Vol. I 1 1

GEOMETRIA DIFERENCIAL I

Por: Antoni Wawrzyñczyk

No. 1

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA-IZTAPALAPA

Av. Michoacán y Purísima, Col. Vicentina, Iztapalapa

México, D. F. , C.P. 09340

APDO. POSTAL 55-534

Noviembre, 1988

1 .

CONTEN I DO

1 . Pre l irni nares

l . 1 . Espacio Eucl i deano

1.2. Operadores Lineales. Matrices

2.

l . 3. Determi nantes

1.4. E l problema de

1.5. Formas b i l i n e a

1.6. l somet r ias de l

l o s v a l o r e s

1 es

espacio euc

1.7. C á l c u l o d i f e r e n c i a l

1.8. E j e r c i c i o s

p rop i o s y vectores prop ¡os

1 i deano

Curvas

2 . l . Las curvas parametrizadas

2.2. La base &v i 1 de Frenet

2.3. Las curvaturas

2.4. Campos v e c t o r i a l e s y sus curvas integrales

2.5. Curvas planas y espacia les

2.6. Ejemplos y e j e r c i c i o s

3. S u p e r f i c i e s en R3 3. l . S u p e r f i c i e y su espacio tangente

3.2. La primera forma fundamental

3.3. La segunda forma fundamental

3.4. Ejemplos

3.5. Las curvaturas

3.6. In te rpre tac ión geomét r ica de las curvaturas

4. Super f i c ies reg ladas , desa r ro l l ab les y minimales

4.1. Super f i c ies reg ladas y d e s a r r o l l a b l e s

4.2. Acerca de super f i c ies min imales

2 .

5.

6.

E j emp 1 os

5 . 1 . La superf ic ie hel icoidal

5.2. E l toro

5.3. La super f i c ie de Enneper

5 . 4 . Superf ic ies de rotación con curvatura constante

5 . 5 . E j e r c i c i o s

Teorema Egreg i um de Gauss

6. l . La derivada covari ante del campo tangente '

6.2. Teorema Egregium de Gauss

B i b 1 iografÍa

3.

Este texto está constituido por las notas de mi curso, impartido durante

el primer trimestre de 1984 en el Departamento de Matemáticas de la Uni-

versidad Autónoma Metropolitana, Iztapalapa.

Corresponde al programa de Geometria Diferencial I de la Carrera de Ma-

temáticas Básicas de la Universidad.

Su propósito es introducir los conceptos de curvaturas de las curvas y

superficies en el espacio euclidean0 R 3 y explicar su sentido geométrico.

En el último capitulo se demuestra el Teorema Egregium de Gauss subrayan-

do su importancia como un ejemplo del estudio de la estructura interna de

las superficies. Se le trata como una motivación para introducir el con-

cepto de variedad de Riemann.

Quisiera agradecer a Jorge Loza, quien después de ser uno de mis mejores

alumnos del curso, me ayudó mucho en la preparación del manuscrito, no

sólo en el campo lingüistico, sino también en el didáctico y matemático.

Agradezco mucho a mi esposa Barbara Wawrzyñczyk por la preparación de to-

das las f i guras.

!

4.

l . PRELIMINARES.

E l p r i m e r c a p i t u l o e s t á d e d i c a d o a p r e s e n t a r e l m a t e r i a l , que se supone,

e l l e c t o r y a conoce. Repasamos l a s d e f i n i c i o n e s y los hechos para recor-

d a r l o s y f i j a r n o t a c i ó n . En caso de encontrar in formaciones poco conoci -

das, e l l e c t o r puede aprovechar uno de los l i b r o s mencionados en l a b i -

b l i o g r a f i a p a r a p r o f u n d i z a r s u c o n o c i m i e n t o .

1.1. Espac io Euc l id iano.

E l espac io IRn es e l p r o d u c t o c a r t e s i a n o de n e jemp la res de l e je rea l IR.

Los elementos de IR se 1 laman vec tores y se representan por n-sucesiones

de números r e a l e s :

n

1 2 x = ( x , x , . . . . . ) X ) n

La e s t r u c t u r a n a t u r a l q u e t i e n e e l e s p a c i o IR es l a l i n e a l , d e f i n i d a p o r

l as ope rac iones s igu ien tes :

n

x + y = ( x + y ,....., x + y n ) 1 1 n

(1.1.1)

ax = (ax ,. ... . , ax ) l. n

donde x = (x1, . . . . . , x ) , y = (y ,. . . . . , yn) , adR. n 1

Además tenemos d e f i n i d o e n IR un p roduc to esca la r dado p o r l a f ó r m u l a : n

n

i=l (1.1.2) (x/y) = 1 x y x , YEIR"

i i

E l p roduc to esca la r es

(1 .1.3.1) s imétr ico ( x l y ) = ( y l x ) X,Y& IR

(1.1.3.2) b i l i n e a l ( x + a y I z ) = ( x ~ z ) + ~ ( Y \ Z ) X , ~ , Z E I R " , UEIR

(1.1.3.3) no-negat ivo ( x ( x ) - > o x€lRn

(1 . l. 3.4) no-degene rad0 (X IXI = o <-> x = o

n

5.

Tiene lugar la des igualdad de Schwartz:

(1.1.4. ) I ( X l Y ) I 5 (x lx) 1’2 (Y I Y ) 1’2

Después de de f i n i r l a norma del vector xdR como n

(1 .1 . s .) I IxII := (xIx)”z

l a des igua l dad de Schwartz toma l a forma

(1.1.6) I ( X l Y ) l l lxll I I Y I I

Equivalente a l a ú l t ima e s l a des igua ldad de l t r i ángu lo (Ver e je rc ic io

1.8.2.)

Al espacio IRn con su est ructura l inea l y dotado del producto escalar

(. 1 . ) se le l lama espacio eucl id iano.

Al d e f i n i r la d i s t anc i a

convert imos a l espacio eucl idiano IR en un espacio métr ico. n

Sea {ei} ( i = 1 ) . . . y n) una base del espacio IR y entonces cualquier vec-

tor xdR se puede representar unívocamente de l a forma

n

n

n . (1.1.9)

I X = I c e i c i dR

i= l

Una base {e.) de IR se dice ortonormal s i n I

(1.1.10) (e i le.) = 6 i j J

i , j E(I ,..... , n)

6 .

(1. 1.12) Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt, S i ( V V 1 es 1 n

una base de IR", la colección {e, ,... .. , en) donde

es una base ortonormal de IR y además para kE(1 y . , . . . , n). n

(1.1.13) L ( V ] ,... .. , v,) = L(el ,....

siendo L ( s ) , para S C IR y el subespacio vector n

-

* 9 e,)

¡al de IR generado por S. n

1.2. Operadores Lineales. Matrices.

Un operador lineal entre los espacios IR y IR es una aplicación n m

A: IRn - ' IRm

que satisface

(1.2.1) A(x + a y ) = A(x) + aA(y)

cualesquiera que sean x, yEJR y a & R , n

7 .

Supongamos que {e.) ti = 1 , % ? . a n> y {fj} 4j = 1 ? , , , :, , m> son bases

ordenadas de R y IRm respectivamente. Entonces para todo i , 1 < i < n , existe una sucesi6n {a!} tal que

I n

"

I

(1.2.2.)

A la tabla

, \

al,, , . , . . . . . a' a' a2 1 n

1 n

(1.2.3.) m(A): = . m m 1 n

a .....,,.... a 1

= (a-!) I

se le llama matriz del operador A con respecto a las bases {ei} y {f.}. J

Para distinguir los super y sub-indices en la matriz (a-!) aceptemos la

convención de que j, el superindice, corresponde a la fila e i, subindi-

ce a la columna,

Al espacio de todos los operadores 1 i neales de IR a IRm lo denotaremos por

L(IRn, IR ) , mientras que al espacio de las matrices mxn por M (IR).

n

m mxn

La corrrespondenci a L (IR , IR") E A - > m(A) E Mmxn (IR) (fijadas 1 as bases

{e.} y (f . } de IRn y IR previamente) es biunivoca y conserva las estructu- m

ras algebraicas que tienen ambos espacios.

n

I J

A la suma de dos operadores A, B E L (IR", R")

(1.2.4.) (A + 8) (x ) := A(x) + B(x)

I

8.

le corresponde la suma de m a t r i c e s :

(1.2.5.) m(A+B) = m(A) + mCB): = (c!) I

donde c i = a! + bi, I = 1 ,....., n, j = 1, ....., m. J . I

A la m u l t i p l i c a c i ó n d e l o p e r a d o r A por un número r e a l a :

(1.2.6.) &A) (X): = aA(x )

le corresponde la m u l t i p l i c a c i ó n de l a m a t r i z A p o r e l r e a l a:

donde c;' = aa' i = 1, ....., n, j = 1 ,....., m. I i'

Podemos además hacer 1 a compos i c i ó n de dos operadores P& L(IR , IR") y

BE L (IRn, IRk)

n

(1.2.8.) (B 0 A) ( x ) : = B ( A ( x ) )

La m a t r i z c o r r e s p o n d i e n t e a la compos ic ión B O A es e l p r o d u c t o de l a s ma-

t r i c e s m(B) y m(A):

(1.2.9.) m(BoA) = m(B).m(A) = (cy )

Conv in iendo en representar a l vec tor XER ( resp . ydRm), como mat r i z co - n

lumna, p o r

( resp.

9 .

elemento de M (resp. Mmxl nx 1

(IR) , cuyos coef i ci entes son 1 as coordenadas de X (resp. y) en la base {ei} (resp. {f .}I se tiene que para todo ele- mento XER , la matriz columna de las coordenadas de A(x) en la base {f.

J es el producto de la matriz de A, m(A), en las bases {ei) Y {f.) Y de la

matriz columna de las coordenadas de x en la base {e.}.

n J

J

' I

Generalmente vamos a utilizar la base canónica en el espacio IR , cuycs elementos están dados por las fórmulas

n

(1.2.10.) ~ . = ( o , o ,....., 1 ,....., O ) i = l , ....., n I

donde el 1 está en el i-ésimo lugar.

Si {e 1 y {f son 1 as bases canóni cas de IR y de IR , respecti vamente, en- tonces la matriz (a;)) del operador A tiene la forma

n m

I

m(A) = (Ae , Ae ,. . . . . , Ae,) 1 2

es decir, las columnas de m(A) son las imágenes de los e i bajo A.

La fila y+: = ,....., y tiene sentido como la matriz del operador de

IR a IR que actúa de 1 a manera S igu iente (Y 1 n n

Pensamos entonces la fila y:: como la matriz de un funcional lineal del

espacio IR , al cual 1 larnamos también y::, es decir n

Y

10.

La apl i cación

(1.2.12) IR 3 x = n (x',. . . . . , xn)€L(IRn, IR) =:

es un isomorfismo lineal entre IR y su espacio dual (IRn)'. n

El producto escalar se puede representar en la forma:

Reciprocamente, como la aplicación fi es sobre, para cualquier funcional

1 ineal fc(Rn) ':, existe un vector x & ~ tal que n

(1.2.13) f(y) = x"(y) = (xly)

1.3. Determinantes.

Consideremos ahora el espacio M (IR) como el producto R x.. . . . x Rn (n ve- nxn

ces) identificando la matriz A con la sucesión de sus n columnas:

n

A = (al, ..... , an)

€ 1 determinante es la función

det : Mnxn (IR) ->IR

que cumple con las condiciones

(l. 3. l. ) det (e , . . . . . , en) = 1 (normal idad)

(1.3.2.) det(a ,. . . . . , a., ai+, ,. . . . . , an) = -det(a , . . . . . , ai+l, a., . . . , 1

1 I 1 I an)

9 an)

(alternancia)

(1.3.3.) det(a + aa', a ,..... , a ) = det(a ,... , an) + adet(a', a ,... 1 1 2 n 1 1 2

(multi 1 ineal idad)

11.

Existe una sola función que satisface las condiciones 3.1. a 3.3. Para

n = 2 la función tiene la forma

a1 al 1 2

:= det [ = ala2 - a2a1 1 2 1 2

a2 a2 1 2

En el caso n = 3

(3.4.) Teorema. det(A-B) = detA detB

Si las matrices A y B son mutuamente inversas, o sea A-B = id, tenemos

según el teorema (3.4.) y la propiedad (3.1.)

(1.3.5.) det A det B = 1

Una matriz invertible tiene entonces el determinante distinto de cero.

La condición resulta ser también suficiente:

(1.3.6.

matriz

) Teorema de Crame r

inversa tiene la fo

. Si det A rma A-’ =

# O la matriz A es invertible y la

(b;) donde \

a 1 . . . .aj-l 1 aj+l.. 1 . . .1 :i-1 i - 1 i - 1 a ..a 1

j-l a j + l . . . . n

i+l i+l 1 j-1

a ... a i+l aj+l . . . . . ai+j/ n

n in j+l’ . ... an n )

12.

Apl icando otra vez e l teorema (3.4) se t iene:

(1.3.7.) det (ABA-' ) = det B

La fórmula anter ior nos permi te def inir la función det en el espacio

L(IRn, IRrn) .

A cada operador TEL(IR , IR ) le corresponde una famil ia de matrices porque

en d i s t in tas bases se representa con diferentes matrices. Pero dos matri-

ces B y C corresponden al mismo operador en dos bases s i y s ó l o s i e x i s t e

un operador invert ible A ta l qu.e C = ABA . Entonces podemos d e f i n i r l a

función

n m

-1

det : L(IRn, IR") -> IR

como

(1.3.8.) det T:= det (m(T))

donde m(T) e s l a ma t r i z del operador T en una base cualquiera.

Dos bases ordenadas {ei} y { f i } de IRn t i enen l a misma o r i e n t a c i ó n s i l a

matr iz correspondiente de cambio de base t iene determinante positivo.

