173721564-mat-12Âº-ano

Componentes do projeto:

Manual do alunoCaderno de Preparação para o Exame Nacional (oferta ao aluno)Caderno de atividadesLivromédiaO Teu Mestre (vídeos com a resolução de exercícios de provas de Exame Nacional — oferta incluída no Livromédia)

Só para professores:

Livro do professorEDUCATECA — Guia de recursos do professorLivromédia do professor

www.projetodesafios.com

Matemática A

Matemática A

2.ano1 EDUCATECA

EDUCATEC

A

GUIA DE RECURSOS DO PROFESSOR

Desenvolvimento curricular

Planificação anual e planos de aula

Guiões didáticos

Fichas

Mais recursos para a aula

Registos do professor

222

Todo o material deste livro está disponível no Livromédia do professor e em www.projetodesafios.com

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ECA

2.ano1

Conforme o novo Acordo Or tográfico da língua portuguesa

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2

TEMA 2

Introdução ao Cálculo Diferencial II 138

• Tarefas: Sugestões e resoluções 138

• Investigações: Sugestões 153

• Materiais para a aula 154

• Guiões de exploração dos materiais para a aula 159

TEMA 3

Trigonometria e Números Complexos 161





Fichas 177

PARTE

4Avaliação de diagnóstico 178

• Ficha de diagnóstico 178

• Respostas às atividades 181

TEMA 1

Probabilidades e Combinatória 182

• Ficha de consolidação 1 182




• Ficha de avaliação 1 191



TEMA 2

Introdução ao Cálculo Diferencial II 200












ÍndiceApresentação do Projeto Desafios 4

• Materiais do aluno 6

• Materiais do professor 10

Desenvolvimento curricular 17

PARTE

1PROGRAMA DE MATEMÁTICA A — 12.º ANO 18

• TEMA 1 — Probabilidades e Combinatória 18

• TEMA 2 — Introdução ao Cálculo Diferencial II 19

• TEMA 3 — Trigonometria e Números Complexos 21

Planificação anual e planos de aula 23

PARTE

2PLANIFICAÇÃO ANUAL 18

• Avaliação de diagnóstico 24




PLANOS DE AULA 31

• Avaliação de diagnóstico 31




Guiões didáticos 117

PARTE

3GUIÃO DO PROFESSOR 118

TEMA 1

Probabilidades e Combinatória 118





355039_001-016.indd 2 12/03/20 17:31

3

TEMA 1

Distribuições binomial e normal 293

• Literatura e Matemática 293

• Notação matemática 297

• Estratégias de resolução de problemas 299

TEMA 2

Funções exponencias e logarítmicas 300

• Antes de começar a unidade 300

• Curiosidades matemáticas 301

• Conteúdos prévios 302


• Na vida quotidiana… 304


TEMA 2

Derivada de uma função 307




TEMA 2

Limite de uma sucessão 313




TEMA 3

Números complexos 321




Registos do professor 327

PARTE

6• Ficha de autoavaliação do aluno 328

• Grelha de testes 329

• Registo de avaliação de trabalhos de grupo 330

• Horário do professor 331

• Avaliação final 332

• Calendário 333

FICHA TÉCNICA 336

TEMA 3

Trigonometria e Números Complexos 234








Provas tipo exame 254

• Prova 1 254

• Prova 2 257

• Critérios de classificação das provas 261

— Critérios gerais 261

— Critérios específicos da prova 1 263

— Critérios específicos da prova 2 266

Mais recursos para a aula 269

PARTE

5TEMA 1

Probabilidades I 270







TEMA 1

Probabilidades II 277




TEMA 1

Combinatória 286







355039 001-016.indd 3 12/03/22 16:13

24 DeSaFIOS • Matemática a • 12.o ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

2Parte

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32 DESAFIOS • Matemática A • 12.º ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

2PArtE

Plan

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PlAnO DE AulA n.º 2 Matemática A — 12.º ano

ESCOLA: TURMA: N.º DE ALUNOS:

DOCENTE DA TURMA: DOCENTE DE SUBSTITUIÇÃO:

LIÇÃO N.º: DATA: / / HORA: : SALA: TEMPO: 90 MINUTOS

TEMA

Probabilidades e Combinatória

ConTEúdos EspECífiCos

Introdução ao cálculo das probabilidades

suMário

Experiência aleatória e espaço de resultados.

indiCAçõEs METodológiCAs

• As probabilidades fornecem conceitos e métodos para estudar casos de incerteza e para interpretar previsões baseadas na incerteza. Este estudo, que pode ser em grande parte experimental, fornece uma base conceptual que capacita para interpretar, de forma crítica, toda a comunicação que utiliza a linguagem das probabilidades, bem como a linguagem estatística.

• tarefa 1 (página 8): Os alunos devem jogar sem indicação de que o jogo não é justo. Inicialmente, deve fazer-se uma análise superficial do jogo, para que, apenas após a realização de algumas jogadas, se apercebam de que o jogador A parece ter mais hipóteses de ganhar. Os alunos podem determinar a probabilidade de cada jogador ganhar utilizando a regra de laplace. Essa resolução pode ser consultada na página 26 do manual.

• tarefa 2 (página 10).• Exercício 1 (página 9): Pedir aos alunos exemplos de

experiências do seu quotidiano que sejam aleatórias. Debater os conceitos de aleatório e de acaso.

• Exercício 2 (página 10).

rECursos disponívEis

• Manual: páginas 8 a 11.• recurso 1: Applet Jogo de cartas (livromédia do

professor).• Mais recursos para a aula: Probabilidades I (educateca).

AvAliAção

obsErvAçõEs

• Observação formativa das produções efetuadas pelos alunos.

• Para saber mais sobre as origens das probabilidades, consultar as páginas 118 e 119 do manual e o site: http://www.alea.pt• Mais exercícios de escolha múltipla e de resposta aberta: páginas 50 a 53 (manual).• Síntese: páginas 4 e 5 (caderno de atividades).• Exercícios de escolha múltipla e de resposta aberta: páginas 4 a 9 (caderno de atividades).• Consultar Guiões didáticos — tarefas: Sugestões e resoluções do tema 1 (educateca).• Consultar Guiões didáticos — Materiais para a aula do tema 1 (educateca).• Consultar a página de Internet: www.alea.pt.

