Conteúdo de PhysicalOverview: PhysicalHeader.doc AnalogAndDigital.doc FourierAnalysis.doc Filters_Decibel.doc AM_FDM.doc ASK_FSK_PSK.doc PAM_PCM.doc TDM.doc LineCoding.doc DigitalTransmission.doc

Instituto Superior Técnico

Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Nível Físico

Introdução Geral

2011

Prof. Vitor Manuel Paulino Vargas

Modelo Básico de Comunicação PhysicalOverview.doc

A figura esquematiza o modelo básico de comunicação. Ingredientes básicos: Fonte, Consumidor, Mensagem e Meio de Transmissão Fundamentalmente, envolve um par de parceiros, ditos de fonte e consumidor de informação - sendo que o primeiro pretende comunicar uma mensagem ao segundo (eventualmente, cada parceiro pode assumir ambos os papéis, de fonte e consumidor). A comunicação decorre através de um meio de transmissão (como seja: um par de fios de cobre, um cabo coaxial ou uma fibra óptica, antenas hertzianas ou feixes infra-vermelhos, laser ou satélite – ou uma combinação inteligente de vários destes meios, como o almejam a rede telefónica e a Internet). As mensagens podem ser de várias espécies. Seja o caso de o leitor querer comunicar a alguém: “Este assunto está a ser mesmo muito interessante!”. 1. A mensagem pode ser auditiva - a fonte sendo então o leitor dizendo a mensagem no bocal de um telefone e o consumidor um amigo, ouvindo-a 2. Mas bem poderá a mensagem ser visual: será o caso de o leitor a escrever em um papel e enviá-la por fax 3. Enfim, poderá tratar-se de uma informação textual: será o caso de o leitor digitar a mensagem no teclado, e enviá-la como correio electrónico pela Internet. (Em rigor a Mensagem assim comunicada não seria, apenas, “Este assunto está a ser mesmo muito

interessante!”. Também se estaria comunicando algo sobre o leitor, respectivamente: características da sua fala, da

sua caligrafia, ou do seu à-vontade nas “novas” tecnologias de informação…)

Repare-se que fonte e consumidor não são necessariamente seres humanos: pense-se numa câmara de TV legendada pelo “Sorria, está a ser filmado”, num sensor algures medindo a pressão atmosférica, num programa de software de uma empresa gerando as facturas electrónicas a enviar aos clientes… Em ordem a passar a Mensagem ao meio de transmissão em causa, a caminho do consumidor, impõe-se a existência de um assim designado Sistema de Transmissão; no extremo oposto, após esse meio, impõe-se um Sistema de Recepção, que produza uma Mensagem que idealmente será idêntica à original.

Só por si, o suporte físico da propagação a distância (cobre, fibra, atmosfera…) é insuficiente para levar a bom termo a transmissão: há que acrescentar-lhe dispositivos como sejam: amplificadores, moduladores, multiplexers... No que se segue, o termo “canal” subentende ambos: esse suporte físico e esses dispositivos.

Sistemas de Transmissão e Recepção: Uma mensagem, independentemente da sua espécie, deve, antes de mais, ser transcrita em uma grandeza

eléctrica (tensão ou corrente) – dita de Dados de Entrada - que a represente sem ambiguidade. Em termos práticos: a partir dela há que saber produzir uma variação de tensão ou intensidade de corrente tal que a partir dela seja possível reaver aquela mensagem). Por exemplo, se for o caso de o leitor estar trauteando para um microfone, consistirá na tensão induzida nos terminais desse microfone - seguindo a par e passo as ondas de pressão atmosférica geradas pelo tracto vocal do leitor; mas, se se tratar de um texto que digitou num teclado, consistirá na sequência de impulsos de tensão que representa os 0s e 1s em que se volve a codificação das teclas premidas. Serão esses Dados de Entrada, eléctricos, adequados para efeitos de transmissão? Nem sempre: nomeadamente, e mesmo quando o meio é capaz de os transmitir, sob forma eléctrica, a sua energia poderá revelar-se por demais fraca para as distâncias envolvidas; por outro lado, nem todos os meios são bons condutores eléctricos: o que flui em fibra óptica ou entre antenas parabólicas não são correntes eléctricas, mas sim ondas electro-magnéticas! Pelo que, por estas (e outras) razões, os Dados de Entrada precisam ser previamente entregues a um Emissor – que a partir deles gera um Sinal transmitido, já apropriado a ser passado ao meio de transmissão. Oportunamente se apreciarão algumas das suas componentes: Codificadores de Linha, Filtros, Moduladores, Amplificadores… Ao extremo oposto, o meio de transmissão passa um Sinal recebido, que - não foram as suas imperfeições (ruído, atenuações e distorções) - seria uma cópia do Sinal transmitido. Ele deve ser passado a um Receptor, com a finalidade de gerar Dados de Saída, idealmente idênticos aos Dados de Entrada; isso envolve a inclusão de dispositivos (como sejam Equalizadores e Canceladores de Eco) para compensar em parte tais imperfeições. Esses Dados de Saída serão, enfim, aplicados aos pertinentes dispositivos de saída (altifalantes, máquina-fax, etc.) capazes de reproduzir a Mensagem em causa. Aos dispositivos que convertem a mensagem da Fonte em Dados

de Entrada (ou convertem os Dados de Saída na mensagem consumida) dá-se o nome de transdutores. Adiante passar-se-á revista aos vários itens aqui brevemente enquadrados.

*

A Natureza dos Dados PhysicalOverview.doc

Um sistema de comunicação tem, naturalmente, que ter em conta os Dados de Entrada a transmitir – pelo que a primeira interrogação é: como são eles? Por muito grande que seja a sua variedade, os Dados de Entrada podem classificar-se em: Contínuos (ou Analógicos) e Discretos; um caso particular destes últimos são os Dados Digitais; entre estes, merecem especial atenção os Dados Binários. Dados Contínuos ou Analógicos:

Dados contínuos ou analógicos são aqueles que variam continuamente ao longo do tempo, podendo a sua amplitude assumir qualquer valor entre um mínimo e um máximo. Exemplos são-no: - a saída de um microfone, representando as variações da pressão atmosférica causada por um artista; - a saída de um leitor áudio de cassetes de fita-magnética ou de um gira-discos de vinyl; - a temperatura, pressão atmosférica, humidade e velocidade do vento medida algures por sensores apropriados; - dados biométricos, como sejam electro-cardiogramas e electro-encefalogramas, registados nalguma ocasião. Dados Discretos:

Dados discretos são aqueles que tomam valores em apenas certos instantes, discretos, do tempo. Eis exemplos: - as sucessivas fotos de um filme, tiradas ao ritmo de 24 por segundo: o que se passa entre duas fotos é “extrapolado” pela imaginação de um espectador… - as sucessivas imagens de um satélite meteorológico: o que se passa entre duas delas pode de facto não ser relevante por aí além para quem as olha… - as sucessivas medidas de tensão arterial de um paciente, ou de açúcar no sangue, ao longo dos dias…

O leitor é convidado a reparar que estes exemplos de Dados Discretos acabam por ser uma Amostragem de algo que, afinal, é um continuum: a situação filmada, ou observada por um satélite, ou vivida por um paciente, são fenómenos contínuos. Pelo que é inevitável a seguinte questão: visando a apreensão fiel de tais fenómenos, será que a sucessão de amostras capturadas em alguns instantes apenas (fotos, imagens, medidas corporais…) é suficiente? É uma questão interessante – mas que vai ter que ficar em suspense até lá mais para diante…

Dados Digitais: Dados digitais são aqueles que tomam valores em apenas certos instantes, discretos, do tempo – e então apenas podem assumir uma certa gama limitada de valores – dita de alfabeto de símbolos. Eis exemplos onde ocorrem dados digitais: - a afixação no placard de uma disciplina do IST (refrescado anualmente) das notas finais dos estudantes que foram avaliados: cada uma será um valor inteiro algures entre 0 e 20… - a apresentação num ecrã (refrescado, por ex., de minuto a minuto) das origens dos aviões cuja chegada a um aeroporto se prevê próxima: no mundo real as possibilidades são mesmo limitadas… - o armazenamento em computador dos dados discretos referidos acima: é impossível registar num computador valores com um número infinito de casas decimais; - a transmissão via fax-digital duma foto a preto-e-branco: é impossível transmitir os infinitos tons de cinzento.

Repare o leitor que estes dois últimos casos exemplificam aquilo que a gíria das “Comunicações” designa de Quantização de Dados Discretos: obtém-se um Dado Digital por quantização de um Dado Discreto – isto é: pelo seu arredondamento para um valor dos possíveis entre uma gama discreta de valores -, com um grau de precisão que, sendo consequência da separação entre os valores dessa gama, pode ser controlado.

Dados Binários:

Dados binários são um caso particular de Dados Digitais – no sentido de que apenas podem assumir um de dois valores, ‘0’ e ‘1’. Tipicamente (como sucede na transmissão de voz e imagem) obtêm-se de Sinais Discretos, por codificação – isto é: mediante a substituição dos símbolos do respectivo alfabeto por sucessões de 0s e 1s.

Curiosidade: o código Morse é um caso particular de Dados Digitais – no sentido de que se suporta em três símbolos apenas: ‘ponto’, ‘traço’ e ‘silêncio’ (este podendo assumir três durações possíveis). A transcrição em morse de, por ex., “Redes de Computadores” vem a ser: “.-. . -.. . ... -.. . -.-. --- -- .--. ..- - .- -.. --- .-. . ...”

Tipos de Sinais PhysicalOverview.doc

Ademais dos Dados de Entrada, um sistema de comunicação tem, naturalmente, que ter em conta os Sinais a

transmitir – pelo que a segunda interrogação é: como são eles? Os Sinais Transmitidos, por conseguinte aqueles que percorrem o canal de transmissão, e portanto também os Sinais Recebidos, podem ser: Analógicos e Digitais. Sinais Analógicos:

Sinais analógicos são aqueles cuja amplitude instantânea varia continuamente, podendo assumir qualquer valor entre um mínimo e um máximo. Sinais Digitais: Sinais digitais são aqueles cujos valores são significativos em apenas certos instantes, discretos, do tempo – e então apenas podem assumir um de dois valores, simbolicamente ‘0’ e ‘1’. Na figura, apresentam-se três possíveis sinais digitais correspondentes a uma mesma sequência binária; os 0s e 1s são transportados: por níveis 0 e A, impulsos +A e –A ou troços de sinusóide de fases 0 e π.

Realce-se que Dados Digitais e Sinais Digitais concernem coisas diferentes (o mesmo vale para Dados Analógicos e Sinais Analógicos). Seja, por exemplo, a transmissão por fibra óptica de um código num item dum supermercado – aí gravado sob a forma de barras e espaços em uma etiqueta. - os Dados Digitais serão os impulsos eléctricos reproduzidos pelo leitor desse código (à medida que varre essa etiqueta, discernindo os caracteres ascii que correspondem a essas barras); - já os Sinais Digitais serão os impulsos luminosos injectados na fibra pelo “apaga/acende” do LED ou laser que a alimenta – seguindo a par e passo esses impulsos eléctricos. Isto dito, saliente-se que, aquando do tratamento analítico adiante, se irá usar indistintamente o termo “sinal” para representar grandezas variáveis com o tempo – sejam elas Dados ou Sinais.

Relativamente à comunicação mediante sinais analógicos, a comunicação via sinais digitais oferece vantagens e desvantagens. Neste momento, ainda matinal, o leitor não deverá desesperar se não entender patavina das linhas seguintes; haja esperança em que, à medida que o texto progredir, vantagens e desvantagens fiquem mais claras… Entre as vantagens, poder-se-ão citar: - o uso de tecnologia moderna - cujos custos se vão reduzindo dia após dia; - a flexibilidade em integrar dados analógicos e digitais, e em acomodar uma multiplicidade de serviços: voz e áudio, texto, imagem e vídeo, … - a maior facilidade em multiplexar, isto é: em transportar simultaneamente, sobre um mesmo suporte físico, dados respeitantes a aplicações/conversações distintas; - a integração, na rede telefónica, da transmissão e da comutação: considerando dados provenientes de múltiplas fontes vizinhas, e que por isso foram multiplexados antes de transmitidos a uma central local, não precisam ser desmultiplexados antes de lhe serem submetidos; - a maior facilidade em sinalizar, isto é: enviar dados de controlo – que por natureza são geralmente discretos, como sejam: endereços, sinal de ocupado/livre, códigos de erro, etc. - a operabilidade a relações S/N baixas, isto é: a maior imunidade ao ruído, mediante codificações da fonte e do canal apropriadas; - a regeneração do sinal ao longo da rota entre transmissor e receptor; - a monitoração do desempenho dos sistemas de transmissão; - a maior segurança na comunicação, nomeadamente por uma maior facilidade em encriptar a informação em voo. Entre as desvantagens, poder-se-ão citar: - a exigência de uma maior largura de banda; - a necessidade de conversão analógico-digital e digital-analógico; - a sincronização no tempo, entre transmissor e receptor; - a multiplexagem topologicamente restrita - a incompatibilidade com equipamento analógico ainda eventualmente existente.

Cenários de Transmissão PhysicalOverview.doc

Em termos práticos, os Dados de Entrada podem ser analógicos ou digitais, e os Sinais Transmitidos podem ser também analógicos ou digitais. O cruzamento volve-se em quatro cenários possíveis: A-A: Dados analógicos transportados por Sinais analógicos; D-A: Dados digitais transportados por Sinais analógicos; A-D: Dados analógicos transportados por Sinais digitais; D-D: Dados digitais transportados por Sinais digitais; A-A: O transporte de Dados analógicos por Sinais analógicos tem como exemplo maior o Telefone tradicional: os Dados gerados no microfone dum telefone são analógicos - e também o são os Sinais eléctricos transmitidos para a rede telefónica. Intui-se que ao Emissor estará cometida ao menos a tarefa de amplificar os Dados analógicos produzidos, para cobrir as eventuais grandes distâncias envolvidas na conversação… D-D: O transporte de Dados digitais por Sinais digitais tem como exemplo maior o e-mail de texto na Internet “Digital”: os Dados gerados no digitar do teclado são digitais, e os Sinais transmitidos para a Internet são também digitais. Na configuração mais simples, intui-se que o Emissor se limitará a substituir os 0s e 1s que codificam as teclas premidas por sinais eléctricos com dois valores distintos, correspondendo respectivamente a 0 e 1… D-A: O transporte de Dados digitais por Sinais analógicos tem como exemplo maior os primórdios do e-mail – feito através da velha rede telefónica analógica: os Dados gerados no digitar do teclado são digitais, todavia os Sinais enviados à rede são analógicos. Intui-se que o Emissor envolverá um dispositivo (dito de modem) que efectue a requerida conversão digital → analógico (e no Receptor execute a operação inversa: analógico → digital) A-D: O transporte de Dados analógicos por Sinais digitais tem como exemplo maior a transferência de voz, música e imagem sobre Redes Digitais “PCM”: em particular, os Dados gerados no microfone do auscultador de um telefone são analógicos, todavia os Sinais transmitidos para uma Rede Digital “PCM” são digitais. Intui-se que o Emissor envolverá um dispositivo (dito de codec) que efectue a conversão analógico → digital (e no Receptor providencie a operação inversa: digital → analógico). Transmissão em Banda-de-Base e sobre-Portadora (Pass-Band)

A curta distância (por exemplo, na placa dum computador), os sinais digitais representando bits são enviados tais quais são (ex.: ‘0’→0V e ‘1’→+5 Volt; o mesmo vale para os sinais analógicos que veiculam a voz de dois conversadores usando telefones fixos conectados à mesma central local de assinante: são enviados tais quais são (na gíria a propósito, e em vez de “tais quais são”, diz-se: são enviados em banda-de-base). A maiores distâncias, porém (ou por outras razões, a abordar em tempo oportuno), isso já não é bem assim: aí, os sinais que traduzem os dados em vias de comunicação são “encavalitados” em sinais electro-magnéticos especiais - que o mundo das telecomunicações designa de portadoras (carrier, no jargão anglo-saxónico). A história testemunha duas classes de portadoras: - portadoras contínuas: a sua variação ao longo do tempo tem uma forma especial: sinusoidal; - portadoras impulsos: a sua variação temporal tem uma forma especial: trem de impulsos. Designa-se de Modulação a técnica de encavalitar/imprimir um sinal sobre uma portadora. Deixando para mais tarde uma abordagem mais detalhada, adiante-se desde já que ela consiste em alterar uma (ou mais) das características da portadora – seguindo a par e passo as variações do sinal que se pretende transmitir. 1. Para o caso de a portadora ser sinusoidal, e consoante o sinal (analógico ou digital) e a característica que é alterada, existem as seguintes variantes básicas: Modulação analógica: AM (Amplitude Modulation), FM (Frequency Modulation), PM (Phase Modulation); Modulação digital: ASK (Amplitude Shift Keying), FSK (Frequency Shift Keying), PSK (Phase Shift Keying). 2. Para o caso de a portadora ser um trem de impulsos, existem as variantes: PAM (Pulse Amplitude Modulation), PDM (Pulse Duration Modulation), PPM (Pulse Position Modulation). Por razões que se irão evidenciando, o uso de impulsos para transmitir raramente é usado nos dias que correm. Adiante passar-se-á revista aos vários dispositivos (modems, codecs) aqui brevemente enquadrados e a algumas das variantes de modulação referidas. Antes, porém, convirá dedicar algum tempo àquilo que o elenco acima terá feito vir ao de cima, a saber: sinusóides e trens de impulsos…

Propagação de uma Onda PhysicalOverview.doc

A transmissão de mensagens a distância suporta-se na propagação de ondas electro-magnéticas. Porque será? Na figura, suponha-se que a Intensidade do Sinal Transmitido é s(t), uma onda sinusoidal perfeita (ou mais abreviadamente, uma sinusóide) – e que é transmitida para um meio de transmissão. A experiência mostra que no receptor o meio de transmissão entrega um sinal electro-magnético, r(t), cuja intensidade tem também a forma de uma onda sinusoidal – com uma característica importante: a frequência de oscilação não muda, mantém-se constante: o Sinal Recebido pode vir atenuado, relativamente ao Sinal Transmitido, e pode vir atrasado – mas o número de ciclos por segundo mantém-se o mesmo. Aliás, pode mesmo estudar-se o meio de transmissão, para concluir acerca da magnitude de tal atenuação e atraso – e, por inserção de amplificadores e igualizadores adequados, procurar compensar tal atenuação e atraso: com tais artifícios – e salvo as imperfeições do meio (ruído e distorção) - o sinal recebido acaba por ser quase

igual ao sinal transmitido! É esta característica que torna as ondas electro-magnéticas especialmente atractivas para transportar a informação!

