3x + 4y = 12 มีกราฟเป นเส นตรง บทที่ 1...

บทที่ 1 พื้นผิวในปริภูมิ 3 มิติ1 - 1

บทที่ 1พื้นผิวในปริภูมิสามมิติ

รองศาสตราจารย ดํารงค ทิพยโยธาภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย


ทบทวนความรู ม. ปลาย ปริภูมิสองมิติ3x + 4y = 12 มีกราฟเปนเสนตรงy = 2x มีกราฟเปนพาราโบลา

2x + 2y = 16 มีกราฟเปนวงกลม

4x2 + 25

y2 = 1 มีกราฟเปนวงรี

16x2 - 25

y2 = 1 มีกราฟเปนไฮเพอรโบลา

ทบทวนความรู CALCULUS II ปริภูมิสามมิติ(x, y, z) = (1, 2, 3) + (4, 2, 7)t

มีกราฟเปนเสนตรง2x + 3y + 6z = 24 มีกราฟเปนระนาบ

ตัวอยางภาพ พื้นผิวในปริภูมิสามมิติ

ทรงกลม ทรงกระบอก


บทนิยามของพื้นผิวพ้ืนผิว คือ เซตของจุด (x, y, z)ซึ่งสอดคลองสมการ F(x, y, z) = 0 เมื่อ F เปนฟงกชันตอเนื่อง

ตัวอยาง 2x + 3y + 6z = 24 เปน พื้นผิว ชนิดหนึ่งF(x, y, z) = 2x + 3y + 6z - 24 = 0

ในบทนี้เราเรียนเกี่ยวกับสมการในรูปสมการกําลังสองซึ่งมีรูปทั่วไปเปนA 2x + B 2y + C 2z + Dxy + Exz + Fyz

+ Gx + Hy + Kz + L = 0เมื่อ A, B, C, D, E, F ไมเปนศูนยพรอมกัน

ตัวอยาง2x + 3y + 6z = 24 เปนพื้นผิว ระนาบ

2x + 2y + 2z - 25 = 0 เปนพื้นผิวชื่อ ...............2x + 2y + 2z - 2x + 4y + 6z - 13 = 0

เปนพื้นผิวชื่อ ...............


1.1.1 ทรงกลมบทนิยาม 1.1.1ทรงกลม คือ เซตของจุดซึ่งอยูหางจากจุดคงที่เปนระยะทางคงที่จุดคงที่ เรียกวา จุดศูนยกลาง ของทรงกลมระยะทางคงที่ เรียกวา รัศมี ของทรงกลมการหาสมการของทรงกลมให C( 0x , 0y , 0z ) เปนจุดศูนยกลาง และ r เปนรัศมี

รูปที่ 1.1.1ให P(x, y, z) เปนจุดบนทรงกลมจุด P จะอยูบนทรงกลม ก็ตอเมื่อ || CP || = r 2

02

02

0 )zz()yy()xx( −+−+− = r (x - 0x )2 + (y - 0y )2 + (z - 0z )2 = 2r

สมการของทรงกลมมีจุดศูนยกลางที่จุด ( 0x , 0y , 0z )และรัศมีเทากับ r คือ

(x - 0x )2 + (y - 0y )2 + (z - 0z )2 = 2r

of 41


หมายเหตุ1. ทรงกลมจุดศูนยกลางของทรงกลมอยูที่จุดกําเนิด

รัศมี r จะมีสมการทรงกลมเปน 2x + 2y + 2z = 2r

2. โดยการกระจายพจนในสมการ(x - 0x )2 + (y - 0y )2 + (z - 0z )2 = 2r

จะไดสมการของทรงกลมเขียนอยูในรูป2x + 2y + 2z + Gx + Hy + Kz + L = 0

3. สําหรับสมการ 2x + 2y + 2z + Gx + Hy + Kz + L = 0ถา

4G2 +

4H2 +

4K2 - L > 0

แลว 2x + 2y + 2z + Gx + Hy + Kz + L = 0จะเปนสมการของทรงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (-

2G , -

2H , -

2K )

และ มีรัศมี r = L4

K4

H4

G 222−++


ตัวอยาง 1.1.1 จงหาสมการของทรงกลมซึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (1, 2, 3) และมีรัศมีเทากับ 5วิธีทาํ ให P(x, y, z) เปนจุดบนทรงกลมเพราะฉะนั้นสมการของทรงกลมคือ (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 25

ตัวอยาง 1.1.2 จงพิจารณาวาสมการ2x + 2y + 2z + 2x + 4y + 16z = 12

เปนสมการของทรงกลมหรือไม ถาเปนสมการของทรงกลมจงหาจุดศูนยกลางและรัศมีของทรงกลมวิธีทาํ

2x + 2y + 2z + 2x + 4y + 16z = 12โดยการจัดรูปกําลังสองสัมบูรณจะได ( 2x + 2x + 1) + ( 2y + 4y + 4) + ( 2z + 16 z + 64)

= 1 + 4 + 64 + 12 (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 8)2 = 29

เพราะฉะนั้นสมการที่กําหนดใหเปนสมการของทรงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (-1, -2, -8)และมีรัศมีเทากับ 9


ตัวอยาง 1.1.3 จงหาสมการของทรงกลมที่ผานจุดP(3, 0, -1) มีจุดศูนยกลางอยูบนแกน Xและสัมผัสกับระนาบ 2x - y + 2z = 3วิธีทาํ เพราะวาทรงกลมมีจุดศูนยกลางอยูบนแกน Xเพราะฉะนั้น ให C(h, 0, 0) เปนจุดศูนยกลางและ ให P(x, y, z) เปนจุดบนทรงกลม

|| PC || = ระยะทางจากจุด C ไปยังระนาบ || (h - 3, 0, 1) || =

222 2)1(2|3)0(2)0(1)h(2|

+−+

−+−

10)3h( 2 ++− = 3|3h2| −

9((h - 3)2 + 1) = (2h - 3)2

5 2h - 42h + 81 = 0 (5h - 27)(h - 3) = 0เพราะฉะนั้น h = 3,

527

ถา h = 3แลว จุดศูนยกลางอยูที่จุด (3, 0, 0) , r = 3

|3)3(2| − = 1สมการของทรงกลมคือ (x - 3)2 + 2y + 2z = 1ถา h =

527

แลว จุดศูนยกลางอยูที่จุด (527 , 0, 0) , r = 3

|3)527(2| −

= 5

13

สมการของทรงกลมคือ (x - 527 )2 + 2y + 2z =

25169


1.1.2 ทรงกระบอกบทนิยาม 1.1.2 กําหนดให C เปนเสนโคงในระนาบ และ Lเปนเสนตรงซึ่งไมอยูบนระนาบเดียวกับ C และไมขนานกับระนาบของ C เซตของจุดบนเสนตรงที่ขนานกับ L และตัดเสนโคง C เรียกวา ทรงกระบอกเสนตรงที่ขนานกับ L และตัดเสนโคง C เรียกวา เจนเนอเรเตอรของทรงกระบอกเสนโคง C เรียกวา ไดเรกตริกซ ของทรงกระบอก

รูปที่ 1.1.2ทรงกระบอกกลมในรูปที่ 1.1.3 มีวงกลม C เปนไดเรกตริกซและ เจนเนอเรเตอร ขนานกับเสนตรง L

รูปที่ 1.1.3

of 41


การหาสมการของทรงกระบอกกําหนดให A

v เปนเวกเตอรที่ขนานกับเจนเนอเรเตอรและมีเสนโคง C เปนไดเรกตริกซ

รูปที่ 1.1.4เสนโคง C เปนไดเรกตริกซ และ เจนเนอเรเตอรขนานกับ A

r

การหาสมการของทรงกระบอกมีขั้นตอนดังนี้ขั้นที่ 1. ให P(x, y, z) เปนจุดบนทรงกระบอกขั้นที่ 2. ลากเสนเจนเนอเรเตอรผานจุด P(x, y, z)

และตัดเสนโคง C ที่จุด P′(x′, y′, z′)ขั้นที่ 3. การหาความสัมพันธของ x, y, z ใชเงื่อนไข

1. 'PP ขนานกับ Ar

2. จุด P′(x′, y′, z′) เปนจุดบนเสนโคง Cตองสอดคลองสมการของเสนโคง C


ตัวอยาง 1.1.4 จงหาสมการของทรงกระบอกซึ่งมีไดเรกตริกซเปนวงกลม 2x + 2y = 4, z = 0และ เจนเนอเรเตอรขนานกับเวกเตอร (2, 3, 4)วิธีทาํ

รูปที่ 1.1.5ขั้นที่ 1. ให P(x, y, z) เปนจุดบนทรงกระบอกขั้นที่ 2. ลากเสนเจนเนอเรเตอรผาน P(x, y, z)

และตัดเสนโคง C ที่จุด P′(x′, y′, z′)ขั้นที่ 3. การหาความสัมพันธของ x, y, z ใชเงื่อนไข1. 'PP ขนานกับ A

r

2. จุด P′(x′, y′, z′) เปนจุดบนเสนโคง CAr = (2, 3, 4) และ 'PP = (x′ - x, y′ - y - y, z′ - z)เพราะวา 'PP ขนานกับ A

r

เพราะฉะนั้น (x′ - x, y′ - y, z′ - z) = t(2, 3, 4)เมื่อ t เปนจํานวนจริง


เพราะฉะนั้น x′ = x + 2ty′ = y + 3tz′ = z + 3t

เพราะวา จุด P′(x′, y′, z′) เปนจุดบนเสนโคง Cเพราะฉะนั้น (x′)2 + (y′)2 = 4 และ z′ = 0เพราะฉะนั้น (x + 2t)2 + (y + 3t)2 = 4 ... (*)หลักการตอไปที่สาํคัญ ขจัดตัวแปร t ออกจากสมการ (*)เพราะวา z + 3t = 0 เพราะฉะนั้น t = -3

z

จาก (*) จะได (x + 2(-3z ))2 + (y + 3(-3

z ))2 = 4 (3x -2z)2 + 9(y - z)2 = 36

9 2x - 12xz + 4 2z + 9 2y - 18yz + 9 2z = 369 2x + 9 2y + 13 2z - 12xz - 18yz = 36

สรุป สมการของทรงกระบอก คือ9 2x + 9 2y + 13 2z - 12xz - 18yz = 36

ตัวอยาง ทรงกระบอก อ่ืนๆ


ตัวอยาง 1.1.5 จงหาสมการของทรงกระบอกซึ่งมีไดเรกตริกซเปนพาราโบลา z = 2y , x = 0และเจนเนอเรเตอรขนานกับแกน Xวิธีทาํ

รูปที่ 1.1.6แกน X มีเวกเตอรแสดงทิศทาง A

r = (1, 0, 0)ขั้นที่ 1. ให P(x, y, z) เปนจุดบนทรงกระบอกขั้นที่ 2. ลากเสนเจนเนอเรเตอรผาน P(x, y, z)

และตัดเสนโคง C ที่จุด P′(x′, y′, z′)ขั้นที่ 3. การหาความสัมพันธของ x, y, z ใชเงื่อนไข

1. 'PP ขนานกับ Ar

2. จุด P′(x′, y′, z′) เปนจุดบนเสนโคง C

of 41


เพราะวา แกน X มีเวกเตอรแสดงทิศทาง (1, 0, 0)และ เจนเนอเรเตอรขนานกับแกน Xเพราะฉะนั้น A

r = (1, 0, 0)และ 'PP = (x′ - x, y′ - y - y, z′ - z)เพราะวา 'PP ขนานกับ A

r

เพราะฉะนั้น (x′ - x, y′ - y , z′ - z) = t(1, 0, 0)เมื่อ t เปนจํานวนจริงเพราะฉะนั้น x′ = x + t

y′ = yz′ = z

เพราะวา จุด P′(x′, y′, z′) เปนจุดบนเสนโคง Cเพราะฉะนั้น z′ = (y′)2 และ x′ = 0เพราะฉะนั้น z = 2y

และ x = -t ทุกคาจํานวนจริง tเพราะฉะนั้นสมการของทรงกระบอก คือ z = 2y


หมายเหตุ1. ทรงกระบอกที่มีไดเรกตริกซเปนเสนโคง

C : f(y, z) = 0, x = 0 และเจนเนอเรเตอรขนานกับแกน Xจะมีสมการเปน f(y, z) = 0

2. ทรงกระบอกที่มีไดเรกตริกซเปนเสนโคงC : f(x, y) = 0, z = 0 และเจนเนอเรเตอรขนานกับแกน Zจะมีสมการเปน f(x, y) = 0

3. ทรงกระบอกที่มีไดเรกตริกซเปนเสนโคงC : f(x, z) = 0, y = 0 และเจนเนอเรเตอรขนานกับแกน Yจะมีสมการเปน f(x, z) = 0

4. f(y, z) = 0 เปนทรงกระบอกมีไดเรกตริกซเปนเสนโคงC : f(y, z) = 0, x = 0 และเจนเนอเรเตอรขนานแกน X

5. f(x, z) = 0 จะเปนทรงกระบอกมีไดเรกตริกซเปนเสนโคงC : f(x, z) = 0, y = 0 และเจนเนอเรเตอรขนานแกน Y

6. f(x, y) = 0 จะเปนทรงกระบอกมีไดเรกตริกซเปนเสนโคงC : f(x, y) = 0, z = 0 และเจนเนอเรเตอรขนานแกน Z

ตัวอยาง ในปรภูิมิสามมิติกราฟของ 2x + 2y = 16 เปนทรงกระบอกกลมขนานกับแกน Zกราฟของ x = 2z เปนทรงกระบอกขนานแกน Yกราฟของ

4x2 +

9z2 = 1 เปนทรงกระบอกขนานกับแกน Y

กราฟของ y = 4 + 2z เปนทรงกระบอกขนานกับแกน X


การเขียนกราฟของทรงกระบอก1. การเขียนรูปพื้นผิวทรงกระบอก f(x, y) = 0

เจนเนอเรเตอรขนานแกน Z1.1 เขียนเสนโคง C : f(x, y) = 0, z = 0

บนระนาบ XY1.2 ลากเสนขนานกับแกน Z และ ผานเสนโคง C

จะไดกราฟพื้นผิวทรงกระบอก

รูปที่ 1.1.7ทรงกระบอก 2x + 2y = 2r


2. การเขียนรูปพื้นผิวทรงกระบอก f(y, z) = 0เจนเนอเรเตอรขนานกับแกน X

2.1 เขียนเสนโคง C : f(y, z) = 0, x = 0 บนระนาบ YZ2.2 ลากเสนขนานกับแกน X และผานเสนโคง C

รูปที่ 1.1.8ทรงกระบอก y = 4 + 2z

3. การเขียนรูปพื้นผิวทรงกระบอก f(x, z) = 0เจนเนอเรเตอรขนานกับแกน Y

3.1 เขียนเสนโคง C : f(x, z) = 0, x = 0 บนระนาบ XZ3.2 ลากเสนขนานกับแกน Y และผานเสนโคง C

จะไดกราฟพื้นผิวทรงกระบอก

รูปที่ 1.1.9ทรงกระบอก

4x2 -

9z2 = 1

of 41


1.1.3 กรวยบทนิยาม 1.1.3กําหนดให C เปนเสนโคงในระนาบ และ V เปนจุดคงที่กรวย คือ เซตของจุดบนเสนตรงทุกเสนที่ลากผานจุด V ไปตัดเสนโคง Cเสนโคง C เรียกวา ไดเรกตริกซจุด V เรียกวา จุดยอด ของกรวยเสนตรงแตละเสน ที่ผานจุด V และตัดเสนโคง C

เรียกวา เจนเนอเรเตอร ของกรวย

รูปที่ 1.1.10


การหาสมการของกรวยขั้นที่ 1. ให P(x, y, z) เปนจุดบนกรวยขั้นที่ 2. ลากเสนเจนเนอเรเตอรผานจุด P(x, y, z)

และ จุดยอด V( 0x , 0y , 0z )และตัดเสนโคง C ที่จุด P′(x′, y′, z′)

ขั้นที่ 3. การหาความสัมพันธของ x, y, z ใชเงื่อนไข1. VP ขนานกับ 'VP

2. จุด P′(x′, y′, z′) เปนจุดบนเสนโคง Cตองสอดคลองสมการของเสนโคง C

ตัวอยาง 1.1.6 จงหาสมการของกรวยซึ่งมี ไดเรกตริกซเปนวงกลม 2x + 2y = 4, z = 5 และมีจุดกําเนิดเปนจุดยอดวิธีทาํ

รูปที่ 1.1.11


ขั้นที่ 1. ให P(x, y, z) เปนจุดบนกรวยขั้นที่ 2. ลากเสนเจนเนอเรเตอรผานจุด P(x, y, z)

และ จุดยอด V(0, 0, 0)ตัดเสนโคง C ที่จุด P′(x′, y′, z′)

ขั้นที่ 3. VP = (x, y, z), 'VP = (x′, y′, z′)เพราะวา VP ขนานกับ 'VP

เพราะฉะนั้น (x′, y′, z′) = t(x, y, z) เมื่อ t ∈ Rเพราะฉะนั้น x′ = tx ... (1.1)

y′ = ty ... (1.2)z′ = tz ... (1.3)

เพราะวา P′(x′, y′, z′) เปนจุดบนเสนโคง Cเพราะฉะนั้น (x′)2 + (y′)2 = 4 และ z′ = 5จาก (1.1), (1.2), (1.3)จะได (tx)2 + (ty)2 = 4 และ tz = 5

2z คูณตลอด (tzx)2 + (tzy)2 = 4 2z

(5x)2 + (5y)2 = 4 2z

เพราะฉะนั้นสมการของกรวยคือ25 2x + 25 2y = 4 2z


ตัวอยาง 1.1.7 จงหาสมการของกรวยซึ่งมี ไดเรกตริกซเปนพาราโบลา z = 2x , y = 5 และมีจุด (0, 1, 0) เปนจุดยอดวิธีทาํ

รูปที่ 1.1.12ขั้นที่ 1. ให P(x, y, z) เปนจุดบนกรวยขั้นที่ 2. ลากเสนเจนเนอเรเตอรผานจุด P(x, y, z) และจุดยอด V(0, 1, 0) และตัดเสนโคง C ที่จุด P′(x′, y′, z′)ขั้นที่ 3. VP = (x, y - 1, z) และ 'VP = (x′, y′ - 1, z′)เพราะวา VP ขนานกับ 'VP

เพราะฉะนั้น (x′, y′ - 1, z′) = t(x, y - 1, z) เมื่อ t ∈ Rเพราะฉะนั้น x′ = tx, y′ = t(y - 1) + 1, z′ = tzเพราะวา P′(x′, y′, z′) เปนจุดบนเสนโคง Cเพราะฉะนั้น z′ = (x′)2 และ y′ = 5 จะได tz = (tx)2

เพราะฉะนั้น z = t 2x เมื่อ t ≠ 0 (*)เพราะวา y′ = t(y - 1) + 1 และ y′ = 5 เพราะฉะนั้น t =

