(2x pertidaksamaan (b) 2 (c) (d) 2 (e) 2.1....
TRANSCRIPT
-
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
5future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SoshumMatematika soshum
21. 2x2 5x + 2 = ... (A) (2x – 1)(x – 2) (B) (2x + 1)(x + 1) (C) (2x – 1)(x + 1) (D) (3x 1)(x 2) (E) (3x 2)(x 1)
22. 3x2 7x + 2 = ... (A) (2x – 1)(x – 2) (B) (2x + 1)(x + 1) (C) (2x – 1)(x + 1) (D) (3x 1)(x 2) (E) (3x 2)(x 1)
23. 3 5a ab
(A) 3 5b aab
(B) 3 5aab
(C) 5aab
(D) 3 5bab
(E) 3 5bab
24. 22 3 ...
x 4 (x 4)
(A) 22x 11(x 4)
(B) 22x 4
(x 4)
(C) 23x 2
(x 4)
(D) 23x 15(x 4)
(E) 24x 19(x 4)
25. 24 3
39 xx
(A) 23 5
9x
x
(B) 23 5
9x
x
(C) 23 12
9xx
(D) 24 15
9x
x
(E) 24 9
9x
x
26. 2
24x 3 ...x 2x 6x 8
(A) 221x 3
x 6x 8
(B) 227 12
x 6x 8
(C) 25x 3
x 6x 8
(D) 25x 17
x 6x 8
(E) 221x 12
x 6x 8
PERTIDAKSAMAAN 2.1. PENGERTIAN
Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat lambang < , >, , .
2.2. MACAM PERTIDAKSAMAAN dan PENYELESAIANNYA A. Pertidaksamaan linier (pangkat 1)
Pertidaksamaan dengan memuat variabel berpangkat 1. Contoh: 1. Tentukan nilai x yg memenuhi
3x – 7 > 5x + 3 !
Jawab : 3x – 5x > 3 + 7 – 2x > 10 didapat : x < – 5
2. Tentukan nilai x yang memenuhi : 5x < 4x + 10 < 6x + 8.
Jawab : Pernyataan soal dipecah 2 bagian: A : 5x < 4x + 10 B : 4x + 10 < 6x + 8
x < 10 – 2x < –2 x > 1
A B :
Jadi 1 < x < 10
B. Pertidaksamaan kuadrat/pangkat tinggi Pertidaksamaan dengan memuat variabel berpangkat 2 atau lebih. Penyelesaiannya : 1. Ruas kanan = 0 2. Dibuat bentuk faktor linier :
(x – a)3 (x – b)2 < 0 3. Dicari harga nol dan lukis garis bilangan 4. Isi tanda + atau – dengan kaidah 5. Pangkat luar berupa bil ganjil – tanda
berubah 6. Pangkat luar berupa bil genap – tanda
tetap Contoh : 1. Tentukan x yang memenuhi
a. x2 – 5x + 4 < 0 Jawab : (x – 1)(x – 4)< 0
Jadi : 1 < x < 4
b. x 2- 6x + 9 > 0 Jawab : (x – 3)2 > 0
x < 3 atau x > 3 x Real, x 3 2. Tentukan nilai x yang memenuhi :
(x – 3) (x2 – 10x + 25) < 0 Jawab : (x – 3) (x - 5)2 < 0 (faktor linier)
Jadi x < 3
Bila ax2 + bx + c yang memenuhi : a. D < 0, a > 0 (definit positif ) Contoh : x2 + 4, x2 – x + 4 , dll
b. D < 0, a < 0 (definit negatif ) Contoh : – x2 – 9, – x2 + 2x – 3 dll
Bila dalam pertidaksamaan, dijumpai bentuk definit positif atau definit negatif maka boleh diabaikan dengan tanda tetap untuk definit positif dan tanda berubah untuk definit negatif. Contoh : 1. Tentukan penyelesaian dari
(x2 – 3x – 4) (x2 – x + 4) < 0 Jawab :
(x – 4)(x+1) (definit positif) < 0 (x – 4)(x+1) < 0
Jadi : -1 < x < 4 2. Tentukan penyelesaian dari
(x – 5) (- x2 – 4) < 0 Jawab : (x – 5) (definit negatif) < 0
(x – 5) > 0 Jadi : x > 5
Untuk bentuk pertidaksamaan pecahan :
g(x)f(x) ?? 0 maka g(x) 0,
?? maksudnya , atau harga nol dari g(x) selalu terbuka pada garis bilangan.
