos mediante dim(V ).

- Ejemplo 2.8

• Dado que la base canonica de Rn tiene n vectores, podemos asegurar que cualquierbase de Rn tendra n vectores y que, por tanto, dim(Rn) = n. .

• El conjunto de polinomios {1, x, x2, x3, . . . , xn} forman una base de Pn[x], por lo que

dim(Pn[x]) = n + 1.

• Las matrices (1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)

forman una base de M2(R), por lo que dim (M2×2(R)) = 4.

En general, se cumple que dim (Mm×m(R)) = mn.


El siguiente resultado nos permite decidir cuando un conjunto de n vectores de Rn

forman una base de Rn.

+ Resultado 2.3.1 Un conjunto B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} de vectores de Rn es unabase de R si, y solo si,

det (~v1 |~v2 | . . . |~vn) 6= 0.

- Ejemplo 2.9

• Los vectores ~v1 = (1, 0, 1), ~v2 = (0,−1, 3) y ~v3 = (3, 1, 1) forman una base de R3,dado que

det (~v1 |~v2 |~v3) =

∣∣∣∣∣1 0 30 −1 11 3 1

∣∣∣∣∣ = −1 6= 0.

• Los vectores ~v1 = (1, 2), ~v2 = (−2,−4) no son una base de R2, dado que

det (~v1 |~v2) =∣∣∣∣

1 −2−2 4

∣∣∣∣ = 0.

El resultado anterior puede establecerse de manera mas general como sigue,

+ Resultado 2.3.2 Sea S =⟨~v1, ~v2, . . . , ~vk

⟩, donde ~v1, ~v2, . . . , ~vk ∈ Rn. En-

tonces se cumple que

dim(S) = rango (~v1 |~v2 | . . . |~vk) .

- Ejemplo 2.10

• Sea S el subespacio vectorial de R4, generado por los vectores,~v1 = (1, 1, 1, 1) , ~v2 = (2,−1, 0, 1) y ~v3 = (0, 3, 2, 1) .

Entonces, dim(S) = rango (~v1 |~v2 |~v3) = rango

(1 1 1 12 −1 0 10 3 2 1

)= 2.

2.3.3 Cambio de base en un espacio vectorial

Sea V un espacio vectorial de dimension n y supongamos que tenemos dos basesB = {~u1, ~u2, . . . , ~un} y B′ = {~v1, ~v2, . . . , ~vn}. Como sabemos, cualquier vector ~x deV podra escribirse de forma unica como combinacion lineal de los vectores de B yde B′.Respecto de la base B, el vector ~x tendra unas coordenadas (x1, x2, . . . , xn), es decir,se podra expresar en la forma

~x = x1~u1 + x2~u2 + · · ·+ xn~un = (x1, x2, . . . , xn)

~u1

~u2...

~un

. (2.3.1)

32 BASES Y DIMENSION

Analogamente, el vector ~x tendra unas coordenadas (x′1, x′2, . . . , x

′n) respecto de la

base B′, es decir,

~x = x′1~v1 + x′2~v2 + · · ·+ x′n~vn = (x′1, x′2, . . . , x

′n)

~v1

~v2...

~vn

. (2.3.2)

¿Que relacion existe entre (x1, x2, . . . , xn) y (x′1, x′2, . . . , x

′n)?

A partir de (2.3.1) y (2.3.2) obtenemos la igualdad en forma matricial

(x1, x2, . . . , xn)

~u1

~u2...

~un

= (x′1, x

′2, . . . , x

′n)

~v1

~v2...

~vn

(2.3.3)

que se llama ecuacion general del cambio de base. La ecuacion (2.3.3) puede es-cribirse abreviadamente en la forma

(x1, x2, . . . , xn)B = (x′1, x′2, . . . , x

′n)B′, (2.3.4)

donde B y B′ son las matrices cuyos vectores fila son las coordenadas de los vectoresde las bases B y B′ respectivamente. Dado que B y B′ son bases, entonces necesari-amente las matrices B y B′ son regulares (su determinantes es distinto de cero) y,por tanto, existen sus matrices inversas B−1 y (B′)−1.

La ecuacion (2.3.3) nos permite conocer las coordenadas (x′1, x′2, . . . , x

′n) respecto de

B′ conocidas las coordenadas (x1, x2, . . . , xn) respecto de B o viceversa, mediante lasigualdades

(x′1, x′2, . . . , x

′n) = (x1, x2, . . . , xn)B(B′)−1,

(x1, x2, . . . , xn) = (x′1, x′2, . . . , x

′n)B′B−1.

- Ejemplo 2.11

• En R2 se consideran la base canonica B = {(1, 0), (0, 1)} y la base B′ = {(2,−1), (3, 0)}.La ecuacion general del cambio de base vendra dada por

(x1, x2)(

1 00 1

)= (x′1, x

′2)

(2 −13 0

).

Si el vector ~x = (1,−5) respecto de la base B para determinar sus coordenadasrespecto de la base B′ utilizamos la igualdad

(1,−5)(

1 00 1

)= (x′1, x

′2)

(2 −13 0

),

de donde se obtiene que

(x′1, x′2) = (1,−5)

(1 00 1

)(2 −13 0

)−1

= (1,−5)(

0 13

−1 23

)= (13,−1),

luego ~x = (13,−1) respecto de B′.


- Ejercicio 2.12

• Si ~x = (1, 2,−1) respecto de la base B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}, hallar las coor-denadas del vector ~x respecto de la base canonica de R3.

• Sean B = {~u1, ~u2, ~u3} y B = {~v1, ~v2, ~v3} dos bases de R3 , tales que ~v1 = ~u2 + ~u3,~v2 = ~u1 + ~u3 y ~v3 = ~u1 + ~u2. Hallar las ecuaciones del cambio de la base B a B′ yde la base B′ a B.

• Dadas las bases de R3, B = {~u1 = (2, 1, 0), ~u2 = (−1, 0, 1), ~u3 = (0, 1,−2)} y B′ ={~v1 = (0, 1, 1), ~v2 = (1, 0, 0), ~v3 = (2, 0, 1)}.a) Hallar la expresion analıtica del cambio de base de B a B′, de B′ a B y de B′ a

la base canonica.b) Si ~a = (1, 1, 1) respecto de B, ¿cuales son sus coordenadas respecto de B′.?c) Si ~b = ~v1 − ~v2, escribir la expresion de ~b respecto de B.

2.4 SUMA E INTERSECCION DE SUBESPACIOS

2.4.1 Suma de subespacios

+ Definicion 4 Sea V un espacio vectorial y L y M dos subespacios vectorialesde V. Se define el conjunto

L + M = {~w : ~w = ~u + ~v con u ∈ L, v ∈ M},es decir, un vector ~w ∈ L + M si se puede escribir como suma de un vector de L yun vector de M .

El conjunto L + M es un subespacio vectorial de V que llamaremos subespacio vec-torial suma de L y M .

Si conocemos un sistema de generadores de los espacios L y M , entonces es muyfacil determinar cual es el subespacio L + M .

+ Propiedad 2.4.1 Si L = L(S) y M = L(S ′), entonces L + M = L(S ∪ S ′).

