Tomasz wisªo kiWpªyw oddziaªywa« dipolowy hna wªa± iwo± ispinorowego kondensatu rubidowego

Rozprawa doktorskanapisana pod kierunkiemdo . dr. hab. Mariusza GajdyInstytut Fizyki Polskiej Akademii NaukWarszawa 2010

2

Spis tre± iI Stresz zenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II Wstp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9III Rubid 87Rb jako gaz dipolowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15III.1 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26IV Rezonanse magnety znew efek ie Einsteina-de Haasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27IV.1 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39V Stany topologi zne kondensatu Bosego-Einsteinana plakiet e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41V.1 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52VI Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3

4

Mojej »onieza wyrozumiaªo±¢5

6

I Stresz zenieW poni»szej pra y przedstawi wyniki bada« wpªywu oddziaªywa« dipolowy h na dy-namik spinorowego, rubidowego kondensatu Bosego-Einsteina. Opisz wpªyw zewntrznegopola magnety znego na spinorowy kondensat dipolowy oraz wpªyw geometrii konden-satu na efekty dipolowe. Przedstawi i omówi wyniki symula ji numery zny h poni»ejwymieniony h zagadnie«. Pra a jest zorganizowana nastpuj¡ o:W rozdziale drugim opisz kondensat Bosego-Einsteina, metody jego wytwarzania. Przed-stawi podstawowe równania opisuj¡ e kondensat spinorowy i dipolowy.W rozdziale trze im zbadam termaliza j kondensatu spinorowego znajduj¡ ego si po z¡tkowow stanie o rzu ie spinu mF = 0 z uwzgldnieniem oddziaªywa« dipolowy h.W rozdziale zwartym przedstawi analiz rezonansów magnety zny h w efek ie Einsteina-de Haasa.W rozdziale pi¡tym opisz stany topologi zne kondensatu spinorowego powstaj¡ e w efek- ie Einsteina-de Haasa na plakiet e.W rozdziale szóstym podsumuj gªówne wyniki pra y.

7

8

II WstpW 1924 roku indyjski zyk Satyendra Nath Bose przedstawiª metod wyzna zenia widmapromieniowania iaªa doskonale zarnego, traktuj¡ ukªad fotonów jak gaz identy zny h z¡stek [1. Einstein uogólniª teori Bosego na przypadek gazu z¡stek obdarzony h mas¡(w prze iwie«stwie do przypadku fotonów, tutaj li zba z¡stek jest za howana). W tymsamym roku przewidziaª, »e w wystar zaj¡ o niski h temperatura h wszystkie te z¡stkiobsadziªyby najni»szy stan kwantowy ukªadu [2, 3. Zjawisko to, nazwane pó»niej konden-sa j¡ Bosego-Einsteina (w skró ie BEC od ang. Bose-Einstein ondensation), za hodzijedynie dla bozonów z¡stek o spinie aªkowitym (równym aªkowitej wielokrotno± i ~).Kondensa ja atomów ma miejs e, gdy ±rednia odlegªo±¢ midzy atomami jest mniejsza,ni» termi zna dªugo±¢ fali de Broglie'a λdB:λdB =

(

2π ~2

mkB T

)1

2

, (2.1)gdzie ~ jest staª¡ Plan ka, m jest mas¡ atomu, kB - staªa Boltzmanna, T jest temperatur¡gazu atomowego. Dokªadniej rze z ujmuj¡ ,nλ3

dB ≥ 2, 612 , (2.2)gdzie n jest gsto± i¡ z¡stek (n = N/V , V - objto±¢). ¡ z¡ ze sob¡ równania (2.1)i (2.2) otrzymujemy warunek na temperatur kryty zn¡ kondensa ji Tc

Tc =~

2

2πkBm

(

n

2, 612

)2/3

. (2.3)Aby do±wiad zalnie zrealizowa¢ kondensa j, potrzeba byªo wielu lat bada«. Warunek (2.3)narzu a na ukªad ograni zenia zwi¡zane z temperatur¡ ukªadu, jak równie» na gsto±¢. Ty-powe gsto± i kondensatu to n ∼ 1012−1015 atomów/ m3. Przy tak maªej gsto± i atomów,temperatura przej± ia w stan kondensa ji jest niezwykle maªa Tc ∼ 10−7nK. Maªa gsto±¢atomów jest podyktowana konie zno± i¡ zminimalizowania wystpowania zderze« trój ia-ªowy h, które s¡ odpowiedzialne za straty atomów, o w efek ie prowadzi do znisz zeniakondensatu. Stworzenie kondensatu Bosego-Einsteina wi¡zaªo si wi z konie zno± i¡opra owania puªapek, w który h mo»na byªo uzyska¢ wymagan¡ gsto±¢ w przestrzeni fa-zowej, wyeliminowania przylegania atomów do wzgldnie gor¡ y h ± ianek puªapki, jakrównie» opra owania wyranowany h te hnik hªodzenia. W elu unikni ia skraplania sigazu atomowego na ± ianka h na zynia (puªapki) wykorzystano pomysª uwizienia atomóww polu magnety znym. Chªodzenie atomów poni»ej temperatury kondensa ji (temperaturykryty znej Tc ∼ 100nK) przebiega w dwó h etapa h. W pierwszym etapie wykorzystuje si9

hªodzenie dopplerowskie. Polega ono na poddaniu atomów dziaªaniu wi¡zek promieniowa-nia laserowego oraz kwadrupolowego pola magnety znego. Atomy emitowane ze ¹ródªa hwytane s¡ w puªap e magnetoopty znej (MOT) przez trzy pary prze iwbie»ny h wi¡zeklaserowy h, które wstpnie s hªadzaj¡ atomy do temperatury rz¡du T ∼ 0.1 − 1mK. W elu dalszego hªodzenia, atomy s¡ przerzu ane do puªapki magnety znej. Puªapka ma-gnety zna jest w stanie utrzyma¢ atomy o okre±lonej orienta ji atomowego momentu ma-gnety znego. Me hanizm odpowiadaj¡ y za puªapkowanie magnety zne jest zwi¡zany zsiª¡ dziaªaj¡ ¡ na spolaryzowane atomy w niejednorodnym polu magnety znym. Mo»liwes¡ tutaj do spuªapkowania atomy, które s¡ w stana h pod¡»aj¡ y h w obszar maªego pola.Na przykªad, dla 87Rb w s¡ to stany |F = 2, mF = +1〉 i |F = 1, mF = −1〉, (F jest spinemstanu podstawowego struktury nadsubtelnej atomu). Na atomy w ty h stana h dziaªa siªaskierowana w kierunku minimum pola magnety znego. Wª¡ zaj¡ zmienne pole magne-ty zne o zsto± i radiowej mo»na rezonansowo odwró i¢ spin gor¡ y h atomów, któreu iekaj¡ z puªapki. W puªap e pozostaj¡ jedynie atomy o najmniejszej energii kinety znej- najzimniejsze. Atomy na skutek zderze« do hodz¡ do stanu równowagi o ni»szej tempe-raturze. W ten sposób uzyskuje si okoªo N ∼ 105 − 106 atomów o temperaturze okoªoT ∼ 100nK. Ten etap hªodzenia nazywa si hªodzeniem przez odparowanie. Nastpnie,po wyª¡ zeniu puªapki, metodami obrazowania opty znego mo»na monitorowa¢ rozkªadpdu atomów. Pozwala to na stwierdzenie, zy atomy s¡ w stanie termi znym zy ulegªykondensa ji. Caªy ykl trwa okoªo dwó h minut. Sz zegóªy hªodzenia atomów s¡ opisanes¡ w [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Osi¡gni ia w do±wiad zalny h pra a h nad hªodzeniematomów gazów alkali zny h spowodowaªy wielki rozwój bada« nad kondensatem Bosego-Einsteina. Pierwsze do±wiad zenia, w który h uzyskano kondensat Bosego-Einsteina wrozrzedzonym gazie atomów alkali zny h, zostaªy przeprowadzone niemal w tym samym zasie w dwó h laboratoria h: JILA (Boulder, Kolorado, USA) oraz MIT (Cambridge,Massa hussets, USA). W JILA uzyskano kondensat atomów rubidu 87Rb, za± w MIT skon-densowano atomy sodu 23Na. Rysunek 1 przedstawia zdj ie kondensatu atomów rubidu87Rb uzyskanego w JILA.Dziki intensywnym pra om nad doskonaleniem ukªadów do±wiad zalny h, zapanowanonad kontrolowaniem wielu parametrów opisuj¡ y h ukªad. Badano solitony [13, 14, wiry[15, wpªyw temperatury na za howanie si kondensatu [16, 17, 18. Rozwinito równie»te hniki obrazowania. Odkryto istnienie rezonansów Feshba ha [12, 52, dziki którymmo»na zmienia¢ siª oddziaªywa« kontaktowy h jak równie» i h znak, de yduj¡ y o tym, zy oddziaªywanie jest przy i¡gaj¡ e zy odpy haj¡ e. Dziki manipula ji oddziaªywania-mi kontaktowymi, mo»liwe byªo badanie kolapsu i eksplozji BEC [19. Kondensat Bosego-Einsteina z oddziaªywaniami kontaktowymi byª wykorzystywany do bada« zagadnie« z10

Rysunek 1: Kondensa ja Bosego-Einsteina. Rysunki przedstawiaj¡ rozkªady prdko± i hmury atomów. Rysunek (A) przedstawia rozkªad prdko± i tu» przed pojawieniem sikondensatu. Rysunek (B) przedstawia rozkªad prdko± i tu» po pojawieniu si kondensatu,któremu towarzyszy du»a hmura termi zna. Rysunek (C) przedstawia niemal zysty kon-densat. Koªowy rozkªad hmury termi znej (kolory »óªty i zielony) wskazuje na izotropowyrozkªad prdko± i, zgodny z równowag¡ termodynami zn¡. Frak ja kondensatu (kolory bi-aªy i niebieski) ma rozkªad elipty zny, o wskazuje na nietermi zny rozkªad. Podªu»nyksztaªt kondensatu wynika z geometrii puªapki. Pole widzenia ma rozmiar 200 × 270µm.Rysunek po hodzi z pra y [4.zyki iaªa staªego, np. przej± ie izolator-nadprzewodnik [20, 21. W kondensa ie mo»napre yzyjnie kontrolowa¢ wi ej parametrów ukªadu, ni» w iele staªym.W kondensa ie Bosego-Einsteina, oddziaªywanie midzy zimnymi atomami jest zdomi-nowane przez oddziaªywania krótkozasigowe, które mo»na przybli»y¢ poten jaªem kon-taktowym V (r) = 4π~2as/mδ(r) [22, gdzie as jest dªugo± i¡ rozpraszania fali typu `s', za±

m jest mas¡ atomu. Przybli»enie takie jest mo»liwe, poniewa» w niski h temperatura htermi zna dªugo±¢ fali de Broglie'a jest du»o wiksza ni» zasig oddziaªywania Van derWaalsa midzy atomami. Oddziaªywania kontaktowe s¡ odpowiedzialne za wiele wªa± i-wo± i kondensatów atomowy h. Dynamik oddziaªuj¡ ego gazu opisuje równanie Grossa-Pitajewskiego [12i~

∂Ψ

∂t=

(

−~2∇2

2m+

1

2mω2r2 + g|Ψ|2

)

Ψ , (2.4)gdziem jest mas¡ atomu, ω - zsto±¢ puªapki harmoni znej, g = 4π~2as/m, za± ∫

|Ψ|2d3r =

N , gdzie N jest li zb¡ atomów. Równanie (2.4) jest sªuszne, je±li prawie wszystkie atomyopisane s¡ t¡ sam¡ funk j¡ falow¡ Ψ. Wtedy Ψ jest nazywane funk j¡ falow¡ kondensatu.11

W puªapka h magnety zny h spiny atomów alkali zny h s¡ zamro»one. W efek ietego, atomy alkali zne obdarzone spinem za howuj¡ si w puªap e magnety znej jak z¡stkiskalarne. Rozwini ie te hnik puªapkowania i hªodzena, w sz zególno± i konstruk japuªapki opty znej, której me hanizm puªapkowania wykorzystuje gradient nat»enia ±wiatªa,pozwala na jedno zesne ªapanie atomów we wszystki h stana h nadsubtelny h niezale»nieod i h momentu magnety znego.W 1997 roku grupie MIT udaªo si uzyska¢ kondensat BEC 23Na w puªap e opty- znej [23. To do±wiad zenie otworzyªo nowe kierunki w badaniu rozrzedzony h gazówatomowy h. W puªapka h opty zny h spiny atomów s¡ swobodne kierunek spinu mo»ezmienia¢ si na skutek oddziaªywa« midzy z¡stkami.Puªapki opty zne pozwoliªy na badanie gazów spinorowy h. W takim przypadku ope-rator pola bozonowego jest spinorem i ma 2F + 1 skªadników. Dla 87Rb w stanie F = 1operator pola ma trzy skªadniki:Ψ =

Ψ1

Ψ0

Ψ−1

. (2.5)W przypadku kondensatów spinorowy h oddziaªywania kontaktowe maj¡ bogatsz¡ stru-ktur i zale»¡ od warto± i rzutu aªkowitego spinu obu oddziaªuj¡ y h atomów, który mo»eby¢ równy zero lub dwa (jeden ze wzgldu na symetri funk ji falowej nie jest mo»liwy).Gaz spinorowy w stanie F = 1 ma zatem dwie dªugo± i rozpraszania: a0 = 5, 387nmi a2 = 5, 313nm [24. Hamiltonian ukªadu mo»na wtedy zapisa¢ w nastpuj¡ y sposób(u»ywaj¡ formalizmu drugiej kwantyza ji):H =

∫

d3r(

Ψ†i (r)H0Ψi(r)

+1

2c0Ψ

†j(r)Ψ

†i(r)Ψi(r)Ψj(r)

+1

2c2Ψ

†k(r)Ψ

†i(r)FijFklΨj(r)Ψl(r)

)

, (2.6)gdzie nale»y wykona¢ sumowanie po powtarzaj¡ y h si indeksa h (przyjmuj¡ y h warto± i+1, 0,−1). Jedno z¡stkowy hamiltonian (H0) zawiera energi kinety zn¡ i poten jaª puªap-kuj¡ y, staªa c0 = 4π~

2(a0 + 2a2)/(3m) jest staª¡ niezale»n¡ od spinu oraz c2 = 4π~2(a2 −

a0)/(3m) staª¡ zale»n¡ od spinu [25. Znak staªej c2 okre±la, zy mamy do zynieniaze stanem ferromagnety znym (c2 < 0) zy antyferromagnety znym (c2 > 0). F =

