Movimiento Armnico SimPLE

Movimiento Armnico SimPLEFIGMM

Objetivos:

Determinar en base a los experimentos la constante de fuerza de un resorte.

Verificar las leyes que rigen el Movimiento Armnico Simple.

Conocer las condiciones que se deben cumplir para que un cuerpo desarrolle un Movimiento Armnico Simple.

Fundamento tericoIntroduccin Un movimiento se llama peridico cuando a intervalos regulares de tiempo se repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan. Un movimiento peridico es oscilatorio si la trayectoria se recorre en ambas direcciones. Un movimiento oscilatorio es vibratorio si su trayectoria es rectilnea y su origen se entra en el centro de la misma.DefinicinEl movimiento armnico simple es un movimiento peridico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de friccin, producido por la accin de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional al desplazamiento pero en sentido opuesto. Y que queda descrito en funcin del tiempo por una funcin senoidal (seno o coseno). Si la descripcin de un movimiento requiriese ms de una funcin armnica, en general sera un movimiento armnico, pero no un M.A.S.

De todos los movimientos oscilatorios el movimiento armnico simple (M.A.S.), constituye una aproximacin muy cercana a muchas oscilaciones encontradas en la naturaleza, adems que es muy fcil de describir matemticamente. El nombre armnico se debe as porque sus frmulas dependen del Seno y del Coseno, que se llamanfunciones armnicas. Para poder iniciar el estudio cuantitativo y cualitativo del M.A.S necesitamos saber unos conceptos previos:

Perodo (T)Es el tiempo necesario para realizar una vibracin u oscilacin completa.

Frecuencia ()Es el nmero de vibraciones completas que el cuerpo efecta por unidad de tiempo.

Elongacin (x)Es el desplazamiento de la partcula que oscila desde la posicin de equilibrio hasta cualquier posicin en un instante dado

Amplitud (A)Es la mxima elongacin, es decir, el desplazamiento mximo a partir de la posicin de equilibrio.

Posicin de equilibrioEs la posicin en la cual no acta ninguna fuerza neta sobre la partcula oscilante.

Pulsacin (w)Representa la velocidad angular del MCU auxiliar. Es una constante del M.A.S

Fase inicial (ao)Representa la posicin angular de la partcula parat= 0 en el MCU auxiliar.

Fase (w.t+ao)Representa la posicin angular de la partcula en el MCU auxiliar para el tiempot.

Cinemtica del movimiento armnico simple

El movimiento armnico simple es un movimiento peridico de vaivn, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posicin de equilibrio, en una direccin determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo. El objeto oscila alrededor de la posicin de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Es tambin, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibracin; pero, pongamos atencin, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultneo de todos los puntos de la cuerda.

Ecuacin del movimiento

Elongacin

Como sabemos la fuerza en un MAS es directamente proporcional al desplazamiento y tomando como referencia un desplazamiento a lo largo del eje OX, tomando el origen O en la posicin de equilibrio, esta fuerza resulta:

FX = - kx,

Dnde:

k, es una constante positiva y x, es la elongacin.

El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que acta sobre la partcula est dirigida haca la posicin de equilibrio; es decir, en direccin contraria a su elongacin.

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armnico simple se define entonces en una dimensin mediante la ecuacin diferencial.

Siendo m, la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene la siguiente ecuacin donde es la frecuencia angular del movimiento:

= = - (1)

La solucin de la ecuacin diferencial (2) puede escribirse en la forma

(2)

Dnde:

x es la elongacin o desplazamiento respecto al punto de equilibrio. A es la amplitud del movimiento (elongacin mxima). es la frecuencia angular t es el tiempo. es la fase inicial e indica el estado de oscilacin o vibracin (o fase) en el instante t = 0 de la partcula que oscila.

La grfica de la elongacin respecto a t seria:

Adems, la frecuencia de oscilacin puede escribirse como esto:

Y por lo tanto el perodo como: (3)

La velocidad y aceleracin de la partcula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresin .

Velocidad

La velocidad instantnea de un punto material que ejecuta un movimiento armnico simple se obtiene por lo tanto derivando la posicin respecto al tiempo:

= = (4)

Aceleracin

La aceleracin es la variacin de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuacin de la velocidad respecto al tiempo:

= = = (5)

Amplitud y fase inicial

La amplitud A y la fase inicial se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimento, esto es de los valores de la elongacin 0 y de la velocidad 0 iniciales.

0 = 0 = (6)

0 = 0 = (7) Sumando las dos ecuaciones (6) y (7) obtenemos

0 + = = = (8) Dividiendo las dos ecuaciones (6) y (7) obtenemos

= = = ) (9)

Dinmica del movimiento armnico simple

En el movimiento armnico simple la fuerza que acta sobre el mvil es directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posicin de equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida hacia la posicin de equilibrio y el mvil realiza un movimiento de vaivn alrededor de esa posicin.

(10)

Un ejemplo de M.A.S sera el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sera la constante de elasticidad del muelle.

Aplicando la segunda ley de newton tendramos:

= (11)

Comparando esta ecuacin y la que tenamos para la aceleracin (5) se deduce:

=

Esta ecuacin nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armnico simple en funcin de la masa de la partcula y de la constante elstica de la fuerza que acta sobre ella:

(12)

Para dos masas suspendidas del mismo resorte se obtiene:

= (13)

En el trabajo de Laboratorio se hace una correccin a esta ecuacin incrementando al valor de cada masa, un tercio de la masa del resorte.

= (14)

Parte experimental Procedimiento:1. Disponga el equipo como se indica . marque con el indicador y zobre la hoja de papel militrado, la posicin de equilibrio.

2. Mida la deformacin del resorte al suspender de l y una por una las masas mi (i= 1,2,3,4). Para medir la elongacin del resorte deje oscilar la masa hasta el reposo.Llenar la tabla 1 con los datos anteriores.Tabla 1 :

498 g505 g750 g999 g1497 g1749 g

x (mm)49,250,594,7139,2226,2266,2

3. Suspenda del resorte la maza m1 y a partir de la posicin de equilibrio d un desplazamiento hacia abajo y suelte la maza para que oscile y cuando se estabilicen las oscilaciones determine el numero de oscilaciones en 60 segundos. Repita 3 veces esta prueba para diferentes amplitudes, as como tambin para otras 3 masas.

Lugo llenamos la tabla 2 con los clculos hechos anteriormente:Tabla 2:

Masas (g)t1 (s)t2 (s)t3 (s)Numero de oscilacionesFrecuencia(osc/s)

75059,8059,8560,2870,1681,170

99960,0460,5959,8981,1681,348

149760,3660,046058,1680,972

174960,5560,4160,5055,0010,909

EQUIPOUn cronometro Un resorte Cuatro masas

Papel milimetrado

Clculos y Resultados

1) Determine la constante del resorte y promediando los resultados del paso2

En este caso en vez de promediar, con ayuda de Excel analizamos los datos y aproximamos una recta que ms cercana a los datos obtenidos. Con ayuda del grafico podemos notar que existe una relacin de proporcionalidad entre el peso y la variacin de longitud y esto obedece a la ley de Hooke:

En donde la constante de proporcionalidad recibe el nombre de constante de rigidez del resorte, el cual es:

2) Determine la frecuencia promedio con cada una de las masas y compare. Calculando el porcentaje de diferencia entre estas razones.

a) Con Solucin: - (f1/f2)2 = 0,753 - (m2/m1) = 0,751 - % = 0,266% b) Con Solucin: - (f2/f3)2 = 1,923 - (m3/m2) = 1,996 - % = 3,65% c) Con Solucin: - (f1/f3)2 = 1,449 - (m3/m1) = 1,498 - % = 3,271% d) Con Solucin: - (f2/f4)2 = 2,199 - (m4/m2) = 2,332 - % = 5,703% e) Con Solucin: - (f1/f4)2 = 1,657 - (m4/m1) = 1,750 - % = 5,314% f) Con Solucin: - (f3/f4)2 = 1,143 - (m4/m3) = 1,168 - % = 2,140%

Para calcular el porcentaje de diferencia entre las razones se uso:

%

3) Adicionando a cada masa un tercio de la masa del resorte vuelva a comparar las razones del paso 2, esto es: a) Con Solucin: - (f1/f2)2 = 0,753 - (m2 +1/3(m.resorte)/m1+1/3(m.resorte)) = 0,786 - % = 4,198% b) Con Solucin: - (f2/f3)2 = 1,923 - (m3+1/3(m.resorte)/m2+1/3(m.resorte)) = 1,814 - % = -6,001% c) Con Solucin: - (f1/f3)2 = 1,449 - (m3+1/3(m.resorte)/m1+1/3(m.resorte))=1,421 - % = -1,541%

d) Con Solucin: - (f2/f4)2 = 2,199 - (m4+1/3(m.resorte)/m2+1/3(m.resorte))= 2,088 - % = -5,316% e) Con Solucin: - (f1/f4)2 = 1,657 - (m4+1/3(m.resorte)/m1+1/3(m.resorte))= 1,643 - % = -0,852% f) Con Solucin: - (f3/f4)2 = 1,143 - (m4+1/3(m.resorte)/m3+1/3(m.resorte))=1,151 - % = 0,695%

4) Calcule la frecuencia para cada masa utilizando la ecuacin , y compare los resultados con las frecuencias obtenidas en la tabla 2.

Solucin:Se sabe que: , luego en la ecuacin dada se tendr:Y se obtiene Ahora, para la masa m1= 252,5 g. y usando la constante del resorte ya calculada al inicio del cuestionario (k = 43,582 N/m2), obtenemos = Repitiendo este procedimiento para las otras 3 masas (m2, m3 y m4) se obtiene:Para m2 = 0,750 Kg. Para m3 = 1,497 Kg. Para m4 = 1,749 Kg.

5) Como reconocera si el movimiento de una masa que oscila, cumple un movimiento armnico?

Ante una masa que oscile, cumplir un movimiento armnico cuando presente determinadas caractersticas, como por ejemplo cuando su posicin en funcin del tiempo sea una sinusoide, su movimiento sea peridico adems que la magnitud de la nica fuerza ejercida sobre la masa sea directamente proporcional al desplazamiento de ste respecto al equilibrio.

6) Que tan prximo es el movimiento estudiado aqu a un movimiento armnico simple?

Debido a que el aire opone cierta resistencia al movimiento se podra dar el caso de un movimiento armnico amortiguado pero de todos modos no afecta en datos que se tomen los primeros minutos.Tambin, no se puede hablar de un movimiento totalmente vertical ya que existe determinada inclinacin al momento de soltarlo, sin embargo estas observaciones se pueden despreciar en los clculos realizado en el informe.

7) Haga una grfica del periodo al cuadrado versus masa. Utilizando los resultados del paso 2.

CONCLUCIONES

-La constante del resorte es calculado mediante los datos que obtuvimos mediante el cociente de un peso determinado y su elongacin respectiva, en este caso calculamos la constante del resorte usando Excel.

-El periodo del sistema es totalmente independiente de la amplitud tomada para medir el numero de oscilaciones en un determinado tiempo y as hallarla.

-Existe una fuerza de recuperacin (en este caso la que el resorte ejerce sobre la masa) opuesta al movimiento que hace que el sistema oscile.

-Se puede comprobar del primer grfico que la constante del resorte es de 56,208N/m , pero tambin se puede hallar la constante con la ultima grafica T2 vs Kg siendo esta de 59,806N/m dando cuenta de un error muy pequeo y por consecuente confirma que se tomaron datos precisos y muy aproximados a un movimiento ideal.

BIBLIOGRAFA

-SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN: '" Fisica Universitaria", Vol. I Pearson, 1999

-SERWAY-J "Fsica para Ciencias e Ingeniera" VolI Editorial Thomson

- TIPLER-MOSCA: "Fsica para la Ciencia y la Tecnologa" Vol 1B, OSCILACIONES, Editorial Revert, 2005

-Resnick, R.; Halliday, D. y Krane, K. (1996). Fsica Vol. 1.(4a. Edicin). Mxico: CECSA.

Universidad Nacional de Ingeniera 21