- Ejemplo 2.13

• Consideremos los subespacios vectoriales de R4 dados por

L = 〈(1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1)〉, M ={

2x2 − x3 = 0x1 + x4 = 0 .

Para determinar el subespacio L+M necesitamos conocer un sitema de generadoresde L y de M . En nuestro caso, solo hemos de determinar un sistema de generadoresde M . Para ello resolvemos el sistema dado por las ecuaciones cartesianas de M .

{2x2 − x3 = 0x1 + x4 = 0 ⇒

{x1 = −x4

x3 = 2x2⇒

x1 = −x4

x2 = λx3 = 2x2

x4 = µ

⇒

x1 = −µx2 = λx3 = 2λx4 = µ

⇒

x1

x2

x3

x4

= λ

−1

001

+ µ

0120

.

34 SUMA E INTERSECCION DE SUBESPACIOS

Luego M = 〈(−1, 0, 0, 1), (0, 1, 2, 0)〉 y, por tanto,

L + M = 〈(1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1), (−1, 0, 0, 1), (0, 1, 2, 0)〉.Ahora bien, dado que ∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 4−1 1 2 1−1 0 0 1

0 1 2 0

∣∣∣∣∣∣∣= 0

dichos vectores no forman una base de L + M .Para determinar una base de L+M debemos seleccionar un conjunto de vectores quesean linealmente independientes. Para ello podemos calcular el rango de la matriz

A =

1 2 3 4−1 1 2 1−1 0 0 1

0 1 2 0

De esta forma sabremos cuantos vectores hay linealmente independiente y cualesson. Para ello procedemos de la siguiente forma:

1) Seleccionamos un menor de orden 2 distinto de cero. En nuestro caso, podemostomar el menor formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnasdado que ∣∣∣∣

1 2−1 1

∣∣∣∣ 6= 0.

2) Tomamos los menores de orden 3 obtenidos orlando filas y columnas al menorde orden 2 seleccionado anteriormente hasta encontrar un menor de orden 3 quesea distinto de cero.Orlamos la 3a fila y la 3a columna

∣∣∣∣∣1 2 3

−1 1 2−1 0 0

∣∣∣∣∣ = −1 6= 0,

Por lo que concluimos que rango(A)=3 y que una base de L+M viene dada porlos vectores {(1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1), (−1, 0, 0, 1)}. Por tanto, dim(L + M) = 3.

2.4.2 Interseccion de dos subespacios

+ Definicion 5 Sea V un espacio vectorial y L y M dos subespacios vectorialesde V. Se define el conjunto

L ∩M = {~w : ~w ∈ L y ~w ∈ M}.El conjunto L ∩M es un subespacio vectorial de V que llamaremos subespacio vec-torial interseccion de L y M .

+ Propiedad 2.4.2 Las ecuaciones cartesianas de L ∩ M vienen dadas por elsistema formado por las ecuaciones cartesianas de L y las de M .


- Ejemplo 2.14

• Consideremos los subespacios vectoriales de R4 dados por

L = 〈(1, 2, 3, 4), (−1, 1, 2, 1)〉, M ={

2x2 − x3 = 0x1 + x4 = 0 .

Para determinar el subespacio L∩M necesitamos conocer las ecuaciones cartesianasde L y de M . En nuestro caso, solo hemos de determinar las ecuaciones cartesianasde L. Para ello partimos de las ecuaciones parametricas

~x ∈ L ⇒

x1

x2

x3

x4

= λ

1234

+ µ

−1

121

⇒

x1 = λ− µx2 = 2λ + µx3 = 3λ + 2µx4 = 4λ + µ

.

Eliminando los parametros λ y µ en las ecuaciones parametricas de L se obtienenlas ecuaciones cartesianas

L ={

x1 − 5x2 + 3x3 = 02x1 + 5x2 − 3x4 = 0 .

Por tanto, el subespacio vectorial L ∩M viene dado por las ecuaciones cartesianas

L ∩M =

x1 − 5x2 + 3x3 = 02x1 + 5x2 − 3x4 = 0

2x2 − x3 = 0x1 + x4 = 0

Resolviendo el sistema anterior se obtiene

x1 = −αx2 = αx3 = 2αx4 = α

, α ∈ R ⇒

x1

x2

x3

x4

= α

−1

121

,

por lo que L ∩M = 〈(−1, 1, 2, 1)〉 y, en consecuencia, dim(L ∩M) = 1.

2.4.3 Teorema de la dimension

+ Resultado 2.4.1 Sean L y M subespacios vectoriales de V. Entonces secumple que

dim(L + M) = dim(L) + dim(M)− dim(L ∩M).

- Ejercicio 2.15

• Probar que se cumple el Teorema de la dimension para los subespacios L y M delEjemplo 2.10.

• Sea L el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 tales que la suma de suscolumnas es cero y M el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 tales que lassuma de sus filas es cero.a) Probar que L y M son subespacios vectoriales de M2×2(R).b) Obtener una base de L, M , L + M y L ∩M .c) Calcular dim(L), dim(M), dim(L + M) y dim(L ∩M).

36 SUMA E INTERSECCION DE SUBESPACIOS

d) Comprobar que se cumple el Teorema de la dimension.• Sean L y M los siguientes subconjuntos de P4[x], el conjunto de los polinomios de

grado menor o igual que 4 en la variable x, dados por

L = {p(x) ∈ P4[x] : p(1) = 0, p′(1) = 0}, M = 〈1− x, 3− 4x + x4〉.a) Probar que L es un subespacios vectorial de P4[x].b) Obtener una base de L, M , L + M y L ∩M .c) Calcular dim(L), dim(M), dim(L + M) y dim(L ∩M).4) Comprobar que se cumple el Teorema de la dimension.

2.4.4 Suma directa de dos subespacios. Subespacios complementarios.

+ Definicion 6 Sean L y M dos subespacios vectoriales de V. Si L ∩M = {~0},entonces al subespacio vectorial L+M se le denomina suma directa de los subespaciosL y M y se denota por L⊕M .

Aplicando el Teorema de la dimension se obtiene que:

dim(L⊕M) = dim(L) + dim(M) .

+ Definicion 7 Sean L y M dos subespacios vectoriales de V. Se dice que L y Mson subespacios complementarios si,

V = L⊕M.

- Ejemplo 2.16

• En P2[x] consideramos el subespacio vectorial L formado por todos los polinomiostales que p′(1) = 0. Nos planteamos encontrar el subespacio vectorial complemen-tario de L, es decir, un subespacio M de P2[x] de forma que

L⊕M = P2[x].

Cualquier polinomio p(x) ∈ P2[x] puede escribirse en la forma

p(x) = a0 + a1x + a2x2.

