7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

1/15

OPERATOR CONCEPT

IN

QUANTUM CHEMISTRY

7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

2/15

An operator is a symbol for a certain mathematicalprocedure which transforms one function into another. For

example, the operator of evaluating the derivative withrespect toxis represented by the symbol d/dx. When thisoperator is applied to the function xn we obtain a newfunction as

A list of typical examples of different mathematicaloperations along with the results of the operations on thefunction,x3is given in

1)( nnxxdx

d n

7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

3/15

Operation OperatorResult of

operation on x3

Talking the square ( )2 x6

Talking the square root X3/2

Multiplication by aconstant

k Kx3

Differentiation with

respect to x d/dx 3x2

Integration with respectto x

( ) dx X4/4 + c

7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

4/15

(Operator) . (function) = (Another function)

Additional and Subtraction of Operators

If A and B are two different operators, then new operatorsA + B and A B can be defined as

A + B = B +

A - B = -B +

(A + B) = + B

(A - B) = - BWhereis an operand itis also true that

7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

5/15

Multiplication of Operators

B1 = 1

Then 1 operated on by to obtain the final function 11 as

1 = 11

So that

B = 11

= 2

7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

6/15

Linear Operator

7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

7/15

Commutator

7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

8/15

Were i, j, k are unit vectors along the x, y and z axes.Operating on a scalar function , this operator generates avector called the gradient of.

Vector Operator

7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

9/15

Laplacian

Eigenfunctions and Eigenvalues

= Eigenfunction = Eigenvalues

7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

10/15

POSTULATE OF QUANTUM MECHANICS

Postulat I

Setiap keadaan dari sistem dinamik N partikeldigambarkan oleh fungsi (q1,,q2,q3n, t)

Besaran * y sebanyak dengan kebolehjadian

menentukan q1 antara q1 dan q1 + q1 , q2 antaraq2 dan q2 + dq2,

Bila fungsi gelombang mencakup waktu, maka fungsi

gelombang bergantung pada waktu, bila sifat sistem takberubah dengan waktu, maka sistem dikatakan dalamkeadaan stasioner. Bagian kedua dari postulat memberikaninterprestasi fisik dari fungsi gelombang . Misalkan partikeltunggal bergerak dalam 1 dimensi. Besaran

* dx pada

7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

11/15

Waktu t. Bila fungsi kompleks maka * adalah konjugatkompleks.

Agar fungsi ini mempunyai arti fisik, maka harus dipenuhibeberapa persyaratan:

1. Fungsi harus kontinu. Turunan pertama dan kedua haruskontinu pula.

2. Fungsi bernilai tunggal.

3. Fungsi harus tertentu.

Kasus Khusus :

Seluruh ruang * dt = 1

Fungsi adalah ternormalisasi

7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

12/15

Postulat III

Nilai yang dapat diukur dari besaran A diamati secara fisikadalah nilai eigen ai :

ii A

ia

A = operator sesuai dengan yang diamati

nnE

Postulat II

Untuk setiap sifat dari sistem yang teramati, ada operatorHermit.

Operator Hermit didefinisikan dari hubungan:seluruh ruang * j d = seluruh ruangi * *j d

7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

13/15

Substitusi persamaan ke dalam persamaan , didapat:

EV2m

h

22

atau

0)(2

2

2

VEmh

7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

14/15

Postulat IV

Nilai rata-rata dari yang teramati yang berhubungandenganA dinyatakan sebagai:

drAa *

= fungsi gelombang ternormalisasi untuk suatukeadaan.

7/27/2019 39579586-kimia-kuantum-3

15/15

Postulat V

Fungsi gelombang suatu sistem berubah dengan waktumenurut persamaan:

t

tr

ihtr

),(),(

= operator Hamilton untuk sistem