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𝑛 − 1

𝑛

1

33 Universidad Nacional de Ingeniería UNI – Norte

Sede Regional en Estelí

MODALIDAD ESPECIAL SABATINO

Carrera: Ingeniería Civil

Año académico: 2012

Semestre: Tercero

Asignatura: Estadísticas

Docentes:

Maestro Luis María Dicovskiy Riobóo

Ing. Jhony Montenegro Molina

Estelí, 2012

Jhony

Texto escrito a máquina

Jhony

Texto escrito a máquina

Estadística. Docentes: Luis Dicovskiy Riobóo – Jhony Montenegro Molina Página 2

Presentación.

Este texto básico de estadística está diseñando y organizado en función del

contenido de de los temas que se aborda en las asignaturas de Estadística que se

imparte en las carrera de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional de Ingeniería,

UNI, Nicaragua.

Este texto tiene un enfoque utilitario, práctico, respetando el principio que la

Estadística debe ser una herramienta fundamental para describir procesos y tomar

decisiones en el trabajo cotidiano de un Ingeniero. En el mismo se trató de romper

la dicotomía entre teoría y realidad, respondiendo permanentemente a la pregunta

¿Cuándo puedo usar esta teoría? ¿Qué me permite conocer o responder la

misma? Si podemos describir “la estadística” como: “un conjunto de técnicas para

describir grupos de datos y para tomar decisiones en ausencia de una información

completa”. ¡Un texto de estadística para ingenieros debe respetar esta definición!

Por lo anterior y respetando el principio de asequibilidad es que buena cantidad de

los ejercicios fueron generados en el aula con la información que tienen los

estudiantes a la mano. Creo que la estadística no puede funcionar si primero no se

sabe como generar el dato, cómo organizar la información en forma de matriz y

luego analizar ésta usando un programa estadístico computacional.

Para hacer los ejercicios de este texto y construir gráficos digitales se sugiere

utilizar el programa estadístico INFOSTAT, el cual dispone de una versión de uso

libre que se puede descargar gratuitamente desde la página www.infostat.com.ar .

http://www.infostat.com.ar/


Introducción

La estadística, es una ciencia relativamente nueva pero con miles de años de uso

empírico, María y José parten de Nazaret a Belén para ser censados por los

romanos. ¡Hace 2000 años éste imperio llevaba un control estadístico de lo que

poseían sus colonias para luego cobrar impuestos¡ En la actualidad los

procedimientos estadísticos son de particular importancia en las ciencias

biológicas y sociales para reducir y abstraer datos. Una definición que describe la

estadística de manera utilitaria es la que dice que es: “un conjunto de técnicas

para describir grupos de datos y para tomar decisiones en ausencia de una

información completa”. La estadística a diferencia de la matemática no genera

resultados exactos, los resultados siempre tienen asociada un grado de

incertidumbre o error. La estadística trata de lograr una aproximación de la

realidad, la cual es siempre mucho más compleja y rica que el modelo que

podemos abstraer. Si bien esta ciencia es ideal para describir procesos

cuantitativos, tiene serios problemas para explicar “el porqué” cualitativo de las

cosas.

En general podemos hablar de dos tipos de estadísticas, las descriptivas que nos

permiten resumir las características de grandes grupos de individuos y las

inferenciales que nos permite dar respuestas a preguntas (hipótesis) sobre

poblaciones grandes a partir de datos de grupos pequeños o muestras. En este

curso se abordará fundamentalmente contenidos de estadística descriptiva.

Objetivos Generales.

1.- Proporcionar al estudiante los conceptos básicos necesarios para la

formación de habilidades y poder utilizar la Estadística Descriptiva como

herramienta de información.

2.- Hacer uso de datos de información para hacer inferencias y valorar las

medidas de confiabilidad por medio de la Estimación y Prueba de Hipótesis.


ÍNDICE DE CONTENIDOS DE LOS ENCUENTROS.

CONTENIDO MODALIDAD ESPECIAL SABATINO .................................................................................. 1

Presentación. ........................................................................................................................... 2

Introducción ............................................................................................................................. 3

Objetivos Generales. ................................................................................................................ 3

ENCUENTRO 1 ................................................................................................................................. 6

ORIENTACIONES GENERALES .......................................................................................................... 6

ACTIVIDADES A DESARROLLAR: ...................................................................................................... 6

ENCUENTRO 2. ................................................................................................................................ 7

ENCUENTRO 3. ................................................................................................................................ 8

ENCUENTRO 4 ................................................................................................................................. 9

ENCUENTRO 5. .............................................................................................................................. 11

ENCUENTRO 6 ............................................................................................................................... 12

ENCUENTRO 7. .............................................................................................................................. 13

ENCUENTRO 8 ............................................................................................................................... 15

ENCUENTRO 9 ............................................................................................................................... 16

ENCUENTRO 10 ............................................................................................................................. 17

ENCUENTRO 11 ............................................................................................................................. 19

ANEXOS.................................................................................................................................. 20

Encuentro I .................................................................................................................................... 20


Encuentro II .................................................................................................................................. 23

Encuentro III ................................................................................................................................. 25

Encuentro IV ................................................................................................................................. 27

Propiedades de la Probabilidad ............................................................................................... 27

Encuentro V .................................................................................................................................. 29

Teorema de Bayes. Regla de la probabilidad Total .............................................................. 30

Planteo del Teorema de Bayes ............................................................................................ 30

Encuentro VI ................................................................................................................................. 34

El Desvío Estándar y el Teorema de Chebyshev .............................................................. 36

Encuentro VII ................................................................................................................................ 37

Distribución Normal .................................................................................................................... 37

Encuentro VIII ............................................................................................................................... 39

La distribución “F” de Fisher. .................................................................................................... 39

La distribución Binomial ............................................................................................................. 40

Distribución de Poisson ............................................................................................................. 41

Encuentro IX ................................................................................................................................. 43

Estimación por Intervalos de Confianza. ................................................................................ 43

Encuentro X .................................................................................................................................. 44

Generalidades de las pruebas de Hipótesis .......................................................................... 44

Prueba de hipótesis con pruebas “t” ........................................................................................ 45

La media de una muestra pertenece a una población con media conocida ................. 45

Las medias de dos muestras o grupos pertenecen a una misma población. ............... 46

Encuentro XI ................................................................................................................................. 48


ENCUENTRO 1. OBJETIVOS PARTICULARES

Explicada la Importancia y Ramas de la Estadística, así como la aplicación en tu carrera.

Construida una base de datos para su posterior análisis estadístico.

Analizadas las diferentes variables estadísticas que se puede generar en la encuesta.

Contenidos a desarrollar:

Introducción: Importancia, Ramas de la

Estadística. Recopilación y presentación de datos:

Tablas de datos, tipos de variables.

Recursos y Materiales:

Dosier, folleto, ppt, calculadora científica de mano.

Tiempo Mínimo Necesario:

Presencial Extra Clase

4 4

ORIENTACIONES GENERALES

Es importante tu participación en las diferentes actividades, así como la tolerancia y el respeto por las opiniones de los

demás. Ten en cuenta que la participación será valorada. Intégrate a un equipo para los trabajos extra-clase con el cual

desarrollarás el proyecto de fin de curso.

Trae a la clase una calculadora científica con su manual de uso.

Descarga del Blog www.jmontenegro.wordpress.com en la página Estadística-Probabilidades el libro digital con el que se

desarrollará toda la clase.

Debes reforzar tus conocimientos mediante la investigación independiente visitando sitios de interés como

www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/guia_estadistica/index.htm.

ACTIVIDADES A DESARROLLAR:

Actividades Iniciales. Participa mediante ideas, cómo se dará la asignatura y de qué manera se te evaluará.

Realiza las actividades de diagnóstico indicadas por tu docente para identificar tus conocimientos previos.

De Desarrollo: Construye una base de datos colectiva de los miembros de tu clase, generando variables discretas, continuas, dicotómicas,

ordinales y nominales. Usa la cinta métrica para generar datos.

http://www.jmontenegro.wordpress.com/

http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/guia_estadistica/index.htm


Finales: (Orientaciones para el trabajo Independiente) Resuelve los ejercicios 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 y 1.5 de la Sección de Anexos. Lee el Anexo del Encuentro I y XI (Informe Final)

Descarga los documentos y presentaciones del Blog Docente. Recuerda que la puntualidad es valorada.

Cada una de las actividades finales que debes realizar, es de forma individual y en tu propio cuaderno de apuntes.