A la base canónica le as ignamos la or ientac ión pos i t iva y de esta forma,

una base { f . ) de IR tendrá o r ientac ión pos i t i va (negat i va ) si el determi-

nante de l a m a t r i z de cambio de base de { f i 1 a l a canón i ca , que t iene co-

mo columnas a l a s f. , es pos ¡ t i vo (negat i vo ) .

n I

I

(1.3.9.) Teorema. En e l teorema (1.12), para kE:(l ,. . . . ., n) las bases or -

denadas (v ,. .. , v,) y {e l , . .. , e,) de L(v ,. . . , v,) y L (e l , . .. , e,) res-

pectivamente, t ienen la misma or ientac ión. Además, dada la base {v ,. . . , vn)

de IR", {e , . . . , e es la úni ca base ortonormal que cumple con ( l . 1 .13.) y

l o a n t e r i o r .

1 1

1

1 n

13.

4. E l Problema de l o s v a l o r e s y vec to res p rop ios . - "

Sea A un operador en e l e s p a c i o IR . La ecuación n

(1.4.1. ) A(x) = Ax XER

se l l ama l a ecuac ión p rop ia de l ope rador A.

S i e l número AER y e l v e c t o r x # O cumplen con l a c o n d i c i ó n ( 4 . 1 . ) se l e s

l l a m a v a l o r p r o p i o y vec tor p rop io de l operador A, respect ivamente.

Escribamos l a ecuac ión p rop ia de la forma:

( A - X i d ) (x ) = O

E s t a e c u a c i ó n t i e n e s o l u c i ó n no i g u a l a cero s i y s ó l o s i e l o p e r a d o r es

s i n g u l a r , es d e c i r , cuando y s ó l o cuando de t (A - A id ) = O.

La f u n c i ó n

(1 .4.2. )

se

Los

l l a m a p o l i n m

va lo res p rop

IR3 X -> x (X) := de t (A - A id )dR A

A.

1 i n o m i o c a r a c t e r i s t i c o X A '

i o c a r a c t e r j s t i co del operador

i os de A son 1 as ra í ces de 1 PO

P a r a c u a l q u i e r v a l o r p r o p i o X e x i s t e un v e c t o r

E l operador A&L(IRn, IR ) se d i c e s i m é t r i c o s i n

p rop io de l operador A.

(1.4.3.) Teorema e s p e c t r a l . S i A es un ope rador l i nea l s imé t r i co en R

en tonces ex i s te una base ortonormal compuesta de l os vec to res p rop ios

n

14.

del operador A. La m a t r i z d e l o p e r a d o r t i e n e en es ta base la fo rma d iago-

n a l :

m(A) =

/ \

X o o ..... o o o ..... o o O ' x . . 2 .

. .

. . o o o ..... o x

\ n

donde X ,..... , A n son l os va lo res p rop ios (no necesar iamente d i s t i n t o s ) A

de A. E l v a l o r X i aparece en l a m a t r i z m(A) un número de veces i g u a l a

su m u l t i p l i c i d a d como r a i z d e l p o l i n o m i o x A '

..

l . 5. Formas B i 1 i neales.

Una f u n c i ó n B: IRnX W" -> IR se d ice que es una fo rma b i l i nea l , si para

cada xeRn f i j o , l a s f u n c i o n e s :

( 1 . 5 . 1 . ) B ( x , . ) : IRn "+ IR

@ (. ,x) : IRn -> IR

son l i n e a l e s .

Una forma b i l i n e a l e s s i m é t r i c a si B ( x , y ) = B(y, x ) p a r a c u a l q u i e r x,yElR . n

@ ( x , y> = ( A X ~ Y ) p a r a x, y EE?.

E l o p e r a d o r l i n e a l A e s s i m é t r i c o s i y s ó l o s i B es una forma b i l i n e a l

15.

s i m é t r i ca.

Una fo rma b i l i nea l t amb ién se puede rep resen ta r po r una ma t r i z en una ba-

se f i j a {e . } . I

Sea = @ ( e i , e . ) . E n t o n c e s l a m a t r i z (B. .> s e l l a m a m a t r i z de l a forma

B en l a base {e . } . La m a t r i z r e p r e s e n t a a l a forma unívocamente, porque

para X = f x 'e . y y = 1 y e j tenemos, p o r b i 1 i n e a l i d a d de B:

J I J

I

n

j = l

I j

i = l I

Si l a f o r m a B e s ' s i m é t r i c a , podemos encont ra r una base ta l que l a m a t r i z

de l a forma sea diagonal (Ver 4.3 y 5 . 2 . ) . Para ta l base {e . ) se t i e n e

q ue I

1.6. l s o n e t r i a s - del espac io euc l i d iano .

Una a p l i c a c i ó n S : IRn --> IR se l lama ortogonal si c n s e r v a e l p r o d u c t o n

esca la r , es dec i r, si

(1.6.1.) ( S X ~ S Y ) = ( x l y ) para cualesquiera x,y &IR"

(1.6.2.) Teorema. Sea S : IR" -> IR una ap l icac ibn. Son e q u i v a l e n t e s l a s

s igu ien tes p rop iedades:

n

( i ) S es o r togona l

( i i ) S es l i n e a l y transforma toda base ortonormal en una base o r t o n o rma 1 .

( i i i ) S e s l i n e a l yI(~xll = l l x l l

16.

E l ángulo entre los vectores x y y se define como 21 número O~lO,al tal

que

(1.6.3.)

En v i r t u d de (6.2.) las transformaciones ortogonales conservan el ázgulo

entre vectores.

Como un operador ortogonal S es un isomorfismo

y tenemos l a r e l a c i ó n :

(1 .6 .4 . ) (S-lxl y

Por ot ro l ado, el operador

1 = ( sos- lx ]sy) = (x

transpuesto St de S

( 1 .6.5.) y ) = ( x l s y )

1 i neal , t iene inverso S - 1

I SY)

se def ine como

Entonces, para un operador ortogonal , su inverso y su transpuesto coinci-

den.

La matriz del operador transpuesto St es precisamente la transpuesta de

la mat r i z de S , e s dec i r ,

(1.6.6.)

(6 .7 . ) Propos ic ión. Las co lumnas ( las f i las ) de la mat r i z , re specto a una

base ortonormal, de un operador ortogonal forman una base ortonormal.

La fórmula

(1.6.8.) SoSt = i d

impl ica que det(S) det(S ) = (detS I2 = 1 ; entonces el determinante de un

operador ortogonal puede tomar sólo los va lo res 1 y -1. S i detS = 1 deci-

t

17.

mos que S es una rotación. Si detS = - 1 el operador S se puede represen-

tar como la composición de una rotación y alguna reflexión con respecto

a un hiperpl ano.

Una aplicación T: IRn -> R es una isometria si conserva la distancia en-

tre puntos, es decir, si

n

(1 .6 .9 . ) d(Tx, Ty) = d(x, y) cualesquiera que sean x, y cIRn.

Una transformación P: IRn ->IR es una traslación si existe bdR tal que n n

(1 .6 .10 . ) Tx = x + b para toda x €IRn

Tanto las transformaciones ortogonales como las traslaciones son isome-

trÍas; estos dos tipos de isometrias generan todas las isometrias en el

espacio euclidiano.

(1 .6.11.) Teorema. Sea T una isometria del espacio euclideo. Entonces

existen un operador ortogonal S y un vector bdR tales que n

TX = SX + b

El conjunto de todas las isometrías de IRn se denota por M(n) y se le lla-

ma el grupo de movimientos rigidos, Por O(n) se denota al grupo de los

operadores ortogonales y por SC)(n) al grupo de rotaciones en IR . n

l . 7. Cdl culo D i ferenci al.

A: IR" -> IR m

tal que para todo h E IR n

18.

(1 .7 .1 . ) f ( xo + h ) - f ( x o ) = Ah + r ( x o , h )

don de

(1.7.2.) > O cuando )I hlI - > O

E l operador A se l lama l a d e r i v a d a de f en e l pun to x, y se d e n o t a d f ( x o ) .

E l v a l o r Ah = d f ( x o ) h se l l a m a l a d i f e r e n c i a l de l a f u n c i ó n .

La de r i vada d i recc iona l de f en l a d i r e c c i 6 n h se d e f i n e como

(1.7.3.) V h f ( x o ) = lirn t+O

f ( x , + t h ) - f (x,) t

S i l a f u n c i ó n f es d e r i v a b l e en x, entonces existen todas sus der ivadas

d i recc ionales y además

(1 .7 .4 . ) Vh f (xo) = d f ( x o ) h

La der ivada parc ia l denotada ó f i es l a de r i vada d i recc iona l en l a

d i recc ión e . , i -és imo e lemento de l a base canónica. La matriz del opera-

d o r d f ( x o ) en l a base canónica t iene entonces l a forma:

a f X

I

a f a f ax ax . - * . . %) "

(1.7.5.) Ejemplo. Sea f : IRn - > I R una func ión rea l der ivable en xo. Enton-

ces su derivad; d f ( x o ) es un func ional sobre W . Podemos rep resen ta r e l n

func iona l como

(1.7.6.) d f (x , )h = (x lh ) para a lgún x cWn

E l v e c t o r x que rep resen ta l a de r i vada se l l ama e l g rad ien te de l a f u n c i ó n

f y se denota por gradf(x,):

(1.7.8.) Ejemplo. Si f: IR ->IF?, entonces la derivada es una aplicación

lineal de IR en IR". Denotemos df(xo)(l) = v, entonces df(x,)(t) = tv para

todo t&lR.

Recordemos algunas propiedades algebraicas de la derivación:

(1.7.9.) Teorema. (a) Sean f y g dos funciones derivables en el punto x,, y sea IR. Entonces la función f + a g es derivable y

(b) Si f: IRn -> IR y g: IR" -> IR , f es derivable en x, y g es derivable

en f(xo), entonces la composición gof es derivable en x. y

m k

d(g0f) (x,) = dg(f (x,)) o df (x,)

Si la función f: O-> IR es derivable en todos los puntos de su dominio

decimos que es derivable.

m

Supongamos que la función f: IR 3 O ->IR es derivable. La derivada en n m

el punto x, E O es un elemento del espacio L(IRn, R"). Tenemos entonces de-

finida una función

(1.7.10.) df: O - > L (IR", IR"')

El espacio de los operadores lineales, que identificamos con el espacio

Mmxn

mos entonces considerar la diferenciabilidad de la función df.

(IR) de las matrices, lineal y topológicamente es idéntico a R . Pode- nm

La derivada de la aplicazidn df en el punto x, se llama la segunda deriva-

da de f en x, y se denota d2f(x,). Es un elemento del espacio L(IR ,L(R ,Wm)). Vamos a identificarlo con una aplicación bilineal con valores en IR . Para

n n

m

20.

hdRn l a d i f e r e n c i a l d 2 f ( x o ) h p e r t e n e c e a l e s p a c i o L(IRn, Rm). Su va lo r pa -

ra h'ERn se encuentra en R y se deno ta po r d2 f ( xo> (h, h i ) . m

(1.7.11.) Ejemplo. En e l caso m = 1 , e s d e c i r , cuando f : O -->IR, l a segun-

da der¡ vada es una forma b i 1 i n e a l c u y a m a t r i z en 1 a base canónica está da-

da p o r :

d 2 f ( x o ) =

Se d i c e que una f u n c i ó n f : IRn O -> IR es k veces d i ferenc iab le con con-

t i n u i d a d : o de c l a s e C , s i todas sus der ivadas parc ia les has ta e l o rden

k e x i s t e n y son continuas. Una función es suave, o de c l a s e C , s i para

t o d o e n t e r o p o s i t i v o k, d i c h a f u n c i ó n es de c l a s e C .

m

k

00

k

(1.7.12.) Teorema. La a p l i c a c i ó n RnXRn3 ( h , h ' ) - > d 2 f ( x o ) ( h , h ' ) e R es b i -

l i n e a l y s i m é t r i c a s i f es de c l a s e C2.

m

(1.7.13.) Teorema. Sea f : IRn -> IR una f unc ión de r i vab le en e l c o n j u n t o

a b i e r t o O IR". Supongamos que l a d e r i v a d a d f ( x o ) es un ope rador i nve r t i -

b le . Entonces ex is ten vec indades U y V de x. y f ( xo ) respec t i vamen te , t a -

l e s que f : U ->V es una b i y e c c i ó n , l a f u n c i ó n i n v e r s a f : V ->U es de-

r i v a b l e y s i f es de c l a s e Ck, k > 1, a s Í es f .

n

- 1

- 1 -

E l G 1 t imo teorema dice entonces que una función suave con der ivada inver-

t i b l e en x. es un di feomorf ismo cuando menos en alguna vecindad del punto

xo.

21.

(1.7.15.) Teorema. Sea f: IRn -> IR una función derivable. Supongamos que

la derivada en el punto x0 es inyectiva. Entonces existe una vecindad V

de x, tal que f I V es un homeomorfi smo sobre f (V) .

m

(1.7.16.) Teorema. (Fórmula de Taylor) para la función f: IR" O -> IR de

clase c tenemos la fórmula:

m

don de

1.8. Ejercicios.

\ (1.8.1.) Demuestre la fórmula de polarización:

(1.8.2.) Demuestre que son equivalentes las desigualdades siguientes:

(1.8.3.) Demuestre que una aplicación A: Rn -> R que conserva la nor-

ma y cumple con A ( 0 ) = O, conserva también el producto escalar.

n

(1.8.4. ) Demuestre que cualquier aplicación A: Rn - IR^, que conserva el producto escalar es 1 ineal.

22.

(1.8.5.) u t i 1 i zando los resul tados anter iores demuestre que cua lqu ie r

isornetr ia A: Rn -> R t i e n e l a forma Ax = Tx + b, donde T&o(n), bER . n n

(1.8.6.) Demuestre que un operador l i nea l de ( R Rn) es cont inuo. n

(1.8.7.) Pruebe que l a f u n c i ó n

t iene todas las der ivadas d i recc iona les en ( O , O ) y no es de r i vab le

(1.8.8.) Sea f : Rn -> R u n a f u n c i ó n d e r i v a b l e d i s t i n t a de cero en t o -

das pa r tes . Demuestre que l a f u n c i ó n . también es der ivable y

n

(1.8.9.) Demuestro e l teorema s iguiente:

Sean f 7 g: Rn - >Rn dos func iones der ivables. Entonces la der ivada de

l a f u n c i ó n

23.

