14. Въведение в механиката на деформируемото...

189

Глава ІV. СЪПРОТИВЛЕНИЕ НА МАТЕРИАЛИТЕ

14. Въведение в механиката на деформируемото тяло.

14.1. Въведение.

Дисциплините “Съпротивление на материалите” и “Механика на

деформируемото твърдо тяло” са базови за редица инженерни науки с

приложения в строителната практика, машиностроенето,

корабостроенето и авиостроенето като “Машинни елементи”, “Статика

и динамика на съоръженията”, “Строителни конструкции”, “Теория на

еластичността”, “Теория на пластичността”, “Теория на пълзенето”,

“Аерохидроеластичност”, “Механика на почвите и насипните

материали”, “Скална механика” и др.

В теоретичната механика телата се разглеждат абсолютно твърди и

неизменяеми, поради което не възникват проблеми със запазването на

формата и размерите на конструктивните елементи. В действителност

под действие на външни сили всички твърди материални тела се

деформират, т.е. формата и размерите им се изменят.

° °

°

А

В

С

а) б)

° °

°

А

В

С

°f

F

Единият край на гредата AB (фиг.1а), е шарнирно закрепен в

неподвижна опора, а другия шарнирно се опира на вертикален прът BC.

Ако конструкцията се натовари със сила Fr

(фиг.1б), то тя се

деформира: гредата се огъва, а прътът се скъсява и отклонява от

първоначалното си вертикално положение, показано със щтрих. След

снемане на натоварването Fr

конструкцията или напълно възстановява

първоначалната си форма(фиг.1а) или остава деформирана, макар и в

по-малка степен, отколкото на фиг.1б). В първия случай под действие

на силата Fr

са възникнали еластични деформации, а във втория освен

еластични са се появили и остатъчни(пластични) деформации.

Възникването на остатъчни деформации може да доведе до нарушаване

на нормалната работа на конструкцията и затова те са недопустими.

Основна задача на дисциплината “Съпротивление на материалите” е

да даде отговор на въпроса за степента на надежност на машинните

детайли и възли, елементите на прибори и сгради, плавателните

съдове и летателните апарати.

Фиг. 1. Подпряна греда: а) ненатоварена; б) натоварена с външна сила Fr

.

190

Всеки конструктивен елемент трябва да е: достатъчно як, т.е. да не се

разрушава в експлоатационни условия; достатъчно корав, т.е. да не се

деформира недопустимо, нарушавайки правилното функциониране на

конструкцията; достатъчно устойчив, т.е. да запазва формата си при

натоварване с външни сили.

Конструктивните елементи са реални тела със сложна форма. Те са

изготвени от различни материали по свойства и структура и са

подложени на различни външни въздействия, което силно затруднява

тяхното аналитично описание и изследване. Ето защо изследванията се

правят върху един теоретичен модел на реалния обект(изчислителна

схема), който притежава основните за практиката свойства.

14.2. Схематизация на конструктивните елементи.

1. Основни схеми(хипотези) на свойствата на материала.

• Хипотеза за непрекъснатост и еднородност на материала –

материалната среда запълва плътно заемания обем и има едни и

същи свойства във всяка точка, което позволява прилагане на

математическия анализ(анализ на безкрайно малкото).

• Хипотеза за изотропност на материала – материалът има едни

и същи свойства във всички направления, прекарани в дадена

точка. Примери за анизотропни материали(различни физико-

механични свойства в две взаимоперпендикулярни направления)

са дървото, стъклопластите и текстилните материали.

• Хипотеза за идеална еластичност на материала – след

премахване на причините предизвикващи деформирането на

тялото, то възстановява първоначалните си форма и размери.

2. Схематизация на формата на конструктивните елементи.

При избора на модела се опростява и геометричната форма на реалното

тяло, като се използват следните схеми:

• Масивни тела – тела, при които характерните размери са от

еднакъв порядък(фиг.2а), например фундаменти на машини и

апарати, опори на мостове и сгради.

°

°

°°

°°

A

BO

h

S

a

b

c

O1

O

O2

ц.т.

напречно сечение

ос на гредата

а) б) в) Фиг. 2. а) масивно тяло; б) черупка; в) криволинейна греда.

191

• Пластини и черупки – тела, при които единият от характерните

размери(дебелината h ) е много по-малък от другите два. Черупка

(фиг.2б) се образува при движение на отсечката AB с постоянна

или променлива дължина, така че средната й точка O да остава

върху дадена повърхнина S , наречена средна повърхнина на

черупката. Ако средната повърхнина е равнина, то черупката се

нарича пластина. Примери се явяват различни корпуси на

резервоари, котли и химически апарати.

• Греди – тела, при които единият от характерните размери

(дължината L ) е много по-голям от другите два(фиг.2в).

Получава се от движението на равнинна фигура перпендикулярно

на дадена крива, като центъра на тежестта на фигурата остава

върху кривата. В зависимост от кривата гредите биват:

пространствени, равнинни, криволинейни и праволинейни. Греда,

която е натоварена със сили действащи по оста й се нарича прът.

3. Схематизация на натоварването.

Натоварване се нарича равновесната система от външни сили

състояща се от активни сили и реакции на връзките. Силите се

класифицират по два признака:

� По начина на прилагане към тялото:

• Обемни – имат гравитационна или електромагнитна природа.

Върху материална точка VM ∈ , заобиколена от елементарен обем

dV , действува сила dVk , където ]/[3

mNk е интензитет на силата.

• Повърхностни – появяват се при пряко взаимодействие на телата.

Върху материална точка от контактната повърхнина SM ∈ ,

заобиколена от елементарна площ dS , действува сила dSp , където

]/[2

mNp е интензитет на силата(налягане).

• Линейно разпределени сили и моменти(фиг.3а,б) - действуват по

дължината на дадена линия от тялото. Тази схематизация се

прилага когато напречния размер на тялото е много по-малък от

дължината на линията. Върху елементарна дължина dx действува

сила dxqdQ .= или момент dxmdM .= , където ][],/[ NmmNq - интензитети.

xО

q(x)Q

x dx

xC

°

l

d dxQ=q

xО

m(x)M

x dx

xC

°

l

d dxM=m

CC

a) б) Фиг.3. Променливи линейно разпределени: а) сили, б) моменти.

192

На фиг.3 а е представен линейно разпределен товар с променлива

интензивност ],0[),( lxxq ∈ върху греда. Фигурата заградена

между оста x , кривата ],0[),( lxxq ∈ и граничните значения )0(q и

)(lq се нарича диаграма за изменение на интензитета (товарна

диаграма), която може да представлява различни геометрични

фигури като триъгълник, правоъгълник, трапец и др.