Bibliografía Recomendada: www.jmontenegro.wordpres.com y Texto Anexo Encuentro I

Estadística. Murray R. Spiegel. Larry J. Stephens

Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Ross 2da Edición

Probabilidad & Estadística para Ingeniería y Ciencias. Walpole Myers Myers Ye 8va Edición

Probabilidad y Estadística Aplicada a la Ingeniería. Douglas C. Montgomery y George C. Runger.

RESULTADOS ESPERADOS:

Desarrollada la capacidad para recolectar y organizar datos así como para la definición y clasificación de las variables estadísticas de la encuesta de la clase.


Elaboradas las Tablas de Distribución de Frecuencias de datos considerando el tipo de variable.

Diseñados los diferentes tipos de gráficos comunes de forma manual y con computadoras. Contenidos a desarrollar:

Tablas de distribución de frecuencias, Gráficos: Diagrama de Tallo y Hojas, Histograma, Diagrama de Barras, Ojiva, Diagrama de Pastel.


Calculadora científica de

mano.

Base de datos generada

previamente en el aula.

Guía de laboratorio.



4 4


Debes participar a la pizarra en la resolución de los ejercicios orientados en el encuentro anterior.

Presenta la base datos generada en el aula para su depuración e inmediata utilización.

Lee, analiza pregunta e infiere sobre la presentación que trata la construcción de tablas de distribución de frecuencias y gráficos comunes.

http://www.jmontenegro.wordpres.com/



Actividades Iniciales. Participa voluntariamente en la resolución de los ejercicios orientados en el encuentro anterior. Debes apropiarte de cómo se puede construir una Tabla de distribución de frecuencias (TDF ).

De Desarrollo: Construye TDF de una variable categórica y de una continua en aula de forma manual y en el centro de cómputos usando el

software Infostat. Realiza gráfico de Pastel, de Barras, Histograma y Polígono de Frecuencias de los mismos.

Finales: (Orientaciones para el trabajo independiente)

Resuelve los ejercicios 1.6 y 1.7.

Recuerda que la puntualidad es valorada.

Bibliografía Recomendada: Texto Anexo Encuentro II y

Bibliografía orientada desde el primer encuentro.

RESULTADOS ESPERADOS: Identificación de las TDF de variables

continuas y categóricas; así como de los diferentes gráficos.


Analizadas y definidas las medidas de tendencia central y de dispersión.

Construidas a partir de los datos generados por los alumnos, medidas de tendencia central y de dispersión.


Medidas de Tendencia Central para datos no agrupados y agrupados. Media Aritmética, Media Geométrica, Media Cuadrática Mediana, Moda Medidas de Dispersión: Rango, Varianza, Desviación Estándar. Coeficiente de Varianza o de dispersión. Otras medidas: cuartiles, percentiles. Momentos, Simetrías, Coeficiente de Asimetría y Coeficiente de Curtosis.

Recursos y

Materiales:

Tablas de

distribución de

frecuencias.

Recursos del aula.

Tiempo Mínimo

Necesario:


4 4



Debes disponer de una calculadora y utensilios didácticos para elaborar tablas de distribución de frecuencias de diferentes tipos de

variables a partir de la base de datos generada; así como para el cálculo de las medidas de tendencia central y de dispersión de las

mismas.


Actividades Iniciales. Participa dirigida y/o voluntariamente en la resolución de los ejercicios orientados en el encuentro anterior y consulta sobre las dudas que

puedas tener para así terminar de desarrollar tu habilidad para el análisis y solución de problemas.

Identifica los diferentes tipos de medidas de resumen que pueden describir a los datos de la encuesta, reconoce la forma de cálculo con

calculadora, da a conocer tus dudas y contribuye con tu experiencia en otras de tu dominio.

De Desarrollo: Realiza diferentes tipos de medidas resumen a partir de las TDF de los datos antes generados.


Resuelve los ejercicios 1.8 y 1.9 de la sección de anexos. Recuerda que la puntualidad es valorada.

Bibliografía Recomendada: Texto Anexo Encuentro III y

Bibliografía orientada desde el primer encuentro.

RESULTADOS ESPERADOS: Desarrollada la capacidad de

interpretar las medidas más comunes que describen datos.


Aplicada la teoría del algebra de conjuntos en la resolución de ejercicios

prácticos sencillos de probabilidad.

Utilizada las técnicas de conteo en la resolución de problemas sencillos


Definición frecuentista y clásica de probabilidad.

Espacio muestral, eventos. Álgebra de conjuntos. Ocurrencia de sucesos.

Descripción de sucesos mediante operaciones con conjuntos.


Bases de datos de

estudiantes.

Presentación en

diapositivas.

Laboratorio de cómputos

Tiempo Mínimo

Necesario:


4 4


Sucesos mutuamente excluyentes. Axiomas y teoremas básicos de

probabilidad. Técnicas de conteo, Regla multiplicativa, permutaciones,

combinaciones, coeficientes multinomiales. Probabilidad de la unión de

sucesos.


Lee previamente los conceptos de probabilidad y buscar ejemplos de su uso en temas relacionados con la carrera. Mantén a mano tu calculadora científica para la resolución de ejercicios y participa en la resolución de ejemplos. ACTIVIDADES A DESARROLLAR:

Actividades Iniciales. Participa dirigida y/o voluntariamente en la resolución de los ejercicios orientados en el encuentro anterior y consulta sobre las dudas que puedas tener sobre el análisis y solución de éstos. Discute el uso de la probabilidad en la carrera de Ing. Civil.

De Desarrollo: Explica y Resuelve los ejercicios de probabilidades aplicados al contexto.

Participa de los ejercicios propuestos resolviéndolos a la pizarra y pregunta sobre las dudas encontradas.


Resuelve los ejercicios 2.2 - 2.6. Lee la información para el

próximo encuentro.

Plantea dos problemas donde se use las distribuciones de

probabilidad en al Ingeniería Civil.

Recuerda que la puntualidad es valorada.

RESULTADOS ESPERADOS: Capacidad de resolver problemas simples

de probabilidades e identificar aplicaciones en la Ingeniería Civil.

Bibliografía Recomendada: Texto Anexo Encuentro IV y Bibliografía orientada desde el primer encuentro.



Diseñados problemas aplicando la probabilidad condicional y el teorema de Bayes.

Contenidos a desarrollar: Probabilidad Condicional. Ley multiplicativa de probabilidades condicionales particiones.

Recursos y Materiales: Texto de estudio.

Presentación de diapositivas.

Recursos del aula.



4 4


Lee teoría previa de probabilidades condicionales, toma apuntes de la información brindada sobre Probabilidad Condicional y de

Bayes.


Actividades Iniciales. Participa dirigida y/o voluntariamente en la resolución de los ejercicios orientados en el encuentro anterior, consulta y da tu punto de vista

sobre el análisis y solución de los problemas. Discute el uso de la probabilidad condicional en la vida laboral de un ingeniero.

De Desarrollo: Resuelve y diseña ejercicios aplicando el teorema de Bayes y la teoría de condicionalidad. Finales: (Orientaciones para el trabajo independiente)

Resuelve los ejercicios 2.7 - 2.10

Lee la documentación referida a Variables Aleatorias. Recuerda que la puntualidad es valorada.

Bibliografía Recomendada:

Texto Anexo Encuentro V y Bibliografía orientada desde

el primer encuentro.


Apropiación de la probabilidad condicionada y de Bayes para el

análisis y resolución de problemas ingenieriles.



Utilizados los conceptos de valor esperado y varianza de una variable aleatoria en la resolución de ejercicios de la carrera.


Variable Aleatoria: Definición y ejemplos. Variables Aleatorias Discretas y Continuas. Función de probabilidad y función de densidad de probabilidad. Funciones de distribución acumulada. Propiedades. Valor Esperado de una variable aleatoria. Propiedades de los valores esperados. Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria. Propiedades de la varianza. Desigualdad de Markov y Teorema de Chebyshev. Primer Parcial


Material de estudio,

conferencia con

diapositivas y Examen

escrito.



4 5


Lee la documentación referente a variables aleatorias continuas y discretas. Ten a disposición tu calculadora para solucionar

ejercicios.


Actividades Iniciales.

Participa en la resolución de los ejercicios orientados en el encuentro anterior y consulta dudas sobre todo da tu punto de vista sobre el

análisis y solución.

Construye ejemplos de variables aleatorias discretas y continuas y comprende su significado.