1y4−

จาก (*) z = t 2x จะได z = (1y

4−

) 2x , yz - z = 4 2x

เพราะฉะนั้นสมการของกรวยคือ 4 2x - yz + z = 0

of 41


แบบฝกหัด 1.11. จงหา จุดศูนยกลาง และ รัศมี ของทรงกลมที่กําหนดสมการใหตอไปนี้

1.1 2x + 2y + 2z + 4x – 2y – 8z – 4 = 01.2 2x + 2y + 2z + 8x – 4y – 2z + 12 = 01.3 2x + 2y + 2z – 2x – 6y – 4z – 2 = 01.4 2x + 2y + 2z + 2x – 2y – 10z – 9 = 0

2. จงหาสมการของทรงกลมซึ่งมีจุดศูนยกลางอยูท่ีจุด (2, 1, 1) และมีรัศมีเทากับ 43. จงหาสมการของทรงกลมซึ่งมีจุดศูนยกลางอยูท่ีจุด (–3, 4, 2) และมีรัศมีเทากับ 34. จงหาสมการของทรงกลม ซึ่งมีจุดศูนยกลางอยูท่ีจุด (4, –8, –1)

และ สัมผัสกับระนาบ 2x + 3y – 6z – 32 = 05. จงหาสมการของทรงกลม ซึ่งมีจุดศูนยกลางอยูท่ีจุด (1, 1, 13)

และ สัมผัสกับระนาบ 4x + 3y + 12z – 59 = 06. จงหาสมการของทรงกระบอกซึ่งมีไดเรกตริกซคือเสนโคง C และเจนเนอเรเตอรขนานกับเวกเตอร vv

6.1 C : 2x = 4y, z = 0 vv = (1, 2, 3)6.2 C : 2x + 2y = 25, z = 0 vv = (0, 1, 1)

6.3 C : 4x2 – 9

z2 = 1, y = 0 vv = (1, 2, 0)

6.4 C : (y – 4) 2 = 12(x – 1), z = 0 vv = (2, 0, 1)

6.5 C : 4y2

+ 16z2 = 1, x = 0 vv = (4, 1, 0)

6.6 C : 3x + 4y = 24, z = 0 vv = (2, 3, 4)7. จงหาสมการของกรวยซึ่งมีไดเรกตริกซเปนเสนโคง C และจุดยอด V

7.1 C : 4 2x + 16 2z = 1, y = 8 V(0, 0, 0)7.2 C : 2x + 4 2y = 1, z = 4 V(0, 0, 0)7.3 C : 2x + 4 2y = 16, z = 4 V(2, 1, 0)7.4 C : (y – 2) 2 = 24(x - 4), z = 2 V(1, 0, 0)7.5 C : x = 2z , y = 3 V(1, 0, 2)7.6 C : (z – 1) 2 = 4y, x = 3 V(0, 1, 2)

เฉลยแบบฝกหัด 1.11. 1.1 (–2, 1, 4), r = 5 1.2 (–4, 2, 1), r = 3 1.3 (1, 3, 2), r = 4 1.4 (–1, 1, 5), r = 62. (x – 2) 2 + (y – 1) 2 + (z - 1) 2 = 16 3. (x + 3) 2 + (y – 4) 2 + (z - 2) 2 = 94. x – 4) 2 + (y + 8) 2 + (z + 1) 2 = 36 5. (x – 1) 2 + (y – 1) 2 + (z - 13) 2 = 646. 6.1 9 2x + 2z – 6xz – 36y + 24z = 0 6.2 2x + 2y + 2z – 2yz – 25 = 0

6.3 36 2x + 9 2y – 16 2z – 36xy – 144 = 0 6.4 2y – 12x – 8y + 24z + 28 = 06.5 2x + 16 2y + 4 2z – 8xy – 64 = 0 6.6 12x + 16y – 15z – 96 = 0

7. 7.1 256 2x – 2y + 1024 2z = 0 7.2 16 2x + 64 2y – 2z = 07.3 2 2x + 8 2y – 2z + 2xz + 4yz – 8x – 16y – 8z + 16 = 07.4 4 2y + 76 2z – 48xz – 8yz + 48z = 0 7.5 3 2y + 9 2z – 3xy + 12yz – 21y – 36z + 36 = 07.6 –3 2x + 9 2z – 12xy + 6xz – 36z + 36 = 0

of 41


1.2 พื้นผิวที่เกิดจากการหมุนหมายถึง พ้ืนผิวที่เกิดจากการหมุน เสนโคง ที่กําหนดใหในระนาบรอบเสนตรงที่กําหนดใหซึ่งอยูในระนาบเดียวกันกับเสนโคง โดยจะเรียกเสนตรงที่กําหนดให วา แกนหมุนตัวอยาง1. ทรงกระบอกกลม เกิดจากการหมุนเสนตรง

รอบเสนตรงที่ขนานกัน

2. กรวยกลม เกิดจากการหมุนเสนตรงรอบเสนตรงที่ตัดกัน

3. ทรงกลม เกิดจากการหมุนครึ่งวงกลมรอบเสนผานศูนยกลาง


การหาสมการของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุน

รูปที่ 1.2.2ขั้นที่ 1. ให P(x, y, z) เปนจุดบนพื้นผิวที่เกิดจากการหมุน

ขั้นที่ 2. ตัดพื้นผิวดวยระนาบ M ซึ่งผานจุด Pและตั้งฉากกับเสนตรง L ซึ่งเปนแกนหมุน ที่จุด Qและ ตัดเสนโคง C ที่จุด P′(x′, y′, z′)

ขั้นที่ 3. หาความสัมพันธของ x, y, z ใชเงื่อนไข1. || QP || = || 'QP ||2. จุด P′(x′, y′, z′) เปนจุดบนเสนโคง C

ตองสอดคลองสมการของเสนโคง C


ตัวอยาง 1.2.1 จงหาสมการของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนเสนโคงพาราโบลา z = 2y , x = 0 รอบแกน Zวิธีทาํ

รูปที่ 1.2.3กําหนดเสนโคง C คือ เสนโคงพาราโบลา z = 2y , x = 0และ แกนหมุนคือ แกน Z

การหาสมการของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนขั้นที่ 1. ให P(x, y, z) เปนจุดบนพื้นผิวที่เกิดจาก

การหมุนเสนโคง C รอบแกน Z

ขั้นที่ 2. ตัดพื้นผิวดวยระนาบ M ซึ่งผานจุด Pและตั้งฉากกับแกน Z ที่จุด Qและ ตัดเสนโคง C ที่จุด P′(x′, y′, z′)เพราะฉะนั้นจุด Q มีพิกัดเปน (0, 0, z)และ z = z′ และ x′ = 0เพราะฉะนั้นจุด P′ มพิีกัดเปน (0, y′, z)


ขั้นที่ 3.เพราะวา || QP || = || 'QP ||เพราะฉะนั้น || (x, y, 0) || = || (0, y′, 0) ||

|| (x, y, 0) || 2

= || (0, y′, 0) || 2

2x + 2y = (y′)2 ... (1)เพราะวาจุด P′(0, y′, z) อยูบนเสนโคง Cและ สมการเสนโคง C คือ พาราโบลา z = (y′)2, x = 0เพราะฉะนั้น จาก (1) จะได 2x + 2y = zเพราะฉะนั้นพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนเสนโคง C รอบแกน Zมีสมการเปน z = 2x + 2y

หมายเหตุพ้ืนผิวที่เกิดจากการหมุนพาราโบลารอบแกนของพาราโบลาเรียกวา พาราโบลอยดที่เกิดจากการหมุน

รูปแบบทั่วไปของพาราโบลอยด เรียนในหัวขอ 1.4

of 41


ตัวอยาง 1.2.2 จงหาสมการของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนเสนโคง

9y2

+ 4

z2 = 1, x = 0 รอบแกน Yวิธีทาํ

รูปที่ 1.2.4กําหนดเสนโคง C คือ เสนโคง

9y2

+ 4

z2 = 1, x = 0และ แกนหมุนคือ แกน Yการหาสมการของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนขั้นที่ 1. ให P(x, y, z) เปนจุดบนพื้นผิวที่เกิดจาก

การหมุนเสนโคง C รอบแกน Yขั้นที่ 2. ตัดพื้นผิวดวยระนาบ M ซึ่งผานจุด P

และตั้งฉากกับแกน Y ที่จุด Q ... (*)และ ตัดเสนโคง C ที่จุด P′(x′, y′, z′) ... (**)จาก (*) จะได จุด Q มีพิกัดเปน (0, y, 0)และ y = y′


ขั้นที่ 3. จุด Q มีพิกัดเปน (0, y, 0)เพราะวา P′ อยูบนเสนโคง C เพราะฉะนั้น x′ = 0เพราะฉะนั้นจุด P′ มีพิกัดเปน (0, y, z′)เพราะวา || QP || = || 'QP ||เพราะฉะนั้น || (x, 0, z) || = || (0, 0, z′) ||

|| (x, 0, z) ||2

= || (0, 0, z′) ||2

2x + 2z = (z′)2

41( 2x + 2z ) = 4

1(z′)2 ... (1)เพราะวาจุด P′ อยูบนเสนโคง C

เพราะฉะนั้น 9y2

+ 4)z( 2′ = 1

จาก (1) จะได 41( 2x + 2z ) = 1 -

9y2

เพราะฉะนั้น4

x2 + 9y2

+ 4

z2 = 1เพราะฉะนั้นพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนเสนโคง C รอบแกน Yมีสมการเปน

4x2 +

9y2

+ 4

z2 = 1

หมายเหตุ พ้ืนผิวที่เกิดจากการหมุนวงรีรอบ แกนเอกหรือ แกนโท เรียกวา อิลลิปซอยดที่เกิดจากการหมุน


ตัวอยาง 1.2.3 จงหาสมการของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุน

เสนโคง 4

x2 - 9y2

= 1, z = 0 รอบแกน Xวิธีทาํ

รูปที่ 1.2.5เสนโคง C คือ เสนโคง

4x2 -

9y2

= 1, z = 0และ แกนหมุนคือ แกน Xการหาสมการของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนขั้นที่ 1. ให P(x, y, z) เปนจุดบนพื้นผิวที่เกิดจาก

การหมุนเสนโคง C รอบแกน Xขั้นที่ 2. ตัดพื้นผิวดวยระนาบ M ซึ่งผานจุด P

และตั้งฉากกับแกน X ที่จุด Qและ ตัดเสนโคง C ที่จุด P′(x′, y′, z′)

เพราะฉะนั้นจุด Q มีพิกัด (x, 0, 0) และ x = x′ และ z′ = 0เพราะฉะนั้นจุด P′ มีพิกัดเปน (x, y′, 0)


ขั้นที่ 3. เพราะวา || QP || = || 'QP ||เพราะฉะนั้น || (0, y, z) || = || (0, y′, 0) ||

|| (0, y, z) ||2

= || (0, y′, 0) ||2

2y + 2z = (y′)2 ... (1)เพราะวาจุด P′(x, y′, 0) อยูบนเสนโคง C

เพราะฉะนั้น 4

x2 - 9)y( 2′ = 1

จาก (1) จะได 91 ( 2y + 2z ) =

4x2 - 1

4

x2 - 9y2

- 9z2 = 1

เพราะฉะนั้นพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนเสนโคง C รอบแกน Xมีสมการเปน

4x2 -

9y2

- 9z2 = 1

หมายเหตุ พ้ืนผิวที่เกิดจากการหมุนไฮเพอรโบลา รอบแกนตามขวาง หรือ แกนสังยุคเรียกวา ไฮเพอรโบลอยดที่เกิดจากการหมุน

of 41


แบบฝกหัด 1.2จงหาสมการของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนเสนโคงในระนาบ รอบแกนพิกัด ท่ีกําหนดให

1. 3z + 4y = 12 , x = 0 รอบแกน Y2. 2y = 3(x – 2) , z = 0 รอบแกน X3. y = 4 z , x = 0 รอบแกน Z4. 2x + 2z = 25 , y = 0 รอบแกน X5. 16 2y + 9 2z = 144 , x = 0 รอบแกน Y6. 16 2x + 2z = 16 , y = 0 รอบแกน Z

7. 16x2 + 25

y2 = 1 , z = 0 รอบแกน Y

8. 4x2 – 9

y2 = 1 , z = 0 รอบแกน X

9. (y – 4) 2 = 12(x – 2) , z = 0 รอบแกน Y

10. 4 2x – 2y = 1 , z = 0 รอบแกน Y

เฉลยแบบฝกหัด 1.21. 9 2x – 16 2y + 9 2z + 96y – 144 = 0 2. 2y + 2z – 3x + 6 = 0

3. 2x + 2y – 16z = 0 4. 2x + 2y + 2z = 255. 9 2x + 16 2y + 9 2z = 144 6. 16 2x + 16 2y + 2z = 16

7. 25 2x + 16 2y + 25 2z = 400 8. 9 2x – 4 2y – 4 2z = 369. 144 2x + 144 2z = ((y – 4) 2 + 24) 2 10. 4 2x – 2y + 4 2z = 1

of 41


1.3 การพิจารณาลักษณะของพื้นผิวจากสมการในหัวขอนี้เราจะศึกษาปญหาเกี่ยวกับการเขียนรูปของพื้นผิวจากสมการที่กําหนดให โดยพิจารณาลักษณะที่สําคัญของพื้นผิว คือ

จุดตัดแกนขอบเขตของตัวแปรรอยตัดของพื้นผิวดวยระนาบ

และ การมีสมมาตรของพื้นผิว

จุดตัดแกนให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพื้นผิว

ถา f(x, 0, 0) = 0 แลว (x, 0, 0) เปนจุดตัดแกน Xถา f(0, y, 0) = 0 แลว (0, y, 0) เปนจุดตัดแกน Yถา f(0, 0, z) = 0 แลว (0, 0, z) เปนจุดตัดแกน Z

ตัวอยางทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25

มีจุดตัดแกน X คือ (5, 0, 0), (-5, 0, 0)มีจุดตัดแกน Y คือ (0, 5, 0), (0, -5, 0)

และ มีจุดตัดแกน Z คือ (0, 0, 5), (0, 0, -5)


ตัวอยาง 1.3.1 จงหาจุดตัดแกนของพื้นผิว(x + 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 16วิธีทาํ ให f(x, y, z) = (x + 1)2+ (y - 1)2+ (z - 2)2- 16สมมติ f(x, 0, 0) = 0จะได (x + 1)2 + 1 + 4 - 16 = 0

(x + 1)2 = 11x = -1 - 11, -1 + 11

เพราะฉะนั้น(-1 - 11, 0, 0), (-1 + 11, 0, 0) เปนจุดตัดแกน X

สมมติ f(0, y, 0) = 0จะได 1 + (y - 1)2 + 4 - 16= 0

(y - 1)2 = 11 y = 1 - 11, 1 + 11

เพราะฉะนั้น(0, 1 - 11, 0), (0, 1 + 11, 0) เปนจุดตัดแกน Yสมมติ f(0, 0, z) = 0จะได 1 + 1 + (z - 2)2 - 16= 0

(z - 2)2= 14 z = 2 - 14 , 2 + 14

เพราะฉะนั้น(0, 0, 2 - 14 ), (0, 0, 2 + 14 ) เปนจุดตัดแกน Z


ตัวอยาง 1.3.2 จงหาจุดตัดแกนของพื้นผิว z = 2x + 2y

วิธีทาํ ให f(x, y, z) = 2x + 2y - zสมมติ f(x, 0, 0) = 0

2x = 0x = 0

เพราะฉะนั้น (0, 0, 0) เปนจุดตัดแกน Xในทํานองเดียวกัน (0, 0, 0) เปนจุดตัดแกน Y, แกน Z

ตัวอยาง 1.3.3 จงหาจุดตัดแกนของพื้นผิว 2x + 2y - 2z = 4วิธีทาํ ให f(x, y, z) = 2x + 2y - 2z - 4สมมติ f(x, 0, 0) = 0จะได 2x - 4 = 0

x = -2, 2เพราะฉะนั้น (-2, 0, 0), (2, 0, 0) เปนจุดตัดแกน Xสมมติ f(0, y, 0) = 0จะได 2y - 4 = 0

y = -2, 2เพราะฉะนั้น (0, -2, 0), (0, 2, 0) เปนจุดตัดแกน Yสมมติ f(0, 0, z) = 0จะได - 2z - 4 = 0

2z = -4 เปนไปไมไดเพราะฉะนั้นพื้นผิวไมตัดแกน Z


ขอบเขตของตัวแปรการหาขอบเขตของตัวแปร x, y, z ของพ้ืนผิว f(x, y, z) = 0ทําโดยพิจารณาคาที่เปนไปไดของ x, y, zตัวอยางเชนทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25จะได ขอบเขตของตัวแปรคือ-5 ≤ x ≤ 5, -5 ≤ y ≤ 5, -5 ≤ z ≤ 5

โดยทั่วไปจะกลาววา

ขอบเขตของ x คือ { x | มี y, z ∈ R ที่ทําให f(x, y, z) = 0 }ขอบเขตของ y คือ { y | มี x, z ∈ R ที่ทําให f(x, y, z) = 0 }ขอบเขตของ z คือ { z | มี x, y ∈ R ที่ทําให f(x, y, z) = 0 }

of 41


ตัวอยาง 1.3.4 จงหาขอบเขตของตัวแปรของพื้นผิว 2x + 2y - 2z = 4

วิธีทาํ การหาขอบเขตของตัวแปร xจาก 2x + 2y - 2z = 4 จะได x = ± 22 zy4 +−

เพราะวา เมื่อ x เปนจํานวนจริงใด ๆเราสามารถเลือก y = 2 และ z = x จะได 2x + 4 - 2x = 4เพราะฉะนั้น จุด (x, 2, x) อยูบนพื้นผิวเพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร x คือ (-∞, ∞)

การหาขอบเขตของตัวแปร yจาก 2x + 2y - 2z = 4 จะได y = ± 22 zx4 +−

เพราะวา เมื่อ y เปนจํานวนจริงใด ๆเราสามารถเลือก x = 2 และ z = y จะได 4 + 2y - 2y = 4เพราะฉะนั้น จุด (2, y, y) อยูบนพื้นผิวเพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร y คือ (-∞, ∞)

การหาขอบเขตของตัวแปร zจาก 2x + 2y - 2z = 4 จะได z = ± 4yx 22 −+

เพราะวา เมื่อ z เปนจํานวนจริงใด ๆเราสามารถเลือก x = z และ y = 2 จะได 2z + 4 - 2z = 4เพราะฉะนั้น จุด (z, 2, z) อยูบนพื้นผิวเพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร z คือ (-∞, ∞)


ตัวอยาง 1.3.5 จงหาขอบเขตของตัวแปรของพื้นผิวz = 2x + 2y

วิธีทาํ การหาขอบเขตของตัวแปร xจาก z = 2x + 2y จะได x = ± 2yz −

เพราะวา เมื่อ x เปนจํานวนจริงใด ๆเราสามารถเลือก y = 0 และ z = 2x จะได 2x = 2x + 20

