نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر

نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر، دوره 49، شماره 4، سال 1396، صفحات 759 تا 772DOI: 10.22060/mej.2016.858

نیروی اثر تحت هدفمند مواد از شده ساخته متغیر قطر با روتورهای پایداری و لنگش تحلیل محوری و گشتاور پیچشی

کیوان ترابی1*، حسن افشاری2

1 دانشکده مهندسی مکانیک، دانشگاه کاشان، کاشان، ایران

2 گروه مکانیک، واحد خمینی شهر، دانشگاه آزاد اسلامی، خمینی شهر، اصفهان، ایران

تاریخچه داوری:دریافت: 19 بهمن 1394بازنگری: 6 مرداد 1395

پذیرش: 7 آذر 1395ارائه آنلاین: 9 آذر 1395

کلمات کلیدي:روتور با مقطع متغیر

لنگ زنیمواد هدفمند

روش تفاضلات مربعی

759

1 2

3

4

5

مقدمه-11روتور، یک در از خمش ناشی تنش یکنواخت توزیع عدم به توجه با استفاده از مقطع یکنواخت به هیچ وجه بهینه نبوده و منجر به افزایش وزن روتور می گردد؛ به عبارت دیگر می توان در نقاطی که تنش موجود بر روی محور کمتر است، قطر آن را کاهش داد؛ بنابراین در مقایسه با روتور با مقطع یکنواخت، استفاده از روتور با مقطع متغیر از کاربرد بیشتری برخوردار خواهد بود. از طرفی نیاز به تحمل هم زمان تنش های مکانیکی و بارهای حرارتی، استفاده از مواد مدرج تابعی را توجیه پذیر می کند. همچنین وجود اجزای انتقال به منجر تسمه( چرخ و زنجیر چرخ چرخدنده، )مانند محور روی بر توان ایجاد نیروی محوری و گشتاور پیچشی بر روی محور می گردد. البته حرارت نیز می تواند عاملی برای ایجاد نیروی محوری بر روی محور باشد؛ بنابراین تحلیل ارتعاشات یک روتور با قطر و خواص متغیر تحت اثر نیروی محوری

و گشتاور پیچشی بسیار لازم و ضروری به نظر می رسد.از جنبه های مهم در بسامدهای طبیعی و سرعت های بحرانی روتورها و عملی کاربردهای از می باشند. آنها اجباری ارتعاشات تحلیل و طراحی

1 Whirling2 Functionally Graded Materials3 Differential Quadrature Method (DQM)4 Forward5 Backward

kvntrb@kashanu.ac.ir :نویسنده عهده دار مکاتبات

صنعتی دینامیک روتورها می توان به توربین ها، پمپ ها و تجهیزات دوار مورد استفاده در صنایع هوا فضا اشاره نمود.

اویلر- تیر نظریۀ در تیر دورانی اینرسی از کردن صرف نظر دلیل به تیرهای در ژیروسکوپیک اثر مدل سازی به قادر تیر از مدل این برنولی، دوار نبوده و سرعت دورانی روتور در معادلات آن ظاهر نمی گردد؛ ولی در مدل های تیر رایلی و یا تیر تیموشنکو به دلیل درنظرگرفتن اینرسی دورانی، بنابراین بیشتر تحقیقات اثر ژیروسکوپیک قابل مدل سازی خواهد بود ]1[؛ صورت گرفته در زمینۀ دینامیک روتورها از مدل تیر رایلی و یا تیموشنکو استفاده نموده اند. لازم به ذکر است که در بین این دو نظریه، نظریۀ تیموشنکو

به دلیل درنظرگرفتن تغییر شکل های برشی، دقت بالاتری دارد.گریبوس ]2[ با استفاده از نظریۀ تیر تیموشنکو اثر تغییر شکل برشی را بر روی سرعت های بحرانی محورها بررسی نمود. معادلات حاکم بر ارتعاشات عرضی در دو صفحه و ارتعاشات پیچشی یک محور با ممان اینرسی نامشابه در دو صفحه تحت نیروی محوری فشاری توسط چوی و همکاران استخراج بحرانی سرعت های ]4[ لی و جی رایلی، تیر نظریۀ براساس .]3[ شدند لنگ زنی و شکل مودهای محور نامتقارن یکنواخت با دیسک های صلب و تکیه گاه های ایزوتروپیک را استخراج نمودند و استورلا و آرجنتو ]5[ ارتعاشات آزاد و اجباری محور ویسکوالاستیک را بررسی نمودند. براساس نظریه های ارتعاشات ]6[ زو و ملانسون داخلی، میرایی درنظرگرفتن و پوسته و تیر میرای آزاد و پایداری محورها با شرایط مرزی عمومی را مورد بررسی قرار

چکیده: در این پژوهش تحلیل های لنگش و پایداری برای روتورهای ساخته شده از مواد مدرج تابعی تحت نیروی محوری و گشتاور پیچشی بررسی شده اند. روتور بر اساس تئوری تیر تیموشنکو و با در نظر گرفتن اثرات ژیروسکوپیک مدلسازی شده است. قطر روتور و خواص مکانیکی آن در راستای طولی به صورت پیوسته تغییر می کنند و در هر تکیه گاه آن دو فنر انتقالی و دو فنر پیچشی در نظر گرفته شده اند که قادر به مدلسازی تمامی شرایط مرزی می باشند. با استفاده از قوانین نیوتن معادلات حاکم و شرایط مرزی استخراج شده و با استفاده از روش عددی تفاضلات مربعی حل شده اند. پس از اثبات همگرایی و صحت تحلیل عددی ارائه شده، تاثیر پارامترهای مختلف مانند توان پروفیل، سرعت دورانی، مقدار و جهت نیروی محوری و گشتاور پیچشی بر روی فرکانس های پیشرو و پسرو روتور و پایداری آن بررسی شده اند. نتایج عددی نشان می دهند که افزایش توان در معادله ی تغییرات خواص، وجود نیروی محوری فشاری و گشتاور پیچشی منجر به کاهش تمامی فرکانس های پیشرو و پسرو و سرعت های بحرانی روتور می گردند و اعمال نیروی محوری کششی نیز باعث افزایش تمامی فرکانس های پیشرو و پسرو و

سرعت های بحرانی روتور می شود.

12

3

45

نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر، دوره 49، شماره 4، سال 1396، صفحه 759 تا 772

760

ثابت پیچشی کوپل تحت محور ارتعاشات خمشی ]7[ کیم و دادند. جون کردند مدل تیموشنکو تیر نظریۀ براساس را محور آنها کردند؛ تحلیل را اجزا محدود سامانه را درنظر گرفتند. تحلیل دینامیکی اثر ژیروسکوپیک و مدل آنها گرفت. انجام ]8[ خولیف و محی الدین توسط تکیه گاه محور اثر درنظرگرفتن با را پیچشی و خمشی جفت شدۀ حرکت الاستودینامیک ژیروسکوپیک برای محور دوار استخراج نمودند. کیم و همکاران ]9[ اقدام و کارونندیران نمودند. گوه ای شکل کامپوزیتی محور ارتعاشات تحلیل به متمرکز ارتجاعی تکیه گاه های با محور ارتعاشات تحلیل روی بر ]10[ زو بر شده واقع محور-دیسک سامانه اجباری و آزاد ارتعاشات تحلیل شدند. المهدی انجام گرفت. روی تکیه گاه های الاستیک توسط شبانه و زو ]11[ مورد را ناهمراستا لایه های با کامپوزیتی محور ارتعاشات ]12[ قادرلب و بررسی قرار دادند. معادلات حاکم بر ارتعاشات محور تیموشنکو با اینرسی های دورانی نابرابر در دو راستا توسط رافا و واتا ]13[ استخراج شدند. گو و چنگ ]14[ با استفاده از مدل تیر تیموشنکو پاسخ دینامیکی یک محور گردان با سرعت خیلی بالا، حامل جرم های متمرکز را مورد بررسی قرار دادند. تأثیر بهزاد را بسامدهای محور بر آن از ناشی نیروی محوری و چرخش محور بسامدهای طبیعی آنها .]15[ دادند قرار بررسی و تحلیل مورد بسطامی و را با درنظرگرفتن اثر ژیروسکوپیک، نیروی محوری و اثر پواسون محاسبه نمودند. شئو و یانگ ]16[ تحلیل ارتعاشات آزاد محور رایلی را برای شش شرایط مرزی معمول ارائه کردند و بسامدهای طبیعی و شکل مودهای متناظر جفت شدۀ ارتعاشات تحلیل هدف با ]17[ سو و بنرجی آوردند. به دست را خمشی و پیچشی، ماتریس سفتی دینامیکی تیر کامپوزیتی دوار را استخراج نمودند. حسینی و خادم ]18[ ارتعاشات آزاد محور با تکیه گاه های ساده را با درنظرگرفتن عوامل غیرخطی موجود در انحنا و اینرسی و با استفاده از روش مقیاس های چندگانه مورد مطالعه قرار دادند. با درنظرگرفتن نیروی محوری ناشی از دوران و اثر پواسون، غلامی و همکاران ]19[ بسامد های طبیعی یک روتور یکنواخت همگن را در سرعت های دورانی بسیار بالا به دست آوردند. با بهره گیری از روش جزئی تفاضلات مربعی، افشاری و همکاران ]20[ اقدام به تحلیل عددی لنگ زنی روتور تیموشنکو با چندین تغییر ناگهانی در مقطع در طول پله دار مقاطع تعداد نظر از آنها تحلیل نمودند. تکیه گاه چندین و روتور و تعداد تکیه گاه های بیانی دارای محدودیت نبود. با استفاده از روش ارتعاشات برای ]21[ یک حل عددی و همکاران ایرانی مربعی، تفاضلات طولی-پیچشی-خمشی یک روتور کامپوزیتی مدل شده براساس نظریۀ تیر تیموشنکو پرداختند. ترابی و همکاران ]22[ براساس مدل تیر تیموشنکو و با استفاده از روش ماتریس انتقال موفق شدند یک حل دقیق و تحلیلی را برای ارتعاشات روتوری ارائه دهند که دارای چندین تغییر ناگهانی در مقطع خود بوده و حامل چندین جرم و اینرسی متمرکز است. ترابی و افشاری ]23[ موفق شدند توابع پایه را در تحلیل ارتعاشات روتور تیموشنکو استخراج کرده و با استفاده از آن یک حل دقیق را برای ارتعاشات روتوری که تحت نیروی محوری قرار گرفته است، ارائه دهند. توابع پایه ارائه شده توسط آنها اعمال

شرایط مرزی را به مراتب ساده تر می سازد.توسط که می باشد قدرتمند عددی روش یک مربعی تفاضلات روش از این روش از آن محققان زیادی ارائه شد ]24[ و پس بلمن و همکاران برای حل مسائل گوناگون مهندسی استفاده کردند که از آن جمله می توان به

برت و همکاران اشاره کرد ]25-30[.تعداد مقالات مرتبط با تحلیل ارتعاشات روتوری که به صورت هم زمان دارای هندسه و خواص مکانیکی متغیر در راستای طولی خود می باشد، بسیار بر پیچشی و گشتاور نیروی محوری تأثیر مورد در از طرفی و بوده ناچیز روی لنگ زنی روتورها نیز کارهای کمی انجام گرفته است؛ بنابراین در این پژوهش برای اولین بار تحلیلی عددی برای لنگ زنی و پایداری یک روتور از مواد هدفمند مدرج شده در راستای طولی، در با قطر متغیر ساخته شده حالی که تحت یک نیروی محوری و یک گشتاور پیچشی قرار گرفته است، ارائه شده است. نحوۀ تغییرات قطر دلخواه و شکل تغییرات خواص نیز به دو صورت تابع توانی و یا تابع نمایی درنظرگرفته شده اند. به منظور بیان کلی تر انتقالی و دو فنر پیچشی درنظرگرفته شرایط مرزی در هر تکیه گاه دو فنر روش از استفاده با استخراج شده مرزی شرایط و حاکم معادلات شده اند. عددی تفاضلات مربعی حل شده اند. میزان دقت تحلیل ارائه شده از طریق تأیید شده برای حالت خاص مسأله ارائه شده نتایج دقیق با نتایج مقایسۀ و پس از آن تأثیر پارامترهای مختلف بر روی بسامد های پیشرو و پس روی روتور و پایداری آن بررسی شده اند که از آن جمله می توان به توان منحنی،

سرعت دورانی، نیروی محوری و گشتاور پیچشی اشاره نمود.