(Fx, Fy, Fz), gdzie Fx, Fy, Fz s¡ ma ierzami Pauliego 3 × 3. Operator pola Ψi(r) anihilujeatom w stanie |F = 1, mF = i〉 w punk ie r. Oddziaªywania kontaktowe za howuj¡ aªkowity rzut spinu - magnetyza j. Je»eli dwa atomy s¡ po z¡tkowo umiesz zone w12

stanie mF = 0, na skutek oddziaªywa« kontaktowy h jeden z ni h mo»e przej±¢ do stanumF = 1 a drugi do mF = −1 lub oba pozostan¡ w stanie mF = 0. Kondensaty spinorowebyªy i s¡ badane zarówno teorety znie jak i do±wiad zalnie [26, 27, 28, 29, 31, 32.Opró z oddziaªywa« kontaktowy h wa»n¡ rol mog¡ odgrywa¢ dªugozasigowe, ani-zotropowe oddziaªywania dipolowe. Do tej pory, byªy one pomijane ze wzgldu na maªymoment magnety zny ∼ 1µB (µB jest magnetonem Bohra). Niektórzy autorzy podkre±lali[33, 34, »e oddziaªywania dipolowe mog¡ prowadzi¢ do wielu iekawy h wªa± iwo± i kon-densatów i mog¡ prowadzi¢ do nowy h, fas ynuj¡ y h i zasami nieo zekiwany h efektów.Dla wzgldnie maªy h dªugo± i rozpraszania w kondensa ie mog¡ zosta¢ zauwa»one struk-tury odzwier iedlaj¡ e oba rodzaje siª.Energia oddziaªywa« dipolowy h dla dwó h atomów w odlegªo± i r posiadaj¡ y h mo-ment magnety zny skierowany wzdªu» wektorów jednostkowy h e1 i e2, wyra»a sie jako

V d(r) =µ0µ

2

4π

(e1 · e2)r2 − 3(e1 · r)(e2 · r)

r5, (2.7)gdzie µ0 jest przenikalno± i¡ magnety zn¡ pró»ni, µ jest momentem magnety znym atomu,

r = |r − r′|. Oddziaªywania dipolowe s¡ dªugozasigowe (skaluj¡ si jak 1/r3) oraz ani-zotropowe (siªa i znak oddziaªywa« zale»¡ od k¡ta midzy osiami polaryza ji i wzgldnympoªo»eniem z¡stek). Hamiltonian uwzgldniaj¡ y oddziaªywania dipolowe ma posta¢

H =

∫

d3r(

Ψ†i (r)H0Ψi(r) − γΨ†

i(r)BFijΨj(r)

+1

2c0Ψ

†j(r)Ψ

†i(r)Ψi(r)Ψj(r)

+1

2c2Ψ

†k(r)Ψ

†i(r)FijFklΨj(r)Ψl(r)

)

+1

2

∫

d3rd3r′Ψ†k(r)Ψ

†i(r

′)V dij,kl(r − r

′)Ψj(r′)Ψl(r) , (2.8)gdzie V d

ij,kl dane jest przez (2.7) a γ jest zynnikiem »yromagnety znym. Hamiltonian (2.8)uwzgldnia oddziaªywanie z zewntrznym polem magnety znym B. Podobnie jak w przy-padku jednoskªadnikowego kondensatu, je±li wszystkie skªadowe spinora Ψ s¡ makroskopowoobsadzone, mo»emy dokona¢ przybli»enia i operatory pola skªadowy h spinorowy h za-st¡pi¢ przez funk je falowe: Ψi(r) → Ψi(r). W moi h badania h opisany h w kolejny hrozdziaªa h bd zastpowaª operatory Ψi(r) przez makroskopowe funk je falowe. Przyjm,»e funk je Ψi(r) s¡ unormowane do li zby atomów Ni w danym stanie spinowym:∫

|Ψi(r)|2d3r = Ni . (2.9)Do±wiad zalne osi¡gni ie kondensa ji atomów, które maj¡ stosunkowo du»y magnety- zny moment dipolowy, byªo wielkim wyzwaniem. W ko« u po pokonaniu wielu trudno± i,13

skondensowano atomy hromu 52Cr [35. Inne atomy, takie jak erb, europ zy dyspozmaj¡ w stanie podstawowym magnety zny moment dipolowy rzdu kilku magnetonówBohra. Ze wzgldu na du»y moment magnety zny hromu - 6µB, oddziaªywania dipolowew hromie s¡ zna znie wiksze od oddziaªywa« dipolowy h w atoma h alkali zny h, opozwala na obserwa j efektów dipolowy h [36. Dziki wzgldnie silnym oddziaªywaniomdipolowym i pre yzyjnej kontroli pola magnety znego mo»e pojawi¢ si mo»liwo±¢ realiza- ji spektakularnego efektu Einsteina-de Haasa [37 w dipolowym kondensa ie spinorowym[30, 38, 39. Pra e teorety zne pokazuj¡, »e u»ywaj¡ rotuj¡ ego spolaryzowanego polamagnety znego mo»liwe jest strojenie oddziaªywa« dipolowy h - zredukowanie i h siªy anawet znaku [40. W do±wiad zeniu przeprowadzonym w Stuttgardzie [35, otrzymano gaz,w którym oddziaªywania dipolowe byªy dominuj¡ e. Przy pomo y rezonansów Feshba haoddziaªywania kontaktowe zostaªy prakty znie wyª¡ zone i otrzymano zysty kondensatdipolowy [41. Trwaj¡ te» intensywne badania nad uzyskaniem kondensatu molekularnego[42, 43, 44. Molekuªy polarne ze wzgldu na i h zªo»on¡ wewnetrzn¡ struktur s¡ obie u-j¡ ymi kandydatami do bada« silnie skorelowany h ukªadów [45, 46, mog¡ by¢ przydatnew kwantowej informa ji [47, oraz pozwoli¢ na kontrolowane reak je hemi zne (ultra-zimna hemia) [48, 49 i ultra pre yzyjne pomiary [50. Ostatnio byªy obserwowane kon-trolowane reak je hemi zne molekuª KRb [49, oraz wpªyw oddziaªywa« dipolowy h nazderzenia ty h molekuª [51. Ze wzgldu na du»y elektry zny moment dipolowy molekuªys¡ doskonaªymi kandydatami do wytwarzania kondensatów z dominuj¡ ¡ rol¡ oddziaªywa«dipolowy h.Spinorowe kondensaty dipolowe mog¡ znale¹¢ poten jalne zastosowania w kwantowejmetrologii, informa ji kwantowej, badaniu efektu magneto-kalory znego. Kondensat wsie ia h opty zny h mo»na wykorzysta¢ do badania ró»ny h efektów zwi¡zany h z zyk¡ iaªa staªego taki h jak przej± ie izolator Motta - faza nad iekªa [20, 52, nadprzewodni twowysokotemperaturowe [53 zy kwantowy efekt Halla [54.W hwili obe nej pra e nad kondensatami prowadzone s¡ w kilkudziesi iu labora-toria h na aªym ±wie ie, w tym równie» w Pols e, w Krajowym Laboratorium FizykiAtomowej, Molekularnej i Opty znej w Toruniu.

14

III Rubid 87Rb jako gaz dipolowyW tym rozdziale rozprawy wyka», »e oddziaªywania dipolowe w mog¡ prowadzi¢ do ob-serwowalny h efektów w spinorowym gazie rubidowym. Przedstawi wpªyw oddziaªywa«dipolowy h na dynamik spinów i zas do hodzenia kondensatu spinorowego do stanurównowagi termodynami znej.Dynamika spinów w rubidzie w stana h F = 1 i F = 2 oraz tworzenie kondensatu wposz zególny h stana h zeemanowski h byªy badane do±wiad zalnie [26, 55. W do±wiad- zeniu Chapmana [55, w którym kondensat przygotowano w skªadniku magnety znymmF = 0, zaobserwowano transfer atomów do po z¡tkowo pusty h skªadników mF ± 1.Badania teorety zne zwi¡zane z tym do±wiad zeniem byªy przeprowadzane dla przypadkujedno- i dwuwymiarowego [28, 29, 32. W badania h ty h nie brano jednak pod uwagoddziaªywa« dipolowy h. Autorzy tªuma zyli to przybli»enie odwoªuj¡ si do niewielkiegostosunku energii dipolowej do kontaktowej. Energi dipolow¡ mo»na osza owa¢ w nastpu-j¡ y sposób:

Ed = µ2n , (3.1)gdzie µ = 12µB jest momentem magnety znym 87Rb w stanie nadsubtelnym F = 1, µB jestmagnetonem Bohra, za± n jest gsto± i¡ atomów w puªap e. Energi kontaktow¡ mo»naosza owa¢ przez:

Ec = (4π~2as/mRb)n , (3.2)gdzie as jest dªugo± i¡ rozpraszania fali `s', a mRb jest mas¡ rubidu. Stosunek ty h dwó h harakterysty zny h energii (3.3) pokazuje, dla zego oddziaªywania dipolowe w 87Rb byªyzaniedbywane

Ed/Ec = 4, 2 × 10−4 . (3.3)Z drugiej jednak strony, niektóre pra e do±wiad zalne i teorety zne pokazaªy, »e w pewny hwarunka h oddziaªywania dipolowe w spinorowym kondensa ie rubidowym mog¡ dawa¢ za-uwa»alne efekty. Przykªadem jest do±wiad zenie [56 pokazuj¡ e nisz zenie spiralnej struk-tury magnetyza ji, zy te» pra e teorety ze opisuj¡ e efekt Einsteina-de Haasa [30, 38. Wpra a h ty h badano dynamik spinów. Po hodz¡ y od oddziaªywa« kontaktowy h wyrazzwi¡zany z przekr aniem spinów jest zna znie mniejszy, ni» (3.2). Jest on propor jon-alny do Es = 4π~2(a2 − a0)n/(3mRb) (gdzie a0 = 5, 387nm, a2 = 5, 313nm). Dlatego te»,stosunek energii dipolowej do energii zwi¡zanej z oddziaªywaniem prowadz¡ ym do zmianyspinu nie jest tak maªy, jak w (3.3) i wynosi

Ed/Es = 0, 09 . (3.4)15

Dodatkowo, wy»ej wymienione osza owanie zakªada przybli»enie jednomodowe, w którymró»ne stany spinowe wspóªdziel¡ t¡ sam¡ funk j falow¡.Wyka» poni»ej, »e oddziaªywania dipolowe maj¡ istotne zna zenie w osi¡ganiu stanurównowagi termodynami znej spinorowego kondensatu rubidowego.Nie h po z¡tkowo ukªad znajduje si w stanie wzbudzonym, ze wszystkimi atomamiumiesz zonymi w skªadniku mF = 0. Skªadniki mF = ±1 nie s¡ obsadzone. W pier-wszym kroku metod¡ zasu urojonego wyzna zam stan o najmniejszej energii tak zadanegoukªadu. Otrzyman¡ w taki sposób funk j falow¡ nastpnie zaburzam w elu uzyskaniaokoªo 10% wzbudzenia energety znego. Na mo y przybli»enia pól klasy zny h powodujeto wprowadzenie do stanu po z¡tkowego atomów termi zny h. We wszystki h symula ja hw tej z± i pra y okoªo 20% wszystki h atomów stanowi hmur termi zn¡, o na mo yN0

N= 1 −

(

Tc

T

)3 (3.5)(gdzie T jest temperatur¡ kondensatu, Tc jest temperatur¡ kryty zn¡, N0 i N s¡ li zb¡ z¡stek skondensowany h i li zb¡ wszystki h z¡stek w ukªadzie) odpowiada w przy-bli»eniu T/Tc ≈ 0, 58. Sz zegóªy przybli»enia pól klasy zny h s¡ opisane w pra y [18.Aby zaini jowa¢ dynamik spinów, niezbdne jest wprowadzenie do skªadników mF =

±1 niewielkiego zarodka. W moi h ra hunka h przyjmuj, »e po z¡tkowo okoªo 0, 3%atomów znajduje si w stana h mF = ±1. Moim elem jest badanie dynamiki konden-satu, prowadz¡ ej do stanu równowagi termodynami znej. W symula ja h u»ywam siatki42 punktów w ka»dym kierunku z krokiem przestrzennym dx = 0, 6µm oraz kroku za-sowego dt = 8 × 10−7s. Rozwa»am ukªad, w którym atomy umiesz zone s¡ w sfery zniesymetry znej puªap e , zyli β = ωz/ωr = 1 (gdzie ωr jest zsto± i¡ radialn¡, za± ωz jest zsto± i¡ osiow¡ puªapki). W ukªadzie tym w stanie po z¡tkowym znajduje si N = 3×105atomów. Czsto±¢ radialna puªapki wynosi ωr = 2π × 100Hz i na tej zsto± i oparta jestjednostka dªugo± i aho =√

~/(mωr). Zewntrzne pole magnety zne wynosi B = 0. Zewzgldu na oddziaªywania, po z¡tkowo puste skªadniki magnety zne mF = ±1 zostaj¡ ob-sadzone, a nastpnie li zba atomów termi zny h wszystki h skªadników os yluje wokóª tejsamej warto± i o ozna za, »e ukªad znalazª si w równowadze termodynami znej. Zostaªoto pokazane na rysunku 2.W stanie równowagi, obsadzenia hmury termi znej skªadników mF ±1 uktuuj¡ nieza-le»nie (rys. 2). Obsadzenia skªadników mF = ±1 nie musz¡ by¢ identy zne w obe no± ioddziaªywa« dipolowy h. Natomiast w przypadku oddziaªywa« kontaktowy h, po z¡tkowamagnetyza ja jest za howana. Ku zasko zeniu, mimo tego, i» oddziaªywania dipolowes¡ du»o mniejsze od oddziaªywa« kontaktowy h, zna z¡ o zmniejszaj¡ zas termaliza jiukªadu. W obe no± i oddziaªywa« dipolowy h ukªad do hodzi do stanu równowagi po16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4CZAS @sD

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FR

AK

CJA

TE

RM

ICZ

NA

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4CZAS @sD

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FR

AK

CJA

TE

RM

ICZ

NA

Rysunek 2: Obsadzenia hmury termi znej stanów mF = +1 ( zerwony), mF = 0 ( zarny)i mF = −1 (zielony) w funk ji zasu z oddziaªywaniami dipolowymi (po lewej) i bezoddziaªywa« dipolowy h (po prawej) dla nastpuj¡ y h parametrów: N = 3× 105, β = 1,Bz = 0.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4CZAS @sD

0

10

20

30

40

EN

ER

GIA

KIN

ET

YC

ZN

AH1

04ÑΩL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4CZAS @sD

0

10

20

30

40E

NE

RG

IAK

INE

TY

CZ

NAH1

04ÑΩL

Rysunek 3: Energie kinety zne skªadników mF = +1 ( zerwony), mF = 0 ( zarny) i mF =

−1 (zielony) w funk ji zasu z oddziaªywaniami dipolowymi (po lewej) i bez oddziaªywa«dipolowy h (po prawej) dla N = 3 × 105 oraz β = 1. Zewntrzne pole magnety zne jestrówne Bz = 0. zasie t ≈ 0, 35s, pod zas gdy przy wyª¡ zony h oddziaªywania h dªugozasigowy h zasten wynosi t ≈ 1, 2s. Energie kinety zne ka»dego skªadnika wyrównuj¡ si (rys. 3). Za-uwa»my, »e wyrównanie energii kinety zny h skªadników za hodzi w tym samym zasie, o wyrównanie obsadze«.W elu lepszego zrozumienia tak silnego udziaªu oddziaªywa« dipolowy h w pro esietermaliza ji, dokªadniej zbadam przestrzenn¡ struktur skªadników magnety zny h opisy-wanego ukªadu. Rysunek 4 przedstawia typowe przekroje gsto± i spinorowej funk jifalowej. W hwili t = 250ms przekroje gsto± i wskazuj¡ na istnienie bezrdzeniowy hwirów o ªadunka h +1, 0,−1 w stana h mF = +1, 0,−1 (rys. 4, sekwen ja górna). Wiryte, zanikaj¡ na skali zasu rzdu milisekund. Nale»y podkre±li¢, »e przekroje gsto± i w17

skªadnika h mF = 1 oraz mF = −1 nie s¡ osiowo symetry zne i s¡ obró one wzgldemsiebie o π/2. Ponadto przekrywanie obu skªadników jest bardzo maªe. Taka separa jautrzymuje si przez aªy zas ewolu ji (rys. 4, sekwen ja dolna).