Линейно разпределените сили(моменти) могат да се заменят

еквивалентно с една равнодействаща сила(момент), която е с

големина равна на лицето на товарната диаграма ∫=l

dxxqQ0

).( и с

директриса минаваща през центъра на тежестта й(фиг.3а).

• Съсредоточени сила ][NP и момент ][NmM

в точка (фиг.4) - равнодействащи на

разпределени натоварвания, разпрострени

върху сравнително малки дължина, площ

или обем.

� По характера на действие към тялото:

• Статично натоварване – бавно нараства от нула и достига

стойност, която остава неизменна.

• Циклично натоварване – многократно се изменя във времето по

определен периодичен закон.

• Динамично(ударно) натоварване–прилага се внезапно, скоростно.

10.3. Метод на сечението.

Основната задача на дисциплината “Съпротивление на материалите” е

да се прецени дали дадено тяло, подложено на произволна система

външни сили, може да понесе натоварването без да се разруши или да

получи недопустими деформации.

За решението на тази задача е нужно да се намерят вътрешните сили

между материалните частици в резултат на действието на външните

сили, като се приложи методът на сечението.

(L) (R)

а) б) в)

Междумолекулярни сили(обект на физиката)

F1

F2

F3

Fn

(L) (R) (R)(L)

F1

F2

F3

Fn

Допълнителни междумолекулярни силив резултат на външните сили(обект на СМ)

Фиг. 5. а) ненатоварено тяло; б) натоварено тяло; в) вътрешни сили от натоварване.

Фиг.4. Съсредоточени сила и момент.

x

BA

193

Нека вземем едно ненатоварено тяло(фиг.5а) и мислено го разделим

чрез една равнина на две части, съответно лява )(L и дясна )(R . Между

частиците от двете страни на сечението действуват междумолекулярни

сили, които поддържат целостта му. Тези сили се изучават от Физиката.

Нека сега, това тяло да натоварим с уравновесена система външни сили

0~},...,,,{ 321 nFFFFErrrr

= (фиг.5б). Тогава, между материалните частици се

появяват допълнителни междумолекулярни(еластични) сили, в резултат

на външните(фиг.5в). Те са обект на Съпротивлението на материалите.

Тъй като тялото е било в равновесие, то и след разрязването двете

части ще останат в равновесие, т.е. вътрешните сили могат да се

определят от равновесието на силите върху произволна част(лява или

дясна). Вътрешните сили действуват във всяка точка от сечението, а те

са безброй. От статиката е известно, че можем да съставим само шест

скаларни уравнения в пространството. Ето защо, за да се реши задачата

вътрешните сили се редуцират до една динама(главен вектор Rr

и

главен момент CMr

) в дадена точка C , т.е. общо шест неизвестни

скаларни компоненти. За редукционен център C се приема центъра на

тежестта на сечението. Въвежда се координатна система Cxyz , където

ос Cx е нормала към сечението, Cy е насочена към зрителя, а Cz -

надолу(фиг.6). Компонентите на главния вектор ),,( ′= zy QQNRr

и главния

момент ),,( ′= CzCyCxC MMMMr

се наричат вътрешни или разрезни усилия

(фиг.6), където N е нормално усилие, zy QQ , - тангенциални(срязващи)

усилия, CxM - усукващ момент, а

CzCy MM , - огъващи моменти.

Нормалното усилие N (фиг.7а) се

противопоставя на действието на

външните сили да отдалечават по

направление на нормалата лявата от

дясната части на натовареното тяло.

Тангенциалните усилия zy QQ , (фиг.7б) се

противопоставят на действието на

външните сили да срежат гредата в

мястото на сечението, съответно в

хоризонтално и вертикално направления.

N

а ) ( д )z

y

xO

( л )

C

yQ

б ) ( д )z

y

xO

( л )

C

zQ

( д )z

y

xO

( л )

C

Фиг. 6. Вътрешни усилия.

(L)

С x

y

z

N

Qy

Qz

MCy

MCz

MCx

RMC

Фиг.7. Силови разрезни усилия: а) нормално; б) тангенциални по y и z.

194

Усукващият момент CxM (фиг.8а) се противопоставя на действието на

външните сили да завъртят лявата спрямо дясната части на

натовареното тяло, т.е да го усучат.

Огъващите моменти CzCy MM , (фиг.8б) се противопоставят на

действието на външните сили да завъртят лявата спрямо дясната части

на тялото, т.е. да го огънат съответно във вертикалната и

хоризонталната равнини.

xM

а )( д )

z

y

xO

( л )

C

yM

б ) ( д )z

y

xO

( л )

C

zM

( д )z

y

xO

( л )

C

Ако разгледаме равновесието на лявата част(фиг.4), то разрезните

усилия приемаме за положителни(отрицателни при дясна част). От

шесте условия за равновесие за вътрешните усилия получаваме:

(1)

.)(,)(,)(

,,,

111

111

∑∑∑

∑∑∑

===

===

−=−=−=

−=−=−=

LLL

LLL

n

i

iCzCz

n

i

iCyCy

n

i

iCxCx

n

i

izz

n

i

iyy

n

i

ix

FMMFMMFMM

FQFQFN

rrr

Тук Ln е брой на външните сили в лявата част на тялото.

10.4. Разрезни усилия и диаграмите им.

Методът на сечението позволява да се намерят разрезните усилия в

определено сечение на тялото. Движейки се по центровата ос на тялото

(съвкупността от точки, които са центрове на тежестта на сеченията) се

намират разрезните усилия във функция на криволинейната абциса s ,

определяща мястото на сечението върху оста.

Разположението и вида на натоварването, както и геометричната форма

на тялото обуславят границите на т.н. участъци на тялото, в които

разрезните усилия запазват вида на функционното си представяне по s .

Различават се участъци определени между съсредоточени сили или

моменти, участъци заети от разпределени товари и участъци

разграничени от рязко изменение на геометричната форма на тялото.

По дължината на центровата линия се правят сечения във всеки

участък за получаване на пълна представа за изменението на

разрезните усилия. Построяват се графиките на разрезните усилия

)(),(),(),(),(),( sMsMsMsQsQsN zyxzy за всеки участък с цел онагледяване.

Фиг.8. Моментови разрезни усилия: а) усукващо; б) огъващи по y и z.

195

Прието е положителните стойности на функциите )(),(),( sQsQsN zy да се

нанасят над центровата ос, a )(),(),( sMsMsM zyx - под центровата ос.

