1º bachillerato matemáticas

7/26/2019 1 Bachillerato matemticas

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TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIN

Tasa de variacin

Dada una funcin y = f(x), se define la tasa de variacin en el intervalo [a, a +h] como:

f(a+h) f(a) y se define la tasa de variacin media cmo: h

)a(f)ha(f +

a tasa de variacin de una funcin da una !rimera idea de la ra!ide" con #ue crece odecrece, aun#ue no lo suficientemente !recisa$ a tasa de variacin media res!onde a la!re%unta: &'uantas unidades crece (o decrece) la variale y !or cada una #ue crece lavariale x$ a res!uesta ven dada !or el cociente o ra"n incremental #ue re!resenta la

tasa de variacin media: T*=x

y

uchas veces es interesante conocer el com!ortamiento de la funcin en un !unto, !araeso, se hacen los intervalos [a, a + h] cada ve" ms !e#ue-os, es decir, se hace #ue htienda a cero, de esta forma otendr.amos la tasa de variacin instantnea, !or lo tanto, latasa de variacin instantnea ser el l.mite de las tasas de variacin media cuando losintervalos se hacen cada ve" ms !e#ue-os, y eso es lo #ue llamaremos derivada de lafuncin en el !unto a

Derivada de una funcin en un punto

Diremos #ue una funcin es derivale en el !unto x = a cuandoh

)a(f)ha(flimh

+ 0

es un

n/mero real$ 0ste n/mero es la derivada de f en la y se desi%na !or f1(a)

2. hacemos x = a+h, entonces h= x a y cuando h34 entonces x3a, sustituyendo en ladefinicin de derivada se otiene otra forma de escriir la derivada:

f1(la) =ax

)a(f)x(flim

ax


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5nter!retacin f.sica de la derivada

'uando dos ma%nitudes x e y estn relacionadas !or una funcin, y = f(x), entonces laderivada determina el ritmo de camio de y res!ecto a x, es decir, como de r!ido crece odecrece y cuando x var.a$0l e6em!lo ms destacado en f.sica a!arece cuando se considera a y como el es!acio

#ue recorre un mvil y a x el tiem!o transcurrido, s. y(x) es la !osicin de un mvil en uninstante determinado, la velocidad media en un intervalo [x, x +h] y la velocidadinstantnea en el instante x sern:

*m=h

)x(y)hx(y + vi=

h

)x(y)hx(ylimh

+ 0

otenemos as. #ue la velocidad instantnea es la derivada del es!acio res!eto al tiem!o$De la misma forma, otendr.amos #ue la aceleracin instantnea de un mvil es laderivada de la velocidad res!eto al tiem!o$

5nter!retacin %eom7trica de la derivada

Tenemos una funcin y = f(x) y un !unto 8(a, f(a))$ 'onsideramos un con6unto de !untos8 9, 8 , 8 ;,


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mt=ax

)a(f)x(flim

i

i

axi

, #ue es la derivada de la funcin f en el !unto x = a

0n consecuencia: La derivada de la funcin f en el punto x = a es la pendiente de larecta tangente a la grfica de f en el punto de abscisa x = a. mt= f(a)

De esta manera, la ecuacin de la recta tan%ente a la %rfica de f en el !unto (a, f(a))ser: y f(a) = f1(la)>(x a)

y la ecuacin de la recta normal a la %rfica de f en el !unto (a, f(a)) (recta !er!endicular a

la tan%ente en ese !unto) ser: y f(a) =)a1(f

1>(x a)

Derivadas laterales

?ay funciones #ue no son derivales en un !unto x = a !or#ue aun#ue existen los l.miteslaterales no son i%uales (esta situacin suele a!arecer en funciones definidas a tro"os),en este caso se hala de derivada !or la derecha y derivada !or la i"#uierda$

@na funcin es derivale !or la i"#uierda en el !unto x = a si el si%uiente l.mite es unn/mero real

ax

)a(f)x(flim)a1(f

ax

=

@na funcin es derivale !or la derecha en el !unto x = a si el si%uiente l.mite es unn/mero real

ax

)a(f)x(flim)a1(f

ax

=

+

+

0videntemente, !ara #ue una funcin sea derivale en el !unto x = a tienen #ue existir lasderivadas laterales y ser i%uales$

Aelacin entre continuidad y derivailidade

2i una funcin es derivale en un !unto x = a entonces tami7n es continua en ese !unto$or lo tanto, si una funcin no es continua en un !unto tam!oco es derivale en ese!unto$

0l rec.!roco no es cierto, es decir, existen funciones continuas en un !unto #ue no sonderivales en ese !unto, como !or e6em!lo f(x) = BxB


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10

001

0

00

00=

==

=

+

+

x

xlim)1(fe

x

xlim)1(f

xx$ or lo tanto la funcin no es derivale

en x = 4 !ero s. es continua en x = 4

0n %eneral, en los !untos donde la funcin hace un C!ico (o !untos an%ulosos) la funcinno es derivale aun#ue sea continua$

Funcin derivada

2i una funcin f es derivale en un suconxunto D1 de su dominio D, es !osile definir unanueva funcin #ue asocie a cada n/mero de D1su derivada en ese !unto$ 0sta funcin as.definida se llama funcin derivada y se denota !or f1

f1: D1 D3 Ax3 f1(x)

Tami7n se !uede halar de la funcin derivada de f1, es decir, de la funcin(f1)1(x), #ue sere!resenta !or f11(x) y se denomina derivada se%unda de f$

De forma anlo%a se definen las derivadas terceras, cuartas,< y de cual#uier orden$


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Reglas de derivacin

A0E8 D0 8 '8D0F8

2e su!on%a #ue f y % son de los funciones derivales, entonces:

(g el f)(x) = g(f(x)) . f(x)


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0studio de la derivailidad de una funcin definida a tro"os

'onsideremos una funcin

>

=

axse)x(f

axse)x(f)x(f

2

1en la #ue f9(x) es derivale en (#, a) y

f(x) es derivale en (a, !)$ ara estudiar si f(x) es derivale en el !unto a, se%uiremos los

si%uientes !asos:

9$ 0studiamos si f es continua en x = la$ 2i no lo fuera ya no ser.a derivale

2. 'alculamos )x(flim)a1(fe)x(flim)a1(f 1

ax

1

ax 21

+

+

==

2i los dos l.mites existen y son i%uales entonces f es derivale en x = a y ese es elvalor de la derivada$ 0n caso contrario no es derivale

06em!lo:

>


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M) Determinar el !olinomio (x) de %rado menor o i%ual a ;, tal #ue la curva y = (x) seatan%ente a las rectas y = x , x + y = 4 en los !untos x = 4 y x = 9, res!ectivamente$

N) 2e sae #ue f(x) definida en [4,K] !or f(x) =

es derivale en (4,K) y f(4) = f(K)$ 'alcular a,,c

O) 'alcular los valores de a tales #ue las rectas tan%entes a la %rfica de la funcin f(x) =ax;+ x + ; en los !untos x= 9 y x= J9 sean !er!endiculares entre s.$

94) 'om!ruea si la si%uiente funcin es continua y derivale,

>

=

01

0

xsex

xsee)x(f

x

99) 'alcular el valor de P !ara #ue la funcinPx

e)x(f

x

+=

2 ten%a un /nico !unto de

tan%ente hori"ontal$

9) 'alcula a y !ara #ue la si%uiente funcin sea continua en R. ara los valores

otenidos estudia la derivailidade de f$

+

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