1 10
+ - + 1 4
+ + 3
– + + 3 5
+ - + -1 4
-
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
6future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SoshumMatematika soshum
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
Contoh :
1. Penyelesaian dari 152
134
xx
adalah ……
Jawab :
0
52182
05252
52134
xx
xx
xx
Jadi – 5/2 < x 9 C. Pertidaksamaan Irrasional ( “ ” )
Pertidaksamaan yang memuat tanda “ ”. Secara umum :
2)( g(x) f(x)
)()( xgxf
Syarat : f(x) 0 .…………(2) g(x) 0 …………(3)
Penyelesaian : (1) (2) (3) Contoh : 1. Tentukan nilai x yang memenuhi
72 x5-3x . Penyelesaian :
andikuadratk 72x53x
72x53x
x < 12 ……(1)
Syarat : 3x – 5 0 2x + 7 0 x 5/3 …..(2) x –7/2 …..(3)
(2) (3) : 5/3 x < 12
D. Pertidaksamaan harga mutlak.
Pertidaksamaan dengan memuat tanda harga mutlak : “| |”. Penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak dengan menggunakan definisi harga mutlak atau bentuk khusus. Yang disebut bentuk khusus adalah:
|f(x)| < |g(x)| (dikuadratkan)
f 2(x) < g2(x) (f + g) (f – g) < 0
Lebih khusus lagi : Untuk :
| f(x) | < c+ maka - c < f(x) < c
| f(x) | > c+ maka f(x) < - c atau f(x) > c Contoh : 1. Penyelesaian dari |x – 2| + 2x < 10 adalah
… Penyelesaian : Dengan definisi : Untuk |x – 2| = +(x – 2) untuk x 2 … (1) Pernyataan soal : (x – 2) + 2x < 10 didapat 3x < 12 dan x < 4…(2)
(1) (2) : 2 x < 4 ……(A) Untuk |x – 2| = –(x – 2) untuk x < 2 …(3) Pernyataan soal : –x + 2 + 2x < 10 didapat x < 8…(4)
(3) (4) : x < 2 …… (B) Penyelesaian : (A) (B) Jadi : x < 4
2. Penyelesaian dari |2x + 17| < |x – 3|
adalah … Penyelesaian : (2x + 17)2 – (x – 3)2 < 0 (2x+17)+(x–3) . (2x+17)–(x–3) < 0 (3x+14).(x+20) < 0 Jadi –20 < x < –14/3
3. Penyelesaian dari | 2x – 5 | 7 adalah … Penyelesaian :
–7 2x – 5 7 –2 2x 12
–1 x 6
+ – + –5/2 9
-7/2 5/3 12
………….....(1)
2 4
+ – + –20 14/3
-
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
7future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SoshumMatematika soshum
Contoh :
1. Penyelesaian dari 152
134
xx
adalah ……
Jawab :
0
52182
05252
52134
xx
xx
xx
Jadi – 5/2 < x 9 C. Pertidaksamaan Irrasional ( “ ” )
Pertidaksamaan yang memuat tanda “ ”. Secara umum :
2)( g(x) f(x)
)()( xgxf
Syarat : f(x) 0 .…………(2) g(x) 0 …………(3)
Penyelesaian : (1) (2) (3) Contoh : 1. Tentukan nilai x yang memenuhi
72 x5-3x . Penyelesaian :
andikuadratk 72x53x
72x53x
x < 12 ……(1)
Syarat : 3x – 5 0 2x + 7 0 x 5/3 …..(2) x –7/2 …..(3)
