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2. Lecture SS 2005

Optimization, Energy Landscapes, Protein Folding 1

Many aspects of the folding process can be understood from studying the energetic properties of a random heteropolymer (RHP).

Helpful tool: lattice models of protein conformations

Simplest model uses two kinds of residues (i.e. hydrophobic and hydrophilic amino acids) that are randomly distributed.

Simulations show(1) small modest structural changes give rise to large changes in energy(2) low energy states exist that are very different in structure but close in energy.

Energy Landscape of a Random Heteropolymer

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Foldable sequences

Onuchic, Luthey-Schulten, Wolynes, Annu Rev Phys Chem 48, 545 (1997)

Within the space of random heteropolymersbased on the 20 naturally occurring aminoacids there would be 20N possible sequences of length N.

Only a small subset of these sequences are thermodynamically and kinetically foldable on the appropriate biological timescale seen in nature.

The kinetically allowed set is shown to lie within the thermodynamic core.

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Random energy model (REM)


The random energy model was originally developed by Derrida to describe spin glasses, and was first applied to biopolymers by Bryngelson and Wolynes (1987) as a 0-th order approximation.

The low-energy structures of a RHP, represented by a lattice with two kinds of residues, are unrelated and the conformational changes are associated with a fluctuation in the energy.

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Energy landscape of a random heteropolymer


For a random sequence, the sum of interactions is expected to produce a Gaussian probability distribution for the energy

where and are the mean and standard deviation of the distribution, respectively.

2

2

2 2exp

2

1

EEP

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Energy landscape of a random heteropolymer


entro

py The system runs out of entropy when the average energy falls below E0, and this entropy crisis

is characterized by a glass transition temperature TG, which depends on the corresponding conformational entropy and fluctuations.

If is the total number of configurational states the the entropy can be written as

EPkES ln

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The system runs out of entropy when the average energy falls below a critical value E E0 such that S(E) = 0, or P(E) = 1/.

This entropy crisis occurs at a glass-transition temperature TG where

Properties of Random Heteropolymers

2ln2

2ln2

2ln

2

2ln2

22

exp

12

exp2

1

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

E

E

E

E

E

E

Two solutions, lower energy correspondsto entropy crisis ...

(without derivation assuming a microcanonical distribution)

22lnln2

k

Tg

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Folding energy funnel


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Foldable sequences


Phase diagram and folding scenarios according to the minimally frustrated REM analysis.

(Top) The phase diagram along a line of some average sequence hydrophobicity shows the possible thermodynamic states of a protein modeled as a minimally frustrated heteropolymer. Varying the hydrophobicity by changes in solvent and temperature can modify the number of phases observed in the folding process.

(Bottom) The free-energy curves consistent with the above phase diagram exhibit various folding scenarios: Type 0 and 1 are examples of fast folding, downhill with no barrier and a small barrier in the latter. These are typical scenarios for well-designed proteins at temperatures below the folding temperatures and conditions such that the glass transition is not encountered. The Type II scenarios occur at the right-hand side of the phase diagram under conditions that favor the formation of the glassy state either after or before the thermodynamic transition barrier.

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Das Modell ist ein dreidimensionales Kopolymer.Polymere werden als self-avoiding walks auf einem kubischen Gitter dargestellt.

Das Wechselwirkungspotential soll kompakteZustände bevorzugen. Die Polymerkette sollkollabieren und sich falten. Das heisst, man braucht ein Potential, das den hydrophobenEffekt nachahmt, der die dominierenden Kraftfür die Proteinfaltung ist.

Das Potential besteht aus Kontakt-Wechsel-wirkungen zwischen nächsten Nachbarn.Das Potential soll einen eindeutigen Grund-zustand besitzen.

Simulationsmodell

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Foldable sequences


A random configuration for a 27-mer sequence encountered en route to the native structure. The maximally compacted conformationl for this sequence, not shown here, has the shape of a 3 3 3 cube.

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Monte Carlo moves(1) A rotation by angle in the xy-plane can be achieved by application of the rotation matrix

(det() = cos2 +sin2 = 1 rotation preserves distances)

while a rotation by angle in the xz-plane can be achieved by the rotation matrix

note that cos(-) = cos and sin(-) = -sin

1000cossin0sincos

cos0sin010sin0cos

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Monte Carlo moves(2) A corner move.

(3) A crankshaft move.

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[nach A.R. Dinner, M. Karplus, J. Phys. Chem. B, 103, 7976 (1999)]

* In früheren Monte Carlo-Simulationen mit 27-meren auf einem kubischen Gitter (Anfang – Mitte der 90er Jahre) war die einzige Bedingung (notwendig und hinreichend) für die Fähigkeit einer Sequenz, eindeutig zu einem nativen Zustand zu falten, daß dieser ein globales Minimum der freien Energie sein mußte und zugleich durch einen ausreichend großen Energieabstand zu den übrigen Zuständen getrennt sein mußte.

* Es gab keine Korrelation zwischen der Faltungsrate und anderen Eigenschaften der Sequenz, wie z.B. dem Anteil an Sekundärstruktur.