Observemos que el polinomio p(x) puede identificarse con el vector de R3 dado por~p = (a0, a1, a2), es decir,

P2[x] ←→ R3

p(x) = a0 + a1x + a2x2 ←→ ~p = (a0, a1, a2)

Esta identificacion nos permite trabajar exactamente igual que lo harıamos convectores de R3.La condicion p′(1) = 0 se transforma en la ecuacion a1 + 2a2 = 0. En efecto,

p′(x) = a1 + 2a2x, p′(1) = 0 ⇒ a1 + 2a2 = 0,

que determina la ecuacion cartesiana del subespacio L. Resolviendo esta ecuacionobtenemos

a1 + 2a2 = 0 ⇒{

a0 = λa1 = −2µa2 = µ

⇒(

a0

a1

a2

)= λ

(100

)+ µ

( 0−2

1

)


por lo que un sistema de generadores de L viene dado por los vectores ~p1 = (1, 0, 0) y~p2 = (0,−2, 1) que se corresponden con los polinomios p1(x) = 1 y p2(x) = −2x+x2,es decir,

L = 〈~p1, ~p2〉 = 〈(1, 0, 0), (0,−2, 1)〉 = 〈p1(x), p2(x)〉 = 〈1,−2x + x2〉.Ademas, puesto que los vectores ~p1 y ~p2 son linealmente independientes podemosasegurar que {~p1, ~p2} forman una base de L.Para determinar el subespacio M lo que se hace es completar la base de L hastaobtener una base de R3. Para ello basta anadir un vector ~p3 de forma que

det(~p1|~p2|~p3) 6= 0.

En nuestro caso, podemos considerar el vector ~p3 = (0, 0, 1) dado que

det(~p1|~p2|~p3) =

∣∣∣∣∣1 0 00 −2 10 0 1

∣∣∣∣∣ = −2 6= 0.

El subespacio M complementario de L sera el generado por el vector ~p3 = (0, 0, 1)que se corresponde con el subespacio vectorial de P2[x] generado por el polinomiop3(x) = x2, es decir,

M = 〈~p3〉 = 〈(0, 0, 1)〉 = 〈p3(x)〉 = 〈x2〉.

- Ejercicio 2.17

• Sea L el subespacio vectorial de M2×2(R) formado por las matrices tales que la sumade las filas es cero. Determinar el espacio complementario de L.

• En R4 se consideran los subespacios dados por

L ={

x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 − x4 = 0 , M = 〈(1, 0,−1, 0), (0, 2, 0, 1)〉.

Probar que L⊕M = R4.


1.- En el espacio vectorial M2×3(R) se considera el conjunto de matrices

S =

{(a b a0 c 0

): a, b, c ∈ R

}.

a) ] Probar que S es un subespacio vectorial de M2×3(R).b) Escribir las ecuaciones cartesianas y parametricas de S.c) Calcular la dimension de S y encontar una base de S.d) Encontrar un subespacio T de M2×3(R) de forma que

S ⊕ T = M2×3(R).

2.- Sea H el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2 dado por

H =

{(λ λ + µ

λ− µ λ

): λ, µ ∈ R

}.

38 EJERCICIOS PROPUESTOS EN EXAMENES ANTERIORES

a) Probar que H es un subespacio vectorial de M2×2(R).b) Escribir las ecuaciones cartesianas y parametricas de H.c) Calcular la dimension de H y encontrar una base de H.d) Dado el subespacio

H1 =

⟨(0 1a 0

),

(1 00 1

)⟩,

obtener, si es posible, el valor de a para que H1 = H.

3.- Dados los subespacios vectoriales L y M de R4 definidos por

L = 〈(1, 2, α, 1), (1, 0, 1, 1)〉,M = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x2 − x3 = 0, x1 − x2 + x4 = 0},

determinar, si es posible, el valor de α para que L⊕M = R4.

4.- Sean B y B′ dos bases de R2. Obtener la base B sabiendo que B′ = {(1, 1), (2,−1)}y que la matriz del cambio de base de B a B′ es(

1 22 5

).

5.- Sea F el espacio vectorial de las funciones continuas de R en R. Se considerael subespacio vectorial L generado por las funciones f1(x) = 1, f2(x) = sen2x,f3(x) = cos2 x, f4(x) = sen 2x y f5(x) = cos 2x.

a) Determinar una base de L.b) Calcular las coordenadas de f(x) = cos 2x + sen 2x respecto de la base ante-

rior.

Nota: Se sabe que sen2 x =1− cos 2x

2y cos2 x =

1 + cos 2x

2.

6.- Sea P2[x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 yW1 el subespacio vectorial vectorial de P2[x] dado por

W1 = {p(x) ∈ P2[x] : p(x) = a + c + (2b + c− a)x + (b + c)x2, a, b, c ∈ R}.a) Encontrar las ecuaciones implıcitas de W1.b) Determinar un subespacio vectorial W2 de P2[x] de forma que

W1 ⊕W2 = P2[x].

7.- Dados los subespacios vectoriales de M2×2(R) definidos por

F = {A ∈M2×2(R) : tr(A) = 0}, G = 〈I2〉.a) Determinar las ecuaciones cartesianas y parametricas de F .b) Probar que F ⊕G = M2×2(R).

3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en cualquier campo de la ciencia.Este capıtulo trata sobre los topicos relativos a la resolucion de sistemas deecuaciones lineales. Estudiaremos su clasificacion y algunos metodos de res-olucion de los mismos, como el teorema de Rouche-Frobenius y el metodo deGauss.

3.1 PRELIMINARES.

3.1.1 Primeros conceptos

Consideremos los siguientes sistemas de ecuaciones de orden 2× 2.

S1 ≡{

x + 2y = 32x− y = 1

, S2 ≡{

2x− y = 14x− 2y = 8

, S3 ≡{

2x− y = 14x− 2y = 2

.

Estos sistemas pueden resolverse utilizando cualquiera de los metodos algebraicosconocidos (reduccion, igualacion o sustitucion).

Por otra parte, si consideramos cada una de las ecuaciones de los sistemas anteriorescomo la ecuacion de una recta en el plano podemos dar una interpretacion graficade la soluciones de cada uno de los sistemas.

Las soluciones seran precisamente lospuntos de interseccion de ambas rectas.

El sistema S1 esta formado por las ecua-ciones de dos rectas r y s que se cortanen el punto (1, 1). El sistema S1 tienesolucion unica:{

x = 1y = 1

.

(1, 1)

s:2x

−

y=

1

r : x + 2y = 3

39

40 PRELIMINARES.

r:2x−

y=

1

r:4x−

2y

=8

El sistema S2 esta formado por las ecua-ciones de dos rectas r y s que sonparalelas. Por tanto, las rectas r y sno tienen ningun punto en comun, loque significa que el sistema S2 no tienesolucion.

Finalmente, el sistema S3 esta formadopor las ecuaciones de dos rectas coinci-dentes. El sistema tiene, por tanto, infi-nitas soluciones . Cualquier punto de larecta r es solucion del sistema. Para obte-ner soluciones particulares del sistemadamos un valor a la incognita x y, susti-tuyendo en la ecuacion 2x− y = 1, obte-nemos el correspondiente valor de y.

x = 1 ⇒ y = 1.r

:2x−

y=

1

s:4x−

2y

=2

Para expresar la solucion general del sistema damos a x un valor arbitrario (x =λ, λ ∈ R) y calculamos el correspondiente valor de y.

x = λ ⇒ y = 2λ− 1.

La solucion general del sistema S3 sera,

{x = λy = 2λ− 1

, λ ∈ R.

El numero λ se llama parametro. Observese que la solucion general del sistema vienedada, precisamente, por las ecuaciones parametricas de la recta r.