Por mor de precisão, refira-se que as asserções acima têm um pressuposto: que no cenário em causa é desprezável (ou mesmo nulo) o assim denominado “efeito Doppler”. O leitor terá já reparado que, quando um comboio apita ao

chegar à estação onde o aguarda, a frequência aparente dos sinais que ouve não é exactamente igual à do som emitido pelo apito: é maior…

Existem naturalmente outras razões para apoiar em ondas electro-magnéticas o transporte de informação: - a sua velocidade de propagação – que, no vácuo, atinge c = 300 000 km/seg, - a possibilidade de comunicação com locais tão longínquos como a Lua… - a possibilidade de comunicação a sítios móveis: automóveis, barcos, aviões e satélites…

Portadora da Informação PhysicalOverview.doc

Dada a importância da sinusóide – no transporte de informação, mas também na representação dessa informação, como adiante se verá -, é natural que lhe seja dedicada alguma atenção. E, posto que “uma imagem vale mais que mil palavras”, natural é que ela seja representada por gráficos adequados. Representação no domínio do tempo:

Quiçá a forma mais instintiva de representar uma sinusóide seja aquela tradicional no estudo da trigonometria, a saber: uma forma de onda s(t) representando a variação instantânea ao longo do tempo da expressão

s(t) = A * cos (2 * π * f0 * t + θ) onde se contabilizam três parâmetros apenas, a saber: A representa a Amplitude (ou Intensidade) isto é: o maior valor que a onda pode assumir (por ex., em Volt); f0 representa a Frequência, isto é: o número de ciclos por segundo (ou Hertz, Hz); θ representa a Fase, isto é, o arco (em radianos) cujo co-seno é o valor inicial de s(t) (em t=0) a dividir por A; na prática, regista o facto de o pico da onda ocorrer – não na origem (t=0), mas em td = – θ / (2 * π * f0) O Período (o tempo preciso para a sinusóide perfazer um ciclo completo - e repetir-se) é de 1 / f0 segundos.

Repare-se: s(t) suporta-se explicitamente num co-seno. No que se segue, e em vez das expressões “onda

sinusoidal” ou “sinusóide”, usar-se-á o termo “onda” – e esta será sempre representada algebricamente

por, apenas, um co-seno! E perguntar-se-á: que fazer, se uma onda for dada sob a forma de um seno? A resposta é: bastará reescrevê-la em termos dum co-seno, pelo artifício de subtrair π/2 à respectiva fase:

sen (2 * π * f0 * t + α) ⇒ cos (2 * π * f0 * t + (α – π/2)) Representação no domínio da frequência: Sonhe o leitor que faz uma pausa na leitura, para ouvir uma orquestra tocando uma música do seu agrado… Em dado momento, dois instrumentos poderão ser solicitados a tocar a mesma nota; materialmente, estarão vibrando – e com isso agitando o ar com uma dada frequência... Um ouvido apurado revelará que a nota gerada por cada instrumento não é pura: cada um toca-a com um timbre que lhe é próprio. Mais precisamente, cada instrumento produz, além da nota fundamental, algumas outras notas (mais fracas, ditas de harmónicas); para exemplificar, quando um violino vibra a 440 Hz (a frequência da nota que, por convenção, se designa “lá”), emite também vibrações ao dobro (880 Hz) e ao triplo (1320 Hz) dessa frequência… Algum tempo depois, as notas tocadas serão outras… Contemplando globalmente a música que está ouvindo, há que pensar não em uma mas em várias frequências… Se, para cada uma delas, se recorrer ao grafismo acima (representação no domínio do tempo), rapidamente se percebe que a tarefa advém uma grande trabalheira (e, de facto, inútil). Pelo que, em “comunicações”, é preferível uma outra forma de representar uma onda, a saber: mediante um par

de diagramas - em que a variável independente é a frequência e: - num deles, se traça uma risca vertical com uma altura representando a Amplitude dessa onda; - no outro, se traça uma risca vertical com uma altura/profundidade representando a Fase dessa onda/co-seno. As riscas são traçadas na abcissa (do eixo-f) cujo valor é o da frequência da onda em causa. A Amplitude é sempre positiva: se algum cálculo se volver num valor negativo, o que haverá a fazer será absorvê-lo na Fase, por soma ou subtracção de π:

– A * cos (2 * π * f0 * t + θ) ⇒ A * cos (2 * π * f0 * t + θ ± π) Houvera que considerar várias ondas (espelhando, por exemplo, a fundamental e as harmónicas que produzem o timbre do violino para o “lá”), o que se faria seria traçar, nesses gráficos, riscas denotando a Amplitude e Fase de cada uma delas. Aos gráficos assim obtidos – meros pares A, θ de riscas, um por cada onda/frequência em jogo, de tamanho proporcional à amplitude e fase dessa onda - dá-se o nome de Espectros, respectivamente de Amplitude e de Fase.

Na vida real, será bem difícil ao leitor encontrar verdadeiras ondas (ou qualquer outro sinal periódico!) – no sentido de que se estendem desde t=-∞… Tanto quanto o discurso actual da Ciência consegue perscrutar para trás, o Universo começou há muito menos tempo: há apenas para aí uns 15 mil milhões de anos, mais coisa menos coisa… Pelo que: o instrumental matemático há-de ser olhado como modelo aproximativo razoável…

Sobreposição de Co-senos PhysicalOverview.doc

A figura ilustra os Espectros de Amplitude e Fase de quatro ondas, respectivamente de frequências 0, 6, 9 e 15 Hz. As suas Amplitude são, respectivamente, 1/2, 3/2, 2 e 1 (Volt); as respectivas Fases são 0, -π/5, π/2 e -π/3. Usando a fórmula geral s(t) = A * cos (2 * π * f * t + θ), as expressões das várias ondas vêm a ser:

s0(t) = 1/2 * cos (2 * π * 0 * t + 0) = 1/2 (valor constante: DC) s1(t) = 3/2 * cos (12 * π * t – π/5) (período: 1/6 seg) s2(t) = 2 * cos (18 * π * t + π/2) (período: 1/9 seg) s3(t) = 1 * cos (30 * π * t – π/3) (período: 1/15 seg)

A partir destas expressões, podem traçar-se os gráficos no tempo das ondas dadas. E pode traçar-se uma curva que, em cada instante, represente a soma algébrica das respectivas amplitudes nesse instante. O resultado é notável: não apenas as ondas dadas são periódicas, como o é também o sinal em que se volve a sua sobreposição! Isso não acontece sempre – nem por acaso: o leitor poderá reparar que houve um certo cuidado na escolha das frequências (não nulas) das ondas. Concretamente, elas exibem um máximo divisor comum, a saber: 3 Hz (6, 9 e 15 são múltiplos de 3). Inversamente, os respectivos períodos (1/6, 1/9 e 1/15 seg) são divisores inteiros de um assim designado período fundamental, de T0=1/3 seg: ao longo de um intervalo de tempo estendendo-se por 1/3 seg, as

ondas dadas completam dois, três e cinco ciclos completos respectivamente. Repita-se: o facto de o sinal resultante da sobreposição das ondas dadas ser periódico não acontece por acaso. É que, a intervalos de 1/3 seg, as ondas dadas se repetem todas; por consequência, o sinal composto também se repete a intervalos de 1/3 seg: ele é periódico, de frequência 3 Hz. A essa frequência do sinal composto dá-se o nome de frequência fundamental; e às frequências das ondas dadas - que dela são múltiplas - dá-se o nome de harmónicas. A fórmula geral de uma harmónica é fn = n f0, em que n é um inteiro. A primeira harmónica, f1, coincide exactamente com a própria fundamental (f1 = f0). Para o caso particular da frequência fundamental ser 3 Hz, existe um número infinito de harmónicas: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 Hz, etc…. Pode então afirmar-se que o sinal composto acima é (afora a componente DC, s0(t)=1/2) uma sobreposição linear dessas harmónicas, com a seguinte propriedade: todas elas se esvanecem (isto é, têm uma Amplitude igual a zero), excepto a 2ª, 3ª e 5ª – cujas Amplitudes são, respectivamente, 3/2, 2 e 1 (Reveja-se como se chegou a esse sinal – precisamente a partir dos Espectros de Amplitude e Fase de s0(t),…, s3(t)).

Resumindo: doravante, pode olhar-se o Espectro de um sinal periódico como representação do seu conteúdo em frequência. Ele faz o elenco gráfico das respectivas componentes – DC e harmónicas: quais as suas frequências, amplitudes e fases. Quanto à frequência desse sinal composto – dita fundamental -, obtém-se por cálculo do máximo divisor comum dessas frequências harmónicas.

Nota: Não é de mais realçar que um sinal composto será periódico apenas se as frequências das suas componentes forem

múltiplas de alguma fundamental. Por exemplo, o sinal obtido pela sobreposição de s4(t) = cos ( √2 * π * t) e s5(t) = cos (√3 * π * t)

não é periódico, se bem que as componentes (dois co-senos) o sejam: não existe nenhum intervalo de tempo, T, onde s4(t) e s5(t) completem, ambos, ciclos completos; √2 e √3 não têm máximo divisor comum. Potência de um sinal A potência (energia por unidade de tempo) dissipada em média por um sinal periódico de amplitude s(t) Volt sobre uma resistência de 1 Ω calcula-se (conforme a lei de Joule) por integração ao longo de um período 0 – T0:

P = 1/ T0 ∫ s(t)2 dt Para o caso de s(t) ser um co-seno, A cos (2 π f0 t + θ), manipulações algébricas triviais levam a P = A2/2: a potência (média) duma onda depende só da sua Amplitude – não depende nem da Frequência nem da Fase! E para o caso de s(t) ser um sinal composto, obtido por sobreposição linear de várias ondas, como seja o sinal acima? O leitor pode verificar que 1/ T0 ∫ [s0(t) + s1(t) + s2(t) + s3(t)]

2 dt conduz a PSinalComposto= A0

2 + A12/2+ A2

2/2+ A32/2

(em que A0 …, A3 são as amplitudes de s0(t),…, s3(t)), isto é, e generalizando: a potência média de um sinal

periódico é igual à soma da potência da componente DC com as potências médias das ondas que o compõem (teorema de Parseval). Corolário: quadrando o espectro de Amplitude de um sinal, fica-se sabendo como se distribui a sua potência pelas várias componentes: DC e harmónicas!

Decomposição de Sinais Periódicos PhysicalOverview.doc

A sobreposição linear de ondas com frequências múltiplas de alguma fundamental resulta num sinal composto periódico cuja frequência vem a ser essa fundamental. Uma mente curiosa não deixará escapar a oportunidade sem perguntar: dado um sinal periódico com uma dada frequência, seja f0, será possível construí-lo por sobreposição de

algumas ondas - e, em caso afirmativo, haverá alguma maneira de descobrir quais serão essas ondas: frequências,

amplitudes e fases? A resposta é afirmativa, foi encontrada por Fourier (algo antes de 1822): “Qualquer” função periódica de frequência f0=1/T0 pode exprimir-se por uma assim designada série

trigonométrica de Fourier; esta mais não é que uma sobreposição linear de senos e co-senos cujas frequências são todos os múltiplos de f0 – e cujas amplitudes são convenientemente escolhidas:

s(t) = a0/2 + ∑ an cos (2 π fn t) + ∑ bn sen (2 π fn t), com fn = n f0 → fn = f0, 2 f0, 3 f0, … sendo que as amplitudes, an e bn, das várias componentes (ditas coeficientes da série trigonométrica de Fourier de s(t)) se obtêm por integração ao longo de um período 0 – T0:

an = 2 / T0 ∫ s(t) cos (2 π fn t) dt, isto é: o dobro do valor médio de s(t) cos (2 π fn t) bn = 2 / T0 ∫ s(t) sen (2 π fn t) dt, isto é: o dobro do valor médio de s(t) sen (2 π fn t) a0/2 = 1 / T0 ∫ s(t) dt, isto é: o valor médio de s(t). b0 = 0 (por convenção).

Caso o leitor não seja aficionado do “Cálculo Integral”, pode ficar tranquilo, que – no contexto deste texto, o de uma iniciação ao modelo básico das comunicações – não irá ser solicitado a calcular estes integrais… O importante a reter é isto: dada uma função periódica de Período T0, é (quase sempre) possível

descobrir as harmónicas (isto é: sinusoides de frequência múltipla de f0=1/T0) de que ela se pode considerar

ser uma sobreposição!

A ressalva “quase sempre” reflecte o facto de a série de Fourier convergir (para o valor de s(t)) em cada

instante t se s(t) tiver uma área finita por período e, em t, for contínua. A condição é suficiente mas não é

necessária; de qualquer modo, em telecomunicações, não é limitativa: acontece que todos ou quase todos os

sinais práticos de interesse a satisfazem.

Espectro de Riscas Unilateral PhysicalOverview.doc

A expressão acima, da série trigonométrica de Fourier, envolve senos e co-senos:

s(t) = a0/2 + ∑ an cos (2 π fn t) + ∑ bn sen (2 π fn t), com n = 1, 2, 3, … Claramente, não está conforme à convenção acima - de representar ondas apenas mediante co-senos! É altura de transformar s(t) em uma expressão que envolva somente co-senos… Tendo em conta a igualdade trigonométrica cos (α + β) = cos (α) cos (β) – sen (α) sen (β), manipulações algébricas triviais conduzem à série trigonométrica combinada de Fourier:

s(t) = A0/2 + ∑ An cos (2 π fn t + θn), com n = 1, 2, 3, … em que as amplitudes e fases são, respectivamente,

An = √(an2 + bn

2) θn = arc tg (– bn / an)

Resumindo: dado um sinal periódico com uma dada frequência, seja f0, é (quase sempre) possível

descobrir as amplitudes e fases das ondas harmónicas de que ele se pode considerar ser uma sobreposição!

