8/19/2019 3e06c08.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/3e06c08pdf 1/5

DISTANTA DINTRE DOUA DREPTE NECOPLANARE

ABSTRACT. Materialul prezinta o modalitate de a afla distanta dintredoua drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului.

Lectia se adreseaza clasei a VIII-a

Data: februarie 2011

Autor: Valentina Cicu si Ion Cicu, Scoala nr.96, Bucuresti

In cele ce urmeaza vom defini distanta dintre doua drepte necoplanare sivom da un mod de calcul a acesteia fara a fi necesar sa cunoatem pozitiasegmentului care defineste distanta. Vom ıncheia prin a prezenta catevaaplicatii.

Definitie   Daca   a   si   b   sunt doua drepte necoplanare,   M  ∈   a   si   N  ∈   b

astfel ıncat   M N  ⊥   a   si   M N  ⊥   b, atunci   M N   reprezinta distanta dintre

dreptele  a  si  b.Propozitia 1.   Fie   A

ABC   un tetraedru de volum   v. Daca   AA

BB   CC 

si   AA

=   BB

=   CC 

, atunci   ABCA

B

C 

este o prisma siV  ABCA

B

C 

  = 3v.

Demonstrat ie  Din constructie avem  ABB

A

, B C C  

B

, ACC 

A

suntparalelograme, de unde rezulta (ABC )   (A

B

C 

) si ABC  ≡ A

B

C 

,

asadar  ABCA

B

C 

este o prisma.

Acum, tetraedrul A

ABC  este echivalent cu tetraedrul BA

B

C 

(au acelasi

volum) pentru ca   AABC   =   AA

B

C 

, iar   hA

ABC   =   dist(A

, (ABC )) =

dist(B, (A

B

C 

)) = hBA

B

C  .

1

8/19/2019 3e06c08.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/3e06c08pdf 2/5

2 GEOMETRIE

Tetraedrul   A

B

C 

B   este echivalent cu tetraedrul   A

BC B

pentru caABB

C 

  =  ABCC 

, iar ınaltimea este aceeasi pentru cele doua tetraedre:

dist(A , (BC C )).In concluzie

V  ABCA

B

C 

  = V  A

ABC 

 + V  A

BB

C 

 + V  A

BCC 

  = 3v

Observatie.   Orice tetraedru  A

ABC  poate fi ”completat” la un paralelip-iped astfel: se construiesc paralelele prin   A   la   BC   si prin   C   la   AB  care seintersecteaza ın  D. Apoi, paralelele prin  B, C   si  D   la  AA

se intersecteazacu un plan paralel cu planul  ABC  care trece prin  A

.

Propozitia 2.   Daca  V    este volumul paralelipipedului de mai sus, atunci

volumul tetraedrului  A

ABC  este  V  

6 .

Demonstrat ie V   paralelipiped = 2 · V  ABCA

B

C    = 6 · V  A

ABC   si propozitiaeste demonstrata.

Propozitia 3.   Fie   ABCDA

B

C 

D

un paralelipiped iar   M  ∈   AA

siN  ∈ BC , astfel ıncat  M N  ⊥ AA

si M N  ⊥ BC . Atunci M N   este ınaltimeaparalelipipedului cu baza BC C 

B

.

Demonstrat ie M N  ⊥ AA

si  AA BB

implica  M N  ⊥ BB

, (1). Din

(1) si   M N 

 ⊥ B C , rezulta  M N 

 ⊥ (BC C 

), adica  M N   reprezinta ınaltimea

paralelipipedului cu baza BC C 

B

.

8/19/2019 3e06c08.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/3e06c08pdf 3/5

GEOMETRIE 3

Propozitia 4.   Fie   A

ABC   un tetraedru ın care   AA

=   a, BC   =   b,distanta dintre   AA

si   BC   este   c, iar masura unghiului dintre   AA

si   BC 

este  u.Atunci V  

A

ABC  =

  abc sin u

6  . (*)

Demonstrat ie Folosind figura de mai sus avem :

V  ABCDA

B

C 

D

  = ABC C 

B

 · M N  = abc sin u

Din propozitia 2 avem  V  AABC 

 =  V  ABCDA

B

C 

D

6  de unde rezulta

V  A

ABC 

 =  abc sin u

6

Comentariu  Relatia gasita ın propozitia 4 ne permite sa aflam distantadintre doua drepte necoplanare. pentru aceasta trebuie sa consideram pecele doua drepte cate doua puncte astfel ıncat sa obtinem un tetraedru alcarui volum se va calcula ın doua moduri; cu formula clasica si cu formulade mai sus.

Relatia (*) din propozitia 4 este cunoscuta sub numele de formula luiChasles .

Aplicat ia 1.   Fie ABCDA

B

C 

D

un cub de muchie  a. Calculati distantadintre  AC 

si  A

D.

Solut ie:   Notam cu   d   distanta dintre cele doua drepte. Fie tetraedrulA

DAC 

. Considerand ca baza este triunghiul   ADA

, ınaltimea trebuie

construita din  C 

, iar aceasta este  C 

D

.   In acest fel:

V  tetraedrului = 1

3 · A

ADA · C 

D

= 1

3 ·  AD · AA

2  · C 

D

=  a3

6  (1)

Pe de alta parte

V  tetraedrului =  A

D · AC  · d · sin u

6

Cum AC  ⊥ (A

BD) (demonstrati voi) rezulta  u  = 900 si deci sin u = 1. De

asemenea,  A

D =  a√ 

2 si  AC 

= a√ 

3. Cu aceasta avem

V  teraedrului =

  a2√ 

6

·d

6   (2)

8/19/2019 3e06c08.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/3e06c08pdf 4/5

4 GEOMETRIE

Cum (1) si (2) reprezinta volumul pentru acelasi tetraedru avem

a2√ 

6·

d

6   =  a3

6de unde obtinem

d =  a

√ 6

6

Aplicat ia 2.   Fie   V ABCD o piramida patrulatera regulata cu fetele lat-erale triunghiuri laterale de muchie a. Calculati distanta dintre dreptele V D

si  AB.

Solut ie   Notam cu   x   distanta dintre   V D   si   AB. Consideram tetraedrulV ABD al carui volum este pe de o parte

V    =  1

3 · AABD · V O =

  a3√ 

2

12  (1)

iar pe de alta parte

V    =  AB · V D · sin(   V D, A B)

6  =

  a2x√ 312

  (2)

Egaland (1) cu (2) obtinem  x =  a

√ 6

3  .

Aplicat ia 3.   Fie  V AB C   un tetraedru regulat de muchie   a   si   D   mijlocullui (AV  ). Calculati distanta dintre  V B   si  CD.

Solut ie   Fie  x  distanta ceruta. Pentru tetraedrul  BCDV    volumul este

V  BCDV    = 1

3 · AV C D · BP 

unde  BP  este ınaltimea tetraedrului  V AB C  . Deci,  V  BCDV    =  a3

√ 2

24  (1)

Avem, de asemenea,  V  BCDV    =

  BV  

 ·CD

·x

·sin(   BV,CD)

6   (2).

8/19/2019 3e06c08.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/3e06c08pdf 5/5

GEOMETRIE 5

Pentru a pune ın evidenta unghiul cautat construim  DE   V B   si unghiulcautat este   EDC   a carui masura o notam   α, Pe   α  ıl aflam din triunghiul

isoscel  DEC . Gasim sin α = √ 336

  .

Cu acesta (2) devine  V  BCDV    =  a2x

√ 11

24  (3).

Egaland (1) cu (3) vom obtine  x =  a

√ 22

11  .