(2) (3) : 5/3 x < 12
D. Pertidaksamaan harga mutlak.
Pertidaksamaan dengan memuat tanda harga mutlak : “| |”. Penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak dengan menggunakan definisi harga mutlak atau bentuk khusus. Yang disebut bentuk khusus adalah:
|f(x)| < |g(x)| (dikuadratkan)
f 2(x) < g2(x) (f + g) (f – g) < 0
Lebih khusus lagi : Untuk :
| f(x) | < c+ maka - c < f(x) < c
| f(x) | > c+ maka f(x) < - c atau f(x) > c Contoh : 1. Penyelesaian dari |x – 2| + 2x < 10 adalah
… Penyelesaian : Dengan definisi : Untuk |x – 2| = +(x – 2) untuk x 2 … (1) Pernyataan soal : (x – 2) + 2x < 10 didapat 3x < 12 dan x < 4…(2)
(1) (2) : 2 x < 4 ……(A) Untuk |x – 2| = –(x – 2) untuk x < 2 …(3) Pernyataan soal : –x + 2 + 2x < 10 didapat x < 8…(4)
(3) (4) : x < 2 …… (B) Penyelesaian : (A) (B) Jadi : x < 4
2. Penyelesaian dari |2x + 17| < |x – 3|
adalah … Penyelesaian : (2x + 17)2 – (x – 3)2 < 0 (2x+17)+(x–3) . (2x+17)–(x–3) < 0 (3x+14).(x+20) < 0 Jadi –20 < x < –14/3
3. Penyelesaian dari | 2x – 5 | 7 adalah … Penyelesaian :
–7 2x – 5 7 –2 2x 12
–1 x 6
+ – + –5/2 9
-7/2 5/3 12
………….....(1)
2 4
+ – + –20 14/3
KAJI LATIH STANDAR PERTIDAKSAMAAN–1
1. Penyelesaian 22 3( 6)x x adalah
(A) x < 5 (B) x > 2 (C) –2 < x < 5 (D) 2 < x < 5 (E) –5 < x < 2
2. Batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan 0302 xx adalah
(A) 5x atau 6x (B) 5x atau 6x (C) 65 x (D) 56 x (E) 65 x
3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
2x 2x 3 0 adalah …. (A) { x –3 x 1 } (B) { x –1 x 3 } (C) { x x –1 atau x 1 } (D) { x x –1 atau x 2 } (E) { x x –1 atau x 3 }
4. Nilai x yang memenuhi : 3x2 – 4x + 7 < 2x2 + 4 adalah …. (A) x < –1 (B) –3 < x < –1 (C) x < 1 (D) 1 < x < 3 (E) –2 < x < 3
5. Himpunan penyelesain pertidaksamaan (x – 2)(3 – x) 4 (x – 2) adalah .… (A) { x 2 x 3 } (B) { x x 2 atau x 3 } (C) { x –2 x 1 } (D) { x –1 x 2 } (E) { x x atau x 2 }
6. Batas-batas x yang memenuhi pertidaksamaan
2 2 4 0x x adalah (A) x < 1 3 atau x > 1 3 (B) 1 5 < x < 1 5 (C) x < 1 5 atau x > 1 5 (D) x < 5 1 atau x > 1 5 (E) 5 1 < x < 1 5
7. Penyelesaian dari pertidaksamaan 2 2 4 0x x adalah (A) Semua bilangan (B) (C) – 2 < x < 4 (D) – 4 < x < 2 (E) x < – 2 atau x > 4
8. Penyelesaian dari pertidaksamaan 2 2 4 0x x adalah (A) Semua bilangan (B) (C) – 2 < x < 4 (D) – 4 < x < 2 (E) x < – 2 atau x > 4
9. 2 6 6 3 6 0x x x mempunyai
penyelesaian ... (A) 2 x 3 atau x 6 (B) x –6 atau 2 x 3 (C) – 6 x 2 atau x 3 (D) – 3 x 2 atau x 6 (E) x –2 atau 3 x 6
10. 8 7 6(5 x) (3 x) (9 x) 0 mempunyai penyelesaian ... (A) x 3 atau x = 5 atau x = 9 (B) x 5 atau x ≥ 9 (C) x 5 atau x = 9 (D) x 9 (E) x 3
11. Pertidaksamaan: 2 5 7(1 x) (3 x) (6 x) 0 dipenuhi oleh... (A) x 6 (B) x 1 (C) x 3 atau x = 6 (D) x 1 atau x 3 atau x ≥ 6 (E) 3 x 6 atau x 1
12. Pertidaksamaan 3 2x 2x 24x 0 dipenuhi oleh
... (A) x < 0 atau 4 < x < 6 (B) x < –4 atau 0 < x < 6 (C) x < –6 atau 0 < x < 4 (D) 0 < x < 4 atau x > 6 (E) –4 < x < 0 atau x > 6
-
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
8future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SoshumMatematika soshum
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
13. Pertidaksamaan 0168 789 xxx memiliki penyelesaian .... (A) 40 x (B) 0x atau 4x (C) 0x (D) 4x (E) 4x
14. Pertidaksamaan 2 2x x 6 x x 6 0
memiliki batas-batas penyelesaian ... (A) 2 x 3 (B) x 3 atau x 2 (C) 3 x 2 (D) x 3 atau x 2 (E) x 2 atau x 3