X

Y

-9 0 9

-9

0

9

-9 0 9

-9

0

9

-9 0 9

-9

0

9

-9 0 9

-9

0

9

-9 0 9

-9

0

9

-9 0 9

-9

0

9

Rysunek 4: Przekroje gsto± i w pªasz zy¹nie XY dla z = 0 skªadników mF = +1 (zlewej), mF = 0 (po ±rodku) oraz mF = −1 (z prawej) dla sfery znie symetry znej puªapkii N = 3 × 105 atomów w hwili t = 0, 25s (górna sekwen ja) oraz t = 0, 95s (dolnasekwen ja). Zewntrzne pole magnety zne jest równe Bz = 0. Skala wyra»ona jest w µm.W po z¡tkowej fazie ewolu ji, wyraz kontaktowy zale»ny od spinu w hamiltonianie (2.8)jest odpowiedzialny za dynami zn¡ niestabilno±¢, która prowadzi do powstania domeno prze iwnej magnetyza ji [42, 57, 58, 59. Przestrzenne przekry ie ty h domen jestniewielkie. W efek ie tego, dynami znie uksztaªtowana spinorowa funk ja falowa nie mo»eby¢ opisywana przybli»eniem jednomodowym [60, 61, 62. Dlatego te», gdy s¡ utworzonedomeny magnety zne, rola zªonu kontaktowego zna zne maleje, natomiast oddziaªywaniadipolowe maj¡ dominuj¡ ¡ rol w dynami e spinów. Warto±¢ ±rednia zªonu kontaktowegoodpowiedzialnego za zmian spinu, u±redniona po rozkªadzie przestrzennym spinorowejfunk ji falowej, wygl¡da nastpuj¡ o:εc = c2

∫

d3rΨ∗1(r)Ψ

∗−1(r)Ψ0(r)Ψ0(r) , (3.6)pod zas gdy ±rednia energia dipolowa wyra»a si jako:

εd = −~2µ2

∫

d3r

∫

d3r′Ψ∗1(r)

V (r, r′)

|r− r′|3Ψ0(r) , (3.7)gdzie V (r, r′) = 3/√

2e−iφ cos Θ sin Θ(|Ψ1(r′)|2−|Ψ−1(r

′)|2)+3/2e−2iφ sin2 Θ(Ψ∗1(r

′)Ψ0(r′)+

Ψ∗0(r

′)Ψ−1(r′)) − (1 − 3/2 sin2 Θ)(Ψ∗

0(r′)Ψ1(r

′) + Ψ∗−1(r

′)Ψ0(r′)), za± φ, Θ s¡ sfery znymik¡tamiR = r−r

′. Stosunek ty h dwó h wielko± i w zasie ewolu ji zostaª pokazany na (rys.5). Jak widzimy, wyraz dipolowy jest porównywalny z wyrazem kontaktowym, a zsto18

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4CZAS @sD

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

<¶

d><¶

c>

Rysunek 5: Stosunek ±redniej energii dipolowej do energii oddziaªywania kontaktowegoεd/εc w funk ji zasu. Zewntrzne pole magnety zne jest równe Bz = 0.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1CZAS @sD

0

2.5

5

7.5

10

12.5

15

Eki

nH1

04ÑΩL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1CZAS @sD

0

2.5

5

7.5

10

12.5

15

Eki

nH1

04ÑΩL

Rysunek 6: Energie kinety zne skªadników mF = +1, 0,−1 oraz N = 105 atomów w funk ji zasu dla geometrii lekko spªasz zonej (β = 2) z oddziaªywaniami dipolowymi (po lewej) ibez ni h (po prawej). Zewntrzne pole magnety zne jest równe Bz = 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

CZAS @sD

0

2.5

5

7.5

10

12.5

15

Eki

nH1

04ÑΩL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1CZAS @sD

0

2.5

5

7.5

10

12.5

15

Eki

nH1

04ÑΩL

Rysunek 7: Energie kinety zne skªadników mF = +1, 0,−1 oraz N = 105 atomów w funk ji zasu dla geometrii lekko wydªu»onej, β = 0, 5, z oddziaªywaniami dipolowymi (po lewej)i bez ni h (po prawej). Zewntrzne pole magnety zne jest równe Bz = 0.19

bywa nawet wikszy. Struktura dynami znie niestabilny h modów zale»y od geometriiukªadu. Aby to zobrazowa¢, przeanalizuj dwa przypadki: β = 2 (ωz = 2π × 200Hz,ωr = 2π×100Hz), odpowiadaj¡ y wydªu»onej puªap e oraz β = 0, 5 (ωz = 2π×100Hz, ωr =

2π × 200Hz), odpowiadaj¡ y spªasz zonej puªap e. W przypadku spªasz zonej geometriisiªy dipolowe zna znie przyspieszaj¡ dynamik spinów (rys. 6), pod zas gdy efekt nie jestzauwa»alny dla geometrii wydªu»onej (rys. 7). Przekroje gsto± i dla obu geometrii (rys.

X

ZY

-9 0 9

-9

0

9

-9 0 9

-9

0

9

-9 0 9

-9

0

9

-9 0 9-9

0

9

-9 0 9-9

0

9

-9 0 9-9

0

9

Rysunek 8: Przekroje gsto± i skªadników mF = +1 (po lewej) mF = 0 (po ±rodku) imF = −1 (po prawej) dla N = 105 atomów. Górna sekwen ja jest dla β = 2 w hwilit = 0, 7s, za± dolna dla β = 0, 5 w hwili t = 0, 35s. Gsto± i skªadników mF = +1 imF = −1 dla β = 2 s¡ przestrzennie rozseparowane (sekwen ja górna), pod zas gdy dlaβ = 0, 5 s¡ takie same (sekwen ja dolna). Skala wyra»ona jest w µm.8) pozwalaj¡ na zrozumienie tej ró»ni y. W przypadku spªasz zonej geometrii, dynamikaprowadzi do separa ji faz i tworzenia si lekko przekrywaj¡ y h si domen o prze iwnejmagnetyza ji. Jest to powód, dla którego oddziaªyania kontaktowe zna znie sªabn¡, za±dalekozasigowe siªy dipolowe za zynaj¡ dominowa¢. W przypadku geometrii wydªu»onej,dynamika sprzyja tworzeniu si niemal identy zny h struktur w skªadnika h mF = −1 imF = 1, a energia zwi¡zana z wyrazem kontaktowym zale»nym od spinu dominuje nadoddziaªywaniami dipolowymi.Badania teorety zne oddziaªywa« dipolowy h pokazaªy, »e aby zaobserwowa¢ efektydipolowe w 87Rb w stanie F = 1, takie jak efekt Einsteina-de Haasa [30, 37, 38, potrzebnes¡ pola o warto± ia h rzdu ∼ 10µG. Moje badania wykazuj¡, »e oddziaªywania dipolowezna z¡ o wpªywaj¡ na zas termaliza ji ukªadu. Czas potrzebny do osi¡gni ia stanurównowagi termodynami znej dla ukªadu w polu magnety znym o warto± i Bz = 1mG(rys. 9) w puªap e sfery znie symetry znej jest prawie identy zny, jak w przypadku Bz = 0(rys. 2) i jest równy t ≈ 0, 4s. Zaniedbanie oddziaªywa« dipolowy h prowadzi do termaliza- ji ukªadu w zasie trzykrotnie dªu»szym. W przypadku, gdy Bz = 100mG, ukªad osi¡ga20

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4CZAS @sD

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FR

AK

CJA

TE

RM

ICZ

NA

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4CZAS @sD

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FR

AK

CJA

TE

RM

ICZ

NA

Rysunek 9: Obsadenia hmury termi znej stanów mF = +1 ( zerwony), mF = 0 ( zarny)i mF = −1 (zielony) w funk ji zasu z oddziaªywaniami dipolowymi (po lewej) i bezoddziaªywa« dipolowy h (po prawej) dla nastpuj¡ y h parametrów: N=3 × 105, β = 1,Bz = 1mG. Wª¡ zenie pola magnety znego nie wpªynªo istotnie na zas termaliza jiukªadu.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4CZAS @sD

0

10

20

30

40

EN

ER

GIA

KIN

ET

YC

ZN

AH1

04ÑΩL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4CZAS @sD

0

10

20

30

40

EN

ER

GIA

KIN

ET

YC

ZN

AH1

04ÑΩL

Rysunek 10: Energie kinety zne skªadników mF = +1 ( zerwony), mF = 0 ( zarny)i mF = −1 (zielony) w funk ji zasu z oddziaªywaniami dipolowymi (po lewej) i bezoddziaªywa« dipolowy h (po prawej) dla N = 3 × 105 oraz β = 1. Zewntrzne polemagnety zne jest równe Bz = 1mG.równowag termodynami zn¡ po zasie t ≈ 0, 7s, pod zas gdy bez oddziaªywa« dipolowy hukªad termalizuje po zasie t ≈ 1, 2s (rys. 11). Oddziaªywania dipolowe wpªywaj¡ wi na zas termaliza ji ukªadu nawet dla pól magnety zny h o warto± i 100mG. Przekrojegsto± i (rys. 13) pokazuj¡, »e dla pól magnety zny h o warto± i Bz = 100mG, modymF = ±1 maj¡ posta¢ niestabilny h modów Bogoliubov'a uzyskany h w symula ja h 2Dtego ukªadu z pomini iem oddziaªywa« dipolowy h [32. Porównuj¡ rysunki (rys. 9 i rys.11), przy uwzgldniony h oddziaªywania h dipolowy h obserwuj wydªu»enie zasu termal-iza ji ukªadu dla pola magnety znego o warto± i Bz = 100mG. Wnioskuj wi , »e polemagnety zne o wzgldnie du»y h warto± ia h, powoduje maskowanie efektów dipolowy h.21

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4CZAS @sD

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1F

RA

KC

JAT

ER

MIC

ZN

A

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4CZAS @sD

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FR

AK

CJA

TE

RM

ICZ

NA

Rysunek 11: Obsadenia hmury termi znej stanów mF = +1 ( zerwony), mF = 0 ( zarny)i mF = −1 (zielony) w funk ji zasu z oddziaªywaniami dipolowymi (po lewej) i bezoddziaªywa« dipolowy h (po prawej) dla nastpuj¡ y h parametrów: N=3 × 105, β =

1, Bz = 100mG. Wª¡ zenie pola magnety znego o warto± i Bz = 100mG spowodowaªowydªu»enie zasu termaliza ji dla kondensatu z oddziaªywaniami dipolowymi.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4CZAS @sD

0

10

20

30

40

EN

ER

GIA

KIN

ET

YC

ZN

AH1

04ÑΩL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4CZAS @sD

0

10

20

30

40

EN

ER

GIA

KIN

ET

YC

ZN

AH1

04ÑΩL

Rysunek 12: Energie kinety zne skªadników mF = +1 ( zerwony), mF = 0 ( zarny)i mF = −1 (zielony) w funk ji zasu z oddziaªywaniami dipolowymi (po lewej) i bezoddziaªywa« dipolowy h (po prawej) dla N = 3 × 105 oraz β = 1. Zewntrzne polemagnety zne jest równe Bz = 100mG.Dla pól o warto± ia h Bz ≈ 700mG za zyna dominowa¢ kwadratowy efekt Zeemana i pro- esy prowadz¡ e do stanów z mF ± 1 s¡ nierezonansowe (nie za howuj¡ energii). Dlategokondensat pozostaje w stanie mF = 0 [27.Opró z badania zasu termaliza ji, oba ukªady daj¡ mo»liwo±¢ obserwa ji bogaty hstruktur tekstur spinowy h. Typowe struktury w pªasz zy¹nie `x-y' wektora spinu[< Fx >, < Fy >] (gdzie < · > ozna za u±rednienie wzdªu» osi z) dla przypadku z oddziaªy-waniami dipolowymi w polu Bz = 1mG oraz Bz = 100mG przedstawione s¡ na rysunka h(rys. 14) oraz (rys. 15). Rysunki przedstawiaj¡ lokalnie kierunek oraz warto±¢ ±redniejmagnetyza ji ukªadu w pªasz zy¹nie `x-y'. Na przedstawiony h sekwen ja h rysunków22

XY

-9 0 9

-9

0

9

-9 0 9

-9

0

9

-9 0 9

-9

0

9

-9 0 9

-9

0

9

-9 0 9

-9

0

9

-9 0 9

-9

0

9

Rysunek 13: Przekroje gsto± i skªadników mF = +1 (po lewej) mF = 0 (po ±rodku) imF = −1 (po prawej) dla N = 3×105 atomów w z = 0 w puªap e sfery znie symetry znej.Górna sekwen ja odpowiada przypadkowi z oddziaªywaniami dipolowymi, za± dolna bezni h w hwili t = 0, 45s. Ukªad znajduje si w polu magnety znym Bz = 1mG.wida¢, »e ka»dy z wektorów magnetyza ji wiruje z pewn¡ zsto± i¡, któr¡ mo»na porów-na¢ z zsto± i¡ Larmora. Czsto±¢ pre esji wektora spinu mo»na wyzna zy¢ ze wzoruLarmora

ωL = γBz , (3.8)Dla pola magnety znego o warto± i Bz = 1mG, zsto±¢ Larmora wynosi ω1mGL /ωr = 6, 9, o odpowiada okresowi t1mG

L = 1, 45 × 10−3s (rys. 14). Dla pola o warto± i Bz = 100mG zsto±¢ Larmora wynosi ω100mGL /ωr = 690 a okres wynosi tL = 1, 45 × 10−5s (rys. 15), o jest zgodne z moimi symula jami. Jednak dla maªy h warto± i pól magnety zny h zaspre esji spinu w przypadku, gdy oddziaªywania dipolowe s¡ s¡ uwzgldnione, nie zgadzasi z (3.8). Na przykªad, dla pola o warto± i Bz = 10µG okres pre esji wektora spinuwyzna zony ze wzoru (3.8) jest dwukrotnie mniejszy gdy uwzgldni si oddziaªywaniadipolowe. Ró»ni a jest spowodowana tym, »e lokalne pole magnety zne, które od zuwaspin, jest inne ni» pole Bz. Zgodno±¢ zasu pre esji wektora spinu ze wzorem Larmorauzyskuje si, gdy pole zewntrzne Bz zast¡pi si efektywnym polemmagnety znym, któregow skªad w hodz¡ oddziaªywania dipolowe oraz oddziaªywania kontaktowe zale»ne od spinu[64,

Beff(r) = B(r) +c2

γµBS(r) +

cd

γµB

∫

d3r′S(r′) − 3[S(r′) · e]e

|r − r′|3 , (3.9)gdzie cd = µ0µ2Bg2/(4π), S(r) = Ψ∗

i (r)FijΨj(r) oraz e = (r − r′)/|r − r

′|. Obrót wektorówmagnetyza ji w zasie powoduje, »e tekstury zmieniaj¡ swoj¡ geometri w zasie (por.23

rysunek pierwszy z (rys. 14) na którym wektory magnetyza ji skierowane s¡ do ±rodka irysunek pi¡ty z (rys. 14) na którym wektory magnetyza ji skierowane s¡ na zewn¡trz).W pra y [63 autorzy sugeruj¡, »e jednym ze sposobów zauwa»enia efektów dipolowy hw spinorowym kondensa ie rubidowym dla pól rzdu B = 100mG jest obserwa ja teksturspinowy h. Moje symula je pokazuj¡, »e nie ma ró»ni w ksztaª ie tekstur spinowy h dlapól o warto± ia h Bz = 1mG (rys. 14) i Bz = 100mG (rys. 15). Pomini ie oddziaªywa«dipolowy h nie wpªywa na ró»ni e w ksztaª ie tekstur spinowy h.