De Desarrollo:

Realiza ejercicios usando los conceptos de media y esperanza de una variable aleatoria.


Resuelve el primer parcial escrito.


Resolver los ejercicios 3.1 y 3.2

Lee la documentación referente a las distribuciones. Recuerda que la puntualidad es valorada.


Texto Anexo Encuentro VI y Bibliografía orientada desde

el primer encuentro.


Aplica el concepto de variable aleatoria al quehacer ingenieril.


Resuelto ejercicios profesionales utilizando las distribuciones continuas: Normal y la Distribución “t” de Student.


Distribuciones Funciones de probabilidad.

Distribuciones continuas: Normal, t-Student. Uso de

tablas.


Tablas de distribuciones.

Presentación en diapositivas.

Centro de cómputos



4 5



Lee la teoría sobre distribuciones continuas. Ten a disposición tu calculadora para la solución de ejercicios en el aula.



Participa en la resolución de los ejercicios orientados en el encuentro anterior y colabora para la resolución del parcial, consulta dudas y

sobre todo da tu punto de vista sobre el análisis y resolución de los mismos.

Relaciona los histogramas que se han realizado con ayuda de las tablas de distribución frecuencias, con las formas de las

distribuciones de probabilidad.

De Desarrollo:

Discute la teoría y luego se resuelve los ejercicios de probabilidades usando las distribuciones continuas.


Resuelve los ejercicios 3.7- 3.9. Recuerda que la puntualidad es valorada.

Lee la documentación relacionada a las distribuciones de Pearson, “F” de Fisher, Binomial y Poisson.

Bibliografía Recomendada: Texto Anexo Encuentro VII y

Bibliografía orientada desde el primer encuentro. Material

de la presentación.

RESULTADOS ESPERADOS: Identificación de las distribuciones Normal

y “t” de Student en los datos recolectados para la solución de

problemas.



Apropiado el uso de las distribuciones “t” de Student y “F” de Fisher.

Resueltos ejercicios profesionales utilizando las distribuciones discretas, binomial y Poisson


Distribuciones continuas: ji-cuadrado y F de Fisher

Diseño con ejercicios con distribuciones t-Student,

ji-cuadrado F Fisher. Presentación de cómo se hace

el trabajo de curso

Distribuciones discretas, binomial y Poisson


Medios del aula y Presentación

en diapositivas.



4 5


Lee la teoría sobre las distribuciones discretas t-Student, ji-cuadrado, “F” Fisher, Binomial y Poisson



Los ejercicios orientados durante el encuentro anterior deben resolverse con tu participación, ésta debe ser orientada principalmente a

tus compañeros. Deberás pasar a la pizarra para que quede registro de tu participación.

Se presentará las distribuciones continuas F y ji-cuadrada y las discretas Binomial y Poisson

De Desarrollo:

Aplica la teoría para resolver ejercicios de probabilidades usando las distribuciones discretas.



Resolver los ejercicios 3.10-3.17

Lee la documentación correspondiente a la Estimación por Intervalos de Confianza. Recuerda que la puntualidad es valorada.

Bibliografía Recomendada: Texto Anexo Encuentro VIII y

documentación presente tanto en el Blog Docente como

en la bibliografía recomendada y existente en Biblioteca.

RESULTADOS ESPERADOS: Capacidad para utilizar distribuciones

discretas y continuas en resolución y modelación de problemas

propias de la carrera.


Diferenciados los grupos de una población utilizando intervalos de confianza


Estimación y estimadores. Estimadores insesgados.

Estimación Puntual.

Estimación por intervalos. Nivel de confianza. Intervalos de confianza para la media con varianza conocida y con varianza desconocida. Estimación para la diferencia de medias. Intervalos de confianza para la varianza de una población con distribución normal. Estimación para el cociente de varianzas.


Documento de lectura.

Presentación en

diapositivas.

Laboratorio de cómputos.



4 4


Lee previamente la documentación de estimadores puntuales y por intervalos y visualiza la presentación en el Blog Docente.




Participa de manera activa en resolución de ejercicios orientados en la clase anterior. Discute las posibles diferencias y verifica las

respuestas con ayuda tanto de tu docente como de tus compañeros manteniendo el orden y la disciplina.

Discute la importancia de usar estimadores por intervalos.

De Desarrollo:

Construye estimadores por intervalo usando distribuciones conocidas.


Resolver el ejercicio 4.1. Leer Documentación referente a Pruebas de Hipótesis.

Hacer primeras orientaciones del informe final. Recuerda que la puntualidad es valorada.

Bibliografía Recomendada: Texto Anexo Encuentro IX y

documentación del Blog docente, así como Bibliografía

existente en Biblioteca recomendada en un inicio.

RESULTADOS ESPERADOS: Capacidad para utilizar intervalos de

confianza y predecir valores.


Resueltas pruebas de hipótesis usando herramientas estadísticas.


Prueba de Hipótesis. Introducción. Hipótesis Nula y Alternativa. Estadístico de


Presentación en diapositivas.




prueba. Región de aceptación y rechazo. Tipos de Errores. Prueba de una y dos medias. Pruebas con Varianzas, Independencia, Homogeneidad.

Documentación específica. 4 5


Lee con anticipación la teoría sobre pruebas de hipótesis. Visita el Blog docente y analiza la presentación a discutir.


Actividades Iniciales. Participa en la resolución del ejercicio orientado en el encuentro anterior y comparte con tus compañeros y docente los ejemplos donde

en tu carrera sea importante la aplicación de los intervalos de confianza.

Discute el uso y características de las pruebas de hipótesis.

De Desarrollo: Resuelve ejercicios sobre pruebas de hipótesis usando pruebas “t”.


Resuelve el ejercicio 4.2.

Recuerda presentarte de forma adecuada para la defensa del informe final para el próximo encuentro.

Realizar informe final del curso.

Bibliografía Recomendada: Texto Anexo Encuentro X y

documentación procedente del Blog Docente así como

Bibliografía relacionada.

RESULTADOS ESPERADOS: Apropiación de las Pruebas de Hipótesis

como herramienta de investigación para dar respuestas a diferentes

interrogantes de interés.



Analizado usando estadística, una encuesta de tipo cerrada.

Redactado un informe final de investigación Contenidos a desarrollar:

Repaso sobre Pruebas de Hipótesis.

Escritura y defensa de un informe final de

estadística.


Proyector y PC.



4


Revisa los detalles del informe con una extensión de 5-10 páginas y una presentación en PPT de 10-15 diapositivas. Se evaluará 50

% el documento, 25 % la presentación y 25 % capacidad de respuestas. Los equipos no podrán ser mayores a 4 estudiantes.


Actividades Iniciales. Revisión de ejercicio orientado en la clase anterior con tu participación.

Participa del sorteo para el orden de presentación del informe por equipos.

De Desarrollo: Presentación no mayor a 15 minutos por equipo, donde participarán todos los miembros.

Finales: Retroalimentación sobre las exposiciones.

Valoración de tu desempeño por parte de los miembros de tu equipo, del docente y demás compañeros.


Texto Anexo Correspondiente al Encuentro XI

RESULTADOS ESPERADOS: Desarrolladas las capacidades de

presentar un informe final con datos estadísticos así como la

presentación en público del mismo aplicando todas las competencias

adquiridas en la Asignatura.


ANEXOS

Encuentro I

Variable: es una característica observable de un objeto y que varía. Las variables se pueden clasificar de diferentes

maneras, un enfoque es reconocer dos grandes grupos de variables las Cualitativas y

Cuantitativas.

Variables Cualitativas, son aquellas que se ordenan en categorías debido a su

carácter subjetivo y absoluto, pueden ser de dos tipos “nominales”, u “ordinales”. En

las variables nominales los valores no pueden ser sometidos a un criterio de orden o

importancia como por ejemplo “el sexo de una persona” o “el país de origen”. Las

variables ordinales pueden tomar distintos valores ordenados siguiendo una

escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre mediciones sea

uniforme, por ejemplo: leve, moderado, grave.

Variables Cuantitativas, son las que sus características están expresadas en valores numéricos, éstas asumen

cualquier valor y pueden variar en cualquier cantidad, sobre una escala aritmética e infinita y pueden subdividirse en dos

tipos “continuas o medibles” y “discretas o contables”.

Las variables continuas pueden adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores, permite siempre

que se encuentre un valor nuevo entre dos valores previos. El rendimiento de un lote de fríjol se mide en qq/mz es una

variable continua, se mide o pesa.