Фигурите ограничени от графиките, граничните ординати и оста се

наричат диаграми на разрезните усилия (фиг.9).

При разглеждане на рамки (фиг.11), характеризиращи се с начупена ос,

всяка праволинейна част от рамката се разглежда като греда, чиято

абциса x е по направлението на съответната част. За определяне на

оста z се използва т.н. реперна линия (прекъсната линия следваща оста

на рамката). Оста z се насочва перпендикулярно на x в посока на

реперната линия.

1) Разрезни усилия в права греда на две опори натоварена с

равнинна система сили.

Пример1: За показаната на фиг. 9 права греда на две опори, да се

определят опорните реакции, вътрешните усилия и начертаят

диаграмите им при следните данни:

3/,5.0,1,20,40,/10 πα ====== mbmakNmMkNPmkNq .

Ред на работа за определяне на разрезните усилия

1. Въвеждане на координатна

система ),,,( zyxA и замяна на опори.

Оста x е насочена по центровата

ос на гредата, xz ⊥ - надолу във

вертикалната равнина, а Ay ≡ -към

наблюдателя. Неподвижната

цилиндрична опора в т. A се

заменя с две перпендикулярни

реакции zx AA , съответно по x и z , а

подвижната цилиндрична опора в

т. B - с една реакция B по ос z ,

перпендикулярна на фундамента.

2. Определяне на опорни реакции.

Системата сили и моменти

действуващи на гредата AB е

}{},,,{ MBPQAErrrrr

+= .

Тук MPQrrr

,, е активно натоварване,

а BArr

, -реактивно.Qr е съсредоточена

сила с големина aqQ= , заменяща

еквивалентно правоъгълниковия разпределен товар с интензивност q .

Външното натоварване се изразява в координатната система ),,,( zyxA :

Фиг.9. Права греда на две опори.

° °A B

C

qΡ

Μ

α

a b

y=A

B

C

q

Ρ

Μ

α

x/2

b

D1

Q1

a/2 B

x

z

Ax Az

y=A

q

a/2D

Q

z

Ax Az

x

C1 Μy1

Qz1

N1 x

x

x

B

BC2

Μy2

Qz2

N2

x a+b-x

N

x

x

Μy

Qz

2020

8.543

1.547

33.094 33.094

16.547

3.453

(-)

196

zBBzAxAA zx

rrrrr−=−= , , ,sincos]),(cos),([cos

2/

zPxPzzPxxPPPrrr

43421

rrr

43421

rrrαα

απα

−=∠+∠=

+

yMMzBBzaqQrrrrrr

=−== ,, .

Векторните уравнения за равновесие са:

.0])(sin5.0[

)()()sin(cos5.0

)()()()()(

;0)cos()cos()(

2rr

rrrrrrrr

rrrrrrrrrrrrrrr

rrrrrrrr

=++++−=

=+−∧++−∧+∧=

=+∧+∧+∧+∧=++++=

=−−+−++=+++=

yMBbaPaqa

yMzBxbazxPxazaqxa

MBABPACQADAAAMBMPMQMAMEM

zBPqaAxPABPQAER

AAAAA

zx

α

αα

αα

Опорните реакции се намират от уравненията: ,20cos0cos)( kNPAPAxRER xxx −≡−=→=+=•≡ αα

rr

,sin0sin)( BPaqABPaqAzRER zzz −−=→=−−+−=•≡ ααrr

.094.33)sin5.0(1

0)(sin5.0)( 22 kNmMPaqaba

BMBbaPaqayMEM AAy −=−−+

=→=++++−=•≡ ααrr

От второто и третото уравнение намираме zA : .453.8sin kNBPaqAz =−−= α

Проверка. Моментово уравнение на E в C: 0)()()()()(rrrrrrrrrrr

≡++++= MBMPMQMAMEM CCCCC.

3.Разделяне на гредата на участъци(гредови интервали, в които

разрезните усилия са непрекъснати функции на x ). Определят се

границите на изменение на x за всеки от двата участъка 2,1=k :

1 уч. ax <≤0 ; 2 уч. baxa +≤< .

4. Прави се произволно напречно сечение за всеки участък и се

разглежда равновесието на частта от гредата, която е натоварена

по-просто (*)(фиг.9). Определят се разрезните усилия във функция на x :

.0)(,0,0 *** === ∑∑∑i

iyC

i

iz

i

ix FMFFк

r

За първия участък( 1=k ) използваме равновесието на лявата част:

.5453.85.0)(05.0:

,10453.8)(0:

,20)(0:

2

1111

1111

11

xxxQxAxMxQxAMy

xQAxQQAQz

cteAxNANx

zyzy

zzzz

xx

−≡−=→=+−

−≡−=→=+−

=≡−=→=+

Тук xqxQ 101 ≡= е съсредоточената сила от разпределения товар в

лявата част. За граничните точки 0=x и 1=x намираме:

547.1)1(,543.8)0( 11 −== zz QQ , 453.3)1(,0)0( 11 == yy MM .

За параболата )(1 xM y се добавя и средна точка( 5.0=x ): 9765.2)5.0(1 =yM .

За втория участък( 2=k ) използваме равновесието на дясната част:

).5.1(094.33)()(0)(:

,094.33)(0:

,0)(:

22

22

2

xxbaBxMxbaBMy

cteBxQBQz

ctexNx

yy

zz

−−≡−+=→=−++−

=≡−=→=−−

==

За граничните точки 1=x и 5.1=x намираме: 0)5.1(,547.16)1( 22 =−= yy MM .

5. Построяват се диаграмите на разрезните усилия(фиг. 9).

197

2) Разрезни усилия в запъната(конзолна) греда натоварена с

равнинна система сили.

Пример2: За показаната на фиг.10 запъната греда, да се определят

опорните реакции, вътрешните усилия и начертаят диаграмите им при

следните данни: 6/,5.0,1,15,10,/20 πα ====== mbmakNmMkNPmkNq .


1. Въвеждане на координатна

система ),,,( zyxA и замяна на опори.

Оста x е насочена по центровата

ос на гредата, xz ⊥ - надолу във

вертикалната равнина, а Ay ≡ -към

наблюдателя. Опората запъване в

A се заменя със запъващ момент зап

AyM по y и две перпендикулярни

реакции zx AA , съответно по x и z .

2. Определяне на опорни реакции.

Системата сили и моменти

действуващи на гредата AB е

},{},,{ MMQPAEзап

A

rrrrr+= .

Тук MPQrrr

,, е активно натоварване,

а AMзап

A

rr, - реактивно. Q

r е сила

съсредоточена в т. D, с големина

bqQ= , заменяща еквивалентно

правоъгълниковия разпределен

товар с интензивност q .