เพราะฉะนั้น จุด (x, 0, 2x ) อยูบนพื้นผิวเพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร x คือ (-∞, ∞)การหาขอบเขตของตัวแปร yจาก z = 2x + 2y จะได y = ± 2xz −

เพราะวา เมื่อ y เปนจํานวนจริงใด ๆเราสามารถเลือก x = 0 และ z = 2y จะได 2y = 20 + 2y

เพราะฉะนั้น จุด (0, y, 2y ) อยูบนพื้นผิวเพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร y คือ (-∞, ∞)การหาขอบเขตของตัวแปร zจาก z = 2x + 2y จะเห็นวา z ≥ 0เพราะวา ทุกจํานวนจริง z ≥ 0 เราเลือก x = z และ y = 0จะได z = ( z )2 + 20

เพราะฉะนั้น จุด ( z , 0, z) อยูบนพื้นผิวเพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร z คือ [0, ∞)


รอยตัดของพื้นผิวกับระนาบพ้ืนผิว f(x, y, z) = 0เมื่อ แทนคา x = 0x จะได f( 0x , y, z) = 0, x = 0x

เปนสมการของรอยตัดของพื้นผิวกับระนาบ x = 0x

ซึ่งเราจะเรียกวา รอยตัดบนระนาบ x = 0x

ตัวอยางพ้ืนผิว 2y + 2z = 4x + 4เมื่อแทนคา x = 3 จะได 2y + 2z = 16เพราะฉะนั้นรอยตัดของพื้นผิว 2y + 2z = 4x + 4 กับระนาบ x = 3มีสมการเปน 2y + 2z = 16, x = 3และ มีกราฟเปนวงกลมโดยมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (3, 0, 0) และรัศมีเทากับ 4


พ้ืนผิว f(x, y, z) = 0เมื่อ แทนคา y = 0y จะได f(x, 0y , z) = 0, y = 0y

เปนสมการของรอยตัดของพื้นผิวกับระนาบ y = 0y

ซึ่งเราจะเรียกวา รอยตัดบนระนาบ y = 0y

ตัวอยาง พ้ืนผิว 2y + 2z = 4x + 4เมื่อแทนคา y = 2 จะได 2z = 4xเพราะฉะนั้นรอยตัดของพื้นผิว 2y + 2z = 4x + 4 กับระนาบ y = 2มีสมการเปน 2z = 4x, y = 2และมีกราฟเปนพาราโบลา จุดยอดอยูที่จุด (0, 2, 0)

พ้ืนผิว f(x, y, z) = 0เมื่อ แทนคา z = 0z จะได f(x, y, 0z ) = 0, z = 0z

เปนสมการของรอยตัดของพื้นผิวกับระนาบ z = 0z

ซึ่งเราจะเรียกวา รอยตัดบนระนาบ z = 0z

ตัวอยาง พ้ืนผิว 2y + 2z = 4x + 4เมื่อแทนคา z = 0 จะได 2y = 4x + 4เพราะฉะนั้นรอยตัดของพื้นผิว 2y + 2z = 4x + 4 กับระนาบ z = 0มีสมการเปน 2y = 4x + 4, z = 0 และมีกราฟเปนพาราโบลา จุดยอดอยูที่จุด (-1, 0, 0)

of 41


ตัวอยาง 1.3.6 กําหนดสมการของพื้นผิวเปน9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0

1. จงหาขอบเขตของตัวแปร2. จงพิจารณารอยตัดบนระนาบ YZ และ XZ3. จงพิจารณารอยตัดบนระนาบ z = k เมื่อ k เปนจํานวนจริง4. จงเขียนกราฟของพื้นผิววิธีทาํ1. การหาขอบเขตของตัวแปร xจาก 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0จะได x = ± 3

1 z12y16144 2 +−

เพราะวา เมื่อ x เปนจํานวนจริงใด ๆเราสามารถเลือก y = 0 และ z = 4

3 2x - 12จะได 9 2x + 16(0)2 - 12( 4

3 2x - 12) - 144= 9 2x + 0 - 9 2x + 144 - 144= 0

เพราะฉะนั้น จุด (x, 0, 43 2x - 12) อยูบนพื้นผิว

เพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร x คือ (-∞, ∞)


การหาขอบเขตของตัวแปร yจาก 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0จะได y = ± 4

1 z12x9144 2 +−

เพราะวา เมื่อ y เปนจํานวนจริงใด ๆเลือก x = 0 และ z = 3

4 2y - 12 จะได9(0)2 + 16 2y - 12(3

4 2y - 12) - 144= 0 + 16 2y - 16 2y + 144 - 144 = 0

เพราะฉะนั้น จุด (0, y, 34 2y - 12) อยูบนพื้นผิว

เพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร y คือ (-∞, ∞)

การหาขอบเขตของตัวแปร zจาก 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0จะได z =

121 (9 2x + 16 2y - 144)

เพราะวา 9 2x + 16 2y ≥ 0เพราะฉะนั้น 9 2x + 16 2y - 144 ≥ -144จะได z =

121 (9 2x + 16 2y - 144) ≥ -12

สําหรับ z ≥ -12 เลือก x = 0 และ y = 41 z12144 +

จะได 9(0)2 + 16(41 z12144 + )2 - 12z - 144

= 0 + 144 + 12z - 12z - 144 = 0เพราะฉะนั้น จุด (0, 4

1 z12144 + , z) อยูบนพื้นผิวเพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร z คือ [-12, ∞)


2. การพิจารณารอยตัดบนระนาบ YZแทนคา x = 0 ในสมการของพื้นผิวจะได

16 2y - 12z - 144 = 0 16 2y = 12(z + 12)

2y = 43(z + 12)

เพราะฉะนั้นรอยตัดบนระนาบ x = 0มีสมการเปน 2y = 4

3(z + 12), x = 0 ซึ่งมีกราฟเปนพาราโบลา

การพิจารณารอยตัดบนระนาบ XZแทนคา y = 0 ในสมการของพื้นผิวจะได

9 2x - 12z - 144 = 09 2x = 12(z + 12) 2x = 3

4(z + 12)เพราะฉะนั้นรอยตัดบนระนาบ XZ มีสมการเปน

2x = 34(z + 12), y = 0 ซึ่งมีกราฟเปนพาราโบลา

การพิจารณารอยตัดบนระนาบ XYเพราะวา ขอบเขตของตัวแปร z คือ [-12, ∞)เพราะฉะนั้น ไมมีรอยตัด


3. การพิจารณารอยตัดบนระนาบ z = k เมื่อ k ∈ Rให z = k เมื่อ k เปนจํานวนจริงเพราะฉะนั้นรอยตัดบนระนาบ z = k มีสมการเปน9 2x + 16 2y = 12k + 144 = 0, z = kกรณีที่ 1. k < -12 ไมมีรอยตัดกรณีที่ 2. k = -12

จะไดรอยตัดเปนจุด (0, 0, -12) จุดเดียวเทานั้นกรณีที่ 3. k > -12

จะไดรอยตัดเปนวงรี จุดศูนยกลางอยูที่จุด (0, 0, k)และวงรีจะมีขนาดใหญขึ้นเมื่อ k มีคาเพ่ิมขึ้น

4. กราฟของพื้นผิว 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0 คือ

รูปที่ 1.3.1หมายเหตุ จากตัวอยาง 1.3.6 เราสามารถบอกขอบเขตของตัวแปร z ไดจากการพิจารณารอยตัดบนระนาบ z = k

of 41


การมีสมมาตรแบบตาง ๆ ของพื้นผิวการตรวจสอบวาพื้นผิว S มีสมมาตรกับระนาบ XY, YZ, XZ

กําหนดให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพื้นผิว S

1. พ้ืนผิว S มีสมมาตรกับระนาบ XY ก็ตอเมื่อถา จุด (x, y, z) อยูบน S แลว จุด (x, y, -z) อยูบน S

เพราะฉะนั้นการตรวจสอบวาพ้ืนผิว Sมีสมมาตรกับระนาบ XY หรือไม สามารถทําไดโดย

แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (x, y, -z)ถาสมการไมเปลี่ยนแปลง กลาวคือไดวา f(x, y, -z) = 0จะสรุปไดวาพ้ืนผิว S มีสมมาตรกับระนาบ XY

ตัวอยางพ้ืนผิว 2y + 2z = 12 - 4x มีสมมาตรกับระนาบ XYพ้ืนผิว 9 2x - 2z = 16y มีสมมาตรกับระนาบ XYพ้ืนผิว 2x + 2y = z ไมมีสมมาตรกับระนาบ XY


2. พ้ืนผิว S มีสมมาตรกับระนาบ YZ ก็ตอเมื่อถา จุด (x, y, z) อยูบน S แลวจุด (-x, y, z) อยูบน Sเพราะฉะนั้นการตรวจสอบวาพ้ืนผิว S มีสมมาตรกับระนาบYZ หรือไม สามารถทําไดโดยแทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, y, z)ถาสมการไมเปลี่ยนแปลง กลาวคือไดวา f(-x, y, z) = 0จะสรุปไดวาพ้ืนผิว S มีสมมาตรกับระนาบ YZตัวอยาง พ้ืนผิว 2x + 2y = z มีสมมาตรกับระนาบ YZพ้ืนผิว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมีสมมาตรกับระนาบ YZพ้ืนผิว 9 2x - 2z = 16y มีสมมาตรกับระนาบ YZ

3. พ้ืนผิว S มีสมมาตรกับระนาบ XZ ก็ตอเมื่อถา จุด (x, y, z) อยูบน S แลว จุด (x, -y, z) อยูบน Sเพราะฉะนั้นการตรวจสอบวาพ้ืนผิว S มีสมมาตรกับระนาบXZ หรือไม สามารถทําไดโดยแทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (x, -y, z)ถาสมการไมเปลี่ยนแปลง กลาวคือไดวา f(x, -y, z) = 0จะสรุปไดวาพ้ืนผิว S มีสมมาตรกับระนาบ XZตัวอยาง พ้ืนผิว 2y + 2z = 12 - 4x มีสมมาตรกับระนาบ XZพ้ืนผิว 9 2x - 2z = 16y ไมมีสมมาตรกับระนาบ XZพ้ืนผิว 2x + 2y = z มีสมมาตรกับระนาบ XZ


การตรวจสอบวาพื้นผิว S มีสมมาตรกับแกน X, Y, Zกําหนดให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพื้นผิว S1. พ้ืนผิว S มีสมมาตรกับแกน X ก็ตอเมื่อถา จุด (x, y, z) อยูบน S แลวจุด (x, -y, -z) อยูบน Sเพราะฉะนั้นการตรวจสอบวาพ้ืนผิว S มีสมมาตรกับแกน Xหรือไม สามารถทําไดโดย

แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (x, -y, -z)ถาสมการไมเปลี่ยนแปลง กลาวคือไดวา f(x, -y, -z) = 0จะสรุปไดวาพ้ืนผิว S มีสมมาตรกับแกน X

ตัวอยางพ้ืนผิว 2y + 2z = 12 - 4x มีสมมาตรกับแกน Xพ้ืนผิว 9 2x - 2z = 16y ไมมีสมมาตรกับแกน Xพ้ืนผิว 2x + 2y = z ไมมีสมมาตรกับแกน X


2. พ้ืนผิว S มีสมมาตรกับแกน Y ก็ตอเมื่อถา จุด (x, y, z) อยูบน S แลวจุด (-x, y, -z) อยูบน Sเพราะฉะนั้นการตรวจสอบวาพ้ืนผิว S มีสมมาตรกับแกน Yหรือไม สามารถทําไดโดยแทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, y, -z)ถาสมการไมเปลี่ยนแปลง กลาวคือไดวา f(-x, y, -z) = 0จะสรุปไดวาพ้ืนผิว S มีสมมาตรกับแกน Yตัวอยาง พ้ืนผิว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมีสมมาตรกับแกน Yพ้ืนผิว 9 2x - 2z = 16y มีสมมาตรกับแกน Yพ้ืนผิว 2x + 2y = z ไมมีสมมาตรกับแกน Y

3. พ้ืนผิว S มีสมมาตรกับแกน Z ก็ตอเมื่อถา จุด (x, y, z) อยูบน S แลวจุด (-x, -y, z) อยูบน Sเพราะฉะนั้นการตรวจสอบวาพ้ืนผิว S มีสมมาตรกับแกน Zหรือไม สามารถทําไดโดยแทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, -y, z)ถาสมการไมเปลี่ยนแปลง กลาวคือไดวา f(-x, -y, z) = 0จะสรุปไดวาพ้ืนผิว S มีสมมาตรกับแกน Zตัวอยาง พ้ืนผิว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมีสมมาตรกับแกน Zพ้ืนผิว 9 2x - 2z = 16y ไมมีสมมาตรกับแกน Zพ้ืนผิว 2x + 2y = z มีสมมาตรกับแกน Z

of 41


การตรวจสอบวาพื้นผิว S มีสมมาตรกับจุด (0, 0, 0)กําหนดให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพื้นผิว Sพ้ืนผิว S มีสมมาตรกับจุด (0, 0, 0) ก็ตอเมื่อถา จุด (x, y, z) อยูบน S แลวจุด (-x, -y, -z) อยูบน Sเพราะฉะนั้นการตรวจสอบวาพ้ืนผิว Sมีสมมาตรกับจุด (0, 0, 0) หรือไม สามารถทําไดโดย

แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, -y, -z)ถาสมการไมเปลี่ยนแปลง กลาวคือไดวา f(-x, -y, -z) = 0จะสรุปไดวาพ้ืนผิว S มีสมมาตรกับจุด (0, 0, 0)

ตัวอยางพ้ืนผิว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมีสมมาตรกับจุด (0, 0, 0)พ้ืนผิว 9 2x - 2z = 16y ไมมีสมมาตรกับจุด (0, 0, 0)พ้ืนผิว 2x + 2y + 2z = 16 มีสมมาตรกับจุด (0, 0, 0)


การตรวจสอบวาพื้นผิว S มีสมมาตรกับจุด Qจุด P และ จุด P′ มีสมมาตรกับจุด Qก็ตอเมื่อ Q เปนจุดกึ่งกลางของ PP ′


กําหนดให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพื้นผิว S

พ้ืนผิว S มีสมมาตรกับจุด Qก็ตอเมื่อ ทุกจุด P บน S ตองมีจุด P′ บน S ที่ทําให P และ P′ มีสมมาตรกับจุด Q

ตัวอยาง พ้ืนผิว (x - 1)2 + 2y + 2z = 25มีสมมาตรกับจุด Q(1, 0, 0)

พ้ืนผิว4

)1x( 2− + 16

)2y( 2− - 9z2 = 1

มีสมมาตรกับจุด Q(1, 2, 0)

พ้ืนผิว 9 2x + 16 2y + 25 2z = 3600มีสมมาตรกับจุด Q(0, 0, 0)

หมายเหตุ จุดสมมาตรของพื้นผิว เรียกวา จุดศูนยกลางของพ้ืนผิว


การตรวจสอบวาพื้นผิว S มีสมมาตรกับเสนตรง Lจุด P และ จุด P′ มี สมมาตรกับเสนตรง L ก็ตอเมื่อ

PP ′ ตัดกับ L เปนมุมฉาก และ P กับ P′ สมมาตรกับจุดตัด

รูปที่ 1.3.3พ้ืนผิว S มีสมมาตรกับเสนตรง Lก็ตอเมื่อ ทุกจุด P บน S ตองมีจุด P′ บน S ที่ทําให P และ P′มีสมมาตรกับ L

ตัวอยางพ้ืนผิว (x - 1)2 + 2y + 2z = 25มีสมมาตรกับเสนตรง L : x = 1, y = t, z = 0เมื่อ t เปนจํานวนจริง


ตัวอยาง 1.3.7 จงพิจารณาการมีสมมาตรกับแกนพิกัดของพื้นผิว 2x + 2y - 4z - 12 = 0วิธีทาํ จากสมการของพื้นผิว คือ 2x + 2y - 4z - 12 = 0ให f(x, y, z) = 2x + 2y - 4z - 12 = 0เพราะวา f(x, -y, -z) = 2x + (-y)2 - 4(-z) - 12

= 2x + 2 2y + 4z - 12≠ f(x, y, z)

เพราะฉะนั้น พ้ืนผิวไมมีสมมาตรกับแกน X

เพราะวา f(-x, y, -z) = (-x)2 + 2y - 4(-z) - 12= 2x + 2y + 4z - 12≠ f(x, y, z)

เพราะฉะนั้น พ้ืนผิวไมมีสมมาตรกับแกน Y

เพราะวา f(-x, -y, z) = (-x)2 + (-y)2 - 4z - 12= 2x + 2y - 4z - 12= f(x, y, z)

เพราะฉะนั้น พ้ืนผิวมีสมมาตรกับแกน Z

of 41


ตัวอยาง 1.3.8 กําหนดใหพ้ืนผิว S มีสมการเปน

4x2 +

36y2

+ 16z2 = 1

1. จงหาจุดตัดแกน2. จงหาขอบเขตของตัวแปร3. จงพิจารณาการมีสมมาตร กับระนาบ XY, YZ, XZ4. จงพิจารณารอยตัดบนระนาบ XY, YZ และ XZ5. จงพิจารณารอยตัดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k

เมื่อ k เปนจํานวนจริง6. จงเขียนกราฟของพื้นผิว

วิธีทาํ ให f(x, y, z) = 4

x2 + 36y2

+ 16z2 - 1 = 0

1. การหาจุดตัดแกนสมมติ f(x, 0, 0) = 0 จะได 2x = 4 จะได x = -2, 2เพราะฉะนั้นจุดตัดแกน X คือ (2, 0, 0) และ (-2, 0, 0)

สมมติ f(0, y, 0) = 0 จะได 2y = 36 จะได y = -6, 6เพราะฉะนั้นจุดตัดแกน Y คือ (0, 6, 0) และ (0, -6, 0)

สมมติ f(0, 0, z) = 0จะได 2z = 16 จะได z = -4, 4เพราะฉะนั้นจุดตัดแกน Z คือ (0, 0, 4) และ (0, 0, -4)


2. การหาขอบเขตของตัวแปร

เพราะวา 1 - 4

x2 = 36y2

+ 16z2 ≥ 0 เพราะฉะนั้น

4x2 ≤ 1

เพราะฉะนั้น x ∈ [-2, 2]เพราะวา สําหรับจํานวนจริง x ∈ [-2, 2]เลือก y = 6

4x1

2− และ z = 0

จะได 4

x2 + 361 (6

4x1

2− )2 +

16)0( 2

= 4

x2 + 1 - 4

x2 = 1

เพราะฉะนั้น จุด (x, 64

x12

− , 0) อยูบนพื้นผิวเพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร x คือ [-2, 2]

เพราะวา 1 - 36y2

= 4

x2 + 16z2 ≥ 0 เพราะฉะนั้น

36y2

≤ 1เพราะฉะนั้น y ∈ [-6, 6]เพราะวา สําหรับจํานวนจริง y ∈ [-6, 6]