TpC

• Alguns dos exercícios propostos para a aula poderão ser sugeridos como tPC.

355039_031-061.indd 32 12/03/21 12:08


4Parte

Fich

as

Nasquestõesseguintes,apresenteoseuraciocíniodeformaclara,indicandotodososcálculosquetiverdeefetuareasjustificaçõesnecessárias.

1 Considereaexperiênciaaleatóriaqueconsistenolançamentodeumamoedadeumeuroperfeita.

1.1 Defina experiência aleatória.

1.2 Indique o espaço amostral e o espaço de acontecimentos da experiência considerada.

1.3 Indique dois acontecimentos incompatíveis. relativamente aos acontecimentos considerados, pode afirmar que são contrários? Justifique.

1.4 Lançando esta moeda 1000 vezes, quantas vezes se espera que ocorra a saída da face com o euro? Justifique.

2 Considereaexperiênciaaleatóriaqueconsistenaextraçãodeduasbolas,umadeumacaixacomtrêsbolasazuis,numeradasde1a3,eoutradeumaoutracaixa,comtrêsbolasbrancas,igualmentenumeradasde1a3,eanotarosnúmerosobtidos.

2.1 represente, em extensão, o espaço de resultados E que lhe está associado.

2.2 Considere os acontecimentos seguintes.

• A: «a soma das pontuações é 4.» • B: «O produto das pontuações é 3.»

represente em extensão cada um dos acontecimentos de E:

a) A b) B c) A + B d) A\B

2.3 Calcule a probabilidade dos acontecimentos referidos em 2.2.

3 Foiregistadoduranteváriosanosonúmerodeincêndiosflorestaisocorridospordiaduranteosmesesdaestaçãodeverão.Desseestudoresultouoquadroseguinte:

teMa 1 ProbabilidadeseCombinatória

NOME: N.O: TURMA: DATA:

FICHa De CONSOLIDaçãO 1

Número de incêndios

Número de dias 41

0

30

1

24

2

19

3

14

4

5

5

7

6

12

26

Determineaprobabilidadede,numdeterminadodia,duranteosmesesdeverão:

a) não ocorrer qualquer incêndio?

b) ocorrerem no máximo quatro incêndios?

c) ocorrerem pelo menos três incêndios?

4 OAntóniotem,nobolso,seismoedas,duasde1euroequatrode50cêntimos.Eleretira,simultaneamenteeaoacaso,duasmoedasdobolso.

Determine qual é a probabilidade de as moedas totalizarem a quantia de 1,5 euros. apresente a probabilidade na forma de fração irredutível.

355039_177-199.indd 182 12/03/21 13:50

183DeSaFIOS • Matemática a • 12.o ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

4Parte

Fichas

5 Ododecaedroéumpoliedroregularcom12faces.Existemdadosquesãododecaedroscomasfacesnumeradasde1a12.

No lançamento de um dado deste tipo, qual é a probabilidade de obtermos uma face com um número múltiplo de 3 ou maior do que 7?

6 Sabe-seque[ABCD]éumquadradodelado4dmcomumacircunferênciainscrita,aqualcontémigualmenteumquadradoinscrito.

escolhendo um ponto do quadrado [ABCD], ao acaso, qual é a probabilidade de pertencer à zona a cinzento?

7 Umaestaçãodetelevisãopretendecriarumanovagrelhadeprogramaçãoparaoperíodoquedecorreentreas8heas9h30damanhã,dispondoparaoefeitode2programasde1hora—uminformativoeummusical—ede3programasde30minutos—doismusicaiseumdedesporto.

escolhendo ao acaso uma das possíveis grelhas de programação, qual é a probabilidade de que ela contenha apenas programas musicais? apresente a probabilidade na forma de fração irredutível.Nota:a mudança de ordem de programas origina diferentes grelhas.

8 Dossóciosdeumclubedesportivo,68%praticamfutebol,24%praticamvoleibole10%praticamambasasmodalidades.

ao escolher aleatoriamente um praticante deste clube, qual é a probabilidade de este:

a) praticar apenas uma das referidas modalidades?

b) não praticar nenhuma destas modalidades?

9 DeumgrupodealunosdoEnsinoSecundárioafrequentaro12.°ano,70%estãomatriculadosemMatemática;65%emQuímica;55%emBiologia;27%emMatemáticaeBiologia;35%emMatemáticaeQuímica;37%emQuímicaeBiologiae12%nastrêsdisciplinas.

Se escolhermos, ao acaso, um destes alunos, qual é a probabilidade de estar matriculado:

a) em duas e só duas destas disciplinas?

b) apenas em Matemática?

10 SejaEoespaçoderesultados,finito,associadoaumaexperiênciaaleatória.SejamAeBdoisacontecimentosÂ1E eB1Eh.

Prove que: P A B P B P A P A B+ ++ = +_ _ _ _i i i i

11 SejaEoespaçoderesultados(comumnúmerofinitodeelementos),associadoaumacertaexperiênciaaleatória.SejamAeBdoisacontecimentosÂ1E eB1Eh.Sabe-seque:P^Bh= PÂhePÂ,Bh= 2PÂh

11.1 Prove que os acontecimentos A e B são incompatíveis.

11.2 Os acontecimentos A e B são necessariamente contrários? Justifique.

12 Numacaixa,existeumdeterminadonúmerodebolasnumeradasde1a4.Retirando,aoacaso,umaboladosaco,verificou-seque:

P^«sairumabolacomonúmero1»h= n#P ^«sairumabolacomonúmeron»h

12.1 Mostre que P(«sair uma bola com o número 1»)= 0,48.

12.2 Qual é a probabilidade de sair uma bola com um número par?

12.3 extraíram-se sucessivamente, e ao acaso, duas bolas desta caixa, repondo-se a primeira bola extraída antes de retirar a segunda. Qual é a probabilidade de sair pelo menos uma vez uma bola com o número 1?

12.4 Determine o número total de bolas que se encontram inicialmente dentro da caixa, sabendo que contém menos de 40 bolas.

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A B4 dm

D C

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4Parte

FichasESCOLA:


GrupoI

Paracadaumadasquestõesdestegrupo,selecioneaopçãocorretadeentreasquelhesãoapresentadaseescrevanasuafolhaderespostasaletraquelhecorresponde.

