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14 Probabilidad

438Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

En esta unidad se introduce el concepto de experimento aleatorio y seguidamente se definen suceso y espacio muestral del mismo. Se muestran los distintos tipos de sucesos y sus operaciones. Todo ello se acompaña de una amplia variedad de experiencias que permiten reconocer los fenómenos aleatorios y diferenciarlos de los deterministas, así como estimular la realización de predicciones sobre el com-

portamiento de estos fenómenos. Al introducir la probabilidad de un modo experimental y en un contexto práctico el alumnado confrontará los sistemas de creencias personales, de carácter determinista, con la importancia y utilidad de la estadística para la toma de decisiones, con una base racional y objetiva. En el último epígrafe, partiendo del concepto de frecuencia relativa, se establece la definición clásica de proba-bilidad de un suceso como el número al que se aproxima la frecuencia relativa del mismo cuando el experimento se realiza un número sufi-cientemente grande de veces. Es un error habitual esperar que la frecuencia real de un suceso se manifieste en muy pocos ensayos. Por ello es importante resaltar el carácter imprevisible de cada resultado aislado, así como la variabilidad de las muestras pequeñas.

La metodología se ha diseñado incluyendo actividades integradas que permitirán adquirir varias competencias al mismo tiempo.

Comunicación lingüística (CL) El lenguaje estadístico y probabilístico se emplea frecuentemente en los medios de comunicación: para describir realidades sociales o prever su evolución, en las previsiones electorales, en resultados deportivos, etc.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)La competencia matemática, que ha de ser multifuncional, permitirá afrontar diferentes niveles de dificultad, desde las situaciones conocidas que suponen una aplicación de lo aprendido, a las que plantean alguna modificación respecto a la propia experiencia, hasta llegar a los pro-blemas nuevos cuya resolución requiere una alta competencia.

Competencia digital (CD)Se integra en el epígrafe Diagrama de árbol, así como en las secciones de Matemáticas en el día a día y Matemáticas vivas, haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.

Competencias sociales y cívicas (CSC)A lo largo de la unidad se fomenta el razonamiento crítico ante la toma de decisiones basado en la valoración de la evidencia objetiva, apoyada en los datos, frente a criterios subjetivos.

Competencia aprender a aprender (CAA)Se incide en el desarrollo de esta competencia desde los contenidos relacionados con la autonomía, la perseverancia y el esfuerzo para abor-dar situaciones de creciente complejidad, la sistematización, la mirada crítica y la habilidad para comunicar los resultados del propio trabajo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La situación o contexto en la que se han planteado los problemas juega un papel determinante, asegura que el aprendizaje se aplique a satisfacer necesidades del ciudadano. En la sección de Matemáticas vivas aparece una conexión directa entre los contenidos matemáticos estudiados y la realidad en la que vivimos.

Competencia de conciencia y expresiones culturales (CCEC)A lo largo de la unidad aparecen diversos juegos de azar que brindan una oportunidad de recreación sobre una manifestación más de la cultura popular.

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 2 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Distinguir entre experimentos deterministas y experimentos aleatorios. ❚❚ Determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio e iIdentificar los distintos tipos de sucesos.

PROBABILIDAD14

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14Probabilidad

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

❚❚ Reconocer situaciones de equiprobabilidad y calcular probabilidades de sucesos aplicando la regla de Laplace.❚❚ Emplear las propiedades de la probabilidad.❚❚ Construir diagramas de árbol para la representación de sucesos compuestos y emplearlos para el cálculo de probabilidades.❚❚ Relacionar la probabilidad de un suceso con la frecuencia relativa del mismo cuando el experimento se realiza un número elevado de veces.

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionados con la probabilidad. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre probabilidad y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar los problemas de probabilidad pueden acceder a las lecciones 1199, 1208, 1210, 1211, 1262 y 1263 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Experimentos aleatorios. Sucesos

1. Reconocer los experimentos aleatorios frente a los deterministas.2. Determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio.3. Distinguir entre los distintos tipos de sucesos.

1.1. Reconoce las situaciones en las que interviene el azar como experimentos aleatorios.2.1. Expresa de diversos modos el espacio muestral de un experimento aleatorio.3.1. Identifica el suceso imposible y el suceso seguro.3.2. Construye el suceso contrario de un suceso dado.

1, 46Matemáticas vivas 13-547, 482, 8, 49

6, 7

CLCMCTCSCCAA

Operaciones con sucesos Propiedades de las operaciones con sucesos

4. Determinar la unión e intersección de sucesos.5. Identificar sucesos aleatorios compatibles e incompatibles.6. Aplicar las propiedades de las operaciones con sucesos.

4.1. Expresa de modo conjuntista la intersección y la unión de sucesos.5.1. Reconoce si dos sucesos dados son compatibles.6.1. Simplifica expresiones en las que aparecen uniones e intersecciones de sucesos.

9-11, 1450, 52, 5312, 13, 51

15, 54

CLCMCTCSC CAA

Probabilidad. Regla de Laplace

7. Asignar un valor a la probabilidad de un suceso.8. Calcular probabilidades empleando la regla de Laplace.

7.1. Asigna probabilidades a sucesos.

8.1. Reconoce sucesos equiprobables y emplea la regla de Laplace para el cálculo de probabilidades.8.2. Aplica el cálculo de probabilidades para resolver diferentes situaciones y problemas de la vida cotidiana.

16, 17, 2555, 59, 64, P118, 21-2356, 63

19, 20, 2457, 61, 70Matemáticas vivas 2, 3Trabajo cooperativo

CLCMCTCSC CAACSIEECCEC

Propiedades de la probabilidad

9. Conocer las propiedades de la probabilidad.

9.1. Obtiene la probabilidad de un suceso a partir de su relación con otro.9.2. Emplea las propiedades de la probabilidad para resolver problemas.

26-28, 58

29-32, 60, 62, 65-69,71-75

CLCMCTCSCCAACSIEECCEC

Diagrama de árbol 10. Construir diagramas en árbol para representar el espacio muestral de un suceso aleatorio compuesto.

11. Calcular la probabilidad de sucesos de experimentos aleatorios compuestos empleando los diagramas de árbol.

10.1. Emplea el diagrama de árbol para representar todos los casos posibles, junto con sus probabilidades, en los experimentos compuestos.11.1. Resuelve problemas de probabilidad compuesta, utilizando diagramas de árbol.

33-36, 76

37-4077-83

CLCMCTCDCSCCAA

Frecuencia y probabilidad

12. Relacionar la probabilidad de un suceso aleatorio con la frecuencia relativa del mismo cuando el experimento se realiza un número elevado de veces.

12.1. Calcula la probabilidad de un suceso a partir de la frecuencia relativa.12.2. Conoce y aplica la ley de los grandes números.

43, 4484, 8641, 42, 45, 85

CLCMCTCSIEECCEC

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Operaciones con sucesos • Propiedades de las operaciones con

sucesos

4. Propiedades de la probabilidad

¿Qué tienes que saber? • Experimentos aleatorios. Sucesos • Regla de Laplace • Propiedades de la probabilidad

AvanzaProbabilidad condicionada

Probabilidades en los juegos de azarFalacia del jugador

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidadIdeas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. El estudio de la probabilidad

1. Experimentos aleatorios. Sucesos

3. Probabilidad. Regla de Laplace

Vídeo. Diagrama de árbol5. Diagrama de árbol

6. Frecuencia y probabilidad

Actividades finales Actividades interactivas

MisMates.esLecciones 1199, 1208, 1210, 1211, 1262 y 1263 de la web www.mismates.es

Practica+

Comprende y resuelve problemas

14 Probabilidad

Matemáticas vivasSistemas de identificación • Estudio del PIN de las tarjetas

bancarias

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia es Preparar la tarea de David y Roger Johnson

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO440

441

14Probabilidad


Sugerencias didácticas

En la introducción de esta unidad se exponen varios ejem-plos de fenómenos deterministas y fenómenos aleatorios, lo que ayuda a distinguirlos.

Empezaremos la unidad proponiendo ejercicios en los que tengan que recordar las operaciones con fracciones, núme-ros decimales y porcentajes.

Al terminar la unidad debemos asegurarnos de que los alumnos son capaces de resolver problemas con sucesos aleatorios.

También haremos hincapié en que los alumnos argumen-ten y comuniquen sus resultados y conclusiones, en todo momento, mediante la utilización del lenguaje matemático adecuado.

Contenido WEB. EL ESTUDIO DE LA PROBABILIDAD

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información relati-va a la unidad. En este caso se explica cuáles son las probabilida-des de ganar en los juegos de azar más comunes. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la uni-dad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

REPASA LO QUE SABES1. Halla el resultado de estas operaciones.

a) 1−1

3 c) 1−

5

8 e) 3

4−

1

12

b) 1−2

5 d)

1

2+5

8 f)

1

2⋅5

8

2. Escribe en forma decimal y como porcentaje.

a) 1

4 b)

2

5 c)

5

8 d)

23

50 e)

12

40 f)

52

80

3. Halla el tanto por ciento que representan estas afirmaciones.

a) Un ciclista ha recorrido 12 km de la ruta de 25 km.

b) En una caja de 120 tornillos hay 15 con defectos de fabricación.

c) Laura tiene 5 chicles en una bolsa con 20 golosinas.

277

14 PROBABILIDAD

El lanzamiento de una pelota desde cierta altura o el calentamiento de un líquido al aplicarle una fuente de calor son ejemplos de fenómenos deterministas. Esto significa que, al repetir el experimento en las mismas condiciones, se obtiene el mismo resultado: la pelota tarda el mismo tiempo en llegar al suelo, y el líquido alcanza la misma temperatura tras un cierto intervalo de tiempo.

Sin embargo, al lanzar los dados en una partida de parchís o al extraer las bolas en el juego del bingo no es posible determinar el resultado; este depende del azar. Se trata de experimentos aleatorios en los que se puede analizar la incertidumbre, es decir, calcular la probabilidad de los distintos sucesos que pueden aparecer en cada prueba del experimento.

El lanzamiento de una pelota desde cierta altura o el calentamiento de un líquido al aplicarle una fuente de calor son ejemplos de fenómenos deterministas. Esto significa que, al repetir el experimento en las mismas condiciones, se obtiene el mismo resultado: la pelota tarda el mismo tiempo en llegar al suelo, y el líquido alcanza la misma temperatura tras un cierto intervalo de tiempo.

Sin embargo, al lanzar los dados en una partida de parchís o al extraer las bolas en el juego del bingo no es posible determinar el resultado; este depende del azar. Se trata de experimentos aleatorios en los que se puede analizar la incertidumbre, es decir, calcular la probabilidad de los distintos sucesos que

IDEAS PREVIAS

❚ Operaciones con

fracciones.

❚ Fracciones y números

decimales.

❚ Porcentajes.

El estudio de la probabilidad permite predecir el tiempo o calcular cuántas posibilidades tenemos de que nos toque la lotería o de que ganemos en un juego de azar.

Matemáticas en el día a día ][mac3e53

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Halla el resultado de estas operaciones.

a) 1−1

3 c) 1−

5

8 e)

3

4−

1

12

b) 1−2

5 d)

1

2+

5

8 f)

1

2⋅5

8

a) 2

3 c)

3

8 e)

2

3

b) 3

5 d)

9

8 f)

5

162. Escribe en forma decimal y como porcentaje.

a) 1

4 c)

5

8 e)

12

40

b) 2

5 d)

23

50 f)

52

80a) 0,25 = 25 % c) 0,625 = 62,5 % e) 0,3 = 30 %

b) 0,4 = 40 % d) 0,46 = 46 % f) 0,65 = 65 %

3. Halla el tanto por ciento que representan estas afirmaciones.

a) Un ciclista ha recorrido 12 km de la ruta de 25 km.

b) En una caja de 120 tornillos hay 15 con defectos de fabricación.

c) Laura tiene 5 chicles en una bolsa con 20 golosinas.

a) 48 % b) 12,5 % c) 25 %

14 Probabilidad


1. Experimentos aleatorios. Sucesos

279

14Actividades14 Probabilidad

278

Indica razonadamente cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios.

a) Hallar el perímetro de un triángulo equilátero cuyas alturas miden 1 cm.

b) Sumar las alturas de las cinco primeras personas que nos encontramos en la calle al salir de casa.

c) Contar el número de caras que se obtienen al lanzar al aire 30 monedas.

d) Determinar el día de la semana correspondiente a una fecha del calendario.

Escribe un suceso imposible relacionado con los experimentos del ejercicio anterior que sean aleatorios.

Copia en tu cuaderno y completa esta tabla de doble entrada con los resultados posibles al lanzar dos dados. Determina el espacio muestral de este experimento aleatorio.

¿Cuál es el espacio muestral del experimento aleatorio consistente en sumar las puntuaciones obtenidas en el lanzamiento de dos dados? ¿Son elementales todos los sucesos que forman parte del espacio muestral?

Determina el espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio que consiste en lanzar al aire tres monedas de 1 €. ¿Qué sucesos elementales forman el suceso compuesto obtener una cara y dos cruces?

Si A es el suceso obtener una figura al extraer una carta de la baraja, ¿de cuántos sucesos elementales está compuesto el suceso A ?

Si A es el suceso conseguir un múltiplo de 3 al sumar las puntuaciones obtenidas al lanzar dos dados, ¿de cuántos elementos consta el suceso A ?

1

2

3

4

5

6

7

1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. SUCESOSIsabel decide sortear un libro entre seis amigos.

Con este fin, asigna un número del 1 al 6 a cada uno de ellos y lanza un dado para regalar el libro a aquel amigo cuyo número coincida con la puntuación obtenida en el dado. ¿Cuál será el resultado?

El sorteo de Isabel es un juego de azar. El lanzamiento de un dado es un experimento aleatorio, ya que no podemos determinar cuál será el resultado, aunque sí sabemos que las posibilidades son:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Un experimento aleatorio es aquel que tiene un resultado que no se puede predecir.

❚ Los sucesos aleatorios de un experimento son las distintas situaciones que se pueden estudiar y que están relacionadas con él.

❚ El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral, E.

Si nos fijamos en el ejercicio anterior, el primer suceso tiene lugar cuando aparece uno de los resultados del espacio muestral; es un suceso elemental. Podemos escribirlo de este modo: A = {4}

Sin embargo, el segundo consta de tres resultados posibles: que salga un 2, un 4 o un 6; es un suceso compuesto. Lo representamos así: B = {2, 4, 6}

Obtenemos el tercer suceso cuando sale un 1, un 3 o un 5; sin embargo, también podemos pensar que tiene lugar cuando no ocurre el segundo; es el suceso contrario de B. Podemos escribirlo como: B = {1, 3, 5}

El cuarto suceso se produce siempre en el lanzamiento de un dado: se trata de un suceso seguro. El quinto, por último, no puede ocurrir nunca al lanzar el dado de seis caras de Isabel: es un suceso imposible.

