Smart Board Notes Unit 4.notebook

1

January 26, 2016

Jan 26­5:56 PM

 Unit 4

Relations and Functions

Jan 26­6:25 PM

   4.1 An Overview of Relations and Functions

Jan 26­6:27 PM

A Relation associates the elements of one set of objects with the elements of another set.  

Relations can be represented with:

1. Words

 2. Sets of ordered pairs

3. Arrow Diagrams

4. Tables of Values 

5. Graphs

6. Equations

Jan 26­7:32 PM

Example 1: Consider the set years Y and the set of NHL hockey teams H such that 

     Y = {2010, 2011, 2012, 2013, 2014} 

     H = {Chicago Blackhawks, Boston Bruins, Los Angeles Kings}.

With words, we can define the relation 

As a set of ordered pairs:

Note: There are many ways to describe a relations using words. Also, many different relations can exist between two sets. 

Jan 26­7:55 PM

Note: In an arrow diagram we use ovals to represent our sets and each arrow represents how elements associate with one another.

2010 

2011

2012

2013

2014

Bruins 

Blackhawks

 

Kings

This relation in an Arrow diagram:  

The Stanley cup went to

Jan 26­8:14 PM

Example 2: Sam Wonders if there is a relationship between the length of a person's ear and the length of their face.

Sam samples 5 of her friends and presents the following data.

     Length of Ear  Length of Face

Smart Board Notes Unit 4.notebook

2

January 26, 2016

Jan 26­8:26 PM

Sam notices a relation between the data sets.  

Represent this relation in an arrow diagram:

As set of ordered pairs:  

In words: 

Jan 26­8:38 PM

As a graph: 

As an equation in two variables:

Jan 27­1:26 PM

Problem set 1. 

p. 262­63   3(a), 4, 7(a,b), 8  

Jan 26­8:41 PM

Domain                     Range"maps to"

When describing relations we often speak in terms of a domain and a range.

The domain is the set of first elements in a relation (i.e., a set of "x­values" or "inputs" in a relation).

The range is the set of second elements in a relation (i.e., a set of "y­values" or "outputs" in a relation).  

Jan 27­10:43 AM

We also speak in terms of independent/dependent variables.

Elements in the domain represent the independent variable (which does not depend on the variation of another variable).

Elements in the range represent the dependent variable (which depends on the variation of another variable).

Jan 27­12:13 PM

Identify the independent variable and dependent variable in each of the following contexts.

Example 1: The amount of time spent studying affects the grade a student receives.

Example 2: The temperature outside affects the amount of ice cream sold.  

Smart Board Notes Unit 4.notebook

3

January 26, 2016

Jan 27­12:23 PM

A function is a special type of relation where each element in the domain is paired with exactly one element in the range.

Example: the following relation is a function.

Robert Downey Jr.

Chris Evans 

Edward Norton

Mark Ruffalo

Scarlett Johansson 

Iron Man

Black Widow 

The Hulk

Captain America

Acts as

Jan 27­12:28 PM

Not all relations are functions.

But all functions are relations!

Robert Downey Jr.

Chris Evans 

Edward Norton

Mark Ruffalo

Scarlett Johansson 

Iron Man

Black Widow 

The Hulk

Captain America

is played by

Jan 27­1:01 PM

Which of the following relations are functions, which are not? 

423

16 4

251

894

123

7043

42

Jan 27­1:01 PM

Which of the following relations are functions, which are not? 

{(2,4), (3,6), (4,6), (5,6), (6,12)}             {(­3,7), (0, 10), (3,13), (3,­5), (6,16)} 

Jan 27­1:20 PM

How to determine whether a relation is a function:

1. If any values in the domain are associated with more than one value in the range, the relation is not a function. 

2. A graph that fails the "vertical line test" does not represent a function. 

Jan 27­1:25 PM

Problem set 2

p. 270 4., 8., 9., 12. 

