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13. Thirring-Lense-Effekt ("Frame-dragging"-Effekt)

Eigenrotation der Erde "verdrillt" die Raum-Zeit

Quelle: https://scitechdaily.com/laser-relativity-satellite-to-measure-frame-dragging-effect-of-general-relativity/, 31.5.2020

führt ebenfalls zur Präzession von Kreiseln

Übungsaufgabe 4! Einstein-Gleichungen:

Für Erde:

Massenverteilung:

Koordinaten:(Fast-)Minkowski-Koordinaten (Korrekturen )

⇒ D hyun = - 16171 Sm ( 13.1 )c. 4

(xn ) = Cct,X, y ,z )' Smu = Tru - Iz Mpv ( 13.2)

01h )

Hui - soft:{"" "

c) "⇒,⇒ Csm) .ee/:zmcuausicffkc"

Zork %) 43.4)

SCF) egfr , = {% ' r ERE

(13.5)O,or > RE

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Winkelgeschwindigkeit:

Erde rotiere als starrer Körper

zeitunabhängig Gl. (13.1) hat stationäre Lösungen, die erfüllen:

Mit :

Multipolentwicklung:

I = Wes ,w = ZI ( 13.6)

Tag

⇒ TCF) = @ XT = U"Ei

,Vi = Eirik wirxk (B. 7 )

Vi = Eijbswsixk( Eisk = - Eiger)

Suv ⇒

Shjyucr) = 8M€ gcr) ,D hoi CF) = 1G far) Eijkwsixk 43.8)

b÷* , = - 4th or CF-F's

::i÷÷÷÷: i:::y

'

¥1- I +r

'

t. . .

,

r - r

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Gl. (13.9):

Gl. (13.10):

wegen Symmetrie

⇒ = - 2¥ false 'gCrYt . . .= 113.11)-

IM

⇒ hoi = - 4€, Eijkwirfdrtglr ') (Erk + ×'kIl+ . . .)w

=

= - ¥3 Eijkwtixlfdrtgcr ') x' kx 't + . . .

-(Es, So 4tdfEdrr4=4gIREfoRzE8ke-

= -4G MRE =M

⇒F Eijkwtxk + . . .

= -ZFRfIwErJ us.rs

⇒ d@=lmµuthµv)dxMdxV=¥)hddp.az,

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Mit Gl. (13.6):

mit Winkelgeschwindigkeit

rotierendes Koordinatensystem!

Bewegungsgleichung des frei fallenden Kreisels:

Gl. (12.2): Terme Terme

geodätische Präzession Thirring-Lense-Effekt

Effekte sind additiv im Folgenden: betrachte nur Thirring-Lense-Effekt

es genügt, alle übrigen Terme in nullter Ordnung in und zu betrachten

⇒ ds2=G - F) Edt' - ( ltrfjdr'- Zgtfpewfxdy - ydx)dt Cos.14 )

⇒ w-ztztfRE-wftzffewn-2.rs - 1010W

WERE

⇒ dd¥= - r%µX5= nhpyu t - hoi 43.15)- -

⇒ ⇒

hoi - tf ⇒ h E

⇒ fun)=Cu9=Cc , 81T , csrtecsg-co.SI ,dt=dt

(13.151⇒ ddij cos .io

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, da zeitunabhängig

In führender Ordnung in :

Definiere

Thirring-Lense-Präzession

Präzession der Kreiselachse mit Winkelgeschwindigkeit

Drehung des lokalen IS mit gegenüber Fixsternhimmel

h

rij-nizkfdohyk-dzh.io#-oohozE)--Efojhoi- oihoj ) as .ms

⇒ h

b- = hoi Ei = hoiei ( 13.18)

ST E - E txh = [email protected])⇒ B x 5 = Eiikei Disk = Eiikeiczeiemcdehomsk 106.200

= Eet f - Gil Glenn + Sim Sek ) @ehom)sk= f- Ei C -dj how + Okhotsk = - cEirik sk CB -20

( 13.17 )"¥" dasI=A us.eu

-

s

-

⇒ a

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Berechne :

Drehung der Erde sorgt für Drehung des lokalen IS, "zieht" lokales IS "mit"

Nordpol:

Äquator:

is

Oj hok"312 '- E BIE Oj cattle = + ¥ BIEL C- kemal Oj Tmz cos .