Relembrado o significado dos diagramas de Amplitude e Fase, estas expressões habilitam a traçar de imediato o assim designado Espectro de Riscas unilateral do sinal dado, s(t). - As frequências das harmónicas serão f1 = f0, f2 = 2 f0, f3 = 3 f0, etc. - Os Espectros de Amplitude e Fase traçam-se a partir de An e θn – e abarcam apenas frequências positivas. Repare-se: - o Espectro do sinal envolve dois gráficos de riscas, um para a Amplitude e outro para a Fase; - as riscas do espectro encontram-se uniformemente espaçadas, de f0; - a amplitude de cada risca é proporcional ao coeficiente (Amplitude ou Fase) da série combinada de Fourier correspondente à frequência a que a risca diz respeito; - porquanto o valor médio duma onda é 0, o valor médio do sinal vem a ser a componente DC, isto é: A0/2;

Parêntesis: Espectros Bilateral e Complexo PhysicalOverview.doc

Abra-se um parêntesis, para representações alternativas de Fourier… O Espectro de riscas unilateral remete para uma “soma” de ondas de frequências positivas (que são as únicas com significado físico real). Na literatura a propósito deste assunto, é comum, porém, um outro Espectro de riscas, dito bilateral – porquanto envolve frequências positivas e negativas. Deduz-se mediante manipulações algébricas triviais: parte-se de

s(t) = A0/2 + ∑ An cos (2 π fn t + θn), com n = 1, 2, 3, … tendo em conta a igualdade trigonométrica cos (α) = cos (–α), chega-se a

s(t) = A0/2 + ∑ An /2 [cos (2 π fn t + θn) + cos (– 2 π fn t – θn)], com n = 1, 2, 3, … e finalmente

s(t) = A0/2 + ∑ An /2 cos (2 π fn t – θn) com n = -∞, … -1 + ∑ An /2 cos (2 π fn t + θn) com n=1, …, ∞

= ∑ An/2 cos (2 π fn t + θn), com n = -∞, … ∞, e (para n>0) A-n=An e θ-n= –θn Estas expressões habilitam a traçar o assim designado Espectro de Riscas bilateral do sinal original s(t). - As frequências das harmónicas serão …, f-3=-3 f0, f-2=-2 f0, f-1=- f0, 0, f1=f0, f2=2 f0, f3=3 f0, … - Os Espectros de Amplitude e Fase traçam-se a partir de An/2 e θn – e abarcam frequências positivas e negativas. Repare-se que - o Espectro Bilateral de Amplitude é uma função par (A-n /2 = An /2); - o Espectro Bilateral de Fase é uma função ímpar (θ-n= –θn). - a Potência média será (A0/2)2 + 2 * ∑ (An /2)2 = ∑ (An /2)2 com n = -∞, …, ∞ isto é: a distribuição espectral de potência obtém-se quadrando simplesmente o Espectro de Amplitude

A representação bilateral pode-se justificar por comodidade nas manipulações matemáticas – não tendo significado físico: que é isso de frequências negativas? Quisera o leitor obter, a partir dela, a representação unilateral (que essa, sim, tem significado físico: regista as ondas que compõem um sinal), bastará considerar apenas a metade direita do Espectro bilateral (à direita do eixo f=0, inclusivé) – todavia duplicando todas as amplitudes (excepto a da componente DC). Ainda uma outra representação comummente usada é a dita forma exponencial ou complexa de Fourier. Deduz-se mediante manipulações algébricas triviais: partindo da série trigonométrica,

s(t) = a0/2 + ∑ an cos (2 π fn t) + ∑ bn sen (2 π fn t), com n = 1, 2, 3, … e, tendo em conta a igualdade trigonométrica cos (α) = (ejα + e-jα)/2 e sen (α) = (ejα - e-jα)/(2j), chega-se a: s(t) = ∑ Cn e j 2 π fn t com n=-∞, … ∞, em que Cn = 1 / T0 ∫ s(t) e -j 2 π fn t dt = (an±j bn/2, que é o valor médio de s(t) e -j 2 π fn t. Na prática, dado s(t), pode ser mais simples determinar os coeficientes complexos Cn – e, destes, deduzir: - o Espectro de Amplitude, que será An = √( an

2 + bnCn ׀ 2 = (2 ׀

- o Espectro de Fase, que será θn = arc tg (– bn / an) = arg (Cn) e, por conseguinte:

s(t) = ׀ C0 ׀ Cn ׀ 2 ∑ + … ,cos (2 π fn t + arg (Cn)), com n = 1, 2, 3 ׀

Sistemas Lineares Invariantes no Tempo PhysicalOverview.doc

Um ponto de ordem à mesa: o leitor já estará perguntando a esta hora – e com carradas de razão: A que vem toda

esta análise Fourier? É a esta questão que as linhas adiante estão dedicadas. Antes de mais, uma precisão: já por diversas vezes veio à baila o termo “sistema”. Tem sido usado como sinónimo dum conjunto de blocos funcionais interligados de forma a cumprir um objectivo concreto – no caso, a transferência de dados a distância. No que se segue, “sistema” será também usado como sinónimo de conversor de sinal eléctrico, isto é: como proporcionando uma entrada onde se pode aplicar uma tensão (ou corrente) - que vai provocar uma mudança de tensão (ou corrente) em uma saída.

Seja a transmissão de um sinal periódico, através de um sistema tão corriqueiro como um par de fios de cobre. Da discussão precedente, trata-se de transmitir a sobreposição de um conjunto de harmónicas, com frequências múltiplas duma fundamental f0 (e amplitudes e fases conformes às fórmulas “Fourier” apresentadas): Que irá acontecer? Admita o leitor, para simplificar, que o sistema em causa é invariante-no-tempo e linear: - invariante no tempo, trocado por miúdos, significa: dado algum sinal de entrada, o sinal de saída é sempre o

mesmo, faça sol ou faça chuva (Como a temperatura e a humidade alteram, ainda que só ligeiramente, as características electro-magnéticas dos materiais, os sistemas não são de facto invariantes no tempo… Mas será pacífico aceitá-los como invariantes se tais alterações não forem por demais significativas…) - linear entende-se do seguinte modo: 1) pressuposto que o sinal de entrada é uma sobreposição de ondas, ∑ Ak cos (2 π fk t), um sistema linear como que trata separadamente essas ondas – por cada uma dando origem, na saída, a, também, uma onda, de Amplitude e Fase que, em geral, não serão necessariamente iguais às dessa onda de entrada:

cos (2 π fk t) ⇒ Gk cos (2 π fk t - ϕk) – cfr interpretação adiante 2) a saída é a sobreposição (com os pesos Ak) das ondas de saída geradas em resposta às ondas de entrada... Isolando uma onda de entrada, de frequência fk, dir-se-á que, para essa frequência, o sistema está forçando: 2.1 um ganho na amplitude, no montante de Gk = AmplitudeSaída/AmplitudeEntrada; (Se 1 > Gk, pode usar-se a designação atenuação, reservando ganho para quando se verifica 1 < Gk); 2.2 um atraso de fase, de ϕk = arg (cosEntrada) – arg (cosSaída), ou, o que é o mesmo, um atraso no tempo, de ϕk / (2 π fk) Ao par G(f), ϕ(f) dá-se o nome de resposta de frequência do sistema. Considerando à entrada do sistema a sobreposição de duas ondas, de frequências fm e fn, observar-se-á, à saída, uma sobreposição das respostas individuais a cada uma dessas ondas:

Am cos (2 π fm t + θm) + An cos (2 π fn t + θn) ⇒ Gm Am cos (2 π fm t + θm - ϕm) + Gn An cos (2 π fn t + θn - ϕn) Pretendendo-se uma boa comunicação, é desejável que a forma do sinal à saída se assemelhe fielmente à forma do sinal à entrada - podendo admitir-se, quando muito, um ganho G e um atraso td: sSaída(t) = G * sEntrada ( t – td) Tendo em vista todas as harmónicas que compõem o sinal de entrada, é necessário, para esse efeito, - que as amplitudes, An, das ondas sofram, todas, o mesmo ganho: Gn = Gm = G; - que os argumentos das ondas, 2 π fn t, sofram, todos, o mesmo atraso, td: cos (2 π fn t) ⇒ cos (2 π fn (t - td)) e por conseguinte ϕn = arc cos (cos (-2 π fn td)) = -2 π fn td + k * 2π, o que grosso modo significa que o atraso de fase sofrido por cada onda deve ser proporcional à sua frequência. Os sistemas reais não garantem tais requisitos. Em termos físicos: são particularmente incapazes de reproduzir as rápidas variações das ondas de frequência mais elevada… Na prática, o que se consegue são sistemas capazes de transmitir ondas de frequências pertencendo a alguma banda passante limitada, porém suprimem as demais.

Considere-se um sistema que se comporte de modo linear na banda de frequências Wmin … Wmax. Que é expectável que aconteça, se à entrada lhe for apresentado um sinal s(t)? Dois cenários há a ponderar: - admita-se que a faixa de frequências ocupada por s(t) está toda ela contida dentro daquela banda. Então, bastará saber como o sistema responde a cada frequência dessa faixa – para saber como ele responde a s(t). Em particular, e conforme à discussão acima, o sinal à saída será semelhante ao sinal à entrada! - admita-se, todavia, que a faixa de frequências de s(t) está fora da banda Wmin … Wmax; se ainda se quiser usar aquele sistema para o transmitir, há primeiramente que efectuar alguma conversão a s(t), para que o sinal daí resultante ocupe uma faixa dentro dessa banda – e, no fim, proceder à conversão inversa Reside aqui a conveniência em conhecer o Espectro de s(t) – isto é, conhecer o seu conteúdo em

frequência, o que é precisamente o objectivo da “análise Fourier”: habilita a discernir o tratamento a dar-

lhe – e portanto os dispositivos conversores de sinal a considerar (eles mesmo caracterizados em termos da

sua resposta Gn,θn a ondas) - com vistas a uma transmissão bem sucedida…

Sequência Periódica de Impulsos Rectangulares PhysicalOverview.doc

Considere o leitor o envio de um e-mail onde se anexaram ficheiros de texto, áudio, vídeo, sabe-se lá que mais: em poucas palavras, sucessões de 0s e 1s. Qual será o seu Espectro? Naturalmente, irá depender da sucessão exacta de 0s e 1s em causa… e antevê-se que deduzi-lo não será coisa de somenos. Pelo que será pacifico começar por algo mais simples: uma Sequência Periódica de Impulsos Rectangulares. Admitindo que os impulsos têm amplitude A e duração ττττ, e se repetem a intervalos de T0 segundos (e um dos impulsos está centrado na origem, t=0), manipulações algébricas triviais conduzem aos seguintes coeficientes da série trigonométrica de Fourier:

an = 2 / T0 ∫ s(t) cos (2 π fn t) dt = 2 A / (n π) sen (π fn τ) bn = 2 / T0 ∫ s(t) sen (2 π fn t) dt = 0.

Seja d = τ / T0 (dito de duty-cycle) a razão entre a duração dum impulso e o respectivo período de repetição, ou seja: a fracção do tempo em que a Sequência de Impulsos está a ‘1’; substituindo, vem an = 2 A / (n π) sen (n π d) e a série de Fourier escrever-se-á:

s(t) = Ad + ∑ 2 A / (n π) sen (n π d) * cos (2 π fn t), com n = 1, 2, 3, …

O Espectro de riscas unilateral deduz-se facilmente:

An = √( an2 + bn

2) = an = 2 A / (n π) sen (n π d) θn = arc tg (– bn / an) = 0

O Espectro bilateral de Amplitude, traçado na figura, será por conseguinte dado por:

An / 2 = A d sen (n π d) / (n π d), com n = -∞, …, -1, 0, 1, …, ∞ As frequências das harmónicas são, naturalmente, múltiplas da fundamental, que é f0 = 1/T0 Hz. Constata-se que: - o valor médio do sinal – e por conseguinte a componente DC do sinal – é de A0/2 = A f0 τ = A d; - a envolvente da Amplitude An tem um primeiro zero em n π d = π → n f0 = 1/ τ Hz - o sinal tem potência PTotal = A2 d; a maior parte dela distribui-se nas frequências inferiores a esse zero, 1/τ Hz Repare-se que: 1. para o caso de a duração ττττ ser igual a T0 (o impulso dizendo-se então de formato “non-return-to-zero”, a Sequência de Impulsos degenerando então num sinal constante), e por conseguinte d = τ / T0 = 1, vem:

a0 = 2A, an = 2 A / (n π) sen (n π) = 0, para n≠0; constata-se que o Espectro de Amplitude se restringe a uma risca, de magnitude igual a a0/2=A, em f=0; 2. para o caso de a duração ττττ ser T0 /2 (o impulso dizendo-se então de formato “return-to-zero”, a Sequência de Impulsos degenerando então num onda rectangular em que os 1s e os 0s têm igual duração, vem:

a0 = A, an = 2 A / (n π) sen (n π /2), para n>0; constata-se que todas as harmónicas de ordem par se anulam: an = 0 para n = 2, 4, 6, … 3. para o caso de a duração ττττ ser T0/2 (e portanto d=1/2) e a amplitude ser A=1 (onda quadrada), a série de Fourier escreve-se:

s(t) = 1/2 + 2/(π) cos (2 π f0 t) – 2/(3π) cos (2 π 3f0 t) + 2/(5π) cos (2 π 5f0 t) – 2/(7π) cos (2 π 7f0 t) + …; constata-se então: - o valor médio do sinal – e por conseguinte a amplitude da componente DC do sinal - é de 1/2; - a separação entre riscas é de f0 = 1/ T0 Hz; - a envolvente da Amplitude An tem um primeiro zero em 2/ T0 Hz – que coincide com a segunda harmónica, f2; existem apenas três riscas de frequência não superior a f2; - o sinal tem potência PTotal = 1/2; - a componente DC tem potência PDC = 1/4; - a primeira harmónica (f1 = f0 = 1 / T0) tem potência Pf1 = 2/π2; - a segunda harmónica (f2 = 2 f0) tem potência Pf2 = 0; - a fracção da potência total que é suportada pelas três primeiras riscas é de (1/4 + 2/π2) / (1/2) ≈ 0,905

Reconstrução da Sequência Periódica de Impulsos Rectangulares PhysicalOverview.doc

Considere o leitor de novo a transmissão de um sinal periódico, através de um canal tão corriqueiro como um par de fios de cobre – mas assumindo agora que ele é uma Sequência Periódica de Impulsos Rectangulares. Da recente discussão, trata-se de transmitir a sobreposição de um conjunto infinito de harmónicas, com frequências múltiplas duma fundamental f0 (e amplitudes e fases conformes às fórmulas “Fourier” apresentadas):

s(t) = Ad + ∑ 2 A / (n π) sen (n π d) * cos (2 π fn t), com n = 1, 2, 3, … Suponha o leitor, como se fez já acima, que o canal em causa é invariante-no-tempo e se comporta de modo

linear numa banda de frequências 0 … Wmax. Que é expectável que aconteça? Para se apreciar as consequências da limitação da banda a Wmax, a figura ao lado reproduz a saída de canais de transmissão que, além de “passarem” a componente DC, apresentam larguras de banda Wmax sucessivamente crescentes: 1) o primeiro canal é opaco mesmo à onda com a frequência da fundamental f0: a saída resume-se a um valor constante, igual ao valor médio do sinal, Ad; 2) o segundo canal somente “passa” a fundamental: a saída é uma onda, 2 A / π sen (π d) * cos (2 π f0 t), adicionado a um valor constante (que é o valor médio do sinal); 3) o terceiro canal somente “passa” as duas primeiras harmónicas (a fundamental e a 2ª harmónica) 4) o quarto canal somente “passa” as três primeiras; 5) o quinto canal somente “passa” as quatro primeiras; 6) o sexto canal somente “passa” as cinco primeiras. O resultado final é: o sinal de saída é uma aproximação da Sequência Periódica de Impulsos Rectangulares à entrada - aproximação essa tanto maior quantos mais harmónicas forem adicionadas , isto é: quanto maior for a

largura de banda, Wmax, do canal de transmissão. As harmónicas de menor frequência resultam em algo que apresenta já alguma parecença com a Sequência de Impulsos original – mas os “saltos” entre 0s e 1s são “arredondados”, que não verdadeiras descontinuidades; intui-se que o principal contributo das harmónicas de maior frequência é conferir uma maior verticalidade a esses saltos. Quisera obter-se uma sequência de impulsos perfeita, seria preciso exigir ao canal o que nenhum é capaz de garantir: passar todas as frequências (Em rigor, nem isso bastaria: por muitas frequências que fossem consideradas, nas transições 0 ↔ 1 acontece o assim denominado “fenómeno de Gibbs”: a série de Fourier converge para o valor médio do salto - oscilando significativamente antes e depois dele).

Curiosamente, o ouvido humano não é sensível às diferenças de fase nos sons que recebe: cos (2 * π * 440 * t) e cos (2 * π * 440 * t + π / 6)

soam ambos a “lá”… - pelo que o leitor não estranhará que, no desenho da rede telefónica analógica – que visa facultar a um utilizador humano genérico ouvir o que o interlocutor lhe diz -, o Espectro de Amplitude tenha tido uma importância bem maior que o Espectro de Fase… Mas, quando se trata de transmitir impulsos, já a música é outra: se o canal de transmissão alterar as fases das suas componentes harmónicas (que, originalmente, são todas nulas, θn=0), a sobreposição à saída já não se afigurará uma Sequência Periódica de Impulsos Rectangulares… (O leitor tem a oportunidade de exibir os seus dotes de desenhador, para conferir o resultado da sobreposição – quando as fases não são θn=0). Na prática, para reduzir tais alterações de fase, o receptor usa dispositivos ditos de equalizadores.

Quando o período aumenta… PhysicalOverview.doc

Considere-se de novo o Espectro da Sequência Periódica de Impulsos Rectangulares, dado por:

an/2 = ∑ A d sen (n π d) / (n π d), com n = -∞,…, -1, 0, 1, …, ∞ e confira-se o que sucede quando o Período aumenta – ou, o que é o mesmo, a frequência dos impulsos diminui… A figura ao lado representa o que sucessivamente acontece quando o Período aumenta: no intervalo de tempo em que inicialmente se produziam três impulsos, passam a produzir-se apenas dois, e, depois, apenas um… Vice-versa, a frequência passa de, seja, f0, para 2/3 de f0 e, depois, para 1/3 de f0… Sumariamente: as riscas do Espectro aproximam-se umas das outras: a separação entre elas passa de f0 para 2/3 de f0 e, depois, para 1/3 de f0… E, em simultâneo, a Amplitude de cada uma delas diminui: em particular, a amplitude da componente DC – que é proporcional à frequência – diminui para 2/3 da inicial, e depois para 1/3… Qual o limite deste processo de alargar o Período? O Período aumenta indefinidamente – para ∞ - e por conseguinte a frequência dos impulsos tende para 0. Em termos práticos, não mais pode falar-se em Sequência

Periódica de Impulsos Rectangulares – mas em um Impulso isolado apenas! Em termos de Espectro, que é que acontece? O leitor pode confirmar: deixa de haver separação entre as riscas, e todas elas têm amplitude nula… Não mais faz sentido em falar-se de Espectro discreto / de Riscas – este degenerou num Espectro contínuo.