1 Lança-seumdadocúbicocomtrêsfacespintadasdeverde,duasdeazuleumadevermelho.Sejamosacontecimentos:

• A:«Sairfacepintadadeverde.» • B:«Sairfacepintadadeazul.»

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A)A e B são contrários. (B)A e B são contrários. (C)A e B são incompatíveis. (D)A e B são incompatíveis.

2 Umbaralhodecartastemseiscartasvermelhasealgumascartaspretas.Escolhendoaoacasoumacartadobaralho,aprobabilidade

deserpretaé 52

.

Quantas cartas contém o baralho?

(A)10 (C)15 (B)12 (D)18

3 SejaEoespaçoderesultadosassociadoaumacertaexperiênciaaleatória.SejamAeBdoisacontecimentosÂ1E eB1Eh.Sabe-seque:

PÂh= 0,4PÂ+Bh= 0,1PÂ,Bh= 0,7

Qual é o valor de P_B + Ai?

(A)0,1 (C)0,3 (B)0,2 (D)0,4

4 Numaturmado12.°ano,60%dosalunossãodosexomasculino.Sabe-seque60%dasalunasdessaturmausamóculoseque40%dosrapazesusaóculos.

escolhendo um aluno dessa turma, ao acaso, qual é a probabilidade de:

a) ser rapaz e usar óculos?

(A)16% (C)24% (B)20% (D)28%

b) ser rapariga, sabendo que usa óculos?

(A)20% (C)40% (B)30% (D)50%

FICHa De aVaLIaçãO 1

355039_177-199.indd 191 12/03/21 13:50


4Parte

Fich

as

GrupoII

Nasquestõesseguintes,apresenteoseuraciocíniodeformaclara,indicandotodososcálculosquetiverdeefetuareasjustificaçõesnecessárias.

1 Numsacoexistem12bolas,indistinguíveisaotato.Quatrobolassãobrancas,quatrosãopretasequatrosãovermelhas,sendoque,paracadacor,asbolasestãonumeradascom5,10,15ou20.

retirando uma bola ao acaso do saco, qual é a probabilidade de que a bola extraída seja:

a) preta?

b) branca ou contenha um número múltiplo de 10?

c) vermelha e não contenha um número par?

2 2.1 Seja E o espaço de resultados, finito, associado a uma certa experiência aleatória.Sejam A e B dois acontecimentos Â1E eB1Eh, com P]Bg! 0.

Prove que: P]Bg # 61 - P_A|Bi@ + P B_ i = P A B,_ i

2.2 Numa empresa de inovação tecnológica, trabalham pessoas de vários países, na sua maioria de nacionalidade portuguesa. Sabe-se que um em cada nove dos trabalhadores portugueses é do sexo masculino. escolhido ao acaso um trabalhador da empresa, a probabilidade de ele ser estrangeiro ou do sexo feminino é de 90%. trabalham na empresa 240 pessoas. Quantos são os trabalhadores portugueses?

Nota: Se desejar, pode utilizar a igualdade da alínea 2.1. na resolução deste problema; nesse caso, comece por explicitar os acontecimentos A e B, no contexto do problema.

3 Lança-seumdadotetraédrico,equilibrado,comasfacesnumeradasde1a4.Considerequeo«númeroquesai»éonúmeroqueestánafacevoltadaparabaixo.

3.1 Considere os acontecimentos A e B:

• A: «Sair número par.» • B: «Sair número menor do que 4.»

Indique os valores das probabilidades condicionadas: P_B|Ai e P_A|Bi. Justifique a sua resposta.

3.2 Considere agora que o dado é lançado quatro vezes. Qual é a probabilidade de a face 1 sair, pela primeira vez, precisamente no quarto lançamento?

apresente o resultado sob a forma de percentagem.

4 SejaEoespaçoderesultados,finito,associadoaumacertaexperiênciaaleatória.SejamAeBdoisacontecimentosÂ1E eB1Eh,comPÂh= 0,2ePÂ,Bh= 0,5.

Calcule o valor de P]Bg, sabendo que:

4.1 A e B são incompatíveis.

4.2 A e B são independentes.

PARTE

QUESTÕES

COTAÇÕES

I

1; 2; 3; 4.1; 4.2

5 3 10 5 50

II

1.1

10

1.2

10

1.3

10

2.1

20

2.2

20

3.1

30

3.2

15

4.1

15

4.2

20

Grelhadeavaliação

355039_177-199.indd 192 12/03/21 13:50

254 DESAFIOS • Matemática A • 12.o ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

4PArtE

Fich

as

Provas tipo exame

ESCOLA:


DURAÇÃO: 2H30 — TOLERÂNCIA: 30 MINUTOS

Grupo I

Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre as que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde.

1 Num saco existem 15 bolas numeradas de 1 a 15. Tiram-se duas bolas ao acaso.

A probabilidade de o produto desses números ser par é:

(A) 151

(B) 52

(C) 54

(D) 1511

2 A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é representada por:

Sabendo que a média é 2, os valores de k e de a são, respetivamente:

(A) -2 e 1 (B) -2 e 2 (C) -1 e 2 (D) -1 e 1

3 O produto do segundo e do penúltimo elemento de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 144.

Qual é o valor central dessa linha?

(A) 462 (B) 792 (C) 924 (D) 1716

4 Considere a função f, de domínio A-3, 27, definida por: f]Æg = In ]2 - Æg Sejam A e B os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos coordenados.

Sendo O a origem do referencial, qual é o valor da área do triângulo 6OAB@?(A) In 2 (B) In 2 (C) 2 - In 2 (D)

In21

5 Seja g uma função de domínio IR e a um ponto do domínio de g, tal que:

gl ]ag = 0 e ] g

Æ

Ælim

ag

1û a -

=-"

l

Qual das afirmações é necessariamente verdadeira?

(A) a é zero de g.

(B) g]ag é mínimo relativo de g.

(C) g]ag é máximo relativo de g.

(D) ] g,a g a_ i é ponto de inflexão do gráfico de g.

6 O período positivo mínimo da função h, de domínio IR, definida por h]Æg = sen ]0,2rÆ + 0,5g é:

(A) 2r (B) 0,2 (C) 10 (D) 10r

PrOvA 1

Æi

P(X = Æi)] gk

8

3 + k8

-k

81 - k

82 2- -

2a - 4 a a + 1 5a

355039_254-268.indd 254 12/03/21 15:38

255DESAFIOS • Matemática A • 12.o ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

4PArtE

Fichas

7 Em IC, conjunto dos números complexos, considere:

z = i

i1 2

2 6+

- + + 4i2

Qual é a representação trigonométrica de z?