2. LAS CURVAS.

2. l . Las curvas parametrizadas. -

De ahora en adelante I denotará un intervalo en IR que puede ser cerrado, abierto o semiabierto.

La suavidad de una función f definida en I (Ver 1.7.11.) quiere decir que dentro del intervalo existen las derivadas de f de cualquier orden, son continuas y tienen una extensión continua en todo I .

El lector observará que en muchos teoremas es suficiente suponer la di- ferenci ab¡ 1 i dad de 1 as funciones en cuestión hssta e 1 orden uno, dos o cuando más tres.

Consideramos las funciones suaves (de clase C ) solamente para simplifi- car la narración y formulación de los teoremas. El lector, s i lo necesi- ta, puede sin dificultad encontrar las versiones más fuertes.

m

(7.1.1.) Definición. Una curva parametrizada en Rn es una aplicación sua-

ve C: I -> IR . La imágen C( I ) se llama la traza de la curva. n

Una curva es regular si dC(t) # O para todo t dentro del intervalo I .

El vector C' (t): = dC(t) se 1 lama el vector tangente a la curva parame- trizada C en el punto t. Su interpretación fisica es la velocidad del movimiento a lo largo de la curva.

El concepto de curva parametrizada contiene los datos: el conjunto C ( I )

en IR , que en una curva regular es localmente homeomorfo a un intervalo (Ver 1.7.12.), y además "el horario'' del curso del parámetro t por la cu rva.

n

En muchos problemas lo último es poco importante, entonces admi timos

24.

o t ras pa ramet r i zac iones de l a t r a z a .

( 2 . 1 . 2 . ) D e f i n i c i ó n . Sean C: I -> IR y C : I -> IR dos curvas parame-

t r i z a d a s . Decimos que C y C son equ iva len tes , l o que esc r ib imos C-C, s i

e x i s t e un d i feomorf ismo

n - - n - -,

l lamado cambio de parárnetro,tal que

S i @ ' ( t ) > O para todo t decimos que @ c o n s e r v a l a o r i e n t a c i ó n .

l a r e l a c i ó n '1-11 de te rm ina c lases de .equ iva lenc ia de curvas parametr iza-

das. Una curva es una c lase de e q u i v a l e n c i a de curvas parametr izadas.

( 2 . 1 . 3 . ) Ejemplo. Sea C : IR - >IR l a c u r v a d e f i n i d a p o r l a f ó r m u l a :

La f i g u r a 1 . l . r e p r e s e n t a l a t r a z a

de l a c u r v a . E l p ico cor responde

a l v a l o r t = O, donde

La curva no es regular . E l e jemplo

muestra los problemas que puede

c a u s a r l a i r r e g u l a r i d a d de una

cu rva.

Figura 2 .O.

(2 .1 .4 . ) Def in ic ión . La l o n g i t u d de l a c u r v a C: IR -> IR e s t á dada por n

Definamos también l a f u n c i ó n que co r responde , u t i l i zando t é rm inos f i s i -

cos, a l camino r e c o r r i d o h a s t a e l momento t. Sea L: I ->[O, L(C)] d e f i -

n ida por

(2.1.6.) Teorema. S i l a c u r v a C es regular, entonces L es una t r a n s f o r -

mación del parámetro y conserva l a o r i e n t a c i ó n .

Demostración: Aplicando el teorema fundamental del cálculo para encontrar

l a d e r i v a d 2 de l a f unc ión L, tenemos que

(2 .1 .7 . ) L ' ( t ) = I1 Cll(t) l l ' o

Como l a composición de una función suave con l a f u n c i ó n I I . l l , que fue ra

de cero es suave, l a f u n c i ó n L es de c lase C . Su der ivada es p o s i t i v a ,

entonces ex is te su func ión inversa y es de l a misma c lase.

m

- La curva C = C O L se l lama curva parametr izada por su l o n g i t u d o curva

de rapidez uno. E l s i g u i e n t e teorema e x p l i c a e l nombre.

- 1

(2.1.8.) Teorema. I IdC(L)]I = 1 para todo L€[O,L(C)]. -

Demostración. Calculamos

Entonces I ) d t ( L ) ) I = 1 .

26.

En el espacio Rn la curva más corta que une dos puntos dados x, y € R es

la 1 inea recta.

n

(2.1 . g . ) Teorema. Sea C: [ a,b] - >IRn una curva parametrizada tal que C(a) = x y C(b) = y. Entonces

Demostración. Según el teorema fundamental del cálculo

Para cualquier vector VER , después de aplicar la desigualdad de Schwartz, tenemos

n

a a

En particular para el vector

obtenemos la desigualdad

feminando la demostración.

Veamos ahora que la longitud es una función de las clases de curvas equi-

valentes.

(2.1.10.) Teorema. La longitud de una curva no depende de la parametriza-

ción, es decir, si las curvas C: [a,b] -> IR y C: [a', b ' ] -> IR son

equivalentes, entonces

n n

L(C) = L(C')

Demostración. Sea O: Ia,b] -> [a', b'] un cambio de parámetro, o sea

Entonces dC(t) = dC(Q(t))$'(t) y se tiene

Puesto que 4 ' no cambia de signo en [a,b], por la fórmula de integración por sust i tución, obtenemos

La longitud de una curva tampoco cambia cuando ejecutamos en el espacio

cualquier isometria.

(2.1.11.) Teorema. Sean T: IR -> IR una isometria y C: I - >IR una cur-

va parametrizada. Entonces la curva = T o C tiene la longitud igual a la

de C.

n n n

Demostración. Si para todo SIR , Tx = Rx + b , siendo R una transformación ortogonal y b un vector fijo de IRn (Ver l . 6. 1 1 .) , después de observar que dC(t) = R(dC(t)) y que 11 R(dC(t)) 11 = IldC(t) 11 , la demostración es in- medi ata.

n

2.2. La base móvil de Frenet. ""

(2.2.1 . ) Definición. Una base móvil a lo largo de la curva C: I ->IRn

es una función B definida en I con valores en el grupo O ( n ) de matrices

ortogonales.

28 .

Si representamos las matrices como las sucesiones (C 1' C 2 ,....., Cn) de sus columnas, podemos interpretar la base móvi 1 B ( t ) = (Cl(t) ,.. . , Cn(t)) como una colección de bases ortonormales parametrizada por el parámetro t de la curva C. Geométricamente lo anterior significa que en cada punto

de la curva C tenemos anclada una base ortonormal del espacio IRn (fig. 2.1.).

a t s b Figura 2.1.

29.

(2.2.2.) Definición. La base móvi 1 de B ( - ) = (C.(-), ..., C ( e ) de la cur-

va C: I -->IRn es de Frenet si : n

( i i ) Para todo tEl y todo kE{1 ,..., n-11, las bases {C'(t) ,..., C(k)(t)} y

(C (t) ,. . . ,Ck(t)} de L(C'(t) ,. . . ,Clk) (t)) = L(C (t) ,. .. ,C,(t)) tienen la misma orientación.

1 1

( i i i ) B(t) tiene orientación positiva para todo tcl.

Nótese que en ( i i ) se pide, en particular que C'(t), ..., C (n - (t) sean

linealmente independientes, lo cual, como indica el siguiente teorema,

es suficiente para asegurar la existencia y unicidad de una base de

Frenet. También obsérvese que en vez de ( i ) se pudo haber pedido: ( i ' )

para todo tcl y todo kE(l ,..., n - 11, C (t)EL(C (t) ,..., Ck(t); lo cual, en vi rtud de ( i i), es equivalente a ( i ) . En lo sucesivo usaremos este

último hecho para acortar las demostraciones.

(k ) 1

(2.2.3.) Teorema. Sea C: I --> IR una curva tal que para todo t&l los

vectores C' (t) ,. . . ,C(n - (t) son I inealmente independientes. Entonces

existe una base móvil de Frenet a lo largo de C y es única.

n

Demostración. A la base {C'(t) ,. . . , C (n - (t)} del espacio

L(C'(t), ..., c (n - "(t)) le aplicamos el proceso de ortonormal ización de Gram-Schmidt, con lo cual obtenemos la base ortonormal {e ( t ) ,..., en-,(t)} del espacio L(C'(t), ... , C (n -n)(t)). Ahora, existe un solo vector e n (t)

ortogonal a e (t) , . . . , e (t) y normal izado tal que

(e (t) , . . . , en- (t) , e (t) } forma una base de IRn con or¡ entación pos i ti - va. As i pues, recordando l . l . 13. y l . 3.9., 1 a apl i cación

1

1 n - 1

1 n

es la base móvil de Frenet cuya existencia y unicidad se queria demostrar.

30.

Ahora presentaremos el teorema básico de la teor ía d e las curvas.

( 2 . 2 . 4 . ) Teorema d e Frenet. Sea C : I -> IR una curva con la base móvi 1

de Frenet ( e l ( * ) e n ( . ) . S e a , para t E t , n ( t ) = (a,(t)) la matriz

definida por las ecuaciones

n

I ......

( 2 . 2 . 5 . )

Entonces l a rnatri z t i ene l a forma

n ( t ) =

o ‘W ( t ) o ......... o o

o w , ( t ) o ......... o o w 1 ( t ) b -w2(t ) . . . . . . .o o

c

O O o. ........ o - W ” - l ( t ) O O o.. .. . . w ( t ) 0 n- 1

c

con w i ( t ) > O para ,2 ....... n -21

Demostración. M u l t i p i icando ambos miembros de las ecuaciones (2.2.5.)

por e . ( t ) obtenemos J

aJ(t) = -a.(t> k k J

31.

de esta forma, la matr iz n(t> es ant i s imétr i ca .

Por o t ro l ado, sabemos que para k < n, ek(t) es una combinación l ineal

de C' (t) ,. . . . . , C(k) (t) y , por l o tanto , ek ( t )EL (C ' (t) ,. . . y C(k'')(t))

L(e (t) ,....., e (t)), luego ak(t) = O para iE{k+2 ,....., n). Lo ante-

r i o r y la ant is imetr ia demuestran que l a ma t r i z Q ( t ) t iene todos los ce-

ros indicados en (2.2.6.).

I

1 k+ 1

Recordemos ahora que po r l a de f i n i c i ón de la base de Frenet

con bk ( t ) > O para kc11 ,....., n-11, y para LE{ I ,..... y n> k

2.3. - Las curvatu ras.

(2.3.1.) Def inic ión. Sea C una curva en R con l a base móvil de Frenet

(e ( -1 ,..... , en(-)). La í -curvatura de C e s l a func ión

n

1

Según el último teorema n - 2 curvaturas son pos i t i vas .

Aplazamos la interpretación geométr ica de la s curvaturas , e s tud iando l a

en la secc ión p resen te sus propiedades generales.

Investigaremos sobre todo, SU comportamiento con respectn a isometr ías

en e l espac io y cambios de parámetro.

(2.3.2.) Teorema. (a) Sea T una isometr ía de l espacio IRn y C: I ->IR n

una curva con l a base móvi 1 de Frenet. Sea C = T o C ; entonces

y ambas cu rvas t i enen e l mismo sistema de curvaturas.

- (b ) Sea Q : I - > I un cambio de parámetro de l a c u r v

$ ' > O y sea C = C 4 . Entonces l as cu rva tu ras k i y k

y C respect ivamente, están re lac ionadas por la fórmu

- - -

Demostración.

or togonal de T

es i g u a l a (Re

de C. Además I

a C : I ->IR n con

i de 1 as curvas C

l a

a) La fórmula t(k) = donde R es l a componente

(Ver 1.6.11.) demuestra que l a base móvi 1 de Frenet de C

, . . . . . , Re,) si (e , . . . . . , en) es 1 a base móvi 1 de Frenet

C ' ( s ) ) I = 11 R C ' I I = 11 C ' I I por (1.6.2.) . Tenemos tambi6n

-

w 1

(b) Empezamos demostrando:

res ( S ) ,.. ... , t ( i ) ( s ) ) y e l generado por los vectores

{ c ' ( @ ( S ) ) , . . . . . , ( $ ( S ) ) 1 son iguales.

Demostración del lema. Para i = 1 tenemos C ' ( S ) = C ( @ ( s ) ) @ ' ( S ) entonces

{ c ' ( s ) } y ( C ' ( @ ( s ) ) } generan e l mismo espacio. Supongamos ahora que

{ c ' ( S ) ,. . . . . , i " ) ( S ) } y { ~ ( @ ( s ) ,. . . .. , (@(s) ) )generan e l mismo es-

-

-

33.

pacio, tenemos pues

Y

Por lo tanto

Y

entonces --(¡+l) C ( S ) d ( C ' ( @ ( S ) ) ,. . . . . , C( ¡+ l ) ( @ ( S ) ) ) y C i + l (@(S))d(C' ( S ) ,. . . . , $+I)

Por inducción terminamos la demostración del Lema.

Para demostrar la parte (b) del teorema advertimos que el sistema de vec-

tores e. ( S ) : = (ei.@) ( S ) i & { l ,.... , n) cumple con todas las condiciones

de l a base de Frenet para la curva 1. Entonces I

De l a misma manera que en (2.3.2.b.) se prueba que el cambio de parámetro

que cambia l a o r i e n t a c i ón de l a cu r va puede ocas ionar sólo el cambio de

s i g n o de la curvatura kn- l .

E l teorema mostrado sugiere que las curvaturas descr iben la forma geomé-

t r i c a de la curva, pues no dependen n i de l a manera en que se parametriza

n i de la co locac ión de la curva en el espacio.

2.4. Campos vec to r i a l e s y - sus curvas integra les.

Sea O C l R un conjunto abierto. Un campo vectorial en O es una ap l i cac ión

F : O - >IR . E l campo F queda entonces determinado por el sistema de n

funciones de n va r i ab le s :

n

n

(2.4.1.) f ( x ' ,. . . . . , x") =

El concepto de campo vectori al aparece en todas las ramas de l a f Ísi ca;

por ejemplo los campos de fuerzas , l o s campos electromagnéticos, los cam-

pos de ve loc idades, etcétera.