Ejercicio 1.1: Construya variables relacionadas con su carrera, 5 nominales, 5 ordinales, 5 continuas y 5 ordinales.

Ejercicio 1.2 Clasifique las siguientes variables.

Peso de un estudiante.

Diámetro de una casa.

Color de ojos.

Tipo de techo.

Vida útil de un monitor

# de ladrillos de una pared.

Belleza de una flor.

Temperatura semanal.

Largo de peces de un estanque.

Diámetro de un tornillo

El procedimiento de análisis sugerido se

esquematiza en la figura siguiente:

Ejercicio 1.3: entre los participantes de la clases tomar datos de 15 variables al menos por ejemplo: Edad, Sexo, Procedencia, etc. Y luego ordénelos en forma de matriz de datos, recodifique la información cualitativa en numérica. Para crear una base de datos hay que recordar que se está obteniendo una matriz de datos donde en la primera fila se tiene el nombre abreviado de la variable y en el resto de las filas los datos para cada encuesta o individuo en estudio. Las variables cualitativas se deben recodificar, veamos el siguiente ejemplo hipotético de 8 encuestas:

Esta matriz se codifica así: la variable “Sexo”: 1= varón, 2 = mujer. Para la variable “comunidad” hay 4 tipos diferentes donde: 1= Estelí, 2= Condega, 3= Pueblo Nuevo y 4= Limay y para “Labor realizado”: 1= en otra finca, 2= en la cuidad y 3= en la propia finca. De esta manera se transforma en datos numéricos una información descriptiva, estos números permiten luego hacer estadística.

Encuesta Sexo Edad Ingresos semanales C$ Comunidad Labor realizada

1 1 31 1,394 2 3

2 1 35 1,311 4 2

3 1 43 1,300 2 3

4 1 28 1,304 3 1

5 2 45 1,310 1 3

6 2 36 1,443 2 2

7 2 21 1,536 2 3

8 2 32 1,823 1 3


Edad

908580757065605550454035302520151050

Fre

cuen

cia

de

pers

ona

s

40

30

20

10

0

Tabla para determinar el número de clases de una TDF

Número datos Número de clases

30-50 5-7

51-100 6-10

101-250 7-12

+250 10-20

Ejercicio 1.4: Intente codificar numéricamente las respuestas que se generan a partir de la encuesta de caracterización

socioeconómica, que a continuación se detalla, discuta las posibles respuestas, diga si las preguntas están bien

formuladas, sugiera si alguna de ellas está de más y que preguntas propone para completar la información.

Histograma de Frecuencias Absolutas, de la edad, de una muestra de personas de una comunidad rural del Departamento de Estelí. 2008

Diagrama de Pastel o Sectores de educación, de una muestra de 598 personas de origen rural

19%

15%

21%

45%

otros

ninguno

secundaria

primaria


Hoja de Encuesta Número de ficha___________

Fecha: ____________ Primer Apellido: ___________________________ Segundo Apellido: ________________________________

Nombres:____________________________________ Año: ______________

Dirección: ______________________________Estado Civil: ______________

Número de personas que habitan la vivienda: __________________________

Nivel de estudio de ellos:________________ Edad de cada una de ellos: ____________________ Profesión: __________________

Ejercicio 1.5:

Defina variables para caracterizar a los estudiantes del curso con el objetivo de determinar posibles causas que

tengan influencia en el rendimiento académico del grupo.

Cree una base de datos de al menos 25 individuos con los compañeros de clase.

Encuentro II

Ejemplo con Datos de ingresos de 24 familias. Variable: Ingresos semanales en C$ por familia, n = 24 datos.

1,450 1,443 1,536 1,394 1,623 1,650

1,480 1,355 1,350 1,430 1,520 1,550

1,425 1,360 1,430 1,450 1,680 1,540

1,304 1,260 1,328 1,304 1,360 1,600


Secuencia de actividades Se calcula el Rango de los datos, valor mayor menos valor menor: 1680- 1,260 = 420 C$.

Ancho de clase: El rango se divide en cuatro, 420/4= 105 C$, se ajusta a 100 C$ y de esta manera el número de

clases queda en cinco.

Se construye los límites inferiores y superiores de cada clase como intervalos semiabiertos,

Luego se cuentan las frecuencias por clase, esto es la Frecuencia Absoluta

Se calcula la Frecuencia Relativa (Frecuencia Absoluta / n)

Se hace Frecuencia Acumulada. que es la suma de las frecuencias absolutas. También se pueden hacer las

frecuencias expresadas en porcentajes. TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS, TDF.

Clase Límite Inferior Igual a

Lím. Superior Menor a

Marca de clase Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

Frecuencia Acumulada

1 1,200 <1,300 1,250 1 0.04 1

2 1,300 <1,400 1,350 8 0.33 9

3 1,400 <1,500 1,450 7 0.29 16

4 1,500 <1,600 1,550 4 0.17 20

5 1,600 <1,700 1,650 4 0.17 24

Total 24 1.00

Una manera de representar una distribución de Frecuencias es:

1. Por medio de un gráfico de Barras con variables nominales.

2. Con un Histograma con variables continuas.

3. Un polígono de Frecuencias cuando se quieren mostrar las frecuencias absolutas.

4. Con un gráfico de Pastel cuando se tienen porcentajes o proporciones.


Ejercicio 1.6 Realizar una tabla de frecuencias con una variable discreta (contable) y una variable continua (medible) de

la matriz generada con los datos obtenidos en clase. Con dos variables cualitativas construye una tabla de contingencia.

Ejercicio 1.7. Realizar un gráfico de barras, histograma y un gráfico de Pastel a partir de los datos recolectados en clase.

Encuentro III

Media Aritmética para Datos Agrupados:

Donde “f” es la frecuencia de la clase y “x” el punto medio de cada intervalo (marca de clase)

Media Aritmética para Datos No Agrupados:

Desvío Estándar Muestral para Datos no Agrupados:

Desvío Estándar Muestral para Datos Agrupados:

Rango= Val. Máx – Val. Mín.

Mediana:

Reglas para calcular la mediana Ordenar las mediciones de menor a mayor o viceversa.

Si “n” es impar, la mediana “m” es la medición con rango “(n + 1) / 2” Esto es la posición del valor central.

Si “n” es par, la mediana “m” es el valor de “x” que se encuentra a la mitad, entre la medición con rango “n / 2” y la medición

con rango “(n /2)+1”. Esto es, sumatoria de los dos valores centrales entre dos.

Ejercicio 1.8: Tomando como fuente de datos las variables continuas recolectadas a partir de los datos que se generaron en clase debes construir a partir de variables no trabajadas previamente:

Medidas de tendencia central: medias, modas, medianas.

Medidas de dispersión: desviación estándar y rango.


Distribución de frecuencias.

Espacios: x 2 “S” y determinar cuántos datos entran en este intervalo.

Gráficos de barras, histogramas y gráficos de pastel.

Ejercicio 1.9: Se tiene los datos de 30 años de precipitaciones de San Ramón, Matagalpa. Calcule los datos promedios y el coeficiente de variación de los 30 años y de forma quinquenal (cada 5 años). Haga una tabla de los valores máximos y mínimos

quinquenales. Comente si observa alguna tendencia de variación de lluvias.

Año mm Año mm Año mm

1970 1793 1980 2373 1990 1583

1971 1610 1981 1854 1991 1302

1972 1126 1982 1470 1992 1651

1973 1647 1983 1185 1993 2250

1974 1344 1984 1522 1994 1361

1975 1820 1985 1154 1995 2072

1976 974 1986 1383 1996 1869

1977 1248 1987 1335 1997 1499

1978 1530 1988 2266 1998 2980

1979 1164 1989 1038 1999 2175


Encuentro IV

Probabilidades: P(A) = # casos favorables A / # casos Totales de Ω

Propiedades de la Probabilidad 0 P(A) 1

El evento A es más probable que B P(A)

P(B)

Un Evento cierto, que seguramente ocurre, tiene

probabilidad 1.

Un Evento imposible, que nunca ocurrirá, tiene

probabilidad 0.

Tiene dos reglas básicas que la estructuran: la

regla del producto y la regla de la suma.

Regla del Producto: Si dos evento “A” y “B” son independientes si “A” no

influye de ninguna manera en “B” y viceversa, entonces:

P(A y B) = P (AB) = P(A) x P (B)=

Regla de la Suma: Para que dos eventos “A” y “B” se

puedan sumar directamente, estos deben ser

incompatibles, es decir ellos no pueden ocurrir al mismo

tiempo .