(A) cis2 24

3r (B) cis2 5

43r

(C) cis2 54

5r (D) cis2 2

45r

8 Qual das seguintes condições define, no plano complexo, o eixo real?

(A) z + z = 0 (B) arg ]zg = 0 (C) z = 0 (D) z - z = 0

Grupo II

Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.

1 Em IC, conjunto dos números complexos, considere:

z1 = 1 + 3 i

Sem recorrer à calculadora, resolva as duas alíneas seguintes:

1.1 Sabendo que z1 é uma raiz quarta de um certo complexo w, indique as restantes raízes quartas de w e determine a área do polígono que tem por vértices as imagens geométricas das raízes do complexo w.

1.2 Seja: z2 = cis 6r

Determine o menor valor de n natural de modo que o número complexo _z1 # z2in seja um

imaginário puro com coeficiente da parte imaginária negativo.

2 Um baralho de cartas tem quarenta cartas _dez cartas em cada naipe — ás, três figuras (rei, dama e valete) e mais seis cartas (do 2 ao 7)i.

2.1 De quantas maneiras diferentes podemos dispor em fila as dez cartas do naipe de ouros, de tal forma que as três figuras fiquem juntas, no princípio ou no fim da fila?

2.2 Considere o problema seguinte:«De um baralho com as quarenta cartas, tiram-se quatro cartas ao acaso. Qual é a probabilidade de, nessas quatro cartas, o rei de copas ser uma das cartas escolhidas somente se a rainha de copas for igualmente escolhida?»

Apresentam-se em seguida duas respostas:

Resposta 1: C

C C40

4

404

383+

Resposta 2: C

C C C40

4

382

383

384+ +

Apenas uma das respostas está correta.

Elabore uma composição na qual: • identifique a resposta correta; • explique um raciocínio que conduza à resposta correta; • proponha uma alteração na expressão correspondente à resposta incorreta, de modo a torná-la correta; • explique, no contexto do problema, a razão da alteração proposta.

3 Seja X o espaço de resultados associados a uma certa experiência aleatória.Sejam A e B dois acontecimentos tais que A 1 X e B 1 X, com P]Bg ! 0.

Prove que: _ i ] g _ i ] g|P A B P B P A B P B1 0 1+, #+ - = =8 B

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Fich

as

4 Considere a função f, de domínio IR+, definida por:

f]Æg = 3 + In _Æe-Æi

resolva os três itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

4.1 Estude a função f quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.

4.2 Mostre, sem resolver a equação, que f]ûg = 1 tem, pelo menos, uma solução em @1, e26.4.3 Estude a função f, quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.

5 Considere a função g, de domínio IR, definida por:

g ]Æg = ] g

] g

Æ Æ Æ

Æ Æ

sen se

In 1 2 se 0

3 2 02 2

G

-

-*

5.1 recorrendo exclusivamente a processos analíticos, resolva as duas alíneas seguintes:

5.1.1 Justifique que: ] gû

ûlim

gû 0"

= -2

5.1.2 Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, no intervalo @0, r6.

5.2 A condição g]ûg G û + 1 tem, em Ir, um conjunto-solução do tipo 6a, b@ com a, b reais.recorrendo à calculadora gráfica, indique os valores de a e b, aproximados às centésimas.

Cotações

Grupo I 40Cada resposta certa 5Cada resposta errada 0Cada questão não respondida ou anulada 0

Grupo II 160

1. 30 1.1 15 1.2 15

2. 25 2.1 10 2.2 15

3. 15

4. 40 4.1 15 4.2 10 4.3 15

5. 50 5.1 35 5.1.1 15 5.1.2 20 5.2 15

Total 200

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Fichas

Critérios específicos da prova 1Grupo I 40

As respostas certas são as seguintes:

Cada resposta correta 5

Grupo II 160

1. 30 1.1 15 Indicar as restantes raízes ; ;i i i3 1 3 3- + - - -_ i. ]3 # 3g 9 Determinar o lado do quadrado 8_ i. 4 Determinar a área do quadrado ]8g. 2

1.2 15

Escrever z1 na forma trigonométrica cis23rc m. 4

Escrever z2 na forma trigonométrica cis6r

-ce mo. 1

Escrever z1 # z2 na forma trigonométrica cis26rce mo. 2

Escrever _z1 # z2in na forma trigonométrica cis

n2

6n rce mo. 2

Obter a expressão n = -3 + 12k / k ! Z+ (ou equivalente). 4 Concluir que n = 9. 2

2. 25 2.1 10 Escrever a expressão que dá o valor pedido ]2 # 3! # 7!g. 8 Calcular o valor pedido. 2

2.2 15 A composição deve contemplar os pontos seguintes: A) identificação da resposta correta; B) explicação do raciocínio que conduz à resposta correta; C) proposta de alteração na expressão da resposta incorreta, de modo a torná-la correta; D) explicação, no contexto do problema, da razão da alteração proposta. Na resposta a este item deve atender-se ao desempenho no domínio da comunicação escrita

em língua portuguesa.

1

D

2

A

3

C

4

B

5

C

6

C

7

A

8

D

QuEStÕES

oPçãoCoRREta

Na tabela seguinte, indica-se como deve ser classificada a resposta a este item, de acordo com os níveis de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa (apresentados na tabela anterior) e os níveis de desempenho no domínio específico da disciplina.

NÍVEiS DESCRitoRES

3

2

1

Composição bem estruturada, sem erros de sintaxe, de pontuação e/ou de ortografia, ou com erros esporádicos, cuja gravidade não implique perda de inteligibilidade e/ou de sentido.

Composição razoavelmente estruturada, com alguns erros de sintaxe, de pontuação e/ou de ortografia, cuja gravidade não implique perda de inteligibilidade e/ou de sentido.

Composição sem estruturação aparente, com erros graves de sintaxe, de pontuação e/ou de ortografia, cuja gravidade implique perda frequente de inteligibilidade e/ou de sentido.

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as

No caso de a resposta não atingir o nível 1 de desempenho no domínio específico da disciplina, a classificação a atribuir é zero pontos. Neste caso, não é classificado o desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa.