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

Rysunek 14: Sekwen ja rysunków przedstawiaj¡ a zmiany tekstur spinowy h. Dªugo± iwektorów, jak równie» i h kolory reprezentuj¡ wielko±¢ (< Fx >2 + < Fy >2)1/2. Warto±¢zewntrznego pola magnety znego wynosi Bz = 1mG, zsto±¢ Larmora ω1mGL /ωr = 6, 9za± zas jednego obrotu tL = 1, 45 × 10−3s. Sekwen ja rysunków rozpo zyna si w hwili

t = 1, 2s i ko« zy si po pojedyn zym yklu. Oddziaªywania dipolowe s¡ uwzgldnione.Skala podana jest w µm.

24

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

-5.5 0 5.5

-5.5

0

5.5

Rysunek 15: Sekwen ja rysunków przedstawiaj¡ a zmiany tekstur spinowy h. Dªugo± iwektorów, jak równie» i h kolory reprezentuj¡ wielko±¢ (< Fx >2 + < Fy >2)1/2. Warto±¢zewntrznego pola magnety znego wynosi Bz = 100mG, zsto±¢ Larmora ω100mGL /ωr =

690 za± zas jednego obrotu tL = 1, 45×10−5s. Sekwen ja rysunków rozpo zyna si w hwilit = 0, 75s i ko« zy si po pojedyn zym yklu. Oddziaªywania dipolowe s¡ uwzgldnione.Skala podana jest w µm.

25

III.1 WnioskiW tej z± i rozprawy wykazaªem, »e oddziaªywania dipolowe w istotny sposób skra- aj¡ zas termaliza ji ukªadu. Oddziaªywania dipolowe, które prowadz¡ do dynamikispinów staj¡ si porównywalne z oddziaªywaniami kontaktowymi. Spowodowane jest totym, »e oddziaªywania kontaktowe s¡ propor jonalne do ró»ni y dªugo± i rozpraszaniac2 ∼ (a2−a0) oraz tym, »e nastpuje separa ja skªadowy h o ró»nej magnetyza ji. Jest tozwi¡zane ze struktur¡ niestabilny h modów Bogoliubova. W zwi¡zku z tym, krótkozasi-gowe oddziaªywania kontaktowe staj¡ si porównywalne, a nawet mniejsze w stosunku dooddziaªywa« dipolowy h. Istotne zna zenia miaªo równie» wyj± ie poza przybli»enie jed-nomodowe, ze wzgldu na niezna zne przekrywanie si przestrzenne skªadników magnety- zny h. Wykazaªem, »e w pro esa h, w który h wa»na jest dynamika spinów, oddziaªywa«dipolowy h w spinorowym kondensa ie rubidowym nie mo»na pomin¡¢.Ra hunki przeprowadziªem dla ró»ny h warto± i pól magnety zny h. Dla stosunkowomaªy h pól (Bz ∼ 1mG) zaobserwowaªem zna z¡ y wpªyw pola magnety znego na pro estermaliza ji. Dla wikszy h warto± i pola magnety znego, tj. Bz ∼ 100mG, rola oddziaªy-wa« dipolowy h byªa nie o mniejsza, a zkolwiek nadal zas termaliza ji ukªadu pozostajeo poªow krótszy w stosunku do przypagku, gdy w ukªadzie s¡ uwzgldnione tylko oddzi-aªywania kontaktowe.

26

IV Rezonanse magnety znew efek ie Einsteina-de HaasaW poprzednim rozdziale rozprawy wykazaªem, »e efekty zwi¡zane z uwzgldnieniem od-dziaªywa« dipolowy h mog¡ by¢ zauwa»one w spinorowym kondensa ie rubidowym. Nadynamik kondensatu wpªywaªo równie» przyªo»one pole magnety zne. W tej z± i pra ywyka», »e odpowiedni dobór warto± i pola magnety znego mo»e zna znie uwydatni¢efekty dipolowe w kondensa ie Bosego-Einsteina. Poka», »e istnieje szereg rezonansówdipolowy h, prowadz¡ y h do ró»ny h struktur przestrzenny h w skªadnika h mF = 0 imF = −1.Wpªyw pola magnety znego sz zególnie zazna za si w efek ie Einsteina-de Haasa [37.Efekt ten po hodzi z zyki materii skondensowanej. Idea tego efektu jest nastpuj¡ a.Prt wykonany z ferromagnetyka zostaje zawieszony na nit e i umiesz zony w polu mag-nety znym o induk ji B, skierowanym do góry (rys 16a). Je±li kierunek pola zmienimy naprze iwny, to spiny atomów bd¡ si staraªy ustawi¢ zgodnie z nowym kierunkiem polamagnety znego, st¡d magnetyza ja próbki zmienia znak. Poniewa» aªkowity momentpdu musi zosta¢ za howany,

~J = ~S + ~L = const. , (4.1)zmiana magnetyza ji musi spowodowa¢ pojawienie sie orbitalnego momentu pdu (rys16b). Przejawia si to obra aniem si prta.

Rysunek 16: Efekt Einsteina-de Haasa. Rysunek a) przedstawia stan po z¡tkowy ukªaduw zewntrznym polu magnety znym. Rysunek b) przedstawia stan ukªadu po zmianieorienta ji pola magnety znego. Efektem jest pojawienie si orbitalnego momentu pdu iobrót prta.Efekt Einsteina-de Haasa mo»e by¢ równie» zrealizowany w kondensa ie Bosego-Einstei-na [30, 38. W pra y [30 pokazano, »e je±li kondensat Bosego-Einsteina jest przygotowanyw stanie podstawowym puªapki i wszystkie atomy znajduj¡ si w skªadniku mF = 1, to27

przy pewnej warto± i pola magnety znego B = (0, 0, Bz), po zasie t ≈ 0, 2s na skutekoddziaªywa« dipolowy h zostan¡ obsadzone kolejno skªadniki mF = 0 i mF = −1. Dziejesi tak tylko dla warto± i rezonansowej pola magnety znego. Autorzy argumentuj¡, »erezonans wystpuje, gdy energia rota yjna atomu (ǫrot) w skªadniku mF = 0 jest równaenergii spinu w polu rezonansowym: µBrez = ǫrot, gdzie µ jest warto± i¡ magnety znegomomentu dipolowego. W obe no± i oddziaªywa« dipolowy h za howany jest aªkowitymoment pdu (4.1), wi zmiana magnetyza ji ukªadu spowoduje powstanie orbitalnegomomentu pdu w posz zególny h skªadnika h. W stanie po z¡tkowym mF = 1, warto±¢rzutu orbitalnego momentu pdu na o± z (na atom) wynosi zero. Po zmianie orienta jipola magnety znego i pojawieniu si niezerowego obsadzenia pozostaªy h skªadników, rzutorbitalnego momentu pdu na o± z (na atom) wynosi 1 oraz 2 dla mF = 0 i mF = −1odpowiednio. Poniewa» mF mo»e zmieni¢ si o ∆mF ± 1, obsadzenie skªadnika mF = −1jest pro esem wy»szego rzdu w oddziaªywania h dipolowy h.W tej z± i rozprawy bd staraª si lepiej zrozumie¢ natur ty h rezonansów dipolowy h.W sz zególno± i poka», »e istnieje szereg taki h rezonansów. Dla ka»dego z ni h funk jefalowe skªadników mF = 0 i mF = −1 maj¡ odrbnn¡ struktur przestrzenn¡.W moi h symula ja h numery zny h rozwa» kondensat skªadaj¡ y si z N = 5 × 104atomów w puªap e harmoni znej o geometrii ygara w stanie po z¡tkowym mF = 1.Czsto± i puªapki maj¡ warto± i ωr = 2π × 400Hz oraz ωz = 2π × 100Hz. Obli zenianumery zne przeprowadz na siat e 25 × 25 punktów w kierunku radialnym i 26 punktóww kierunku osiowym. Kroki przestrzenne to dx = dy = 0.275µm oraz dz = 0.375µm. Krok zasowy u»yty do aªkowania to dt = 8×10−7s. Równanie, które wykorzystuj w tej z± ipra y to równanie GP dla spinorowego kondensatu dipolowego w polu magnety znym (2.8).Puªapka jest opisana poten jaªem harmoni znym:Vtrap =

1

2mRbωr(x

2 + y2 + β2z2) , (4.2)gdzie ωr = 2π × 100Hz, β = ωz/ωr = 4.Rysunek 17 przedstawia transfer atomów do stanu mF = 0 oraz mF = −1 w funk jipola magnety znego. Wida¢, »e tylko przy pewny h warto± ia h pola magnety znegoza hodzi transfer do skªadników mF = 0 i mF = −1. Rysunek pokazuje ztery takiemaksima wido zne w obsadzenia h stanu mF = 0. Tylko dwa wyra¹ne maksima wystpuj¡w skªadniku mF = −1.Rysunki 18 i 19 pokazuj¡, jak obsadzenia stanów mF = 0 i mF = −1 narastaj¡ w zasiedla dwó h pierwszy h rezonansów. Wida¢, »e osi¡gaj¡ one warto±¢ maksymaln¡ po zasierzdu t = 0, 1s. Jest to typowy zas zwi¡zany z oddziaªywaniami dipolowymi tdip ∼ ~/Edip.Po osi¡gni iu maksymalnej warto± i obsadzenia za zynaj¡ male¢. Rysunki te sugeruj¡, »e28

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3POLE MAGNETYCZNE @mGD

0

2.5

5

7.5

10

12.5

15

OB

SA

DZ

EN

IA@x

103D

0 0.050.10.150.20.250.30123456

Rysunek 17: Obsadzenia stanu mF = 0 (obrazek gªówny) oraz mF = −1 (wstawka) wfunk ji pola magnety znego. Rezonanse s¡ wido zne przy pola h o warto± ia h Bz =0.12,0.16, 0.22 oraz 0.28mG. Maksymalne obsadzenie stanu przy danym rezonansie wystpujezwykle po zasie t ≈ 0, 1s.

0 0.05 0.1 0.15 0.2CZAS @sD

0

2

4

6

8

10

12

14

OB

SA

DZ

EN

IA@x

103D

Rysunek 18: Obsadzenia stanów mF = 0 ( zarny) i mF = −1 (szary) w funk ji zasudla pierwszego rezonansu. Warto±¢ pola magnety znego wynosi Bz = 0, 12mG. Pierwszemaksimum obsadzenia stanu przy tym rezonansie nastpuje po zasie t = 0, 1s.istniej¡ os yla je popula ji stanu mF = 0 o okresie rzdu tdip. W przypadku pozostaªy hrezonansów jest podobnie.Teraz poka», »e struktura przestrzenna gsto± i skªadników mF = 0 i mF = −1 jest harakterysty zn¡ e h¡ konkretnego rezonansu. Rysunki 20 oraz 21 pokazuj¡ przekrojegsto± i w skªadnika h mF = 0 i mF = −1 w pªasz zy¹nie XZ dla y = 0. Wida¢, »e atomytworz¡ kilka pier± ieni toroidalny h rozmiesz zony h wzdªu» osi z. Li zba pier± ieni zale»yod danego rezonansu. W przypadku mF = 0 li zba pier± ieni jest zawsze parzysta, za± wprzypadku mF = −1 jest nieparzysta.Rysunek 22 przedstawia przekroje gsto± i i fazy w stana h mF = 1, 0,−1 w hwili29

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25CZAS @sD

0

2

4

6

OB

SA

DZ

EN

IA@x

103D

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.050.1

0.150.2

0.250.3

Rysunek 19: Obsadzenia stanów mF = 0 (obraz gªówny) i mF = −1 (wstawka) w funk ji zasu dla drugiego rezonansu. Warto±¢ pola magnety znego wynosi Bz = 0, 16mG, za±β = 4. Pierwsze maksymalne obsadzenie stanu przy tym rezonansie nastpuje po zasiet = 0, 15s.

-3 0 3

-10

0

10

-3 0 3

-10

0

10

-3 0 3

-10

0

10

-3 0 3

-10

0

10

Rysunek 20: Przekroje gsto± i w pªasz zy¹nie `XZ' i y = 0 w stanie mF = 0 dlaN = 5×104oraz β = 4. Dla kolejny h rezonansów wzrasta li zba pier± ieni, przy zym jest ona zawszeparzysta. Skala podana jest w µm.t = 0, 1s w pªasz zy¹nie XY przy z = 3µm, odpowiadaj¡ ej pojawieniu si pierwszegomaksimum transferu do wy»ej wymieniony h stanów dla pierwszego rezonansu. Faza wstanie mF = 0 nawija si o 2π, wi ªadunek topologi zny wiru wynosi M = 1. W staniemF = −1 faza nawija si o 4π, wi ªadunek topologi zny wiru wynosi M = 2.W przypadku puªapki sfery znie symetry znej równie» mo»liwa jest obserwa ja rezo-nansowej natury rozwa»anego zagadnienia (rys. 23). Dla N = 5 × 104 atomów, strukturypowstaj¡ e w przekroja h gsto± i (rys. 25) w przypadku pierwszego rezonansu s¡ identy- zne jak w przypadku omawianym we wstpie tego rozdziaªu i pra y [30. W przypadkudrugiego rezonansu struktury pojawiaj¡ e si w przekroja h gsto± i (rys. 26) s¡ inne ni»30

-3 0 3

-10

0

10

-3 0 3

-10

0

10

-3 0 3

-10

0

10

-3 0 3

-10

0

10

Rysunek 21: Przekroje gsto± i w pªasz zy¹nie `XZ' i y = 0 w staniemF = 0 dlaN = 5×104oraz β = 4. Dla kolejny h rezonansów wzrasta li zba pier± ieni, przy zym jest ona zawszenieparzysta. Skala podana jest w µm.