P(A ó B) =

Si los eventos no son incompatibles:

Combinaciones:

Permutaciones:


Ejercicio 2.1: Estime la probabilidad que al elegir por sorteo dos estudiantes del grupo, ambos sean varones. Se supone

que la misma persona elegida en el primer sorteo puede ser elegida en el segundo.

Determinar también cuales eventos forman “ ”es este caso. Se considera que los sucesos son independientes:

P(A) x P (B) es igual ,

Ejercicio 2.2. En la matricula de primer año de la universidad, 150 estudiantes son originarios del departamento de

Estelí, 60 estudiantes del departamento de Nueva Segovia y 100 estudiantes del resto del país. ¿Cuál es la probabilidad

que un estudiante tomado al azar no sea del departamento de Estelí?

Ejercicio 2.3. Si la probabilidad anual de que en una ciudad ocurra un movimiento telúrico mayor de 5 grados Ritcher es

del 0.01 y la probabilidad que se inunde por lluvias es del 0.02 anual. Cuál es la probabilidad que en un mismo año la

ciudad sufra un terremoto y una inundación.

Ejercicio 2.4. De entre 9 personas debemos formar un equipo técnico de 3 individuos. ¿Cuántas diferentes formas

existen para formar el equipo?

Ejercicio 2.5. Una persona tiene 4 CD diferentes de música clásica y 3 CD de música moderna, determine de cuantas

maneras diferentes:

Puede acomodar solo los CD de música clásica en un estante.

Si acomoda todos los CD a la vez.

Ejercicio 2.6. Una persona olvido su clave de acceso a una caja fuerte, la clave está formada por 3 números, determina cuantas

formas diferentes puede tener la clave si no se permite repetir los números.


Encuentro V

Probabilidad condicionada:

Si p (B) ≠ 0 De lo anterior se deduce que:

Dos eventos A y B son independientes si y sólo si: P (A\B) = P (A) y P (B\A) = P (B) que es lo mismo: = P(A) x P (B)

Ejemplo: Se conoce que los estudiantes de la UNI tienen las siguientes preferencias en el consumo de gaseosas:

Consumo de Gaseosas por semana

Varones Mujeres Total

No consume 30 10 40

1-5 veces 50 25 75

Más de 5 veces 20 15 35

Total 100 50 150

Si de un grupo de jóvenes del bar de la universidad, se selecciona al azar un estudiante varón ¿Cuál es la

probabilidad que ese que ese joven halla consumido más de 5 gaseosas por semana? En este problema ya no es

necesarios conocer el número total de estudiantes, porque al seleccionar a un individuo del sexo masculino, los

individuos del sexo femenino no son tomados en cuenta. Entonces se puede definir la probabilidad deseada como


¿Qué probabilidad existe de que un individuo beba más de 5 gaseosas a la semana dado que el individuo

seleccionado sea varón? Esta es una probabilidad condicional y se resuelve de la siguiente manera:

o P(C+5\Sv) = = (20/150) / (100/150) = 20/100= 0.2, donde “C” es por consumo y “S” por sexo.

Teorema de Bayes. Regla de la probabilidad Total

Entonces se llamara a P (B) cómo “probabilidad total”, la cual se

puede interpretar como una media ponderada de los diferentes .

P (B) también se puede expresar cómo la sumatoria de las probabilidades condicionadas por la probabilidad del

evento A correspondiente.

Planteo del Teorema de Bayes

Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica cómo modifica esta información las

probabilidades de los sucesos Ai . Se resalta que al disponer información de B se cambian las probabilidades de Ai. El

teorema se presenta algebraicamente de la siguiente manera:

Ejercicio resuelto usando el teorema de Bayes: Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una

fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.


a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. (probabilidad Total)

b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la

máquina B.

c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el

diagrama de árbol adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad

total,

P (Total) =P(D) = P(A) · P(D\A) + P(B) · P(D\B) + P(C) · P(D\C) = 0.45 x 0.03 + 0.30 x 0.04 + 0.25 x 0.05 = 0.038

Resolución por diagrama de árbol. Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta

de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Debemos calcular P(B\D). Por el teorema de Bayes,

b. Calculamos P(A\D) y P(C\D), comparándolas con el valor de

P(B\D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

Prob. Máquina Prob. Tipo de producción

0.45 A 0.03 D

0.97 N

0.30 B 0.04 D

0.96 N

0.25 C 0.05 D

0.095 N


La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es la A, sin embargo las tres máquinas

tienen probabilidades semejantes de producir piezas defectuosas Ejercicio 2.7 Si se tiene una escuela de 200 alumnos distribuidos en tres aulas: A, B y C. Por sexo: mujer, y varón; como

sigue:

Aula/ Sexo Varón Mujer A 20 20

B 30 30

C 56 44

Total 106 94

¿Cuál es la probabilidad que un estudiante, sin importar el sexo, sea del aula B?

¿Cuál es la probabilidad que un estudiante sea del aula A, si el estudiante es mujer?

Ejercicio 2.8 En un aula hay 6 estudiantes realizando un examen, dos son mujeres y cuatro son varones. ¿Cuál es la probabilidad que

finalice una mujer de segunda dado que el primero en finalizar fue un hombre?

Si la solución es: ¿Explicar cómo se construyeron los valores 8/30 y 4/6?


Ejercicio 2.9 El reporte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el día de mañana: que llueva: probabilidad

del 50%, que salga el sol: probabilidad del 30% y que esté nublado: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos y datos históricos de comportamiento vehicular, la posibilidad de que

ocurra un accidente es la siguiente: si llueve: probabilidad de accidente del 20%, si sale el sol: probabilidad de accidente

del 10% y si está nublado: probabilidad de accidente del 5%.

Si se sabe que ocurrió un accidente,

¿Cuál es la probabilidad de que haya llovido?

¿Cuál es la probabilidad de que haya salido el sol?

¿Cuál es la probabilidad de que haya estado nublado?

Ejercicio 2.10 Cierto artículo es manufacturado por tres fábricas: F1, F2 y F3. Se sabe que la primera produce el doble

de artículos que la segunda y que ésta (F2) y la tercera producen el mismo número de artículos (durante un período de

tiempo especificado, el mismo para las tres). Se sabe también que el 1.5% de los artículos producidos por las dos

primeras fábricas es defectuoso, mientras que en la tercera los es el 3.5%.

Se colocan juntos todos los artículos producidos por las tres fábricas y se escoge uno al azar.

¿Cuál es la Probabilidad de que un artículo sea Defectuoso?

¿Cuál Fábrica tiene la mayor probabilidad de haber producido el artículo Defectuosos?


Encuentro VI

Variables Aleatorias

Si se define la variable aleatoria. X: número varones nacidos en 4 partos, la cual puede tomar los valores {0, 1, 2, 3, 4}.

Se buscan todos sucesos de la muestra que dan lugar a cada valor de la variable y a ese valor se le asigna la

probabilidad del suceso correspondiente.

A esta función se le denomina función densidad de probabilidad

(fdp) de una variable discreta.

Distribución acumulativa o función de distribución. Función que acumula probabilidades asociadas a una variable

aleatoria. Su notación es F(x) = p (X x). Para el ejemplo anterior, F (X) es:

X fx Fx

0 1/16 1/16

1 4/16 5/16

2 6/16 11/16

3 4/16 15/16

4 1/16 16/16

En variables continuas F (X) = P (X < a) = a

dxxf

)(

X Sucesos px

0 {ññññ} 1/16

1 {ñññv, ññvñ, ñvññ, vñññ} 4/16

2 {ññvv, ñvñv, ñvvñ, vñvñ, vvññ, vññv} 6/16

3 {ñvvv, vñvv, vvñv, vvvñ} 4/16

4 {vvvv} 1/16


Valor esperado o esperanza matemática o media

)()( xxfxEx Caso discreto

dxxxfxEx )()( Caso continuo

Si X es una variable aleatoria cualquier función de ella, h(x), es también una variable aleatoria, en consecuencia también

se define este parámetro para una función de variable aleatoria.

)()()( xfxhxhEx Caso discreto

dxxfxhxhEx )()()( Caso continuo

Ejemplo: Se tira un dado. Se define como variable aleatoria el número que sale ¿Cuál es su media?

La variable “X” puede tomar los valores 1, 2,..., 6 y para todos ellos f(x) = 1/6. En consecuencia la media es

5.36

16....