“Decomposição” de Sinais Não periódicos PhysicalOverview.doc

Quando o sinal s(t) não é periódico, não mais pode falar-se de uma frequência fundamental f0, muito menos da sobreposição de ondas de frequência discreta múltipla dessa fundamental. Antes convém olhar o sinal como uma “sobreposição linear” de ondas - de frequência estendendo-se continuamente de -∞ a +∞:

s(t) = ∫ S(f) e j 2 π f t df, em que S(f), dita Transformada de Fourier, é dada por

S (f) = ∫ s(t) e –j 2 π f t dt (compare-se com a forma exponencial ou complexa de Fourier). S (f) designa-se de Espectro do sinal s(t); | S (f) | designa-se de Espectro ou Densidade Espectral de Amplitude de s(t); representa a Amplitude relativa das ondas que compõem o sinal arg ( S (f)) designa-se de Espectro de Fase de s(t); representa a Fase das ondas que compõem o sinal Energia de um sinal

Para sinais não periódicos, existe um Teorema de Rayleigh (análogo ao teorema de Parseval para sinais periódicos): a Densidade Espectral de energia (em Joule/Hz) obtém-se quadrando simplesmente a Densidade Espectral da Amplitude do sinal.

Resumindo: Qualquer sinal s(t) pode ser olhado como sobreposição linear de ondas de várias

frequências. O seu Espectro revela precisamente o seu conteúdo em frequência: faixa de frequências que ele ocupa, respectivas amplitudes e fases. 1. se o sinal for periódico, de período T0, - o Espectro é de riscas, deduz-se por expansão em Série de Fourier; cada risca corresponde a uma harmónica – de frequência múltipla de uma fundamental, cujo valor, f0=1/ T0, é igual ao inverso do período do sinal; vice-versa, a frequência fundamental obtém-se por cálculo do máximo divisor comum das frequências das harmónicas - quadrando o Espectro de Amplitude, fica-se sabendo como é que a Potência do sinal se distribui por essas harmónicas (e pela componente DC); 2. se o sinal for não-periódico, - o Espectro é contínuo, deduz-se por aplicação da Transformada de Fourier; agora, não tem sentido falar em fundamental e harmónicas – mas em densidade espectral; - quadrando o Espectro de Amplitude, obtém-se a densidade espectral de Energia do sinal, isto é: fica-se sabendo como é que a Energia do sinal se distribui pela faixa de frequências que ele ocupa. Em ambos os casos, e tendo em vista uma transmissão bem sucedida, é decisivo conhecer o Espectro de

s(t) – isto é, conhecer o seu conteúdo em frequência, o que é precisamente o objectivo da “análise Fourier”:

ele habilita a discernir o tratamento a dar-lhe – e portanto os dispositivos conversores de sinal a considerar

(eles mesmo caracterizados em termos da sua resposta G(f), ϕ(f) a ondas!)

Em tempo oportuno passar-se-á revista a alguns conversores de sinal

Largura de Banda de um Sinal

Admita-se que existe algum intervalo de frequências, seja flow … fhigh, fora do qual o Espectro de Amplitude se

anula (isto é: na “decomposição” do sinal, só são significativas ondas cujas frequências pertencem àquele intervalo); diz-se que o sinal ocupa a Banda flow … fhigh, tendo uma largura de banda Absoluta de fhigh - flow. A maioria dos sinais reais com que os sistemas de Telecomunicações lidam tem – como acontece com a Sequência de Impulsos Rectangulares – uma largura de banda Absoluta infinita. Verifica-se, porém, que a maior

parte da sua energia (seja 90%) se encontra confinada a uma estreita faixa de frequências – sendo nula (ou desprezável) fora dessa faixa. A essa faixa dá-se o nome de banda Efectiva, ou simplesmente banda, do sinal - e este diz-se sinal de banda limitada. Entre os sinais de banda limitada, dois casos particulares há a considerar: sinais passa-baixo e passa-banda. - Um sinal diz-se passa-baixo (ou banda de base) se a sua banda se estende desde DC=0 (ou muito perto disso) até algum valor fhigh finito; exemplos são-no: os sinais de voz ou TV e a Sequência de Impulsos Rectangulares. - Um sinal diz-se passa-banda se o seu conteúdo espectral se encontra confinado a uma faixa de frequências rondando uma frequência (não nula) dita de central ou portadora.

O Impulso Isolado PhysicalOverview.doc

Aplicando a recente discussão ao Impulso rectangular isolado de amplitude A e duração τ, centrado na origem, t=0 – um sinal nitidamente não-periodico -, chega-se a:

S (f) = ∫ A e –j 2 π f t dt = A τ sen (π f τ) / (π f τ) Na figura, representam-se os Espectros de Amplitude e Fase correspondentes. Constata-se que: - a maior parte da energia do sinal se distribui nas frequências inferiores a 1/τ Hz: como que 1/τ representa a

largura espectral de um impulso isolado de duraçãoτ; - se se diminuir a duração do impulso, τ → 0, o Espectro alonga-se para maiores frequências, 1 / τ → ∞: impulsos breves têm Espectros mais largos, e, vice-versa, impulsos mais duradouros têm Espectros mais finos. Esta propriedade, dita de reciprocal spreading, é uma propriedade geral de todos os sinais: variações rápidas no tempo exigem componentes de frequência muito alta, e variações lentas no tempo requerem relativamente muito menos em termos de altas frequências. Espectro da Sucessão de 0s e 1s: A discussão em curso foi provocada pela pergunta: qual será o Espectro duma sucessão de 0s e 1s? Podendo considerar-se essa sucessão como uma sobreposição de impulsos isolados desfasados uns dos outros, essa questão volve-se em: qual será o Espectro dessa sobreposição? Começando por um cenário simples, considere-se o caso de três impulsos isolados de Amplitude A=1 – estendendo-se respectivamente: 1) de 0 a T; 2) de T a 2*T; 3) de 0 a 2*T. O terceiro impulso é a sobreposição dos outros… e natural é perguntar: qual a relação entre os seus espectros? Seja um impulso de duração τ e início em td; manipulações algébricas triviais conduzem a

S(f) = ∫ e –j 2 π f t dt, para td< t < td+τ ⇒ S(f) = e – j2πf(td+τ/2) τ sen (π f τ) / (π f τ): a Transformada de Fourier dum impulso isolado atrasado de td conduz a um mesmo Espectro de Amplitude, mas a um Espectro de Fase linear com declive – 2 π f td. Pelo que: - o espectro do primeiro impulso (de 0 a T) é S(f) = e – j2πf(T/2) T sen (π f T) / (π f T); - o espectro do segundo impulso (de T a 2T) é S(f) = e – j2πf(3T /2) T sen (π f T) / (π f T); O resultado da sobreposição destes espectros logra-se por manipulações algébricas triviais: vem a ser

e – j2πf(T) 2T sen (π f 2T) / (π f 2T) - que, pode deduzir-se da expressão para S(f), é exactamente o espectro do terceiro impulso. Ou seja: o espectro da sobreposição dos dois impulsos é a sobreposição dos espectros desses impulsos! Deixa-se ao leitor generalizar a uma sucessão de 0s e 1s: como se relacionará o seu Espectro com o do impulso isolado?

O Sinal Voz PhysicalOverview.doc

O sinal mais importante na comunicação – e de modo especial na rede telefónica - é a voz humana. Esta tem a sua origem na contracção dos músculos do peito: este força o ar dos pulmões a sair – com o que as cordas vocais se põem a vibrar; essa vibração provoca variações da pressão atmosférica: comprime o ar “à frente”, rarefaz o ar “atrás”; essas variações propagam-se, qual onda de pressão através do ar próximo; as características “finais” dessa onda são-lhe conferidas pela garganta, boca e nariz do falante em causa - e se for o caso de ele estar falando para um telefone, haverá ainda que ter em conta as modificações forçadas pelo respectivo microfone… A sua análise espectral levou às seguintes conclusões: - é um espectro contínuo, que se estende desde frequências tão baixas quanto 20 Hz – até frequências rondando os 20 kHz; - ele é algo variável com o sexo (tipicamente, a voz feminina é mais aguda, a voz masculina é mais grave), e a idade (as características de frequência de uma criança e de uma velhinha são distintas: o conteúdo de frequência da voz de uma pessoa vai variando com o passar dos anos). Entretanto, - o conteúdo espectral mais significativo – para entender o conteúdo, isto é: a mensagem – estende-se de cerca de 300 Hz até cerca de 3400 Hz… - as restantes frequências – para além dos 3400 Hz – são sobretudo importantes para revelar as características

individuais da voz em causa.

Isso conduziu à seguinte decisão (a nível internacional): a rede telefónica – em que se assumiu que o mais importante é perceber o significado da mensagem dita – está desenhada para “passar” as frequências do que se convencionou designar “voz comercial”: frequências entre os 300 Hz e os 3400 Hz (nos EU, porém, ao canal de voz é atribuída uma faixa de apenas 200-3200 Hz).

Uma observação importante é esta: o ouvido humano capta uma faixa maior de frequências – uma faixa estendendo-se, grosso modo, dos 16 Hz aos 30 kHz (limite este que vai diminuindo com o avançar dos anos…). Pelo que as redes rádio-difusão e televisão – em que também há interesse em proporcionar a audição de música de alta-fidelidade -, estão desenhadas para “passar” frequências bem para lá dos 3500 Hz. Outros sinais fundamentais nas comunicações são: 1. Os sinais de televisão. A largura de banda necessária para os transmitir é cerca de: - 5,5 MHz (norma PAL, usada na Europa) - 4,2 MHz (norma NTSC, usada nos EUA).

Neste ponto da caminhada, o ponto da situação é: 1. Qualquer sinal – representando voz, imagens, vídeo, sequências de 0s e 1s, etc. - pode ser olhado como sobreposição linear de ondas de várias frequências. O seu Espectro revela precisamente o seu conteúdo em

frequência: a faixa de frequências que ele ocupa – seja flow … fhigh -, respectivas amplitudes e fases. 2. Um sistema invariante-no-tempo e linear – ao menos numa banda Wmin … Wmax - pode ser caracterizado em termos da sua resposta de frequência G,θ – isto é, das modificações que imprime em uma onda duma frequência dessa banda. Para bom entendedor: se se conhece a resposta dum sistema linear a uma onda de uma frequência da banda Wmin … Wmax, será pacífico deduzir a resposta quando a entrada for uma combinação linear de ondas de frequências dessa banda - ou, o que é o mesmo: será pacífico deduzir a resposta quando a entrada for qualquer sinal cuja faixa de frequências se confine àquela banda. No caso mais geral, à entrada dum sistema de banda passante Wmin … Wmax, apresenta-se um sinal que ocupa a faixa de frequências flow … fhigh... Tendo em vista o objectivo das telecomunicações – comunicar a distância -, resta investigar: quais os conversores de sinal (aliás respigados no correr da pena – filtros, amplificadores, moduladores, etc..) que é preciso interpor para que esse objectivo se cumpra? São exactamente eles o assunto sobre que as páginas seguintes se debruçam… - o que de modo nenhum significa rever todos os dispositivos usados nas comunicações; nomeadamente, dessas páginas ficam de fora fontes de

alimentação, osciladores, interruptores, PLLs, etc....

Filtros PhysicalOverview.doc

Considere-se um sistema em cuja entrada se força uma onda,

s(t) = cos (2 π f t) Recordando uma afirmação acima – e pressuposto (como se fará em todo este documento) que o sistema é invariante-no-tempo e linear -, o sinal à saída reproduz “essa” onda, quando muito atenuando-a e atrasando-a:

cos (2 π f t) ⇒ G(f) cos (2 π f t - ϕ(f)) O ganho na amplitude, G(f), e o atraso de fase , ϕ(f), dependem da frequência da onda, f. Quando o ganho varia com a frequência – isto é: não é constante, observando-se que algumas ondas aparecem na saída mais atenuadas que outras -, obtém-se um assim denominado filtro. Os filtros com mais interesse são aqueles que idealmente deixam passar uniformemente as frequências de alguma banda flow … fhigh – dita banda de passagem (ou passante); relativamente às restantes frequências, que constituem a assim denominada banda de rejeição, a atenuação advém mesmo muito elevada. Consoante os limites da banda passante, os Filtros classificam-se em: - Passa-Baixo: a atenuação é infinita para além duma frequência fcut, passam as frequências abaixo de fcut; - Passa-Alto: a atenuação é infinita até uma frequência fcut, passam as frequências acima de fcut; - Passa-Banda: passam apenas as frequências duma banda fcuti … fcuts, a atenuação é infinita fora dela; - Elimina-Banda: a atenuação é infinita para alguma banda de frequências, fcuti … fcuts, apenas passam as frequências fora dela; fcut designa-se de frequência de corte; fcuti e fcuts designam-se de frequência de corte inferior e superior, respectivamente. Ao lado, representa-se, para cada uma destas classes de filtros, a correspondente Resposta de Amplitude ideal,

G(f) = AmplitudeSaída/ AmplitudeEntrada. (Quanto à Resposta de Fase ideal, já oportunamente se constatou que - na Banda passante - o atraso de fase deve ser proporcional à frequência).

Os filtros ideais são irrealizáveis – no sentido de que não se consegue construir filtros em que, para uma frequência de corte, fcut, a resposta de frequência sofra uma descontinuidade abrupta. Na prática, considera-se frequência de corte aquela para a qual a relação entre as potências à saída e à entrada (normalizada por essa relação na frequência central da banda passante) cai para 1/2 – ou, o que é o mesmo, o ganho de amplitude normalizado vem a ser de √1/2 ≈ 0,707. Ademais, e continuando a observar filtros reais, a resposta de amplitude não é constante na banda passante, e não é exactamente nula na banda de rejeição.

Existem muitas situações onde convém usar filtros. Exemplos são-no: a filtragem/supressão de sinais que transportam ruído, interferências, distorção… Adiante, serão considerados diversos dispositivos (nomeadamente, desmoduladores AM, multiplexers FDM) onde os filtros têm um papel de relevo.

Amplificadores / Decibel PhysicalOverview.doc

Considere o leitor, por exemplo, dois sistemas S1, S2, de respostas na frequência G1, ϕ1 e G2, ϕ2, acoplados em série – isto é: o sinal à entrada de S2 é o sinal a saída de S1. Qual será a resposta do conjunto? Se à entrada de S1 se forçar uma onda, s1(t) = cos (2 π f t), à saída dele observar-se-á:

G1 cos (2 π f t - ϕ1). Forçando este sinal à entrada de S2 (isto é: fazendo s2(t) = G1 cos (2 π f t - ϕ1)) à saída de S2 observar-se-á:

G2 G1 cos (2 π f t - ϕ1 - ϕ2). A conclusão é: o conjunto dos dois sistemas em série exibe uma resposta em frequência de G2 * G1, ϕ1 + ϕ2. Repare-se: o atraso de fase total logra-se com uma soma, ϕ1 + ϕ2, mas já o ganho total exige uma multiplicação, G2 G1 – o que não é mesmo nada cómodo. Pelo que, na prática, se prefere um outro modo de agir: fazendo entrar em cena uma unidade logarítmica (o decibel, dB) para exprimir o ganho. Eis a definição de decibel: seja um sistema cujos sinais à entrada e saída têm as potências médias de, respectivamente, PotênciaEntrada e PotênciaSaída; o ganho experimentado será, expresso em dBs:

GP = 10 log10 PotênciaSaída / PotênciaEntrada dB Note-se: conquanto a Potência se exprima em Watt, o ganho – porquanto é relação entre Potências - é uma grandeza essencialmente adimensional; o dB exprime tão somente que ela está expressa logaritmicamente. Supondo potências dissipadas sobre resistências de 1 Ω, ter-se-á, em termos de Corrente ou Tensão:

GP = 10 log10 ISaída2 / IEntrada

2 = 20 log10 ISaída / IEntrada dB = 10 log10 VSaída

2 / VEntrada2 = 20 log10 VSaída / VEntrada dB

Caso particular: na frequência de corte dum filtro, fcut - aquela em que o ganho de potência cai para metade do ganho no centro da banda passante –, o ganho normalizado do filtro será 10 log10 1/2 = -3 dB.

Para aferir da vantagem do uso de dBs na facilitação dos cálculos, considere-se de novo o exemplo acima - dois sistemas S1, S2 em série - forçando ganhos de, por exemplo, -40 dB e 70 dB. Designando de PI1 e PI2 as potências dos sinais à entrada dos sistemas, e PO1 e PO2 as potências dos sinais à saída, ter-se-á:

-40 = 10 log10 PO1 / PI1 dB → PO1 = 10-4 PI1; 70 = 10 log10 PO2 / PI2 dB → PO2 = 107 PI2;

Pois que os sistemas estão em série, PI2 = PO1, e por conseguinte: PO2 = 107 * 10-4 PI1 = 103 PI1,

Isto é: o ganho do conjunto em série vem a ser GP = 10 log10 PO2 / PI1 = 30 dB – resultado a que se poderia ter chegado muito mais simplesmente: somando algebricamente os ganhos individuais (em dB) dos sistemas:

GP Série = (-40) + (+70) = +30 dB.

Não haja confusões: se o ganho de, por exemplo, S1 é de -40 dB, isto é, 20 log10 VSaída / VEntrada = -40, então a relação entre os sinais à saída e à entrada é de: VSaída / VEntrada = 10 -2 = 0,01.