3. 15

A resposta do aluno deve incluir os pontos seguintes:

• P_A|Bi = ] g] g

P B

P A B+ • A B A B, += • ] gP A B P A B1+ += -_ i

NÍV

EiS

NÍVEiS

5

1

13

10

7

6

3

2

14

11

8

6

3

3

15

12

9

6

3

4

3

2

1

A composição contempla corretamente os quatro pontos, OU apenas os pontos B, C e D.

A composição contempla corretamente apenas os pontos A, B e C, OU apenas os pontos A, C e D, OU apenas os pontos B e C, OU apenas os pontos C e D.

A composição contempla corretamente apenas os pontos A e B, OU apenas o ponto B.

A composição contempla corretamente apenas os pontos A e C, OU apenas o ponto C.

A composição contempla corretamente apenas o ponto A.

DESCRitoRESDoNÍVElDEDESEmPENhoNoDomÍNioDaComuNiCaçãoESCRitaEmlÍNgua

PoRtuguESaDESCRitoRESDoNÍVElDEDESEmPENhoNoDomÍNioESPECÍfiCoDaDiSCiPliNa

4. 40 4.1 15

Calcular ] g] g

û

ûlim

f1

û-

" 3+. 7

Calcular ] g ] gû ûlim fû

3+ +" 3+_ i . 7

Concluir que não existem assíntotas não verticais. 1

4.2 10 referir que a função é contínua em 61, e2@. 2 Concluir que f _e2i 1 1 1 f ]1g 6 Concluir o pretendido referindo o teorema de Bolzano. 2

4.3 15

Determinar fl û

û1 -d n. 6

Estudar o sinal de fl recorrendo a um quadro (ou equivalente). 7 Apresentar o valor máximo ]2g. 2

5. 50 5.1 35 5.1.1 15

Determinar ] gû

ûlim

gû 0" -

. 7

Determinar ] gû

ûlim

gû 0" +

. 8

NÍV

EiS

PoNtuaçãoDESCRitoRESDoNÍVElDEDESEmPENhoNoDomÍNioESPECÍfiCoDaDiSCiPliNa

4

3

2

1

15

11

7

3

O aluno aplica corretamente os três pontos e conclui o pretendido.

O aluno aplica corretamente os três pontos, mas não conclui o pretendido.

O aluno aplica corretamente apenas dois pontos.

O aluno aplica corretamente apenas um ponto.

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Fichas

5.1.2 20 Determinar gl em @0, r6 ] gû ûcos2 3 2 2-` j. 4

Determinar gm em @0, r6 ] gû2 4 sen 23 +` j. 4

resolver a equação gm ̂ûg = 0 em @0, r6 û û3

26

50

r r= =d n. 4

Estudar o sinal de gm recorrendo a um quadro (ou equivalente). 6 Apresentar os pontos de inflexão

] g

, e ,3

218

8 9 36

536

25 3 182 2$r r r r- +f ef p op 2

5.2 15 reproduzir o gráfico de g se û 2 0. 3 reproduzir o gráfico de g se û G 0. 3 reproduzir a reta de equação y = û + 1. 3 Assinalar no gráfico os pontos cuja abcissa é solução da equação g]ûg = û + 1. ]2 + 2g 4 Indicar os valores de a e b na forma pedida. ]1 + 1g 2

Total 200

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Literatura e Matemática

O EStrAnhO CASO DO CãO MOrtOMArk hADDOn

Passavam sete minutos da meia-noite e o cão jazia no meio do relvado em frente da casa da Sr.ª Shears. tinha os olhos fechados e parecia que estava a correr de lado, da forma como os cães correm quando sonham que estão a perseguir um gato. Mas o cão não estava a correr nem a dormir. O cão estava morto. tinha uma forquilha espetada e os dentes desta deviam tê-lo traspassado completamente, cravando-se na terra, pois a forquilha mantinha-se de pé. Concluí que o cão provavelmente fora morto com a forquilha, pois eu não conseguia ver nele quaisquer outras feridas, e acho que ninguém iria espetar uma forquilha num cão depois de ele ter morrido por qualquer outra razão, como cancro, por exemplo, ou devido a um atropelamento. Mas eu não podia ter a certeza disto.

Atravessei o portão da Sr.ª Shears, fechando-o atrás de mim. Caminhei pelo relvado e ajoelhei-me ao lado do cão, colocando a minha mão sobre o seu focinho. Ainda estava quente.

O cão chamava-se Wellington. Pertencia a Sr.ª Shears, que era nossa amiga. Ela vivia do outro lado da rua, duas casas à esquerda. [...]

Este é um romance policial sobre homicídio.

A Siobhan [uma professora] disse que eu devia escrever alguma coisa que eu próprio quisesse ler. Eu leio sobretudo livros sobre ciência e matemática. não gosto de romances a sério. nos romances a sério as pessoas dizem coisas como «eu estou raiado de ferro, de prata e com riscas de lama vulgar. não consigo contrair-me num punho firme como aqueles que não dependem de estímulo se cerram.» O que é que isto significa? Eu não sei. nem o Pai. nem a Siobhan nem o Sr. Jeavons. Já lhes perguntei.

A Siobhan tem cabelo loiro comprido e usa óculos, que são feitos de plástico verde. E o Sr. Jeavons cheira a sabonete e calça sapatos castanhos que têm aproximadamente sessenta buraquinhos circulares cada um.

Mas eu gosto de romances policiais sobre homicídios. Por isso estou a escrever um romance policial sobre homicídio.

num romance policial sobre homicídio alguém tem de tentar perceber quem é o assassino e depois apanhá-lo. É um quebra-cabeças. Se for um bom quebra-cabeças, às vezes consegue-se descobrir a solução antes do final do livro.

A Siobhan disse que o livro devia começar com alguma coisa que prendesse a atenção das pessoas. Foi por isso que comecei com o cão. também comecei com o cão porque foi uma coisa que me aconteceu e é-me difícil imaginar coisas que não me aconteceram.