6

12

6

11)(

6

1

xxf

xx

Obsérvese que es un número teórico que la variable aleatoria discreta no puede alcanzar.

Si se define ahora una nueva función sobre “X”: h(x)= C$ a pagar, qué se define de la siguiente manera: si X sale 1 ó 2

h(x) 90 C$, si X sale 3 h(x) 450 C$ y si X sale 4, 5 ó 6 h(x) es 0 C$.

¿Cuál es el valor medio de esta nueva función?

1050006

1450

6

190

6

190)()(

6

1

xfxhx

x

¿Qué significa 105? es el valor promedio luego de jugar mucho tiempo, si se juega un número grande de

veces la ganancia final es como si en cada jugada se hubiera ganado 105 C$. Si la apuesta costara menos de

eso el juego sería ventajoso para el jugador, si costara más, sería para la banca.

X h(x) 1 90

2 90

3 450

4 0

5 0

6 0


Varianza

Es una medida de variabilidad de la variable aleatoria y se define como: 22xx xE

Aunque para el cálculo se suele usar esta otra fórmula equivalente: 222 )( xx xE

¿Qué mide la varianza? Mide la dispersión de la variable aleatoria alrededor de la media.

Ejemplo de cálculo de varianza:

Si ocurren tres nacimientos de bebes, la esperanza y la varianza de la variable aleatoria X “varones nacidos” es:

E (X) = 0 x 1/8 + 1 x 3/8 + 2 x 3/8 + 3 x 1/8 = 3/2= 1,5

222 )( xx xE = 02 x 1/8 + 12 x 3/8 + 22 x 3/8 + 32 x 1/8 – (3/2)2 = ¾

866.04/32

xx

El Desvío Estándar y el Teorema de Chebyshev Según el teorema de Chebyshev, y sin importar el tipo de distribución de los datos, se cumple que:

El intervalo x 2 “S” contendrá al menos ¾ de los datos.

El intervalo x 3 “S” contendrá al menos 8/9 de los datos.

Ejercicio 3.1: En los casino el juego de ruleta mesa tiene 38 números, esto incluye el número 0 y doble 00. Si usted

apuesta una moneda a un número y gana, el casino le paga 36 monedas. ¿Este es un juego justo? Justificar la

respuesta.

Ejercicio 3.2 Una fábrica produce ventanas cuya ancho tiene una media de 250 cm y una desviación estándar de 1.80

cm ¿Construya un intervalo donde se encuentre al menos el 8/9 de los datos?


5.00 13.00 21.00 29.00 37.00

Variable

0.00

0.03

0.06

0.09

0.13

De

nsid

ad

Función de densidad

Normal(21,10.24): p(evento)=0.0144

-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00

Variable

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

De

nsi

da

d

Función de densidad distribución normal tipificada

Normal(0,1): p(evento)=0.9500

Encuentro VII

Distribución Normal Si un Distribución de datos tiene aproximadamente el perfil o forma de campana se cumple que:

El intervalo µ σ contendrá aproximadamente el 68 % de los datos.

El intervalo µ 2 σ contendrá aproximadamente el 95 % de los datos.

El intervalo µ 3 σ contendrá aproximadamente casi la totalidad de los datos, 99.74

Distribución Normal Tipificada ( , ) N(0,1)

A continuación se observa un gráfico de una distribución normal tipificada (0,1)

onde está sombreado un intervalo de 1.96 desvió estándar.

Ejercicio 3.3. Si la media de edad de los alumnos de la universidad

es de 21 años, con un desvío estándar de 3.2 años. ¿Cuál es la probabilidad

que un estudiante tenga más de 28 años?

, se debe buscar la P (zi ≥ 2,1875) en una tabla

normal tipificada que resulta como 0.5 - 0.4854 (el valor de tabla) = 0.014.

Este problema se puede resolver gráficamente usando el programa

INFOSTAT, con el módulo aplicaciones didácticas.

El área sombreada es la respuesta, que un estudiante tenga más de 28 años y

tiene una probabilidad de 0,014.


Ejercicio 3.4 Una fábrica produce puertas cuya altura tiene una distribución normal con media de 250 cm y una desviación estándar de 2.60 cm ¿Cuál es la probabilidad que una puerta seleccionada de este grupo tenga una altura entre 244 y 255 cm? Ejercicio 3.5 Una población de niños en edad escolar tiene una media de 11.5 años y un desvío estándar de 3 años. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño sea entre 8.5 y 14.5 años, más de 10, y menos de 12? Ejercicio 3.6 La media de notas de un grupo de estudiantes es 70 y el desvío estándar es 10. ¿Cuál es la probabilidad que un estudiante obtenga más de 80 puntos? ¿Cuál es la proporción de aplazados esperados (P<60 puntos)? Ejercicio 3.7 Se producen quesos con un diámetro es 35cm y se acepta una varianza de 0.1 cm2. Si por problemas de envase se rechaza productos con diámetros menores a 34.5cm y mayores a 35.5 ¿Cuál es la probabilidad de rechazo de la producción por problemas de envase? Ejercicio 3.8 Según la ruta crítica, el tiempo de finalización de un proyecto de construcción del laboratorio de Civil en la UNI-Norte es de 4 semanas y fue desarrollado por mano de obra privada a cargo del Sr. J. G. Martínez con una varianza de 0.5 semanas. Si la UNI-Norte quiere un nivel de certeza del 85%, ¿en cuántas semanas dirá el Sr. J. G. Martínez que terminará el proyecto? Buscar en la tabla Z la probabilidad de 0.85 y calcular los valores de X. Ejercicio 3.9 Una lote de 100 ventanas tiene un ancho promedio de 250 cm y una desviación estándar de 1.80 cm. Un comerciante está dispuesto a comprar una ventana si ésta tiene menos de 5 cm de diferencia con el ancho promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que la ventana sea vendida? Resolver con el módulo didáctico de INFOSTAT.

Ejercicio 3.10 El Ministerio del Trabajo reporta que 20% de la fuerza de trabajo en un pueblo está desempleada. De una muestra de 14 trabajadores, calcule las siguientes probabilidades con la fórmula de la distribución binomial (n=14, p=0.2): Resuelva: 1. Tres están desempleados: P(x=3)= 2. Al menos un trabajador está desempleado: P(x ≥ 1) = 3. A lo más dos trabajadores están desempleados: P(x ≤ 2) = Ejercicio 3.11 Si el 20% de las piezas producidas por una máquina son defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas? Ejercicio 3.12 Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?


0.00 3.81 7.62 11.44 15.25

Variable

0.00

0.06

0.12

0.18

0.24

De

nsi

da

d

Función de densidad de una Distribución Chi cuadrada

0.00 4.14 8.29 12.43 16.57

Variable

0.0

0.2

0.3

0.5

0.6

De

nsi

da

d

Función de densidad de una distribución "F"

Encuentro VIII

La distribución X2 de Pearson

La distribución X2, X es la minúscula de la letra griega ji, se genera a partir

de “n” variables aleatorias independientes normales con media “0” y

varianza “1”. Si realizamos la siguiente operación:

Este tipo de distribución se usa en pruebas de hipótesis sobre:

Distribuciones, por ejemplo para verificar si una distribución

observada se comporta como una distribución Normal.

Independencia, para verificar si dos variables nominales son

independientes o no.

La distribución “F” de Fisher. La distribución “F” de Fisher surge del cociente de dos distribuciones X2

independientes, con “n” y “m” grados de libertad respectivamente. Un valor

“F” se define matemáticamente de la siguiente manera:

Este tipo de distribución se usa mucho con pruebas de hipótesis de

medias, Análisis de Variancia, donde:

Hipótesis nula, las medias de los tratamientos pertenecen a una

mismo media poblacional

Hipótesis alternativa, al menos una media de los tratamientos evaluados no pertenecen a la misma media

poblacional


La distribución Binomial Un experimento Binomial tiene las siguientes características:

Las observaciones se clasifican en dos categorías, por ejemplo A = aceptable y D = defectuoso.

La proporción de elementos A y D en la población es constante y no se modifica, siendo en este caso “p” la

probabilidad de defectuosos y “q” la probabilidad de aceptables.

Las observaciones son independientes, es decir que la probabilidad de elemento defectuoso es siempre la misma

y no se modifica por cualquier combinación de elementos defectuosos o aceptables observados.

Ejemplos de este proceso son:

Observar cinco varones en 12 nacimientos.

Ganar 4 veces apostando a docena en diez tiradas sucesivas de una ruleta

La aparición de 10 plantas planta enferma en 100 plantas de cultivo.