❚ Los sucesos elementales son los sucesos que componen el espacio muestral de un experimento aleatorio.

❚ Los sucesos compuestos están formados por dos o más sucesos elementales.

❚ El suceso contrario de A, A , es el suceso que ocurre cuando aparecen todos los resultados del espacio muestral salvo los de A.

❚ El suceso seguro es aquel que ocurre siempre en un experimento aleatorio. Coincide con la expresión del espacio muestral: E.

❚ El suceso imposible es el que no se produce nunca en el experimento aleatorio que se estudia. Se denota por: ∅

Aprenderás a… ● Identificar el espacio muestral de un experimento aleatorio.

● Distinguir diferentes tipos de sucesos en un experimento aleatorio.

Para escribir los sucesos aleatorios, podemos indicar sus elementos entre llaves y designarlos mediante una letra mayúscula. Por ejemplo:

B = obtener un número par

B = {2, 4, 6}

Lenguaje matemático

Presta atención

El suceso contrario del contrario de un suceso dado es este mismo suceso.

A = A

} Escribe cinco sucesos aleatorios relacionados con el sorteo de Isabel.

Solución

Algunos sucesos relacionados con este experimento aleatorio son:

❚ Salir un 4 al lanzar el dado.

❚ Obtener un número par.

❚ Obtener un número impar.

❚ Salir un número positivo.

❚ Salir un 8 al lanzar el dado.

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOSi se extraen 31 cartas de la baraja, ¿es seguro el suceso coger al menos una carta de cada palo?8

En tu vida diaria

La baraja española está formada por cuatro palos: oros, copas, espadas y bastos.La carta con el 1 de cada palo recibe el nombre de as, y las que tienen los valores 10, 11 y 12 corresponden a las figuras, llamadas sota, caballo y rey, respectivamente.

Soluciones de las actividades1 Indica razonadamente cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios.

a) Hallar el perímetro de un triángulo equilátero cuyas alturas miden 1 cm.

b) Sumar las alturas de las cinco primeras personas que nos encontramos en la calle al salir de casa.

c) Contar el número de caras que se obtienen al lanzar al aire 30 monedas.

d) Determinar el día de la semana correspondiente a una fecha del calendario.

a) No es un experimento aleatorio, se puede calcular el perímetro mediante ecuaciones.

b) Es un experimento aleatorio, no podemos predecir las alturas de las personas que nos encontraremos.

c) Es un experimento aleatorio, no se puede saber cuántas caras se van a obtener.

d) No es un experimento aleatorio, se puede determinar el día consultando un calendario.


Tras exponer que un suceso aleatorio se distingue del deter-minista en que su resultado es impredecible antes de efec-tuar el correspondiente experimento, se introduce la noción de espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.

A los alumnos con mayor madurez matemática se les pue-de plantear un asunto que se presta al contraste de ideas.

Nos referimos al concepto de suceso con probabilidad nula de ocurrencia. En los espacios muestrales finitos el único su-ceso con probabilidad nula es el vacío. Sin embargo, si el es-pacio muestral es infinito aparecen fenómenos intrigantes. Por ejemplo, la probabilidad de que al escoger un número real al azar sea racional es 0, a pesar de que no es el suceso vacío pues hay muchos números racionales.

443

14Probabilidad


2 Escribe un suceso imposible relacionado con los experimentos del ejercicio anterior que sean aleatorios.

Respuesta abierta. Por ejemplo:

b) La suma de las alturas es superior a 15 m.

c) Obtener 31 caras.3 Copia en tu cuaderno y completa esta tabla de doble entrada con los resultados

posibles al lanzar dos dados. Determina el espacio muestral de este experimento aleatorio.

E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

4 ¿Cuál es el espacio muestral del experimento aleatorio consistente en sumar las puntuaciones obtenidas en el lanzamiento de dos dados? ¿Son elementales todos los sucesos que forman parte del espacio muestral?

E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

No todos los sucesos de este experimento aleatorio son elementales; por ejemplo, se puede obtener que la suma es 4 de tres formas distintas.

5 Determina el espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio que consiste en lanzar al aire tres monedas de 1 €. ¿Qué sucesos elementales forman el suceso compuesto obtener una cara y dos cruces?

E = {(C, C, C), (C, C, X), (C, X, C), (X, C, C), (C, X, X), (X, C, X), (X, X, C), (X, X, X)}

A = {(C, X, X), (X, C, X), (X, X, C)}6 Si A es el suceso obtener una figura al extraer una carta de la baraja, ¿de cuántos sucesos elementales está compuesto el

suceso A?

Está compuesto por los 28 sucesos correspondientes a extraer una carta que no sea una figura.7 Si A es el suceso conseguir un múltiplo de 3 al sumar las puntuaciones obtenidas al lanzar dos dados, ¿de cuántos ele-

mentos consta el suceso A?

Consta de 7 elementos: A = {2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}

Desafío8 Si se extraen 31 cartas de la baraja, ¿es seguro el suceso coger al menos una carta de cada palo?

Es seguro pues si cogemos cartas de solo 3 palos tomaremos, a lo sumo, 3 ⋅ 10 = 30 < 31 cartas.

14 Probabilidad


2. Operaciones con sucesos

281


280

Al pesar a los alumnos de una clase de 3.º de ESO observamos que todos los resultados se encuentran entre 45 kg y 80 kg. Describe las operaciones indicadas más abajo, considerando los siguientes sucesos.

A = tener un peso superior a 60 kg

B = tener un peso inferior a 55 kg

C = tener un peso entre 50 y 65 kg

a) A ∩ B b) B ∩ C c) B ∩ C d) A ∩ C

De una urna con diez bolas numeradas del 1 al 10, extraemos una bola y anotamos su número. Describe las operaciones indicadas más abajo, considerando estos sucesos.

A = {1, 2, 5, 6} C = {6, 7, 8, 9, 10}

B = {1, 2, 3} D = {3, 6, 9}

a) A ∩ B c) B ∩ C e) A ∪ D g) B ∩ C

b) A ∩ C d) A ∪ B f) A ∩ B h) (A ∩ B) ∪ C

Raúl va a extraer una carta de una baraja española para anotar su número. Teniendo en cuenta estos sucesos:

A = salir un múltiplo de 2 C = salir un múltiplo de 5

B = salir un múltiplo de 3 D = salir un múltiplo de 6

describe el espacio muestral y los sucesos indicados a continuación.

a) A ∩ B c) A ∩ D e) A∪ D g) (A ∩ B) ∪ C

b) A ∩ B d) A∪ B f) C ∩ D h) (A ∩ C) ∪ D

¿Cuál de los sucesos anteriores consta de un mayor número de elementos? ¿Cuál es el que está formado por menos sucesos elementales?

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Un suceso y su contrario son siempre incompatibles.

b) Si dos sucesos son incompatibles, entonces uno es el contrario del otro.

Lanzamos un dado dodecaédrico y anotamos el número que aparece en la cara superior.

Consideramos estos sucesos.

A = obtener un número par

B = obtener un número primo

C = obtener un número menor que 5

D = obtener un número mayor que 6

Indica qué parejas de sucesos son incompatibles en este experimento aleatorio.

En el experimento del ejercicio anterior consideramos estos sucesos.

A = obtener un número menor que 7

B = obtener un número primo

Expresa las operaciones en función de los sucesos elementales.

a) A∪ B b) A∩ B c) A∩ B d) A∪ B¿Qué observas?

9

10

11

12

13

14

2. OPERACIONES CON SUCESOSAlberto, Beatriz y Carmen quieren organizar un turno para hacer la compra junto con sus padres, Diana y Fernando. Si utilizan una ruleta para sortear quién irá al mercado, ¿qué resultados pueden obtener?

Llamamos A, B, C, D y F respectivamente a los sucesos correspondientes a que Alberto, Beatriz, Carmen, su madre y su padre sean los encargados de hacer la compra. Entonces:

A = {2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7} C = {2}

D = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} F = {1}

Observamos que la madre irá a la compra con Alberto, con Beatriz o con ambos al mismo tiempo, pues el suceso D ocurre si el número que sale es primo o par o cumple ambas condiciones a la vez, como sucede con el 2. En este caso, el suceso D es el suceso unión de A y B.

Sin embargo, Carmen irá a la compra si van Alberto y Beatriz simultáneamente, pues el suceso C tiene lugar solo si el resultado es un número primo y par a la vez. Diremos entonces que el suceso C es el suceso intersección de A y B.

Según la afirmación del padre, él solo irá a la compra si no va la madre, esto es, los sucesos D y F no pueden ocurrir a la vez: son sucesos incompatibles.

En un experimento aleatorio:

❚ La unión de los sucesos A y B es el suceso que ocurre cuando se produce A, B o ambos a la vez.

❚ La intersección de los sucesos A y B es el suceso que tiene lugar cuando se producen A y B simultáneamente.

❚ Los sucesos A y B son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez. Entonces: A ∩ B = ∅

❚ Si dos sucesos A y B tienen elementos comunes, es decir, si A ∩ B ≠ ∅, son compatibles.

Propiedades de las operaciones con sucesos ❚ La unión de un suceso y su contrario es el suceso seguro:

A ∪ A = E

❚ La intersección de un suceso y su contrario es el suceso imposible:

A ∩ A = ∅

❚ El contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus contrarios:

A∪ B = A∩ B

❚ El contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus contrarios:

A∩ B = A∪ B

Aprenderás a… ● Determinar los sucesos unión e intersección de un experimento aleatorio.

● Reconocer sucesos aleatorios compatibles e incompatibles.

❚ Utilizamos el signo ∪ para indicar la unión de dos sucesos: D = A ∪ B

❚ Empleamos el signo ∩ para indicar la intersección de dos sucesos: C = A ∩ B


DESAFÍOComprueba que se verifican las siguientes propiedades distributivas para las operaciones con sucesos.

a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

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Soluciones de las actividades9 Al pesar a los alumnos de una clase de 3º de ESO observamos que todos los resultados se encuentran entre 45 kg y 80 kg.

Describe las operaciones indicadas más abajo, considerando los siguientes sucesos.

A = tener un peso superior a 60 kg

B = tener un peso inferior a 55 kg

C = tener un peso entre 50 y 65 kg

a) A ∩ B b) B ∩ C c) B ∩ C d) A ∩ C

a) A ∩ B es un suceso imposible

b) B ∩ C = tener un peso entre 55 y 65 kg

c) B ∩ C = tener un peso entre 50 y 55 kg

d) A ∩ C = tener un peso entre 50 y 60 kg


Definimos el suceso unión de otros dos como aquel que sucede cuando ocurren uno u otro (o ambos), mientras que la intersección ocurre si suceden los dos. Conviene señalar que por convención, en el lenguaje matemático «o» tie-ne siempre un significado no excluyente, lo que implica, a veces, una patente diferencia con el uso del lenguaje ordi-nario.

En cuanto al suceso contrario, un conocimiento elemental del lenguaje permite comprender que el suceso contrario de uno dado es el que acaece cuando no lo hace aquel.

También resulta ilustrativa la denominación de incompati-bles para designar dos sucesos que no pueden ocurrir si-multáneamente.

De las definiciones se deducen directamente las propieda-des básicas; un suceso y su contrario son incompatibles y su unión es el suceso seguro. También se deducen semántica-mente las leyes de De Morgan, cuya justificación se puede aclarar gráficamente con los denominados diagramas de Venn: el contrario de la unión de dos sucesos es la intersec-ción de los contrarios y el contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de los contrarios.

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14Probabilidad


10 De una urna con diez bolas numeradas del 1 al 10, extraemos una bola y anotamos su número. Describe las operaciones indicadas más abajo, considerando estos sucesos.

A = {1, 2, 5, 6} B = {1, 2, 3} C = {6, 7, 8, 9, 10} D = {3, 6, 9}

a) A ∩ B c) B ∩ C e) A ∪ D g) B ∩ C

b) A ∩ C d) A ∪ B f) A ∩ B h) (A ∩ B) ∪ C

a) A ∩ B = {1, 2} c) B ∩ C = ∅ e) A ∪ D = {1, 2, 3, 5, 6, 9} g) B ∩ C = {1, 2, 3} = B

b) A ∩ C = {6} d) A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 6} f) A ∩ B = {5, 6} h) (A ∩ B) ∪ C = {1, 2, 6, 7, 8, 9, 10}

11 Raúl va a extraer una carta de una baraja española para anotar su número. Teniendo en cuenta estos sucesos:

A = salir un múltiplo de 2 C = salir un múltiplo de 5

B = salir un múltiplo de 3 D = salir un múltiplo de 6

describe el espacio muestral y los sucesos indicados a continuación.

a) A ∩ B c) A ∩ D e) A ∪ D g) (A ∩ B) ∪ C

b) A ∩ B d) A ∪ B f) C ∩ D h) (A ∩ C) ∪ D

¿Cuál de los sucesos anteriores consta de un mayor número de elementos? ¿Cuál es el que está formado por menos sucesos elementales?

a) A ∩ B = {6, 12} c) A ∩ D = {6, 12} e) A ∪ D = {1, 3, 5, 7, 9, 11} g) (A ∩ B) ∪ C = {5, 6, 10, 12}

b) A ∩ B = {3, 9} d) A ∪ B = {1, 5, 7, 11} f) C ∩ D = {5, 10} h) (A ∩ C) ∪ D = {6, 10, 12}

De estos sucesos, el que consta de más elementos es el del apartado e). Mientras que los que están formados por menos sucesos elementales son los de los apartados a), b), c) y f).

12 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Un suceso y su contrario son siempre incompatibles.

b) Si dos sucesos son incompatibles, entonces uno es el contrario del otro.

a) Verdadera b) Falsa13 Lanzamos un dado dodecaédrico y anotamos el número que aparece en la cara superior.

Consideramos estos sucesos.

A = obtener un número par C = obtener un número menor que 5

B = obtener un número primo D = obtener un número mayor que 6

Indica qué parejas de sucesos son incompatibles en este experimento aleatorio.

La única pareja de sucesos incompatibles es la formada por C y D.14 En el experimento del ejercicio anterior consideramos estos sucesos.