-3 0 3

-3

0

3

-3 0 3

-3

0

3

-3 0 3

-3

0

3

-3 0 3

-3

0

3

-3 0 3

-3

0

3

-3 0 3

-3

0

3

Rysunek 22: Przekroje fazy i gsto± i w pªasz zy¹nie `XY' w stana h mF = 1 (z lewej),mF = 0 (po ±rodku) i mF = −1 (z prawej) dla N = 5 × 104 oraz β = 4. Przekrojeodpowiadaj¡ pierwszemu rezonansowi dla pola Bz = 0, 12mG, w hwili t = 0, 1s. Wstanie mF = 1 faza jest staªa. W stana h mF = 0 i mF = −1 ze wzgldu na za howanie aªkowitego momentu pdu s¡ wiry o ªadunka h topologi zny h M = 1 i M = 2 odpowied-nio. Skala podana jest w µm.dla puªapki typu ygaro omawianej w ze±niej. Jest to spowodowane geometri¡ puªapki.W puªap e osiowo symetry znej najni»sze stany wzbudzone odpowiadaj¡ wzbudzeniomw kierunku osi `z'. Rezonanse prowadz¡ e do ty h stanów s¡ najsilniejsze oraz odpowiadaj¡najmniejszym warto± iom pola Bz. W przypadku puªapki o symetrii sfery znej, energiewzbudze« radialny h s¡ takie same, jak wzbudze« osiowy h. Dlatego rezonanse odpowiada-j¡ e wzbudzeniom radialnym konkuruj¡ z rezonansami osiowymi i pojawiaj¡ si równie» dlamaªy h pól Bz. Obsadzenia stanów mF = 0 i mF = −1 dla puªapki sfery znie symetry znej31

wygl¡daj¡ podobnie jak dla puªapki osiowo symetry znej (rys. 24). Struktury gsto± i ato-mowy h dla kolejny h rezonansów zwi¡zane s¡ ze wzbudzeniami w kierunku radialnym.0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

POLE MAGNETYCZNE @mGD

0

2

4

6

8

10

12

OB

SA

DZ

EN

IA@x

103D

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.05

0.1

0.15

0.2

Rysunek 23: Obsadzenia stanów mF = 0 (obrazek gªówny) oraz mF = −1 (wstawka) wfunk ji pola magnety znego dla puªapki sfery znie symetry znej (β = 1) dla N1 = 5 × 104atomów. Rezonanse s¡ wido zne przy pola h o warto± ia h Bz = 0, 04 oraz 0, 16mG.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5CZAS @sD

0

2

4

6

8

10

12

OB

SA

DZ

EN

IA@x

103D

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

Rysunek 24: Obsadzenia stanów mF = 0 (obrazek gªówny) oraz mF = −1 (wstawka) wfunk ji zasu dla puªapki sfery znie symetry znej (β = 1). Po zasie t ≈ 0, 32s nastpujemaksymalne obsadzenie obu stanów, które wynosi N0 = 14× 103 oraz N−1 = 250 atomów.Warto±¢ pola rezonansowego wynosi Bz = 0, 04mG.

32

-7 0 7

-7

0

7

-7 0 7

-7

0

7

-7 0 7

-7

0

7

-7 0 7

-7

0

7

-7 0 7

-7

0

7

-7 0 7

-7

0

7

Rysunek 25: Faza i gsto±¢ w stana h mF = 0 i mF = −1 odpowiadaj¡ e pierwszemurezonansowi w hwili t = 0, 32s. N0 = 14×103 atomów, N−1 = 250 atomów, Bz = 0, 04mG.Puªapka sfery znie symetry zna. W stanie po z¡tkowym znajdowaªo si N1 = 5 × 104atomów. Skala podana jest w µm.

-7 0 7

-7

0

7

-7 0 7

-7

0

7

-7 0 7

-7

0

7

-7 0 7

-7

0

7

-7 0 7

-7

0

7

-7 0 7

-7

0

7

Rysunek 26: Faza i gsto±¢ w stana h mF = 0 i mF = −1 odpowiadaj¡ e drugiemurezonansowi w hwili t = 0, 35s. N0 = 2700 atomów, N−1 = 17 atomów, Bz = 0, 16mG.Puªapka sfery znie symetry zna. W stanie po z¡tkowym znajdowaªo si N1 = 5 × 104atomów. Skala podana jest w µm.33

W elu wyja±nienia me hanizmu powstawania rezonansów oraz obserwowany h struk-tur pojawiaj¡ y h sie przy odpowiednio dobranym polu magnety znym, rozwa» prostymodel. W modelu tym rozwa» ukªad dwó h atomów w poten jale harmoni znym V =

1/2ω2r(x

2 + y2 + β2z2) (gdzie β = ωz/ωr) z uwzgldnieniem oddziaªywa« dipolowy h.Pomin oddziaªywania kontaktowe, gdy» te oddziaªywania prowadz¡ jedynie do prze-suni ia warto± i rezonansowego pola magnety znego, nie wnosz¡ istotny h elementówzwi¡zany h z natur¡ ty h rezonansów. Ponadto, pomini ie oddziaªywa« kontaktowy hzna znie uªatwia analiz problemu.Je±li oba atomy w stanie mF = +1 s¡ w stanie podstawowym ±rodka masy,φ0(ρ, ϕ, z) = e−(ρ2−βz2)/2 , (4.3)o energii

E0 = 1 +1

2β , (4.4)(gdzie ρ =

√

x2 + y2) to w wyniku oddziaªywa« dipolowy h, jeden lub oba atomy mog¡zosta¢ przeniesione do stanu mF = 0 oraz stanu wzbudzonego ±rodka masy. Przej± ie dostanu mF = −1 jest przej± iem drugiego rzdu w oddziaªywania h dipolowy h, dlategow tym uprosz zonym modelu je zaniedbam. Oddziaªywania dipolowe sprzgaj¡ wi stan(4.3) z jednym ze stanów wzbudzony h puªapkiφnk(ρ, ϕ, z) = Nnke

−(ρ2−βz2)/2ρL1n(ρ2)Hk(

√

βz)eiϕ , (4.5)gdzie Nnk jest zynnikiem normaliza yjnym, L1n to stowarzyszone wielomiany Laguera,

Hk to wilomiany Hermita, a ϕ jest k¡tem azymutalnym wektora r. Ze wzgldu na za- howanie rzutu aªkowitego momentu pdu, zmianie rzutu spinu na o± `z' o ∆mF = −1musi towarzyszy¢ zwikszenie rzutu orbitalnego momentu pdu o jeden, ∆m = 1. Dlategostan po z¡tkowy φ0 sprzga si jedynie ze stanami odpowiadaj¡ ymi L1n. W ogólno± istany wªasne os ylatora harmoni znego dane s¡ przez L

|m|n . Energie wªasne ty h stanów(zaniedbuj¡ bardzo maªe poprawki od siª dipolowy h) to:

Enk = (n + 2βk) +5

2. (4.6)Amplitudy przeskoku atomów ze stanu mF = 1 do stanu mF = 0 dane s¡ aªkami:

〈φ0(ρ2, ϕ2, z2)φn1k1(ρ1, ϕ1, z1)|Vdip(r1 − r2)|φ0(ρ1, ϕ1, z1)φ0(ρ2, ϕ2, z2)〉 = ε

(1)n1k1

, (4.7) o opisuje przeskok jednego atomu z mF = 1 i φ0(r) do mF = 0 i φn1k1(r) oraz

〈φn21k2(ρ2, ϕ2, z2)φn11k1

(ρ1, ϕ1, z1)|Vdip(r1 − r2)|φ0(ρ1, ϕ1, z1)φ0(ρ2, ϕ2, z2)〉 = ε(2)n1k1,n2k2

,(4.8)34

o opisuje jedno zesny przeskok dwó h atomów ze stanu mF = 1 i φ0(r) do mF = 0i φn1k1(r1) φn2k2

(r2). Elementy ma ierzowe ε(1)n1k1

i ε(2)n1k1,n2k2

s¡ odpowiedzialne za teprzeskoki. Wyraz ε(2)n1k1,n2k2

jest ró»ny od zera, je±li li zby kwantowe k1, k2, które mówi¡ owzbudzeniu w kierunku `z', speªniaj¡ warunek k1 + k2 = 2j (j = 0, 1, 2, 3, ...). Aby wyrazε(1)n1k1

byª niezerowy, li zba kwantowa k1 musi przyjmowa¢ warto± i nieparzyste. Ampli-tudy (4.7) i (4.8) szybko malej¡ wraz ze wzrostem energii stanu, do którego nastpuj¡przeskoki. Dlatego najªatwiej jest zaobserwowa¢ przej± ia do stanów opisany h maªymili zbami kwantowymi n i k. W przypadku geometrii ygara (β < 1) najni»sze wzbudzenias¡ wzbudzeniami w kierunku osi `z' (k 6= 0). W sz zególno± i dominuje pro es, dla któregok = 1, n = 1, zyli jeden z atomów prze hodzi do stanu φ11(r). Gsto± i odpowiadaj¡ estanom z n=1, k=1,3 i 5 s¡ przdstawione na rysunku (rys. 27). Wida¢, »e i h geometriaodpowiada gsto± iom atomowym stanów otrzymany h w peªny h obli zenia h dla du»ejli zby z¡stek (rys. 20). Warto zwró i¢ uwag, »e w przypadku geometrii typu `dysk',

Rysunek 27: Stany |φ1k(r)|2 dla k = 1, k = 3 oraz k = 5, zyli dla kolejny h wzbudze«wzdªu» osi `z'. Struktury s¡ niemal identy zne, jak dla przypadku N = 5 × 104 atomów(patrz rys. 20).niskie stany wzbudzone odpowiadaj¡ k1 = k2 = 0, n = 2.Elementy ma ierzowe ε(1)n1k1

i ε(2)n1k1,n2k2

s¡ maªe dla atomów 87Rb w typowej puªap e. Wrozwa»anym przypadku wynosz¡ one ε(1)11 = 1, 33 × 10−6 (w jednostka h os ylatorowy h),

ε(2)10 = 3, 15 × 10−6 oraz ε

(2)11 = 1.26 × 10−6. Dla porównania, energia stanu podstawowego(4.4) to E0 = 1, 25, za± energie stanów wzbudzony h (4.6) wynosz¡ E10 = 2, 25 oraz

E11 = 2, 75. Warto± i elementów ma ierzowy h ε(1)n1k1

i ε(2)n1k1,n2k2

zale»¡ od momentu mag-nety znego atomu.Przej± ie do stanów wzbudzony h jest wydajne, je±li energie oddziaªywa« dipolowy hε(1)n1k1

lub ε(2)n1k1,n2k2

s¡ rzdu ró»ni y energii ukªadu dwó h atomów w stanie ko« owym ipo z¡tkowym. Dla pro esów, gdy zmienia si spin tylko jednego atomu (patrz 4.7) ta35

ró»ni a energii wynosi ∆E(0)n1k1

= En11k1− E0, za± w sytua ji, gdy dwa atomy zmieniaj¡spin ∆E

(0)n1k1,n2k2

= En11k1+ En21k2

− 2E0. Dla typowy h puªapek ∆E(0) ≫ ε(1)n1k1

, ε(2)n1k1,n2k2

.Zauwa»my, »e w stanie po z¡tkowym rzut spinu obu atomów na o± `z' wynosi mF = +1, zyli wypadkowy rzut spinu na o± `z' jest równy +2. Je±li spin jednego z atomów przesko zydo stanu mF = 0, to sumary zny rzut spinu ukªadu dwó h atomów w stanie ko« owymwynosi +1. Z tego powodu, stan po z¡tkowy i ko« owy doznaj¡ ró»ny h przesuni¢ zeema-nowski h, gdy ukªad znajduje si w sªabym polu magnety znym B. Wtedy ró»ni a energiiukªadu w stanie ko« owym i po z¡tkowym wynosi∆EB

n1k1= ∆E

(0)n1k1

+ µB . (4.9)Mo»na wi tak dobra¢ pole magnety zne, aby energie po z¡tkowe i ko« owe ukªadu byªysobie równe. W sz zególno± i, dla pro esów, gdy jeden z dwó h atomów w wyniku oddzi-aªywania zmienia spin, ró»ni a energii ko« owej i po z¡tkowej ukªadu wynosi:∆EB

n1k1= n1 +

3

2+ β

(

2k1 −1

2

)

+ µB . (4.10)Warunek rezonansu, ∆EBn1k1

= 0, daje warto±¢ rezonansowego polaµBrez = −

(

n1 + β

(

2k1 −1

2

)

+3

2

)

. (4.11)Podobnie jest w przypadku, gdy oba atomy zmieniaj¡ spin i prze hodz¡ do stanuφn1k1

(r1)φn2k2(r2). Wtedy ró»ni a energii ko« owej i po z¡tkowej dana jest przez

∆EBn1k1,n2k2

= ∆E(0)n1k1,n2k2

+ 2µB , (4.12) o prowadzi do rezonansowej warto± i pola2µBrez = − (n1 + n2 + 3 + β (2k1 + 2k2 − 1)) . (4.13)Wida¢, »e wybieraj¡ odpowiedni¡ warto±¢ Brez mo»na wybra¢ stan ±rodka masy atomu, doktórego nastpuje przej± ie. Sªabe oddziaªywanie dipolowe, o energii dipolowej mniejszejni» energie wzbudze« w puªap e, s¡ wi bardzo selektywne. Wybieraj¡ odpowiedni¡warto±¢ pola B, mo»na dostroi¢ si do wybranego przej± ia. Czyli dla ka»dej warto± i Brezistnieje jeden (pomijaj¡ przypadkow¡ degenera j) stan ko« owy, do którego przeskakuj¡atomy.Ten uprosz zony model jest zgodny z moimi w ze±niejszymi rezultatami numery znymi.Ze wzgldu na pomini ie oddziaªywa« kontaktowy h oraz ograni zenie rozwa»a« do dwó hatomów nie pozwala on na znalezienie rezonansowy h warto± i pola w przypadku wielu z¡stek, który badaªem numery znie w tym rozdziale rozprawy.36

Moje ra hunki numery zne odpowiadaj¡ w wikszo± i geometrii ygara, dlatego najsil-niejsze rezonanse odpowiadaj¡ prze hodzeniu tylko jednego z oddziaªuj¡ y h atomów dowybrany h stanów wzbudzony h wzdªu» osi `z', które odpowiadaj¡ nieparzystym wielomia-nom Hermita. Dla ni h obserwuje si parzyst¡ li zb pier± ieni w stanie mF = 0. W przy-padku, gdy mam do zynienia z puªapk¡ w ksztaª ie dysku, nisko le»¡ e stany, do który hprze hodz¡ atomy, odpowiadaj¡ wzbudzeniom w kierunku radialnym. Struktury gsto± iatomowy h bd¡ wi okre±lone ksztaªtem zwi¡zanym z wielomianami Laguera L1n. Wpuªap e sfery znie symetry znej, wzbudzenia we wszystki h kierunka h odpowiadaj¡ tejsamej energii, wi ko« owe struktury gsto± i atomowy h w zale»no± i od warto± i Brezbd¡ w ogólno± i dane przez |φnk(r)|2, dla n = 1, 2, 3, ... i k = 0, 1, 2, ... .