A Siobhan leu a primeira página e disse que era diferente. Ela colocou esta palavra entre aspas, fazendo o sinal de citação agitando o primeiro e segundo dedos. Ela disse que, nos romances policiais sobre homicídio, quem era morto eram normalmente pessoas. Eu disse que dois cães eram mortos em O Cão dos Baskerville, o próprio cão e o spaniel de James Mortimer, mas a Siobhan disse que eles não eram as vítimas do assassinato, mas sim o Sir Charles Baskerville. Ela disse que isto se devia ao facto de os leitores se importarem mais com pessoas do que com cães, por isso, se uma pessoa fosse morta no livro, os leitores quereriam continuar a ler.

tEMA 1 Probabilidades II

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eu disse que queria escrever sobre algo verdadeiro e que conhecia pessoas que tinham morrido, mas que não conhecia ninguém que tivesse sido morto, a não ser o pai do edward lá da escola, o Sr. Paulson, e ele morreu devido a um acidente de asa-delta, não foi assassinado, e eu não o conhecia lá muito bem. eu também disse que gostava de cães porque eles eram fiéis e honestos, e que alguns cães eram mais espertos e mais interessantes do que certas pessoas. O Steve, por exemplo, que vem à escola às quintas-feiras, precisa de ajuda para comer e nem sequer seria capaz de ir buscar um pau. a Siobhan pediu-me para não dizer isto à mãe do Steve.

O autor deste texto é christopher, um rapaz de quinze anos que frequenta um colégio para alunos com necessidades educativas especiais. sofre de severos problemas psíquicos que lhe dificultam as relações com os outros; no entanto, a sua inteligência é normal, e mesmo a sua capacidade matemática está acima da média. seguindo uma sugestão da sua professora, christopher decide escrever um livro onde anota as suas pesquisas para descobrir o assassino do cão e intercalando simultaneamente opiniões sobre as pessoas, descrições de si próprio e relatos dos acontecimentos normais que ocorrem na sua vida.

O christopher é meticuloso, programa tudo o que tem de fazer, observa com objetividade as coisas, não se deixa levar pelas aparências, aplica a lógica a todas as suas decisões, não gosta que lhe deem ordens confusas ou sem sentido...

resolvi que ia descobrir quem matou o Wellington, muito embora o pai me tenha dito para não meter o nariz nos assuntos das outras pessoas.

é que eu nem sempre faço o que me mandam.

Isto porque quando as pessoas nos dizem o que fazer, normalmente é confuso e não faz sentido.

Por exemplo, as pessoas dizem frequentemente «está calado», mas não nos dizem por quanto tempo temos de ficar calados. Ou vemos uma tabuleta que diz NãO PISar a relva, mas devia dizer NãO PISar a relva eM vOlta DeSta taBUleta ou então NãO PISar a relva NeSte ParQUe, porque há muita relva que é permitido pisar.

além disso, as pessoas estão sempre a quebrar as regras. Por exemplo, o Pai conduz muitas vezes a mais de 50 km/h em zonas em que esse é o limite de velocidade, e às vezes conduz depois de ter estado a beber, e é frequente não usar o cinto de segurança ao conduzir a carrinha. e na Bíblia diz não matarás, mas existiram as Cruzadas e duas guerras mundiais e a guerra do golfo, e em todas elas havia Cristãos a matarem pessoas.

eu também não sei o que o Pai quer dizer quando afirma «Não metas o nariz nos assuntos das outras pessoas», porque não sei o que ele quer dizer com «assuntos das outras pessoas», pois eu faço imensas coisas com outras pessoas: na escola, na loja e no autocarro, e o trabalho dele é ir a casa das outras pessoas e arranjar-lhes as caldeiras e o aquecimento. e todas estas coisas são assuntos das outras pessoas.

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5Parte


a Siobhan compreende. Quando me diz para eu não fazer alguma coisa, ela explica-me exatamente aquilo que não devo fazer. e eu gosto disso.

Por exemplo, ela uma vez disse-me: — tu nunca deves dar um murro na Sarah ou bater-lhe seja de que maneira for, Christopher. Mesmo que ela te bata primeiro. Se ela te bater outra vez, afasta-te dela, não te mexas e conta de 1 a 50, e depois vem ter comigo e conta-me o que ela fez ou então conta a um dos outros professores. [...]

Mas quando as outras pessoas nos dizem o que não podemos fazer, elas não o dizem desta maneira. Por isso, decido sozinho aquilo que vou fazer e aquilo que não vou fazer.

christopher nunca mente. Por isso não gosta de metáforas. «Observei a queda da água na rua — escreve. caía com tanta intensidade que pareciam chispas brancas (e isto é uma comparação, não uma metáfora)». também não lhe agradam as certezas que temos como verdadeiras e que são apenas convenções:

as pessoas dizem que Órion se chama Órion, porque Órion era um caçador e a constelação tem a forma de um caçador com uma maça, um arco e uma flecha, assim:

Mas isto é uma grande palermice, porque são só estrelas, e nós podemos ligar os pontos como quisermos; podíamos fazer com que parecesse uma senhora com um guarda-chuva a acenar, ou a máquina de café da Sr.ª Shears, que é italiana, com uma pega e com vapor a sair, ou um dinossauro.

e não existem quaisquer linhas no espaço, por isso podíamos juntar partes de Órion a partes de Lebre, de Touro, ou de Gémeos, e dizer que eles eram uma constelação chamada OCachodeUvas ou Jesus ou ABicicleta (só que não existiam bicicletas na época romana e grega que foi quando chamaram Órion a Órion).

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e seja como for, Órion não é um caçador, nem uma máquina de café, nem um dinossauro. é apenas a Betelgeuse, a Bellatrix, a alnilam, a rigel e mais outras dezassete estrelas das quais eu não sei o nome. e elas são explosões nucleares a milhões de milhões de quilómetros de distância.

e essa é a verdade.

christopher observa com rigor e fidelidade todas as coisas.

eu vejo tudo — escreve no seu livro.

é por isso que não gosto de lugares novos. Se estiver num lugar conhecido, como em casa, na escola, no autocarro, na loja, ou na rua, já vi quase tudo o que lá está antes, e tudo o que tenho de fazer é olhar para as coisas que se alteraram, ou que mudaram de sítio. Por exemplo, certa semana, o cartaz do Shakespeare’s globe na sala de aula lá na escola caíra, e isso era notório porque fora reposto ligeiramente para a direita e havia três pequenos círculos que eram manchas de Blu-tack na parede, do lado esquerdo do póster. e no dia seguinte alguém fizera um graffiti a dizer CrOW aPtOk no poste de iluminação 437, na nossa rua, que é o que fica junto do número 35.