Consideremos como ejemplo el campo g r a v i t a t o r i o en el conjunto O € I R 2 . E l

va lo r F (x ) se i n terpreta como la fuerza que actúa sobre la masa u n i t a r i a

colocada en el punto XEO ( F i g . 2 . 2 . ) .

I" Figura 22.

35.

Puede suceder que un campo vectorial F dependa del parámetro tER que se

puede interpretar como el tiempo.

En es te caso tenemos entonces una función

(2.4.2.) F: IRx O - > R"

La ecuación diferencial

(2.4.3.) " dx - F(t,x) dt

corresponde a la búsqueda de las curvas en el espacio IR cuya velocidad

en cualquier momento t esté determinada por la posición x(t) y sea igual

a F( t ,x(t)).

n

El problema de Cauchy consiste en resolver una ecuación diferencial con

la condición inicial x(to) = xo, lo cuañ significa que la curva buscada

x(t) dnbe pasar por x. en el instante to. En lo que sigue vamos a necesi-

tar el resultado fundamental de la teoria de ecuaciones diferenciales or-

dinarias lineales.

(2.4.4.) Teorema. Sea R t ->A(t) L'(R , IR una aplicación continua

en una vecindad de to. Entonces, existe un intervalo I , vecindad de t o ,

donde e 1 problema de Cauchy

n n

tiene solución única.

Si la función A ( - ) es suave, la solución x ( - ) también será suave.

El teorema nos servirá para demostrar que es posible encontrar una curva

36.

con un sistema de cu rva tu ras p resc r i t o .

(2.4.5.) Teorema. Sean k

ce ro t a les que k i > O para i&{l,. ..... n . 2). Entonces e x i s t e un i n t e r v a -

lo l que cont iene a l cero y una curva C : l --> IR de rapidez l , cuya

i -és ima curva tura es i gua l a k

1 ' " " " n - 1 k funciones suaves en una vecindad de

n

i '

Demostración. Sea

n ( t ) =

r

O - k l ( t ) o............o k l ( t ) O - k ( t ) .......... O

2 O k ( t ) o ............ o O

2

I

O O O .......... O -kn-;( t j

O O o ...... k"-, ( t )

con l a c o n d i c i ó n i n i c i a l

X(0) = i d

donde X(s) es una m a t r i z v a r i a b l e , que podemos pensar como un v e c t o r de

R" . Según e l teorema (2 .4.4. ) ex is te un in terva lo I y una función suave.

13s -> X(s)&Mnxn(lR) que s a t i s f a c e ambas condiciones.

2

Ca 1 cu 1 emos ahora

37.

= x ( s ) ( Q ( s ) + Qt(S))Xt(S) = o

porque l a m a t r i z n ( s ) es a n t i s i m é t r i c a .

De es ta f o rma , l a ma t r i z X (s ) .X ( S ) r e s u l t a s e r c o n s t a n t e , p o r l o t a n t o

X(s).X ( S ) = X(O).X (O) = i d , o sea, X(s) es una ma t r i z o r togona l .

t

t t

A l deno ta r X ( t ) = ( e ( t ) ,. . . . . , e ( t ) ) , es d e c i r , e i ( t ) es la i -és ima co-

1 umna de l a m a t r i z X( t ) , tendremos que la cu rva requer ida se rá l n

t C ( t ) = \ e (s)ds

O 1

Veamos pues, que en efectc! esta curv? t iene las curvaturas del enunciado

de 1 teorema.

Se rá su f i c ien te p robar que X ( ' ) es l a base de Frenet de C .

Para k = 1 es c l a r o que

y que las bases {C'( t ) ,.. .. C ( k ) ( t ) j y (e ( t ) ,....., e k ( t ) j t i e n e n l a

misma o r i e n t a c i ó n . 1

( ")

y que las bases ( C ' ( t ) ,..... , C ( k ) ( t ) } y {e (t)., .... , e k ( t ) ) d e l e s p a c i o

L ( C l ( t ) ,..... , C ( k ) ( t ) ) = L ( e ( t ) ,... , e k ( t ) ) t i e n e n l a misma o r i e n t a c i ó n .

Nótese que e l ú l t i m o s u p u e s t o s i g n i f i c a que ( C ( ' ) ( t ) l e i ( t ) ) > O para

¡&:(I ,....., k } , en p a r t i c u l a r x,(t) > o en ('1 entonces

1

1

38.

(k+l)(t)EL(e (t) ,. .... , e (t)) y como ( C por l o tanto C (t) lek+l (t)) =

Xk(t)kk(t) > O, las bases {C (t) ,........, C(k+ ’ ) ( t ) ) y {e (t) ,......, e ( t ) }

(k+l) 1 k+ 1

1

1 k+ 1 t i enen l a misma or ientac ión.

AsÍ pues, X ( - ) es l a ba se de Frenet de C. Po r l a un i c i dad l e t a l ba se con-

cluimos que k. es la i-ésima curvatura de l a cu r va C. I

(2.4.6.) Ejemplo. Busquemos l a cu r va C : IR -> IR con la curvatura igua l

a cero . S in l im i ta r l a genera l i dad podemos suponer que I C I = l . Entonces

e = C ’ y e1 ( 5 ) = C(2) ( s ) = k( s )e ( S ) = O. La solución de la ecuación

n

1 1 2

e s t á dada por

c ( t ) = ( S - S 0 ) V + v o

donde v , v o E IR . n

Entonces, todas 1 as curvas con curvatura igual a cero son 1 i neas rectas.

(2.4.7.) Ejemplo. Sea C: IR -> IR2 cualquier curva plana con la curvatura

constante k(s) = - > O . Suponiendo que la curva está parametr izada por 1 r

su long i tud, tenemos la s re lac iones

ca 1 cu 1 emos

39 .

La función S ->c(s) + re ( S ) es entonces constante, igual a1 vector fijo

x o , digamos. La relación C ( s ) - x. = re ( S ) implica 2

2

que es la ecuación de la circunferencia.

Hemos mostrado que las Únicas curvas planas con curvatura constante y po-

sitiva l/r son los circulos con radio r. De la misma manera podemos probar

que las curvas correspondientes a la curvatura constante -l/r < O son tam-

bién circulos. El signo depende del sentido de la parametrización de la circunferencia. El lector demostrará sin dificultad que la curvatura posi- tiva l/r corresponde a la circunferencia dada por la fórmula

- c ( s ) = c ( - S )

(2.4.8.) Ejemplo. Sea C la curva plana correspondiente a la curvatura

k ( s ) = l/as, donde a # O. Las ecuaciones de Frenet tienen la forma

Después del cambio de parámetro t = log S las ecuaciones se convierten en

de

de 2 - dt (t) = a ’ e (t> 1

40.

El último sistema de ecuaciones corresponde al movimiento armónico. La

parametrización puede ser adaptada de tal manera que

Entonces la única solución del sistema es

e (t) = 1 t

sen - a

Ahora nos queda resolver la ecuación

~ ' ( s ) = e ( S ) 1

Pero se tiene

"(t) dC = - ( s ) / x ( s ) dC dt = el(s) x(t) ds dt ds

ASÍ pues, conseguimos las ecuaciones

dx "(t) = e cos - t t dt a

$(t) = e sen - t t a

donde

La solución es

41.

a2et (cos - + - sen -1 + x 0 x ( t ) = - t 1 t 1 + a2 a a a

1 t t 1 t 2e (sen - a COS -1 + y o Y ( t ) = 1 + a 2 1 a

Sea e l á n g u l o t a l que

1 sen a =

a y cos =

m m Entonces

La cu rva encon t rada se l l ama l a esp i ra l l oga r i tm ica . Su l o n g i t u d es p r o -

p o r c i o n a l a l r a d i o r = m porque

Ver f i g u r a 2.3.

42.

Figura 2.3.

2.5. Curvas planas - y espaciales.

En los estudios de la geometria del espacio euclidiano IR3 es rngy útil el

concepto del producto cruz. Recordemos este concepto subrayando su inter-

pretación geométrica.

Sea la función V: IR3X R3X R3->lR dada por la fórmula

(2.5.1.) V(x, y, v) = det(x, y, v )

El valor absoluto de V(x, y, v) se interpreta como el volúmen del para-

lelepipedo de lados x, y , v y el signo de V(x, y, v) es, por definición

43.

la orientación de la base ordenada {x, y, v} cuando los tres vectores son

linealmente independientes (figura 2.4.).

Desarrollando el determinante según la fórmula de Laplace obtenemos

donde hemos deno tad0

El vector x x y se 1 lama el producto cruz de los vectores x y y.

Por la def ¡ni ción de determinante se tiene

(2.5.4.)

i ) x x y = - Y x x

i i ) ( x + y ) x z = x x z + y x z

i i i ) (ax) x ( y ) = a ( x x y )

En virtud de la fórmula (2.5.2.)

(x lx x y ) = o

Y

entonces el producto cruz es perpendicular al subespacio (plano) generado

por los vectores x y y.

44.

.. .

X * Y

Figura 2 4 .

Puesto que es el volúmen de un paralelepipedo, el valor absoluto del pro-

ducto (vlx x y) se puede expresar como el área A(x, y) de su base, o sea

el área del paralelogramo de lado x, y, por su altura, que es la norma de

la proyección Proy v sobre x x y de v, es decir (ver figura 2.4.). XXY

Por otro lado, recordando 1.1.6., se tiene que

comparando las dos fórmulas anteriores se ve que

45.

La or ientación del s i stema de vectores (x, y, x x y) es po s i t i va pa ra

cualqu ier pareja de vectores {x, y} l inealmente independientes, porque

Curvas P 1 anas.

Según el teorema 2.2.3. una condic ión suf ic iente para que la curva C: I -> IR^ tenga su base móvil de Frenet es que C ’ ( t ) f O , e s dec i r , que C sea regular .

Suponemos entonces que C e s regu la r y denotamos por (e e ) su base mó-

v i 1 de Frenet. E l vector e (t) e s t á dado por 1 ’ 2

1

y e2 ( t ) es el Único vector normal, ortogonal a e (t) y ta l que det (e , ( t ) , ~

e (t) = I . 2

Las ecuaci ones de Frenet tienen la forma

e:(t) = w ( t ) e (t) 1 2

(2.5.5.) e l ( t ) = -w ( t )e (t) 2 1 1

Y l a ún ica curvatura k (t), que denotaremos

I I

simplemente por k(t) es

Será conveniente encontrar una fórmula para la curvatura ut i l izando sola-

46.

mente

(2.5.6

l as der ivadas C ' y C" de l a cu rva .

.) Teorema. Para l a c u r v a r e g u l a r C : I -->.IR 2

Entonces

(2.5.7. )

Podemos cons ide ra r e l espac io IR2 como sumergido en IR3 por medio de l a

apl i caci ón

E IR^

Denotamos

Mul t ip l icamos ambos lados de l a ecuación (2.5.7.) por e ( t ) u t i l i z a n d o e l

producto cruz. Se t i e n e 1

47.

Por la fórmula (2.5.3.) resulta

entonces

La fórmula demostrada nos proporciona la interpretación geométrica del

signo de la curvatura, como la orientación del sistema de vectores (C'(t),

Cl'(t)). Este signo nos informa sobre el sentido de la desviación de la

curva con respecto a la dirección de la velocidad C' (t) (Figura 2.5.).

t

Figura 2.5.

48.

Curvas esoaciales.

Para poder hablar de la base móvil de Frenet de una curva espacial C su-

ponemos que C t ( t ) y Cll(t) son linealmente independientes. En el espacio

R3 la base de Frenet se llama también el triedro de Frenet.

Sea C: I -> IR3 la curva en cuestión y (e ( * ) , e ( - 1 , e 3 ( * ) ) su triedro de Frenet. Las ecuaciones de Frenet son las siguientes:

1 2

el (t) = w (t)e2(t)

el (t) = -w (t)e (t) + w2(t)e3(t) el (t) = -w (t)e (t)

1 1

2 1 1

3 2 2

donde

Y

La función k, dada por

(t> k(t): = c 1 t

se llama la curvatura de la curva C y la función T, dada por

se llama la torsión de C.

49

Vamos a mostrar las fórmulas d i rectas para k y T que no inc luyen e l con-

cepto del triedro de Frenet y s imp l i f i can l o s cá l cu l o s .

(2.5.9.) Teorema. S i C es una curva suave que admite un triedro de Frenet,

entonces

Demostración. Las parejas de vectores (e l ( t ) , e2(t ) ) y (C l ( t ) , C l l ( t ) ) t ienen

l a misma or ientación, entonces

tenemos entonces la re lac ión

Por o t ro l ado, por der ivac ión de la fórmula

en con t ramos que

(2.5.11.)

El producto cruz de ambos lados de la ecuación por C ' (t) = e l ( t ) \ I C ' (t) 1 1 nos muestra que

50.

Comparando con 2.5.10. obtenemos

Para mostrar la segunda fórmula derivamos la ecuación 2.5.10. y tenemos

Al mult ipl icar escalarmente ambos lados por C l ( t ) pasamos a la ecuación

Sust ituimos ahora el vector Cl ' ( t ) en la forma 2.5.11; aprovechando la

fórmula obtenida para k(t)

Las fórmulas se s implif ican considerablemente cuando l a curva es de rapi-

dez uno.

En es te caso e (t) = C ' ( t ) . Además l a f ó rmu l a ( C l ( t ) l C l ( t ) > = 1 implica

por der ivac ión ( C l (t) I Cl l ( t ) ) = O entonces 1

y la pr imera ecuación de Frenet toma l a forma

de donde llegamos a l a r e l a c i ón

La fórmula 2 . 5 . 9 . pa ra l a t o r s i ón s e conv ierte en

( 2 . 5 . 13. )

Vamos ahora a i n v e s t i g a r l a s e r i e de Tay lor de una curva suave de rapidez

uno.

(2 .5 .14 . ) Teorema. Sea C: I - - > I R 3 una curva suave que admite un triedro

de Frenet y está parametrizada For su lonsitud. Entonces

E l último término t iene la propiedad

o ( ( t - t 0 I 3 > > o ( t - t , ) 3 t ">to

Demostración. La ecuac ión C " ( t ) = k( t )e2 ( t ) imp l i ca l a re lac ión

C"'(t) = k t ( t ) e ( t ) + k ( t ) e ' ( t ) = k l ( t ) e (t) - k 2 ( t ) e (t) + k(t)-r(t)e (t) 2 2 2 1 3

Sust i tujmos la fórmula de a r r i b a en l a s e r i e de Tay lor N

52.

ob ten i endo

de donde r e s u l t a l a f ó r m u l a deseada.