-

=

r2 Gim - 3×5Xm-

r5

"Di = Cz Eirik 2g BRYE ekem we r2Edm-3m

or 5

= f rsRE ( Gil gin - gim g je ) we r2Edm-3mor 5

= ¥ Bart [wi ( 3 r2 - 3M) - wir2+3 xiao -F )⇒ sTczj=tzrsRe3CwF)pF-w✓ (13.23)

⇒ rn w ⇒

T 11 I ⇒ ST ( Nordpol ) = 2- TEE To > O5 a3.24)

Ftw ⇒ ST CA"quator) = - tract s O5

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Drehung eines Foucaultschen Pendels am Nordpol während eines Jahres:

(geodätische Präzession)

Experimenteller Nachweis:um geodätische Präzession auszuschließen, wähle (s. Gl. (12.8))

allerdings: auf Äquatorbahn ist dann

wähle Polroute Gl. (13.24): Effekt kompensiert sich teilweise, Mittelwert pro Jahr:

LAGEOS, Gravity Probe: Bestätigung des Thirring-Lense-Effektes mit ca. 10% Genauigkeit

Analogie zur Elektrodynamik:

S/O =D - 1a = I Ife,E . 21T - 365 = 4th . 73 . ,¥fE= 1. 28.10-6=0.263" ( 13.25)5

⇒ S/O a sa = 8.42 "(12.19 )

I 11 Eo5 110 115T ⇒ J - const .

(13.21)

⇒ ⇒

54=0.041 "

B = Exit ⇒ is = - Etxh

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Gravitomagnetische Kräfte:Bewegungsgleichung eines Teilchens: Geodätengleichung!

Bis zur Ordnung :

Analogie: Lorentz-Kraftgravitomagnetische Kraft

kompensiert in mit rotierendem Bezugssystem CorioliskraftFoucault-Pendel dreht sich nicht im rotierenden System, aber dreht sich mit im IS

deemdy

= - Tfa week (13.26)

OCI ) dE=dt ,= ( GUTT

(13.26)

⇒ ddIfi= - rioc? - 2e riju 't c- OCEI) 43.27)

- - (13.11)root - II ( 2 - Ffg) - - zoitf-toe.EE cars .

(2

-crijoi-crxo.li (B.29)(13.20)

⇒ dd¥=-t&cr1+25Hx# 113.301

EL -_qCEtvxB)⇒ 25267×8

⇒ B - 25T (F) xD

⇒is

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Gravitationsfeld einer mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Masse:

Ruhesystem des Teilchens: Koordinaten Geschwindigkeit

Energie-Impuls-Tensor

Lösung der Einstein-Gleichungen (s.o.): für

Koordinatentransformation in ein beliebiges Koordinatensystem:

Transformation in ein System , in dem sich Teilchen mit bewegt:Lorentz-Transformation! (bis auf Korrekturen der Ordnung h)

gravitomagnetisches Feld einer bewegten Masse

uZ'

x'M,

lie'M) - 6,851

⇒ T 'm = go ( I 8)⇒ hfeµ= - tf , h'µu=O Mtv (13.31 )

hun - h'go Ife IonE E

⇒ age - teal-JI - tuco) =L ) + OLED⇒ hµu=h'go %

⇒ hiya - hfyu + OLE:) , hoi = -12 Ith'ootOC¥) 113.32)

⇒ @ = foie, = -2Eet 43.33)

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Abschätzung der Größenordnung der gravitomagnetischen Kräfte:

2 Körper mit Massen m , m , Geschwindigkeiten v , v

gravitomagnetisches Feld von Körper 1:

Kraft auf Körper 2, Gl. (13.30):

(i) (Erde-Satellit, Sonne-Erde):

(ii)

im Schwerpunktsystem:

(Doppelsternsystem):

Unterdrückung der gravitomagnetischen Kräfte um Faktor gegenüber der ersten ART-Korrektur zur Newtonschen Gravitationskraft

gravitomagnetische Kräfte von derselben Größenordnung wie erste ART-Korrektur zurNewtonschen Gravitationskraft

I 2 1 2

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