15. Penyelesaian dari 2(x 2)(x 3x 2) 0 adalah ...
(A) x 2 (B) x 2 (C) 1 x 2 (D) x 1 atau x 2 (E) x 1
16. Batas-batas x yang memenuhi 3 2 2( )( 2 3) 0x x x x adalah
(A) x – 1 (B) – 1 x < 0 atau x > 0 (C) x – 1 atau x = 0 (D) – 1 x 0 (E) x 1
17. Nilai x yang memenuhi dalam sistem
pertaksamaan :
04
212
232
x
xx
adalah …. (A) x < 4 atau –2 < x < 1 atau 1 < x < 2 (B) x 1 atau x 1, x 4 (C) x < 4 atau 4 < x 1 atau x 1 (D) x < 4 atau x > 1 (E) x 4
18. Pertidaksamaan 2
2x 7x 6 0
x 7x 10
memiliki
penyelesaian ... (A) 6 x < 1 atau 2 < x 5 (B) 5 x 1 atau 4 x 6 (C) 1 x < 2 atau 5 x 6 (D) 5 < x 1 atau 2 < x 6 (E) 1 x < 2 atau 5 < x 6
19. Nilai x yang memenuhi 2
2x 7x 6 0
x 8x 16
adalah ...
(A) 1 < x < 6 (B) 1 x 6 (C) 1 < x 4 atau x > 6 (D) 1 x < 4 atau 4 < x 6 (E) – 4 < x < 1 atau x 6
20. Nilai x yang memenuhi 2
2x 8x 16 0x 7x 6
adalah ...
(A) 1 < x < 6, x 4 (B) 1 < x < 6 (C) 1 x 6, x 4 (D) x < 1 atau 4 < x < 6 (E) – 4 < x < 1 atau x > 6
21. Bentuk x 5 2x 2
dipenuhi oleh ...
(A) 1 < x < 2 (B) – 1 < x < 2 (C) x < – 1 atau x > 2 (D) x < – 2 atau x > 1 (E) – 2 < x < 1
22. Pertidaksamaan
2
2x 4x 12 0
x 4x 12 memiliki
batas-batas penyelesaian ... (A) 2 < x < 6 (B) x 2 atau x 6 (C) 6 < x < 2 (D) x < 6 atau x > 2 (E) x 2 atau x 6
23. Jika pertidaksamaan 26 2 1
3x
x x
mempunyai
penyelesaian a x b , maka 2 2 ...a b ab (A) 3 (B) 5 (C) 9 (D) 10 (E) 15
-
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
9future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SoshumMatematika soshum
13. Pertidaksamaan 0168 789 xxx memiliki penyelesaian .... (A) 40 x (B) 0x atau 4x (C) 0x (D) 4x (E) 4x
14. Pertidaksamaan 2 2x x 6 x x 6 0
memiliki batas-batas penyelesaian ... (A) 2 x 3 (B) x 3 atau x 2 (C) 3 x 2 (D) x 3 atau x 2 (E) x 2 atau x 3