เลือก x = 236y1

2− และ z = 0

จะได 41(2

36y1

2− )2 +

36y2

+ 16)0( 2

= 1 - 36y2

+ 36y2

= 1

เพราะฉะนั้น จุด (236y1

2− , y, 0) อยูบนพื้นผิว

เพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร y คือ [-6, 6]


เพราะวา 1 - 16z2 =

4x2 +

36y2

≥ 0 เพราะฉะนั้น 16z2 ≤ 1

เพราะฉะนั้น z ∈ [-4, 4]เพราะวา สําหรับจํานวนจริง z ∈ [-4, 4]เลือก x = 2

16z1

2− และ y = 0

จะได 41(2

16z1

2− )2 +

36)0( 2

+ 16z2 = 1 -

16z2 +

16z2 = 1

เพราะฉะนั้น จุด (216z1

2− , 0, z) อยูบนพื้นผิว

เพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร y คือ [-4, 4]

3. การพิจารณาสมมาตรของพื้นผิวกับระนาบ XY, YZ, XZ

เพราะวา f(x, y, -z) = 4

x2 + 36y2

+ 16z2 - 1 = 0

เพราะฉะนั้น พ้ืนผิว S มีสมมาตรกับระนาบ XY

เพราะวา f(-x, y, z) = 4

x2 + 36y2

+ 16z2 - 1 = 0

เพราะฉะนั้น พ้ืนผิว S มีสมมาตรกับระนาบ YZ

เพราะวา f(x, -y, z) = 4

x2 + 36y2

+ 16z2 - 1 = 0

เพราะฉะนั้น พ้ืนผิว S มีสมมาตรกับระนาบ XZ


4. พิจารณารอยตัดบนระนาบ XY, YZ และ XZ

แทนคา x = 0 จะได 36y2

+ 16z2 = 1

เพราะฉะนั้นรอยตัดบนระนาบ YZ มีกราฟเปนวงรีแทนคา y = 0 จะได

4x2 +

16z2 = 1

เพราะฉะนั้นรอยตัดบนระนาบ XZ มีกราฟเปนวงรี

แทนคา z = 0 จะได 4

x2 + 36y2

= 1เพราะฉะนั้นรอยตัดบนระนาบ XY มีกราฟเปนวงรี

5. การพิจารณารอยตัดบนระนาบ x = k, y = k และ z = kเมื่อ k เปนจํานวนจริงรอยตัดบนระนาบ x = k เมื่อ k เปนจํานวนจริง

มีสมการเปน 36y2

+ 16z2 = 1 -

4k2 , x = k

กรณีที่ 1. | k | < 2 จะไดรอยตัดเปนวงรีกรณีที่ 2. | k | = 2

จะไดรอยตัดเปนจุด (2, 0, 0) และ (-2, 0, 0)กรณีที่ 3. | k | > 2 ไมมีรอยตัด

of 41


รอยตัดบนระนาบ y = k เมื่อ k เปนจํานวนจริงมีสมการเปน

4x2 +

16z2 = 1 -

36k2 , y = k


จะไดรอยตัดเปนจุด (0, 6, 0) และ (0, -6, 0)กรณีที่ 3. | k | > 6 ไมมีรอยตัด

รอยตัดบนระนาบ z = k เมื่อ k เปนจํานวนจริง

มีสมการเปน 4

x2 + 36y2

= 1 - 16k2 , z = k


จะไดรอยตัดเปนจุด (0, 0, 4) และ (0, 0, -4)กรณีที่ 3. | k | > 4 ไมมีรอยตัด


6. การเขียนกราฟของพื้นผิวอาจพิจารณาจากรอยตัดบนระนาบ z = k ซึ่งจะเห็นวา

รอยตัดเริ่มจากจุด (0, 0, -4)และ เมื่อ k มีคาเพ่ิมขึ้น รอยตัดจะเปนวงรี

ซึ่งวงรีจะมีขนาดใหญขึ้นเรื่อย ๆ จนมีขนาดใหญที่สุดเมื่อ k = 0

จากนั้นขนาดของวงรีจะเล็กลงเรื่อย ๆ จนกลายเปนจุด (0, 0, 4)จากการพิจารณาขางตน จะได

กราฟของพื้นผิว 4

x2 + 36y2

+ 16z2 = 1 คือ

รูปที่ 1.3.4หมายเหตุ พ้ืนผิวนี้เรียกวา อิลลิปซอยด


ตัวอยาง 1.3.9 กําหนดใหพ้ืนผิว S มีสมการเปน

9x2 - 2y +

25z2 = 1

1. จงหาจุดตัดแกน2. จงหาขอบเขตของตัวแปร3. จงพิจารณาการมีสมมาตร กับระนาบ XY, YZ, XZ4. จงพิจารณารอยตัดบนระนาบ XY, YZ และ XZ5. จงพิจารณารอยตัดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k

เมื่อ k เปนจํานวนจริง6. จงเขียนกราฟของพื้นผิววิธีทาํ ให f(x, y, z) =

9x2 - 2y +

25z2 - 1 = 0 ... (1)

1. การหาจุดตัดแกนสมมติ f(x, 0, 0) = 0 จะได 2x = 9 จะได x = -3, 3เพราะฉะนั้นจุดตัดแกน X คือ (-3, 0, 0) และ (3, 0, 0)

สมมติ f(0, y, 0) = 0 จะได 2y = -1 ซึ่งเปนไปไมไดเพราะฉะนั้นพื้นผิวไมตัดแกน Y

สมมติ f(0, 0, z) = 0 จะได 2z = 25 จะได z = -5, 5เพราะฉะนั้นจุดตัดแกน Z คือ (0, 0, 5) และ (0, 0, -5)


2. การหาขอบเขตของตัวแปรจาก (1) จะได x = ± 3

25zy1

22 −+

เพราะวา เมื่อ x เปนจํานวนจริงใด ๆเลือก y = 3

x และ z = 5 จะได 9

x2 - 9

x2 + 1 = 1เพราะฉะนั้น จุด (x, 3

x , 5) อยูบนพื้นผิวเพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร x คือ (-∞, ∞)

จาก (1) จะได y = ± 125z

9x 22

−+

เพราะวา เมื่อ y เปนจํานวนจริงใด ๆเราสามารถเลือก x = 3y และ z = 5จะได 2y - 2y + 1 = 1เพราะฉะนั้น จุด (3y, y, 5) อยูบนพื้นผิวเพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร y คือ (-∞, ∞)

จาก (1) จะได z = ± 5 22y

9x1 +−

เพราะวา เมื่อ z เปนจํานวนจริงใด ๆเราสามารถเลือก x = 3 และ y = 5

z

จะได 1 - 25z2 +

25z2 = 1

เพราะฉะนั้น จุด (3, 5z , z) อยูบนพื้นผิว

เพราะฉะนั้นขอบเขตของตัวแปร z คือ (-∞, ∞)

of 41


3. การพิจารณาสมมาตรของพื้นผิวกับระนาบ XY, YZ, XZเพราะวา f(x, y, -z) =

9x2 - 2y +

25z2 - 1 = 0

เพราะฉะนั้น พ้ืนผิว S มีสมมาตรกับระนาบ XY

เพราะวา f(-x, y, z) = 9

x2 - 2y + 25z2 - 1 = 0

เพราะฉะนั้น พ้ืนผิว S มีสมมาตรกับระนาบ YZ

เพราะวา f(x, -y, z) = 9

x2 - 2y + 25z2 - 1 = 0

เพราะฉะนั้น พ้ืนผิว S มีสมมาตรกับระนาบ XZ

4. การพิจารณารอยตัดบนระนาบ XY, และ XZแทนคา x = 0 จะได - 2y +

25z2 = 1

เพราะฉะนั้นรอยตัดบนระนาบ YZ มีกราฟเปนไฮเพอรโบลา

แทนคา y = 0 จะได 9

x2 + 25z2 = 1

เพราะฉะนั้นรอยตัดบนระนาบ XZ มีกราฟเปนวงรี

แทนคา z = 0 จะได 9

x2 - 2y = 1เพราะฉะนั้นรอยตัดบนระนาบ XY มีกราฟเปนไฮเพอรโบลา


5. การพิจารณารอยตัดบนระนาบ x = k, y = k และ z = kเมื่อ k เปนจํานวนจริงรอยตัดบนระนาบ x = k เมื่อ k เปนจํานวนจริงมีสมการเปน - 2y +

25z2 = 1 -

9k2 , x = k

กรณีที่ 1. | k | < 3 จะไดรอยตัดเปนไฮเพอรโบลาที่มีแกนตามขวางขนานกับแกน Z

กรณีที่ 2. | k | = 3 จะไดรอยตัดเปนเสนตรงสองเสนตัดกันกรณีที่ 3. | k | > 3 จะไดรอยตัดเปนไฮเพอรโบลาที่มี

แกนตามขวางขนานกับแกน Y

รอยตัดบนระนาบ y = k เมื่อ k เปนจํานวนจริงมีสมการเปน

9x2 +

25z2 = 1 + 2k , y = k

เพราะฉะนั้นรอยตัดเปนวงรีทุกคา kรอยตัดบนระนาบ z = k เมื่อ k เปนจํานวนจริงมีสมการเปน

9x2 - 2y = 1 -

25k2 , z = k

กรณีที่ 1. | k | < 5 จะไดรอยตัดเปนไฮเพอรโบลาที่มีแกนตามขวางขนานกับแกน X

กรณีที่ 2. | k | = 5 จะไดรอยตัดเปนเสนตรงสองเสนตัดกันกรณีที่ 3. | k | > 5 จะไดรอยตัดเปนไฮเพอรโบลาที่มี

แกนตามขวางขนานกับแกน Y


6. การเขียนกราฟของพื้นผิวอาจพิจารณาจากรอยตัดบนระนาบ y = kซึ่งไดรอยตัดเปนวงรีและขนาดของวงรีแปรเปลี่ยนตามคาของ kโดย วงรีมีขนาดเล็กที่สุดเมื่อ k = 0และ วงรีจะมีขนาดใหญขึ้นอยางไมมีขีดจํากัดเมื่อ | k |

มีคาเพ่ิมขึ้นอยางไมมีขีดจํากัดจากการพิจารณาขางตนจะไดกราฟของพื้นผิว

9x2 - 2y +

25z2 = 1 คือ

รูปที่ 1.3.5หมายเหตุ พ้ืนผิวนี้เรียกวาอิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว


แบบฝกหัด 1.3จงพิจารณาลักษณะกราฟของพื้นผิวที่กําหนดให1. จงหาจุดตัดแกน2. จงหาขอบเขตของตัวแปร3. จงพิจารณาการมีสมมาตร กับระนาบ XY, YZ, XZ4. จงพิจารณารอยตัดบนระนาบ XY, YZ และ XZ5. จงพิจารณารอยตัดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k

เมื่อ k เปนจํานวนจริง6. จงเขียนกราฟของพื้นผิว1. 4 2x + 9 2y + 16 2z - 144 = 02. 2x - 2y + 4 2z - 4 = 03. 2x + 2y - z = 04. 2x + 2y + 8z = 05. 2x + 2y - 4y = 06. 2x + 2y - 2z = 0

of 41


1.4 พื้นผิวควอดริกเรขาคณิตวิเคราะหเบื้องตนในปริภูมิสองมิติy = mx + c หรือ ax + by + c = 0 มีกราฟเปนเสนตรงy = a 2x + bx + c, x = a 2y + by + c มีกราฟเปนพาราโบลา

2x + 2y = 2r มีกราฟเปนวงกลม

2

2

ax +

2

2

by = 1 หรือ

2

2

ay +

2

2

bx = 1 มีกราฟเปนวงรี

2

2

ax -

2

2

by = 1 หรือ

2

2

ay -

2

2

bx = 1 มีกราฟเปนไฮเพอรโบลา

ในหัวขอนี้เราจะศึกษาลักษณะของกราฟของสมการกําลังสองของสามตัวแปร x, y, z ซึ่งมีรูปทั่วไปเปนA 2x + B 2y + C 2z + Dxy + Exz + Fyz

+ Gx + Hy + Kz + L = 0 ... (1)เมื่อ A, B, C, D, E, F ไมเปนศูนยพรอมกันถากราฟของสมการนี้เปนพื้นผิว แลว เรียกวา พื้นผิวควอดริกพ้ืนผิวควอดริกที่สําคัญคือ

อิลลิปซอยดอิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียวอิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดขนิดสองชิ้นกรวยอิลลิปติกอิลลิปติกพาราโบลอยด

และ ไฮเพอรโบลิกพาราโบลอยด


การขจัดพจน Dxy + Exz + Fyz ของสมการA 2x + B 2y + C 2z + Dxy + Exz + Fyz

+ Gx + Hy + Kz + L = 0 ... (1)ใชการเปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัด จาก XYZ เปน X′Y′Z′เพ่ือจะไดพิจารณารูปแบบของกราฟไดงายขึ้นตัวอยาง การขจัดพจน xy ออกจากสมการพื้นผิว

2x + 2y + 2z + 4xy - 4 = 0โดยการเปลี่ยนตัวแปร x =

21 x′ +

21 y′

y = 2

1 x′ - 2

1 y′

z = z′แทนคาในสมการ 2x + 2y + 2z + 4xy - 4 = 0 จะได(

21 x′ +

21 y′)2 + (

21 x′ -

21 y′)2 + (z′)2

+ 4(2

1 x′ + 2

1 y′)(2

1 x′ - 2

1 y′) - 4 = 0

21(x′)2 + x′y′ + 2

1(y′)2 + 21(x′)2 - x′y′ +2

1(y′)2

+ (z′)2 + 2(x′)2 - 2(y′)2 = 4 3(x′)2 - (y′)2 + (z′)2 = 4

ซึ่งมีกราฟเปน อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว

หมายเหตุ สูตรการเปลี่ยนตัวแปร จะเรียนในหัวขอตอไป


การขจัดพจน Gx + Hy + Kz ออกจากสมการA 2x + B 2y + C 2z + Gx + Hy + Kz + L = 0 ... (2)เมื่อ A, B, C ไมเปนศูนยพรอมกันใชการยายจุดกําเนิด ดวยการจัดรูปแบบกําลังสองสมบูรณตัวอยาง การขจัดพจน x, y, z กําลังหนึ่งออกจากสมการ

2x + 2y + 2z + 4x + 8y + 4 = 0จัดรูปแบบกําลังสองสัมบูรณไดเปน

(x + 2)2 + (y + 4)2 + (z′)2 = 16แทนคา x′ = x + 2, y′ = y + 4 และ z′ = zจะไดสมการใหมเปน (x′)2 + (y′)2 + (z′)2 = 16ซึ่งมีกราฟเปน อิลลิปซอยด

จากแนวคิดของการเปลี่ยนตัวแปรขางตนเราจึงศึกษาลักษณะของกราฟของสมการกําลังสองของสามตัวแปร x, y, z ในรูปอยางงายตอไปนี้

1. A 2x + B 2y + C 2z + D = 02. A 2x + B 2y + Cz = 03. A 2x + C 2z + By = 04. B 2y + C 2z + Ax = 0


1.4.1 อิลลิปซอยดคือพ้ืนผิวซึ่งมีสมการในรูปอยางงายเปน

A 2x + B 2y + C 2z = D เมื่อ A, B, C, D > 0

หรือ 22

ax +

2

2

by + 2

2

cz = 1 เมื่อ a, b, c > 0

จุดตัดแกนจุดตัดแกน X คือ (± a, 0, 0)จุดตัดแกน Y คือ (0, ± b, 0)จุดตัดแกน Z คือ (0, 0, ± c)สมมาตรกราฟมีสมมาตรกับจุดกําเนิดกราฟมีสมมาตรกับแกนพิกัดทั้งสามกราฟมีสมมาตรกับระนาบพิกัดทั้งสามรอยตัดบนระนาบ XY, YZ, XZ

รอยตัดบนระนาบ XY เปนวงรี 2

2

ax +

2

2

by = 1, z = 0

รอยตัดบนระนาบ YZ เปนวงรี 2

2

by + 2

2

cz = 1, x = 0

รอยตัดบนระนาบ XZ เปนวงรี 2

2

ax + 2

2

cz = 1, y = 0

of 41


รอยตัดบนระนาบ x = k, y = k, z = k เมื่อ k เปนจํานวนจริงรอยตัดบนระนาบ x = k

เมื่อ | k | < a รอยตัดเปนวงรี 2

2

by + 2

2

cz = 1 -

2

2

ak , x = k

เมื่อ | k | = a รอยตัดเปนจุด (k, 0, 0)เมื่อ | k | > a ไมมีรอยตัด

รอยตัดบนระนาบ y = kเมื่อ | k | < b รอยตัดเปนวงรี

2

2

ax + 2

2

cz = 1 -

2

2

bk , y = k

เมื่อ | k | = b รอยตัดเปนจุด (0, k, 0)เมื่อ | k | > b ไมมีรอยตัด

รอยตัดบนระนาบ z = k

เมื่อ | k | < c รอยตัดเปนวงรี 2

2

ax +

2

2

by = 1 -

2

2

ck , z = k

เมื่อ | k | = c ไดรอยตัดเปนจุด (0, 0, k)เมื่อ | k | > c ไมมีรอยตัด

ขอบเขตของตัวแปรขอบเขตของ x คือ [-a, a]ขอบเขตของ y คือ [-b, b]ขอบเขตของ z คือ [-c, c]


แนวคิดในการเขียนกราฟพิจารณาจากรอยตัดบนระนาบ z = k จะเห็นวารอยตัดเริ่มจากจุด (0, 0, -c) และเมื่อ k มีคาเพ่ิมขึ้น รอยตัดจะเปนวงรี ซึ่งวงรีจะมีขนาดใหญขึ้นเรื่อย ๆ จนมีขนาดใหญที่สุดเมื่อ k = 0 จากนั้นขนาดของวงรีจะเล็กลงเรื่อย ๆ จนกลายเปนจุด (0, 0, c)กราฟของอิลลิปซอยด


หมายเหตุ 1. อิลลิปซอยด 2

2

ax +

2

2

by + 2

2

cz = 1

มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (0, 0, 0)

2.2

2

a)hx( − +

2

2

b)ky( − + 2

2

c)z( l− = 1

อิลลิปซอยดมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (h, k, l)3. ถา a = b หรือ b = c หรือ c = a คูใดคูหนึ่ง

แลว กราฟจะเปนอิลลิปซอยดที่เกิดจากการหมุน4. ถา a = b = c แลว กราฟจะเปนทรงกลม รัศมี a


1.4.2 อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียวคือ พ้ืนผิวซึ่งมีสมการในรูปอยางงายแบบใดแบบหนึ่งตอไปนี้