37

38

IV.1 WnioskiRa hunki numery zne przedstawione w tej z± i rozprawy pokazuj¡ zarówno rezonansowy harakter oddziaªywa« dipolowy h jak równie» i h selektywno±¢. Z rezonansami magnety- znymi zwi¡zane s¡ równie» bogate struktury w gsto± ia h atomowy h.W elu wyja±nienia obserwowany h struktur oraz rezonansów magnety zny h u»yªemprostego modelu dwu z¡stkowego. Model ten pozwoliª na zrozumienie natury powstawaniarezonansów i tworzenia si struktur pojawiaj¡ y h si w przekroja h gsto± i. Model jestuprosz zony i nie pozwala na dokªadne wyzna zenie rezonansowej warto± i pola magnety- znego. W przypadku wielu iaª, dynamika jest opisana nieliniowym równaniem. Wów zasenergie wªasne jak i stany wªasne ukªadu zale»¡ od obsadzenia ty h stanów. St¡d znalezie-nie rezonansowy h warto± i pól magnety zny h wymaga u»y ia te hnik numery zny h.Sªabe oddziaªywania dipolowe s¡ bardzo selektywne. Wybieraj¡ konkretn¡ warto±¢pola mo»na dostroi¢ si do okre±lonego poziomu wzbudzonego w puªap e. Oddziaªywaniadipolowe w przypadku braku rezonansu s¡ pomijalne i nie prowadz¡ do transferu atomówze stanu mF = 1 do inny h stanów.Do±wiad zalne potwierdzenie moi h obli ze« jest uzale»nione od mo»liwo± i pre yzyjnegostrojenia maªy h (rzdu ∼ 1mG) pól magnety zny h. Szeroko± i rezonansów s¡ rzdu∼ 10−2mG. Wydaje si, »e tak dokªadne kontrolowanie warto± i pola B nie jest mo»liwe.Gdyby jednak zamiast rubidu u»y¢ atomy hromu, to szeroko±¢ rezonansów byªaby rzdu∼ 1mG. Tak¡ dokªadno±¢ uzyskuje si w do±wiad zenia h z zimnymi atomami, o stwarzanadziej na do±wiad zaln¡ realiza j opisanego w tym rozdziale efektu.

39

40

V Stany topologi zne kondensatu Bosego-Einsteinana plakiet eW poprzedni h rozdziaªa h rozprawy doktorskiej wykazaªem, »e w pewny h warunka hoddziaªywania dipolowe mog¡ by¢ bardzo istotne. W sz zególno± i, oddziaªywania dipoloweprzejawiaj¡ si w ukªada h o du»ej gsto± i. Ukªadem takim mo»e by¢ sie¢ opty zna, gdzielokalnie (w wzªa h sie i) mog¡ wystpowa¢ du»e gsto± i. Postp w rozwoju te hnikdo±wiad zalny h pozwoliª na wytworzenie nowy h typów sie i opty zny h, taki h jak su-persie i zy sie i sprz»ony h plakietek [65. Od tego zasu gazy fermionowe i bozonowew sie ia h opty zny h s¡ intensywnie badane zarówno do±wiad zalnie jak i teorety znie[20, 21, 66, 67. Wierzy si, »e takie ukªady mog¡ mie¢ zastosowanie przy tworzeniu nowy hte hnologii taki h jak bramki kwantowe, kwantowe symulatory, przetwarzanie informa jikwantowy h i w dalszy h badania h nad zdegenerowanymi gazami kwantowymi.Dziki sie iom opty znym mo»liwe jest wytworzenie periody znego ukªadu zimny hatomów, które ze wzgldu na maªe tunelowanie mog¡ ze sob¡ nie oddziaªywa¢ lub odd-ziaªywa¢ bardzo sªabo. Z drugiej strony, przy du»ym tunelowaniu mo»na si spodziewa¢oddziaªywania atomów zlokalizowany h w s¡siedni h o zka h. Takie ukªady daj¡ mo»liwo±¢badania modeli Bosego-Hubbarda, za zerpnity h z zyki iaªa staªego, które przewiduj¡istnienie przej± ia kwantowego izolator Motta faza nad iekªa [20, 21, 66.Efekt Einsteina-de Haasa badany teorety znie w hromie i rubidzie a opisywany w[30, 38, jak równie» w poprzednim rozdziale tej rozprawy, jest najbardziej spektakularnymprzejawem oddziaªywa« dipolowy h w ty h ultrazimny h gaza h.W tej z± i rozprawy skupi si na badaniu stanów topologi zny h spinorowego kon-densatu rubidowego na pojedyn zej plakiet e, zªo»onej z ztere h minimów poten jaªu.Rozpatruj sytua j, gdzie wystpuje du»e obsadzenie plakietki, o pozwala na wykorzys-tanie pola ±redniego do opisu tego zaganienia. Gdy kondensat jest uwiziony w sie ipuªapek, gdzie gsto±¢ atomów w pojedyn zym o zku mo»e by¢ wiksza ni» w typowejpuªap e harmoni znej, oddziaªywania dipolowe mog¡ ukaza¢ nowe, iekawe aspekty. Wtakim ukªadzie, poten jaª puªapkuj¡ y ma dyskretn¡ symetri C4 [68, 69, wi w ogól-no± i aªkowity moment pdu nie musi by¢ za howany. Pojedyn zy wzeª sie i ma jednaklokaln¡ symetri osiow¡. Wzgldna waga lokalnej osiowej symetrii o zka plakietki orazdyskretnej symetrii aªej plakietki mo»e by¢ kontrolowana poprzez wysoko±¢ bariery po-ten jaªu midzy o zkami sie i.Do wytworzenia sie i opty znej dla atomów 87Rb wykorzystuje si lasery dziaªaj¡ e wpod zerwieni o dªugo± i fali λ = 850nm [20, 70, 71. Je»eli u»yje si dwó h prze iwbie»ny hwi¡zek lasera, powstanie fala stoj¡ a o wysoko± i V0 (okre±lona nat»eniem wi¡zki) i okresie41

równym poªowie dªugo± i fali d = λ/2 (rys. 28).U»ywaj¡ dwó h par prze iwbie»ny h wi¡zek lasera mo»na stworzy¢ sie¢ ygar (rys.29). Poten jaª puªapkuj¡ y ma w takim przypadku posta¢:Vlatt(r) = V0x cos2(kLx) + V0y cos2(kLy) , (5.1)gdzie V0x i V0y s¡ wysoko± iami bariery w kierunka h `X' i `Y', za± kL = 2π/λ.

Rysunek 28: Tworzenie sie i opty znej. Dwie prze iwbie»ne wi¡zki lasera o dªugo± i fali λtworz¡ fal stoj¡ ¡ o okresie d = λ/2 i wysoko± i V0. Obrazek po hodzi z pra y [71.

Rysunek 29: Dwuwymiarowa sie¢ opty zna. Ukªad skªada si z sie i ygar rozmiesz zony hw odlegªo± i równej staªej sie i okre±lonej przez poªow dªugo± i ±wiatªa lasera u»ytego dowytworzenia poten jaªu periody znego. Obrazek po hodzi z pra y [70.Rysunek 30 przedstawia poten jaª periody zny zadany równaniem (5.1). W przypadkutrójwymiarowej sie i nale»y u»y¢ trze h par prze iwbie»ny h wi¡zek, o mo»na opisa¢42

poten jaªem w posta i (5.2)Vlatt(r) = V0x cos2(kLx) + V0y cos2(kLy) + V0z cos2(kLz) , (5.2)gdzie V0z jest wysoko± i¡ bariery w kierunku `Z'.

Rysunek 30: Widok trójwymiarowej sie i opty znej. Poten jaª puªapkuj¡ y ma posta¢ 5.1.

Rysunek 31: Trójwymiarowa sie¢ opty zna. Ukªad skªada si z sie i kul rozmiesz zony hw odlegªo± i równej staªej sie i okre±lonej przez poªow dªugo± i ±wiatªa lasera u»ytego dowytworzenia poten jaªu periody znego. Obrazek po hodzi z pra y [70.Rozpatruj ukªad, w którym atomy 87Rb s¡ umiesz zone na kwadratowej plakiet e za-wieraj¡ ej ztery puªapki opty zne ( ztery o zka sie i) [72. Dla prze iwbie»ny h wi¡zeklasera o dªugo± i fali λ = 850nm tworz¡ y h sie¢ opty zn¡, odlegªo± i midzy o zkamisie i wynosz¡ d = 425nm. Aby uzyska¢ mo»liwie du»o atomów w skªadniku mF = 0 dla43

rezonansowej warto± i pola magnety znego oraz uwzgldniaj¡ iasn¡ geometri, przy-gotowaªem ukªad zawieraj¡ y w stanie po z¡tkowym N1 = 1000 atomów na o zko. Takali zba atomów pozwala równie» na opisanie problemu polem klasy znym. Ze wzgldu natrój iaªowe straty, gsto±¢ atomów w kondensa ie nie powinna by¢ wiksza, ni» ρ ∼ 1015atomów/ m3. Aby nie przekro zy¢ grani znej warto± i gsto± i, niezbdne byªo utworzeniesie i kondensatów w ksztaª ie ygar. Do puªapkowania atomów u»yªem wi nastpuj¡ egopoten jaªu:Vtr(r) = V0

(

cos2(k0x) + cos2(k0y))

+1

2mω2

r

(

x2 + y2 + β2z2)

. (5.3)gdzie ωr = 2π × 100Hz, β = ωz/ωr, za± V0 jest wysoko± i¡ bariery wyra»on¡ w energia hodrzutu [71:Er =

~2k2

L

2mRb, (5.4)gdzie kL = 2π/λ, za± mRb to masa rubidu 87Rb.Opró z periody znego poten jaªu plakietki, ukªad znajduje si w sªabym poten jaleharmoni znym. Pozostaªe parametry symula ji to: siatka 25 × 25 × 26 punktów, krokiprzestrzenne dx = dy = 0, 03µm, dz = 0, 4µm, krok zasowy dt = 8 × 10−7s, gªboko±¢poten jaªu periody znego V0 = 8 oraz N1 = 4000 atomów (1000 atomów na o zko). Wdalszej z± i zakªadam, »e pole magnety zne B jest skierowane wzdªu» osi `Z'. Ponadto,wy»ej wymienione pole magnety zne jest sªabe, o pozwala na zaniedbanie kwadratowegoefektu Zeemana. Poniewa» obsadzenie stanu mF = 1 jest makroskopowe, mo»na opisa¢ukªad spinorow¡ funk j¡ falow¡, speªniaj¡ ¡ równanie Grossa-Pitaevskiiego. W efek ieEinsteina-de Haasa, jak wykazaªem w poprzednim rozdziale, istnieje wiele warto± i pól re-zonansowy h, pozwalaj¡ y h na transfer atomów ze stanu mF = 1 do pozostaªy h stanówzeemanowski h. W tym zagadnieniu skupi si na najmniejszej warto± i pola rezonan-sowego, które zarazem daje najwydajniejszy transfer atomów do stanów mF = 0,−1. Dlawy»ej wymieniony h parametrów warto±¢ pola magnety znego w pierwszym rezonansiewynosi Bz = 0, 38mG. Po zasie t=0,36s uzyskaªem N0 = 35 atomów w stanie mF = 0(rys. 32). Ze wzgldu na znikomy transfer atomów do stanu mF = −1, N−1 = 0, 35 (rys.33), a wi dziesi iokrotnie mniejszy, ni» do skªadnika mF = 0, w tej z± i pra y niebd si tym skªadnikiem zajmowaª. Jest on jednak uwzgldniony we wszystki h moi hsymula ja h. Rysunek 34 przedstawia przekroje gsto± i i faz w pªasz zy¹nie `XY'oraz przekrój gsto± i w pªasz zy¹nie `XZ' w skªadniku mF = 0. Dla przypadku, gdywysoko±¢ bariery wynosi V0 = 8, nie powstaj¡ wiry w posz zególny h o zka h w skªad-niku magnety znym mF = 0 ( o jest harakterysty zne w efek ie Einsteina-de Haasa), ale44

0 0.1 0.2 0.3 0.4CZAS @sD

0

5

10

15

20

25

30

35

OB

SA

DZ

EN

IAm

F=

0

Rysunek 32: Transfer atomów do skªadnika mF = 0 w funk ji zasu. Wysoko±¢ bari-ery wynosi V0 = 8, N0 ≈ 9 atomów na o zko, pole rezonansowe wynosi Bz = 0, 38mG.Maksymalne obsadzenie stanu nastpuje po zasie t ≈ 0, 36s.

0 0.1 0.2 0.3 0.4CZAS @sD

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

OB

SA

DZ

EN

IAm

F=-

1

Rysunek 33: Transfer atomów do skªadnika mF = −1 w funk ji zasu. Wysoko±¢ barierywynosi V0 = 8, N−1 ≈ 0, 9 atomów na o zko. Pole rezonansowe wynosi Bz = 0, 38mG.wyra¹nie wido zny jest dyskretny wir o ªadunku topologi znym M=1 w tym stanie. De-fekt fazy wystpuje w obszarze o znikomo maªej gsto± i atomów. Wido zne jest równie» harakterysty zne rozseparowanie kondensatu wzdªu» osi `z' na dwie z± i. Faza atom-owej funk ji falowej nawija si o 2π wokóª ±rodka plakietki. Nale»y zauwa»y¢, »e fazajest staªa w obszarze, w którym znajduje si pojedyn ze o zko sie i. Topologia uzyskanegostanu ko« owego pokazuje, »e przy niskiej barierze poten jaªu pomidzy o zkami sie i ( oodpowiada du»emu tunelowaniu), globalna dyskretna symetria dominuje nad lokaln¡ os-iow¡ symetri¡ posz zególny h o zek sie i. Nieobe no±¢ wirów w posz zególny h o zka hwynika z maªej gªboko± i poten jaªu sie i, a wi du»ego tunelowania midzy o zkamisie i. Tak samo jest w przypadku, gdy V0 = 15.Topologia stanu ko« owego zmienia si, gdy tunelowanie midzy o zkami sie i jestzna znie mniejsze. Zmniejszenie tunelowania poprzez dalsze pogªbianie sie i nie jest45

-0.4 0 0.4X

-0.4

0

0.4

Y

-0.4 0 0.4

-0.4

0

0.4

Y

-0.4 0 0.4X

-11

0

11

Z

Rysunek 34: Sie¢ ygar w skªadniku mF = 0. Od lewej: faza (góra) i gsto±¢ (dóª)w pªasz zy¹nie `XY' dla z = 11µm oraz gsto±¢ (po prawej) w pªasz zy¹nie `XZ' dlay = 0, 2µm. Wysoko±¢ bariery wynosi V0 = 8, N0 ≈ 9 atomów na o zko. Rysunek na górzepo lewej przedstawia dyskretn¡ faz w skªadniku mF = 0, o sugeruje istnienie du»egowspóª zynnika tunelowania.mo»liwe w tym ukªadzie ze wzgldu na wzrost gsto± i, który prowadzi do wzrostu strattrój iaªowy h. Ponadto, konie zne byªoby u»y ie poten jaªu o gªboko± i wikszej, ni»mo»na osi¡gn¡¢ do±wiad zalnie. Aby zmniejszy¢ tunelowanie midzy o zkami, nale»y nie ozmieni¢ geometri ukªadu powikszy¢ odlegªo±¢ midzy o zkami plakietki. Mo»na to os-i¡gn¡¢ zmniejszaj¡ k¡t pomidzy wi¡zkami lasera tworz¡ ymi poten jaª periody zny (rys.35). W dalszej z± i tego rozdziaªu zakªadam, »e d = 4, 25µm.Do realiza ji symula ji w lu¹nej geometrii zadaªem nastpuj¡ e parametry. Siatkaw kierunka h X, Y i Z to 25 × 25 × 24 punktów, kroki przestrzenne dx = dy = 0.25µm,dz = 0.5µm, krok zasowy dt = 8 × 10−7s. Tak jak w poprzedni h przypadka h, w staniepo z¡tkowym znajdowaªo si N1 = 4000 atomów. Symula j rozpo z¡ªem od przypadku,gdy bariera poten jaªu wynosiªa V0 = 0, 1. Warto±¢ pola magnety znego odpowiadaj¡ apierwszemu rezonansowi dla tej bariery wynosi Bz = 0, 08mG. Transfer atomów do skªad-nika magnety znego mF = 0 w tym przypadku jest wikszy i w maksimum wynosi N0 = 80atomów (rys. 36). Równie» w tym przypadku, podobnie jak w omawiany h powy»ej, przywysoko± i bariery V0 = 0, 1, topologia stanu ko« owego jest zdeterminowana dyskretn¡symetri¡ sie i. Przekroje gsto± i i fazy s¡ podobne, jak w przypadku iasnej geometriiomawianej poprzednio. Kondensat w kierunku osiowym jest jednak krótszy, ni» w przy-padku iasnej geometrii (rys. 37).