A = obtener un número menor que 7 B = obtener un número primo

Expresa las operaciones en función de los sucesos elementales.

a) A ∪ B b) A∩ B c) A ∩ B d) A ∪ B

¿Qué observas?

a) A ∪ B = {8, 9, 10, 12} c) A ∩ B = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

b) A∩ B = {8, 9, 10, 12} d) A ∪ B = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Se cumple que: A ∪ B = A∩ B y A ∩ B = A ∪ B

Desafío15 Comprueba que se verifican las siguientes propiedades distributivas para las operaciones con sucesos.

a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

a) Observamos que ocurre el suceso A ∩ (B ∪ C) si ocurre A y, además, o bien sucede B, o bien sucede C. Esto es, si su-ceden A y B, o bien si se cumplen A y C, es decir, si se cumple el suceso (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

b) Ocurre el suceso A ∪ (B ∩ C) si ocurre A o bien ocurren tanto B como C. En ambos casos también ocurren A ∪ B y A ∪ C, luego ocurre la intersección (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

14 Probabilidad


3. Probabilidad. Regla de Laplace

283


282

En el dado del ejercicio resuelto anterior, ¿cuál es la probabilidad de que salga un 1? ¿Y de que salga un 3?

¿Cuál es la probabilidad de que, al extraer una carta de una baraja española, sea de oros?

Calcula la probabilidad de que, al girar esta ruleta, ocurran estos sucesos.

A = salir azul

B = salir rojo

C = salir verde

D = salir amarillo

Una urna contiene 3 bolas rojas, 4 negras y 5 verdes. Calcula la probabilidad de que, al extraer una bola, sea roja. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola que no sea verde?

De una caja que contiene 3 ovillos de lana roja y 2 de lana negra se extrae un ovillo al azar. Calcula la probabilidad de los sucesos. Exprésalas como porcentaje.

A = coger el ovillo de lana roja B = coger el ovillo de lana negra

Halla la probabilidad de elegir un número del 1 al 100 que sea múltiplo de 11.

16

17

18

19

20

21

¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un número de seis cifras distintas formado por 1, 2, 3, 4, 5 y 6 que sea múltiplo de 5?

¿Cuál es la probabilidad de que, al escribir un número de cinco cifras distintas con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, sea par y mayor que 40 000?

Patricia, Antonio, Luis y Sandra se sientan en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos chicas se sienten juntas?

22

23

24

3. PROBABILIDAD. REGLA DE LAPLACELa familia de Alberto intuye que, al utilizar una ruleta, todos los números tienen las mismas posibilidades de aparecer en una tirada; sin embargo, no todos los miembros de la familia tienen las mismas opciones de ir a hacer la compra.

¿Crees que es acertada esta intuición?

Como la ruleta tiene 8 números y su aguja solo puede señalar a uno de ellos cada vez, podemos asignar un valor que indique la posibilidad de obtener cada resultado.

P(salir 1) = 1

8 P(salir 2) =

1

8 P(salir 3) =

1

8 … P(salir 8) =

1

8

Este valor es la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales de este experimento. Así pues, la intuición de la familia es acertada en cuanto a que todos los números tienen las mismas posibilidades de salir.

La probabilidad de un suceso al realizar un experimento aleatorio es un número que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso.

Dos sucesos son equiprobables cuando tienen la misma probabilidad de ocurrir al realizar un experimento aleatorio.

Calculamos las probabilidades de los sucesos A, B, C, D y F:

❚ Alberto irá a hacer la compra si sale par, es decir, en 4 casos de los 8 posibles. Y

Beatriz irá si sale un número primo. En estos dos casos: P (A ) = P (B ) =4

8=

1

2

❚ Carmen solo irá si sale un número par y primo. Esto únicamente ocurre en 1 caso de

los 8 posibles, y su padre irá solo si sale el número 1 así: P (C ) = P (F ) =1

8

❚ El suceso correspondiente a la madre es: D = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; así: P (D ) =7

8

La familia estaba en lo cierto de nuevo: no todos sus miembros tienen la misma probabilidad de ir a hacer la compra.

Regla de Laplace. Si los sucesos elementales de un experimento aleatorio son equiprobables, entonces la probabilidad de un suceso A es:

P (A ) =número de casos favorables a que ocurra A

número de casos posibles del experimento

Aprenderás a… ● Asignar un valor a la probabilidad de un suceso.

● Reconocer cuándo varios sucesos son equiprobables.

● Aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de algunos sucesos.

● Determinar el número de permutaciones posibles en un experimento aleatorio y calcular el factorial de un número natural.

Presta atención

Para expresar la probabilidad de un suceso, podemos utilizar una fracción, un número decimal o un porcentaje.

Por ejemplo, al lanzar una moneda, la probabilidad de obtener una cara es:

P (C ) =1

2= 0,5 = 50%

} Enrique tiene un dado con un 1 en una cara, un 2 en dos caras y un 3 en las tres restantes. En el experimento aleatorio que consiste en lanzar el dado al aire, ¿cuál es la probabilidad de que salga un 2?

Solución

Construimos el espacio muestral con los resultados posibles: E = {1, 2, 3}

No podemos utilizar directamente la regla de Laplace para calcular la probabilidad del suceso A = salir un 2 porque los

sucesos elementales no son equiprobables. Como la puntuación es 2 en dos caras del dado: P (A ) =2

6= 1

3

EJERCICIO RESUELTO

Un número es múltiplo de 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de las que ocupan los lugares impares es 0 o múltiplo de 11.

Recuerda

} ¿Cuál es la probabilidad de obtener un múltiplo de 4 al formar números de cuatro cifras distintas con los dígitos 1, 2, 3 y 4?

Solución

Para obtener el total de los números de cuatro cifras distintas, tenemos que contar todos los números de la forma: 1234, 1243, 1324, 1342, … Para ello se usa el factorial.

En total hay: 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 permutaciones, ya que para la 1.ª cifra tenemos 4 posibilidades, 3 para la 2.ª, 2 para la 3.ª, y solo 1 cifra diferente para la 4.ª.

De estos 24 números son múltiplos de 4 los que acaban en 12, en 24 y en 32. En total hay 6 casos favorables al suceso A = obtener un número múltiplo de 4:

P (A ) =6

24= 1

4

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOSi dibujamos un cuadrado inscrito en un círculo y elegimos un punto en su interior al azar, ¿cuál es la probabilidad de que este punto esté situado dentro del cuadrado?

25

n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ … ⋅ 2 ⋅ 1en el que n es un número natural, se llama factorial de n.


Soluciones de las actividades16 En el dado del ejercicio resuelto anterior, ¿cuál es la probabilidad de que salga un 1? ¿Y de que salga un 3?

B = salir 1 C = salir 3

P (B ) =1

6 P (C ) =

3

6=

1

217 ¿Cuál es la probabilidad de que, al extraer una carta de una baraja española, sea de oros?

A = extraer una carta de oros

P (A ) =10

40=

1

4


En este epígrafe los alumnos aprenderán la regla de Lapla-ce, que reduce el cálculo de la probabilidad de un suceso a la comparación entre el número de situaciones en las que se produce el suceso cuya probabilidad buscamos y el nú-mero de casos posibles.

Es imprescindible insistir en que para poder aplicar esta re-gla los resultados del experimento deben tener todos las

mismas posibilidades de ocurrir. El primer ejercicio resuelto incide en esta cuestión.

En el segundo ejercicio resuelto se introduce también el concepto de factorial de un número natural para realizar el recuento de casos posibles de un experimento.

447

14Probabilidad


18 Calcula la probabilidad de que, al girar esta ruleta, ocurran estos sucesos.

A = salir azul

B = salir rojo

C = salir verde

D = salir amarillo

P (A ) =1

10 P (B ) =

4

10=

2

5 P (C ) =

2

10=

1

5 P (D ) =

3

1019 Una urna contiene 3 bolas rojas, 4 negras y 5 verdes. Calcula la probabilidad de que, al extraer una bola, sea roja. ¿Cuál

es la probabilidad de sacar una bola que no sea verde?

R = extraer una bola roja V = extraer una bola verde

P (R ) =3

12=

1

4 P V( ) =

7

1220 De una caja que contiene 3 ovillos de lana roja y 2 de lana negra se extrae un ovillo al azar. Calcula la probabilidad de los

sucesos. Exprésalas como porcentaje.

A = coger el ovillo de lana roja B = coger el ovillo de lana negra

P (A ) =3

5= 60% P (B ) =

2

5= 40%

21 Halla la probabilidad de elegir un número del 1 al 100 que sea múltiplo de 11.

Los múltiplos de 11 son: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99, por tanto la probabilidad pedida es: 9

100

22 ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un número de seis cifras distintas formado por 1, 2, 3, 4, 5 y 6 que sea múltiplo de 5?

El total de los números de seis cifras distintas es 6!, y los múltiplos de 5 son los que terminan en 5, por tanto: 5!

Así, la probabilidad pedida es: 5!

6!=

1

6

23 ¿Cuál es la probabilidad de que, al escribir un número de cinco cifras distintas con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, sea par y mayor que 40 000?

El total de los números de cinco cifras distintas es 5!, y los pares mayores que 40 000 son los que empiezan por 4 y termi-nan en 2 o empiezan por 5 y terminan en 2 o en 4, esto es: 3! + 2 ⋅ 3! = 6 + 12 = 18

Luego la probabilidad pedida es: 18

120=

3

20

24 Patricia, Antonio, Luis y Sandra se sientan en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos chicas se sienten juntas?

El número de disposiciones que pueden utilizar las cuatro personas para sentarse es: 4!

Las chicas pueden sentarse juntas en un lado del banco, en el centro o en el otro lado, y en cada uno de esos casos pueden intercambiar sus posiciones, por tanto, el número de situaciones en las que se sientan juntas es: 12

Luego, la probabilidad pedida es: 12

24=

1

2

Desafío25 Si dibujamos un cuadrado inscrito en un círculo y elegimos un punto en su interior al azar, ¿cuál es la probabilidad de que

este punto esté situado dentro del cuadrado?

Si r es lo que mide el radio del círculo, aplicando el teorema de Pitágoras, el lado del cuadrado mide: r2 + r2 = 2r

Entonces la probabilidad de que un punto esté dentro del cuadrado es: 2r( )2

πr2=

2

π= 0,64

14 Probabilidad


4. Propiedades de la probabilidad

285


284

} El 45 % de los alumnos de una clase de 3.º de ESO ha visitado París, y el 70 % ha estado en Londres. Si el 90 % de los alumnos ha visitado alguna de las dos ciudades, ¿cuál es el porcentaje de estudiantes que ha visitado las dos ciudades?

Solución

Llamamos A al suceso ser un alumno que ha visitado París. Entonces: P(A) = 0,45

Designamos con B al suceso ser un estudiante que ha estado en Londres. Así, P(B) = 0,7

Como el 90 % de los alumnos ha visitado alguna de las dos ciudades: P(A ∪ B) = 0,9

Sabemos que: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Si despejamos:

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) == 0,45 + 0,7 − 0,9 = 0,25

Por tanto, el porcentaje de estudiantes que ha visitado las dos ciudades es del 25 %.

EJERCICIO RESUELTO

Halla la probabilidad de extraer una bola que no sea negra de la urna de la figura.

En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, considera los siguientes sucesos.

A = salir un número par

B = salir un múltiplo de 3

C = salir un número menor que 5

Calcula la probabilidad de los sucesos A ∪ B y A ∪ C.

En el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de una baraja española, considera estos sucesos.

A = salir una sota

B = salir un rey

C = salir una carta de espadas


Considera el experimento aleatorio que consiste en hacer girar esta ruleta.

Calcula la probabilidad de los sucesos A ∪ B y A ∪ C, si A = sacar un número par, B = sacar amarillo y C = sacar azul.

26

27

28

29

Una moneda está trucada de modo que la probabilidad de obtener cara es el doble que la de obtener cruz. Calcula la probabilidad de que, al lanzar la moneda, salga una cruz.

30

El 39 % de los socios de un club deportivo practica el tenis, y el 73 % de ellos juega al fútbol. Si el 95 % de los socios está apuntado a alguno de los dos deportes, ¿cuál es la probabilidad de elegir un socio al azar que practique tenis y fútbol?

31

4. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDADTomás acaba de regalarle a su amiga Lola una baraja española.

En el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de la baraja consideramos el suceso sacar un valor mayor que 20.

Este suceso no puede darse en este experimento; es un suceso imposible. Como no hay casos favorables al suceso, al aplicar la regla de Laplace: P(∅) = 0

Si consideramos el suceso sacar un valor menor que 20, todas las cartas tienen un valor menor que 20; se trata de un suceso seguro. Como el número de casos favorables coincide con el de casos posibles, la probabilidad del suceso es: P(E) = 1

❚ La probabilidad del suceso imposible es: P(∅) = 0

❚ La probabilidad del suceso seguro es: P(E) = 1

❚ Para cualquier suceso, A, se verifica que: 0 ≤ P(A) ≤ 1

A continuación, Tomás pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta con una figura? A lo que Lola responde: ¿Y la de que no sea una figura?

El suceso que propone Tomás ocurre si extraemos una de las 12 figuras que hay

entre las 40 cartas de la baraja, así que su probabilidad es: P (F ) =12

40= 3

10

En consecuencia, el suceso del que habla Lola tiene 40 − 12 = 28 casos favorables, y su probabilidad es:

P (F ) =28

40= 7

10= 1−

3

10= 1− P (F )

Después, Lola plantea: ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta con un as o con un caballo? Tomás, por su parte dice: ¿Y de que sea as o bastos?

Consideremos los sucesos: A = sacar as B = sacar bastos C = sacar caballo

P (A ) =4

40= 1

10 P (B ) =

10

40= 1

4 P (C ) =

4

40= 1

10

Como A y C son sucesos incompatibles, el número de casos favorables coincide con la suma de los casos favorables en ambos sucesos. Por tanto, la probabilidad es:

P (A∪C ) =8

40= 1

5=

4

40+

4

40= P (A ) + P (C )

Sin embargo, los sucesos A y B son compatibles, así que el número de casos favorables coincide con la suma de los casos favorables en ambos sucesos con la excepción del as de bastos, que es común a los dos. Así, la probabilidad es:

P (A∪ B ) =13

40= 4

40+

10

40−

1

40= P (A ) + P (B )− P (A∩ B )

❚ Para cualquier suceso, A, se verifica que: P( A ) = 1 − P(A)

❚ Si dos sucesos, A y B, son incompatibles, la probabilidad del suceso unión es la suma de las probabilidades de A y B.

Si A ∩ B = ∅, entonces: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

❚ Si dos sucesos, A y B, son compatibles, la probabilidad del suceso unión es la suma de las probabilidades de A y B menos la probabilidad de su intersección.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Aprenderás a… ● Utilizar las propiedades de la probabilidad para resolver problemas.

DESAFÍO

¿En cuál de las ruletas es más probable el suceso A ∪ B, si A = sacar azul y B = sacar un número par?32

Soluciones de las actividades26 Halla la probabilidad de extraer una bola que no sea negra de la

urna de la figura.

N = extraer una bola negra

P (N ) =5

8


A partir de las preguntas planteadas a lo largo del epígrafe, los alumnos pueden deducir las propiedades de la proba-bilidad.