هندسۀ1مسأله-21نیروی d، تحت L، قطر متغیر به طول با شکل 1، یک روتور مطابق محوری P و گشتاور پیچشی T و در حال چرخش با سرعت دورانی ثابت Ω درنظر گرفته شده است. فرض بر آن است که خواص ماده از یک سطح کاملا فلزی در z=0 تا یک سطح کاملا سرامیکی در z=L به صورت پیوسته تغییر کنند. در این پژوهش دو شکل تغییرات تغییر توانی و تغییر نمایی برای

خواص ماده در راستای طولی روتور درنظرگرفته می شوند.

در تغییرات توانی مدول الاستیک )E( و چگالی ماده )ρ( به صورت زیر تغییر می کنند:

Fig. 1. FG-rotor with variable diameter.

شکل1:11روتور1غیریکنواخت1تحت1نیروی1محوری1و1گشتاور1پیچشی

نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر، دوره 49، شماره 4، سال 1396، صفحه 759 تا 772

761

(1)( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

* *

* *

*

*

exp ln

exp ln

1 1 1 1

exp ln

e

p

m c m

p

m c m

pc

mm

pc

mm

c cE

m m

m m

p pE

pE

m

m

zE z E E EL

zzL

E zE z EE L

zzL

EzL E

E E E

E

EEE

ρ

ρ

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρρ

ρζ µ µρ

ζ ρ ρ ρ ζ

ζ µ ζ ρ ζ µ ζ

ζ µ ζ

ρρ ζρ

= + −

= + −

=

=

= = =

= =

= + − = + −

= =

= = ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

xp ln p

x xx x x y

y yy y y x

x x x

y y y

y yx xy x p

y yx xx y p

uM EI F kGAz z

uM EI F kGA

z z

F u uP Az z t

F u uP A

z z t

M T F I Iz z t t

MT F I I

z z t t

ρµ ζ

ϕ ϕ

ϕϕ

ρ

ρ

ϕ ϕϕρ ρ

ϕϕ ϕρ ρ

∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂

= = + ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ − = + Ω

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂− + = − Ω

∂ ∂ ∂ ∂

و در تغییرات نمایی، این خواص به صورت زیر تغییر می کنند:

(2)

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

* *

* *

*

*

exp ln

exp ln

1 1 1 1

exp ln

e

p

m c m

p

m c m

pc

mm

pc

mm

c cE

m m

m m

p pE

pE

m

m

zE z E E EL

zzL

E zE z EE L

zzL

EzL E

E E E

E

EEE

ρ

ρ

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρρ

ρζ µ µρ

ζ ρ ρ ρ ζ

ζ µ ζ ρ ζ µ ζ

ζ µ ζ

ρρ ζρ

= + −

= + −

=

=

= = =

= =

= + − = + −

= =

= = ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

xp ln p

x xx x x y

y yy y y x

x x x

y y y

y yx xy x p

y yx xx y p

uM EI F kGAz z

uM EI F kGA

z z

F u uP Az z t

F u uP A

z z t

M T F I Iz z t t

MT F I I

z z t t

ρµ ζ

ϕ ϕ

ϕϕ

ρ

ρ

ϕ ϕϕρ ρ

ϕϕ ϕρ ρ

∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂

= = + ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ − = + Ω

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂− + = − Ω

∂ ∂ ∂ ∂

c و m ضریب بدون بعد توانی بوده و اندیس های p که در این روابطبیانگر خاصیت مورد نظر در فلز و سرامیک هستند.

با تعریف متغیرهای بدون بعد به شکل زیر

(3)

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

* *

* *

*

*

exp ln

exp ln

1 1 1 1

exp ln

e

p

m c m

p

m c m

pc

mm

pc

mm

c cE

m m

m m

p pE

pE

m

m

zE z E E EL

zzL

E zE z EE L

zzL

EzL E

E E E

E

EEE

ρ

ρ

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρρ

ρζ µ µρ

ζ ρ ρ ρ ζ

ζ µ ζ ρ ζ µ ζ

ζ µ ζ

ρρ ζρ

= + −

= + −

=

=

= = =

= =

= + − = + −

= =

= = ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

xp ln p

x xx x x y

y yy y y x

x x x

y y y

y yx xy x p

y yx xx y p

uM EI F kGAz z

uM EI F kGA

z z

F u uP Az z t

F u uP A

z z t

M T F I Iz z t t

MT F I I

z z t t

ρµ ζ

ϕ ϕ

ϕϕ

ρ

ρ

ϕ ϕϕρ ρ

ϕϕ ϕρ ρ

∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂

= = + ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ − = + Ω

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂− + = − Ω

∂ ∂ ∂ ∂

روابط )1( و )2( به شکل زیر بیان می شوند:

(4)

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

* *

* *

*

*

exp ln

exp ln

1 1 1 1

exp ln

e

p

m c m

p

m c m

pc

mm

pc

mm

c cE

m m

m m

p pE

pE

m

m

zE z E E EL

zzL

E zE z EE L

zzL

EzL E

E E E

E

EEE

ρ

ρ

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρρ

ρζ µ µρ

ζ ρ ρ ρ ζ

ζ µ ζ ρ ζ µ ζ

ζ µ ζ

ρρ ζρ

= + −

= + −

=

=

= = =

= =

= + − = + −

= =

= = ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

xp ln p

x xx x x y

y yy y y x

x x x

y y y

y yx xy x p

y yx xx y p

uM EI F kGAz z

uM EI F kGA

z z

F u uP Az z t

F u uP A

z z t

M T F I Iz z t t

MT F I I

z z t t

ρµ ζ

ϕ ϕ

ϕϕ

ρ

ρ

ϕ ϕϕρ ρ

ϕϕ ϕρ ρ

∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂

= = + ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ − = + Ω

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂− + = − Ω

∂ ∂ ∂ ∂

که در این رابطه برای تغییرات توانی روابط زیر

(5)

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

* *

* *

*

*

exp ln

exp ln

1 1 1 1

exp ln

e

p

m c m

p

m c m

pc

mm

pc

mm

c cE

m m

m m

p pE

pE

m

m

zE z E E EL

zzL

E zE z EE L

zzL

EzL E

E E E

E

EEE

ρ

ρ

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρρ

ρζ µ µρ

ζ ρ ρ ρ ζ

ζ µ ζ ρ ζ µ ζ

ζ µ ζ

ρρ ζρ

= + −

= + −

=

=

= = =

= =

= + − = + −

= =

= = ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

xp ln p

x xx x x y

y yy y y x

x x x

y y y

y yx xy x p

y yx xx y p

uM EI F kGAz z

uM EI F kGA

z z

F u uP Az z t

F u uP A

z z t

M T F I Iz z t t

MT F I I

z z t t

ρµ ζ

ϕ ϕ

ϕϕ

ρ

ρ

ϕ ϕϕρ ρ

ϕϕ ϕρ ρ

∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂

= = + ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ − = + Ω

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂− + = − Ω

∂ ∂ ∂ ∂

و برای تغییرات نمایی روابط زیر برقرار هستند:

(6)

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

* *

* *

*

*

exp ln

exp ln

1 1 1 1

exp ln

e

p

m c m

p

m c m

pc

mm

pc

mm

c cE

m m

m m

p pE

pE

m

m

zE z E E EL

zzL

E zE z EE L

zzL

EzL E

E E E

E

EEE

ρ

ρ

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρρ

ρζ µ µρ

ζ ρ ρ ρ ζ

ζ µ ζ ρ ζ µ ζ

ζ µ ζ

ρρ ζρ

= + −

= + −

=

=

= = =

= =

= + − = + −

= =

= = ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

xp ln p

x xx x x y

y yy y y x

x x x

y y y

y yx xy x p

y yx xx y p

uM EI F kGAz z

uM EI F kGA

z z

F u uP Az z t

F u uP A

z z t

M T F I Iz z t t

MT F I I

z z t t

ρµ ζ

ϕ ϕ

ϕϕ

ρ

ρ

ϕ ϕϕρ ρ

ϕϕ ϕρ ρ

∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂

= = + ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ − = + Ω

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂− + = − Ω

∂ ∂ ∂ ∂

در این پژوهش نتایج عددی برای برای روتور ساخته شده از آلومینیوم و آلومینا که خواص آنها در جدول 1 ارائه شده است، بیان شده اند.

استخراج1معادلات1حاکم-31یک جزء کوچک نمونه از روتور با طول dz در شکل 2 نشان داده شده است که در این شکل Fx ، My ، Mx و Fy به ترتیب نشان دهندۀ مؤلفه های

بر طبق که y می باشند و x راستاهای در برشی نیروی و گشتاور خمشی نظریۀ تیر تیموشنکو به صورت زیر تعریف می شوند ]1[:

(7)

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

* *

* *

*

*

exp ln

exp ln

1 1 1 1

exp ln

e

p

m c m

p

m c m

pc

mm

pc

mm

c cE

m m

m m

p pE

pE

m

m

zE z E E EL

zzL

E zE z EE L

zzL

EzL E

E E E

E

EEE

ρ

ρ

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρρ

ρζ µ µρ

ζ ρ ρ ρ ζ

ζ µ ζ ρ ζ µ ζ

ζ µ ζ

ρρ ζρ

= + −

= + −

=

=

= = =

= =

= + − = + −

= =

= = ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

xp ln p

x xx x x y

y yy y y x

x x x

y y y

y yx xy x p

y yx xx y p

uM EI F kGAz z

uM EI F kGA

z z

F u uP Az z t

F u uP A

z z t

M T F I Iz z t t

MT F I I

z z t t

ρµ ζ

ϕ ϕ

ϕϕ

ρ

ρ

ϕ ϕϕρ ρ

ϕϕ ϕρ ρ

∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂

= = + ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ − = + Ω

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂− + = − Ω

∂ ∂ ∂ ∂

مؤلفه های نشان دهندۀ ترتیب به φy و φx ، uy ، ux روابط این در که جابه جایی و چرخش در راستاهای x و y بوده و Ԍ مدول برشی ماده می باشد. همچنین A ، Ix و Iy به ترتیب نشان دهندۀ سطح مقطع، ممان اینرسی حول محورهای x و y بوده و k بیانگر ضریب تصحیح برشی می باشد که به شکل

سطح مقطع و ضریب پواسون ماده بستگی دارد ]31[.

با استفاده از قانون دوم نیوتن، ساده سازی روابط و صرف نظر کردن از x معادلات حرکت برای جابه جایی در راستای دو محور ،dz2 جملات شاملو y و همچنین چرخش حول این دو محور به شکل زیر قابل بیان می باشند

:]32[

- الف(8)

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

* *

* *

*

*

exp ln

exp ln

1 1 1 1

exp ln

e

p

m c m

p

m c m

pc

mm

pc

mm

c cE

m m

m m

p pE

pE

m

m

zE z E E EL

zzL

E zE z EE L

zzL

EzL E

E E E

E

EEE

ρ

ρ

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρρ

ρζ µ µρ

ζ ρ ρ ρ ζ

ζ µ ζ ρ ζ µ ζ

ζ µ ζ

ρρ ζρ

= + −

= + −

=

=

= = =

= =

= + − = + −

= =

= = ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

xp ln p

x xx x x y

y yy y y x

x x x

y y y

y yx xy x p

y yx xx y p

uM EI F kGAz z

uM EI F kGA

z z

F u uP Az z t

F u uP A

z z t

M T F I Iz z t t

MT F I I

z z t t

ρµ ζ

ϕ ϕ

ϕϕ

ρ

ρ

ϕ ϕϕρ ρ

ϕϕ ϕρ ρ

∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂

= = + ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ − = + Ω

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂− + = − Ω

∂ ∂ ∂ ∂

خواصمواد

ρ (kg/m3) E (GPa)

2702 70 Al فلز )آلومینیوم(

3800 380 Al2O3 سرامیک )آلومینا(

FGM11جدول1:11خواص1فلز1و1سرامیک1استفاده1شده1در1مادهTable 1. Properties of metal and ceramic.

Fig. 2. Element of rotor.