Smart Board Notes Unit 4.notebook

4

January 26, 2016

Jan 27­1:43 PM

4.2 Function Notation 

Jan 27­8:09 PM

A function can be viewed as a rule or a machine that takes input values (x) and produces output values (y).  

Equations that represent functions, such as y = 4x + 3, may written using functional notation f(x).

f(x) = 4x + 3

Note: This notation can be thought of as another way of representing the y­value. 

Jan 27­8:55 PM

f   (x)

Jan 27­8:58 PM

Example 1. Write the following in functional notation.

a)  y = 2x + 5

b)  v = ­5t ­ 2

c)  p = n ­ 2/3

Example 1. Write the following as an equation in two variables. 

d) f(x) = 3x + 2

e) h(t) = ­6t + 9  

Jan 27­9:02 PM

Example 2: if p(r) = 2r + 3 determine the following. 

a) p(2)  b) p(­3) 

NOTE: An input value x and an output value f(x) can be written as ordered pair (x, f(x)). 

Jan 27­9:37 PM

Example 3. If v(t) = 4t ­ 7 find the value of t when v(t) = 29. Check your answer.

Smart Board Notes Unit 4.notebook

5

January 26, 2016

Jan 27­9:41 PM

Tom is eating popcorn at the movies. The equation P = ­25m + 250 represents the amount of popcorn Tom has left after m minutes. 

a). Describe the function. Write the equation in functional notation. 

b). Determine the value of P(3). What does this value represent? 

c). Determine the value for m when P(m) = 0. What does value this represent? 

Feb 3­6:19 PM

Two­Minute Write! 

Give an example of a any relation (other than the ones discussed in class), and explain why or why not your example is a function. 

Creativity is appreciated. 

Jan 27­11:19 PM

4.3 Graphing and Interpreting Data

Jan 31­1:15 PM

Describing Graphs 

Jan 31­3:16 PM

On a distance­time graph what do the following represent? 

1. A line going upwards to the right.  

2. A line going down to the right

3. A horizontal line

Jan 31­2:28 PM

Sketching Graphs (given a situation) A salmon is swimming upstream. For the first hour, it swims strongly and at a constant speed. For the next two hours, due to fatigue and a stronger current, it swims half as fast. It finally realizes it has passed its destination so, for the final half­hour, it stops swimming and allows the current to carry it slowly back downstream. Sketch a possible distance versus time graph to best represent the path of the salmon.  

Smart Board Notes Unit 4.notebook

6

January 26, 2016

Feb 7­1:33 PM Feb 7­1:27 PM

Speed­time Graphs

Jan 31­3:19 PM

On a speed­time graph what do the following represent? 

1. A line going upwards to the right.  

2. A line going down to the right

3. A horizontal line

Feb 7­1:35 PM

Another Sketch A a parked car speeds up at a green light, reaching a constant speed of 50 km/h over a 30 second period. After 5 minutes of traveling at this speed, the car approaches a red light and slows to a stop over the course of 5 seconds. Sketch a possible speed versus time graph to represent the path of the car.  

Feb 7­1:33 PM Feb 7­2:11 PM

The following containers are filled with water at a constant rate. For each container, sketch a graph to represent the height of the water over time. 

Smart Board Notes Unit 4.notebook

7

January 26, 2016

Jan 31­2:53 PM

Some things to note when describing and sketching graphs:

 

1. Does the line pass through the origin

2. What is the scale of the y and x­axes? 

3. What do these axes represent? 

4. Where does the data start and end?

5. Is the data continuous or discrete?

Jan 31­2:36 PM

Problem set 3

p.281­83.  3, 7, 11, 13, 18.

REMINDER: Do not forget about the other problem sets (1 and 2) or the worksheet (4.2) from last class.  

Jan 31­2:28 PM

Discrete Vs Continuous Data

Jan 31­3:54 PM

Discrete data involves distinct, countable elements.