Aplicações:

Os meios de transmssão atenuam os sinais transmitidos: parte da sua potência é dissipada no meio à medida que eles se propagam. No caso particular de meios guiados (linhas, coaxial e fibra óptica), a potência decresce exponencialmente com a distância, d: PSaída / PEntrada = 10 -αd/10, em que α é o coeficiente de atenuação, em dB/km. Expressa em dB, a atenuação após d km será então –αd: em dB, a atenuação é proporcional à distância! Por exemplo, um cabo de fibra de 25 km com coeficiente de atenuação α=-0,4 dB/km provoca uma atenuação total de -0,4*25=-10 dBs. Já no caso de meios não-guiados (os sinais são emitidos por antenas, e propagam-se em espaço livre: feixes hertzianos, satélites, rádio), a potência decresce com o quadrado da distância: PSaída / PEntrada = (c/4πfd)2, em que f é a frequência usada. Expressa em dBs, a atenuação após percorridos d km será então 20 log10(c/4πfd). Quer num caso, quer noutro, usam-se, para compensar tal atenuação, amplificadores/repetidores – inseridos ao longo do percurso (em geral, equidistantes). A distância entre eles deve ser tal que a potência do sinal não desça tanto que ele acabe por se confundir com o ruído. Por cada secção amplificador+meio, a atenuação no fim será, em dB, a soma algébrica do ganho do amplificador com a atenuação (um ganho negativo) do meio.

Modulação Analógica PhysicalOverview.doc

A banda absoluta, flow … fhigh, do sinal que representa uma mensagem não tem nada a ver com a banda passante, Wmin … Wmax, do canal que a transmite: a primeira depende das características do produtor da mensagem, a segunda depende das propriedades do meio que a vai transmitir… Isso dá que pensar: pode acontecer que a banda do sinal não esteja toda ela compreendida no seio daquela banda passante… Eis dois casos particulares: - o envio de sinais “voz” (cujo espectro se estende maioritariamente até cerca de 3400 Hz), por feixes hertzianos ou fibra óptica – ambos desenhados para transmitir frequências da ordem dos GHz; - o envio de “sequências de impulsos rectangulares” (em cujo espectro predominam DC e baixas frequências) por um canal telefónico – que suprime completamente componentes-DC… Que é expectável que suceda? Considere-se uma frequência da faixa flow … fhigh, porém fora da banda

passante Wmin … Wmax do canal. Tentar enviar pelo canal uma onda com essa frequência resulta em puro desperdício: será eliminada por ele. Tendo em mente um sinal ocupando aquela faixa: desaparece a “parte da mensagem” carregada por tal onda, o receptor já não conseguirá reproduzir fielmente a mensagem original! Conclusão: em tais casos, há que proceder a uma prévia transformação do sinal. Dita de modulação, terá por fim mudar a faixa de frequências ocupada pelo sinal – para uma outra, contida na banda passante do canal. Dado um sinal de entrada s(t) – e pressuposto que fhigh < Wmin -, como é que, em termos práticos, se procede? - primeiramente, selecciona-se uma assim designada frequência portadora fc, (carrier) – que, sem perda de generalidade, será a frequência central do intervalo Wmin … Wmax; - depois, procede-se ao produto do sinal de entrada por um co-seno dessa frequência: s(t)* cos (2 π fc t); - aquilo que vem a ser transmitido para o canal baseia-se no sinal resultante desse produto. Recordando que s(t) pode ser olhado como sobreposição de ondas, discernir o resultado desse produto volve-se em saber o que sucede a cada uma – quando advém multiplicada por um co-seno. Considere-se então uma onda, cos (2 π fs t), com flow < fs < fhigh, e proceda-se ao seu produto pela portadora, cos (2 π fc t). O resultado obtém-se por manipulações algébricas triviais: tendo em conta a igualdade trigonométrica

cos (α) cos (β) = 1/2 cos (α+β) + cos (α-β), o resultado volve-se em duas ondas:

cos (2 π fc t) * cos (2 π fs t) ⇒ 1/2 cos (2 π (fc + fs) t) + cos (2 π (fc - fs) t) Essas ondas têm frequências finf e fsup: uma abaixo e outra acima da portadora, fc – à mesma distância, fs, dela:

finf = (fc - fs) e fsup = (fc + fs) Em termos de Espectro Unilateral: a “risca” fs origina um par de riscas, nas frequências fc-fs e fc+fs. É pacífica a generalização para s(t) – doravante dito de sinal modulante: o seu produto por uma portadora resulta numa portadora modulada com duas sub-faixas de frequência, ditas de bandas laterais - inferior e superior -, situadas de um lado e outro da portadora. O Espectro de s(t) é transladado para uma faixa de frequências em torno de fc! As duas bandas laterais são como que a imagem ao espelho uma da outra: conhecida uma, sabe-se como será a outra… Pelo que, e por mor de economia, e ao invés de transmitir as duas bandas, se suprime uma delas; adiante, pressupõe-se que se transmite só a banda lateral inferior – a outra sendo suprimida por um filtro passa-baixo de frequência de corte fcut=fc. A largura de banda do sinal transmitido fica igual à largura de banda do sinal original! Pressuposto que essa banda lateral esteja toda ela contida na banda passante do canal, o receptor recebê-la-á na íntegra. Resta descobrir: como recuperará ele o sinal s(t) original? A resposta é óbvia: por desmodulação… No caso, reduz-se a uma filtragem após nova multiplicação pela portadora, fc: com efeito, e começando por isolar uma onda, seja finf, o seu produto pela portadora irá resultar em, de novo, um par de frequências laterais:

fc * finf ⇒ fc – finf = fs e fc + finf = 2 fc – fs; Suprimindo a frequência lateral superior, por um filtro passa-baixo com fcut=fc, sobra apenas a onda original, fs. Generalizando: para obter o sinal original, basta ao receptor multiplicar o sinal recebido pela portadora, e filtrar.

Porfiando o texto por se cingir ao princípio da modulação, apenas se aborda a variante “banda lateral única (single side band, SSB), com supressão da portadora” da assim denominada modulaçâo de amplitude

(AM); há outras variantes... Entretanto, e reparando que ela consiste em imprimir na amplitude da portadora as variações do sinal modulante, é natural a pergunta: e porque não as imprimir nas outras características – frequência ou fase - da portadora? Fazê-lo são técnicas alternativas (modulação de frequência (FM) e modulação de fase (PM)) – mas até o leitor repara que a página chegou ao fim: não sobra espaço para elas…

FDM - Multiplexagem por Divisão na Frequência PhysicalOverview.doc

Até à invenção dos sistemas “com portadora”, cada conexão telefónica exigia um par de fios de cobre. A curta distância, seja entre o telefone fixo da casa do leitor e a sua central de comutação local, quiçá isso não seja uma tragédia; mas, pensando em distâncias maiores, como seja entre Lisboa e Porto, isso é muito dispendioso. A boa notícia é que hoje (mais precisamente, desde 1918), esse mesmo par já consegue veicular até 240 canais telefónicos individuais simultâneos (um canal por cada par de conversadores) – e, em outros meios de transmissão (cabos coaxiais, feixes hertzianos, fibra, …) já se conseguem transportar muitíssimo mais canais. A técnica – dita de multiplexagem por divisão na frequência (FDM) – reside num “ovo de Colombo”… Considere-se, como exemplo a concretizar a discussão, que se dispõe de um meio de banda passante 60-108 kHz; à entrada, apresentam-se 12 pontos terminais, onde estão ancoradas outras tantas conversações. O desafio é: como partilhar esse meio, em simultâneo, por todos os conversadores - sem que tudo descambe numa cacofonia: cada qual tentando ouvir o seu interlocutor, tendo com pano de fundo a barulheira provocada pelos demais? A resposta encontrada foi: 1. posto que a faixa de frequências da “voz comercial” - ocupando 300 – 3400 Hz - se estende por 3100 Hz, dedicar, a cada conversação, uma largura de banda algo superior, seja 4 kHz; 2. repartir abstractamente a banda passante do meio num conjunto disjunto de sub-bandas independentes, cada uma de largura 4 kHz; concretamente, a banda 60-108 Kz – de largura 48 kHz - é repartida em 12 sub-bandas de 4 kHz cada:

60-64, 64-68, 68-72, …, 96-100, 100-104, 104-108 kHz; 3. por cada ponto terminal, proceder à translação da faixa de frequências do respectivo sinal, para a sub-banda específica que lhe corresponde; por exemplo, transladar para a 5ª sub-banda, 76-80 kHz, a faixa de frequências do sinal que se apresenta no 5º ponto terminal; 4. recorrer à técnica da modulação para lograr essa translação de frequências – assumindo-se, sem perda de generalidade, aproveitar apenas a banda lateral inferior; com isso, a largura de banda do sinal em cada canal fica igual à largura de banda da “voz comercial” (por conseguinte, inferior aos 4 kHz a que monta a largura do canal); 5. para tal modulação, associar uma sub-portadora a cada sub-banda individual,– de frequência igual ao limite superior da sub-banda; as sub-portadoras ficam, é claro, espaçadas de 4 kHz; concretamente, as sub-portadoras associadas a 60-108 Kz vêm a ser: 64, 68, 72, …, 100, 104 e 108 kHz; para transladar, por exemplo, o espectro do sinal que se apresenta no 5º ponto terminal - para a sub-banda 76-80 kHz -, usa-se a sub-portadora 80 kHz); 6. somar o que resulta dessas modulações – e enviar o resultado da soma (dito de sinal multiplexado) para o meio, a caminho do receptor. (Eventualmente, este sinal multiplexado pode servir como modulante de uma portadora fc – para transmissão por feixes hertzianos ou fibra, por exemplo). No receptor, há, naturalmente, que proceder à operação inversa, dita de des-multiplexagem - para reaver as conversações individuais. Isso é feito do seguinte modo: 7. começa-se por extrair as sub-bandas do sinal multiplexado, mediante filtros passa-banda – cujas frequências de corte coincidem com as fronteiras das várias sub-bandas; concretamente, usam-se filtros passando as bandas:

60-64, 64-68, 68-72, …, 96-100, 100-104, 104-108 kHz; por exemplo, a 5ª sub-banda é extraída do sinal multiplexado por um filtro passa-banda 76-80 kHz; 8. enfim, reconstitui-se o sinal “voz comercial” original - mediante a desmodulação do sinal à saída de cada um desses filtros: multiplicando-o pela correspondente sub-portadora, seja fc, e filtrando o resultado por um passa-baixo de frequência de corte fcut=4 kHz; por exemplo, a voz correspondente ao 5ª ponto terminal é reconstituída multiplicando, pela sub-portadora 80 kHz, o sinal à saída do passa-banda 76-80 kHz – e depois filtrando com um passa-baixo fcut=4 kHz.

Para que os sinais nos terminais à saída sejam uma reprodução fiel dos sinais nos correspondentes terminais à entrada, não deve haver interferência mútua entre os vários canais. Em termos práticos, - convirá usar multiplicadores, somadores e filtros tão ideais quanto possível; em particular, a resposta de frequência dos filtros nas frequências de corte deverá ser tão vertical quanto possível - sob pena de, por exemplo, o 5º canal multiplexado veicular, também, parte da energia dos terminais adjacentes (4º e 6º)… - convirá assegurar que, à entrada do multiplexer, os sinais estejam de facto confinados à banda da “voz comercial”, 300 – 3400 Hz; isso é feito forçando-os a passar por um filtro passa-baixo, antes do produto pela sub-portadora – que lhes remova as frequências acima dos 3400 Hz.

Transmissão de Informação “não-voz” pelo Canal Telefónico PhysicalOverview.doc

Os canais telefónicos foram desenhados para transportar a “voz comercial” – mas, posto que a rede telefónica “está aí”, viabilizando a comunicação entre lugares remotos, é natural a pergunta: porquê não a usar para transmitir a distância sinais que não sejam voz? Exemplos serão: sinais biométricos (electro-encefalogramas, electro-cardiogramas, pressão arterial, volume pulmonar, etc.) e sinais digitais (produzidos por terminais, computadores...). Adiante, abordam-se problemas que tal uso levanta – e como os ultrapassar. Antes de mais, há que conhecer os espectros de frequência dos sinais em jogo: - quanto a sinais biométricos: o espectro típico concentra-se nas baixas frequências - desde DC a algumas dezenas de Hz (exemplos: temperatura do corpo: até 0,1 Hz; débito cardíaco: até 20 Hz; pressão arterial: até 60 Hz; electro-encefalograma: até 150 Hz; electro-cardiograma: até 250 Hz…) - quanto a sinais digitais: verificou-se já que a largura de banda de um impulso isolado é cerca de 1/τ Hz. Trens de bits a, por exemplo, 10 Mbps, que corresponde a cada bit perdurar τ=10-7 s, volvem-se em larguras de banda da ordem de 10 MHz… Sem querer abalançar-se a ritmos tão elevados, a figura ao lado apresenta dois trens de bits com os ritmos binários de 50 bps e 8000 bps - que, para simplificar, são alternadamente ‘0’ e ‘1’. Isso significa que cada bit perdura, respectivamente, Tb = 1/50 s = 20 ms e Tb = 1/8000 s = 0,125 ms. Sendo ambos os trens repetição

indefinida do ciclo ‘01’, eles são periódicos, de períodos 40 ms e 0,25 ms – o que significa que as suas frequências fundamentais vêm a ser, respectivamente, 1/40=25 Hz e 1/0,25=4000 Hz. Que acontece se se enviarem os dois trens para o par de fios telefónico? A esse respeito, adiante-se que uma ligação típica entre dois telefones fixos envolve duas áreas distintas: - o lacete local (um por cada extremo terminal), isto é, o par de fios de cobre (e dispositivos associados) entre cada telefone e a central de comutação local a que ele acede; - o canal multiplexado, entre as centrais locais envolvidas, obtido por multiplexagem dos meios de comunicação entre elas (eventualmente recorrendo à técnica FDM que se acabou de abordar). Lacete local e canal multiplexado têm respostas de frequência distintas – pelo que aquela interrogação “Que acontece se...” leva a duas respostas distintas. Adiante, será considerado apenas o canal multiplexado... O Canal multiplexado: Um canal multiplexado da rede telefónica tem o comportamento apresentado na figura: suprime a componente-DC, e deixa passar as frequências situadas, grosso modo, entre 300 e 3400 Hz – dita de banda

inteligível. Pelo que não custa entrever o que irá acontecer se se enviarem aqueles sinais acima por tal canal: - sinais biométricos serão completamente (ou quase) suprimidos pela ligação: a componente DC e todas as frequências até cerca dos 300 Hz são eliminadas… - as componentes de frequência mais elevada – isto é, acima dos 3400 Hz – de sinais digitais serão completamente suprimidas: advém impossível reconstruir sinais de ritmo 8 Kbps ou superior… Concluindo: está fora de questão transmitir com sucesso, pela rede telefónica, sinais biométricos ou digitais – tais quais são! Tais sinais são mesmo estranhos à rede telefónica! Corolário: para que haja sucesso, é necessário, antes, transformá-los – de modo a parecerem “voz”… Como se fará isso, na prática? A transmissão de sinais biométricos, terá o leitor já adivinhado, pode lograr-se mediante a modulação, por tais sinais, de uma portadora de frequência próxima do centro da banda inteligível. Já a transmissão de sinais digitais de ritmo binário de, por exemplo, 8 Kbps levanta um problema distinto: a sua largura de banda excede a largura da banda inteligível! Não basta transladar a sua banda de frequências, para a faixa inteligível, é também necessário comprimi-la, de forma a ficar toda ela contida nos 3100 Hz por que se estende essa faixa! A esse par de operações – transladar a banda de frequências e comprimi-la – dá-se o nome global de modulação digital. O resultado delas será um sinal audível – que a rede tratará como se fora a frase que o leitor terá certamente debaixo da língua: “Este assunto está a ser mesmo muito interessante” Ao receptor, bastará proceder de uma maneira inversa: desmodular o que receber. Aos dispositivos que realizam ambos os processos, de modular e desmodular, dá-se o nome de modems. É à modulação digital que serão dedicadas as páginas seguintes.