شکل1:21جزء1کوچک1نمونه1از1روتور

نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر، دوره 49، شماره 4، سال 1396، صفحه 759 تا 772

762

)8- ب(

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

* *

* *

*

*

exp ln

exp ln

1 1 1 1

exp ln

e

p

m c m

p

m c m

pc

mm

pc

mm

c cE

m m

m m

p pE

pE

m

m

zE z E E EL

zzL

E zE z EE L

zzL

EzL E

E E E

E

EEE

ρ

ρ

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρρ

ρζ µ µρ

ζ ρ ρ ρ ζ

ζ µ ζ ρ ζ µ ζ

ζ µ ζ

ρρ ζρ

= + −

= + −

=

=

= = =

= =

= + − = + −

= =

= = ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

xp ln p

x xx x x y

y yy y y x

x x x

y y y

y yx xy x p

y yx xx y p

uM EI F kGAz z

uM EI F kGA

z z

F u uP Az z t

F u uP A

z z t

M T F I Iz z t t

MT F I I

z z t t

ρµ ζ

ϕ ϕ

ϕϕ

ρ

ρ

ϕ ϕϕρ ρ

ϕϕ ϕρ ρ

∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂

= = + ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ − = + Ω

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂− + = − Ω

∂ ∂ ∂ ∂

)8- ج(

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

* *

* *

*

*

exp ln

exp ln

1 1 1 1

exp ln

e

p

m c m

p

m c m

pc

mm

pc

mm

c cE

m m

m m

p pE

pE

m

m

zE z E E EL

zzL

E zE z EE L

zzL

EzL E

E E E

E

EEE

ρ

ρ

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρρ

ρζ µ µρ

ζ ρ ρ ρ ζ

ζ µ ζ ρ ζ µ ζ

ζ µ ζ

ρρ ζρ

= + −

= + −

=

=

= = =

= =

= + − = + −

= =

= = ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

xp ln p

x xx x x y

y yy y y x

x x x

y y y

y yx xy x p

y yx xx y p

uM EI F kGAz z

uM EI F kGA

z z

F u uP Az z t

F u uP A

z z t

M T F I Iz z t t

MT F I I

z z t t

ρµ ζ

ϕ ϕ

ϕϕ

ρ

ρ

ϕ ϕϕρ ρ

ϕϕ ϕρ ρ

∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂

= = + ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ − = + Ω

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂− + = − Ω

∂ ∂ ∂ ∂ )8- د(

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

* *

* *

*

*

exp ln

exp ln

1 1 1 1

exp ln

e

p

m c m

p

m c m

pc

mm

pc

mm

c cE

m m

m m

p pE

pE

m

m

zE z E E EL

zzL

E zE z EE L

zzL

EzL E

E E E

E

EEE

ρ

ρ

ρ ρ ρ ρ

ρρ ρρ

ρζ µ µρ

ζ ρ ρ ρ ζ

ζ µ ζ ρ ζ µ ζ

ζ µ ζ

ρρ ζρ

= + −

= + −

=

=

= = =

= =

= + − = + −

= =

= = ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

xp ln p

x xx x x y

y yy y y x

x x x

y y y

y yx xy x p

y yx xx y p

uM EI F kGAz z

uM EI F kGA

z z

F u uP Az z t

F u uP A

z z t

M T F I Iz z t t

MT F I I

z z t t

ρµ ζ

ϕ ϕ

ϕϕ

ρ

ρ

ϕ ϕϕρ ρ

ϕϕ ϕρ ρ

∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂

= = + ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂+ − = + Ω

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂− + = − Ω

∂ ∂ ∂ ∂

که در این روابط Ip نشان دهندۀ ممان اینرسی قطبی می باشد. لازم به معادلات در موجود جملۀ آخرین )8-د( و )8-ج( روابط در که است ذکر نشان دهندۀ اثر ژیروسکوپیک می باشد. با جایگذاری رابطۀ )7( در روابط )8-

الف( تا )8-د( و درنظرگرفتن تساوی زیر برای مقطع دایروی

(9)

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2 2

0

0

2 0

p x y

x x xy

y y yx

y yxx

y x

y x x

I I I I

u u ukGA P Az z z t

u u ukGA P A

z z z t

uEI T kGA

z z z z

I It t

uEI T kGAz z z

ϕ ρ

ϕ ρ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕρ ρ

ϕ ϕ

= = =

∂ ∂ ∂∂ − + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− Ω − =∂ ∂

∂ ∂ ∂∂− + ∂ ∂ ∂

( )

( )

( )

( )

( )

2

22 0

0

0

0

0

0

0

y

yx

Lx xy lx x

y y Lx ly y

Lxx y rx x

y Ly x ry y

Rx xy lx x

yx

K

z

I It t

zu ukGA P uz z

u ukGA P u

z z

EI Tz

EI Tz

z Lu ukG

K

K

K

KA P uz z

ukGA P

z

ϕ

ϕϕρ ρ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ

ϕ

− =

− =

− ∂

∂∂+ Ω − =

∂ ∂

=

∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ ∂

+ + ∂ ∂ ∂

+∂∂

−∂

=

∂ ∂ − + ∂

− =

−

∂ ∂ ∂

+ + ∂

=

+ =

( )

( )

( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

* *

0 02

* *

0 0

2 20 02 2

0 04 2 4 2

2 20 0

0

z,z,z

0

,

0

z,

0y Rly y

Rxx y rx x

y Ry x ry y

x

y t

x

y

m m

m

m

m m

m m

uu

z

EI Tz

EI Tz

u t LU zu t LV z

et zt z

A IA IA IPL TLP T

E I E II E Ir s

A L kG A LA L A LE I

K

K

I

K

E

ω

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕϕ

ρ ρ ωγ λ

∂

∂+

∂∂

−∂

= Θ Ψ

= =

= =

+ =

+ =

+ =

= =

Ω= =

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0 0

0 0

L LL Lly lylx lx

R RR Rm mly lylx lx

L LL Lry ryrx rx

R RR Rm mry ryrx rx

KKkA G k

KKL LKK

KKL LE I E I K

A GKK

K

K K

K

K

= =

= =

معادلات زیر به دست می آیند:

- الف(10)2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2 2

0

0

2 0

p x y

x x xy

y y yx

y yxx

y x

y x x

I I I I

u u ukGA P Az z z t

u u ukGA P A

z z z t

uEI T kGA

z z z z

I It t

uEI T kGAz z z

ϕ ρ

ϕ ρ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕρ ρ

ϕ ϕ

= = =

∂ ∂ ∂∂ − + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− Ω − =∂ ∂

∂ ∂ ∂∂− + ∂ ∂ ∂

( )

( )

( )

( )

( )

2

22 0

0

0

0

0

0

0

y

yx

Lx xy lx x

y y Lx ly y

Lxx y rx x

y Ly x ry y

Rx xy lx x

yx

K

z

I It t

zu ukGA P uz z

u ukGA P u

z z

EI Tz

EI Tz

z Lu ukG

K

K

K

KA P uz z

ukGA P

z

ϕ

ϕϕρ ρ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ

ϕ

− =

− =

− ∂

∂∂+ Ω − =

∂ ∂

=

∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ ∂

+ + ∂ ∂ ∂

+∂∂

−∂

=

∂ ∂ − + ∂

− =

−

∂ ∂ ∂

+ + ∂

=

+ =

( )

( )

( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

* *

0 02

* *

0 0

2 20 02 2

0 04 2 4 2

2 20 0

0

z,z,z

0

,

0

z,

0y Rly y

Rxx y rx x

y Ry x ry y

x

y t

x

y

m m

m

m

m m

m m

uu

z

EI Tz

EI Tz

u t LU zu t LV z

et zt z

A IA IA IPL TLP T

E I E II E Ir s

A L kG A LA L A LE I

K

K

I

K

E

ω

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕϕ

ρ ρ ωγ λ

∂

∂+

∂∂

−∂

= Θ Ψ

= =

= =

+ =

+ =

+ =

= =

Ω= =

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0 0

0 0

L LL Lly lylx lx

R RR Rm mly lylx lx

L LL Lry ryrx rx

R RR Rm mry ryrx rx

KKkA G k

KKL LKK

KKL LE I E I K

A GKK

K

K K

K

K

= =

= =

)10- ب(

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2 2

0

0

2 0

p x y

x x xy

y y yx

y yxx

y x

y x x

I I I I

u u ukGA P Az z z t

u u ukGA P A

z z z t

uEI T kGA

z z z z

I It t

uEI T kGAz z z

ϕ ρ

ϕ ρ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕρ ρ

ϕ ϕ

= = =

∂ ∂ ∂∂ − + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− Ω − =∂ ∂

∂ ∂ ∂∂− + ∂ ∂ ∂

( )

( )

( )

( )

( )

2

22 0

0

0

0

0

0

0

y

yx

Lx xy lx x

y y Lx ly y

Lxx y rx x

y Ly x ry y

Rx xy lx x

yx

K

z

I It t

zu ukGA P uz z

u ukGA P u

z z

EI Tz

EI Tz

z Lu ukG

K

K

K

KA P uz z

ukGA P

z

ϕ

ϕϕρ ρ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ

ϕ

− =

− =

− ∂

∂∂+ Ω − =

∂ ∂

=

∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ ∂

+ + ∂ ∂ ∂

+∂∂

−∂

=

∂ ∂ − + ∂

− =

−

∂ ∂ ∂

+ + ∂

=

+ =

( )

( )

( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

* *

0 02

* *

0 0

2 20 02 2

0 04 2 4 2

2 20 0

0

z,z,z

0

,

0

z,

0y Rly y

Rxx y rx x

y Ry x ry y

x

y t

x

y

m m

m

m

m m

m m

uu

z

EI Tz

EI Tz

u t LU zu t LV z

et zt z

A IA IA IPL TLP T

E I E II E Ir s

A L kG A LA L A LE I

K

K

I

K

E

ω

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕϕ

ρ ρ ωγ λ

∂

∂+

∂∂

−∂

= Θ Ψ

= =

= =

+ =

+ =

+ =

= =

Ω= =

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0 0

0 0

L LL Lly lylx lx

R RR Rm mly lylx lx

L LL Lry ryrx rx

R RR Rm mry ryrx rx

KKkA G k

KKL LKK

KKL LE I E I K

A GKK

K

K K

K

K

= =

= =

)10- ج(

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2 2

0

0

2 0

p x y

x x xy

y y yx

y yxx

y x

y x x

I I I I

u u ukGA P Az z z t

u u ukGA P A

z z z t

uEI T kGA

z z z z

I It t

uEI T kGAz z z

ϕ ρ

ϕ ρ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕρ ρ

ϕ ϕ

= = =

∂ ∂ ∂∂ − + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− Ω − =∂ ∂

∂ ∂ ∂∂− + ∂ ∂ ∂

( )

( )

( )

( )

( )

2

22 0

0

0

0

0

0

0

y

yx

Lx xy lx x

y y Lx ly y

Lxx y rx x

y Ly x ry y

Rx xy lx x

yx

K

z

I It t

zu ukGA P uz z

u ukGA P u

z z

EI Tz

EI Tz

z Lu ukG

K

K

K

KA P uz z

ukGA P

z

ϕ

ϕϕρ ρ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ

ϕ

− =

− =

− ∂

∂∂+ Ω − =

∂ ∂

=

∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ ∂

+ + ∂ ∂ ∂

+∂∂

−∂

=

∂ ∂ − + ∂

− =

−

∂ ∂ ∂

+ + ∂

=

+ =

( )

( )

( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

* *

0 02

* *

0 0

2 20 02 2

0 04 2 4 2

2 20 0

0

z,z,z

0

,

0

z,

0y Rly y

Rxx y rx x

y Ry x ry y

x

y t

x

y

m m

m

m

m m

m m

uu

z

EI Tz

EI Tz

u t LU zu t LV z

et zt z

A IA IA IPL TLP T

E I E II E Ir s

A L kG A LA L A LE I

K

K

I

K

E

ω

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕϕ

ρ ρ ωγ λ

∂

∂+

∂∂

−∂

= Θ Ψ

= =

= =

+ =

+ =

+ =

= =

Ω= =

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0 0

0 0

L LL Lly lylx lx

R RR Rm mly lylx lx

L LL Lry ryrx rx

R RR Rm mry ryrx rx

KKkA G k

KKL LKK

KKL LE I E I K

A GKK

K

K K

K

K

= =

= =

)10- د(

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2 2

0

0

2 0

p x y

x x xy

y y yx

y yxx

y x

y x x

I I I I

u u ukGA P Az z z t

u u ukGA P A

z z z t

uEI T kGA

z z z z

I It t

uEI T kGAz z z

ϕ ρ

ϕ ρ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕρ ρ

ϕ ϕ

= = =

∂ ∂ ∂∂ − + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− Ω − =∂ ∂

∂ ∂ ∂∂− + ∂ ∂ ∂

( )

( )

( )

( )

( )

2

22 0

0

0

0

0

0

0

y

yx

Lx xy lx x

y y Lx ly y

Lxx y rx x

y Ly x ry y

Rx xy lx x

yx

K

z

I It t

zu ukGA P uz z

u ukGA P u

z z

EI Tz

EI Tz

z Lu ukG

K

K

K

KA P uz z

ukGA P

z

ϕ

ϕϕρ ρ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ

ϕ

− =

− =

− ∂

∂∂+ Ω − =

∂ ∂

=

∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ ∂

+ + ∂ ∂ ∂

+∂∂

−∂

=

∂ ∂ − + ∂

− =

−

∂ ∂ ∂

+ + ∂

=

+ =

( )