1. A 2x + B 2y - C 2z = D หรือ2

2

ax +

2

2

by - 2

2

cz = 1

2. A 2x - B 2y + C 2z = D หรือ2

2

ax -

2

2

by + 2

2

cz = 1

3. -A 2x + B 2y + C 2z = D หรือ -2

2

ax +

2

2

by + 2

2

cz = 1

เมื่อ A, B, C, D > 0 หรือ a, b, c > 0

สําหรับสมการ 2

2

ax +

2

2

by - 2

2

cz = 1

มีลักษณะที่สําคัญของพื้นผิวดังนี้จุดตัดแกนจุดตัดแกน X คือ (± a, 0, 0)จุดตัดแกน Y คือ (0, ± b, 0)จุดตัดแกน Z ไมมีสมมาตรกราฟมีสมมาตรกับจุดกําเนิดกราฟมีสมมาตรกับแกนพิกัดทั้งสามกราฟมีสมมาตรกับระนาบพิกัดทั้งสาม


รอยตัดบนระนาบ XY, YZ, XZ

รอยตัดบนระนาบ XY เปนวงรี 2

2

ax +

2

2

by = 1, z = 0

รอยตัดบนระนาบ YZ เปนไฮเพอรโบลา 2

2

by - 2

2

cz = 1, x = 0

รอยตัดบนระนาบ XZ เปนไฮเพอรโบลา 2

2

ax - 2

2

cz = 1, y = 0

รอยตัดบนระนาบ x = k, y = k, z = k เมื่อ k เปนจํานวนจริงรอยตัดบนระนาบ x = kเมื่อ | k | ≠ a

รอยตัดเปนไฮเพอรโบลา 2

2

by - 2

2

cz = 1 -

2

2

ak , x = k

เมื่อ | k | = a รอยตัดเปนเสนตรงสองเสนตัดกันรอยตัดบนระนาบ y = kเมื่อ | k | ≠ bรอยตัดเปนไฮเพอรโบลา

2

2

ax - 2

2

cz = 1 -

2

2

bk , y = k

เมื่อ | k | = b รอยตัดเปนเสนตรงสองเสนตัดกัน

รอยตัดบนระนาบ z = k เปนวงรี 2

2

ax +

2

2

by = 1 +

2

2

ck , z = k

ขอบเขตของตัวแปรขอบเขตของ x คือ (-∞, ∞)ขอบเขตของ y คือ (-∞, ∞)ขอบเขตของ z คือ (-∞, ∞)

of 41


แนวคิดในการเขียนกราฟพิจารณาจากรอยตัดบนระนาบ z = k ซึ่งไดรอยตัดเปนวงรีขนาดของวงรีจะแปรเปลี่ยนตามคาของ k โดยวงรีจะมีขนาดเล็กที่สุดเมื่อ k = 0 และ วงรีจะมีขนาดใหญขึ้นอยางไมมีขีดจํากัดเมื่อ | k | มีคาเพ่ิมขึ้นอยางไมมีขีดจํากัดกราฟของอิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว

รูปที่ 1.4.2หมายเหตุ 1. อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว

2

2

ax +

2

2

by - 2

2

cz = 1 มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (0, 0, 0)

2

2

a)hx( − +

2

2

b)ky( − - 2

2

c)z( l− = 1

จุดศูนยกลางอยูที่จุด (h, k, l)

2. ถา a = b แลว กราฟของสมการ 2

2

ax +

2

2

by - 2

2

cz = 1

เปนไฮเพอรโบลอยดที่เกิดจากการหมุนเสนโคงรอบแกน Z


1.4.3 อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดสองชิ้นคือพ้ืนผิวซึ่งมีสมการในรูปอยางงายแบบใดแบบหนึ่งตอไปนี้

1. A 2x - B 2y - C 2z = D หรือ 2

2

ax -

2

2

by - 2

2

cz = 1

2. -A 2x + B 2y - C 2z = D หรือ -2

2

ax +

2

2

by - 2

2

cz = 1

3. -A 2x - B 2y + C 2z = D หรือ -2

2

ax -

2

2

by + 2

2

cz = 1

เมื่อ A, B, C, D > 0 หรือ a, b, c > 0

สมการ -2

2

ax -

2

2

by + 2

2

cz = 1 มีลักษณะสําคัญของพื้นผิวดังนี้

จุดตัดแกน จุดตัดแกน X ไมมีจุดตัดแกน Y ไมมีจุดตัดแกน Z คือจุด (0, 0, ± c)

สมมาตร กราฟมีสมมาตรกับจุดกําเนิดกราฟมีสมมาตรกับแกนพิกัดทั้งสามกราฟมีสมมาตรกับระนาบพิกัดทั้งสาม

รอยตัดบนระนาบ XY, YZ, XZรอยตัดบนระนาบ XY ไมมี

รอยตัดบนระนาบ YZ เปนไฮเพอรโบลา -2

2

by + 2

2

cz = 1, x = 0

รอยตัดบนระนาบ XZ เปนไฮเพอรโบลา -2

2

ax + 2

2

cz = 1, y = 0



เปนไฮเพอรโบลา -2

2

by + 2

2

cz = 1 +

2

2

ak , x = k ทุกคา k

รอยตัดบนระนาบ y = kเปนไฮเพอรโบลา -

2

2

ax + 2

2

cz = 1 +

2

2

bk , y = k ทุกคา k

รอยตัดบนระนาบ z = kเมื่อ | k | < c ไมมีรอยตัดเมื่อ | k | > c

รอยตัดเปนวงรี 2

2

ax +

2

2

by =

2

2

ck - 1, z = k ทุกคา k

เมื่อ | k | = c รอยตัดเปนจุด (0, 0, k)

ขอบเขตของตัวแปรขอบเขตของ x คือ (-∞, ∞)ขอบเขตของ y คือ (-∞, ∞)ขอบเขตของ z คือ (-∞, -c] ∪ [c, ∞)


แนวคิดในการเขียนกราฟพิจารณาจากรอยตัดบนระนาบ z = kเมื่อ | k | = c รอยตัดเปนจุด (0, 0, c) และ (0, 0, -c)เมื่อ | k | > c รอยตัดเปนวงรี ซึ่งวงรีจะมีขนาดใหญขึ้นอยางไมมีขีดจํากัด เมื่อ | k | มีคาเพ่ิมขึ้นอยางไมมีขีดจํากัดกราฟของอิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดสองชิ้น

รูปที่ 1.4.3หมายเหตุ 1. อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดสองชิ้น

-2

2

ax -

2

2

by + 2

2


-2

2

a)hx( − -

2

2

b)ky( − + 2

2

c)z( l− = 1

มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (h, k, l)

2. ถา a = b แลว กราฟของสมการ -2

2

ax -

2

2

by +

2

2

cz = 1

เปนไฮเพอรโบลอยดที่เกิดจากการหมุนเสนโคงรอบแกน Z

of 41


1.4.4 กรวยอิลลิปติกคือพ้ืนผิวซึ่งมีสมการในรูปอยางงายแบบใดแบบหนึ่งตอไปนี้

1. A 2x + B 2y - C 2z = 0 หรือ 2

2

ax +

2

2

by - 2

2

cz = 0

2. A 2x - B 2y + C 2z = 0 หรือ 2

2

ax -

2

2

by + 2

2

cz = 0

3. -A 2x + B 2y + C 2z = 0 หรือ -2

2

ax +

2

2

by + 2

2

cz = 0

เมื่อ A, B, C > 0 หรือ a, b, c > 0

สมการ 2

2

ax +

2

2

by - 2

2

cz = 0 มีลักษณะที่สําคัญของพื้นผิวดังนี้

จุดตัดแกนจุดตัดแกน X คือ (0, 0, 0)จุดตัดแกน Y คือ (0, 0, 0)จุดตัดแกน Z คือ (0, 0, 0)สมมาตรกราฟมีสมมาตรกับจุดกําเนิดกราฟมีสมมาตรกับแกนพิกัดทั้งสามกราฟมีสมมาตรกับระนาบพิกัดทั้งสาม


รอยตัดบนระนาบ XY, YZ, XZรอยตัดบนระนาบ XY เปนจุด (0, 0, 0)รอยตัดบนระนาบ YZเปนเสนตรงสองเสนซึ่งตัดกันที่จุดกําเนิด


2

by - 2

2

cz = 0, x = 0 หรือ y = ± c

b z, x = 0

รอยตัดบนระนาบ XZเปนเสนตรงสองเสนซึ่งตัดกันที่จุดกําเนิดมีสมการเปน

2

2

ax - 2

2

cz = 0, y = 0 หรือ z = ± a

c x, y = 0


เปนไฮเพอรโบลา 2

2

by - 2

2

cz = -

2

2

ak , x = k ทุกคา k ≠ 0

รอยตัดบนระนาบ y = kเปนไฮเพอรโบลา

2

2

ax - 2

2

cz = -

2

2

bk , y = k ทุกคา k ≠ 0


เปนวงรี 2

2

ax +

2

2

by =

2

2

ck , z = k ทุกคา k ≠ 0



แนวคิดในการเขียนกราฟพื้นผิวพิจารณาจากรอยตัดบนระนาบ z = kเมื่อ | k | = 0 รอยตัดเปนจุด (0, 0, 0)เมื่อ | k | > 0 รอยตัดเปนวงรี ซึ่งวงรีจะมีขนาดใหญขึ้นอยางไมมีขีดจํากัด เมื่อ | k | มีคาเพ่ิมขึ้นอยางไมมีขีดจํากัดกราฟของกรวยอิลลิปติก

รูปที่ 1.4.4หมายเหตุ 1. กรวยอิลลิปติก

2

2

ax +

2

2

by - 2

2


2

2

a)hx( − +

2

2

b)ky( − - 2

2

c)z( l− = 0

มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (h, k, l)


2

ax +

2

2

by - 2

2

cz = 0

จะเปนกรวยกลมซึ่งเปนพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนเสนตรงที่ผานจุดกําเนิดรอบแกน Z


1.4.5 อิลลิปติกพาราโบลอยดคือพ้ืนผิวซึ่งมีสมการในรูปอยางงายเปนแบบใดแบบหนึ่งตอไปนี้1. A 2x + B 2y = Cz เมื่อ A, B > 0 และ C ≠ 0

หรือ2

2

ax +

2

2

by = cz เมื่อ a, b > 0 และ c ≠ 0

2. A 2x + C 2z = By เมื่อ A, C > 0 และ B ≠ 0หรือ

2

2

ax + 2

2

cz = by เมื่อ a, c > 0 และ b ≠ 0

3. B 2y + C 2z = Ax เมื่อ B, C > 0 และ A ≠ 0

หรือ2

2

by + 2

2

cz = ax เมื่อ b, c > 0 และ a ≠ 0


2

ax +

2

2

by = cz เมื่อ a, b > 0 และ c > 0

มีลักษณะที่สําคัญของพื้นผิวดังนี้จุดตัดแกนจุดตัดแกน X คือ (0, 0, 0)จุดตัดแกน Y คือ (0, 0, 0)จุดตัดแกน Z คือ (0, 0, 0)สมมาตรกราฟมีสมมาตรกับแกน Zกราฟมีสมมาตรกับระนาบ YZ และ ระนาบ XZ

of 41


รอยตัดบนระนาบ XY, YZ, XZรอยตัดบนระนาบ XY เปนจุด (0, 0, 0)รอยตัดบนระนาบ YZ เปนพาราโบลา 2y = 2b cz, x = 0รอยตัดบนระนาบ XZ เปนพาราโบลา 2x = 2a cz, y = 0


เปนพาราโบลา 2y = 2b c(z - 2

2

cak ), x = k ทุกคา k

รอยตัดบนระนาบ y = kเปนพาราโบลา 2x = 2a c(z -

cbk2

2 ), y = k ทุกคา k


เปนวงรี 2

2

ax +

2

2

by = ck, z = k ทุกคา k > 0

ขอบเขตของตัวแปรขอบเขตของ x คือ (-∞, ∞)ขอบเขตของ y คือ (-∞, ∞)ขอบเขตของ z คือ [0, ∞)


แนวคิดในการเขียนกราฟพิจารณาจากรอยตัดบนระนาบ z = k จะเห็นวารอยตัดเริ่มจากจุด (0, 0, 0) และ เมื่อ k มีคาเพ่ิมขึ้นอยางไมมีขีดจํากัด รอยตัดจะเปนวงรีที่มีขนาดใหญอยางไมมีขีดจํากัดกราฟของอิลลิปติกพาราโบลอยด

รูปที่ 1.4.5หมายเหตุ 1. จุด O(0, 0, 0) เรียกวา จุดยอด

ของอิลลิปติกพาราโบลอยด 2

2

ax +

2

2

by = cz

(h, k, l) เปนจุดยอด ของ 2

2

a)hx( − +

2

2

b)ky( − = c(z - l)

เมื่อ c > 0

2. กราฟของ 2

2

ax +

2

2

by = cz เมื่อ c < 0 เปนอิลลิปติกพารา

โบลอยด คว่ําลง มีจุดยอด (0, 0, 0) เปนจุดสูงสุดของกราฟ


2

ax +

2

2

by = cz

จะเปนพาราโบลอยดที่เกิดจากการหมุนเสนโคงรอบแกน Z


1.4.6 ไฮเพอรโบลิกพาราโบลอยดคือพ้ืนผิวซึ่งมีสมการในรูปอยางงายเปนแบบใดแบบหนึ่งตอไปนี้1. A 2x - B 2y = Cz เมื่อ A, B > 0 และ C ≠ 0

หรือ2

2

ax -

2

2

by = cz เมื่อ a, b > 0 และ c ≠ 0

2. A 2x - C 2z = By เมื่อ A, C > 0 และ B ≠ 0หรือ

2

2

ax - 2

2

cz = by เมื่อ a, c > 0 และ b ≠ 0

3. B 2y - C 2z = Ax เมื่อ B, C > 0 และ A ≠ 0

หรือ2

2

by - 2

2

cz = ax เมื่อ b, c > 0 และ a ≠ 0


2

ax -

2

2

by = cz เมื่อ a, b > 0 และ c < 0

มีลักษณะที่สําคัญของพื้นผิวดังนี้จุดตัดแกนจุดตัดแกน X คือ (0, 0, 0)จุดตัดแกน Y คือ (0, 0, 0)จุดตัดแกน Z คือ (0, 0, 0)สมมาตรกราฟมีสมมาตรกับแกน Zกราฟมีสมมาตรกับระนาบ YZ และ ระนาบ XZ


รอยตัดบนระนาบ XY, YZ, XZรอยตัดบนระนาบ XYเปนเสนตรงสองเสนตัดกันที่จุด (0, 0, 0)


2

ax -

2

2

by = 0, z = 0 หรือ y = ± a

b x, z = 0

รอยตัดบนระนาบ YZเปนพาราโบลา 2y = - 2b cz, x = 0รอยตัดบนระนาบ XZเปนพาราโบลา 2x = 2a cz, y = 0รอยตัดบนระนาบ x = k, y = k, z = k เมื่อ k เปนจํานวนจริงรอยตัดบนระนาบ x = kเปนพาราโบลา 2y = - 2b c(z -

cak2

2 ), x = k ทุกคา k

รอยตัดบนระนาบ y = kเปนพาราโบลา 2x = 2a c(z +

cbk2

2 ), y = k ทุกคา k


เปนไฮเพอรโบลา 2

2

ax -

2

2

by = ck, z = k ทุกคา k ≠ 0


of 41


แนวคิดในการเขียนกราฟพิจารณาจากรอยตัดบนระนาบ z = kเมื่อ k = 0 รอยตัดเปนเสนตรงสองเสนตัดกันเมื่อ k > 0รอยตัดจะเปนไฮเพอรโบลาที่มีแกนตามขวางขนานกับแกน Yเมื่อ k < 0รอยตัดจะเปนไฮเพอรโบลาที่มีแกนตามขวางขนานกับแกน Xกราฟของไฮเพอรโบลิกพาราโบลอยด


หมายเหตุ 1. กราฟของสมการ 2

2

ax -

2

2

by = cz เมื่อ c < 0

คลายอานมาครอมบนแกน Y จึงนิยมเรียก ไฮเพอรโบลิกพาราโบลอยด วา พื้นผิวอานมา จุด (0, 0, 0) เรียกวา จุดอานมา

สมการเปน 2

2

a)hx( − -

2

2

b)ky( − = c(z - l) เมื่อ c < 0

เปนพื้นผิวอานมา มีจุดอานมาอยูที่จุด (h, k, l)

2. กราฟของสมการ 2

2

ax -

2

2

by = cz เมื่อ c > 0

คลายอานมาครอมบนแกน X


ตัวอยาง 1.4.1 จงบอกชื่อและเขียนกราฟของพื้นผิวตอไปนี้

1. 16x2 -

25y2

+ 9z2 = 0 2. 175 2x + 112 2y + 400z = 0

วิธีทาํ 1.16x2 -

25y2

+ 9z2 = 0 เปนสมการของกรวยอิลลิปติก

รูปที่ 1.4.7รอยตัดบนระนาบ y = 5 เปนวงรี

16x2 +

9z2 = 1, y = 5

2. จาก 175 2x + 112 2y + 400z = 0

2800 หารตลอด ; 16x2 +

25y2

+ 7z = 0

16x2 +

25y2

= -7z

เปนสมการของอิลลิปติกพาราโบลอยด


รอยตัดบนระนาบ z = -7 เปนวงรี 16x2 +

25y2

= 1, z = -7


ตัวอยาง 1.4.2 กําหนดสมการของพื้นผิวเปน16 2x + 9 2y + 12z - 96 = 0

1. จงบอกชื่อและเขียนกราฟของพื้นผิว2. จงหาสมการของรอยตัดบนระนาบ z = -4 และ y = 2

พรอมทั้งเขียนกราฟของรอยตัดบนกราฟของพื้นผิววิธีทาํ จาก 16 2x + 9 2y + 12z - 196 = 0จะได 16 2x + 9 2y = -12(z - 8)ซึ่งเปนสมการของอิลลิปติกพาราโบลอยดสมการของรอยตัดบนระนาบ z = -4 คือ 16 2x + 9 2y + 12(-4) - 96 = 0 , z = -4

16 2x + 9 2y = 144 , z = -4

9

x2 + 16y2

= 1 , z = -4ซึ่งมีกราฟเปนวงรีสมการของรอยตัดบนระนาบ y = 2 คือ 16 2x + 9(2)2 + 12z - 96 = 0, y = 2

16 2x + 12z = 60, y = 2 2x = -4

3(z - 5), y = 2ซึ่งมีกราฟเปนพาราโบลา


กราฟของอิลลิปติกพาราโบลอยดซึ่งแสดงรอยตัดบนระนาบ z = -4 และ y = 2 คือ


of 41


ตัวอยาง 1.4.3 กําหนดสมการของพื้นผิวเปน225 2x - 400 2y + 144 2z + 3600 = 0

1. จงบอกชื่อและเขียนกราฟของพื้นผิว2. จงหาสมการของรอยตัดบนระนาบ y = 3 2 และ z = 5 2

พรอมทั้งเขียนกราฟของรอยตัดบนกราฟของพื้นผิววิธีทาํ จาก 225 2x - 400 2y + 144 2z + 3600 = 0