Es importante que entiendan que la probabilidad de un su-ceso ha de estar comprendido entre 0 (si se trata del suceso imposible) y 1 (si es el suceso seguro).

Para explicar qué relación existe entre las probabilidades de dos sucesos, la de su unión y la de su intersección pueden ser útiles los diagramas de Venn, pues ayudan a poner de

manifiesto que si para contar los elementos de la unión de dos conjuntos sumamos el número de elementos de ambos estamos contando dos veces los elementos comunes. En esto consiste la fórmula que afirma que la probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades menos la de su intersección. En particular, si los sucesos son incompatibles resulta que la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades y, como caso particular, se deduce que la suma de la probabilidad de un suceso y la de su contrario vale 1.

449

14Probabilidad


27 En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado, considera los siguientes sucesos.

A = salir un número par B = salir un múltiplo de 3 C = salir un número menor que 5


P (A∪ B ) =1

2+

1

3−

1

6=

2

3 P (A∪C ) =

1

2+

2

3−

1

3=

5

628 En el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de una baraja española, considera estos sucesos.

A = salir una sota B = salir un rey C = salir una carta de espadas


P (A∪ B ) =1

10+

1

10=

1

5 P (A∪C ) =

1

10+

1

4−

1

10=

13

4029 Considera el experimento aleatorio que consiste en hacer girar

esta ruleta.

Calcula la probabilidad de los sucesos A ∪ B y A ∪ C, si A = sacar un número par, B = sacar amarillo y C = sacar azul.

P (A∪ B ) =1

2+

1

10−

1

10=

1

2

P (A∪C ) =1

2+

1

10=

3

530 Una moneda está trucada de modo que la probabilidad de obtener cara es el doble que la de obtener cruz. Calcula la

probabilidad de que, al lanzar la moneda, salga una cruz.

P (C ) = 2P (X )

P (C ) + P (X ) = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3P (X ) = 1→ P (X ) =1

3

31 El 39 % de los socios de un club deportivo practica el tenis, y el 73 % de ellos juega al fútbol. Si el 95 % de los socios está apuntado a alguno de los dos deportes, ¿cuál es la probabilidad de elegir un socio al azar que practique tenis y fútbol?

T = elegir un socio que juega al tenis

F = elegir un socio que juega al fútbol

Entonces: P(T) = 0,39 P(F) = 0,73 P(T ∪ F) = 0,95

La probabilidad pedida es: P(T ∩ F) = 0,39 + 0,73 − 0,95 = 0,17

Desafío32 ¿En cuál de las ruletas es más probable el suceso A ∪ B, si A = sacar azul y B = sacar un número par?

En la primera ruleta: P (A∪ B ) =3

4+

1

2−

1

2=

3

4

En la segunda: P (A∪ B ) =1

2+

1

2−

1

4=

3

4

Y en la tercera: P (A∪ B ) =1

3+

1

2=

5

6Por tanto, la probabilidad de A ∪ B es mayor en la tercera ruleta.

14 Probabilidad


5. Diagrama de árbol

287


286

Una urna contiene 4 bolas blancas y 2 rojas; otra, 3 bolas blancas y 3 rojas, y una tercera, 1 bola blanca y 5 rojas. Se elige al azar una urna y de ella se extrae, también al azar, una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?

En una bolsa se han colocado 4 bolas blancas y 5 negras; en otra, 3 bolas blancas y 4 negras; y en una tercera, 2 bolas blancas y 3 negras. Se lanza un dado y se extrae una bola de la primera bolsa si la puntuación obtenida es par, de la segunda si es un 5 o de la tercera si es un 1 o un 3. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra?

En este diagrama de árbol están indicadas las probabilidades de algunos de los sucesos de un experimento compuesto. Halla las probabilidades que faltan.

0,7

P1P3 0,1

0,1

0,6

P2

0,2

0,3

Una caja contiene tres monedas. La primera está equilibrada, la segunda tiene cara por los dos lados, y la tercera está trucada de forma que la probabilidad de obtener cruz es de 0,2. Si se elige una moneda al azar y se lanza al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara?

Se coloca un ratón en un laberinto como el de la figura y se deja que elija libremente si avanza por la derecha o por la izquierda. ¿Cuál es la probabilidad de que consiga comer queso y librarse del cepo?

En un grupo de 50 estudiantes hay 20 chicas. El 60 % de las chicas estudia inglés, y el resto, francés; mientras que, entre los chicos, solo el 10 % estudia francés, frente al 90 %, que aprende inglés. Calcula la probabilidad de que, al elegir un alumno al azar, resulte ser una chica que va a clases de francés.

En una fábrica tienen tres máquinas que producen bombillas. La primera se encarga del 20 % de la producción; la segunda, del 30 %, y la tercera, del 50 % restante. Se sabe que el porcentaje de bombillas defectuosas producidas por la primera máquina es del 1 %, mientras que el de la segunda asciende al 2 % y el de la tercera al 3 %. Calcula la probabilidad de que, al elegir una bombilla al azar, salga defectuosa.

33

34

35

36

37

38

39

5. DIAGRAMA DE ÁRBOLYaiza participa en la feria solidaria de su barrio montando un puesto en el que reta a los visitantes con un juego: si sale un múltiplo de 3 al lanzar el dado, tendrán que extraer una bola de la urna A y, si es roja, deberán donar 1 €; en caso contrario, sacarán una bola de la urna B: si es verde, obtendrán un premio de 2 € y si es roja, donarán 1 €. ¿Qué es más probable: donar o recibir dinero?

El juego de Yaiza tiene dos fases: primero hay que lanzar un dado y después extraer una bola. Se trata de un experimento aleatorio compuesto.

Para obtener el espacio muestral de este experimento, podemos elaborar un diagrama de árbol en el que representar todas las opciones posibles.

De este modo, podemos determinar los sucesos del espacio muestral recorriendo los caminos, las ramas del árbol, correspondientes a cada uno de ellos.

Así, la probabilidad del suceso G = ganar dinero, que ocurre si recorremos el último camino, viene dada por el producto de la probabilidad de sacar un número que no sea múltiplo de 3 y la de extraer una bola verde de la urna B. Esto es:

P (G ) =4

6⋅1

3= 2

9

Sin embargo, la probabilidad del suceso D = donar dinero, que tiene lugar al recorrer dos caminos, viene dada por la suma de las probabilidades de ambos. Es decir:

P (D ) =2

6⋅2

5+

4

6⋅2

3= 2

15+

4

9= 6 + 20

45= 26

45

Como 2

9<

26

45, es más probable donar dinero para la causa solidaria.

❚ Un experimento aleatorio compuesto es aquel que se desarrolla realizando varios experimentos simples.

❚ Para representar el espacio muestral de un experimento aleatorio compuesto, se puede utilizar un diagrama de árbol.

❚ La probabilidad de un suceso correspondiente a uno de los caminos del diagrama de árbol es el producto de las probabilidades de las ramas que lo constituyen.

❚ La probabilidad de un suceso que ocurre por varios caminos del árbol es la suma de las probabilidades de dichos caminos.

Aprenderás a… ● Calcular la probabilidad de sucesos de un experimento aleatorio compuesto usando un diagrama de árbol.

Presta atención

La suma de las probabilidades de los sucesos cuyas ramas tienen el mismo origen vale 1.

DESAFÍOUna urna contiene 3 bolas rojas y 2 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos bolas del otro color. Calcula la probabilidad de que al extraer una segunda bola sea verde.

40

mac3e54

Soluciones de las actividades33 Una urna contiene 4 bolas blancas y 2 rojas; otra, 3 bolas blancas y 3 rojas, y una tercera, 1 bola blanca y 5 rojas. Se elige

al azar una urna y de ella se extrae, también al azar, una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?

R = extraer una bola roja

P (R ) =1

3⋅2

6+

1

3⋅3

6+

1

3⋅5

6=

5

9


En muchas situaciones de la vida cotidiana necesitamos ha-llar la probabilidad de un suceso cuya ocurrencia depende a su vez de lo que haya sucedido en un experimento aleatorio anterior. A estos experimentos se les denomina compues-tos.

Un ejemplo estándar es la extracción de una bola de una urna entre dos urnas dadas cuyas composiciones son dife-rentes, de modo que la decisión acerca de la urna de la que se efectúa la extracción depende, por ejemplo, del resulta-do obtenido previamente en el lanzamiento de un dado.

Los posibles resultados y las probabilidades correspon-dientes se esquematizan muy sencillamente mediante un diagrama en árbol, de cada uno de cuyos nodos salen di-versas ramas sobre cada una de las cuales se coloca la pro-

babilidad del suceso que la rama representa. Hecho esto la probabilidad del suceso compuesto se calcula mediante el denominado Principio aditivo-multiplicativo: hay que sumar los productos de las probabilidades situadas sobre las ramas que corresponden al suceso cuya probabilidad deseamos calcular.

Vídeo. DIAGRAMA DE ÁRBOL

En el vídeo se construye, paso a paso, el diagrama de árbol corres-pondiente al ejemplo propuesto en este epígrafe.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación del pro-cedimiento a seguir para construir un diagrama de árbol o como recurso para que los alumnos lo repasen.

451

14Probabilidad


34 En una bolsa se han colocado 4 bolas blancas y 5 negras; en otra, 3 bolas blancas y 4 negras; y en una tercera, 2 bolas blancas y 3 negras. Se lanza un dado y se extrae una bola de la primera bolsa si la puntuación obtenida es par, de la se-gunda si es un 5 o de la tercera si es un 1 o un 3. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra?

N = extraer una bola negra

P (N ) =3

6⋅5

9+

1

6⋅4

7+

2

6⋅3

5=

361

63035 En este diagrama de árbol están indicadas las probabilidades de algunos de los suce-

sos de un experimento compuesto. Halla las probabilidades que faltan.

Como la suma de las probabilidades que salen de cada nodo vale 1 tenemos que:

0,7 + P1 = 1 → P1 = 0,3

0,3 + 0,2 + P2 = 1 → P2 = 0,5

P3 + 0,1 + 0,1 + 0,6 = 1 → P3 = 0,2

36 Una caja contiene tres monedas. La primera está equilibrada, la segunda tiene cara por los dos lados, y la tercera está trucada de forma que la probabilidad de obtener cruz es de 0,2. Si se elige una moneda al azar y se lanza al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara?

P (C ) =1

3⋅1

2+

1

3⋅1+

1

3⋅0,8 =

23

3037 Se coloca un ratón en un laberinto como el de la figura y se deja que elija libremente si

avanza por la derecha o por la izquierda. ¿Cuál es la probabilidad de que consiga comer queso y librarse del cepo?

A = comer queso y librarse del cepo

P (A ) =1

2⋅1

2+

1

2⋅1

2+

1

2⋅1

2⋅1

2=

5

8

38 En un grupo de 50 estudiantes hay 20 chicas. El 60 % de las chicas estudia inglés, y el resto, francés; mientras que, entre los chicos, solo el 10 % estudia francés, frente al 90 %, que aprende inglés. Calcula la probabilidad de que, al elegir un alumno al azar, resulte ser una chica que va a clases de francés.

A = elegir una chica

F = estudiar francés

P (A ∩ F ) =20

50⋅0,4 =

4

2539 En una fábrica tienen tres máquinas que producen bombillas. La primera se encarga del 20 % de la producción; la segun-

da, del 30 %, y la tercera, del 50 % restante. Se sabe que el porcentaje de bombillas defectuosas producidas por la prime-ra máquina es del 1 %, mientras que el de la segunda asciende al 2 % y el de la tercera al 3 %. Calcula la probabilidad de que, al elegir una bombilla al azar, salga defectuosa.

D = elegir una bombilla defectuosa

P(D) = 0,2 ⋅ 0,01 + 0,3 ⋅ 0,02 + 0,5 ⋅ 0,03 = 0,023

Desafío40 Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos bolas del otro color. Calcula la

probabilidad de que al extraer una segunda bola sea verde.

V = extraer una bola verde

P (V ) =3

5⋅4

6+

2

5⋅

1

6=

7

15

0,7

P1P3 0,1

0,1

0,6

P2

0,2

0,3

14 Probabilidad


6. Frecuencia y probabilidad

289


288

En este diagrama de barras se muestran los resultados obtenidos al lanzar un dado 300 veces y anotar la puntuación obtenida. A partir del gráfico construye una tabla con los sucesos elementales del experimento y sus frecuencias absolutas y relativas.

¿Podemos afirmar con esta información que el dado no está trucado? Razona tu respuesta.

Daniel ha lanzado un dado en 500 ocasiones y ha anotado el número de veces que ha obtenido cada una de las puntuaciones posibles. Ha completado la tabla con las frecuencias relativas, pero su hermano pequeño ha tachado algunos números. Copia y completa la tabla. ¿Se puede concluir que el dado está trucado? ¿Por qué?

En estos diagramas de sectores se han representado las frecuencias relativas obtenidas después de lanzar un dado tetraédrico no trucado 10 y 1 000 veces.

30%

25% 24%

26%

20%

4

3

2

1

4

3

2

140%10%

25%

Indica razonadamente qué diagrama corresponde a cada número de repeticiones del experimento.

Una urna contiene 8 bolas de tres colores diferentes: rojo, blanco y azul. En la tabla aparecen los resultados obtenidos al extraer una bola de la urna varias veces y volverla a meter tras anotar su color antes de la siguiente extracción. A la vista de estos datos, ¿cuántas bolas de cada color hay?

41

42

43

44

6. FRECUENCIA Y PROBABILIDADLucía y Guillermo sortearon quién de los dos recogería la mesa a lo largo de una semana. Para ello, cada día lanzaban la misma moneda, de modo que, si salía cara, era Lucía quien recogía, mientras que, si salía cruz, le tocaba recoger a Guillermo. Estos son los resultados:

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

cruz cruz cara cruz cruz cruz cruz

Al término de la semana, Guillermo empieza a sospechar que la moneda está trucada. ¿Cómo puede comprobarlo?

Calculamos las probabilidades de A = salir cara y B = salir cruz aplicando la regla de Laplace:

P (A ) =1

2 P (B ) =

1

2

Según esto, es razonable pensar que el sorteo acordado por Lucía y Guillermo debe dar unos resultados equilibrados.

Si lanzamos una moneda y anotamos cuántas veces sale cruz, obtenemos las frecuencias absolutas de este suceso:

N.º de lanzamientos Frecuencia absoluta

20 13

200 95

2 000 1 010

20 000 9 997

Así pues, las frecuencias relativas en cada caso son:

N.º de lanzamientos Frecuencia relativa

20

13

20= 0,65

200

95

200= 0,475

2 000

1010

2000= 0,505

20 000

9997

20000= 0,499…

Es decir, al repetir el experimento un número elevado de veces, la frecuencia relativa del suceso B se aproxima a su probabilidad.