Modulação Digital PhysicalOverview.doc

Modulação digital consiste em alterar uma característica – amplitude, frequência ou fase - de uma portadora, de forma a seguir as variações de um sinal modulante digital. Considere-se como cenário a transmissão por um canal telefónico, de banda passante 300 – 3400 Hz – e portanto de largura 3100 Hz; sem perda de generalidade, poderá seleccionar-se, como portadora, uma frequência próxima do centro desse intervalo, seja fc, = 1800 Hz. Suponha-se, numa primeira etapa, que o sinal digital de entrada tem um ritmo binário não excedendo os 1000 bps – e por conseguinte uma banda efectiva estendendo-se desde DC até cerca de B=1000 Hz. Modulação Digital de Amplitude (ASK, Amplitude Shift Keying)

Seguindo o procedimento descrito para a modulação de amplitude, aquilo que vem a ser transmitido é, na forma mais simples de ASK (dita de OOK: On-Off-Keying), o resultado da multiplicação do sinal digital pela portadora:

s(t) cos (2 π fc t). É pacífico o espectro do sinal transmitido: cada onda, fs, do espectro do sinal digital modulante ocasiona duas ondas, de um lado e doutro da portadora – e a igual distância dela: fc – fs e fc + fs; no conjunto, a banda do sinal digital dá azo a duas sub-bandas laterais, inferior e superior – o espectro resultante tendo, portanto, uma largura de banda dupla da do sinal original, 2*B. Posto que 2 * 1000 Hz não excede 3100 Hz, as componentes de frequência do sinal modulado passam incólumes: o receptor será capaz de, por desmodulação, reconstituir o sinal original. Modulação Digital de Frequência (FSK, Frequency Shift Keying) Ao invés de alterar a amplitude da portadora, poder-se-á alterar a sua frequência: na prática, usam-se alternadamente duas frequências, seja finf e fsup, equidistantes da frequência central fc, – a primeira para transportar os 1s e a segunda para transportar os 0s. Para ter uma ideia do espectro do sinal transmitido, convirá olhá-lo como soma de dois sinais obtidos por modulação OOK das portadoras finf e fsup; intui-se que o espectro da soma será, aproximadamente, a soma dos espectros desse dois sinais… A banda do sinal original dá azo, por cada portadora finf e fsup, a duas sub-bandas laterais – o espectro resultante tendo, grosso modo, uma largura de banda de fsup- finf + 2 B - portanto maior que a requerida por OOK. Uma possível selecção de frequências poderá ser: finf=1300 Hz e fsup=2300 Hz. Nota: “espectro será, aproximadamente,” significa que as manipulações algébricas para chegar ao espectro não são agora propriamente triviais… Mas, se ao leitor esse “aproximadamente” não basta, tente explorar a Internet... Modulação Digital de Fase (PSK, Phase Shift Keying)

Ao invés de alterar a amplitude ou frequência da portadora, poder-se-á alterar a sua fase: na prática, poder-se-ão usar alternadamente duas fases, seja – π/2 e π/2 – para transportar, respectivamente, os 0s e os 1s. Para ter uma ideia do espectro do sinal transmitido, convirá considerá-lo como soma de dois sinais obtidos por modulação OOK de duas portadoras com a mesma frequência, fc, mas duas fases distintas, – π/2 e π/2; intui-se que ele será, aproximadamente, a soma dos espectros desse dois sinais… A banda do sinal digital original dá azo a duas sub-bandas laterais – o espectro resultante tendo a mesma largura de banda que OOK: 2 B. Modulação Digital de Fase Diferencial (DPSK, Differential Phase Shift Keying) Discernir qual a fase do sinal modulado que está chegando não é tarefa trivial para o receptor: para o fazer correctamente, necessita dispor de uma fase de referência (isto é: necessita saber gerar uma portadora local sincronizada com a do transmissor) – com que comparar a fase do que está recebendo… Pelo que convém uma outra forma, mais simples, de operar, dita de diferencial: ao enviar-se um bit, a fase da portadora mantem-se inalterada ou muda de valor (-π/2 → π/2 ou π/2 → -π/2), consoante esse bit for 0 ou 1, respectivamente. O receptor segue um algoritmo inverso: consoante a fase do sinal recebido se tenha mantido inalterada, ou tenha mudado de valor, assim o receptor decide que o bit enviado foi, respectivamente, 0 ou 1

A tarefa do transmissor é, nas técnicas acima, seleccionar e enviar um entre dois símbolos; constam eles de ciclos da portadora, caracterizados por poderem assumir: em ASK, duas amplitudes diferentes, seja 0 e A; em FSK, duas frequências diferentes, seja finf e fsup; em PSK, duas fases diferentes, seja -π/2 e π/2. Na gíria a propósito, designa-se de ritmo de sinalização/modulação – e mede-se em baud (símbolo/seg) - o ritmo a que se enviam símbolos por segundo. No caso em apreço (em que o ritmo binário é de 1000 bps, e,

por cada bit, se envia um símbolo), vem a ser fsign=1000 baud. A duração mínima dum símbolo será 1/1000 = 1 mseg; durante a sua transmissão, a portadora descreve um total de 1*10-3*1800 = 1,8 ciclos.

Modulação Digital Multi-nível PhysicalOverview.doc

Considere-se, numa segunda etapa, que o sinal digital de entrada tem um ritmo binário mais elevado, seja 4000 bps – e por conseguinte uma banda efectiva estendendo-se desde DC até cerca dos B=4000 Hz. Intui-se que a transmissão de uma portadora modulada pelos métodos anteriores irá fracassar – pois o respectivo espectro excede a largura de banda do canal disponível 300 – 3400 Hz. Para ultrapassar esse óbice, faça-se um ponto da situação: em modulação de fase, recorreram-se a duas fases, 0 e π… Mas nada obsta a que se usem mais fases… Porquê não usar mais fases? Quiçá daí venha algum benefício… Modulação Digital de Fase Diferencial – de 4 Fases (4-DPSK)

Admita-se que se usam 4 fases: 0, π/2, π e 3π/2; na prática, - agrupam-se os bits do sinal digital de entrada (abreviadamente: dados) – em di-bits, isto é, grupos de 2 bits; - faz-se a correspondência, entre di-bits e mudanças de fase (isto é, continua-se a usar modulação diferencial):

00 → 0 ; 01 → π/2 ; 11 → π ; 10 → 3π/2 - por cada par de bits a enviar, envia-se um símbolo – que consistirá em ciclos da portadora – com a mudança de fase correspondente… O agrupamento dos bits de dados em di-bits faz com que, sem mudar o ritmo, fsign baud, de envio dos (quatro) símbolos disponíveis, o ritmo binário duplique! cada símbolo perdura o dobro do tempo de um bit. Para ter uma ideia do espectro do sinal transmitido, convirá considerá-lo como soma de quatro sinais obtidos por modulação OOK de quatro portadoras com a mesma frequência, fc, mas quatros fases distintas… A banda original dá azo a duas sub-bandas laterais – o espectro resultante tendo uma largura de aproximadamente B Hz. Modulação Digital de Fase Diferencial – de 8 Fases (8-DPSK)

Admita-se agora que se usam 8 fases: 0, π/4, π/2, 3π/4, π, …, 3π/2, 7π/4; na prática, - agrupam-se os bits de dados – em tri-bits, isto é, grupos de 3 bits; - faz-se a correspondência, entre tri-bits e mudanças de fase… O agrupamento dos bits de dados em tri-bits faz com que, sem mudar o ritmo, fsign baud, de envio dos (oito) símbolos disponíveis, o ritmo binário triplique! cada símbolo perdura o triplo do tempo de um bit. Intui-se que o espectro resultante virá a ter uma largura de aproximadamente 2B/3. Modulação Digital de Amplitude e Fase – de 16 Símbolos (QAM, Quadrature Amplitude Modulation) A esta hora, já estará o leitor adivinhando o próximo passo: usar 16, 32, 64…, seja M=2n mudanças-de-fase - e fazer a pertinente correspondência com grupos de n-bits: um mesmo símbolo transportaria n bits de dados. Alvo em vista: dado um ritmo de sinalização de fsign baud, o ritmo binário logrado seria C = n fsign bps. É, de facto, uma tentação aumentar indefinidamente o número de fases disponíveis – para transportar cada vez mais bits de dados no mesmo tempo 1/fsign; mas isso acarreta um senão: aumenta a probabilidade de erro. Na vida real, é possível que o sinal analisado pelo receptor esteja assaz corrompido por ruído (devido ao canal ou ao receptor); então, pode suceder que uma fase, seja 3π/4, seja por ele interpretada como sendo de, apenas, π/2: o grupo de n-bits que acharia ter recebido não coincidiria exactamente com o grupo de n-bits de facto transmitido! Pelo que é comum uma alternativa, a saber: modulação mista/combinada, de fase e amplitude: por exemplo, e tendo em mente proporcionar 16 símbolos distintos, usar “duas” portadoras (com a mesma frequência, fc): - uma com modulação de fase, usando 8 fases; - outra com modulação de amplitude (duas amplitudes distintas) e modulação de fase (quatro fases distintas). No total, portanto (e mediante o agrupamento dos bits de dados em tetra-bits), o ritmo binário quadruplica, todavia o espectro resultante vem a ter uma largura de aproximadamente B/2 (no caso, já não os 4000 Hz, mas apenas 2000 Hz, portanto já suficientemente comprimido para ser transmitido na banda do canal voz disponível). Curiosidades: o modem V.32bis (1988) proporciona 14400 bps por 128-QAM: agrupa 6-bits de dados (e ainda mais um redundante para controlo de erros) sobre fsign=2400 baud. A duração de cada um dos 27=128 símbolos será de 1/2400 seg, o que significa que, durante ele, a portadora, de 1800 Hz, descreve um total de 1800 / 2400 =3/4 ciclos. O modem V.34 (1996) proporciona 33600 bps, também por QAM, com fsign=3429 baud.

Do mesmo modo como se perguntou “Porquê não usar mais fases?”, assim se poderia ter perguntado “Porquê não usar mais amplitudes, ou frequências, ou uma mistura das várias filosofias de modulação?”. Deixa-se ao leitor imaginar como funcionariam…

PAM (Pulse Amplitude Modulation) PhysicalOverview.doc

Tem-se vindo a explorar técnicas concernindo a transmissão de dados por sinais analógicos – essencialmente, a modulação (analógica ou digital) e a multiplexagem FDM. É hora de abordar a transmissão por sinais digitais – começando por investigar: como converter dados analógicos em sinais digitais? O ponto de partida será uma observação no início deste documento: podem lograr-se Dados Discretos por Amostragem de um continuum … Considere o leitor que está falando ao microfone dum telefone fixo; à central local (ou a um ponto intermédio), estará chegando um sinal analógico, m(t) – seguindo as variações de tensão induzidas nos terminais do microfone. Admita que aí, periodicamente, se procede à captura de uma amostra dessa forma de onda; na prática, isso pode fazer-se pelo abrir/fechar de um interruptor, ou, como esquematizado na figura, pelo produto de m(t) por um trem de impulsos periódicos de curta duração, p(t); o resultado vem a ser s(t), uma sucessão de impulsos discretos… A esta maneira de proceder – em que o sinal modulante, m(t), é impresso sobre a amplitude, não já de uma portadora sinusoidal, mas de um trem de impulsos – dá-se o nome de PAM (Pulse Amplitude Modulation). Admita, enfim, que o sinal que depois é transmitido para o seu interlocutor é apenas essa sucessão de impulsos; isto é, e sem perda de generalidade: entre eles, nada é enviado – com o que isso significa em poupança de energia (ou, com mais rigor e como se verá adiante, abertura a uma maior eficiência no uso do meio, mediante TDM)! Relegando para mais tarde a discussão acerca da maneira de converter essa sucessão de impulsos discretos na forma original, analógica (para que o seu interlocutor o consiga ouvir a si), é legítimo duvidar: será que essa sucessão de amostras capturadas em alguns instantes apenas é suficiente para reconstituir m(t)? Para bom entendedor, se o intervalo de tempo entre amostras consecutivas, seja T, for mesmo muito curtinho, será pacífico responder afirmativamente à dúvida… Com um custo óbvio, se o fim em vista é poupar energia na transmissão: bem curtinha seria a poupança resultante… Pelo que convirá alargar esse intervalo de tempo… Mas é claro que, se ele for demasiado extenso – seja, de ano a ano -, a sucessão de amostras recebidas remotamente será insuficiente para se reconstituir o discurso do leitor… A dúvida acima volve-se então em: qual o maior intervalo de tempo T entre amostras consecutivas – ou, dito de outra maneira, qual o menor ritmo de amostragem, fsampling - para

que a sucessão de amostras, s(t), seja suficiente para reconstituir m(t)? O leitor suspeitará – e bem – que a resposta advirá de considerações acerca de espectros… Admitindo-se que m(t) está confinado à faixa de frequências 0 – B Hz, qual será o espectro da sucessão de impulsos? Para o conseguir, repare-se na figura: a sucessão de amostras é o resultado do produto de m(t) por p(t); isto faz vir à memória a técnica de modulação AM – a diferença sendo que agora não se trata do produto de m(t) por uma sinusóide, fc, mas do produto de m(t) por um trem de impulsos… Ora já em tempo oportuno se discutiu o espectro duma sequência periódica de impulsos (que é o que o trem de impulsos afinal é): ele é dado por

An / 2 = A d sen (n π d) / (n π d), com n = -∞, …, -1, 0, 1, …, ∞ Onde se vê p(t) – um sinal periódico de período T -, é então legítimo ver a sobreposição dum conjunto infinito de harmónicas, de frequência fn = n/T; e onde se vê o produto de m(t) por p(t) é legítimo ver o produto de m(t) pela sobreposição dum conjunto infinito de sub-portadoras, de frequências fc=n/T! A sucessão de amostras capturadas pode ser vista como o resultado da sobreposição da aplicação de AM a um conjunto infinito de sub-portadoras! Recordem-se conclusões sobre AM: o produto de um sinal modulante m(t) por uma portadora fc origina duas bandas laterais, ambas de largura B, dum lado e outro de fc. Então, como figurado, o produto de m(t) por aquele conjunto infinito de sub-portadoras origina, por cada uma, um par de bandas laterais, dum lado e outro dela. Teorema de Nyquist:

Como se procederá remotamente, para extrair m(t) desse sinal (isto é: da sucessão de amostras)? Será, é claro, mediante um filtro passa-baixo, com fcut=B; deixará passar a faixa 0 – B Hz, suprimirá as frequências restantes. Há que ter cuidado: para que isso resulte – para que o filtro de reconstituição/interpolação produza um sinal exactamente igual a m(t) – nenhuma frequência das bandas laterais associadas às restantes portadoras pode “cair” na banda passante, 0 – B, desse filtro! Em termos práticos, é preciso que as portadoras estejam suficientemente

afastadas umas das outras: que entre fn e fn+1=fn+1/T haja espaço para duas bandas laterais ou seja: fsampling = 1/T ≥ 2 B

Como exemplo, seja a geração de amostras da “voz comercial” - com uma largura de banda de 0 – 4 kHz. Então, basta um ritmo de amostragem de 2*4*103=8000 amostras/seg. Acentue-se: pretendendo-se reconstituir exactamente a voz tal qual deve soar, é, de um ponto de vista teórico, absolutamente supérfluo (quiçá dispendioso) gerar mais amostras, como seja 10000 amostras/seg: 8000 amostras/seg chegam à vontade. Menos é que não…

“Aliasing” PhysicalOverview.doc

Para que a sucessão de amostras, s(t), seja suficiente para reconstituir m(t), o Teorema de Nyquist esclarece que o ritmo de amostragem, fsampling, deve ser, no mínimo, 2 B amostras/seg. E se o não for? Resposta: se o ritmo de amostragem for inferior ao dobro da largura de banda do sinal, então ocorre o assim designado fenómeno de sub-amostragem ou aliasing. Para apreciar o significado disso, admita-se que m(t) se reduz a, apenas, uma sinusóide - de frequência 5 kHz,

m(t) = cos (2 * π * 5*103 * t) Pelo teorema de Nyquist, ele deve ser amostrado a, no mínimo, 10 000 amostras/seg. Admita-se, entretanto, que a amostragem se faz a um ritmo inferior, seja fsampling=8 hKz – a que corresponde um período entre amostras de T=1/8*103=125 mseg. Eis um exemplo do que a amostragem poderia produzir: s5 (0) = cos (2 * π * 5*103 * 0) = 1 ; s5 (125*10-3) = cos (2 * π * 5/8); s5 (2*125*10-3) = cos (2 * π * 2*5/8) = cos (2 * π * 2/8); s5 (3*125*10-3) = cos (2 * π * 3*5/8) = cos (2 * π * 7/8); s5 (4*125*10-3) = cos (2 * π * 4*5/8) = cos (2 * π * 4/8); s5 (5*125*10-3) = cos (2 * π * 5*5/8) = cos (2 * π * 1/8); s5 (6*125*10-3) = cos (2 * π * 6*5/8) = cos (2 * π * 6/8); s5 (7*125*10-3) = cos (2 * π * 7*5/8) = cos (2 * π * 3/8); s5 (8*125*10-3) = cos (2 * π * 8*5/8) = 1 Usando PAM, o receptor remoto iria receber apenas estes valores – e a dúvida é: será que, a partir deles, o receptor pode discernir – sem qualquer ambiguidade! – que m(t) é uma sinusóide de 5 kHz? Para responder, suponha-se que m(t) é de facto uma sinusóide - mas de frequência 3 kHz. A amostragem ao ritmo fsampling=8 hKz volver-se-ia em: s3 (0) = cos (2 * π * 3*103 * 0) = 1; s3 (125*10-3) = cos (2 * π * 3/8); s3 (2*125*10-3) = cos (2 * π * 2*3/8) = cos (2 * π * 6/8); s3 (3*125*10-3) = cos (2 * π * 3*3/8) = cos (2 * π * 1/8); s3 (4*125*10-3) = cos (2 * π * 4*3/8) = cos (2 * π * 4/8); s3 (5*125*10-3) = cos (2 * π * 5*3/8) = cos (2 * π * 7/8); s3 (6*125*10-3) = cos (2 * π * 6*3/8) = cos (2 * π * 2/8); s3 (7*125*10-3) = cos (2 * π * 7*3/8) = cos (2 * π * 5/8); s3 (8*125*10-3) = cos (2 * π * 8*3/8) = 1 Tendo em conta a igualdade trigonométrica cos (α) = cos (2 π – α), estas expressões podem reescrever-se:

s3 (0) = 1; s3 (125*10-3) = cos (2 * π * 5/8); s3 (2*125*10-3) = cos (2 * π * 2/8); s3 (3*125*10-3) = cos (2 * π * 7/8); s3 (4*125*10-3) = cos (2 * π * 4/8); s3 (5*125*10-3) = cos (2 * π * 1/8); s3 (6*125*10-3) = cos (2 * π * 6/8); s3 (7*125*10-3) = cos (2 * π * 3/8); s3 (8*125*10-3) = 1

Verifica-se que estas expressões s3 (nT) são exactamente iguais às amostras s5 (nT) que chegariam ao receptor. Ou seja: os mesmos valores tanto podem ser interpretados como amostras duma onda de frequência 5 kHz como amostras duma onda de frequência 3 kHz! A reconstituição não é única! Em termos espectrais: a multiplicação de 5 kHz pela sub-portadora 8 kHz produz duas ondas, de frequências finf = (8-5)=3 kHz e fsup = (8 + 5)=13kHz – e, quando se aplica um filtro de reconstituição, surge uma onda, de frequência finf =3 kHz – ausente de m(t).