Tener 5 ladrillos defectuosos en un lote de 500 ladrillos.

Conociendo que:

“p” es la probabilidad de ocurrencia del evento A

“q” es la probabilidad de ocurrencia del evento B

Siendo q = 1-p. Por lo tanto la probabilidad de encontrar “x” elementos que cumplen el evento “A” luego de “n”

repeticiones del experimento, se define como P (x):

P (x) = siendo x = 0, 1, ..., n

Siendo las posibles combinaciones de ocurrencia de “x” en “n” experimentos y esto se resuelve de la siguiente

manera:


Una distribución binomial B(n, p) se parece a una normal tanto más cuanto mayor es el producto “n p”. Cuando “n p”

superan el valor 5, la aproximación es casi perfecta. En estas condiciones:

B(n, p) se aproxima a un distribución normal, ),( npqnpN

Ejemplo. Existe una empresa que produce vasos, y se sabe que históricamente el 2 % de estos salen fallados. Por otro

lado existe un comprador que tolera el 2 % de fallos, si el valor es mayor rechaza el lote completo que quiere comprar. Se

decide tomar una muestra de 100 vasos, ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador acepte el lote?

Distribución de Poisson El límite de la distribución binomial donde la probabilidad de éxito es muy pequeña y n es grande se llama distribución de

probabilidades de Poisson.

Esta distribución permite construir probabilidades de una variable binomial, sólo conociendo el

valor de su promedio histórico, µ Donde µ es la media aritmética del número de ocurrencias en un intervalo específico de tiempo, es la constante

2.71828 y “X” es el número de ocurrencias. El número medio de éxitos, µ, se puede determinar en situaciones binomiales

por “n p”, donde “n” es el número de ensayos y p la probabilidad de éxito. La varianza de la distribución de Poisson

también es igual a “n p”.


Ejemplo: Se está haciendo un estudio para ampliar una terminal de taxis y se sabe que en las horas de la tarde de 6-10

PM el número medio de llegadas es 4.0 personas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de 4 llegadas en una hora?

P (4) = (44) (e-4) / 4!= 0.1954.

Ejercicio 3.11 Si el 20% de las piezas producidas por una máquina son defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que

entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas?

Ejercicio 3.12 Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál

es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

Ejercicio 3.13 La producción de computadoras trae asociada una probabilidad de defecto del 1.5%, si se toma un lote o

muestra de 100 computadoras, obtener la probabilidad de que existan 4 computadoras con defectos.

Ejercicio 3.14 Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen afición a mirar TV de noche, si tomamos una

muestra de 150 personas al azar ¿Calcular la probabilidad de que 25 de ellos tengan el hábito de mirar TV de noche?

Ejercicio 3.15 El 6% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un auditor toma una

muestra de 50 registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas?

Ejercicio 3.16 Si cada una de las 18 gallinas de un gallinero pone 0.5 huevos al día. Si se recogen los huevos cada 8

horas.

¿Cuál es el número medio de huevos que se recogen en cada visita? ¿Con qué probabilidad encontraremos x huevos

para x = 0,1, 2, 3? ¿Cuál es la probabilidad de que x ≥ 4?

Ejercicio 3.17 Como una forma de hacer control de calidad en una empresa comercializadora de puertas de madera, el

dueño exige que antes de salir de la fábrica cada puerta sea revisada en busca de imperfecciones en la superficie de

madera. El encargado de control de calidad encontró que el número medio de imperfecciones por puerta es 0,5. El dueño

decidió que todas las puertas con dos o más imperfecciones sean rechazadas y sean devueltas para su reparación.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una puerta pase la inspección?


IC 95 % de = x 1.96 )/( ns IC 95 % de = x “t95”

)1/( ns

Encuentro IX

Estimación por Intervalos de Confianza. En estadística se llama estimación al conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un parámetro (Ej.: , ) de una

población a partir de estadísticos, generados por los datos (Ej.: x , S, n).

La media poblacional, , se estima por un intervalo calculado a partir de “S” y x de muestras. El intervalo de confianza de con

un 95 de confianza, IC 95 %, es el más usado y para muestras de más de 30 datos se calcula como:

Para menos de 30 datos se usa:

Donde “t” es el valor dado por la distribución “t” de Student con “n-1” Grados de Libertad, para un 95 % se busca el valor del “t”

0.975, ya que esta es una prueba de dos colas. El IC 95 % nos dice que con un 95 % de confiabilidad en este intervalo encuentro la

media de la población, el cual desconozco. Para esto necesito conocer de la muestra los siguientes estadísticos: x , S y “n”.

Gráfico de Medias e Intervalos de Confianza de , “t95%”, desagregada por sexo, de la Edad de una población adulta. En este tipo de gráfico es interesante observar si los intervalos de confianza de las diferentes

medias tienen valores superpuestos, ya que si es así, al hacer una prueba de hipótesis lo más

probable que la respuesta sea de hipótesis nula, es decir las “medias superpuestos” pertenecen

a una misma media poblacional.

Ejercicio 4.1 Una fábrica produce puertas, una muestra de 50 de éstas arroja que tienen una

altura media de 250 cm y una desviación estándar de 2.60 cm. ¿Construir el intervalo de

confianza de la media poblacional?

Ejercicio 4.2 Buscar tres ejemplo vinculados a su carrera donde sea importante calcular intervalos de confianza.


Encuentro X

Generalidades de las pruebas de Hipótesis Una prueba de hipótesis es una pregunta relativa a una o varias poblaciones, que puede ser cierta o no y que se va a

responder a partir de los datos de muestrales. En las ingenierías las pruebas de hipótesis se suelen utilizar cuando se evalúan nuevas tecnologías, tomando cómo

referencias la tecnología tradicional

La hipótesis formulada con intención de rechazarla se llama hipótesis nula y se representa por H0. Rechazar H0 implica

aceptar una hipótesis alternativa (HA).

Cuando se acepta o se rechaza una hipótesis puede ocurrir que:

α= probabilidad de rechazar H0 siendo H0 cierta.

β = probabilidad de aceptar H0 siendo H0 falsa.

Los pasos necesarios para realizar un contraste relativo a un parámetro θ son:

1. Establecer la hipótesis nula en términos de igualdad H0: θ = θ0

2. Establecer la hipótesis alternativa, que puede hacerse de tres maneras, dependiendo del interés del investigador H0: θ ≠ θ0 ó θ > θ0 ó θ < θ0

En el primer caso se habla de contraste bilateral o de dos colas, utilizada generalmente con la distribución Normal o la “t” de Student. En los otros dos casos se tiene un contraste lateral derecho en el segundo caso, o izquierdo en el tercer caso, ambos son pruebas de una cola. Con la distribución X2 y la “F”, por ser distribuciones asimétricas positivas los contrastes son unilaterales por el lado derecho.

H0 cierta H0 falsa HA cierta

H0 rechazada Error tipo I (α) Decisión correcta

H0 no rechazada Decisión correcta Error tipo II (β )


3. Elegir un nivel de significación: nivel crítico para α generalmente del 5 % en las ingenierías. En ciencias sociales se suele aceptar un α del 10%.

4. Elegir un estadístico de contraste: Este estadístico de contraste es un estadístico cuya distribución es conocida en H0, que esté relacionado con θ y permite establecer, en base a dicha distribución, la región crítica: región en la que el estadístico calculado tiene una probabilidad menor que α. Obsérvese que, de esta manera, se está más seguro cuando se rechaza una hipótesis que cuando no. Por eso se fija como H0 lo que se quiere rechazar. Cuando no se rechaza, no se ha demostrado nada, simplemente no se ha podido rechazar. Por otro lado, la decisión se toma en base a la distribución de la muestra en H0. 5. Calcular el estadístico para una muestra aleatoria y compararlo con la región crítica. Si el estadístico tiene en valor absoluto, un valor menor al valor tabular de la distribución conocida correspondiente al α se acepta H0. Esto es equivalentemente calcular el "valor p" del estadístico (probabilidad de obtener ese valor, u otro más alejado de la

H0, si H0 fuera cierta) y compararlo con valor de . Este valor “p” es el valor de una integral y generalmente lo calculan los

programas estadísticos como el INFOSTAT o SPSS. Si el valor de es del el 5 % la regla de decisión para aceptar o rechazar una hipótesis en pruebas unilaterales es la siguiente:

Si el valor “p” calculado es > a 0.05 ocurre H0

Si el valor “p” calculado es ≤ a 0.05 ocurre HA

Prueba de hipótesis con pruebas “t” La media de una muestra pertenece a una población con media conocida Esta es una prueba que permite contrastar si una muestra de una variable difiere significativamente de una media poblacional dado o no. Generalmente esta media es histórica.