Para saber si la moneda está trucada, Guillermo debe lanzarla un número elevado de veces.

❚ La frecuencia absoluta de un suceso en un experimento aleatorio es el número de veces que ocurre dicho suceso al repetir el experimento.

❚ La frecuencia relativa de un suceso aleatorio es el cociente entre su frecuencia absoluta y el número de veces que se repite el experimento.

La ley de los grandes números afirma que, si se realiza un experimento aleatorio un número elevado de veces, las frecuencias relativas de un suceso se van aproximando al valor de su probabilidad.

Aprenderás a… ● Relacionar la probabilidad de un suceso aleatorio con la frecuencia relativa del mismo cuando el experimento se realiza un número elevado de veces.

❚ La frecuencia absoluta, fi, de un dato estadístico es la cantidad de veces que se repite.

❚ La frecuencia relativa, hi, de un dato estadístico es el cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de datos.

hi =fiN

Recuerda

DESAFÍOLas embarazadas de una ciudad pueden acudir a dos maternidades. En la que tiene más capacidad se registran cada día alrededor de 235 nacimientos, mientras que en la otra el registro es de unos 5 nacimientos diarios. Durante un año, cada centro ha computado los días en los que un 80 % de los niños nacidos eran varones. ¿En cuál de las dos maternidades habrá sucedido este hecho más días?

45

xi fi hi

1 O 0,2

2 92 O

3 O 0,17

4 O 0,21

5 72 O

6 46 O

fi

Roja 149

Blanca 153

Azul 298

1 2 3 4 5 6

44454647484950515253

0

Soluciones de las actividades41 En este diagrama de barras se muestran los resultados obtenidos

al lanzar un dado 300 veces y anotar la puntuación obtenida. A partir del gráfico construye una tabla con los sucesos elementales del experimento y sus frecuencias absolutas y relativas.

¿Podemos afirmar con esta información que el dado no está truca-do? Razona tu respuesta.

Se puede concluir que el dado no está trucado, pues las frecuencias relativas correspondientes a cada valor del dado son

cercanas a: 1

6=

50

300


La probabilidad es el límite de las frecuencias relativas cuan-do el número de experimentos tiende a infinito. Esto no se puede explicar con toda rigurosidad en este curso, en el que la noción de límite de una sucesión todavía no se ha introducido formalmente, pero se pueden efectuar experi-mentos que corroboren que las frecuencias relativas con-

vergen hacia cierto número, esto es, se aproximan a cierto número, que es la probabilidad del suceso.

Quizá lo más sorprendente es que no es necesario realizar muchos experimentos para que la frecuencia relativa y la probabilidad valgan casi lo mismo.

1 2 3 4 5 6

44454647484950515253

0

453

14Probabilidad


42 Daniel ha lanzado un dado en 500 ocasiones y ha anotado el número de veces que ha obtenido cada una de las pun-tuaciones posibles. Ha completado la tabla con las frecuencias relativas, pero su hermano pequeño ha tachado algunos números. Copia y completa la tabla. ¿Se puede concluir que el dado está trucado? ¿Por qué?

xi fi hi

1 100 0,20

2 92 0,18

3 85 0,17

4 105 0,21

5 72 0,14

6 46 0,09

Se puede afirmar que el dado no está equilibrado ya que las frecuencias relativas de los valores 1 y 4 del dado son mayores que las demás mientras que la del 6 es mucho menor que el resto.

43 En los siguientes diagramas de sectores se han representado las frecuencias relativas obtenidas después de lanzar un dado tetraédrico no trucado 10 y 1 000 veces.

30%

25% 24%

26%

20%

4

3

2

1

4

3

2

140%10%

25%

Indica razonadamente qué diagrama corresponde a cada número de repeticiones del experimento.

El número de veces que se obtiene un resultado es, necesariamente, un número entero. Por ello, al lanzar un dado tetraé-drico 10 veces, ningún resultado puede tener una frecuencia del 25 %, pues si así fuera, la frecuencia absoluta de dicho resultado sería 2,5, lo cual es imposible. Por tanto, el diagrama de la izquierda corresponde a 10 lanzamientos del dado, mientras que el de la derecha corresponde a 1 000 lanzamientos.

Por otro lado, cuanto mayor es el número de lanzamientos realizados, más próximas serán las frecuencias relativas de cada uno de los posibles resultados al 25 %, lo que también nos indica que el diagrama de la derecha es el que corresponde a los 1 000 lanzamientos.

44 Una urna contiene 8 bolas de tres colores diferentes: rojo, blanco y azul. En la tabla apare-cen los resultados obtenidos al extraer una bola de la urna varias veces y volverla a meter tras anotar su color antes de la siguiente extracción. A la vista de estos datos, ¿cuántas bolas de cada color hay?

Se han efectuado 149 + 153 + 298 = 600 extracciones.149

600= 0,25 → 0,25 ⋅ 8 = 2 bolas rojas

153

600= 0,26 → 0,26 ⋅ 8 = 2 bolas blancas

Luego: 8 − (2 + 2) = 4 bolas azules.

Desafío45 Las embarazadas de una ciudad pueden acudir a dos maternidades. En la que tiene más capacidad se registran cada día

alrededor de 235 nacimientos, mientras que en la otra el registro es de unos 5 nacimientos diarios. Durante un año, cada centro ha computado los días en los que un 80 % de los niños nacidos eran varones. ¿En cuál de las dos maternidades habrá sucedido este hecho más días?

La experiencia dice que en condiciones normales nacen tantos niños como niñas, por ello el que el 80 % de los nacimien-tos sean de varones es una anomalía. Hay una gran diferencia entre la frecuencia relativa de nacer varón, que es 0,8, y la probabilidad de nacer varón, que es 0,5. Como la frecuencia relativa se aproxima a la probabilidad si el número de experimentos es suficientemente grande, el que hayan nacido un 80 % de varones habrá sucedido más días en la ma-ternidad en la que se registran unos 5 nacimientos diarios que en la maternidad en la que se registran alrededor de 235 nacimientos cada día.

fi

Roja 149

Blanca 153

Azul 298

14 Probabilidad



En esta sección se destacan los conceptos y procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido al ter-minar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Distinguir los experimentos aleatorios de los deterministas y definir el espacio muestral asociado a un experimentos alea-torio.

❚❚ Efectuar la unión e intersección de sucesos y determinar qué sucesos elementales constituyen el contrario de un suceso dado.

❚❚ Emplear la regla de Laplace para calcular la probabilidad de un suceso aleatorio.

❚❚ Aplicar las propiedades de la probabilidad de sucesos.

Actividades finalesSoluciones de las actividades46 Indica razonadamente cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios:

a) El calentamiento de un litro de agua hasta alcanzar el punto de ebullición.

b) El sorteo de la lotería de Navidad.

c) La diferencia de presión entre dos puntos de una piscina llena de agua situados a 50 cm y 1,5 m de la superficie, res-pectivamente.

d) La cantidad de tiempo que funcionan las bombillas de un cierto lote.

Los sucesos b) y d) son aleatorios porque no podemos predecir su resultado, mientras que a) y c) no lo son, ya que se pueden determinar las magnitudes físicas para las condiciones dadas.

290 291

¿QUÉ14 tienes que saber? Actividades Finales 14

Alan lanza cinco monedas iguales al aire y anota los resultados. Si considera los sucesos:

A = obtener más caras que cruces

B = obtener 4 cruces y 1 cara

C = obtener 3 caras y 2 cruces

a) ¿Cómo puede expresar los sucesos A∩ B y A∪ B ?

b) ¿Puede asegurar que A∩C es un suceso imposible?

Un experimento aleatorio consiste en extraer una carta de una baraja española, considerando los siguientes sucesos.

A = sacar una carta de espadas

B = sacar un as

C = sacar una figura

Describe estos sucesos.

a) A ∩ B c) A∩ B

b) A ∩ C d) A∩C

Al medir a los alumnos de dos clases de 3.º de ESO, observamos que todos los resultados se encuentran entre 1,55 m y 1,75 m. Dados los sucesos.

A = tener una estatura superior a 1,6 m

B = tener una estatura inferior a 1,7 m

C = tener una estatura de entre 1,6 m y 1,7 m

Describe las siguientes operaciones.

a) A ∩ B

b) B ∩C

c) B ∩ C

d) A ∪ C

En una urna hemos colocado 50 bolas numeradas del 1 al 50. Se realiza un experimento aleatorio consistente en extraer una bola y anotar el número correspondiente, considerando estos sucesos.

A = obtener un número múltiplo de 11

B = obtener un cuadrado perfecto

C = obtener un número mayor que 6

D = obtener un cubo perfecto

Describe en términos de los sucesos elementales del experimento las siguientes operaciones.

a) A g) C ∩ D

b) B h) B ∩ C

c) C i) B ∩C

d) D j) A ∩ D

e) A ∩ C k) A ∪ B

f) C ∩ D l) A∩C

51

52

53

54

Experimentos aleatorios. Sucesos

Indica razonadamente cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios:

a) El calentamiento de un litro de agua hasta alcanzar el punto de ebullición.

b) El sorteo de la lotería de Navidad.

c) La diferencia de presión entre dos puntos de una piscina llena de agua situados a 50 cm y 1,5 m de la superficie, respectivamente.

d) La cantidad de tiempo que funcionan las bombillas de un cierto lote.

Estefanía lanza cuatro monedas iguales al aire y anota los resultados.

a) Determina el espacio muestral de este experimento aleatorio. ¿Cuántos sucesos elementales forman este espacio?

b) Utiliza los sucesos elementales del espacio muestral para describir el suceso A: obtener al menos dos caras.

c) ¿Qué sucesos elementales constituyen el suceso B: obtener dos caras y dos cruces?

Se han colocado cuatro bolas azules numeradas en una urna y tres bolas rojas también numeradas en otra. Se realiza el experimento aleatorio que consiste en extraer una bola de cada urna y anotar el resultado.

a) Copia en tu cuaderno y completa esta tabla para construir el espacio muestral.

b) ¿Qué sucesos elementales forman el sucesoA = obtener una pareja de bolas en la que al menos una tenga un 2? ¿Y cuáles forman A ?

¿Cuál es el mínimo número de cartas de la baraja española que debemos extraer, sin reemplazamiento, para que obtener al menos dos cartas del mismo palo sea un suceso seguro?

Rodrigo lanza un dado octaédrico y anota el resultado. Expresa los siguientes sucesos de este experimento aleatorio utilizando sus sucesos elementales.

a) A = obtener un número par

b) B = obtener un número múltiplo de 4

c) C = obtener un número divisor de 6

d) D = obtener un número primo

46

47

48

49

50

Al lanzar un dado octaédrico, se consideran los siguientes sucesos:

A = obtener un número mayor que 2 B = obtener un múltiplo de 3

C = obtener un número menor o igual que 3

Describe el espacio muestral y los sucesos B ∪ C, A ∩ B y A ∩ B.

El espacio muestral está formado por todas las puntuaciones que podemos obtener:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Los sucesos son: A = {3, 4, 5, 6, 7, 8} B = {3, 6} C = {1, 2, 3}

El suceso unión de B y C consiste en obtener un múltiplo de 3 o un número menor o igual que 3, es decir: B ∪ C = {1, 2, 3, 6}; es un suceso compuesto. B y C son compatibles.

El suceso intersección de A y B ocurre al obtener un número mayor que 2 y múltiplo de 3, esto es: A ∩ B = {3, 6}, un suceso compuesto.

La intersección del suceso contrario de A y B consiste en obtener un número menor o igual que 2 y múltiplo de 3. Como no hay ninguna puntuación del dado que cumpla ambas condiciones, obtenemos el suceso imposible: A ∩ B = ∅. A y B son incompatibles.

Experimentos aleatorios. SucesosTen en cuentaUn experimento aleatorio es aquel que tiene un resultado que no se puede predecir.

❚ Los sucesos aleatorios de un experimento son las distintas situaciones que se pueden estudiar relacionadas con él.

❚ El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral, E.

En una bolsa se han colocado siete bolas numeradas. Las bolas con los números 1, 3 y 4 son azules, y las demás son rojas. Considera los sucesos:

A = extraer una bola azul C = extraer una bola con un número par

B = extraer una bola con un número mayor que 5 D = extraer una bola roja

Calcula la probabilidad de A, D, A ∪ B y A ∪ C.

P(A) = 3

7 P (D ) = P (A ) = 1− P (A ) = 1−

3

7=

4

7

A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 3

7+

2

7=

5

7

La bola con el número 4 es azul y tiene un número par, así que:

A ∩ C ≠ ∅ → P(A ∪ C) = P(A) + P(C) − P(A ∩ C) = 3

7+

3

7−

1

7=

5

7

Propiedades de la probabilidadTen en cuenta ❚ Para cualquier suceso aleatorio, A, se verifica que:

0 ≤ P(A) ≤ 1

P (A ) = 1− P (A )

❚ Si A ∩ B = ∅, entonces:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

❚ Si A y B son dos sucesos aleatorios:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Si colocamos al azar las letras de la palabra EVA, ¿cuál es la probabilidad de que obtengamos la palabra AVE?

Para examinar los sucesos que forman el espacio muestral, podemos elaborar un diagrama de árbol con todos los casos que pueden darse.

A

A

AA

A

E

E

E

EE

V

V

V

V

V Dado que todos los sucesos elementales son equiprobables, podemos aplicar la regla de Laplace.

Para calcular el número total de los casos posibles usamos el factorial. El número de casos posibles es:

3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

Así, la probabilidad es:

P(obtener AVE) = 1

6

Regla de LaplaceTen en cuentaLa probabilidad de un suceso es un número que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso.

❚ Dos sucesos son equiprobables cuando tienen la misma probabilidad de ocurrir.

❚ Regla de Laplace. Si los sucesos elementales son equiprobables, entonces la probabilidad de un suceso, A, es el cociente del número de casos favorables a que ocurra A por el número de casos posibles del experimento.

¿Qué tienes que saber?