46

Rysunek 35: Tworzenie sie i opty znej. Dwie wi¡zki lasera o dªugo± i fali λ skierowane dosiebie pod k¡tem θ tworz¡ fal stoj¡ ¡ o okresie d(θ) = d/ cos θ2. Pozwala to na uzyskanieo zek sie i bardziej oddalony h, ni» w przypadku wi¡zek prze iwbie»ny h. Obrazekpo hodzi z pra y [71.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6CZAS @sD

0

20

40

60

80

OB

SA

DZ

EN

IAm

F=

0

Rysunek 36: Transfer atomów do stanu mF = 0 w funk ji zasu. Wysoko±¢ bariery wynosiV0 = 0, 1, pole rezonansowe wynosi Bz = 0, 08mG.

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5

-3.5

0

3.5

Rysunek 37: Sie¢ ygar w skªadniku mF = 0. Od lewej: faza, gsto±¢ w pªasz zy¹nie `XY'dla z = 1, 7µm oraz gsto±¢ w pªasz zy¹nie `XZ' dla y = 1, 7µm. Wysoko±¢ bariery wynosiV0 = 0, 1. Du»e tunelowanie powoduje powstanie dyskretnego wiru w sie i opty znej. Skalapodana jest w µm.

47

Przy wysoko± i bariery równej V0 = 2 (Bz = 0, 85mG) li zba atomów w skªadnikumF = 0 osi¡ga warto±¢ N0 = 160 (rys. 38). Ró»ni e w transfera h atomów wynikaj¡z faktu, »e zmiana wysoko± i sie i wpªywa na roz i¡gni ie lub skur zenie kondensatu wkierunku radialnym, o jak wykazano w [30 ma wpªyw na transfer atomów do posz zegól-ny h stanów magnety zny h. W przekroja h gsto± i (rys. 39) wida¢, »e w ka»dym o zkusie i atomy uformowaªy si w dwa pier± ienie - jeden powy»ej z = 0, drugi za± poni»ej. Fazaatomowej funk ji falowej nawija si o 2π wokóª ±rodka ka»dego z o zek sie i. W przypadkuV0 = 2 transfer atomów do skªadnika mF = 0 odbywa si lokalnie, jednak posz zególneo zka `widz¡ si' - fazy posz zególny h wirów s¡ skorelowane. Skoki fazy w posz zegól-ny h o zka h sie i s¡ zawsze do siebie równolegªe. Przy wysoko± i bariery równej V0 = 8(Bz = 1, 76mG) nie zaobserwowaªem »adny h jako± iowy h zmian w wynika h symula ji.

0 0.05 0.1 0.15 0.2CZAS @sD

0

20

40

60

80

100

OB

SA

DZ

EN

IAm

F=

0

Rysunek 38: Transfer atomów do stanu mF = 0 w funk ji zasu. Wysoko±¢ bariery wynosiV0 = 2, pole rezonansowe wynosi Bz = 0, 85mG. Maksymalny transfer dla tej warto± ipola magnety znego nastpuje po zasie t = 0, 17s.

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

Rysunek 39: Sie¢ ygar w skªadniku mF = 0. Od lewej: faza i gsto±¢ w pªasz zy¹nie `XY'dla z = 1, 7µm oraz gsto±¢ w pªasz zy¹nie `XZ' dla y = 1, 75µm. Wysoko±¢ bariery wynosiV0 = 2. N0 = 40 atomów na o zko w hwili t = 0, 17s, odpowiadaj¡ ej maksymalnemutransferowi. Biaªe okrgi na rysunku fazy pokazuj¡ obszary maªej gsto± i, w który hznajduj¡ si osobliwo± i. Skala podana jest w µm.

48

Przekroje fazy przy wysoko± i bariery V0 = 2 (rys. 39), pokazuj¡ wyra¹nie zterydu»e wiry w o zka h sie i oraz jeden wir w obszarze zerowej gsto± i w entrum plakietki,wszystkie o ªadunku topologi znymM = 1. Ponadto, z poli zenia yrkula ji wokóª ka»degopunktu na sie i w pªasz zy¹nie `XY' przy zadanej warto± i z wynika, »e na plakiet eznajduj¡ si równie» wiry o prze iwnym ªadunku topologi znym. Miejs a ty h osobliwo± izazna zone s¡ na rysunku (rys. 39) biaªymi okrgami.Mo»na zada¢ pytanie, o si stanie, gdy w ukªadzie powoli si obni»y wysoko±¢ sie i?Obni»anie bariery (a pó¹niej równie» jej podnoszenie) wykonuj przy wyª¡ zonym polumagnety znym. Taki zabieg jest niezbdny do rozsuni ia poziomów magnety zny h itym samym zablokowania przepªywu atomów midzy stanami magnety znymi. W przy-padku, gdy ukªad jest przygotowany z barier¡ o wysoko± i V0 = 2 i barier opusz za si dowarto± i V0 = 0, powstaje pojedyn zy pier± ie« gsto± i wokóª ±rodka puªapki powy»ej iponi»ej z = 0. Ostate znie, po obni»eniu bariery do V0 = 0, w ukªadzie za zyna dominowa¢

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

Rysunek 40: Opusz zanie bariery poten jaªu z warto± i V0 = 2 do warto± i V0 = 0. Górnypanel przedstawia faz, dolny - gsto±¢ dla V0 = 2 (po lewej), V0 = 0, 1 (po ±rodku) V0 = 0(po prawej). Opusz zanie bariery nastpuje w zasie t = 0, 3s. Rysunek przedstawia stanmF = 0. Skala podana jest w µm.wir o ªadunku M = 1 w entrum plakietki (rys. 40), za± warto±¢ skªadowej `z' orbital-nego momentu pdu wynosi < Lz >= 1. Ponowne podniesienie bariery do pierwotnejwarto± i powoduje odtworzenie stanu wyj± iowego (rys. 41). Opusz zenie bariery do zeraw badanym ukªadzie nie spowodowaªo zaniku osobliwo± i. Dziki temu, ukªad pamitaswój stan po z¡tkowy i wra a do niego po podniesieniu bariery.W przypadku, gdy ukªad jest przygotowany z barier¡ o wysoko± i V0 = 0, 1 i barieropusz za si do warto± i V0 = 0, nastpuje zlanie si atomów z ztere h o zek w jedenpier± ie«. W tym przypadku równie» powstaje wir o ªadunku topologi znym M = 1,przy zym faza wykazuj¡ a dyskretne skoki dla V0 = 0, 1 zmienia si w sposób i¡gªy49

X

Y

-3.5 0 3.5

-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5

-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5

-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5

-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5

-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5

-3.5

0

3.5

Rysunek 41: Faza (góra) i gsto±¢ (dóª) w pªasz zy¹nie `XY' (z = 2µm) w skªadnikumF = 0 przy obni»aniu i podnoszeniu bariery poten jaªu sie i. Poten jaª ma wysoko±¢V0 = 2 (z lewej) w hwili odpowiadaj¡ ej maksimum transferu, V0 = 0 (po ±rodku) 0.15spo opusz zeniu bariery (opusz zanie bariery trwa t = 0, 3s) oraz ponowne podniesieniebariery do po z¡tkowej warto± i w zasie 1s. Skala podana jest w µm.

X

Y

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

-3.5 0 3.5-3.5

0

3.5

Rysunek 42: Opusz zanie bariery poten jaªu z warto± i V0 = 0.1 do warto± i V0 = 0.Górny panel przedstawia faz, dolny - gsto±¢ dla V0 = 0, 1 (po lewej), V0 = 0, 05 (po±rodku) V0 = 0 (po prawej). Opusz zanie bariery nastpuje w zasie t = 0, 3s. Rysunekprzedstawia stan mF = 0. Skala podana jest w µm.dla V0 = 0. (rys. 42). Ponowne podniesienie bariery do pierwotnej warto± i powodujeodtworzenie stanu wyj± iowego, w tym równie» odtworzenie dyskretnego wiru.W przypadku opusz zania bariery z warto± i V0 = 2 do V0 = 0 jest moment, w którymwysoko±¢ bariery jest równa V0 = 0, 1. Je»eli popatrzymy na przekroje gsto± i i fazyprzy tej wysoko± i bariery nie zauwa»ymy globalnej dyskretnej symetrii ukªadu, takiejjaka byªa w stanie ko« owym dla przypadku z (rys. 37). Przeª¡ zanie midzy stanamiwytworzonymi przy V0 = 0.1 oraz V0 = 2 przez adiabaty zn¡ zmian wysoko± i bariery50

nie jest wi mo»liwe. Jest to spowodowane tym, »e obydwa stany maj¡ inn¡ strukturtopologi zn¡. Stan otrzymany dla V0 = 0, 1 ma tylko jeden wir o ªadunku topologi znymM = +1, natomiast stan otrzymany dla wysokiej bariery V0 = 2 ma pi¢ wirów o M = +1i ztery wiry o ªadunku M = −1. Wszystkie te osobliwo± i s¡ stabilne i nie gin¡ w zasieprzeª¡ zania bariery. Wido zne s¡ jednak skoki fazy w ±rodkowej z± i puªapki (rys. 43),podobnie jak dla dyskretnego wiru.

Rysunek 43: Przekrój fazy (z góry po lewej), gsto± i (z doªu po prawej) w pªasz zy¹nie`x-y' dla z = 2µm i faza w funk ji k¡ta azymutalnego (po prawej) dla opusz zania barierypoten jaªu z V0 = 2 do V0 = 0 przy wysoko± i V0 = 0, 1. Faza zmienia si skokowo wobszarze zazna zonym lini¡ przerywan¡ na obrazku górnym po lewej. Skala dla przekrojówgsto± i i fazy podana jest w µm.

51

V.1 WnioskiAnaliza efektu Einsteina-de Haasa w sie i opty znej wykonanej dla ró»ny h wysoko± ibarier poten jaªu midzy posz zególnymi o zkami sie i pokazaªa istnienie ró»ny h stanówtopologi zny h ukªadu. W ukªadzie z du»ym tunelowaniem midzy o zkami sie i globalnadyskretna symetria dominuje nad lokaln¡ osiow¡ symetri¡ posz zególny h o zek sie i.W przypadku wysokiej bariery rozdzielaj¡ ej o zka sie i (maªe tunelowanie) w struk-turze otrzymanej funk ji falowej w skªadniku o magnetyza ji mF = 0 przejawia si zarównolokalna, osiowa symetria o zka (powstaj¡ wiry o ªadunku topologi znym M = +1 wka»dym o zku) jak i dyskretna symetria C4 plakietki. Zmieniaj¡ wysoko±¢ bariery niemo»na przeª¡ zy¢ stanów z jednej geometrii do drugiej. Nawet po wyª¡ zeniu poten -jaªu periody znego, kiedy rozkªad gsto± i atomowej w obu badany h przypadka h jestzbli»ony, po ponownym wª¡ zeniu poten jaªu periody znego ukªad wra a do pierwotny hstanów.Analiza problemu pozwala na stwierdzenie, »e nie ma mo»liwo± i prze hodzenia midzyopisanymi stanami ze wzgldu na i h ró»n¡ struktur topologi zn¡.Zmiana ukªadu, a zarazem poten jaªu spowodowaªa, »e pole rezonansowe, którego u»ytodo przerzu ania atomów ze skªadnika mF = 1 do pozostaªy h stanó magnety zny h wzrosªodo warto± i, które w niedalekiej przyszªo± i mog¡ by¢ kontrolowane do±wiad zalnie, a mi-anowi ie Bz = 0, 83mG (dla V0 = 2) oraz Bz = 1, 76mG (dla V0 = 8). Daje to mo»liwo±¢do±wiad zalnej realiza ji omawianego zjawiska.