( )

( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

* *

0 02

* *

0 0

2 20 02 2

0 04 2 4 2

2 20 0

0

z,z,z

0

,

0

z,

0y Rly y

Rxx y rx x

y Ry x ry y

x

y t

x

y

m m

m

m

m m

m m

uu

z

EI Tz

EI Tz

u t LU zu t LV z

et zt z

A IA IA IPL TLP T

E I E II E Ir s

A L kG A LA L A LE I

K

K

I

K

E

ω

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕϕ

ρ ρ ωγ λ

∂

∂+

∂∂

−∂

= Θ Ψ

= =

= =

+ =

+ =

+ =

= =

Ω= =

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0 0

0 0

L LL Lly lylx lx

R RR Rm mly lylx lx

L LL Lry ryrx rx

R RR Rm mry ryrx rx

KKkA G k

KKL LKK

KKL LE I E I K

A GKK

K

K K

K

K

= =

= =

در این پژوهش به منظور بیان کلی تر شرایط مرزی در هر تکیه گاه دو فنر انتقالی و دو فنر پیچشی درنظر گرفته می شوند. با نوشتن معادلات تعادل در

هر طرف از روتور، شرایط مرزی به شکل زیر قابل بیان هستند ]32[:

(11)

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2 2

0

0

2 0

p x y

x x xy

y y yx

y yxx

y x

y x x

I I I I

u u ukGA P Az z z t

u u ukGA P A

z z z t

uEI T kGA

z z z z

I It t

uEI T kGAz z z

ϕ ρ

ϕ ρ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕρ ρ

ϕ ϕ

= = =

∂ ∂ ∂∂ − + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− Ω − =∂ ∂

∂ ∂ ∂∂− + ∂ ∂ ∂

( )

( )

( )

( )

( )

2

22 0

0

0

0

0

0

0

y

yx

Lx xy lx x

y y Lx ly y

Lxx y rx x

y Ly x ry y

Rx xy lx x

yx

K

z

I It t

zu ukGA P uz z

u ukGA P u

z z

EI Tz

EI Tz

z Lu ukG

K

K

K

KA P uz z

ukGA P

z

ϕ

ϕϕρ ρ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ

ϕ

− =

− =

− ∂

∂∂+ Ω − =

∂ ∂

=

∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ ∂

+ + ∂ ∂ ∂

+∂∂

−∂

=

∂ ∂ − + ∂

− =

−

∂ ∂ ∂

+ + ∂

=

+ =

( )

( )

( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

* *

0 02

* *

0 0

2 20 02 2

0 04 2 4 2

2 20 0

0

z,z,z

0

,

0

z,

0y Rly y

Rxx y rx x

y Ry x ry y

x

y t

x

y

m m

m

m

m m

m m

uu

z

EI Tz

EI Tz

u t LU zu t LV z

et zt z

A IA IA IPL TLP T

E I E II E Ir s

A L kG A LA L A LE I

K

K

I

K

E

ω

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕϕ

ρ ρ ωγ λ

∂

∂+

∂∂

−∂

= Θ Ψ

= =

= =

+ =

+ =

+ =

= =

Ω= =

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0 0

0 0

L LL Lly lylx lx

R RR Rm mly lylx lx

L LL Lry ryrx rx

R RR Rm mry ryrx rx

KKkA G k

KKL LKK

KKL LE I E I K

A GKK

K

K K

K

K

= =

= =

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2 2

0

0

2 0

p x y

x x xy

y y yx

y yxx

y x

y x x

I I I I

u u ukGA P Az z z t

u u ukGA P A

z z z t

uEI T kGA

z z z z

I It t

uEI T kGAz z z

ϕ ρ

ϕ ρ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕρ ρ

ϕ ϕ

= = =

∂ ∂ ∂∂ − + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− Ω − =∂ ∂

∂ ∂ ∂∂− + ∂ ∂ ∂

( )

( )

( )

( )

( )

2

22 0

0

0

0

0

0

0

y

yx

Lx xy lx x

y y Lx ly y

Lxx y rx x

y Ly x ry y

Rx xy lx x

yx

K

z

I It t

zu ukGA P uz z

u ukGA P u

z z

EI Tz

EI Tz

z Lu ukG

K

K

K

KA P uz z

ukGA P

z

ϕ

ϕϕρ ρ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ

ϕ

− =

− =

− ∂

∂∂+ Ω − =

∂ ∂

=

∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ ∂

+ + ∂ ∂ ∂

+∂∂

−∂

=

∂ ∂ − + ∂

− =

−

∂ ∂ ∂

+ + ∂

=

+ =

( )

( )

( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

* *

0 02

* *

0 0

2 20 02 2

0 04 2 4 2

2 20 0

0

z,z,z

0

,

0

z,

0y Rly y

Rxx y rx x

y Ry x ry y

x

y t

x

y

m m

m

m

m m

m m

uu

z

EI Tz

EI Tz

u t LU zu t LV z

et zt z

A IA IA IPL TLP T

E I E II E Ir s

A L kG A LA L A LE I

K

K

I

K

E

ω

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕϕ

ρ ρ ωγ λ

∂

∂+

∂∂

−∂

= Θ Ψ

= =

= =

+ =

+ =

+ =

= =

Ω= =

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0 0

0 0

L LL Lly lylx lx

R RR Rm mly lylx lx

L LL Lry ryrx rx

R RR Rm mry ryrx rx

KKkA G k

KKL LKK

KKL LE I E I K

A GKK

K

K K

K

K

= =

= =

R و L نشان دهندۀ سفتی فنر بوده و بالانویس های K که در این روابطبه ترتیب سمت چپ و راست روتور را نشان می دهند. همچنین اندیس اول بیانگر نوع انتقالی )l( و یا دورانی )r( بودن فنر بوده و اندیس دوم جهت عمل

کردن فنر را نشان می دهد. z=0 در نقطۀ )I و A( فرض کنید که مقادیر پارامترهای هندسی روتوربا اندیس صفر نمایش داده شوند )A0 و I0(. با به کار بستن روش جداسازی

متغیرها به شکل زیر )ω بسامد طبیعی ارتعاشات می باشد(

(12)

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2 2

0

0

2 0

p x y

x x xy

y y yx

y yxx

y x

y x x

I I I I

u u ukGA P Az z z t

u u ukGA P A

z z z t

uEI T kGA

z z z z

I It t

uEI T kGAz z z

ϕ ρ

ϕ ρ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕρ ρ

ϕ ϕ

= = =

∂ ∂ ∂∂ − + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− Ω − =∂ ∂

∂ ∂ ∂∂− + ∂ ∂ ∂

( )

( )

( )

( )

( )

2

22 0

0

0

0

0

0

0

y

yx

Lx xy lx x

y y Lx ly y

Lxx y rx x

y Ly x ry y

Rx xy lx x

yx

K

z

I It t

zu ukGA P uz z

u ukGA P u

z z

EI Tz

EI Tz

z Lu ukG

K

K

K

KA P uz z

ukGA P

z

ϕ

ϕϕρ ρ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ

ϕ

− =

− =

− ∂

∂∂+ Ω − =

∂ ∂

=

∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ ∂

+ + ∂ ∂ ∂

+∂∂

−∂

=

∂ ∂ − + ∂

− =

−

∂ ∂ ∂

+ + ∂

=

+ =

( )

( )

( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

* *

0 02

* *

0 0

2 20 02 2

0 04 2 4 2

2 20 0

0

z,z,z

0

,

0

z,

0y Rly y

Rxx y rx x

y Ry x ry y

x

y t

x

y

m m

m

m

m m

m m

uu

z

EI Tz

EI Tz

u t LU zu t LV z

et zt z

A IA IA IPL TLP T

E I E II E Ir s

A L kG A LA L A LE I

K

K

I

K

E

ω

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕϕ

ρ ρ ωγ λ

∂

∂+

∂∂

−∂

= Θ Ψ

= =

= =

+ =

+ =

+ =

= =

Ω= =

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0 0

0 0

L LL Lly lylx lx

R RR Rm mly lylx lx

L LL Lry ryrx rx

R RR Rm mry ryrx rx

KKkA G k

KKL LKK

KKL LE I E I K

A GKK

K

K K

K

K

= =

= =

و استفاده از متغیرهای بدون بعد به صورت زیر

(13)

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2 2

0

0

2 0

p x y

x x xy

y y yx

y yxx

y x

y x x

I I I I

u u ukGA P Az z z t

u u ukGA P A

z z z t

uEI T kGA

z z z z

I It t

uEI T kGAz z z

ϕ ρ

ϕ ρ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕρ ρ

ϕ ϕ

= = =

∂ ∂ ∂∂ − + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− Ω − =∂ ∂

∂ ∂ ∂∂− + ∂ ∂ ∂

( )

( )

( )

( )

( )

2

22 0

0

0

0

0

0

0

y

yx

Lx xy lx x

y y Lx ly y

Lxx y rx x

y Ly x ry y

Rx xy lx x

yx

K

z

I It t

zu ukGA P uz z

u ukGA P u

z z

EI Tz

EI Tz

z Lu ukG

K

K

K

KA P uz z

ukGA P

z

ϕ

ϕϕρ ρ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ

ϕ

− =

− =

− ∂

∂∂+ Ω − =

∂ ∂

=

∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ ∂

+ + ∂ ∂ ∂

+∂∂

−∂

=

∂ ∂ − + ∂

− =

−

∂ ∂ ∂

+ + ∂

=

+ =

( )

( )

( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

* *

0 02

* *

0 0

2 20 02 2

0 04 2 4 2

2 20 0

0

z,z,z

0

,

0

z,

0y Rly y

Rxx y rx x

y Ry x ry y

x

y t

x

y

m m

m

m

m m

m m

uu

z

EI Tz

EI Tz

u t LU zu t LV z

et zt z

A IA IA IPL TLP T

E I E II E Ir s

A L kG A LA L A LE I

K

K

I

K

E

ω

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ

ϕϕ

ρ ρ ωγ λ

∂

∂+

∂∂

−∂

= Θ Ψ

= =

= =

+ =

+ =

+ =

= =

Ω= =

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0 0

0 0

L LL Lly lylx lx

R RR Rm mly lylx lx

L LL Lry ryrx rx

R RR Rm mry ryrx rx

KKkA G k

KKL LKK

KKL LE I E I K

A GKK

K

K K

K

K

= =

= =

و درنظرگرفتن روابط )4( تا )6(، معادلات حاکم به شکل بدون بعد زیر بیان شده است.