455

14Probabilidad


47 Estefanía lanza cuatro monedas iguales al aire y anota los resultados.

a) Determina el espacio muestral de este experimento aleatorio. ¿Cuántos sucesos elementales forman este espacio?

b) Utiliza los sucesos elementales del espacio muestral para describir el suceso A: obtener al menos dos caras.

c) ¿Qué sucesos elementales constituyen el suceso B: obtener dos caras y dos cruces?

a) E = {(C, C, C, C), (C, C, C, X), (C, C, X, C), (C, X, C, C), (X, C, C, C), (C, C, X, X), (C, X, C, X), (C, X, X, C), (X, C, C, X), (X, C, X, C), (X, X, C, C), (C, X, X, X), (X, C, X, X), (X, X, C, X), (X, X, X, C), (X, X, X, X)}

El espacio muestral está formado por 16 sucesos.

b) A = {(C, C, C, C), (C, C, C, X), (C, C, X, C), (C, X, C, C), (X, C, C, C), (C, C, X, X), (C, X, C, X), (C, X, X, C), (X, C, C, X), (X, C, X, C), (X, X, C, C)}

c) B = {(C, C, X, X), (C, X, C, X), (C, X, X, C), (X, C, C, X), (X, C, X, C), (X, X, C, C)}48 Se han colocado cuatro bolas azules numeradas en una urna y tres

bolas rojas también numeradas en otra. Se realiza el experimento aleatorio que consiste en extraer una bola de cada urna y anotar el resultado.

a) Copia en tu cuaderno y completa esta tabla para construir el es-pacio muestral.

b) ¿Qué sucesos elementales forman el suceso A = obtener una pareja de bolas en la que al menos una tenga un 2? ¿Y cuáles forman A?

a) E = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3)}

b) A = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2)}

A = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 3)}49 ¿Cuál es el mínimo número de cartas de la baraja española que debemos extraer, sin reemplazamiento, para que obtener

al menos dos cartas del mismo palo sea un suceso seguro?

El mínimo número de cartas que debemos extraer es 5. Puesto que la extracción se realiza sin reemplazamiento, el resul-tado es el mismo que si sacáramos las cartas a la vez, y por tanto, las 5 cartas extraídas son distintas. Si sólo extraemos 4 puede que sean una de cada palo; sin embargo al haber 4 palos es seguro que al extraer 5 cartas distintas al menos dos de ellas son del mismo palo.

50 Rodrigo lanza un dado octaédrico y anota el resultado. Expresa los siguientes sucesos de este experimento aleatorio utili-zando sus sucesos elementales.

a) A = obtener un número par c) C = obtener un número divisor de 6

b) B = obtener un número múltiplo de 4 d) D = obtener un número primo

a) A = {2, 4, 6, 8} b) B = {4, 8} c) C = {3, 6} d) D = {2, 3, 5, 7}51 Alan lanza cinco monedas iguales al aire y anota los resultados. Si considera los sucesos:

A = obtener más caras que cruces B = obtener 4 cruces y 1 cara C = obtener 3 caras y 2 cruces

a) ¿Cómo puede expresar los sucesos A∩ B y A ∪ B ?

b) ¿Puede asegurar que A ∩ C es un suceso imposible?

a) Si A = obtener más cruces que caras, entonces: A∩ B = obtener 3 o 5 cruces

Si sucede B también sucede A , luego A ∪ B = A

b) A ∩ C no es el suceso imposible; por ejemplo, el suceso elemental formado por 5 caras verifica que sucede A pero no sucede C.

14 Probabilidad


52 Un experimento aleatorio consiste en extraer una carta de una baraja española, considerando los siguientes sucesos.

A = sacar una carta de espadas

B = sacar un as

C = sacar una figura

Describe estos sucesos.

a) A ∩ B b) A ∩ C c) A ∩ B d) A ∩ C

a) A ∩ B = sacar el as de espadas

b) A ∩ C = sacar la sota, el caballo o el rey de espadas

c) A ∩ B = sacar el as de oros, de copas o de bastos

d) A ∩ C = sacar la sota, el caballo o el rey de oros, la sota, el caballo o el rey de copas o la sota, el caballo o el rey de bastos

53 Al medir a los alumnos de dos clases de 3.º de ESO, observamos que todos los resultados se encuentran entre 1,55 m y 1,75 m. Dados los sucesos.

A = tener una estatura superior a 1,6 m

B = tener una estatura inferior a 1,7 m

C = tener una estatura de entre 1,6 m y 1,7 m

Describe las siguientes operaciones.

a) A ∩ B b) B ∩ C c) B ∩ C d) A ∪ C

a) A ∩ B = C

b) B ∩ C = tener una estatura de 1,7 m

c) B ∩ C = C

d) A ∪ C = A54 En una urna hemos colocado 50 bolas numeradas del 1 al 50. Se realiza un experimento aleatorio consistente en extraer

una bola y anotar el número correspondiente, considerando estos sucesos.

A = obtener un número múltiplo de 11

B = obtener un cuadrado perfecto

C = obtener un número mayor que 6

D = obtener un cubo perfecto

Describe en términos de los sucesos elementales del experimento las siguientes operaciones.

a) A e) A ∩ C i) B ∩ C

b) B f) C ∩ D j) A ∩ D

c) C g) C ∩ D k) A ∪ B

d) D h) B ∩ C l) A ∩ C

a) A = {11, 22, 33, 44}

b) B = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}

c) C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

d) D = {1, 8, 27}

e) A ∩ C = A

f) C ∩ D = {8, 27}

g) C ∩ D = {1}

h) B ∩ C = {9, 16, 25, 36, 49}

i) B ∩ C = {1, 4}

j) A ∩ D = ∅k) A ∪ B = {1, 4, 9, 11, 16, 22, 25, 33, 36, 44, 49}

l) A ∩ C = {7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 27, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 47, 48, 49}

457

14Probabilidad


55 Calcula la probabilidad de obtener una puntuación inferior a 7 al hacer girar esta ruleta.

La probabilidad pedida es: 4

8=

1

2

56 En el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados al aire, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las pun-tuaciones sea 5? ¿Y de que sea igual a 7? ¿Y menor o igual a 8?

La probabilidad de que la suma sea 5 es: 4

36=

1

9 La de que sea igual a 7 es:

6

36=

1

6

Y la de que sea menor o igual a 8 es: 26

36=

13

1857 ¿Qué es más probable al lanzar dos dados: que la suma de las puntuaciones sea 9 o que valga 10?

La probabilidad de que la suma sea 9 es: 4

36=

1

9 y la de que sea 10 es:

3

36=

1

12Por tanto, es más probable que la suma sea 9.

58 ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar tres monedas equilibradas, se obtengan dos caras y una cruz?


859 ¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar dos dados, el producto de las puntuaciones de ambos sea mayor o igual que

18?


36=

5

18

292 293

14 Probabilidad Actividades Finales 14

Una bolsa contiene 1 bola blanca y 3 bolas negras. Otra bolsa tiene 3 bolas blancas y 1 bola negra. Si sacamos una bola de la primera bolsa al azar y la introducimos en la segunda, ¿cuál es la probabilidad de que, al extraer una bola de esta última bolsa, sea blanca?

La experiencia dice que, si en Barcilandia hace un día soleado, la probabilidad de que el día siguiente también lo sea es de cinco sextos, mientras que, si está nublado, la probabilidad de que el siguiente esté igualmente nublado es de dos tercios. Si un domingo hace un día soleado, ¿cuál es la probabilidad de que el siguiente martes haga también sol?

56–

23–

Frecuencia y probabilidad

De los 500 niños a los que se les preguntó su tipo de helado preferido, 300 contestaron que el de chocolate, 150 el de fresa y el resto el de vainilla.

a) Elabora una tabla de frecuencias con los datos anteriores.

b) Representa los datos en un diagrama de barras.

c) Calcula la probabilidad de que, al elegir un niño al azar, su helado preferido sea el de fresa.

En el siguiente diagrama de barras están representados los resultados obtenidos al lanzar un dado 24 veces y anotar las puntuaciones.

1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

Puesto que el 3 tiene una mayor frecuencia, ¿se puede afirmar que el dado está trucado? ¿Por qué?

En un laboratorio se han tomado 1 000 muestras de las cuales 600 fueron positivas, 250 negativas y 150 nulas.

a) Elabora una tabla de frecuencias con los datos.

b) Representa los datos en un diagrama de sectores.

c) Se toma una muestra. ¿Cuál es la probabilidad de haber elegido una muestra negativa?

82

83

84

85

86

Una urna contiene el mismo número de bolas rojas que blancas. En otra urna hay el doble de bolas rojas que de bolas blancas. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola también al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja?

Al introducir una canica en cada uno de los siguientes laberintos, esta puede seguir cualquiera de los caminos con la misma probabilidad.

Halla, en forma de porcentaje, la probabilidad de que una canica salga por el canal A en cada caso.

Gema lleva dos monedas de 2 € y tres de 10 CENT. en el bolsillo derecho, mientras que en el izquierdo tiene una moneda de 2 €, otra de 20 CENT. y tres de 10 CENT. Si elige un bolsillo al azar y saca de él una moneda también al azar, ¿qué probabilidad hay de que sea una de 2 €?

En una galería hay expuestos 20 cuadros, de los cuales 16 son originales y 4 son reproducciones. Para contratar a un nuevo empleado, el dueño de la galería establece que un aspirante debe reconocer la autenticidad de un cuadro con una fiabilidad del 90 %. ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un cuadro al azar, un aspirante afirme que es original?

De una bolsa que contiene 5 bolas negras y 3 bolas blancas se extraen sucesivamente y sin reemplazamiento dos bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída sea negra y la segunda sea blanca?

Un experimento aleatorio consiste en extraer bolas de una urna que contiene 2 bolas blancas y 2 bolas negras.

a) Si se extrae una bola, se anota su color y se devuelve a la urna, ¿cuál es la probabilidad de que, al extraer una segunda bola, tenga distinto color que la primera?

b) Si se extraen dos bolas a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que tengan colores diferentes? ¿Coincide con la del apartado anterior?

76

77

78

79

80

81

En una bolsa tenemos tres bolas de colores diferentes. Una de ellas es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar simultáneamente dos bolas de la bolsa, ninguna de ellas sea blanca?

Un mago ha separado los cuatro ases de una baraja francesa y los ha colocado bocabajo sobre una mesa. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte cuál es cuál con las cuatro cartas?

En el experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda al aire tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que salgan exactamente dos caras seguidas?

Al matemático D’Alembert le preguntaron cuál era la probabilidad de obtener alguna cara al lanzar dos

monedas al aire y su respuesta fue 2

3. ¿Es correcta?

¿Por qué?

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar de cruces al lanzar 5 veces una moneda equilibrada?

¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir al azar un número de cinco cifras distintas formado por los dígitos 5, 6, 7, 8 y 9, sea par?

Un estudio estadístico ha puesto de manifiesto que el 27 % de los ciudadanos de un país lee el periódico A, el 15 % prefiere el periódico B y un 8 % lee ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir al azar un ciudadano de este país, no sea lector de ninguno de los dos diarios?

En un experimento aleatorio, razona si pueden existir dos sucesos, A y B, tales que:

P(A ∩ B) = 1

2 y P (A∩ B ) =

2

3

Indica de forma razonada si es cierto que, si la probabilidad de que dos sucesos ocurran

simultáneamente no supera 1

2, entonces la suma de

sus probabilidades es menor o igual que 3

2.

Dos sucesos, A y B, son incompatibles de un mismo experimento aleatorio y verifican que:

P (A ) = 2

3 y P(B) =

1

2

¿cuál es la probabilidad de A ∪ B y A ∩ B?

Un ladrón perseguido por la policía llega a un garaje que tiene dos puertas. Una conduce al recinto A, en el que hay 6 coches, de los que solo 4 tienen gasolina en el depósito. La otra puerta lleva al recinto B, en el que hay 4 coches, solo uno de los cuales tiene gasolina. Si el ladrón elige una puerta y un coche al azar, ¿cuál es la probabilidad de que este le permita escapar?

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

Regla de Laplace. Propiedades de la probabilidad

Calcula la probabilidad de obtener una puntuación inferior a 7 al hacer girar esta ruleta.

En el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados al aire, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea 5? ¿Y de que sea igual a 7? ¿Y menor o igual que 8?

¿Qué es más probable al lanzar dos dados: que la suma de las puntuaciones sea 9 o que valga 10?

¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar tres monedas equilibradas, se obtengan dos caras y una cruz?

¿Cuál es la probabilidad de que, al lanzar dos dados, el producto de las puntuaciones de ambos sea mayor o igual que 18?

Un dado equilibrado se lanza dos veces consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de que no salga ningún 4?

Dos personas eligen al azar un número del 1 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas hayan elegido el mismo número?

Si colocamos al azar las letras de la palabra ATLAS, ¿cuál es la probabilidad de que obtengamos la palabra SALTA?

¿Cuál es la probabilidad de que, al escribir un número de cuatro cifras con los dígitos 3, 4, 6 y 7, el resultado sea un múltiplo de 11?

Dentro de un círculo de radio 1 se inscribe un triángulo equilátero.

¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un punto en el interior del círculo, no esté situado dentro del triángulo?

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

14 Probabilidad


60 Un dado equilibrado se lanza dos veces consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de que no salga ningún 4?

La probabilidad pedida es: 1−11

36=

25

3661 Dos personas eligen al azar un número del 1 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas hayan elegido el mismo número?


81=

1

962 Si colocamos al azar las letras de la palabra ATLAS, ¿cuál es la probabilidad de que obtengamos la palabra SALTA?

El número de ordenaciones posibles de las letras de la palabra ATLAS es: 5! = 120

De estas posibilidades, como la palabra SALTA tiene dos letras iguales, por tanto, hay dos ordenaciones con este resultado.


120=

1

6063 ¿Cuál es la probabilidad de que, al escribir un número de cuatro cifras con los dígitos 3, 4, 6 y 7, el resultado sea un

múltiplo de 11?

Con los dígitos 3, 4, 6 y 7 se pueden escribir 4! = 24 números distintos.

Un número es múltiplo de 11 si la diferencia de la suma de sus cifras en lugar par y de la de sus cifras en lugar impar es múltiplo de 11. Con los dígitos 3, 4, 6 y 7, las únicas opciones son: 3 + 7 = 4 + 6 = 10, de modo que (3 + 7) − (4 + 6) = 0.

Así, los múltiplos de 11 son: 3 476, 3 674, 4 367, 4 763, 6 347, 6 743, 7 436 y 7 634


24=

1

364 Dentro de un círculo de radio 1 se inscribe un triángulo equilátero. ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un punto en

el interior del círculo, no esté situado dentro del triángulo?

El área del círculo es: π ⋅ 12 = πAl inscribir el triángulo equilátero en el círculo de radio 1, como su centro coincide con el baricentro, la altura del triángulo mide 1,5. Si x es la medida del lado del triángulo, aplicando el teorema de Pitágoras:

x2 =3

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+x

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

→ 4 x2 = 9 + x2 → x2 = 3

Como la medida del lado es un número positivo: x = 3 Entonces el área del triángulo es: 1

2⋅ 3 ⋅

3

2=

3 3

4

Luego la probabilidad de que un punto no esté dentro del triángulo es: 1−

3 3

4π

= 1−3 3

4π= 0,59

65 En una bolsa tenemos tres bolas de colores diferentes. Una de ellas es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar simultáneamente dos bolas de la bolsa, ninguna de ellas sea blanca?