15. Penyelesaian dari 2(x 2)(x 3x 2) 0 adalah ...
(A) x 2 (B) x 2 (C) 1 x 2 (D) x 1 atau x 2 (E) x 1
16. Batas-batas x yang memenuhi 3 2 2( )( 2 3) 0x x x x adalah
(A) x – 1 (B) – 1 x < 0 atau x > 0 (C) x – 1 atau x = 0 (D) – 1 x 0 (E) x 1
17. Nilai x yang memenuhi dalam sistem
pertaksamaan :
04
212
232
x
xx
adalah …. (A) x < 4 atau –2 < x < 1 atau 1 < x < 2 (B) x 1 atau x 1, x 4 (C) x < 4 atau 4 < x 1 atau x 1 (D) x < 4 atau x > 1 (E) x 4
18. Pertidaksamaan 2
2x 7x 6 0
x 7x 10
memiliki
penyelesaian ... (A) 6 x < 1 atau 2 < x 5 (B) 5 x 1 atau 4 x 6 (C) 1 x < 2 atau 5 x 6 (D) 5 < x 1 atau 2 < x 6 (E) 1 x < 2 atau 5 < x 6
19. Nilai x yang memenuhi 2
2x 7x 6 0
x 8x 16
adalah ...
(A) 1 < x < 6 (B) 1 x 6 (C) 1 < x 4 atau x > 6 (D) 1 x < 4 atau 4 < x 6 (E) – 4 < x < 1 atau x 6
20. Nilai x yang memenuhi 2
2x 8x 16 0x 7x 6
adalah ...
(A) 1 < x < 6, x 4 (B) 1 < x < 6 (C) 1 x 6, x 4 (D) x < 1 atau 4 < x < 6 (E) – 4 < x < 1 atau x > 6
21. Bentuk x 5 2x 2
dipenuhi oleh ...
(A) 1 < x < 2 (B) – 1 < x < 2 (C) x < – 1 atau x > 2 (D) x < – 2 atau x > 1 (E) – 2 < x < 1
22. Pertidaksamaan
2
2x 4x 12 0
x 4x 12 memiliki
batas-batas penyelesaian ... (A) 2 < x < 6 (B) x 2 atau x 6 (C) 6 < x < 2 (D) x < 6 atau x > 2 (E) x 2 atau x 6
23. Jika pertidaksamaan 26 2 1
3x
x x
mempunyai
penyelesaian a x b , maka 2 2 ...a b ab (A) 3 (B) 5 (C) 9 (D) 10 (E) 15
PERTIDAKSAMAAN–2 1. Nilai x yang memenuhi x 7 1 adalah
(A) 0,6 x 1 (B) x 0,6 atau x 1 (C) x 0,6 (D) Semua bilangan (E)
2. Nilai x yang memenuhi x 7 1 adalah (A) 0,6 x 1 (B) x 0,6 atau x 1 (C) x 0,6 (D) Semua bilangan (E)
3. Batas-batas x yang memenuhi 1 x 3 42 adalah
... (A) x < 2 atau x > 14 (B) 2 < x < 14 (C) x < 14 atau x > 2 (D) 2 < x < 14 (E) x 14
4. Batas-batas x yang memenuhi 1 x 2 53 adalah
... (A) x < 9 atau x > 21 (B) 9 < x < 21 (C) x < 21 atau x > 9 (D) 21 < x < 9 (E) x < 9 atau x > 21
5. Nilai-nilai x yang memenuhi 12|3x|4|3x| 2 adalah…
(A) 2 < x < 9 (B) 3 < x < 9 (C) x > 9 atau x < 1 (D) x > 9 atau x < 2 (E) x > 9 atau x < 3
6. Penyelesaian dari 27|1|6|1| 2 xx adalah
(A) 93 x (B) 102 x (C) 2x atau 10x (D) 8x atau 10x (E) 108 x
7. Nilai x yang memenuhi 2| 2 | 7 | 2 | 10 0x x
adalah (A) 4 x 0 atau 3 x 7 (B) 3 x 0 atau 4 x 7 (C) 3 x 7 (D) 4 x 7 (E) 3 x 4 atau x 7