Curiosidade para os cinéfilos curiosos: os filmes, resultando de fotos tiradas ao ritmo de fsampling=24 fotos por segundo, são uma sucessão de amostras. Então, pelo teorema de Nyquist, o sinal mais rapidamente variável na cena filmada não deve exceder 12 Hz – sob pena de aliasing. O leitor, se já viu aqueles velhos filmes do far-west, certamente terá reparado que, em circunstâncias pacíficas, quando uma diligência é puxada pelas alimárias da esquerda para a direita, as rodas rodam no sentido dos ponteiros do relógio; mas, se o condutor – nomeadamente quando se torna o centro da atenção de malfeitores ou peles-vermelhas de maus-fígados -, as força a mexer-se mais depressa, então em certo momento ocorre um fenómeno esquisito (efeito estroboscópico): as rodas como que aparentam rodar cada vez mais devagar, a certa altura param e depois começam a rodar em sentido contrário ao dos ponteiros do relógio…

Compreendidas as consequências nefastas de aliasing, convém que, antes de se proceder ao produto de m(t) pelo trem de impulsos, se passe m(t) por um filtro anti-aliasing – na prática, um passa-baixo de frequência de corte fsampling/2, que remova todas as componentes que não satisfaçam o teorema de Nyquist.

PCM PhysicalOverview.doc

O resultado de PAM é um sinal discreto, isto é: a sua amplitude pode assumir qualquer valor entre um mínimo e um máximo. É hora de o avaliar como suporte de transmissão: ele exibe um espectro efectivo que se estende desde DC até frequências tanto mais elevadas quanto mais breves forem os impulsos… Para garantir a sua transferência até ao receptor, há pois que garantir sistemas de transmissão e recepção que não suprimam as baixas frequências, como ademais exibam uma banda muito larga… Afora distâncias muito curtas (por exemplo: no bus duma central de comutação electrónica analógica), isso não é económico. Pelo que se prefere uma outra forma de fazer as coisas – a assim denominada PCM, Pulse Code Modulation (1937); ela envolve em duas etapas: 1. Antes de mais, o sinal discreto é transformado em um sinal digital. Para o efeito, convenciona-se uma gama

limitada de níveis; os valores em que se volvem as amostras são arredondados para o nível mais próximo (na gíria aplicável: são quantizados); 2. A etapa seguinte é codificar cada um desses níveis em palavras de n-bits 0s e 1s. O resultado final vem a ser uma sequência de bits. É essa sequência que é transmitida para o receptor. O receptor leva a cabo um procedimento inverso: 1. Em primeiro lugar, converte grupos de n-bits em níveis – resultando uma sucessão de valores discretos; 2. Depois, procede, por filtragem dessa sucessão, à produção dum sinal – que servirá de mensagem recebida. Os dispositivos usados para levar a cabo estas operações (amostragem+quantização+codificação, e vice-versa) dizem-se de conversores analógico–digital (ADC) e digital-analógico (DAC): Visando economia na transmissão, convirá usar, por cada amostra, poucos bits; dito de outro maneira, convirá que o comprimento n do código seja muito pequeno. Mas note-se que, fixado n, o número máximo de palavras de código – e, por conseguinte, de níveis admissíveis entre os valores mínimo e máximo, Vmin, VMax - vem a ser de L=2n. Se o intervalo entre níveis é uniforme, eles ficarão separados entre si dum quantum igual a q=(VMax–Vmin)/2

n. Se esse n é pequeno, o quantum advém elevado – quiçá exagerado: é que o sinal à saída do receptor não é uma filtragem da sucessão de amostras analógicas capturadas no transmissor – mas uma filtragem da sucessão de níveis discretos gerados no receptor. Essas duas sucessões serão algo distintas – a diferença máxima entre cada amostra e o nível para que ela é arredondada sendo q/2: tanto maior quanto mais afastados estiverem os níveis de quantização, isto é, quanto maior for o quantum. Para lograr uma maior fidelidade na reprodução dos dados, há que diminuir o quantum – aumentando n: quanto mais extenso o código, assim tanto menor o quantum, e mais fidedigno o sinal reconstituído no receptor.

Há que acentuar: teoricamente, a amostragem é – desde que feita a um ritmo não inferior ao de Nyquist - um procedimento que não causa erro. Já a quantização é um procedimento intrinsecamente ruidoso: duas amostras diferentes que, no transmissor, sejam arredondadas para o mesmo nível – e que portanto dão azo a uma mesma palavra de código - são, no receptor, convertidas para o mesmo valor! Quando uma amostra é quantizada em um nível, ocorre um erro, de magnitude igual à diferença entre ela e esse nível!

Supondo que m(t) ocupa uma largura de banda B, ele deverá ser, de acordo com Nyquist, amostrado a 2B amostra/seg; se cada uma for codificada por n-bits, o ritmo binário resultante será n*2B bps.

Página em construção... Parêntesis: Codificação com Compressão PhysicalOverview.doc

Relativamente à digitalização da “voz comercial”, PCM uniforme não é a única técnica possível! A amostragem é feita a 8 kHz. Para obter uma qualidade satisfatória na recepção (o ouvinte não saberia

discernir se está ouvindo voz analógica ou digital), convém recorrer a 12 bits/amostra – o que perfaz um ritmo de 12*8=96 kbps… Seja, entretanto, o caso de o leitor querer comunicar a alguém: “Este assunto está a ser mesmo muito interessante!”. Mesmo não gaguejando, quiçá demore 2 segundos para a dizer ao telefone… - o que perfaz um total de 96 kbps*2 s = 192 000 bit; mas, se preferir comunicá-la por escrito, e verificando que ela se estende por 49 caracteres – e suposto que cada um é codificado em ISO 8859-1 (de 8-bit), bastar-lhe-ão 49*8=392 bit apenas! É uma redução abissal, de 192 000 para 392! O que levanta a suspeita: por refinação de PCM, quiçá se consiga traduzir aquela mesma mensagem dita em muito menos bits – isto é, requerendo na transmissão um ritmo binário bem menor! Está aberta a pesquisa por novas técnicas de codificação da voz que, de preferência não degradando a

qualidade, se bastem em menores ritmos binários. Entre elas, poder-se-ão citar: 1: PCM não-uniforme, segmentado: na rede telefónica digital (cfr. G..711, 1972), a quantização é não-uniforme, transformam-se 13 bit por amostra (ou 14, conforme a variante: Europa ou EU) em 8 bits por amostra, o resultado vindo a ser o ritmo de 64 kbps; na prática, usam-se quanta menores para amostras de menor amplitude; 2. DPCM (Differential PCM), DM (Delta Modulation), ADPCM, etc. No limite, poder-se-á imaginar um reconhecedor de caracteres no transmissor, que, daquela mensagem dita, gerasse uma sequência de caracteres, e a transmitisse por apenas 392 bit; o receptor disporia dum sintetizador de voz, que desses 392 bit reconstituiria a mensagem – quiçá com um timbre não soando lá muito parecido com o de quem a disse…

É importante não confundir o que se aborda acima - compressão de audio/video - com métodos de ditos de codificação da fonte, como são os que produzem os conhecidos ficheiros .zip; nestes casos, não existe arredondamento: a partir do ficheiro .zip é possível reconstituir o original sem qualquer erro. Entre os métodos de codificação da fonte, destacam-se o código de Morse e, mais recentemente, os códigos de Huffman (1952) e Lempel-Ziv (1978). A filosofia que lhes subjaz é, grosso modo: 1. considerar cada mensagem como uma sequência de símbolos (por exemplo, letras e algarismos); 2. determinar a probabilidade de ocorrência de cada um desses símbolos; 3. gerar um código em que, quanto maior a probabilidade, mais curta é a respectiva palavra de código. Por exemplo, e espelhando a respectiva probabilidade de ocorrência (no inglês), os símbolos Morse para ‘e’ e ‘t’ são, respectivamente, ‘.’ e ‘-‘; mas, para ‘f’ e ‘u’ são ‘..-.’ e ‘..-‘

TDM – Multiplexagem por Divisão no Tempo PhysicalOverview.doc

Considere-se o caso concreto da rede telefónica digital – em que se usa PCM (segmentado) para codificar numa sequência binária a “voz comercial” proferida por alguém. Ao ritmo de amostragem (de Nyquist) de 2*4 kHz=8000 amostra/s, e codificando cada amostra num byte, chega-se a um ritmo binário standard de 64 kbps. Oportunamente se discutirá que, para transmitir bits a este ritmo, em banda de base, é bastante uma largura de banda de, grosso modo, 32 kHz. Ora até mesmo o cobre é capaz (sob a forma de pares de linhas, cabo coaxial ou guias) de transmitir vários MHz – o que é uma largura de banda bem maior! É uma diferença que faz rememorar a técnica de multiplexagem FDM – em que se reparte a banda passante dum meio com uma ampla largura de banda num conjunto disjunto de sub-bandas independentes de 4 kHz cada: qualquer uma tem largura suficiente para – por modulação AM - suportar um canal “voz comercial”. A disparidade entre a capacidade do cobre (vários MHz) e a necessidade de apenas 32 kHz por cada canal “voz” convida a sonhar uma técnica similar – de repartir essa capacidade por vários canais de 64 kbps. É o que se irá ver já a seguir: Amostrar voz a 8000 amostras/segundo significa que se produzem amostras a intervalos de 125 µs (=1/8000). Elas são posteriormente codificadas em bytes (palavras de 8-bit). Admita-se que, na transmissão dum bit, se gasta seja ∆T=0,625 µs; então a transmissão de cada amostra codificada irá demorar um assim designado slot de 5 µs. Posto que até nova amostra restam 125 µs, sobram 120 µs – que, se nada mais for feito, consistirão apenas em silêncio, puro e duro. Pelo que é natural sugerir usar tal período de tempo para veicular outros canais voz: dividindo o tempo, 125 µs, em slots de 5 µs, obtém-se um total de 25 slots: intercalando as amostras codificadas de 25 canais, pode transportar-se a distância a voz codificada de 25 conversações simultâneas.

Na rede telefónica digital, conseguem-se ritmos de transmissão binária bem maiores; em particular, no dito primeiro andar da hierarquia, que acumula um ritmo de 2,048 Mbps, a transmissão dum bit demora 0,48828125 µs; isso volve-se em slots de 3,90625 µs; posto que 125/3,90625=32, conclui-se: aqueles 2,048 Mbps são bem capazes de suportar 32 canais simultâneos de 64 kbps cada (a propósito merecendo referir-se que, deles, somente 30 são de facto usados para voz, os restantes dois ficando reservados para controlo).

A esta maneira de partilhar a capacidade de transmissão de um meio dá-se o nome de multiplexagem por divisão

no tempo (TDM). Considere-se, como exemplo a concretizar a discussão, que se dispõe de um meio de capacidade 1920 kbps; à entrada, apresentam-se 30 pontos terminais, onde estão ancoradas outras tantas conversações, cada uma ao ritmo de 64 kbps. O desafio é: como partilhar esse meio, em simultâneo, no tempo? A resposta é: 1. por cada período de 125 µs, registar os 8 bits que chegaram de cada um dos 30 pontos terminais; 2. por cada ponto terminal, memorizar esse 8 bits recebidos em uma assim denominada trama - no slot específico que lhe corresponde; por exemplo, memorizar no 5º slot os bits que se apresentam no 5º ponto terminal; 3. enviar essa trama para o meio, a caminho do receptor (Eventualmente, ela pode chegar a um ponto terminal onde ingresse num andar da hierarquia de maior nível). 4. Analisando o que se passa no meio de transporte, o seu tempo de ocupação é repartido em ciclos de 30 slots independentes, cada um demorando uma fracção daqueles 125 µs. A abrir o apetite para o que se segue: provenha duma fonte única, ou seja resultante da multiplexagem de fluxos vindos de várias fontes individuais, é inevitável a questão: como transmitir a sequência de bits - 0s e 1s? É o que se abordará a seguir – sob a capa de codificação de linha.

TDM – Detalhes Práticos PhysicalOverview.doc

A título de parêntesis, adiantou-se já que, em TDM, se reservam alguns bits para controlo. Concretamente, 30 canais de 64 kbps resultam num total de 1920 kbps – mas já foi referido acima que o primeiro andar da hierarquia da Rede Telefónica Digital acaba por acumular 2,048 Mbps; isso significa uma relação de 2048/1092 = 32/30, ou seja: por cada 32 bytes de “voz” são enviados 2 bytes mais, de controlo. Eis duas das razões para esses bits de controlo (ou header, na gíria a propósito): Alinhamento de Trama:

Quando o receptor efectua power-on, depara com uma sucessão contínua de 0s e 1s que lhe chegam do transmissor… E uma primeira questão tem que enfrentar: quais os bits a transferir para o 1º e 2º pontos terminais? ou, por outras palavras: onde estão precisamente, na trama que recebe, o 1º slot, o 2º slot, etc.? Há que facilitar a vida ao receptor – na prática, facilitar-lhe discernir, naquela sucessão de bits, o que corresponde ao início da trama: sabido qual ele é, ficaria logo a saber onde está a fronteira entre o 1º slot e o 2º slot, etc… Para o efeito, a trama deve, além dos bits de dados, transportar no header alguns bits de alinhamento: - como seja um padrão de bits cuja probabilidade de ocorrer nos canais de dados seja mesmo muitíssimo improvável! Sincronização de relógio: Por várias razões, nomeadamente o aquecimento do cobre, o percurso do transmissor ao receptor pode aumentar - aumentando o tempo de propagação dos bits: transitoriamente, eles poderão chegar algo atrasados em relação ao instante em que seria suposto chegarem. Concretamente, em vez de, durante um período de 125 µs, chegarem exactamente 8 bits a um ponto terminal, chegam algo menos! O transmissor não conseguirá encher completamente a trama… É claro que, quando a temperatura enfim descer, irão transitoriamente chegar algo mais bits do que apenas aqueles 8… Para lidar com este problema, uma solução é: reservar, no header, além dos 8 bits por canal, um bit stuff mais – e garantir ao menos um ritmo do canal multiplexado de 30*(8+1)/125 Mbps; então, se o ritmo de chegada a um ponto terminal de entrada exceder 64 kbps,, esse bit stuff carrega os bits em excesso - e, se descer abaixo dos 64 kbps, levará lixo… Os detalhes não cabem neste documento…

Codificação de Linha PhysicalOverview.doc

No seio de uma placa interligando chips digitais, o método tradicional para representar electricamente os 0s e os 1s lógicos é recorrer às tensões nominais 0 e 5 Volt; consideradas as distâncias mútuas envolvidas – pequenas -, tal solução é simples e, ao menos quando são baixos o nível de ruído e os ritmos binários envolvidos, suficiente. Já no que respeita à transmissão a maiores distâncias - nomeadamente, entre as diversas salas dum edifício, ou entre edifícios distintos ou, seja, entre as carruagens do Metro, tal solução revela-se, a vários títulos, periclitante.

No que se segue, são exploradas várias das soluções historicamente concebidas com vista à representação eléctrica dos bits 0 e 1 - e isso de um modo crítico: apreciando-lhes as respectivas vantagens e desvantagens. O leitor deverá ter em mente, todavia, que tal apresentação se destina a facilitar a compreensão das técnicas usadas.