จะได 16x2 -

9y2

+ 25z2 + 1 = 0

-16x2 +

9y2

- 25z2 = 1

ซึ่งเปนสมการของอิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดสองชิ้นสมการของรอยตัดบนระนาบ y = 3 2 คือ

-16x2 +

918 -

25z2 = 1 , y = 3 2

16x2 +

25z2 = 1 , y = 3 2

ซึ่งมีกราฟเปนวงรีสมการของรอยตัดบนระนาบ z = 5 2 คือ

-16x2 +

9y2

- 2550 = 1 , z = 5 2

9

y2 -

16x2 = 3 , z = 5 2

27y2

- 48x2 = 1 , z = 5 2

ซึ่งมีกราฟเปนไฮเพอรโบลา


กราฟอิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดสองชิ้นซึ่งแสดงรอยตัดบนระนาบ y = 3 2 และ z = 5 2 คือ

รูปที่ 1.4.10


ตัวอยาง 1.4.4 กําหนดสมการของพื้นผิวเปน50 2x - 25 2y + 8 2z - 400 = 0

1. จงบอกชื่อและเขียนกราฟของพื้นผิว2. จงหาสมการของรอยตัดบนระนาบ y = 4 และ z = 0

พรอมทั้งเขียนกราฟของรอยตัดบนกราฟของพื้นผิววิธีทาํ จาก 50 2x - 25 2y + 8 2z - 400 = 0

จะได 8

x2 - 16y2

+ 50z2 = 1

ซึ่งเปนสมการของอิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียวสมการของรอยตัดบนระนาบ y = 4 คือ

8

x2 - 1616 +

50z2 = 1 , y = 4

16x2 +

100z2 = 1 , y = 4

ซึ่งมีกราฟเปนวงรี

สมการของรอยตัดบนระนาบ z = 0 คือ 8

x2 - 16y2

= 1, z = 0ซึ่งมีกราฟเปนไฮเพอรโบลา


กราฟของอิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียวซึ่งแสดงรอยตัดบนระนาบ y = 4 และ z = 0 คือ

รูปที่ 1.4.11

of 41


ตัวอยาง 1.4.5 กําหนดสมการของพื้นผิวเปน25 2x - 4 2y + 25z = 0

1. จงบอกชื่อและเขียนกราฟของพื้นผิว2. จงหาสมการของรอยตัดบนระนาบ

x = 0, y = 0, z = 4 และ z = -4พรอมทั้งเขียนกราฟของรอยตัดบนกราฟของพื้นผิว

วิธีทาํ จาก 25 2x - 4 2y + 25z = 0

จะได 4

x2 - 25y2

= -4z

ซึ่งเปนสมการของไฮเพอรโบลิกพาราโบลอยด (พ้ืนผิวอานมา)

สมการของรอยตัดบนระนาบ x = 0 คือ2y =

425z, x = 0 ซึ่งมีกราฟเปนพาราโบลา

สมการของรอยตัดบนระนาบ y = 0 คือ2x = -z, y = 0 ซึ่งมีกราฟเปนพาราโบลา

สมการของรอยตัดบนระนาบ z = 4 คือ

25y2

- 4

x2 = 1, z = 4 ซึ่งมีกราฟเปนไฮเพอรโบลา

สมการของรอยตัดบนระนาบ z = -4 คือ

4x2 -

25y2

= 1, z = -4 ซึ่งมีกราฟเปนไฮเพอรโบลา


กราฟของไฮเพอรโบลิกพาราโบลอยด ซึ่งแสดงรอยตัดบนระนาบ x = 0, y = 0, z = 4 และ z = -4 คือ

รูปที่ 1.4.12


อิลลิปซอยด อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว

อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดขนิดสองชิ้น

กรวยอิลลิปติก


อิลลิปติกพาราโบลอยด

ไฮเพอรโบลิกพาราโบลอยด

of 41


แบบฝกหัด 1.41. จงบอกชื่อและเขียนกราฟของพื้นผิวตอไปนี้

1.1 2x + 2y + 2z + 2z = 01.2 2y + 2z – x – 4 = 01.3 2x + 4 2y – 8z – 16 = 01.4 2x – 2y + 2z + 2x + 2y + 4z = 01.5 2 2x – 2y – 2z + 4x + 2y + 4z = 01.6 25 2x – 2y + 144 2z + 2y – 1 = 01.7 2x – 2 2y + 2x + 4y – z + 2= 01.8 2x + 2y – 2 2z + 4x + 4y = 01.9 4 2x + 9 2y + 2z – 8x + 2 = 0

1.10 4)1x( 2− – 9

)2y( 2− – 16)1z( 2− = 1

1.11 16)2x( 2+ + 9

)1y( 2+ – 25)1z( 2− = 0

1.12 2x + 2y + 3 2z – 2x + 4y – 6z = 3

2. กําหนดสมการของพื้นผิวเปน 4x2 + 9

y2 – 2

z2 = 12.1 จงบอกชื่อและเขียนกราฟของพื้นผิว2.2 จงหาสมการของรอยตัดบนระนาบ z = 0 และ z = – 6

พรอมทั้งเขียนกราฟของรอยตัดบนกราฟของพื้นผิว

3. กําหนดสมการของพื้นผิวเปน 4x2 + 9

y2 + 36

z2 = 13.1 จงบอกชื่อและเขียนกราฟของพื้นผิว3.2 จงหาสมการของรอยตัดบนระนาบ z = 0 และ z = 3 2


4. กําหนดสมการของพื้นผิวเปน 2x + 4y2

= 2z

4.1 จงบอกชื่อและเขียนกราฟของพื้นผิว4.2 จงหาสมการของรอยตัดบนระนาบ x = 1, y = 0 และ z = 8


5. กําหนดสมการของพื้นผิวเปน 16 2x + 4 2y – 2z = 05.1 จงบอกชื่อและเขียนกราฟของพื้นผิว5.2 จงหาสมการของรอยตัดบนระนาบ z= 8 และ y = 3


of 41

บทที่ 1 พื้นผิวในปริภูมิ 3 มิติ1 - 96เฉลยแบบฝกหัด 1.41. 1.1 อิลลิปซอยด 1.2 อิลลิปติกพาราโบลอยด

1.3 อิลลิปติกพาราโบลอยด 1.4 อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว1.5 อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดขนิดชิ้นเดียว 1.6 กรวยอิลลิปติก1.7 ไฮเพอรโบลิกพาราโบลอยด 1.8 อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว1.9 อิลลิปซอยด 1.10 อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดขนิดสองชิ้น1.11 กรวยอิลลิปติก 1.12 อิลลิปซอยด

2. อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว 3. อิลลิปซอยด

4. อิลลิปติกพาราโบลอยด 5.กรวยอิลลิปติก

of 41


1.5 สมการทั่วไปดีกรีสองของ 2 ตัวแปร

ทฤษฎีบท ทุกเมทริกซสมมาตร A จะมีเมทริกซ Pที่ทําให TP AP เปนเมทริกซทแยงมุม โดยที่ 1P− = TP

ตัวอยาง A = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

0110

จะมี P = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−2

12

12

12

1

โดยที่ 1P− = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

21

21

21

21

= TP

และ TP AP = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

21

21

21

21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

0110

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−2

12

12

12

1

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

10 01

หมายเหตุ เมทริกซ P ที่มีสมบัติวา 1P− = TP เรียกวา เมทริกซเชิงต้ังฉาก


การหาเมทริกซเชิงต้ังฉาก P ที่ทาํใหPTAP เปนเมทริกซทแยงมุม เมื่อ A เปนเมทริกซสมมาตร

กําหนดให A = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn2n1n

n22221n11211

a...aa............

a...aaa...aa

เปนเมทริกซสมมาตร

D = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

λλ

n

21

...00............0...00...0

เปนเมทริกซทแยงมุม

และ P เปนเมทริกซเชิงตั้งฉาก

โดยที่ P = [ 1vv 2vv ... nvv ] เมื่อ jvv = ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nj

j2j1

p:

pp

, j = 1, 2, ... , n

เพราะวา TP = 1P− เพราะฉะนั้น || jvv || = 1และ jvv ⋅ kvv = 0 ทุกคา j ≠ kจาก TP AP = Dจะได P TP AP = PD

P 1P− AP = PD IAP = PD AP = PD


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn2n1n

n22221n11211

a...aa............

a...aaa...aa

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn2n1n

n22221n11211

p...pp............

p...ppp...pp

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn2n1n

n22221n11211

p...pp............

p...ppp...pp

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

λλ

n

21

...00............0...00...0

= ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λλλ

λλλλλλ

nnn2n21n1

n2n222211n1n122111

p...pp............p...ppp...pp

เพราะฉะนั้น ทุกคา j = 1, 2, ... , n จะได

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn2n1n

n22221n11211

a...aa............

a...aaa...aa

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nj

j2j1

p:

pp

= ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

λλ

njj

j2jj1j

p:pp

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn2n1n

n22221n11211

a...aa............

a...aaa...aa

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nj

j2j1

p:

pp

- ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

λλ

njj

j2jj1j

p:pp

= 0

(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn2n1n

n22221n11211

a...aa............

a...aaa...aa

- jλ I)⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nj

j2j1

p:

pp

= 0

(A - jλ I) jvv = 0เพราะวา || jvv || = 1เพราะฉะนั้น det(A - jλ I) = 0 และ jvv

เปนผลเฉลยที่ไมเปนศูนยของระบบสมการ (A - jλ I) jvv = 0


สรุป ขั้นตอนการหาเมทริกซเชิงต้ังฉาก P ที่ทาํให TP APเปนเมทริกซทแยงมุม เมื่อ A เปนเมทริกซสมมาตรขั้นที่ 1. หารากของสมการ det(A - λ I) = 0

ไดรากเปน 1λ , 2λ , ... , nλ

ขั้นที่ 2. สําหรับ j = 1, 2, ... , nหาเวกเตอร jvv ซึ่งเปนเวกเตอรหนวยและเปนผลเฉลยของสมการ (A - jλ I) jvv = 0ให P = [ 1vv 2vv ... nvv ]

จะได 1P− = TP และ TP AP = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

λ

λλ

n

21

...00............0...00...0

หมายเหตุ 1. รากของสมการ det(A - λ I) = 0เรียกวา คาเจาะจง ของเมทริกซ A2. เวกเตอร vv ซึ่งมิใชเวกเตอรศูนยและเปนผลเฉลยของสมการ

(A - λ I)vv = 0เรียกวา เวกเตอรเจาะจง ของ A ที่สมนัยกับ λ3. ให ivv , jvv เปนเวกเตอรเจาะจงของ A ที่สมนัยกับ iλ , jλ

3.1 ถา iλ ≠ jλ แลว ivv ⋅ jvv = 03.2 ถา iλ ≠ jλ แลว ivv และ jvv จะตั้งฉากกัน

of 41


ตัวอยาง 1.5.4 กําหนด A = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

−3223

จงหาเมทริกซเชิงตั้งฉาก P ที่ทําให TP AP เปนเมทริกซทแยงมุมวิธีทาํ A = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

−3223

ขั้นที่ 1. หารากของสมการ det(A - λ I) = 0 32

23 λ−−−λ− = 0

(3 - λ)2 - 4= 0 2λ - 6λ + 5= 0

(λ - 5)(λ - 1)= 0เพราะฉะนั้น λ = 1, 5ขั้นที่ 2. ให 1λ = 1 และ 2λ = 5การหา 1vv แทน 1λ = 1 ในสมการ (A - 1λ I) 1vv = 0จะได ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−−−−

132213

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡yx = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡00

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−−

y2x2y2x2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡00

จะได 2x - 2y= 0เพราะฉะนั้น y = xให x = t เมื่อ t ∈ R จะได y = t และ 1vv = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡tt

แต || 1vv || = 1 เพราะฉะนั้น 22 tt + = 1

ซึ่งจะได t = ± 2

1 เลือก t = 2

1 จะได 1vv = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

212

1


การหา 2vv

หา 2vv แทนคา 2λ = 5 ในสมการ (A - 2λ I) 2vv = 0จะได ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−−−−

532253

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡yx = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡00

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−−−

y2x2y2x2 = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡00

ซึ่งจะได 2x + 2y = 0y = -x

ให x = t เมื่อ t ∈ R จะได y = -t และ 2vv = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡− tt

แต || 2vv || = 1 เพราะฉะนั้น 22 )t(t −+ = 1ซึ่งจะได t = ±

21

เลือก t = 2

1 จะได 2vv = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−2

12

1

เพราะฉะนั้น P = [ 1vv 2vv ] = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−2

12

12

12

1

และ TP AP = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

5001 เปนเมทริกซทแยงมุม


เมทริกซของการเปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัดการแปลงสมการ a 2x + 2b xy + c 2y = k ... (1)เปนสมการ 1λ (x′)2 + 2λ (y′)2 = k ... (2)ให A = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

cbba

X = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡yx

P เปนเมทริกซเชิงตั้งฉากและ 1P− = TP

และ TP AP = D เมื่อ D = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

λλ

21

00

X′ = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡′′

yx

ให X = PX′ ... (3)เพราะฉะนั้น [ a 2x + 2b xy + c 2y ]= [ x y ] ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

cbba

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡yx

= TX AX= (PX′)TA(PX′)= (X′)T( TP AP)X′= (X′)TDX′= [ x′ y′ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

λλ

21

00

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡′′

yx

= [ 1λ (x′)2 + 2λ (y′)2]


เพราะฉะนั้น การเปลี่ยนตัวแปรโดยให X = PX′จะทําใหสมการ a 2x + 2b xy + c 2y = kในระบบพิกัดฉาก XY ถูกแปลงเปนสมการ

1λ (x′)2 + 2λ (y′)2 = kในระบบพิกัดฉาก X′Y′และเราสามารถเขียนกราฟของสมการ

a 2x + 2b xy + c 2y = kไดโดยการเขียนกราฟของสมการ

1λ (x′)2 + 2λ (y′)2 = kซึ่งเราจําเปนตองทราบทิศทางของแกน X′ และ Y′เมื่อเทียบกับแกน X และ Yเพ่ือความสะดวกเราจะเรียกทิศทางของแกน X′ และ Y′ทางดานบวกวาแกน OX′ และ OY′ ตามลําดับให i

v ′ และ jv ′ เปนเวกเตอรหนวยในทิศทางของแกน OX′

และ OY′ ตามลําดับจะได i

v ′ = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡01 และ j

v ′ = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡10 ในระบบพิกัดฉาก X′Y′

ให iv ′ = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

11

yx และ j

v ′ = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

22

yx ในระบบพิกัดฉาก XY

of 41


จากสมการ (3) เราทราบวา ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡yx = P ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡′′

yx

เมื่อ P = [ 1vv 2vv ]เพราะฉะนั้น ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

11

yx = [ 1vv 2vv ] ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡01 = 1vv

และ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

22

yx = [ 1vv 2vv ] ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡10 = 2vv

เราจึงสรุปไดวา แกน OX′ มีทิศทางเดียวกันกับ 1vv

และ แกน OY′ มีทิศทางเดียวกันกับ 2vv

หมายเหตุ1. เราเรียก P วา

เมทริกซของการเปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัด2. สมการทั่วไปดีกรีสองของสองตัวแปร ในระบบพิกัดฉาก XY

a 2x + 2b xy + c 2y + d x + e y + f = 0จะได [ x y ] ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

cbba

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡yx + [ d e ] ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡yx + [ f ] = 0

เปลี่ยนตัวแปรโดยให X = PX′ จะได[ 1λ (x′)2 + 2λ (y′)2] + [ d e ] P ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡′′

yx + [ f ] = 0

เพราะฉะนั้นสมการในระบบพิกัดฉาก X′Y′ คือ 1λ (x′)2 + 2λ (y′)2 + d′x′ + e′y′ + f ′ = 0

เมื่อ f ′ = f และ [ d′ e′ ] = [ d e ] P


ตัวอยาง 1.5.5 จงหาเมทริกซ P ซึ่งแปลงสมการ3 2x - 4xy + 3 2y = 5

ใหอยูในรูปอยางงายที่ไมมีพจนของผลคูณของสองตัวแปรและเขียนกราฟของสมการวิธีทาํ ให A = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

−3223 , X = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡yx และ X′ = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡′′

yx

จากตัวอยาง 1.5.4 จะได P = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−2

12

12

12

1

ซึ่งทําให TP AP = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

5001

เปลี่ยนตัวแปรโดยให X = PX′

จะได ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡yx =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−2

12

12

12

1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡′′

yx

เพราะฉะนั้นสมการ 3 2x + 2(2)xy + 3 2y = 5ในระบบพิกัดฉาก XYจะถูกแปลงเปนสมการ 1(x′)2 + 5(y′)2 = 5ในระบบพิกัดฉาก X′Y′หมายเหตุ สูตรการเปลี่ยนตัวแปรคือ

x = 2

1 x′ + 2

1 y′

y = 2

1 x′ - 2

1 y′


สมการ 1(x′)2 + 5(y′)2 = 5ในระบบพิกัดฉาก X′Y′ จัดรูปไดเปน

หรือ 2

2

)5()x( ′ + (y′)2 = 1

ซึ่งมีกราฟเปนวงรีและเขียนกราฟไดดังรูปที่ 1.5.9แกน OX′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 1vv =

21

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡11

และ แกน OY′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 2vv = 2

1⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−11



ตัวอยาง 1.5.6 จงหาเมทริกซ P ซึ่งแปลงสมการ2x + 4xy + 4 2y + 5x + 4 5y + 6 = 0

ใหอยูในรูปอยางงายที่ไมมีพจนของผลคูณของสองตัวแปรและเขียนกราฟของสมการวิธีทาํ ให A = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

4221

ขั้นที่ 1. หารากของสมการ det(A - λ I) = 0 42

21 λ−λ− = 0

(1 - λ)(4 - λ) - 4 = 0 4 - 5λ + 2λ - 4 = 0

λ(λ - 5) = 0 เพราะฉะนั้น λ = 0, 5ขั้นที่ 2. ให 1λ = 0 และ 2λ = 5การหา 1vv แทนคา 1λ = 0 ในสมการ (A - 1λ I) 1vv = 0จะได ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

4221

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡yx = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡00

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

y4x2y2x = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡00

ซึ่งจะได x + 2y = 0 เพราะฉะนั้น y = - 2x

ให x = 2t เมื่อ t ∈ R จะได y = -t และ 1vv = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡− t

t2

แต || 1vv || = 1 เพราะฉะนั้น 22 )t()t2( −+ = 1



1 จะได 1vv = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−5

15

2

of 41


การหา 2vv

แทนคา 2λ = 5 ในสมการ (A - 2λ I) 2vv = 0จะได ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−−

542251

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡yx = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡00

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

1224

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡yx = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡00