52

VI PodsumowanieGªównym elem pra y byªo zbadanie wpªywu sªaby h oddziaªywa« dipolowy h na dy-namik spinorowego kondensatu rubidowego w stanie nadsubtelnym F = 1. Zadaniepolegaªo na rozwi¡zywaniu zale»nego od zasu spinorowego, trójwymiarowego równaniaGrossa-Pitajewskiego z nielokalnym oddziaªywaniem.W pierwszej z± i rozprawy doktorskiej badaªem termaliza j kondensatu spinorowegow obe no± i oddziaªywa« dipolowy h i bez ni h. Startuj¡ z po z¡tkowego obsadzonegostanu mF = 0 i pusty h stanów mF = ±1 zaobserwowaªem zna zne skró enie zasu ter-maliza ji ukªadu w przypadku, gdy oddziaªywania dipolowe s¡ obe ne. Czas ten jest nawet zterokrotnie mniejszy, ni» w przypadku, gdy oddziaªywania dipolowe s¡ pominite. Pon-adto zbadaªem wpªyw zewntrznego pola magnety znego na dynamik spinów.Dla maªy h warto± i pola magnety znego (∼ 1mG) zas do hodzenia ukªadu do stanurównowagi termodynami znej gazu dipolowego jest równie» krótszy, ni» gazu nieoddziaªu-j¡ ego dipolowo. Dla pól magnety zny h o wikszy h warto± ia h (∼ 100mG) ró»ni e w zasie termaliza ji za zynaj¡ si za iera¢, jednak nadal zas termaliza ji jest dwukrotniekrótszy, gdy uwzgldni si oddziaªywania dipolowe. Uwzgldnienie oddziaªywa« dipolowy hwpªynªo równie» na ró»ni e w przekroja h gsto± i. Gsto± i w skªadnika h mF ± 1 nies¡ osiowo symetry zne i niewiele si przekrywaj¡.Do±wiad zalnie mo»na wi stwierdzi¢, badaj¡ zas do hodzenia ukªadu do stanurównowagi, »e w dynami e rubidowego kondensatu spinorowego w stanie F = 1 oddzi-aªywania dipolowe mog¡ odgrywa¢ wa»n¡ rol.W drugiej z± i rozprawy badaªem efekt Einsteina-de Haasa w puªap e w ksztaª- ie ygara. Wykazaªem istnienie wielu rezonansowy h pól magnety zny h, dziki którymmo»liwy jest transfer atomów ze skªadnika magnety znego mF = 1 do mF = 0 i mF = −1.Przedstawiªem równie» prosty model wyja±niaj¡ y istnienie rezonansów magnety zny h.Model byª ograni zony do dwó h oddziaªuj¡ y h z¡stek znajduj¡ y h si w niski h stana hwzbudzony h puªapki harmoni znej. Pokazaªem, »e oddziaªywania dipolowe s¡ selektywne.Manipulowanie polem magnety znym pozwala na dostrojenie si do okre±lonego poziomuwzbudzonego w puªap e. Obserwowane struktury w przekroja h gsto± i atomowy h za-le»¡ od danego wzbudzenia w puªap e. Istotn¡ obserwa j¡ jest równie», »e wraz kolejnymirezonansami wzrasta warto±¢ pola magnety znego. Ze wzgldu jednak na niewielk¡ sze-roko±¢ rezonansów, do do±wiad zalnej realiza ji zagadnienia wymagana jest kontrola polamagnety znego na poziomie poni»ej warto± i 1mG.W trze iej z± i rozprawy badaªem efekt Einsteina-de Haasa na plakiet e zªo»onejz ztere h minimów poten jaªu. Pokazaªem, »e powstaj¡ ró»ne stany kondensatu w za-53

le»no± i od tunelowania midzy minimami poten jaªu. Wielko±¢ tunelowania midzy o zkamisie i, zmieniana poprzez wysoko±¢ bariery poten jaªu, jest odpowiedzialna za powstaniedwó h ró»ny h stanów w ukªadzie. Stan z dyskretnym wirem pojawia si, gdy tunelowaniejest du»e. Osiowa symetria o zka sie i przejawia si w powstaniu sie i skwantowany hwirów, o jest harakterysty zne dla maªego tunelowania. Ponadto, dla maªego tunelowa-nia w obszrze maªej gsto± i jest dodatkowo 5 wirów, w tym 4 o prze iwny h ªadunka htopologi zny h. Ze wzgldu na ró»n¡ struktur topologi zny h wirów, przej± ie midzyobydwoma stanami ukªadu poprzez manipulowanie wysoko± i¡ bariery poten jaªu nie jestmo»liwe. Ukªad pamita parametry poten jaªu, w jakim zostaª wytworzony. Badaj¡ efekt Einsteina-de Haasa zauwa»yªem równie», »e ukªad z mniejszym tunelowaniem midzyo zkami sie i wymaga wikszej warto± i magnety znego pola rezonansowego, o daje realneszanse na realiza j do±wiad zaln¡ tego efektu.Moje badania nad spinorowym kondensatem 87Rb w stanie F = 1 dowodz¡, »e efektydipolowe mog¡ gra¢ wa»n¡ rol. Charakterysty zne zasy zwi¡zane z zagadnieniami przed-stawionymi w rozdziaªa h IV i V rozprawy s¡ krótsze, ni» zas »y ia kondensatu w puªap eopty znej. Badane efekty mog¡ wi zosta¢ zaobserwowane do±wiad zalnie. Wymaga tojednak bardzo pre yzyjnej kontroli warto± i pola magnety znego, gdy» rezonanse s¡ dla pólrzdu miligausa, a szeroko± i rezonansów s¡ jesz ze mniejsze. Wymaga to ekranowania kon-densatu od pola magnety znego Ziemi, jak równie» od pola magnety znego wytwarzanegoprzez aparatur do±wiad zaln¡. Te hniki ekranowania kondensatu od nie h iany h pólmagnety zny h s¡ intensywnie badane i rozwijane [73, o daje nadziej na mo»liwo±¢do±wiad zalnej weryka ji moi h przewidywa« w niedalekiej przyszªo± i.

54

Bibliograa[1 S. N. Bose, Z. Phys. 26, 178 (1924)[2 A. Einstein, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Beri ht 3 (1924), s. 261.[3 A. Einstein, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Beri ht 3 (1925), s. 18.[4 M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, . E. Wieman, E. A. ornell, S ien e269, 198, (1995).[5 W. Gawlik, W. Jastrzbski, A. Noga, J. Za horowski, M. Zawada, Postpy Fizyki 58,4 (2007).[6 S. Chu, Rev. Mod. Phys. 70, 685 (1998).[7 C. Cohen-Tannoudji, Rev. Mod. Phys. 70, 707 (1998).[8 W. D. Phillips, Rev. Mod. Phys. 70, 721 (1998).[9 W. Gawlik, Postpy Fizyki 53D, 54 (2002).[10 E. A. Cornell, C. E. Wieman, Rev. Mod. Phys. 74, 875 (2002).[11 W. Ketterle, Rev. Mod. Phys. 74, 1131 (2002).[12 F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, and S. Stringari, Rev. Mod. Phys. 71, 463(1999).[13 Tomasz Karpiuk, Mirosªaw Brew zyk, and Kazimierz Rz¡»ewski, Phys. Rev. A 73,053602 (2006).[14 Piotr Szankowski, Marek Trippenba h, Eryk Infeld, and George Rowlands, Phys. Rev.Lett. 105, 125302 (2010).[15 K. Gawryluk, T. Karpiuk, M. Brew zyk, and K. Rz¡»ewski, Phys. Rev. A 78, 025603(2008). 55

[16 Kazimierz akomy, Zbigniew Idziaszek, and Marek Trippenba h, Phys. Rev. A 80,043404 (2009).[17 E. Witkowska, P. Zi«, and M. Gajda, Phys. Rev. D 79, 025003 (2009).[18 M. Brew zyk, M. Gajda, and K. Rz¡»ewski, J. Phys. B 40, R1 (2007).[19 E. A. Donley, N. R. Claussen, S. L. Cornish, J. L. Roberts, E. A. Cornell, C. E.Wieman, Nature (London) 412 295 (2001).[20 M. Greiner, O. Mandel, T. Esslinger, T. W. Hans h and I. Blo h, Nature 415, 39-44(2002)[21 T. Stoferle, H. Moritz, C. S hori, M. Kohl, and T. Esslinger, Phys. Rev. Lett. 92,130403 (2004).[22 K. Huang, C. N. Yang, Phys. Rev. 105, 767 (1957).[23 D. M. Stamper-Kurn, M. R. Andrews, A. P. Chikkatur, S. Inouye, H.-J. Miesner, J.Stenger, and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 80, 2027 (1997).[24 E.G.M. van Kempen et al., Phys. Rev. Lett. 88, 093201 (2002)[25 T.-L. Ho, Phys. Rev. Lett. 81 742 (1998)[26 J. Kronjäger, C. Be ker, P. Navez, K. Bongs, and K. Sengsto k, Phys. Rev. Lett.97, 110404 (2006); M. Erhard, H. S hmaljohann, J. Kronjäger, K. Bongs, and K.Sengsto k, Phys. Rev. A 70, 031602(R) (2004).[27 M.S. Chang, C. D. Hamley, M. D. Barrett, J. A. Sauer, K. M. Fortier, W. Zhang, L.You, and M. S. Chapman, Phys. Rev. Lett. 92, 140403 (2004).[28 J. Mur-Petit, M. Guilleumas, A. Polls, A. Sanpera, M. Lewenstein, K. Bongs, and K.Sengsto k, Phys. Rev. A 73, 013629 (2006).[29 H. Saito, Yu. Kawagu hi, and M. Ueda, Phys. Rev. Lett. 96, 065302 (2006).[30 K. Gawryluk, M. Brew zyk, K. Bongs, and M. Gajda, Phys. Rev. Lett. 99, 130401(2007).[31 T. wisªo ki, M. Brew zyk and M. Gajda, Phys. Rev. A 81, 033604 (2010).[32 K. Gawryluk, M. Brew zyk, M. Gajda, K. Rz¡»ewski, Phys. Rev. A 76, 013616 (2007).[33 H. Pu, W. Zhang, and P. Meystre, Phys. Rev. Lett. 87, 140405 (2001).56

[34 S. Yi, H. Pu, Phys. Rev. Lett. 93, 040403 (2004).[35 A. Griesmaier, J. Werner, S. Hensler, J. Stuhler, and T. Pfau, Phys. Rev. Lett. 94,160401 (2005).[36 J. Stuhler, A. Griesmaier, T. Ko h, M. Fattori, T. Pfau, S. Giovanazzi, P. Pedri, andL. Santos, Phys. Rev. Lett. 95, 150406 (2005).[37 A. Einstein, W. J. de Haas, Verh. Dts h. Phys. Ges. 17, 152 (1915).[38 Yu. Kawagu hi, H. Saito, M. Ueda, Phys. Rev. Lett. 96, 080405 (2006).[39 T. wisªo ki, M. Brew zyk, M. Gajda, arXiv:1008.2324[40 Stefano Giovanazzi, Axel Görlitz, and Tilman Pfau, Phys. Rev. Lett. 89, 130401(2002).[41 T. Ko h, T. Lahaye, J. Metz, B. Frohli h, Griesmaier, T. Pfau, Nature Physi s 4, 218(2008).[42 D. S. Hall, M. R. Matthews, J. R. Ensher, C. E. Wieman, and E. A. Cornell, Phys.Rev. Lett. 81, 1539(4) (1998).[43 M. Mark, F. Ferlaino, S. Knoop, J. G. Danzl, T. Kraemer, C. Chin, H.-C. Nägerl, andR. Grimm, Phys. Rev. A 76, 042514 (2007).[44 F. M. Spiegelhalder, A. Trenkwalder, D. Naik, G. Kerner, E. Wille, G. Hendl, F.S hre k, and R. Grimm, Phys. Rev. A 81, 043637 (2010).[45 M. Baranov, Phys. Rep. 464, 71 (2008).[46 G. Pupillo, A. Mi heli, H. P. Bu hler, and P. Zoller, in Cold Mole ules: Theory,Experiment, Appli ations, edited by R. V. Krems, W. C. Stwalley, and B. Friedri h(CRC Press, Bo a Raton, 2009), pp. 421-469.[47 D. DeMille, Phys. Rev. Lett. 88, 067901 (2002).[48 R. V. Krems, Phys. Chem. Chem. Phys. 10, 4079 (2008).[49 S. Ospelkaus et al., S ien e 327, 853 (2010).[50 T. Zelevinsky, S. Koto higova, and J. Ye, Phys. Rev. Lett. 100, 043201 (2008).[51 K.-K. Ni et al., Nature 464, 1324 (2010).57

[52 I. Blo h, J. Dalibard, and W. Zwerger, Rev. Mod. Phys. 80, 885 (2008).[53 P. G. de Gennes, Super ondu tivity of Metals and Alloys, Westview, Boulder, (1999).[54 B. Jeanneret, B. D. Hall, H.-J. Bühlmann, R. Houdré, M. Ilegems, B. Je kelmann,and U. Feller, Phys. Rev. B 51, 9752-9756 (1995).[55 M.S. hang, . D. Hamley, M. D. Barrett, J. A. Sauer, K. M. Fortier, W. Zhang, L.You, and M. S. hapman, Phys. Rev. Lett. 92, 140403 (2004).[56 M. Vengalattore, S. R. Leslie, J. Guzman, and D. M. Stamper-Kurn, Phys. Rev. Lett.100, 170403 (2008).[57 H. Pu, . K. Law, S. Raghavan, J. H. Eberly and N. P. Bigelow, Phys. Rev. A 601463 (1999); N. P. Robins, W. Zhang, E. A. Ostrovskaya, Y. S. Kivshar, Phys. Rev. A64, 021601(R) (2001); H. Saito, M. Ueda, Phys. Rev. A 72 023610 (2005); W. Zhang,D. L. Zhou, M.-S. hang, M. S. hapman, and L. You, Phys. Rev. Lett. 95, 180403(2005).[58 H.-J. Miesner, D. M. Stamper-Kurn, J. Stenger, S. Inouye, A. P. hikkatur, and W.Ketterle, Phys. Rev. Lett. 82, 2228 (1999).[59 L. E. Sadler, J. M. Higbie, S. R. Leslie, M. Vengalattore and D. M. Stamper-Kurn,Nature 443, 312 (2006); G. I. Mias, N. R. ooper, S. M. Girvin, Phys. Rev. A 77,023616 (2008).[60 Yu. Kawagu hi, H. Saito, M. Ueda, Phys. Rev. Lett. 97, 130404 (2006).[61 S. Yi, H. Pu, Phys. Rev. Lett. 97, 020401 (2006).[62 J. Kronjkager, . Be ker, M. Brinkmann, R. Walser, P. Navez, K.Bongs, and K. Sengsto k,Phys. Rev. A 72, 063619 (2005).[63 Yu. Kawagu hi, H. Saito, M. Ueda, Phys. Rev. Lett. 98, 110406 (2007).[64 J.-N. Zhang, L. He, H. Pu, .-P. Sun, and S. Yi, Phys. Rev. A 79, 033615 (2009).[65 J. Kruse, C. Gierl, M. S hlosser, and G. Birkl, Phys. Rev. A 81, 060308(R) (2010).[66 I. B. Spielman, W. D. Phillips, and J. V. Porto, Phys. Rev. Lett. 98, 080404 (2007).[67 M. Lewenstein, A. Sanpera, V. Ahunger, B. Damski, A. Sen, and U. Sen, Adv. Phys.56, 243 (2007). 58

[68 Albert Ferrando, Mario Za arés, and Miguel-Ángel Gar ía-Mar h, Phys. Rev. Lett.95, 043901 (2005).[69 Miguel-Ángel Gar ía-Mar h, Albert Ferrando, Mario Za arés, Sarira Sahu, and DanielE. Ceballos-Herrera, Phys. Rev. A 79, 053820 (2009).[70 I. Blo h, J. Dalibard, W. Zwerger, Rev. Mod. Phys. 80, 885-964 (2008).[71 O. Mors h, M. Oberthaler, Rev. Mod. Phys. 78, 179-215 (2006).[72 J. Kruse, C. Gierl, M. S hlosser, and G. Birkl, Phys. Rev. A 81, 060308(R) (2010).[73 M. Ueda and Y. Kawagu hi, arXiv:1001.2072 (2010).

59