Външното натоварване се изразява в репера ),,,( zyxA : yMMzbqQrrrr

== , ,

)sin(cos]),(cos),([cos

2/

zxPzzPxxPPPrrr

43421

rrr

43421

rrrαα

απα

+=∠+∠=

−

, yMMzAxAAзап

Ay

зап

Azx

rrrrr=+= , .


.0])5.0(sin[

)()5.0()sin(cos

)()()()(

;0)sin()cos()(

rr

rrrrrrr

rrrrrrrrrrrrrr

rrrrrrr

=++++−=

=++−∧+++∧=

=++∧+∧+∧=++++=

=−+++=++=

yMMqbbaPa

yMyMzQxbazxPxa

MMQADPACAAAMMQMPMAMEM

zqbPAxPAQPAER

зап

Ay

зап

Ay

зап

A

зап

AAAAA

zx

α

αα

αα

Опорните реакции се намират от уравненията: ,66.8cos0cos)( kNPAPAxRER

xxx−≡−=→=+=•≡ αα

rr

,5sin0sin)( kNqbPAqbPAzRER zzz ≡+−=→=−+=•≡ ααrr

.5.22)5.0(sin0)5.0(sin)( kNmMqbbaPaMMMqbbaPayMEM зап

Ay

зап

AyAAy −≡−+−=→=++++−=•≡ ααrr

Фиг.10. Запъната права греда.

A BC

qΡ

Μα

a b

y=A

BC

q

a

Q2

b/2

x

z

Ax

Az

y=A

b/2D

Q

z

Ax

Az

x

C1 Μy1

Qz1

N1 x

x

x

BC2Μy2

Qz2

N2

x a+b-x

N

x

x

Μy

Qz

8.66

5 5

10

22.5

17.5

15

(-)

qΡ

α Μ

MAyзап

ΜMAyзап

8.66

(-)

MAyзап

MAyзап

(a+b-x)/2

198

Проверка. Моментово уравнение на системата сили E в т. C:

.0)5.0()(5.0)()(

)()()()(

2rrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrrrr

≡+++=++−∧++∧−=

=++∧+∧+∧=++++=

yMMqbaAyMyMzQxbzAxAxa

MMQCDPCCACAMMQMPMAMEM

зап

Ayz

зап

Ayzx

зап

A

зап

ACCCC

3.Разделяне на гредата на участъци. Определят се границите на

изменение на x за всеки от двата участъка 2,1=k :

1 уч. ax <≤0 ; 2 уч. baxa +≤< .


разглежда равновесието на частта от гредата, която е натоварена

по-просто(фиг.10). Определят се разрезните усилия във функция на x :

.0)(,0,0 *** === ∑∑∑i

iyC

i

iz

i

ix FMFFк

r

За първия участък( 1=k ) използваме равновесието на лявата част:

.5.225)(0:

,5)(0:

,66.8)(0:

11

11

11

+−≡−−=→=++

=−≡−=→=+

=≡−=→=+

xMxAxMMxAMy

cteAxQAQz

cteAxNANx

зап

Ayzy

зап

Ayzy

zzzz

xx

За граничните точки 0=x и 1=x намираме: 5.17)1(,5.22)0( 11 == yy MM .

За втория участък( 2=k ) използваме равновесието на дясната част:

.15)5.1(10)(5.0)(0)(5.0:

),5.1(20)()(0:

,0)(:

22

222

222

2

+−≡+−+=→=+−++−

−−≡−+−=→=−−

==

xMxbaqxMMxbaQMy

xxbaqxQQQz

ctexNx

yy

zz

Тук )5.1(20)(2 xxbaqQ −≡−+= е съсредоточената сила от разпределения

товар в дясната част. За граничните точки 1=x и 5.1=x намираме:

0)5.1(,10)1( 22 =−= zz QQ , 15)5.1(,5.17)1( 22 == yy MM .


5. Построяват се диаграмите на разрезните усилия(фиг. 10).

3) Разрезни усилия в рамка, натоварена с равнинна система

сили.

Пример3: Да се начертаят диаграмите на разрезните усилия за

показаната на фиг.11 рамка, натоварена според схемата при следните

данни: .6/;1;5,0;/10;/20;10;15 21 πα ======= mlmhmkNqmkNqkNPkNmM


1. Въвеждане на координатни системи: ),,,( 111 zyxA и ),,,( 222 zyxC (фиг.11).

Оста x е насочена по геометричната(центрова) ос на рамката, xz ⊥ -

към реперната линия, а Ay ≡1 и Cy ≡2 - към наблюдателя.

2. Определяне на опорните реакции.

Неподвижната цилиндрична опора в т. A се заменя с две

перпендикулярни реакции 11 , zx AA съответно по 1x и 1z , а прътовата

199

връзка BE след разрязване на пръта се представя чрез вътрешното

прътово усилие Br

насочено по дължината му.

Системата сили действащи на

рамката ACB е }{},,,,{ 21 MBQPQAErrrrrr

+= .

Външното натоварване се

изразява в репера ),,,( 111 zyxA :

.)cos(sin

]),(cos),([cos

,,

,,,

11

222

2/

2

1122

11111111

xzB

zzBxxBBB

yMMxQQ

zPPzQQzAxAA zx

rr

r

43421

rrr

43421

rrr

rrrr

rrrrrrr

αα

ααπ

−≡

≡∠+∠=

−==

==+=

−

Тук lqQhqQ 2211 5.0, == са

съсредоточените сили, които

заместват разпределените товари

съответно правоъгълников - 1q и

триъгълников - 2q . Векторните

уравнения за равновесие са:

,0)sin(

)cos5.0()(

111

12121rr

rrrrrrr

=++++

+−+=++++=

zBPhqA

xBlqABQQPAER

z

x

α

α

.0)cossin3/5.0(

)cos(sin)(

5.0])3/2([5.0

)()()()()()(

1

2

21

2

11111

121111111

2211

21

rr

rrrrr

rrrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrrrrrr

=−−−+−−=

=−−∧++

+∧++∧+∧=

+∧+∧+∧+∧+∧=

=+++++=

yMlBhBlqhPqh

yMxzBzlxh

xlqzlxhzPxhzhqxh

MBABQADPACQADAAA

MBMQMPMQMAMEM AAAAAA

αα

αα

Опорните реакции се намират от

скаларните уравнения:

,873.19cos5.0

0cos5.0)()(

21

2111

kNBlqA

BlqAxERER

x

xx

−≡+−=

→=−+=•=

α

αrr

,413.11sin

0sin)()(

11

1111

kNBPhqA

BPhqAzERER

z

zz

−≡−−−=

→=+++=•=

α

αrr

.174.17cossin

3/5.0

0cossin3/5.0

)()(

2

21

2

2

21

2

11

kNmlh

MlqhPqhB

MlBhBlqhPqh

yEMEM AAy

−=+

−+−−=

→=−−−+−−=

=•=

αα

αα

rr

Опорните реакции са: .174.17;413.11;873.19

11kNBkNAkNA zx −=−=−=

3. Разделяне на рамката на участъци(разрезните усилия са

непрекъснати функции на x ). Определят се границите на изменение на

x за всеки участък 2,1=k : 1 уч. hx <≤ 10 ; 2 уч. lx ≤< 20 .