Resolvamos algebraicamente los sistemas anteriores, utilizando el metodo de re-duccion, para ver como se traducen estas tres situaciones:

S1 ≡{

x + 2y = 32x− y = 1

⇔ E1 → E1

E2 → E2 − 2E1⇔

{x + 2y = −1−5y = −5

.

La segunda ecuacion del sistema resultante nos permite despejar la incognita y. Seobtiene y = 1. Sustituyendo este valor en la primera ecuacion se llega a que x = 1.

S2 ≡{

2x− y = 14x− 2y = 8

⇔ E1 → E1

E2 → E2 − 2E1⇔

{2x− y = 1

0 = 6.

La segunda ecuacion del sistema resultante es una contradiccion. Esto significa quelas ecuaciones del sistema son incompatibles. El sistema no tiene solucion.

S2 ≡{

2x− y = 14x− 2y = 2

⇔ E1 → E1

E2 → E2 − 2E1⇔

{2x− y = 1

0 = 0.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 41

La segunda ecuacion del sistema resultante es una identidad. Esto significa que laecuacion 4x − 2y = 2 no aporta nada al sistema y podrıa suprimirse. De hecho, seobserva que esta ecuacion es combinacion lineal de la primera (E1 = 2E2).

3.1.2 Definiciones y notaciones

Un sistema lineal de m ecuaciones y n incognitas es un conjunto de ecuaciones dela forma

S ≡

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = c1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = c2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = cm

, (3.1.1)

siendo aij ∈ R, los coeficientes, ci ∈ R, los terminos independientes y xj lasincognitas, para i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . , n.

Una solucion del sistema (3.1.1) es cualquier conjunto de n valores reales

(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn

que satisfacen el sistema. Resolver un sistema lineal consistira en:

1.- determinar si tiene solucion y,

2.- en caso afirmativo, hallar el conjunto de todas sus soluciones, que notaremospor CS.

- Ejemplo 3.1

• Las ternas (−3, 0, 0) y (2, 4, 1) son soluciones del sistema

S ≡

−x + 2y + 3z = 3y + 4z = 0

x− y + z = −3x + 5z = −3

En este caso, el conjunto solucion del sistema S es

CS = {(−3− 5λ,−4λ, λ), λ ∈ R},

que habitualmente se indica en la forma

{x = −3− 5λy = −4λz = λ

, λ ∈ R.

La expresion anterior recibe el nombre de solucion general del sistema o ecuacionesparametricas del sistema.

3.1.2.1 Expresion matricial de un sistema. El sistema (3.1.1) puede escribirseen forma matricial como

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

an1 an2 · · · amn

x1

x2...

xn

=

c1

c2...

cm

.

42 PRELIMINARES.

Llamando

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

an1 an2 · · · amn

, X =

x1

x2...

xn

, C =

c1

c2...

cm

,

el sistema (3.1.1) puede escribirse abreviadamente como

A ·X = C. (3.1.2)

La matriz A se denomina matriz de coeficientes del sistema, X vector columna deincognitas y C vector columna de terminos independientes.

En lo que sigue tambien consideraremos la matriz

B =

a11 a12 · · · a1n c1

a21 a22 · · · a2n c2...

......

...an1 an2 · · · amn cm

que llamaremos matriz ampliada del sistema.

- Ejemplo 3.2

• El sistema S ≡

−x + 2y + 3z = 3y + 4z = 0

x− y + z = −3x + 5z = −3

puede escribirse matricialmente como

−1 2 3

0 1 41 −1 11 0 5

(xyz

)=

30

−3−3

.

En este caso,

A =

−1 2 3

0 1 41 −1 11 0 5

, X =

(xyz

), C =

30

−3−3

, B =

−1 2 3 3

0 1 4 01 −1 1 −31 0 5 −3

.

3.1.3 Clasificacion de los sistemas lineales

Los ejemplos que hemos comentado en la seccion 2.1 muestran las 3 situacionesque nos podemos encontrar cuando resolvamos un sistema de ecuaciones lineales.Atendiendo al conjunto de soluciones, los sistemas pueden ser:

Sistema

COMPATIBLE Tiene solucion

DETERMINADO Solucion unica

INDETERMINADO Infinitas soluciones

INCOMPATIBLE No tiene solucion

Por otra parte, atendiendo al vector de terminos independientes un sistema se dicehomogeneo si la matriz C = 0; en caso contrario, el sistema se dice completo.


Observese que cualquier sistema homogeneo admite siempre como solucion a lasolucion trivial (0, · · · , 0), ası todo sistema homogeneo es compatible.

- Ejemplo 3.3

• El sistema S ≡{

x + y + z = 0x− y − z = 0

2x + 2y + z = 0es un sistema homogeneo y compatible determi-

nado con solucion trivial (x, y, z) = (0, 0, 0).

3.1.4 Teorema de Rouche-Frobenius.

El siguiente teorema nos permite clasificar los sistemas de ecuaciones lineales medi-ante el calculo de los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.

+ Teorema 3.1.1 Consideremos el sistema

S ≡

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = c1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = c2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = cm

Entonces se cumple que el sistema S es

i) compatible determinado si, y solo si, rango(A) = rango(B) = n,

ii) compatible indeterminado si, y solo si, rango(A) = rango(B) < n.

iii) Incompatible si, y solo si, rango(A) 6= rango(B).

Resulta evidente que no existe la posibilidad de que rango(A) = rango(B) > n, puesA ∈Mm×n.

- Ejemplo 3.4

• Consideremos el sistema

x + t = 1y + z + t = 1

y + z = 0−x + y = 1

x− t = 0

⇔

1 0 0 10 1 1 10 1 1 0−1 1 0 01 0 0 −1

xyzt

=

11010

.

En primer lugar observemos que rango(A) = 4, dado que podemos seleccionar unmenor de orden 4 en la matriz A que es distinto de cero,∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 10 1 1 0

−1 1 0 01 0 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣= −

∣∣∣∣∣1 0 1

−1 1 01 0 −1

∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣

1 11 −1

∣∣∣∣ = 2 6= 0.

A continuacion estudiamos el rango de la matriz ampliada

B =

1 0 0 1 10 1 1 1 10 1 1 0 0

−1 1 0 0 11 0 0 −1 0

.

44 RESOLUCION DE SISTEMAS

Puesto que |B| = −1 6= 0, resulta que rango(B) = 5.Como rango(A) 6= rango(B), el teorema de Rouche-Frobenius nos asegura que elsistema es incompatible.

- Ejercicio 3.5

• Clasificar el siguiente sistema segun los diferentes valores de m{ (m + 2)x1 + x2 + x3 + mx4 = 0

mx1 + (m− 1)x2 + x3 + (m− 1)x4 = −1−m(m + 1)x1 + (m + 1)x3 = −4

Solucion: Estudiamos el rango de la matriz

A =

(m + 2 1 1 m

m m− 1 1 m− 1m + 1 0 m + 1 0

).