27-mer Proteinmodell

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Kette H-H-H-P-P-H-P-H ….attraktive WW zwischen H-H und P-P, neutrale WW zwischen H-P

Die Faltung solch eines 27-mers geschieht durch:- einen schnellen Kollaps (ca. 104 MC-Schritte)- gefolgt von einer langsamen, nicht-gerichteten Suche (ca. 107 MC-Schritte) durch die ca. 1010 semi-kompakten Strukturen nach einem der ca. 103 Übergangszustände. - Der anschließende Übergang in den nativen Zustand ist wiederum rasch (ca. 105 MC-Schritte)

Diese Einschränkung der Suche auf kompakten Unterraum des Konfigurations-raums löste gewissermaßen das Levinthal-Paradoxon für solch ein 27-mer.

Jedoch scheint dieser Mechanismus nur für kleine Proteine gültig zu sein, da die Faltungszeit exponentiell mit der Länge der Aminosäurekette ansteigt und unrealistisch hoch wird für mehr als 80 Residuen.

27-mer HP-Proteinmodell

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Faltung auf Oberfläche der freien Enthalpiegeringe Temperatur hohe Temperatur

Dobson, Karplus,Angew. ChemieInt. Ed. 37, 868 (1998)

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* konstruiere also Modell, das Proteinfaltung für größere (und realistischere) Proteine beschreibt* 125-mere mit einem maximal kompakten 5 x 5 x 5 nativen Zustand haben eine ähnliche Länge und Oberfläche-zu-Volumen-Verhältnis (22%) wie globuläre Proteine.

Polymerkette soll sich gemäß self-avoiding-walk falten.

neue Energiefunktion für eine Konformation (modifiziertes Go-Modell)B0 ist eine mittlere attraktive WW, entsprechend einer allgemeinen hydrophoben WWBij ist die sequenzspezifische WW:

native Kontakte (Bij)mittlere WW e= -1.67, Standardabweichung 1.0

nicht-native Kontakte (Bij0)mittlere WW e= 0, Standardabweichung 1.0


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Proteinfaltung

Energie des Systems

Gesamtzahl der nativenKontakte N

Prozentsatz Q an gesamterZahl nativer Kontakte.


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Analogie zu exp. Daten für richtige Proteine:NMR-Daten für Faltung von Lysozym

Man findetzwei Faltungs-pfade. Der gelbe ist schnell,der grüne langsam.


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Proteinfaltung ist durch verschiedene Grade an Ordnung bestimmt!

Die meisten dynamischen Experimente untersuchen nur eine Sorte von Ordnung,z.B. die Kompaktheit, Anteil der Sekundärstruktur, spezifische tertiäre Kontakte..

Generell kann man den Faltungsprozess mit der Theorie von Energielandschaftenund dem Konzept eines Faltungstrichters beschreiben.

Um eine Anzahl von Faltungsexperimenten vollständig zu verstehen muss man dieEigenschaften dieses Trichters durch eine multidimensionale Sicht seiner Formund statistischen Eigenschaften verstehen.

Verschiedene Faltungsszenarien entstehen durch die Balance zwischen demKollaps-Ordnungs-Parameter Z und einem Ordnungsparameter, der für bestimmtetertiäre Kontakt empfindlich ist, Q.

neue Sicht der Proteinfaltung:Proteinfaltungstrichter,energy landscape model

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Tf : die Faltungstemperatur, unter der sich das Protein spontan in den nativen Zustand faltet.

Tg : die Temperatur des Glas-Übergangs.

Analogie zwischen Proteinen und Spingläsern.

Der Grad an Nicht-Exponentialität hängt mit der Struktur der Energielandschaft zusammen.

2 wichtige Temperaturen

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l l u uE N E N E

Nl ist die Anzahl an Kontakten zwischen

Monomeren desselben Typs (like contacts),Nu ist die Anzahl der nicht-ähnlichen Kontakte.

Verwende entweder 2 oder 3 verschiedene Monomere.

Mit diesen beiden Parametern kann man dieEigenschaften des Modells gut diskutieren:

12 l u

het u l

E E E

E E E

Dimensionsloser Kollaps-Parameter

bezeichnet Stärke der Kollabierungskraft:

het

EE

= 1 ist das Limit grosser Hydrophobizität,

= 0 is das Limit geringer Hydrophobizität.

Wechselwirkungspotential

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Z misst die Kompaktheit der Kette:

total number of contactsZmaximum number of contacts

Q misst die Ähnlichkeit zum nativen Zustand:

Q = Anzahl der ausgebildeten nativen Kontakte

Faltungsszenarien unterschiedlicher Hydrophobizität

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2 schematische Faltungsszenarien

Fall grosser HydrophobizitätProzess in zwei Schritten::1 schneller Kollaps (durch Z getrieben)+ 2 Umordnung in native Struktur(getrieben durch Q)Freie Enthalpie Barriere.