Фиг.11. Рамка равнинно натоварена.

°A

B

C

q2Μ

α

h

Q1

B

x2

y1=A

l/3

Q2

z1

Ax1

Az1

C1

Μy1Qz1

N1

C2

Μy2

Qz2

N2

x l-x

N

Μy

Qz

(-)

E

q1

B

q2Μ

α

h

q1

x1

y2=C

z2

h/2

Q1 B

x2

y1=A

Q2

z1

Ax1

x

°B

q3

α

h

q1

x1

y2=C

x/2

*

**

z2

Az1

Q3

q2

x

(l-x)/3

(l-x)/2

x

x

x

x

x

(-)

200


разглежда равновесието на частта от гредата, която е по-просто

натоварена (*). Определят се разрезните усилия във функция на x : .0)(,0,0

*** === ∑∑∑i

iyC

i

iz

i

ix FMFFк

r

За първия участък, 1=k , 5.00 1 <≤ x :

;873.190: 11111 cteANANx xx ≡=−=→=+

;20413.110: 1111111 xxqAQQAQz zzzz −=−−=→=++ ∗

.10413.112/02/: 22

1111111 xxxqxAMxQxAMy zyzy −=+−=→=++ ∗

Тук разпределения товар в участъка се заменя със съсредоточена сила

xqQ 11 =• (фиг.11). За граничните точки 0=x и 5.0=x намираме:

413.1)5.0(,413.11)0( 11 == zz QQ , 2065.3)5.0(,0)0( 11 == yy MM .


За втория участък, 2=k , 10 2 <≤ x

;587.8sin0sin: 221 cteBNBNx ≡−==→=+− αα

;5873.19)/1(5.0)/1(cos0cos: 22

2223222 xlxlqlxxqBQQQBQz zz +−=−−−−=→=−−+− ∗∗ αα

.)1)(667.1666.1206.18())(cos3/25.0(

0)(cos3/2)()(5.0:

2

322

3222

xxxxlBQQM

xlBxlQxlQMy

y

y

−−−=−−+=

→=−−−+−+−

∗∗

∗∗

α

α

Тук трапецовидния разпределен товар в участъка се заменя със сбор от

два товара(фиг.11): правоъгълников с интензивност lxqq /22 =• и

триъгълников с интензивност )/1(23 lxqq −=• . Съсредоточените сили на

товарите са съответно: 2

233222 )/1(5.0)(5.0),/1()( lxlqxlqQlxxqxlqQ −≡−=−≡−= ∗∗∗∗ .

За граничните точки 0=x и 5.0=x намираме:

873.14)1(,873.19)0( 22 −=−= zz QQ , 0)1(,206.18)0( 22 == yy MM .

За параболата )(2 xQz се добавя и средна точка( 5.0=x ): 623.18)5.0(2 −=zQ .

За параболата )(2 xM y се добавят две допълнителни точки:

.451.5)3/2(,644.11)3/1( 22 == yy MM

5. Построяват се диаграмите на разрезните усилия(фиг.11).

4) Пространствена задача.

Пример 4: Да се начертаят диаграмите на разрезните усилия на права

запъната греда от фиг.12, натоварена със сили разположени в

пространството. Данни: ,10,2.0;1;/20 kNPmamlmkNq ==== като силата Pr

е в хоризонталната равнина и сключва ъгъл °30 с оста на гредата.


1. Въвеждане на координатна система ),,,( zyxA . Оста x е насочена по

геометричната (центрова) ос на гредата, xz ⊥ -надолу във вертикалната

равнина, а Ay ≡ - към наблюдателя.

201

2. Определяне на опорните реакции. Системата сили и моменти

действащи на гредата AB е }{},,{ зап

АMQPAErrrr

+= . Външното натоварване се

изразява в репера ),,,( zyxA : )3(5.0]),(cos),(cos),([cos

2/6/2/6/

yxPzzPyyPxxPPPrrr

43421

rrr

43421

rrr

43421

rrr−≡∠+∠+∠=

+ ππππ

,

.,, zMyMxMMzlqQzAyAxAA зап

Az

зап

Ay

зап

Ax

зап

Azyx

rrrrrrrrrr++==++=

Векторни уравнения за равновесие:

.0)()5.0()(

5.0)(

)()()()(

;0)()()()(

2rrrr

rrrrrrrrrr

rrrrrrrr

rrrrrrrr

=+++−−++−=

=+∧+∧−=+∧+∧+∧=

=+++=

=+++++=++=

zMlPyMqlaPxMaP

MQxlPzaxlMQADPABAAA

MQMPMAMEM

zqlAyPAxPAQPAER

зап

Azy

зап

Ayx

зап

Axy

зап

A

зап

A

зап

AAAAA

zyyxx

Тук е отчетено, че .5.0,,0 xlADzaxlABAArrrr

=−==

Опорните реакции се намират от


.5)5.0(0)(

;732.635.05.0

05.0)(

;15.00)(

;20;0)()(

;5)5.0(0)()(

;66.835.00)()(

2

2

kNmlPMlPMzMEM

kNmPaqlM

aPlqMyMEM

kNmaPMaPMxMEM

kNqlAlqAzERER

kNPPAPAyERER

kNPPAPAxERER

зап

Azy

зап

Az

зап

AAz

зап

Ay

x

зап

Ay

зап

AAy

зап

Axy

зап

Ax

зап

AAx

zzz

yyyyy

xxxxx

≡−−=→=+=•=

≡+=

→=−−=•=

−≡−=→=−=•=

−=−=→=+=•=

≡−−=−=→=+=•=

−≡−=−=→=+=•=

rr

rr

rr

rr

rr

rr

3.Разделяне на гредата на участъци

Има един участък по абцисата x : lx≤≤0 .