Para ello, calculamos el valor de los posibles menores de orden 3 de la matriz A,∣∣∣∣∣

1 1 mm− 1 1 m− 1

0 m + 1 0

∣∣∣∣∣ = (m + 1) (m− 1)2

∣∣∣∣∣m + 2 1 m

m 1 m− 1m + 1 m + 1 0

∣∣∣∣∣ = −m2 + 1

∣∣∣∣∣m + 2 1 m

m m− 1 m− 1m + 1 0 0

∣∣∣∣∣ = (m + 1)(2m− 1−m2

)

∣∣∣∣∣m + 2 1 1

m m− 1 1m + 1 0 m + 1

∣∣∣∣∣ = (m− 1)m (m + 1) .

Todos los menores de orden 3 se anulan simultaneamente solo cuando m = −1. Ası resultaque, para m 6= −1, rango(A) = 3. Sustituyendo el valor m = −1 en la matriz A se deducefacilmente que, en este caso, rango(A) = 2.Estudiaremos, a continuacion, el rango de la matriz ampliada. Puede comprobarse quepara cualquier valor de m

rango(B) = rango

(m + 2 1 1 m 0

m m− 1 1 m− 1 −1−mm + 1 0 m + 1 0 −4

)= 3.

Resumiendo, pueden presentarse los siguientes casos:

1.- m 6= −1 rango(A) = rango(B) = 3 = numero de incognitas⇒ sistema compatibledeterminado

2.- m = −1 rango(A) = 2 6= rango(B) = 3 ⇒ sistema incompatible.


3.2 RESOLUCION DE SISTEMAS

3.2.1 Sistemas diagonales

Obviamente, los sistemas de ecuaciones lineales mas faciles de resolver son los que“ya estan resueltos”. En estos sistemas, la matriz de coeficientes es la matriz iden-tidad,

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

x1

x2...

xn

=

c1

c2...cn

,

y las ecuaciones del sistema son sencillamente de la forma xi = ci, i = 1, 2, · · · , n.

Estos sistemas son un sistema particular de sistemas diagonales. Un sistema se dicediagonal si la matriz de coeficientes del sistema es una matriz diagonal. En formamatricial, un sistema diagonal, viene dado por

a11 0 · · · 00 a22 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · ann

x1

x2...

xn

=

c1

c2...cn

.

Las ecuaciones de un sistema diagonal son de la forma

aii xi = ci, i = 1, 2, · · · , n.

Si aii 6= 0, para cada i = 1, 2, · · · , n, la solucion se obtiene directamente en laforma xi = ci/aii, i = 1, 2, · · · , n, y el sistema sera compatible determinado. Porel contrario, si aii = 0 para algun valor de i, el sistema sera indeterminado si elcorrespondiente ci = 0 (la ecuacion i-esima sera de la forma 0 = 0) o incompatiblesi ci 6= 0 (la ecuacion i-esima resulta una contradiccion 0 = ci 6= 0).

3.2.2 Sistemas triangulares

Un sistema de ecuaciones lineales de orden m× n se llama triangular superior si severifica que

aii 6= 0, i = 0, 1, · · · , k ; aij = 0, si i > j,

siendo k = min{m,n}; es decir, la matriz de coeficientes verifica que los elementossituados en la diagonal principal son todos distintos de cero y los elementos situadosdebajo de la diagonal principal son todos nulos.

3.2.2.1 Resolucion de sistemas triangulares. Podemos encontrarnos con las si-guientes situaciones:

1.- m = n El numero de ecuaciones es igual al numeros de incognitas.

En este caso, el sistema sera de la forma

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = c1

a22x2 + · · ·+ a2nxn = c2

· · · · · · · · · · · ·annxn = cn

La solucion del sistema se obtiene de forma recursiva:


• Despejamos xn en la ultima ecuacion.• Sustituimos su valor en la ecuacion anterior y despejamos xn−1.• Continuamos el proceso hasta determinar el valor de cada una de las incognitas.

Observemos que esto es posible por la condicion de que aii 6= 0, i =1, 2, · · · , n.

La solucion viene dada por

xnn =cn

ann

, xi =1

aii

(ci −

n∑j=i

aijxj

), i = n− 1, · · · , 1.

El sistema tiene, por tanto, solucion unica, es decir, se trata de un sistemacompatible determinado.

2.- m > n El numero de ecuaciones es mayor que el numeros de incognitas.

El sistema sera de la forma

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = c1

a22x2 + · · ·+ a2nxn = c2

· · · · · · · · · · · ·annxn = cn

0 = cn+1...

0 = cm

Si alguno de los ci, i = n+1, · · · ,m, es distinto de cero, entonces se presenta unacontradiccion, es decir, el sistema es incompatible. En cambio, si ci = 0 parai = n + 1, · · · ,m, las ultimas m− n ecuaciones quedan reducidas a igualdadesdel tipo 0 = 0, es decir, no aportan nada al sistema y pueden suprimirse. Acontinuacion se procede como en el caso a).

3.- m < n El numero de ecuaciones es menor que el numero de incognitas

El sistema sera del tipo

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1m + · · ·+ a1nxn = c1

a22x2 + · · ·+ a2m + · · ·+ a2nxn = c2

· · · · · · · · · · · ·amm + · · · amnxn = cm

En este caso se dice que las incognitas xm+1, · · · , xn “no estan sometidas acontrol” y, por tanto, podran tomar valores arbitrarios. Para resolver el sistemaprocedemos de la siguiente manera:

• Asignamos a las variables xm+1, · · · , xn valores arbitrarios

xn+1 = λ1, xn = λn−m.

• A continuacion despejamos el resto de las incognitas xi, j = m, · · · , 1, si-guiendo el procedimiento descrito en el caso a). Los valores de estas incog-nitas vendran dados en funcion de λ1, · · · , λm−n que se llaman parametros .El sistema es, por tanto, compatible indeterminado (con n−m parametros).


- Ejemplo 3.6

• El sistema

S ≡{−x + 2y + 3z − 3t = 3

y + 4z − 2t = 11 ,

es un sistema triangular con 2 ecuaciones y 4 incognitas. Las incognitas z y t noestan sometidas a control. Para resolver el sistema asignamos a estas incognitasvalores arbitrarios,

S ≡

−x + 2y + 3z − 3t = 3y + 4z − 2t = 11

z = λt = µ

, λ, µ ∈ R.

Ahora podemos despejar el valor de las incognitas y y x, de forma recursiva,

x = 19− 6λ + 3µy = 11− 4λ + 3µz = λt = µ

, λ, µ ∈ R.

Se trata de un sistema compatible indeterminado (con 2 parametros).

3.2.3 Sistemas equivalentes. Metodo de resolucion de Gauss

Dos sistemas de ecuaciones S y S ′ se dicen equivalentes cuando ambos tienen elmismo conjunto de soluciones, es decir, toda solucion de S es tambien solucion deS ′ y viceversa. Resolver un sistema sera, por tanto, lo mismo que resolver otro quesea equivalente a el.

+ Resultado 3.2.1 Las operaciones que permiten pasar de un sistema lineal aotro equivalente son:

1.- Cambiar de orden las incognitas.

2.- Cambiar de orden las ecuaciones.

3.- Multiplicar una ecuacion por un numero distinto de cero.

4.- Sumar a una ecuacion una combinacion lineal de las restantes.

5.- Suprimir del sistema una ecuacion que sea combinacion lineal de las restantes.