Jan 31­3:55 PM

Continuous data can take on any real value (within a given range)

Jan 31­2:08 PM

Expressing Domain and Range. 

Recall:

The domain is the set of all possible values for the independent variable in a relation.   

The range is the set of all possible values for the dependent variable given the domain.  

Domain and range may be represented using

1. Words

2. A list

3. A real number line

4. Interval notation

5. Set notation.

Smart Board Notes Unit 4.notebook

8

January 26, 2016

Jan 31­2:08 PM

Consider the following graph

What is the domain and range in words, as a list and on a number line? 

Jan 31­3:13 PM

Consider the following graph.

 

What is the domain and range in words and on a number line?

Why not use a list?

  

Is this a function?

Jan 31­2:08 PM

Interval notation.

Symbols are used to indicate an interval of the set of real numbers.

This notation uses:

[     ­    if the end number is included 

(     ­    if the end number is not included

U    ­  When more than one interval is needed

∞ ­  if there is no end pointNote: Discrete data should not be represented using interval notation. 

 

Jan 31­8:11 PM

Use interval notation to express the domain and range. 

Jan 31­2:33 PM

Set notation.

The formal and standard way to represent sets.

Set notation generally looks like

    { x  |  x < 3, x ∈ A }   

"The set of""all x"

"such that" "is an element of"

Note:

1. the statement x < 3 may be any statement.

2. "A" many be any set such as W, N, I, Q, or R.

Jan 31­8:11 PM

Use set notation to express the domain and range. 

Smart Board Notes Unit 4.notebook

9

January 26, 2016

Jan 31­2:34 PM

Some more examplesNumber line                          Interval         Set 

   Notation               Notation

Feb 2­7:38 PM

4.4 Linear Relations

Feb 2­7:47 PM

Linear relationships are relations of direct proportionality, or of constant change.

In other words, a relation is called linear if any change in an independent variable results in a corresponding (or constant) change in the dependent variable. 

When plotted on a graph, a linear relation traces a straight line, hence the name. 

Feb 2­8:02 PM

Ex 1. Which of the following graphs are linear? 

Note: For linear relations, a constant change can be observed in both the independent and the dependent variable. 

Feb 2­8:08 PM

Ex 2. Which of the following tables of values represent linear relations? 

 x  f(x)

2 154 306 458 6010 75

 x  p(x)

1 12 43 94 165 25

 x  g(x)

­6 5­3 50 53 56 5

Feb 2­8:43 PM

Ex 2. Which of the following sets of ordered pairs represent linear relations? 

a) {(1, ­2), (1, ­1), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}

b) {(0, 3), (1, 6), (2, 9), (3, 12), (4, 15)}

c) {(­2, ­8), (­1, ­1), (0, 0), (1, 1), (2, 8)} 

Smart Board Notes Unit 4.notebook

10

January 26, 2016

Feb 2­8:08 PM

Exploration: 

For each of the following functions:

i) Generate a list of ordered pairs or a table[HINT: start with the input values ­2, ­1, 0, 1, and 2, then extend your graph if necessary].

ii) Graph the function and determine whether the relation is linear

1. f(x) = ­2x + 3 

2. g(t) = t2 ­ t ­ 1 

Feb 2­9:07 PM

1. f(x) = ­2x + 3

Feb 2­9:07 PM

1. g(t) = t2 + t ­ 1

Feb 2­9:28 PM

In Sum, we can determine if a relation is linear by 

1. Checking if the graph traces a straight line

2. Determining if a constant change in the independent variable results in a constant change in the dependent variable. 

3. Observing the degree of the equation (linear relations are of degree 1).

Problem set 4. 

Pg. 308. 3, 4, 5, 6 (i, iii, v). 

Feb 4­6:41 PM

4.5 Characteristics of Linear Relations 

Feb 4­7:02 PM

In this last section we will examine the following characteristics of linear relations: 

1. Rate of change

2. Intercepts

3. Domain

4. Range

Smart Board Notes Unit 4.notebook

11

January 26, 2016

Feb 3­6:35 PM

The Rate of Change of a Linear Relation is constant and can be determined by observing changes in the independent and dependent variable.  