4. Прави се произволно напречно сечение

за участъка и се разглежда равновесието на частта от гредата, която е

по-просто натоварена (*), в случая дясната част. Силовото натоварване

върху тази част е }{},,{* 111 CMPQRЕrrrr

+= . Тук zxlqQrr

)(1 −= , а динамата на

вътрешните сили в 1C е zMyMxMMzQyQxNR zCyCxCCzy

rrrrrrrr

1111;1111 −−−=−−−= .

Разрезните усилия определяме от скаларните уравнения за равновесие:

).1(5)(5.00)(0)(

;732.1)1(100)(5.00)(

;100)(

);1(20)(0)(0

;55.000

;66.835.000

111

111

111

*

2

1

*

*

11

*

11

*

11

*

xxlPMxlPMFM

xMaPxlQMFM

cteaPMaPMFM

xxlqQxlqQF

ctePPQPQF

ctePPNPNF

zCyzC

i

izC

yCxyC

i

iyC

yxCyxC

i

iyC

zz

i

iz

yyyy

i

iy

xx

i

ix

−=−=→=−−−→=

−−−=→=−−−−→=

=≡=→=−−→=

−=−=→=−+−→=

=≡==→=+−→=

=≡==→=+−→=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

r

r

r

За граничните точки намираме: ,0)1(,20)0( 11 == zz QQ

,732.1)1(,232.4)5.0(,732.11)0(111

−=−=−=yyy CCC MMM 0)1(,5)0(

11==

zz CC MM .


Фиг.12. Пространственна задача.

AB

C

q

αa

ΜA

l/2xy

l/2D

Q

zA

C1

Μ1

R1

x

x l-x

N

x

x

Μy

Qy

8.668.66

5

11.7324.232

(-)

зап

B

C

q

αa

x

B

C

qα

a

Q1

D1

(l-x)/2

A

x

Qz

5

Μx

Μz

x

1.732

x

A

202

10.5. Диференциални зависимости между вътрешните усилия.

На фиг. 13 е дадена греда AB, натоварена най-общо със съсредоточени

и разпределени сили и моменти. Да означим с )(xqr

и )(xmr

интензитетите

на разпределените по ос x сили и моменти. Чрез две сечения съответно

на разтояние x и dxx + разглеждаме равновесието на елемент с

дължина dx . Със C и C ′ са означени центровете на тежестта съответно

на лявото и дясното сечение от

елемента. В тях са съсредоточени и

вътрешните усилия действащи в

сеченията съответно ),( CC MRrr

−− и ),( '' CC MRrr ,

които се различават с диференциална

величина, поради безкрайно малката

дължина dx на елемента, т.е.

CCCCCC MdMMRdRRrrrrrr

+=+= '' , ,

където

zQyQxNR CzCyCC

rrrr++= , zMyMxMM zCyCxCC

rrrr++= .

Елементът с дължина dx външно е натоварен с разпределени сили и

моменти съответно с гъстоти zqyqxqxq zyx

rrrr++=)( и zmymxmxm zyx

rrrr++=)( .

Системата сили натоварваща елемента е: },)(,{},)(,{* ' CCCC MdxxmMRdxxqRE ′−+−=rrrrrr

.

Условията за равновесие на елемента дават следните уравнения: ,)(0)(*)( ' dxxqRdRdxxqRER CCC

rrrrrrr−=→=++−=

.])([0)()()()(5.0

0)()(5.0*)(

2

'

dxRxxmMdMdRdRxdxdxxmdxxqx

MRCCdxxmdxxqCCMEM

CCCCC

CCCCrrrrrrrrrrrr

rrrrrrr

∧+−=→=++∧++∧

→=+∧′++∧′+−= ′

В получените векторни диференциални зависимости между

вътрешните усилия и интензитетите сме пренебрегнали членовете

съдържащи безкрайно малки от втори ред: 2)(dx и Rddxr

. Окончателно,

.)(),( yQzQxmdx

Mdxq

dx

RdCzCy

CC rrrr

rr

+−−=−=

За скаларните диференциални зависимости на вътрешните сили имаме:

),(),(),( xqdx

dQxq

dx

dQxq

dx

dNz

Cz

y

cy

x

C −=−=−=

).()(),()(),( xQxmdx

dMxQxm

dx

dMxm

dx

dMCyz

zC

Czy

yC

x

xC−−=+−=−=

В частен случай на натоварване на гредата в равнината xz под действие

на съсредоточени сили и моменти, и само разпределени сили (т.е.

0,0)( ≡== zCxC MMxmrr

) диференциалните зависимости на тангенциалното

усилие и огъващия момент от интензитета на разпределения товар са:

Фиг.13. Общо натоварена греда.

C

q(x)

Μi

xy

z-ΜC

-RC

x

x

BA

A

m(x)

dx

Μj

y

z

C’

R R RC’ C C= +dq(x)

m(x)

M M MC’ C C= +d

203

)()(),(2

2

xqdx

MdxQ

dx

dMxq

dx

dQz

yC

Cz

yC

z

Cz −=→=−= .

Тези диференциални зависимости служат за проверка на правилното

определяне на разрезните усилия (фиг.14 и фиг.15).

q >0z

x x

x

x

x

dx

Qz

q <0z

q >0z

q <0z

dQz

Qz Qz

— <0

(-)(-)

dx

dQz—>0

dx

dQz— =0

dx

dQz— >0

dx

dQz— <0

(-)(-)

My My My

(-)

dx

dMy—=0

dx

dMy—=0

(-)

dx

dMy—<0

а) б) в)

На фиг.14 а) имаме 0>=cteqz. Тогава според първата диференциална

зависимост )(xqdx

dQz

z −= следва, че zQ е линейна намаляваща функция

(първата производна е отрицателна), а според втората диференциална

зависимост

=−= z

y

z

yQ

dx

dMxq

dx

Md)(

2

2

- yM има поведение на функция тип

максимум (втората производна е отрицателна).

На фиг.14 б) имаме случая 0<= cteq z . Тогава според диференциалните

зависимости следва, че zQ е линейна растяща функция (първата

производна е положителна), а yM има поведение на функция тип

минимум (втората производна е положителна).

На фиг.14 в) имаме случая zq е линейна намаляваща функция (т.е.

0<=ctedx

dqz ). Тогава според диференциалните зависимости следва, че zQ е

парабола от втори ред вдлъбната надолу (втората производна на zQ по

x е положителна), а yM е кубична парабола с инфлексна точка, където

zq се анулира т.е. 0/ 22 =dxMd y .

Фиг.14. Диференциални зависимости на вътрешните усилия от интензитета:

a) 0>= cteq z ; б) 0<= cteq z ; с) 0/ <= ctedxqd z .