Observemos que estas operaciones guardan una estrecha relacion con las operacioneselementales sobre matrices que no alteraban el rango de una matriz. De hecho,en el metodo de Gauss (que exponemos a continuacion), las operaciones b)-e) setraduciran en hacer operaciones elementales en las filas de la matriz ampliada delsistema.

3.2.3.1 Metodo de Gauss. El metodo de Gauss consiste en aplicar operacioneselementales sobre un sistema S para transformarlo en otro que sea equivalente a ely ademas sea triangular superior.


Consideremos el sistema

S ≡

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = c1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = c2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = cm

El metodo de Gauss consiste en lo siguiente:

1) Suponemos que a11 6= 0. Si esto no fuera cierto reordenamos las ecuaciones y/olas incognitas del sistema para situar en la posicion (1, 1) un coeficiente distintode cero.(En la practica es aconsejable que a11 = 1, esto podrıa conseguirsedividiendo la primera ecuacion por −a11 o reordenando las ecuaciones y/o lasincognitas, segun lo que mas interese).

2) A continuacion mantenemos la 1a ecuacion E1 → E1 y transformamos el resto

de las ecuaciones sumandoles la primera ecuacion multiplicada por −ai1/a11,

Ei → Ei − ai1

a11E1 , i = 2, · · · ,m.

Tras esta operacion se consigue un sistema S ′, equivalente al anterior, dado por

S ′ ≡

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = c1

a∗22x2 + a∗23x3 + · · ·+ a∗2nxn = c∗2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a∗m2x2 + a∗m3x3 + · · ·+ a∗mnxn = c∗m

donde, a∗ij = aij − ai1a1j

a11

, c∗i = ci − ai1c1

a11

, i = 2, · · · , m, j = 2, · · · , n.

3) Ahora repetimos el procedimiento anterior para el subsistema (∗), suponiendoque a∗22 6= 0. En caso contrario reordenamos las ecuaciones y/o las incognitasdel subsistema (∗) para conseguir situar un elemento en la posicion (2, 2) quesea distinto de cero, ... (En el caso de que sea necesaria una reordenacion delas incognitas esta tambien afectara a la ecuacion primera).

4) Reiteramos el procedimiento hasta encontrarnos con alguna de las siguientessituaciones:

• Hemos agotado todas las ecuaciones.

• Hemos agotado todas las incognitas.

• Todos los coeficientes del subsistema obtenido son cero.

La resolucion del sistema triangular resultante se hara teniendo en cuenta la tecnicadescrita en la seccion 3.2.2.

- Ejercicio 3.7

• Resolver el sistema S ≡{

x + y = 2−2x− y + 2z = −3

2x− 4z = 2aplicando el metodo de Gauss


Solucion:

S ≡{

x + y = 2−2x− y + 2z = −3

2x− 4z = 2⇔

E1 → E1

E2 → E2 + 2E1

E3 → E3 − 2E1

⇔{

x + y = 2y + 2z = 1

−2z − 4z = −2

⇔E1 → E1

E2 → E2

E3 → E3 + 2E2

⇔{

x + y = 2y + 2z = 1

0 = 0

La incognita z no esta sometida a control, por lo que le asignamos un valor arbitrario{

x + y = 2y + 2z = 1

z = λ, λ ∈ R.

Despejando las incognitas y y x se obtiene

{x = 1 + 2λy = 1− 2λz = λ

, λ ∈ R.

Se trata de un sistema compatible indeterminado (con 1 parametro).En la practica, con objeto de simplificar las notaciones, las transformaciones anterioresse aplican directamente sobre la matriz de coeficientes del sistema. Las operaciones sobrecada una de las ecuaciones del sistema se traducen en las correspondientes operacioneselementales sobre las filas de la matriz ampliada.

{x + y = 2

−2x− y + 2z = −32x− 4z = 2

⇔( 1 1 0 2−2 −1 2 −3

2 0 −4 2

)⇔

F1 → F1

F2 → F2 + 2F1

F3 → F3 − 2F1

⇔

(1 1 0 20 1 2 10 −2 −4 −2

)⇔

F1 → F1

F2 → F2

F3 → F3 + 2F2

⇔(1 1 0 2

0 1 2 10 0 0 0

)⇔

{x + y = 2

y + 2z = 10 = 0

Por otra parte, las transformaciones que hemos efectuado sobre las filas de la matrizampliada pueden expresarse matricialmente en la forma

F1 → F1

F2 → F2 + 2F1

F3 → F3 − 2F1

⇔(

F1

F2

F3

)→

( 1 0 02 1 0

−2 0 1

)(F1

F2

F3

)

F1 → F1

F2 → F2

F3 → F3 + 2F2

⇔(

F1

F2

F3

)→

(1 0 00 1 00 2 1

)(F1

F2

F3

).

Las matrices

M1 =

( 1 0 0−2 1 0

2 0 1

)y M2 =

(1 0 00 1 00 2 1

),

se llaman matrices de cambio correspondientes a cada una de las transformaciones. Elefecto producido sobre la matriz ampliada del sistema por cada una de estas transfor-maciones puede obtenerse multiplicando a izquierda por cada una de estas matrices decambio. Mas concretamente, la transformacion 1a puede expresarse como

M1 ·B =

( 1 0 0−2 1 0

2 0 1

)( 1 1 0 2−2 −1 2 −3

2 0 −4 2

)=

(1 1 0 20 1 2 10 −2 −4 −2

)= B′


y la transformacion 2a se corresponde con el producto,

M2 ·B′ =

(1 0 00 1 00 2 1

)(1 1 0 20 1 2 10 −2 −4 −2

)= B′′.

La matriz B′′ resultante tras estas transformaciones se puede escribir

B′′ = M2 ·B′ = M2 · (M1 ·B) = (M2 ·M1) ·B = M ·B,

donde M = M2 ·M1 =

(1 0 00 1 00 2 1

)·(1 0 0

0 1 00 2 1

)=

( 1 0 02 1 0

−2 2 1

).

Podemos decir que la matriz M es la matriz que sintetiza todos las transformaciones quehemos de efectuar sobre las filas de la matriz ampliada o sobre las ecuaciones del sistemapara convertirlo en un sistema triangular equivalente.Ademas, puesto que la 3a fila de la matriz final es nula, la 3a fila de la matriz M tiene unsignificado especial:

−2F1 + 2F2 + 3F3 = 0 ⇒ F3 = 2F1 − 2F2,

lo que nos dice que la 3a fila de la matriz B es combinacion lineal de la 1a y la 2a filas, olo que es lo mismo, que la 3a ecuacion del sistema S es combinacion lineal de la 1a y de la2a. De hecho, E3 = −2E1 + 2E2 como puede comprobarse directamente.

3.2.4 Metodo de Cramer

Un sistema lineal de n ecuaciones y n incognitas se dice que es un sistema de Cramersi la matriz de coeficientes del sistema es regular.