- الف(14)( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

* * * *

2 * 2 2 * *

* * * *

2 * 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2

0

0

2

0

2

E A U E A U

s P U s A U

E A V E A V

s P V s A V

s E I E I T

E A V s r I

s r I

s E I E I T

E A U s r I

s r

λ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ

′′′ ′ ′−Ψ + −Ψ

′′+ − =

′′′ ′ ′+Θ + +Θ

′′+ − =

′′′ ′ ′Θ + Θ + Ψ ′− +Θ − Ψ

− Θ =

′′′ ′ ′Ψ + Ψ − Θ ′+ −Ψ + Θ

−

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2 * *

2 *

2 *

*

*

2 2 * 2

2 2 * 2

4 *

4 *

1

0

0

0

1 0

1 0

0

01

0

0

0

i

Llx

Lly

Lrx

Lry

RE d E d lx

RE d E d ly

RE d rx

RE d ry

r Nr

ij jrj

j j

i

I

s P K

K

U U

s P V V

T

T

s P U U

s P V V

T

T

d f A f

K

K

K

K

K

K

d

f f

A

ζ ζ

ρ

ζ

ζ

µ µ µ µ

µ µ µ µ

µ µ

µ µ

ζ

ζ

==

−

−

−

−

+ =

+

+

Ψ =

=

′+ −Ψ =

′+ +Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

′+ − Ψ

′+ + Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

=

+

∑

( )

( )

( )

(1)

1,

1

1

1

( ) (1) ( 1)

, 1, 2,3,..., ;

1, 2,3,...,

2 1

N

i mmm i j

N

j mj m

m j

N

i mmm i

r r

i j N i j

i j N

A A A r N

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ

=≠

=≠

−

=≠

−

−

= ≠

−= − = =

= ≤ ≤ −

∏

∏

∑

)14- ب(

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

* * * *

2 * 2 2 * *

* * * *

2 * 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2

0

0

2

0

2

E A U E A U

s P U s A U

E A V E A V

s P V s A V

s E I E I T

E A V s r I

s r I

s E I E I T

E A U s r I

s r

λ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ

′′′ ′ ′−Ψ + −Ψ

′′+ − =

′′′ ′ ′+Θ + +Θ

′′+ − =

′′′ ′ ′Θ + Θ + Ψ ′− +Θ − Ψ

− Θ =

′′′ ′ ′Ψ + Ψ − Θ ′+ −Ψ + Θ

−

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2 * *

2 *

2 *

*

*

2 2 * 2

2 2 * 2

4 *

4 *

1

0

0

0

1 0

1 0

0

01

0

0

0

i

Llx

Lly

Lrx

Lry

RE d E d lx

RE d E d ly

RE d rx

RE d ry

r Nr

ij jrj

j j

i

I

s P K

K

U U

s P V V

T

T

s P U U

s P V V

T

T

d f A f

K

K

K

K

K

K

d

f f

A

ζ ζ

ρ

ζ

ζ

µ µ µ µ

µ µ µ µ

µ µ

µ µ

ζ

ζ

==

−

−

−

−

+ =

+

+

Ψ =

=

′+ −Ψ =

′+ +Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

′+ − Ψ

′+ + Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

=

+

∑

( )

( )

( )

(1)

1,

1

1

1

( ) (1) ( 1)

, 1, 2,3,..., ;

1, 2,3,...,

2 1

N

i mmm i j

N

j mj m

m j

N

i mmm i

r r

i j N i j

i j N

A A A r N

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ

=≠

=≠

−

=≠

−

−

= ≠

−= − = =

= ≤ ≤ −

∏

∏

∑

_

نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر، دوره 49، شماره 4، سال 1396، صفحه 759 تا 772

763

)14- ج(

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

* * * *

2 * 2 2 * *

* * * *

2 * 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2

0

0

2

0

2

E A U E A U

s P U s A U

E A V E A V

s P V s A V

s E I E I T

E A V s r I

s r I

s E I E I T

E A U s r I

s r

λ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ

′′′ ′ ′−Ψ + −Ψ

′′+ − =

′′′ ′ ′+Θ + +Θ

′′+ − =

′′′ ′ ′Θ + Θ + Ψ ′− +Θ − Ψ

− Θ =

′′′ ′ ′Ψ + Ψ − Θ ′+ −Ψ + Θ

−

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2 * *

2 *

2 *

*

*

2 2 * 2

2 2 * 2

4 *

4 *

1

0

0

0

1 0

1 0

0

01

0

0

0

i

Llx

Lly

Lrx

Lry

RE d E d lx

RE d E d ly

RE d rx

RE d ry

r Nr

ij jrj

j j

i

I

s P K

K

U U

s P V V

T

T

s P U U

s P V V

T

T

d f A f

K

K

K

K

K

K

d

f f

A

ζ ζ

ρ

ζ

ζ

µ µ µ µ

µ µ µ µ

µ µ

µ µ

ζ

ζ

==

−

−

−

−

+ =

+

+

Ψ =

=

′+ −Ψ =

′+ +Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

′+ − Ψ

′+ + Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

=

+

∑

( )

( )

( )

(1)

1,

1

1

1

( ) (1) ( 1)

, 1, 2,3,..., ;

1, 2,3,...,

2 1

N

i mmm i j

N

j mj m

m j

N

i mmm i

r r

i j N i j

i j N

A A A r N

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ

=≠

=≠

−

=≠

−

−

= ≠

−= − = =

= ≤ ≤ −

∏

∏

∑

)14- د(

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

* * * *

2 * 2 2 * *

* * * *

2 * 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2

0

0

2

0

2

E A U E A U

s P U s A U

E A V E A V

s P V s A V

s E I E I T

E A V s r I

s r I

s E I E I T

E A U s r I

s r

λ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ

′′′ ′ ′−Ψ + −Ψ

′′+ − =

′′′ ′ ′+Θ + +Θ

′′+ − =

′′′ ′ ′Θ + Θ + Ψ ′− +Θ − Ψ

− Θ =

′′′ ′ ′Ψ + Ψ − Θ ′+ −Ψ + Θ

−

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2 * *

2 *

2 *

*

*

2 2 * 2

2 2 * 2

4 *

4 *

1

0

0

0

1 0

1 0

0

01

0

0

0

i

Llx

Lly

Lrx

Lry

RE d E d lx

RE d E d ly

RE d rx

RE d ry

r Nr

ij jrj

j j

i

I

s P K

K

U U

s P V V

T

T

s P U U

s P V V

T

T

d f A f

K

K

K

K

K

K

d

f f

A

ζ ζ

ρ

ζ

ζ

µ µ µ µ

µ µ µ µ

µ µ

µ µ

ζ

ζ

==

−

−

−

−

+ =

+

+

Ψ =

=

′+ −Ψ =

′+ +Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

′+ − Ψ

′+ + Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

=

+

∑

( )

( )

( )

(1)

1,

1

1

1

( ) (1) ( 1)

, 1, 2,3,..., ;

1, 2,3,...,

2 1

N

i mmm i j

N

j mj m

m j

N

i mmm i

r r

i j N i j

i j N

A A A r N

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ

=≠

=≠

−

=≠

−

−

= ≠

−= − = =

= ≤ ≤ −

∏

∏

∑

و شکل بدون بعد شرایط مرزی نیز به صورت زیر خواهد بود:

(15)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

* * * *

2 * 2 2 * *

* * * *

2 * 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2

0

0

2

0

2

E A U E A U

s P U s A U

E A V E A V

s P V s A V

s E I E I T

E A V s r I

s r I

s E I E I T

E A U s r I

s r

λ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ

′′′ ′ ′−Ψ + −Ψ

′′+ − =

′′′ ′ ′+Θ + +Θ

′′+ − =

′′′ ′ ′Θ + Θ + Ψ ′− +Θ − Ψ

− Θ =

′′′ ′ ′Ψ + Ψ − Θ ′+ −Ψ + Θ

−

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2 * *

2 *

2 *

*

*

2 2 * 2

2 2 * 2

4 *

4 *

1

0

0

0

1 0

1 0

0

01

0

0

0

i

Llx

Lly

Lrx

Lry

RE d E d lx

RE d E d ly

RE d rx

RE d ry

r Nr

ij jrj

j j

i

I

s P K

K

U U

s P V V

T

T

s P U U

s P V V

T

T

d f A f

K

K

K

K

K

K

d

f f

A

ζ ζ

ρ

ζ

ζ

µ µ µ µ

µ µ µ µ

µ µ

µ µ

ζ

ζ

==

−

−

−

−

+ =

+

+

Ψ =

=

′+ −Ψ =

′+ +Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

′+ − Ψ

′+ + Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

=

+

∑

( )

( )

( )

(1)

1,

1

1

1

( ) (1) ( 1)

, 1, 2,3,..., ;

1, 2,3,...,

2 1

N

i mmm i j

N

j mj m

m j

N

i mmm i

r r

i j N i j

i j N

A A A r N

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ

=≠

=≠

−

=≠

−

−

= ≠

−= − = =

= ≤ ≤ −

∏

∏

∑

بعد بدون متغیر مکانی به بیانگر مشتق نسبت پریم روابط این که در ζ بوده و μd نشان دهندۀ نسبت قطر محور در انتهای روتور به مقدار آن در

ابتدای روتور می باشد.

روش1تفاضلات1مربعی-41براساس روش تفاضلات مربعی، مشتقات یک تابع از هر مرتبه ای را در به بازه تابع در تمامی ζ=ζi می توان برحسب مقادیر نقطه ای دلخواه مانند

شکل نشان داده شده در معادلۀ زیر بازنویسی نمود:

(16)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

* * * *

2 * 2 2 * *

* * * *

2 * 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2

0

0

2

0

2

E A U E A U

s P U s A U

E A V E A V

s P V s A V

s E I E I T

E A V s r I

s r I

s E I E I T

E A U s r I

s r

λ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ

′′′ ′ ′−Ψ + −Ψ

′′+ − =

′′′ ′ ′+Θ + +Θ

′′+ − =

′′′ ′ ′Θ + Θ + Ψ ′− +Θ − Ψ

− Θ =

′′′ ′ ′Ψ + Ψ − Θ ′+ −Ψ + Θ

−

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2 * *

2 *

2 *

*

*

2 2 * 2

2 2 * 2

4 *

4 *

1

0

0

0

1 0

1 0

0

01

0

0

0

i

Llx

Lly

Lrx

Lry

RE d E d lx

RE d E d ly

RE d rx

RE d ry

r Nr

ij jrj

j j

i

I

s P K

K

U U

s P V V

T

T

s P U U

s P V V

T

T

d f A f

K

K

K

K

K

K

d

f f

A

ζ ζ

ρ

ζ

ζ

µ µ µ µ

µ µ µ µ

µ µ

µ µ

ζ

ζ

==

−

−

−

−

+ =

+

+

Ψ =

=

′+ −Ψ =

′+ +Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

′+ − Ψ

′+ + Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

=

+

∑

( )

( )

( )

(1)

1,

1

1

1

( ) (1) ( 1)

, 1, 2,3,..., ;

1, 2,3,...,

2 1

N

i mmm i j

N

j mj m

m j

N

i mmm i

r r

i j N i j

i j N

A A A r N

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ

=≠

=≠

−

=≠

−

−

= ≠

−= − = =

= ≤ ≤ −

∏

∏

∑

که در این رابطه fj براساس معادلۀ زیر درنظرگرفته شده است:

(17)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

* * * *

2 * 2 2 * *

* * * *

2 * 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2

0

0

2

0

2

E A U E A U

s P U s A U

E A V E A V

s P V s A V

s E I E I T

E A V s r I

s r I

s E I E I T

E A U s r I

s r

λ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ

′′′ ′ ′−Ψ + −Ψ

′′+ − =

′′′ ′ ′+Θ + +Θ

′′+ − =

′′′ ′ ′Θ + Θ + Ψ ′− +Θ − Ψ

− Θ =

′′′ ′ ′Ψ + Ψ − Θ ′+ −Ψ + Θ

−

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2 * *

2 *

2 *

*

*

2 2 * 2

2 2 * 2

4 *

4 *

1

0

0

0

1 0

1 0

0

01

0

0

0

i

Llx

Lly

Lrx

Lry

RE d E d lx

RE d E d ly

RE d rx

RE d ry

r Nr

ij jrj

j j

i

I

s P K

K

U U

s P V V

T

T

s P U U

s P V V

T

T

d f A f

K

K

K

K

K

K

d

f f

A

ζ ζ

ρ

ζ

ζ

µ µ µ µ

µ µ µ µ

µ µ

µ µ

ζ

ζ

==

−

−

−

−

+ =

+

+

Ψ =

=

′+ −Ψ =

′+ +Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

′+ − Ψ

′+ + Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

=

+

∑

( )

( )

( )

(1)

1,

1

1

1

( ) (1) ( 1)

, 1, 2,3,..., ;

1, 2,3,...,

2 1

N

i mmm i j

N

j mj m

m j

N

i mmm i

r r

i j N i j

i j N

A A A r N

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ

=≠

=≠

−

=≠

−

−

= ≠

−= − = =

= ≤ ≤ −

∏

∏

∑

و A(r) ماتریس وزنی برای مشتق rام می باشد که براساس معادلۀ زیر تعریف می گردد ]28[:

(18)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

* * * *

2 * 2 2 * *

* * * *

2 * 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2 2 * *

2 * * * * *

* * 2 2 * *

2 2

0

0

2

0

2

E A U E A U

s P U s A U

E A V E A V

s P V s A V

s E I E I T

E A V s r I

s r I

s E I E I T

E A U s r I

s r

λ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ ρ

γλ ρ

λ

′′′ ′ ′−Ψ + −Ψ

′′+ − =

′′′ ′ ′+Θ + +Θ

′′+ − =

′′′ ′ ′Θ + Θ + Ψ ′− +Θ − Ψ

− Θ =

′′′ ′ ′Ψ + Ψ − Θ ′+ −Ψ + Θ

−

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2 * *

2 *

2 *

*

*

2 2 * 2

2 2 * 2

4 *

4 *

1

0

0

0

1 0

1 0

0

01

0

0

0

i

Llx

Lly

Lrx

Lry

RE d E d lx

RE d E d ly

RE d rx

RE d ry

r Nr

ij jrj

j j

i

I

s P K

K

U U

s P V V

T

T

s P U U

s P V V

T

T

d f A f

K

K

K

K

K

K

d

f f

A

ζ ζ

ρ

ζ

ζ

µ µ µ µ

µ µ µ µ

µ µ

µ µ

ζ

ζ

==

−

−

−

−

+ =

+

+

Ψ =

=

′+ −Ψ =

′+ +Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

′+ − Ψ

′+ + Θ =

′Θ + Ψ Θ =

′Ψ − Θ Ψ =

=

=

+

∑

( )