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+−

yx2y2x4 = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡00

ซึ่งจะได 2x - y = 0 y = 2x

ให x = t เมื่อ t ∈ R จะได y = 2t และ 2vv = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

t2t

แต || 2vv || = 1 เพราะฉะนั้น 22 )t2(t + = 1



1 จะได 2vv = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

525

1

เพราะฉะนั้น P = [ 1vv 2vv ] = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−5

25

15

15

2

เปลี่ยนตัวแปรโดยให X = PX′

จะได ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡yx =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−5

25

15

15

2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡′′

yx


เพราะฉะนั้น x = 5

2 x′ + 5

1 y′

y = -5

1 x′ + 5

2 y′

ซึ่งจะได 2x + 4xy + 4 2y = 0(x′)2 + 5(y′)2

= 5(y′)2

และ 5x + 4 5y= 5(

52 x′ +

51 y′) + 4 5(-

51 x′ +

52 y′)

= -2x′ + 9y′เพราะฉะนั้นสมการ

2x + 4xy + 4 2y + 5x + 4 5y + 6 = 0ในระบบพิกัดฉาก XYจะถูกแปลงเปนสมการ 5(y′)2 - 2x′ + 9y′ + 6 = 0ในระบบพิกัดฉาก X′Y′

5(y′)2 + 9y′ = 2x′ - 6 5((y′)2 + 5

9 y′ + (109 )2) = 2x′ - 6 + 5(

109 )2

5(y′ + 109 )2 = 2x′ - 6 +

2081

5(y′ + 109 )2 = 2x′ -

2039

(y′ + 109 )2 = 5

2(x′ - 4039)


เลื่อนแกนพิกัดฉาก X′Y′โดยใหจุดกําเนิดใหมอยูที่จุด (

4039 , -

109 )

ตั้งแกนพิกัดฉาก X′′Y′′เปลี่ยนตัวแปรโดยให x′′ = x′ -

4039

y′′ = y′ + 109

จะไดสมการในระบบพิกัดฉาก X′′Y′′ เปน (y′′)2 = 52 x′′

ซึ่งมีกราฟเปนพาราโบลา และเขียนกราฟไดดังรูปที่ 1.5.10แกน OX′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 1vv =

51

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−12

และ แกน OY′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 2vv = 5

1⎥⎦⎤

⎢⎣⎡21

รูปที่ 1.5.10


การพิจารณาลักษณะของกราฟจาก 1λ 2λ ( 1λ 2λ = det(A))จากสมการ a 2x + 2b xy + c 2y + d x + e y + f = 0ในระบบพิกัดฉาก XY เมื่อแปลงเปนสมการ

1λ (x′)2 + 2λ (y′)2 + d′x′ + e′y′ + f ′ = 0ในระบบพิกัดฉาก X′Y′ลักษณะของกราฟ พิจารณาจากคา 1λ , 2λ ดังนี้1. ถา 1λ 2λ = 0 แลว กราฟจะเปน พาราโบลา หรือ เสนตรง2. ถา 1λ 2λ ≠ 0 แลว กราฟจะเปน วงกลม วงรี

ไฮเพอรโบลา เสนตรง หรือ จุด2.1 1λ 2λ > 0

2.1.1 1λ = 2λ กราฟจะเปน วงกลม หรือ จุด2.1.2 1λ ≠ 2λ กราฟจะเปน วงรี หรือ จุด

2.2 1λ 2λ < 0 กราฟจะเปน ไฮเพอรโบลา หรือ เสนตรงหมายเหตุ เมื่อ 1λ , 2λ เปนรากของสมการ det(A - λ I) = 0เพราะฉะนั้น det(A - λ I) = (λ - 1λ )(λ - 2λ ) = 0เพราะฉะนั้น 1λ 2λ = det(A) เพราะฉะนั้น1. ถา det(A) = 0 แลว กราฟจะเปน พาราโบลา หรือ เสนตรง2. ถา det(A) ≠ 0 แลว กราฟจะเปน วงกลม วงรี ไฮเพอรโบลา

เสนตรง หรือ จุด2.1 det(A) > 0 กราฟจะเปน วงกลม วงรี หรือ จุด2.2 det(A) < 0 กราฟจะเปน ไฮเพอรโบลา หรือ เสนตรง

of 41


แบบฝกหัด 1.5.2

สําหรับสมการ a 2x + 2bxy + c 2y + dx + ey + f = 0 ในระบบพิกัดฉาก XY ท่ีกําหนดให1. จงหาเมทริกซของการเปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัด P

2. จงแปลงสมการใหอยูในรูปอยางงาย 1λ (x′) 2 + 2λ (y′) 2 + d′x′ + e′y′ + f ′ = 0

ในระบบพิกัดฉาก X′Y′3. จงบอกชื่อกราฟของสมการ

สมการที่กําหนดใหมีดังตอไปนี้

1. 2x + 4xy + 4 2y + 4 5 x + 2 5 y = 0

2. 8 2x – 4xy + 5 2y + 2 5 x + 4 5 y + 4 = 0

3. 2x – 4xy + 2y + 2 2 x + 6 2 y – 16 = 0

4. 9 2x – 24xy + 16 2y + 25x + 50y – 12 = 0

5. 8 2x + 5xy – 4 2y + 153 = 0เฉลยแบบฝกหัด 1.5.2

1. 1.1 P = ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

51

52

52

51

1.2 5(x′) 2 + 8x′ – 6y′ = 0 หรือ 5(x′ + 54 ) 2 = 6(y′ + 15

8 )1.3 พาราโบลา

2. 2.1 P = ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

51

52

52

51

2.2 4(x′) 2 + 9(y′) 2 + 10x′ + 4 = 0 หรือ 4(x′ + 45 ) 2 + 9(y′) 2 = 4

9

2.3 วงรี

3. 3.1 P = ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

21

21

21

21

3.2 3(x′) 2 – (y′) 2 + 8x′ + 4y′ – 16 = 0 หรือ 3(x′ + 34 ) 2 – (y′ – 2) 2 = 3

52

3.3 ไฮเพอรโบลา

4. 4.1 P = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

54

53

53

54

4.2 25(y′) 2 + 50x′ + 25y′ – 12 = 0 หรือ 25(y′ + 21 ) 2 = –50(x′ – 200

73 )4.3 พาราโบลา

5. 5.1 P = ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−265

261

261

265

5.2 217 (x′) 2 – 2

9 (y′) 2 + 153 = 0 หรือ – 217 (x′) 2 + 2

9 (y′) 2 = 1535.3 ไฮเพอรโบลา

of 41


1.6 สมการทั่วไปดีกรีสองของสามตัวแปรจากแนวคิดในการใชเมทริกซของการเปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัด เราสามารถนํามาประยุกตใชในการแปลงสมการ

a 2x + b 2y + c 2z + 2d xy + 2e xz + 2f yz = {ในระบบพิกัดฉาก XYZ

เปนสมการ a′(x′)2 + b′(y′)2 + c′(z′)2 = {′

ในระบบพิกัดฉาก X′Y′Z′ขั้นตอนการคาํนวณ

ให A = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

cfefbdeda

ขั้นที่ 1. หารากของสมการ det(A - λ I) = 0จะไดรากเปน 1λ , 2λ , 3λ

ขั้นที่ 2. สําหรับ j = 1, 2, 3หาเวกเตอร jvv ซึ่งเปนเวกเตอรหนวยและเปนผลเฉลยของสมการ (A - λ I) jvv = 0จะได P = [ 1vv 2vv 3vv ] โดยที่ 1P− = TP

และ TP AP = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

λλ

λ

32

1

000000


ขั้นที่ 3. เปลี่ยนตัวแปรโดยใชสูตร X = PX′

เมื่อ X = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

และ X′ = ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx

จะได [ a 2x + b 2y + c 2z + 2d xy + 2e xz + 2f yz ]

= [ x y z ] ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

cfefbdeda

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= TX AX

= (PX′)TA(PX′) = (X′)T( TP AP)X′

= [ x′ y′ z′ ] ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

λλ

λ

32

1

000000

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx

= [ 1λ (x′)2 + 2λ (y′)2 + 3λ (z′)2]จะได สมการ a 2x + b 2y + c 2z + 2d xy + 2e xz + 2f yz = {ในระบบพิกัดฉาก XYZถูกแปลงเปนสมการ 1λ (x′)2 + 2λ (y′)2 + 3λ (z′)2 = {ในระบบพิกัดฉาก X′Y′Z′ซึ่งเราสามารถเขียนกราฟของสมการในระบบพิกัดฉาก X′Y′Z′ได โดยทิศทางของแกนทั้งสามเปนดังนี้

แกน OX′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 1vv

แกน OY′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 2vv

และ แกน OZ′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 3vv


ตัวอยาง 1.6.1 จงหาเมทริกซของการเปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัด P ที่ใชในการแปลงสมการ

5 2x + 3 2y + 3 2z + 2xy - 2xz - 2yz = 5ในระบบพิกัดฉาก XYZใหอยูในรูป 1λ (x′)2 + 2λ (y′)2 + 3λ (z′)2 = λในระบบพิกัดฉาก X′Y′Z′พรอมทั้งบอกชื่อและเขียนกราฟของสมการ

วิธีทาํ ให A = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−

311131115

ขั้นที่ 1. หารากของสมการ det(A - λ I) = 0

311

131115

λ−−−

−λ−−λ−

= 0

(5 - λ)((3 - λ)2 - 1) - (1)((3 - λ) - 1) + (-1)(-1 + (3 - λ)) = 0 3λ - 11 2λ + 36 λ - 36 = 0 (λ - 6)(λ - 3)(λ - 2) = 0

λ = 6, 3, 2ขั้นที่ 2. ให 1λ = 6, 2λ = 3 และ 3λ = 2


การหา 1vv

แทนคา 1λ = 6 ในสมการ (A - 1λ I) 1vv = 0

จะได ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−−−

631116311165

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−−+−

z3yxzy3xzyx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

เพราะฉะนั้น -x + y - z = 0 ... (1.1)x - 3y - z = 0 ... (1.2)

-x - y - 3z = 0 ... (1.3)(1.2) - (1.3) ; 2x - 2y + 2z = 0

-x + y - z = 0 เหมือนกับ (1.1)เพราะฉะนั้นทิ้งสมการ (1.1) ได(1.2) + (1.3) จะได -4y - 4z = 0 เพราะฉะนั้น z = -yจาก (1.3) จะได x = -y - 3z = -y - 3(-y) = 2y

ให y = t เมื่อ t ∈ R จะได z = -t, x = 2t และ 1vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

− ttt2

เพราะวา || 1vv || = 1เพราะฉะนั้น 222 )t(t)t2( −++ = 1 จะได t = ±

61


1 จะได 1vv = ⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−6

16

16

2

of 41


การหา 2vv

โดยแทน 2λ = 3 ในสมการ (A - 2λ I) 2vv = 0


⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−−−

331113311135

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−+

yxzx

zyx2=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

เพราะฉะนั้น 2x + y - z = 0 ... (2.1) x - z = 0 ... (2.2) -x - y = 0 ... (2.3)

เพราะวา (2.2) - (2.3) ได (2.1) เพราะฉะนั้นทิ้ง (2.1)จาก (2.2) และ (2.3) จะได y = -xและ z = x

ให x = t เมื่อ t ∈ R จะได y = -t, z = t และ 2vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−tt

t

เพราะวา || 2vv || = 1เพราะฉะนั้น 222 t)t(t +−+ = 1 จะได t = ±

31


1 จะได 2vv =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

31

313

1


การหา 3vv



⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−−−

231112311125

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−−+−+

zyxzyxzyx3

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

เพราะฉะนั้น 3x + y - z = 0 ... (3.1) x + y - z = 0 ... (3.2) -x - y + z = 0 ... (3.3)

เพราะวา (3.2) และ (3.3)เปนสมการเดียวกัน เพราะฉะนั้นทิ้งสมการ (3.3) ได(3.1) - (3.2) จะได 2x = 0 เพราะฉะนั้น x = 0จาก (3.2) จะได z = y

ให y = t เมื่อ t ∈ R จะได z = t และ 3vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

tt0

เพราะวา || 3vv || = 1เพราะฉะนั้น 22 tt0 ++ = 1 จะได t = ±

21



⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

212

10


เพราะฉะนั้น P = [ 1vv 2vv 3vv ] =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

21

31

61

21

31

61

03

16

2

เปนเมทริกซของการเปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัด

ขั้นที่ 3. เปลี่ยนตัวแปรโดยให X = PX′

จะได⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

21

31

61

21

31

61

03

16

2

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx

เพราะฉะนั้นสมการ5 2x + 3 2y + 3 2z + 2xy - 2xz - 2yz = 5

ในระบบพิกัดฉาก XYZจะถูกแปลงเปนสมการ

6(x′)2 + 3(y′)2 + 2(z′)2 = 5ในระบบพิกัดฉาก X′Y′Z′


6(x′)2 + 3(y′)2 + 2(z′)2 = 5ในระบบพิกัดฉาก X′Y′Z′มีกราฟเปนอิลลิปซอยดและเขียนกราฟไดดังรูปที่ 1.6.1

แกน OX′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 1vv = 6

1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−112

แกน OY′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 2vv = 3

1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−11

1

และ แกน OZ′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 3vv = 2

1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

110


of 41


สําหรับสมการทั่วไปดีกรีสองของสามตัวแปรa 2x + b 2y + c 2z + 2d xy + 2e xz + 2f yz + gx + hy + kz = {ในระบบพิกัดฉาก XYZ

เมื่อ A = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

cfefbdeda

P เปนเมทริกซของการเปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัด

และ TP AP = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

λλ

λ

32

1

000000

เปลี่ยนตัวแปรโดยให ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= P ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx

จะได

[ a 2x + b 2y + c 2z + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + kz ] = [ { ][ a 2x + b 2y + c 2z + 2d xy + 2e xz + 2f yz ]

+ [ gx + hy + kz ] = [ { ]

[ 1λ (x′)2 + 2λ (y′)2 + 3λ (z′)2] + [ g h k ] P ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx

= [ { ]

[ 1λ (x′)2 + 2λ (y′)2 + 3λ (z′)2] + [ g′ h′ k′ ] ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx

= [ { ]

เมื่อ [ g′ h′ k′ ] = [ g h k ] P


[ 1λ (x′)2 + 2λ (y′)2 + 3λ (z′)2] + [ g′x′ + h′y′ + k′z′ ] = [ { ]

1λ (x′)2 + 2λ (y′)2 + 3λ (z′)2 + g′x′ + h′y′ + k′z′ = {เพราะฉะนั้น สมการa 2x + b 2y + c 2z + 2d xy + 2e xz + 2f yz + gx + hy + kz = {ในระบบพิกัดฉาก XYZจะถูกแปลงเปนสมการ

1λ (x′)2 + 2λ (y′)2 + 3λ (z′)2 + g′x′ + h′y′ + k′z′ = {ในระบบพิกัดฉาก X′Y′Z′


ตัวอยาง 1.6.2 จงหาเมทริกซของการเปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัด P ที่ใชในการแปลงสมการ

2x + 2y + 2 2z - 2xy + 4xz + 4yz + 30x + 30y - 30z = 0ในระบบพิกัดฉาก XYZ ใหอยูในรูป

1λ (x′)2 + 2λ (y′)2 + 3λ (z′)2 + g′x′ + h′y′ + k′z′ = {ในระบบพิกัดฉาก X′Y′Z′พรอมทั้งบอกชื่อและเขียนกราฟของสมการ


⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−

222211211


222

211211

λ−

λ−−−λ−

= 0

(1 - λ)((1 - λ)(2 - λ) - 4) - (-1)(-(2 - λ) - 4) + (2)(-2 - 2(1 - λ)) = 0

3λ - 4 2λ - 4λ + 16 = 0 (λ - 4)(λ - 2)(λ + 2) = 0

λ = 4, 2, -2ขั้นที่ 2. ให 1λ = 4, 2λ = 2 และ 3λ = -2


การหา 1vv



⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−

422224112141

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++−−+−−

z2y2x2z2y3xz2yx3

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

เพราะฉะนั้น -3x - y + 2z = 0 ... (1.1) -x - 3y + 2z = 0 ... (1.2)2x + 2y - 2z = 0 ... (1.3)

(1.1) + (1.2) จะได -4x - 4y + 4z = 0 2x + 2y - 2z = 0 เหมือน (1.3)

เพราะฉะนั้นทิ้งสมการ (1.3) ได(1.1) - (1.2) จะได -2x + 2y = 0 เพราะฉะนั้น y = xจาก (1.1) จะได -3x - x + 2z = 0 เพราะฉะนั้น z = 2x

ให x = t เมื่อ t ∈ R จะได y = t, z = 2t และ 1vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

t2tt

เพราะวา || 1vv || = 1 เพราะฉะนั้น 222 )t2(tt ++ = 1

จะได t = ± 6



⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

626

16

1

of 41


การหา 2vv



⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−

222222112121

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++−−+−−

y2x2z2yxz2yx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

เพราะฉะนั้น -x - y + 2z = 0 ... (2.1) -x - y + 2z = 0 ... (2.2)

2x + 2y = 0 ... (2.3)จาก (2.3) จะได y = -xจาก (1.1) จะได -x + x + 2z = 0เพราะฉะนั้น z = 0

ให x = t เมื่อ t ∈ R จะได y = -t และ 2vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−0t

t

เพราะวา || 2vv || = 1 เพราะฉะนั้น 0)t(t 22 +−+ = 1



1 จะได 2vv = ⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

02

12

1


การหา 3vv

แทนคา 3λ = -2 ในสมการ (A - 3λ I) 3vv = 0


⎤

⎢⎢⎣

⎡

++−−+

222222112121

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++++−+−

z4y2x2z2y3x

z2yx3=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

เพราะวา 3x - y + 2z = 0 ... (3.1) -x + 3y + 2z = 0 ... (3.2)

2x + 2y + 4z = 0 ... (3.3)(3.1) + (3.2) จะได 2x + 2y + 4z = 0 เหมือนกับ (3.3)เพราะฉะนั้นทิ้งสมการ (3.3) ได(3.1) - (3.2) จะได 4x - 4y = 0 เพราะฉะนั้น y = xจาก (3.1) จะได 3x - x + 2z = 0 เพราะฉะนั้น z = -x

ให x = t เมื่อ t ∈ R จะได y = t, z = -t และ 3vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

− ttt

เพราะวา || 3vv || = 1 เพราะฉะนั้น 222 )t(tt −++ = 1




⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−3

13

13

1


เพราะฉะนั้น P = [ 1vv 2vv 3vv ] =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

310

62

31

21

61

31

31

61

เปนเมทริกซของการเปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัดขั้นที่ 3. เปลี่ยนตัวแปรโดยให X = PX′


⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

310

62

31

21

61

31

31

61

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx

และ [ 0 ] = [ 2x + 2y + 2 2z - 2xy + 4xz + 4yz + 30x + 30y - 30z ]

= [ 2x + 2y + 2 2z - 2xy + 4xz + 4yz ] + [ 30x + 30y - 30z ]

= [ 4(x′)2 + 2(y′)2 - 2(z′)2 ] + [ 30 30 -30 ] ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= [ 4(x′)2 + 2(y′)2 - 2(z′)2 ]