E l p lano en IR3 generado por los vectores e ( t o ) y e ( t o ) se l l ama e l p lano

usculador de l a curva en to, e l p l a n o generado por (e ( t o ) , e ( t o ) ) se d i -

ce el p lano normal y e l p lano cor respond ien te a los vec to res (e ( t o ) , e ( t o )

se l lama el p l a n o r e c t i f i c a d o r ( f i g u r a 2.6.)

1 2

2 3

3 1

e3 t normal

J \ \ \ \ \ el osculador

Figura 2.6.

53.

Pa r a s imp l i f i c a r l a e xp l i c a c i ón de los hechos pongams t o = O.

La proyección de la curva sobre e l p lano o scu lador e s tá , en v i r t u d de l a

fórmula 2.5 .14 . , dada por

salvo los términos de tercer orden. Es entonces una parábola (Fig. 2.7.a).

La proyección sobre el plano normal tiene la forma de un p i co :

t 2 t 3 t 3 t ->( - 2 k(0) + 7 k'(0) , 7 k (O )T (O ) )

s a l vo en términos de orden cuatro (F igura 2.7.b.).

La imagen de la curva sobre e l p lano rect i f i cador e s aproximadamente l a

g r á f i c a de la func ión (at (F ig . 2 .7.c. ) :

e2

\ \ \ \ \

7 \

c )

e2

\ \ \ \ \

Figura 2.7.

54.

En la figura 2.7.c. se dibujaron dos gráficas posibles correspondientes

a la torsión pos¡ ti va ( 1 inea continua) y a la torsión negativa ( 1 inea

discontinua).

ce que tan rápido

Si la torsión es

plano paralelo al

espaci al , en real

El signo de la torsión caracteriza el sentido en el cual la curva "sale"

del plano osculador, mientras que el valor absoluto de la torsión nos di-

se desvia la curva del plano osculador.

igual a cero, la traza de la curva se encontrará en un

plano osculador, o sea, la curva es solo aparentemente

idad es plana.

( 2 . 5 . 1 5 . ) Ejemplo. La curva dada por la fórmula

c(t) =

/-

I a cos t

I Ja2 + hZ

a sen t

Ja2 + h2

ht

[ da' + h'

Cl ( t ) = a

cos t

da2 + h2 /a2 + h2

h

a t a + h

co S

,/a2 + h2

; Cl ' ( t ) = a sen t

m m

La curva está parametrizada por su longitud, entonces

55.

y además t - cos I da' + hZ

Encontramos ahora la torsión de la curva:

Figura 2.8.

56.

2.6. Ejemplos y e j e r c i c i o s .

(2.6.1.) Observar que las curvas

( 2 . 6 . 2 . ) E n c o n t r a r l a c u r v a e s p a c i l C ( t ) t a l que

( 2 . 6 . 3 ) L a h i p o c i c l o i d e

def in i da por

c ( t ) = ( c o s 3 t , sen t ) 3

57

Calcu lar C ' y C".

(2.6.4.) La función

t- >(t - sen t , 1 - COS t)

es la func ión de po s i c i ón de un punto en un circulo de rad io uno, rodan-

do ( F i g . 2.10). La curva s e conoce como c i c l o i de . Ca l cu l a r s u longitud

en el i n te rva lo 1 3 , 2 7 1 .

Figura 2.9.

Figura 2.10.

(2 .6 .5 . ) La curva dada por l a fórmula

c ( t ) = (sen t , cos t + log tan y ) t

se llama t r a c t r i z . Demuestre que la l inea tangente a l a curva en cualquier

punto, intersecta a l e je y a una distancia 1 del punto de tangencia (Fig.

2.11 . ) .

Y

I Figura 2.1 1.

(2 .6 .6 . ) Determine la curvatura y l a tors ión de l a hélice e l i p t i c a

C(t ) = (a cos t , b sen t , c t ) ab # O , teR

(2.6.7.) Mostrar que la curvatura de una curva espacial C en el punto t

59.

e s i gQa l a l a curvatura de la proyecc ión de C sobre el p lano osculador

en e l mismo punto t .

(2.6.8.) Sea C: I -->IR2 una curva regular con base de Frenet (e Y e2 ) .

Supongamos que k( t) # O , entonces 1 a curva

a(t) = C ( t ) + k 7 t ) e (t) - 1

2

se l lama la evo luta de la curva C . Demostrar que la ve loc idad de c1 er, t

es normal a la ve loc idad de C en t .

( 2 . 6 . 9 . ) Encontrar la evoluta de la curva

I R 3 t - > ( t , cos ht) &IR2

llamada catenaria. (Respuesta: (t - sen h t cos h t , 2 cos h t ) ) .

(2.6.10.) Demuestre que la curva p lana con la curvatura dada kEC ( I ) e s t á

dada por 1 a fórmula

OD

C ( t ) = ( ,feos 8 ( s )d s + a , (sen e(s)ds + b)

don de

(2.6.11 .) Sea C: I -->R una curva con base de Frenet (e ,. . . . , en).

Averigue como cambia e l s igno de kn-l bajo el cambio de l a o r i e n t a c i ó n de

l a cu r va t -->-t. D i s t i n g a los casos n - m número par y n - m número impar.

n 1

60.

3. SUPERFI CIES.

3.1. Supe r f i c i e y - su espacio tangente.

(3 .1 .1 . ) De f i n i c i ón . Una s upe r f i c i e en IR3 es una apl icación suave f del

conjunto abierto OCIR ' en IR3. La s upe r f i c i e f s e d i c e r e gu l a r s i l a d e r i -

vada df (u) : IR2--> IR3 es inyect ¡va para todo UEO.

Un cambio de pararnetrización de l a supe r f i c i e f es un difeomorfismo

q: O ' - >O, 0 ' C I R 2 ab ie r to . S i l a s upe r f i c i e f e5 regular, entonces

f = f o b también e s una supe r f i c i e r egu l a r . Decimos que '3 conserva la

or. ientación s i det <'(u) > O en todas partes.

-

- Las super f i c ie s f y f se l laman equiva lentes s i ex i s te un cambio de pará-

metro @ ta 1 que f = f o $ .

-

La imágen f ( 0 ) e s l a t r a za de l a s u p e r f i c i e .

Sea f : O - >(R3 una s upe r f i c i e r e gu l a r y sea UEO. La imágen de la der i va -

da df(u) es un plano en I R3 l lamado el espacio tangente a l a s u p e r f i c i e f

en el punto f (u) y denotado por TUf . La terminologia es un poco confundi-

ble, porque dicho espacio, que como se ha indicado es un p lano, en gene-

ral no pasa por el punto f (u) n i e s tangente a l a s upe r f i c i e en e l s en t i -

do geométrico. Para explicar lo anterior volvamos al concepto del vector

tangente a una curva en IR'. se'a C : IR -> IR^ una curva regular; e l vector

tangente C ' (t) determina solamente la d irección de la l ínea recta tangen-

te a la curva en e l punto C(t ) (F ig . 3.1.), cuya ecuación es

x ( s ) = C ( t ) + s C ' ( t 1 , S € I R

De l a misma manera el espacio tangente T f ca rac te r i za l a s d i r ecc i one s

tangentes a l a t r a z a de l a s u p e r f i c i e f . El plano tangente a f(0) en el

punto f (u) e s 1 a super f i c i e :

U

61.

3F F : 4R23 ( S , t ) - > f ( u ) + S (U) + t af u EIR3 U

La razón por l a que se de f ine a l espac io tangente como e l conjunto d f (u) lR2

es que l a e s t r u c t u r a es más r i c a . No s ó l o es un p lano en IR3, sino también

un subespac io l inea l . E l problema consiste entonces en l a d i s t i n c i ó n , en

e l p lano F d e l p u n t o f ( u ) como e l p u n t o n e u t r a l de l a e s t r u c t u r a l i n e a l

o sea, e l ce ro (F ig . 3.2.). En o t ras pa lab ras , e l p lano F es e l mismo es-

pacio tangente T f anclado en e l pun to f (u ) de l a t r a z a de l a s u p e r f i c i e

f.

U,

U

U

El espacio tangente T f t i e n e como una base a los vectores U

\ x 3 4 \

J Figura 3.1.

62.

donde

Figura 3.2.

\ -

4 U

O

a f a f f ( u ) : = -(u) = d f (u )e y f (u ) : = -(u) = d f ( u ) e 2

1 3x1 1 2

son los vec tores de 1 a base canónica del espacio IR2. La base (f 1 (u ) , f 2 ( u ) )

no es, en general , ortonorma l.

Cualquier subespacio de dimensión dos en I R 3 está unívocamente determinado

por su vector normal.

63.

Determinemos entonces el vector normal a l espacio tangente T f: U

La apl i caci ón

0 3 u > n(u) E I R ~

se llama el campo normai de l a s u p e r f i c i e f . La imágen de l a aplicación

se encuentra en l a e s f e r a u n i t a r i a S2ClR3.

Para la aplicación

0 3 ~ - >n(u) E s 2

s e u t i l i z a e l nombre de aplicación de Gauss de l a super f i c ie f .

E l campo normal es u n a aplicación suave, pues e s composición de apl i cac io -

nes suaves .

( 3 . 1 . 2 . ) Ejemplo. La e s f e r a . La parametrización más n a t u r a l de la esfera

de rad¡ o r e s por medi o de coordenadas "geográf i cas", o s e a , e s f é r i cas :

x l ( $ , 8) = r cos @ cos 8

x 2 ( $ , e ) = r cos @ sen 8

x3(4, 8) = r sen 8

Definimos

64.

Tenemos

X I/

1

= -f(@,f3). 1 r

6 5 .

Para la esfera podemos considerar otra parametrización utilizando la pro-

yección estereográfica (Fig. 3 . 4 . ) . Colocamos la esfera de radio uno de

tal manera que su centro se encuentre en el punto (O, O, 1 ) . Dado el pun-

to p€S2 consideramos la 1 inea recta que pasa por dicho punto y el polo

norte N(0, O, 2). El punto de instersección de la recta con el plano x1x2

es la imágen de p bajo la proyección estereográfica y se denota por ~ ( p ) .

La aplicación inversa ~i : IR2-(0) -->S2-{S,N) define una parametrización - 1

de la esfera y está dada por las fórmulas analiticas siguientes

, , I 4x 4x

2 ( + ( X 2 l 2 )

Figura 3.4.

6 6 .

(3.1.3.) Ejemplo. Cualquier función escalar suave

define una superficie en IR3 por medio de la fórmula

La derivada está dada por la matriz

67

X

Figura 3.5.

(3 .1 .4 . ) Ejemplo. Sea C : I ->IR una curva suave dada por la fórmula 2

Supongamos que g ( t ) > O. La s u p e r f i c i e de r e v o l u c i ó n g e n e r a d a p o r l a c u r -

va C se de f i ne como (F ig . 3.6.) .

6 8 .

En este caso

Y

Figura 3.6.

69.

3 . 2 . - La primera forma fundamental.

Sea f : O --> IR ' una s u p e r f i c i e suave .y regular. E l producto escalar que

def ine la es tructura eucl idiana en IR 'por restricción determina una forma

b i l inea l s imétr i ca y no degenerada en cada uno de los espacios T u f , uEO.

Esta forma s e llama l a primera forma fundamental (PFF) de la super f i c ie

f . Para descr ibir la anal i t icamente se ut i l izan var ios métodos y varias

notaci ones.

S i X , Y E T f denotamos U

( 3 . 2 . 1 . ) I " ( X , Y ) : = ( X l Y )

Por otrp 1 ado, pues t o que T u f = d f (u )R2 , podemos representar

X = df(u)x y Y = df(u)y x ,y E IR2 .

Def i n i mos en ton ces

(3.2.2.) gU(X,Y): = Iu(X,Y) = (df (u)x ldf (u)y)

E n esta forma, la ?rimera forma fundamental e s una funcio'n sobre O con

valores en el conjunto d e formas b i l ineales sobre IR . 2

En virtud de que l a diferencial df (u) es una biyección entre IR2yTuf l a

forma g hereda todas 1 as propi edades de 1 a forma I u (. , * . . I1

Demostración. Inmediata.

70.

Vamos a averiguar como se comporta la primera forma bajo las transforma-

ciones isométricas en el espacio R y cambios de parametrización. 3

(3.2.4.) Teorema. Sea f: O 2 IR3 una superficie regular y suave.

i ) Sea Tx = Rx + a una isometria en I R 3 . Definimos

Entonces la primera forma fundamental de la superficie cumple con la re- lación

tamb i én

i i ) Sea + : v - > O un cambio del parámetro, o sea, url difeomorfismo de V

sobre O. Entonces para la superficie f = fo4 tenemos las fórmulas: -

Además, si denotamos @(vl, v2) = (u'(v', v2), u2(v1, v2)) se tiene

Demostración. i ) Calculamos, según la regla de la cadena:

71.

Entonces T f = R(T f ) y obtenemos para X, Y E: T f: ...

U U U

Tenemos t arnb i én

- gU(x,y) =?u(d?(u)x,d?(u)y) = lu(Rodf(u)x, Rodf(u)y = l u (d f (u )x , d f (u )y ) =

= gu(x ,y ) para x,y .

i i ) Ahora se t iene

d f (v ) = df (@(v ) ) odO(v)

E! operador d@(v) : IR2- >IR2 es un isomorf i s m , entonces

T f = df(@(V)),d@(v)W2 = df($(v))lR2 = T ..,

V $ W f '

De donde se s i gue que

5 - I ~ ( x , Y ) = ( x ~ Y ) = I ( X , Y > para X , Y E T f

@(V) V

Para ver i f icar la últ ima fórmula representamos

D i rectamente por la def in ic ión se obtiene

g i j ( v ) = Gu(ei, e.) = (d?(v)ei Id'if(v)e.) = J J

72.