Consider the following relation: 

The cost of a taxi is $3.50, plus $.75 for every km traveled. 

  Distance (km) Cost ($)

0 3.501 4.252 5.003 5.754 6.50

Feb 4­7:27 PM

As a graph: 

Cost ($)

Distance (km)

Feb 4­7:54 PM

Example: The cost for a car rental is $60, plus $20 for every 100 km driven. What is the rate of change in the cost per kilometer?

Feb 4­7:37 PM

Some notes about rate of change.1. The steeper the line, the greater of the rate of change. 

2. The sign of a rate of change (whether it is positive or negative), determines the direction of the line.  

Side Question: What is the rate of change for each of the given graphs?  

Feb 3­6:36 PM

Intercepts of a linear relation.

A horizontal (or x) intercept is a point where a line crosses the x­axis. 

­ at these points y = 0, so, any x­intercept can be represented as an ordered pair

A vertical (or y) intercept is a point where a  line crosses the y­axis. 

­ at these points x = 0, so, any y­intercept can be represented as an ordered pair

Feb 4­9:11 PM

Examples. What are the x and y­intercets for each of the following relations? 

x x

x x

y y

yy

Smart Board Notes Unit 4.notebook

12

January 26, 2016

Feb 5­5:49 PM

Finding x and y­intercepts, given a linear relation.

To find a y­intercept, let x = 0 and solve for y [i.e., solve f(0)].

To find the x­intercept, let y = 0 and solve for x [i.e., let f(x) = 0].  

Ex: Find the x and y­intercepts for y = ­2x + 3.

Feb 4­9:21 PM

Challenge Time! Sketch a linear relation with 

  Exactly 2 intercepts        Exactly 1 intercept

      

            An infinite number of intercepts

Feb 4­9:29 PM

Intercepts can have important meanings in contextual problems. 

Note: Vertical intercepts often correspond to starting points and horizontal intercepts often correspond to ending points.

Feb 4­9:27 PM

State the Domain and Range for each Linear Relation. 

x

y

x

y

x

y

x

y

Feb 3­6:43 PM

Contextual problems

This graph shows Mitchell leaving home at point A and going to a party at point F.

What was the slowest speed? What about the max? 

Which point represents when he turned around to go back home. What might be a reason for this?   

When did Mitchell stop? Why?

Feb 5­12:17 PM

Two Minute Write: Write a scenario for the following graph

Smart Board Notes Unit 4.notebook

13

January 26, 2016

Feb 5­12:22 PM

Dominoe's Pizza charges $11.99 for a 12'' Hand Tossed pizza (this includes only cheese and pizza sauce). The cost per extra topping is $1.50.

  Write an equation in two variables to represent the relation between the number of extra toppings and the cost of a pizza.

 

 

Graph the relation, assuming that you may have a maximum of 10 extra toppings.

Feb 5­5:54 PM

What is the rate of change? What does it represent? 

What is the vertical intercept? What does it represent?

Is there an x­intercept? explain. 

What is the Domain and Range for the relation? 

Feb 4­10:08 PM

We may sketch a graph of a linear relation if you know only two points (say, the x and y­intercept). 

Example: Sketch g(x) = 4x + 12.  

Note: Be careful to determine if your data is continuous or discrete. If no context is provided, assume that it is  continuous.  

Feb 5­6:37 PM

If we only know the rate of change and a single point, we can also sketch a graph for a linear relation. 

Ex: A large hot tub contains about 1500 liters of water and is being drained at a constant rate of 100 liters per minute. Sketch a graph that represents the amount of water in the hot tub as a function of time. 

Feb 4­10:01 PM

Problem set 5.

Page 308­09. 7, 14

Page 319­22. 4, 5, 8, 16, 17  

Jan 26­11:35 AM