La hipótesis nula es H0: , La hipótesis alternativa es HA: El estadístico de contraste es el valor “t” calculado:

El valor “t” crítico se encuentra con n-1 grados de libertad.


Ejemplo: Históricamente la edad de los alumnos que entran a primer año de la Universidad es de 18 años. Se quiere saber si para el año que viene la edad de ingreso será la misma a la histórica, para estudiar esto se tomó una muestra de 36 estudiantes del último año de secundaria y se calculó la edad de ingreso a la universidad. En función de los datos observados surge la hipótesis de que la edad de los estudiantes es mayor que 18 años. La muestra de 36 sujetos dio los siguientes datos:

= 18.5 S=3.6 Se trata de un contraste sobre medias. La hipótesis nula (lo que queremos rechazar) es: H0: µ= 18. La hipótesis alternativa es: HA: µ> 18. Este un contraste lateral derecho.

Fijamos "a priori" el nivel de significación en α = 0,05 y la región crítica en este ejemplo t(35)0,05=1,70. Calculamos el valor de tc en la muestra

El valor “tc” de 0.82 no está en la región crítica (no es mayor que 1,70), por tanto no rechazamos H0, concluimos que la edad histórica de ingreso se mantiene.

Las medias de dos muestras o grupos pertenecen a una misma población. Esta es una prueba de hipótesis muy usada cuando se tienen dos grupos y se quiere saber si estos tienen una misma media poblacional.

La hipótesis nula es H0: µ1=µ2, la hipótesis alternativa es HA: µ1≠µ2 Hay diferentes tipos de prueba “t”, pero suponiendo varianzas iguales, el estadístico a calcular se hace:

Ejemplo. En un ensayo para evaluar la vida útil de dos productos. La variable medida es el tiempo de vida útil en años:

producto “T”, n = 35; x = 3,7 años de vida y s2 =13,9; producto “P” n = 40; x = 15,1 años y s2 = 12,8. ¿El producto “P” tiene igual vida útil que el producto “T”?

Se trata de un contraste sobre diferencias de medias


Como no conocemos como son las varianzas entre sí, el modelo nos obliga a verificar si la varianzas son iguales. Si las varianzas son iguales se sigue con la prueba “t” que se presenta, sino se debe hacer otra variante de prueba “t” de más difícil cálculo. Hipótesis de Variancias H0: σ2

T = σ2P, HA: σ2

T ≠ σ2P

El estadístico es de contraste es una prueba “F”= S2P / S2

T = 13.9 / 12.8= 1.09, como el valor “F” de tabla es 1.74, en consecuencia aceptamos la H0 y concluimos que las varianzas son iguales. Luego se hace la prueba de hipótesis de medias con el estadístico antes detallado.

Se concluye que se rechaza la H0 , ya que el valor “t” calculado es mayor que el valor de tabla con n1 + n2 – 2 , 35 + 40 -2 = 73 grados de libertad. Con estos grados de libertad y con un alfa del 5% bilateral (2.5 % de rechazo en cada extremo) el valor “t” es de 2.0, valor menor que 13.28. Concluimos que las medias de años de vida útil de los dos productos son distintas. Ejercicio 4.2 Se evaluó 2 tipos de abono, uno con base de pulpa de café, otro con base de abono de lombriz, La variable de producción fue grs. promedio del peso seco de las plántulas de café a los 6 meses de siembra por unidad experimental, el ensayo tuvo cuatro repeticiones. Tabla de Datos. Peso en onzas. Parte aérea plántula de café.

Tratamiento/ Repetición I II III IV Pulpa café 1.00 0.90 1.16 0.98

Lombrihumus 1.65 1.59 2.00 1.65

Realizar e Interpretar su prueba de hipótesis. Resolver con una prueba “t” para dos grupos que pertenecen a una misma población.


Encuentro XI

TRABAJO DE CURSO DE ESTADÍSTICA

COMPONENTES DEL INFORME FINAL 1. Definir un Problema que se pueda abordar con una encuesta El problema a abordar no deba ser muy complejo ni muy simple, tampoco se debe pretender resolver el problema solamente con el uso

de esta herramienta. Sin embargo la encuesta puede servir para conocer la opinión o conocimiento que tiene la gente sobre un tema

dado. Ejemplos de tipo de Problemas que se pueden abordar con una encuesta son: “El bajo rendimiento académico”, “La falta de

motivación con su carrera” “causas por la que ocurre la migración de los jóvenes a otros países”, estudio de mercado de un producto

que se quiere desarrollar como “desarrollo de un bebida local”, grado de satisfacción de los clientes de un servicio dado, como “el

servicio de televisión por cable”, etc.

En esta parte se puede hacer una revisión de bibliografía o de Internet, de los antecedentes que se conocen sobre el problema abordado

en este trabajo. También se deben incorporar las preguntas de investigación que se tuvieron que surgen al definir y acotar el problema.

2. Construir los Objetivos generales y específicos. El Objetivo general debe incluir los objetivos específicos y debe ser lo suficiente amplio. Los Objetivos específicos deben estar

orientados a los resultados que espero con el trabajo.

Ejemplo de un Objetivo General es:

”Describir causas que están relacionadas con el bajo rendimiento académico de los alumnos”.

De este objetivo general se pueden derivar los siguientes objetivos específicos:

“Definir variables asociadas a rendimiento académico”

“Realizar estadística descriptiva de las variables asociadas a rendimiento académico”


3. Organización de una matriz de información a partir de una encuesta. Se puede realizar una encuesta impersonal con preguntas cerradas es una manera de recolectar mucha información rápidamente

que luego se puede codificarla fácilmente, la debilidad de este instrumento es que no siempre la gente responde adecuadamente y

que las respuestas generadas se limitan a las opciones previamente definidas y la experiencia nos dice que la realidad es mucho

más rica que lo que creemos ocurre a priori. Para los que trabajan con entrevistas hay que saber que también la información que se

genera de las entrevistas puede luego tabularse numéricamente de la misma manera que una encuesta.

Al diseñar una encuesta esta debe ayudar a responder a las preguntas que genera la hipótesis del trabajo, un error común es hacer

una encuesta primero y luego que se han recolectado los datos, se intenta armar el modelo de la base de datos. Antes de tomar los

datos, ya se debe prever como las preguntas se transforman en variables y cómo se analizarán estadísticamente estas.

4. Análisis de los Datos El análisis de los datos se debe hacer en un programa estadístico como INFOSTAT. Se sugiere comenzar haciendo estadística

descriptiva univariada, de cada variable. De Las variables continuas se puede realizar estadística descriptiva como el promedio,

intervalo e confianza, mediana y desvío estándar, también gráficos como histogramas. De las variables nominales se puede hacer

frecuencias y gráficos de pasteles.

Luego pueden hacer gráficos bivariado, probabilidades, variables aleatorias y finalmente se debe hacer pruebas de hipótesis como la

pruebas “t” para comparar dos promedios.

5. Conclusiones y Recomendaciones El informe debe tener un acápite de conclusiones. En esta se deben resaltar las observaciones relevantes de su trabajo. Si considera

que es posible hacer recomendaciones de su trabajo, estas deben estar basadas en que se escribió en las conclusiones.

6. Bibliografía y Direcciones Electrónicas Consultadas. Se debe describir: autor, año, título del texto, editorial, país y número de páginas. De la bibliografía de los textos consultados y citados.

También se debe detallar si hay páginas Web citadas. Se sugieres usar normas APA, y usar de Word 2007 la ventana referencias-

bibliografía para hacer citas y referencias.


ÁR

EAS

BA

JO L

A C

UR

VA

NO

RM

AL

ESTÁ

ND

AR

, DES

DE

0 A

z

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0754

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6 0.2258 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2518 0.2549

0.7 0.2880 0.2612 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2996 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7 0.4454 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4857

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993

3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995

3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997

3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998

3.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998

3.6 0.4998 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

3.7 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

3.8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999

3.9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000


VALORES PERCENTILES (tp) PARA LA DISTRIBUCIÓN t

de Student, CON v GRADOS DE LIBERTAD

33 universidad nacional de ingeniería - docente universitario · ... murray r. spiegel. ... de...

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