Fall geringer HydrophobizitätKollaps und Faltung geschehen gleichzeitig.Downhill Faltung, keine Freie Enthalpie Barriere.

Faltungstrichter

Socci, Onuchic, WolynesProteins, 32, 136 (1998)

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Proteindynamik kann durch “Hopping” zwischen verschiedenen Konformationengeringer Energie dominiert sein (Bryngelson & Wolynes, 1987; Kidera & Go, 1998).

Falls die Energielandschaft nicht rauh ist, kann die Bewegung als Diffusion eines Teilchens auf einer Oberfläche der Freien Enthalpie alsFunktion des Faltungsordnungs-Parameters beschrieben werden.

Dies ist eine gute Beschreibung sollange die Rauhheit der Energieoberflächeklein gegenüber der Temperatur ist = solange Faltung durch eine Anzahl verschiedener Pfade geschieht..

Dies ist der Fall für T > Tg , der Temperatur des Glas-Übergangs.

Faltungskinetik

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Es ist schwierig einen Phasenübergang für ein kleines, endliches System genau zu definieren.

Grobes Kriterium: Faltungszeit.

Benutze Gittermodell um die Beziehung zwischen dynamischem slowing down und nicht-exponentieller Kinetik zu testen.

Messe den Bruchteil der Population, der ungefaltet bleibt als Funktion der Zeit, plotte als log-log Plot.

Einfach exponentieller Prozess besitzt charakteristische Signatur

Eine Power-law Abhängigkeit drückt sich durch eine breite Verteilung derLebensdauern aus und bewirkt lineare Kurven.

Quantifiziere den Glasübergang

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Proteinfaltung: gute Sequenz, hohe Hydrophobizität


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Proteinfaltung: gute Sequenz, geringe Hydrophobizität

Socci, Onuchic, Wolynes, Proteins, 32, 136 (1998)

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Geschieht Kollaps vor Faltung odergeschehen beide gleichzeitig?

Es gibt exp. Hinweise auf beideSzenarios in unterschiedlichen Systemen.

Freie-Enthalpie-Oberfläche für eine guteSequenz bei grosser Hydrophobizität:

Oben (Tf): zwei Minima, kinetisch 2-ZustandsverhaltenFaltung = Diffusion über Barriereexp. System: Protein G (all-atom MD)

Unten (geringe Temperatur):beide Minima kollabieren, down-hill FaltungFaltungszeit durch Diffusionskonstante bestimmt.

Kollaps vs. Faltung


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hohe Temperatur (A): nicht-gefaltetesMinimum ist nicht kollabiert. Kollaps undFaltung geschehen gleichzeitig.Faltung entlang von Linie Q = Z.

exp. System: Faltung eines 3-Helix-Bündels liegt in intermediärem Regine zwischen den Bedingungengrosser und geringer Hydrophobizität.

Gute Sequenz, geringer Hydrophobizität


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Die Darstellung als multidimensionaler Faltungstrichter (funnel) zeigt, dass man die Faltung kleiner Proteine abhängig von den Eigenschaften der Energie-Landschaft entweder als(a) einen direkt aktivierten 2-Zustands-Prozess oder(b) mit “Intermediaten” ansehen kann.

Die Art der Zwischenzustände hängt vom Zusammenwirken zwischen der Rauhheit der Energielandschaft (durch Lage des Glas-Übergangs bestimmt) und der allgemeinen Form des Faltungstrichters ab, die die thermodynamischen Barrieren bestimmt.

Zusätzliche Dimensionen:In richtigen Proteinen kann der Grad an lokaler Sekundärstruktur ein nahezu unabhängige Rolle von Q and Z bei der Charakterisierung der Landschaft spielen.

Die Ordnung von Seitenketten kann ebenfalls eine bedeutsame und möglicherweise separierbare Rolle spielen.

Zusammenfassung

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Das energy landscape Modell für die Proteinfaltung zeigt, daß es Protein geben kann, sogenannte fast folding proteins, bei denen die Faltung gewissermaßen down-hill stattfindet. Nun mag man sich fragen:* Wie schnell kann sich ein Protein überhaupt falten?* Ist Proteinfaltung schlußendlich ein diffusiver Vorgang?Dies wird bisher von Experimentalisten kontrovers diskutiert ...Es ist schwierig, die Bedeutung der Diffusion experimentell zu belegen. Die Zugabe eines Ko-Solvens (Glykol, ...), der die Viskosität verändert, beeinflußt (erhöht) oft auch die Stabilität des Proteins gegenüber thermischer Denaturierung (Entfaltung).Um zu beweisen, daß eine Erhöhung der Viskosität zu einer verlangsamten Faltung des Proteins führt, und damit Proteinfaltung ein diffusiver Prozeß ist, benötigt man Systeme, bei denen Zugabe von Ko-Solvens die Stabilität des Proteins NICHT verändert.Ein Beispiel dafür ist:Jacob, Geeves, Holtermann, Schmid, Nature Struct.Biol., 6, 923 (1999) Diffusional barrier crossing in a two-state protein folding reaction.

Zusammenfassung II

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