Mas a maior parte das pessoas é preguiçosa. Nunca olham para nada. Fazem aquilo a que se chama passar de raspão com os olhos, que é a mesma expressão para bater em alguma coisa e continuar quase na mesma direção, por exemplo, quando uma bola de snooker passa de raspão noutra bola de snooker. e a informação na cabeça delas é muito simples. [...] e depois deixariam de reparar em mais fosse o que fosse, porque estariam a pensar noutra coisa qualquer, como «Oh, que lindo que isto é» ou «estou preocupada, se calhar deixei o fogão ligado» ou «Será que a Julie já teve o bebé?». [...]

Isto significa que, quando estou num sítio novo, é muito cansativo, porque vejo todas estas coisas, e se alguém me perguntar mais tarde como eram as vacas eu poderia perguntar qual delas, e poderia fazer um desenho delas em casa e dizer que uma determinada vaca tinha manchas assim.

e vejo que disse uma mentira no Capítulo 13, porque disse «eu não sei contar piadas», porque, na verdade, sei contar três piadas e compreendo-as; uma delas é sobre uma vaca, e a Siobhan disse que eu não tinha de voltar atrás e alterar o que escrevi no Capítulo 13, porque não faz mal, pois não é uma mentira, é apenas uma clarificação.

e a piada é esta.

estão três homens num comboio. Um deles é economista, outro é especialista em lógica e outro é matemático. acabaram de atravessar a fronteira da escócia (não sei porque é que eles estão a ir para a escócia) e veem uma vaca castanha num campo, através da janela do comboio (a vaca está numa posição paralela ao comboio).

O economista diz:

— Olhem, as vacas na escócia são castanhas.

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O especialista em lógica diz:

— Não. existem vacas na escócia, das quais pelo menos uma é castanha.

e o matemático diz:

— Não. Há pelo menos uma vaca na escócia, da qual um lado parece ser castanho.

e é engraçado, porque os economistas não são cientistas a sério, e porque os especialistas em lógica pensam com maior clareza, mas os matemáticos são melhores. [...]

O seu amor pelas matemáticas leva-o a enumerar os capítulos do seu romance com números primos: começa com o capítulo 2 e termina com o capítulo 233.

O Sr. Jeavons disse que eu gostava de matemática porque era seguro. ele disse que eu gostava de matemática porque ela tinha a ver com a resolução de problemas, e que esses problemas eram difíceis e interessantes mas que, no final, existia sempre uma resposta simples para eles. e o que ele quis dizer foi que a matemática era diferente da vida, porque na vida não existem repostas simples no final. eu sei que foi isto que ele quis dizer, porque foi isto que ele disse.

Isto é porque o Sr. Jeavons não percebe de números.

aqui está uma história famosa intitulada OProblemadeMontyHall, que incluí neste livro porque ilustra o que eu quero dizer.

Costumava haver uma coluna chamada «PerguntemàMarilyn», numa revista chamada Parade, na américa. esta coluna era escrita pela Marilyn vos Savant e na revista era dito que ela tinha o QI mais elevado do Mundo no LivrodeRecordsdoGuiness. Nesta coluna ela respondia a questões matemáticas enviadas pelos leitores. em setembro de 1990, foi enviada por Craig F. Whitaker, de Columbia, Maryland, a seguinte questão (esta não é aquilo a que se chama uma citação fiel, pois tornei-a mais simples e mais fácil de compreender):

você está num concurso de televisão. Neste concurso, o objetivo é ganhar um carro como prémio. O apresentador mostra-lhe três portas. ele diz que há um carro atrás de uma das portas e que, atrás das outras duas portas, estão cabras. ele pede-lhe que escolha uma porta. você escolhe uma porta, mas essa porta não é aberta. Depois, o apresentador abre uma das portas que você não escolheu e mostra uma cabra (porque ele sabe o que está por detrás das portas). Depois ele diz que você tem uma última hipótese de mudar de opinião antes de as portas se abrirem e de você ganhar um carro ou uma cabra. assim, ele pergunta-lhe se quer mudar de ideias e escolher a outra porta ainda por abrir. Que é que você deve fazer?

Marilyn vos Savant disse que se deve sempre mudar de ideias e escolher a última porta, porque as hipóteses de haver um carro atrás dessa porta são de 2 em 3.

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Mas, se utilizarmos a nossa intuição, pensamos que existem 50% de hipóteses para cada lado, porque acreditamos que existe uma igual percentagem de possibilidades de o carro estar por detrás de qualquer uma das portas.

Muitas pessoas escreveram para a revista a dizer que a Marilyn vos Savant estava errada, mesmo quando ela explicou muito cuidadosamente porque tinha razão. 92% das cartas que ela recebeu sobre o problema diziam que ela estava errada, e muitas destas eram de matemáticos e de cientistas. [...]

e isto mostra que, por vezes, a intuição pode errar. e a intuição é o que as pessoas utilizam para tomar decisões na vida. Mas a lógica pode ajudar-nos a decifrar a resposta certa.

Mostra também que o Sr. Jeavons estava errado e que os números, às vezes, são muito complicados e nada simples. e é por isso que eu gosto do ProblemadeMontyHall.

christopher consegue saber quem matou o cão e este dado — que o leitor também descobre ao ler o romance —, em conjunto com a descoberta de um grave acontecimento que o seu pai lhe ocultou, altera totalmente a ordem da sua vida. esta revolução constitui a trama da segunda parte do livro, cujo desenlace conhecerás se o leres na íntegra.

Pararefletirsobreotexto.

1 Demonstreque,efetivamente,arespostacorretaaoproblemadeMontyHallfoiadadaporMarilynvosSavant.

2 Christopher,quandosofrealgumadassuascrises,refugia-seemcálculosmentais:«Inspireiprofundamenteeconteicinquentarespiraçõeseconcentrei-memuitonosnúmerose,àmedidaqueosdizia,elevei-osaocubo.Eissofezcomqueadorfossemaissuave.»Ou,numaoutraaltura:«Calculeipotênciasdedoisnaminhacabeçaporquemetranquilizava.Chegueiaté33554432queé225,oquenãoeramuitoporqueemoutraocasiãotinhachegadoa245,masomeucérebronãofuncionavamuitobem.»Calculementalmenteaspotênciasde2atéondepuder.