204

На фиг.15 са представени случаи на съсредоточени сили и моменти, т.е.

интензитетът на разпределените сили е нула ( 0=zq ).

P>0

x x

x

x

x

Qz

P<0P<0

Qz Qz

(-)(-)(-)

(-)

My My My

(-)

dx

dMy— <0

dx

dMy— >0

(-)

а) б) в)

M <01

M >02

P |P| P

dx

dMy—>0

dx

dMy—<0

M2

|M1|

Фигура 15 а) представя случай на съсредоточена сила 0>P . Според

първата диференциална зависимост следва, че графиката на zQ е права

успоредна на оста x и притежава скок в приложната точка на силата,

който е с големина равен на модула на силата и знак обратен на

посоката й. Според втората диференциална зависимост cteQdx

dMz

y== ,

yM e линейна, непрекъсната и растяща функция ( 0>= cteQz ) до

приложната точка на силата, а след това - намаляваща ( 0<= cteQz ).

Фигура 15 б) представя случай на съсредоточена сила 0<P . Тук

аналогично на а) графиката на zQ е права успоредна на оста x и

притежава скок в приложната точка на силата, който е с големина

равен на модула на силата и знак обратен на посоката й. Според

втората диференциална зависимост, yM e линейна, непрекъсната и

намаляваща функция ( 0<=cteQz ) до приложната точка на силата, а след

това – растяща ( 0>=cteQz ).

Фигура 15 в) представя случай на съсредоточен момент 01 <М и

съсредоточени момент 02 >М и сила 0<P . От първата диференциална

зависимост следва, че графиката на zQ е права успоредна на оста x и

Фиг.15. Диференциални зависимости на вътрешните усилия при 0=zq :

a) 0>P ; б) 0<P ; с) 0,0;0 21 ><< MPM .

205

притежава скок в приложната точка на силата, който е с големина

равен на модула на силата и знак обратен на посоката й. Според

втората диференциална зависимост cteQdx

dMz

y== , yM e линейно

намаляваща функция ( 0<= cteQz ) до приложната точка на силата, а

след това - растяща ( 0>= cteQz ). Моментовата диаграма търпи скокове

в приложните точки на външните моменти. Скоковете са съответно с

големини равни на модулите на моментите и знаци обратни на

посоките им.

Моментовата диаграма дава представа за провисването на

еластичната линия на гредата.

10.6. Определяне на разрезните усилия чрез интегриране на

диференциалните зависимости.

Разрезните усилия могат да бъдат определени и чрез интегриране на

диференциалните зависимости между вътрешните усилия. При

интегрирането се получават интеграционни константи, които се

определят от граничните условия т.е. разрезните усилия в началото или

в края на отделните участъци.

Да разгледаме греда натоварена най-

общо, която има n отделени участъци.

Фигура 16 е представя i-тия

- участък от

гредата 1+iiCC , натоварен най-общо със

сили и моменти (съсредоточени и

разпределени). Да означим с )(xqi

r, )(xmi

r,

интензитетите на разпределените сили

и моменти по оста x , където 1+<≤ ii xxx .

За сечението в iC ( 0−→ ixx ) вътрешните усилия са представени чрез

динамата ),( −− −−ii CC MR

rr. В точката iC ( ixx = ) са приложени съсредоточени

сила iPr

и момент iMr

. За сечението в 1+iC ( 01 −→ +ixx ) вътрешните усилия

се представят чрез динама ),(11

−−

++ ii CC MRrr

. Търсят се

разрезните усилия в произволна точка C с абциса

),( 1+∈ ii xxx , т.e. динамата ))(),(( xMxR CC

rr.

Първата диференциална зависимост дава

.)()(

)()(00

∫

∫∫

−=

→−=→−=

+

++

x

x

iCC

x

x

i

x

x

CiC

i

i

ii

dxxqRxR

dxxqRddxxqRd

rrr

rrrr

Фиг.16. i-ти

- участък 1+iiCC от греда.

Ci

qi(x)

xy

z

B

Ρi

A

mi(x)Μi

Ci+1

-ΜCi

-RCi

ΜCi+1

RCi+1

xi

xi+1

x

C

- -

-

-

Фиг.17. Околност на точка iC .

Ci

xy

z

A

Μi

-ΜCi

-RCi

ΜCi

RCi

- +

-

+

206

От равновесието на силите в околността на точка iC (фиг. 17) имаме:

.0rrrr

=++− +−

ii CiC RPR Сега за вътрешната сила +

iCRr

намираме

iCiCxx

Cxx

C PRPxRxRRi

iii

rrrrrr−≡−=≡ −

−→+→

+ )(lim)(lim00

.

Компонентите на главния вектор CRr

, т.е. силовите разрезни усилия са:

;,)()( xiCC

x

x

xiCC PNNdxxqNxNii

i

i−=−= −++

∫

;,)()( yiyCyC

x

x

yiyCCy PQQdxxqQxQii

i

i−=−= −++

∫

.,)()( zizCzC

x

x

zizCCz PQQdxxqQxQii

i

i−=−= −++

∫

От втората диференциална зависимост имаме:

→+−−=→+−−= ∫∫++

x

x

CzCy

x

x

CCzCy

C

ii

dxyQzQxmMdyQzQxmdx

Md

00

))(()(rrrrrrr

r

,)()()()( ∫∫∫ +−−= +x

x

Cz

x

x

Cy

x

x

CC

iii

idxxQydxxQzdxxmМxМ

rrrrr

Равновесието на моментите в околността на точка iC (фиг. 17) дава:

.0rrrr

=++− +−

ii CiC MMM Сега, за вътрешния момент +

iCMr

намираме

.)(lim)(lim00

iCiCxx

Cxx

C MMMxMxMMi

iii

rrrrrr−=−=≡ −

−→+→

+

Ако заместим тангенциалните усилия )(),( xQxQ CzCy в израза за )(xMC

r имаме

.])()([])()([)()( ∫∫∫ +−++−−−= +++x

x

zizCiCz

x

x

yiyCiCy

x

x

CC

i

i

i

i

i

idxxqxQxxQxydxxqxQxxQxzdxxmМxМ

rrrrr

Компонентите на главния момент CМr

(моментови разрезни усилия) са:

;,)()( ixxCxC

x

x

xxCxC MMMdxxmМxМii

i

i−=−= −++

∫

;,)()()()( iyyCyC

x

x

zizCiCz

x

x

yyCyC MMMdxxqxQxxQxdxxmМxМii

i

i

i

i−=+−+−= −+++

∫∫

.,)()()()( izzCzC

x

x

yiyCiCy

x

x

zzCzC MMMdxxqxQxxQxdxxmМxМii

i

i

i

i−=−+−−= −+++

∫∫

В частния случай, греда натоварена с равнинна система сили във

вертикалната равнина xz , за разрезните усилия имаме:

;,)()( xiCC

x

x

xiCC PNNdxxqNxNii

i

i−=−= −++

∫ ;,)()( zizCzC

x

x

zizCCz PQQdxxqQxQii

i

i−=−= −++

∫

.,)()()()( iyyCyC

x

x

zizCiCz

x

x

yyCyC MMMdxxqxQxxQxdxxmМxМii

i

i

i

i−=+−+−= −+++

∫∫

207

Задача 4. Да се намерят разрезните усилия на правата греда от фиг.18.