3⋅1

2=

1

366 Un mago ha separado los cuatro ases de una baraja francesa y los ha colocado bocabajo sobre una mesa. ¿Cuál es la

probabilidad de que acierte cuál es cuál con las cuatro cartas?


4⋅1

3⋅1

2⋅1 =

1

2467 En el experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda al aire tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que salgan

exactamente dos caras seguidas?


8=

1

468 Al matemático D’Alembert le preguntaron cuál era la probabilidad de obtener alguna cara al lanzar dos monedas al aire

y su respuesta fue 2

3. ¿Es correcta? ¿Por qué?

459

14Probabilidad


La respuesta de D’Alembert es incorrecta, ya que consideró que el espacio solo lo forman tres sucesos equiprobables: que no se obtengan caras, que se obtenga una cara y que se obtengan dos caras, pero realmente el espacio muestral de este experimento aleatorio está formado por cuatro sucesos: E = {(C, C), (C, X), (X, C), (X, X)} y la probabilidad de obtener

alguna cara es 3

4.

69 ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar de cruces al lanzar 5 veces una moneda equilibrada?


270 ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir al azar un número de cinco cifras distintas formado por los dígitos 5, 6, 7, 8 y 9,

sea par?

El total de los números de cinco cifras distintas es: 5! =120. Los números pares son los que acaban en 6 o en 8: 4! + 4! = 48

Luego la probabilidad pedida es: 48

120=

2

5

71 Un estudio estadístico ha puesto de manifiesto que el 27 % de los ciudadanos de un país lee el periódico A, el 15 % pre-fiere el periódico B y un 8 % lee ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir al azar un ciudadano de este país, no sea lector de ninguno de los dos diarios?

A = leer el periódico A B = leer el periódico B

P A ∩ B( ) = P A ∪ B( ) = 1− P A ∪ B( ) = 1− P (A ) + P (B )− P (A ∩ B )( ) = 1 − (0,27 + 0,15 − 0,08) = 0,6672 En un experimento aleatorio, razona si pueden existir dos sucesos, A y B, tales que:

P (A ∩ B ) =1

2 y P A ∩ B( ) =

2

3

P (A ) = P A ∩ B( )∪ A ∩ B( )( ) = P A ∩ B( ) + P A ∩ B( ) =1

2+

2

3=

7

6>1→ No pueden existir dos sucesos en estas con-

diciones porque la probabilidad de cualquier suceso es menor o igual que 1.

73 Indica de forma razonada si es cierto que, si la probabilidad de que dos sucesos ocurran simultáneamente no supera 1

2,

entonces la suma de sus probabilidades es menor o igual que 3

2.

Si P (A ∩ B ) ≤1

2, y como P(A ∪ B) ≤ 1 por ser A ∪ B un suceso del experimento aleatorio, se verifica que:

P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B )− P (A ∩ B ) → P (A ) + P (B ) = P (A ∪ B ) + P (A ∩ B ) ≤1+1

2=

3

2

Luego es cierto que la suma de las probabilidades de ambos sucesos es menor o igual que 3

2.

74 Dos sucesos, A y B, son incompatibles de un mismo experimento aleatorio y verifican que: P A( ) =2

3 y P B( ) =

1

2 ¿cuál es la probabilidad de A ∪ B y A ∩ B?

Si A y B son incompatibles: P(A ∩ B) = 0

Si P A( ) =2

3→ P A( ) = 1−

2

3=

1

3

Entonces: P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) =1

3+

1

2=

5

6

Como A ∩ B y A ∩ B son también sucesos incompatibles: P A ∩ B( )∩ A ∩ B( )( ) = 0

Luego: P A ∩ B( )∪ A ∩ B( )( ) = P A ∩ B( ) + P A ∩ B( ) = 0 + P A ∩ B( )→ P A ∩ B( ) = P B( ) =1

2

14 Probabilidad


75 Un ladrón perseguido por la policía llega a un garaje que tiene dos puertas. Una conduce al recinto A, en el que hay 6 coches, de los que solo 4 tienen gasolina en el depósito. La otra puerta lleva al recinto B, en el que hay 4 coches, solo uno de los cuales tiene gasolina. Si el ladrón elige una puerta y un coche al azar, ¿cuál es la probabilidad de que este le permita escapar?

A = elegir una puerta y un coche que permita escapar

P (A ) =1

2⋅4

6+

1

2⋅

1

4=

11

2476 Una urna contiene el mismo número de bolas rojas que blancas. En otra urna hay el doble de bolas rojas que de bolas

blancas. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola también al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja?

R = extraer una bola roja

P (R ) =1

2⋅1

2+

1

2⋅2

3=

7

1277 Al introducir una canica en cada uno de los siguientes laberintos, esta puede seguir

cualquiera de los caminos con la misma probabilidad. Halla, en forma de porcentaje, la probabilidad de que una canica salga por el canal A en cada caso.

A = la canica sale por el canal A

En el primer laberinto: P (A) =1

2⋅1+

1

2⋅0 =

1

2 = 50 %

En el segundo: P (A ) =1

2⋅1+

1

2⋅1

2=

3

4 = 75 %

78 Gema lleva dos monedas de 2 € y tres de 10 cent. en el bolsillo derecho, mientras que en el izquierdo tiene una moneda de 2 €, otra de 20 cent. y tres de 10 cent. Si elige un bolsillo al azar y saca de él una moneda también al azar, ¿qué proba-bilidad hay de que sea una de 2 €?

D = extraer una moneda de 2 € P (D ) =1

2⋅2

5+

1

2⋅1

5=

3

1079 En una galería hay expuestos 20 cuadros, de los cuales 16 son originales y 4 son reproducciones. Para contratar a un

nuevo empleado, el dueño de la galería establece que un aspirante debe reconocer la autenticidad de un cuadro con una fiabilidad del 90 %. ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un cuadro al azar, un aspirante afirme que es original?

A = afirmar que el cuadro elegido es original P (A ) =16

20⋅

90

100+

4

20⋅

10

100=

37

5080 De una bolsa que contiene 5 bolas negras y 3 bolas blancas se extraen sucesivamente y sin reemplazamiento dos bolas.

¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída sea negra y la segunda sea blanca?

N1 = extraer una bola negra en primer lugar B2 = extraer una bola blanca en segundo lugar

P (N1 ∩ B2 ) =5

8⋅3

7=

15

5681 Un experimento aleatorio consiste en extraer bolas de una urna que contiene 2 bolas blancas y 2 bolas negras.

a) Si se extrae una bola, se anota su color y se devuelve a la urna, ¿cuál es la probabilidad de que, al extraer una segunda bola, tenga distinto color que la primera?

b) Si se extraen dos bolas a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que tengan colores diferentes? ¿Coincide con la del apar-tado anterior?

N1 = extraer una bola negra en primer lugar N2 = extraer una bola negra en segundo lugar

B1 = extraer una bola blanca en primer lugar B2 = extraer una bola blanca en segundo lugar

a) P (N1 ∩ B2 ) + P (B1 ∩ N2 ) =1

2⋅1

2+

1

2⋅1

2=

1

2 b) P (N1 ∩ B2 ) + P (B1 ∩ N2 ) =

1

2⋅2

3+

1

2⋅2

3=

2

3El resultado es distinto porque si se extraen dos bolas a la vez el experimento coincide con una extracción sin reemplaza-miento, en la que la segunda bola tiene una probabilidad diferente a la primera.

461

14Probabilidad


82 Una bolsa contiene 1 bola blanca y 3 bolas negras. Otra bolsa tiene 3 bolas blancas y 1 bola negra. Si sacamos una bola de la primera bolsa al azar y la introducimos en la segunda, ¿cuál es la probabilidad de que, al extraer una bola de esta última bolsa, sea blanca?

N1 = extraer una bola negra de la primera bolsa

B1 = extraer una bola blanca de la primera bolsa B2 = extraer una bola blanca de la segunda bolsa

P (N1 ∩ B2 ) + P (B1 ∩ B2 ) =3

4⋅3

5+

1

4⋅4

5=

13

2083 La experiencia dice que, si en Barcilandia hace un día soleado, la probabilidad de que el día siguiente también lo sea es de

cinco sextos, mientras que, si está nublado, la probabilidad de que el siguiente esté igualmente nublado es de dos tercios. Si un domingo hace un día soleado, ¿cuál es la probabilidad de que el siguiente martes haga también sol?

S1 = tener un lunes soleado

S2 = tener un martes soleado

N1 = tener un lunes nublado

P (S1 ∩ S2 ) + P (N1 ∩ S2 ) =5

6⋅5

6+

1

6⋅1

3=

3

484 De los 500 niños a los que se les preguntó su tipo de helado preferido, 300 contestaron que el de chocolate, 150 el de

fresa y el resto el de vainilla.

a) Elabora una tabla de frecuencias con los datos anteriores.

b) Representa los datos en un diagrama de barras.

c) Calcula la probabilidad de que, al elegir un niño al azar, su helado preferido sea el de fresa.

b) c) F = elegir un niño que prefiera fresa

Tipo de helado

100200300

Choc. Fre. Vain.

fi

50150

300

P (F ) =150

500=

3

10

85 En el siguiente diagrama de barras están representados los resul-tados obtenidos al lanzar un dado 24 veces y anotar las puntua-ciones.

Puesto que el 3 tiene una mayor frecuencia, ¿se puede afirmar que el dado está trucado? ¿Por qué?

No se puede afirmar, a la vista exclusivamente de los datos reco-gidos, que el dado está trucado, porque el número de veces que se ha repetido el experimento es muy pequeño. En tales casos, la frecuencia relativa y la probabilidad no permiten obtener con-clusiones.

86 En un laboratorio se han tomado 1 000 muestras de las cuales 600 fueron positivas, 250 negativas y 150 nulas.

a) Elabora una tabla de frecuencias con los datos.

b) Representa los datos en un diagrama de sectores.

c) Se toma una muestra. ¿Cuál es la probabilidad de haber elegido una muestra negativa?

b) c) N = elegir una muestra negativa

600250

150PositivasNegativasNulas

P (N ) =250

1000=

1

4

a) fiChocolate 300

Fresa 150

Vainilla 50

a) fiPositivas 600

Negativas 250

Nulas 150

1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

14 Probabilidad


Sistemas de identificación Sugerencias didácticas

En esta sección se les presenta a los alumnos un sistema de identificación personal basado en un código PIN y dos sistemas de identificación biométricos. Se pretende que los alumnos sean capaces tomar decisiones correctas teniendo en cuenta las probabilidades en situaciones de incertidumbre.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Piensa y razona, Argumenta, Comunica, Resuelve o Utiliza las TIC.

En las actividades de comprensión deberán razonar si el sistema que usa el código PIN de 4 dígitos es seguro y cómo se podría incrementar la seguridad.

En las actividades de relación los alumnos calcularán la probabilidad de acierto al teclear un código PIN desconocido, y asocia-rán la seguridad de una tarjeta con la elección del código.

Para terminar, en las actividades de reflexión, se explican los sistemas de reconocimiento que se basan en la huella dactilar o el iris. Hemos de conseguir que los alumnos argumenten razonadamente cuál de los tres sistemas es más sencillo. Es conve-niente que los alumnos conozcan otros métodos de identificación, para ello se les propone el uso de las TIC en una pequeña investigación, y sería interesante que presentaran algún trabajo sobre sus resultados exponiéndolo en la clase.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperati-va es Preparar la tarea, adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de David y Roger Johnson.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos se organizarán por equipos y crearán un sistema de identificación de tarjetas teniendo en cuenta dos parámetros: sencillez y seguridad. Para ello, un alumno del grupo leerá parte de la tarea y el grupo se asegu-rará de que todos comprenden qué hay que hacer. A continuación, otro miembro del equipo explicará el siguiente paso y el proceso se repite hasta que todos comprendan la tarea completa.

14 MATEMÁTICAS VIVAS

294 295

14Sistemas de identificación

RELACIONA

La probabilidad de averiguar el PIN de una tarjeta al azar está relacionada con la seguridad del sistema.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un ladrón pueda conseguir extraer dinero de un cajero automático con una tarjeta robada?

RESUELVE

b. Si aumenta la probabilidad de acertar el PIN de una tarjeta, ¿la seguridad del sistema se incrementa o disminuye?

PIENSA Y RAZONA

2

El sistema más habitual de identificación en los cajeros automáticos es el código PIN (personal identification number).

Con este número, el titular de una tarjeta bancaria puede realizar varias operaciones en un cajero automático: consultar movimientos, sacar dinero, etc.

También se denomina número secreto, porque solo el titular de la tarjeta debe conocerlo. De este modo puede evitarse que se hagan operaciones fraudulentas en caso de robo o extravío de la tarjeta.

COMPRENDE

Para poder sacar dinero de un cajero automático una persona necesita tener una tarjeta activada y conocer su código PIN de 4 cifras entre 0000 y 9999.

a. ¿Te parece que el sistema basado en el uso de un código de 4 cifras es seguro o crees que se puede averiguar el número con facilidad?

b. ¿Cómo se podría incrementar la seguridad en el uso de los cajeros automáticos sin cambiar el sistema de identificación?

c. Si un ladrón consigue una tarjeta, ¿podría utilizar algún criterio de búsqueda para determinar su PIN o sería más conveniente tantear números al azar?

d. ¿Qué sistema sería el más seguro para elegir el PIN de una tarjeta?

COMUNICA

1

PIENSA Y RAZONA

ARGUMENTA

REFLEXIONA

Existen otros sistemas de identificación que se basan en el reconocimiento de algún rasgo físico que sea único en cada persona. Son los llamados sistemas de reconocimiento biométricos.

Los más conocidos son los basados en la huella dactilar y en el iris del ojo.

La identificación con estos sistemas es muy sencilla: una persona coloca su dedo sobre una zona del cajero, en el caso de la huella dactilar, o se aproxima a unos centímetros de una cámara instalada en él, en el caso del iris. La seguridad es muy elevada; prácticamente no hay posibilidad de engaño.

La probabilidad de confundir a una persona con otra en el caso del iris es del orden de 10−21. Para que te hagas una idea de lo que esto significa, ten en cuenta que el número de granos de arena de las playas del mundo es del orden de 1019.

a. ¿Qué es más probable: averiguar el código PIN de una tarjeta o encontrar un error de funcionamiento en el sistema de reconocimiento por el iris?

ARGUMENTA

b. ¿Cuál de los tres sistemas de identificación te parece más sencillo para identificarse en un cajero automático?

COMUNICA

c. Investiga en Internet sobre estos sistemas de identificación y otros sistemas biométricos que se utilizan en instalaciones civiles y militares.instalaciones civiles y militares.