8. Batas-batas x yang memenuhi 2x 6 3x 4 adalah ...
(A) 2 < x < 2 (B) x < – 2 atau x > 2 (C) – 1 < x < 2 (D) x < – 1 atau x > 2 (E) – 2 < x < 1
9. Penyelesaian dari 22x8x
adalah
(A) – 4 < x < 4 (B) x < – 2 atau x > 4 (C) x < – 4 atau x > 2 (D) x < – 4 atau x > 4 (E) – 4 < x < 2 atau 2 < x < 4
10. Jika 2x x 6 3x 9 maka...
(A) x 5 atau 3 x 2 (B) x 1 atau x 5 (C) x 5 atau x 3 (D) x 2 atau x 5 (E) 3 x 2 atau 3 x 5
11. Jika himpunan penyelesaian | 3 | 6x a adalah
{ |1 }x x b , maka nilai a b adalah … (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
12. Bentuk |10 5 | 15x ekuivalen dengan…
(A) | 2 | 3x (B) 5| 1| 15x (C) | 3| 2x (D) 0 10 5 15x (E) 15 15x
-
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
10future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SoshumMatematika soshum
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
13. 48x2 memiliki batas-batas penyelesaian (A) x 4 (B) x > 12 (C) x < 12 (D) x 4 atau x > 12 (E) 4 x < 12
14. Penyelsaian dari 4233 xx adalah
(A) 1x (B) 2x (C) 1x (D) 2x (E) 2x
15. Jika 2x 5x 6 x 6 , maka... (A) x 6 (B) 0 x 6 (C) 6 x 0 atau 2 x 3 (D) 0 x 2 atau 3 x 6 (E) 0 x 2 atau x 6
16. Jika semua nilai x dengan 1 2 3x yang memenuhi | 3 | 1 0x x adalah a x b , maka 2a b (A) 2 (B) 1 (C) 4 (D) 5 (E) 6
-
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
11future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SoshumMatematika soshum
13. 48x2 memiliki batas-batas penyelesaian (A) x 4 (B) x > 12 (C) x < 12 (D) x 4 atau x > 12 (E) 4 x < 12
14. Penyelsaian dari 4233 xx adalah
(A) 1x (B) 2x (C) 1x (D) 2x (E) 2x
15. Jika 2x 5x 6 x 6 , maka... (A) x 6 (B) 0 x 6 (C) 6 x 0 atau 2 x 3 (D) 0 x 2 atau 3 x 6 (E) 0 x 2 atau x 6
16. Jika semua nilai x dengan 1 2 3x yang memenuhi | 3 | 1 0x x adalah a x b , maka 2a b (A) 2 (B) 1 (C) 4 (D) 5 (E) 6
PERSAMAAN GARIS 4.1 GRADIEN
Gradien adalah arah kemiringan dari suatu garis lurus. Dinotasikan dengan huruf “ m “ dan besarnya didapat dari nilai tangen sudut yang dibentuk oleh suatu garis dengan sumbu x positif. Gradien juga disebut sebagai : Tangens arah Bilangan/koefisien arah dari suatu Tanjakan garis lurus
Pandang garis g dan h di bawah ini!
Gradien garis g :
mg = tg = xy
=
12
12xxyy
Dalam suatu persamaan garis lurus nilai gradien bisa didapat sebagai berikut : Y = m x + c , gradien = m
ax + by + c = 0 , gradien = m = ba
Contoh : 1. y = 3x – 6 m = ……. 2. 3x + 5y – 15 = 0 m = ……. 3. 5x – 8y + 32 = 0 m = ……. 4. 4y + 2x – 35 = 0 m = ……. 5. 8y – 5x = 9 m = ……. 6. Garis g membentuk sudut 600 dengan sumbu
x+ maka m = … 4.2 PERSAMAAN GARIS LURUS
Persamaan yang dinyatakan dalam bentuk linier pada variabelnya (berpangkat 1). Secara explisit, dituliskan : y = mx + c atau f(x) = ax + b Secara implisit, dituliskan : ax + by + c = 0
Menyusun Persamaan Garis Lurus
Bila diketahui gradien (m) dan 1 titik yang
dilalui garis tersebut dituliskan :
Y – y1 = m ( x – x1)
Bentuk khusus, bila diketahui titik potong sumbu x dan sumbu y dituliskan :
1by
ax
atau
bx + ay = ab
Contoh : 1. Tentukan persamaan garis yang membentuk
sudut 30o terhadap sumbu x positif dan melalui titik P(6, 2).