+ [ 30 30 -30 ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

310

62

31

21

61

31

21

61

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx


[ 0 ] = [ 4(x′)2 + 2(y′)2

- 2(z′)2 ] + [ 0 0 30 3 ] ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx

= [ 4(x′)2 + 2(y′)2 - 2(z′)2 ] + [ 30 3z′ ]= [ 4(x′)2 + 2(y′)2 - 2(z′)2 + 30 3z′ ]

เพราะฉะนั้น สมการ2x + 2y + 2 2z - 2xy + 4xz + 4yz + 30x + 30y - 30z = 0

ในระบบพิกัดฉาก XYZจะถูกแปลงเปนสมการ 4(x′)2 + 2(y′)2 - 2(z′)2 + 30 3z′ = 0ในระบบพิกัดฉาก X′Y′Z′ 4(x′)2 + 2(y′)2 - 2((z′)2 - 15 3z′ + (

2315 )2)

= -2(2

315 )2

4(x′)2 + 2(y′)2 - 2(z′ - 2

315 )2 = -2

675

-4(x′)2 - 2(y′)2 + 2(z′ - 2

315 )2 = 2

675

เล่ือนแกนพิกัดฉาก X′Y′Z′โดยใหจุดกําเนิดใหมอยูที่จุด (0, 0,

2315 )

of 41


ตั้งแกนพิกัดฉาก X′′Y′′Z′′เปลี่ยนตัวแปรโดยให x′′ = x′, y′′ = y′ และ z′′ = z′ -

2315

จะไดสมการในระบบพิกัดฉาก X′′Y′′Z′′เปน -4(x′′)2 - 2(y′′)2 + 2(z′′)2 =

2675

หรือ -2(x′′)2 - (y′′)2 + (z′′)2 = 4

675

ซึ่งมีกราฟเปนอิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดสองชิ้นและเขียนกราฟไดดังรูปที่ 1.6.2

แกน OX′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 1vv = 6

1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

211

แกน OY′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 2vv = 2

1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−01

1


1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−111



การเลือก P = [ 1vv 2vv 3vv ] จาก 1λ , 2λ , 3λ

กรณีที่ 1. 1λ , 2λ , 3λ มีคาตางกันทุกคา ให P = [ 1vv 2vv 3vv ]

กรณีที่ 2. 1λ , 2λ , 3λ มีบางคาซ้ํากัน

แบบที่ 1. เลือกเวกเตอรจากคําตอบทั่วไปของระบบสมการใหไดเวกเตอรที่ตั้งฉากกันหมายเหตุ 2vv ⋅ 3vv = 0 ก็ตอเมื่อ 2vv ⊥ 3vv

แบบที่ 2. ใชสูตรแกรมชมิดด1vv , 2vv , 3vv ที่หาไดอาจไมตั้งฉากซึ่งกันและกันสรางเวกเตอรหนวย 1uv , 2uv , 3uv ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันไดดังนี้ให 1uv =

|||| 11

vvv

v

2uv = |||| 1122

1122u )uv(vu )uv(vvvvv

vvvv

⋅−⋅−

3uv = |||| 2231133

2231133u )uv(u )uv(vu )uv(u )uv(vvvvv

vvvv

⋅−⋅−⋅−⋅−

เลือกให P = [ 1uv 2uv 3uv ]


ตัวอยาง 1.6.3 จงหาเมทริกซของการเปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัด P ที่ใชในการแปลงสมการ2 2x + 3 2y + 2 2z + 2xz + 2 x + 2y - 2 2 z - 4 = 0ในระบบพิกัดฉาก XYZ ใหอยูในรูป



⎤

⎢⎢⎣

⎡

201030102


201

030102

λ−

λ−λ−

= 0

(2 - λ)((3 - λ)(2 - λ) - 0) - (0)(0 - 0) + (1)(0 - (1)(3 - λ)) = 0 (3 - λ)((2 - λ) 2 - 1) = 0 (λ - 3)(λ - 3)(λ - 1) = 0

λ = 3, 3, 1ขั้นที่ 2. ให 1λ = 2λ = 3 และ 3λ = 1


การหา 1vv , 2vv

แทนคา λ = 3 ในสมการ (A - λ I)vv = 0


⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

−

320103301032

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−

101000101

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

+−

zx0

zx=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

เพราะฉะนั้น -x + z = 0 ... (1.1) 0 = 0 ... (1.2)

x - z = 0 ... (1.3)เพราะฉะนั้น z = x และ y เปนจํานวนจริงอะไรก็ไดให x = s, y = t เมื่อ s, t ∈ R จะได z = s

เพราะฉะนั้น vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

sts

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

s0s

+ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

0t0

= s⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

101

+ t⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

010

เลือก 1vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

101

และ 2vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

010

เพราะวา 1vv ⋅ 2vv = 0 เพราะฉะนั้น 1vv ⊥ 2vv

ให 1uv = |||| 1

1vvv

v =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2102

1

และ 2uv = |||| 2

2vvv

v =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

010

of 41


การหา 3vv



⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

−

120101301012

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+

zxy2zx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

เพราะฉะนั้น x + z = 0 ... (2.1) 2y = 0 ... (2.2)

x + z = 0 ... (2.3)เพราะฉะนั้น z = -x และ y = 0

ให x = t เมื่อ t ∈ R จะได z = -t และ 3vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

− t0t

เพราะวา || 3vv || = 1 เพราะฉะนั้น 222 )t(0t −++ = 1จะได t = ±

21


1 จะได 3vv = ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−2

102

1

เพราะฉะนั้น P = [ 1uv 2uv 3vv ] = ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−2

102

10102

102

1



ขั้นที่ 3. เปลี่ยนตัวแปรโดยให X = PX′


⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−2

102

10102

102

1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx

และ [ 0 ] == [ 2 2x + 3 2y + 2 2z + 2xz + 2 x + 2y - 2 2 z - 4 ]= [ 2 2x + 3 2y + 2 2z + 2xz ] + [ 2 x + 2y - 2 2 z ]

+ [ -4 ]

= [ 3(x′)2 + 3(y′)2 + (z′)2] + [ 2 2 -2 2 ] ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

+ [ -4 ]= [ 3(x′)2 + 3(y′)2 + (z′)2]

+ [ 2 2 -2 2 ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−2

102

10102

102

1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx

+ [ -4 ]

= [ 3(x′)2 + 3(y′)2 + (z′)2] + [ -1 2 3 ] ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx

+ [ -4 ]= [ 3(x′)2 + 3(y′)2 + (z′)2] + [ -x′ + 2y′ + 3z′ ]

+ [ -4 ]


[ 0 ] = [ 3(x′)2 + 3(y′)2 + (z′)2 - x′ + 2y′ + 3z′ - 4 ]เพราะฉะนั้น สมการ2 2x + 3 2y + 2 2z + 2xz + 2 x + 2y - 2 2 z - 4 = 0ในระบบพิกัดฉาก XYZจะถูกแปลงเปนสมการ3(x′)2 + 3(y′)2 + (z′)2 - x′ + 2y′ + 3z′ - 4 = 0ในระบบพิกัดฉาก X′Y′Z′ 3((x′)2 - 3

1x′ + 361 ) + 3((y′)2 + 3

2y′ + 91 )

+ ((z′)2 + 3z′ + 49) = 4 +

121

+ 31

+ 49

3(x′ - 61)2 + 3(y′ + 3

1)2 + (z′ + 23)2 =

320

เลื่อนแกนพิกัดฉาก X′Y′Z′ โดยใหจุดกําเนิดใหมอยูที่จุด (6

1 , -31 , -2

3) ตั้งแกนพิกัดฉาก X′′Y′′Z′′

เปลี่ยนตัวแปรโดยให x′′ = x′ - 61 , y′′ = y′ + 3

1

และ z′′ = z′ + 23

จะไดสมการในระบบพิกัดฉาก X′′Y′′Z′′ เปน3(x′′)2 + 3(y′′)2 + (z′′)2 =

320


ในระบบพิกัดฉาก X′′Y′′Z′′3(x′′)2 + 3(y′′)2 + (z′′)2 =

320

มีกราฟเปนอิลลิปซอยด และเขียนกราฟไดดังรูปที่ 1.6.3

แกน OX′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 1uv = 2

1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

101

แกน OY′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 2uv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

010


1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−101


of 41


ตัวอยาง 1.6.4 จงหาเมทริกซของการเปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัด P ที่ใชในการแปลงสมการ2 2x + 2 2y + 2 2z + 2xy+ 2xz -2yz + 24x+12y+12z -12 = 0ในระบบพิกัดฉาก XYZ ใหอยูในรูป



⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−211121

112


211

121112

λ−−

−λ−λ−

= 0

(2 - λ)((2 - λ)(2 - λ) - 1) - (1)(2 - λ + 1) + (1)(-1 - (1)(2 - λ)) = 0

3λ + 6 2λ - 9λ = 0λ(λ - 3)2 = 0

λ = 3, 3, 0ขั้นที่ 2. ให 1λ = 2λ = 3 และ 3λ = 0


การหา 1vv , 2vv

แทนคา λ = 3 ในสมการ (A - λ I)vv = 0


⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−

−

32111321

1132

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−

−

111111

111

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−++−

zyxzyxzyx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

เพราะฉะนั้น -x + y + z = 0 ... (1.1) x - y - z = 0 ... (1.2) x - y - z = 0 ... (1.3)

ทั้ง 3 สมการมีความหมายเหมือนกันคือ x = y + zเพราะฉะนั้น y และ z เปนจํานวนจริงอะไรก็ไดแตคาของ x = y + zให y = s, z = t เมื่อ s, t ∈ R จะไดวา x = s + t

เพราะฉะนั้น vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +

ts

ts ... (2)

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

0ss

+ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

t0t

= s⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

011

+ t⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

101

... (3)


การเลือกเวกเตอรแบบที่ 1. จากสมการ (2) เลือกเวกเตอร 2 ตัวที่ตั้งฉากกัน เชน

1.⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

011

(เมื่อ s = 1, t = 0) , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−21

1(เมื่อ s = -1, t = 2)

2.⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

112

(เมื่อ s = 1, t = 1) , ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−110

(เมื่อ s = 1, t = -1)

แบบที่ 2. ถานิสิตเลือกเวกเตอร 2 ตัวที่ตั้งฉากกัน ไมเปน

สมการ (3) เลือกเวกเตอร 1vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

011

และ 2vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

101

ตอไปหา 1uv , 2uv โดยใชสูตรแกรมชมิดด

เนื่องจากเราเลือก 1vv , 2vv ไดหลายแบบในวิธีทาํตอไปขอเลือก แบบที่ 1.

1vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

011

(เมื่อ s = 0, t = 1), 2vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−21

1(เมื่อ s = -1, t = 2)

ให 1uv = |||| 1

1vvv

v =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

02

12

1

เพราะฉะนั้น 2uv = |||| 2

2vvvv

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

62

616

1


การหา 3vv



⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−

−

02111021

1102

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−+++

z2yxzy2xzyx2

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

เพราะฉะนั้น 2x + y + z = 0 ... (2.1)x + 2y - z = 0 ... (2.2)x - y + 2z = 0 ... (2.3)

(2.1) - (2.2) จะได x - y + 2z = 0 เหมือนกับสมการ (2.3)เพราะฉะนั้นทิ้งสมการ (2.3) ได(2.1) + (2.2) จะได 3x + 3y = 0 เพราะฉะนั้น y = -xจาก (2.1) จะได z = -2x - y = -2x + x = -xให x = t เมื่อ t ∈ R จะได y = -t, z = -t

และ 3vv = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

tt

t เพราะวา || 3vv || = 1

เพราะฉะนั้น 222 )t()t(t −+−+ = 1




⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

313

13

1

of 41


เพราะฉะนั้น P = [ 1uv 2uv 3vv ] =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

31

620

31

61

21

31

61

21


ขั้นที่ 3. เปลี่ยนตัวแปรโดยให ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

= P ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx

จะได

[ 0 ] = [ 2 2x + 2 2y + 2 2z + 2xy + 2xz - 2yz + 24x + 12y + 12z - 12 ]

= [ 2 2x + 2 2y + 2 2z + 2xy + 2xz - 2yz ] + [ 24x + 12y + 12z ] + [ -12 ]

= [ 3(x′)2 + 3(y′)2 + 0(z′)2 ] + [ 24 12 12 ] ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

+ [ -12 ]= [ 3(x′)2 + 3(y′)2 ]

+ [ 24 12 12 ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

31

620

31

61

21

31

61

21

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx

+ [ -12 ]


= [ 3(x′)2+ 3(y′)2 ] + [ 18 2 6 6 0 ]

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′′′

zyx

+ [ -12 ]

= [ 3(x′)2 + 3(y′)2 ] + [ 18 2 x′ + 6 6y′ ] + [ -12 ]= [ 3(x′)2 + 3(y′)2 + 18 2 x′ + 6 6y′ - 12 ]

เพราะฉะนั้นสมการ2 2x + 2 2y + 2 2z + 2xy + 2xz - 2yz + 24x + 12y + 12z - 12 = 0ในระบบพิกัดฉาก XYZจะถูกแปลงเปนสมการ

3(x′)2 + 3(y′)2 + 18 2 x′ + 6 6 y′ - 12 = 0ในระบบพิกัดฉาก X′Y′Z′3((x′)2

+ 6 2 x′ + 18) + 3((y′)2 + 2 6y′ + 6) = 12 + 54 + 18

3(x′ + 3 2 )2 + 3((y′ + 6)2 = 84

28

)23x( 2+′ + 28

)6y( 2+′ = 1

เล่ือนแกนพิกัดฉาก X′Y′Z′โดยใหจุดกําเนิดใหมอยูที่จุด (-3 2 , - 6 , 0)ตั้งแกนพิกัดฉาก X′′Y′′Z′′เปลี่ยนตัวแปรโดยให x′′ = x′ + 3 2 , y′′ = y′ + 6

และ z′′ = z′


จะไดสมการในระบบพิกัดฉาก X′′Y′′Z′′ เปน

28)x( 2′′ +

28)y( 2′′ = 1

ซึ่งมีกราฟเปนทรงกระบอก(รอยตัดบนระนาบ z′′ = 0 เปนวงกลม)และเขียนกราฟไดดังรูปที่ 1.6.4

แกน OX′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 1uv = 2

1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

011

แกน OY′ จะมีทิศทางเดียวกันกับ 2uv = 6

1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−21

1


1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

11

1



การพิจารณาความเปนไปไดพื้นผิวจากคาของ 1λ 2λ 3λ

1λ (x′)2 + 2λ (y′)2

+ 3λ (z′)2 + g′x′ + h′y′ + k′z′ = { ... (1)

หมายเหตุ det(A) = 1λ 2λ 3λ

1. 1λ 2λ 3λ ≠ 0 (หรือ det(A) ≠ 0)เพราะฉะนั้น 1λ , 2λ , 3λ ไมเปนศูนยทุกตัวเพราะฉะนั้นสมการ (1) จะมี (x′)2, (y′)2, (z′)2 ทั้งสามพจนความเปนไปไดของพ้ืนผิวคือ อิลลิปซอยด อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดขนิดสองชิ้น กรวยอิลลิปติก หรือ พ้ืนผิวแบบอื่น ๆ

2. 1λ 2λ 3λ = 0 (หรือ det(A) = 0)เพราะฉะนั้น 1λ , 2λ , 3λ เปนศูนยอยางนอยหนึ่งตัว

2.1 1λ = 0, 2λ ≠ 0 และ 3λ ≠ 0เพราะฉะนั้นสมการ (1) จะมีพจน (y′)2, (z′)2 เพียงสองพจนเทานั้น ความเปนไปไดของพ้ืนผิวคือ อิลลิปติกพาราโบลอยดไฮเพอรโบลิกพาราโบลอยด หรือ พ้ืนผิวแบบอื่น ๆ

2.2 1λ = 0, 2λ = 0 และ 3λ ≠ 0เพราะฉะนั้นสมการ (1) จะมีพจน (z′)2 หนึ่งพจนเทานั้นความเปนไปไดของพ้ืนผิวคือ ทรงกระบอกหรือ พ้ืนผิวแบบอื่น ๆ

of 41


แบบฝกหัด 1.6จงหาเมทริกซของการเปลี่ยนทิศทางของแกนพิกัด P ท่ีใชในการแปลงสมการที่กําหนดให ในระบบพิกัดฉาก XYZ ใหอยูในรูป

1λ (x′) 2 + 2λ (y′) 2 + 3λ (z′) 2 + g′x′ + h′y′ + k′z′ = l ในระบบพิกัดฉาก X′Y′Z′ และบอกชื่อของกราฟของสมการ1. 5 2x + 3 2y + 3 2z – 2xy – 2xz + 2yz = 362. 2 2x – 2 2y – 2 2z + 8xy – 8xz = 723. 2 2x + 7 2y + 2 2z + 2xy + 12xz + 2yz + 72y + 144z = 5404. 2xy + 2xz + 2yz = 165. 4 2x + 4 2y + 4 2z + 4xy + 4xz + 4yz + 32x – 16y + 32z = –2086. – 2x + 2z + 4xy + 4yz – 36y + 54z = 1357. 2 2x + 2y + 2z + 2xy + 2xz + 18x – 36y + 36z = –666

เฉลยแบบฝกหัด 1.6

1. λ = 6, 3, 2, P =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

21

31

61

21

31

61

03

16

2

, 6(x′) 2 + 3(y′) 2 + 2(z′) 2 = 36, อิลลิปซอยด

2. λ = –6, –2, 6, P =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

61

21

31

61

21

31

620

31

, –3(x′) 2 – (y′) 2 + 3(z′) 2 = 36, อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดขนิดสองชิ้น

3. λ = 9, 6, –4, P =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

21

61

31

06

23

12

16

13

1

9(x′ + 4 3 ) 2 + 6(y′) 2 – 4(z′ + 9 2 ) 2 = 324, อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดชนิดชิ้นเดียว

4. λ = 2, –1, –1, P =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

61

21

31

61

21

31

620

31

, 2(x′) 2 – (y′) 2 – (z′) 2 = 16, อิลลิปติกไฮเพอรโบลอยดขนิดสองชิ้น

5. λ = 8, 2, 2, P =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

61

21

31

61

21

31

620

31

, 4(x′ + 3 ) 2 + (y′ – 6 2 ) 2 + (z′ + 2 6 ) 2 = 4, อิลลิปซอยด

6. λ = 3, –3, 0, P = ⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

32

31

32

31

32

32

32

32

31

, (x′ + 2) 2 – (y′ – 7) 2 = 16(z′ – 1), ไฮเพอรโบลิกพาราโบลอยด

7. λ = 3, 1, 0 และ P =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

31

21

61

31

21

61

310

62

, 3(x′ + 6 ) 2 + (y′ – 18 2 ) 2 = –6 3 z′, อิลลิปติกพาราโบลอยด

of 41

3x + 4y = 12 มีกราฟเป นเส นตรง บทที่ 1...

Documents