чрез използване на диференциалните зависимости между тях и

начертаят диаграмите им. Данни: ;5,15,10m

kNqkNMkNP === ml 2,

6,

4===

πβ

πα .


1. Въвеждане на координатна система ),,,( zyxA . Оста x е насочена по

геометричната (центрова) ос на гредата, xz ⊥ -надолу във вертикалната

равнина, а Ay ≡ - към наблюдателя.

2. Определяне на опорните реакции. Системата сили и моменти

действащи на гредата AB е }{},,,{ MBQPAErrrrr

+= . Външното натоварване се

изразява в репера ),,,( zyxA :

,),sin(cos]),(cos),([cos,,

2/

yMMzxPzzPxxPPPzBBzAxAA zx

rrrrr

43421

rrr

43421

rrrrrrrr=+=∠+∠=−=−=

−

αααπα

.2

),sin(cos2

)(),sin(cos]),(cos),([cos2/2/

qlQzx

lqdxxqQzxqzzqxxqqq

l

l

=−==−=∠+∠= ∫+

rrrrrrr

321

rrr

321

rrrββββ

βπβ


.0)sin75.0sin5.0(

)()()()()(

;0)sinsin()coscos(

)(

rr

rrrrr

rrrrrrrrrr

rrr

rrrrr

=+++−=

=+∧+∧+∧+∧=

=++++=

=−−+−+++=

=+++=

zMlBlQlP

MBABQADPACAAA

MBMQMPMAMEM

zBQPAxQPA

BQPAER

AAAAA

zx

βα

βαβαН

амираме опорните реакции от


./sin75.0sin5.0

0sin75.0sin5.0)()(

,sinsin0sinsin)()(

,coscos0coscos)()(

lMQPB

MlBlQlPyEMEM

BQPABQPAzERER

QPAQPAxERER

AAy

zzz

xxx

−−=

→=+++−=•=

−−=→=−−+−=•=

−−=→=++=•=

βα

βα

βαβα

βαβα

r

rr

rr

Окончателно определяме: ;401.11coscos kNQPAx −=−−= βα

;839.5sin75.0/sin5.0 kNQlMPB −=−−= βα .411.10sinsin kNBQPA z =−−= βα

Проверка: моментово уравнение за т. C

.000)5.0sin25.05.0(

)()()()()(

rrrr

rrrrr

rrrrrrrrrr

≡→=+++−=

=+∧+∧+∧+∧=

=++++=

zMlBlQlA

MBCBQCDPCCACA

MBMQMPMAMEM

z

CCCCC

β

3.Разделяне на гредата на участъци

(гредови интервали, в които разрезните

усилия са непрекъснати функции на x ).

Фиг.18. Диаграми на разрезните

усилия.

° °A BC

q

Μ

α

l/2

y=A

q

β

D2

Q2

B x

z

Ax

Az

D

Q

z

x

C1

Μy1

Qz1

N1

x

x

B

BC2

Μy2Qz2

N2

x l-x

N

x

x

Μy

Qz

4.33

11.401

5.84

3.34

4.589 2.608(-)

l/2

BC

q

Μ

α

l/2l/2

l/4

β

y=A

Ax

Az (l-x)/2

β

208

Определят се границите на изменение на x за всеки участък 2,1=k ,

BCCCAC ≡≡≡ 321 ,, : 1 уч. 2/0 lx <≤ ; 2 уч. lxl ≤<2/ .

4. За всеки участък се определя се силовата динама в началото на

участъка и се прилагат изведените формули за разрезните усилия.

За първи участък )1( =k имаме: 2/0 lx <≤ , 2/,0 21 lxx == , 011 ≡= zx qq , 01 ≡ym ,

.0;411.10;401.11

0,411.10,401.11,0

111

111

111111

111

=−==−==−=

→=−=−≡−=≡≡==

−+−+−+

−−−

yyCyCzzCzCxCC

yzzxxyCzCC

MMMPQQPNN

MAPAPMQN

След заместване във формулите за вътрешните усилия намираме

;401.11.0401.11)(0

1 ∫ ≡−=x

C dxxN ,411.10.0411.10)(0

1 ∫ ≡−=x

zC dxxQ

.411.10.0.411.100411.10.00)(00

1xdxxxdxxМ

xx

yC =+×−+−= ∫∫

Вътрешните усилия в )0( 22 −→xxC сe намират след заместване за 12 == xx :

.411.10)(;411.10)(;401.11)(212121 222 ====== −−−

yCyCzCzCCC MxMQxQNxN

За втори участък )2( =k имаме: lxl <≤2/ , lxlx == 32 ,2/ ,

325.4cos2 == βqq x , 5.2sin2 −=−= βqq z , 02 ≡ym ,

.589.4;34.3;33.4

15,071.7sin,071.7cos

,411.10,411.10,401.11

222

222

2221222

222

−=−==−==−=

→===≡=≡

===

−+−+−+

−−−

yyCyCzCCxCC

yzx

yCzCC

MMMPQQPNN

MMPPPP

MQN

αα

След заместване във формулите за вътрешните усилия намираме

;325.4656.8325.433.4)(1

2 ∫ −≡−=x

C xdxxN ;5.284.0)5.2(34.3)(1

2 ∫ +≡−−=x

zC xdxxQ

.25.184.0679.6)5.2(34.31)5.284.0(0589.4)(2

11

2xxdxxxxdxxМ

xx

yC ++−=−+×−++−−= ∫∫

Вътрешните усилия в )0( 33 −→ xxC намираме след заместване за 23 == xx :

.0)(;84.5)(;0)(223232 333 ====== −−−

yCyCzCzCCC MxMQxQNxN

За параболата )(2

xM yC се добавя и средна точка( 5.1=x ): 607.2)5.1(2

−=yCM .


14. Въведение в механиката на деформируемото...

Documents