( )

( )

(1)

1,

1

1

1

( ) (1) ( 1)

, 1, 2,3,..., ;

1, 2,3,...,

2 1

N

i mmm i j

N

j mj m

m j

N

i mmm i

r r

i j N i j

i j N

A A A r N

ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ

=≠

=≠

−

=≠

−

−

= ≠

−= − = =

= ≤ ≤ −

∏

∏

∑

مسأله همگرایی در نکات مهم ترین از یکی نقاط، تعداد بر علاوه چگونگی توزیع نقاط در دامنۀ حل آن می باشد. بهترین نوع توزیع نقاطی که از معادلۀ ارائه شده است، توزیع چبیشف-گوس-لوباتو می باشد که تاکنون

زیر محاسبه خواهد شد ]28[:

(19)( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

حل1معادلات1به1روش1تفاضلات1مربعی-51با اعمال رابطه )16( بر روی معادلات حاکم )14-الف( تا )14-د(، معادله

ماتریسی زیر به دست می آید:

(20)

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

که در این رابطه ماتریس های سفتی )k(، اثر ژیروسکوپیک )c( و جرم )m( ماتریس هایی مربعی از مرتبه 4N×4N بوده و بردار جابه جایی )v( برداری ستونی از مرتبه 4N می باشد که تعریف دقیق آنها در پیوست الف ارائه شده

است.از طرفی با روندی مشابه معادلات مربوط به شرایط مرزی نیز به شکل

زیر قابل بیان هستند:

(21)

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

که در این رابطه ماتریس S یک ماتریس از مرتبه aaaaa می باشد که درایه های آن در پیوست الف ارائه شده اند.

با توجه به این که ارضای هم زمان معادلات حاکم و شرایط مرزی منجر به ازدیاد تعداد معادلات نسبت به مجهولات و ایجاد ماتریس هایی غیرمربعی می گردد، لازم است که از ارضای معادلات حاکم در نقاط مرزی صرف نظر

گردد ]33 ، 34[. نقاط مرزی به صورت زیر درنظرگرفته شده است.

8×4N

نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر، دوره 49، شماره 4، سال 1396، صفحه 759 تا 772

764

(22)

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

و سایر نقاط نیز نقاط میانی بوده که با نماد vd نشان داده می شوند. با حذف معادلات حاکم در نقاط مرزی، رابطه )20( به شکل زیر بیان می گردد:

(23)

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

که در این رابطه علامت بار بیانگر ماتریس متناظر غیرمربعی از مرتبه 4N×(4N-8) می باشد.

روابط )21( و )23( را می توان به شکل زیر تفکیک و بیان نمود:

- الف(24)

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

)24- ب(

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

را زیر رابطۀ )24-ب( رابطه روی بر )24-الف( رابطه اعمال با حال می توان بیان نمود:

(25)

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

)4N-8( ماتریس هایی مربعی از مرتبه ]M[ و ]C[ ،]K[ که در این رابطهمی باشند که به صورت زیر تعریف شده اند:

(26)

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

این ماتریس ها به صورت هم زمان شامل معادلات حاکم و شرایط مرزی می باشند.

تعریف با که می باشد غیراستاندارد ویژه مقدار مسأله )25( یک رابطه بردار جابه جایی جدید به شکل زیر

(27)

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

به مسأله مقدار ویژه استاندارد زیر تبدیل می گردد:

(28)

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

(29)

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

که در این رابطه I و ]0[ به ترتیب ماتریس های صفر و همانی از مرتبه 4N-8 می باشند. با حل مسأله مقدار ویژۀ )28( بسامد های طبیعی و شکل ترسیم شکل منظور به به دست می آیند. دامنه ای نقاط در متناظر مودهای مود ها لازم است مقادیر متناظر بردارهای ویژه در نقاط مرزی نیز محاسبه

شوند که این امر با استفاده از رابطه )24-الف( امکان پذیر است. )29( رابطه طبق که آن اول می رسد؛ نظر به ضروری نکته دو ذکر شدن مختلط به منجر که می باشد نامتقارن ماتریس یک F1 ماتریس به که گردد اشاره نیز نکته این به است لازم ولی می گردد؛ ویژه مقادیر دلیل پادمتقارن بودن ماتریس C )روابط الف-1 و الف-2 را در پیوست الف مشاهده کنید(، مقادیر ویژه به شکل موهومی محض به دست خواهند آمد که با توجه به رابطه )12( این مقادیر موهومی همان بسامد های طبیعی می باشند. دومین نکته ای که باید به آن اشاره نمود آن است که در هنگام نوسان روتور، با لنگ زنی محور γ و حرکت زاویه ای با سرعت دو حرکت چرخش محور )λγ>0( رخ می دهند؛ درصورتی که این دو حرکت هم جهت باشند λ بسامدحرکت را پیشرو و بسامد متناظر را بسامد پیشرو گویند و درصورتی که این دو حرکت مختلف الجهت باشند )λγ<0( حرکت را پس رو و بسامد متناظر را بسامد پس رو گویند. همچنین درصورتی که اندازۀ سرعت زاویه ای و بسامد طبیعی روتور با یکدیگر برابر گردد، روتور دچار تشدید شده و سرعت متناظر

را سرعت بحرانی روتور می نامند.

نتایج1عددی-61شد؛ خواهند ارائه شده انجام تحلیل برای عددی نتایج بخش این در گردد، ذکر صریح شکل به که مواردی در جز به که است ذکر به لازم بعد روتور به صورت r=0/03 و s=0/05 درنظرگرفته مشخصه های بدون زیر شکل به بعد بدون ضرایب با فنرهایی با روتور تکیه گاه های و شده

مدل سازی شده اند:

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

نخست با توجه به این که تحلیل ارائه شده براساس یک روش عددی انجام گرفته است، همگرایی روش باید مورد بررسی قرار گیرد. به این منظور یک روتور را با قطر متغیر d=d0(1-0.2ζ)، تغییرات خواصی به شکل توانی گشتاور و P*=4 محوری نیروی تحت ،γ=100 دورانی سرعت ،)p=1(پیچشی T*=5 درنظر بگیرید. نمودار تغییرات چهار بسامد اول پیشرو و پس رو در شکل های 3 )الف( و 3 )ب( رسم شده اند. همان گونه که در این شکل ها نشان داده شده است تحلیل انجام شده همگرا بوده و به ازای N=10 تغییر چندانی در نتایج حاصل نخواهد شد. در تمامی مثال های پیشرو نیز از همین

تعداد نقاط استفاده خواهد شد.

نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر، دوره 49، شماره 4، سال 1396، صفحه 759 تا 772

765

آن اعتبارسنجی به نوبت شده ارائه تحلیل همگرایی بررسی از پس زمینه این در گرفته انجام کارهای کم شمار دلیل به متأسفانه می رسد. تنها می توان حالت خاصی از مسأله را مورد بررسی قرار داد. به این منظور ابتدا یک روتور همگن با مقطع یکنواخت، بدون نیروی محوری، گشتاور و درنظرگرفتن با مثالی چنین برای بگیرید. نظر در را ساده تکیه گاه های با

مودهای سینوسی، حل دقیق ریشه های معادلۀ زیر می باشند ]1[:

(30)

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

که در این رابطه n شماره مود بوده و i متغیر مختلط می باشد.به منظور مدل سازی بهتر تکیه گاه ساده با فنر، مقادیر فنرهای پیچشی باید برابر با صفر و مقادیر فنرهای انتقالی باید مقادیر برابر در هر دو انتها و در

Klx(. به ازای (L)=Kly

(L)=Klx(R)=Kly

(R)=K( هر دو راستا درنظرگرفته شوندسرعت دورانی بدون بعد γ=25، در جدول 2 مقادیر چهار بسامد اول پیشرو

و پس رو به ازای مقادیر مختلف K ارائه شده اند.

سفتی افزایش با است، شده داده نشان جدول این در که همان گونه فنرهای تکیه گاه ها تمامی بسامد های پیشرو و پس رو به واسطۀ افزایش سفتی مجموعه افزایش یافته و به مقداری ثابت همگرا می گردند که همان مقادیر متناظر برای روتور با تکیه گاه های ساده می باشند. مقادیر سفتی فنرها در این حالت نیز مقدار لازم برای مدل سازی تکیه گاه ساده می باشند )در این مورد K=106(. مقایسۀ نتایج در این حالت با حل دقیق ارائه شده در رابطه )30(

ارائه شده تحلیل قبول قابل دقت بیانگر ساده تکیه گاه های با روتور برای می باشد.

روتور یک بار این شده، ارائه تحلیل صحت بیشتر بررسی منظور به یکنواخت همگن و فاقد نیروی محوری و گشتاور پیچشی را با مشخصات

زیر در نظر بگیرید:

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

)الف(

)ب(Fig. 3. Convergence of the presented solution.

شکل1:31همگرایی1تحلیل1ارائه1شده

لنگ1زنی1پیشرو

λ4 λ3 λ2 λ1 K

118/9999 71/70622 33/52975 8/546158 10129/4131 78/30128 37/14100 9/728740 100131/4460 79/56644 37/76560 9/900885 103

131/6701 79/70449 37/83250 9/918884 104

131/6927 79/71842 37/83923 9/920692 105

131/6949 79/71978 37/83989 9/920868 106

130/7439 79/56096 37/84270 9/920909 حل دقیق ]1[

لنگ1زنی1پس1رو

λ4 λ3 λ2 λ1 K

116/2408 69/72104 32/44532 8/234961 10126/0075 75/80479 35/75717 9/324965 100127/9197 76/98269 36/33386 9/482936 103

128/1314 77/11169 36/39574 9/499444 104

128/1529 77/12471 36/40197 9/501103 105

128/1549 77/12598 36/40258 9/501264 106

127/1639 76/96567 36/40540 9/501303 حل دقیق ]1[

جدول1:21تأثیر1سفتی1تکیه1گاه1ها1بر1روی1بسامد1های1روتور1در1مدل1سازی1تکیه1گاه1ساده

Table 2. Effect of stiffness of supports on the natural frequencies of rotor in modeling simply supported rotor.

نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر، دوره 49، شماره 4، سال 1396، صفحه 759 تا 772

766

مرزی مختلف برای شرایط پیشرو اول بسامد مقادیر سه 3 در جدول مقایسه ارائه شده توسط غلامی و موسوی ]19[ نتایج دقیق با و محاسبه شده اند. مقایسۀ نتایج بیانگر دقت بالای تحلیل ارائه شده می باشد. لازم به ذکر است که به منظور مدل سازی تکیه گاه ها از مقادیر زیر استفاده شده است:

( )( )

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

2

1

1

1

1

2

2 2

2

11 1 cos 1,2,3,...,2 1

0

0

0

0

0

0

i

N

Nb

N

d bd b

d d

N

d b d bd bd b

d bd b

d

S v

S v S v

v

ii N

N

k v c v m v

UUVV

v

k v c v m v

k v k v c v c v

m v m v

K C M

K k

v v

πζ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

− = − = −

+ + =

= Θ Θ Ψ

Ψ

+ + =

+ + + + + =

+ + =

+ =

=

=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2

2 2 2 24 3 2

2 2

2

1

1

1

2 4 4

2 2 2

0 00

1000 2000

50 100

12

2 0

2

d b

d b

d b

d

b d

b

d

L L R Rlx ly lx ly

L L R Rrx ry rx r

d

b d

y

k

C c c

M m m

vw

v

F w F w

I IF F

K C M

K K K K

S S

S S

S S

K K K K

r s ni

r sn ni

s r s

E

λ

λ

πλ γλ λ

π πγ λ

−

−

−

−

= −

= −

=

=

= = −

= = = =

= = = =

+ +− +

− + =

=

( ) ( )

( ) ( )

3

6

6

07GPa 7748kg m 0.30.9 1m 0.25m 60Krpm

( ) : 10

( ) : 10 , 0

L R

L R

k L d

Clamped C K K

Simple S K K

ρ υ= == = = Ω =

= =

= =

با هدف بررسی تأثیر توان در معادلۀ تغییرات خواص )مقدار p در روابط )1( و )2((، یک روتور را با قطر متغیر d=d0exp(-0.5ζ)، تغییرات خواصی به شکل نمایی، تحت نیروی محوری P*=3 و گشتاور پیچشی T*=2 در

نظر بگیرید. )F( نمودار تغییرات چهار بسامد اول پیشرو )در شکل های 4 )الف( تا 4 )دو پس رو )B( برحسب سرعت دورانی )نمودار کمپبل( به ازای مقادیر مختلف p رسم شده است. همچنین در این شکل ها نیمساز ناحیه نیز رسم شده است )λ|=γ|(؛ محل تقاطع این نیمساز با منحنی مرتبط با هر مود، بیانگر سرعت بحرانی و پدیدۀ تشدید در آن مود بوده و طراحی باید به گونه ای صورت پذیرد

ω3 (rad/s) ω2 (rad/s) ω1 (rad/s) شرایط1مرزی

9228/78 4837/90 1791/32 حل ارائه شدهC-C

9431/83 4929/77 1813/23 حل دقیق ]19[8117/36 3979/04 1248/87 حل ارائه شده

C-S8166/41 4011/81 1255/11 حل دقیق ]19[7038/90 3187/69 808/42 حل ارائه شده

S-S7000/01 3183/20 808/14 حل دقیق ]19[

جدول1:31تأثیر1سفتی1تکیه1گاه1ها1بر1روی1بسامد1های1روتور1در1مدل1سازی1تکیه1گاه1ساده

Table 3. Validation of the presented solution for forward frequencies of rotors with various boundary conditions.