3 Christopherrelatanoseuromancequeumdiaumamigodopailhepediuquecalculassementalmente251por864eelefê-lodeseguida.Serácapaztambémdeofazer?Lembre-sequeonúmero251é250mais1.

4 Resolvaasseguintesequaçõesdesegundograu,comasquaisChristopherpreparaoseuexamedo12.°anodeMatemática:437Æ2+103Æ+11=0,79Æ2+43Æ+2089=0.

5 NesseexameépropostoaChristopheroseguinteproblema:«Demonstraqueumtriângulocujosladospodemescrever-sesobaforman2+1,n2-1e2n]n>1géretângulo.Demonstraatravésdeumcontraexemploqueoenunciadorecíprocoéfalso.»Eleresolve-operfeitamenteenoseulivroescreveasolução.Digacomooresolveria.

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Notaçãomatemática

O QUE SIGNIFICA?

n! representa o fatorial do número n.

]n - 1g! representa o fatorial do númeroanterior a n.

nmc m

Indica o número combinatório n sobre m.

nm r-c m representa o númerocombinatório n

sobre o número resultante da operação m - r.

COMO ESCREVEMOS?

Para indicar o fatorial de um número, coloca-se o ponto de exclamação à sua direita.

Para que o número combinatório seja corretamente expresso, é necessário que n seja superior a m.

Um fatorial ou um número combinatório pode ser expresso em forma de operação sempre que o resultado desta seja um número natural.

O QUE SIGNIFICA? nam representa os arranjos de n elementos

agrupados de m em m.

Anml representa os arranjoscomrepetição

de n elementos agrupados de m em m.

Pn representa as permutações de n elementos.ncm representa as combinações de n elementos

agrupados de m em m.

COMO ESCREVEMOS?

Nestas expressões, n representa o número de elementos do conjunto e m representa o número de elementos dos grupos que se pretendem formar.

assim sendo, é necessário ter em conta que n é sempre superior a m, exceto no caso dos arranjos com repetição, em que pode ser inferior.

O QUE SIGNIFICA?

e representa o espaçoamostral.

a representa um acontecimento.

B representa outroacontecimento.

COMO ESCREVEMOS?

Quando queremos representar o espaço amostral, costuma utilizar-se a letra maiúscula e ou a letra grega X (ómega).

Para representar acontecimentos, usam-se letras maiúsculas, começando pelas letras do abecedário: a, B, c, …

Se se pretende escrever um acontecimento definido por acontecimentos elementares que o formam, escreve-se a letra que representa o acontecimento e, em seguida, entre chavetas, enumeram-se os acontecimentos elementares que o compõem.

a = «Sair face par no lançamento de um dado» = !2, 4, 6+

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O QUE SIGNIFICA?

a, a representa um acontecimento e o seu contrário.

e, Q representa o acontecimentocertoE e o seu contrário, o acontecimentoimpossível Q.

COMO ESCREVEMOS?

Para denominar o acontecimento contrário (ou o complementar), costuma utilizar-se a mesma letra que a utilizada para representar o acontecimento com um traço por cima.

O contrário de a é a.

O único acontecimento contrário que não se costuma escrever com a mesma letra e com um traço por cima é o Q, que é o acontecimento contrário de e.

O QUE SIGNIFICA?

a , B Indica a uniãodedoisacontecimentos.

a + B representa a interseçãodedoisacontecimentos.

a - B Indica a diferençadedoisacontecimentos.

a \ B

COMO ESCREVEMOS?

De entre as operações que se podem efetuar com acontecimentos, para a disjunção de dois conjuntos utiliza-se o símbolo , escrito entre os acontecimentos, a , B, e para a conjunção utiliza-se o símbolo +, a + B.

Por vezes, utiliza-se o sinal de subtração inclinado para indicar que é a diferença entre dois conjuntos.

O QUE SIGNIFICA?

P]ag é a probabilidadedoacontecimentoA.

P_B|ai representa a probabilidadedeoacontecimentoB ocorrer,sabendoqueoacontecimentoAocorreu.

P_a|Bi Indica a probabilidadedeoacontecimentoAocorrer,sabendoqueoacontecimentoBocorreu.

COMO ESCREVEMOS?

Para indicar a probabilidade de um acontecimento a, escreve-se a letra P, e, depois, entre parênteses, a letra correspondente ao acontecimento: P]ag.

Na probabilidade condicionada, o acontecimento que se considera ter ocorrido deve sempre aparecer em «segundo lugar».

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5Parte


Estratégiasderesoluçãodeproblemas

Emcimadeumamesa,colocadasumasjuntoàsoutras,hácincocaixasdefósforosnumeradasde1a5.Dequantasformasdiferentessepoderãocolocar3moedasiguaisnascaixas,detalmodoquecadacaixacontenha,nomáximo,umamoeda?

Apresentaçãoeresolução através de um diagrama em árvore, a localização é:

Caixa1 Caixa2 Caixa3 Caixa4 Caixa5 Código Localização

M

M a a MMMaa

a

M a MMaMa

a M MMaaM

M

M

M a MaMMa

a a M MaMaM

a M M MaaMM

M

M a aMMMa

M a M aMMaM

a

a M M aMaMM

a M M M aaMMM

Há 10 maneiras diferentes de colocar as 3 moedas nas 5 caixas, colocando no máximo uma moeda em cada caixa.

PROBLEMA RESOLVIdO

CONSTRUIR UM dIAGRAMA E UTILIzAR UM CódIGO

eStratégIa: em probabilidades, assim como em outros ramos da Matemática, após se ler o enunciado de um problema, é importante: • Fazer um esquema que o represente. • Utilizar uma codificação apropriada para simplificar esse esquema. • Fazer um esboço ou um diagrama que represente a situação. • apresentar os resultados por meio de uma tabela.

1 Dequantasformasdiferentessepodemcolocar2moedasem5caixas?E4moedas?E1moeda?

2 Sehouver4caixase3moedas,dequantasmaneirasdiferentessepodemcolocaras3moedasnascaixas?(Nomáximo,umamoedaporcaixa.)

a) e se forem 2 moedas? b) e 1 moeda?

PROBLEMAS PROPOSTOS

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173721564-mat-12Âº-ano

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notao matemtica

clculo diferencial

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projeto desafios

componentes do projeto

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