UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL CONO SUR UNTECS CARRERA PROFESIONAL: ING.MECANICA Y ELECTRICA CURSO: ESTATICA Y DINAMICA CICLO:IV SEMANA : 2 SESION 2 TEMA: TORSOR PAR REDUCIDO Y EJE CENTRAL PROFESOR : INMG. JORGE CUMPA MORALES 2011 Profesor: Ing. Jorge Cumpa Morales 2011

UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL CONO SUR UNTECS

CARRERA PROFESIONAL: ING.MECANICA Y ELECTRICA CURSO: ESTATICA Y DINAMICACICLO:IVSEMANA : 3

TEMA: CENTRO DE GRAVEDAD DE CUERPOSCENTRO DE MASAS ,CENTROIDETEOREMA DE PAPUS

PROFESOR : ING. JORGE CUMPA MORALES

2014-I

En Fsica, adems del centro de gravedad, aparecen los conceptos de Centro de masas y centro geomtrico o Centroide ,que aunque puedan coincidir con el centro de gravedad; son conceptualmente diferentes.

CENTRO DE GRAVEDAD El centro de gravedad es el punto de aplicacin de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo.

CENTRO DE GRAVEDADEn otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.C.G El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. As, el c.g. de una esfera hueca est situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.CUERPO PLANO

CENTRO DE MASAEn fsica, adems del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro de masa y de centro geomtrico o centroide que, aunque pueden coincidir con el centro de gravedad, son conceptualmente diferentes.CENTRO DE MASASEl Centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o de un sistema.Aun si el objeto esta en rotacin, el centro de masa se mueve como si fuera partcula. Algunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en el punto de equilibrio de un objeto slido. Por ejemplo, si usted equilibra un metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera est localizada directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar concentrada ahLa segunda ley de Newton se aplica a un sistema cuando se usa el centro de masa

CENTRO DE MASA Y CENTRO DE GRAVEDADEl centro de Masas coincide con el centro de gravedad, solo si el campo gravitatorio es uniforme; es decir viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector magnitud y direccin constante. CENTRO GEOMETRICO Y CENTRO DE MASA El centro geomtrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogneo (densidad uniforme) o cuando la distribucin de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como simetra

CENTROIDEEl centroide es un concepto puramente geomtrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribucin de materia, mientras que el centro de gravedad depende tambin del campo gravitatorio.

C.G , C.M, CENTROIDE En Ingeniera se asume que el cuerpo se encuentra en condicin Ideal, es decir el Campo gravitatorio es uniforme y el objeto materia de estudio mes homogneo, luego el C.G , C.m y el Centroide coinciden en un mismo punto METODOS DE CALCULOPara el calculo del centroide de una figura geomtrica plana Son : Mtodos de las reas y El mtodo de integracin directa Ejercicio Mtodo de reasCalcular la Ubicacin del centroide de la siguiente figura

solucin1 Calculo de las reas 2 Fijar el Sistema de referencia3 Clculos

METODO DE INTEGRACION DIRECTA

EJERCICIOCalcular la ubicacin del centroide de la regin acotada por : f(x) = 4 X2 g(x) = X + 2

Solucin

Centro de masa y centro de gravedad

Consideremos varias partculas de masas m1, m2, m3.. y cuyas posiciones en el espacio son (x1,y1,z1), (x2,y2,z2)......, se define el centro de masa del sistema un punto cuyas coordenadas son:

Y su vector de posicin ser rcm = xcm i + ycm j + zcm k De igual forma, si r1, r2, r3 ... son los vectores de posicin de cada partcula

Para distribuciones continuas de masa

Consideremos una distribucin continua de masa

Sea la densidad del slido dm = dV

Si es homogneo = constante

a) Cuando el cuerpo homogneo tiene alguna simetra, el centro de masa coincide con el punto de simetra

b) Si el cuerpo tiene algn eje de simetra, el centro de masa se halla sobre dicho eje Centro de gravedad

Problemas de equilibrio acta siempre el peso

Se distribuye sobre todo el cuerpo y dar lugar a un momento (los cuerpos cuando caen giran)

Este momento es igual al producido por un objeto puntual con el mismo peso y situado en un punto denominado centro de gravedad a) El centro de gravedad para cuerpos simtricos y homogneos est situado en su centro geomtrico

b) Si no tienen una clara simetra, el centro de gravedad puede determinarse matemticamente

c) Si g tiene el mismo valor en todos los puntos del cuerpo

centro de gravedad = centro de masa Clculos de los centros de gravedad: DefinicinSistema discreto

Sistema continuo38Clculos de los centros de gravedad en distintos sistemas continuosSistema homogneo

Placa homognea de espesor constanteHilo homogneo de seccin constante

39Clculos de los centros de gravedad en distintos sistemas continuo

Si pudiramos considerar el sistema como la suma de varios cuerposEn el caso de que el sistema tuviera huecos, stos podran considerarse como subpartes de masa negativa

40Clculos de los centros de gravedad: Teoremas de Pappus-GuldinTeoremas que relacionan superficies y volmenes de slidos de revolucin Un slido de revolucin es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operacin geomtrica de rotacin de una superficie plana alrededor de una recta contenida en su mismo plano.

Ejemplo: Un volumen con forma de toro se puede considerar como la rotacin de un crculo41Clculos de los centros de gravedad: Primer teorema de Pappus-GuldinEl rea de una superficie de revolucin es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad de la curva cuando se engendra la superficie

42Clculos de los centros de gravedad: Primer teorema de Pappus-GuldinEl rea de una superficie de revolucin es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad de la curva cuando se engendra la superficie

Conocido el centro de gravedad de la curva generatriz, se puede calcular el rea de la superficie de revolucin43Clculos de los centros de gravedad: Segundo teorema de Pappus-GuldinEl volumen de un cuerpo de revolucin es igual al rea generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad del rea cuando se engendra el cuerpo

44Clculos de los centros de gravedad: Segundo teorema de Pappus-GuldinEl volumen de un cuerpo de revolucin es igual al rea generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centro de gravedad del rea cuando se engendra el cuerpo

Conocido el rea de la superficie generatriz, se puede calcular el volumen del cuerpo de revolucin45