)الف(

)ب(

)ج(

)د(Fig. 4. Effect of power law index on the Campbell diagram of the first

four modes.

شکل1:41تأثیر1توان1در1معادله11تغییرات1خواص1بر1روی1نمودار1کمپبل1چهار1مود1اول

نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر، دوره 49، شماره 4، سال 1396، صفحه 759 تا 772

767

که سرعت دورانی روتور با این مقادیر بحرانی فاصله داشته باشد. این شکل ها نشان می دهند که با شروع دوران روتور و افزایش سرعت دورانی آن، بسامد پیشرو در هر مود افزایش یافته و بسامد پس روی همان مود کاهش می یابد که دلیل این مسأله همان اثر ژیروسکوپیک می باشد. لازم به ذکر است که دلیل تساوی بسامد های پیشرو و پس رو در سرعت دورانی صفر )روتور ساکن( تساوی مقادیر سفتی فنرها در تکیه گاه ها در دو راستای x و y می باشد. این نمودارها همچنین نشان می دهند که با افزایش مقدار p )رابطه )2( را ملاحظه نمایید(، تمامی بسامد های پیشرو و پس رو کاهش یافته و مقادیر سرعت های بحرانی در هر مود نیز کاهش می یابند. به عبارت دیگر برای افزایش مقادیر

سرعت های بحرانی لازم است مقدار p کوچک در نظر گرفته شود.متغیر قطر با روتور یک محوری، نیروی تأثیر بررسی منظور به گشتاور تحت ،)p=2( توانی شکل به خواصی تغییرات ،d=d0(1-0.25ζ)

نیروی مختلف مقادیر ازای به است. شده درنظرگرفته T*=5 بعد بدون اول بسامد چهار تغییرات نمودار )د( 5 تا )الف( 5 در شکل های محوری، پیشرو و پس رو برحسب سرعت دورانی رسم شده است. همان گونه که در این شکل ها نشان داده شده است، نیروی محوری کششی موجب افزایش بسامد های پیشرو و پس رو و همچنین سرعت های بحرانی می گردد که دلیل این مسأله افزایش سفتی سامانه می باشد. از طرفی نیروی محوری فشاری از طریق کاهش سفتی سامانه منجر به کاهش تمامی بسامد ها و در نتیجه پدیدۀ از جدا که است ذکر به لازم می گردد. بحرانی سرعت های کاهش به صفر منجر می تواند افزایش در صورت فشاری محوری نیروی تشدید، شدن بسامد ها گردد که در این حالت کمانش روتور اتفاق می افتد؛ بار محوری

مورد نیاز در این حالت نیز بار بحرانی کمانش برای روتور می باشد.با هدف بررسی کردن تأثیر گشتاور پیچشی، یک روتور را با قطر متغیر نیروی نمایی )p=5(، تحت به شکل تغییرات خواصی ،d=d0exp(-0.1ζ)

و پیشرو اول بسامد چهار تغییرات نمودار بگیرید. درنظر P*=3 محوری در پیچشی مقادیر مختلف کشتاور ازای به دورانی برحسب سرعت پس رو شکل های 6 )الف( تا 6 )د( رسم شده است. همان گونه که در این شکل ها

)الف(

)ب(

)ج(

)د(Fig. 5. Effect of axial load on the Campbell diagram of the first four

modes.

شکل1:51تأثیر1نیروی1محوری1بر1روی1نمودار1کمپبل1چهار1مود1اول

نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر، دوره 49، شماره 4، سال 1396، صفحه 759 تا 772

768

نشان داده شده است، وجود گشتاور پیچشی منجر به کاهش تمامی بسامد ها که است ذکر به لازم می گردد. بحرانی سرعت های کاهش همچنین و چنانچه این نمودارها نشان می دهند، جهت اعمال گشتاور پیچشی تأثیری بر روی بسامد ها نداشته و همانند نیروی محوری فشاری، افزایش مقدار گشتاور

پیچشی نیز می تواند منجر به ناپایداری روتور گردد.همچنین به ازای γ=100 و T*=1 دو شکل مود اول پیشرو و پس رو در شکل های 7 )الف( تا 7 )د( رسم شده اند. دقت روش به حدی است که حتی پیچش ایجاد شده در شکل مودها در اثر گشتاور پیچشی نیز به خوبی قابل

مشاهده است.برای بررسی دقیق تر تأثیر نیروی محوری و گشتاور پیچشی، یک روتور با قطر متغیر d=d0(1-0.3ζ)، تغییرات خواصی به شکل توانی )p=1(، در حال دوران با سرعت γ=80 درنظر گرفته شده است. در شکل 8 نمودار تغییرات بسامد اول پیشرو و پس رو برحسب نیروی محوری به ازای مقادیر مختلف گشتاور پیچشی خارجی رسم شده است. همان گونه که در این نمودارها نشان داده شده است افزایش نیروی محوری فشاری و همچنین گشتاور پیچشی

منجر به صفر شدن بسامد اول و کمانش روتور می گردد.

)الف(

)ب(

)ج(

)د(Fig. 6. Effect of torsional torque on the Campbell diagram of the first

four modes.

شکل1:61تأثیر1گشتاور1پیچشی1بر1روی1نمودار1کمپبل1چهار1مود1اول

)الف( مود اول پیشرو

نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر، دوره 49، شماره 4، سال 1396، صفحه 759 تا 772

769

جمع1بندی1نتایج-71با استفاده از روش تفاضلات مربعی یک حل عددی برای تحلیل لنگ زنی و پایداری یک روتور با مقطع غیریکنواخت ساخته شده از مواد هدفمند تحت نیروی محوری و گشتاور پیچشی ارائه شد. بررسی های صورت گرفته نتایج

زیر را به همراه داشتند:تحلیل ارائه شده ضمن همگرا بودن از دقت بالایی نیز برخوردار •

استبا افزایش سرعت دورانی روتور بسامد های پیشرو افزایش یافته و •

بسامد های پس رو کاهش می یابند.در هر دو حالت تغییرات توانی و یا نمایی خواص در راستای طولی •کاهش به منجر تغییرات خواص معادلۀ در توان افزایش روتور، روتور بحرانی سرعت های و پس رو و پیشرو بسامد های تمامی

می گردد.نیروی محوری کششی باعث افزایش تمامی بسامد های پیشرو و •

پسرو و سرعت های بحرانی روتور می شود.تمامی کاهش باعث پیچشی گشتاور و فشاری محوری نیروی •و شده روتور بحرانی سرعت های و پس رو و پیشرو بسامد های

می توانند منجر به کمانش روتور نیز شوند.

پیوست1الف:ماتریس های سفتی، اثر ژیروسکوپیک و جرم که در رابطه )20( ایجاد

شده اند به شکل زیر تعریف شده اند:

)الف- 1(

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]

1 1

2 2

3 3 3

4 4 4

3

4

1

2

3

4

2 1 22 *1 2

12 1

0 00 00

0

0 0 0 00 0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 0 00 0 00 0 0

u s

v t

v t s

u t s

s

t

u

v

t

s

u v

t s

UV

v

k kk k

kk k k

k k k

cc

c

mm

mm

m

k k a A b A s P A

k k a A b

= Θ Ψ

= =

=

= = + + = − = +

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ]

[ ] [ ] ( )

[ ] [ ] [ ] ( )

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

2 123 4

12 *3 4

14 3

2 24 3

21 2

2 23 4

2

t s

s t

u v

t s

u v

t s

k k s c A d A a

k k s T A

k k a A

c c s r fm m s e

m m s r f

γ

= = + −

= − = = − =

= − == = −= = −

)ب( مود اول پس رو

)ج( مود دوم پیشرو

)د( مود دوم پس روFig. 7. Mode shapes of rotor under torsional torque.

شکل1:71شکل1مودهای1روتور1تحت1پیچش

Fig. 8. Effect of axial load and torsional torque on the stability of rotor.

شکل1:81تأثیر1نیروی1محوری1و1گشتاور1پیچشی1بر1روی1پایداری1روتور

نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر، دوره 49، شماره 4، سال 1396، صفحه 759 تا 772

770

)الف- 1(

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]

1 1

2 2

3 3 3

4 4 4

3

4

1

2

3

4

2 1 22 *1 2

12 1

0 00 00

0

0 0 0 00 0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 0 00 0 00 0 0

u s

v t

v t s

u t s

s

t

u

v

t

s

u v

t s

UV

v

k kk k

kk k k

k k k

cc

c

mm

mm

m

k k a A b A s P A

k k a A b

= Θ Ψ

= =

=

= = + + = − = +

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ]

[ ] [ ] ( )

[ ] [ ] [ ] ( )

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

2 123 4

12 *3 4

14 3

2 24 3

21 2

2 23 4

2

t s

s t

u v

t s

u v

t s

k k s c A d A a

k k s T A

k k a A

c c s r fm m s e

m m s r f

γ

= = + −

= − = = − =

= − == = −= = −

تعریف زیر شکل به N مرتبه از ماتریس هایی نیز رابطه این در که شده اند:

)الف- 2(

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]

1 1

2 2

3 3 3

4 4 4

3

4

1

2

3

4

2 1 22 *1 2

12 1

0 00 00

0

0 0 0 00 0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 0 00 0 00 0 0

u s

v t

v t s

u t s

s

t

u

v

t

s

u v

t s

UV

v

k kk k

kk k k

k k k

cc

c

mm

mm

m

k k a A b A s P A

k k a A b

= Θ Ψ

= =

=

= = + + = − = +

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ]

[ ] [ ] ( )

[ ] [ ] [ ] ( )

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

2 123 4

12 *3 4

14 3

2 24 3

21 2

2 23 4

2

t s

s t

u v

t s

u v

t s

k k s c A d A a

k k s T A

k k a A

c c s r fm m s e

m m s r f

γ

= = + −

= − = = − =

= − == = −= = −

که در این تعاریف نیز ماتریس هایی قطری از مرتبه N به صورت زیر در نظر گرفته شده اند:

)الف- 3( ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

* * * *

* * * *

* * * *

2 *1

2 2 *

2

2 *

1

11

1

11

2

1 1,1

1 1, 3 1

2,1

2, 4

13, N 1 2

1 3, 2 1

ii i ii i

ii i ii i

ii i ii i

ij

Llx jj

RE d lx Nj

E d

Nj

j N

j NL

ly

E d

a E A b E A

c E I d E I

e A f I

S

s P i jA K

A

N

i j N

s P i j N

i j N

s Pi j

K

A

N

KN

i j

ζ ζ

ζ ζ

ρ ζ ρ ζ

δ

µ µ δ

µ µ

δ

µ µ

−

−

′= =

′= =

= =

=

+ = ≤ ≤

− = = +

+ = ≤ ≤

− = =

+= + ≤ ≤

= =

+

+

−

−

( ) ( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

1

11 2 2

1

2 *

2

1

*

4

*

2 2

11 3 1

*

13

4

3

4, N 1 2

4, 3

5,2 N 1 3

5, 3N 1

6,2 N 1 3

6, 4

7,3N 1 4

7, 2 N 1

Rly N

E d

Lrx

RE d r

N j N j N

j N j N

N j N j N

j N j N

N j N j

x N

Lry

RE d ry N

s P i j N

i j N

i j N

T i j

i j N

T i j N

i j

A K

A K

A K

A K

A

i j

K

N

T

δ

µ µ

δ

µ µ δ

δ

µ µ δ

− −

− −

− −

− −

− −

+ = + ≤ ≤

= =

= + ≤ ≤

= = +

= + ≤ ≤

=

+

−

=

= + ≤ ≤

− = = +

+

−

+ ( )3

*

8,3N 1 4

8, 3

10i

N

j

i j N

T i j N

i ji j

δ

= + ≤ ≤ − = =

== ≠

لازم به ذکر است که با توجه به قطری بودن ماتریس f، ماتریس c در رابطه )الف-1( یک ماتریس پادمتقارن می باشد. همچنین درایه های غیر صفر ماتریس شرایط مرزی )s( که در رابطه )21( ظاهر شده است، نیز به صورت