Penyelesaian : m = tg 30o = 331
Persamaan garis lurus : y – 2 = 331 (x – 6)
Y = 331 x - 2 3 + 2
2. Dari gambar berikut, tentukan persamaan garis g!
Persamaan garis g : 3x + 4y = 12
4.3 HUBUNGAN 2 GARIS LURUS
Secara umum hubungan antara 2 garis lurus didapat dari hubungan nilai gradien masing-masing garis dan dituliskan :
Tg = 12
12
m.m1mm
Dimana = sudut yang dibentuk dari 2 garis sembarang. Bila Garis 1 sejajar Garis 2 maka = 00 dan didapat : m1 = m2
Bila Garis 1 tegak lurus Garis 2 maka = 900 dan didapat : m1 . m2 = -1
Contoh : 1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik
P(3, 5) dan sejajar dengan garis 2x – 3y = 1 !
Penyelesaian : Garis 2x – 3y = 1 bergradien m1 = 3
2 . Misal g : garis yang dicari maka gradien garis g adalah m2 = m1 = 3
2 .
Persamaan g: y – 5 = 32 (x – 3) atau y = 3
2 (x + 3)
X+
g
h
B
Y+
(x1, y1)
(x2, y2)
x
y
a
b x
y
GL 1
GL 2
(x1, y1)
4
3 x
y
g
-
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
12future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SoshumMatematika soshum
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis 2x – y = 6 dan garis x + 3y = 10 serta tegak lurus dengan garis x + 5y = 2 !
Penyelesaian : Titik potong didapat dengan substitusi/ eliminasi 2x – y = 6 2x + 6y = 20 -7y = -14 y = 2 dan x = 4 didapat titik potong (2, 4) Gradien garis x + 5y = 2 adalah m1 = - 5
1 dan misal garis yang dicari adalah garis g dengan gradien m2 = 5 (tegak lurus). Persamaan garis g adalah : y – 4 = 5(x –2) atau y = 5x – 6.
4.4. J A R A K
Jarak antara 2 titik
d = )y -(y)x -(x 2122
12
Jarak titik ke garis :
d = 22
11
ba
cbyax
Jarak antara 2 garis sejajar :
d = 22
21
ba
cc
4.5 HAL KHUSUS
Rumus Perbandingan :
AP : PB = m : n Maka : xp = m xb + n xa
m + n yp = m yb + n ya m + n
Garis dalam segitiga :
Garis Tinggi Garis Berat Garis Bagi
Garis Tinggi : melalui 1 titik dan tegak lurus dengan sisi di depan titik tersebut. Garis Berat : melalui 1 titik dan membagi 2 sama panjang sisi di depan titik tersebut. Garis Bagi : melalui 1 titik dan membagi 2 sama besar sudut yang diapit 2 garis.
P(x1, y1)
P’
ax + by + c = 0
ax + by + c2 = 0
ax + by + c1 = 0
d
A
B
P m
n
Q (x2, y2) d y x P(x1 , y1)
-
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
13future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SoshumMatematika soshum
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis 2x – y = 6 dan garis x + 3y = 10 serta tegak lurus dengan garis x + 5y = 2 !
Penyelesaian : Titik potong didapat dengan substitusi/ eliminasi 2x – y = 6 2x + 6y = 20 -7y = -14 y = 2 dan x = 4 didapat titik potong (2, 4) Gradien garis x + 5y = 2 adalah m1 = - 5
1 dan misal garis yang dicari adalah garis g dengan gradien m2 = 5 (tegak lurus). Persamaan garis g adalah : y – 4 = 5(x –2) atau y = 5x – 6.
4.4. J A R A K
Jarak antara 2 titik
d = )y -(y)x -(x 2122
12
Jarak titik ke garis :
d = 22
11
ba
cbyax
Jarak antara 2 garis sejajar :
d = 22
21
ba
cc
4.5 HAL KHUSUS
Rumus Perbandingan :
AP : PB = m : n Maka : xp = m xb + n xa
m + n yp = m yb + n ya m + n
Garis dalam segitiga :
Garis Tinggi Garis Berat Garis Bagi
Garis Tinggi : melalui 1 titik dan tegak lurus dengan sisi di depan titik tersebut. Garis Berat : melalui 1 titik dan membagi 2 sama panjang sisi di depan titik tersebut. Garis Bagi : melalui 1 titik dan membagi 2 sama besar sudut yang diapit 2 garis.