Nota. En los t r aba j o s o r i g i n a l e s de Gauss la notac ión e s l a s i g u i en t e :

g l l g 1 2 9 2 1 = E , - - = F, g = G

2 2

El producto xxy de los vectores x, y & R 3 t i ene , como recordamos, l a long i -

tud igual al área del paralelogramo 1 irni tad0 por estos vectores, la cua l ,

a s u v e z , e s t á dada por la fórmula I lx l l I \ y I ( I s e n $ 1 , siendo ($ el ángulo

entre los vectores x y y.

El área de l a s u p e r f i c i e f en IR se def ine entonces como 3

(3.2.5.) A(f) = 11 f l X f211 dx’dx2

O

Que por lo anteriormente recordado se puede expresar de l a s i gu iente fo r -

ma 7

(3.2.6.)

pues

A(f) = (det g)1’2dx’dx2

c)

73.

3.3. La segunda forma fundamental.

Sea

n: O - > S2CIR3

La aplicación de Gauss de la superficie regular f. Calculamos la diferen-

cial del mapeo n considerándolo como una aplicación de O en I R 3 .

Entonces

dn (u) : IR2-> IR 3

es un operador 1 ineal.

La identidad (n(u)ln(u)) = 1 para todo u€O imp1 ica por derivación de ambos

1 ados

(dn(u)xln(u)) = O para todo UEO y xdR2.

La imágen de la diferencial dn(u) pertenece entonces al espacio tangente

T f. Advirtamos también que la misma identidad expresa el hecho de que

la diferencial de la aplicación de Gauss, en el punto UEO, toma valores

en el espacio tangente a la esfera unitaria en el punto n(u) (Fig. 3.7.)

que es igual a T f.

U

U

73 '

Figura 3.7.

74.

(3.3.1.) Definición. La aplicación lineal.

W(u): = dn(u1odf-l (u): T f - >Tuf U

se llama la aplicación de Weingarten.

La forma bi lineal sobre Tuf dada por la fórmula

I Iu(X,Y): = (W(u)XlY) = l u ( W ( u ) X , Y ) = -(dn(u)Odf-’(u)X)Y)

se 1 1 ama 1 a segunda forma fundamental de 1 a superfi cie f ( S F F )

La segunda forma, cano la primera, puede s e r representada de otra manera

como una forma bi! ineal sobre e l espacio IR‘.

hu(x,y): = I lu(X, Y ) = -(dn(u)xjdf(u)y) = -g,(df-’(u)odn(u)x/y)

Demostración. Partimos de la fórmula

Derivándola encontramos

!dn(u)y(df(u)x) + (n(u)ld2f(x,y)) = O

Por lo tanto

75.

Hemos ap rovechado a r r i ba l a s i m e t r j a de l a segunda der ivada.

En lo que s igue vamos a e s t u d i a r l a s r e l a c i o n e s e n t r e l a s m a t r i c e s d e l

operador de We¡ nga r ten , la P F F y l a SFF.

Sean e , e l o s v e c t o r e s de 1 a base canón i ca en R2. Pues t o que dn (u) e E T u f

tenemos 1 a r e p resen tac i ón 1 2

-dn (u )e i = -dn (u )od f ” (u )od f (u )e i = W ( u ) f i = a . ’ (u ) f I 1 + a f ( u ) f 2

~a m a t r i z

rep resen ta a l ope rador W(u) en 1 a base ( f , f ) de l espac io tangente . . 1 2

La m a t r i z de la SFF e s t á dada po r

Hemos demos t r a d o

Nos queda i n v e s t i g a r las propiedades de l a SFF b a j o los movimientos en IR3

76

y el cambio de parametrización.

(3.3.4.) Teorema. Sea f: O 4 IR una superficie suave y regular. 3

i ) Si Tx = Rx + a es una ismetria y f = T o f , entonces la SFF, l-1, de ? está definida por la fórmula

n

i i ) si $: v - >O es un cambio del parámetro, y f = fo$ entonces -.

I I v ( X , Y ) = (sgn det d$(v)) I I (X, Y ) para X, Y & T v f = $(VI T$(V)f'

Demostración. i ) En la demostración 3.2.4. i. hemos verificado que T f =

= R(TUf) y fi = Kf. .

- - U

I

Necesitamos ahora un lema.

(3.3.5.) Lema. Sea A: IR3 -> IR3 un operador ortogonal. Entonces

( A x ) x (Ay) = (det A ) A ( x x y )

Demostración del lema. Puesto que A es una aplicación ortogonal el vector

A ( x x y ) es ortogonal a los vectores Ax y Ay. Por lo tanto

A(x x y ) = X(Ax) X ( A y ) X E IR

Y

I IA(x X y ) 11 = (A(x x y ) I A ( x x y ) ) = X(A(x x y ) I (Ax) x ( A y ) )

= X det ( A ( x x y ) ; Ax, A y )

= X det A det (x x y , x, y ) = X det A Ilx x y \ \ '

Pero I I A ( x X y) \ I 2 = I Ix x y 11 y resulta X det A = l . El determinante de

77.

una matriz ortogonal es 51, entonces = det A , l o que termina la demos-

tración del lema.

Calculemos ahora el vector normal de l a s u p e r f i c i e f , -

A cont i nuaci ón tenemos

- I I u (RX , RY) = -(dn(u)Od?-'(u)RXI RY)

= -det R(Rodn(u)odf (u)oR-'oRXi RY) = -det R(dn(u)odf- ' (")X/ Y) = det R I l u ( X , Y ) .

-1

Demostración de ( i i ) . E n la demost ración 3 . 2 . 4 . i i hemos probado que

T f = T f y df (v) = d f ($ (v)od@ (v) . Después de denotar - -

V 4, ( V I

tenemos

y luego

Ca 1 cu 1 amos

=("-m37 "I a'2 a'2 a@1 ) f 1 X f 2 = (det d$) f 1 X f 2 .

por lo que obtenemos

78.

La función sgn det d@(v) es constante e igual a +1, entonces

dÍí(v) = (sgn det d@(v))dn(@(v)od@(v)

Finalmente, calculamos la SFF:

1

I l v ( X , Y ) = -(dñ(v)odf ( v ) X I Y ) = - - 1

3.4. Ejemplos.

Vamos a estudiar primero los ejemplos generales.

(3.4.1.) La gráfica de una función. (Continuación de (3.1.3.).

Sea 4: O - > I R una función suave. La superficie en consideración se defi-

ne como

Su primera forma fundamental es

79.

Para ca lcu lar la segunda forma fundamental aprovechamos l a p ropo s i c i ón

3.3.2.

Sabemos que (Ver 3.1.3.)

En ton ces

La matr iz ( h i k ) t iene l a forma

axay

80.

La superf i cie está dada por

donde g , h son funciones suaves y g > O.

La primera forma fundamental tiene la forma

Fi na 1 men te

81.

Si la curva

que genera la superficie es de rapidez 1 las fórmulas se simplifican:

(3.4.3.) La esfera es una superficie de revolución, sin embargo, calculamos

sus formas fundamentales di rectamente utilizando los resultados del ejemplo

3.1.2.

2

g, 1 g,2 ' 922 = r ; = o - = r2cos2+

Tenemos también la fórmula

dn = - df 1 r

entonces

h (x,y) = -(dn(u)xldf(u)y) = 7 (df(u)x\df(u)y) = 7 gu(x,y). 1 1 U

3.5. Las curvaturas. -

La simetria de la SFF implica que el operador de Weingarten definido un¡-

vocamente por 1 a re 1 ación

es simétrico. Como tal, según el teorema espectral 1.4.3. tiene en alguna

82.

base la representación matricial diagonal.

Existen, en el espacio tangente T f, vectores v v linealmente indepen-

dientes tales que U 1 ' 2

(3.5.1.) k. (u) €IR I

Los números k.(u) se llaman las curvaturas principales de la superficie

f en el punto f(u) 5 O y los vectores v. llevan el nombre de direcciones

principales. Direcciones principales correspondientes a diferentes curva-

turas principales son ortogonales.

I

I

(3.5.2.) Definición. La curvatura de Gauss de la superficie f es l a fun-

ción, sobre O,

La funci ón

S e llama la cu

Las cu rva tu ras

mio caracteristico del operador W(u). Denotemos por

la matriz de este operador en

co tiene la forma

io caracteristi-

83.

Desarrol lando el determinante conseguimos

xW(U) (X) = X' - (a' + a2)A + ( a l a 2 - a 'a2>

1 2 1 2 2 1

X 2 - trW(u)A + det W(u).

Por otro lado, el polinom

rai ces , como

io ca r a c t e r i s t i co se representa, usando sus

( 3 . 5 . 3 . ) Teorema. i ) K ( u ) < = det W(u), H(u) = (1/2)Tr W(u).

L La fórmula expresa (I I ) como producto de las matr ices (a i ) y (gLk). i k

Entonces

det l l u = det(ai) det t u L

que demuestra la pr imera fórmula de i i .

84.

Si (g ) es la matriz inversa de (g ) tenemos la relación Lk

Lk

aL = f hikg k= 1

kL i

de donde

L 2 kL

Tr(ai) = 1 hikg k, L=l

En virtud del teorema 3.3.4. se obtiene inmediatamente:

(3.5.4.) Teorema. Sea f: O --> IR3 una superficie suave y regular.

- - i ) Si Tx = Rx + a es una isometria y f = T o f entonces las curvaturas k y

H de f cumplen con - -

- .., K(u) = K(u); H(u) =(det R)H(u)

i i ) Si 9: V - > O es un cambio de parámetro y f = f.@, entonces las curva-

turas k y H están dadas por las fórmulas

- z -

La curvatura de Gauss es la única curvatura que es completamente invarian-

te, incluso con respecto a las transformaciones con determinante negativo,

es decir, las que cambian la orientacijn del espacio o de la superficie.

En los puntos de la superficie donde las curvaturas principales son igua-

les, cada vector no cero en T f es una di rección principal. Estos puntos

de la superficie se llaman puntos umbilicales. Si además k (u) = k (u) = O

el punto se dice plano.

U

1 2

(3.5.5.) Ejemplo. (Continuación de (3.4.1.). Las curvaturas de la superfi-

ci e.

85.

están dadas por las fórmulas siguientes

(3.5.6.) Ejemplo. (Continuación de 3.4.2.). Las curvaturas de una super-

ficie de rotación son

Para una curva generadora parametrizada por su longitud, + ( g i l 2 = 1,

entonces por derivación se tiene la fórmula

asÍ que

86.

(3.5.7.) Ejemplo. En 3.4.3. hemos ca lcu lado la re lac ión entre (h. ) y ( g )

pa ra l a e s fe ra de r ad io r : tk i k

Entonces

i((u) = . H(u) = - 1 r ' r

Todos los puntos de la es fe ra son umbi l i ca les .

3.6. Interpretación geométr ica " de las curvaturas.

La invar ianza de l a cu r va tu ra K con respecto a la parametr i zac ión y l a s

isometrras en IR sug i e re que esta func ión debe expresar algunas propieda-

des geométricas de l a t r a z a de la superf ic ie. Consideremos pr imero, el

e s tud io de l a i n te rp re tac i ón de la s curvaturas p r inc ipa les .

El primer método de in terpretac ión cons i s te en la i n ve s t i gac i ón de l a s

curvas en l a s u p e r f i c i e y l a búsqueda de re lac iones entre las curvaturas

de la curva y l a s de l a s u p e r f i c i e .

Sea f : O - - > I R 3 una superf ic ie regular . La curva C : I ->R3 se d i ce en

la s upe r f i c i e f si s e puede representar como una composición C = foy,

donde y: I - > O es una curva regular en el dominio O de f ( F i g . 3.8.).

87.

Figura 3.8.

y en consecuencia

Supongamos, para simplificar, que C es de rapidez uno y que C', C" son

linealmente independientes para que C tenga su triedro de Frenet

88.

(3 .6.1 . ) Teorema de Meusnier. ( C ' ( t ) , c' ( t ) ) = k ( t ) ( n ( y ( t > > l e ( t ) ) . ' I y ( t ) 2

Demostración. Calculamos directamente por l a definición 3 . 3 . 1 . :

I I ( C ' ( t ) , C ' ( t ) ) = -(dn(y(t))odf-'(y(t))C'(t)lC'(t)) = v ( t )

y por lo tanto

Recordemos ahora que

según las ecuaciones de Frenet. Finalmente

(3.6.2.) Definición. Sea X u n vector de longitud uno en el espacio tangen-

t e T u f . El valor

s e llama l a curvatura normal de l a super f i c ie f en el punto u y de l a

d i rección X.

89.

(3.6.3.) Proposición. Si XET f es una dirección principal con v a l o r prin-

cipal k(u) y X está normalizado, entonces U

ku(X) = k(u).

Demostración. Por la definición de dirección principal W(u)X = k(u)X. En-

tonces

La curvatura normal en la dirección principal es igual a la curvatura

principal correspondiente.

Interpretamos ahora el teorema de Meusnier en los términos introducidos

( F i g . 3.9.). El vector e ( t ) es perpendicular al vector tangente a la

curva C en el punto C(t), asi como el vector normal n(y(t)) de la super-

ficie.

2

Figura 3.9.

La curvatura k ( t ) de la curva C, multiplicada por el coseno del ángulo

entre n y e nos da la curvatura normal en la d i recc ión C ' ( t ) . Observe-

mos que dicho angulo es igual a l ángulo entre n y el plano osculador de

C .

2

S i escogemos una dirección principal X de l a s u p e r f i c i e e intersectamos

l a s u p e r f i c i e con el plano generado por X y el vector normal, recibimos

en l a s u p e r f i c i e una curva C para la cual (n/e ) = + l . Entonces en e s t e

caso la curvatura normal k(X) es igual a l a curvatura principal y , por

otro lado, igual a 5 l a curvatura de la curva construida. (Fig. 3 . 1 0 . ) .

2

I n l

3 .lo.

El valor absoluto de la curvatura principal tiene entonces la interpreta- ción de la curvatura de la curva obtenida por la intersección de la super-

ficie con el plano (X, n).