زیر می باشند:

)الف- 4(

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

* * * *

* * * *

* * * *

2 *1

2 2 *

2

2 *

1

11

1

11

2

1 1,1

1 1, 3 1

2,1

2, 4

13, N 1 2

1 3, 2 1

ii i ii i

ii i ii i

ii i ii i

ij

Llx jj

RE d lx Nj

E d

Nj

j N

j NL

ly

E d

a E A b E A

c E I d E I

e A f I

S

s P i jA K

A

N

i j N

s P i j N

i j N

s Pi j

K

A

N

KN

i j

ζ ζ

ζ ζ

ρ ζ ρ ζ

δ

µ µ δ

µ µ

δ

µ µ

−

−

′= =

′= =

= =

=

+ = ≤ ≤

− = = +

+ = ≤ ≤

− = =

+= + ≤ ≤

= =

+

+

−

−

( ) ( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

1

11 2 2

1

2 *

2

1

*

4

*

2 2

11 3 1

*

13

4

3

4, N 1 2

4, 3

5,2 N 1 3

5, 3 N 1

6,2 N 1 3

6, 4

7,3N 1 4

7, 2 N 1

Rly N

E d

Lrx

RE d r

N j N j N

j N j N

N j N j N

j N j N

N j N j

x N

Lry

RE d ry N

s P i j N

i j N

i j N

T i j

i j N

T i j N

i j

A K

A K

A K

A K

A

i j

K

N

T

δ

µ µ

δ

µ µ δ

δ

µ µ δ

− −

− −

− −

− −

− −

+ = + ≤ ≤

= =

= + ≤ ≤

= = +

= + ≤ ≤

=

+

−

=

= + ≤ ≤

− = = +

+

−

+ ( )3

*

8,3 N 1 4

8, 3

10i

N

j

i j N

T i j N

i ji j

δ

= + ≤ ≤ − = =

== ≠

که در این رابطه δ بیانگر دلتای کرونیکر با تعریف زیر می باشد:

)الف- 5(

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

* * * *

* * * *

* * * *

2 *1

2 2 *

2

2 *

1

11

1

11

2

1 1,1

1 1, 3 1

2,1

2, 4

13, N 1 2

1 3, 2 1

ii i ii i

ii i ii i

ii i ii i

ij

Llx jj

RE d lx Nj

E d

Nj

j N

j NL

ly

E d

a E A b E A

c E I d E I

e A f I

S

s P i jA K

A

N

i j N

s P i j N

i j N

s Pi j

K

A

N

KN

i j

ζ ζ

ζ ζ

ρ ζ ρ ζ

δ

µ µ δ

µ µ

δ

µ µ

−

−

′= =

′= =

= =

=

+ = ≤ ≤

− = = +

+ = ≤ ≤

− = =

+= + ≤ ≤

= =

+

+

−

−

( ) ( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

1

11 2 2

1

2 *

2

1

*

4

*

2 2

11 3 1

*

13

4

3

4, N 1 2

4, 3

5,2 N 1 3

5, 3N 1

6,2 N 1 3

6, 4

7,3N 1 4

7, 2 N 1

Rly N

E d

Lrx

RE d r

N j N j N

j N j N

N j N j N

j N j N

N j N j

x N

Lry

RE d ry N

s P i j N

i j N

i j N

T i j

i j N

T i j N

i j

A K

A K

A K

A K

A

i j

K

N

T

δ

µ µ

δ

µ µ δ

δ

µ µ δ

− −

− −

− −

− −

− −

+ = + ≤ ≤

= =

= + ≤ ≤

= = +

= + ≤ ≤

=

+

−

=

= + ≤ ≤

− = = +

+

−

+ ( )3

*

8,3N 1 4

8, 3

10i

N

j

i j N

T i j N

i ji j

δ

= + ≤ ≤ − = =

== ≠

فهرست1علائمm ،طول روتور L

m ،قطر روتور d

N ،نیروی محوری P

N.m ،گشتاور پیچشی T

Pa ،مدول الاستیک فلز Em

Pa ،مدول برشی فلز Gm

Pa ،مدول الاستیک سرامیک Ec

Pa ،مدول برشی سرامیک Gc

m ،x جابه جایی در راستای ux

m ،y جابه جایی در راستای uy

rad ،x دوران حول محور φx

rad ،y دوران حول محور φy

m2 ،مساحت A

m4 ،x ممان اینرسی حول محور Ix

m4 ،y ممان اینرسی حول محور Iy

m4 ممان اینرسی قطبی Ip

ضریب تصحیح تنش برشی، بدون بعد k

نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر، دوره 49، شماره 4، سال 1396، صفحه 759 تا 772

771

z=0 در x فنر انتقالی در راستای Klx(L)

z=0 در y فنر انتقالی در راستای Kly(L)

z=0 در x فنر دورانی حول محور Krx(L)

z=0 در y فنر دورانی حول محور Kry(L)

z=L در x فنر انتقالی در راستای Klx(R)

z=L در y فنر انتقالی در راستای Kly(R)

z=L در x فنر دورانی حول محور Krx(R)

z=L در y فنر دورانی حول محور Kry(R)

علائم1یونانی

rad/s ،سرعت دورانی Ω

kg/m3 ،چگالی فلز ρm

kg/m3 ،چگالی سرامیک ρc

منابع[1] G. Genta, Dynamics of rotating systems, Springer Science

& Business Media, 2007.[2] R. Grybos, The effect of shear and rotary inertia of a rotor

at its critical speeds, Archive of applied mechanics, 61(2) (1991) 104-109.

[3] S. Choi, C. Pierre, A. Ulsoy, Consistent modeling of rotating Timoshenko shafts subject to axial loads, Journal of vibration and acoustics, 114(2) (1992) 249-259.

[4] Y.-G. Jei, C.-W. Lee, Modal analysis of continuous asymmetrical rotor-bearing systems, Journal of Sound and Vibration, 152(2) (1992) 245-262.

[5] F. Sturla, A. Argento, Free and forced vibrations of a spinning viscoelastic beam, Journal of vibration and acoustics, 118(3) (1996) 463-468.

[6] J. Melanson, J. Zu, Free vibration and stability analysis of internally damped rotating shafts with general boundary conditions, Journal of vibration and acoustics, 120(3) (1998) 776-783.

[7] O. Jun, J. Kim, Free bending vibration of a multi-step rotor, Journal of sound and vibration, 224(4) (1999) 625-642.

[8] M. Mohiuddin, Y. Khulief, Coupled bending torsional vibration of rotors using finite element, Journal of Sound and Vibration, 223(2) (1999) 297-316.

[9] W. Kim, A. Argento, R. Scott, Free vibration of a rotating tapered composite Timoshenko shaft, Journal of Sound and Vibration, 226(1) (1999) 125-147.

[10] S. Karunendiran, J. Zu, Free vibration analysis of shafts on resilient bearings using Timoshenko beam theory,

Journal of vibration and acoustics, 121(2) (1999) 256-258.

[11] N. Shabaneh, J.W. Zu, Dynamic analysis of rotor–shaft systems with viscoelastically supported bearings, Mechanism and machine theory, 35(9) (2000) 1313-1330.

[12] T. El-Mahdy, R. Gadelrab, Free vibration of unidirectional fiber reinforcement composite rotor, in, Academic Press, 2000.

[13] F.A. Raffa, F. Vatta, Equations of motion of an asymmetric Timoshenko shaft, Meccanica, 36(2) (2001) 201-211.

[14] U. Gu, C. Cheng, Vibration analysis of a high-speed spindle under the action of a moving mass, Journal of sound and vibration, 278(4-5) (2004) 1131-1146.

[15] M. Behzad, A. Bastami, Effect of centrifugal force on natural frequency of lateral vibration of rotating shafts, Journal of sound and vibration, 274(3-5) (2004) 985-995.

[16] G. Sheu, S.-M. Yang, Dynamic analysis of a spinning Rayleigh beam, International Journal of Mechanical Sciences, 47(2) (2005) 157-169.

[17] J. Banerjee, H. Su, Dynamic stiffness formulation and free vibration analysis of a spinning composite beam, Computers & structures, 84(19-20) (2006) 1208-1214.

[18] S. Hosseini, S. Khadem, Free vibrations analysis of a rotating shaft with nonlinearities in curvature and inertia, Mechanism and Machine theory, 44(1) (2009) 272-288.

[19] B.G. Bazehhour, S.M. Mousavi, A. Farshidianfar, Free vibration of high-speed rotating Timoshenko shaft with various boundary conditions: effect of centrifugally induced axial force, Archive of Applied Mechanics, 84(12) (2014) 1691-1700.

[20] H. Afshari, M. Irani, K. Torabi, Free whirling analysis of multi-step Timoshenko rotor with multiple bearing using DQEM, Modares Mechanical Engineering, 14(10) (2014) 109-120.

[21] M. Irani, A. Mohebbi, H. Afshari, Longitudinal-Torsional and Two Plane Transverse Vibrations of a Composite Timoshenko Rotor, (2016).

[22] K. Torabi, H. Afshari and H. Najafi, Whirling analysis of axial-loaded multi-step Timoshenko rotor carrying concentrated masses, Journal of solid mechanics, 9(1) (2017) 138-156.

[23] K. Torabi, H. Afshari, Exact solution for whirling analysis of axial-loaded Timoshenko rotor using basic functions, Engineering Solid Mechanics, 4(2) (2016) 97-108.

[24] R. Bellman, B. Kashef, J. Casti, Differential quadrature:

_

_

_

_

_

_

_

_

نشریه مهندسی مکانیک امیرکبیر، دوره 49، شماره 4، سال 1396، صفحه 759 تا 772

772

a technique for the rapid solution of nonlinear partial differential equations, Journal of computational physics, 10(1) (1972) 40-52.

[25] C.W. Bert, S.K. Jang, A.G. Striz, Two new approximate methods for analyzing free vibration of structural components, AIAA journal, 26(5) (1988) 612-618.

[26] C. Bert, M. Malik, Free vibration analysis of tapered rectangular plates by differential quadrature method: a semi-analytical approach, Journal of Sound and Vibration, 190(1) (1996) 41-63.

[27] C.W. Bert, M. Malik, The differential quadrature method for irregular domains and application to plate vibration, International Journal of Mechanical Sciences, 38(6) (1996) 589-606.

[28] C.W. Bert, M. Malik, Differential quadrature method in computational mechanics: a review, Applied mechanics reviews, 49(1) (1996) 1-28.

[29] C.W. Bert, W. Xinwei, A.G. Striz, Differential quadrature for static and free vibration analyses of anisotropic plates, International Journal of Solids and

Structures, 30(13) (1993) 1737-1744.[30] C. Bert, X. Wang, A. Striz, Convergence of the DQ

method in the analysis of anisotropic plates, in, Academic Press, 1994.

[31] T. Kaneko, On Timoshenko's correction for shear in vibrating beams, Journal of Physics D: Applied Physics, 8(16) (1975) 1927.

[32] H. Afshari, A. Pouretemad, K. Torabi, Whirling analysis of non-uniform Timoshenko rotors subjected to axial load and torsional torque, in: 6th conference on rotating equipment in oil & power industries, Shahid Beheshti conference center, Tehran, Iran, 2014.

[33] H. Du, M. Lim, R. Lin, Application of generalized differential quadrature method to structural problems, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 37(11) (1994) 1881-1896.

[34] H. Du, M. Lim, R. Lin, Application of generalized differential quadrature to vibration analysis, Journal of Sound and Vibration, 181(2) (1995) 279-293.

برای ارجاع به این مقاله از عبارت زیر استفاده کنید:Please cite this article using:

K. Torabi and H. Afshari, Whirling and Stability Analysis of FG-rotors with Variable Diameter Subjected to Axial Load

and Torsional Torque, Amirkabir J. Mech. Eng., 49(4) (2018) 759-772.DOI: 10.22060/mej.2016.858