P(x1, y1)
P’
ax + by + c = 0
ax + by + c2 = 0
ax + by + c1 = 0
d
A
B
P m
n
Q (x2, y2) d y x P(x1 , y1)
KAJI LATIH STANDAR PERSAMAAN GARIS
1. Gradien garis yang melalui titik (4, 7) dan (7,14)
adalah (A) 7 (B) 6 (C) 1 (D) –3 (E) –5
2. Persamaan garis pada soal no 1 adalah
(A) 7 35y x (B) 6 31y x (C) 11y x (D) 3 5y x (E) 5 13y x
3. Gradien dari persamaan 9x + 2y + 7 = 0 adalah… (A) 2
9
(B) – 92
(C) 92
(D) – 29
(E) 72
4. Garis (2p 3)x (5p 1)y 12 0 melalui titik
(3, 1) , maka nilai p adalah … (A) 3 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 5
5. Gradien garis pada soal no 4 adalah …
(A) 13
(B) 56
(C) 19
(D) 59
(E) 79
6. Persamaan garis yang melalui (7, 6) dan sejajar dengan 3x 5y 11 0 adalah … (A) 5x 3y 61 (B) 5x 3y 51 (C) 3x 5y 61 (D) 3x 5y 51 (E) 5x 3y 61
7. Persamaan garis yang tegak lurus dengan
2x 7y 8 0 dan melalui ( 3,6) adalah … (A) 7x 2y 9 (B) 2y 7x 23 (C) 2y 7x 33 (D) 4x – y = 15 (E) 4x – y = 17
8. Garis 5x 7y 34 0 dan 3x y 10 0 akan
berpotongan pada titik … (A) (4,2) (B) (1,1) (C) (3,9) (D) (4,13) (E) (17,5)
9. Persamaan garis yang melalui titik potong
7x 2y 20 dan x 3y 11 serta melalui titik (4, 7) adalah … (A) y = 3x (B) y = 3x – 6 (C) y = –x + 10 (D) y = x + 2 (E) y = 2x – 1
10. Persamaan garis yang melalui (12, 3) dan membentuk sudut 45o dengan sumbu x positif adalah … (A) x – y = 3 (B) x – y = 15 (C) x + 2y = 7 (D) x + y = 9 (E) x + y = 5
-
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
14future education, today
SONY SUGEMA COLLEGE
TKA - SoshumMatematika soshum
Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan AlumniStep By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni
11. Jarak titik A (1, 3) ke garis 4x 3y 6 0 adalah ... (A) 1 (B) 251 (C) 2 (D) 152 (E) 3
12. Jarak antara garis 6x 8y 5 dan garis 4y 3x 2 adalah...
(A) 0,2 (B) 0,3 (C) 0,9 (D) 1,5 (E) 2,26
13. Diketahui segitiga ABC dengan A(4, 4) , B(5, 5) dan C(17,7) maka persamaan garis tinggi yang ditarik dari A adalalah (A) y = x 3 (B) y = x (C) y = 2x 5 (D) y = 2x + 3 (E) y = 3x 7
14. Jika garis yang melalui titik (2,5) dan (n,3) tegak lurus garis dengan garis 1
3 4y x , maka n = …
(A) 3 21
(B) 1 21
(C) 21
(D) 21
(E) 3 21
15. Ditentukan titik 11,5A , 11,10B , dan C pada AB sehingga 3:2: CBAC . Persamaan garis melalui C dan bergradien 3 adalah (A) 0103 xy (B) 010 xy (C) 0103 xy (D) 0103 xy (E) 0103 xy
16. Jika A(2,5) , B( 3,1) dan C(5,3) maka persamaan garis berat ABC yang ditarik dari A adalah (A) 5x 2y = 14 (B) 4x y = 14 (C) 3x y = 1 (D) 2x + 3y = 14 (E) x + 5y = 14