La interpretación sencilla de la segunda forma fundamental está conteni-

da en el hecho siguiente.

(3.6.4.) Teorema. Dados la superficie regular f: O -> IR3 y el punto u0&O

existen, una vecindad V de uo, una vecindad U de O & I R 2 , un cambio de pa-

rametrización local $: U -> V y una isometria S de I R3 , tales que la SU-

perf i cie

tiene la forma

Y

f (S, t) = se + te + $(s,t)e3 1 2

con la segunda forma fundamental

Demostraciún. Ap1 icando en el espacio IR3 una isometria propicia Sx = Rx+a

podemos lograr que el punto f(u,) se transforme en OdR2 y el plano tangen-

te TU f se identifique con el plano (x1, x2)(Fig. 3.11.). O

Figura 3.11.

La s upe r f i c i e S o f t iene entonces la forma

S o f ( u ) = s (u )e l + t (u )e 2 + q(u)e3

con

SOf(U,> = o

O

Sabemos que l a imágen del operador

L

es igua l a l p lano (x1, x'). En p a r t i c u l a r , e s t o imp1 i c a que

Se?ú" el teorema (1 .7 .13 . ) en alguna vecindad V de u o , la ap l i cac i ón

v 3 ( u , u ) - 1 2 > ( s ( u ) , t(u))es un difeomorf ismo. Denotemos por rb s u in-

verso y por T su imágen.

La composición f = SofoO toma l a forma

donde @ = so@.

La fórmula para (hik) se obt iene ut i l izando el resultado de (3.3.2.) Y

la observac ión de que

-

Apliquemos el teorema de Tay lo r a l a s u p e r f i c i e f en el punto OEU que

corresponde al punto U,EO de l a s u p e r f i c i e f .

-

- Puesto que f ( 0 ) = O y f i ( O ) = e i se t i ene

-

94.

= se + te + T(h ( 0 ) s ‘ + 2; (0)st + (0)t’)e + r(s,t)e 1 -

1 2 1 1 12 22 3 3

don de r(s, t) S2 + t2 (s,t)-> o >O.

Salvo los términos de tercer orden, la superficie está dada por la forma

cuadráti ca:

don de

h(s,t): = ( s . t )

2 i ( 0 1 )

I 1 , ’,

S

t

Como enseña la teoria de las cónicas tal superficie puede ser:

1 ) Una elipsoide, si det(hik) > O 2) Un ci 1 indro paraból ico, si det(hik) = O

3) Un hiperboloide parabólico, si det(hik) < O

(Recordemos a grandes rasgos como se llega a este resultado. Sean Xl, X2W12

las direcciones principales, o sea, los vectores propios de la matriz simé-

trica (h. ) con valores propios a y b respectivamente. Cambiamos otra vez

las coordenadas introduciéndolas mediante las relaciones Ik

xx 1

+ YX2

Puesto que X y X son mutuamente ortogonales, la forma h se diagonal iza: 1 2

95.

Recordando que det(h ) = ab se obtiene el resultado advertido). i k

De aqui viene la terminologia.

( 3 . 6 . 5 . ) Definición. El punto uo&O de la superficie se llama

eliptico, si K(u,) > O

paraból i co, si K(uo) = O

hiperbólico, si K(uo) < O

El signo de la curvatura es igual al signo del determinante de la forma

( h i k ) . Tenemos entonces :

(3.6.6.) Teorema. S i el punto uocO es

eliptico

paraból i co

hiperból ico

entonces, en alguna vecindad de u. la superficie tiene, salvo los términos

de tercer orden de la serie de Taylor, la forma de ( F i g . 3.12.)

una elipsoide (as2 + b t 2 con a, b > O >

un ci 1 indro paraból ico (as2)

un hiperboloide parabólico (as' - bt2 con a, b > O).

96.

a) punto elíptico b) punto parabdico c) punto hiper bÓlico

Figura 3.12.

Este ú l t imo teorema, hay que subrayar lo , habla de una aproximación de l a

s u p e r f i c i e . Los términos de orden más a l t o pueden dar a l a s u p e r f i c i e un

aspecto muy d i f e r e n t e a l p r e s e n t a d o e n l a f i g u r a 3.12.

La f i g u r a 3 . 1 3 . r e p r e s e n t a l a " s i l l a de mono" dada por l a e c u a c i ó n

R33(s,t) - ( S , t , S - 3t2s) 3

E l punto (O, O ) es p a r a b ó l i c o , i n c l u s o p l a n o (k ( O ) = k ( O ) = O ) , p e r o

l a t r a z a de la s u p e r f i c i e no parece muy p lana. 1 2

9 7 .

13.

Consideramos, ;or f i n , l a interpretación de l a curvatura de Gauss, cuyo

origen se encuentra en las obras del mismo Gauss. S u def inic ión de l a

función k se basó en la observación contenida en el siguiente teorema.

( 3 . 6 . 7 . ) Teorema. Sea f : O -> IR una superficie regular y V C O un abierto

donde la curvatura de Gauss no cambia de signo. Entonces para uoe\J

3

donde 03 B(r ) es la bola con centro en u. y r a d i o r , A'(r) es el área de

l a s u p e r f i c i e n ( B ( r ) ) , A ( r ) es el área d e l a s u p e r f i c i e f ( B ( r ) ) ( F i g . 3.14.)

Figura 3.14.

A(r) = / 1 11 ( d f ( u ) e ) X ( d f ( u ) e ) 11 d u ’ d u ’ B(r) 1 2

Igualmente, utilizando la misma definición para n(B(r)), se obtiene

99.

Aprovechando e l lema 3.3.5. verificamos que

Hagamos uso del teorema del valor medio para integrales. Existe un punto

voE13(r) ta l que

Final mente

puesto que la func ión u ->>et W(u) es continua. Como (det W(uo)l = ) K ( u o ) l ,

concluimos la demostración.

100.

4. SUPERFICIES REGLADAS, DESARROLLABLES Y MINIMALES.

4. l . Superficies regladas y desarrol lables.

( 4 . 1 . 1 . ) Definición. La superficie f: IRxI -> IR3 se llama reglada si ex¡ s ten cu rvas

c: I - IR^ x: I - > IR^

tales que f(s,t) = S x(t) + c(t).

Las lineas rectas correspondientes a un valor fijo t o se llaman rectas

generadoras o generatrices de f y las curvas t -> soX(t) + C(t) con so

fijo se llaman directrices de la superficie f.

Una superficie reglada es entonces trazada por una linea deslizándose a

lo largo de la curva C(.). La dirección de la linea recta que pasa por

el punto C ( t ) está determinada por X(t) (Fig. 4 .1 . ) .

101.

La superficie se llama desarrollable, si el campo de vectores normales es

localmente constante a la largo de cada linea recta generatriz, o sea

(an/%,) o.

(4.1.2.) Ejemplos. (a) Sea C una curva plana y XodR un vector linealmente

independiente de los generadores del plano. La superficie

f(s,t) = S x0 + c(t)

se 1 lama un ci 1

4.2.). (b) Cono

indro generalizado. Es una superficie desarrollab

1. La superficie dada por la fórmula

con x(t) y X'(t) 1

x o . También es una

f(s,t) = S x(t> + x0

inealmente

superf i cie

le. (Fig.

independientes se 1 lama cono con vértice en

desarrollable (Fig. 4.3.).

Figura 4.2.

102.

(c) Una superficie tangencialmente desarrollable se determina por una

curva espacial para la que los vectores C' y C" son 1 inealmente indepen-

dientes. Se define

f (s,t) = SC'(t) + c(t)

Cal cu 1 amos

La superficie es desarrollable ( F i g . 4.4.).

Figura 4.3.

Figura 4.4.

103.

(d) Paraboloide hiperbólico. Sea f la superficie dada por

(x,y) - >(x, y , kxy) k z 0

AI poner

se tiene

f(s,t) = C(t) + sX(t) = (t, s/k, st)

entonces f se presenta como una superficie reglada.

Pero

f = ( O , I/k, t), f = ( 1 , o, S ) S t Y fS X ft = (s/k, t, -l/k)

Se ve fácilmente que el paraboloide hiperbólico no es desarrollable.

( 4 . 1 . 3 . ) Teorema. La curvatura de Gauss de una superficie reglada es no

pos i t iva.

Demostración. En virtud de la fórmula 3.3.2. la matriz de la segunda for-

ma fundamental tiene la forma

(h ik) =

Para una superficie reglada tenemos f = O, entonces S S

104.

Y

La condición K - < O es necesaria pero no suficiente para que la superficie sea reg 1 ada,

Las superficies desarrollables si se pueden caracterizar completamente en

té rmi nos de cu rvatu ra.

(4.1.4.) Teorema. Sea f una superficie reglada, o sea, f(s,t) = sX(t) + C ( t ) .

Entonces las tres condiciones siguientes son equivalentes:

a) f es desarrollable

b) fst es linealmente dependiente de f y f S t

c) I< < o

Demostración. La condición a) se expresa por la ecuación an/as = O, que

es equivalente al sistema de ecuaciones

Sin embargo, (ns[ fs) = -(n/fss) = O para una superficie reglada. Llegamos a la equivalencia

a) <=>(n I f ) E O <=> (n( f ) z O <=> s t st

Por otro lado, la condición (nlf ) 5 O equ st

k E O

ivale a

(4.1.5.) . Ejemplo. Envolvente osculante de una curva

la b).

en una superficie.

Sea f una superficie y C: I -> IR^ una curva en f. Sea Y: I -> IR^ un cam-

po vectorial a lo largo de la curva C tal que

105.

y tal que Y(t) no es proporcional a C'(t). Vamos a mostrar que la super- fi cie

g(s,t) = sY(t) + c(t)

llamada la envolvente osculante de la curva C es desarrollable.

Según el último teorema es suficiente verificar que (N]gSt) = O, donde N

es el campo normal de la superficie g.

Calcularnos

Y

Advirtamos ahora que el vector normal N depende del parámetro t mediante

la curva C:

Entonces

y ob tenemos

106.

según la suposición impuesta. AsÍ que g es desarrollable.

Como un ejemplo particular podemos considerar el cono osculante.

Sea f la esfera y C un círculo (paralelo), el campo Y lo definirnos a par-

ti r de los vectores ortogonales a C y unitarios. La superficie resultante

es un cilindro si C es el acuador y un cono en otro caso. ( F i g . 4.5.).

F i gura 4.5.

107.

Para finalizar esta sección damos, sin demostración, una caracterización

más exacta de las superficies desarrollables.

(4.1.6.) Teorema. Ur;a superficie regular f: O -> IR sin puntos planos

( I I # O en todas partes) es desarrollable si y solo si K z O.

3

4.2. Acerca de las superficies minimales. ”

Nos imaginamos una curva suave cerrada en el espacio. El problema de

Plateau consiste en la construcción de una superficie f: O -->IR3 con la

frontera f(0) - f(0) igual a la curva dada y con área minima.

El mismo P

rimentales

Las superf

ema por métodos expe-

- ateau, un fÍsi co belga, estudió el prob

por 1850.

1

cies del área minima se realizan fisicamente como membranas

de agua jabonosa.

Apenas en 1930 T. Radó y J. Douglas, independientemente, mostraron que la

solución del problema de Plateau si

en sus estudios a las superficies i

que en efecto, la solución de Doug1

Es pos i b le caract

les. Resul ta que

igual a cero.

(4.2.1.) Definici

erizar las superfi

emp re ex¡ ste. Ambos autores admi ti eron

rregulares. En 1970, Osserman demostr6,

as es regular.

cies en consideración en términos loca-

la curvatura media de tales superficies es identicamente

ón. La superficie f: O ->IR3 se dice minimal si H O.

La teoria interesante de superficies minimales constituye un punto entre

la geometria de superficies y dos ramas importantes del análisis funcio-

nal: el análisis complejo y la teoria de funciones armónicas.

108.

El lector puede encontrar algunos detalles en el libro de doCarmo/l/ y la presentación completa en el articulo "A report on harmonic maps"

por J. Eel Is y L. Lamai re, Bull. London Math. Soc. , lO(1978) , 1-68.

109.

5. EJEMPLOS.

Esta sección está dedicada a la presentación de algunas superficies

particulares sumamente importantes para la teoría general.

5.1. - La superficie helicoidal.

Esta superficie se define como

f(t,r) = (r cos t, - r sen t, bt) t, r & R .

Al denotar X ( t ) = (cos t , -sen t, O) y C ( t ) = (O, O, bt) representamos la superficie como f(t,r) = rX(t) + C(t), o sea, como una superficie reglada. Se construye deslizando una linea recta horizontal a l o largo del eje y

girándola al mismo tiempo con velocidad angular proporcional a la veloci-

dad del des1 izamiento.

Calculemos las formas fundamentales.

ft = (-r sen t, - r cos t, b)

I

f = (cos t, -sen t , O) r

n(t,r> = - (b sen t, b cos t , r) (b2 + r 2 ) l / 2

n = (b cos t, -b sen t , O) t ( b 2 + r2) 1 / 2

b n = r (b2 + r2) 3 / 2 (-r sen t, -r COS t, b)

110.

f

I o h i j - -

-b (b2 + r2)1/2

L

En virtud de las fórmulas 3.5.3.

H(t,r) = O

La superficie helicoidal no es desarrollable pero s i es minimal. (Ver fig.

5.1.).

t'

111.

5.2. El toro. El toro cuya parametrización es

f(u,v) = ( ( a + b cos u)cos v, ((a + b cos u)sen v, b sen u)

es una superficie de rotación. La genera el circulo con centro en (a+b, O)

en el plano (X, Z) y radio b al girar alrededor del eje Z. No obstante,

los cálculos de las formas fundamentalez se efectúan fácilmente utilizan-

do las definiciones generales.

f = b(-sen u cos v , -sen u sen v, cos u) U

fv = (a + b cos u) (-sen v , cos v , O)

n(u,v) = -(cos u cos v, cos u sen v, sen u)

cos u a + 2b cos u K(u9v) = b(a + b cos u) H(u,v) =

2b(a + b cos u>

112.

Figura 5.2.