Codificação de Nível Um método particularmente óbvio, e simples, de codificar uma sequência de bits consiste em recorrer a um nível distinto para cada bit (0 e 1). Consoante a subsequente duração desse nível, eis duas variantes/pulse-shapes: - NRZ (Non Return To Zero): o nível mantém-se constante durante toda a duração do bit; - RZ (Return To Zero): o nível mantém-se constante durante metade da duração do bit, depois fica 0. Codificação Unipolar (Não-balanceada) É o que nomeadamente sucede no seio de uma placa de microprocessador - onde tipicamente se traduzem os 0s e 1s nas tensões 0 Volt e 3 Volt, respectivamente. O custo desta simplicidade é a emergência de uma componente contínua não nula - e, por consequência, um desperdício da potência de transmissão. Por exemplo, se fôr o caso da transmissão alternada dos bits 0 e 1, a potência média Unipolar - assumindo uma resistência de 1 Ohm - montará a 4,5 (=[[[[02+32]]]]/2) e 2,25 Watt, respectivamente nas variantes NRZ e RZ. Codificação Bipolar (Balanceada) ou Claramente, a potência média será largamente reduzida - e essa é a solução preferida para linhas de transmissão a distância - se se codificar aquele par de bits em dois níveis à mesma distância relativa, 3 Volt, (para conservar idêntica a imunidade ao ruído), mas simetricamente dispostos em torno de 0 Volt. Nomeadamente, se se codificar os 0 e 1 respectivamente em -1,5 Volt e +1,5 Volt, o mesmo padrão de acima, que, em NRZ, resultava em 4,5 Watt, exige agora 2,25 Watt ([[[[1,52+1,52]]]]/2) - isto é, apenas metade daquele valor. Como calcanhar de Aquiles de ambos os métodos (Unipolar e Bipolar), realce-se que nenhum deles evita a ausência de transições durante longas sequências de 0s ou 1s: uma sequência de apenas 0s advém traduzida por um nível estável contínuo... Em linhas de transmissão síncrona, tal obriga à adição de métodos de sincronismo...

Vagueio-DC (DC Wander): O código de linha NRZ-Bipolar volve-se em uma sucessão de impulsos rectangulares que (antes de eventualmente filtrados) perduram durante o intervalo de sinalização T; a recordação do espectro de frequências de um impulso rectangular desde logo permite aventar que o espectro de frequência - para uma sequência de entrada aleatória - será do tipo sen x / x, cujas características são as seguintes: - energia nas baixas frequências; - ausência de energia na frequência de relógio, 1/T;

- uma componente DC (frequência nula) de valor nada desprezável - e de facto com magnitude progressivamente crescente, se se der o caso de a sequência de entrada, ao invés de aleatória, advir uma prolongada sequência de 0s e 1s. O uso, nas linhas de transmissão, de técnicas (por ex., inserir transformadores para acoplamento ac, condensadores para eliminar loops de terra, a filtragem da componente dc...) - originam o “vagueio DC”: a amplitude do sinal gerado por longas sequência de 0s ou 1s cai gradualmente, para zero (são-lhe removidas as componentes de baixa frequência)... Em termos práticos, e ademais de, durante elas, se esvair a informação de sincronismo necessária ao receptor, advém mais difícil discernir correctamente entre os 0 e 1: a probabilidade de trocar um 1 por um 0 aumenta após uma longa sequência de 1s; a probabilidade de operar a troca inversa aumenta após uma longa sequência de 0s. Como afrontar este problema? Bem entendido, não bastará impedir o surgimento de longas sequências de 1s ou 0s pelo expediente da inserção periódica de transições de sincronismo: o fenómeno persistirá ainda e sempre que houver um desequilíbrio (imbalance) entre o número total de 0s e 1s expedidos! Urgem outros códigos de linha…

Parêntesis: Codigos Auto-sincronizáveis PhysicalOverview.doc

Para um texto de introdução às comunicações, este assunto é pura curiosidade...

Codificação Manchester PhysicalOverview.doc

Em ordem a eliminar o vagueio DC, e assegurar um forte conteúdo de informação de sincronismo, têm sido seguidas duas linhas de solução: aumentar o espaço de código (é o caso seguido pelos códigos de linha AMI, BNZS, HDBn - códigos de três níveis -, entre outros), ou aumentar a largura de banda disponível - tal é o caso da codificação Manchester (ou digital biphase ou diphase). Na codificação Manchester, os bits 0 e 1 são codificados, cada um, em um ciclo completo de uma onda quadrada - todavia, de fases opostas. Em termos práticos, cada bit advém codificado por uma transição entre dois níveis de tensão de durações exactamente iguais (a metade do intervalo de duração do bit, Tb). Com isso, não apenas se garante uma forte componente de sincronismo (cada bit transporta o seu próprio sinal de sincronismo...), como, ademais, e porque aquela transição acontece exactamente no centro do bit, não existe

lugar ao surgimento do vagueio DC. A contrapartida é o espalhamento do espectro da codificação Manchester, quando comparada com NRZ; agora, (cfr. figura ao lado) o espectro aparece “centrado” em 1/Tb, com um primeiro espectral nulo ocorrendo em 2/Tb. Confrontados os custos dos terminais para códigos de três níveis com os custos dos meios de transmissão, tal veio a ditar que a codificação Manchester é fundamentalmente utilizada em curtas distâncias - como é o caso da rede Ethernet.

Codificação Diferencial PhysicalOverview.doc

Os códigos de linha anteriores (nomeadamente, NRZ e Manchester) baseiam-se, todos eles, no seguinte princípio: para o receptor discernir qual o bit que acabou de receber, ele recorre ao expediente de comparar o sinal vindo da linha com uma amplitude, ou fase, de referência. Ora, precisamente, meios de transmissão há onde se torna difícil determinar, de um modo absoluto, tal referência - viabilizando que 1s venham erroneamente a ser entendidos como 0s e vice-versa! Uma solução para tal contratempo é recorrer a codificação diferencial, isto é, ao expediente de codificar um 1 através de uma alteração do estado, e 0 como ausência de alteração: doravante, ao receptor ser-lhe-á desnecessário

um valor de referência, basta-lhe comparar o estado do sinal que pretende descodificar com o estado do sinal precedente - resolvendo-se em 1 se ele se modificou, e por um 0 no caso de ter permanecido inalterado. Para um fluxo de dados aleatórios (0s e 1s equiprováveis e não correlacionados), esse expediente não conduz a uma mudança no espectro resultante; mas origina uma duplicação na taxa de erros binários: se o detector cometer um erro ao estimar o estado de algum intervalo de sinalização, voltará “certamente” a cometê-lo no intervalo seguinte...

Codificação Multinível/M-ária PhysicalOverview.doc

Página em construção...

“Shaping” dos Impulsos / Critério de Nyquist PhysicalOverview.doc

A questão que tem vindo a ser abordada é: como traduzir uma sucessão de 0s e 1s em impulsos rectangulares? É hora de aprofundar melhor o resultado no mundo real – em que os canais têm uma banda limitada, 0, …, W. Seja a transmissão de 0s e 1s sob a forma de uma sequência de impulsos rectangulares – por um canal assim.. Posto que o espectro de cada impulso se espalha até +∞, não custa prever a ineficiência que daí advém: uma parcela da energia gasta na transmissão volve-se em desperdício: as componentes de frequência superior a W irão ser suprimidas: não farão mais que aquecer o meio de transmissão... Estando elas ausentes nos impulsos à chegada ao receptor, os sinais aí já não serão perfeitamente rectangulares, os “saltos” entre 0s e 1s estarão “arredondados”! Pelo que, na prática convirá transmitir sinais a que se subtraíram já aquelas componentes: não impulsos rectangulares, mas uns assim designados impulsos moldados (shaped pulses), com os flancos 0↔1 arredondados Uma primeira sugestão para um sinal assim será um cujo espectro esteja confinado ao intervalo 0, …, W, vidé figura ao lado – em que, por simplicidade de fórmulas adiante, a amplitude do espectro em f=0 Hz se fixou em A/2W. Certamente se logrará uma melhor eficiência no uso da energia: um sinal assim não tem frequências que um canal de banda passante 0, …, W não possa transportar... Resta saber: qual o sinal com esse espectro? Manipulações algébricas triviais permitem concluir que o sinal que tem esse espectro vem a ser dado por

s(t) = A/(2πWt) sen (2πWt) Conclusão: doravante, quando for hora de enviar um impulso rectangular, o que há que enviar é, isso sim, um impulso com essa forma sen(2πWt)/2πWt – que na gíria matemática é designada de sinc(2Wt)... Sucede que o sinc se estende até t=+∞... Para aferir as consequências, considere-se o envio de 0100101110 - com o que no 2º, 5º, etc, intervalos de tempo, irão ser enviados impulsos sinc... Designem-se eles de I2, I5... Algo depois, I2 chegará ao receptor; mais precisamente, ele irá detectar uma subida da potência, depois um abaixamento, um incremento, uma descida, etc.: uma cauda de oscilações - de amplitude decrescente, porém continuando per

omnia saecula... Então, quando ao receptor chegar o impulso seguinte, I5, ainda ele não acabou de receber I2 na

sua totalidade: o receptor estará recebendo I5 – porém contaminado pela cauda de I2... Na gíria a propósito, terá havido isi: interferência-intersímbólica. Asserções análogas valem para qualquer impulso posterior: quando o receptor o receber, estará recebendo também as caudas de todos os impulsos que o precederam! A não ser que... O sinc(2Wt) tem uma propriedade notável: anula-se sempre que 2Wt for inteiro (excepto 0)! Ou seja: quando 2Wt=n, ou t=n*1/2W, a cauda de s(t) advém zero! Imagine-se então o envio de I5 exactamente após ter decorrido um intervalo de tempo múltiplo de 1/2W após o envio de I2 – no caso, 3*1/2W; é pacífico que, quando o receptor receber I5, a cauda de I2 estará assumindo o valor 0, ou seja: não terá havido contaminação de I2 sobre I5!

Ressalve-se que, para que não haja isi, se requere um sincronismo perfeito: o receptor deve tomar decisões em instantes espaçados de 1/2W – mais precisamente quando as caudas dos sinc se anulam; se se atrasar ou adiantar a fazê-lo, irá haver isi – e portanto alguma probabilidade de errar: decidir que chegou ‘0’ – porém tendo-se enviado ‘1’ - ou vice-versa. Esse sincronismo perfeito é irrealizável – pelo que na prática se prefere usar um outro impulso, como é o raised-cosine: para 0<f, o espectro volve-se, em torno de f=W, em 1/2(1+cos[π(f-W(1-r))/2rW])): - em termos de espectro, a transição em W não é abrupta, existe um roll-off, r (valor típico de r=0,25), tal que a largura de banda do canal necessária vem a ser, de facto, W(1+r); - em termos de evolução no tempo, o impulso – 2Wsinc(2Wt)cos(2πrWt)/(1-r2W2t2)) - decai mais rapidamente

que o sinc, de modo que os valores vizinhos dos instantes n*1/2W são menores: a haver isi, ela é bem menor... Há então que transmitir símbolos: sinc, raised-cosine... Seja TSymb o menor intervalo de tempo entre dois deles; o ritmo de sinalização – expresso em baud – será o recíproco, fSymb=1/TSymb. Visando o maior ritmo no envio dos

símbolos – para um maior ritmo binário (em bps)! – convirá que TSymb seja o menor possível... Quanto, no mínimo? Um critério devido a Nyquist, dedutível da discussão anterior, é: dado um canal de banda passante 0 – W, é possível transmitir símbolos sem isi a um ritmo de, quando muito, 2 W baud (que corresponde a um intervalo entre símbolos, de TSymb=1/2W); inversamente, para transmitir símbolos a um ritmo de fSymb baud é necessária uma largura de banda de, pelo menos, W=fSymb/2. Por exemplo, se for W=4 kHz, o ritmo máximo possível será de fSymb=8 kBaud (e, na prática, em que se usa um roll-off não nulo, será algo menor). Abra-se um posfácio para rever fórmulas devidas a Nyquist, a saber: Teorema: fsampling ≥ 2 B; Critério: fSymb ≤ 2W baud. Há que não confundir as duas fórmulas, até porque dizem respeito a contexto diferentes: - o Teorema tem a ver com a amostragem de um sinal analógico de largura de banda B; indica o ritmo mínimo a que deve ser amostrado de forma que possa ser recuperado a partir das amostras: deve ser pelo menos o dobro de B; - já o Critério tem a ver com a transmissão de símbolos em banda de base por um canal de largura W; indica o ritmo

máximo a que podem ser transmitidos símbolos sem interferência intersimbólica: será, quando muito, o dobro de W.

Teorema de Shannon PhysicalOverview.doc

O critério de Nyquist subentende uma filosofia a realçar: o importante é que, nos momentos de amostragem da

linha pelo receptor, ele não produza decisões incorrectas. Como evolui o sinal entre esses momentos – isso é, de certo modo, irrelevante! Essa filosofia é distinta daquela seguida em transmissão analógica ou de impulsos... Veja-se, nomeadamente, o caso da transmissão da voz pela rede telefónica analógica: os dados em causa são originalmente analógicos, consistem na tensão induzida nos terminais do microfone do telefone do orador; o objectivo em vista é reproduzir remotamente essa tensão – tal qual ela é! Já quando a rede telefónica é digital, o objectivo é outro: a voz é digitalizada (em PCM), os dados volvem-se numa sequência de bits; agora, o objectivo é reproduzir remotamente esses bits – tais quais são! O trabalho do receptor é decidir se foi enviado um ‘0’ ou um ‘1’. E para o efeito, o desafio é determinar qual a forma/shape dos impulsos que representarão esses bits a transmitir – que apoie o melhor possível o receptor nas suas decisões. Visto de outra maneira: recorde o leitor o espectro do impulso rectangular isolado. Usando a notação agora em vigor, é patente que a maioria da energia se estende até f=1/TSymb; pelo que: para o recuperar no receptor, o canal deverá deixar passar frequências para lá de f=1/TSymb. Ora, o que o critério de Nyquist diz é outra coisa: sendo possível transmitir símbolos sem isi a 2 W baud, bastará, para enviar ‘0’ e ‘1’s a intervalos de TSymb, que o canal deixe passar frequências até metade de 1/TSymb! Parece uma contradição... mas não o é: se o objectivo fora o de reconstituir fielmente o impulso rectangular, então, sim, o canal deveria ter uma banda passante superior a W=1/TSymb. Mas em transmissão digital o objectivo é outro: é decidir se foi ou não enviado o impulso – e para isso é suficiente uma banda de W=1/(2 TSymb); menos é que não, que se tornaria difícil identificar o bit enviado… Pressuposto que a forma dos impulsos é a raised-cosine – no que se segue abreviadamente simbolizada por cos↑ – então um trem de ‘0’ e ‘1’ volve-se numa sequência de cos↑ e cos↑-invertidos: em particular, usando bipolar-NRZ, o que se enviará será cos

↑ multiplicado por +1 ou -1 – o que se volve num total de dois símbolos diferentes. Recordando uma discussão acima, poder-se-á, em alternativa, recorrer a sinalização Multi-nível/M-ária: aquele trem de bits é repartido em grupos de n (2, ou 3, ou mais) bits – a cada um fazendo-se corresponder um cos↑ de amplitude específica. O transmissor fica enviando M=2n símbolos diferentes, o ritmo binário resultante sendo:

C = 2 W log2 M bit/s = fSymb n bps Repare-se: isto é válido para transmissão em banda de base, num canal perfeito sem isi nem ruído, de largura de banda W: usar M símbolos diferentes, todos eles cos

↑, não altera a largura de banda necessária para os enviar! E se, em vez de transmissão em banda de base, fora o caso de transmissão sobre portadora, nomeadamente por PSK de M=2n fases? Designando de ritmo de sinalização/modulação o ritmo, fsign baud, a que se enviam as “fases” que representam os grupos de n-bits, constatou-se já que o binário resultante vem a ser C = n fsign bps. As fórmulas são análogas – mas subentendem canais não ruidosos! Na vida real, em que os canais são mesmo ruidosos, há alguma probabilidade de, na sua peregrinação até ao receptor, um símbolo vir a ser corrompido por ruído; pelo que será possível que o receptor, analisando-o, cometer um erro: decidir que ele é outro... Shannon chegou, em 1949, à resposta para um canal de largura de banda W afectado apenas por ruído aditivo branco gaussiano (por consegunte, ignorando distorções – lineares ou não –, ruído impulsivo e as demais imperfeições do canal): provou que, se for S/N a relação sinal/ruído, a capacidade máxima desse canal (isto é: o maior número de bits completamente imprevisíveis que pode ser transmitido sem erros, por segundo) será

C = W log2 (1+S/N) bps Não para o demonstrar, mas quiçá a fórmula advenha plausível, representam-se ao lado esquemas: usando dibits, tribits... suportados por símbolos de amplitudes diferentes. Em particular, naquele mais à direita, a tensão total no receptor – de valor médio denotado por VT – oscila entre 0 e 2 VT. Entre estes extremos, ela pode assumir M=8 valores nominais equidistantes – a que se fez corresponder os 3-bits 000, 001, ..., 100. O ruído forçado pelo canal é suposto aditivo: nos momentos de decisão, a tensão total é a soma de um desses nominais com uma tensão de ruído denotada por VN. Quando o símbolo associado a ‘111’ (por ex.) chega ao receptor, a sua amplitude real não será o correspondente nominal: haverá uma diferença... Intui-se que o receptor a arredondará para o nominal mais próximo – e só depois decidirá... Para que não erre, dois nominais adjacentes deverão distar de, ao menos, 2VN. O que implica M*2VN ≤ 2VT, → M*≤ VT / VN. Quadrando, virá M2 * ≤ VT 2/ VN

2 – ou, em termos de potência, M2 * ≤ PT / N; em termos da potência do sinal e do ruído, será PT = S + N, e, portanto, M2 * ≤ 1 + S / N. Substituindo na fórmula de Nyquist, C = 2 W log2 M bit/s, vem C = W log2 M

2 bit/s ≤ W log2 (1 + S / N) bit/s.