Si escribimos el sistema en la forma matricial abreviada

A ·X = C, (3.2.1)

donde A ∈Mn, entonces la condicion para que (3.2.1) sea un sistema de Cramer esque det(A) 6= 0. Esta condicion es equivalente a que rango(A) = n, lo que implicaque tambien rango(B) = n. Por tanto, aplicando el Teorema de Rouche-Frobeniusconcluimos que todo sistema de Cramer es compatible determinado. Ademas, launica solucion del sistema (3.2.1) se puede obtener como

X = A−1 · C, (3.2.2)

o equivalentemente, en cada coordenada

i︸︷︷︸

xi =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 · · · c1 · · · a1n

a21 · · · c2 · · · a2n...

. . ....

. . ....

an1 · · · cn · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣|A| , i = 1, 2, · · · , n, (3.2.3)

donde el determinante que figura en el numerador es el determinante de la matriz decoeficientes en la que hemos sustituido la i-esima columna por el vector de terminosindependientes.


- Ejemplo 3.8

• El sistema {x− z = 0

2x− y + z = 3x− y + 3z = 4

⇔(1 0 −1

2 −1 11 −1 3

)·(

xyz

)=

(034

),

es un sistema de Cramer, dado que

det(A) =

∣∣∣∣∣1 0 −12 −1 11 −1 3

∣∣∣∣∣ = −1 6= 0.

Para calcular la solucion del sistema podemos utilizar la igualdad (3.2.2),

X = A−1 · C ⇒(

xyz

)=

(1 0 −12 −1 11 −1 3

)−1 (034

)=

(2 −1 15 −4 31 −1 1

) (034

)=

(101

).

El mismo resultado obtendrıamos si hacemos uso de la formula (3.2.3):

x =

∣∣∣∣∣0 0 −13 −1 14 −1 3

∣∣∣∣∣|A| = 1, y =

∣∣∣∣∣1 0 −12 3 11 4 3

∣∣∣∣∣|A| = 0, z =

∣∣∣∣∣1 0 02 −1 31 −1 4

∣∣∣∣∣|A| = 1.

3.2.4.1 Metodo de Cramer generalizado. La formula (3.2.3) puede aplicarsetambien para resolver sistemas compatibles que no son de Cramer; es decir, a sis-temas donde A no es cuadrada o A no es regular. El metodo consistira en reducirel sistema inicial a otro sistema que sea de Cramer eliminando las ecuaciones quesean combinacion lineal de las restantes y pasando al segundo termino las incognitasque no esten controladas (a las que asignaremos valores arbitrarios). Ilustramos elmetodo con el siguiente ejemplo.

- Ejemplo 3.9

• Consideremos el sistema S ≡{ 3x− 2y − 2z = 8−x + 3y + 4z = 52x + 5y + 2z = 13

En primer lugar, observamos que no es de Cramer, dado que

det(A) =

∣∣∣∣∣3 2 −4

−1 3 42 5 2

∣∣∣∣∣ = 0,

lo que significa que rango(A) ≤ 3.Veamos si se trata de un sistema compatible. Para ello estudiamos los rangos de lamatriz A y de la matriz ampliada del sistema.

A =

( 3 2 −4−1 3 4

2 5 2

), B =

( 3 2 −4 8−1 3 4 5

2 5 2 13

).

Puesto que∣∣∣∣

3 2−1 3

∣∣∣∣ = 11 6= 0 ⇒ rango(A) = 2,

∣∣∣∣∣3 2 8

−1 3 52 5 13

∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ rango(B) = 2.


Luego, rango(A) = rango(B) = 2 < 3 = numero de incognitas y el sistema es com-patible indeterminado. Para resolver el sistema procedemos de la siguiente forma:

1) Tomamos el menor distinto de cero que hemos seleccionado para determinar elrango del sistema,

x y↓ ↓

E1 → 3 2E2 → −1 3

obtenido tomando las dos primeras filas de la matriz A y las dos primeras colum-nas (que corresponden a las variables x e y).

2) Suprimimos aquellas ecuaciones que no intervienen en este menor (dado queseran combinacion lineal de las ecuaciones que sı intervienen en el). En nuestrocaso, suprimimos la 3a.

3) Aquellas incognitas que no intervengan en el menor seleccionado (en nuestrocaso la z) las pasamos al otro termino y le asignamos un valor arbitrario (talesincognitas no estan sometidas a control).

Tras estas operaciones, el sistema resultante sera:{

3x + 2y = 8 + 2z−x + 3y = 5− 4z

Finalmente, resolvemos el sistema anterior aplicando la formula de Cramer (3.2.3),

x =

∣∣∣∣8 + 2z 25− 4z 3

∣∣∣∣∣∣∣∣

3 2−1 3

∣∣∣∣=

14 + 14z11

,

∣∣∣∣4 8 + 2z−1 5− 4z

∣∣∣∣∣∣∣∣

3 2−1 3

∣∣∣∣=

23− 10z

11, z = λ, λ ∈ R.

La solucion vendra dada por

x =1411

+1411

λ

y =2311− 20

11λ

z = λ

, λ ∈ R.

3.2.5 Metodo de Gauss-Jordan para el calculo de la matriz inversa

En la practica, la formula

X = A−1 · C,

para resolver sistemas de Cramer resulta muy poco operativa debido a que el calculode la matriz inversa (utilizando la matriz adjunta) es demasiado engorroso paran ≥ 2. Por otra parte, el calculo de la matriz inversa es una operacion que tieneinteres en si mismo dado que tiene muchas aplicaciones. El metodo de Gauss-Jordansimplifica notablemente el calculo de la inversa de una matriz regular por medio dela realizacion de combinaciones lineales sobre las filas de esta y esta fundamentadoen la siguiente propiedad que ya pusimos de manifiesto en la segunda parte delEjemplo 2.5.


+ Resultado 3.2.2 El efecto de la multiplicacion M ·N es equivalente a realizarcombinaciones lineales en las filas de la matriz N. Los coeficientes que figuran enestas combinaciones lineales son precisamente los elementos de las filas de la matrizM .

- Ejemplo 3.10

• Sean M =(

1 −1 32 1 1

)y N =

( 1 2 0−3 0 1

1 −3 2

), cuyo producto viene dado por

M ·N =(

1 −1 32 1 1

)·( 1 2 0−3 0 1

1 −3 2

)=

(7 −7 50 1 3

).

Observemos que el primer vector fila de la matriz M ·N puede escribirse como(7,−7, 5) = 1(1, 2, 0)− 1(−3, 0, 1) + 3(1,−3, 2),

es decir, la primera fila de M ·N se obtiene como combinacion lineal de las filas dela matriz N utilizando como coeficientes los elementos de la primera fila de M . Lomismo ocurre con la segunda fila de la matriz M ·N ,

(0, 1, 3) = 2(1, 2, 0) + 1(−3, 0, 1) + 1(1,−3, 2),donde ahora los coeficientes son los elementos de la 2a fila de la matriz M .Una situacion analoga se produce sobre las columnas de la matriz M cuando efec-tuamos el producto M ·N. Mas concretamente, las columnas de la matriz M ·N seobtienen como combinacion lineal de las columnas de M donde los coeficientes sonlos elementos de las columnas de N. Ası, por ejemplo, la 2a columna de la matrizM ·N , puede escribirse como(−7

1

)= 2

(12

)+ 0

(−11

)− 3

(31

).

Se trata de una combinacion lineal de las columnas de la matriz M utilizando comocoeficientes los elementos de la 2a columna de la matriz N .