E l denominador b(a + b cos u) es p o s i t i v o en todas par tes, entonces e l

s i g n o de l a c u r v a t u r a de Gauss está determinado por cos u.

Por l o t a n t o K > O en l a p a r t e e x t e r i o r d e l t o r o , k = O en l o s c i r c u l o s

de encima y aba jo y K < O e n l a p a r t e i n t e r i o r .

E l to ro con t iene en tonces dos con jun tos ab ie r tos con p u n t o s e l i p t i cos

e h ipe rbó l i cos respec t i vamen te y dos conjuntos cerrados de puntos para-

b ó l i c o s . ( F i g u r a 5 .2 . ) .

113.

5.3. - La s u p e r f i c i e - de Enneper.

La s u p e r f i c i e de Enneper se def ine como

u 3 3

3

f (u ,v ) = (u - - + uv , v - 3 + vu2, u2 - v 2 ) 2

Su t r a z a , p r e s e n t a d a e n l a f i g u r a 5.3., c o n t i e n e i n t e r s e c c i o n e s i n t e r n a s

( l a f u n c i ó n ( u , v ) - > f(u,v) no es un ivoca l ) .

f u = ( 1 - u2 + v2, 2vu , í!u)

f = ( Z V U , 1 - v2 + u2 , -2v ) V

H(u,v) = O

O

( 1 + v 2 + U 2 l 2 1

La s u p e r f i c i e de Enneper cons t i t uye o t ro e jemp lo de s u p e r f i c i e m i n i m a l ,

Todos sus puntos son h iperból icos.

113'

Figura 5.3.

114.

5.4. Super f i c ie s de rotac ión con curvatura constante. - -

Sea f una superf ic ie de rotación generada por la curva u -> (h(u),k(u))

parametrizada por su longi tud.

Como hemos calculado en 3.5.5. su curvatura de Gauss está dada por la

fórmula:

Supongamos ahora que la curvatura es constante, K(u) E k , , l a cond ic ión

nos conduce a l a ecuación

h" + k,h = O

con ( h ' ) 2 - < 1 .

Cons i de remos tres casos pos i b l e s .

Caso I . K O = O .

La solución general es

h(u) = au + b O < a < l "

Para a = O l a cu r va h es una 1Tnea recta paralela a l eje Z y l a s upe r f i -

c i e de rotac ión es un c i 1 indro (F igura 5.4.).

I 15.

kA

h

Para O < a < 1 tenemos k ( u ) = a u + b con a’ + a2 = 1 y l a s u p e r f i c i e de

r o t a c i ó n f es un cono ( F i g u r a 5.4. ) 1 1 1

Para a = 1 tenemos h = cons t . y la s u p e r f i c i e r e s u l t a n t e es una p a r t e d e l

p l a n o ( F i g u r a 5 . 5 . ) .

116.

\

Fi gura 5.5.

Caso 2. k, = 1.

La solución general es

h(u) = a cos u

donde a > O y a2 sen2 u < 1 -

La función k tiene la forma

U k(u) = f dl - a2sen2t dt

a

Las gráficas de las curvas u -> (h(u) , k(u)) correspondientes a los va-

lores a = l , O < a < l y a > l se muestran en la figura 5.6.

117.

Ak Ak Ak

h * h

a) esfera b) huso c ) columna de agua

Figura 5.6.

Caso 3. k, = -1.

La solución general e s t á dada por

h(u) = ae + be-u U

con 1 a condi ción (ae - be-u) < l . U -

118.

El caso b = 1 y a = O es de interés especial. En este caso

h(u) = e-'

La curva correspondiente es la tractriz y la superficie de rotación co-

rrespondiente es la famosa pseudoesfera de Janos Bolyay que fue el pri-

mer ejemplo de un espacio con geometria no euclidiana.

La figura 5.7. representa la pseudoesfera (b) y otras curvas que se ob-

tienen al poner a = -b y a = b respectivamente.

tk

Figura 5.7.

119.

(5.5.) Ejerc ic io. Eva lúe e l área de l toro.

. (5.6.) E je r c i c i o . Sea C: I - >IR3 una curva regular con la curvatura dis-

t i n t a de cero en todas partes y parametrizada por su longitud. Sea

donde r es una constante no cero, e , e son los vectores de l a ba se de

Frenet de C . 1 2

La super f i c ie s e llama un tubo de rad io r a l o l a r g o de l a cu r va C . En-

centrar e l campo de los vectores normales de la superf ic ie suponiendo

que x es regular .

( 5 . 7 . ) E j e r c i c i o . Demuestre el teorema de Pappus: Sea f una superf ic ie

de rotación generada por la curva

parametrizada For su longitud. Supongase que g ( t ) > O , entonces

A ( f ) = 2~r / g(t )dt I

(5.8.) E je rc ic io . La genera l i zac ión natura l de l a s upe r f i c i e he l i co ida l

es la s igu iente: sea una curva en el plano yz dada por

Supongamos que y ( t ) # O. Sea

x ( t , s ) = (y ( t )cos S , y ( t ) sen S , z ( t ) + as)

para a&R. Demuestre que x es una superf ic ie regular .

120.

( 5 . 9 . ) E j e r c i c i o . Sea C u n a c u r v a e n l a s u p e r f i c i e r e g u l a r f cuya curva-

t u r a K de Gauss es pos ¡ t ¡ va. Demuestre que 1 a c u r v a t u r a k de 1 a curva

cumple con

donde k i s o n l a s c u r v a t u r a s p r i n c i p a l e s de l a s u p e r f i c i e .

(5.10.) E j e r c i c i o . Demuestre que, s i e l p u n t o p de l a s u p e r f i c i ' e f no es

p l a n o y H(p) = O , en tonces en es te punto ex is ten dos d i r e c c i o n e s a s i n t ó -

t i c a s (¡.e. I I (x,x) = O ) o r togona les . P

( 5 . 1 1 . ) E j e r c i c i o . D e t e r m i n e l o s p u n t o s u m b i l i c a l e s d e l e l i p s o i d e

(5 .12 . ) E je rc i c io . Sea f: O -> IR3 u n a s u p e r f i c i e r e g u l a r . L a s u p e r f i c i e

y ( s , t ) = f ( s , t ) + a n ( s , t ) a & R

se l l ama una super f i c i e pa ra le la a f . Demuestre que

Y S X y, = ( 1 - 2 Ha + k a 2 ) f s X f t

y luego que las curva turas Y, y HI de l a s u p e r f i c i e y ( - , - ) e s t á n dadas

po r l as f ó rmu las 1

k K = 1 1 - 2aH + ka2 H = H - Ka

1 1 - 2aH + kan

121.

6. DERlVAClON CAVARIANTE Y TEOREMA EGREGIUM.

6.1. - La der ivada covar iante - del campo tangente.

(6.1.1.) Def in i c ión . Sea f : O - - > R una super f i c ie regu!ar . Un campo tan-

gen te en f es una apl i cación suave X: O - > w 3 tal que

3

X(u) E Tuf

para toda UEO.

Nos imaginamos el e spac io tangente, a s Í como el vector X(u) ETuf, anclados

en e l punto f (u) de l a t r a z a de l a s upe r f i c i e ( F i g u r a 6 . 1 . ) .

Figura 6.1.

122.

S i f l y f2 son l o s campos tangentes básicos de l a s upe r f i c i e , cua lqu ie r

campo tangen te tiene 1 a forma

La der ivada parcial del campo X no e s , en general, un campo tangente. En

cualquier caso, se puede expresar

Nuestro objet ivo es encontrar las fórmulas para b ' , b 2 , y b en términos de

las funciones a y los datos de l a s upe r f i c i e f . I

Por der ivac ión de l a fórmula 6.1.2. recibimos

Para eva luar la componente normal de la derivada necesitamos información

sobre las segundas derivadas f . . . J '

Denoternos entonces

( ")

sobreentendiendo que todas las funciones están evaluadas en u.

E l producto esca lar de ambas partes de la ecuación (;I:) con el vector nor-

mal nos da

h . . J ' = -(n. I f i ) = ( n l f j i ) = ( n i x j i " ) = x . . . J J I

Entonces

(6.1.3.) 2 L fj i J l L J1

= 1 r . . f + h . . n L= 1

123.

Toca e l t u r n o a l c á l c u l o de los c o e f i c i e n t e s r Esta vez ca lcu lamos e l

p roduc to esca la r de ambas p a r t e s de l a e c u a c i ó n (;t) con e l v e c t o r fk. j i '

2 .

A p l i c a n d o l a m a t r i z ( g ) Lk

(6. l . 4.)

i n v e r s a a (g 1, se t i e n e Lk

L ' j i

De e s t a manera hemos v e r i f i c a d o e l lema s i g u i e n t e

(6.1.5.) Lcrna. La i - é s i m a d e r i v a d a p a r c i a l d e l campo tangente

2 .

e s t á dada por ..

I j=l J ' L

don de

y I?)¡ e s t á dado p o r 6 .1 .4

Sea Y, un vec tor tangente a f en e l p u n t o u o . Podemos r e p r e s e n t a r

2 Y o = 1 y j f . ( u o >

j = l J

124.

La derivada covariante es entonces igual a la parte tangente de la deri-

vada común y corriente del campo X.

Finalmente, se puede definir la derivada del campo X en la dirección de

otro campo tangente Y.

(6.1.6.) Definición. Sean X, Y campos tangentes de la superficie f. La

derivada covariante del campo X en la dirección Y se define por la fórmu-

la

donde las funciones a y y están definidas por L I

-l

X = ' L l a f L

L= 1

2 . Y = 1 Y ' f i

i=l

La derivada covariante es una aplicación bilineal

v: Tf x Tf - > Tf

donde .rf es el espacio 1 ineal de todos los campos tangentes a la superf i - cie f. Esta operación permite desarrollar un cálculo diferencial utilizan-

do exclusivamente datos determinados por la estructura interna de la su-

perficie. Entre estos últimos consideramos la función f y sus derivadas,

la PFF y sus derivadas. El espacio tangente, generado por las derivadas fi, es entonces uno de los componentes de la estructura interna de f (de

los más importantes).

Al contrario, el campo normal depende no sólo de los fi, sino también de

la estructura euclideana del mismo espacio IR3, donde la superficie está

sumergida, mediante el producto cruz utilizado en su construcción.

125.

Todas las curvaturas k K , H a p r i o r i , l l e van a l guno s da to s de la e s t ruc -

tura externa, pues fueron def inidas por intermedio de la der ivada de l cam-

po normal . i'

La importancia especial de la curvatura de Gauss radica en el hecho de

que, en e fecto , k se expresa en términos internos de l a s upe r f i c i e . E l

resultado está contenido en la secc ión s i gu iente . Antes vamos a prcbar

que las funciones I'ii pertenecen a l a e s t ructura i n terna de l a s upe r f i c i e .

don de

9

Demostración. Calculamos 1 a der i vada

igualmente, permutando los indi ces , se t iene

Por l o t a n t o

donde hemos aprovechado la s imetrra entre los ind ices j en Actuan-

do con l a ma t r i z i n ve r s a de ( g ) verif icamos la fórmula (6.1.7.).

k

L j

126.

6.2. Teorema Egregi um - de Gauss.

En e l año de 1828 C.F. Gauss p u b l i c ó e l s i g u i e n t e

(6.2.1.) Teorema. La curva tura de Gauss e s t á dada p o r l a f ó r m u l a :

don de

rm - a i k , L au L ryk

- -

Demostración. Para mostrar este importante teorema aprovecharemos l a s i -

m e t r i a de las der ivadas de orden t res de l a f u n c i ó n f . En p a r t i c u l a r , se

t i e n e f j i k - - f jki.

Después de rep resen t a r

m f j i k

= 1 A j i kfm + Bjikn m

ca lcu lamos los coe f ic ien tes A j i k aprovechando l a ecuación 6 .1 .3 . Rec ib i -

mos

f + I' f ) + h j i ,kn + hj ink L f j i k - E (I'ji ,k L ji Lk

-

que, p o r e l lema 3.3.3. y los comentarios que l e preceden, podemos expre-

sa r

AsÍ pues

127.

m A j i k J l , k + ir^^ Lk ji kL

= rm. \.r" - Ch h gLm ,

tamb i én

Bj ik = hji,k + ETyihLk

Puesto que la simetria, f j ik - - f jk i , implica

m - m A j i k - Ajki Y

para todo m, concluimos

(6.2.2.) Lema. Entre las funciones r, g, h y sus derivadas tenemos las

re 1 aci ones

m - m \.r" - r L m r ) = 1 (hkLhji - hiLhjk)g Lm r j i , k r j k , i + ( r ~ ~ Lk j k Li L

para todo m, llamadas las ecuaciones de Gauss, y además

llamada la ecuación de Codazzi-Mainardi.

Advirtamos ahora que las ecuaciones de Gauss se pueden transformar en la

relación:

m + l(TjirLk L m - rjkrLi)) L m = hknhji - hinhjk. m 1gnm(r7i ,k - r jk , i L

A l poner k = n = 2 y j = i = 1 se tiene

det(h. .) = h h - h h = IJ 1 1 22 21 12

= 1 g2m (rm 1 1 Y 2 - rm 1 2 9 1 + 1 rL 1 1 r 1 2 - rm 1 2 rm L1 1). m

128.

Al sustituir mostración.

En vi rtud de

en la fórmula para k del teorema 3.5.3. concluimos la de-

l Teorema Egregium, la curvatura de Gauss está determinada

completamente por la primera forma fundamental. No obstante, la segunda

forma fundamentalaes necesaria para la descripción de la superficie. Am-

bas formas determi nan 1 a superficie univocamente.

(6.2.3.) Teorema. (Teorema fundamental de la teoria de superficies). Sea

O CIR2 un conjunto abierto simplemente conexo. Sean I y I I funciones sua-

ves en O con valores en las matrices simétricas 2 X 2. Si la función I

es positiva no degenerada y se cumplen las ecuaciones de Gauss y de

Codazzi-Mainardi, entonces existe una superficie regular

que tiene como formas fundamentales a las funciones I y 1 I respectivamen-

te.

La superficie f es única salvo isometrias del espacio euclidiano IR3.

129.

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