UTILIZA LAS TIC

3

TRABAJO

COOPERATIVO

Matemáticas vivas

463

14Probabilidad


Soluciones de las actividades

El sistema más habitual de identificación en los cajeros automáticos es el código PIN (personal identification number).

Con este número, el titular de una tarjeta bancaria puede realizar varias operaciones en un cajero automático: consulta de movimientos, sacar dinero, etc.

También se denomina número secreto, porque solo el titular de la tarjeta debe conocerlo. De este modo puede evitarse que se hagan operaciones fraudulentas en caso de robo o extravío de la tarjeta.

Comprende1 Para poder sacar dinero de un cajero automático una persona necesita tener una tarjeta activada y conocer su código PIN

de 4 cifras entre 0000 y 9999.

a) ¿Te parece que el sistema basado en el uso de un código 4 cifras es seguro o crees que se puede averiguar el número con facilidad?

b) ¿Cómo se podría incrementar la seguridad en el uso de los cajeros automáticos sin cambiar el sistema de identificación?

c) Si un ladrón consigue una tarjeta, ¿podría utilizar algún criterio de búsqueda para determinar su PIN o sería más con-veniente tantear números al azar?

d) ¿Qué sistema sería el más seguro para elegir el PIN de una tarjeta?

a) Es un sistema seguro, no se puede averiguar fácilmente el PIN de una tarjeta. Los bancos utilizan este sistema dadas las pocas operaciones fraudulentas que se producen, en comparación con el elevadísimo número de operaciones que se realizan con normalidad.

b) Una forma de incrementar la seguridad sería aumentando el número de dígitos del PIN por encima de los cuatro que lo componen, esto supondría un aumento del número de combinaciones de números posibles. También se podrían mantener los cuatro dígitos actuales pero introduciendo en su formación números y letras. De esta forma el número de combinaciones posibles también aumentaría.

c) Un ladrón tratará de ponerse en el lugar del titular de la tarjeta para elegir combinaciones fáciles de memorizar, como 1234, 0000, 1111, 2222,… , 9999, o aquellas que puedan hacer referencia a la fecha de nacimiento, datos que fi-guren en el DNI o números de documentos de la cartera que fue robada. Descartadas estas combinaciones el tanteo sería aleatorio.

d) Basado en el razonamiento del apartado c) debería elegirse un PIN que no fuera cualquiera de las combinaciones anteriores.

Relaciona2 La probabilidad de averiguar el PIN de una tarjeta al azar está relacionada con la seguridad del sistema.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un ladrón pueda conseguir extraer dinero de un cajero automático con una tarjeta robada?

b) Si aumenta la probabilidad de acertar el PIN de una tarjeta, ¿la seguridad del sistema aumenta o disminuye?

a) La probabilidad de acertar el PIN es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles: 1

104= 0,0001

b) La probabilidad de acertar el PIN y la seguridad del sistema son inversamente proporcionales. Si la probabilidad de acertar el PIN aumenta, la seguridad disminuye.

14 Probabilidad


Reflexiona3 Existen otros sistemas de identificación que se basan en el reconocimiento de algún rasgo físico que sea único en cada

persona. Son los llamados sistemas de reconocimiento biométricos.

Los más conocidos son los basados en la huella dactilar y en el iris del ojo.

La identificación con estos sistemas es muy sencilla: una persona coloca su dedo sobre una zona del cajero, en el caso de la huella dactilar, o se aproxima a unos centímetros de una cámara instalada en él, en el caso del iris. La seguridad es muy elevada; prácticamente no hay posibilidad de engaño.

La probabilidad de confundir a una persona con otra en el caso del iris es del orden de 10−21. Para que te hagas una idea de lo que esto significa, ten en cuenta que el número de granos de arena de las playas del mundo es del orden de 1019.

a) ¿Qué es más probable: averiguar el código PIN de una tarjeta o encontrar un error de funcionamiento en el sistema de reconocimiento por el iris?

b) ¿Cuál de los tres sistemas de identificación te parece más sencillo para identificarse en un cajero automático?

c) Investiga en Internet sobre estos sistemas de identificación y otros sistemas biométricos que se utilizan en instalaciones civiles y militares.

a) 10−4 > 10−21 → Cuanto menor es la probabilidad mayor es la seguridad, luego el iris es un sistema más seguro que el PIN.

b) El más sencillo es aquel que necesite menos requisitos para la identificación, menos actuaciones, menos atención y, sobre todo, que no necesite memorización de datos. Por tanto, cualquier sistema biométrico es más sencillo que el PIN, donde se requiere una tarjeta y la memorización y el tecleo del número secreto.

c) La mayor parte de los sistemas biométricos de identificación se han desarrollado para el control de acceso en instala-ciones militares. Después se han trasladado al ámbito civil para controlar la seguridad en los aeropuertos, en el sistema bancario, en la labor de investigación de la policía, etc… Además de los basados en la huella dactilar y en el iris del ojo, existen otros como la identificación por el perfil del rostro en 2 y 3 dimensiones, por la geometría de la mano, por la voz, etc… Cada uno de estos sistemas se ha ido perfeccionado hasta el punto de que es posible identificar a una persona por el iris aunque lleve lentes de contacto, gafas o incluso un casco de motorista con visera.

Trabajo cooperativo

Para que el sistema tenga una probabilidad de fraude de 10−6, el PIN asociado a la tarjeta deberá ser de 6 dígitos. Por ejemplo, comprendidos entre 000 000 y 999 999. De este modo, el número de combinaciones posibles será de 106.

Para evitar el tanteo indefinido de las posibles combinaciones existentes, se limitará el tecleo del PIN, de manera que una vez superados tres intentos sin acertar, el cajero atrapará la tarjeta e interrumpirá la operación.

También se puede establecer un límite para la cantidad de dinero que se puede extraer del cajero en un solo día. Con esta medida se da tiempo al usuario a reaccionar en caso de que un ladrón consiga el PIN de la tarjeta, antes de que pueda dispo-ner de todo el dinero de la cuenta.

465

14Probabilidad


14 Probabilidad

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AVANZA Probabilidad condicionada

Cuando se conoce alguna información adicional en un experimento aleatorio, la probabilidad de algunos sucesos puede cambiar.

Supongamos, por ejemplo, que de una urna que contiene 20 bolas numeradas del 1 al 20 se extrae una bola; por la regla de Laplace, sabemos que la probabilidad del suceso A = salir el número 15 es:

P(A) = 1

20

Imaginemos que no miramos el número que ha salido, pero que un compañero nos dice que la bola tiene un múltiplo de 5; en ese caso, la probabilidad de A depende del suceso B = salir múltiplo de 5.

Como ahora los casos posibles solo son 5, 10, 15 y 20,

la probabilidad es: 1

4

La probabilidad de A condicionada por B, P(A/B), es la probabilidad de que ocurra el suceso A sabiendo que ha ocurrido el suceso B.

Si P(B) ≠ 0, entonces:

P (A /B ) = P (A∩ B )

P (B )

En el ejemplo:

A ∩ B = {15} P (A∩ B ) =1

20

B = {5, 10, 15, 20} P (B ) =4

20=

1

5

P (A / B ) = P (A∩ B )

P (B )=

1

20

1

5

= 5

20= 1

4

A1. En una urna se han colocado 16 bolas numeradas del 1 al 16. Al extraer una bola, consideramos los siguientes sucesos.

A = sacar un número menor que 8

B = sacar un número múltiplo de 4

Calcula: P(A), P(B) y P(A/B)

A2. En el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de una baraja española consideramos estos sucesos.

A = obtener un rey

B = obtener una carta de copas

Calcula: P(A), P(B) y P(A/B)

En ocasiones se realizan razonamientos erróneos pensando que resultados anteriores de un determinado experimento aleatorio afectan a resultados posteriores del mismo, pues se cree que un suceso aleatorio tiene más probabilidad de ocurrir si no ha ocurrido durante un cierto tiempo.

Esperar que la frecuencia real de un suceso se manifieste en pocos ensayos es un error muy frecuente y origina lo que se conoce como falacia del jugador.

El personal de los casinos conoce bien el empeño de muchos aficionados a los juegos de azar en mantener una apuesta determinada al suponer que la ruleta ha de detenerse en el color rojo tras una serie de paradas en el negro.

De la misma forma, parece difícil creer que, tras un buen rato jugando al parchís, uno de los jugadores no logre obtener un 5. No debemos ignorar que el dado no recuerda los resultados obtenidos anteriormente.

P1. Dos parejas esperan la llegada de un bebé. La primera ya tiene 4 hijos, todos ellos varones, mientras que la segunda todavía no tiene hijos. Indica razonadamente si es cierto que la probabilidad de tener una niña es mayor para la primera pareja que para la segunda.

PROBABILIDADES EN LOS JUEGOS DE AZAR Falacia del jugador


Es sencillo proponer ejemplos en los que se advierte que la probabilidad de un suceso A es distinta de la probabilidad de ese mismo suceso cuando disponemos de cierta infor-mación adicional o si suponemos que, con anterioridad, se ha producido otro suceso B. Esto conduce a la definición de probabilidad de A condicionada por B, que se denota P(A/B), y que es el cociente de la probabilidad de la intersec-ción de A y B dividida por la probabilidad de B.


A1. En una urna se han colocado 16 bolas numeradas del 1 al 16. Al extraer una bola, consideramos los siguientes sucesos.

A = sacar un número menor que 8

B = sacar un número múltiplo de 4

Calcula: P(A), P(B) y P(A/B).

P (A ) =7

16 P (B ) =

4

16=

1

4

P (A ∩ B ) =1

16→ P (A /B ) =

1

4

A2. En el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de una baraja española consideramos estos sucesos.

A = obtener un rey B = obtener una carta de copas

Calcula: P(A), P(B) y P(A/B).

P (A ) =4

40=

1

10 P (B ) =

10

40=

1

4

P (A ∩ B ) =1

40→ P (A /B ) =

4

40=

1

10

Probabilidades en los juegos de azar. Falacia del jugadorSugerencias didácticas

Esta sección se dedica a poner de manifiesto cómo en muchos sucesos aleatorios de la vida cotidiana es frecuente cometer cierto error: creer que algunos sucesos condicionan la probabilidad de los sucesos que están por llegar. Entre ellos ninguno tan habitual como creer que un suceso aleatorio tiene más probabilidad de ocurrir porque no ha ocurrido recientemente.


P1. Dos parejas esperan la llegada de un bebé. La primera ya tiene 4 hijos, todos ellos varones, mientras que la segunda todavía no tiene hijos. Indica razonadamente si es cierto que la probabilidad de tener una niña es mayor para la primera pareja que para la segunda.

La probabilidad de que el próximo descendiente sea niña es la misma para ambas parejas, pues los resultados anteriores no afectan. El hecho de que una mujer ya haya tenido 4 hijos, todos ellos varones, no aumenta la probabilidad de que el quinto hijo sea una niña.

Avanza. Probabilidad condicionada

14 Probabilidad


1. Se realiza el experimento aleatorio que consiste en lanzar al aire un dado dodecaédrico y anotar la puntuación obtenida. Escribe el espacio muestral formado por los sucesos elementales y el suceso contrario al suceso A = obtener un número primo o mayor que 10.

El espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Dado el suceso A = {2, 3, 5, 7, 11, 12} su contrario es: A = {1, 4, 6, 8, 9, 10}

2. Ángel y Juliana lanzan un dado cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que Juliana obtenga menor puntuación que Ángel?

El espacio muestral consta de 6 ⋅ 6 = 36 sucesos elementales de la forma (x, y), donde x es la puntuación obtenida por Ángel e y la obtenida por Juliana.

Los sucesos favorables son: {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}

Por tanto, la probabilidad pedida es: 15

36=

5

12

3. Dos alumnos discuten porque uno de ellos dice que las letras de la palabra VERDE se pueden ordenar de 120 modos dis-tintos, mientras que el otro dice que sólo existen 60 reordenaciones. ¿Cuál de ellos tiene razón?

Como la palabra VERDE está formada por 5 letras, hay 5! = 120 ordenaciones, pero al repetirse la letra E cada palabra se cuenta dos veces, luego hay 120 : 2 = 60 ordenaciones distintas.

4. Calcula la probabilidad de un suceso A sabiendo que existe otro suceso B incompatible con él cuya probabilidad es 1

5 si

P (A ∪ B ) =1

2.

Si A y B son dos sucesos incompatibles entonces: P (A ∩ B ) = 0 → P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B )

Luego: P (A ) = P (A ∪ B )− P (B ) =1

2−

1

5=

3

10

5. En la consulta del servicio de cardiología de un hospital el 70 % de los pacientes son varones. El 75 % de los varones son mayores de 70 años, mientras que el 15 % de las mujeres son menores de 70 años. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer paciente llamado a consulta tenga menos de 70 años?

La probabilidad pedida es: 0,7 ⋅ 0,25 + 0,3 ⋅ 0,15 = 0,22

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

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14Probabilidad


1. Considera el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de una baraja española, y los sucesos:

A = extraer un caballo

B = extraer una espada

C = extraer un as

Indica cuáles de estos sucesos son incompatibles.

Como en la baraja hay un as de espadas y un caballo de espadas los únicos sucesos incompatibles son A y C.

2. Tenemos cinco figuras de plástico, de igual forma y tamaño, numeradas del 1 al 5, y las colocamos en fila al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte el número 12 345?

Hay 5! = 120 ordenaciones posibles de las figuras.

La probabilidad de obtener el número 12 345 es: 1

120

3. Se lanzan tres dados al aire y se anotan las puntuaciones obtenidas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres números impares?

La probabilidad de obtener un número impar al lanzar un dado es: 1

2


2⋅1

2⋅1

2=

1

8

4. ¿Puede ocurrir que A y B sean sucesos de un mismo experimento aleatorio tales que P(A) = 0,3, P(B) = 0,8, P (A ∩ B ) = 0,1 y P (A ∪ B ) = 0,9 ?

P (A ∪ B ) = P (A ) + P (B )− P (A ∩ B ) = 0,3 + 0,8− 0,1 = 1 ≠ 0,9 → No puede ocurrir que A y B sean sucesos de un mismo experimento.

5. Un dentista efectúa únicamente extracciones, ortodoncias e implantes. El 20 % de sus pacientes acuden a consulta para un implante, el 35 % solicitan una ortodoncia y los restantes una extracción. Se sabe que el 45 % de los pacientes que requieren un implante son hombres, el 70% de los que solicitan una ortodoncia son mujeres y que hay tantos hombres como mujeres que acuden por una extracción. ¿Cuál es la probabilidad de que, al seleccionar un paciente al azar, sea mujer?

La probabilidad pedida es: 0,2 ⋅ 0,55 + 0,35 ⋅ 0,7 + 0,45 ⋅ 0,5 = 0,58

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

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