Sea A una matriz regular y sea M = A−1. Entonces se cumple que

M · A = I. (3.2.4)

De acuerdo con la Proposicion 3.2.2, los vectores fila de la matriz M ·A son combina-ciones lineales de los vectores fila de la matriz A. Por tanto, la igualdad (3.2.4) nosdice que podemos transformar la matriz A en la matriz I efectuando combinacioneslineales de los vectores fila de A. La matriz M es, entonces, la matriz que nos indicacuales son las combinaciones lineales necesarias para conseguir esta transformacion.

Por otra parte, se tiene queM · I = M = A−1,

lo que nos indica que si realizamos con los vectores fila de la matriz I las mismascombinaciones lineales que hemos realizado anteriormente en la matriz A, entoncesla matriz I se transforma en A−1.

Esto nos da un procedimiento para encontrar la inversa de una matriz regular quese conoce como metodo de Gauss-Jordan. Consiste en lo siguiente:


a) Hagamos en la matriz A las combinaciones lineales de sus filas que sean nece-sarias para transformarla en la matriz I.

b) Hagamos esas mismas combinaciones lineales con los vectores fila de la matrizI.

c) Cuando la matriz A se haya transformado en la matriz I, entonces la matrizI se habra convertido en la matriz A−1.

En la practica consideraremos la matriz (A|I) obtenida ampliando la matriz A conla matriz I. El metodo de Gauss-Jordan se sintetiza en el siguiente esquema:

(A|I) → mediante combinaciones lineales de filas → (I|A−1).

- Ejercicio 3.11

• Calcular la matriz inversa de la matriz A =

(1 0 −30 2 11 0 0

)

Solucion:

(A|I) =

(1 0 −3 1 0 00 2 1 0 1 01 0 0 0 0 1

)→

F1 → F3

F2 → F2

F3 → F1

→(1 0 0 0 0 1

0 2 1 0 1 01 0 −3 1 0 0

)→

F1 → F1

F2 → F2

F3 → F3 − F1

→(1 0 0 0 0 1

0 2 1 0 1 00 0 −3 1 0 −1

)→

F1 → F1

F2 → 12 F2

F3 → −13 F3

→

1 0 0 0 0 10 1 1

2 0 12 0

0 0 1 −13 0 1

3

→

F1 → F1

F2 → 12 F3

F3 → F3

→

1 0 0 0 0 10 1 0 1

612 −1

60 0 1 −1

3 0 13

= (I|A−1).

La matriz inversa sera A−1 =

0 0 116

12 −1

6−1

3 0 13

.

3.2.6 Sistemas homogeneos.

Una clase de sistemas particularmente sencillos de clasificar son los sistemas ho-mogeneos. En la primera seccion del capıtulo ya vimos que un sistema A · X = Ces homogeneo cuando C = 0, (todos los ci = 0, i = 1, 2, · · ·m). De forma evidente,la solucion trivial es siempre solucion del sistema. Por consiguiente concluimos quetodo sistema homogeneo es un sistema compatible. Ademas, en este tipo de sistemasel rango de A siempre coincide con el rango de la matriz ampliada B. En definitiva,el Teorema 3.1.1 se concreta en el siguiente resultado:

+ Corolario 3.2.1 Un sistema lineal homogeneo es compatible determinado si,y solo si, rango(A) es igual al numero de incognitas. En caso contrario, el sistemaes compatible indeterminado.


- Ejemplo 3.12

• El sistema {x + y + z = 0x− y − z = 02x + 2y + z = 0

es un sistema homogeneo y compatible determinado con solucion trivial (x, y, z) =(0, 0, 0), cuya forma matricial es

( 1 1 11 −1 −12 2 1

)(xyz

)=

( 000

).

3.3 RESOLUCION DE SISTEMAS CON MATHEMATICA.

Mathematica lleva implementado una serie de comandos para la clasificacion y reso-lucion de sistemas.

- Ejemplo 3.13

• El sistema

x + t = 1y + z + t = 1

y + z = 0−x + y = 1

x− t = 0

es incompatible (vease Ejemplo 3.4).

El siguiente comando de Mathematica nos facilita la misma conclusion

Reduce@8x + t � 1, y + z + t � 1, y + z � 0, −x + y � 1, x − t � 0<D

False

• La solucion del sistema

{x− z = 0

2x− y + z = 3x− y + 3z = 4

es (1, 0, 1).

La solucion puede obtenerse com Mathematica mediante el comando

Reduce@8x − z � 0, 2 x − y + z � 3, x − y + 3 z � 4<D

x == 1 fl y == 0 fl z == 1

o el comando

Solve@8x − z � 0, 2 x − y + z � 3, x − y + 3 z � 4<D

88xØ 1, zØ 1, yØ 0<<

56 RESOLUCION DE SISTEMAS CON MATHEMATICA.

Tambien podemos emplear el comando siguiente, donde las matrices que aparecenson la matriz de coeficientes A y la de terminos independientes C,

LinearSolveAi

k

jjjjjjj

1 0 −12 −1 1

1 −1 3

y

{

zzzzzz,i

k

jjjjjj

034

y

{

zzzzzzE

i

k

jjjjjjjj

1

0

1

y

{

zzzzzzzz

• Para discutir y resolver el sistema{ (m + 2)x1 + x2 + x3 + mx4 = 0

mx1 + (m− 1)x2 + x3 + (m− 1)x4 = −1−m(m + 1)x1 + (m + 1)x3 = −4

segun los valores de m utilizamos el comando

Reduce@8Hm + 2L x1 + x2 + x3 + m x4 � 0,

m x1 + Hm − 1L x2 + x3 + Hm − 1L x4 � −1 − m, Hm + 1L x1 + Hm + 1L x3 � −4<D

m == 1 fl x2 == -2 x1 - x4 + 2 fl x3 == -x1 - 2Î x2 ==-m2 + x1 m - 3m + x1 - 4ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

m2 - 1Ì

x3 ==-m x1 - x1 - 4ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

m + 1Ì x4 ==

-x1 m2 - x1 m +m + 7

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅm2 - 1

Ìm - 1 ∫ 0Ìm + 1 ∫ 0

A la vista de este resultado se concluye que

a) Si m = 1, el sistema es compatible indeterminado con soluciones

(x1,−2x1 − x4 + 2,−x1 − 2, x4), x1, x4 ∈ R.

b) Si m 6= 1,−1, el sistema es compatible indeterminado con soluciones(

x1,−m2 + mx1 − 3m + x1 − 4

m2 − 1,−mx1 − x1 − 4

m + 1,−m2x1 −mx1 + m + 7

m2 − 1

).

c) Si m = −1, el sistema es incompatible.



1.- Discutir y resolver, cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones segunlos valores de a y b, {

a x + b y + z = 1x + a b y + z = 1x + b y + a z = 1

.

2.- Analizar y resolver cuando sea posible el siguiente sistema de ecuaciones segunlos valores de a y b,

a x + y + z + t = 1x + a y + z + t = b

x + y + a z + t = b2

x + y + z + t = b3

.

3.- Discutir y resolver, cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones segunlos valores de p y q, {

x + p(y + z) = qy + p(x + z) = qz + p(x + y) = q

.